分からない問題はここに書いてね448

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/22(月) 23:34:13.76

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね447
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1537106483/

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 00:49:04.01

削除依頼を出しました

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 00:57:24.49

しつもんいいすか

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 00:59:40.14

いいよ。
でも完全性定理と数理論理のモデル理論はダメだからね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 01:01:08.96

なぜですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 01:02:45.54

面白くないからに決まってるジャン

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 01:03:06.08

画像貼るんでちとまってください

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 01:04:39.25

おう、
待つよ！

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 01:06:04.33

https://i.imgur.com/kgByavn.jpg

https://i.imgur.com/81mXtaZ.jpg

1枚目の問題の解答が2枚目なのですが、途中に出てくるmaxは正しくはminではないでしょうか

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 01:19:35.42

その通り

**NAS6** ◆n3AmnVhjwc · 2018/10/23(火) 06:18:04.06

∫1→∞　1/x^2　dx
について
1→∞[-2/x]
1→∞[0+2]=2
とするんですが違和感がありすぎます
x=1のとき高さが2であるとしかこれは言っていなくて
積分ならば当然面積なので
⊿これね直角三角形の面積
高さが2だから面積が2なんて数学はなくて
当然(底辺×高さ)／２ですよね
しかるに
∫1→∞　1/x^2　dx
は
底辺∞高さ2の直角三角形だから
(∞×2)/2=∞
とこうなるんじゃないのん？
おらが間違えたんならどう間違ったか解説してくれんかのう

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 12:06:11.56

そもそも１だし

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 12:47:28.20

高さ1底辺∞の直角三角形＝高さ1底辺∞の帯状領域（直方体）
だし
積分で面積を求めた領域≒（x=1付近を除けば）点(0,1)から延びる半直線
だから
違和感持つ方が無理だろ

> 1→∞[0+2]=2
左辺の変な記号が一つ上の行と同じ意味なら右辺は0だなｗ

**NAS6** ◆n3AmnVhjwc · 2018/10/23(火) 15:55:25.77

そかそか

∫1→∞　1/x^2　dx
について
1→∞[-1/x]
1→∞[0+1]=1
とするんですが違和感がありすぎます
x=1のとき高さが1であるとしかこれは言っていなくて
積分ならば当然面積なので
⊿これね直角三角形の面積
高さが1だから面積が1なんて数学はなくて
当然(底辺×高さ)／２ですよね
しかるに
∫1→∞　1/x^2　dx
は
底辺∞-1高さ1の直角三角形だから
((∞-1)×1)/2=∞
とこうなるんじゃないのん？
おらが間違えたんならどう間違ったか解説してくれんかのう

∫1→∞　1/x^2　dx
の面積って1なの？∞なの？どっち？

**NAS6** ◆n3AmnVhjwc · 2018/10/23(火) 16:10:04.55

dx＝1として計算してみるよ
1→∞[-1/x]

x=1　ｙ＝1
x=2　ｙ＝0.5
x=3　ｙ＝0.33
x=4　y=0.25

ここまでの面積
1+0.5+0.33+0.25=2.08

∫1→∞　1/x^2　dx
の面積は1にはどうしても思えなくて∞だろ

**NAS6** ◆n3AmnVhjwc · 2018/10/23(火) 16:22:28.86

ああ、ちゃうな

dx＝1として計算してみるよ
y=1/x^2

x=1　ｙ＝1
x=2　ｙ＝0.25
x=3　ｙ＝0.11
x=4　y=0.0625

ここまでの面積
｜1+0.25+0.11+0.0625｜=1.4225

∫1→∞　1/x^2　dx
の面積は1にはどうしても思えなくて∞だろ

**NAS6** ◆n3AmnVhjwc · 2018/10/23(火) 16:29:56.14

だから無限遠の重力ポテンシャルをゼロにしたなんちゃら宇宙速度
ってそもそも面積∞だから使い物にならんよねえ

**NAS6** ◆n3AmnVhjwc · 2018/10/23(火) 16:38:43.47

さあ、どうやって誤魔化しますかぁ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 18:30:04.04

三角形の合同条件3つが合同条件になる証明ができない高校生です笑笑
検索しても出なかったので詳しい方お願いできないでしょうか。
メモします

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 19:56:36.72

それは例えばヒルベルトの公理系からスタートするのかR^2の座標とっていいのかでも話がだいぶ違うな。
後者でいいん？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/23(火) 20:09:28.39

>>16
> x=1　ｙ＝1
> x=2　ｙ＝0.25
> x=3　ｙ＝0.11
> x=4　y=0.0625
>
> ここまでの面積
> ｜1+0.25+0.11+0.0625｜=1.4225

お前が足してるのは左上の点が1/x^2のグラフ上にある長方形の面積だから
1/x^2のグラフから大いにはみ出てる（積分を上から評価することはできる
右上の点がグラフ上にあるようにするなら最初の1x1の長方形は範囲外だから足したらダメ
そうするとお前の示したのは 0.4225 < 求める積分 < 1.4225 になるということだけ

**NAS6** ◆n3AmnVhjwc · 2018/10/24(水) 06:07:08.23

そもそも一般に
∫1→∞　1/r^2　dr　＝　1
と
∫0→1　1/r^2　dr　は相似なのに　＝　∞　
↑
なんで1と∞を混在して採用しているわけさ？
ご都合主義なん？

相似なんだから1か∞に統一すべきじゃないのか？

**NAS6** ◆n3AmnVhjwc · 2018/10/24(水) 06:10:02.83

だから、結局これは

∫0→∞　1/r^2　dr　＝　3　or　∞

3なの？∞なの？

**NAS6** ◆n3AmnVhjwc · 2018/10/24(水) 06:20:28.20

∫1→∞　1/x^2　dx　＝　1
とする
∫0→1　1/x^2　dx　＝　∞
だけど
∫1→∞　1/x^2　dx　＝　1
と縦横入れ替わっただけで相似だから
∫0→1　1/x^2　dx　＝　1
とする
それに1×1=1
ゆえに
∫0→∞　1/x^2　dx　＝　1+1+1　=　3

こういうことにはならんのかえ？

**NAS6** ◆n3AmnVhjwc · 2018/10/24(水) 06:25:51.61

ちょっと違うな

∫1→∞　1/x^2　dx　＝　1
とする
∫0→1　1/x^2　dx　＝　∞
だけど
∫1→∞　1/x^2　dx　＝　1
と縦横入れ替わっただけで相似だから 1×1=1の部分を足して
∫0→1　1/x^2　dx　＝　2
とする
ゆえに
∫0→∞　1/x^2　dx　＝　1+2　=　3

こういうことにはならんのかえ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 06:41:01.11

そもそも1/x^2のグラフはｙ軸に対して対称であって縦横が相似じゃないぞ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 07:32:04.74

老子とプリンストン大学数学科の教授の中で断然トップの人はどっちの方が頭が良いですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 07:38:25.06

分子が1、分母がn桁の正整数である有理数全体からなる集合をS_nとする。
S_nの要素のうち、循環節の長さを最小とするものを1つ取り、その長さをm[n]とする。同様に循環節の長さを最大とするものについてその長さをM[n]とする。

（1）m[n]を求めよ。

（2）以下を示せ。
(a) lim[n→∞] m[n]/M[n] = 0
(b) M[n]≦M[n+1]
(c) M[n]<10^n

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 08:18:21.72

(10,a) = 1のとき
1/a の循環節の長さ = 10の Z/aZの乗法群での位数。
とくにそれはaより小さいからa<10^nのとき
1/a の循環節の長さ < 10^n。
またa|bのとき
1/a の循環節の長さ≦1/b の循環節の長さ。
pを素数としてa = p^e、vをp進付値mを10の Z/pZの乗法群での位数とするとき
v(10^(mn) －1) = v(10^m－1)+v(n)
により10のZ/aZの乗法群での位数はmp^(e-v(10^m-1))。
特にp = 7のとき10のZ/(p^e)Zの乗法群での位数は6・7^(e-1)。
10^(n-1)<7^e<10^n であるn,eをとるとき1/7^eの循環節の長さは
6・7^(e-1)であり特に
M[n] ≧ 6・7^(e-1) > 6/7 10^(n-1)。

**NAS6** ◆n3AmnVhjwc · 2018/10/24(水) 10:07:27.41

>>26
y=1/x^2
∫0→1　1/x^2　dx　＝　∞

y=1/x^2
yとx入れ替えて
x=1/y^2
y=1/√x
∫1→∞　1/√x　dx　＝　1
1→∞[2√x]=1→∞[∞-1]=∞

あれ？なんでこっちは収束しないん？

**NAS6** ◆n3AmnVhjwc · 2018/10/24(水) 10:08:36.50

>>26
y=1/x^2
∫0→1　1/x^2　dx　＝　∞

y=1/x^2
yとx入れ替えて
x=1/y^2
y=1/√x
∫1→∞　1/√x　dx　＝　1
1→∞[2√x]=1→∞[∞-2]=∞

あれ？なんでこっちは収束しないん？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 10:19:57.47

これの18問ってどうやって解けば良いの？
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/kyoumu/b20170524.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 12:33:50.84

前スレの992
点T(1,t)で円2つが交わるとすれば線分OTの垂直二等分線の第一象限で切り取られた部分が2円の中心間距離l。
l=(t^2+1)^(3/2)/2tはすぐ出てくるのであとは微分してください
おわり

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 12:42:15.75

前スレ993

2∫0→t (a^2-2(a-√(a^2-t^2))^2)dtで出てくるやろ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 12:46:55.95

