面白い問題おしえて～な 32問目

**１３２人目の素数さん** · 2020/04/07(火) 12:32:13.40

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/19(火) 15:09:28.21

>>314
とりあえず(1)だけ

(1) Z[n*a_n](z) = - z * (d/dz) (Z[a_n])(z)

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/19(火) 15:12:39.36

>>315
速い
正解です

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/19(火) 15:54:12.21

>>314
>>315
(2)は計算が面倒なので方針だけ書くと、

a_0 の値をどう決めても数列 a_n の漸化式は n ≧ 0 で有効だから、 a_0 = 0 とすれば、
(1 - z)^(-1) = z^0 + z^1 + z^2 + …
より、a_n の漸化式から、
Z[n*a_n](z) + (1 - (1/z))^(-1) = z * Z[a_n](z)
が得られる

ここで、(1)より、 Z[n*a_n](z) = - z * (d/dz) (Z[a_n])(z) であるので、
関数 f を f(z) := Z[a_n](z) と定めると、 f(z) は微分方程式
- z * (df/dz)(z) + (1 - (1/z))^(-1) = z * f(z)
を満たす
この微分方程式を解くと（多分） f(z) の別の表現が求まるので、それをべき級数に展開すると、
z^(-n) の係数が求める数列 a_n の一般項になる

残りの計算は他の人に任せます
上にミスがあったらすまん

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/19(火) 16:01:34.63

>>314
(2)は
a(n+1)/n!=Σ[k=0,n]1/k!
の右辺はこれ以上簡単になる？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/19(火) 16:13:35.71

>>317
方針は正解です。

ローラン展開の一般項は複素積分により求まるのでそれでも大丈夫です。

>>318
積分を用いて
e∫_1^∞ t^(n-1) e^(-t) dtと表現することも可能ですがそれ以上簡単にはならないですね

ちなみにΓ(a,x)= ∫_x^∞ t^(a-1) e^(-t) dtを
第2種不完全ガンマ関数と言います

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/19(火) 16:39:58.39

>>318
n! / k! って順列じゃね？
「ΣP(n,k)(k=0, n)は、自然数 n に対しガウス記号 [] とネイピア数 e を用いて [n!e] 」
と表されるらしいけど、どうなんだろ？
証明は読んでいない

数学の質問です。順列の和ΣP(n,k)(k=0,k=n)が、自然数nに対し... - Yahoo!知恵袋
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10142429180

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/19(火) 16:49:22.33

Σ[k=0,n]1/k! = (1/n!)[e*n!] (n≧1)

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/19(火) 16:55:55.74

ああ証明か　n≧1 の時
A = Σ_(k=n+1,∞)n!/k!
< Σ_(k=n+1,∞) (n+1)^(-k+n)
= 1/n ≦ 1.
また、
B = Σ_(k=0,n)n!/k! は整数であるから、
n!e = Σ_(k=0,∞)n!/k! = A+B
の整数部分はB.

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/19(火) 16:57:17.67

>>320-322
あーなるほど、ガウス記号使って表現出来るんですか
簡単にならないと言ってしまいごめんなさい

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/19(火) 17:14:32.31

>>314 の答は
(1)　>>315
(2)　a_(n+1）= B =［n!･e]

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/19(火) 17:14:51.56

あー今更ですが>>318は

a_{n+1}=n*a_n+1の両辺をn!で割って
a_{n+1}/n!=a_n/(n-1)!+1/(n-1)!
としてa_n/(n-1)!の階差数列にする方針ですか

それなら確かにZ変換するよりはるかに簡単ですね

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/19(火) 17:22:12.62

ところで、>>317の方針で f(z) の微分方程式を解くと f(z) はどう書ける？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/19(火) 17:26:32.70

>>326
f(z)=e^(1-z)*Ei(z-1)
(Eiは複素関数として拡張した指数積分)
として表現できます

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/19(火) 17:41:00.49

>>327
マジか
f(z) を z = 0 の周りに直接ローラン展開するというよりも、
>>319に書かれているように、主要部の係数を複素積分で計算する感じなの？
かなり難しいな

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/20(水) 06:50:58.59

漸化式→Z変換→微分方程式→複素積分
ってベクトル解析以外の工学部で習う数学を一通りおさらい出来るな

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/20(水) 12:31:59.21

ツイッターで見かけた賛否両論の問題

https://i.imgur.com/VWRXMQZ.png

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/20(水) 12:49:05.79

0<α<1を取る。
x=(√π)α/2とおき漸化式
a0=x
an = x/(2n+1)Σ[k=0,n-1]a_k a_(n-k-1)(2n-2k-1)/(k+1)
で定められる数列anをとりz=lim anとおく。
この時

