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分からない問題はここに書いてね447
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
0937１３２人目の素数さん
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2018/10/21(日) 20:18:12.12ID:aS+HsF0h
放物線y=x^2上の2点P,QはPQ=1を満たしている。点Pのx座標は点Qのx座標より小さいとする。

（1）P(p,p^2)とする。線分PQ上の一点Kを無作為に選び、点A(0,a)と結んで線分AKを作る。AKの長さの期待値E(p,a)をp,aで表せ。

（2）aを固定し、pの関数f(p)をf(p)=E(p,a)-(AP+AQ)/2と定義する。
f(p)と0の大小を比較せよ。
0940１３２人目の素数さん
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2018/10/21(日) 21:42:58.34ID:B3jo5NYm
とりあえず、ゴリ押しで式を書き並べて整理して積分したらいいんじゃないの？
最終的には(0,0,1)か(0,0,2)からの角度で置換積分することになりそうだけど
文字３個くらい置いて計算していけばとりあえず一本道だと思う
自作？
0941１３２人目の素数さん
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2018/10/21(日) 23:07:24.17ID:fSpMiCT5
>>938
Pの座標を(a,b,c)として
U(0,b,1)
W(0,b,0)
t = ∠WUP とすれば
a = sin(t)
c = 1-cos(t)

t を固定した時
0 ≦ b ≦t sin(t)
求める立体の x = a における断面の面積S(a)は t sin(t) { 1 -cos(t)}

∫_{0≦a≦1} S(a) da = ∫_{0 ≦ t ≦ π/2} t sin(t)cos(t) { 1 -cos(t)} dt
= (π/8) -(2/9)
みたいな感じ
計算は合ってるかは知らん
0942１３２人目の素数さん
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2018/10/21(日) 23:28:20.59ID:ltcwrDDV
>>935
12枚の時は

　　２．９１６｛（９ｘ８ｘ７ｘ６ｘ５ｘ４ｘ３）／９^7｝
＝０．１１０６１７２８３９５

０６１７２８３９５循環節の長さ９の循環小数になる
0944１３２人目の素数さん
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2018/10/22(月) 00:05:10.04ID:E8LyAx4E
>>935
１０枚引いた時の確率を１２枚に置き換えるには

α＝１４５８１３９／１５０００００＝０．９７２０９２６６６６６

６が循環節の長さ１の循環小数を係数としてかける

β＝（９ｘ８ｘ７ｘ６ｘ５ｘ４）／９^6＝６０４８０／５３１４４１
　　＝０．１１３８０３７９００７

とすると

αβ≒０．９７２０９２６６６６６ｘ０．１１３８０３７９００７
　　　≒０．１１０６２７８２９７６
0945１３２人目の素数さん
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2018/10/22(月) 00:38:48.92ID:0aLL4RLP
>>944
30 桁計算させたけど違うよ？

Prelude Data.List Data.Ratio> let dec x y = map fst $ iterate (¥(n,(x,y))->(div (10*x) y,(mod (10*x) y,y))) (0,(x,y))
Prelude Data.List Data.Ratio> let decstr x y = concat $ map show $ dec x y
Prelude Data.List Data.Ratio> take 30 $ decstr 20413946 184528125
"011062782976849734965875798066"
Prelude Data.List Data.Ratio> take 30 $ decstr 7371811052 66636135475
"011062782977211659797262575272"
0947１３２人目の素数さん
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2018/10/22(月) 02:36:43.42ID:m6H0QzkR
M_n(C)を複素成分のn次行列全体とし、C^(n^2)との対応で位相を入れます。
このときM_n(C)の元aをaの転置に写す写像が連族であることはどのように示せるでしょうか？
0948１３２人目の素数さん
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2018/10/22(月) 02:40:26.39ID:DzGenx4d
自然数からなる単調増加数列{a[n]}で、以下の性質を全て満たすものが存在するか述べよ。

