面白い問題おしえて〜な 32問目
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これ次の数字分かる人いる?
数学というより数学モチーフにしたクイズ
規則性はちゃんとあるけどね >>977
正解
これ注意書きなく単に「次の数字は?」って出し方したら悪問かな
どう思う?
自分は別にいい気がするけど >>975
力技だけど
4項間漸化式を特性方程式x^3+x^2-2x-8=0の根
α=2, β=(-3+√(-7))/2, γ=(-3-√(-7))/2
を使って
a_n=Aα^n+Bβ^n+Cγ^n
と形を決めて、初項から
A=2/7, B=-1/7, C=-1/7
と係数を決定して
a_n=(2^(n+1)-((-3+√(-7))/2)^n-((-3-√(-7))/2)^n)/7
となるが、これは次の数列
b_n=(((-1+√(-7))/2)^n-((-1-√(-7))/2)^n)/√(-7
を使って
a_n=(b_n)^2
と書けている
b_nは3項間漸化式
b_0=0, b_1=1 b_(n+2)=-b_(n+1)-2b_n
を満たす数列であり、すべて整数である
よってa_nは必ず平方数になる >>975
p=(-1+√7i)/2, q= (-1-√7i)/2, bn=(p^n-q^n)/(p-q)
とおく
b1=1, b2=-1, b3=-1
である
b[n+2]=-b[n+1]-2bn
によりbnは全て整数
cn=bn^2とおくとcnは全て平方数である
c1=c2=c3=1
cn=(p^2n+q^2n+2^n)/(p-q)^2
p^2+q^2+2=-1
2p^2+2q^2+p^2q^2=-2
2p^2q^2=8
によりcnは漸化式
c[n+3]=-c[n+2]+2c[n+1]+8c[n]
を満たす
∴ an=cn >>969
このarcsinの2乗のテイラー展開は神秘的だな
逆三角関数のwiki英語版には書いてるけど日本語版には書いてない >>969
この記事ではChu-Vandermondeの恒等式とやらを使って証明しているけど、
f(x) := (arcsin(x))^2 のテイラー展開は普通に微分係数を計算しても証明できるみたい
f(0) = 0
f'(x) = 2arcsin(x)/(1-x^2)^(1/2) より f'(0) = 0
f''(x) = 2(1/(1-x^2) + xarcsin(x)/(1-x^2)^(3/2)) より f''(0) = 2
ここで微分方程式
(1-x^2)f''(x) = xf'(x) + 2
が成り立つので、この両辺を n 階微分すると、
(1-x^2)f^(n+2)(x) = (2n+1)xf^(n+1)(x) + (n^2)*f^(n)(x) より
f^(n+2)(0) = (n^2)*f^(n)(0)
が成り立つ。
よって n が奇数なら f^(n)(0) = 0, n が偶数なら、 n = 2k のとき
f^(2k)(0) = (2^(2k-1))*((k-1)!)^2
となるので、 f(x) のテイラー展開が
f(x) = Σ[n=1,∞] ((2^(2n-1))*((n-1)!)^2/(2n)!) x^(2n)
と求まる。
ゆえに、
2(arcsin(x/2))^2 = Σ[n=1,∞] (((n-1)!)^2/(2n)!) x^(2n)
が成り立つ。
特に x = 1 とすれば、
Σ[n=1,∞] (((n-1)!)^2/(2n)!) = π^2/18
となるから、したがって
Σ[n=1,∞] (((n-1)!)^2/(n*(2n-1)!)) = π^2/9
が得られる。 >>979 より
b_0 = 0, b_1 = 1, b_{n+2} = -b_{n+1} - 2b_n,
ここで
b_n = (-√2)^n B_n, cosθ = 1/√8,
とおくと
B_0 = 0, B_1 = 1/(-√2),
B_{n+2} = 2cosθ・B_{n+1} - B_n,
これと sinθ の和積公式
sin((n+2)θ) = 2cosθ・sin((n+1)θ) - sin(nθ),
を比べて
B_n = B_1 sin(nθ)/sinθ = 1/(-√2) sin(nθ)/(sinθ)
b_n = (-√2)^{n-1} sin(nθ)/sinθ,
ここで
n-1が奇数 ⇒ sin(nθ)/sinθ はcosθ=1/√8 の奇関数、
n-1が偶数 ⇒ sin(nθ)/sinθ は cosθ=1/√8 の偶関数。