α=2/√π∫[-z,z]exp(-x^2)dx

を示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/20(水) 12:50:37.13

訂正

α=2/√π∫[0,z]exp(-x^2)dx

を示せ

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/20(水) 14:11:27.75

>>330
どの辺が賛否両論なんだろう
明らかに否なのでは？

実際、もし無限級数
f(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + …
が f(x) ∊ T であるならば、和集合の定義から、ある非負整数 n が存在して、
f(x) ∊ T_n
となるが、 f(x) は n 次多項式ではないので矛盾する

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/20(水) 15:32:04.86

無限にロマン（）を持つバカがよくやる釣り

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/20(水) 15:41:44.72

マジレスしたら負けだったのか

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/20(水) 16:47:22.35

F_n をフィボナッチ数列
F_0 = 0,
F_1 = 1,
F_(n+2) = F_n + F_(n+1) (n ≧ 0)
とする。

n = 4 の場合を除いて、 F_n が素数となる n は素数であることを示せ。
また、 n > 2 に対し、 n が素数でも F_n が素数になるとは限らないことを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/20(水) 17:00:29.89

p_n を n 番目の素数（p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5, … ）とする。
このとき、有限個の n を除いて、不等式
p_(n+2) < p_n + p_(n+1)
が成り立つことを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/20(水) 17:35:13.67

>>336
α=(1-√5)/2、β=(1+√5/)/2、
Fn=1/√5(β^n-α^n)、Ln=(β^n+α^n)とおく。

n=2m (m≧3)のとき
Fn = FmLm、Fm≧F3=2、Lm≧L3=4
よりFnは素数ではない。

n:odd、n=ml (m,l≧3)のとき
Fn=Fm(L(n-m)+‥)、Fm≧F3=2、L(n-m)+‥≧L6=18
よりFnは素数ではない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/20(水) 17:45:58.81

>>337
素数定理より
p_n+p_(n+1)-p_(n+2)
=nlogn+(n+1)log(n+1)-(n+2)log(n+2)+o(nlogn)
=(n-1)logn+o(nlogn)
>0 (n>>0)

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/20(水) 19:19:31.76

>>331
漸化式から
a_1 =（1/3)(a_0)^3,
a_2 =（7/30)(a_0)^5,
a_3 =（127/630)(a_0)^7,
　･････
となる。
z = lim[n→∞] a_n が収束するように a_0 を定めると
　a_0 ～ 0.851
これは
　0 < a_0 <（√π)/2 = 0.886227
をみたす。
このとき　z ～ 0.018
となるが、これは
　a_0 = ∫[0,z] exp(-xx）dx < z,
と合わない････

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/20(水) 19:47:42.25

>>336
　α =（1-√5)/2,　β =（1+√5)/2　は α+β=1, αβ=-1 をみたす。
　F_n =（β^n - α^n)/√5,　　･･･ Binetの式
いま
　α^p = A,　β^p = B　とおくと
　AB = (αβ)^p =（-1)^p,　A+B も整数。
より
　F_(pq)/F_p =｛β^(pq）- α^(pq)}/(β^p - α^p)
　　=（B^q - A^q)/(B-A)
　　= B^(q-1) + B^(q-2)A + ････ + BA^(q-2）+ A^(q-1),
　これは A,Bの対称式ゆえα, βの対称式で、係数も整数だから整数。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/20(水) 20:20:35.09

>>337の不等式は n > 1 で常に成り立つか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/20(水) 21:04:48.32

>>342
最初の十項は
(2,3,5,0)
(3,5,7,1)
(5,7,11,1)
(7,11,13,5)
(11,13,17,7)
(13,17,19,11)
(17,19,23,13)
よりn=1を除いて成立。

n≧6においてDudartの不等式

n(log(n log(n)))-n<p_n<n(log(n log(n)))

により

p_n+p_(n+1)-p_(n+2)
> n(log(n log(n)))-n + (n+1)(log((n+1) log(n+1)))-n-1- (n+2)(log((n+2) log(n+2)))
>0 (if n≧8)

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Prime-counting_function

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/20(水) 22:14:55.72

>>343
凄い
その不等式は、
Dusart, Pierre. (1999). The $k^{th}$ prime is greater than $k(\ln k + \ln\ln k-1)$ for $k\geq 2$.
Mathematics of Computation - Math. Comput.. 68. 411-416. 10.1090/S0025-5718-99-01037-6.
の結果から得られるものですね
最新の結果を使うとここまで簡単に示せるとは

ちなみに、>>337の不等式が全ての n > 1 で成り立つことの元ネタは、
Ishikawa, H. "Über die Verteilung der Primzahlen." Science Rep. Tokyo Bunrika Daigaku 2, 27-4 (1934).
です