>>32
最近はどうか知らんが
内部の学生有志で解答作ってないの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 13:39:03.57

https://i.imgur.com/bzc36HW.jpg　

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 13:45:51.73

宿題の答えを聞いているような感じ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 14:08:10.35

>>33

〔前スレ．992〕
　xy平面上に，原点Oでそれぞれx軸，y軸に接する2円があり，この2円は点P(1,p) (p>0) で交わっている。
この2円の中心間の距離の最小値を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 14:19:01.65

>>32
(1)が5になった。自信なし。
(2)(1)のAF(X) = Qを満たすXをX0とすると
EG(X0)⊂X0⊂AF(X0) = Q
だから
X0∈{ AF(EG(X0)) = Q}
により
min {|X| ; AF(EG(X0)) = Q} ≦ 5。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 14:28:03.45

>>36
x y の法6の類は交代していくだけなので
sin((xn -x0)π/3) + sin((yn -y0)π/3) = 0

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 14:28:52.25

>>38

2円の中心は、線分OPの垂直二等分線とx軸，y軸の交点。
（(pp+1)/2，0)　(0，(pp+1)/(2p))
その距離の2乗は
　L(p)^2 = (pp+1)^3 /(2p)^2 = (27/16) + (1/4)(pp+4)(pp-1/2)^2 ≧ 27/16,
　L(p) ≧ L(1/√2) = (3√3)/4,

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 15:37:10.80

二円の直径(半径)は、それぞれ直角三角形の相似で簡単にわかる.
M = 4L^2 = (pp + 1)^2 + ( p + 1/p )^2 = q^2 + 3q + 1/q + 3 (q = pp と置いた)
M'= 2q + 3 - 1/(qq) = (2q^3 + 3qq - 1) = (2q - 1)(q+1)^2 /(qq)
増減表より M は q=1/2 にてミニマム値をとる事がわかる. (条件 q＞０)
よって L_min = (1/2) * √(1/4 + 3/2 + 2 + 3)　= 1/4 √27 = (3√3)/4.

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 20:28:40.36

前スレ>>897
サイコロを繰り返し投げ, 出た目が直前の回に出た目の約数でなくなったら終了する。
n回目にサイコロを投げ, かつその目が1である確率p[n]を求め, n回目に終了する確率をp[n]とp[n+1]を用いて表せ。

n回目が1になるのは, 次のような経過の場合である:
6→1, 6→3→1, 6→2→1, 5→1, 4→1, 4→2→1, 3→1, 2→1, 1

∴n回目が1である確率P[n]は,
P[n]={1+5･C(n-1, 1)･3･C(n-1, 2)}/6^n
=(3n²+n-2)/(2･6^n)
を得て,
n-1回目に終了していない確率は, 6･P[n]なので
, n回で終了する確率は,
6(P[n]-P[n+1])=(15n²-n-14)/(2･6^n)
を得る。

n回目が1である確率から, 直ちにn回で終了する確率が求められるところが面白いと感じますね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 21:56:07.33

ある牧場では１００頭の羊を放すと１５日間で牧草がなくなり、
１２０頭の羊を放すと１０日間で牧草が食べつくされました　
この牧場で８０頭の羊を１０日間放した後、
さらに何頭xかの羊を加えたところ、
加えてから４日間で牧草は食べつくされました
後から加えた羊は何頭ですか
ただし、牧草は１日に一定量a生え、また、
どの羊も１日で同じ量uの牧草を食べるものとします

（ヒント：最初からある草の量をbとおく）

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 22:16:23.48

ニュートンのパチモンか

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 22:20:12.89

１００

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 22:22:52.34

問題文見間違えた >46はなしで

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 22:31:23.90

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/24(水) 23:48:05.98

>>34

〔前スレ．993〕
　aを正の定数とする。
xyz空間において，円柱 yy + zz ≦ aa と角柱 |x| + |z|≦ a との共通部分をKとする。
(1) Kの体積を求めよ。
(2) Kの表面積を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 00:16:28.74

>>49
(1)
ｚ＝一定の平面で切ると、
　|x| ≦ a - |z|,
　|y| ≦ √(aa-zz),
の長方形。

V = 8∫[0，a] (a-z)√(aa-zz) dz = (2π - 8/3)a^3 = 3.61651864a^3

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 00:20:46.17

a,b,cは素数で、2≦a≦b≦cかつa+b>cを満たす。
AB=c,BC=a,CA=bである△ABCの面積をS(a,b,c)とする。

（1）有理数pと自然数nを用い、S(a,b,c)=p√nと表したとき、n=1とならないことを示せ。

（2）次の命題の真偽を述べよ。
「どのような素数qについても、a,b,cをうまく選ぶことで、n=qとなるようにできる」

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 08:36:23.80

高専２年
行列
(2)は簡単ですが(1)の固有値が求まりません
お願いします

https://i.imgur.com/3dtlh8V.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 08:42:17.38

わからないんですね

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 09:25:25.86

>>52

固有値　　　(固有ベクトル)^t
----------------------------------
　1+2a 　　(1/√3，1/√3，1/√3)
　1-a　　　(1/√6，1/√6，-2/√6)
　1-a　　　(1/√2，-1/√2，0)

1-a は重根なので、固有ベクトルの取り方がいくつもあります。
a=0 つまり A=E のときは任意のベクトルが固有ベクトルです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 09:58:35.15

>>50 (補足)

∫(a-z)√(aa-zz) dz
　= ∫[(1/2)a^3 -aaz -azz +z^3]/√(aa-zz) dz + (a^3)/2･∫1/√(aa-zz) dz
　= (1/6) (2aa+3az-2zz) √(aa-zz) + (a^3)/2･arcsin(z/a) +c,

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 10:42:44.15

「無」に勝るものは何もありませんか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 10:45:54.04

>>44
増える草の量+最初の草の量-食べる草の量=0
として式を作る。
15a+b-100*15u=0
10a+b-120*10u=0
14a+b-(80*14+x*4)u=0
これを解くとx=80

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 11:38:07.42

>>38
勝手にtで置いてたけどpだったかw

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 11:42:09.86

面白スレの795で、宝は2つのまま、縦と横のマス数をそれぞれn、n+1と置いたとき、横に沿って探した方が相手より先に見つけやすいことは3,4の場合でそうだったことから容易に想像出来るが、その証明は出来るだろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 11:48:03.89

縦nマス、横n+1マスのn(n+1)マスのうちランダムに選ばれた2マスにそれぞれ宝が眠っている。
縦1列を探し終えたらすぐ右の1列に移って宝を探していく方法をとるP君と、横1行を探し終えたらすぐ下の1行に移って宝を探していく方法をとるQ君が、同時に左上の地点から探索を開始した。
例えば、n=3の時はP君はAEIBFJCGKDHLの順で探す。Q君はABCDEFGHIJKの順で探すことになる。

ABCD
EFGH
I JK L

1つの地点を捜索するのにかかる時間は同じで、相手が1度探し終えた地点を重複して調べることも当然ある。
相手より先に宝を見つけた方を勝者とする。同時の場合は引き分けとする。
どちらの方が有利になるだろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 12:09:57.32

え？3x4なら横からやったほうがいいの？
直観的には同じだけど…

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 13:26:11.80

50の(2)ってどうすればいいの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 13:27:04.86

>>62
49のでした

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 13:27:17.09

>>62
49のでした

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 14:32:32.99

>>64
切断面は半分の楕円が4つなので簡単、残りの円柱側面は積分で求める。
S = 2 * (π a (√(2) a) ) + 4 a² ∫ [0, +π] dθ (1- sinθ)
以下略

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 15:22:53.04

α，β，γ は α>0，β>0，γ>0，α+β+γ=π を満たすものとする．このとき， sinαsinβsinγ の最大値を求めよ．

最もエレガントな回答を教えてください。
ごちゃごちゃ一つ固定して微分すればすぐ解けますが
対称性から一発で解けたりしませんか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 15:26:52.62

>>66
面積に直したら、３項の相加相乗の問題に帰着するから一瞬じゃないの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 15:31:26.94

あんまり一瞬でもないな
適当すぎｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 15:53:08.30

>>66
よく知られてるのは log sin x の凸性使うやつだな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 15:56:31.23

無に勝てるものはありますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 16:01:35.27

z/{((z-1)^2)((z-2)^3)}

の各特異点における留数を求めるのって
z=1 だったら
(z-1)^5をかけて4回も微分して極限をとるっていうことしないといけないのってめちゃくちゃ手間がかかると思うんですけど
そうする以外に簡単にもとまる方法ってないですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 16:10:31.43

>>66
f(α,β,γ) = sinαsinβsinγ と置く.
領域境界では f = 0 、領域内点では f ＞ 0 .
境界が素直なので f の勾配ベクトルが平面 α + β + γ = π と直交する点を探せばよい.
つまり cosα sinβ sinγ = sinα cosβ sinγ = sinα sinβ cosγ より
tanα = tanβ = tanγ ∴ α = β = γ = π/3
f = (√(3)/2)^3 = (3/8)√3 を得る.

