分からない問題はここに書いてね447
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>>504
まづ y だけ動かす。
sin(y) + cos(x+y) = cos(π/2 -y) + cos(x+y)
= 2cos(π/4 +x/2)cos(π/4 -x/2 -y)
≦ 2|cos(π/4 +x/2)|,
次にxを動かして
f '(x) = cos(x) - sin(x) ± sin(π/4 +x/2) = 0,
x = 0.204830928474733243276 + 2nπ,
f(x) = 2.44471599169833602703 (最大)
境界点は
cos(π/4 +x/2) = 0, x = (1/2 +2n)π, f(x) = 1,
ゆえ最大でない。 >>518 (補足)
f(x) = sin(x) + cos(x) + 2 |cos(π/4 + x/2)|
とおきました。
(与式) ≦ f(x), >>506
OP = 1 (一定) なので min PX を考える
d(P, B) = 2 (一定)
d(P, F) ≥ 1 + √(2 - √2)
d(P, E) ≥ 1 + √(3/2) - √(1/2) >>506 >>517
O (0, 0, 0)
A (1, 0, 0)
B (1, 1, 0)
C (0, 1, 0)
D (0, 0, 1)
E (1, 0, 1)
F (1, 1, 1)
G (0, 1, 1)
P ( (1+cosθ)/2, (1-cosθ)/2, sinθ/√2) 0≦θ≦π,
とおく。
(1) PB = OP = 1,
(2) PF = √{2-(√2)sinθ} ≧ √(2-√2),
(3) PE = √{2-cosθ-(√2)sinθ} = √{2-(√3)sin(θ-a)} ≧ √(2-√3) = (√3 -1)/√2, >>473
パスカルの漸化式
C(n,r) = C(n-1,r) + C(n-1,r-1) (1≦r≦n-1)
C(n,0) = C(n,n) = 1,
と数学的帰納法を使えば出る。 >>473 から
Catalan(n) = C(2n,n) - C(2n,n-1)
も自然数であることも分かります。 複素平面上の相異なる2点A(α),B(β)を通る直線に原点から下ろした垂線の足をH(γ)とおく。
A,BがO(2)を中心とする円|z-2|=1上を動くとき、△OABの重心をG(δ)とする。
線分GHが通過する領域の面積を求めよ。 どの桁の数字も0または1または2である自然数の全体からなる集合をSとする。
このとき以下の命題の真偽を述べよ。
「任意の自然数nに対して、Sの要素のうちnの倍数であるものが存在する。」 >>526
n=3 なら n そのものではダメ
7n = 21 ∈ S >>525
11…1100…00の形のもので十分じゃね 2x5=10
3x37=111
4x25=100
5x2=10
6x(5x37)=1110
7x1573=11011
8x125=1000
9x123456789=1111111101
からどうにかならんか? >>525 >>528
真
T = {0, 1, 11, 111, 1111, …, (10^n -1)/9}
の要素をnで割った剰余は 0 〜 n-1 のいずれか。
#T = n+1 ゆえ、いずれか2つは同じ類に含まれる。 (←鳩ノ巣原理)
その差はnの倍数であり、かつ
11…1100…00 または 1……1 の形だから Sの要素である。 >>529
7 x 158730 = 1111110
9 x 12345679 = 111111111 nを正の整数とする。2数の積
n×123456789
のすべての桁の数字が1となるようなnを考える。
(1)そのようなnを1つ求めよ。
(2)そのようなnは無数に存在するか。 x_{ij}と、添字が二つ付いている変数は、数字で例を作るとどうなります?
\sigma^a_{i=1} \sigma^b_{j=1} x_{ij}
の説明を読んでいてx_{ij}の具体例が浮かばず、式の意味をイメージできず詰まっています。
たとえば、変数に数字を割り当てて、計算例を出してもらえるとわかる気がするのですが、、、
統計学の教科書で、具体例がないまま式だけでて困っています。 x11=1,x12=2,x21=3,x22=4
Σ^2_{i=1}Σ^2_{j=1}xij=x11+x12+x21+x22=1+2+3+4 >>534
ありがとうございます。
それは、2*2の行列があって、そこに入っている数字で計算するみたいなイメージでOKですか?