（1）i=1,2,...に対し、a[2^i]とa[2^i+1]は互いに素

（2）自然数jに対し,a[2j-1]とa[2j+1]をともに割り切る2以上の自然数が存在する

（3）n≧3のとき、常に漸化式a[n]=pa[n-1]+qa[n-2]が成り立つような自然数p,qが存在する。
0949イナ ◆/7jUdUKiSM
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2018/10/22(月) 02:48:37.81ID:GdrzxeMu
前>>931
ジョーカー以外の数字がぜんぶバラバラの確率は、
3028441372×100÷1399358844975
=0.216416353(％)
0950１３２人目の素数さん
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2018/10/22(月) 02:54:56.75ID:CpCVN4SV
>>948
Prelude> let x = map fst $ iterate (¥(x,y) -> (y,6*y+x)) (2,3)
Prelude> take 10 x
[2,3,20,123,758,4671,28784,177375,1093034,6735579]
0951１３２人目の素数さん
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2018/10/22(月) 06:44:16.11ID:71Di82/e
>>941
ありがとうございます
0952１３２人目の素数さん
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2018/10/22(月) 06:45:33.50ID:71Di82/e
>>940ありがとうございます。学校から出された課題です。
0955名無しさん＠そうだ選挙に行こう！ Go to vote!
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2018/10/22(月) 10:06:42.32ID:87JVnPFu
世界的建築家とスペースシャトルのパイロットはどっちの方が空間認識能力が上ですか？
0956イナ ◆/7jUdUKiSM
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2018/10/22(月) 10:15:13.31ID:GdrzxeMu
前>>949
>>930の実験値は、
0.216416353の半分ぐらいの値のようだ。

計算間違いしたかな。約分したとき2を忘れたとかならありうる。
0.1082081765(％)
0960イナ ◆/7jUdUKiSM
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2018/10/22(月) 12:45:19.40ID:GdrzxeMu
>>958そのとおり！　数字のトランプの取り方の数を掛けるのを忘れてました。


前>>956
0961１３２人目の素数さん
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2018/10/22(月) 13:05:56.57ID:yi4KPPpT
>>948
　存在する。

p = q-1 とおくと 漸化式 (3) の特性根は q=p+1 と -1.

一般項は

a[n] = { (3p±1)(p+1)^{n-1} + (-1)^n･(-pp+p±1) }/(p+2),

a[1] = p と a[2] = 2p±1 は互いに素。

(2)　漸化式より、

　a[1] ≡ a[3] ≡ … ≡ a[2j-1] ≡ a[2j+1] ≡ 0　(mod p)
　a[2] ≡ a[4] ≡ … ≡ a[2j] ≡ … ≠ 0,　　　　　(mod p)

問題は (1) だが…
0964イナ ◆/7jUdUKiSM
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2018/10/22(月) 15:55:35.74ID:GdrzxeMu
前>>960その場合の数をぜんぶ足すとこから。
ジョーカーが3枚のとき、
24Ｃ3･4^9=23･22･4^10
ジョーカーが4枚のとき、
24Ｃ4･9Ｃ8･4^8=6･23･11･7･9･4^8
ジョーカーが5枚のとき、
24Ｃ5･9Ｃ7･4^7=23･22･21･9･4･4^8
ジョーカーが6枚のとき、
24Ｃ6･9Ｃ6･4^6=23･11･7･19･3･7･4^8
ジョーカーが7枚のとき、
24Ｃ7･9Ｃ5･4^5=23･11･19･18･3･7･6･4^6
ジョーカーが8枚のとき、
24Ｃ8･9Ｃ4･4^4=23･11･19･9･17･9･2･7･4^4
ジョーカーが9枚のとき、
24Ｃ9･9Ｃ3･4^3=23･11･19･17･3･7･4^6
ジョーカーが10枚のとき、
24Ｃ10･9Ｃ2･4^2=23･11･19･17･9･6･4^4
ジョーカーが11枚のとき、24Ｃ11･9Ｃ1･4=23･19･17･3･7･9･4^3
ジョーカーが12枚のとき、24Ｃ12=23･19･13･7･4

(その場合の数)=23･22･4^10+6･23･11･7･9･4^8+23･22･21･9･4･4^8+23･11･7･19･3･7･4^8+23･11･19･18･3･7･6･4^6+23･11･19･9･17･9･2･7･4^4+23･11･19･17･3･7･4^6+23･11･19･17･9･6･4^4+23･19･17･3･7･9･4^3+23･19･13･7･4
=
0968１３２人目の素数さん
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2018/10/22(月) 16:48:17.46ID:6Vwg3PAT
>>934
Wolfram先生に1000桁表示してもらいました。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=N%5B7371811052%2F66636135475,+1000%5D