∴ b_n は整数。
なお、
sin(nθ)/(sinθ) = U_{n-1}(cosθ),
を第二種チェビシェフ多項式と云うらしい。 ついこの前も3項間漸化式をわざわざチェビシェフ多項式で解いてたレス見たわ
ところで偶然にも>>969のテイラー展開はチェビシェフ多項式を使った「チェビシェフ展開」と見れる説が浮上してる >>983
β,γは特性方程式の因数 x^2 + 3x + 4 = 0 の根
これより漸化式
a_{n+2} = - 3a_{n+1} - 4a_n + 2^{n+2},
を得る。ここで
a_n = (2^n)(A_n + 2/7), cos(2θ) = -3/4,
とおくと
A_1 = 3/14, A_2 = -1/28, A_3 = -9/56,
A_{n+2} = 2cos(2θ)・A_{n+1} - A_n,
これと cos の和積公式
cos(2(n+2)θ) = 2cos(2θ)・cos(2(n+1)θ) - cos(2nθ),
を比べて
A_n = - (2/7)cos(2nθ),
a_n = 2^{n-1}・(4/7){1-cos(2nθ)}
= 2^{n-1}・(8/7){sin(nθ)}^2,
となるが、平方数かどうか分からぬ・・・・・ 線型回帰数列の一般項を求めるのに線型代数を使おうが母関数を使おうが自由ではあるが、
一般項を求めるだけでは解決しない問題にわざわざ複雑な方法を使う意味がわからない
別の方法で計算したところで全く役に立ってないし >>968
盤を 1x1のマスの集まりと見て、■マスを b_0
2x2 ブロックの集まりと見たとき、■を含むブロックを b_1
4x4 ブロックの集まりと見たとき、■を含むブロックを b_2
・・・・
2^n x 2^n ブロック全体、b_n
とする。
b_0 ⊂ b_1 ⊂ ・・・・ ⊂ b_n
これらの差分は、辺長が2ベキであるn個のL字形である。辺長は
(1,2), (2,4),・・・・, (2^{n-1},2^n)
つまり、盤面全体が、■マスとn個のL字形とに分割される。
これらのL字形は、>>968 のやり方で半サイズのL字形に分解してゆけば、最後には
□
□□
に至る。 n^2 + 1個の相異なる整数からなる数列には、長さn+1の増加部分列があるか、あるいは長さn+1の減少部分列があることを証明せよ。 >>964 >>971
面白い問題ですね。
区画を 2*2 の4区画に分割していき、
切り分ける際に交点が1つあるのがミソですね。
これ、パーツを変更して
□□
ただの2マスの棒にしたら
成立しないんだよな。(面積が偶数になってしまうからスペースが残せない) >>964
□□■…
□□□…
□□□…
…
サイズが a^n × b^n のチェス盤がある。
1つのマス目だけ取り除いた欠損チェス盤が
以下の部品で敷き詰められる
ようなチェス盤は存在するか?
□□□
↑ 3マスの横棒
存在するならば、そのような自然数 a,b を求めよ。 >>964 の追加問題
■の位置が決まれば、L字形の敷き詰め方は >>988 に限るか?
頂点(i,j)については
○−△
| |
△ ○−△
| |
○−△−○
○ i+j=偶数
△ i+j=奇数
>>987
実数だけで解ける問題にわざわざ複素数を使う意味が分からぬ
次スレ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1598637093/ >>983
U_0 = 1, U_1(x) = 2x, U_2(x) = (2x)^2 -1, U_3(x) = (2x)^3 - 2(2x), …
U_{n-1}(x) は 2x の整係数(n-1)次式。
∴ (√2)^{n-1} U_{n-1}(1/√8) は整数 >>994
>実数だけで解ける問題にわざわざ複素数を使う意味が分からぬ
そういうことはせめて一般項を具体的に書き下してから言ってね
何? sin(nθ) って?
それに>>987は>>975の解決に一切役に立っていないことを批判しているわけだが
わからないのか? 実数だけの問題を解くのに複素数を使うほうが楽な例はある
波動方程式とかね
そういうとき複素数を使うことに違和感はないけどな >>996
cosθ = 1/√8,
すなわち
θ = arccos(1/√8) = (1/2)arccos(-3/4) = 1.2094292…
ですね。
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