高校数学の質問スレ Part410
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【質問者必読！！】
まず>>1-4をよく読んでね
数学@5ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。
（トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。
でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。
それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのに合わないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。
※前スレ
高校数学の質問スレ Part409
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1608682829/ 特性方程式は係数比較から出てきたものだという理解でよいと思いますが、出てきたαを(〇-α)=p(〇-α)に代入すればいいものを
教科書では問題の漸化式から特性方程式を引いて上のような式を出しているのはなぜなのでしょうか？
引いているα =pα+qを変形すればα-pα=q
これを引いても移行すればqの値になるはずなので間違っていないのはわかるんですけど cos( 2π*e*n!/3 ) のn→∞の極限値を求めよ (eは自然の底)
という問題なのですが、どうすればいいのでしょうか
そもそも極限値は収束するのでしょうか。
なんかnが大きくなってもぐるぐる回るだけで収束しないように思えたりします。 いやまあ最初のレスだけで意図は分かるんだけど最近知恵袋に回答するのにも億劫になってきたくらいだから式変形とかじゃなくて日本語の説明するのが正味ダルい
別に>>952の1行目の理解でももちろん良いがそうやって引き算で(○-α)=p(○-α)という漸化式を導き出しても良いじゃんっていうそれだけだが
まあ俺以外にレスする人は丁寧に説明してあげてほしい🤪
後1次不定方程式でも全く同じ式変形をするね
2x-3y=1 (x,yは整数)
2(-1)-3(-1)=1
辺々引いて
2(x+1)-3(y+1)=0
2(x+1)=3(y+1) >>959
> https://imgur.com/a/0jtwGVt こういう式です
それを特性方程式（これは線形代数等に出てくる用語）と呼ぶのは、受験業界造語。
a_{n+1}=f(a_n)
という形の漸化式を少しでも簡単なものに帰着しようとするというのが方針。
f(x)=xの解aはfの不動点と呼ばれるものだが、不動点が0だと少しは簡単になるはず。というわけで、
fの不動点aを用いて、b_n=a_n-a, g(x)=f(x+a)-aとおくと、
b_{n+1}=g(b_n)であり、gは0を不動点に持つ。
で、少しは簡単になるでしょ。という話。 >>960
引き算してなぜ導けるのかわからないですね…
https://imgur.com/a/PBa8Sbu
画像では変形前から変形後の式を引けば特性方程式が出てくるとあります、これが理解できれば特性方程式を引けば変形後の式を導けることが言えますがわかりません^^;;
>>961
高校レベルでお願いします😢 >>962
辺々引き算してるだけだよ？
>>960の最後の方の1次不定方程式の例(もう習ったのでは？)の方は分かる？
後具体例で理解した方がいい
a_(n+1)=2a_n +1…①と
-1=2(-1)+1…②が同時に成り立つならば※実際に計算してみると後者の等式は成り立ってるよね
辺々引くことによって ※いわゆる連立。①-②。
a_(n+1)-(-1)=(2a_n-2(-1))+(1-1)
(a_(n+1)+1)=2(a_n+1)
ここで左辺と右辺の括弧内の形が(a_○ +1)で共通しているから等比数列に帰着する。遡って、共通したのは②のところでx=2x+1を成り立たせる数x=-1を使ったから。当然ながら1=2・0+1を①から引いても共通した形にはならない >>963
「①と②が同時に成り立つならば辺々引いて等比数列の形になる」の部分がわからないのですが…これは連立方程式のどの辺りの知識が足りないのか。。
等比数列の形に変形したいときに、成り立たなければならない式が1と2であることは理解できます >>953
e = Σ[k=0,∞] 1/(k!) を使う。 >>954
0 < e*n! - Σ[k=0,n] n! / k!
= Σ[k=n+1,∞] 1/{(n+1)(n+2)…k}
< Σ[k=n+1,∞] 1/(n+1)^{k-n} (← 等比級数)
= 1/n,
ここで
Σ[k=0,n] n! / k! = 6N + n(n-1) + n + 1 ≡ ±1 (mod 3)
k≦n-3 のとき 6の倍数となるのがミソである。
cos(2π(1/3 + 1/3n)) < (与式) < cos(2π(1/3 - 1/3n)),
cos(2π/3) - 2π/3n < (与式) < cos(2π/3) + 2π/3n,
-1/2 - 2π/3n < (与式) < -1/2 + 2π/3n,
(与式) → cos(2π/3) = -1/2, (n→∞) 例の一次方程式はわかりますが漸化式の計算に関係があるかは全く… >>944
客とソープ嬢の数が同じ場合は２日続けてソープに行った場合に全員が前日と別のソープ嬢に当たる確率はほぼ1/eで
これは１０人でも１００人でも確率は大差ないってことになるな。
スレ的には教室で席替えの問題にした方がいいな。 >>968
2020年12月、文部科学大臣の会見でこれまで40人だった小学校のクラスの上限人数を全国で35人以下に引き下げることが発表されました。
https://toyokeizai.net/articles/-/398232
こういう問題になるかな。
一クラス３５人の教室で次の学期は席替えをすることになりました。
席を無作為に選ぶとき、全員が今の席と異なる席に割り当てられる確率はいくらでしょう？ 同じような問題の繰り返し
１年後も同じ事していそう
そんな事しても期待値npを知らなかった事実は消えはしない >>962