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 16:48:51.00

>>71
z/{((z-1)^2)((z-2)^3)}
= {(z-1) + 1}/{((z-1)^2)((z-1 - 1)^3)} (以降 h = z-1 と置く)
= -(1/h + 1/h^2) * (1 + h + h^2 + ...)^3
= -(1/h + 1/h^2) * (1 + 3h + ...)
= -1/h^2 - 4/h - ...
1/h の係数だけ拾えばよい

(z-2 + 2)/{((z-2 + 1)^2)((z-2)^3)}
= (1/h^2 + 2/h^3) { 1 - h + h^2 + ... }^2
= (1/h^2 + 2/h^3) { 1 - 2h + 3h^2 +... }
以下略

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 17:03:07.15

>>73
おおおおおおおお
確かに！！！！！！！！
ありがとうございます

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 17:20:06.01

>>51
これお願いします
（2）がわかりません

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 17:42:08.46

>>69

最もエレガントな解答は log(sin(x)) の凸性使えば一発で出ますが >>69

GM-AM で下準備
　sinα sinβ sinγ ≦ {(sinα + sinβ + sinγ)/3}^3
してから sin(x) の凸性使う
　(sinα + sinβ + sinγ)/3 ≦ sin{(α+β+γ)/3} = sin(60ﾟ) = (√3)/2,
ほうが簡単かもです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 18:03:57.91

こういうのをゴリ押しで解こうとするたび思うんだが、sinxをexp(ix)で表しても手間は減らないもの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 18:36:49.94

>>65
ありがとうございます

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 19:30:25.68

>>60
コンピュータでシミュレーションしてみた。

n=3のときは (P1st:：P君が先に見つける宝の埋没場所の組み合わせ数）

> t342=treasure(3,4,2)
P1st Q1st even
26 27 13

n=4のときは

> t452=treasure(4,5,2)
P1st Q1st even
84 83 23

常に横に探す方が有利ではないようだ。

Rでのコードはここ

http://tpcg.io/d6OYvn

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 19:45:57.54

>>79
ｎを変化させてP,Qが先に見つける宝の配置を計算させてみた。

大きいほうが有利になる。

> t(sapply(1:15,treasure1))
P1st Q1st even
[1,] 0 0 1
[2,] 4 5 6
[3,] 26 27 13
[4,] 84 83 23
[5,] 203 197 35
[6,] 413 398 50
[7,] 751 722 67
[8,] 1259 1210 87
[9,] 1986 1910 109
[10,] 2986 2875 134
[11,] 4320 4165 161
[12,] 6054 5845 191
[13,] 8261 7987 223
[14,] 11019 10668 258
[15,] 14413 13972 295

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 20:20:58.73

2点(0,0,0),(2,0,1)を通る直線をl,2点(1,-2,0),(0,-4,-1)を通る直線をmとし、l,mをz軸のまわりに、1回転して得られる曲面をそれぞれα、βとする。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 20:23:37.03

>>81
2平面z=0,z=5とαで囲まれた部分をA,2平面z=0,z=5とβで囲まれた部分をBとするとき、共通部分A∩Bの体積を求めよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 20:29:57.03

>>82
詳しい解説お願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 20:54:39.62

>>82
>>83
自分の答えは2511π/15となったんですがあっていますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 21:00:26.45

約分

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 21:06:36.11

>>85約分すればあっていますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 21:38:41.16

>>60>>61
Ωの部分集合を事象と言う
Ω自身は全事象と言う

Ω＝｛A，B，C，D，E，F，G，H，I，J，K，L｝となる

各 i （１≦i≦１２）が根元事象である

最初に宝が出るという事象A＝｛宝｝で確率P(A)は

P(A)＝１／１２　となる

最初に探す方向を i
列が変わる時をｊとして

最初に宝が出るという事象Aと事象Bを考える.

A＝｛（i，j）|　i または j が宝｝
B＝｛（i，j）|　i または j が宝｝

Ω＝｛（i，j）|１≦i≦ｎ，１≦j≦ｎ＋１｝となり

このｎ（ｎ＋１）通りの各要素が根元事象

縦方向に探査する場合

Ω＝｛（i，j）|１≦i≦ｎ，１≦j≦ｎ＋１｝から

#A＝ｎ（ｎ＋１）－ｎ（ｎ－１）＝２ｎ

#Aは事象Aに含まれる要素の個数

横方向に探査する場合

Ω＝｛（i，j）|１≦i≦ｎ＋１，１≦j≦ｎ｝から

#B＝ｎ（ｎ＋１）－ｎ（ｎ－１）＝２ｎ

最初に宝が出る確率は

∴P(A)＝P(B)＝２ｎ／ｎ（ｎ＋１）

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 21:52:35.93

>>84
計算ミスしてました
156πです

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 21:58:55.19

σをn次の置換とする。R^nからR^nへの写像で、(x_1,...,x_n)を(x_σ(1),...,x_σ(n))にうつすものは連続であることを示して下さい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 22:01:08.70

直観的に考えたら違う理由が思いつかないから書いたんだけど…
何故違うかもしれないと考えたのかわからないレベルで違う理由が思いつかない

ABCDEFGHIJK
AEIBFJCGKDHL
と並んでる状態で、A-Kのうち２個がランダムで当たり
最初の当たりが左に近いのはどっち？ってことじゃん

>>80では有意差が有るように見えるけど、何故なのかよくわからない

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 22:01:25.95

>>87
読んだ人の時間を無駄遣いさせるような明らかな誤答は慎めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 22:03:12.46

>>90
別スレの解説をコピペ

なるほどねえ
確かにQの方が微妙に先に見つける場合が多いな

Pが先に見つけるのは以下の26通り
CE,DE,DI,EF,EG,EH,EI,EJ,EK,EL,FG,FH,FI,FJ,FK,FL,GI,GJ,HI,HJ,IJ,IK,IL,JK,JL,KL

Qが先に見つけるのは以下の27通り
BC,BD,BF,BG,BH,BI,BJ,BK,BL,CD,CF,CG,CH,CJ,CK,CL,DF,DG,DH,DJ,DK,DL,GH,GK,GL,HK,HL

同時に見つけるのは以下の13通り
AB,AC,AD,AE,AF,AG,AH,AI,AJ,AK,AL,BE,CI

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 22:05:27.49

>>91
具体的な反例を伴わないのは詭弁ですよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 22:09:37.49

>>93
既に>80で実証済

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 22:31:29.47

>>80

n=2

ABC
DEF

の場合

短軸方向探索Pが先に宝を発見する埋め方：４通り
> print(matrix(LETTERS[t232$P1st],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] C D D E
[2,] D E F F

長軸方向探索Qが先に宝を発見する埋め方：５通り
> print(matrix(LETTERS[t232$Q1st],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] B B B C C
[2,] C E F E F

同時に宝を発見する埋め方：６通り
> print(matrix(LETTERS[t232$even],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] A A A A A B
[2,] B C D E F D

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 22:40:16.52

なんか納得できない結果が出てきてて頭がぐるぐるううううう

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 22:53:50.48

そんなの当たり前じゃん(´・ω・`)

等確率にしかならないのに無理やり差異を
見つけようとしているもん

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 22:56:19.95

>>96
>95の操作をn=20までやってみた。

> t(sapply(1:20,treasure1))
P1st Q1st even
[1,] 0 0 1
[2,] 4 5 6
[3,] 26 27 13
[4,] 84 83 23
[5,] 203 197 35
[6,] 413 398 50
[7,] 751 722 67
[8,] 1259 1210 87
[9,] 1986 1910 109
[10,] 2986 2875 134
[11,] 4320 4165 161
[12,] 6054 5845 191
[13,] 8261 7987 223
[14,] 11019 10668 258
[15,] 14413 13972 295
[16,] 18533 17988 335
[17,] 23476 22812 377
[18,] 29344 28545 422
[19,] 36246 35295 469
[20,] 44296 43175 519

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 22:58:30.06

シミュレーションしても>92の結果に合致。

> x=c(1,1,rep(0,10))
> PQ <- function(){
+ Q=sample(x)
+ z=matrix(Q,ncol=4,byrow=T)
+ P=as.vector(z)
+ c( even=which.max(P) == which.max(Q),
+ p1st=which.max(P) < which.max(Q),
+ q1st=which.max(P) > which.max(Q))
+
+ }
> k=1e6
> re=replicate(k,PQ())
> mean(re['even',]) ; 13/(26+27+13)
[1] 0.197025
[1] 0.1969697
> mean(re['p1st',]) ; 26/(26+27+13)
[1] 0.393803
[1] 0.3939394
> mean(re['q1st',]) ; 27/(26+27+13)
[1] 0.409172
[1] 0.4090909

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 23:06:23.26

>>96
宝の埋め方の組み合わせを列挙して分類したら
>95のようになるのは同意？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 23:11:46.33

>>92
この結果面白いね
問題が２つ見つけるまでやって多く獲った方どっち？だったらイーブンだけど、１つ目を先に獲った方が勝ち、とすると差が出る
この場合、２番目を先に見つける確率にもきっと差があるのだろう

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 23:27:39.20

>>100
納得できないのは直観的に納得できないだけで、そういうことになるよなぁとはわかっていると思います

今ちょっと考えているのが、遅く見つけたほうが勝ちというルールで行うなら
Ｑ：ABCDEFGHIJKL
Ｐ：AEIBFJCGKDHL
では、Ｐ君の方が勝率は高いということ。
じゃあ、Ｑに対してＰ以上に勝率の高い文字列（検索順序）は存在するはずだけど
それらを具体的に求める方法は？
とか考えてしまう。
で、頭がぐーるぐーるるるるるる

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 23:50:26.24

>>101
先に２つの宝を発見した方を勝者とするのでやってみた。

n=2

ABC
DEF

の場合

> t232=treasure2(2,3,2)
P1st Q1st even
5 4 6

短軸方向探索Pが先に２つの宝を発見する埋め方：５通り
> print(matrix(LETTERS[t232$P1st],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] A A B B D
[2,] D E D E E

