面白い問題おしえて～な 33問目
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過去ログ置き場(1-16問目)
//www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
//www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/
過去スレ
01 //cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
02 //natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
03 //mimizun.com/log/2ch/math/1026218280/
04 //mimizun.com/log/2ch/math/1044116042/
05 //mimizun.com/log/2ch/math/1049561373/
06 //mimizun.com/log/2ch/math/1057551605/
07 //science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
08 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
09 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 //kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 //kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 //uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 //wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 //wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/
30 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/
31 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1580123521/
32 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1586230333/ (前スレ) AとBの箱があり、中には100本ずつのクジが入っている。
今から1本クジを引くが、あなたはA、Bどちらを選ぶ？
A・・・100本全部当たりくじで賞金は8万円。
B・・・100本中85本が当たりくじで賞金は10万円、ただしハズレが15本入っていてハズレを引くと賞金は0円。
期待値の概念が分かってるなら当然Bを選ぶのだが、実際にはほとんどの人がAを選ぶ。
その心理を述べよ。 >>2
わたしが欲しいのはお金じゃないの。
当選者という肩書きなの。
とにかく当選がしたいの。 人間は不幸がないことを幸せと感じる
数学じゃないな 期待値はあくまでも試行を繰り返したときに収束していく値だから
分散が大きいとこの収束は遅くなるので、試行回数が少ないとき分散の違いによる心理的影響は大きい 1回しかやれないのなら、8万円賭けて1回しかやれないBの賭けをやるかってのと同じことだからな
期待値プラスだとしても2万円増やすために8万円賭ける人は少ない
と思ったけど競馬で1.2倍の超本命に掛けるのと同じようなものか
1.2倍以下の超本命がいるレースで実際に超本命が勝ったのは過去何％くらいなんだろうか
これが85％以下だとこの問題の場合もBに賭ける人は結構たくさんいるのかも知れない 未だにコロナをただの肺炎だと思ってる人がいることが信じられないわ
ただ致死率が低いだけで軽症でも９割近くに後遺症が残ると言われてるのに
医者が新型コロナは軽症でも肺が繊維化して後遺症で息苦しさがずっと続くこんな肺炎見たこと無いと言ってる
医学的な定義では軽症なだけで廃人になるレベルでの日常生活困難になったりするんだよ
ツイッターで感染者が後遺症を綴ってるの一杯いるから見てみたらいいよめっちゃ怖いから
見たらはっきり言って生き地獄 日本の競馬って胴元が25％だか抜いた残りを配分しているんだから全体で見れば期待値は-25％
ところがソフトで分析して長期的にプラスを出している人がいる
これって相当多くの人が-25％よりももっと期待値悪くなる買い方をしているってことだよな？ 〔問題〕
n^2 + 1個の相異なる整数からなる数列には、
・長さn+1の増加部分列があるか、あるいは
・長さn+1の減少部分列がある
ことを証明せよ。
[前スレ.989] [分かスレ４６２．763-764]
・参考書
ラスロウ・ロバース他『入門 組合せ論』共立出版 (1985)
（秋山 仁＋ピーター・フランクル翻案) 136p．2090円
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320013407 s : a_1, a_2, …, a_{n^2+1}を相異なる整数からなる数列とする。
sは長さn+1以上の増加部分列を含まないと仮定する。
ここで、各k = 1, …, n^2+1 に対して
l_k = (a_kから始まるsの最長増加部分列の長さ)
と定義する。
仮定により、l_k は {1,2,････,n} のいずれか。
n+1項以上の相異なるjが等しいl_jをもつことが鳩の巣原理により分かる。
等しいl_jをもつn+1項以上については、隣合う2項(a_j)が減少である。
（もし増加ならば l_j も増加する。)
∴ これらn+1項以上は減少部分列を与える。
[分かスレ４６２．768-769]
ラスロウ・ロバース他『入門 組合せ論』共立出版 (1985)
（秋山 仁＋ピーター・フランクル翻案) 136p．2090円
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320013407 >>2
いわゆるプロスペクト理論で説明できる
低確率→過大評価
高確率→過小評価
の傾向がある
ついでにお金に関しても8万から10万へのUPは過小評価される
0から1万は過大評価、負でも同じね 3次元ユークリッド空間の中に9つの格子点（x座標、y座標、z座標がすべて整数である点）が与えられているとしよう。
これらの2点を結ぶ線分の1つの内部に格子点があることを示せ。
ラスロウ・ロバース他『入門 組合せ論』共立出版 (1985)
（秋山 仁＋ピーター・フランクル翻案) 136p．2090円
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320013407 >>12
解答読んだら、ちょっと簡単すぎる問題だったかもしれません。 いやいや難しい････
x,y,z の奇数/偶数 により、8つ以下の組に分類する。
鳩ノ巣原理により、9点のうちの2点以上が同じ組に含まれる。
その2点の中点は格子点。 ただの鳩ノ巣原理の練習問題だろ
大学入試によく出るやつ >>16
格子点が 2^n + 1 個あれば同様だろ ラスロウ・ロバース他『入門 組合せ論』共立出版 (1985)
（秋山 仁＋ピーター・フランクル翻案) 136p．2090円
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320013407
を読んでいてよく分からないシュペルナーの補題（スペルナーの補題）を調べてみたら、証明法が奇抜で面白い問題を見つけました。
http://www.mathlion.jp/article/ar142.html ラスロウ・ロバース他『入門 組合せ論』共立出版 (1985)
（秋山 仁＋ピーター・フランクル翻案) 136p．2090円
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320013407
シュペルナーの補題の記述で分からないことがあります。
平面にどの3本の釘も1直線上にないように釘を打ち込む。3つの釘によって決まる三角形の領域という場合、その三角形の内部には釘は1本もないと
考えていいでしょうか？それとも、内部に釘を含んでいても三角形の領域というでしょうか？ 三角形の内部には釘は1本もないと解釈せざるを得ない箇所を見つけました。 ラスロウ・ロバース他『入門 組合せ論』共立出版 (1985)
（秋山 仁＋ピーター・フランクル翻案) 136p．2090円
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320013407
多分、難しい問題だと思います。aとcを結ぶ線分およびbとdを結ぶ線分は長方形の対角線になります：
長方形の板があり、その4頂点a, b, c, dに釘が打ってある。aとcは+の釘、bとdは-の釘である。そして、どの3本の釘も一直線上に並ばないようにかってに
+と-の釘を何本でも打ち込み、釘以外で意図が交差することがないように釘の間を糸で結び、もうこれ以上は交差せずには結べないところまで結ぶ（この
とき、長方形の内部の領域はすべて三角形であることに注意せよ）。このとき、+どうしを結ぶ糸だけを通ってaからcまで到達できるか、または-どうしを結ぶ
糸だけを通ってbからdまで到達できる。 >>21
この問題の解答が理解できません。画像をアップロードしたら解説していただけますか？ ここって面白い問題を書くスレじゃないの？
分からない問題なら分からない問題スレでええやろ
回答がもらえるかどうかは知らんけど 4×nのサイズのチェス盤上の任意のマス目に、ナイトを1つ置く。4*n回の連続したナイトの動きで、チェス盤のナイトの置かれたマス目から
出発してすべてのマス目をちょうど1回通過してはじめのマス目に戻ることは可能か？ 前>>3
>>21なんなの？ 買ってほしいの？
どこ見てんのよ？
共立びよ～げか～♪ >>25 >>26
closed knight's tour
チェス盤には市松模様 (ルイ・ヴィトン模様) が描いてあり、
同じ色のマスには飛べナイト。
∴ 白 ⇔ 黒 を交互に飛ぶ。
また4列のうち、中央の2列を青で塗り、両端の列を赤で塗る。
赤→赤 は飛べナイト。赤マスの前後は青マスに限る。
また、赤マスと青マスは同数ある。
closed tour では 赤 ⇔ 青 を交互に飛ぶ。(*)
∴ {白,黒} と {赤,青} は 1：1 に対応することになる。(矛盾)
*) open tour では、最初と最後が赤マスで 途中に青→青を含む可能性あり。 4×3 open tour の一例
1二、3一、4三、2二、4一、3三、2一、1三、3二、1一、2三、4二
まで12手。
両端が赤で、途中 3三→2一 が 青→青 です。 >>14
鳩ノ巣原理は動物虐待。
部屋割り論法という旧称を復活すべきｗ 3次元ユークリッド空間R^3の部分集合Aを
A={(x,y,z)∈R^3|x,y,zの少なくともひとつは整数}
とする
航路をAの部分集合に限った場合に、
(0,0,0)から(3,3,3)への最短の旅程を示せ
またその道程を答えよ ∫[-∞,+∞] {sin(x)/x}^n cos(mx) dx = ... の一般式を導出してみました。
単に驚きの共有といったところです。特に質問はありません。
https://imgur.com/wQw3Dov
留数計算と極限操作をしてるだけですが、
ε極限の収束は確定してるので、相殺予定の発散項は無視して計算するのが肝です。
以前に計算した事のある式
∫[-∞,+∞] {sin(x)/x}^n dx
= 2nπ/(2n)!! Σ[k=0,⌊(n-1)/2⌋] C[n,k](-1)^k (n-2k)^{n-1}
これはもっと簡易化できるか？ nが非整数の場合はどうなのか？ を問うつもりだったのだけど、
Gradshtejn, Ryzhikov_Tablicy Integralov (※)の p.471 に cos(mx) 付きの公式(一部誤植あり)を見つけて
あらためて導出してみたわけです。 たぶんこれ以上は簡単にならないのでしょう。
※なんでも載ってる数学公式集だと 数学者(名前は忘れた)が twitterで言ってました。
ググれば pdf が転がってます。 ロシア語なので地の説明文は全然分からず、公式の探し方には苦労します。 ∫[-∞,+∞] {sin(x)/x}^4 cos(5x) dx = 0
こんなのは一瞬で判定できるし...
∫[-∞,+∞] {sin(x)/x}^13 cos(9x) dx =
こんなのも...
n=13;m=9; Sum[ 2πn/(2n)!! Binomial[n,k] (-1)^k (n+m-2k)^(n-1), {k,0,Floor[(n+m-1)/2]} ]
⇒ 1361π / 159667200
厳密値が得られます。同じ計算機に頼りにしても数値積分(近似値)より遥かに強い結果です。 >>32
後半 ( n=1) のケース、複合同順みたいになってる箇所は間違い。
正しくは +{(m+1)＞0} +1/2 * {(m+1)=0} -{(m-1)＞0} -1/2 * {(m-1)=0}
( 中括弧の意味は {true} = 1, {false} = 0 )
最終結果は変更なしです。 つまりは(sinc(x))^nのフーリエ変換ですな >>31
頂点が隣接する格子点である正方形を通過する経路を考えることになる
途中格子点を通らなければ通過する正方形は辺を共有するものを辿ってつながっているので折り目を開くと(0,0)と格子点(a,b) (a+b)=9を繋ぐ経路となる
よってその最小値は(a,b)=(4,5),(5,4)の時で√41
途中格子点を通るなら通った格子点の数＋1だけ同様の議論をすればそのような経路では√41以下にはできないとわかる >>31
a=(0,1/4,1/5),b=(1/4,0,1/5),c=(1/4,1/5,0) として、例えば
4a、b、5c、6b、4a のように合計20工程進む。この時の通過点は
(0,0,0)→(0,1,4/5)→(1/4,1,1)→(3/2,2,1)→(3,2,11/5)→(3,3,3) で、
|a|=|b|=|c|=√(1/4^2+1/5^2)なので、距離は
20√(1/4^2+1/5^2)=√(5^2+4^2)=√41=6.40312...
3*3=9や、3+3√2=7.2426...や、3√5=6.7082...等より短い >>35
こんなのが積分できる！と浮かれて全く気づきませんでした。なるほどそうなりますね。 ∫[-∞,+∞] {sin(x)/x}^n cos(mx) dx = ... の件
一部修正のついでに 連続値の m に対応した。
せっかくなのでフーリエ変換 (n=1,2, .., 6 ) のプロットも追加した。
https://imgur.com/a/uGHMhTC >>39
日本語縛りでもしてるの？
いや別に英語でもいいけど >>40
英語だって if くらいしか使ってませんよね。
自分用の数式メモは、必要最小限にまで切り詰めるので自然言語はあまり残りません。
教科書にあり長い定理証明もノート1ページ、できれば半ページに収まるように頑張ってみたりします。 >>41
変わってますね
自分用のメモで後から見ても困らないならそれでいいと思いますが
人に伝えたいなら自然言語も使いましょうね f(x + y) = f(x) * f(y)
f(1) = 10
を満たす関数はg(x) = 10^x以外に、無数に存在することを示せ。 >>32
「以前に計算した事のある式」は↓にある。
森口・宇田川・一松「数学公式I」岩波全書221 (1956)
p.254 注3 1215
学コン・宿題ボイコット実行委員会@gakkon_boycott 9月1日
#拡散希望
#みんなで学コン・宿題をボイコットしよう
雑誌「大学への数学」の誌上で毎月開催されている学力コンテスト(学コン)と宿題は、添削が雑で採点ミスが多く、訂正をお願いしても応じてもらえない悪質なコンテストです。(私も7月号の宿題でその被害に遭いました。)このようなコンテストに参加するのは時間と努力の無駄であり、参加する価値はありません。そこで私は、これ以上の被害者を出さないようにするため、また、出版社に反省と改善を促すために、学コン・宿題のボイコットを呼び掛けることにしました。少しでも多くの方がこの活動にご賛同頂き、このツイートを拡散して頂ければ幸いです。
https://twitter.com/gakkon_boycott/status/1300459618326388737
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) >>44
ああ載ってましたか、さすが岩波ですね。
昔書いたメモより
(a,b＞0) ∫[-∞,+∞] sin(at)sin(bt)/t^2 dt = π min{a,b}
の導出を追加しました。 https://imgur.com/a/uGHMhTC (前のと同じリンク)
sinc^2 積分の応用例となっています。
何かネタ元はあったはず。twitterの誰か(黒木とか)だったかも知れない。
それと、
∫[-∞,+∞] sin(x^n)/x^n dx = ...
の導出過程も置いておきます。
普通に部分積分+αで求まってしまいます。きっとこれも公式集に載ってるでしょう。
そのフーリエ変換
∫[-∞,+∞] sin(x^n)/x^n cos(mx) dx
は sinc^n より遥かに難しそうで、ちょっと常人には手の届かない感じです。
それでも個々の数値に対しては(例. n=7; m=1)には、解析解をひねり出すアルゴリズムが存在するようです。 昔のメモから見つけた積分ネタをもう一つ
∫ [0,∞] ( sin(x)-cos(x) ) log(x) /√x dx = π^{3/2}/√2
https://imgur.com/a/rLXSe0G
わりと短いのに中々エグい変化球で攻めています。
自分でも覚えていないのですが、どこかの拾いネタを整理して書き留めたのでしょう。
そしてやはりWolfram先生は答えを知っています。でもステップ解説はありません。
Integrate[ (Sin[x]-Cos[x]) Log[x]/Sqrt[x], {x, 0,+∞} ] ⇒ π^{3/2}/√2 ≒ 3.9374
同値変形の式に対しては...
Integrate[ Sqrt[2] x E^(x/2) Sin[E^x -π/4], {x, -∞,+∞} ] ⇒ ≒ 3.49091
数値積分計算を出して終わりです。しかも少数一桁すら合ってません。計算時間制限が短い無料枠の限界です。
まぁ sinの位相変動が激しすぎる、しかも振幅が無限発散て... 。むしろ、よく収束させたなと褒めるべきでしょうか。
同じ式を Wolfram Engine(無料, 要インストール)で評価すると長考の末に正解を吐き出します。 覚えてないならメモ役に立ってないじゃん
ネタ元書いとけよ 自分みたい道楽者は 式の過程が追えればそれでいいですが、
本を書くような人はネタ元を気にした方がいいかもしれませんね。 >>46
∫[-∞,∞] {1-cos(2αx)}/(2xx) dx = π|α|,
sinの半角公式を用いて
∫[-∞,∞] {sin(αx)/x}^2 dx = π|α| ････ (10)
これを使えば
sin(ax)sin(bx)
= {cos((a-b)x) - cos((a+b)x)}/2 (積和公式)
= {1 - cos((a+b)x)}/2 - {1 - cos((a-b)x}/2
= {sin((a+b)x/2)}^2 - {sin((a-b)x/2}^2 (半角公式)
∫[-∞,∞] sin(ax)sin(bx)dx
= π(a+b)/2 - π|a-b|/2
= π min{a,b}
高木貞治：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
第4章 §48．p.169 (10) >>52 熟読してるとこういうのパッと出て来るんですねえ。
後で気づきましたが、この式は Borwein(ボールウェイン)積分の n=1 ケースそのものです。
検索トップの "高校数学の美しい物語" だと sinc^1 に帰着させて証明してます。
逆に Borwein積分を既知とすると...
0 ≦ a ≦ b , b≠0 の時
∫ [-∞,+∞] sin(at)sin(bt) / t² dt
= b ∫[-∞,+∞] sin((a/b)*bt)sin(bt) / (bt)² d{bt}
= b ∫[-∞,+∞] sin((a/b)t)/t * sin(t)/t dt
= b * (a/b) ∫[-∞,+∞] sin((a/b)t)/((a/b)t) * sin(t)/t dt (a/b ≦ 1)
= a π ∵ Borwein積分(n=1)
一般に
0 ≦ aₖ , { Σ[k=1..n-1] aₖ } ≦ aₙ ≠ 0 の時
∫ [-∞,+∞] sin(a₁t)sin(a₂t)・・・sin(aₙt) / tⁿ dt
= aₙ^{n-1} ∫[-∞,+∞] { Π[k=1..n-1] sin((aₖ/aₙ) t) / t } sin(t)/t dt
= { Π[k=1..n-1] aₖ } π ∵ Borwein積分
が成り立ちます。 >>47
∫ [0,∞] ( sin(x)-cos(x) ) log(x) /√x dx
はt^qのLaplace変換
∫ [0,∞] x^q e^(-sx)dx = Γ(q+1)/s^(q+1)
の両辺qで微分してq=-1/2、s=iの実部と虚部出しても出せるな
Γ'(1/2) (=√π(-γ-log4))とか出てくるけど消えるし >>53
0 < aₙ が断トツで大きく、
(Σ[k=1,n-1] |aₖ|) + (Σ[k=1,m] |bₖ|) < aₙ の時
∫ [-∞,+∞] sin(a₁t) sin(a₂t) ････ sin(aₙt)
* cos(b₁t) cos(b₂t) ････ cos(bₙt) / tⁿ dt
= (aₙ)^{n-1} ∫[-∞,+∞] {Π[k=1..n-1] sin((aₖ/aₙ) t)/t} * sin(t)/t dt
= {Π[k=1,n-1] aₖ}π, ( |aₖ| < aₙ)
森口・宇田川・一松「数学公式I」岩波全書221 (1956)
p.254 (上) "高校数学の美しい物語" にあるBorwein積分の証明を見てて気づいたこと。
sin(aₖx)/x = ∫[0,aₖ]dξₖ cos(ξₖx)
Π[k=1,n] cos(ξₖx) = 1/2ⁿ Σ[全ての±組み合わせ] e^{i(±ξ₁±ξ₂±...±ξₙ)}
と
sinc(x)のフーリエ変換
∫[-∞,+∞]dx e^{im} sinc(x) = if(|m|≦1, π, 0) (本来の境界値 π/2 (|m|=1)は計算に寄与しないので無視)
より
∫[-∞,+∞]dx {Π[k=1,n] aₖ*sinc(aₖx)} sinc(x) = ...
= π/2ⁿ * Volume[ [-a₁,+a₁][-a₂,+a₂]...[-aₙ,+aₙ] ∩ {(x₁,x₂,..,xₙ) ; |x₁+x₂+..+xₙ| ≦ 1} ]
つまり、2つの超平面で角を削られた n次元直方体の超体積で表せます。
Borwein積分の条件 a₁+a₂+..+aₙ ≦ 1 は「削られない」条件て事ですね。
特に
∫[-∞,+∞]dx sinc(x)^{n+1} = π/2ⁿ * Volume[ [-1,+1]ⁿ ∩ {(x₁,x₂,..,xₙ) ; |x₁+x₂+..+xₙ| ≦ 1} ]
です。
n=1, 2, 3 程度なら図形の切り貼りでも計算できます。
∫[-∞,+∞]dx sinc(x)² = π/2 * (2 - 0) = π
∫[-∞,+∞]dx sinc(x)³ = π/2² * (2² - 2*1/2) = 3π/4
∫[-∞,+∞]dx sinc(x)⁴ = π/2³ * (2³ - 2* (2√2)²(√3 /2)(1/2) * √(3*2²/3²) /3 ) = 2π/3
>>55
Borwein積分みたいな式って結構昔から知られてるんですね。
もっと最近の話かと思ってました。 アレ？ホント？
“直方体”を超平面“Σxi=0”出切った面積にならない？ >>55
cos(b₁t) cos(b₂t) ････ cos(bₙt) が寄与しない理由を考えてみました。
sin(aₖt)cos(bₖt) = 1/2 *{ sin((aₖ+bₖ)t) + sin((aₖ-bₖ)t) }
と
Σ[k=1,n-1] |aₖ±bₖ| ≦ Σ[k=1,n-1] |aₖ|+|bₖ| ≦ aₙ
より
与式 = 1/2 * { (a₁+b₁)*... + (a₁-b₁)*... } = a₁ * ...
なるほど、うまくできてるものですね。 >>57
e^{i(±ξ₁±ξ₂±...±ξₙ)x}
これが例えば ξ₁ にだけ負符号が付いてるケースを考えます
∫ [0,a₁] dξ₁ ∫ [0,a₂] dξ₂ ... ∫ [0,aₙ] dξₙ ∫ dx e^{ i(-ξ₁+ξ₂+...+ξₙ)x } sinc(x)
= ∫ [0,a₁] dξ₁ ∫ [0,a₂] dξ₂ ... ∫ [0,aₙ] dξₙ If( | -ξ₁+ξ₂+...+ξₙ |≦ 1, π, 0 ) {∵ sincのフーリエ変換 }
= ∫ [-a₁, 0] dξ₁ ∫ [0,a₂] dξ₂ ... ∫ [0,aₙ] dξₙ If( | +ξ₁+ξ₂+...+ξₙ |≦ 1, π, 0 )
このようにプラマイの組み合わせ毎にn次元空間の各象限が対応し、
それぞれに共通の条件 | +ξ₁+ξ₂+...+ξₙ | ≦ 1 が課されます。
総和で ∫ [-a₁, +a₁] dξ₁ ∫ [-a₂,+a₂] dξ₂ ... ∫ [-aₙ, +aₙ] dξₙ If( |+ξ₁+ξ₂+...+ξₙ |≦ 1, π, 0 ) = π * Volume[～]
を計算せよ。 という話になります。 >>59
あれ？
だってsinc(x)のフーリエ変換が rect(t)でしょ？
定数は無視して
じゃあ(sinc(x))^3のフーリエ変換はrect*rect*rect(x)でその値は
rect*rect*rect(x) = ∫ rect(s)rect(t)rect(x-s-t) dsdt
で特にx=0の時は∫[|s|≦1,|t|≦1,|-s-t|≦1] 1dsdtになると思うんだけど >>59
あ、わかった、ゴメン、その通りだ
>>60のnotationで-s-t=uとおいて(s,t,u)の空間では綺麗な正六角形だけど積分するために一文字消して射影することになるけど、その射影した像は“角を落とした直方体”になるな
吊ってくる ∫[-∞,+∞] {sin(x)/x}^n cos(mx) dx = 0 (|m|≧n)
∫[-∞,+∞] {sin(x)/x} cos(mx) dx = π, (|m|<1)
π/2, (|m|=1)
これをディリクレの不連続因子と云うらしい。
∫[-∞,+∞] {sin(x)/x}^2 cos(mx) dx = π(2-|m|)/2, (|m|≦2)
∫[-∞,+∞] {sin(x)/x}^3 cos(mx) dx = π(3-m^2)/4, (|m|≦1)
= π(3-|m|)^2 /8, (1≦|m|≦3) 結局convolutionが平行移動と可換、すなわちPを平行移動作用素とする時P(f*g)=(Pf)*g=f*(Pg)と(定数倍無視して)Hをヘビサイド関数とする時sinc(x)のフーリエ変換がH(t+1)-H(t-1)と二つのヘビサイド関数の平行移動の差でかける事を認めればPをt軸方向へ-1の平行移動、Qをその逆写像として(sinc(x))^3のフーリエ変換はH*H*H=H(t)(1/2)t^2により(定数倍無視して)
(PH(t)-QH(t))*(PH(t)-QH(t))*(PH(t)-QH(t))
=(PPP-3PPQ+3PQQ-QQQ)H*H*H
=(1/2)(H(t+3)H(t+3)^2-3H(t+1)(t+1)^2
. +3H(t-1)(t-1)^2-H(t-3)(t-3)^2))
になる >>62
n=1 のときは
∫[-∞,+∞] {sin(x)/x} cos(mx) dx = 0 (|m|>1)
|m|=1 では0でない。 恵羅夫妻は同伴で最近パーティに出席し、そこには他の3組の夫婦が同伴で出席していた。いろいろな人々の間で握手が交わされた。
どの人も自分の同伴者とは握手をせず、どの人も同じ人と2度以上は握手をせず、また当然だが、誰も自分自身とは握手をしなかった。
握手をしたあと、恵羅氏は彼の妻を含めた各人に、他と何回握手を交わしたかと尋ねた。驚いたことには、どの人も異なる回数を答えた。
さて、恵羅夫人は何回握手をしただろうか。 >>65
合計8人いる
自分と、自分のパートナーとは握手しないので、握手の最大回数は6回。最小回数は0回。
恵羅氏は7人に尋ねて、全て異なる回答を得たので、0回から6回までという回答が1回ずつあった。
恵羅氏を除いた握手の合計回数は6+5+4+3+2+1+0=21。全員の握手合計回数は偶数で無ければならないので、
恵羅氏の握手の回数は、1,3,5のいずれか。1あるいは5の場合、矛盾が発生するので、恵羅氏の握手の回数は3
さて、どこかに、6回の人Aがいる。その人とのパートナーaが必然的に0回。
1回と答えた人は、必然的に、Aとだけ握手した人bだ。そしてそのパートナーが5人と握手した人Bとなる。
2回と答えた人は、必然的に、AとBとだけ握手した人cだ。そしてそのパートナーが4人と握手した人Cとなる。
回答を得た7人のうち、6人つまり、AaBｂCcと命名した人物の握手回数は確定したが、
この中に「3人と握手した」と回答した人はいないし、その人のパートナーも現れていない。
従って、恵羅氏および、恵羅夫人は、二人とも3人と握手したと結論できる。 >>66
こういう解答ってOKなんですかね？
問題に欠陥がある場合には対応できないですよね。 前提条件を満たす解を下から組み上げていったら
a. 具体的な唯一解が得られた。 → 問題に欠陥なし
b. 解は存在しないか 複数ある事が分かった。 → 問題に欠陥あり
c. 途中で進め方が分からなくなった。 → 君(or 人類)にはまだ早すぎた問題だった
やろうと思えば全パターンを場合分けできるような問題で c はありえんでしょ。 結局最初の方のロジックで押し切ればいいんだな
対角は□は確定してる(自分とは握手してない)
6人と0人と答えた人がいる
□□◯◯◯◯◯◯
□□□□□□□□
◯□
◯□
◯□
◯□
◯□
◯□
5人1人と答えた人がいる
□□◯◯◯◯◯◯
□□□□□□□□
◯□□□◯◯◯◯
◯□□□□□□□
◯□◯□
◯□◯□
◯□◯□
◯□◯□
4人2人と答えた人がいる
□□◯◯◯◯◯◯
□□□□□□□□
◯□□□◯◯◯◯
◯□□□□□□□
◯□◯□□□◯◯
◯□◯□□□□□
◯□◯□◯□
◯□◯□◯□
3人と答えた人がいる
□□◯◯◯◯◯◯
□□□□□□□□
◯□□□◯◯◯◯
◯□□□□□□□
◯□◯□□□◯◯
◯□◯□□□□□
◯□◯□◯□□□
◯□◯□◯□□□ 合計8人いる。
自分や自分のパートナーとは握手しないので、握手の
最大回数は6回。最小回数は0回。
イナ氏は7人に尋ねて、全て異なる回答を得た。
0回の人、････、6回の人が1人(～2人)いる。
6回の人Aは、{A自身、Aのパートナーa} を除く6人全員と握手した。
a以外の人は1回以上握手したので、0回はaのみ。
6回の人が2人いたら、0回の人がイナい。(矛盾)
5回の人Bは、{B自身、Bのパートナーb、a} を除く5人と握手した。
a,b以外の人は2回以上握手したので、1回はbのみ。
5回の人が2人いたら、1回の人がイナい。(矛盾)
4回の人Cは、{C自身、Cのパートナーc、a、b} を除く4人と握手した。
a,b,c以外の人は3回以上握手したので、2回はcのみ。
4回の人が2人いたら、2回の人がイナい。(矛盾)
3回の人Dは、{D自身、Dのパートナーd、a、b、c} を除く3人と握手した。
残るD,dのペアは3回ずつ。
題意により、イナ氏はD、dのいずれか。
(問題)
ｉの握手回数を n_i とする。
ｉとｊが握手 ⇔ n_i + n_j ≧ 7, よくよく考えたら「自分の伴侶とは握手しなかった」という条件はほとんど使ってなくて「全員と握手したと答えた人はいなかった」で確定するな >>70
エラ夫妻かと思ったら人気者のイナ氏夫妻がモデルだったのか？ (問題)
ｉの握手回数を n_i とする。
ｉとｊがパートナー ⇔ n_i + n_j = 6, ni=0,6の時は明らか、nj=0,6も同じく
∴夫婦3組の場合に還元される
以下ry >>68
> n=8
> (co=combn(n,2)) # 8人から2人選ぶ
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14] [,15]
[1,] 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3
[2,] 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 4 5
[,16] [,17] [,18] [,19] [,20] [,21] [,22] [,23] [,24] [,25] [,26] [,27] [,28]
[1,] 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 6 7
[2,] 6 7 8 5 6 7 8 6 7 8 7 8 8
> (pair=co[,-c(1,14,23,28)]) #(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)は除外して24通り
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14] [,15]
[1,] 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3
[2,] 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 5 6 7
[,16] [,17] [,18] [,19] [,20] [,21] [,22] [,23] [,24]
[1,] 3 4 4 4 4 5 5 6 6
[2,] 8 5 6 7 8 7 8 7 8
2^24=16777216通りの組み合わせ >>75
2^24=16777216通りの組み合わせを総当りで求めたら４８通りが該当。
1,2がイナ夫妻の握手した人数
> SHAKES
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8]
[1,] 3 3 0 6 1 5 2 4
[2,] 3 3 0 6 2 4 1 5
[3,] 3 3 1 5 2 4 0 6
...
..