最初の質問のときに自分で係数比較って言ってるじゃん
a_(n)とa_(n+1)の係数はいじっていないんだから辺々引き算したらそれらの項は消えて定数項を比較するだけの方程式が残る n人の野球チームで
ちょうどk人が前の試合とは異なるポジションになる確率は
p(k) = C[n,k] (!k) / n! = {1/(n-k)!}Σ[j=0,k] (-1)^j / j!,
!k は subfactorial で
!0 = 1,
!1 = 0,
!2 = 1,
!3 = 2,
!4 = 9,
!5 = 44，
!6 = 265,
!7 = 1854,
!8 = 14833,
!9 = 133496,
http://oeis.org/A000166 を参照 そんな問題解く暇あるなら早くリクエストに答えろよ
↓↓↓
862:１３２人目の素数さん 2021/03/18(木) 16:15:56.49 ID:7H5ZKplv
>>861
すごいプログラムですね。
999999999999までの自然数の中でピタゴラス数の組み合わせが最も多いのはいくつか教えてよ。
そのプログラム使えば分かるんでしょ？ プログラムキチガイ
PCじゃ解けないから、面白い問題スレに書き込んでヒント貰おうとしているwww
↓↓↓
151:１３２人目の素数さん 2021/03/19(金) 01:45:06.97 ID:/qXspel8
某スレより
問：999999999999以下で最も多くの種類のピタゴラス三角形の底辺となりうる数は何か？
解説：ピタゴラス三角形とはご存じの通り、辺長がいずれも正整数の直角三角形のことであるが、
例えば 24 は (24,7,25),(24,10,26),(24,32,40),(24,70,74),(24,143,145) の5種類のピタゴラス三角形の底辺となりうる。
(ここで「底辺」は斜辺でない辺のいずれかを指す)
24未満の正整数で5種類以上のピタゴラス三角形の底辺となりうる数はないので、
「24以下で最も多くの種類のピタゴラス三角形の底辺となりうる数は何か？」の解は24である。
上の問いは、同様のことを1兆未満の正整数で求めよというもの。
計算機で総当たりするより理詰めで解く方が向いていると思ったのでこちらのスレに移動してみる。 subfactorial は k個の順列のうちで 不動点がないものの数。
特定のk人に注目したとき
・誰も異なるポジションにならない確率は
(n-k)! /n!
・全員が異なるポジションになる確率は (ド・モルガンで)
Σ[j=0,k] (-1)^j C[k,j] (n-j)! /n! >>965
なんか手品を見ているようです。
ありがとうございます 応用(？)問題
5種類の菓子が沢山あって無作為に選んだ菓子を子供10人に１日１回1人1個ずつ配る。
10人全員に前日と違う種類の菓子が配られる確率はいくらか？ 無意味な問題ばかり出すなあ
このスレを埋めて終わらせるのが目的だろ
そんな事をしても
期待値npを知らなかった事はずっと語り継がれるのによwww >>979
subfactorialって初めて聞きました。
便利な公式を教えていただいたので、早速、関数化して保存。
subfactorial <- function(n,k){
j=0:k
p=sum((-1)^j*choose(k,j)*factorial(n-j)/factorial(n))
list(MASS::fractions(p),p)
}
動作確認
> subfactorial(9,9)
[[1]]
[1] 16687/45360
[[2]]
[1] 0.3678792
すでにn=9で1/eに近い
> exp(-1)
[1] 0.3678794 >>982
2秒で暗算は無理
1048576 / 9765625 >>981
発展問題
前日と同じ菓子を配られた子供は配った人を罵倒するという。
罵倒する子供の数の期待値とその９５％信頼区間を求めよ。 プログラムおじさん、
1/1+1/2+･･･+1/n
は収束するのか発散するのか、収束するならいくつになるのか教えてください
私立医でも解ける問題なので簡単だと思いますが >>989
プログラムで解いてみました。
> VGAM::zeta(1)
[1] Inf >>991
どんなプログラムですか？
あと私立医でも紙とペンで解けますけど、あなたはできないんですか？ 自称医者だしなあ
正体は中卒の発達障害の爺さんだよ >>964
確認だが引いた後に等比数列の形になる式の計算は丁寧に載せたんだから「なんで辺々引いた式が成り立つのか分からない」ってことでいいか？
だとしたら第1にその部分は1次不定方程式で辺々引く計算と全く同じなのになんでそっちが分かって文字がa_nとa_(n+1)になると分からなくなるの？
そして本当にそれが分からないんだとしたら連立方程式をいまいち理解していないのかも？
x+y=1…①
x-y=0…②
と連立方程式があった時に①+②や①-②の式が成り立つことが保証されるのは
①,② (①,②が成り立っている)⇒①+②や
①,②⇒①-②
が成り立つからだ。①,②はx,yについての条件である時点で当然「成り立ってる等式」だからね
原始的にはA=a B=bが成り立つ時A+B=a+bが成り立つと言ってるだけ
で>>963における①は問題文で与えられている漸化式で、②は明らかに常に成り立つ計算式だから、当然2つとも成り立っている 他のスレでは元気に書き込みしてるようですが、>>992に答えてもらえないのは何なんでしょう？ >>980
(補足)
整数部分(?) 6N + nn + 1 が 3で割り切れない、すなわち
nn ≠ -1 (mod 3)
となる件
奇素数p で割り切れない剰余 {1,2,…,p-1} のうち
≡ x^2 の形に書けるもの(平方剰余) と書けないもの(非剰余)が同数
(p-1)/2 個ずつあります。
もし -1 が平方剰余ならば、±x のペアで平方剰余になるので、
(p-1)/2 = 2q, ∴ p = 4q + 1.
p=3 はこの形ではないので、-1 は非剰余になります。 (終) このスレッドは１０００を超えました。
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