0.110627829772116597972625752724145352308187707069307653303704734386834578059690
51808972720142576665532538522410463960057551641803099326567001820869024517811745
14457390207771498921846802971432370568455448083591014999508417996234347201990107
60535104395622966609319265899400508414612559732929200153319665481396225881600016
36109285492744880700931734216839350706659508603503690802831629845503131647506453
77968626863861510570290165825376445271716141638989607087504949580811506386355308
06943152790929462285117607955040252880150985376452009801968486678661192274070722
58642261847043283987800914710833176509325475705792345845818274472796473346205856
03520099692575997182705769748121786619859500488237159434402209381725854053213310
23661077638446289265396508950236358225724373761787391527899825286199191910746081
57264239969792455915226527472930407058543486160952223197634346306605050013218822
54607142642075613254191343844583898418217807070391187027341639217411414568530694
043823525016626873949130376096438836889198..
0969１３２人目の素数さん
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2018/10/22(月) 17:35:10.83ID:DzGenx4d
分子が1、分母がn桁の正整数である有理数全体からなる集合をS_nとする。
S_nの要素のうち、循環節の長さを最小とするものを1つ取り、その長さをm[n]とする。同様に循環節の長さを最大とするものについてその長さをM[n]とする。

（1）m[n]を求めよ。

（2）以下を示せ。
(a) lim[n→∞] m[n]/M[n] = 0
(b) M[n]≦M[n+1]
(c) M[n]<10^n
0970１３２人目の素数さん
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2018/10/22(月) 18:32:30.96ID:Bec2HI7q
>>965
P3がΣが2個でてきてうまくできません
どうすればいいですか？
0972１３２人目の素数さん
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2018/10/22(月) 19:12:47.07ID:7iHP/wTl
ｍ、nは1以上の自然数とする。
S_n^mΣ_{k=1,...,n} k^m
の値を綺麗な式で表示する事は可能ですか？
0973１３２人目の素数さん
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2018/10/22(月) 19:13:16.25ID:7iHP/wTl
訂正

m、nは1以上の自然数とする。
S_n^m = Σ_{k=1,...,n} k^m
の値を綺麗な式で表示する事は可能ですか？
0978１３２人目の素数さん
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2018/10/22(月) 22:17:49.64ID:DzGenx4d
nを2以上の整数、a[0]=0とする。
整数1,2,...,nを2つのグループAとBに分ける。ただしAとBのいずれにも1つ以上の整数が入るものとする。

いま1からnまでの整数から1つを選ぶ。n個の整数のうちどれが選ばれるかは同様に確からしいものとする。
選ばれた整数がAに属していた場合、a[1]をa[1]=a[0]+0とし、Bに属していた場合a[1]=a[0]+1とする。
以下同様にして整数を選ぶことを繰り返し、a[2],a[3],...、を定める。

a[k]が偶数となる確率はk、AとBへの振り分け方、に依存する。その確率をp[k,A,B]とおく。

しかしn個の整数をどのようにAとBに振り分けても、以下が成り立つことを示せ。
lim[k→∞] p[k,A,B] = 1/2
0979１３２人目の素数さん
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2018/10/22(月) 23:16:45.86ID:KR8aDfwA
B(n/2,1/2)=2∫[0→∞]sin^n x dx
となることを示す方法を教えてください！
0981１３２人目の素数さん
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2018/10/23(火) 00:19:11.35ID:50P4ShkH
>>979
2∫[0→π/2]sin^n x dx
=∫[0→1]t^(n/2-1/2)(1-t)^(-1/2) dt (sin^2 x = t、2sinx cosx dx = dt、2dx = t^(-1/2)(1-t)^(-1/2) dt)
=B(n/2+1/2,1/2)
0983１３２人目の素数さん
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2018/10/23(火) 04:36:12.50ID:hJH+d7Hk
数学界で一番権威ある論文誌の名前がAnnals of Mathematics（数学のアナル）
ってマジ？？
0984１３２人目の素数さん
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2018/10/23(火) 05:51:27.28ID:dMSY06HH
AB=c,BC=a,CA=bである△ABCの外接円をKとする。
Kの劣弧AB,BC,CA上にそれぞれ点P,Q,Rをとり、△PQRと△ABCの面積が等しくなるようにする。
このとき、△PQRの重心となり得る領域の面積を求めよ。
0985１３２人目の素数さん
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2018/10/23(火) 05:58:24.35ID:dMSY06HH
∫[1→n] 1/x dx = I[n]
Σ[k=1,2,...,n] 1/k = S[n]
とおく。
次の極限が0でない定数に収束するような有理数pを求めよ。
ただしγはオイラーの定数である。