[46,] 3 3 5 1 4 2 6 0
[47,] 3 3 6 0 4 2 5 1
[48,] 3 3 6 0 5 1 4 2 １，２をイナ夫妻として握手した数が
[1,] 3 3 0 6 1 5 2 4
になる場合、どういう組み合わせになるかを図示してみた。
○が握手した組み合わせ
https://i.imgur.com/jZgkoZv.png ちょっと簡単かもしれませんが。
人々のどんな集団にも、知り合いの人数が同数であるような2人がいることを証明せよ。 >>2
なんでもかんでも期待値って高校生までにしないか？ >>77
3 3 0 6 1 5 2 4
-------------------------------------
4 ○ ○ × ○ × ○ ＼／ C
2 × × × ○ × ○ ／＼ c
5 ○ ○ × ○ ＼／ ○ ○ B
1 × × × ○ ／＼ × × b
6 ○ ○ ＼／ ○ ○ ○ ○ A
0 × × ／＼ × × × × a
3 ＼／ × ○ × ○ × ○ D
3 ／＼ × ○ × ○ × ○ d
-------------------------------------
d D a A b B c C >>78
n人の集団で可能な知り合いの人数は0～(n-1)人のnパターンだけど知り合いが0人の人と(n-1)人の人は同時に存在しないので、実際はn-1パターン
鳩ノ巣原理で同じ知り合いの人数の人がいる 前>>27
>>70
4人のご夫人のうち少なくとも1人が潔癖症であったなら、パートナーである某氏はだれとも握手ができない。恵羅氏以外の7人が7様の答えをしたわけで、ある夫婦2人がともに0人というのはおかしい。つまりどちらかがうそを吐いている。うそを吐いてまでして2人の潔癖を守ったのだ。ああ、なんということだ。
また逢いたい。イナ氏はそう思た思う。
うーぬ。
――戻ってこいやああああ!!! 量子の世界では鳩ノ巣原理は成立しないという。
一つの巣箱に鳩を複数入れるのは動物虐待。
量子の世界は動物愛護の精神が活きているｗ 前>>82
>>83いい名前ですね。けど妻が潔癖症か否かにかかわらず、妻の名前を出す必要はないと考えます。すなわちあと3組の夫婦が夫婦別姓ではないと読みとれるからです。 定理4.4.2の証明中の「つまり、どの辺も1度だけ使われる。」の言っていることが分かりません。
解説をお願いします。
定理4.4.1
木のどの2点もちょうど1本の道で連結している。
定理4.4.2
どんな位数nの木もn-1本の辺をもつ。
証明：
電話のネットワークを例にとって証明しよう。ある町で事件が起こり、他の町にメッセージを電話で送ろうとしたとする。
まず、その町の人は直接回線がつながっている町で電話する。電話を受けた町は直接つながっている町へ電話する。
電話を受けた町は、直接つながっている町でまだ電話を受けていない町へ電話する。…、グラフは連結なのでメッセージは
どの町へも伝わる。定理4.4.1より、どの町も事件のあった町とは1通りの道で結ばれている。つまり、どの辺も1度だけ
使われる。したがって、電話の回数は辺の本数と1対1に対応する。電話をかけないときに事件を知っている町はその町1つ
だけで、1回電話するたびに事件を知る町が１つずつ増える。したがって、点（町）の個数は辺（交信）の本数よりもちょう
ど１つ多い。 Rを木Tの任意のノードとする。
RからRを除くn-1個の各ノードへは一意的な道が存在する。
AをRとは異なる任意のノードとする。
R→…→A''→A'→Aという一意的な道が存在する。Aに辺A'-Aを対応させる写像φ : V(T) - {R} → E(T)を考える。
φは単射である。なぜなら、仮に、φ(A) = φ(B)となるような異なる2点A, Bが存在したとすると、
B = A'でなければならないが、道R→…→A''→A'→AのR→…→A''→A'がRからA' = Bへの一意的な道で
あるからφ(B) = φ(A') = A''-A' ≠ A'-A = φ(B)となって矛盾が発生するからである。
φは全射である。仮に、φ(A) = A'-AとなるようなノードA∈V(T) - {R}が存在しないような辺A'-Aが存在したとする。
RからA'、RからAへの一意的な道がそれぞれ存在する。これらの道には辺A'-Aは含まれていないことは明らかである。
RからA'への道、辺A'-A、AからRへの道を考えれば明らかなように、Tに閉路が存在することになってしまうが、これは
矛盾である。∴φは全射である。以上より、n-1 = #(V(T) - {R}) = #E(T)である。
>>85は多分このようなことを言いたいのだろうと推測しましたが、どなたか>>85の文章を解読できる方いますか？ 図のように半径2cmの円が6個あります。
となり合う円はすべてぴったりとくっついているとします。
周りにひもをたるまないようにかけました。
このひもの長さを求めなさい。
http://sansuu.ciao.jp/essei/img43/image89[1].jpg >>87
円に接触している部分の紐の長さ: 2π r ( r = 2 cm )
(「接触円の中心」から「紐の上の点」に向かうベクトルがどう動くか考えれば分かる)
接触していない部分の紐の長さ: 6 * 2r
(見れば明らか)
以下略 前>>84
>>87
4×6+2π×2=24+4π
=36.5663706144……(㎝) 前>>90
>>87
円環状に配置したときがもっとも陣地は広くなる。葡萄島のとき、一個一個となりあわせで陣地広げるばかいないだろ。 前>>91
>>87
答え書き忘れた。
∴約36.566cm 前>>92
>>87
もし５つの円が円環状に並び、そのうちの１つが外側のもっともほかの円と離れるように外接円を持つならば、
4π+12+4×4sin63°=28.1303967111……
∴約28.13cm 前>>93どうせなら4人ぐらいで葡萄島やる場合の面積出す問題のほうが面白そう。 これが中学入試の問題なんだよなぁ。
鎖の形よらないのには驚き。
同じ大きさのコインが10枚あり，9枚は鎖状につながって並んでいます。
図のように，コインCを9枚のコインのまわりをすべることなく回転させます。
ただし，その途中で9枚全部に接していきます。
一周してもとの位置にもどるまでに，コインCは何回転するでしょうか。
https://i.imgur.com/urVrSjo.jpg >>95
>>86 の考え方にちょっと加えると解ける。 >>96 の2倍になる。
間違えた。
2 * ( 1 + (n*π/3) / 2π ) で >>97 が正しい。 あーそっか
全体としての1回転もあるから(1+π/3)+1か 前>>94
>>95
コインCは5回転して戻ってくる。
∴公転周期が2年なら10年かかる。 ラスロウ・ロバース他『入門 組合せ論』共立出版 (1985)
（秋山 仁＋ピーター・フランクル翻案) 136p．2090円
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320013407
平面上のどの2本も平行でなく、かつどの3本の直線も一点で交わらないようなn本の直線によって決定される領域の個数を求めよ。
普通に解くのではなく、オイラーの公式を利用してください。 k本目の直線は既存の(k-1)本の直線と交わって、k個の区間に分かれる。
頂点が k-1個、面がk個増える。
v = n(n-1)/2, f = n(n+1)/2 +1
各直線は n-1本の直線により n個の区間に分かれる。辺は全部で
e = nn,
∴ v-e+f = 1, (オイラの定理) >>∴ v-e+f = 1, (オイラの定理)
そこの証明を与えてもしょうがない。
それを前提として
領域の数は幾つか、に答えよというのが問題の要求だから。 >>102
イナ先生が速攻で正解を返してくるなんて芸風を変えたの？ >>108
いや、∴以降にミスがあるからいつもの芸風
蛇足の故事の好例とも言える >>109
なるほど、自転と公転を入れ替えていたか、やはり、芸人の達人技だわｗ 自分で計算した答えがイナさんと一緒だと不安になるよね >>105
各直線は n-1本の他直線により n個の区間に分割される。
両端の半直線（「毛」と呼ぶ）を省いて n-2個の線分を残せば
閉グラフになり
v = n(n-1)/2,
e ' = n(n-2),
閉領域の個数はオイラーの定理により
f ' = e ' - v + 1 = (n-1)(n-2)/2,
また、半直線(毛)が2n本はえているから開領域の個数も2n。
よって
f = f ' + 2n = n(n+1)/2 + 1, 前>>104
周期間違えて5年で帰ってきたりせんやろか。 ラスロウ・ロバース他『入門 組合せ論』共立出版 (1985)
（秋山 仁＋ピーター・フランクル翻案) 136p．2090円
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320013407
一見簡単そうに見えて、かなりの難問だと思った問題です：
3-正則グラフで1-因子を持たないグラフの例を示せ。
【注釈】
3-正則グラフとは、各点の次数が3であるようなグラフのことです。
1-因子とは各点の次数が1であるような全域部分グラフのことです。（完全マッチングをもつグラフのことです。） 訂正：
誤り：（完全マッチングをもつグラフのことです。）
正しい：（完全マッチングのことです。） 前>>115前でいう婚活サイトってやつ。言葉にするとあまりに陳腐な物語だよね。 >>121
すみません。勘違いしていました。確かにK4は3-正則グラフですね。
でも、1-因子は明らかに持ちます。 ┏┳┓
┣┫┣━A
┗┻┛
のコピー３つをAでつなぐ３つのふ房のうち２つはAとペアリングできない
Aとペアリングできない房は5頂点のグラフになるので内部で完全マッチングできない □□□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□■□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
2^n × 2^nのチェス盤から
1つのマス目だけ取り除いた欠損チェス盤は
以下のL字牌で敷き詰められることを証明せよ
□
□□ 面白い問題見つけてきました。私も証明してみましたが、エレガントさに関しては模範解答に完敗してしまいました。
1から2nまでの整数のなかから任意にn+1個の数を選び出したとき、その中に一方が他方を割り切るような2整数が必ず存在することを示せ。 1～2n の各数は、奇数または奇数と2の累乗の積として一通りに表わせる。
奇数は 1,3,5,････,2n-1 のn個だから、n組に分類される。
{1,2,4,8,････}
{3,6,12,････}
{5,10,････}
n+1個の数を選ぶと、ディリクレの部屋割り論法により、
2つは同じ組に属する。(終)
なお、n+1,n+2,････,2n のn個はすべて別の組に属する。
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~ksakai/puzzle-solu.pdf
坂井公氏のHP
下の方にある「数理的ヒラメキで解くパズル」
問題１ (b)
http://www13.plala.or.jp/isemba/PUZZLE/b211.pdf
問題３ (2) >>128
追加問題
[前スレ.988] のように
短辺が 1, 2, …, 2^{n-1} であるn個のL形に分解して、
それを更に分解したものに限るか？
[前スレ.994] 難しいと思いますが、一応出題しておきます。
以下の図の5個の単位立方体を横に5個重ね合わせた立体をSとする。Sの5×1のサイズの4側面の各々に、重複することなくすべて異なる色が現れるようにできるか？
できるならばどのように5個の単位立方体を配置すればいいか？
https://i.imgur.com/IsTcwpS.jpg 前>>120
>>133
同じ色が並んじゃうよ。
せやて五色しかないんやで？ >>133
bとwは計7つ消えないといけないが1,2,4からは一個ずつしか消せないから3,5から4個消さないといけない
∴ 3:wgry、5:ygrwが残る
124からはw2個、bygrが一個ずつ消えるがygrは1,2,4から1個ずつしか消せない。
1,2,4からygrのいずれが消えるのかで6通りの可能性があるが、それぞれb,wが一個、二個と消えるのは1からywが消える場合のみ
∴1:bbrgが残る
ここで(i)2:bwyg, 4:bwryが残る、(ii)2:bbyr,4:wwgyが残る
のいずれか
(i)のとき
1がbbが繋がっているので2,4で残るbもつながる
2:bwygとしてよく、yが重ならないことから4:ybwrときまる
y,rから5:wrgyと決まるが、3の入れようがなく不適
(ii)のとき
4:wwgyとして良い
wの位置で場合わけして3:grywか3:rywgのいずれかしかないときまるが前者だと5の入れようがなく不適
∴3:rywg、5:ygrwときまる
この時1:grbb、2:bbyrと1:gbbr、2:brybはいずれも条件を満たす
この２つの解にD4(4次二面体群)を作用させた軌道の全体が解である >>135
ちょっとその解答は難しくて読む気がしませんが、ロバースの本にある解答は、グラフを利用して解くというものです。
ただ、グラフを利用するのが本質的なのかどうかが分かりません。単に、立方体を頭の中でイメージして回転したりさせるよりも、
グラフ上で考えたほうがそのような作業が不要になるから楽に解が見つかるというだけのことかもしれません。
あとでロバースらの解答をアップロードします。 https://imgur.com/a/X0JQwO2
これが解答です。
コンピュータを利用した機械的で効率的な解法に結びつきますか？ 前>>134
>>133
ルービックキューブが3個。
消しゴムだな。消しゴム2個だな。 >>128
□
□□
2x2の4マスだと欠損がどこにあっても
100%設置可能はすぐわかる
2^n × 2^n以外の6x6の36マスだと
欠損で35マス、3の倍数にならないから
設置不可能になるのもわかる
同じ2^n × 2^n以外の10x10の100マスは
欠損で99マス、3の倍数になるけど設置可能
か否かもわかりません(>_<) >>139
10*10は出来るね
□□
□■
■■
□□
□■
■■
□□
□■
□■■□■□□■□□
□□□□■■□■■□
10*10の一部であるこれがこのように敷き詰められるから残りの部分に欠損が来るようにすれば、それは8*8に1つの欠損がある盤ってことになるから敷き詰め可能 まだ問題の意味も理解していませんが、解答が4ページにわたっているため難問だと推測します。
ロバースの本にはa_n = ***であることを証明せよとなっていますが、ノーヒントで出題することにします。
n≧4とする。
電話を通して、n人の人々の間でゴシップが広がるとする。n人の各自が、他人の知らない独自の情報をもっている。AとBの間の1回の通話で、
Aは自分の聞いたすべてのゴシップをBに伝え、Bも自分の聞いたすべてのゴシップをAに伝える。n人の人々の間で、すべてのゴシップが、すべての
人々に伝わるのに必要な最少通話数をa_nで表す。a_nを求めよ。 ラスロウ・ロバース他『入門 組合せ論』共立出版 (1985)
（秋山 仁＋ピーター・フランクル翻案) 136p．2090円
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320013407
の問題の中で一番難しい、とっておきの問題だと思います。
この問題の後は、簡単な事実の紹介だけでこの本は終わります。 今まで一度も数学書を最後まで読めたことはないのですが、ロバースらの本が最初の本になりそうです。
>>141の解答さえ理解すれば最後まで間違いなく読めるからです。 解答がない場合には、明日、a_n = ***を書き込みします。それ以後はa_n = ***であることを証明せよという問題に変わります。 >>142
問題を解くことを完全に放棄して解答を理解するだけでも大変です。
翻訳書ということもあって、何が言いたいのか理解するのに時間がかかります。 >>142
解答の中に、読者自身検証せよという箇所を見つけてしまいました。 >>147
素晴らしい！よく分かりますね。
ということで予定より早めて問題を変更します：
n≧4とする。
電話を通して、n人の人々の間でゴシップが広がるとする。n人の各自が、他人の知らない独自の情報をもっている。AとBの間の1回の通話で、
Aは自分の聞いたすべてのゴシップをBに伝え、Bも自分の聞いたすべてのゴシップをAに伝える。n人の人々の間で、すべてのゴシップが、すべての
人々に伝わるのに必要な最少通話数をa_nで表す。a_n = 2*n - 4であることを証明せよ。 >>148
今、この問題について調べたところ、1971年に証明されたとのことです。 a_(n+1)≦(a_n)+2はすぐ分かるからa_n≦2n-4は示せるけど、それが本当に最小かどうか示すのが難しそう >>150
ロバースの証明の「第1段」で、まさにその不等式からa_n ≦ 2*n-4を導いています。
a_n ≧ 2*n-4の部分が難しくてまだ理解できません。 >>141
各人を頂点とし、時刻tにi-jで通話がある時、i-j間にラベルtをつけた線を引いたグラフを考え、コレをGとする
時刻tの通話が終わった時点でvの獲得した情報をS(v,G,t)とする
nを頂点の数とし、辺の集合が2n-4未満の反例があるとして辺の数が最小となるもの(所謂最小反例)をとる
まず最小反例には二重辺がない事を示す
もしそうでないとしてvw間に二重辺があるとする
n=4なら辺の数が2n-4=4未満なら二重辺があると連結にすらならないのでありえない
そこで新しいグラフHをグラフGから頂点v,wを除き、新しい頂点xを追加し、辺は端点がv,wを含まないときはそのまま、いずれか一方のみがvかwのときはv,wに繋がってる端点をxに取り替え、両方ともv,wのときは完全に取り除く
コレで得られるHは頂点の数がn-1で辺が二個以上取り除かれている反例となり、nの最小性に矛盾
以上で二重辺がない事は示された
v-w1をラベル最小の辺としてv-w1、v-w2、‥v-wiをvに繋がっている辺全体としてラベルをt1<t2<‥<tiとする
この時新しいグラフHを頂点はvを取り除いたものとし、辺はvに繋がっているもの全部を取り除き、新たに辺w(ι-1)-wιを追加し、ラベルtιをのせる
このグラフはやはり反例を与えるのでnの最小性に反する n=4のときは、
{A1,A2}, {A3,A4}, {A1,A3}, {A2,A4}という通話列ですべてのゴシップがすべての人に伝わります。
a_4 ≦ 4
n=5のときには、n=4のときの前後に{A,E}を加えて、
{A1, A5}, {A1,A2}, {A3,A4}, {A1,A3}, {A2,A4}, {A1, A5}という通話列ですべてのゴシップがすべての人に伝わります。
a_6 ≦ 6
以下同様にして、n = k+1のときには、n = kのときの通話列の前後に{A1, A_{k+1}}を加えれば、
すべてのゴシップがすべての人に伝わります。
以上から、a_n ≦ 4+2*(n-4) = 2*n-4 >>152
多分あっているんだろうと思いますが、ジャッジできません。
多分、ロバースらの解答と同じ解答なのだと思いますが、ロバースらの解答も>>152もよく分かりません。 前>>138
>>133
〼〼〼｜１｜２｜３｜４｜５
上の面｜ｂ｜ｙ｜ｗ｜ｇ｜ｒ
手前面｜ｙ｜ｒ｜ｇ｜ｂ｜ｗ
下の面｜ｇ｜ｂ｜ｒ｜ｗ｜ｙ
向こう｜ｗ｜ｂ｜ｙ｜ｒ｜ｇ
あれ?! 前>>155
あってる。
2のｂｂがとなりあうのは構わない。
1×5の面が4つとも五色に並んでる。 >>141の解答です：
https://imgur.com/a/Ufu3MRl
補題6.2.1が分かりません。通話列Tがm-1人のすべての情報をm-1人全員に伝えていることの理由が分かりません。
解説をお願いいたします。 >>133
プログラムで探索しました。
独立な配置法は下の4通りだと思われます。
[wgyb] [rbby] [yrgw] [bwrg] [gywr]
[wgyb] [bbry] [yrgw] [rwbg] [gywr]
[rgbb] [bbry] [gryw] [ywwg] [wygr]
[rgbb] [bbry] [yrgw] [wwyg] [gywr]
http://codepad.org/H1IcR4J6 前>>156
>>159俺のは2行目のと同じですね。 前>>160
>>161
マッチが1本から2本に増えただけやないか。
向き互い違いにして、しかも1本目ちっとも動いてへんし。
問題は1本動かせってなってるやん。
4本じゃないし。1本のマッチ動かして4本の残像を描けってこと？ 欠損がセンター4マスに集中している時は
面積四倍サイズのL字に依存しなくても
敷き詰められる
□□□□
□■■□
□■■□
□□□□ － y ＋ 1 ⇒ ｜y｜－ 1
先頭の横棒を縦にし、＋の縦棒を前にずらした。
－ y ＋ 3/2 ⇒ ｜y｜－ 3/2
先頭の横棒を縦にし、＋の縦棒を前にずらした。
ぜんぶで4本動かした。 x^2/4+y^2/4+(1/2)xy sin135°
=(1/4)(x^2+y^2+√2)
=(1/4)(x^2+y^2-2xy cos135°)
=100/4
=25 前>>163
>>166
AB=x,CD=yとおくと、
x^2+(x+y√2)^2=100
2x^2+2xy√2+2y^2=100
x^2+xy√2+y^2=50――――(イ)
△AED∽△BECで2△AED=△BECだから、
AD=5√2
△AED：△ECD=AE：EC=x：y√2
△AED：y^2/2=x：y√2
△AED=xy^2/2÷y√2=xy/2√2
△BEC=xy/√2
∴ABCDE=△ABE+△BEC+△ECD
=x^2/2+xy/√2+y^2/2
(イ)を代入し、
=25 >>108
イナ先生が速攻で正解を返してくるなんて芸風を変えたの？ 受験問題で答えだけ出せばいい場合ならとりあえずズルして答え出すけど、
ひらめき問題って書かれてるってことは何か簡単にわかる方法があるってことなんかなあ 自分は△ABEを右上Dまでスライドさせて
その形を4枚合わせて一辺10の正方形を作りました 前>>168
>>169たまたまだよ。
今回も、チェバとメネラウスで遊びたかったけど答えが出てしもて。 BCの中点をMとすると AM=DM=5, ∠AMD=90°
A,M,Dを頂点とする正方形の残りの頂点をFとすると
⊿ABM≡⊿AEF, ⊿CDM≡⊿EDF
それぞれについて, 左辺を切り取って右辺に重ねることにより
(5角形ABCDE)=(正方形AMDF)=5^2=25
これなら割と簡単に思いつくのでは？ ∠CBD = β,
BC = 2R,
とおく。題意より
β + γ = ∠BEC = ε,
⊿ABC = AB･AC/2 = RR sin(2γ),
⊿BCD = BD･CD/2 = RR sin(2β),
ΔABE = AB^2 /(2tan(ε)) = RR{1-cos(2γ)}/tan(ε),
ΔCDE = CD^2 /(2tan(ε)) = RR{1-cos(2β)}/tan(ε),
この4つを足して2で割ると
S = RR{cos(ε) - cos(2ε)cos(β-γ)}/sin(ε), ∠ACB = γ,
∠CBD = β,
BC = 2R,
とおく。題意より
β + γ = ∠DEC = ε,
でした。 BA,CDを延長して交点をFとし（Eは⊿FBCの垂心）,
線分AF上にAG=ABとなる点G, 線分DF上にDH=DCとなる点Hを取ると
⊿ABE≡⊿AGE
⊿DCE≡⊿DHE
⊿EBC≡⊿GEF≡⊿HFE
(5角形ABCDE) [上の3種のパーツ1つずつ]
=(4角形FBEC)/2 「(上の3種のパーツ2つずつ)/2」
=((EF*BC)/2)/2 [BC⊥EF]
=((10*10)/2)/2=25 前>>173
やっぱり>>168が面白い。まともに三角形の相似で立式したら答えが出てしまってなにも遊ばせてもらえないところが、してやられた感が半端なく、面白い。 司法試験予備試験より
〔第 27 問〕
地球の大きさは，紀元前３世紀頃にエラトステネスによって初めて求められた。次の文章を読み，エ
ラトステネスが求めた地球の大円の円周の長さは，実際の長さの何％に当たるか，最も近いものを，後
記１から５までの中から選びなさい。
当時，エジプトのアレクサンドリアに住んでいたエラトステネスは，夏至の日に太陽が頭の真上から
7.2 度南に傾いて南中することを知った。その南方に位置するシエネ（現在のアスワン）では，夏至の
日に太陽の光が天頂から深い井戸の底を明るく照らすことが知られていた。エラトステネスは，これら
に基づいて，地球が球形であること，地球と太陽の距離は極めて遠いことを仮定し，地球の大円の円周
の長さを求めた。なお，シエネはアレクサンドリアの 925 ㎞真南にあるとする。
１．85％
２．95％
３．105％
４．115％
５．125％ 925km × 360°/7.2°=46250km=40000km×115.625% >>181
結局、地球の大円周の長さを知っているかを問う問題だよね。 法関係だし、メートル法の歴史についての知識を問う試験でね？ 前>>178
>>180
地球の半径をrとおくとその外周は2πr=925×(360°/7.2°)
=46250(km)
地球の外周は北極と南極を結ぶ方向だと赤道よりやや短くなる。おそらく地球の自転により遠心力がかかり赤道上ではやや膨らんでるんだ。
それはさておき南北方向だと地球の外周は40009kmとのこと。
46250/40009=1.155……
∴4番 115% http://benesse.jp/teikitest/index.html
ベネッセ 教育情報サイト(HP)
> 高校理科
> 地学基礎
> 【地球の概観と構造】エラトステネスの方法について アレキサンドリア 北緯 31.20194ﾟN 東経 29.91611ﾟE
アスワン 北緯 24.08889ﾟN 東経 32.89972ﾟE
差 ⊿θ = 7.11305° ⊿φ = 2.98361°
http://jpn.timegenie.com/latitude_longitude/country/eg
http://www.kyorikeisan.com/ido-keido-kensaku/idotokeidonorekishi/2958.aspx
最短距離 843 km (大圏コース)
http://www.ic.daito.ac.jp/~mizutani/gps/measuring_earth.html
を用いて赤道半径Rを推定せよ。
エラトステネス「俺もそれが欲しかったんだが～～～。ぐやじ～～～」 平均緯度 θ = 27.645° として cosθ = 0.88584
2つの都市は
東西方向に 0.052074 R cosθ ≒ 0.04613 R
南北方向に 0.12415 R
離れているので距離は 0.1324 R
赤道半径 R = 843/0.1324 = 6367 (km)
赤道一周 2πR = 40005 (km) 平均緯度 θ = 27.645° として cosθ = 0.88584
2つの都市は
東西方向に 0.052074 R cosθ ≒ 0.04613 R
南北方向に 0.12415 R
離れているので距離は 0.1324 R
赤道半径 R = 843/0.1324 = 6367 (km)
赤道一周 2πR = 40005 (km) > ai=31.20194
> ak=29.91611
> bi=24.08889
> bk=32.89972
> u=pi/180
> A=c(cos(ai*u)*cos(ak*u),cos(ai*u)*sin(ak*u),sin(ai*u))
> B=c(cos(bi*u)*cos(bk*u),cos(bi*u)*sin(bk*u),sin(bi*u))
> AB=sqrt(sum((A-B)^2))
> d=843
> # asin(AB/2)*2*R=d
> R=d/(asin(AB/2)*2)
> R
[1] 6366.11
> 2*pi*R
[1] 39999.45
> alexandria = (31.20194, 29.916)
aswan = (24.08889,32.89)
geodesic = 843
toPos (latD,londD) = let
[lat, lond] = map (*(pi/180)) [latD ,londD]
in [(cos lat)*(cos lond), (cos lat)*(sin lond), sin lat]
angle pA pB = let
dist = sqrt $ sum $ map (^2) $ zipWith (-) pA pB
in 2*(asin $ dist / 2)
main = do
print $ (geodesic /) $ angle
(toPos alexandria) (toPos aswan)
----
6368.58913787278 あ、データ入れ損ねた
6366.109509462394
ですな 前>>184
>>186
南北方向に一周40009km
赤道上を一周40075km
半径の比は、極：赤道上＝40009：40075
843kmと2地点の緯度、2地点の経度により赤道半径は一意に決まる。
同じ北緯なら半径は同じなんだけど、
極と赤道で40075-40009=66(km)違う。
アレキサンドリアとアスワンでは緯度が違うから半径も違う。
アレキサンドリアの半径は北緯31.20194°だから、
40075-66×31.20194/90
アスワンの半径は北緯24.08889°だから、
40075-66×24.08889/90
おそらく球体上の正弦定理で、正確な値が出て、
40075kmに近い値になる。 実数 t の関数 F(t) を広義積分
F(t) := ∫[0,∞] cos(tx)/(1 + x^2) dx
によって定める。
F(t) = (π/2)*e^(-|t|)
となることを示せ。 F(0) = ∫[0,∞] 1/(1+xx) dx = [ arctan(x) ](0,∞) = π/2,
t≠0 のとき
F "(t) - F(t) = 0,
F(t) = c1･e^t + c2･e^{-t}, nを2以上の自然数とする
棒にランダムにn個の点を付ける(棒上一様分布)
それらの点を折る位置として、棒を折ったときに(n+1)角形を作ることが出来る確率を求めよ. 赤道半径を R
極半径を 0.9966471893 R とする。
(扁平率 1/298.2572221)
緯度 31.20194ﾟN における断面の
半径r = 0.8545742 R,
赤道面からの距離 0.51758809 R,
緯度 24.08889ﾟN における断面の
半径r = 0.9124013 R,
赤道面からの距離 0.40792452 R,
2都市の距離 (大圏)
0.132420 R
R = 844.59 / 0.132420 = 6378.137 (km)
2πR = 40075.0167 (km) >>195
n個の片方の端点からの距離をy1～ynとする
条件y1<y2<‥<ynを科しても確率は変わらない
n+1角形ができる条件はyn<1/2である
一方でn次元ユークリッド空間の領域xi>0,Σxi<1から一様に(xi)を選びy1～ynをyi=x1+～+xiと定めたとき、コレは測度空間の同型を与えるのでこちらで測ってよい
(xi)の中での全空間の方程式は
xi>0,Σxi<1
でありn+1角形ができない条件は
xi>0,Σxi<1/2
であるからn+1角形ができない確率は(1/2)^n
よって求める確率は1-(1/2)^n >>196
楕円体上の測地線の長さはどうやって出したん？ 測地線の長さ？
そのまま出したんぢゃ、このスレの趣旨にそぐわねゑ。
そこでまづ
楕円面Eの中心よりも 0.003118744609 R だけ南の点を中心とし、
半径が R' = 1.0007160850259 R である仮想球面Sを考える。
そうすれば、
EとSは、緯度 31.20194ﾟN と緯度 24.08889ﾟN で交わる。
仮想球面S上の測地線はもちろん大円だから、長さは
2R 'arcsin(直線距離/2R ')
アレキサンドリア と アスワン のの直線距離は
√{(0.0738771434106 R)^2 + (0.109663567682 R)^2}
= 0.1322268142 R
より測地線の長さ
0.1323231927 R >>196
緯度 31.20194ﾟN における断面の
半径r = 0.854574209125 R,
赤道面からの距離 0.5175880864657 R,
緯度 24.08889ﾟN における断面の
半径r = 0.9124012924417 R,
赤道面からの距離 0.4079245187835 R,
赤道面からの距離の差
0.5175880864657 R - 0.4079245187835 R
= 0.1096635676822 R
赤道面に平行な距離は
0.0738771434106 R
∴ 直線距離は
√{(0.0738771434106 R)^2 + (0.109663567682 R)^2}
= 0.1322268142 R >>199
その仮想球面上の測地線と元の楕円体の測地線はズレない？ >>201
楕円面からちょとズレてる。そこで別法を････
楕円面の中心 O(0,0,0)
アレキサンドリア A(0.8534158039522 R, 0.0444808325706 R, 0.5175880864657 R)
シエネ S (0.9124012924417 R, 0 R, 0.4079245187835 R)
とすると、平面OASは
z = 0.447088893133175･x + 3.05829092742856･y
この平面と楕円面の交線 (大圏コース) に沿って移動すると
0.1323225665 R
こっちは楕円面上だけど、測地線からズレてる。 まぁ実際回転楕円体上の測地線を明示的に求めるのは無理なんだろな
オイラーラグランジュ方程式立式するのだけでもなんか難しそう
立ててもどうせ解けないんだろうと思うと立式してみるのも億劫になる
いい勉強にはなりそうだけど
まだ計算機で近似解求めるアルゴリズム作る方がやる気出るかな Oの 19.89 km ほど南にSの中心 O ' がある。
O ' から楕円面 (緯度 24.08889° ～ 31.20194° の帯) までの距離は
R ' ～ R ' + 0.00001012393 R
の範囲に収まっている。
仮想球面Sが最も深い所は、緯度27.6657742°で
0.00001012393 R ≒ 64.5 m
一方、直線ASの深さは
R ' - √{(R ')^2 - (直線距離/2)^2} = 0.0021863157 R ≒ 13.94462 km >>199 と >>203 の差は
0.1323231927 R - 0.1323225665 R
= 0.0000006262 R
≒ 3.994 (m)
かなり小さい････ >>203 を改良･･･
0.13232408676 R
0.13232408676 R - 0.1323231927 R
= 0.00000089406 R
≒ 5.702 (m) この作業意味あんの？
ホントに測地線距離求めたかったらまずもって測地線求めないと
楕円体上の2点について、それらを結ぶ測地線は一般に同一平面にのらんのでは？ 仰るとおり。
この場合は変分法で数値的に詰めるのが早いと思う。 前>>192
やっぱり現地を歩いて測らないと。
伊能忠敬のように。 >>195
>>197
最大の辺は yn の右とは限らず、左端でも途中でもよいので
n+1 通りを全体から引いて
1-(n+1)(1/2)^n
が正解かな
計算で出すなら、yn の座標を棒の中点を原点に置き直して
中点 → 右端：0 → 1/2
左端 → 中点：1/2 → 1
とすると、n個の点がつねに連続となって
全体は xi>0,Σ(i=1～n)xi<1
除く領域は xi>0,Σ(i=2～n)xi<=1/2
と数式を修正でき、等しい値が求まる >>211
一定の歩幅で歩き、歩数から距離を測る「歩測」の手法が採られた。
精度は劣るが簡便。
近距離では使えそうだが････ では遠距離では？
夜は天体観測で その地の緯度と方位を導き出した。
星が空に最も高く上る子午線通過時の高度を観測した。
その星と天の北極のなす角（既知）を差し引いて、
各地の緯度を算出。
深川(江東区) － 青森(上北郡)野辺地
間の距離を 146.6275 里 (= 575.846 km),
両者の緯度の差を 5.2°とし、
緯度１°= 28.1976 里 (= 110.740 km)
とはじき出した。
毎日夕刊 6/18, 8/20
１里 = 3.927272727 km 江東区 深川 (35.6767°N, 139.7970°E)
青森県 上北郡 野辺地町 (40.8667°N, 141.1333°E)
緯度の差 ⊿θ = 5.1900°,
緯度 35.6767ﾟN における断面の
半径r = 0.81324708609 R,
赤道面からの距離z = 0.57996746854 R,
緯度 40.8667ﾟN における断面の
半径r = 0.75732020773 R,
赤道面からの距離z = 0.65085419012 R,
⊿r = 0.81324708609 R - 0.75732020773 R
= 0.05592687836 R
⊿z = 0.65085419012 R - 0.57996746854 R
= 0.07088672158 R
∴ ⊿θ による直線距離は
L = √{(⊿r)^2 + (⊿z)^2}
= 0.09029254133 R
= 575.8982 km
= 146.641 里
半径 R'= 1.001279775462 R の仮想球面上の
大圏コースの距離
2R'arcsin(L/2R') = 0.09032316316 R
= 576.0935 km
= 146.690 里
これを緯度の差 ⊿θ = 5.1900°で割ると
緯度１°= 111.000 km 三角測量でも局地的に正確な地図は作れる。
しかし、それらをつなぐ際に歪んでしまう。
大域的に正確な地図を作るには天体観測によって
補正するのが有効と言われていた。
長久保赤水（1717～1801）の地図は天文学を取り入れた
ことで、日本で初めて経線と緯度が書かれたのが特徴。
「改正日本輿地路程 全図」(1779)
は庶民に広く流通した。
しかし、他人のデータの寄せ集めなので、
肝心要の所が抜けたり、つながりが悪かったりで、
精度はあまり良くなかった。
それを見て、どこを直せば良いか考えたのが
御隠居の伊能忠敬（1745～1818）
「大日本沿海輿地全図」(1821)
日経夕刊 5/14 緯度 1" の距離
http://ja.wikipedia.org/wiki/緯度
1 rad あたりの距離
ds/dθ = R(1-ee) / [1 - ee(sinθ)^2]^{3/2},
楕円面 rr + zz/(1-ee) = RR,
r = R cosθ / √[1 - ee(sinθ)^2],
z = R(1-ee)sinθ / √[1 - ee(sinθ)^2],
赤道半径 R = 6378.137 (km)
離心率の2乗 ee = 0.006694380229 1°の距離 ds/dθ
江東区 深川 110.953 (km/°)
青森県 上北郡 野辺地町 111.051 (km/°)
ds/dθ = 111.000 (km/°) となるのは
θ ≒ 38.186033°N 平面上に円のみ描かれている
コンパスによる作図のみでその円の中心を特定するにはどうしたらよいか？？ へー
調べたら定規とコンパスで作図できる点はコンパスのみで作図できるという定理があるのか >>219
以下“作図可能”は“コンパスのみで作図可能”の意味とする
補題1
与えられた２点PQと自然数nに対し|RS|=n|PQ|となるRSを作図可能
∵) まずPQを一辺とする正三角形を作図し、その新たにできた辺を一辺とする正三角形を作図し‥とすれば良い
補題2
半径rの円と|PQ|=a<rである２点が与えられたとき、|RS|=a^2/rであるR,Sを作図可能である
∵) 円周上に3点R,X,Yを|RX|=|RY|=aであるようにとる
XYの中点をZ,RZを2:1に外分する点をSとする
これはX,Y中心の半径aの2円の交点のうちRでない方なので作図可能
容易にRS=a^2/rである事が確かめられる
主張
半径Rの円が与えられたとき|RS|=rであるR,Sをコンパスのみで作図可能である
∵) |PQ|=a<rである２点PQを任意に選ぶ
補題2により|XY|=a^2/rとなるように作図可能
自然数nをna^2/r>aとなるように選べば補題1により|ZW|=na^2/rとなるZ,Wが作戦可能
そこで再び補題2より|UV|=a^2/(na^2/r)=r/nとなるUVが作図可能
そこで再び補題1により|RS|=rとなるRSが作図可能 ツイッターで拾った問題です
三辺の長さがsin(π/7),sin(2π/7),sin(3π/7)である三角形の面積は√q(qはある有理数)となります
qを求めてください a,b,cを3辺とする三角形の面積は
(1/4)√(-a^4-b^4-c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)
一方でθ=π/7とおく
cosθ,cos2θ,cos3θは方程式
8x^4-8x^2+1=4x^3-3x
のx=1以外の3解だから
8x^3+4x^2-4x-1=0
の3解
sin^2(θ),sin^2(2θ),sin^2(3θ)は
-8(1-2x^2)^3-4(1-2x^2)^2+4(1-2x^2)+1
=64x^6-112x^4+56x^2-7=0
の3解でそれぞれa,b,cとすれば
a^4+b^4+c^4=21/4, a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=7/8
よって面積は
1/4√(-21/16+7/4)=(1/16)√7=√(7/256) θ=π/7としてsinθ、sin2θ、sin3θ=sin4θの対角の大きさはθ、2θ、4θ
特に外接円の半径は1/2
よって面積は2R^2sinθsin2θsin4θ=(1/2)sinθsin2θsin4θ
f(x)=8x^3+4x^2-4x-1とおいて
7=f(1)=8(1-cosθ)(1-cos2θ)(1-cos4θ)
=64(sinθsin2θsin4θ)^2
∴ sinθsin2θsin4θ=(√7)/8
よって面積は(√7)/16=√(7/256) 前>>211
>>222
ヘロンの公式より、
√q=√s(s-a)(s-b)(s-c)
s=sin(π/7)+sin(2π/7)+sin(3π/7)
s-a=s-sin(π/7)=sin(2π/7)+sin(3π/7)
s-b=s-sin(2π/7)=sin(3π/7)+sin(π/7)
s-c=s-sin(3π/7)=sin(π/7)+sin(2π/7)
s(s-a)=｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝sin(π/7)+｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝^2
(s-b)(s-c)=sin^2(π/7)+｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝sin(π/7)+sin(2π/7)sin(3π/7) 正七角形と円周角を考慮すると
その三角形は複素平面で1/2,1/2ζ,1/2ζ^3と表せる
(ここでζ=exp(2πi/7)でありζ^7=1を満たす)
よってその面積Sは
S=1/2|Im(1/2ζ^3-1/2)(1/2ζ-1/2)*)
=1/8|Im(ζ^3-1)(ζ^6-1)|
=1/8|Im(ζ^2-ζ^3-ζ^6+1)
=1/8|(ζ^2-ζ^3-ζ^6-ζ^5+ζ^4+ζ)/(2i)|
ところで
(ζ+ζ^2-ζ^3+ζ^4-ζ^5-ζ^6)^2
=ζ^2+ζ^3-ζ^4+ζ^5-ζ^6-ζ^7
+ζ^3+ζ^4-ζ^5+ζ^6-ζ^7-ζ^1
-ζ^4-ζ^5+ζ^6-ζ^7+ζ^1+ζ^2
+ζ^5+ζ^6-ζ^7+ζ^1-ζ^2-ζ^3
-ζ^6-ζ^7+ζ^1-ζ^2+ζ^3+ζ^4
-ζ^7-ζ^1+ζ^2-ζ^3+ζ^4+ζ^5
=-6ζ^7+ζ+ζ^2+ζ^3+ζ^4+ζ^5+ζ^6=-7(ガウス和)
より
ζ+ζ^2-ζ^3+ζ^4-ζ^5-ζ^6は±i√7のいずれか(実際は+i√7)
よって
S=1/8|±√7/2|=√7/16、q=7/256 sin(7θ)/sinθ は θ = ±π/7, ±2π/7, ±3π/7 で 0 だから,
sin(7θ)/sinθ
= -64Π[k=1,3] {sinθ - sin(kπ/7)}{sinθ + sin(kπ/7)}
= -64Π[k=1,3] {(sinθ)^2 - sin(kπ/7)^2}
ここで θ→0 とすれば
7 = {8 sin(π/7) sin(2π/7) sin(3π/7)}^2,
∴ sin(π/7) sin(2π/7) sin(3π/7) = (√7)/8,
なお、sin(7θ)/sinθ = U_6(cosθ) = -f(cosθ) f(-cosθ), 前>>225
>>222
ヘロンの公式より、
√q=√s(s-a)(s-b)(s-c)
s=sin(π/7)+sin(2π/7)+sin(3π/7)
s-a=s-sin(π/7)=sin(2π/7)+sin(3π/7)
s-b=s-sin(2π/7)=sin(3π/7)+sin(π/7)
s-c=s-sin(3π/7)=sin(π/7)+sin(2π/7)
s(s-a)=｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝sin(π/7)+｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝^2
=3.84843290557
(s-b)(s-c)=sin^2(π/7)+｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝sin(π/7)+sin(2π/7)sin(3π/7)
=0.43388373911+0.76222933488+0.76222933488
=1.95834240888
q=7.53654936671
∴√q=2.74527764838 前>>228訂正。
>>222
ヘロンの公式より、