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/05/20(水) 23:57:57.71

前>>307
>>336
F_0=0
F_1=1
F_2=0+1=1
F_3=1+1=2が素数となる3は素数。
F_4=1+2=3
F_5=2+3=5が素数となる5は素数。
F_6=3+5=8
F_7=5+8=13が素数となる7は素数。
F_8=8+13=21
F_9=21+13=34
F_10=34+21=55
F_11=55+34=89が素数となる11は素数。
F_12=89+55=144
F_13=144+89=233が素数となる13は素数。
F_14=233+144=377=13×29
F_15=377+233=610=2×5×61
F_16=610+377=987=7^3×3
F_17=987+610=1597が素数となる17は素数。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/21(木) 00:03:40.47

どうせなら F_19 まで書けばいいのに

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/21(木) 00:18:25.18

>>336
p=19 のとき
F_p = 4181 = 37･113　(合成数)

>>341
GCD(F_m, F_n) = F_g,
ここに g = GCD(m,n)

【中吉】 · 2020/05/21(木) 00:39:04.03

前>>345
>>346F_18=1597+987=2584=2^3×323
なんか、なんかしらんF_19は本能的に危険だと感じた。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/21(木) 02:07:56.74

>>331
確かめ
f x = sum $ (!!500) $ map fst $ iterate (nextf x) ([x],1)
nextf x (ts,n) = id
$ (\x->(x,(n+1)))
$ (:ts)
$ (*(x/(2*n+1)))
$ sum
$ foldl1 (zipWith (*))
$ [ts, (reverse ts), (map recip [1..]),[2*n-1,2*n-3..] ]

g x = sum $ take 500 $ map fst $ iterate (nextg x) (x,1)
nextg x (y,n) = (-x^2*y*(2*n-1)/(2*n+1)/n,n+1)

main = do
mapM_ print [(x, g$f$x) | x<-[0,0.1..0.9]]

(0.0,0.0)
(0.1,0.1)
(0.2,0.20000000000000004)
(0.30000000000000004,0.30000000000000004)
(0.4000000000000001,0.4000000000000002)
(0.5000000000000001,0.5)
(0.6000000000000001,0.6000000000000003)
(0.7000000000000001,0.7)
(0.8,0.8000000000000003)
(0.9,NaN)

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/21(木) 12:29:22.44

簡単そうにみえるのだけどなかなかうまくいかない
賢者の皆様なら解決できるのだとおもってここに投稿させてもらいます

n,kを正の整数とするとき,どのような正の整数xに対しても,
Σ[i=1,n]gcd(k, x+i) ≧ Σ[i=1,n]gcd(k, i) が成り立つことを証明せよ

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/21(木) 12:31:58.63

k＞n が条件から抜けていましたので修正

n,kをk＞nを満たす正の整数とするとき, どのような正の整数xに対しても,
Σ[i=1,n]gcd(k, x+i) ≧ Σ[i=1,n]gcd(k, i) が成り立つことを証明しなさい.

以上です

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/21(木) 13:50:30.67

数学掲示板群 ttp://x0000.net/forum.aspx?id=1

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数学物理学化学生物学天文学地理地学
IT 電子工学言語学国語方言など

PS 連続と離散を統一した！
ttp://x0000.net/topic.aspx?id=3709-0

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/21(木) 16:17:45.50

>>351
不等式の左辺を
f(x) := Σ[i=1, n] gcd(k, x+i)
とすると、右辺は f(0) であるので、 f(x) ≧ f(0) を示せばよい

ユークリッドの互除法より、整数 a ≧ b > 0 に対して、
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
であるので、
x = 0, 1, 2, … に対し、
gcd(k, x+k+i) = gcd(k, x+i) (i = 1, 2, … , n < k)
となるから、
f(x+k) = f(x)
が成り立つ
したがって、 f(0) が f(0), f(1), f(2), … , f(k-1) の中で最小になることを示せばよい

…ここまでわかったんですが、ここで詰まりました

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/21(木) 16:19:32.99

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/21(木) 17:27:28.80

問題ではないけど。
サザエさんの番組最後に行われるジャンケンに乱数検定を実施した人達がいて。その結果、大きな脆弱性が発見され「ランダムで決められているわけではなく、人の感覚で決められているのでは？」という結論に至ったらしい。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/21(木) 17:46:59.81

>>351

gcd(a,b) * lcm(a,b) = ab

→ gcd(a,b) = ab/ lcm(a,b)