長軸方向探索Qが先に２つの宝を発見する埋め方：４通り
> print(matrix(LETTERS[t232$Q1st],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] A A B C
[2,] B C C D

同時に２つめの宝を発見する埋め方：６通り
> print(matrix(LETTERS[t232$even],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] A B C C D E
[2,] F F E F F F

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 23:55:16.91

先に２つの宝を発見した方を勝者とするのでやってみた。

n=3

ABCD
EFGH
IJKL

の場合

> t342=treasure2(3,4,2)
P1st Q1st even
27 26 13
> #短軸方向探索Pが先に２つの宝を発見する埋め方
> print(matrix(LETTERS[t342$P1st],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19]
[1,] A A A A A B B B B B C C C D E E E E F
[2,] E F I J K E F I J K I J K K F I J K I
[,20] [,21] [,22] [,23] [,24] [,25] [,26] [,27]
[1,] F F G G G I I J
[2,] J K I J K J K K
> #長軸方向探索Qが先に２つの宝を発見する埋め方
> print(matrix(LETTERS[t342$Q1st],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19]
[1,] A A A A A B B B B C C C C C D D D D D
[2,] B C D G H C D G H D E F G H E F G H I
[,20] [,21] [,22] [,23] [,24] [,25] [,26]
[1,] E E F F G H H
[2,] G H G H H I J
> #同時に２つめの宝を発見する埋め方
> print(matrix(LETTERS[t342$even],nrow=2),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13]
[1,] A B C D D E F G H H I J K
[2,] L L L J L L L L K L L L L

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/25(木) 23:59:41.97

>>104
R　の　コードは　 http://tpcg.io/RZo4hd

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 00:14:40.87

ABCD
EFGH

を一般化するとこうなるかな？

横一列に並んだ ABCDEFGH の中からランダムに2つを選んで宝を隠しておく
ABCDEFGH の中から宝を探す順番は8！通りある
最初の宝を見つけた時点で終わるものとするとき、
8！通りの探し方の中で最も有利な探し方はどのような探し方か

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 00:18:52.65

もっとも有利なんてないやろ。
じゃんけんと一緒。
どんな列取ってきてもその先頭文字を末尾に回した探索には負ける。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 00:31:25.54

　A..B..C..D
A■■■□
E■■■■
I ■□■■

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 00:38:06.24

全部の中で一番がないというのは>>107の考察通りだと思う。
けど、ある特定の列に対して最も勝率が高いのはどれだろうとは気になる。

けど、先頭文字を末尾に回した奴が一番勝率高くなるのかな。
ABCDEFGに対してなら
BCDEFGAが一番勝率高い気がする

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 00:40:48.65

最初に当たり一つ引けばそこでゲーム終了だから
二つ目の当たりとの組み合わせは考慮しなくていい

当たりがどの座標のマスに置かれても
要素の個数は変化しないので
どの方向からの探査によっても確率は変化しない

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 01:01:12.32

これ、当たりが１個でも、探索順番によって勝率変わってくるな
やっと構造がなんとなくわかってきた
自分の脳みその弱さが悲しくなってくる

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 01:17:34.08

>>109
部屋の数についての帰納法でいけるんじゃね？
主張は
部屋の数が n の時 P:A[1]A[2]…A[n] に引き分けないという条件下で勝つ確率最大なのは Q:A[2]A[3]…A[n]A[1]。
以下Qの探索順をB[i]とする。
n=3では多分成立。
n<k で成立として n=k のとき。
P が Q に勝つのはA[1]とA[2]以外に宝が配置されるときでその確率は (n-2)/C[n,2]。
引き分けるのはA[1]、A[2]に配置されるときで確率1/C[n,2]。
よってQがPに勝つ確率は (C[n] - 1 - (n-2)/(C[n,2] - 1)。
容易にA[1]≠B[1]の場合はコレより確率は大きくならないとわかる。
A[1] = B[1]の場合を考えればよい。
このとき引き分けないという条件下では宝箱はA[1]以外の２つに配置される場合でその場合Qの勝つ条件付き確率の最大値は (C[n-1] - 1 - (n-3)/(C[n-1,2] - 1)。
多分 (C[n] - 1 - (n-2)/(C[n,2] - 1) ≧ (C[n-1] - 1 - (n-3)/(C[n-1,2] - 1)より成立。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 02:33:21.22

>>112
おお、そういう風に片付くのか
帰納法で出来ないかとも考えたけど、自分の頭では無理だったのです
これで自分はスッキリしました！

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 07:56:23.26

>>112
一列じゃなくて長方形型 n×n+1の配置じゃないの？
nの次は (n+1)(n+2)では

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 08:04:41.48

>>98の結果をみると20までだが
縦nマス、横n+1マスのn(n+1)マスのとき
n=1でイーブン
n=2,3で長軸方向探索が有利
n=4以上で短軸方向探索が有利となっているので
数学的帰納法はn=3で適応できないと思う。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 08:33:37.24

>>114 115
考えてる問題が違う。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 11:12:21.06

>>109

# ABCDEFGに対してなら
# BCDEFGAが一番勝率高い気がする
library(gtools)
n=7
k=2
perm=permutations(n,n)
Q=perm[1,]
np=nrow(perm)
p1st=numeric(np)
for(i in 1:np){
P=perm[i,]
tre=combn(n,k)
nt=ncol(tre)
re=numeric()
for(j in 1:nt){
re[j]=min(which(tre[1,j]==P),which(tre[2,j]==P))-
min(which(tre[1,j]==Q),which(tre[2,j]==Q))
}
p1st[i]=sum(re<0)
}
plot(p1st)
p1st[which.max(p1st)]
(p.max=which(p1st==15))
print(matrix(LETTERS[perm[p.max,]],ncol=7),quote=F)

#

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 11:13:54.87

>>117
# ABCDEFGに対してなら
# BCDEFGAが一番勝率高い気がする

一番勝率高い探索順は４通りあった

> print(matrix(LETTERS[perm[p.max,]],ncol=7),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
[1,] B C D E F A G
[2,] B C D E F G A
[3,] B C D E G A F
[4,] B C D E G F A

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 11:21:23.87

>>118
なるほどね
先回り側がEの次の部屋へ進むってことは当たりはFGだからどっちに進んでも同じか

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 11:24:00.72

そうして、
先回り側の順序の最後の2つは決して実行されない
その４つの順序のどれでも最後から3番目のFかGまでで決着が付くから

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 11:43:40.29

宝を２個先にみつけた方が勝者とすると
ABCDEFGに対して一番勝率高い探索順は？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 11:44:35.23

これも４通り出てきた。

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
[1,] A C D E F G B
[2,] B C D E F G A
[3,] C A D E F G B
[4,] C B D E F G A

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 11:46:50.17

要するに｢相手に『自分が探索済のマス』を探させる｣｢自分は『相手が探索済のマス』を探さない｣の2つを出来るだけ守っていればいい話だから相手の探索方法に対応する最適解の議論はあまり意義がないのではと思う

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 11:49:49.69

しかし、n=4から先はずっと短軸探索が有利になるのか。長軸側が逆転することはなさそうだし、n≧4の場合について｢短軸探索が有利である｣は成り立ちそう。これを証明することは出来ないだろうか…

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 11:52:00.18

>>124
俺もそっちに興味があるが、証明できる頭脳はない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 12:47:58.81

宝箱１個なら、なんとか証明できそうな感じだし、そこから拡張すれば宝箱２個でもいけるのかなぁ
整数苦手だからよくわかんない

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 13:00:54.84

>>126
そうは問屋が卸さないみたいだよ。

縦４マス、横５マスで宝箱を１から７まで増やしてみると

宝が６個になると短軸有意から長軸有意に逆転した。

処理速度の制約であまり大きな数字で検証できないのだが。

> sapply(1:7,function(k) treasure(4,5,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797
長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057
同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 13:12:19.08

>>127
気長にやってみた。

> sapply(1:20,function(k) treasure0(4,5,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095 22749
長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250 22803
同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 69513 103189 124411 122408
[,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20]
短軸有利 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0
長軸有利 13831 6657 2486 695 137 17 1 0 0
同等 98319 64207 33788 14114 4571 1106 188 20 1

４×５の場合
宝：１個　同等
宝：２～５個　短軸有利
宝：６～１３個　長軸有利
宝：１４～２０個　同等

と推移した。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 13:55:10.00

>>127
えー
なかなか簡単にはいかせてもらえないね
考えながら仕事片付けるとしよう

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 13:56:53.28

>>129
それに宝箱１のときは、イーブンだろ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 14:19:32.80

あれーほんとだ
どこかで派手な勘違いをしたままでやってたぽい
そりゃあっちこっちぐるぐるうううになるわ…

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 14:21:23.31

あかん、今考える余裕ないｗ
>>131の同じになるってのもとりあえず保留

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 14:40:12.43

>>124
宝２個でn=30まで計算させてみた。４以上で短軸有利は不変だった。

> t(sapply(1:30,treasure1))
P1st Q1st even
[1,] 0 0 1
[2,] 4 5 6
[3,] 26 27 13
[4,] 84 83 23
[5,] 203 197 35
[6,] 413 398 50
[7,] 751 722 67
[8,] 1259 1210 87
[9,] 1986 1910 109
[10,] 2986 2875 134
[11,] 4320 4165 161
[12,] 6054 5845 191
[13,] 8261 7987 223
[14,] 11019 10668 258
[15,] 14413 13972 295
[16,] 18533 17988 335
[17,] 23476 22812 377
[18,] 29344 28545 422
[19,] 36246 35295 469
[20,] 44296 43175 519
[21,] 53615 52305 571
[22,] 64329 62810 626
[23,] 76571 74822 683
[24,] 90479 88478 743
[25,] 106198 103922 805
[26,] 123878 121303 870
[27,] 143676 140777 937
[28,] 165754 162505 1007
[29,] 190281 186655 1079
[30,] 217431 213400 1154