√q=√s(s-a)(s-b)(s-c)
s=sin(π/7)+sin(2π/7)+sin(3π/7)
s-a=s-sin(π/7)=sin(2π/7)+sin(3π/7)
s-b=s-sin(2π/7)=sin(3π/7)+sin(π/7)
s-c=s-sin(3π/7)=sin(π/7)+sin(2π/7)
s(s-a)=｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝sin(π/7)+｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝^2
=3.84843290557
(s-b)(s-c)=sin^2(π/7)+｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝sin(π/7)+sin(2π/7)sin(3π/7)
=0.43388373911+0.76222933488+0.76222933488
=1.95834240888
∴q=7.53654936671 前>>229
>>230
10°+30°=40°
∴a=40° >>230
底辺を B(0,0) C(1,0) とする。
∠A = 60°, ∠B = 80°, ∠C = 40°
A (tan(40)/{tan(80)+tan(40)}, tan(80)tan(40)/{tan(80)+tan(40)})
= (0.12888640 , 0.73095110)
∠DBC = 30°, ∠DCB = 10°,
D (tan(10)/{tan(30)+tan(10)}, tan(30)tan(10)/{tan(30)+tan(10)})
= (0.23395556 , 0.13507430)
AC = 1.13715804
AD = 0.60506916
CD = 0.77786191
∠ACD = 30°
正弦定理から α = 40°
う～む
AB ⊥ CD を使うのかな？ >>231
底辺を A(0,0) B(1,0) とする。
∠A = 9°, ∠B = 75°, ∠C = 96° (=x+y),
C (tan(75)/{tan(9)+tan(75)}, tan(9)tan(75)/{tan(9)+tan(75)})
= ( 0.95928876 , 0.15193641 )
∠DAB = 3°, ∠DBA = 51°
D (tan(51)/{tan(3)+tan(51)}, tan(3)tan(51)/{tan(3)+tan(51)})
= ( 0.95928876 , 0.050274193 )
CD = 0.10166222
BC = 0.15729615
CD = 0.06469080
正弦定理から
y = ∠BCD = 15°
x = 96° - y = 81°
う～む
AB ⊥ CD を使うのかな？ 前>>239
>>231
x+y=96
x=72
y=24 xを決定する方程式は
sin(96-x)/(sin24 sin3) = sin(x)/(sin6 sin 51)
変形して
sin(96-x) sin6 sin51 = sin(x)sin24 sin3
変形すればtan(x)=...の形になるので(0,π)には唯一の解しかない
x=81のとき
LHS×4=cos198+cos120+cos48+cos30
RHS×4=cos162+cos144+cos30+cos13
∴ LHS×4-RHS×4 = cos48 + cos36 - cos12 - 1/2
cos12 = aとすればこの右辺の2倍は
16a^4+8a^3-16a^2-8a+1
一方でb=cos24+isin24の最小多項式は
(x^15-1)(x-1)/((x^3-1)(x^5-1))
=8(x^8+1)-4(x^7+x)-8(x^6+x^2)+4(x^5+x^3)+1
だからcos24の最小多項式は
16x^4-8x^3-16x^2+8x+1
だからcos24の最小多項式は
16x^4+8x^3-16x^2-8x+1 よくよく考えたらx=81よりy=15を求めた方が楽だったのかな？ 前>>239
CDを延長したらなんでABと直交するんだろ？ 不思議。
AD上に点Eをとり点Eを頂角として△EACを底角６°の二等辺三角形にすることはできる。
∠BCE=90°
BDの延長線がACとの交点をFとして∠BFC=60°
∠ABC=75°
だから∠BCE=90°
ここまでできたんだけどな。 前>>245
y=90-75=15
または75-60=15
こういう図が描けないかな。 前>>246
>>231初等幾何的に解いたほうが面白いと思う。 >>243
cos48+cos36-cos12-1/2=0を示せば十分
からは
=-2sin30sin18+cos36-1/2
=-cos72+cos36-1/2‥①
ここで底辺1/2, 底角が72°の二等辺三角形の斜辺はcos36であるが、一方の底角の二等分線と対辺の交点で1/2とcos72に分かれるから
cos36=cos72+1/2‥②
①②より主張を得る
でもできるな 辺長が１の正５角形ABCDEを考える。
頂点Aから対辺CDに垂線AHを下すと
CH = DH = 1/2,
B,EからAHまでの距離は
cos(36),
cos(72) + 1/2,
と2通りに表わせるから
cos(36) = cos(72) + 1/2 … ②
でもできるな そりゃ、正5角形では辺・対角線の交角が36°の倍数だから…
θ = 72° とおくと
cos(48) + cos(36) - cos(12) - 1/2
= cos(120-θ) + cos(180-2θ) - cos(θ-60) - 1/2
= - cos(2θ) - cosθ - 1/2
= - {cos(-2θ) + cos(-θ) + cos(0) + cosθ + cos(2θ)}/2
= 0,
でもできるな
* {2(2xx-1) +2x +1}^2
= (4xx +2x -1)^2
= {T_5(x) -1} / (x-1),
x = cos(72) とおくと
(4xx +2x -1)^2 = {T_5(x) -1} / (x-1)
= {cos(360) -1} / {cos(72) -1}
= 0, >>240
AC = sin(B)/sin(A),
CD = sinβ/sin(β+γ),
ここに α = ∠CAD,
β = ∠DBC = 30°, γ = ∠DCB = 10°,
正弦定理
sin(150-α)：sinα = AC：CD,
より
1/tanα = AC/(CD･sin(30)) - 1/tan(30),
α = 40°
>>241
BC = sin(A)/sin(C),
BD = sinα/sin(α+β),
ここに α = ∠DAB = 3°, β = ∠DBA = 51°,
正弦定理
sin(156-y)：sin(y) = BC：BD,
より
1/tan(y) = BC/(BD･sin(156)) + 1/tan(156),
y = 15°
x = 96°- y = 81° >>231
暇つぶしにプログラム組んで計算させてみた。
# y=tan(A)(x-a1)+a2 ,y=tan(B)(x-b1)+b2
koten <- function(a1,a2,a,b1,b2,b){
A=a*pi/180
B=b*pi/180
x = (a1* tan(A) - a2 - b1 *tan(B) + b2)/(tan(A) - tan(B))
y = (a1* tan(A)* tan(B) - b1 *tan(A)* tan(B) + b2 *tan(A) - a2* tan(B))/(tan(A) - tan(B))
c(x,y)
}
# coordinates -> angle BAC
BAC <- function(B,A,C){
if(is.complex(B)|is.complex(A)|is.complex(C)){
a=c(Re(A),Im(A)); b=c(Re(B),Im(B)); c=c(Re(C),Im(C))
}else{a=A;b=B;c=C}
ab=b-a
ac=c-a
dot=sum(ab*ac)
bac=acos(dot/sqrt(sum(ab^2))/sqrt(sum(ac^2)))
return(c(rad=bac,deg=bac*180/pi))
}
c=koten(0,0,9, 1,0,180-75)
d=koten(0,0,3, 1,0,180-51)
B=1+0i
C=c[1]+1i*c[2]
D=d[1]+1i*d[2]
BAC(D,C,B)
実行結果
> BAC(D,C,B)
rad deg
0.2617994 15.0000000 >230
> a=koten(0,0,80,1,0,180-40)
> d=koten(0,0,30,1,0,180-10)
> A=a[1]+1i*a[2]
> D=d[1]+1i*d[2]
> C=1+0i
> BAC(D,A,C)
rad deg
0.6981317 40.0000000 >>231
作図できれば角度は計測できるので
数値を変えても計算できるように関数化してみた。
f <- function(
# https://pbs.twimg.com/media/EhYCb9IXcAUeqdH.jpg
DAB=3,
DAC=6,
DBA=51,
DBC=24){
# return the intersection point of two lines
# y=tan(A)(x-a1)+a2 & y=tan(B)(x-b1)+b2
koten <- function(a1,a2,a,b1,b2,b){
A=a*pi/180
B=b*pi/180
if(tan(A)==tan(B)) return(NA)
else
x = (a1* tan(A) - a2 - b1 *tan(B) + b2)/(tan(A) - tan(B))
y = (a1* tan(A)* tan(B) - b1 *tan(A)* tan(B) + b2 *tan(A) - a2* tan(B))/(tan(A) - tan(B))
c(x,y)
}
# coordinates of B,A,C-> angle BAC
BAC <- function(B,A,C){
if(is.complex(B)|is.complex(A)|is.complex(C)){
a=c(Re(A),Im(A)); b=c(Re(B),Im(B)); c=c(Re(C),Im(C))
}else{a=A;b=B;c=C}
ab=b-a
ac=c-a
dot=sum(ab*ac)
bac=acos(dot/sqrt(sum(ab^2))/sqrt(sum(ac^2)))
return(c(degree=bac*180/pi))
}
A=0i
C=koten(0,0,DAB+DAC, 1,0,180-(DBA+DBC))
D=koten(0,0,DAB, 1,0,180-DBA)
B=c(1,0)
c(x=BAC(D,C,B),y=BAC(D,C,A))
}
f()
> f()
x.degree y.degree
15 81 前>>247
>>230
50°+30°=80°
10°+30°=40°
頂角=180°-(80°+40°)=60°
各頂点から三又の分岐点までの直線を対辺まで延長し、交点を結ぶと相似な三角形の組が3対でき、
適宜メネラウスの定理を使い、αを頂角とする二等辺三角形が示せれば底角70°,α=40°となるんじゃないかと。 >>255（補足）
>230の方は数値を変えて
> f(10,30,30,50)
x.degree y.degree
20 40 てす
やっとソフバンスマホ全規制消えた？
測地線の求め方検索してもうた
1975年ですでにミリ単位まで計算できたのね 前>>256
>>231
x+y=180-24-51-3-6
=96
y=x/5とするとx+x/5=96
x/5=16=y
これではだめなの？ 前>>256
>>231
x+y=180-24-51-3-6
=96
y=x/5とするとx+x/5=96
x/5=16=y
これではだめなの？ sin(A+Δ)sin(A-B+90)sin(B-Δ)
=sin(Δ-A+B+X)sinΔsin(90-A+B-X)
が成り立つとき
sin(B+Δ)sin(B-A+90)sin(A-Δ)
=sin(Δ-B+A+X)sinΔsin(90-B+A-X)
も成り立つ
(AとBを入れ替えた等式が同値になる) 前>>259-260
>>231
AB=1とすると、
正弦定理より、
BC/sin9°=1/sin75°
BC=sin9°/sin75° 前>>262訂正。
>>231
AB=1とすると、
正弦定理より、
BC/sin9°=1/sin96°
BC=sin9°/sin96°=0.1572961498……
AC=sin75°/sin 96°=0.97124641577…… 前>>263
sin51°sin6°siny=sin3°sin 24°sinx
=sin3°sin 24°sin(96°-y)
=sin3°sin 24°(sin96°cosy-cos96°siny) sin ^2y=0.2113248654
siny=√0.211324865
y=27.36……
y≒27.37° >>264
正弦定理
sin(51)/AD = sin(3)/BD,
sin(6)/CD = sin(x)/AD,
sin(y)/BD = sin(24)/CD,
を辺々掛けたのでござるか。
1/tan(y) = sin(51)sin(6)/(sin(3)sin(24)sin(96))
+ cos(96)/sin(96),
ここで
sin(96) = cos(6), cos(96) = -sin(6),
だから
1/tan(y) = {sin(51)/(sin(3)sin(24)) - 1}･tan(6)
= 2 + √3,
tan(y) = 2 - √3 = {1 - cos(30)}/sin(30) = tan(15),
y = 15° >>265
{sin(51)sin(6)/(sin(3)sin(24)) + cos(96)}sin(y) = sin(96)cos(y),
sin(96) = cos(6), cos(96) = - sin(6) を入れて
{sin(51)/(sin(3)sin(24)) - 1}sin(6)sin(y) = cos(6)cos(y),
すなわち
(2+√3) sin(y) = cos(y),
両辺を2乗して
(2+√3) sin(y)^2 = (2-√3) cos(y)^2,
移項して
(√3){sin(y)^2 + cos(y)^2} = 2{cos(y)^2 - sin(y)^2},
√3 = 2cos(2y),
2y = 30°
y = 15° 前>>265なるほど>>266そうするのか。
>>231
AB=1とすると、
△ABCにおいて正弦定理より、
AB/sin96°=BC/sin9°=CA/sin 75°
BC=sin9°/sin96°=0.1572961498……
CA=sin 75°/sin96°=0.97124641577……
△ABDにおいて正弦定理より、
AB/sin126°=BD/sin3°=AD/sin51°
BD=sin3°/sin126°=0.06469079958……
AD=sin51°/sin 126°=0.9606052368……
△ADCにおいて正弦定理より、
AD/sin(96°-y)=CD/sin6°
CD=ADsin6°/sin(96°-y)
=ADsin6°/(sin96° cosy-cos96° siny)
△BCDにおいて正弦定理より、
BD/siny=CD/sin24°
siny=BDsin24°/CD
=sin3°sin24°sin(96°-y)/sin126°ADsin6°
=sin3°sin24°(sin96°cosy-cos96°siny)/sin126°
=sin3°sin24°(sin96°cosy-cos96°siny)/sin51°sin6°
=sin3°sin24°(cos6°cosy+sin6°siny)/sin51°sin6°
=(sin3°sin24°cos6°/sin51°sin6°)cosy-(sin3°sin24°/sin51°)siny
(sin51°-sin3°sin24°)siny/sin51°=(sin3°sin24°cos6°/sin 51°)cosy
sin^2y=｛(sin3°sin 24°cos6°)^2+sin^2(6°)(sin51°-sin3°sin 24°)^2｝/｛sin^2(6°)(sin51°-sin3°sin 24°)^2｝
cos^2y=0.00624238744……/0.00669057069
=0.93301270238……
cosy=0.96592582654……
cos15°=0.96592582628……
ちょっと誤差があるけど、
y=15° 前>>268
>>266-267は誤差がないっぽい。式変形で解いとるんだなぁ。
y=15°でぴったり決まっとんだなぁ。 まぁホントはほとんどごまかしてるのが多いけどなww 前>>269
cosy=(√6+√2)/4
siny=(√6-√2)/4
とすると、
cos^2y=(8+4√3)/4^2=(2+√3)/4
sin^2y=(8-4√3)/4=(2-√3)/4
cos^2y-sin^2y=√3/2
(cosy+siny)(cosy-siny)=√3/2=cos30°=sin60° 前>>272つづき。
cos^2y-sin^2y=cos2yだから、
cos2y=√3/2=cos30°
2y=30°
∴y=15°
違うやん、仮定したで出ただけやん。 立方体を対角線方向へ射影した図形は正六角形である
では4次元立方体を対角線方向へ射影した図形はどんな形になるか？
(ヒント:これは3次元図形でありwikiに名称のある多面体となる)
また、この多面体の体積は元の4次元立方体の超面(面といってもこれは立方体である！)の体積の何倍になるか？ >>274
対角線方向へ射影という言い方がマズいですね
(一番長い)対角線に垂直な方向への射影です 四次元超立方体の16個の頂点は
(0,0,0,0),(1,0,0,0),‥,(1,1,1,1)
として良い
A=(1,0,0,0),B=(0,1,0,0),C=(0,0,1,0),D=(0,0,0,1)、
N=(1/2,1/2,1/2,1/2)
として超平面N・P=0への射影を考える
A～Dの射影をa～dとして
a=A-1/2N、b=B-1/2N
∴ |a|^2=3/4, a・b=-1/4
∴a,b,c,dは一辺の長さが√2の正四面体の頂点をなす
適当に回転させて
a(-1/2,1/2,1/2), b(1/2,-1/2,1/2), c(1/2,1/2,-1/2),
d(-1/2,-1/2,-1/2)
と座標をとりなおせは
a+b=(0,0,1),a+b+c=(1/2,1/2,1/2)
により求める図形は一辺の長さが1の立方体の各面に高さ1/2の四角錐を張り合わせたもの(名前知らん)
体積は1+1/6×6=2で元の超立方体の面の体積の2倍 形状はともかく体積だけならすぐ求まるんだな
d次元の超立方体の各面の法線ベクトルは(±1,0,‥0) (の並び替え)としてよく、最長の対角線と同じ向きの単位ベクトルは(1/√d,‥1/√d)としてよい
その内積は±1/√d
内積が+の面の影だけ考えればよい
その数はdで総面積もd。
射影する方向の方向ベクトルと面の法線ベクトルの内積がすべて1/√dだから面積は1/√d倍される
∴影の面積は√d Z(>0)∋m，n m<n m≠1として
f(n，n)=f(n，1)=1
f(n，m)=m*f(n-1，m)+f(n-1，m-1)
で定義される関数fを求めよ。 第二種スターリング数
相異なるn個のものをm組に分ける方法の数
f(n,m) = (1/m!)Σ[L=0,m] (-1)^{m-L} C(m,L) L^n,
Σ[0≦m≦n] (m!/n!) f(n,m) x^n y^m = １/{1 - (e^x -1)y},
数セミ増刊：「数学100の問題」日本評論社 (1984)
p.58 Σ[0≦m≦n] (1/n!) f(n,m) x^n y^m = e^{(e^x -1)･y},
に修正… >>274
これ>>276を元に一般次元で考えると
まず(n+1)次元の単位ベクトルたちの影e0,e1,…,enが
n次元に重心原点で辺長√2の超四面体Δを作る
超立方体の影Sは射影の線形性によりeiたちを使って
S={Σαiei|0≦αi≦1(i=0～n)}
と書け、この影は順序組(eσ(1),eσ(2),…,eσ(n))ごとに
錐(0,eσ(1),eσ(1)+eσ(2),…,Σeσ(i))という(n+1)!個の基本領域に分割できる
この錐の体積は錐(0,eσ(1),eσ(2),…,eσ(i))の体積と同じであり、これは超四面体Δの1/(n+1)
よって影Sの体積はΔの体積のn!倍
一方で一辺が√2の超四面体の体積はCayley-Mengerを使って1/n!√(n+1)と計算出来るから
結局、影Sの体積が√(n+1)と分かる
(これ自体の計算は>>278の方法がはやい)
Δの重心から頂点までの距離は
|ei|=|(0,…,1,…,0)-1/(n+1)(1,…,1)|=√(n/(n+1))
となっているから
逆に重心から頂点までの距離が1の超四面体の体積は
1/n!√((n+1)^(n+1)/n^n)となり
さらにこの頂点ベクトルたちをfi(長さは1)とすると
S={Σαifi|0≦αi≦1(i=0～n)}という領域の体積は
√((n+1)^(n+1)/n^n)となる
とてもキレイな形だけど、これを直接計算する方法あるんだろうか 「菱形12面体」
12個の菱形はすべて合同で、鈍角は 109.47°(4面体角)
空間充填多面体である。
ある平面に投影すれば、平面充填多角形。
2種類の菱形になる。
太い方は 108°と 72°
細い方は 144°と 36°
周期性を持たないが、5回対称性があり
「ペンローズ(*)・タイル」と呼ばれる。
ある種の準結晶のモデルと考えられる。
* 今年のノーベル物理学賞（ブラックホールの関係で） ペンローズタイルが5次元の格子からの射影で得られる話はなんとなく見た覚えがあったけど菱形12面体タイルからも得られるのか
菱形12面体自体は数字5と無縁に見えるんだが・・・
ところで一般にn次元立方体の対角射影図形は(n-1)次元空間充填図形になる感じなのかな 3次元を2次元に射影する場合
ある整数の組み(a,b,c)において(a+0,1,b+0,1,c+0,1)の８点の凸包からなる立方体を格子立方体とよび、Kabcで表す
これらの平面
α:x+y+x=0への射影を考える
補題
２つの格子立方体の内点の像は完全に一致するかdisjoint
∵ K000の内点(p,q,r)とKabcの内点(s,t,u)の像が一致するにはs=k+p,t=k+q,u=k+rとなる整数kが存在することが必要
このときa=[p]=k,b=[q]=k,c=[r]=kでありK000の像とKabcのそれは完全に一致する
系
格子立方体の集合Sで相異なる二元の内点の像がdisjointであるものの中で極大であるものをとればSに属する格子立方体の閉包の像はαを被覆する
系の条件を満たすSを一つとる
Sに属するKabcの面の射影像を考える
光源は(+,+,+)方向にあるとして直接光の当たる面が３つあり、Kabcの像はコレら3面の像の合併になる
またコレら３面の像の内点はdisjointである
以上によりSに属する格子立方体の面のうち光の直接当たっている面の全体の像はαを充満する あ、間違えた
(p,q,r)と(s,t,u)はそれぞれx+y+z=3/2,x+y+z=a+b+c+3/2上としてよい
を追加 >>283
それは 菱形12面体 (第2種) の方でござるよ。
投影図に5回軸が現れるなら、
各面 (合同な菱形) の対角線比は黄金比φ のはず。
鈍角は arccos(-1/√5) = 116.57°
次の5種類がある。
・菱形6面体 (尖った方)
・菱形6面体 (平たい方)
・菱形12面体 (第2種)
・菱形20面体
・菱形30面体
これらは空間充填多面体ではあるが、平行移動だけでは不可能で、
非周期的な充填となる。
その二次元投影図は ペンローズ・タイル と呼ばれ、3種類がある。 >>285-286
ウソ書いた
訂正
記号はそのままで
X=∪[a+b+c≧0]Kabc、Y=∪[a+b+c<0]Kabc、F=∂X=∂Y
とおく
光線の方向ベクトルn=(1,1,1)としてX上の点からnの方向に向かった点はまたXの点である
実際(p,q,r)がKabcの点ならa=[p],b=[q],c=[r]であるから容易に示せる
したがってp∈Fの各点についてそれが余次元2以上の単体の点でない所謂一般の点のときp∈Kabc, a+b+cなるa,b,cが一意に決まる
何故ならばp∈Fが一般の点の時pを含む単体は高々２つであるが、pを含む単体がXの中に二つ以上あるとpはXの内点となりp∈∂Yに反する
以上により全ての光線lにおいてF∩Fが一般の点のときp∈KabcでXに含まれるものがただ一つ決まる
よって∪[～]Kabc∩F)の射影像はαを充満する 前>>273
>>267
なんで{sin(51°)/(sin(3°)sin(24°)) - 1}sin(6°)/cos(6°)=2+√3なの？
なんで？ 前>>289
>>267
(sin(51°)/(sin(3°)sin(24°)) - 1)sin(6°)/cos(6°)
=3.73205080757……
=2+√3
たしかに値は合致した。
けど式変形で示さないと、
Google検索でいちばん近い値が15°だと特定した俺のやり方と同じじゃないか。 >>290
2+√3=tan(75°) に注意すると、成立して欲しい式は
sin(51°)/{sin(3°)sin(24°)} = tan(75°)/tan(6°) + 1
この式の 右辺-左辺 を 4 sin(6°)cos(75°)sin(3°)sin(24°) 倍すると
4 sin(3°)sin(24°){sin(75°) cos(6°)+sin(6°)cos(75°)} - 4 sin(51°)sin(6°)cos(75°)
=4 sin(3°)sin(24°)sin(81°) - 4 sin(51°)sin(6°)sin(15°)
=2sin(3°){cos(57°)-cos(105°)}-2sin(15°){cos(45°)-cos(57°)}
=2sin(3°){sin(33°)+sin(15°)}-2sin(15°){sin(45°)-sin(33°)}
=2sin(33°){sin(3°)+sin(15°)+2sin(15°){sin(3°)-sin(45°)}
=4sin(33°)sin(9°)cos(6°)-4sin(15°)sin(21°)cos(24°)
=2{cos(24°)-cos(42°)}cos(6°)-2{cos(6°)-cos(36°)}cos(24°)
=-2cos(42°)cos(6°)+2cos(36°)cos(24°)
=-cos(48°)-cos(36°)+cos(60°)+cos(12°)
={-cos(48°)+cos(12°)}-cos(36°)+cos(60°)
=2sin(30°)sin(18°)-cos(36°)+cos(60°)
=2*(1/2)*(√5-1)/4 - (√5+1)/4 + 1/2
=0
となることから、2+√3 が、厳密値であることが確認できます。 前>>290
>>292
tan75°=2+√3は、
1:2:√3の直角三角形の上に、
2辺が2で底角15°の二等辺三角形をくっつけて載せ、
確認できた。
51°+24°=75°が胡散臭いと思った。
図を正確に書くことでy=15°がわかりそうな気がした。
わかれば答案はこれでいい。
90°=51°+24°+y
∴y=15° 前>>293
→ABと→CDが直交することがわかれば、
つまり→AB•→CD=0が示せれば、
y=90°-(51°+24°)=15°
正確な値が示せる。 前>>294
B(0,0),C(c,0),AB=1とすると正弦定理より、
1/sin96°=AC/sin75°=c/sin9°
sin96°=cos6°だから1/cos6°=ACsin75°
Aから半直線BCに引いた垂線の足をHとすると、
AH=sin75°=(√6+√2)/4
BH=cos75°=(√6-√2)/4
ACsin6°=(√6+√2)/4
c+ACcos6°=(√6-√2)/4
(つづく) 前>>295
A((√6-√2)/4,(√6+√2)/4)
→CD=→CB+→BD=(-c,0)+……考え中。
→BA=((√6-√2)/4,(√6+√2)/4) >>294
tan(3x)=tan(x)tan(60°-x)tan(60°+x)
tan(5y)=tan(y)tan(36°-y)tan(36°+y)tan(72°-y)tan(72°+y)
という公式があります。（wikiの「三角関数の公式の一覧」の最下部を参照して下さい）
x=9 → tan(27°)=tan(9°)tan(51°)tan(69°)
⇔ tan(9°)=tan(21°)tan(27°)tan(39°)
x=27 → tan(81°)=tan(27°)tan(33°)tan(87°)
⇔ tan(3°)=tan(9°)tan(27°)tan(33°)
y=3 → tan(15°)=tan(3°)tan(33°)tan(39°)tan(69°)tan(75°)
⇔ tan^2(15°)tan(21°)=tan(3°)tan(33°)tan(39°)
これらから、tan(15°)=tan(27°)tan(33°)tan(39°) が得らます。
逆数にして、両辺にtan(3°)を掛けると
tan(3°)tan(75°)= tan(3°)tan(63°)tan(57°) tan(51°)
tan(3°)tan(51°+24°)=tan(9°)tan(51°)=tan(3°+6°)tan(51°)
これは、例の図において、AB⊥CDであることを示しています。 前>>296
>>297これはWikipediaに載ってるから公式です、というだけで途中過程が示されないと示されたことにはならない。
図を描くと15°+12°=27°は出る。
BDの延長線がACと60°をなすのもわかる。
その公式が公式か否かじゃない、どう立式してるかちゃんと示しなさい。
このままじゃ認めません。 前>>298
ABとCDのなす角は、
51°+24°+y=75°+y
または180°-(75°+y)=105°-y
これらが等しいならy=15°と特定できる。
tan9°/tan3°=tan75°/tan51°なら、
双方の傾きの割合が等しいから、
底辺ABと支軸となる直線CDの延長線が直交することは、
公式かどうかはともかくとして理解できる。 >>298
tan(a-x)tan(a+x)
=[sin(a-x)sin(a+x)]/[cos(a-x)cos(a+x)]
=[sin^2(a)cos^2(x)-cos^2(a)sin^2(x)]/[cos^2(a)cos^2(x)-sin^2(a)sin^2(x)]
=[sin^2(a){1-sin^2(x)}-cos^2(a)sin^2(x)]/[cos^2(a)cos^2(x)-sin^2(a){1-cos^2(x)}]
=[sin^2(a)-sin^2(x)]/[cos^2(x)-sin^2(a)] ・・・・ （※）
(※)に、a=π/3を代入し、tan(x)を掛けると、
tan(x)tan(π/3-x)tan(π/3+x)
=tan(x)[3/4-sin^2(x)]/[cos^2(x)-3/4]
=[3sin(x)-4sin^3(x)]/[4cos^3(x)-3cos(x)]
=sin(3x)/cos(3x)
=tan(3x)
(※)に、a=π/5、および、a=2π/5 を代入したもとtan(x)を掛けると
tan(x)tan(π/5-x)tan(π/5+x)tan(2π/5-x)tan(2π/5+x)
=tan(x)[(5-√5)-8sin^2(x)][(5+√5)-8sin^2(x)]/([8cos^2(x)-(5-√5)][8cos^2(x)-(5+√5)])
=tan(x)[64sin^4(x)-80sin^2(x)+20]/[64cos^4(x)-80cos^2(x)+20]
=sin(5x)/cos(5x)=tan(5x) 前>>299
tan75°=2+√3
は、辺の比が1:2:√3の直角三角形の上に、
底角15°の二等辺三角形をぴったりくっつけて載せることで理解できる。
あとはtan3°とtan9°とtan51°が少数じゃなく分数でわかれば、
ABとCDが直交するか否かが厳密にわかる。 >>299
CからABに下ろした垂線の足をM
DからABに下ろした垂線の足をN
CM=AM*tan(3°+6°)=(BN+MN)*tan(51°+24°)
DN=(AM+MN)*tan(3°)=BN*tan(51°)
これらから、
(BN+MN)*tan(51°+24°)*(AM+MN)*tan(3°) = AM*tan(3°+6°)*BN*tan(51°)
ここで>>297の tan(3°)tan(51°+24°)=tan(3°+6°)tan(51°) を使うと、
(BN+MN)*(AM+MN) = AM*BN → MN = 0 → MとNは一致
>>301
tan(75°)=tan(30°+45°)=[tan(30°)+tan(45°)]/[1-tan(30°)tan(45°)]=(1+1/√3)/(1-1/√3)=2+√3
の方が簡明
tan3°等を、根号と四則演算で表現することは可能だが、複雑。
すでにいくつかの方法で、「厳密」に正しいことは確認されている事 前>>301
>>297そんなだれにも知られずに眠ってる式は、非公式って呼んでやってください。
なんとか式変形でy=15°を導くことがこの問題の答えだよ。
(2+√3)=tan9°/(tan3°)(tan51°)=tan(3×3°)/(tan3°)tan(3×17°)
tan75°/tan51°=tan9°/tan3°
tan3°/tan51°=tan(3°+6°)/tan(51°+24°)
AB⊥CD
51°+24°+y=90°
∴y=15° まぁしかし>>297の公式を例え知らなかったとしても、こんな公式があるけど証明できる？って言われてこんな程度の公式の証明付けられないようじゃ見込みないけどな 前>>304
BC/BD=AC/AD⇒AB⊥CD⇒y=15°
AB=1,BC=a,CA=b,B(0,0)とおくと、
A((√6-√2)/4,(√6+√2)/4),C((√6-√2)/4-cos6°,0)
AD,BD,CDの延長線とBC,CA,ABの交点をそれぞれE,F,Gとすると、
△ABEにおいて正弦定理よりAB/sin(180°-3°-51°-24°)=BE/sin3°
1/sin102°=BE/sin3°
1/sin78°=BE/sin3°
BE=sin3°/sin78°
△ABFにおいて正弦定理よりAB/sin120°=BC/sin9°=CA/sin75°
2AB/√3=a/sin9°=b/｛(√6+√2)/4｝
b=(√6+√2)2/4√3=(√6+√2)/2√3=(√6+√2)√3/6=(3√2+√6)/6
bsin6°=ABsin75°=(√6+√2)/4
sin6°=(√6+√2)/4b
4b=(6√2+2√6)/3
sin6°=3(√6+√2)/(6√2+2√6)
=3(√6+√2)(6√2-2√6)/(6√2+2√6)(6√2-2√6)
=3(√6+√2)2(3√2-√6)/(72-24)
=(√6+√2)(3√2-√6)/8
=(6√3-2√3)/8
=√3/2
=sin60°
おかしい。 前>>306
tan51°/tan75°=0.33088969582
tan3°/tan9°=0.33088969582
tan75°=2+√3
tan3°,tan9°,tan51°が無理数の和の分数のような形で表せさえすれば、
AB⊥CDが示されると思う。 筋悪だがこの場合可能
やりたければやればいい
高校数学の範囲内で可能
実行するための公式はもう全部知ってるやろ
できるかできないかは素頭次第 １°ずつ角度を増やすと作図して計算した方が早いと思う。
当然ながらきりのいい数値にはならない。
https://i.imgur.com/x9ZEiwR.jpg
> f(4,7,52,25)
x.degree y.degree
17.22932 74.77068 >>310
作図なんかして近似出しても解いたうちになどはいらん >>311
座標の交点を連立方程式を解いて値をだすのだから、近似値というわけでもないぞ。 >>312
一部の代数系処理をしてくれる処理系ならともかくRではデフォルトは数値計算のみ
例え15.00000と表示されたとしても15°と結論できない >>313
ベクトルの内積からacos使って角度を出すから
どの言語を使っても半端な角度なら近似値しかえられないと思うんだが？ >>314
と思ってるからダメなんだよ
計算機で出来ることの知識がイナとたいして変わらん
何のために三角比というものが導入されたのか、何で高校の数学の時間に“整式の割り算”なるものを習ったのか意味がわかってない
少なくともこのスレのレス読めばある程度はわかるだろうに >>315
では>310を近似値でなくて御解答くださいな。 >>316
それが代数的な解がないと結論付けるための理論なんだよ
それがわかってないからそういう妙チキリンなレスつけるんだよ 計算機でも近似解の出し方しか知らないにんげんはもちろん近似解しか出せないけどちゃんと高2で習う整式の割り算の理論がわかってる人間は厳密解が計算可能である場合には厳密回が出せる
しかしそれだけではアルゴリズムとはいえない
その段階では機能的枚挙可能recursively enurrmatative)でしかない
アルゴリズム(=帰納的recursive)と言えるためには代数的には解けない場合には代数的に解けない判定を下しせないといけない
そこまで理解するのは大学でガロア理論を勉強しないとわからない
しかしそこまでの高級な話ではない
厳密解答が出せる場合に厳密解をだす(高校数学の範囲)すらクリアできてない 前>>309
tan51°/tan75°=0.33088969582
tan3°/tan9°=0.33088969582
Google検索で傾きの比が一致したんだからy=15°の厳密値が明らかになった。
今は答案として式変形で示す必要があるって段階です。
tan75°=2+√3
tan51°=tan(60°-9°)=(tan60°-tan9°)/(1+tan60°tan9°)=(√3-tan9°)/(1+√3tan9°)
tan9°=｛3tan3°-tan^3(3°)｝/｛1-3tan^2(3°)｝だから代入して、
tan51°=｛√3-3√3tan^2(3°)-3tan(3°)+tan^3(3°)｝/｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝
tan9°/tan3°=｛3-tan^2(3°)｝/｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝
tan75°/tan51°=(2+√3)｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝/｛√3-3√3tan^2(3°)-3tan(3°)+tan^3(3°)｝
ここまでできた。 今は答案として式変形で示す必要があるって段階です。
がわかってるだけまだイナの方がわかってるんだよな 前>>309
tan51°/tan75°=0.33088969582
tan3°/tan9°=0.33088969582
Google検索で傾きの比が一致したんだからy=15°の厳密値が明らかになった。
今は答案として式変形で示す必要があるって段階です。
tan75°=2+√3
tan51°=tan(60°-9°)=(tan60°-tan9°)/(1+tan60°tan9°)=(√3-tan9°)/(1+√3tan9°)
tan9°=｛3tan3°-tan^3(3°)｝/｛1-3tan^2(3°)｝だから代入して、
tan51°=｛√3-3√3tan^2(3°)-3tan(3°)+tan^3(3°)｝/｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝
tan9°/tan3°=｛3-tan^2(3°)｝/｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝
tan75°/tan51°=(2+√3)｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝/｛√3-3√3tan^2(3°)-3tan(3°)+tan^3(3°)｝
ここまでできた。 >>322
そのままでは、袋小路
tan(3°)は、ただの記号としてしか使われていない。
2-√3=tan(15°)=tan(5*3°)だから、
例えば、「tan(5x)=2-√3 を満たすtan(x)の一つが、tan(3°)」という事に相当する条件が
どこかで使われなければ、道は開けない。 イナの求めてる解答は
tan3°= ((1/8 (sqrt(5) - 1) - 1/4 sqrt(3/2 (5 + sqrt(5))))/sqrt(2) - (-1/8 sqrt(3) (sqrt(5) - 1) - 1/4 sqrt(1/2 (5 + sqrt(5))))/sqrt(2))/(-(-1/8 sqrt(3) (sqrt(5) - 1) - 1/4 sqrt(1/2 (5 + sqrt(5))))/sqrt(2) - (1/8 (sqrt(5) - 1) - 1/4 sqrt(3/2 (5 + sqrt(5))))/sqrt(2))
を利用して証明したいんだろう
コレ自体は高校数学の範囲内でもちろん導ける
しかしこの式をイナが導き出した式に代入して等しいことを確認するのは原理的にはできてもとてもやる気起こらないけどな
そして何よりこのような実の冪根の形で三角比が表示できる方が特例で普通は不可能、例えば中学お受験レベルでも時々出てくるtan10°とかは不可能
なのでこういう方針に頼ってる限り所詮は頭打ち
結局>>323さんの言う通り高2の整式の処理で習う技術を使えるようにならない限りお受験レベルの数学ですら解けるようにはならない tan(3°)の値を直に使うのなら
tan(3°)=tan(75°-72°)
=[tan(75°)-tan(72°)]/[1+tan(75°)tan(72°)]
=[2+√3-√(5+2√5)]/[1+(2+√3)√(5+2√5)]
がおすすめ 前>>322
1辺1の正五角形の対角線をxとすると、
(1/x)×2+(1/x)^2=x
2x+1=x^3
x^3-2x-1=0
(x+1)(x^2-x-1)=0
x^2-x-1=0
x=(1+√5)/2
tan72°=√｛(2x)^2-1｝
=√(4x^2-1)
=√(4x+4-1)
=√(4x+3)
=√(2+2√5+3)
=√(5+2√5) 前>>322
tan9°/tan3°=｛3-tan^2(3°)｝/｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝
tan75°/tan51°=(2+√3)｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝/｛√3-3√3tan^2(3°)-3tan(3°)+tan^3(3°)｝より、
(tan9°)(tan51°)/tan3°
=｛3-tan^2(3°)｝｛√3-3√3tan^2(3°)-3tan(3°)+tan^3(3°)｝/｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝^2
=3｛√3-3√3tan^2(3°)-3tan(3°)+tan^3(3°)｝-tan^2(3°) ｛√3-3√3tan^2(3°)-3tan(3°)+tan^3(3°)｝/｛1+9tan^4(3°)+27tan^2(3°)+9tan^2(3°)+tan^6(3°)-18tan^2(3°)+18√3tan^3(3°)-6tan^4(3°)+2√3tan^3(3°)｝
=｛3√3-9√3tan^2(3°)-9tan(3°)+3tan^3(3°)-√3tan^2(3°)+3√3tan^4(3°)+3tan^3(3°)-tan^5(3°)｝/｛1+18tan^2(3°)+20√3tan^3(3°)+3tan^4(3°)+tan^6(3°)｝
=｛3√3-9tan(3°)-10√3tan^2(3°)+6tan^3(3°)+3√3tan^4(3°)-tan^5(3°)｝/｛1+18tan^2(3°)+20√3tan^3(3°)+3tan^4(3°)+tan^6(3°)｝
ここまでできた。
2+√3になりそうじゃない？
それとも限りなく近い近似値なのかなぁ？
計算機で誤差が0になるぐらいの。 連立方程式で交点の座標を出して
角度を計算すべき二辺のベクトルを決定して
内積と逆余弦を使って角度を算出するのがなんで近似なんだよ？ >>328
通常のプログラミング言語の標準ライブラリは近似解しか出せません
その事がわからないのがあなたの限界です
おそらく一生理解出来ないでしょう (1/2×1×2) + (1/2×1×3) +(1/2×2×3)
+ √((1/2×1×2)^2 + (1/2×1×3)^2 +(1/2×2×3)^2)
= 9
か
数値がキレイに出るのが中々秀逸やな O(0,0),A(1,0),B(3,0),C(3,3),D(0,3),E(0,2) を順に結び、そして、
AとC,CとE,EとAを結ぶと、この立体の展開図に必要な三角形が
全てこの3×3の領域に現れる。
(展開図にするには、三角形OAEを切り取って、AとEを入れ替えるように、裏返す必要がある) 与えられた三角錐の展開図を書くと一辺が3cmの正方形になるので、表面積は3×3=9 前>>327
>>329
見えてる側が5.5
見えてない面が3辺√5,√10,√13
ヘロンの公式s=(√5+√10+√13)/2
Ｓ=√ [(√5+√10+√13)/2｛(√5+√10+√13)/2-√5｝｛(√5+√10+√13)/2-√10｝｛(√5+√10+√13)/2-√13｝] >>337
体積=1/3(内接球の半径)×表面積を使うと
半径=1/3ですかね R^6内の12個の点
(±1,0,0,0,0,0)
(0,±1,0,0,0,0)
…
(0,0,0,0,0,±1)
をある3次元部分空間H⊂R^6へ射影すると
これらの像が正20面体の頂点を成した
この時、Hの直交補空間Vへ射影しても
これらの像が正20面体の頂点を成すことを示せ >328は手計算でもできるだろ？
三角関数だらけの式になるだろうけど。