行列にしたら下みたいな感じですか?
| |x1.|x2.|
|x.1| 1 | 2 |
|x.2| 3 | 4 | ちょっと表を訂正します
(x21=3になるように訂正)
| |x.1|x.2|
|x1.| 1 | 2 |
|x2.| 3 | 4 | >>530
おお、あまりにも明快簡単な証明。
恐れ入りました。 >>532
あるんかいな?
あるとすれば無数にあるのはほぼ自明だけど。
nx(10^桁数 +1)としてあらたなnを作っていけば桁数を無限に伸ばせるから。 >>532
鳩の巣理論を使うらしいぞ
youtubeで似た問題を見た 自分自身を含む6つの素因数が順不同で3つ
A+C+E=B+D+FかつB+C+D=E+F+A
となるような組はあるかどうか? 123456789・9と10は互いに素だから
k がφ(123456789・9) の倍数のとき
10^k-1 ≡ 0 (mod 123456789・9)
ただしφはオイラーの関数。 A+E+C = B+D+F、 A+E+F = B+D+C なら C = F。 >>545
辺の長さの違う組み換え可能な6角形を求めたいのだが、C=Fって事は1辺は同じ数になるってこと?
それとも俺の作った組が間違えてる? >>546
6元集合Xをいかに3元集合の和A∪B.C∪Dと分けようとも片方の分け方はもう片方の分け方の一個ずつを選んで交換したものにしかならない。
交換して和が不変などあり得ない。 0と代数的数αって一次独立じゃないですよね
てことは代入ってできないと思うのですが、すみません詳しくお願いします、、! 小学生向けの問題で恐縮ですw
みかんを何人かの子供に分けることになりました。
1人に3個ずつ分けると21個あまり、5個ずつ分けると11個足りません。
みかんの個数は全部で何個ですか?
答えしかなく、計算式が載ってない。計算式おねがいします。
ちなみに、答えは69個です。 「すなわち、〜」の前の部分を陽に使うのであれば
代数的数βでe^α=βとなったとします
e^α=β=β*1なので「すなわち」の前の部分からβ=0ですね
一方でe^z=0となる複素数zは存在しませんね
よってe^αは代数的数ではないですね
したがってe^αは超越数ですね >>551
あと11個あったら5個ずつ分けるとピッタリで3個ずつ分けると32個余ることになる
これは、あと11個あったら3個ずつ分けたあと、さらに余った32個を2個ずつ分けるとピッタリになるわけだから(以下略 >>552
ごめん
変なこと言ってるから訂正
e^α=βとなったとします
これは1*e^α+(-β)*1=0となり、これはe^αと1がalg(Q)上一次従属であることになります
これは「すなわち」の前の部分に矛盾します
したがってe^αは代数的数ではない、すなわち超越数です >>554
シャワーしてたら同じこと思いつきました!(笑)
丁寧な説明ありがとうございます! 本を読んでいたら
円が一番高い時で1ドル135.2円
円が一番安い時で1ドル87.1円
36%の変動があった
と書かれていました
そもそも変動というものを知らなかったので調べたら2つの方法が載っており
@
87.1÷135.2×100で出るとのことでそしたら64%になってしまいました
100から引くと本に書いてある36にはなりました
A
(87.1-135.2)×100÷135.2
で求められるそうで-35.57…四捨五入して36がでました
@とAで答えが反対になるのはそれぞれどのように考えているからなのでしょうか?
それと調べた時にどちらも変動率ではなく変化率と書いてありました
変動率と変化率の違いもわかりません
もしよろしければ@とAの計算式はどのような考え方で成り立っているのか、変動率や変化率について教えてください 普段は1000円で売っているものがセールで900円で売られていました
何%の割引だったでしょう?