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 14:48:29.91

正の整数の組(x,y)であって,x!+y!=x^yを満たすようなものを全て求めよ
の解説をして頂けませんか？

答えは2,2 2,3だと思うのですが解答が無くて
よろしくお願いします

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 16:53:39.39

>>89
お願いします

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 17:11:33.07

>>134
xは偶数しかありえないのでx=2mとおけば

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 17:18:43.03

>>136
y≦x-1のとき,
x!+y!=y!(x!/y!)+y!=y!((x!/y!)+1),
(3≦)(x!/y!)+1=x･(x-1)!/y!+1とxは互いに素だから, x!+y!≠x^y.
すなわちx≦y.
3≦xのとき,
x!+y!=x!(1+(y!/x!))は(x-1)(≧2)の倍数.
x-1とxは互いに素であり, x!+y!≠x^y.
すなわちx≦2.
1)x=1のとき, 与式を満足させるyはない.
2)x=2のとき, 2+y!=2^y.
y≧4とすれば,
2+y!=2+24･(y!/4!)>2+3･2^(k-1)>2^k.
すなわちy≦3.
よって求める組は(x,y)=(2,2), (2,3).

できました！

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 21:20:44.30

宝箱問題、
もとの 4x3 型の12部屋で宝箱の数を変えてみると
1と8以上で有利不利無し、それ以外は長軸優先有利となるな
初見での印象よりも随分奥深いなこれ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 21:36:39.41

>>138
計算式お願いする

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 21:50:07.25

数列の項を並べ替えてできる数列の収束性、極限値は如何？

もう少し正確にいうと、
全単射関数　n : N -> N で数列 a[ i ] を n で並べ替えた数列b[ i ]を
b[ i ] = a[ n(i) ] で定義する。
b[ i ] の収束性、極限値はどうなるでしょう?

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 22:00:49.67

プログラムで計算したので式はなんとも

部屋が
ABCD
EFGH
IJKL

として
宝物10個のときはABが空きなら縦の勝ち、
AEが空きなら横の勝ち

縦勝ちの宝物9個の配置
CDEFGHIJK
CDEFGHIJL
CDEFGHIKL
CDEFGHJKL
CDEFGIJKL
CDEFHIJKL
CDEGHIJKL
CEFGHIJKL
DEFGHIJKL

横勝ち
BCDFGHIJK
BCDFGHIJL
BCDFGHIKL
BCDFGHJKL
BCDFGIJKL
BCDFHIJKL
BCDGHIJKL
BCFGHIJKL
BDFGHIJKL

以下各個数での勝敗の数
treasures 1: p win 5 q win 5 even 2
treasures 2: p win 26 q win 27 even 13
treasures 3: p win 73 q win 76 even 71
treasures 4: p win 133 q win 140 even 222
treasures 5: p win 167 q win 176 even 449
treasures 6: p win 148 q win 153 even 623
treasures 7: p win 91 q win 92 even 609
treasures 8: p win 37 q win 37 even 421
treasures 9: p win 9 q win 9 even 202
treasures 10: p win 1 q win 1 even 64
treasures 11: p win 0 q win 0 even 12
treasures 12: p win 0 q win 0 even 1

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 22:08:18.66

>>139
Rでよければこんな感じ

# 宝の数を変化させる
treasure0 <- function(m=3,n=4,k=2){
y=1:(m*n)
(z=matrix(y,ncol=n,byrow=T))
(P=as.vector(z))
(Q=as.vector(t(z)))
PQ <- function(x){
p=q=numeric(k)
for(i in 1:k){
p[i]=which(P==x[i])
q[i]=which(Q==x[i])
}
min(p)-min(q)
}
tre=combn(m*n,k)
re=apply(tre,2,PQ)
return(c(短軸有利=sum(re<0),長軸有利=sum(re>0),同等=sum(re==0)))
}
sapply(1:12,function(k) treasure0(3,4,k))

> sapply(1:12,function(k) treasure0(3,4,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12]
短軸有利 5 26 73 133 167 148 91 37 9 1 0 0
長軸有利 5 27 76 140 176 153 92 37 9 1 0 0
同等 2 13 71 222 449 623 609 421 202 64 12 1

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 22:13:14.38

>>138

>128に書いたけど

４x５だと宝箱を増やすと途中で短軸有利から長軸有利に変わっちゃうので自分でもびっくりした。

> 141
よろしければプログラムコードをアップしていただけませんか？Pythonでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/26(金) 23:56:14.49

>>143
ちょっと整理してました。

NB. n comb n returns all n length set from 0..m-1
comb =: dyad define
if. x=1 do.
(1,~y)$i.y
elseif. x=y do.
(1,y)$i.y
elseif. do.
((y-1) ,/"0 1 (x-1) comb y-1 ), x comb y-1
end.
)

NB. usage: 3 4 game 2
game =: dyad define
p =. ,/ |: x $ i. */x
q =. i. */x
g =. y comb */x
d =. (<./"1)@(g &((i."1 0)~))
r =.(d p)-(d q)
y, (+/ r<0), (+/ r>0), (+/ r=0)
)

NB. run 3 4 games n for n in 1..12
smoutput 'tre p q even'
smoutput 3 4 game "1 0 (1+i. 12)

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 00:03:42.01

>>144のコードはマイナー言語J
ここで実際に動かしてみることができます

https://goo.gl/znRTwf

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 00:29:15.21

一般に,
U[j=1, n]A_j=ℝ となるn個の集合 A_j (*1) について,
j=1,2,...,n で a_j∈A_j となるような変数 a_j を取り,
lim[a_j→α] f(a_j) =k (*2) が全ての j について言えたならば,
lim[x→α] f(x) =k (*2) が言えますか。
例えば, p∈ℚ, q∈ℝ\ℚ とすると, p と q を合わせれば全実数を取ります。このとき,
lim[p→α] f(p) =lim[q→α] f(q) =k
かつ
lim[x→α] f(x) ≠k
となる f(x) は存在しますか。

(*1)αに十分近い要素も含む
(*2)離散的極限

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 00:38:29.78

いいえ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 02:22:56.86

>>145
お手数かけました。
残念ながら自分の知識ではアラビア文字のように理解不能でした。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 02:53:34.68

>>60
一つ質問ですが
スタート地点Aに宝があるとゲームスタートと同時に
同着でゲーム終了になるけど、ポイントAに宝は設置されるのですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 05:41:32.14

σをn次の置換とする。
R^nからR^nへの写像で、(x_1,...,x_n)を(x_σ(1),...,x_σ(n))にうつすものは連続であることを示して下さい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 07:18:29.04

>>147
示してください

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 07:28:51.70

>>140
条件収束する級数を考えればa[i]とb[i]の収束性に関係がないことは明らか

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 07:48:26.57

>>149
その場合は引き分けで終了。
宝の置き方はランダム。
12C2=66通りに等確率で配置。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 08:12:06.26

>>145
数字を増やしたらサイトの時間制限を超えて結果がでなくて残念。
尚、>142のRはメモリ不足で停止しました。

NB. usage: 5 6 game 2

NB. run 5 6 games n for n in 1..30
smoutput 'tre p q even'
smoutput 5 6 game "1 0 (1+i. 30)

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 08:42:19.60

SMアウトプットとか、なんかヤラシイな、おい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 08:49:29.55

>>155
分散分析でF分布の値の比に　F-ratio というのが出てくるの知ってた？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 09:08:02.61

可換環論ではAss、穴(Ann)、ホモロジー、(チェイン)ホモトピー、……汚い言葉がいっぱい出てくるよ！やったね！

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 09:33:42.09

>>140
a[i] → c とする。
e>0 とする。
|a[i] - c| ≧ e である i は有限個。
∴ |b[i] - c| ≧ e である i は有限個。
∴ b[i] → c。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 09:55:50.27

>>146
離散的極限って離散位相での極限？
だったら Aj が disjoint な集合なら
a[1]→α、a[1]∈A[1]、a[2]→α、a[2]∈A[2] 自体が起こりえないやろ？
誘導位相？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 12:33:48.57

>>154
12部屋から6部屋選ぶ組み合わせは924通りしかないのに
20部屋から10部屋だと184756通り、
30部屋から15部屋だと155117520通り、
という感じなのでどうしても時間やメモリを食いますよね

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 13:00:02.78

>>60
場合分けなどが面倒くさくて疲れ果てたけど、計算結果は>>133と一致。
P1st(n)-Q1st(n) が（偶奇によらず） (n^2-2n-6)(n-1)/6 になったので、n=2,3でＱが、n≧4でＰが有利。