こういう問題をプログラムで解かせても近似解にはならんね。
手作業を代行させているだけだから。
問題 ： 「シリツ医 ならば (馬鹿 ならば 裏口 である)」という命題と同値な命題はどれか？
1 : シリツ医 ならば (裏口 ならば 馬鹿 である)
2 : 馬鹿 ならば (シリツ医 ならば 裏口 である)
3 : 馬鹿 ならば (裏口 ならば シリツ医 である)
4 : 裏口 ならば (シリツ医 ならば 馬鹿 である)
5 : 裏口 ならば (馬鹿 ならば シリツ医 である)
" 問題： （シリツ医 ∩ 馬鹿) → 裏口
右端を見れば分かる。
問題 ⇔ ２
１ ⇔ ４
３ ⇔ ５ >>341
真偽表使ったプログラム解も同じ答を返すから近似解でないのが確認できた。 >>340
他所から駅弁医学部入ってくるマザコン受験小僧のほうが地域医療の敵だろ。 >>341
お前がこの話理解できないのはそもそも「計算機がどうやってatanなるものを計算してるのか」がわかってないからだよ
それはそもそもの基本的な数学に対する理解が大学教養レベルにすら到達してないからだ
自分の考えが正しいのかどうか実験してみてうまくいくかどうかでしかわからない、確かめられないお前にはもう一生無理だ
諦めろ >>345
atanはatanで表示すればいいじゃん。
少数や分数表示しようとするから近似値になる。 >>341
A:「(シリツ医 かつ 馬鹿) ならば 裏口 である」
E:「シリツ医 ならば (馬鹿 ならば 裏口 である)」
が同値なのを真偽表確認
シリツ医 馬鹿 裏口 A⇒E E⇒A
1 TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE
2 FALSE TRUE TRUE TRUE TRUE
3 TRUE FALSE TRUE TRUE TRUE
4 FALSE FALSE TRUE TRUE TRUE
5 TRUE TRUE FALSE TRUE TRUE
6 FALSE TRUE FALSE TRUE TRUE
7 TRUE FALSE FALSE TRUE TRUE
8 FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE もちろんatan(4/3)とか出てきたらほっとけばいい
それ以上簡明な表示もないしな
しかしこの問題は例えば>>266の方針で
1/tan(y) = sin(51)sin(6)/(sin(3)sin(24)sin(96))
+ cos(96)/sin(96),
まで出したあとそこからどうやってtany=2-√3を出すのか、どうやってy=π/12を出すのかと言う話
> (sin(51°)/(sin(3°)sin(24°)) - 1)sin(6°)/cos(6°)
> =3.73205080757……
> =2+√3
> たしかに値は合致した。
らしい
しかし「だからy=15」などとは言えないと言う話
こんな「近似解の計算がそこそこ合うからコレが答え」など数学的には通用しない
じゃあこの話計算機ではできないのかと言うとそんなことはない
今イナが手計算でやってるような近似値計算では無い厳密な式変形による計算を計算機にやってもらえはいいだけの話
そしてWolfram大先生やMathematicaはもとよりMaxima、Maple、Sagemathなら標準ライブラリでできる
何故ならその作業自体は高校2年で習う“整式の計算”やるだけだからだ
結局“数値計算”とそう言う“代数計算”の差がわからないのは高2で習ってないといけなかった話を理解し損なってるからだ
結局「計算機に代わりにやってもらう」というのは「原理的には何万年かかってもいいなら手計算でやる方法が理解できてる」事が大前提
いくら計算機のプログラムの組み方覚えても、その計算機に何をやって貰えばいいのかの根本の数学ができてない >>345
「シリツ医、馬鹿、裏口」の問題を、真偽表使ったプログラムで計算したんだろうけど。
計算機が atan なるものを計算してるとは思えんが… >>349
もちろん数値計算しかできない言語ならatanの近似値しか出せない
しかし大学でガロア理論まで勉強した人間なら答えがπ×有理数になる場合にはその旨判定して答えを表示させる事ができる
しかしそれは彼が使ってるRがダメなわけじゃない
Qiitaかなんかの人気投票で4位かなんかになった実績あるプログラミング言語である事は間違いない
彼がこの話についていけてないのは彼本人の学力のなさが根本
しかもガロア理論云々のレベルがわからないんじゃなくて高2レベルの「答えが有理数×πになる場合、それを計算機に確認させるにはどうすればいいのか」と言う数2レベルの話がわかってないからどうしようもない >>341
A:「(シリツ医 かつ 馬鹿) ならば 裏口 である」
E:「シリツ医 ならば (馬鹿 ならば 裏口 である)」
命題AとEが同値なのを真偽表で確認
シリツ医 馬鹿 裏口 A E
1 TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE
2 FALSE TRUE TRUE TRUE TRUE
3 TRUE FALSE TRUE TRUE TRUE
4 FALSE FALSE TRUE TRUE TRUE
5 TRUE TRUE FALSE FALSE FALSE
6 FALSE TRUE FALSE TRUE TRUE
7 TRUE FALSE FALSE TRUE TRUE
8 FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE tan(6°/2)=tan3°= t と置くと、
tan6°=tan(2*3°)=2t/(1-t^2)
tan9°= tan(3*3°)=t(3-t^2)/(1-3t^2)
tan51°= tan(45°+6°) = (1+tan6°)/(1-1*tan6°)=(1-t^2+2t)/(1-t^2-2t)
五倍角の公式 tan(5x)=[tan(x)(tan^4(x)-10tan^2(x)+5)]/[5tan^4(x)-10tan^2(x)+1] に注意して、
tan75°=1/tan15°=1/tan(5*3°)=[5t^4-10t^2+1]/[t(t^4-10t^2+5)]
tan(51°)tan(9°)-tan(3°)tan(75°)
=(1-t^2+2t)/(1-t^2-2t) * t(3-t^2)/(1-3t^2)-(5t^4-10t^2+1)/(t^4-10t^2+5)
=(t-1)(t^3-16t^7-60t^6+16t^5+134t^4+16t^3-60t^2-16t+1)/[(t^4-10t^2+5)(3t^2-1)(t^2+2t-1)]
ここで、t=tan3°=[tan(75°)-tan(72°)]/[1+tan(75°)tan(72°)]=[2+√3-√(5+2√5)]/[1+(2+√3)√(5+2√5)]
を代入するのも一案だが、[2+√3-√(5+2√5)]/[1+(2+√3)√(5+2√5)] の最小多項式を求めるべく、Wolfram大先生にお願いすると、
x^8 - 16 x^7 - 60 x^6 + 16 x^5 + 134 x^4 + 16 x^3 - 60 x^2 - 16 x + 1
であることを教えてくれる。目的の式の、分子第二因子に一致していることを確認して、
tan(51°)tan(9°)-tan(3°)tan(75°) = 0 が結論できる。 誤: =(t-1)(t^3-16t^7-60t^6+16t^5+134t^4+16t^3-60t^2-16t+1)/[(t^4-10t^2+5)(3t^2-1)(t^2+2t-1)]
正: =(t-1)(t^8-16t^7-60t^6+16t^5+134t^4+16t^3-60t^2-16t+1)/[(t^4-10t^2+5)(3t^2-1)(t^2+2t-1)] 少し補足
352 は t=tan3°=[2+√3-√(5+2√5)]/[1+(2+√3)√(5+2√5)] と表せることを
前面に持ってきた解法だが、必ずしも、その必要は無い。
3° とは、どのような角度か と考えると、 15倍して、タンジェントを取ると、1 になる角度の一つと答えられる。
つまり、tan(15x)=1 を満たすもの。(tan(3x)≠1、tan(5x)≠1 であることにも注意)
5倍角の公式と、3倍角の公式を組み合わせて、15倍角の公式を作ると、tan(x)=tとして、
tan(15x)=A/B ただし、
A=t(t^2-3)(t^12-102t^10+1059t^8-1828t^6+951t^4-150t^2+5)
B=(3t^2-1)(5t^12-150t^10+951t^8-1828t^6+1059t^4-102t^2+1)
方程式 tan(15x)=1 は、方程式 A=B となり、整理すると、
(t+1)(t^2-4t+1)(t^4+4t^3-14t^2+4t+1)(t^8-16t^7-60t^6+16t^5+134t^4+16t^3-60t^2-16t+1)=0
となります。tan(3x)≠1、tan(5x)≠1、tan(x)≠-1 を考慮すると、結局
t=tan3°は、t^8-16t^7-60t^6+16t^5+134t^4+16t^3-60t^2-16t+1 = 0 を満たす、と結論でき、
>>352 の後半を 上に置き換えることができます。 >>339
これは今日が2020年10月20日なので出題してみました
正20面体の面白い特徴だと思います
是非みなさん挑戦してみて下さい >>355
補題
三次元空間上の相異なる12点が次の性質を満たすとき、それは正20面体の頂点をなす
・a^2=b^2+c^2,b>cとなる定数a,b,cが存在し
d(P,Q)=aとなる組が6組、d(P,Q)=bなる組が30組、d(P,Q)=cとなる組が30組ある
・d(P,Q)=d(P,R)=a→Q=R
・d(P,Q)=aのときd(P,R)=b⇔d(Q,R)=c
∵) まずd(N,S)=aとなるN,Sを選ぶ
条件より全ての点はNSを直径とする球上に並ぶ
NS以外の10点はd(R,S)=aとなる組で5組に分かれてそれぞれにd(N,P)=b,d(N,Q)=cとなるPがひとつずつ出てくるから同じ経度に５点ずつがくる
同じ経度に並ぶ同一円上にはの５点は異なる２点間の距離がb
またはcのどちらかしかとれないので正五角形の頂点をなすことが容易にわかる
以下は容易□
主張を示そう
A1～A6が1次独立としてBi=-Aiとする
Ai、Biの元の超平面への射影像をPi,Qi、直交空間への射影をRi,Siとする
いずれの超平面も原点を通過するとしてよい
元像全体の重心は原点だから像の重心も原点である
よってPi,Qiの中点は原点であり正20面体の対頂点をなす
d(Pi,Qi)=u,一辺の長さをw,v=√(u^2-w^2)とおく
この時異なる頂点間の距離はd(X,Y)=uとなるものが6組、=v,=wとなるものが30組ずつある
まず直交補空間への12個の射影Ri,Sj全体が互いに異なる事を示す
いずれかの２点が一致すると元の超平面への射影は2か、√2のいずれかでなければならない
2であるとするとu=2であり、元の空間は全てのベクトルAiBiを含む事になり矛盾する
√2とするとv,wのいずれかが√2となる
d(Pi,Pj)=√2、(resp. d(Pi,Qj)=√2)の時AiAj、(resp. AiBj)は元の超平面上となり、そのような組が30組もある事はありえない
以上によりRi,Sjは全て相異なる
d(Ri,Si)=√(4-u^2)、その他の２点の距離はb=√(2-w^2),c=√(2-v^2)とおくときa～cとRi,Sjの全体は補題の条件を満たす□ 正20面体
v=12, e=30, f=20,
a： 6本 外接球の直径 6本
b： 30本
c： 30本 稜 (辺)
a = 2cos(18ﾟ) c = √(2+φ) c = 1.902113 c,
b = 2cos(36ﾟ) c = φ c = 1.618034 c,
φ = (1+√5)/2 = 1.618034 黄金比 >>356
とても明快な幾何学的証明に驚きました
(自分が用意していたのは線形代数的な証明だったので)
キーとなる正20面体の"外部"対称性が30本の小辺(いわゆる辺)と30本の中辺の入れ替えとして見れることに気づかされました 前>>336
>>329
立体を直角になっている辺で切り開けば、
展開図が書ける。
1:2:√5の三角形を斜辺の中点を通る垂線を軸として水平に180°回転させれば、
展開図は一辺3の正方形になると考えられる。
3×3=9
ただし正方形になると考えられるだけで、それは俺もそう思う。
1:3:√10の三角形における最鋭角と√5:√10:√13の三角形における最鋭角と2:3:√13の三角形における最鋭角の和が90°であることは示されてない。 よーく考えてみよう
何より「示されていない」と感じるのは時に「ほとんど当たり前の事を自分が気づけていないだけ」という事がままある事を肝に銘じよう tan3° の件、
30+45-72 (これが一番簡単なのかも)を思いつかなかった方向で解いてみる。
正五角形の対角線より sin18= (1/2) / ((1+Sqrt[5])/2), sin36=..., cos36=...
3 = (60-36)/2^3 なので
sin3 = √[(1-cos6)/2] {倍角公式}
= √[(1-√[(1+cos12)/2])/2] {倍角公式}
= √[(1-√[(1+√[(1+cos24)/2])/2])/2] {倍角公式}
= √[(1-√[(1+√[(1+cos60cos36+sin60sin36)/2])/2])/2] {差公式}
tan3 = sin3/√[1-sin3^2] = ...
＊Wolfram Engine (Alphaではない) にて確認 ＊
s18 = (1/2) / ((1+Sqrt[5])/2) ;
s36 = 2*s18 * Sqrt[1-s18^2];
c36 = Sqrt[1- s36^2] ;
s3 = Sqrt[(1-Sqrt[(1+Sqrt[(1+c36/2+s36 Sqrt[3]/2)/2])/2])/2] // FullSimplify;
t3 = s3/Sqrt[1-s3^2] // Simplify
=> 図 {根号で表せる事だけ分かれば良い}
t3 - (2+Sqrt[3]-Sqrt[5+2 Sqrt[5]]) / (1+(2+Sqrt[3]) Sqrt[5+2 Sqrt[5]]) // FullSimplify
=> 0 { >>325 に一致する}
Tan[3*Pi/180] - t3 // FullSimplify
=> 0 {厳密に成り立っている}
前>>359
>>334も同じことだけど、1:3:√10の三角形における最鋭角と√5:√10:√13の三角形における最鋭角と2:3:√13の三角形における最鋭角の和が90°であることは示されてない。答えは3×3=9だから9だと思う。∴9が示されたことと同じ。 >>363
わかんないんだったら方眼紙買ってこいよ
一辺3センチの正方形書いて正方形書いて>>334の方法できって三角形4つ作る
そしてセロテープ持ってきて考えろ
頭で分からんなら行動しろ >>334の説明に従って図を書き、(3,3)近辺を凝視せよ 前>>363
>>364
図を描いて３つの最鋭角を足したら90°になると思う俺と同じレベルだと言ってる。
数式の変形で示すのは難しいからね。 前>>366
題意の立体を３つの直角が集まった頂点から切り開けば、
一辺3の正方形になるように見える。
それは俺も同じ。
３つ鋭角を足して90°になると示した人はいない。
1:2:√5の直角三角形の2つの鋭角をてれこに置き換えて辺がちょうど直線になるように見えるから仕方ない。 >>367
ホントバカだなぁ
いつまでもいつまでも
「四面体をまず持ってくる
合わせて正方形になる事を示そう」
と思ってるからドツボにハマってるんだよ
>>334さんは
「まず正方形持ってくる
ちょこっと切り貼りすれば問題の四面体が作れるからOK」
と言ってるんだよ
「便所の落書きに書いてるようなやつはバカだから証明に抜けがあるに決まってる」とか思ってるからいつまで経っても賢くならんのだよ >>366
aを1:3:√10の三角形の最小角とすると、tan(a)=1/3
bを2:3:√13の三角形の最小角とすると、tan(b)=2/3
cを√5:√10:√13の三角形の最小角とすると、tan(c)=7/9
aとbの正接が、1/3、2/3であるのは、説明不要だと思われるが、
cの正接が7/9 であるのは、
cos(c)=(10+13-5)/(2*√10*√13))=9/√130
sin(c)=√(1-cos^2(c))=[√(130-81)]/√130=7/√130 から確認できる
tan(a)*tan(b)+tan(b)*tan(c)+tan(c)*tan(a)=2/9+14/27+7/27=1 となるが、
cos(a+b+c)=cos(a)cos(b)cos(c){1-tan(a)*tan(b)-tan(b)*tan(c)-tan(c)*tan(a)}=0
なので、a+b+c=π/2
>>数式の変形で示すのは難しいからね。
面倒かもしれないが、やるべき事はストレートで、全く難しくはない。 >>368をもっと噛み砕いて言うと
①一辺が３の正方形を書きます
②正方形を>>334のように４つに分けます
③正方形にできた３つの直角三角形は、三角錐の３つの面とそれぞれ合同である
何故なら二辺と挟む角がそれぞれ等しいから
④残りの三角形は、三角錘の残りの面と合同である
何故なら三辺がそれぞれ等しいから
⑤正方形を分けてできた４つの図形が、三角錐の４つの面とそれぞれ合同なのだから、
正方形の面積と三角錐の表面積は等しい(ＱＥＤ) 前>>367
1:2:√5の直角三角形、斜辺そのままで鋭角てれこで。
こう書けばわかるかな。 >>350
別にπなど持ち出さなくても2進法で内部計算しているから、計算機だと簡単な計算すら近似だよ。
> options(digits=20) #20桁まで表示を指定
> (1.2-1)*5
[1] 0.99999999999999978
> # 二進法できりのいい数字だと
> (1.125-1)*8
[1] 1
> # 小数20桁まで2進法で表示すると1.2は循環小数になる
> dec62(1.2,2,20)
1.00110011001100110011
> dec62(1.125,2,20)
1.00100000000000000000
他の言語でも似たような結果になる。 本題から逸れるけど、
「まず3x3の正方形持ってくる
ちょこっと切り貼りすれば問題の四面体が作れるからOK」
も言えるかな？
⊿AOE ≡ ⊿EO'A より O' (-3/5, 6/5)
４面体の頂点Fから下した垂線の足をF'とする。
AC ⊥ BE, F' はBE上にある。
CE ⊥ AD, F' はAD上にある。
EA ⊥ CO' F' はCO' 上にある。
∴ F' は AD, BE, CO' の交点。
AD, BE, CO' は△ACEの3本の垂線だから
その交点は△ACEの垂心H。
F' ＝ H (3/7,12/7)
この条件と EF=1, AF=2, CF=3 をみたす点Fは
(3/7, 12/7, ±6/7) に限る。 >>373
違う
そうとしか思えないのは完全な学力不足
上の方でみんながやってる代数計算が一つも理解できてないやろ？
高校の時の教科書引っ張り出して整式の計算のとこ読み直せ
それがまさに誤差なしで代数計算する方法の基本
そのレベルで落ちこぼれてるんじゃこの先何やってもしれてる >>372
Haskell でも (1.2-1)×5は１に等しいか計算させる
main = print $ (1.2-1)*5==1
を実行すると
False
が返ってくる。
main = print $ (1.125-1)*8 == 1
は
True
計算機での結果が近似値になるのは三角関数を扱うからでも無理数を扱うからでもなくて2進法で内部計算するから。
ガロアも無理数も関係ない話。
一生理解出来ないのは気の毒だから教えてあげた。 >>373
B (1+(6/√13), -4/√13)
D (-1, 2)
に変えてみた。他は同じ
A(1, 0) C(3, 3) E(0, 2) O'(-3/5, 6/5)
ED = EO' = 1,
AB = AO' = 2,
CB = CD = √17
このとき
EF=1, AF=2, CF=√17 をみたす点Fを求む。 >>375
アホか
有理数計算パッケージがはいつてるんやろが？ import Data.Ratio
main = do
print $ (1.2-1)*5 == (1 :: Double)
print $ (1.2-1)*5 == (1 :: Rational)
----
False
True 前>>371
>>329
sin18.435°=1/√10=0.31622776601(正弦定理)
sin52.125°=0.789352……=9/√130=(10+13-5)/2×√10×√13(余弦定理)
sin19.44°=余弦定理より 前>>379つづき。いまだかつてまともに式と計算で示した人がいただろうか。いや俺しかいない。
>>329
1:3:√10の直角三角形について、
正弦定理より1/sinA=√10/sin90°
sin∠A=1/√10=0.31622776601
∠A≒18.435°
√5:√10:√13の三角形について、
余弦定理よりcos∠B=(10+13-5)/2×√10×√13=9/√130=0.78935221737……
∠B≒52.125°
2:3:√13の直角三角形について、
正弦定理より2/sin∠C=√13/sin90°
sin∠C=2/√13=0.55470019622……
∠C≒19.44°
∠A+∠B+∠C=18.435°+52.125°+19.44°=90°
∴示された。 >>378
有理数が返ってくるとは限らないとき
main = do
print $ sin(pi/6) == (0.5::Double)
False
を Trueに修正しようとしてもエラーがでた。
main = do
print $ sin(pi/6) == (0.5::Rational)
Error(s): >>382
だからそんな方法じゃ無理なんだよ
数学者の作ったHaskellですらまだ代数計算をさせるには自分で作らないとできない
例えばこう↓
https://ideone.com/NOylNJ
つまりは結局数学本体ができない限りなんもできん
計算機はあくまで煩雑な計算を代わりにやってくれる道具にすぎん
本人ができもしない計算をやってくれるわけないやろ？ >>383
Mathematica見た時はびっくりしたわ。 自分ができん積分計算を大先生がいとも簡単にやってしまう時の敗北感はどうよww 前>>381
>>310
x+y=92°
y=27°とすると、
ABとCDのなす角は76°と104°。
もっとちいさいかな？ 前>>386
>>310
y=11°とすると、
ABとCDの延長線の交点をHとすると、
∠AHC=92°
∠BHC=88°
△ABC∽△CBH
∴y=11° >>383
>本人ができもしない計算をやってくれるわけないやろ？
そうとは限らない。
整数からみだとシミュレーションで一般式を予想して数学的帰納法で証明というのもある。 数学できないのレベルが突き抜けすぎてるんだよ
整式の割り算の理論すら理解できてないんじゃなんもできんわ >>390
正方形の1辺をa,
正方形の辺を底辺としたときの左と上の三角形の高さをb,cとする
求める面積は S = aa/2 - ab/2 - ac/2 = a(a-b-c)/2
a,b,cの間に以下の関係がある
① (a-b)^2+cc = 3^2
② bb+cc = 7^2
③ bb+(a-c)^2 = 11^2
(①-2×②+③)/4 より (aa-ab-ac)/2 = (3^2-2×7^2+11^2)/4 = 8
左辺はSに等しいので S=8 >>390
長さの与えられた3つの線分の交点をPとおく
図の正方形の頂点をそれぞれA,B,C,Dとおく
ただし AP=7, BP=3, DP=11 とし, 正方形の辺の長さをxとおく
∠PAD = α, ∠PAB = β とおくと, α+β = π/2 ...(1)
△APDに対して余弦定理を用いて整理すると
a^2+49-14a*cos(α) = 72 ...(2)
△APBに対して余弦定理を用いて整理すると
a^2+49-14a*cos(β) = -40 ...(3)
(1)と(3) より
a^2-14*a*sin(α) = -40 ...(4)
(2)と(4) から a^2を消去すると a = 8/(sin(α)-cos(α)9 ...(5)
(2)と(5) から 2sin(2α)+7cos(2α)+6 = 0 ...(6)
(cos(2α))^2 + (sin(2α))^2 = 1 と連立して符号を考慮すれば
cos(2α) = -2*(21+√17)/53 ...(7)
よって, cos(α) = (11-2√17)/106 ...(8)
これを(2)に代入して xの2次方程式を解けば
x = (77-14√17 + √(818253 - 2156√17))/106 ...(9)
ということで 求めたいの面積を構成する三角形の3辺の長さが判明した
つまり,さっき求めたxと 残り2辺の長さが 3, 11 ということである
あとは三角形3辺の長さから面積を求める公式を用いればよい >>391
素晴らしい解法
逆にいうと平方根の平方根の平方根のとんでもない式が 8 に簡約されるのか 正方形の左下の頂点を O (0,0) 右上の頂点を (a,a)
交点を P (x,y) とおく。三平方の定理より
x^2 + y^2 = 11^2,
x^2 + (a-y)^2 = 7^2,
(a-x)^2 + (a-y)^2 = 3^2,
辺々引いて
2ax - aa = 7^2 - 3^2,
2ay - aa = 11^2 - 7^2,
交点は
P (x,y) = ((aa +7^2 -3^2)/2a, (aa +11^2 -7^2)/2a)
S = {aa - ax - a(a-y)}/2
= a(y-x) /2
= (11^2 -2･7^2+ 3^2) /4
= 8,
なお
a = √(65+7√17) = 9.6882268439236921
x = 6.908474663930875
y = 8.559963657506098 >>388
複数の変数を動かして極小値を求めるなんてのも
>本人ができもしない計算をやってくれる
実例
一辺の長さ1の正五角形の頂点を全て結ぶ分岐あり曲線の長さの最小値を求めよ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532824890/90 >>395
だからそれも数値解でしかない
しかも計算機は数値解でない厳密解も出せる
使ってる人間にその能力があるならね https://i.imgur.com/krvpDj6.jpg
と座標上に作図して最小二乗法でx,y,zの値を計算機に探索させてみた。
[1] 6.908475
> (y=opt$par[2])
[1] 8.559964
> (z=opt$par[3])
[1] 9.688227
面積をヘロンの公式で出すと
> ABC2S(B,P,C)
[1] 8.000001
無思考で近似値が出せた。 >>397
面倒くさいから考えないんじゃなくて元々考える能力ないんだろうがね？
計算機に近似解しか出す方法しか発見されてないもんだいならともかく厳密解出す方法も見つかってる問題でなにやってんだか
そもそもお前さんのコーディング能力なんかまだまだ初心者レベルだよ
よくそんなもん恥ずかしげもなくボンボンうぷできるな >>398
乱数発生させてシミュレーションプログラムを組むのも楽しいからね。 プログラムによる数値計算の解答にそんなに意味あるのか疑問 正の整数 n と関数 f:Z→R について次のような条件を考える。
(A) 整数 x_1, …,x_n が (x_1)^3 +…+ (x_n)^3 = 0 を満たすならば f(x_1) +…+ f(x_n) = 0.
この時、各 n に対して条件(A)を満たす f 全体からなる集合 V_n は、
関数の加法やスカラー倍を値の加法やスカラー倍により定めることで、実数体上のベクトル空間をなす。
つまり関数 f,g:Z→R について (f+g)(x)=f(x)+g(x) と、実数αについて (αf)(x)=α(f(x)) と定める。
6 以上の整数 n について、ベクトル空間 V_n の次元を求めよ。 >>401
ウェアリング使うとdimVn=1(n≧9)はすぐ分かるか ウェアリング使わなくてもn≧9のときは恒等式
k^3=(k-1)^3+(k-2)^3+(k-6)^3-(k-5)^3-(k-4)^3+1^3+2^3+3^3
を使えばdimVn=1が示せそう
n=6,7,8のときもこういう恒等式を見つける感じか
実験的には
「3以上の任意の正整数kに対してk^3は6個以下の絶対値がk未満の三乗和でかける」
が成立しそうだからdimV7=dimV8=2
同様にdimV6=3が言えそう 前>>387
>>390
正方形の一辺をxとおき、頂点から3,7,11でつながる分岐点と辺のもっとも短い距離をaとすると、斜辺3の直角三角形のもう一つの辺はピタゴラスの定理より√(9-a^2)
斜辺7の直角三角形のもう一つの辺はピタゴラスの定理より√(49-a^2)
この辺はx-√(9-a^2)とも表されるから、
x-√(9-a^2)=√(49-a^2)
辺々二乗してx^2-2√(9-a^2)x+9-a^2=49-a^2
x^2-2√(9-a^2)x=40――1.
分岐点を含む一辺xの直角二等辺三角形において、分岐点から遠い側の辺まで距離は√(49-a^2)
ピタゴラスの定理より49-a^2+(x-a)^2=121
x^2-2ax=72
ここから1.を辺々引くと2√(9-a^2)x-2ax=32
x√(9-a^2)-ax=16
ax=x√(9-a^2)-16
求める面積はx^2/2-ax/2-x√(49-a^2)/2
ax=x√(9-a^2)-16を代入しx^2/2-x√(9-a^2)/2+8-x√(49-a^2)/2
√(9-a^2)+√(49-a^2)=xだからx^2/2-x√(9-a^2)/2-x√(49-a^2)/2=0
∴求める面積は8
できちゃったよ。完璧だよ。 >>390みたいな問題はなるべく図形的に解いてほしいんだけどな・・・ >>397
問題の数値を変えて最小二乗法でPCに探索させた値と厳密値を比較してみた。
> Fn(7,11,3)
近似値 厳密値
8.000001 8.000000
> Fn(3,4,5)
近似値 厳密値
5.75 5.75
> Fn(6,7,8)
近似値 厳密値
10.25 10.25
> Fn(7,8,9)
近似値 厳密値
11.75 11.75
わりと好成績。 >>403
ちょい改良
k^3=(k-1)^3+(k-3)^3-(k-5)^3-(k-7)^3+(k-8)^3+2^3+4^3
これでdimV8≦2 >>403 >>407
n≧8 については正解でいいかな
お察しの通り、そんな感じでうまい具合に恒等式（や、必要であれば帰納法の使い方）を見つける問題です あ申し訳ない、下界がまだだったね
n≦8 については Vn を張る関数の組の明示と、証明もよろしく まあいいやここは自分でやろう
n=8 の時 V_n の基底として
f(x)=x^3
g(x)=(x^3 mod 9)
をとることができる。
ただし(x mod 9)は x-y が9で割りきれ、かつ -4≦y≦4 を満たすような唯一の整数 y とする。
fが条件(A)を満たすこととf,gの一次独立性は明らか。
g が条件(A)を満たすことは以下ようにしてわかる。
もし (x_1)^3 +…+(x_8)^3 = 0 なら、f_2 の定義から
S := f_2(x_1) +…+ f_2(x_8) が9で割りきれることがわかる。
しかし実際のところ f_2(x) がとり得る値は 1,0,-1 しかないので -8≦S≦8.
ゆえに S=0 になるしかない。 >>411
ミスった、途中の f_2 は全て g に変換して読んでください 前>>404
>>310
正弦定理よりcos^2y=(sin 56°sin11°-cos25°sin92°sin4°)^2/｛(sin25°sin 92°sin4°)^2+(sin 56°sin11°-cos25°sin 92°sin4°)^2
cosy=0.95512691226……
cos17°=0.95630475596……
cos18°=0.95105651629……
cos17.23°=0.9551233988……
y≒17.23° >>407
改良
k^3=(k-2)^3+(k-3)^3+(k-12)^3-(k-11)^3-(k-6)^3+6^3
これでdimV7≦2か >>411
これは思いつかないな
自分は何となくf(2)の自由度があると思ってただけで
これでdimV6～V8≧2も分かるか
しかしこれをあっさり教えてくれたということはn=6のときもまだ山があるんだろうね
>>414
この方針ではこれ以上うまくいかないな
定数項がゼロになる非自明な関係式はないことが解と係数の関係から証明できてしまう
次元の上からの評価もきっと上手い他の方法があるんだろう dim V7=2 はいけてるやろ
まず3^3～12^3までの立方数は絶対値がそれ以下の立方数の6個以下の和で表さすことができる
main = print $ map(sum . (map (^3))) [
[1,1,1,2,2,2],
[-2,-2,-1,3,3,3],
[-3,2,2,2,4,4],
[-5,0,3,4,5,5],
[-6,-1,4,4,6,6],
[-4,-4,-2,6,6,6],
[-8,-5,-1,7,8,8],
[-9,-4,-2,7,9,9],
[-10,-7,6,9,9,10],
[-11,-1,0,9,10,11]]
----
[27,64,125,216,343,512,729,1000,1331,1728]
よってf(3)～f(12)の値はf(1)とf(2)の値で決まる
さらにf(12)以降の値も>>414によりf(1)～f(12)の値できまるからf(1),f(2)の値で全て決まってしまう
もう残るはdim V6だけでしょ？ あれ？>>414使えば
k^3=(k-2)^3+(k-3)^3+(k-12)^3-(k-11)^3-(k-6)^3+6^3
のk = 6のときと条件より
f(7) = f(5) + f(4) + f(-5) + f(-4) - f(1) + f(6)
以下同文だからf(3)～f(6)までがf(1),f(2)できまること確認すれば十分だった 前>>413
>>310
正弦定理よりcos^2y=(sin 56°sin11°-cos25°sin92°sin4°)^2/｛(sin25°sin 92°sin4°)^2+(sin 56°sin11°-cos25°sin92°sin4°)^2
cosy=0.95512691226……
cos17.229320376°=0.95512691226……
cos17.229320377°=0.95512691226……
y≒17.2293203765° 前>>413
>>310
正弦定理よりcos^2y=(sin 56°sin11°-cos25°sin92°sin4°)^2/｛(sin25°sin 92°sin4°)^2+(sin 56°sin11°-cos25°sin92°sin4°)^2
cosy=0.95512691226……
cos17.229320376°=0.95512691226……
cos17.229320377°=0.95512691226……
y≒17.2293203765° >>417
n=7 も正解。お見事
さて n=6 はどうなる… 基本戦略は同じだろうけど>>414みたいな(k-a)みたいな形は無理みたいだな
多分
(12k+r)^3=(10k+a)^3 + (9k+b)^3 - (k+c)^3 + d^3
がkについての恒等式になるようなa,b,c,dをr≡0～11 (mod 12)である12個組のrについて見つければ上から評価ができるんではないかと予想 >>416
すまん明言してなかったけどn≧7はよくてn=6は別の方法が必要そうだということが言いたかった
>>421
もちろんそれ系も試した
12^3=10^3+9^3-1^3
6^3=5^3+4^3+3^3
の4つ組の利用は出来ない、なぜなら
(Rk+r)^3=(Ak+a)^3+(Bk+b)^3±(Ck+c)^3+定数
が成立する条件の1つとして
RA(Ar-Ra)^2+RB(Br-Rb)^2-AB(Ba-Ab)^2=0
が出るけど、これから、ある素数pについて
p|Rかつp^2|Bかつp|Aでもp^2|Rでもないときp|r
が分かるので
R=12のときrは3の倍数
R=6のときrは2の倍数
でないとabcの整数解は存在しない
ちなみに
k^3=(k+a)^3+(k+b)^3+(k+c)^3-(k+d)^3-(k+e)^3
という形の恒等式が自明なものしかないことの証明は
このk^2,k^1,k^0の係数を比較すると
{a,b,c}と{0,d,e}の各和,2乗和,3乗和が等しい必要があり
これは{a,b,c}と{0,d,e}の基本対称式の一致を意味し
解と係数の関係から集合として{a,b,c}と{0,d,e}は一致する
(このとき恒等式は自明なものになる) >>414
ちなみにこの形の完全な一般形は
(X+ab+cd)^3+(X+ad)^3+(X+bc)^3-(X+ad+bc)^3-(X+ab)^3-(X+cd)^3=3abcd(a-c)(b-d) 閃いた
(2x+1)^3-(2x-1)^3+(x-4)^3-(x+4)^3+5^3+1^3=0 奇数はそれでいけるな
4の倍数は
(4k)^3=(3k)^3+(3k)^3+(2k)^3+k^3+k^3
でいけるから
(4k+2)^3=(4k-2)^3+(k+32)^3-(k-32)^3-65520
あとは65520が立方数の和なら・・・ >>426
いや、4の倍数がいけてるなら4x+2は
(4x+2)^3-(4x-2)^3+(2x-8)^3-(2x+8)^3+10^3+2^3=0
でいいやん >>427
そうじゃん！
あとはf(3)に対応するV6の基底のみか いや、とりあえずdim V6≦3が言えただけで3かどうかわからんやろ
スボラディックに出てくるリレーション全部合わせたら結局2次元でしたもありうる いやmod7でいいのか
V6の基底として
h(x)=(x^3 mod 7)
をとる
ただし0,±1から代表を選ぶ
もし (x_1)^3 +…+(x_6)^3 = 0 なら、hの定義から
h(x_1) +…+ h(x_6) が7で割りきれることがわかる。
しかし代表の取り方からこれはゼロでなければならない フタを開けてみれば>>411そのままだったわけだ
上から評価の恒等式も結局は>>425のようにシンプルな和差でやればよかったわけだし、いろいろ難しく考えすぎてしまった・・・ >>431
正解です。素晴らしい
ちょっと焦って序盤にヒント出しすぎたかな…
あとは n≦5 について考えるのもいいけれど、出題者は答えを持ってないので挑むなら気をつけて…
(n≦3 はフェルマーの最終定理からわりとすぐ答えは出るから実質 n=4,5 のみ) イヤ、これくらいのヒントでちょうどいい
これより手間かかると考える気無くすよ
みんなで考えて2、3日で答えが出るくらいがちょうどいい >>434
有名な問題なんですかね
出典あれば教えてください >>436
いや、先に問題を思いついてこねくりまわして結果が得られた部分だけ出題した感じだから
出典はないんだ、すまんな
ちょうどいい難易度になったなら良かった 【たばこ】喫煙率 男女合わせて16.7％(男性27.1％ 女性7.6％) 調査開始以降最低に [ばーど★]
厚生労働省は去年11月、全国の20歳以上の男女およそ5700人を対象に、生活習慣などを調査しました。
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1603849457/
対象となった５７００人の男女比を求めよ。 >390を契機にこんな問題を考えてみた。
自作につき正解はもっておりませんのであしからず。
AB=l,BC=mの長さの長方形ABCDの内部の点をPとして
PA=3,PB=4,PC=5のとき長方形の面積lmとPDの長さを求めよ。 前>>419
>>441
PD=√(18l+m)
初動捜査の結果だ。勢いで出した。あってるかはわからん。 >>442
PD=√(PA^2-PB^2+PC^2)=√18だと思う。
面積はよくわからん。 A (0,0)
B (l,0)
C (l,m)
D (0,m)
P (x,y)
とおく。ただし
x = (l-7/l)/2, (√7 < l < 7)
y = (m-9/m)/2, (3 < m < 9)
x^2 + y^2 = PA^2 = 3^2,
PD = √{x^2 + (m-y)^2}
= (1/2)√{(l-7/l)^2 + (m+9/m)^2}, >>441
変数の数から一意には定まらないのでは？ 問題改題
長方形ABCDの内部の点をPとして
PA=3,PB=4,PC=5のとき長方形の面積の最大値と最小値を求めよ。 前>>446
>>442
最小値l=√(4^2-3^2)=√7
m=3+√(5^2-7)=3+3√2
lm=3(1+√2)√7 改題されたんぢゃ 生姜ねぇ…
l = (9+10√2)/√17 = 5.6127923
m = 3(5+2√2)/√17 = 5.6960174
のとき最大
lm = 3(5+4√2) = 31.970563
このとき
x = (l - 7/l)/2 = 9/√17 = 2.1828206
y = (m - 9/m)/2 = (6√2)/√17 = 2.057983
(l + 7/l)/2 = (10√2)/√17 = 3.4299717
(m + 9/m)/2 = 15/√17 = 3.6380344
PD = 3√2 = 4.2426407
∠PBA = ∠PDA = arcsin(3/√34) = 30.9637565°
∠PBC = ∠PDC = arccos(3/√34) = 59.0362435°
∠PAB = ∠PCB = arccos(3/√17) = 43.3138567°
∠PAD = ∠PCD = arcsin(3/√17) = 46.6861433°
∠APB + ∠CPD = ∠APD + ∠BPC = 180° >>446
a=3 ; b=4 ; c=5として
x<m, y<l
x^2 + (y-l)^2=a^2 (1)
x^2 + y^2 =b^2 (2)
(x-m)^2 + y^2=c^2 (3)
が成立するときのl*mの最大値を求める計算になるので
(1)-(2),(3)-(2)の連立方程式を解いて
lm=(y+sqrt(y^2+a^2-b^2))*(x+sqrt(x^2+c^2-b^2))
(2)からx=b*cosθ, y=b*sinθとおけるので
lm(θ) = (b*sin(θ)+sqrt((b*sin(θ))^2+a^2-b^2))*(b*cos(θ)+sqrt((b*cos(θ))^2+c^2-b^2))
この最大値を求めると
θが
[1] 1.03037
のとき
[1] 31.97056 数値を変えて計算させてみた。
> f(3,4,5)
l m Area
1 5.612759 5.696051 31.97056
> f(4,5,6)
l m Area
1 7.042527 7.096993 49.98076
> f(5,6,7)
l m Area
1 8.465368 8.503645 71.98648 前>>447
>>446
点Pが長方形の上辺AD上に来たとき、
AP=3
AC=√(4^2-3^2=√7
PC=√(5^2-7)=√18=3√2
ABCDの面積lm=AC×AD=√7(3+3√2)
=3(1+√2)√7
=19.1622260935……
これが最小値か？
点PとADの距離をaとおくと、
点PとABの距離は√(9-a^2)
ピタゴラスの定理よりl-a=√｛4^2-(9-a^2)｝=√(7+a^2)
点PとCDの距離は√｛5^2-(7+a^2)｝=√(18-a^2)
lm=｛a+√(7+a^2)｝｛√(9-a^2)+√(18-a^2)｝
=√(9a^2-a^4)+√(18a^2-a^4)+√(63+2a^2-4a^4)+√(126+11a^2-4a^4)
微分してlm'=0となるaの値を探る。
√(36a-4a^3)(63+4a-4a^3)(126+22a-4a^3)+√(18a-4a^3)
(63+4a-4a^3)(126+22a-4a^3)+√(36a-4a^3)(18a-4a^3)(126+22a-4a^3)+√(36a-4a^3)(18a-4a^3)(63+4a-4a^3)=0
0＜a＜3より9-2a^2=0
a=3/√2=3√2/2
lm=｛3√2+√(7+9/2)｝｛√(9-9/2)+√(18-9/2)｝
=(3√2/2+√46/2)(3√2/2+3√6/2)
=3(√2+√46)(√2+√6)/4
=3(1+√23)(1+√3)/2
=23.7517592907……
これが最大値か？
だめか、31超えるのか。
63+4a-4a^3=0と63+11a-2a^3=0がまだ可能性ある。 前>>451一部とり下げ。
lm'=0にならないから違う。 前>>452
>>446
最小値=3(1+√2)√7=19.1622260935……
最大値は、
a+√(9+a^2)=√(9-a^2)+√(16-a^2)
a^2=328-√(328^2-65×1600)
=(328-√3584)/65
=(328-16√14)/65
a=√｛(328-16√14)/65｝
一辺=a+√(9+a^2)= √｛(328-16√14)/65｝+√｛9+ (328-16√14)/65｝=5.65390392093……
面積=31.9666295471…… >>448
偶然だろうけど、lとmはかなり近い。(～1.5%)
そこで l=m とおいてみると
l = m = √(17+4√14) = 5.653904
lm = 17+4√14 = 31.96663
x = (l-7/l)/2 = 2.2079107
y = (m-9/m)/2 = 2.0310417 >>454
正方形が最大にはならないのは興味深いな。
PA=3,PB=4,PC=10として>449の式を使って計算させると
> f(3,4,10)
l m Area
1 6.602385 10.38634 68.5746
と出てきた。
ちなみに>449を図示すると
https://i.imgur.com/9c95bOB.png (問題)
全係数が非ゼロの多項式を完全多項式と呼ぶことにする.