@ 900円は1000円の90%だから、割り引かれた金額は1000円の10%分である
900÷1000×100=90, 100-90=10
A 割り引かれた金額は100円分で、それは1000円の10%である
(1000-900)÷1000×100=10
の違い >>551
■何人かの子供をx人とする
3x+21=5x−11……A
2x=32
x=16
子供は全部で16人いる
みかんの個数はAにxを代入して
∵3x+21=5x−11=69個. >>560
関数を使うなボケ
>小学生向けの問題で恐縮ですw >>562
アホみてーな何とか算教えるくらいならさっさと方程式教えろっつーの
日本の教育はよお (問題)
平面上に凸四角形ABCDと動点Pがあるとき、線分長の和L=PA+PB+PC+PDを最小にする点はどこか。
(発展)
kは実数で、先の(問題)のLの最小値以上の値をとる。
A(0,0),B(1,0),C(a,1),D(b,c),とおくとき、
L=kとなる点全体からなる図形を平面上に示せ。 なんとか算は後々役に立つ
方程式の未知数の数を直感で一つ減らす能力は後付するのは難しい
ついでになんとか算を習ってる連中は、>>560の方程式位なら解けるし、立式できる生徒も多い
塾によっては>>560の解法がメインのところもあるだろ >>532
(1)
123456789・9 = (3^4)・3607・3803
>>542 により
φ(123456789・9) = φ(3^4)φ(3607)φ(3803) … 乗法的函数
= 54・3606・3802
= 740340648
実際は k = φ(…)/36 = 20565018 でよい。
10^k - 1 ≡ 0 (mod 123456789・9),
n = (10^k - 1)/(123456789・9),
(2)
存在する。
n = {10^(20565018m) - 1}/(123456789・9), m∈N 〔類題〕
nを正の整数とする。2数の積
n×12345679
のすべての桁の数字が1となるようなnを考える。
(1)そのようなnを1つ求めよ。
(2)そのようなnは無数に存在するか。 >>568
>>542 の何が通用しなくなるのかがわからん。 >>565
これ発展じゃない方は簡単なのになあ
なんで誰も解かないかなあ 人┏┯┯┯┯┯┯┯┯┯┯┯┯┯┯┯┯┯┯┓ こんなかんじでみかんの数を長方形の面積で考える
数┃ ┃ ┃ 3個ずつ分けたらBのエリアのみかんがあまり、
┃ ┃ B:21個 ┃ 5個ずつ分けたらCのエリアのみかんが足りない
┃ ┃ ┃ BとCを足せば32(個)、1人当たりのみかんの個数は
┃ A ┣┿┿┿┿┿┿┫ 32÷2=16(個)、3人なら16*3=48(個
┃ ┃ ┃ :Aのエリア)
┃ ┃ ┃ 求めるみかんの数は48+21=69(個)
┃ ┃ C:11個 ┃
┃ ┃ ┃
┗┷┷┷┷┷┷┷┷┷┷┷┷┷┷┷┷┷┷┛
0 3 5 1人当たりのみかんの個数 >>551
鶴亀算では、「仮に全てが鶴だとすると脚の数は○○であり、実際の数と△△違うから、...」
という考えで問題と解くのが一般的。これを応用すると...