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/05/21(木) 19:50:09.31

前>>348
>>355
ちゃんとサザエさんの初動を把握すれば、サザエさんがなにを出すかがわかり、勝てるようになると思う。ねずみのすもうって話があっただろう。いつも
庄屋のねずみに負けてた🐀お爺
さんちの👴ねずみだが、どっこいどっこいぐらい勝てるようになった。ふつうに考えて庄屋のねずみも強くなるから差はそんなに縮まらないはず。それはつまり庄屋のねずみの初動をお爺さんちのねずみが見抜くようにな
ったからじゃないか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/22(金) 09:05:38.37

>>354
ceilじゃない、floorだった

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/22(金) 11:18:22.85

問い.
以下の a～の値、または近似値を答えよ。

A.「整数空間Z の約a割が自然数空間N で占められている」

B.「実数空間R の約b割が有理数空間Q で占められている」

C.「素数の空間のうち、約c割が奇数で占められている」

D.「半素数の空間のうち、約d割が偶数で占められている」

E.「偶数空間のうち、約e割が矩形数で占められている」

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/22(金) 12:15:30.79

>>359
自然数集合や実数集合上には平行移動不変かつ全測度有限となる非自明な測度は存在しない

無限集合における「割合」の定義を明確に述べよ

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/22(金) 12:26:44.16

よい答えだ。
どうやら君は不正確な回答を
書き込む知ったかの連中とは違うようだな。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/22(金) 13:24:20.62

>>351
kの素因数分解を　k = Π_j pj^ej　とする。

{x+1, x+2, ････, x+n｝のうち、pの指数が最大の項x+m を基準とする。
　x+m+i のpの指数 ≧ i のpの指数　　　(i=1,････,n-m)
　x+m+1-i' のpの指数 ≧ n+1-i' のpの指数　　(i'=1,2,････,m)
（ここで n<p^(e+1）を使う）
Σ[i=1,n] gcd(p^e, x+i）≧ Σ[i=1,n] gcd(p^e, i)
すべての素因数pjについてたす。
　gcd(k, y) - 1 ≧ Σ_j｛gcd(pj^ej, y）- 1}
を使う。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/22(金) 13:32:51.13

>>361
　問い．が曖昧すぎて答えようがないんぢゃね？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/22(金) 14:08:10.12

>>359
・N(自然数), Z(整数), 2Z(偶数), P(素数), PP'(半素数), 矩形数　････　離散
・Q(有理数)　････稠密
は可算で、同型写像で移り合う。
・R(実数)　　････連続
だけ不可算で別格ですね～

しいて言えば　b=0　c=10　か？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/22(金) 18:12:31.08

>>354
解法ありがとうございます
もしよろしければ
Σ_(i=1,n) Σ_(d|gcd(k,x+i)) φ(d)
=Σ_(d|k) φ(d) Σ_(1≦i≦n, d|(x+i)) 1
の成立理由をきいてよろしいでしょうか？
(他の部分は理解できましたが念の為)

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/22(金) 20:34:43.89

>>365
横からすみません

私はそこと
Σ_(d|k) φ(d) Σ_(1≦i≦n, d|(x+i)) 1
≧Σ_(d|k) φ(d) floor(n/d)
の成立理由がわからないのですが、ここの成立理由について教えていただけないでしょうか？

この不等式は、恐らく
Σ_(1≦i≦n, d|(x+i)) 1 ≧ floor(n/d)
が成立するということかと思いますが、これがなぜだかわかりません
上の不等式の左辺は、 x+1, x+2, … , x+n の中で d で割り切れる数の個数を意味しますが、
どうしてこれが floor(n/d) 以上になるのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/22(金) 20:55:40.49

>>366
当人じゃないのですがそこの部分は次の性質を使ったのだとおもいます:
[α+β] ≧ [α]+[β] が一般に成立する ( [.]は床関数)
x+1, x+2, … , x+n の中で d で割り切れる数の個数は
[(x+n)/d] - [x/d] ですがさっきの性質から [n/d]以上です

>>362
その解法は機能しますか？
最初わたしも素冪でわけて考えたりしたのですがまるでうまくいかなかったです
>>354 の解法は芸術品みたいでおそらく正しいのだとおもいますが

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/22(金) 21:08:42.37

>>367
理解できました
ありがとうございます

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/23(土) 06:04:17.22

10^100+3が素数でないことを示せ

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/23(土) 06:49:27.09

10^100+3
≡3^4+3
≡0 (mod 7)

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/23(土) 06:58:08.00

7×157×769×2593×4888946572366141×933379288600368294785169967190258422519522243538669103040838466576871923901