コードはSagemath。
from sage.calculus.calculus import symbolic_sum
,var m,l,k,a,n
P1 = (symbolic_sum((m-1)*(m)-2*l-1, l,1,m-2)
+ symbolic_sum(symbolic_sum((m-1-k)*(m-k)+k-1-l, l,k,2*k) + symbolic_sum((m-1-k)*(m-k)+3*k-2*l-1, l,2*k+1,m-2), k,1,a-2)
+ symbolic_sum(symbolic_sum((m-1-k)*(m-k)+k-1-l, l,k,m-2), k,a-1,m-2)
).substitute({a:m/2}).substitute({m:n+1})
P2 = (symbolic_sum((m-1)*(m)-2*l-1, l,1,m-2)
+ symbolic_sum(symbolic_sum((m-1-k)*(m-k)+k-1-l, l,k,2*k) + symbolic_sum((m-1-k)*(m-k)+3*k-2*l-1, l,2*k+1,m-2), k,1,a-1)
+ symbolic_sum(symbolic_sum((m-1-k)*(m-k)+k-1-l, l,k,m-2), k,a,m-2)
).substitute({a:(m-1)/2}).substitute({m:n+1})
def P1st(x):
return P1.substitute({n:x}) if mod(x,2) == 1 else P2.substitute({n:x})
Q1 = (symbolic_sum(symbolic_sum((m+1-k)*(m-k)+k-2*l-1, k,0,l-1), l,0,a)
+ symbolic_sum(symbolic_sum((m+1-k)*(m-k)+k-2*l-1, k,0,m-l-1) + symbolic_sum((m-k)^2+k-l,k,m-l,l-1), l,a+1,m-1)
+ symbolic_sum(k^2-2*m*k+m^2+k-m,k,0,m-2)
).substitute({a:(m-1)/2}).substitute({m:n})
Q2 = (symbolic_sum(symbolic_sum((m+1-k)*(m-k)+k-2*l-1, k,0,l-1), l,0,a-1)
+ symbolic_sum(symbolic_sum((m+1-k)*(m-k)+k-2*l-1, k,0,m-l-1) + symbolic_sum((m-k)^2+k-l,k,m-l,l-1), l,a,m-1)
+ symbolic_sum(k^2-2*m*k+m^2+k-m,k,0,m-2)
).substitute({a:m/2}).substitute({m:n})
def Q1st(x):
return Q1.substitute({n:x}) if mod(x,2) == 1 else Q2.substitute({n:x})

P1 == 1/24*(6*n^3 + 20*n^2 - n - 27)*(n - 1) # nが奇数のとき
P2 == 1/4*n^4 + 7/12*n^3 - 7/8*n^2 - 13/12*n + 1 # nが偶数のとき
Q1 == 1/24*(6*n^2 + 10*n - 3)*(n + 1)*(n - 1) # nが奇数のとき
Q2 == 1/24*(6*n^2 - 2*n - 5)*(n + 2)*n # nが偶数のとき

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 13:42:52.35

>>161

>133です。労作ありがとうございます。

コードは全く読めないのですが、宝の数を増やしての計算はこのコードで可能なのでしょうか？

４×５の場合で宝を増やすと

宝：１個　同等
宝：２～５個　短軸有利
宝：６～１３個　長軸有利
宝：１４～２０個　同等

に変化したので差分はどんな関数なのだろうかとか、
５×６ではどうなるのか（メモリ不足で実行できませんでした）とか興味があります。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 13:50:43.55

>>161
(n^2-2n-6)(n-1)/6 をグラフ表示してみました。

http://i.imgur.com/Qel6ZAy.png

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 14:00:54.93

>>162
>>161は多項式にまでするために、部屋をn x (n+1)、宝を２個と特殊化したものです。

#nloc(m,n,k,l)は縦m、横nの部屋で横優先が部屋(k,l)で初めて宝を発見する場合で
#宝が置かれても縦優先に先を越されない部屋の数。
def nloc(m,n,k,l):
q,r = divmod(n*k+l,m)
return (n-q)*(m-k)+q-1-l + ((k-r) if r > k else 0)

#nwin(m,n,c)は部屋が縦m、横n、宝がc個で横優先が勝つ宝の配置の数
def nwin(m,n,c):
return sum(binomial(nloc(m,n,k,l),c-1) for k in range(m) for l in range(n) if k*(n-1)<l*(m-1))

縦優先は縦横を替える。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 15:11:26.67

>>164
レスありがとうございます。
コードは読めないのですが、
部屋数から宝部屋の組合せを列挙してどちらが縦横どちらが先にみつけるかを探る手続きで必要な計算式をプログラムが絞りだしてくれるという理解でいいのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 16:24:46.83

>>165
いえ、計算式そのものです。数式で書けば
nwin(m,n,c) := Σ[(k,l)∈{0,…,m-1}×{0,…,n-1}, k*(n-1)<l*(m-1)] binomial((n-q)*(m-k)+q-1-l + (k-r)δ(r > k), c-1)、
ただし、n*k+lをmで割った商をq、余りをrとし、δ(P)をPが真なら1、偽なら0である関数とする。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 17:00:25.68

>>159
例えば→√2を考えたい時、qの近づけ方は問題ないんでしょうが、pの近付き方を、p_n→√2になるような有理数列p_n上で考えることは出来ないんでしょうか。
→0なんかも、実際に関数に0を入れるわけではなくギリギリまで近付けるように、p自身が√2を取れないのは、定義できないほどの大問題でしょうか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 17:42:26.17

>>60
スタート地点のポイントAに宝があると
ゲーム開始とともに同着でゲーム終了になるので除外する
宝がいくつあったとしても、P君とQ君のどちらかが先に
一つでも宝を見つけるとそこでゲーム終了となる

縦方向の探査をｎ、横方向の探査をｎ＋１として
宝の個数をｋと置くと、調査する全範囲は
｛ｎ（ｎ＋１）－１｝－（ｋ－１）＝ｎ（ｎ＋１）－ｋと考えられる

Ω＝｛ｎ（ｎ＋１）－ｋ）|ｎ≧２，ｎ（ｎ＋１）－１＞ｋ≧１｝

■縦方向に探査をするP君の確率空間は

Ω＝｛（i，j）|１≦i≦ｎ，１≦j≦ｎ（ｎ＋１）－ｋ｝から

#A＝ｎ｛ｎ（ｎ＋１）－ｋ｝－｛ｎ（ｎ＋１）－ｋ－１｝（ｎ－１）
　　＝ｎ（ｎ^2＋ｎ－ｋ）－｛ｎ（ｎ^2－１）－ｋ（ｎ－１）－（ｎ－１）｝
　　＝ｎ^3＋ｎ^2－ｋｎ－ｎ^3＋ｎ＋ｋｎ－ｋ＋ｎ－１
　　＝ｎ^2＋２ｎ－ｋ－１
　　
#Aは事象Aに含まれる要素の個数

■横方向に探査をするQ君の確率空間は

Ω＝｛（i，j）|１≦i≦ｎ＋１，１≦j≦ｎ（ｎ＋１）－ｋ｝から

#B＝（ｎ＋１）｛ｎ（ｎ＋１）－ｋ｝－ｎ｛ｎ（ｎ＋１）－ｋ－１｝
　　＝｛ｎ（ｎ＋１）^2－ｋ（ｎ＋１）｝－｛ｎ^2（ｎ＋１）－ｋｎ－ｎ｝
　　＝｛ｎ^3＋２ｎ^2＋ｎ－ｋｎ－ｋ｝－｛ｎ^3＋ｎ^2－ｋｎ－ｎ｝
　　＝ｎ^2＋２ｎ－ｋ＝ｎ（ｎ＋２）－ｋ

#Bは事象Bに含まれる要素の個数

■［ｎ≧２，ｎ（ｎ＋１）－１＞ｋ≧１］の条件下で以下の式が成立する

∴P(A)＝｛ｎ（ｎ＋２）－ｋ－１｝／｛ｎ^2（ｎ＋１）－ｋｎ｝

∴P(B)＝｛ｎ（ｎ＋２）－ｋ｝／｛ｎ（ｎ＋１）^2－ｋ（ｎ＋１）｝

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 17:47:25.88

>>168
Ωの部分集合を事象と言う
Ω自身は全事象と言う

最初に探す方向を i
行または列が変わる時をｊとして
P君とQ君のうちどちらが先に宝を見つけるのかという
事象Aと事象Bを考える.