たとえば,x^2+x+1は完全多項式だが,x^2+1はそうでない.
次の条件を満たすような自然数nをすべて求めなさい.
[条件]
(x+3)(x-2) のn乗を展開＆整理したものは完全多項式ではない. Pを原点、Aを(3,0)とすると
原点を中心とする
半径４の円周上の点B、
半径５の円周上の点C
が∠ABC直角になるように動く時の面積の最大値の2倍を求めればいいことになる
https://i.imgur.com/qZltkem.png 例)
n=1 x^2 + x - 6,
n=2 x^4 + 2x^3 - 11x^2 - 12x + 36,
n=3 x^6 + 3x^5 - 15x^4 - 35x^3 + 90x^2 + …
n=4 x^8 + 4x^7 - 18x^6 - 68x^5 + 145x^4 + …
n=5 x^10 + 5x^9 - 20x^8 - 110x^7 + 185x^6 + …
n=6 x^12 + 6x^11 - 21x^10 - 160x^9 + 195x^8 + …
n=7 x^14 + 7x^13 - 21x^12 - 217x^11 + 161x^10 + …
n=8 x^16 + 8x^15 - 20x^14 - 280x^13 + 70x^12 + …
n=9 x^18 + 9x^17 - 18x^16 - 348x^15 - 90x^14 + …
n=10 x^20 + 10x^19 - 15x^18 - 420x^17 - 330x^16 + …
n=11 x^22 + 11x^21 - 11x^20 - 495x^19 - 660x^18 + …
n=12 x^24 + 12x^23 - 6x^22 - 572x^21 - 1089x^20 + …
n=13 x^26 + 13x^25 - 650x^23 -1625x^22 + 15015x^21 + …
n=14 x^28 + 14x^27 + 7x^26 - 728x^25 - 2275x^24 + …
n=15 x^30 + 15x^29 + 15x^28 - 805x^27 - 3045x^26 + …
う～む、無いなぁ… >>459
n=13 で x^24 の項が消えてるじゃん とりあえずn≦200までで２つしかない
main = do
let x = P [0,1]
--print $ (x+1)^7
--print $ (x-1)^8
let cond (P cs) = (not . all (/=0)) cs
print $ map fst $ filter (cond.snd) $ take 200 $ [ (n,((x+3)*(x-2))^n) | n <-[1..]]
----
[13,38] (xx+x-6)^n = x^{2n} + n･x^{2n-1} + (n(n-13)/2)･x^{2n-2}
+ (n(n-1)(n-38)/6)･x^{2n-3} + (n(n-1)(nn-77n+582)/24)･x^{2n-4} + …… + (-6)^n
次のnは？ >>454
PC = √23 = 4.7958 とすれば
P(x,y)
x = (l-7/l)/2,
y = (m-7/m)/2,
l = m = (3+√23)/√2 = 5.512485 (正方形)
のとき最大
lm = 16 + 3√23 = 30.3875
このとき
x = y = 3/√2 = 2.12132
PD = PB = 4, >>456
は答えあるんかな？
また「作ってみました」ってオチのやつじゃないの？ 前>>453
>>446
分岐点と辺の最短距離をaとすると、
長方形の面積f(a)=a√(9-a^2)+√(81-a^4)+a√(16-a^2)+√(144+7a^2-a^4)
f'(a)の分子=(9-3a^2)√(9+a^2)(16-a^2)-2a^3√(16-a^2)+4(8-a^2)√(81-a^4)-a(2a^2-7)√(9-a^2)=0 >>456 の出題者じゃないけど類題、というか弱い結果を与える問題
多項式 (x+3)(x-2) のn乗が完全多項式になるような n は無限に存在することを示せ >>462
おお
最高次数から4つ目以降は、多項式が
因数分解できなくなって
整数解なしになりそうですね
結局13と38だけっぽい (x+3)(x-2) のn乗の x^(n-m) の係数を P_m(n) とおけば
0≦k<[m/2] の時 P_m(k)=0 にはなるから、因数分解自体はできるね
それ以外に1次の因子で分解できないことが示せたらOKなんだろうけど、できるんかなあ… 前>>465
>>448
(m-9/m)/2=6√2/√17はどうやって出したの？
ていうかこれはなに？ なんで必要な値なの？
ほんの少し横長な長方形が最大になる可能性があるのはわかる気がするけど、
9/mってなに？ >>468 のヒントになっちゃうけど
有限体上の完全多項式とかならある程度興味の対象にできそうな気はしてるが
数学的に重要な概念というより、これ絡みで難しい問題が作りやすいみたいな感じじゃないかなあ >>449
a=3 b=4 c=5
f(x) = (√(a^2-x^2)+√(b^2-x^2))*(x+√(x^2+c^2-b^2))
f'(x)=0 を解いて x = a*b/√(a^2+c^2)
f(a*b/√(a^2+c^2)) = b*√(a^2 - b^2 + c^2) + a*c
検算
fmax <- function(a,b,c) b*sqrt(a^2 - b^2 + c^2) + a*c
> fmax(3,4,5)
[1] 31.97056
> fmax(3,4,5)
[1] 31.97056
> fmax(4,5,6)
[1] 49.98076
> fmax(5,6,7)
[1] 71.98648 >>450
a=3 b=4 c=5
# l
(a*sqrt(a^2 - b^2 + c^2) + b*c)/sqrt(a^2 + c^2)
# m
(c*sqrt(a^2 - b^2 + c^2) + a*b)/sqrt(a^2 + c^2)
# Area
b*sqrt(a^2 - b^2 + c^2) + a*c
検算
> (a*sqrt(a^2 - b^2 + c^2) + b*c)/sqrt(a^2 + c^2)
[1] 5.612792
> # m
> (c*sqrt(a^2 - b^2 + c^2) + a*b)/sqrt(a^2 + c^2)
[1] 5.696017
> # Area
> b*sqrt(a^2 - b^2 + c^2) + a*c # Area
[1] 31.97056
>448の値と一致 >>470
P(x,y) とおく。
7 = PB^2 - PA^2 = (l-x)^2 - x^2,
∴ x = (l-7/l)/2,
9 = PC^2 - PB^2 = (m-y)^2 - y^2,
∴ y = (m-9/m)/2,
lとmを関係づける、もう１つの条件がいる。 例えば
PA = 3, PB = 4, PC = 5,
PD = √(9+25-16) = 3√2,
など。
PA=3 の場合は
(l-7/l)^2 + (m-9/m)^2 = (2PA)^2 = 6^2, …… (1)
2(l-7/l)(1+7/l^2)dl + 2(m-9/m)(1+9/m^2)dm = d(PA^2) = 0,
これと面積最大条件
m･dl + l･dm = d(l･m) = 0,
(1/l)dl + (1/m)dm,
から
(l-7/l)(l+7/l) = (m-9/m)(m+9/m),
l^2 - (7/l)^2= m^2 - (9/m)^2, …… (2)
(1)(2)から l,m がきまる。 前>>470
>>476
7=PB^2-PA^2の7ってなに？
ピタゴラスの定理で(√7)^2ってこと？ 正方形ABCDの内部の点をPとしてPA=a,PB=b,PC=cのとき正方形の面積を求めよ。
答 (1/2)*(a^2 + c^2 + sqrt(-a^4 + 2*a^2*(2*b^2+c^2)-(c^2-2*b^2)^2 )) >>478
検算
> ll <- function(a,b,c) (1/2)*(a^2 + c^2 + sqrt(-a^4 + 2*a^2*(2*b^2+c^2)-(c^2-2*b^2)^2 ))
> ll(3,4,5)
[1] 31.96663
>454のｌｍの値と一致しているので一般解でよさそう。 b√2 = b' とおいて
lm = (1/2){aa + cc + √((a+b'+c)(a+b'-c)(a-b'+c)(-a+b'+c))}
= (1/2){aa + cc + 4S(a, b', c)}
でもいいかな?
S(a,b',c) は辺長が a, b', c である三角形の面積。 >>480
きれいな式になるんですね。
検算
> lm = function(a,b,c) {
+ b1=sqrt(2)*b
+ (1/2)*(a^2 + c^2 + sqrt((a+b1+c)*(a+b1-c)*(a-b1+c)*(-a+b1+c)))
+ }
> lm(3,4,5)
[1] 31.96663 〔問題〕
正方形ABCDの内部の点をPとして PA=1, PB=2, PC=√{3 + 2√3 + √(2(√3-1))} = 2.9806212 のとき
∠PBA を求めよ。 前>>477
長方形の面積が31.97を超えるとは思えない。 >>482
√{3 + 2√3 + √(2(√3-1))}= 2.770217になるのですが。 >>482
PC=sqrt(3 + 2*sqrt(3) + sqrt(2*(sqrt(3)-1)))だと
> BAC(P,A,B)
rad deg
0.8490976 48.6497102
正方形の面積
> lm(a,b,c)
[1] 7.086687
PC=2.9806212だと
> BAC(P,A,B)
rad deg
0.7992808 45.7954192
> lm(a,b,c)
[1] 7.769885
作図してベクトルの内積にacosつかって角度を出した。 >>466 答え
(x+3)(x-2) を有限体F_5の多項式と見なせば、展開して x^2+x-1 となる。
これを二乗したら x^4+2x^3+4x^2+3x+1 となり、更にフロベニウス準同型を考えれば
(x^2+x-1)^(2*5^m) = x^(4*5^m) + 2x^(3*5^m) + 4x^(2*5^m) + 3x^(5^m) + 1
となることがわかる。
これより、(x^2+x-1) を 2*(1+5^1+5^2+…+5^m) 乗して得られる F_5 上の多項式は
定数から最高次までの係数が全て非0になることが導かれる。
これは有理数係数多項式 (x+3)(x-2) の 2*(1+5^1+5^2+…+5^m) 乗の、定数から最高次までの
各係数が5で割りきれないことを意味し、従ってこれは完全多項式となる。 >>484
ｽﾏｿ.
PC = √{3 + 2√3 + ２√(2(√3-1))} = 2.9806212
だた…orz >>485
ｽﾏｿ.
PC = √{3 + 2√3 + ２√(2(√3-1))} = 2.9806212
だた...orz
下の方の面積は正解です。
l = m = (1+√3)/(√2) + √(√3 -1) = 2.78745133
さすが公式の威力…
※ 元の問題では PC=3 で (高校数学質問スレPart408．270)、その場合は
l-x = (4+√2)/l, y = (√2)/l, l = √(5+2√2) = 2.79793265
tan(∠PBA) = y/(l-x) = 1/(1+2√2),
∠PBA = 14.6388°
これと大差ないと思ったんだが… >478の複雑な式からどうしたら>480のようなきれいな式を思いつくのかが不思議。
俺は>478を導出するだけでも一苦労したんだけど。 前>>483
>>455
最大になるときＰはACよりD側にあるの？
B側にあるほうが大きくなりそうな気がしてPとABの距離をaとおいたところを、
D側にあるほうが大きくなると見てＰとADの距離をaとおきなおした。
ABCD=｛a+√(7+a^2)｝｛√(9-a^2)+√(18-a^2)｝
=a√(9-a^2)+√(7+a^2)(9-a^2)+a√(18-a^2)+√(7+a^2)(18-a^2)
ABCD'の分子=0よりa=3のときABCDは最小。
最大になるとき0＜a＜3√2/2
a^2=bとおいて(b^2-2b+63)(b-18)(b^2-11b+126)=0
0＜b＜9/2だからb^2-2b+63=(b-1)^2+62＞0
(b-18)(b^2-11b+126)=0
ここまでできた。 >>476
PA=a, PB=b, PC=c のとき
PD = √(aa-bb+cc) = d,
{l - (bb-aa)/l}^2 + {m - (cc-bb)/m}^2 = (2a)^2, …… (1)
l^2 - ((bb-aa)/l)^2= m^2 - ((cc-bb)/m)^2, ……Max条件 (2)
(1) (2)から l,m を求めると
l = (ad+bc)/√(aa+cc),
m = (ab+cd)/√(aa+cc),
点Pの座標 (x,y) は
x = {l - (bb-aa)/l}/2 = ad/√(aa+cc),
y = {m - (cc-bb)/m}/2 = ab/√(aa+cc). >>490
ABCDの面積の最大値を求めるためにbで微分すると、
b(7+b) = (9-b)(18-b),
17b = 81,
b = 81/17,
a = 9/√17 = 2.1828206 ････ 点Pと辺ADの距離(x)
l = a + √(7+aa) = (9+10√2)/√17 = 5.6127923 … AB = CD
m = √(9-aa) + √(18-aa) = 3(5+2√2)/√17 = 5.6960174 … BC = DA >>492
l(x) = x + √(7+xx),
m(x) = √(9-xx) + √(18-xx),
これより
l' /l = 1/√(7+xx)
m' /m = - x/√((9-xx)(18-xx))
Max.条件より
0 = S'(x)
= (l･m)'
= l'･m + l･m'
= l･m(l' /l + m' /m)
= l･m{1/√(7+xx) - x/√((9-xx)(18-xx))},
∴ xx (7+xx) = (9-xx) (18-xx),
∴ xx = 81/17,
∴ x = 9/√17 = 2.1828206 >>488
点P の座標は
x = √(√3 -1) = 0.855599677
y = (√3 -1)/(√2) = 0.517638090 >>491
面積の最大値は
lm = (ad+bc)(ab+cd)/(aa+cc),
d = √(aa-bb+cc),
・l=m で最大となるのは
(a-c)(b-d) = 0,
(a-c)(aa-2bb+cc) = 0,
の場合。 自然数列は有限個の「公差が1より大きく、かつそれぞれの公差が異なる等差数列たち」で分解することは出来ないことを証明せよ 前>>490
>>492
間違いなくこれが正解の正攻法だから、
もうちょい詳しく飛ばさずに書いて。
bで微分する前の式はどれ？
b(7+b)も(9-b)(18-b)も、
元は√b+√(7+b)と√(9-b)+√(18-b)のはず。
根号の和のかたちから、根号を外した積のかたちにするのは、
微分の一言だけではわかりかねます。飛躍してます。
説明不足で不正解とも言われかねません。 >>497
l(b) = √b + √(7+b),
m(b) = √(9-b) + √(18-b),
S(b) = l(b)･m(b),
とおく。
l' /l = 1/{2√b･√(7+b)}
m' /m = - 1/{2√(9-b)･√(18-b)}
ここで ' はbで微分することを示す。
面積最大条件：
0 = S'(b)
= (l･m)'
= l'･m + l･m'
= l･m(l' /l + m' /m)
= l･m･(1/{2√b･√(7+b) - 1/{2√(9-b)･√(18-b)}),
∴ b(7+b) = (9-b)(18-b),
∴ b = 81/17,
∴ a = 9/√17 = 2.1828206 >>480
PD = √(aa-bb+cc) = d,
を使えば
lm = (1/2) {(aa+cc) + √[(2bd)^2 + (2ac)^2 - (aa+cc)^2]}
= (1/2) {(aa+cc) + √[(2bd)^2 - (aa-cc)^2]}
= (1/2) {(aa+cc) + √[(2ac)^2 - (bb-dd)^2]}, 前>>497
長方形ABCDの面積S(a)=a√(9-a^2)+√(9-a^2)(7+a^2)+√(7+a^2)(18-a^2)+√a(18-a^2)
a ^2=bとおくとS(a)=S(b)=√b(9-b)+√(9-b)(7+b)+√(7+b)(18-b)+√b(18-b)
微分してS'(b)=(1/2)(1/√b)√(9-b)+√b(1/2)｛-1/√(9-b)｝+(1/2)｛-1/√(9-b)｝√(7+b)+√(9-b)(1/2)｛1/√(7+b)｝+(1/2)｛1/√(7+b)｝√(18-b)+√(7+b)(1/2)｛-1/√(18-b)｝+(1/2)(1/√b)√(18-b)+√b(1/2)｛-1/√(18-b)｝=0
√(9-b)/2√b-√b/2√(9-b)-√(7+b)/2√(9-b)+√(9-b)/2√(7+b)+√(18-b)/2√(7+b)-√(7+b)/2√(18-b)+√(18-b)/2√b-√b/2√(18-b)
(9-b-b)/2√b(9-b)-(7+b-9+b)/2√(9-b)(7+b)+(18-b-7-b)/2√(7+b)(18-b)+(18-b-b)/2√b(18-b)=0
通分して(9-2b)√(7+b)(18-b)+(2-2b)√b(9-b)+(11-2b)√b(9-b)+(18-2b)√(9-b)(7+b)=0
ここまでできた。 前>>501
>>499
とりあえずlとmは使わずに解いて。
答えは9/√17で納得のいく値だから、
途中を書いて。いじわるせんでさぁ。 そう言われても…
l' = l/{2√b･√(7+b)}
m' = - m/{2√(9-b)･√(18-b)}
が出ればあとは
l'/l + m'/m = 0
に入れるだけ 前>>501計算間違いか。微分のことは微分でする。lとmは使わずに。
S(b)=√b(9-b)+√(9-b)(7+b)+√(7+b)(18-b)+√b(18-b)
S'(b)=(-2b+9)/2√b(9-b)+(-2b+2)/2√b(9-b)(7+b)+(11b+63)/2√(7+b)(18+b)+(-2b+18)/2√b(18-b) 前>>504訂正。
(9-2b)√(7+b)(18-b)+(2-2b)√b(9-b)+(11-2b)√b(9-b)+(18-2b)√(9-b)(7+b)=0
(9-2b)(7+b)√(9-b)(18-b)+(13-4b)(9-b)√b(7+b)+(18-2b)(9-b)(7+b)=0
まだ遠い。
b(7+b) = (9-b)(18-b) >>503
l' = {√b + √(7+b)} '
= 1/(2√b) + 1/(2√(7+b))
= {√(7+b) + √b} / {2√b･√(7+b)}
= l(b) / {2√b･√(7+b)},
m' = {√(9-b) + √(18-b)} '
= - 1/(2√(9-b)) - 1/(2√(18-b))
= - {√(18-b) + √(9-b)} / {2√(9-b)･√(18-b)}
= - m(b) / {2√(9-b)･√(18-b)}
あとは
l'/l + m'/m = 0
に入れるだけ 前>>505
>>499
bで微分すると言った以上はbで微分して。
lとmは使わずに。 S(b) のまま微分するのはお奨めしないが、やるとすれば
2S '(b) = (-2b+9)/√(b(9-b)) + (-2b+2)/√((7+b)(9-b)) + (-2b+11)/√((7+b)(18-b)) + (-2b+18)/√(b(18-b)),
ここで
(-2b+9)/√(b(9-b)) = {(9-b) - b}/√(b(9-b)) = √(9-b)/√b - (√b)/√(9-b),
(-2b+2)/√((7+b)(9-b)) = {(9-b) - (7+b)}/√((7+b)(9-b)) = √(9-b)/√(7+b) - √(7+b)/√(9-b),
(-2b+11)/√((7+b)(18-b)) = {(18-b) - (7+b)}/√((7+b)(18-b)) = √(18-b)/√(7+b) - √(7+b)/√(18-b),
(-2b+18)/√(b(18-b)) = {(18-b) - b}/√(b(18-b)) = √(18-b)/√b - (√b)/√(18-b),
だから
2S '(b) = {1/√b + 1/√(7+b)}{√(9-b) + √(18-b)} - {√b + √(7+b)}{1/√(9-b) + 1/√(18-b)}
= {1/√b + 1/√(7+b)}{1/√(9-b) + 1/√(18-b)}√((9-b)(18-b)) - {1/√b + 1/√(7+b)}{1/√(9-b) + 1/√(18-b)}√(b(7+b))
= {1/√b + 1/√(7+b)}{1/√(9-b) + 1/√(18-b)}{√((9-b)(18-b)) - √(b(7+b))},
√((9-b)(18-b)) - √(b(7+b)) = 0,
移項して2乗する。 前>>507
>>508
b=81/17になった。
S(b=81/17)=(54√2+120+50√10+45√5)/17=26.7708514332……
最大じゃない。 b = 81/17 のとき
l = √b + √(7+b) = (9+10√2)/(√17),
m = √(9-b) + √(18-b) = 3(2√2 + 5)/(√17) ≠ (6√2 + 5√5)/(√17),
S = l･m = 3(5+4√2) = 31.97056275
どこから √5 が出てきたかな？？ 前>>509できたわ。計算が難しい。符号がとくに間違いがち。
lとmは使わずに微分のことは微分で解くべきだと思う。
>>446
長方形ABCD=S(a)=a√(9-a^2)+√(9-a^2)(7+a^2)+√(7+a^2)(18-a^2)+a√(18-a^2)
a^2=bとおくとS(a)=S(b)=√b(9-b)+√(9-b)(7+b)+√(7+b)(18-b)+√b(18-b)
微分してS'(b)=(-2b+9)/2√b(9-b)+(-2b+2)/2√(9-b)(7+b)+(-2b+11)/2√(7+b)(18-b)+(-2b+18)/2√b(18-b)=0
2S'(b)=√(9-b)/√b-√b/√(9-b)-√(7+b)/√(9-b)+√(9-b)/√(7+b)
+√(18-b)/√(7+b)-√(7+b)/√(18-b)+√(18-b)/√b-√b/√(18-b)
=｛1/√b+1/√(7+b)｝｛√(9-b)+√(18-b)｝-｛1/√(9-b)+1/√(18-b)｝｛√b+√(7+b)｝=0
1/√b(7+b)=1/√(9-b)(18-b)
b(7+b)=(9-b)(18-b)
7b=-27b+162
34b=162
17b=81
b=81/17
S(b=81/17)=√81(153-81)/17+√(153-81)(119+81)/17+√(119+81)(306-81)/17+√81(306-81)/17
17S=54√2+120+150√2+135
=255+204√2
S=15+12√2
=31.9705627485……
最大値31.97超えた。 2つ以上の開円盤の直和の閉包は閉円盤になりえるか？ 前>>511
>>512
葡萄島を円でやると考えると可能だと思う。
ある程度ジャンケンに勝つことが必要。 互いにdisjointな開円盤の集合全体は包含関係で帰納的順序集合
極大元取れば‥
ホントは選択公理いらんけど >>515
正解です
正確には背理法で、Bを与えられた開球として、Dをその閉包とする。D内の開円盤直和の極大元の閉包MがもしDでないとすると、
B\Mが空でない開集合になって、開球を中に入れることが出来るので極大性に矛盾です。
ちなみにこの主張はルベーグ測度の回転不変性の別証明とかにも役立ちます 某パズル本より
3次元ユークリッド空間は互いにdisjointな円周の和で表される事を示せ 六角形ABCDEFの辺の長さが全て1とする。
∠A=∠C=∠E=90度のとき、この六角形の面積を求めなさい。 1/2×3+1/2×√2^2×√3/2
=3/2+√3/2 前>>514
>>518
六角形ABCDEF=△ABF+△BCD+△DEF+△BDF
=3△ABF+△BDF
=3/2+(√3/4)√2
=3/2+√6/4 前>>520訂正。
>>518
六角形ABCDEF=△ABF+△BCD+△DEF+△BDF
=3△ABF+△BDF
=3/2+(√3/4)(√2)^2
=3/2+√3/2 >>512
これってZornとか使わずに具体的な構成って出来るの？ >>522
例えば閉円盤Dの内点の点のうちx座標もy座標系も有理数である点の全体を並べたものp1,p2,‥を“具体的に”与えておく(それが可能なのはゲーデルの定理)
ただしp1は中心でないとする
piの部分列qiと開円盤の列U1,U2,‥を帰納的に以下のように定める
まずq1=p1とし、U1は中心がq1で半径がdist(q1, ∂D)の開円盤とする
Unまで定まった時q(n+1)はp(n+1)移行の点で∪[i≦n]Uiの閉法Fに属さない一番最初の点piをq(n+1)とし中心がq(n+1),半径がdist(q(n+1),F)の開円盤をU(n+1)とする
コレで完成
この作業を“具体的に”行うプログラムなども作ろうと思えば作れる(ゲーデルの定理) >>524
おーありがとうございます！
なるほど有理点に端から円を乗せていって隙間に埋めていく感じでいいのか >>481
b√2 = b' とおいて
辺長が a,b',c である三角形の頂角をα, β', γ とする。
第二余弦定理を使って
二辺が b,c で挟角が α+45°の三角形の対辺は l.
二辺が c,a で挟角が β'+90°の三角形の対辺は l√2,
二辺が a,b で挟角がγ+45°の三角形の対辺は l.