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/23(土) 07:07:43.43

これくらいの桁なら素因数分解できるのかw
どうせなら10^10^10+3にしとけば良かった

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/23(土) 09:42:09.58

m↑↑nを繰り返し冪m^m^…^m(mがn個)とする

(a)
10↑↑10+3が合成数であることを示せ

(b)
7↑↑7-2が合成数であることを示せ

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/23(土) 11:59:21.42

(a)
10^m ≡ 4　(mod 6)
∴ 10↑↑n ≡ 4　(mod 6)
n≧2 のとき
10↑↑n = 10^(10↑↑(n-1))
　≡ 10^4　　(mod 7)　　(フェルマーの小定理)
　≡ 4　　　(mod 7)
10↑↑n　+ 3 ≡ 0　(mod 7)

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/23(土) 13:05:16.54

>>359-360を見て作った問題

#AをAの濃度とする

可算無限濃度の群G={g_i | i∈N}とその正規部分群Hに対して、

#(G/H)=lim(n→∞) #{g_i | i < n}/#{g_(k_i} | g_(k_i} ∈ H , k_iは増加列、k_i < n}

は常に成立するか？成立しないのならば反例を挙げよ.

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/23(土) 14:14:49.65

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/23(土) 15:35:07.22

>>373
(b)
　7 ≡ -1　　(mod 4)
　7^(4m-1）≡（-1)^(4m-1）= -1　(mod 4)
∴ 7↑↑n ≡ -1　　(mod 4)

∴ n≧2 のとき
7↑↑n = 7^(7↑↑(n-1))
　= 7^(4m+3)
　≡ 7^3
　= 343
　≡ 3　(mod 10)
　(∵ 7^4 = (50-1)^2 ≡ 1　(mod 100）)

∴ n≧3 のとき
7↑↑n = 7^(7↑↑(n-1))
　= 7^(10m+3)
　≡ 7^3　　(フェルマーの小定理)
　= 343
　≡ 2.　　(mod 11)
∴ 7↑↑n - 2　は 11の倍数。(n≧3)

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/23(土) 16:04:56.95

>>369
>>373 (a)
　10^m ≡ 4　(mod 6)
より
10^(10^m)
　≡ 10^4　　(フェルマーの小定理)
　=（100)^2
　≡ 2^2
　= 4　　　(mod 7)

∴ 10^(10^m）+ 3 ≡ 0　(mod 7)

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/23(土) 16:29:57.13

>>377-378
正解です！

同じように
任意の整数a(>0),bに対してあるp(>1),Nが存在して
a↑↑n+b=0 modp (n≧N)
が成り立ちそうな気もするんですがどうなんでしょうか…

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/23(土) 16:59:05.25

>>379
あ、a(>1)ですね

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/23(土) 17:08:34.54

>>377 をチョト改良
(b)
　7 ≡ -1　　(mod 4)
Lが奇数のとき
　7^L ≡（-1)^L = -1　(mod 4)

　7^(7^L）= 7^(4m+3）≡ 7^3 = 343 ≡ 3　(mod 10)
　(∵ 7^4 = (50-1)^2 ≡ 1　(mod 100）)

　7^{7^(7^L)}
　= 7^(10n+3)
　≡ 7^3　　(フェルマーの小定理)
　= 343
　≡ 2.　　(mod 11)

∴ 7^{7^(7^L)｝- 2　は 11の倍数。（L：奇数）

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/23(土) 17:13:16.28

>>375
#{g_(k_i) | g_(k_i)∈H, k_i は増加列, k_i<n }
はどういう意味？k_iは#{}の束縛変数？それともg_iから一意に定まるもの？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/23(土) 18:13:47.17

>>382
すみません
iの部分列として表記してましたが紛らわしいだけなので
{g_j ∈ G | g_j ∈ H , j < n}とすれば良かったですね
jは束縛変数で
g_j ∈ Hかつj < nを満たす自然数jを全て取ってきて
g_jを集めた集合、ということです。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/23(土) 18:16:17.54

>>375
いちおう修正

#AをAの濃度とする

可算無限濃度の群G={g_i | i∈N}とその正規部分群Hに対して、

#(G/H)=lim(n→∞) #{g_i | i < n}/#{g_j | g_j ∈ H , j < n}

は常に成立するか？成立しないのならば反例を挙げよ.