lim[n→∞] {S[n]-I[n]-γ}/n^p
0986１３２人目の素数さん
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2018/10/23(火) 06:07:21.06ID:dMSY06HH
3辺の長さがa,b,c（0<a≦b≦c）の直方体ABCD-EFGHがある。
その対角線である線分AG上で点Pを動かし、4つの線分長の積PA・PG・PB・PD=Lと定める。
Lが最大となるとき、PがAGの中点と一致するかどうかを判定せよ。
0988１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/23(火) 15:33:00.64ID:K3lfmPoe
(2)のxについての(0,0)においての偏微分係数の求め方がわかりません。教えて欲しいです。そもそも(0.0)において連続じゃなくないので存在しないかなと思ったら存在するらしく、しかも0ではありませんでした。

https://i.imgur.com/D5gVZjc.jpg
0989１３２人目の素数さん
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2018/10/23(火) 15:45:55.81ID:foOj88Cn
>>985

I[n] = log(n),

S[n] - γ = ψ(n+1) = log(n) + 1/(2n) - 1/(12n^2) + 1/(120n^4) - 1/(252n^6) + …

ただし ψ(x) = Γ '(x)/Γ(x)　は digamma函数である。

lim(n→∞) {S[n] - I[n] -γ}n → 1/2,

p = -1.
0990１３２人目の素数さん
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2018/10/23(火) 18:06:19.95ID:foOj88Cn
>>989

〔Wolstenholmeの定理〕
素数 p に対して
p≧5　⇒　1 + 2^(-1) + 3^(-1) + …… + (p-1)^(-1) ≡ 0　　(mod pp)
p≧5　⇒　1 + 2^(-2) + 3^(-2) + …… + (p-1)^(-2) ≡ 0　　(mod p)
p≧7　⇒　1 + 2^(-3) + 3^(-3) + …… + (p-1)^(-3) ≡ 0　　(mod pp)
p≧7　⇒　1 + 2^(-4) + 3^(-4) + …… + (p-1)^(-4) ≡ 0　　(mod p)
p≧7　⇒　1 + 2^(-5) + 3^(-5) + …… + (p-1)^(-5) ≡ 0　　(mod p)
p≧7　⇒　1 + 2^(-7) + 3^(-7) + …… + (p-1)^(-7) ≡ 0　　(mod p^3) ?
0991１３２人目の素数さん
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2018/10/23(火) 18:27:04.92ID:foOj88Cn
>>973
〔Faulhaberの定理〕

・m が奇数のとき
　S_m (n) = Σ_[k=1,...,n] k^m = {1/(m+1)} P_m(n(n+1))
　P_m は (m+1)/2 次のモニック多項式。

・m が偶数のとき
　S_m (n) = Σ_[k=1,...,n] k^m = {1/(m+1)}(n+1/2) P_m(n(n+1))
　P_m は m/2 次のモニック多項式。
0995１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/24(水) 09:16:49.21ID:EgKzyAb9
完全に最難関大学の数学って感じだな
どこかの模試の過去問とかなのか？
0997１３２人目の素数さん
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2018/10/24(水) 11:24:48.90ID:gdPWKmcN
>>993
Kは単に底面が半径aで高さaの円柱じゃないの？
0998１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/24(水) 12:30:17.56ID:jMnLPXeV
>>992
次スレに書いとこうか？
10011001
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