ここに l = √{(aa+cc+4S)/2}, S = S(a,b',c)
上記の3つの角の合計は 360°だから
これらの三角形を組合せて
辺長 l,l,ｌ√2 の直角二等辺三角形を作れる。 >>481
つまり
∠APB = γ + 45°
∠BPC = α + 45°
∠CPA = β' + 90° >>478
チョト一般化してみた。
〔類題〕
⊿ABC (∠A, ∠B, ∠C は所与) の内部の点をPとして
PA=a, PB=b, PC=c のとき、
⊿ABCの外接円の半径Rを求めよ。 辺長が a ' = a･sin(A), b ' = b･sin(B), c ' = c･sin(C) である三角形の
頂角を α, β, γ 面積を S ' = S(a ', b ', c ') とする。
第二余弦定理を使って
二辺が b,c で挟角が α+A の三角形の対辺は 2R sin(A)
二辺が c,a で挟角が β+B の三角形の対辺は 2R sin(B),
二辺が a,b で挟角が γ+C の三角形の対辺は 2R sin(C),
ここに
(2R)^2 = {sin(A)cos(A)aa + sin(B)cos(B)bb + sin(C)cos(C)cc + 4S’}/{sin(A)sin(B)sin(C)},
S ' = S(a', b', c')
上記の3つの角の合計は 360°だから
これらの三角形を組合せて
題意の条件をみたす⊿ABCを作れる。
A=45°, B=90°, C=45° の場合が >>478 (補足)
(対辺)^2 = aa + cc - 2ac cos(β+B)
= aa + cc - 2ac cosβ cos(B) + 2ac sinβ sin(B),
の計算はチョト面倒だが
第二余弦定理から
2ac cosβ = {(a')^2 + (c')^2 - (b')^2}/{sin(A)sin(C)}
= {sin(A)/sin(C)}aa + {sin(C)/sin(A)}cc - {sin(B)^2/sin(A)sin(C)}bb,
正弦定理・第一余弦定理から
1 - cos(B)sin(A) /sin(C) = sin(B)cos(A) /sin(C),
1 - cos(B)sin(C) /sin(A) = sin(B)cos(C) /sin(A),
また
2ac sinβ = 4S '/{sin(A)sin(C)}
これらより
(対辺) = ････ = 2R sin(B), Xを証明が既に得られている数学の問題文の集合とする。
f:X→Rを
f(問題)=その問題の証明にかかった時間
g:X→Rを
g(問題)=日本語にした際の問題文の長さ
とする
inf{ g(問題)/f(問題) | 問題∈X }
を求めよ. >>528-529
A = B = C = 60° (正三角形) の場合が
[エレ解スレ３．807-812]
http://www.web-nippyo.jp/20529/ 出題1 >>531
円積問題(解決まで約2000年)が有力候補だな >>528
問題が三角形の面積や辺の長さでなく外接円の半径にしているのは
何か意味があるんでしょうか？ なるほど。面積の方がシンプルですね。
s = (1/2)(2R)^2 sin(A)sin(B)sin(C)
= (1/2){sin(A)cos(A)aa + sin(B)cos(B)bb + sin(C)cos(C)cc} + 2S',
S' = S(a' ,b', c') >>528
具体的な数値にしてPを探索させて面積を出すプログラム作ってみた。
⊿ABC (∠A＝50°, ∠B＝70°) の内部の点をPとしてPA=2 PB=3, PC=4 のとき、⊿ABCの面積を求めよ。
プログラム解（適当に選んだ数字なので厳密解はきれいな値にならないと思う）
> DV2A(50,70,2,3,4)
[1] 10.129
https://i.imgur.com/PFt8IBP.png
A=45, B=90°で a=3 ,b=4, c=5のとき長方形の面積は三角形の2倍なので
> DV2A(45,90,3,4,5)*2
[1] 31.966
これは>481と一致。 Excel解
s(50,70; 2,3,4) = 10.1292395794765
S' = S(2sin(50), 3sin(70), 2√3) = 2.1170290447659
s(45,90; 3,4,5) * 2 = 31.966629547096
S' = S(3/√2, 4, 5/√2) = 3.74165738677394 >>539
厳密解での検算ありがとうございます。
プログラムはバグなく動作している模様でほっとしました。 >>518
図示できないと気持ちが悪いので作図してみた。
https://i.imgur.com/rywGKMj.png
作図できたら計測できるので面積を計算。
> with(vtx,ABC2S(A,F,B)+ABC2S(C,D,B)+ABC2S(E,F,D)+ABC2S(B,D,F))
[1] 2.366025
>521を少数表示すると、
> 3/2+sqrt(3)/2
[1] 2.366025
御明算！ >>541
少し一般化しても、たいして面白くないな。
六角形AB,CD,EFの辺の長さをn,BC,DE,FAの長さをm、
∠A=degA° ∠C=degC° ∠E=degE°、とする。
m=1,n=2, degA=60,degC=90,degE=120のとき
この六角形の面積を求めなさい。
作図するプログラムを書くのが面白かっただけ。
https://i.imgur.com/m045k8H.png
> Hexagon(1,2,60,90,120)
[1] 4.652337 s(m,n; A,C,E) = ⊿FAB + ⊿BCD + ⊿DEF + ⊿BDF
= (1/2)mn{sin(A)+sin(C)+sin(E)} + ⊿BDF
第二余弦定理より
BD^2 = m^2 + n^2 - 2mn･cos(C),
DF^2 = m^2 + n^2 - 2mn･cos(E),
FB^2 = m^2 + n^2 - 2mn･cos(A),
⊿BDF = S(BD,DF,FB)
= (1/4)√{4(mm+nn)^2 + (4mn)^2[cos(A)cos(C)+cos(C)cos(E)+cos(E)cos(A)] - (mm+nn + 2mn[cos(A)+cos(C)+cos(E)])^2}
cos(A)+cos(C)+cos(E)=0 のときは
⊿BDF = (1/4)√{3(mm+nn)^2 + (4mn)^2[cos(A)cos(C)+cos(C)cos(E)+cos(E)cos(A)]}
例)
mm+nn = 5, 2mn = 4,
cos(A) + cos(C) + cos(E) = 0,
FB = √3, BD = √5, DF = √7,
⊿FAB = ⊿DEF = (1/2)√3, ⊿BCD = 1, ⊿BDF = (1/4)√59,
s(1,2; 60,90,120) = 1 ⊹ √3 + (1/4)√59 = 4.652337244536 >>543
厳密解の計算ありがとうございました。
プログラムでの数値解と合致して安心できます。 むこうのスレで盛り上がってますね。（イナさん他）
ヘロンの公式までは高校数学ですかね >>546
投稿した図は、数値計算に基づいて作図したと記載したら
イナ大先生から、
即、
> 図よりc=4.9
> θ=11°
というレスが返ってきて笑ってしまった。
道楽が楽しめるイナ大先生のユーモアに脱帽。 >>517
某パズル本の解答によるヒントです
・まず任意の球面Sから任意の２点p,qを選ぶときS＼{p,q}は円周で分割できる事を示す
・よってr>0に対して原点中心、半径rの球面Srから２点pr,qrを選ぶとき、R^3＼∪{pr,qr}は円周で分割できる
・そこで∪{pr,qr}∪{0}がうまく円周で分割できるように{pr,qr}を選べないか？
著者によるとこれ以外にも方法はいくつか見つかっているそうな >>538-539 (上)
ついでながら、AB^2 = x とおくと
正弦定理より
BC^2 = pp x,
CA^2 = qq x,
ここに
p = sin(50)/sin(60) = sin(50)･2/√3,
q = sin(70)/sin(60) = sin(70)･2/√3,
x を求める式は (イナ氏)
sqrt((49-p*p*x)*(p*p*x-1)) + sqrt((36-q*q*x)*(q*q*x-4)) + sqrt((25-x)*(x-1)) - sqrt(3)*p*q*x = 0, where p= 0.884551930891917861607228426181188396289151, q=1.085063575132498257126257622997857631052135
計算結果
x = 24.372365795851178986638086448179657137312
AB = √x = 4.9368376311006197590325370488442433561053
[高校数学の質問スレ４０８．487,527,533,554] 正方形の紙を頂点から切り始め、面積を二等分するとき、切り口の長さを出来るだけ短くするにはどうしたらよいか？ とりあえず最小かどうか知らんけど
θ=1.32664437942827
のとき
一辺のcot(θ)倍したとこから半径1/sin(θ)の円で分割したら長さが1.367191623529913700になった とりあえず最小かどうか知らんけど、
正方形を2つ並べて長方形にする。〔シュタイナーの対称化〕
A(-1,0) B(1,0) C(1,1) D(-1,1)
2点 A, B を通り、x軸との間の面積が１となる、最短の閉曲線を求めよう。
x軸の下に∇形を追加しても同じであろう。
たとえば、半径 1/(sinα), 中心角 2α の円弧としてみよう。
面積条件から
α = 1.206005571956762671263241
弧の長さ(の半分)は
α/(sinα) = 1.290952256413885894632407 あれ？
同じ事やってんのに答え違う？
計算間違えたかな？ しまった
x(sin(x))^2-1/tan(x) = 1
解いてもらってた
x(1/sin(x))^2-1/tan(x) = 1
だorz 拘束条件付きの変分として解いてみたら円弧が必要条件として出るからそれで良さそう 自由端における横断性条件というやつか
ところで正方形の頂点から隣の頂点へのパスで面積を半分にする場合はどうだろう？
この場合、途中が円弧で最初と最後は辺上2線分ということになりそうだけど円の直径が決定できない
線分と円弧が接する場合つまり直径1の円弧で渡るときが最小になりそうな感じはあるが… >>560
あ、これは終点も決めた別問題としての疑問です >>529
計算しない方法
辺長が B'C'=a･sin(A), C'A'=b･sin(B), A'B'=c･sin(C) である三角形の
頂角を ∠A'=α, ∠B'=β, ∠C'=γ とする。
辺C'A'に
辺長が b･sin(A), b･sin(B), b･sin(C) である三角形を貼り付け、
⊿C'A'D'とすれば
A'D' = b･sin(C), B'A' = c･sin(C), ∠B'A'D' = α+A,
B'C' = a･sin(A), C'D' = b･sin(A), ∠B'C'D' = γ+C,
二辺が b,c で挟角が α+A の三角形の対辺は x = B'D'/sin(C),
二辺が a,b で挟角が γ+C の三角形の対辺は z = B'D'/sin(A),
よって
x/sin(A) = z/sin(C) (= 2R)
他も同様。 >>560
固定端の方での条件が変わるだけで端じゃないとこの極小条件変わんないんだからやはり円弧やね >>555
円弧であることを前提にして
作図して
https://i.imgur.com/bdmJfo2.png
θをOPの偏角として円弧OQの長さをプログラムで数値積分でグラフにしてみた。
https://i.imgur.com/ju9BBb0.png
円弧の最小値を与える偏角(radian)
$minimum
[1] -0.3647908
円弧の最小値
$objective
[1] 1.290952
>555の値とほぼ一致した。 >>564
尚、最短の円弧をあたえる円の半径は
[1] 1.070436 >>565
円の中心Pの座標（rcosθ,rsinθ)を計算すると
c(r0*cos(opt$minimum),r0*sin(opt$minimum))
[1] 1.0000000 -0.3818823
Pは辺CAの延長上にある。 この問題、両側 or 片側固定の境界条件なら解分かるけど
例えば正方形の頂点からスタートして正方形の中心を通る曲線で分割とかの「途中の点を通る」拘束条件にするとどうなるんだろ
直感的には中心まで真っ直ぐで後は円弧っぽけど >>567
中心まで直線で行ったらその後も直線になりそうに思うんだが
それと両側固定もそんなに明らかなのか
隣り合う頂点を始点終点にした場合は結局どうするのが正解？ まぁ当たり前なわけはないがオイラーラグランジュ方程式はそこまで難しいわけではない
最小値が存在すれば円弧はまぁ素人でもできる
最小値が存在するのはかなりムズイ
昔類題やった時勉強したけどソボレフ空間とか使わないと難しい
同じ人の出題じゃないのかな >>568
勘で1/2辺に沿って進んで真横に切ってまた辺に沿って1/2降りる2とかかな？ >>570
それよりは円弧で橋架ける方が短いよ
少し計算してみたけど水平に架ける場合やはり円弧は直径1のときが最短っぽい
斜めに架けるとかもありえるからまだ正解が分からん 直径1の半円で2頂点をつなぐと面積が不足するから、その分を長方形で補う
つまりその分の高さ(1/2-π/8)だけ橋ゲタを履かす
全長は2×(1/2-π/8)+π/2=1+π/4となって2より少し短い >>573
おお、なるほど、
というか覚え間違えてた
何個か前の面白い問題スレだったと思うんだけど周を動くのも可だけどその場合は内点部分の長さをL1,周の部分の長さをL2とした時のL1+cL2の最小値を求める問題としたときの解は入射角θを”法線から測る時”sinθ=cになるんだった
今回の場合c=1だからθ=π/2、すなわち辺に接するように入射させるんだった 〔553 の類題〕
長方形（横1/2, 縦１) の紙を頂点から切り始め、面積を二等分するとき、
切る長さを出来るだけ短くするにはどうしたらよいか？ 長辺に着地するのか
短辺に着地するのか
どちらでもいいのか
それを問題にしてるんじゃないか まぁ結局
・辺との入射角は法線から測って0°、すなわち垂直にぶつかる
・途中は円弧
を満たす事が必要なのは変わらんからなぁ 前>>521
できるだけ早く対角線に折り目をつけ、
まっすぐに切ることだ。
∴示された。 すごく細長い長方形の場合、短編に着地するよりも長辺に着地した方が短くなるのは明らかだと思うけど、その場合、最小値無しにならないかな？
頂点から長辺のどこかを結ぶ線で最小となるのは長辺に沿って進んで途中から円弧を描いて反対側の頂点へ着地する場合だと思うけど、それは頂点から切り始めるという題意に合わない
頂点から長辺のすぐ近くに沿って切り進んで途中から円弧ということにすると、長辺に近ければ近いほど線長は短くなると思うけど最小値は無しとなる
長辺が短辺のπ/2倍より長くなるとこの状況になるのかな？
なので>>575は解無し？ >>580
確かに紙を切るという設定だとそういう可能性は出てくる
>>573で考えてたときはその設定はなしで考えてたからなぁ
紙を切る設定なら573も解なしか 動ける範囲が定められてるときの変分問題の一般論ってあるんかな
常に境界線上の線分と自由な場合の変分解を区分的につなげた形になるとも思えないし 多分最小値はある
でもそれはソボレフ空間の理論とか使わないと難しい
汎関数の凸性とか使う方法とかもあった >>575
長方形 (横a, 縦1) の紙の場合
・0<a≦2/π のとき
長さ (1/2 - πa/4) の線分と 半径a の(1/4)円
・2/π≦a≦1 のとき
半径 a/sin(x), 中心角x の円弧
ただし x/(sin(x)^2) - 1/tan(x) = 1/a,
・1≦a≦π/2 のとき
半径 1/sin(x), 中心角x の円弧
ただし x/(sin(x)^2) - 1/tan(x) = a,
・π/2≦a のとき
長さ (1/2a - π/4) の線分と 半径1の(1/4)円 前>>579
放物線で斜向かいの辺に、
零戦が空母の甲板の手前から3/4の位置に垂直にぶつかるように、
突っこめば真っ二つじゃないのか。
それか対数曲線とかか？ 前>>585
零戦の軌道を放物線として真横から見たとき、
正方形の領空のうち手前から3/4の地点の空母の甲板に垂直に突っこんだ場合、
放物線の内側の面積は正方形の領空のうち2/3だから、
(3/4)(2/3)=1/2
∴あってる。
奥行きが高さの2倍ある領空を零戦が飛んで空母の甲板に垂直に突っこむ場合も同じく、
長方形の領空のうち手前から3/4の地点の空母の甲板に垂直に突っこめば、
領空の面積は、軌道の上と下の面積がちょうど同じになる。 前>>586
y=1-ax^2
0=1-a(3/4)^2
9a/16=1
a=16/9
y=1-16x^2/9 前>>587
放物線じゃないのかな？
最短軌道だよね。
√2=1.41421356……
1.39ぐらいだろうか。 前>>588
y'=-32x/9
長さL=∫[t=0→3/4]√(1+1024t^2/81)dt
こうか？ >>589
それだと長さが1.308…で
変分解である>>555の円弧1.29…より少し長くなってしまう 平面上にN個の点がある
ちょうど2個の点を通る直線は3本だけ引けた
Nの値は3以外にもありえるだろうか？ >>591
訂正
なるべくNで大きいものを求めてください 0<a≦1 とする。
放物線を
y = (3/4aa)(a^2 - x^2),
とすれば
y ' = - (3/2aa)x,
L(a) = ∫[0,a] √{1 + (y ')^2} dx
= (3/4)√{1+(2a/3)^2} + (aa/3)arcsinh(3/2a)
= (3/4)√{1+(2a/3)^2} + (aa/3)log((3/2a) + √{1+(3/2a)^2})
=================================
a 放物線 円弧(+線分)
--------------------------------------------------------
0.0 0.75 0.50 + 50.0%
0.1 0.76301 0.57854 + 31.9%
0.2 0.79280 0.65708 + 20.7%
0.3 0.83423 0.73562 + 13.4%
0.4 0.88459 0.81416 + 8.65%
0.5 0.94211 0.89270 + 5.53%
0.6 1.00544 0.97124 + 3.52%
2/π 1.02989 1.00 + 2.99%
0.7 1.07359 1.04982 + 2.26%
0.8 1.14574 1.12899 + 1.48%
0.9 1.22127 1.20928 + 0.99%
1.0 1.29964 1.29095 + 0.67%
================================== 4点でもあり得ることはすぐにわかるな
5点以上って可能なんだろうか？ あかんわ、ゴメソ。
N=7
⊿の3頂点A,B,C、内部の点X、AXとBCの交点L、BXとCAの交点M、CXとABの交点N だね
3点 ABC (AB, BC, CA)
4点 ABCL (AB, AC, AL)
6点 ABCLMX (AB, LM, CX)
7点 ABCLMNX (LM, MN, NL)
これで全部かな 前>>589
>>553
円弧の中心を正方形の左下頂点の左方aの位置にとると、
円の半径は√(1+a^2)
扇形の中心角をθとすると、
正方形の面積の半分は扇形から直角三角形を引いて、
π(1+a^2)θ/2π-a/2=1/2
(1+a^2)θ=1+a
θ=(1+a)/(1+a^2)
sinθ=1/√(1+a^2)
cosθ=a/√(1+a^2) 前>>599
求める円弧の長さLは、
2π√(1+a^2)(θ/2π)=θ√(1+a^2)
a=1/tanθを代入しL=θ√(1+1/tan^2θ)
=θcosθ/tanθ
=θ(1-sin^2θ)/sinθ
微分して=0を与えるθが、
おそらくLに極値を与え、
それが最小値なんじゃないか？ >>593
0<a≦1 とする。
双曲線函数を
y = {cosh(ka) - cosh(kx)}/k,
(k は等面積条件で決める。)
とすれば
y '= - sinh(kx)
l(a) = ∫[0,a] √{1+(y')^2} dx = sinh(ka)/k,
=========================================
a 放物線 cosh 円弧(+線分)
-----------------------------------------
0.0 0.75 0.53 0.5 + 6.0 %
0.1 0.76301 0.667650 0.57854 +15.4 %
0.2 0.79280 0.730424 0.65708 +11.2 %
0.3 0.83423 0.791905 0.73562 + 7.65%
0.4 0.88459 0.855342 0.81416 + 5.06%
0.5 0.94211 0.921616 0.89270 + 3.24%
0.6 1.00544 0.990922 0.97124 + 2.03%
2/π 1.02989 1.017050 1.0 + 1.70%
0.7 1.07359 1.063184 1.04982 + 1.27%
0.8 1.14574 1.138208 1.12899 + 0.82%
0.9 1.22127 1.215752 1.20928 + 0.54%
1.0 1.29964 1.295561 1.29095 + 0.36%
========================================= 区間 (－1,1) で連続な関数全体で任意の自然数nにおいてx,x^2,…x^nは一次独立であることを示せ >>602
x,x^2,…x^nの線形和をf(x)として、
f(1/2n)=f(2/2n)=...=f(n/2n)=0
の解はヴァンデルモンドの行列式使えばf(x)=0しかない。 >>603
ヴァンデルモンドの行列式が出てくるとはおどろきでした。もう少し詳しく説明してほしいです。 >>604
> >>603
> ヴァンデルモンドの行列式が出てくるとはおどろきでした。もう少し詳しく説明してほしいです。
f(x)の係数を未知数とする方程式f(1/2n)=f(2/2n)=...=f(n/2n)=0
の係数行列を見れば良い。
1/2n,...,n/2nに意味はない。0でない相異なるn点で良い。 >>605
理解できました。ありがとうございます。 実ベクトル空間Vのベクトルuに対してW={au;a∈R}がVの部分空間であることを示せ >>598
５点のときに成立する配置が存在しないのが驚き >>598
しかしこれ証明ってどうやったらいいんだろうなあ >>613
7個の配置図で得られた交点上に点を選ぶとして
https://i.imgur.com/bk5dweB.png
P,Q,Rのいずれか１個、いずれか２個、 ３つ全部
のどの場合も条件を満たさないから、８個以上は無理なのではないだろうか？
でも、五個はだめでも６，７個は可能だったから根拠薄弱だろうな。 >>614-617
もういい、
このスレつまんない、
かえる >>614の正解は
「表面積 = 最も広い断面 4枚分」
が成立するという点でした。
頂点の数が4つの三角錐 と 頂点の数が非常に多い球体
この2つはまったく別物に見えますが
割と似ているんですねぇ
N角錐の頂点の数を無限大へ近づけているだけで 実際には、正N角形で錐の立体が
存在しえないのもあるんでしょうけど、
ここでは観念上で存在するとします。
三角錐から、Nを増やしていくと
Nを3,4,5,6,7,…
三角錐 → 球体 になるっていう。
表面積 = 断面 x 4 平面上のN個の点のうちちょうど二点を通る直線が一つも存在しない場合に
全ての点が同一直線上にある、ってことさえ、示すのはだいぶ難しそうな予感… 問題っていうか、ただの定義の
確認のデモンストレーションみたいでゴメンね。
一応確認したいんだけどさ。
「正N角形のみで構成される立体」 のうち、
その表面積が (最大の) 断面 x 4枚分
となるような立体で実在するのは
三角錐 および 球体 この2つだけ…
という考えは正しいよね？ 例外とか存在せんよな？ >>615-617
体積 → 漢字 → 日本語
と煽り方が上がっていくのが
くそムカつく… （ '‘ω‘）
球体でぶん殴ってあと、三角錐の頂点を突き刺したい 流れを戻します。
問題 1.
「正N角形のみで構成される立体」 のうち、
その表面積が (最大の) 断面 x 4枚分
となるような立体を考える。
この時、実在するのは 三角錐 および 球体 この2つだけである。
これは真であるか、偽であるか？証明せよ。(Aランク大 2020 前期) 三角錐ってだけじゃ最大の断面と表面積の比率は決定しないよなあ
正四面体と言うならそうかもしれんが >>630
それが言いたかった！
立体のうち、表面積が断面(のうちもっとも面積の大きいもの) の
4倍になるのは 球 と 正四面体だけ！！
>>629
言葉がおかしかったな、ごめん。
でも伝わるからいいだろ。
この反例があるなら、挙げてみそみそ。 >>632
全部ってなんやねん。
球 と 正四面体 しかないやろ。
それ以外の四面体を挙げてみろや。 辺の長さが全て等しい多角形において、隣り合う二つの角度が無理数° ならば、それらとは別の角度で少なくとも一つは無理数° であることを示せ. >>633
等面四面体
全ての面が合同なやつ
面積だけ一致させたいならもっとあるんじゃない？ 1+e^(iπq_1)+e^(iπq_2)+…+e^(iπq_n)=0 かつ
q_k(k=1,…,n-1)が有理数、q_nが実数であれば
e^(iπq_n) は代数的数。よってq_nも有理数。 >>625
J.J.シルヴェスターの問題 (T.ガライの定理,1933)
L.M.ケリーが簡明な証明を与えた。(1948)
点の数がN個の場合は、
最小の距離を与える (点, 直線) の組があることを用いる。
(点の数Nが無数の場合は、答が否定的である。)
数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社 (1984) p.142-143 >>638
キーワードで探したらIntegersの記事にあったわ…サンクス >>637
すみません
＞e^(iπq_n) は代数的数。よってq_nも有理数。
これはどうしてでしょうか。 http://integers.ｈａｔｅｎａｂｌｏｇ.com/entry/2016/01/23/054621
でござるか。
元の問題
J.J.Sylvester: The educational times, ４６, No.363, p.156 (1893)
"Mathematical question 11851" >>613
N≧8 の例は存在しないことが知られています。
・2点のみを通る直線の数 ≧ 3n/7.
L.M.Kelly and W.O.J.Moser: Canadian J. Math., １０, p.210-219 (1958)
"On the number ordinary lines determined by ｎ points"
nがじゅうぶん大きいとき、
・2点のみを通る直線の数 ≧ n/2.
B.Green and T.Tao: Discrete & computational geometry, ５０, No.2, p.409-468 (2013)
"On sets defininng few ordinary lines" 元ネタはそういうことなんだけど、この問題自体はもう少し地道に示せます >>627
問：氷が溶けたら何になるか？
答：春になる。
というのに感動するのが風情というもの。 >>634
表面を断面の一部と考えるかどうかだなぁ。 まぁどのみち四面体で無限にあるんだから多面体ならなおさらやろ >>640
あ、しまったこれ成り立たないね
>>637 は無かったことにしてけろ >>632 と >>636 は同じもの。
〔定理4〕
四面体 ABCD で次の2つの条件は同値である。
1．4つの面の面積がすべて等しい。
2．4つの面はすべて合同である。
http://ａｏｚｏｒａｇａｋｕｅｎ．ｓａｋｕｒａ.ne.jp/taiwa/taiwaNch03/simentai/node8.html >>638
・例1
m, n は整数とする。
(2m, ±1) と (n, 0) とからなる集合
・例2
4点 A, B, C, D は有理点 (デカルト座標が有理数) で、
一直線上になく、D は ⊿ABC の内部にあるとする。
その2点を結ぶ線分(6本)上のすべての有理点の集合 >>601
0<a≦1 とする。
対数余弦函数を
y = {log(cos(k'x)) - log(cos(k'a))}/k',
(k' は等面積条件で決める。)
とすれば
y '= - tan(k'x)
L(a) = ∫[0,a] √{1+(y')^2} dx
= ∫[0,a] 1/cos(k'x) dx
= {log[1+sin(k'a)] - log[1-sin(k'a)]}/(2k'),
===================================================
a 放物線 cosh log(cos) 円弧(+線分)
---------------------------------------------------
0.0 0.75 0.53 0.50 0.50
0.1 0.76301 0.667650 0.58835 0.57854 + 1.70%
0.2 0.79280 0.730424 0.67351 0.65708 + 2.50%
0.3 0.83423 0.791905 0.75300 0.73562 + 2.36%
0.4 0.88459 0.855342 0.82888 0.81416 + 1.81%
0.5 0.94211 0.921616 0.90352 0.89270 + 1.21%
0.6 1.00544 0.990922 0.97844 0.97124 + 0.74%
2/π 1.02989 1.017050 1.00613 1.00 + 0.61%
0.7 1.07359 1.063184 1.05449 1.04982 + 0.44%
0.8 1.14574 1.138208 1.13208 1.12899 + 0.27%
0.9 1.22127 1.215752 1.21138 1.20928 + 0.17%
1.0 1.29964 1.295561 1.29240 1.29095 + 0.11%
=================================================== >>649
ごめん、ワイがアホだったわ。
正四面体は三角形4枚で組み立てる
あの立体しか存在しないと思ってた…。
せっかく、イキって球体との共通点とか言い出したのに…
アタシっていつもこう。 >>657
「ある代数的数の共役元のノルムが全て1なら、その代数的数は1のべき根」
これを使います ρが1の冪根、aiが1または0、α=Σaiρ^iにおいて|α|=1のとき、任意の共役元βにおいて|β|=1か？
なのか‥‥ アレ？
でもそれはなんか当たり前？
(Σaiρ^i)(Σaiρ^(-i))=1なら任意のρの共役ζに対して(Σaiζ^i)(Σaiζ^(-i))=1は自明？ >>662
あーなるほどa_i=0の項をワザと付けることでρ=exp(2π√(-1)/n)として、i=0,1,...,n-1として取り尽くせるのか
それならたしかにρ→ζとしてもどこかのiに移るので大丈夫ですね なるほど解決
定理
αが0でない代数的整数、αの任意の共役元βについて|β|≦1のときαは1の冪根
∵) αiを共役の全体としてfn(x)=Π(x-αi^n)とおく
fn(x)は整数係数で係数の大きさは有界
∴ あるlにおいてfn(x)=fl(x)となるnが無限に存在
各nについて置換πnが存在してαi^n=απn(i)^lとなる
πm=πnとなる相異なるm,nがとれてこの時αi^m=αi^n□
いい勉強になった
面白い ----------------------------------
a k (>>601) k ' (>>651)
----------------------------------
0.0
0.1 39.711536350 15.706022968
0.2 15.660233370 7.801745640
0.3 8.798366127 5.091883738
0.4 5.733746213 3.692957976
0.5 4.060380000 2.832843577
0.6 3.034300825 2.251082005
2/π 2.755015295 2.082988243
0.7 2.355461203 1.833574003
0.8 1.881497086 1.521675470
0.9 1.536949312 1.281802519
1.0 1.278464543 1.093178199
---------------------------------- すいません、俺も答え知らないので教えてください。
ある囲碁ＡＩはバージョンが上がるたびにひとつ前のバージョンに60%の確率で勝つ。
この時、バージョン1とバージョンnのプログラムが対戦した時に
バージョンnのプログラムは何%の確率で勝つと考えるのが妥当か？
多分単純に0.6^(n-1)ではないと思ってます。 0.6^(n-1)が違うのは当たり前か。すいません。
1-(0.4^(n-1))も違うと思ってます。 なぜ違うと思うかというとひとつ前のバージョンとの勝率が50%の時に、
つじつまが合わなくなると思うからです。
50%の時は何世代たっても50%になるはず。 グーはチョキに100%の勝率で勝つ
パーはグーに100%の勝率で勝つ
なのでパーはチョキに100%の勝率で勝つ(?) 相性のようなものは考えず、強さは一つのパラメータで表されると仮定してください。 だったらそれぞれに強さとなる実数値を割り振って
勝率とは2実数を比べたときの割合としてみるとか？ ver.1の強さをaとすると
ver.2の強さは1.5aになる(1.5a/(a+1.5a)=0.6)
ver.3の強さは1.5×1.5a
…
ver.nの強さは1.5^(n-1)a
よって
ver.1に対するver.nの勝率は1.5^(n-1)a/(a+1.5^(n-1)a)
=1.5^(n-1)/(1+1.5^(n-1)) バージョン1の強さを4とするとバージョン2の強さは勝率4:6より6
バージョン3の強さをxと置くとバージョン2との勝率4:6より4:6=6:x
これよりx=9
バージョン1とバージョン3が対戦すると4:9となりバージョン3が勝つ確率は4/13
みたいな感じですかね。
これは確かにかなり正しそうに見えます。 >>675
nをバージョン差とすればその式でいいな。 10バージョンが違えば新しいバージョンの勝率は
1.5^10/(1+1.5^10) 五目並べやポーカーなら
この考えでいけそうですね。
将棋だと戦法や相性の違いのため、
バージョン7がバージョン6には有利なのに、
なぜかバージョン5が苦手で負けまくったりしそう。 >>679
おまけ
ヴァージョンが0.1刻みに上がっていって
そのヴァージョンアップでオッズが1.5の10乗根(10^0.1=exp(log(1.5)/10)=1.0438)ずつ上がるとする。
ver3.3とver4.8を対決させると新しい方が勝つ確率は
oz=1.5^0.1
v1=3.3
v2=4.8
v=(v2-v1)/0.1
oz^v/(1+oz^v)
> oz^v/(1+oz^v)
[1] 0.6475296 >>682
蛇足
ver 1.23 とver 4.56の勝率は
x=4.56 - 1.23
oz=1.5^0.01
v=x/0.01
oz^v/(1+oz^v)
> x=4.56 - 1.23
> oz=1.5^0.01
> v=x/0.01
> oz^v/(1+oz^v)
[1] 0.7941621 >>683
version差と勝率をグラフにしてみた。
https://i.imgur.com/AHDO6gA.png
勝率0.9を得るためにはvesionの差が5.42以上必要と計算できた。 1^3=+0!/(0!0!0!)
1^3-1^3=0
1^3-2^3+1^3=-3!/(1!1!1!)
1^3-3^3+3^3-1^3=0
1^3-4^3+6^3-4^3+1^3=+6!/(2!2!2!)
1^3-5^3+10^3-10^3+5^3-1^3=0
1^3-6^3+15^3-20^3+15^3-6^3+1^3=-9!/(3!3!3!)
…
why? より大きい整数を提示したプレイヤーが勝つというルールのゲームにおいて、
あるAIはバージョンnの時に 5n, 5n+6, 5n+12, 5n+18, 5n+24 のいずれかを等確率で出す。
この時、このAIのバージョンnに対するバージョンn+1の勝率は 3/5 であるが、
バージョンnに対するバージョンn+2の勝率は 19/25.
異なるバージョン間の勝率の関係なんてゲームによってそれぞれな気がするけどねえ 実際にあるゲーム、遊技の技量を
1変数だけで表現したとする。
この時、
「任意の版において、
その版がそれよりも旧い版よりも必ずも強い」
が成立するのってどの程度のゲームまでだろ？
プレイに相性が存在しないようなゲーム
・五目並べやポーカー、麻雀… 多分、いける
・チェス…戦法や相性ってどのくらいあるんだろ。
・ポケモン、将棋…構成、戦法で相性があるから
技量を1変数では表現不可能、一見して明らかに不可能。 ・動物しょうぎ …
「飛車角を使う技量a」、
「その他の駒を使う技量b」
の2変数で割といけるか？
a_1+b_1 : a_2 + b_2 = (4:6)
どっかの高専の課題でありそう。 >>667
一般には、勝率をどのような関数にするかで
答えが大きく異なる
将棋の棋士やAIに使われるレーティングの
システムでは、強さの指標である
レーティング差 x に対して、勝率の推定値が
p(x)＝1/(1+e^(-ax))
で求められる。a は定数で、
x＝400 のとき e^(-ax)＝0.1
となるように定める
この場合は、ある勝率 1/(1+t) に対して
k倍のレーティング差の勝率は 1/(1+t^k)
設問では、1世代で60％だから
t＝2/3, k＝n-1 とおいて
n 番目の勝率は 1/(1+(2/3)^(n-1)) 前>>600
>>692
60%って分数で表すと3/5じゃないの？ >>693
0.6/(1-0.6)でオッズは1.5
新バージョンが勝つ確率が1.5倍。 >>690
つまりこうか？
『特定のゲームのあらゆる戦術sに対してある実数f(s)を定めて、
任意の戦術s_1,s_2で手合いをした時の勝率を、
fの値が大きい方が高くなるようにすることは可能か？』
もしそういう問いなら答えは実質的にNoだろうね
実質的にというのは、おそらく定数関数しかないんじゃないかってこと
3×3の○×ゲームを例にとると
s_1=(空きマスがある一番上の行のうち、一番左の空きマスを選択する)
s_2=(空きマスがある一番右の列のうち、一番上の空きマスを選択する)
s_3=(空きマスがある一番下の行のうち、一番右の空きマスを選択する)
s_4=(空きマスがある一番左の列のうち、一番下の空きマスを選択する)
と定めればf(s_1)≦f(s_2)≦f(s_3)≦f(s_4)≦f(s_1)
から全ての値が等しくなければならない
こういう感じのn-すくみは、
どんなに戦術が高度になっても多分存在すると思う そう、“強さ”なんてものがあるパラメータ一個や2個で解析できるわけがない
こんなもん答えの出しようもない 厳密さを追求するだけが数学じゃないでしょ。
モデルを単純化して考えるのも数学じゃよくある話なんでは？ >>697
この問題のヤバイところは、まともなモデル化のもとでは
まず間違いなく「NO」というツマラナイ結果しか出て来なそうなところ。
やるだけ時間の無駄。 勝率はレイティング(技量)の差xで決まる、と考えるんですね。
f(0) = 1/2,
単調増加
f(x)→1 (x→∞) 自問自答
問題
"
Aの通算成績はBを相手にしたときに80勝20負、Cを相手にしたときに30勝20敗である。
BとCが戦ったときの勝率はいくらと推定できるか？
"
答（正しいかどうかわからん）
BA=20/80 # Bの対Aオッズ
CA=20/30 # Cの対Aオッズ
BC=BA/CA # Bの対Cオッズ？
BC/(1+BC)# オッズ確率変換
> BC/(1+BC) # オッズ確率変換
[1] 0.2727273
であってる？ >>700
Bの強さはAの1/4
Cの強さはAの2/3
なので
Bの強さはCの(1/4)÷(2/3)=3/8
と考えたのだが間違っているかなぁ？ >>700
二項分布に従う乱数を発生させてBの対C勝率を出してみた。
https://i.imgur.com/21phdAC.png
厳密解（解析解）の出し方は知らん >>705
同じ勝率でも試合数が増えると信頼区間幅がぐっと狭くなるなぁ。
800勝200敗、300勝200敗で描画してみた。
https://i.imgur.com/nsDe57p.png
信頼区間は乱数発生させてのプログラム解。
厳密解（解析解）の出し方は知らん。 凸閉曲線を二つの平行線で挟むとき、平行線間の距離の最大値を「長径」、最小値を「短径」と定義する
このとき、(凸閉曲線が囲む領域の面積)÷(長径×短径)の最大値、最小値を求めよ そのモデル化がどんなゲームに対してどのくらい妥当なのかがわからないと
どうも実のない議論に感じてしまうよ
例えば反射神経の早さとか筋力を競うゲームであれば
AがBに8割勝ってBもCに8割勝てば
CはAにほとんど全く勝てないであろう状況が想像つくと思う
（>>688のAIバージョンが5違えば勝負が一方的になるみたいにね）
要はある特定の値が高いことが全てなんだから
つまり二者の勝率が値の比で表せるようなそういうモデル化が
正しくないゲームだっていくらでも存在するんだからさ
正しいとまでは言わなくともせめて妥当とくらいは言えるような
現実的なゲームは一個でも提示できるのかい
（まあ存在しないとは思ってないけど、
あまりに一般的な話をしたそうにしてるから
その辺の話をするための準備はどのくらいあるんだろうってね…） >>685
パスカルの三角形を三乗して交代和をとると偶数の段で中央三項係数が出るということです
だれか証明してみて下さい >>695
指摘ありがとう！
>>696
じゃ、何個あればできるんですか？
>>698
つまらないのは問いではなく、
あなたの心です。 将棋やチェスのAIで
大会に出場するような物。
あれは最新版ではなく、
AI同士でぶつけた時に、
もっとも勝率が良かった1つの版が
社の代表に選ばれてるんだろうな。 nを正の平方数とする。
n以上の自然数2つ（同じものでもよい）の積として表せるような自然数のうち、小さい方からn番目のものを、nを用いて表せ。
例、n=4のとき
1番目…4×4=16
2番目…4×5=20
3番目…4×6=24
4番目…5×5=25←答え >>708
なんとなく円がMaxで正三角形がMinっぽいな
証明方法は全然わからんが >>709
疫病の流行モデルでもSIR,Reed-Frost,K値など色々ある。
まあ、そのものがゲームだと思えばダトウセイガーということもない。