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/23(土) 18:18:49.14

>>384
というか
H∩{g_i | i<n}
だけで良かったのかアホだな

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/23(土) 18:34:22.32

>>355
>脆弱性
？？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/23(土) 19:12:34.50

>>385
それが空集合のときは分母が 0 になるけどどうする？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/23(土) 19:19:38.36

>>387
たしかにそうですね
ある自然数Nがあって、g_N∈H
は言えるのでその自然数以降で考える

もしくは形式的にH∩{g_i | i<n}が空ならば1ということでお願いします

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/23(土) 20:44:19.36

>>379
これは有名な反例があることがわかったw

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/23(土) 20:57:15.99

>>384
必ずしも成り立たない。

Gとして整数全体 Z を考える(加法群としてのZ)。
正規部分群Hとして、偶数全体の集合を考える。
もちろん、ここでの「偶数」は負の数も込めている。

Z ＝ { g_i｜i∈N } と表示できる任意の g：N → Z に対して

#(Z/H) ＝ lim[n→∞] #{ g_i｜i＜n } / #(H∩{ g_i｜i＜n })

が成り立つかどうかを考える。以下では、g：N → Z が全単射のときを考える。
#{ g_i｜i＜n } ＝ n であり、#(Z/H)＝ 2 であるから、

2 ＝ lim[n→∞] n / #(H∩{ g_i｜i＜n })

が成り立つかどうかを考えればよい。そのためには

1/2 ＝ lim[n→∞] #(H∩{ g_i｜i＜n }) / n

が成り立つかどうかを考えればよい。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/23(土) 20:58:17.85

全単射 g：N → Z を、以下の性質を満たすように作る。

・ g_n が偶数になるのは、3^{2s} ≦ n ＜ 3^{2s＋1} (s＝0,1,2,…) のとき、かつそのときのみ

このような g が存在することは後で見ることにして、先にこのような g に対して

1/2 ＝ lim[n→∞] #(H∩{ g_i｜i＜n }) / n

が成り立たないことを示す。というか、この g に対しては
そもそも lim[n→∞] #(H∩{ g_i｜i＜n }) / n が存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/23(土) 20:59:40.49

実際、k≧0 を任意に取る。1≦n＜3^{2k＋1}の範囲内で g_n が偶数になるのは、
3^{2s} ≦ n ＜ 3^{2s＋1} (0≦s≦k) のとき、かつそのときのみだから、

#(H∩{ g_i｜i＜3^{2k＋1} }) ＝ Σ[s＝0～k](3^{2s＋1}－3^{2s}) ＝ (9^{k＋1}－1) / 4

であり、よって #(H∩{ g_i｜i＜3^{2k＋1} }) / 3^{2k＋1} ＝ 3(1－9^{－(k＋1)}) / 4 である。
特に、limsup[n → ∞] #(H∩{ g_i｜i＜n }) / n ≧ 3/4 である。

次に、1≦n＜3^{2k＋2}の範囲内で g_n が偶数になるのは、
やはり 3^{2s} ≦ n ＜ 3^{2s＋1} (0≦s≦k) のときのみだから、

#(H∩{ g_i｜i＜3^{2k＋2} }) ＝ Σ[s＝0～k](3^{2s＋1}－3^{2s}) ＝ (9^{k＋1}－1) / 4

であり、よって #(H∩{ g_i｜i＜3^{2k＋2} }) / 3^{2k＋2} ＝ (1－9^{－(k＋1)}) / 4 である。
特に、liminf[n → ∞] #(H∩{ g_i｜i＜n }) / n ≦ 1/4 である。

以上より、そもそも lim[n→∞] #(H∩{ g_i｜i＜n }) / n が存在しない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/23(土) 21:00:12.23

あとは、上記のような g が存在することを言えばよい。

偶数全体の集合を Z_0 とする(集合としては H ＝ Z_0 である)。
奇数全体の集合を Z_1 とする。以下の4つの集合

Z_0, Z_1, ∪[s＝0～∞] { n∈N｜3^{2s} ≦ n ＜ 3^{2s＋1} }, ∪[s＝0～∞] { n∈N｜3^{2s＋1} ≦ n ＜ 3^{2s＋2} }

はどれも可算無限集合であるから、どの2つの間にも全単射が取れる。特に、
全単射 f_0：∪[s＝0～∞] { n∈N｜3^{2s} ≦ n ＜ 3^{2s＋1} } → Z_0 と
全単射 f_1：∪[s＝0～∞] { n∈N｜3^{2s＋1} ≦ n ＜ 3^{2s＋2} } → Z_1 を
何でもいいから取っておく。

g：N → Z を以下のように定義する。

g_n ＝ f_0(n) (3^{2s} ≦ n ＜ 3^{2s＋1}, s＝0,1,2…),
g_n ＝ f_1(n) (3^{2s＋1}≦ n ＜ 3^{2s＋2}, s＝0,1,2…)

明らかに g：N → Z は全単射である。また、この g は明らかに

・ g_n が偶数になるのは、3^{2s} ≦ n ＜ 3^{2s＋1} (s＝0,1,2,…) のとき、かつそのときのみ

という性質を満たす。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/23(土) 21:27:42.93