A＝｛（i，j）|　i または j が宝｝
B＝｛（i，j）|　i または j が宝｝

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 17:50:10.27

>>168

別スレでは等確率とデタラメ書いてたよなぁ。

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540218853/87

読んだ人の時間を無駄遣いさせるような明らかな誤答は慎めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 18:04:31.01

>>168
すでに正解とPCでのカウントの照合が終わっているのに

読んだ人の時間を無駄遣いさせるような明らかな誤答は慎めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 18:10:01.16

別スレだって( ´,_ゝ｀)

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 18:12:30.45

>>166
とすると、部屋数が増えたり宝が増えても数式として算出可能なのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 18:16:48.52

>>172
なんだ、このスレでデタラメ書きつづけてたのかよｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 19:06:09.12

>>152 , >>158
ご返答ありがとうございます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 19:44:20.53

>>167
もちろんそういう近づけかたを考えてもいいけど、その近づけかたを離散位相といってはいけない。
流石にこの程度の基本的な単語は正確に意味を確認するようにしないといかん。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 20:22:27.06

>>175
>>152は無視してな
完全に寝ぼけてたわ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 20:46:19.01

>>173
すみません。発言がよくわかりません。
「数式として算出」とは？ >>166は数式ではない？
ここでいう数式とは多項式などのΣのない形のものでしょうか？
「部屋数が増えたり」も、もともと部屋をn×(n+1)などとしていて大きさを変えられますよ？

宝の数が2以外でも（3なら3と）固定されていて部屋の形がn×(n+1)または(n+1)×nなら>>161を少し変えれば
Σのないnについての多項式が得られる、とは言えます。

念のため書いておくと
式>>166は部屋の縦横、宝の数が任意だが、Σがある。
部屋の形がn×(n+1)または(n+1)×nとして適当に場合分けすることにより数式処理ソフトで
Σの計算できるようにした、そのコードが>>161。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 21:43:17.58

宝箱問題。申し訳ないのですが、プログラミングに詳しくないものでさっぱりです…
高校生にもわかるようにどなたか解説していただけませんか？(入試数学の解答のような形式であればありがたいです)

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 22:12:53.07

()>>173
可能だけど立式するのは結構な手間
Σを用いた式として立式して sagemath というソフトで簡略化して n の多項式にしたのが>>161
どう考えても面倒なので161さん以外の誰もやっていなかった

宝箱の数をkとして立式することは可能だろうけれども、
更なる面倒さに付き合ってくれる人がいなければここには書かれない
こんなとこでどうでしょうか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 22:49:27.99

sagemath はスマートフォンなどでも使うことができて、
僕も今初めて使うので適当ですが例えば>>161の最初の
P1の式(Σを含むもの)の簡略化などはiPhoneアプリでも以下のようにして行えました
アプリ起動して「+」ボタンで新しい式を入力するモードにして

var l,a,n,k = var('l','a','n','k')
a=m/2
m=n+1
sum((m-1)*(m)-2*l-1, l,1,m-2)
+ sum(sum((m-1-k)*(m-k)+k-1-l, l,k,2*k) + sum((m-1-k)*(m-k)+3*k-2*l-1, l,2*k+1,m-2), k,1,a-2)
+ sum(sum((m-1-k)*(m-k)+k-1-l, l,k,m-2), k,a-1,m-2)

と入力して「evaluate」ボタンでこの式を評価(簡略化)

https://i.imgur.com/4bpYZLg.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 23:11:22.16

弥勒（僧）とシュリニヴァーサ・ラマヌジャンはどっちの方が賢いですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/27(土) 23:15:15.57

c　のプログラムが無かったようなので　宝二つ、m×(m+1)型（m=1～69）を作ったので参考にあげておきます。

http://codepad.org/pbmWeZZ5

少し説明を加えておくと、マスに1から順に番号をあたえます。
配列P[c]には、c番目のマスをPは何番目に調査するか
配列Q[c]には、c番目のマスをQは何番目に調査するか　を入れておきます。

i番目とj番目のマスに宝があるとき、P[i]とP[j]を比べて小さい方の値で、Pは宝を発見し、
Q[i]とQ[j]を比べて小さい方の値で、Qは宝を発見します。
この値を比べ、PとQどちらが早く発見したかを判定すると言うだけのものです。

縦、横のマスの数の変更や、宝の数の変更も難しくないと思うので、興味がある方はどうぞ。
（本当は、配列は一つで十分なんだけど、可読性や対称性を考えて書いておきました）

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/28(日) 05:58:31.87

xyz空間の球B:x^2+y^2+z^2=1の表面または内部に点Pをとる。
Pを通り方向ベクトル(1,2,0)に平行な直線lとBとの共有点を考えるとき、以下の問いに答えよ。

（1）lとBの共有点の個数を場合を分けて答えよ。

（2）共有点の個数が2個のときを考える。共有点の一方をS、他方をTとする。
P(x,y,z)とするとき、長さの積PS・PTをx,y,zで表せ。Pが表面上にあるときはP=Sとして考えよ。

（3)Bを平面x=u(-1≦u≦1)で切った切断面D_u上を点Pが動く。P(u,y,z)においてy^2+z^2の取りうる最大値Mをuで表せ。
さらにz=0のとき、積分 I_u = ∫[0→M] (PS・PT) dy をuで表せ。

（4）（3）で求めたI_uに対して定積分K = ∫[-1→1] I_u du を求め、さらに比の値K/(4π/3)を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/28(日) 06:38:52.61

n≧3とする。
次の和を求めよ。
Σ[k=1,2,...,n-1] {(n,k)・(n+1,k-1)}

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/28(日) 06:50:48.68

サイコロを振り、出た目に応じて点Pを動かす。最初点Pは(0,0)にある。
点Pが(a,b)にあるとき、偶数の目が出たら(a+1,b+1)に移動させ、奇数の目が出たら(a+1,b-1)に移動させる。
このとき、以下の事象が起こる確率を求めよ。

（1）Pが半直線y=x(x≧1)の上に乗る。
（2）Pが直線y=2x+1の上に乗る。
（3）m,nを整数の定数とし、Pが半直線y=mx+n(x≧1)の上に乗る。必要があればm,nの値に応じて場合分けして答えよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/28(日) 07:43:46.81

>>178
レスありがとうございました。
多項式で与えられたので他のソフトでも>163のように
簡単にグラフ化できました。
そういう意味で数式と書いたつもりでした。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/28(日) 11:54:19.95

>>183
いつもｃのコードありがとうございます。

このコードだと縦横マスを増やすのは容易でも、宝の数を増やすには for loopを

for(i=1,Pwin=Qwin=Draw=0;i<mn;i++)for(j=i+1;j<mn;j++) for(k=j+1;k<mn;k++) for(l=k+1;l<=mn;l++)

という具合に増やす必要がありますよね？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/28(日) 14:34:09.32

そんな感じですね。細かいところですが、少し修正を施すと、
for(i=1,Pwin=Qwin=Draw=0;i<mn-2;i++)for(j=i+1;j<mn-1;j++) for(k=j+1;k<mn;k++) for(l=k+1;l<=mn;l++)
で、空回りを回避してます。

もし、このアルゴリズムで、宝の数を一般数化するなら、i,j,k,...の変数を配列にしてループにいれるか、
再帰関数化するか等の方がスマートですが、二つで固定なら、提示したような感じがシンプルですね。

しかし、宝の数可変を前提にプログラムを組むなら、別の方策を取ります。
Qは時刻 c に最初の宝を見つけるので、
・Pの宝の発見時刻が全てcより大きい　→　Qの勝ち
・Pの宝の発見時刻にcを含み、残りは全てcより大きい　→　引き分け
・それ以外　→　Pの勝ち
です。
Qは、時刻cに、マスcを調査するので、マスc+1、c+2、...の中に、P[x]>c　を満たす
マスがいくつあるかをあらかじめカウントし、テーブル化すれば、あとは、
二項係数の積の和だけの、プログラムとなると思います。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/28(日) 14:34:38.18

>>185

m+1≧n≧1 のとき
Σ[k=1，n] C(n，k) C(m，k-1) = C(m+n，n-1)

∵ (1+x)^n (1+x)^m を展開したときの x^(n-1) の係数だから。

Σ[k=1,n-1] C(n,k) C(n+1,k-1) = C(2n-1,n-1) - C(n+1,2)

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/28(日) 14:41:09.62

>>182

蝉「おまえさ、人としじみのどっちが偉いか知ってるか？」

伊坂幸太郎「グラスホッパー」角川文庫 (2007)

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/28(日) 18:59:43.28

>>189
部屋の数=mn、宝の数trでmnＣtr個の組み合わせを返すサブルーチンが必要になって、ここが処理のボトルネックになるんじゃないかと思うのですが。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/28(日) 20:19:07.22

数学とはなんでしょうか？
何が数学の本質なんでしょうか？
論理的な体系の構築？定理の創出？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/28(日) 20:30:37.13

>>161の若干の一般化とその導出を備忘録的に書いておきます。

>>60
まず、部屋を探る順番が一般の場合を考える。
部屋がNあり、その集合をＲとする。Ａ君、Ｂ君が探る順番を表わす全単射写像をそれぞれf,gとする：
f,g: Ｒ→{0,1,…,N-1} （順番は0から始まるとする。）
部屋自体の位置はなんら答えに影響しない。
σ=g・f^{-1} と置くと、σは{0,1,…,N-1}の置換。（・は写像の合成）
Ａ君がi番目に探る部屋はＢ君がσ(i)番目に探る部屋ということ。
以下、「Ａ君がi番目に探る部屋」のことを「部屋i」ということにする。

求めたいのは、「Ａ君がＢ君よりも早く宝を見つける宝の配置の数」であるが、宝の数をcとすると、それは
　Σ[σ(i)>i] binomial(#{j| j>i, σ(j)>i}, c-1)　（0≦i,j≦N-1、binomialは二項係数）
である。
なぜか？
「Ａ君が初めて宝を見つける部屋（部屋iとする）」で場合分けしよう。
（つまり部屋0～i-1には宝がなく、部屋iに宝がある場合）
部屋iはＢ君がσ(i)番目に探る部屋だからσ(i)>iでないと
少なくともＢ君はＡ君よりも前か同時に部屋iで宝を見つける
（Ｂ君はその前に別の部屋で宝を見つけることもある）ことになりＡ君は勝てない。
したがって、σ(i)>iが必要。
残りのc-1個の宝は部屋i+1～N-1にあるが、宝がある部屋を部屋jとすると、
やはりσ(j)>iでないといけない。逆に全部の宝でそうであればＡ君が勝つ。
よって、残りのc-1個の宝が置かれてもいい部屋の数は#{j| j>i, σ(j)>i}だけあり、
全部そこに置かれる場合はbinomial(#{j| j>i, σ(j)>i}, c-1)通り。
したがって、上記のようになる。