コインの表の出る確率がきっちり1/2というのは現実的なダトウセイがないとかいう不毛な議論になる。 >>708
長径か短径かどちらかが定数という条件はないのですか？ >>701
どこがあってない？
正解をお願いします。 短径=r、長径=Rとして
短径rを達成するような平行線を考えて、さらにそれらと直交する2平行線で凸図形を長方形により囲むとき、その2平行線の幅をr’とする
面積Sとして
S/(r*R)≦(r*r’)/(r*R)≦1
さらに、縦a,横b(b＜a)の長方形を考えると、
S/(r*R)=a/√(a^+b^2)→1 (as a→∞)
より少なくともsup(S/(r*R))=1はわかった
ただ1を達成する図形があるかどうかは分からん >>719
だからそもそもまず問題になってないっての
正解もクソもあるか
数学なめんな だったら最初からそう言えや
このスレにはピンからキリまでが
集まっているんや、数学板なめんな >>708
最小値なし。三角形ABCで、頂点Aを、底辺BCと平行のまま遠くへ移動すれば、短径と面積を保存して長径をいくらでも大きくできる。 >>725
BCが遠くに行ったら短径はBCにはならなくないですか？ >>728
> >>727
> ああ頂点AがB側に平行移動した場合ね
あ、ほんとだ。間違ってる。すまん。 多分三角形は一定で1/2じゃないか？
それにしてもこの量は面白いな
割と柔らかい不変量だ
真円も楕円も半円も等しくなる >>730
> 多分三角形は一定で1/2じゃないか？
なるほど。
三角形だと、ある1辺が長径で、そこへ別の頂点からおろした垂線が短径を与えて、それが高さでもあるから1/2ということか？ >>731
そうそう
おそらく1/2が最小値っぽいけど証明がさっぱりだ >>708
Maxを達成する図形は長径と短径で角ばってない必要があり、
Minを達成する図形は長径と短径で角ばっている必要がある、ということか… >>732
> >>731
> そうそう
>
> おそらく1/2が最小値っぽいけど証明がさっぱりだ
長径を実現する線分ABが地面と平行になるように配置して、一番高い点をC、一番低い点をDとする。
面積>=三角形ABCの面積＋三角形ABDの面積=AB×(CとDの落差)/2>=長径×短径/2
で良さそう。 >>734
ああなるほど素晴らしい
線分ABが凸図形に含まれることは大丈夫かな >>735
> >>734
> ああなるほど素晴らしい
>
> 線分ABが凸図形に含まれることは大丈夫かな
きちんと書いてないけど、AとBは凸図形の点だから、線分ABは凸図形に含まれる。
長径を実現する平行線が線分ABと直交するのは、証明しなかったけど、
AとBをそれぞれ通る平行線で間隔が一番広いのは、ABと直交するときだから。で良い？ ついでに、
>722
の不等式
S/(r*R)≦(r*r’)/(r*R)≦1
で、始めの不等式で等号成立なら、図形は長方形で、それならr'<Rとなる。
ということだから、両方の等号成立はない。
つまり、最大値は実現されない。 >>736
うーん
AとBは直径を達成するときの平行線と凸図形の接点のことだよね
線分ABと直行する平行線が最も幅が大きいことはわかるけど、その平行線が凸図形の内部と交わってしまう(つまり挟む、という条件に反する)可能性がありませんか？ >>738
> >>736
> うーん
> AとBは直径を達成するときの平行線と凸図形の接点のことだよね
>
> 線分ABと直行する平行線が最も幅が大きいことはわかるけど、その平行線が凸図形の内部と交わってしまう(つまり挟む、という条件に反する)可能性がありませんか？
それは、もっと遠いA'B'が取れるということになり、より大きな長径が存在するから矛盾。 >>740
わおｗｗ
そりゃそうだｗｗ すんげえスッキリしたありがとう！
これで完全解決か >>742
ええ加減にしろや能無し
お前が作ってる“問題”とかほざいてるもんで数学的問題として解けるものなんかほとんどない
特に確率論がらみはボロボロなんだよ
自分が意味も分からずRのコード書いてなんか数字が出てきたのを勝手に「おお、問題ができた」とか思ってるだけやろ？
アホか？
もうお前には一生確率論は無理や
諦めろ
確率論の教科書一冊も読まんと確率論の問題なんぞ作れるはずない
もちろん確率論ダメなんやから統計もアウト
お前が1番頼りにしてるRが1番活かせる分野でお前はなんもできん 前>>693
>>700
BがCに1回勝つあいだに、
CはBに2回勝つと考えられ、
勝率はCが66.6……%
Bが33.3……% 勝敗の決定がベルヌーイ施行だとするよね
例えば、
A が B に勝つ確率 は、p
A が C に勝つ確率 は、q
そしたら、
100 回 A と B が戦って、「A が B に何回勝つか」 は二項分布に従う
50 回 A と C が戦って、「A が C に何回勝つか」 も二項分布に従う
だけど、B と C が戦ったときの分布に、上記２つの分布がどれくらい相関するのか
そもそも相関なんて存在するのかに関しては、勝負の中身、アルゴリズムによる
その大前提（勝負のルール）を決めずに
「二項分布に従う乱数を発生させてBの対C勝率を出してみた。」
というのは、正直なに言ってるのか分からなかったです。 B と C が勝つ確率も固定（ベルヌーイ施行）で、r とかだとすると、
r の、p, q に関する相関関係がまったくもって問題文からは読み取れんのですよ >700をこういう問題にするとベイズの手法を使わないと計算できないだろうな。
問題が悪いと言ってたら何も始まらないし。
問
Aの通算成績はBを相手にしたときに5勝0敗、Cを相手にしたときに3勝0敗である。
BとCが戦ったときの勝率を推定せよ。
勝率の事前分布をどうするかで結果が変動するけど、Bの勝率は概ね４０％になった。 >>747
なぁ
もうこのスレ荒らすのやめてくれんか？
みんな楽しい美しい数学の問題持ち寄って楽しんでるのわからんか？
迷惑なんだよ >>747
「問題が悪い」という批判は真っ当な批判だよ。
「問題が悪いと言ってたら何も始まらない」なんてのは出題者の言い訳にすぎない。
マトモな出題者ならば、数学の問題としてきちんと成立しているものを最初から提示して、
そこをスタートラインとして回答者と対峙する。これができない出題者は、結局のところ
「オレにはこのトピックスをきちんと数学の問題に落とし込む能力はないが、
しかしオレはこのトピックスを面白いと思っている。あとはオマエラで
何とか数学の問題として成立させてくれ。オレサマの意図をくみ取ってくれ」
などと言っているにすぎない。しかし、出題者がそんないい加減な態度を取るからには、
回答者の方だって、「つまらん。問題が悪い」と一蹴する権利が当然ながら存在する。
そして、回答者が一度そのような態度を取ったからには、出題者の方は素直に引き下がらなければならない。
ここで諦めがつかずに「問題が悪いと言ってたら何も始まらない」などと
食い下がってくる出題者はゴミクズである。
なぜなら、そもそも問題未満の欠陥品を提示してきたのは出題者の方だからである。
回答者がそんな未完成品に付き合ってやる必要はどこにもない。
回答者がそんな未完成品を突っぱねたからと言って、それは回答者のせいではなく、
そんなゴミクズを持ってきた出題者のせいである。
ゆえに、回答者が突っぱねたからには、出題者は素直に引き下がらなければならない。
「問題が悪いと言ってたら何も始まらない」じゃねーんだよ。いい加減に諦めろ。 ミシガン州の大家族に14人目の息子誕生
https://jisin.jp/international/international-news/1601474/
こういうのを聞くと15人めも男である確率を計算したくなる。
1/2だと言う人から1と言う人までいるだろうね。
神のみぞ知るの世界だから、勝手に事前確率分布を設定すれば定量的な議論になる。結果を信じるかは本人の主観。
確率をdegree of credibilityと考えての議論なので。 >>748
>700,>703の議論に>704のレスが返って来ているから
同じように考えて勝率を出そうとした人もいるみたいだぞ。
その勝率をシミュレーションしようとしたのが>705や>707。
Aの通算成績はBを相手にしたときに80勝20敗、Cを相手にしたときに30勝20敗である。
というデータがあるとCの方が強そうだけどどれくらい強いか数値化したくなるんだな。
所詮、現実とは乖離するだろうから数値化に必要な前提を主観的に設定するだけの話。
>547のようなユーモアや>644のような風情に
学問をなめるなと目クジラをたてる椰子の方が俺は嫌だね。
公園で知らない子供に「今日は暖かいね」と言ったら
不審者が小学生に声をかける事案が発生というようなものだよ。 ジャンケンだとグーに勝つパー、そのパーに勝つチョキが最強かと言ったらそうではない
AがBに対する勝率とBがCに勝率がわかっているとき、
こうこうこういう計算をするとAがCに勝つ勝率を求められるとあらかじめ仮定をしないと問題にできないんじゃないんだろうか
で、そう仮定して問題を作るとただの計算問題
しかし、例えば野球やサッカーならBに対して10戦全勝のAがBに対して10戦全敗のCと対戦したらAが圧倒的に高率で勝利するだろうとは推測出来るから、
それを数学的にどのように計算するのが妥当かという議論はあり得るかも知れない
ただ、議論になるだけで確定した答えは出ない気がするが >>752
答えは出ないって最初から言われてる。
そして、答えが出ないことを分かった上で自分なりの見解を出している人は何人かいる。
しかし、そのようなやり取りは>>700前後の一連の流れで既に終わっている。
その流れを汲んだ上で、それでもなお>>747とか>>750とかで
本質的に同じ問いかけを「蒸し返している」のは神経を疑う。
その話、もう終わったでしょっていうね。
野球だのサッカーだの男の子が生まれる確率だの、
表面的に書き方を変えれば全く違う問題になるとでも思ってるのかね。
いつまでそんなくだらない "禅問答" にこだわるつもりなんかね。
いや、考えてる本人は楽しくてしょうがないんだろうけど、
それは結局ただの一人遊びであって、他人を巻き込んでやるようなことではない。
問題として「出題」するには全く向いてない。いい加減にやめろっていう。 彼はきっかけとなるテーマを投じただけ。
・興味がある →
設問に欠陥がある点を指摘して改善してみる
・興味がない → スルーすれば良い
定量的に置き換えるのが不可能であるならば、
どのように設定して代替となる問いを作れるか？
っていうのも話すこともできる。
お互いに煽るのは止めて、仲良くケンカしな。 >>754
「自分が興味のある対象について、適切な数学的モデルを設定して考察する」
という行為は、本人が本人のために自由研究としてやるべきことであって、
つまりは単なる一人遊びなのであって、無関係な他人を巻き込んでやるようなことではない。
問題として出題するには全く向いていない。無理やり問題形式に仕立て上げてみても、
他人にとっては問題未満のゴミクズにしかならない。そして、問題未満のゴミクズを提示して
「一緒にモデル化を考えましょう」「欠陥があるなら代替案を考えましょう」「興味がないならスルーして」
なんてのは、マトモな出題者のやることではない。
中途半端な問いかけしかできないなら、最初から書き込むべきではない。
出題者本人が満足するような問題設定が完成した時点で初めて、
正式な数学の問題として投下すればよいのであって、
問題未満の青写真の段階で安易に書き込んでいいことにはならない。
つまり、この手のいい加減な禅問答を投下する時点でマナーがなってない。
「興味がなければスルーして」と言っておけば予防線になる、・・・わけがない。いい加減にしてほしい。 >>754
だってもうこいつ散々これだけ「なぜ問題として成立してないか」説明されてまだわかってないやん
こんだけ丁寧に色んな人に説明されてまだわかってない
元々無理なんだよ
そもそも数学勉強するつもりなんて最初からないんやろ
何かにつけて「計算しないで」とか「無思考で行くなら」とかそもそも基本的に「数学なんか無駄。こんなもの真面目に勉強してるやつなんかアホ。答えなんか計算機使えばすぐ出せる」って哲学が透けて見えとる
ココは数学という学問に畏敬の念を抱き、その文化を尊ぶ人の集まりちゃうん？
こんな数学という学問そのものに対して侮蔑の言葉を平気で吐けるやつにはいて欲しくないんだよ >>750
男女比は
>人間の出生性比は地域、時代にかかわらず男女がおおむね105:100前後になる
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%80%A7%E6%AF%94
という
この値をベータ分布のパラメータに設定して第15子が男である確率分布をグラフにすると
こんな感じ。
https://i.imgur.com/xVvGa6U.png
95%CIが0.5を跨ぐから、どっちつかずではあるけど、圧倒的に男が生まれるというわけでもなさそう。
果たして、その顛末は
https://news.yahoo.co.jp/articles/c1a65b7b9e8ce5fe8f559e6242b3a2c3ae344621 ＞ココは数学という学問に畏敬の念を抱き、その文化を尊ぶ人の集まりちゃうん？
これ、カルト ユークリッド平面上にある五つの実ベクトル a,b,c,d,e について
a･b, b･c, c･d, d･e, e･a がいずれも整数であり奇数、かつ
a･c, c･e, e･b, b･d, d･a がいずれも整数であり偶数となることはあり得るか。
ただし『･』は内積を表す。 一休さんがそのまま
大人になったような奴がいるな
長文でプリプリ怒るなや、
もっと融通をきかせろ、寛容さを覚えろ。 >>760
あのさぁ
数学の問題なんかそんな思いつきでチョロチョロできるわけないやろ？
もちろん単なるドリル問題レベルならできるし、解ければ面白いけど現代数学の英知を全振り結集しても無理な問題とかも簡単
しかしながらそこそこ数学勉強した人でもちょっと手こずる以上くらいのレベルでしかもちゃんと“答えが出せる”問題作るのがどれだけ難しいか数学ちょっと勉強した人間ならわかるやろが？
それをこいつは平気で「ちょっとこんなの思いついてみました」と答えが出ない糞問をあちこちにのスレにどんどん投下しまくってる
邪魔なんだよ
しかもその事丁寧に説明した時にこいつがどんなに汚い言葉で罵ってきたからわかって言ってんのか？
オレはコイツに数学の愛好者の集まりだと名乗って欲しくないね 最後ムカつきが絶頂に達して日本語メチャメチャになったわ
こういうのもこのクソは平気でいじってくるがね 極端なファンは
対象が何であっても同じニオイしかしない >>760
俺は
問：氷が溶けたら何になるか？
答：春になる。
という答に寛容的、というかこういう発想にむしろ感動する。
氷が溶けたら水になる。それ以外の答は認めない、というのが
罵倒厨だな。他宗教を排除するカルトに似ている。 俺が、
投稿した図は、数値計算に基づいて作図したと記載したら
イア氏から、
即、
> 図よりc=4.9
> θ=11°
というレスが返ってきて笑ってしまった。
道楽が楽しめるイナ大先生のユーモアに脱帽したのだが、
こういうのにキレるのが罵倒厨なんだろうと思う。 決めつけてキレるのはみんな罵倒厨なんじゃないか？
方向性の問題じゃない気がする >>764-765
「他宗教」という言い方をしたところで、出題者の愚行が正当化されることにはならない。
問題未満のゴミクズを提示して
「一緒にモデル化を考えましょう」「欠陥があるなら代替案を考えましょう」「興味がないならスルーして」
なんてのは、マトモな出題者のやることではない。このようなスタイルは「他宗教」とは呼ばない。
ただ単に出題者のマナーが悪いだけ。誰かが注意してやらなければならない。
「自分が興味のある対象について、適切な数学的モデルを設定して考察する」
という行為は、本人が本人のために自由研究としてやるべきことであって、
つまりは単なる一人遊びなのであって、無関係な他人を巻き込んでやるようなことではない。
未完成であるにも関わらず投下したがるくらいだから、
少なくとも出題者本人はそのトピックスに熱意と興味があることになる。
しかし、そんなに熱意があるのならば、出題者本人が事前に裏で設定を練りに練って、
本人が満足するような問題設定が完成した時点で初めて、正式な数学の問題として投下すればよいのである。
問題未満の青写真の段階で安易に投下してよい理由はどこにもないのである。
「他宗教」と言っておけば投下してよい理由になる、・・・わけがない。バカじゃねーの。 前>>744
>>747
共通の対戦相手Aに対してBもCも勝率は0%だから、
BがCに1回勝つあいだに、
CはBに1回勝つと考えられ、
勝率はCが50%
Bが50% VIPのスレから
たかし君の家と学校を結ぶ線分上に、たかし君が苦手な犬がいます。
たかし君が歩く速度は犬との距離に比例しています。
たかし君が家から学校に出来るだけ速く行くにはどのようなルートで歩けば良いでしょう？ 前にもあったな
湖の中心ほど速度が落ちる船の問題と同じ
（解答）
犬が真ん中にいれば半円上を移動。
真ん中以外なら、犬を一定の方角に見ながら
らせんを描くように移動する。
（証明）
犬の位置、スタート、ゴールの座標を
O(0, 0), A(-a, 0), B(b, 0) とおく。
点P(r cos(θ), r sin(θ)) がAからBまでの
任意の曲線を、原点からの距離に比例する速さ
v＝kr で動くとき、
r と θ を座標軸に持つ別の平面で
Pの位置に対応する点Q(θ, log(r)) を考えると
Qの動く速度は k で常に等しい。
Qの始点をA'(－π/2, log(a)), 終点をB'(π/2, log(b))
とおくと、最短距離は直線A'B'
y=((log(b/a))/π)x+((log(b/a))/2)
であり、もとの平面でこれに対応して
AとBを結ぶらせん状の曲線
log(r)=(log(b/a))((θ+(π/2))/π)
が定まる。
a=b のときはそれぞれ
直線 y=0、半円 r=a, -π/2≦θ≦π/2 となる。（終） >>667
このバージョン n の問題に関しても、１次元的に決まる「囲碁の強さ」があって、
「囲碁の強さ」の単純比で勝率が求まるという暗黙の仮定がありますからね
当然のことながら、
実際に囲碁AIとして、バージョン n までプログラム作ったとしてもこの通りにはならんだろうし
その流れで、そういう仮定を暗黙の了解としたならまぁいいんじゃないですかね
流れなんて見てなかったから、上記の仮定は入れておいてほしかったけど
まぁ似たようなことはすでに言われた後なのかな まあ確率でもちゃんとした問題であれば
サイコロの出目に関して『同様に確からしい』云々の記述は欠かせないし
答えを一つに決めるために必要な仮定は毎度ちゃんと書こうねってことだと思う ユークリッド平面上にある四つの実ベクトル a,b,c,d について、
どの異なる二つの外積をとっても整数かつ奇数になることはあり得るか。
ただし、二つの平面ベクトル (p,q),(r,s) の外積 (p,q)×(r,s) を実数 ps-rq と定める。 >>770
ほー
VIPだと変分法使った解法が載っていましたが
速度一様の空間に曲げて考えるのは面白い解法ですね
素晴らしい >>773
(a×b)(c×d)+(a×c)(d×b)+(a×d)(b×c)=0 >>768
数値を変えて
Aの通算成績はBを相手にしたときに500勝0敗、
Cを相手にしたときに3勝0敗である。
BとCが戦ったときの勝率を推定せよ。
とするとBはメチャクチャ弱そうだからCよりも弱そうにみえる？
やっぱり五分五分？
類題だけど
ゴルゴ13は100発100中、ゴルゴ14は10発10中
どちらが優れた狙撃手か定量的に示せ。
どちらも（主観的に）適当な前提を考えないと定量化できない。 まーーたゴミクズ出題者が禅問答つづけてるよ。
>>777
＞とするとBはメチャクチャ弱そうだからCよりも弱そうにみえる？
＞やっぱり五分五分？
ナンセンス。BとCの間に条件が設定されてない以上、
どちらが「弱そうに見える」かは主観の問題であって数学とは無関係。
それはお前自身も理解していて、文末に
＞どちらも（主観的に）適当な前提を考えないと定量化できない。
と書いている。そして、お前のレスの書き方は「主観だけ」を問う書き方になっている。
つまり、お前は
「あなたはこの禅問答にどのような主観から答えますか？私はあなたのその主観に興味があります」
と言っているのである。結局、お前の興味の対象は数学ではなく、
数学から離れた禅問答の中にある。お前は数学の話など一切していない。
禅問答に他人がどのような主観から回答するか、その「主観」の部分だけが
お前の興味の対象である。しかし、それは数学ではない。
数学とは無関係な話しかできないならこのスレから消えろゴミクズ。 >>772
サイコロって実物だと出目に偏りがあるよな。
1が出やすいんだっけ？
"1"の目は穴の径が大きくて
あそこだけ塗料が赤色だから。 >>747にせよ>>768にせよ、BとCの間に条件が設定されてない以上、これらの問いは
問１： B君とC君は今日が初対面である。どちらの勝率が上か推定せよ。
とだけ言っているのと同じ。くだらない。この問１に答えはないし、
この問１に主観的な条件を設定して回答すること自体にも意味はない。
さすがに問１だと「回答すること自体に意味がない」ことを例の出題者も察しているらしく、
彼なりのアレンジを加えて、何となくBとCの強弱が類推できそうな書き方に変更することで、
>747とか>768のようにしているわけだが、これらのアレンジは実際には無意味である。
なぜなら、BとCの間に条件が設定されてな以上、やはり主観的に設定を追加しないと回答できないからだ。
そして、このことは出題者本人も理解している。
結局、>747も>768も上記の問１と本質的に同じということになるので、アレンジの意味がない。
そして、アレンジの意味がないなら、もう開き直って最初から問１だけを出題してもいいはずなのに、
この出題者はそのようにはしない。この出題者は、無意味なアレンジを、さも意味のあるアレンジであるかのように
見せかけて、その「アレンジ」の部分に他人がどのような主観から回答するかを観察しようとしている。
つまり、「主観」の部分だけがこの出題者の興味の対象になっている。コイツは数学の話など一切していない。 具体例を1つ挙げよう。>>777の
＞数値を変えて
＞ Aの通算成績はBを相手にしたときに500勝0敗、
＞ Cを相手にしたときに3勝0敗である。
＞ BとCが戦ったときの勝率を推定せよ。
＞
＞とするとBはメチャクチャ弱そうだからCよりも弱そうにみえる？
＞やっぱり五分五分？
このような問いは、次のような問いを出題しているのと同じである。
問２：金剛寺さんと獅子王さんは今日が初対面である。
どちらの方がより強そうな名前に見えますか？
どちらが勝ちそうですか？あなたの主観を聞かせてください。
これが例の出題者の手口である。2人の強弱を類推するにあたって、
何となく妄想が膨らみそうなアレンジを加えることで、
そのアレンジの部分に他人がどのような主観から回答するか、
その主観の部分が例の出題者の興味の対象である。
そして、例の出題者は次のような回答を望んでいる。
「わたしは金剛寺さんの方が強そうな名前に見える。理由は～～～である」
「いやいや、わたしは獅子王さんの方が強そうな名前に見える。理由は～～～である」
しかし、これは明らかに数学ではない。くだらない。
例の出題者がやっているのはこういうことにすぎない。いい加減にしろ。 >>782
ふざけるな。
数学でもなんでもないゴミクズを投下するような「勘違いクン」には
誰かが注意してやらなければならない。
「お前がやっていることは数学でもなんでもない。スレチだからこのスレから消えろ」
と、誰かが注意してやらなければならない。
>>777のナンセンスぶりは明らかに限度を超えている。もはや>>777は興味の対象が数学ではなくなっている。
何となく妄想が膨らみそうな要素を付け加えることで、その部分に他人がどのような主観から回答するか、
その主観の部分だけが例の出題者の興味の対象になっている。
「金剛寺さんと獅子王さんのどちらがより強そうな名前に見えますか？あなたの主観を聞かせてください」
と聞いているのと何も変わらない。コイツは数学の話など一切していない。
なんでこんなトンチンカン野郎がこのスレにいつまでも居座ってるんだよ。 まあまあ、続くようなら別スレ作って移動させればいいじゃない
あまり長文投下し過ぎると同じ荒らしになっちゃうよ コインの表のでる確率も実際は違うだろうな。
男の生まれる確率も厳密に1/2ではないけど、数学の問題にするときは1/2にすることが多い。
男女比を105：100にするとどうなるか？
ある国では人々は生まれてくる子には男の子だけを欲しがりました。
そのため、どの家族も男の子を産むまで子供を作り続けました。
この国では男の子と女の子の人口比率はどうなりますか？
人間の出生性比は地域、時代にかかわらず男女がおおむね105:100前後である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%80%A7%E6%AF%94 平面上の面積1の図形と面積2の図形が境界以外では共有部を持たない場合、各境界の和集合の長さの最小値を求めよ。 >>786
各境界の和集合の長さの最小値を求めよ。
コレは
len (∂A∪∂B)
それとも
len ∂A + len ∂B
どっち？ >>788
len (∂A∪∂B)
のことです
紛らわしくてごめん 二次元で面積1のシャボン玉と面積2のシャボン玉が合体した時に
表面張力で最終的にどんな形に落ち着くかってことかな
数学的には片方の領域が不連結な場合とかも考えなきゃだろうから、わりと大変そう… >>792
まさにその通りです
二つのシャボン玉がくっついた形 >>775
ビネ・コーシーの恒等式
(a×b)・(c×d) = (a・c) (b・d) － (a・d) (b・c)
= det{(a,b)^t (c,d)}
= det(a,b) det(c,d),
から出るのかな。
* a～dは縦ヴェクトル (列ヴェクトル) とした。 >>775
a～d について完全反対称だから、差積の倍数(?)で
6次以上でなければ0 ??
>>792 これってもしも2つの合体について
解くことが出来れば…
シャボン玉が3つ以上の場合も
同様の切り口で解けるん？ 前>>768
>>786
シャボン玉の二次元の面積を1と2で考えると考えづらいんで、
πと2πすなわち半径を1と√2で考えると、
境界線の長さの半分をxとおき、
シャボン玉の中心間の距離はピタゴラスの定理より√(1^2+2)=√3
直角三角形の相似より1:x=√3:√2
x=√6/3
境界線の長さは、
2x=2√6/3
境界面は円で面積はπ(2/3)=2π/3
∴シャボン玉の二次元の面積が1と2のとき境界面の面積は2/3 >>796
できるやろ
変分方程式は等周積問題と同じやから構成される図形が円弧(と線分)で構成されるとこまでは確定
パラメータ有限個に持ち込めるので方程式までは簡単
勘では多分厳密には解けない方程式になるだろうけど 前>>797
>>786
2つのシャボン玉の中心間を結ぶ直線から境界面の端までの長さをx,
中心間の距離をyとおくと、xが最小となるのは余弦定理より、
cos120°=(1+2-y^2)/(2×1×√2)=-1/2
3-y^2=-√2
y=√(3+√2)
2つの1と2つの√2で囲まれた四角形の面積は1×√2×sin120°=√6/2=xy
∴境界面の長さの最小値は、
2x=√6/y
=√6/√(3+√2)
=1.16586685259……
あってんじゃね？
かなり小さくなっただろ。 境界は占有部も共有部も円弧である、と仮定しよう。
∂A の占有部の半径を r_a, 中心角を 2α
∂B の占有部の半径を r_b, 中心角を 2β
共有部の半径を R, 中心角を 2γ
とおくと、境界の長さは
L = r_a･(2α) + r_b･(2β) + R･(2γ),
3つの円弧の端点の距離は
d = 2r_a･sinα = 2r_b･sinβ = 2R･sinγ,
面積Sは
S_a = {f(α) + f(γ)}(d/2)^2 = 1,
S_b = {f(β) - f(γ)}(d/2)^2 = 2,
ここに f(θ) = (θ - sinθ･cosθ)/(sinθ)^2,
「境界の長さLが最小」という条件から、
3本の弧は端点で互いに 120°をなす。
α+β = 240°, α+γ = β-γ = 120°
- sinα + sinβ + sinγ = 0,
cosα + cosβ + cosγ = 0,
以上により
α = 1.87473666926281
β = 2.31405353552358
γ = 0.21965843313040
d = 1.25982574072594
r_a = 0.66017210648907
r_b = 0.85554794172537
R = 2.89088405538017
L = 7.7048793147710 … 答 前>>800訂正。
>>786
2つのシャボン玉の中心間を結ぶ直線から境界面の端までの長さをx,
中心間の距離をyとおくと、
xが最小となるのは余弦定理より、
cos120°=(1+2-y^2)/(2×1×√2)=-1/2
3-y^2=-√2
y=√(3+√2)
2つの1と2つの√2で囲まれた四角形の面積は1×√2×sin120°=√6/2=xy
境界面の長さの最小値は、
2x=√6/y
=√6/√(3+√2)
面積1と2で考えるべきところを面積πと2πで考えたから、
√πで割ると、
2x/√π=√6/√π(3+√2)
=0.65776993403…… (大意)
A,B は円周から外れているため、円周の場合より若干長い。
∂A の長さは 3.74531183605186 = 2√π + 0.20040413424083
∂B の長さは 5.22958160265182 = 2√(2π) + 0.21632505338982
2√π + 2√(2π) = 8.55816425107303
しかし、共有部 1.27001412393280 が1回の count となるため
全体として 0.85328493630215 だけ短くなる。 >>801
「境界の長さLが最小」という条件から、
3本の弧は端点で互いに 120°をなす。
ココは結果こうなるかもしれんけど論述として不十分やろ
ココが120°でなければ長さの和を微小変形で小さくする事ができるけど、囲う領域の面積も変化してしまう
囲まれる面積を元に戻すためにこの分岐点以外のところで微調整する必要があり、その微調整で長さの変分が分岐点付近で得られた減少量を超えないように出来ることはそんなに明らかではない >>799
サンキュー、みんな、賢いな。
ワイだけ賢くない書き込みばかりして
すいませんね。どうも ( ^ω^) 前>>802
>>786
まぁでも2/3と然して変わらん値だよね。 Aを半円形とすると共有部は線分で、
r_a = √(2/π) = 0.7978845608029
R → ∞
α = π/2 (90°)
γ = 0
d = 2r_a = 2√(2/π) = 1.5957691216057
となる。
r_b = 0.9008157259811
β = 2.0535163271833
より
∂A の長さ √(2π) + d = 4.1023973962367
∂B の長さ r_b･(2β) + d = 5.2954487237771
L = 7.8020769984081
ちょっと長い… 前>>807
>>786
おっきい欠円(半径R)の面積がちっさい欠円(半径r)の面積の2倍になるとき中心間を結ぶ直線に対して境界面の端までの中心角が75°と45°とすると、
(7/12)πr^2+rcos75°rsin75°=1
r=2√3/√(7π+3)
(3π+2)R^2/4=2
2x=R√2
=4/√(3π+2)
=1.18341237703……
おっきい欠円(半径R)の面積がちっさい欠円(半径r)の面積の2倍になるとき中心間を結ぶ直線に対して境界面の端までの中心角が80°と40°とすると、
1/R^2=(7/9)π+cos40°sin40°
2Rsin40°=2sin40°/√(7π/9+cos40°sin40°)
=0.7502905289……
ずいぶん開きがあるな。 前>>809
>>810問題が確定してないんだよ。
面積が1と2の欠円が直線部分でちょうど接しているとき、
境界線の長さの最小値を求めよ。だったら0が最小値だと思う。
最小の直線は点だからね。
半径の違う2つのシャボン玉の境界面がぴったり120°をなすとは思えない。 >>811
この図でいうと面積が１なのはＡ＋Ｂで、面積が２なのはＣ＋Ｄということ？？
それともＡ＋Ｂ＋Ｃ＝１でＤ＝２
はたまた、Ａ＝１でＢ＋Ｃ＋Ｄ＝２
https://i.imgur.com/r71OOfp.png 「境界以外では共有部を持たない」
と書いてあるのにどうしてコイツらそんなことも読み取れないんだろ バカイナは和集合の定義も分かってないどうしようもないゴミだしな
今までイナをスルーしてきたけど普通に見てるだけでイライラしてくるわ
アホ自覚して二度と書き込むな >>808
Aを半円形とし、Bはそれに d×(1/d) の長方形を貼り付けたものとしよう。
(競技用トラックみたいな形)
r = √(2/π) = 0.7978845608029
d = 2r = 2√(2/π) = 1.5957691216057
∂A の長さ (1+π/2)d = 4.1023973962367 = 2√π + 0.55748969442570
∂B の長さ (1+π/2)d + 2/d = 5.3557115335522 = 2√(2π) + 0.34245498429023
L = (1+π)d + 2/d = 7.86233808183232
ちょっと長い… 前>>811
>>813
A+B=1でC+D=2ってことやろ。 >>817
最小値を求めるのは図の黒線？
それとも黒線＋青線、黒線＋２×青線？ 各境界 ∂A,∂B
の和集合 ∂A∪∂B
の長さ l(∂A∪∂B)
の最小値を求めよって問題なんだけどなあ >>822
ありがとうございます。
緑の面積が1で赤の面積が2のときに
黒線と青線の長さの和の最小値を求めるということでいいのですね。 前>>817
>>786
小さいほうと大きいほうのシャボン玉の半径をr,Rとし、
境界面と向かいあう中心角の半分をそれぞれθ,φとすると、
二次元の境界の長さの合計は、
2πr-2πθ+2rsinθ+2πrsinθ/sinφ-2φrsinθ/sinφ
これをπ(2r^2-R^2)+2r^2sinθcosθ-R^2sinφcosφ=R^2φ/2-r^2θで簡単にし、
微分して最小値を決める。 ある企業がワクチンを開発した。
販売促進のための使用後の空バイアル５本と交換に新品を１本提供するという。
交換で得たワクチンの空バイアルも次の交換に使用できる。
1000本のワクチンを得るには何本発注すればよいか。 >>801
数値は正解です
素晴らしい
>>796
>>804
まさにこの部分の「120°をなす」という部分なのですが、実はこの問題、図形がどんな面積であろうと、どんな個数であろうと、なす角は必ず120°となることが証明出来ます。
証明は少しエグめの測度論の知識を使うので割と難しいと思います >>810
>>811
紛らわしくてごめんなさい
>>823
まさにそういうことです
図まで用意してくれてありがとう n本注文したときに得られるワクチンは (n<1000)
n + [ n/5 ] + [ n/25 ] + [ n/125 ] + [ n/625 ]
n=800 のとき 999本
n=801 のとき 1000本 >>826
同一の関数を入れ子構造にした関数か。
再帰関数で
ちゃちゃっとスクリプトで答え出して終わりや。 >>827 >>831
こういう賢くない感じの書き込み大好き。 >>829
紛らわしくもなんともないぞ
>>786の問題文で一意的に解釈出来る
バカイナとID:rf6hr9VFがマヌケなだけ
謝ってはいけない
こういうやつらは謝るとつけ上がるから nを自然数とする。
n! を素因数分解したとき、5の現れる回数 (指数) を e_5(n) とおく。
n + e_5(n) ≧ 1000
をみたす最小のnを求む。 前>>824
>>825微分のことは微分で解けって言うけど、
俺は三又が 120°ってことから解くぜ。 >>834
n + e_5(n) = e_5(5n) 前>>835
>>786
境界面の長さ(分岐点間の距離)=2rsinθ
=4sin(2π/3-θ)/√｛2π/3-θ+sin(4π/3-2θ)｝
これがもう一つ別の形で表せられるでθ決まってr決まるんじゃないかな。 >>830
801本であっているとけど、そのときは1001本になりませんか？
n=9 のときは11本だけど
n + [ n/5 ] + [ n/25 ] + [ n/125 ] + [ n/625 ]だと10本になりません？？ >>837
分岐点間の距離と言っていますが、それはすなわち、境界の共有部が直線ということですか？
それだと不正解です
というよりもう構造の答え自体は>>801で出てます >>831
再帰関数でこれを解こうとするとネストが深くてフリーズするんじゃないの？
問題）１００万本のジュースがあります。このジュースの空き瓶5本と同じジュース一本が交換できます。この交換をくり返しながら
ジュースが全部なくなるまで飲みました。全部で何本飲めたでしょうか？ >>829
作図しているうちに考えがまとまることもあるし、他の人が考える参考にもなるよね。 最後に空きが 4本の時は、隣のやつから空きを 1本借りて交換して
新たにできた空きを返してチャラって手がある。 >>830
交換するごとに手元の本数が４減るから、交換できる回数が[(n-1)/4]回で、得られる本数はn+[(n-1)/4]本では？ >>841
計算量は少ないんじゃないの、
オーダー n * log n くらいに
収まるんじゃないか。 >>839
おっしゃるとおり。
>>830 は間違い、スマソ。
e = [ n/5 ] + [ n/25 ] + [ n/125 ] + [ n/625 ]
とおくと、手に入るワクチンの本数は
n + e + [ (n-4e)/5 ] = n + [ (n+e)/5 ]
n = 800, 801 のとき e=199 >>828
まぁ部分が円弧になる事と分岐が120°になる事はソボレフ空間の理論いらないでしょ？
この事自体は変分が0になるならばからの必要条件で学部生レベルのお話
そこから実際最小になるところが存在する事の証明に測度論でしょ？
コレ注意しないといけないのは束縛条件が端点条件だけの場合と、その曲線が切り分ける領域の面積を変えないという条件がつくのとでは方程式が違ってくる
前者の場合区切りの曲線の解としては線分しか許されないけど、後者の場合には円弧が許される
端点の分岐に関しては結果として三分岐が120°に限る部分は同じでも前者と後者では難易度全然違ってくると思う
前者は単なるフェルマー点のお話だけど後者は面積が変わらない補正が必要になる分かなり面倒になる方法しか知らない
コレばっかりはなんか鮮やかな論述でサラッと解けてしまうのかもしれないけど >>843-844
おっしゃるとおり。
>>830 は間違い、スマソ。 >>849
いや単に変分=0からだけでは>>828は証明できないですよ
存在性の証明も、分岐角120°の証明も測度論を使って出来ます
後半で仰ってる通りですが
束縛条件が端点固定長さ最小化なら120°はたしかにフェルマー点の話なのですぐでます。
今回は束縛条件が複雑なので難しいです
測度論のdensity(測度μに対して lim(r→0)μ(B_r(x)∩M)/μ(B_r(x))を調べる(μをM上制限した測度のラドンニコディム微分といってもいい))という概念をつかって、分岐点ではdensityが1/3であることを示します >>851
あれ？そう？
大筋だけど
今ある3分岐でなす角が120°でないものが存在したとする
分岐点をP、Pに十分近いABCを分岐に十分小さくとる
ABCがPに十分近ければPを微小に変化させた時の弧の長さの総和の変分はv = ( AP/|AP| + BP/|BP| + CP/|CP| )・δP
となるこの時ABCの乗ってる弧のPの反対側の端点をDEFとして面積の補正のために必要な弧の膨らませ量はやはり|δP|に比例する
しかしその時変化する弧AD,BE,CFの弧長の変分は|δP|^2に比例するのでそのよれは極小配置足りえない
でいけると思うんだけどどっかおかしい？ >>852
すみません、＞ABCの乗ってる弧のPの反対側の端点をDEF
とありますが、反対側の端点とはどういうことですか？
いま考えている領域をABCが円周上にあるものとして円内に制限して考えている、ということですか？ >>853
Pから伸びてる3本の曲線のもう一つの端っこです
はじである必要はなくP～A～Dと並んでいれば良いです >>854
＞弧の長さの総和の変分はv = ( AP/|AP| + BP/|BP| + CP/|CP| )・δP
これは端点ABCを「固定」した上で、|AP|+|BP|+|CP|の変分を取った、ということですか？ >>855
そうです
ホントは曲線だけどABCがPに十分近い状況では
δL = c1 δP + ‥
と展開した時の一次の項が(AP/|AP| + ‥)・δPになると言う意味です
各領域の面積の変分も|δP|に比例してしまうのでそこをA～D,B～E,C～Fをちょいずらして調整した時のδ( length of AD)の一次が死んでるという話です 前>>837
>>801数値は正しいみたいだけど、
240°と120°以外の数字がぜんぜんないやん。
たしかに共有部が円弧やと分岐点が120°で辻褄があうけども、
そんな急に計算式なしで答えの数値が出るわけないやないか。
問題としてすごく面白いから途中の計算を示さないかんよ。 120°を使わずに考えると
図
https://i.imgur.com/QNBam3q.png
で
rを決めれば緑の面積が１なので青の長さbが決まる。
青の長さがｂで赤の面積が２になるようにRが決まる。
よって黒線＋青線の長さはｒの関数として出せる（はず）。
これをプログラムして最小値を求める。
（実は>801と同じ値にならなかったから、検討中） 前>>857
>>858
共有部の青い線がA側にわずかに膨らむ円弧で、
中心がOのかなり左にあると思う。
不思議だけどそう理解した。 >>859
イナ時々プログラムおじさん超えるんだよなww 前>>859
青い線は線分OAのどこを垂直に突っ切るの？
中点？
それなら円弧の中心は確定する。
なにしろ図のような青線よりはだいぶA側に膨らむ円弧だということは間違いない。 >>858
バグを修正してｒと黒線＋青線の関係をグラフにしてみた。
https://i.imgur.com/vtAWJ8l.png
数値積分やニュートン・ラフソンの組み合わせ解なので誤差があると思うけど>801の近似値が得られた。
>optimize(Length,c(0.65,0.70))
$minimum
[1] 0.67021
$objective
[1] 7.714 前>>861
青い線は線分OAをr:Rに分割する位置を垂直に突っ切る円弧じゃないか？ >>859
正解を元に作図してみてくれ、俺の描いたのは問題解決過程での作図だから。
近似解とはいえ、>858のアルゴリズムで数値解が出せたから、これ以上、俺は深い入りしない。 前>>863
>>864
そないゆわんと。
OAをr:Rに分割する位置を垂直に突っ切る円弧を描くだけやないか。
もうちょっとだけA側に深入りしてみてぇな。 前>>865
(緑の領域+最大の厚みrOA/(r+R)のうすい半月型の皿)=1
(赤の領域-最大の厚みrOA/(r+R)のうすい半月型の皿)=2
ここまでわかった。 前>>866
共有部の円弧の中心がAOの延長上にあることはわかる。