>>384
右辺の極限は g_i の順番（添え字の取り方）に依存するので成立しない

【反例】
G を整数全体 Z がなす加法群 (Z, +) とし、 H = 2 * Z （偶数全体）とする。
このとき、 #(G/H) = 2 である。
n = 1, 2, … に対し、右辺の n のときの値を a_n とする:
a_n := #{g_i | i < n}/#(H∩{g_i | i<n}) = n / b_n
ここで、 g_i は i = 0, 1, 2, … で定められているものとし、
b_n := #(H∩{g_i | i<n}) ≠ 0 となる n について考えるものとする。
(1) g_i = 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, … (i = 0, 1, 2, … ) のとき

n = 1, 2, 3, … に対して、
b_n = 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10, …
より、 b_n = floor(n/4) + ceil(n/4) = floor(n/4) - floor(-n/4)
となる。ここで floor, ceil はそれぞれ床および天井関数である。このとき、
(n/2) - 1 < b_n < (n/2) + 1
であるので、 a_n → 2 (n → ∞)

(2) g_i = 0, 1, -1, 3, -3, 2, 5, -5, 7, -7, -2, 9, -9, 11, -11, 4, 13, -13, 15, -15, -4, …
(i = 0, 1, 2, … ) のとき

n = 1, 2, 3, … に対して、
b_n = 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, …
であるので、 n ≡ 0 (mod 5) のとき、常に a_n = 5 となる。
ゆえに a_n は 2 に収束しない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/23(土) 21:49:44.29

>>375
ワイみたいなチンピラの書き込みが
建設的な話に発展して嬉しいわ

カスみたいな書き込みから
こういうまともな問題を思いつく人って
頭良さそう…とボクは思いました (^～^)

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/23(土) 22:17:01.97

全単射の取り方によっては成立する可能性もあるので、>>384を次のように変更した問題を考えてみた

#A を集合 A の濃度とする。

可算無限濃度の群 G とその正規部分群 H に対して、適切な全単射
N ∍ i |→ g_i ∊ G （ここで矢印 |→ は元の対応を表す）
を選べば、

#(G/H) = lim[n→∞] #{g_i | i < n} / #(H∩{g_i | i < n})

は常に成立するか？成立しないのならば反例を挙げよ。
ここで、右辺の極限は #(H∩{g_i | i<n}) ≠ 0 となるように十分大きな n の範囲で考えることとする。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/24(日) 00:19:19.52

どうせならこんな感じに、もうちょい自明でなさそうな問題を考えたいなあ
答えはわからないけど

任意の可算な群Gについて、次を満たす全単射f:N→Gは存在するか：
Gの任意の部分群Hについて、(#(G/H))^(-1) = lim_(n→∞) (1/n)*#{1≦k≦n | f(k)∈H})

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/24(日) 00:33:13.78

>>397
#(G/H) = ∞ のときは、左辺は 0 と解釈するってこと？
あと、全単射 f を固定して部分群 H を動かすってこと？
全単射 f が部分群 H に依存せずに決まるとは考えにくいな

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/24(日) 00:47:27.03

>>398
そうそう、fをGだけに依存してとれるかという問題
例えば加法群としてのZはこの条件を満たす。（fの値を0,1,-1,2,-2,…とすればOK）
反例が存在してもおかしくないくらいには強い命題だけど、
存在したとしてもそんなに自明なものにはならない気がする

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/24(日) 06:05:09.43

>>371 最後の933379288600368294785169967190258422519522243538669103040838466576871923901は合成数
10^100+3 = 7×157×769×2593×4888946572366141×220030935994058489226133×4242036622639156527888055237578804493024993216233097

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/24(日) 06:38:04.24

素因数分解じゃなかったんかいw

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/24(日) 07:26:13.32

>>390-394
素晴らしい
大正解です

こちらが用意していたものは、ほとんど>>394と同じですが、
G=Z,H=2Zに対して、

g_k=0,1,-1,2,3,-3,4,5,-5,...
= (2k)*(1+ω^k+ω^{2k})/9+(2k+1)*(1+ω^{k+2}+ω^{2k+1})/9-(2k-1)*(1+ω^{k+1}+ω^{2k+2})/9
(ω=(-1+√(-3))/2,k=0,1,2,...)

とすれば、lim(n→∞) #{g_k | k<n}/#(H∩{g_k | k<n})
=lim(n→∞)n/([n/3]+1)=3
([ ]はガウス記号)
より、#(G/H)=2とは異なる

というものでした

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/24(日) 07:27:41.71

>>396-397
なるほどこれは無茶苦茶難しそうだな...