続く

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/28(日) 20:31:26.72

>>194
続き

部屋が縦m、横nで、Ａ君は横1行を探し終えたらすぐ下の1行に移り、
Ｂ君は縦1列を探し終えたらすぐ右の1列に移るという場合を考える。
つまり、m=4,n=3の場合、Ａ君は
０１２３
４５６７
８９1011
Ｂ君は
０３６９
１４７10
２５８11
という順番で探す。
このとき、σ=0,3,6,9,1,4,7,10,2,5,8,11。
一般には、σ(nk+l)=ml+k (0≦k≦m-1, 0≦l≦n-1)。

ここまでをPythonで表すと：
#二項係数。SageMathでは定義ずみ
def binomial(n,r):
from math import factorial as f
return f(n)//f(r)//f(n-r) if r>=0 and n-r>=0 else 0

#置換p、宝c個で勝つ宝の配置の数
def nwinperm(p,c):
N = len(p)
return sum(binomial(len([j for j in range(i+1, N) if i<p[j]]),c-1)
for i in range(N) if i<p[i])

#部屋が縦m、横nのときの置換
def rectperm(m,n):
return [m*l+k for k in range(m) for l in range(n)]

#部屋が縦m、横n、宝がc個で横優先が勝つ宝の配置の数
def nwinrect0(m,n,c):
return nwinperm(rectperm(m,n),c)

続く

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/28(日) 20:32:10.70

>>195
続き

部屋が縦m、横nの場合を考えているが、もう少し計算を進める。
#{j| j>i, σ(j)>i} をこの場合に具体的に表そう。

i,j (0≦i,j≦mn-1)をそれぞれ nk+l, nk'+l' (0≦k,k'≦m-1, 0≦l,l'≦n-1) とする。
σ(i)>i ⇔ lm+k>nk+l ⇔ (m-1)l>(n-1)k、
j>i ⇔ nk+l>nk'+l' ⇔ 「k=k' かつ l<l'」または「k<k'」、
σ(j)>i ⇔ l'm+k'>nk+l ⇔ l' + k'/m > (nk+l)/m　[ここで nk+lをmで割った商をq、余りをrとすると]
　　 ⇔ l' + k'/m > q + r/m ⇔ 「q≦l'≦n-1 ただし l'=q, k'≦r を除く」
を使って
#{j| j>i, σ(j)>i} = #{(k',l')|『「k=k' かつ l<l'」または「k<k'」』かつ l'm+k'>nk+l}
に出てくる『「k=k' かつ l<l'」または「k<k'」』かつ l'm+k'>nk+lを満たす組(k',l')の数を求める。
k=k' かつ l<l'のとき σ(i)>iからlm+k>nk+lだからl'm+k'>nk+lは常に成り立つので、l<l'≦n-1でn-1-l個。
k<k' のとき l'm+k'>nk+l ⇔ 「q≦l'≦n-1, k<k'≦m-1 ただし l'=q, k<k'≦r を除く」だから
(n-q)(m-1-k) - (r-k)δ(r>k)個、ただしδ(P)はPが真なら1、偽なら0である関数。
よって、#{j| j>i, σ(j)>i} = (n-1-l) + (n-q)(m-1-k) - (r-k)δ(r>k)。
したがって、求める数は
Σ[0≦k≦m-1, 0≦l≦n-1, (m-1)l>(n-1)k] binomial((n-1-l) + (n-q)(m-1-k) - (r-k)δ(r>k), c-1)。

これを使ったPythonコード：
#nloc(m,n,k,l)は縦m、横nの部屋で横優先が部屋(k,l)で初めて宝を発見する場合で
#宝が置かれても縦優先に先を越されない部屋の数。
def nloc(m,n,k,l):
q,r = divmod(n*k+l,m)
return (n-1-l) + (n-q)*(m-1-k) - (r-k if r > k else 0)

#部屋が縦m、横n、宝がc個で横優先が勝つ宝の配置の数
def nwinrect1(m,n,c):
return sum(binomial(nloc(m,n,k,l),c-1) for k in range(m) for l in range(n) if (m-1)*l>(n-1)*k)

続く

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/28(日) 20:34:35.87

>>196
続き

部屋がm×(m+1) (n=m+1) のとき。
(m-1)l>(n-1)k ⇔ 0≦k≦m-2 かつ k+1≦l≦m。
(nk+l)/m = k + (k+l)/m より k+l<mのときq=k,r=k+l、k+l≧mのときq=k+1,r=k+l-m。
r>k (k+l<m)とr≦k (k+l≧m)とに分けるように場合分けをする：
①0≦k≦[(m-1)/2], k+1≦l≦m-k-2 のとき r>k、
②[(m+1)/2]≦l≦m-1, m-1-l≦k≦l-1 または ③l=m, 0≦k≦m-2 のとき r≦k。

m=6のとき
×①①①①②③
××①①②②③
×××②②②③
××××②②③
×××××②③
×××××××

m=7のとき
×①①①①①②③
××①①①②②③
×××①②②②③
××××②②②③
×××××②②③
××××××②③
××××××××

後はΣの計算。>>60に合わせるとＱ君がＡ君の立場でmが>>60でのn。
#以下 SageMathコード
,var m,n,l,k,q,r,c
T2 = (n-1-l) + (n-q)*(m-1-k)
T1 = T2 - (r-k)
#mが奇数の場合：
Q1 = (sum(sum(binomial(T1.subs({n:m+1,q:k,r:k+l}),c-1), l,k+1,m-k-2), k,0,(m-1)/2-1)
+ sum(sum(binomial(T2.subs({n:m+1,q:k+1,r:k+l-m}),c-1), k,m-1-l,l-1), l,(m+1)/2,m-1)
+ sum(binomial(T2.subs({n:m+1,l:m,q:k+1,r:k}),c-1), k,0,m-2)
).subs({m:n,c:2}).simplify_full().factor()
#mが偶数の場合：
Q2 = (sum(sum(binomial(T1.subs({n:m+1,q:k,r:k+l}),c-1), l,k+1,m-k-2), k,0,m/2-2)
+ sum(sum(binomial(T2.subs({n:m+1,q:k+1,r:k+l-m}),c-1), k,m-1-l,l-1), l,m/2,m-1)
+ sum(binomial(T2.subs({n:m+1,l:m,q:k+1,r:k}),c-1), k,0,m-2)
).subs({m:n,c:2}).simplify_full().factor()
def Q1st(x):
return (Q1 if mod(x,2) == 1 else Q2).subs({n:x})

続く

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/28(日) 20:36:18.50

>>197
続き

部屋がm×(m-1) (n=m-1) のとき。
(m-1)l>(n-1)k ⇔ 1≦l≦m-2 かつ 0≦k≦l。
(nk+l)/m = k + (l-k)/m より q=k,r=l-k。
r>k (l>2k)とr≦k (l≦2k)とに分けるように場合分けをする：
①0≦k≦[(m-3)/2], 2k+1≦l≦m-2 のとき r>k、
②1≦k≦[(m-3)/2], k≦l≦2k または ③[(m-1)/2]≦k≦m-2, k≦l≦m-2 のとき r≦k。

m=7のとき
×①①①①①
×②②①①①
××②②②①
×××③③③
××××③③
×××××③
××××××

m=8のとき
×①①①①①①
×②②①①①①
××②②②①①
×××③③③③
××××③③③
×××××③③
××××××③
×××××××

後はΣの計算。>>60に合わせるとＰ君がＡ君の立場でmが>>60でのn+1。
#mが偶数の場合：
P1 = (sum(sum(binomial(T1.subs({n:m-1,q:k,r:l-k}),c-1), l,2*k+1,m-2), k,0,m/2-2)
+ sum(sum(binomial(T2.subs({n:m-1,q:k,r:l-k}),c-1), l,k,2*k), k,1,m/2-2)
+ sum(sum(binomial(T2.subs({n:m-1,q:k,r:l-k}),c-1), l,k,m-2), k,m/2-1,m-2)
).subs({m:n+1,c:2}).simplify_full().factor()
#mが奇数の場合：
P2 = (sum(sum(binomial(T1.subs({n:m-1,q:k,r:l-k}),c-1), l,2*k+1,m-2), k,0,(m-3)/2)
+ sum(sum(binomial(T2.subs({n:m-1,q:k,r:l-k}),c-1), l,k,2*k), k,1,(m-3)/2)
+ sum(sum(binomial(T2.subs({n:m-1,q:k,r:l-k}),c-1), l,k,m-2), k,(m-1)/2,m-2)
).subs({m:n+1,c:2}).simplify_full().factor()
def P1st(x):
return (P1 if mod(x,2) == 1 else P2).subs(n=x)

以上、整理して少し異なったけど>>161の導出でした。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/28(日) 20:51:31.12

>>198
P1 == 1/24*(6*n^3 + 20*n^2 - n - 27)*(n - 1) # nが奇数のとき
P2 == 1/4*n^4 + 7/12*n^3 - 7/8*n^2 - 13/12*n + 1 # nが偶数のとき
Q1 == 1/24*(6*n^2 + 10*n - 3)*(n + 1)*(n - 1) # nが奇数のとき
Q2 == 1/24*(6*n^2 - 2*n - 5)*(n + 2)*n # nが偶数のとき

それだけ前置きやってｋを含めた式が作れないのですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/28(日) 21:10:22.97

>>199
「ｋを含めた式」って何？
あと>>178見て
宝の数が任意のものならΣが取れないでしょう。