もしや緑の円と赤の円の接線の延長線との交点か？ >>844
＞交換するごとに手元の本数が４減る
感動しました。（揶揄ではありません）
私は漸化式使って計算したので。 >>865
求める形状は、食べかけのお好み焼を2つ合わせた形状になるというのが前提で>858のアルゴリズムでプログラム解にしたのだけど。
>858の考えは間違っているのか？ 前>>867
>>869
青い共有部の線がもっと右に湾曲した円弧じゃなきゃ、
分岐点に入射する３つの曲線(たぶん円弧)が均等な 120°間隔にならんら。 >>862
円弧Oの半径をr, 中心角を2ω,
円弧Aの半径をR, 中心角を2α,
とおくと
d = 2r･sinω = 2R･sinα,
L = d + 2rω + 2Rα = (1 + ω/sinω + α/sinα)d,
面積条件
S_o = (ω-sinω･cosω)rr = f(ω)(d/2)^2 = 1,
S_a = (α-sinα･cosα)RR = f(α)(d/2)^2 = 2,
から
2f(ω) = f(α),
これより
ω = 1.91200 (109.550°)
α = 2.29879 (131.711°)
(2.094395 = 120° からズレている)
d = 1.262850
∂O = (1 + ω/sinω)d = 3.825128 = 2√π + 0.2802203
∂A = (1 + α/sinα)d = 5.151644 = 2√(2π) + 0.1383875
L = ∂O + ∂A - d = (1 + ω/sinω + α/sinα)d = 7.71391
(大意)
共有境界を線分に制限したため、min(L) がﾁｮﾄ大きい。
>>801 前>>870
>>871
C内にBに分岐点の端から端まで隣接したうすい半月型の、
最大の厚みrOA/(r+R)の皿Eをとり、
A+B+E=1かつD-E=2だと思う。 >>872 (追加)
r = 0.670052
R = 0.845835
グラフの横軸がrに相当… 前>>873訂正。
>>871
C内にBに分岐点の端から端まで隣接したうすい半月型の、
最大の厚みrOA/(r+R)の皿Eをとり、
A+B+E=1かつC+D-E=2だと思う。 >>872
円弧Oの半径をr, 中心角を240°
円弧Aの半径をR, 中心角を240°,両端に長さδの線分を追加
とおくと
L = ∂O + ∂A - (√3)r = (4π/3 + 2√3)R + (4π/3 - √3)r,
接続条件
δ = (√3)(R-r),
と面積条件
S_o = (2π/3 + (√3)/4)rr = 1,
S_a = (2π/3 + √3)RR - (3√3)/4･rr = 2,
から
r = 1/√(2π/3 + (√3)/4) = 0.62901693616453
R = √{(2 + (3√3)/4･rr)/(2π/3 + √3)} = 0.810556243696275
これより
δ = (√3)(R-r) = 0.31443530421585
∂O = (4π/3 + √3)r = 3.72430927310901 = 2√π + 0.1794015713
∂A = (4π/3)R + 2δ + (√3)r = (4π/3 + 2√3)R - (√3)r
= 5.11360995471339 = 2√(2π) + 0.10035340545139
L = (4π/3 + 2√3)R + (4π/3 - √3)r = 7.74842993556412
(大意)
中心角も 240°に制限したため、min(L) がさらに大きくなった。 >>872
レスありがとうございます。
青線は線分にはならないということと理解しました。
つまり、>858は間違いですね。
最小になった場合は、青線は円弧になるのでしょうか？ >>759
10個の内積に対する7次関係式みつけたわ
そしてちょうど奇数の項は1つだけになった
なので不可能 abcdeをa0～a4と置いて
det[ ^t(a0,a1,a2)×(a0,a3,a4)]=0
det[ ^t(a0,a1,a3)×(a0,a2,a4)]=0
この2式からa0・a0を消去すればai・aj(i≠j)たちの5次の同次関係式を得る >>875
レスありがとうございます。
境界は円弧らしいのでそれで作図してみました。
https://i.imgur.com/vIIVWzB.png
変数が増えるので、どうやってプログラム解をだすか思案中。 みんなが頭良すぎてついていけん。
大学の学部2年以上は
おれにはアウト・オブ・ザ・プレイス だわ (´・ω・`) 前>>875
>>882
描けたじゃないか。
青い共有部の円弧の中心は、
緑の欠円と赤の欠円の共通接線の交点？ >>883
まぁ自分がわかる範囲で楽しめばいいのでは？
1) とりあえず曲線の構成要素が円弧、分岐が120°まで仮定すれば答え出せる
2) 最小を取りうるとすれば1)の条件が必要である事を導出できる
3) 実際に最小値をとる
1) くらいなら普通に方程式立てるまでは受験レベル
2) までだとオイラーラグランジュまで出てくるので数学か物理学専攻してないと難しい
3) までだと数学科でも院まで行かないと難しい
色々なレベルで楽しめるいい問題だと思う >>884
これも正解を元にした図ではありません。
思考過程の作図。 前>>884
>>882の図より緑の欠円弧の長さは、
2πr230/360=23√1.15π/18
赤の欠円弧の長さは、
2πR250/360=25√2.3π/18
共有部の青の欠円弧の長さは、
半径が緑の5倍、中心角30°として、
(250√π)/360=(25√π)/36
3円弧足すと、
23√1.15π/18+15√π/18+25√2.3π/18
=7.63919036954…… 円弧Oの半径をr, 中心角を180°,両端に長さhの線分を追加
円弧Aの半径をR, 中心角を240°
とおくと
d = 2r = (√3)R,
L = ∂O + ∂A - d
= (2+π)r + 2h + (4π/3 + √3)R - d,
= {(√3)(1+π/2) + 4π/3}R + 2h,
面積条件
S_o = (π/2)rr + 2rh = 1,
S_a = (2π/3 + √3)RR = 2,
から
R = (√3)/√{π + 3(√3)/8} = 0.88956428208625
r = (√3)/2・R = 0.77038526658596
これより
∂O = (2+π)r + 2h = (2+π/2)r + 1/r
= 4.04894070352596 = 2√π + 0.50403300
∂A = (4π/3 + √3)R
= 5.26696868450265 = 2√(2π) + 0.253712135
L = (4π/3 + 2√3)R + (4π/3 - √3)r = 7.77513885485668
(大意)
共有境界が線分の場合
(180,180) 7.86233808183232 >>816
(180,240) 7.77513885485668
(240,240) 7.74842993556412 >>876
(無条件) 7.71391 >>872
いずれも >>801 より大きい >>888 (追加)
h = 1/(2r) - (π/4)r = 0.043966738206885
d = 2r = (√3)R = 1.54077053317192 >>886
https://i.imgur.com/KvX93CE.png
図で、緑＋青＝１ 赤＝２の面積条件を使ってどうやって変数を減らせばいいんだろう？ >>885
ありがとう、元気でたわ。
おまえも頑張れよ。 ２つの3分岐の巾、左の円弧、中隔の円弧、右の円弧を未知パラメータとして4つ
左の面積＝1、右の面積＝2、２組の円弧の公差のなす角＝120°で4つまぁやりようは色々あるな 前>>887
360°-120°-90°×2=60°より、
∠OBA=60°だから正弦定理より、
a/sin60°=r/sinφ=R/sinθ
=2a/√3
共有部の円弧はOAをr:Rに分割するから、
境界線と円弧の中心を結ぶ直線の交点の座標は、
(ra/(r+R),0)
共有部の円弧の中心はもっと左じゃないのかな？
2つのシャボン玉の共通接線の交点じゃないのかなぁ？ 前>>893
θ+φ=120°なんで1文字減ります。 >>880
こうやって書くと対称的じゃないけど展開して整理すると
Σsgn(σ)(aσ0・aσ1)(aσ1・aσ2)(aσ2・aσ3)(aσ3・aσ4)(aσ4・aσ0)=0
と対称的な形に書けるんだな
(この和だと反転と巡回の対称性で同じ項が10項ずつ出てくるので実際は10で割ったもの) 絵的には5点をつなぐループが12個
奇数になる項がちょうど1つだけしか出てこなかったのが不思議だったけど、この絵で見ると
奇数になる項は星形ループに対応してるわけか 上の形の直接証明も簡単か
aiの第n(=0,1)成分をai(n)として
Σ[n0～n4=0,1]det[ai(n(j-1))ai(n(j))]
となるけど、組(n(j-1),n(j))は(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)の4パターンしかないからどこか2列は同じになる >>890
120°を使わずに算出したい。
r とs が決まれば面積１からｃの座標が確定。
円Cと円Oの交点Bの座標も確定。
Bを円Aが通ることからaはRで表せる。
面積２を満たすようなRを求めれば
３つの円弧の和がrとsの関数で表せる。
これをプログラムで数値解を出そうとしたがエラーがでて挫折。 >>897
Σsgn(σ)～～ は導出できたけどこの証明は気づかなかった…
なるほど展開したらよかったのか >>899
ちなみにどうやって導出しました？
コンセプチュアルな方法があるんでしょうか >>900
導出はだいぶ昔にやったものだからあまり覚えてないけど、
多分似たような方法だった気がする
違うものを想定してたのは式の値が恒等的に0になる証明の方で
（と言っても897と本質的に同じかもしれないけど）
･合計10個の実変数のどれに着目しても高々二次式であること
･その実変数以外を固定した時に、その二次以下の式は少なくとも３つの零点を持つこと
を示す流れだった
この問題も言わば、その式を見つけてもらうことを主眼に置いて考えたものだから
>>895 とかで考察してくれたこと以外の深い意味はないんだ、すまない 前>>902
正弦定理よりR/sinθ=r/sin(2π/3-θ)=2a/√3
加法定理よりsin(2π/3-θ)=sin(2π/3)cosθ-cos(2π/3)sinθ
=(√3/2)cosθ-sinθ/2
rsinθ=R√3cosθ/2-Rsinθ/2
(R√3/2)cosθ=(R/2+r)sinθ
(3R^2/4)cos^2θ=(R^2/4+Rr+r^2)sin^2θ
(3R^2/4)sin^2θ+(R^2/4+Rr+r^2)sin^2θ=3R^2/4
(R^2+Rr+r^2)sin^2θ=3R^2/4
sinθ=R√3/2√(R^2+Rr+r^2)=R√3/2a
a=√(R^2+Rr+r^2) 大学レベルの問題ばかりで
ついていけなくて震える。
せめて大学への数学レベルにしてクレメンザ >>894
「Lが最小」という条件から
cosω + cosα = -1
ぢゃね？ >>872
cosω + cosα = -1,
を使って再計算すると
ω = 1.91200296852839
α = 2.29879315245870
d = 1.26284488887041
r = d/(2sinω) = 0.670049754175156
R = d/(2sinα) = 0.845833935444669
∂O = (1 + ω/sinω)d = 3.82511912695964
∂A = (1 + α/sinα)d = 5.15163940670520
L = ∂O + ∂A - d
= (1 + ω/sinω + α/sinα)d
= 7.71391364479443 >>905
(略証)
L = {1 + (ω/sinω) + (α/sinα)}d,
面積条件
S_o = f(ω)(d/2)^2 = 1,
S_a = f(α)(d/2)^2 = 2,
があるので ω,α もdの陰関数。
⊿ω･d = -2f(ω)/f '(ω)⊿d,
⊿α･d = -2f(α)/f '(α)⊿d,
よって
⊿L = {1 + (ω/sinω) + (α/sinα)}⊿d
+ {(ω/sinω) '・⊿ω + (α/sinα) '・⊿α}d
= {1 + (ω/sinω) - (ω/sinω) '・f(ω)/f'(ω)
+ (α/sinα) - (α/sinα) '・f(α)/f'(α)}⊿d
= (1 + cosω + cosα)⊿d,
∵ f(θ) = (θ-sinθcosθ)/(sinθ)^2 より
(θ/sinθ) - 2(θ/sinθ) '･f(θ)/f '(θ) = cosθ, 前>>903
緑=πr^2-r^2θ+rcosθsinθ
青=s^2ω-(c+rcosθ)sinθ
緑+青=πr^2-r^2θ+s^2ω-csinθ=1
赤=πR^2-R^2(2π/3-θ)+Rcos(2π/3-θ)sin(2π/3-θ)-s^2ω+csinθ+csinθcosθ=2
正弦定理よりRsin(2π/3-θ)=rsinθ
加法定理よりRsin(2π/3)cosθ-Rcos(2π/3)sinθ=rsinθ
(R√3/2)cosθ=(R/2+r)sinθ
(3R^2/4)sin^2θ+(R/2+r)^2sin^2θ=3R^2/4
(R^2+Rr+r^2)sin^2θ=3R^2/4
sinθ=R√3/2√(R^2+Rr+r^2)
ここまでできた。 >>898
https://i.imgur.com/opsWWhB.png
のrとsから３本の円弧の和を算出する関数がようやく完成。
こんな感じ
> fn(r=0.6,s=3)
[1] 7.77771791
> fn(r=0.65,s=2.25)
[1] 7.706045503
> fn(r=0.67,s=2.5)
[1] 7.706645357
最小値となるｒ，ｓを入力すると
> fn(r= 0.66017210648907, s=2.89088405538017)
[1] 7.704867748
それらしい、近似値が得られた。 >>910
最小値をとるときの座標(複素数表示）
> (Graph())
$A
[1] 0.7765166+0i
$B
[1] 0.1975789+0.6299125i
$C
[1] -2.623843+0i
角度を座標から計算すると
> Angle(C,B,O)[2]
deg
59.99991
> Angle(O,B,A)[2]
deg
59.99998
> Angle(C,B,A)[2]
deg
119.9999
120°の近似する値が得られた。
境界は円弧であることを前提にすると最小値となる場合の角度が120°になるのが（近似的に）実感できた。 >>910
青の円弧がかなり線分に近いので線分で計算したときの最小値が円弧での最小値に近似したのだなぁと勝手に納得。 前>>908
2(緑+青)=赤より、
2(πr^2-r^2θ+s^2ω-csinθ)
=πR^2-R^2(2π/3-θ)+Rcos(2π/3-θ)sin(2π/3-θ)-s^2ω+csinθ+csinθcosθ
π(2r^2-R^2/3)-(2r^2+R^2)θ+R｛cos(2π/3)cosθ+sin(2π/3)sinθ｝｛sin(2π/3)cosθ-cos(2π/3)sinθ｝
+3s^2ω=3csinθ+csinθcosθ
境界線の長さL=2πr(2π-2θ)/2π+2πs(2ω/2π)+2πR(2π-4π/3+2θ)/2π
=2πr-2rθ+2ωs+2πR/3+2Rθ
ssinω=rsinθ=Rsin(2π/3-θ)=(R√3/2)cosθ-sinθ/2
だいぶいったな。 前>>913
rsinθ=(R√3/2)cosθ-sinθ/2
(r+1/2)sinθ=(R√3/2)cosθ
(3R^2/4)cos^2θ+(r+1/2)^2cos^2θ=r+1/2
cosθ=r√(r^2+Rr+R^2)/(r+R)
これを代入したら解けたりしないか？
ドラえもんがドラえもんのポケットに入るみたいなことか？ >>910
3次元の場合(面積を体積に、長さを表面積にした場合)
これの回転体みたいになるんかな？ 前>>915訂正。
(3R^2/4)cos^2θ+(r+1/2)^2cos^2θ=(r+1/2)^2
cosθ=r√(r^2+Rr+R^2)/(r+R)を代入すると、
3r^2R^2(r^2+Rr+R^2)+4r^2(4r^2+4r+1)(r^2+Rr+R^2)=(4r^2+4r+1)(r^2+2Rr+R^2) 前>>914アンカー訂正。
(3R^2/4)cos^2θ+(r+1/2)^2cos^2θ=(r+1/2)^2
cosθ=r√(r^2+Rr+R^2)/(r+R)を代入すると、
3r^2R^2(r^2+Rr+R^2)+4r^2(4r^2+4r+1)(r^2+Rr+R^2)=(4r^2+4r+1)(r^2+2Rr+R^2) >>915
とりあえず、回転させたときの体積と表面積を出してみた。（数値積分法による近似解）
> green = function(x) sqrt(r^2-x^2) # 円Oの方程式
> blue = function(x) sqrt(s^2-(x-c)^2) # 円Cの方程式
> red = function(x) sqrt(R^2-(x-a)^2) # 円Aの方程式
>
> VGB=integral(function(x) pi*green(x)^2, -r,b0) # volume green&blue
> VR=integral(function(x) pi*red(x)^2, b0,a+R) # volume red
> VGB+VR
[1] 3.304685217
>
> AG=integral(function(x) 2*pi*green(x), -r,b0) # area green
> AB=integral(function(x) 2*pi*blue(x),b0,c+s) # area blue
> AR=integral(function(x) 2*pi*red(x)^2, c+s,a+R) # area red
> AG+AR
[1] 7.64711703
> AG+AB+AR
[1] 7.830843082 >>918（訂正）
https://i.imgur.com/A2YWEIJ.png
> green = function(x) sqrt(r^2-x^2) # 円Oの方程式
> blue = function(x) sqrt(s^2-(x-c)^2) # 円Cの方程式
> red = function(x) sqrt(R^2-(x-a)^2) # 円Aの方程式
>
> VG = integral(function(x) pi*green(x)^2, -r,b0) # volume green
> VB = integral(function(x) pi*blue(x)^2, b0,c+s) # volume green
> VR = integral(function(x) pi*red(x)^2, b0,a+R) - VB # volume red
> c(VG,VB,VR)
[1] 0.86504771150 0.04346965773 2.39616784810
>
> AG = integral(function(x) 2*pi*green(x), -r,b0) # area green
> AB = integral(function(x) 2*pi*blue(x),b0,c+s) # area blue
> AR = integral(function(x) 2*pi*red(x)^2, c+s,a+R) # area red
> c(AG,AB,AR)
[1] 2.957868072 0.183726052 4.689248957 前>>917
>>905-906
どこをω,αとおいたか、
cosを足して-1とはどういうことなのか書いてください。
直交するベクトルの内積が-1という意味ですか？ >>919
体積１と体積２のシャボン玉を癒合させたら、この値の比例計算（体積比が面積比になるから、2/3乗して）
表面積、境界面積は
[1] 14.5977886361 0.3507196325
になったけど、この計算でいいのかなぁ？ >>919（再度訂正）
面積の方に体積計算が混ざっていた
> green = function(x) sqrt(r^2-x^2) # Circle O
> blue = function(x) sqrt(s^2-(x-c)^2) # Circle C
> red = function(x) sqrt(R^2-(x-a)^2) # Circle A
>
> VG = integral(function(x) pi*green(x)^2, -r,b0) # volume green
> VB = integral(function(x) pi*blue(x)^2, b0,c+s) # volume blue
> VR = integral(function(x) pi*red(x)^2, b0,a+R) - VB # volume red
> c(VG,VB,VR)
[1] 0.86504771150 0.04346965773 2.39616784810
> VG+VB+VR # total volume
[1] 3.304685217
>
> AG = integral(function(x) 2*pi*green(x), -r,b0) # area green
> AB = integral(function(x) 2*pi*blue(x), b0,c+s) # area blue
> AR = integral(function(x) 2*pi*red(x), c+s,a+R) # area red
> c(AG,AB,AR)
[1] 2.957868072 0.183726052 6.178974742
> AG+AR # surface area
[1] 9.136842814
> AB # border area
[1] 0.183726052 >>922
普通プログラム使って作図するだろ。
色塗りもできるし。
誰も作図してアップロードしないね。 >>926
高木クラスやね
もうこのクラスのPDだと社会でやってけてないやろ >>908
青=s^2ω-(c+rcosθ)sinθ
これ間違ってない？
https://i.imgur.com/jiSlJV3.png
の図で
cがCのx座標だとすると負の値だし、まあ、cはCOの長さとするにしても
扇形の面積から引いている三角形BCDの面積が底辺(CO+OD)×sinθになっている
高さはsinθじゃなくてr*sinθだと思う。 平面上の話はもう分かった、
次はこれを三次元空間にして
計算結果を図示しろ。 >>930
これが出来ない奴は
うちの研究室には要らない
分かったか、おめぇら（ '‘ω‘） >>929ご指摘ありがとう。
まだだれも平面上の計算過程を示さないんで、やってみる。
cは座標ではなく長さとして、
緑=πr^2-r^2θ+rcosθsinθ
青=s^2ω-(c+rcosθ)rsinθ
緑+青=πr^2-r^2θ+(1-r)rcosθsinθ+s^2ω-crsinθ=1
赤=πR^2-R^2(2π/3-θ)+Rcos(2π/3-θ)sin(2π/3-θ)-s^2ω+csinθ+csinθcosθ=2
正弦定理よりRsin(2π/3-θ)=rsinθ
加法定理よりRsin(2π/3)cosθ-Rcos(2π/3)sinθ=rsinθ
(R√3/2)cosθ=(R/2+r)sinθ
(3R^2/4)sin^2θ+(R/2+r)^2sin^2θ=3R^2/4
(R^2+Rr+r^2)sin^2θ=3R^2/4
sinθ=R√3/2√(R^2+Rr+r^2)
2(緑+青)=赤より、
2(πr^2-r^2θ+(1-r)rcosθsinθ+s^2ω-crsinθ)=πR^2-R^2(2π/3-θ)+Rcos(2π/3-θ)sin(2π/3-θ)-s^2ω+csinθ+csinθcosθ
=πR^2-2πR^2/3+πR^2θ+rcos(2π/3-θ)sinθ-s^2ω+csinθ+csinθcosθ
2πr^2-2r^2θ+2(1-r)rcosθsinθ+2s^2ω-2crsinθ-πR^2+2πR^2/3-πR^2θ-rcos(2π/3-θ)sinθ+s^2ω-csinθ-csinθcosθ=0
2πr^2-2r^2θ+(2-2r^2-c)cosθsinθ+3s^2ω-(2r+1)csinθ-πR^2+2πR^2/3-πR^2θ-rcos(2π/3-θ)sinθ=0
ここまでできた。 前>>932
2πr^2-2r^2θ+(2+r/2-2r^2-c)cosθsinθ+3s^2ω-(2r+1)csinθ-(r√3/2)sin^2θ
=4πr^2sin^2θ/(9cos^2θ+3sin^2θ-6cosθsinθ√3)
ssinω=rsinθで4文字を3文字に減らせる。
Lの式を微分するのかな？ >>930-931
翻訳すると
「これって三次元空間でも
同じ切り口で解けますか？
計算量はどのていど増加しますか？」
って事だ。
質問したいけど、素直に質問すると
ナメられるからな、あえて、こういうキツい言い方をしてる。 >>933
∠CBO＝６０°を使っていいなら
θ=ω+π/3で変数が減らせるのでは >>933
>929の図で
BD=s*sin(ω)=r*sin(θ)=R*sin(β)
s*sin(ω)=r*sin(ω+pi/3)
s*sin(ω)=R*sin(ω+2/3*pi)
∴
r=s*sin(ω)/sin(ω+pi/3)
R=s*sin(ω)/sin(ω+2/3*pi)
で変数が減らせると思う。 前>>933ちょっと走ってきたらやっぱり共有部は線分のほうがいいと思った。
だれかが言ってたよね、最短距離は線分じゃないかって。
>>786
正弦定理よりrsinθ=Rsin(2π/3-θ)
加法定理よりrsinθ=R(cosθ√3-sinθ)/2
R=2rsinθ/(cosθ√3-sinθ)
緑=2πr^2(2π-2θ)/2π+rcosθsinθ=1
2πr^2-2r^2θ+rcosθsinθ=1
辺々2倍すると、
4πr^2-4r^2θ+2rcosθsinθ=2
青+赤=2πR^2(2π/3+2θ)/2π+rsinθRcos(2π/3-θ)=2
Rを代入して消すと、
4r^2sin^2θ(2π/3+2θ)/(cosθ√3-sinθ)^2+rsinθ×2rsinθ×cos(2π/3-θ)/(cosθ√3-sinθ)=2
rとθの異なる2つの方程式が出た。
連立方程式を解けばrとθが決まるら。 三次元空間のしゃぼん玉の挙動は平均曲率一定とかだったような気がする
合体するしゃぼん玉が二つであれば、まあどうせ
ある直線を軸に回転対称になるだろうからまだやりやすいと思うけど
三つ以上は多分わりと闇なんだろうな… >>938 サンクス！
おら、稲作 >>934 に答えろや。 >>936
s と ωの連立方程式にして、最小二乗法でプログラムで緑＋青＝１，赤＝２となる値を探索させて三円弧の和を出してみた。
https://i.imgur.com/jiSlJV3.png
f <- function(s,ω){
BD=s*sin(ω)
r=BD/sin(ω+pi/3)
R=BD/sin(ω+2/3*pi)
BLUE=s^2*ω - s*cos(ω)*BD
θ=ω+pi/3
α=pi-θ
GREEN=r^2*α + r*cos(θ)*BD
β=θ+pi/3
RED=R^2*β + R*cos(pi-β)*BD - BLUE
(GREEN+BLUE-1)^2 + (RED-2)^2 # least square method
}
opt=optim(c(2.5,0.5),function(x) f(x[1],x[2]),method='N')
s=opt$par[1]
ω=opt$par[2]
BD=s*sin(ω)
r=BD/sin(ω+pi/3)
R=BD/sin(ω+2/3*pi)
L=2*s*ω + 2*r*(pi-θ) + 2*R*β
L
> opt$par # s と ωの値
[1] 2.8904097003 0.2197361056
> L
[1] 7.706524803
共有部分が線分のときの値>862の7.714より小さい。 前>>937
>>786
4πr^2-4r^2θ+2rcosθsinθ=4r^2sin^2θ(2π/3+2θ)/(cosθ√3-sinθ)^2+rsinθ×2rsinθ×cos(2π/3-θ)/(cosθ√3-sinθ)=2
一つ目の二次方程式から、
解の公式よりr=[-cosθsinθ+√｛cos^2θsin^2θ+8(π-θ)｝]/4(π-θ)
二つ目の二次方程式に代入してrを消してθを出すのか？ 前>>941
>>786
正弦定理よりrsinθ=Rsin(2π/3-θ)
加法定理よりrsinθ=R(cosθ√3-sinθ)/2
R=2rsinθ/(cosθ√3-sinθ)
緑=πr^2(2π-2θ)/2π+rcosθrsinθ=1
πr^2-r^2θ+r^2cosθsinθ=1
r=1/√(π-θ-cosθsinθ)
辺々2倍すると、
2πr^2-2r^2θ+2rcosθsinθ=2
赤=πR^2(2π/3+2θ)/2π+rsinθRcos(2π/3-θ)=2
Rを代入して消すと、
4r^2sin^2θ(π/3+θ)/(cosθ√3-
sinθ)^2+rsinθ×2rsinθ×cos(2π/3-θ)/(cosθ√3-sinθ)=2
4r^2sin^2θ(π/3+θ)/(cosθ√3-
sinθ)^2+2r^2sin^2θ｛(-√3/2)cosθ+(1/2)sinθ｝/(cosθ√3-sinθ)=2
4r^2sin^2θ(π/3+θ)/(cosθ√3-sinθ)^2-r^2sin^2θ=2
r^2=1/(π-θ-cosθsinθ)を代入すると、
4sin^2θ(π/3+θ)/(cosθ√3-sinθ)^2(π-θ-cosθsinθ)-sin^2θ/(π-θ-cosθsinθ)=2
4sin^2θ(π/3+θ)/(cosθ√3-sinθ)^2-sin^2θ=2(π-θ-cosθsinθ)
どうすりゃθが決まるかな？
θが決まればrが決まる。
θとrが決まればRが決まる。
境界線の長さは2πr-2rθ+2rsinθ+(2π/3+2θ)R
=2πr-2rθ+2rsinθ+(2π/3+2θ)2rsinθ/(cosθ√3-sinθ) >>801 と >>940 の変数の対応は
α α=π-θ
β β
γ ω
d 2･BD
r_a r
r_b R
R s
L L
かな？
あと少し頑張れば一致しそうだけど… >>940
ｓとωだけの連立方程式にしたら
s^2*ω - s*cos(ω)*s*sin(ω)+(s*sin(ω)/sin(ω+pi/3))^2*(pi-ω-pi/3) + s*sin(ω)/sin(ω+pi/3)*cos(θ)*s*sin(ω)=1
(s*sin(ω)/sin(ω+2/3*pi))^2*(ω+2*pi/3) + s*sin(ω)/sin(ω+2/3*pi)*cos(pi-(ω+2*pi/3))*s*sin(ω) - (s^2*ω - s*cos(ω)*s*sin(ω))=2
になった。 >>944
θが代入消去されていなかったので修正
s^2*ω - s*cos(ω)*s*sin(ω)+(s*sin(ω)/sin(ω+pi/3))^2*(pi-ω-pi/3) + s*sin(ω)/sin(ω+pi/3)*cos(ω+pi/3)*s*sin(ω)=1
(s*sin(ω)/sin(ω+2/3*pi))^2*(ω+2*pi/3) + s*sin(ω)/sin(ω+2/3*pi)*cos(pi-(ω+2*pi/3))*s*sin(ω) - (s^2*ω - s*cos(ω)*s*sin(ω))=2 >>940
最小二乗法じゃなくて、二次方程式の解の公式から
s=1/sqrt(ω-cos(ω)*sin(ω)+(sin(ω)/sin(ω+pi/3))^2*(2/3*pi-ω)+sin(ω)/sin(ω+pi/3)*cos(ω+pi/3)*sin(ω))
として
これを赤の面積の計算式に代入
(s*sin(ω)/sin(ω+2/3*pi))^2*(ω+2*pi/3) + s*sin(ω)/sin(ω+2/3*pi)*cos(pi-(ω+2*pi/3))*s*sin(ω) - (s^2*ω - s*cos(ω)*s*sin(ω))=2
一変数になったのでNewton-Raphson法で計算すると
> ω
[1] 0.21965843313038105
このとき
> s
[1] 2.8908840553803468
> BD=s*sin(ω)
> r=s*sin(ω)/sin(ω+pi/3)
> R=s*sin(ω)/sin(ω+2/3*pi)
> θ=ω+pi/3
> α=pi-θ
> β=θ+pi/3
> 2*s*ω + 2*r*(pi-θ) + 2*R*β
[1] 7.7048793147709809
やっと>801に辿りつけました。 関数化できたので、
暇つぶしに、
赤の面積を変化させたときの３円弧の和をグラフにしてみた。
https://i.imgur.com/jvRPVGu.png
３円弧の和が10になるのは赤の面積が
> uniroot(function(x) Area2L(x)-10,c(2,10))$root
[1] 4.3944
のとき。 次のべき級数が表す関数を求めよ。
1. (n=1→∞) nx^n
2. (n=1→∞) x^n/n >>946
おめでとうございます！
ω= 0.219658433130380823869031210227865511015886011600894
s = 2.890884055380349526169413032955250548001032854116709
L = 7.704879314770980144746397654607571423614259038122890 >>948 (1)
|x| <1 のとき
(1-x)^2 Σ(n=1→∞) n x^n
= Σ(n=1→∞) n(x^n - 2x^{n+1} + x^{n+2})
= Σ(n=1→∞) n x^n - 2Σ(n=2→∞) (n-1) x^n + Σ(n=3→∞) (n-2) x^n
= (x + 2x^2) - 2(x^2) + Σ(n=3→∞) {n - 2(n-1) + (n-2)} x^n
= x,
|x|≧1 のときは 発散 プログラムおじさん＝医者コンプのウリュウの爺さん
ここでもバカ露呈してたか笑 >>951
場合分けをした理由を教えて欲しいです。 >>951
すみません、当たり前のことでした。2番わかります？？ 前>>942
>>786
コンピューターで答えは出せても意味がない。
数学で解いて途中過程を示さないと。 >>962
自作パソコンみたいなもんだな。
ここのモジュールの内部動作はよく知らんが組み合わせたらなんとかなる。
電卓の内部計算処理がわかってないと電卓使った計算は意味がない? シャボン玉が無限個(同じ体積を持つシャボン玉で3次元空間を充填したとき、一個あたりのシャボン玉の表面積の最小値)のときは未解決問題なのか...
面白いな >>964
今のところウィア＝フェラン構造なるものが最小らしい >>964
平面での解を回転させるだけじゃだめなのかな？ >>962
>946の連立方程式を解けばいいと途中過程は既出。
それ以上は手計算では数値がだせないんじゃないの？ そもそも空間内になると面の構成要素が球面になるのも難しい気がする
少なくとも平面の場合の証明をそのまま3次元に持っていくのはオレの知ってる証明では無理
平面の場合はいかなる境界条件の元でも構成される曲線は円弧になるが空間だとそれが成立しない
適当に針金曲げてシャボンの膜作ったら必ずしも球面とか定曲率曲名とかになるわけではない
2次元から3次元に上がるだけで手も足も出なくなる 同じ切り口で3次元でも
解けるっていったくせに！
ウソつき！！ まぁ三次元になっても問題を>>885のように分解した時メチャクチャ難しくなるのは第二層
第一層と第三層はほとんど変わらない
プカプカ浮かんでるシャボン玉見てると答えは多分球面なんだろうし研究者レベルが読むような文献を当たれば玉2個くっついてるタイプは解けてるらしいね
上の方のレス信じると ベクトル空間VからWへの線型写像全体の集合をUとするときVが5次元、Wが3次元のときUの次元を求めよ。 前>>962
sとωじゃない。
rとθだ。
境界線を最小にするrとθを求めて最小値を手計算だ。 >>970
> プカプカ浮かんでるシャボン玉見てると答えは多分球面なんだろうし
体積保存平均曲率流方程式の定常解の話のはずだから、針金で境界条件を与えるとかじゃなければ、
曲面は平均曲率一定曲面になる。しかし、それにしても球面以外の曲面が候補に出てくる。
軸対称のものだけ考えるとかなら球面だろうが。 Hom(U⊕V,W) ≅ Hom(U,W)⊕Hom(V,W)
Hom(U,V⊕W) ≅ Hom(U,V)⊕Hom(U,W)
as vector sp.
∴Hom(R⊕R⊕R⊕R⊕R,R⊕R⊕R)
≅Hom(R⊕R⊕R⊕R⊕R,R)⊕Hom(R⊕R⊕R⊕R⊕R,R)⊕Hom(R⊕R⊕R⊕R⊕R,R)
≅ Hom(R,R)⊕‥(15 times)
≅ R⊕‥(15 times) 前>>975
>>786
緑+青=1より、
r=(sinθ-cosθ√3)/√｛(π+cosθsinθ)(sinθ-cosθ√3)^2+3θsin^2θ+2θsinθcosθ√3-3θcos^2θ-2sin^2θ(sinθ-cosθ√3)｝
赤=r^2sin^2θ｛(π/3+θ)/sin^2(θ-π/3)+cos(2π/3-θ)/sin(2π/3-θ)-(θ-π/3)/sin^2(θ-π/3)+cos(θ-π/3)/sin(θ-π/3)｝=2
rを代入すると、
(sinθ-cosθ√3)^2sin^2θ/｛(π+cosθsinθ)(sinθ-cosθ√3)^2+3θsin^2θ+2θsinθcosθ√3-3θcos^2θ-2sin^2θ(sinθ-cosθ√3)｝=2
境界線の和集合L=2(π-θ)r+4(4π-3θ)rsinθ/3(sinθ-cosθ√3)+4(π+3θ)rsinθ/3(sinθ+cosθ√3)
=｛6(π-θ)(sin^2θ-3cos^2θ)+4(4π-3θ)sinθ(sinθ+cosθ√3)+4(π+3θ)sinθ(sinθ-cosθ√3)｝/3(sinθ+cosθ√3)√｛(π+cosθsinθ)(sinθ-cosθ√3)^2+3θsin ^2θ+2θsinθcosθ√3-3θcos^2θ-2sin^2θ(sinθ-cosθ√3)
赤=2の式で変数はθのみ。
Lの式に代入すると、
微分しなくても決まる？ U,Wを有限次元ベクトル空間とし,TをUからWへの線形写像とする。U,Wのそれぞれの基底をうまく選ぶと、 Tの表現行列Aをa1,1=a2,2=⋯=as,s=1で、それ以外の成分が 0というかたちに出来ることを証明せよ。 >>971 >>982
中学・高校で出てくるような関数はどうなるの？
y = f(x) = x^2-1
この場合、x軸は1次元、y軸も1次元。
よって、 1次元 * 1次元 = 1次元
中学・高校の数学で出てくる関数、
線形写像f 全体の集合は…1次元…
という計算で合ってる？？ >>984
rankT=sとしたとき、Tを左変形と右変形でそのようなAの形に出来る
このとき左変形と右変形に対応する行列でU,Wの基底を変換すれば良い
>>985
1次元(x軸)から1次元(y軸)への線形写像は1次元だね
そのような線形写像は比例y=axの形のみで、この比例定数aがちょうどその1次元に対応している
ところで、y=x^2-1という関数は線形写像ではない
(線形とは限らない)関数全体の空間は無限次元になってしまう
ていうか、ここは宿題をきくスレではないんだがな… >>986
ありがとう。
線形っていうの忘れてた。
俺ちゃんのは宿題じゃ無いっス、
好奇心で聞いただけッス。 nを正の整数とする。
2n個の一変数実関数 f_i, g_i : R→R (i=1,2,…,n) を用いて、全ての実数 x,y について
|x-y| = Σ_(i=1,n) f_i(x)g_i(y)
を成り立たせることは可能か。 >>989
不可能
∵) 可能であるとする
g1≠0としてよいからg1(y1)≠0となるy1がとれる
m=n+1としてy1～ymが相異なるように任意に選ぶ
この時c1～cmをΣ[j] cj gi(yj) =0 (∀i)ととれる
このときΣ[j] |x-yj| cj =0が任意のxについて成立するがコレは不可能である
実際eを十分小さくとりh(x)=x-y1 (if |x-y1|<e), 0(otherwise)で定めるとき
0=∫Σ[j] |x-yj| cj h(x)dx = (2/3)e^3 c1
となるがコレはc1≠0に矛盾 >>990
ん？c1≠0 ってどうやって導かれるの？
c1～cmを決めた段階では、各cjについて非0の制限はかかってないように見えるけど…
もし定数の仮定でちゃんと書いてないのがあれば書いてほしい 最初のg1(y1)≠0の仮定は必要なくて
n+1個のn次元ベクトルg(yj)=(g1(yj),g2(yj),…,gn(yj))たちは一次従属だから非自明な関係式cjg(yj)=0が取れて
一方で|x-yj|たちは関数として独立だから矛盾
でいいのでは 64個の小立方体からなる4×4×4立方体を平面で切る
(i)
平面2枚では全ての小立方体を切断出来ないことを示せ
(ii)
平面3枚なら全ての小立方体を切断出来ることを示せ かするのはなし
切断とは小立方体が平面によって2つに分割されることとする >>978
よどみに浮ぶうたかたは、かつ消えかつ結びて、久しくとゞまりたるためしなし。
(鴨 長明「方丈記」第一段) >>993
正解です
一瞬|x-yj|が独立なのは何でだっけって考えたけど
ただひとつの微分不可能点を持つことを考えればまあ明らかでいいのかな
想定解はこんな感じ
もし |x-y| が可能なら |x-y|+x-y も可能。
|x-y|+x-y = Σ_(k=1,…,n) f_k(x)g_k(y) と表せたとする。
(n+1)次正方行列
( |i-j|+i-j )_(i=1,2,…,n+1)_(j=0,1,…,n)
は下三角行列で対角成分が全て1だから可逆。
一方で各kについて ( f_k(i)g_k(j) )_(i=1,…,n+1)_(j=0,…,n) のrankは1だから、
k=1,…,n で足し合わせても rankはn以下で可逆にはならず矛盾。 >>994
(i)
可能であると仮定する。
2x2x2の小立方体の集まりを中立方体と名づけると、
4x4x4の大立方体は2x2x2に並んだ8つの中立方体に分割することができる。
しかし、一つの平面が2x2x2に並んだ8つの小立方体を通過することは不可能だから、
どの中立方体も二つの平面両方が通過しなければならない。
しかし、一つの平面が2x2x2に並んだ8つの中立方体を通過することは不可能だから、矛盾。
(ii)
まず三本の直線で4x4に並んだ16個の正方形を全て通過することは可能。
下の図で一本目が"1"を全て、二本目が"2"を全て、三本目が"3"を全て通過するようにすれば良い。
[3][3][1][1]
[1][1][1][2]
[1][2][2][2]
[2][2][3][3]
4x4x4に並んだ64個の立方体の場合は、上の図をxy平面として
三本の直線をz軸と平行に拡張して平面にすれば良い。 >>998
独立の証明はまさにそれを考えました
微分可能性の局所性と和に関する性質ですね
>>999
正解です！
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