少なくともGが有限生成アーベル群なら正しいかな？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/24(日) 07:41:49.28

>>402
ということで、これで何が言いたかったというと
無限集合における「割合」を有限集合で区切って割合を求めて極限を出す、という定義にすると、

集合の番号の取り方によっては自然数における偶数の「割合」は1/3とも1/2とも解釈出来てしまって、定まらない
ということです

うまい具合に集合の割り算を定義してその濃度で定義してもいいのかもしれないけど群以外で集合の割り算を定義する方法を知りません(あるかもしれんけど)

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/05/24(日) 10:11:06.05

前>>357
>>359
A.「整数空間Z の約5割が自然数空間N で占められている」

B.「実数空間R の約0割が有理数空間Q で占められている」

C.「素数の空間のうち、約10割が奇数で占められている」

D.「半素数の空間のうち、約d割が偶数で占められている」

E.「偶数空間のうち、約e割が矩形数で占められている」

>>359半素数と矢巨形数がなにかによる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/24(日) 10:40:55.66

>>403
多分正しい。以下の通り

補題
群Gの有限部分集合属 {S_i}_(i∈N) が以下を全て満たすとする。
・S_k⊂S_(k+1)
・∪_(k∈N) S_k = G
・lim_(k→∞) (#S_k)/(#S_(k+1)) = 1
・Gの任意の部分群Hについて #(G/H)^(-1) = lim_(k→∞) #(S_k∩H)/#S_k
この時、Gは>>397の性質を満たす。
（証明）
便宜的にS_0を空集合とする。
全単射f:N→Gを、全てのk∈Nについて
(#S_(k-1)<n≦#S_k ならば f(n)∈S_k＼S_(k-1))
が成り立つように任意に定める。
変数n∈Nに対し、k を常に #S_(k-1)<n≦#S_k を満たす整数とすると、
S_kについての仮定から lim_(n→∞) (1/n)*#S_k = lim_(n→∞) (1/n)*#S_(k-1) = 1.
また、HをGの任意の部分集合とすると、
#(S_(k-1)∩H)/#S_k ≦ #{1≦i≦n|f(i)∈H}/#S_k ≦ #(S_k∩H)/#S_k
であり、n→∞の時の右左辺の極限が #(G/H)^(-1) であるから、中辺の極限も同じ値になる。
以上より lim_(n→∞) (1/n)*#{1≦i≦n|f(i)∈H} = #(G/H)^(-1).□

これより、Gが有限生成アーベル群なら
G = Z^m (+) T (ただし(+)は直和、Tはねじれ)
と分解できるので、
S_k = { g∈G | gのZ^m部分の各成分の絶対値はk以下 }
と定めればこれは補題の条件を満たすため、Gは397の性質を満たす。

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/24(日) 11:06:26.19

>>406
自明じゃないし面白みあるから学会発表してみたら銅かな

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/24(日) 11:21:23.41

それなりにむずかしい問題を投下します
チャレンジャー求むできたら天才BOY-KEN
「a,b,cの最小公倍数とa+1,b+1,c+1の最小公倍数が一致する」
そのような自然数a,b,c(a≦b≦c)の組をすべて求めよ

たとえば a=3,b=4,c=5 とすれば
3,4,5の最小公倍数は60, 4,5,6の最小公倍数も60 で条件を満たす

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/24(日) 11:33:36.46

>>359 の者ですが、質問です。

番号の取り方で前者を採用して、
偶数の割合を 1/3 と解釈した場合…、
この時、残りの 2/3 はいったい何なのですか？
残りの 2/3 はすべて奇数？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/24(日) 11:34:14.23

>>409 は
>>402 >>404へ

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/24(日) 11:54:28.06

>>402
>g_k=0,1,-1,2,3,-3,4,5,-5,...

-2, -4 , … はどこに？

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/24(日) 13:04:56.49

0,1,-1,2,3,-3,-2,5,-5,4,7,-7,-4,…とかならアリなんじゃないかな

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/24(日) 18:50:21.11

>>406
なるほど、これは素晴らしいですね
ということは同様に、非アーベル群でもZ^r × G(Gは有限群)みたいな形の群なら言えるということですか

2chでここまで有意義な議論が出来るとは...

あとはQ(√2)>Qみたいな有限生成じゃない群だとどうなるんだろ

>>409
この順番で「割合」を定義した場合、当然残りの2/3は奇数の集合です

>>411
あーすみません>>412の間違いですね

**１３２人目の素数さん** · 2020/05/24(日) 19:28:23.94

有限生成な群の部分群でも有限生成になるとは限らないらしいけど、そのあたりはどうなんだろう

問. 可算無限濃度の群 G に対し、 G が有限生成かつ有限生成でない G の部分群 H が存在するような例は存在するか？