仮に20人いるとすると、みかんの個数は前半からは 3*20+21=81個、後半からは 5*20-11=89個。ずれが8個
仮に21人いるとすると、みかんの個数は前半からは 3*21+21=84個、後半からは 5*21-11=94個。ずれが10個
一人増やすと、「ずれ」が8個から10個に、2個増えた。
「ずれ」を0にするためには、20人の時から、4人減らせばよい。つまり、子供の数は16人
みかんの数は、前半から 3*16+21=69 であり、後半からも 5*16-11=69 と同じ値が出る。
あえて計算式を書くとすると、3 * {(21-(-11))/(5-3)} + 21 過不足算は、ある物を何人かで分配するときに、1人分の数量や分配後の
余りまたは不足などから全体の数量や人数を求める算術です。
全体の差
最初に余り、次にちょうど → 最初の余り
最初に不足、次にちょうど → 最初の不足
最初に余り、次も余る → 余り-余り
最初に不足、次も不足 → 不足-不足
最初に余り、次に不足 → 余り+不足
人数=全体の差÷1人分の数量の差
総数
余る場合 → 1人分の数量×人数+余り
不足する場合 → 1人分の数量×人数-不足 >>569
だよね。
でも、nを求めよって言ってるから、具体的な数値を書けってことかも。
オイラーの関数って初耳だけど、どうやんの?
(存在自体は、おっしゃるように鳩ノ巣なんたらと、10と12…9x9が
互いに素から、10^k-1 ≡0となるk が存在するって初等的に証明できる
んだけど) すまん、>>567を読んでなかった。
2000万桁の数なんて書き下せんわw >>436
n=12まで
{2^n+2^(n−1)+n-4-α/12+643(n-5)α/120
-2251β/720+501(n-7)β/112+20107a/840
+80167(n-9)a/90720+1925209b/259200
+1109375429934433(n-11)b/13305600}
q=―――――――――――――――――――――――――
{2^(n+2)+2^(n-1)+2n-10-{(n-2)^2(n-4)}
+607(n-5)α/40-357β/40+10607(n-7)β/840
+1339a/20+822251(n-9)a/362880+18769033b/907200
+264154294609541(n-11)b/1140480}
,α=(n-1)(n-2)(n-3)(n-4),β=α(n-5)(n-6)
,a=β(n-7)(n-8),b=a(n-9)(n-10) | Hit!
|
ぱくっ|
/V\
/◎;;;,;,,,,ヽ そんなエサで
_ ム::::(,,゚Д゚)::| 俺様が釣られると思ってんのか!!
ヽツ.(ノ:::::::::.:::::.:..|)
ヾソ:::::::::::::::::.:ノ
` ー U'"U' すべての桁数の数字が1となるような素数で11より大きいものはあるか? >>583
{10^(ab) -1}/9 は (10^a -1)/9 及び (10^b -1)/9 の公倍数。
(10^3 -1)/9 = 3 x 37,
(10^5 -1)/9 = 41 x 271,
(10^7 -1)/9 = 239 x 4649,
(10^11 -1)/9 = 21649 x 513239,
(10^13 -1)/9 = 53 x 79 x 264371653,
(10^17 -1)/9 = 2071723 x 5363222357,
ゆえ、>>584 が最小のもの。 高2 行列
この連立方程式を行列を用いて解いてください
(出来ればクラメルの公式以外でお願いします)
https://i.imgur.com/N2py1ii.jpg 3-1のグレブナー基底を直接計算が困難なんだけど何かアイディア無いかな?
例えばグレブナウォークや変換器などの直接計算を迂回する方法など...
それに準ずるヒントになりそうなものとか無いかな?
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/223141/1/1907-21.pdf 下手に素人がアレコレ考えても専門家の作ったもんにはかなわない。
自分がその専門家を目指すならともかく。
あくまでグレブナー基底のユーザーなら偉い人の作ったやつそのまま使うのが吉。 >>584,585
流石!
では、すべての桁数が1となる素数が無数にあることを証明せよ。 http://www5e.biglobe.ne.jp/~emm386/2015/equation/c04.html
このページの式(5)の2番目以降の解がどのように出て着たのかがよくわかりません
すぐ上のy=ωB1+ω^2C1から計算してみても辿り着けなかったのですが、どのように導出されるのでしょうか? >>587
(3)
ax+y+z = 1,
x+ay+z = a,
x+y+az = aa,
・a=1 のとき、x+y+z = 1 全体。
・a=-2 のとき
与式を辺々たすと
(a+2)(x+y+z) = 1+a+aa > 0,
∴ 解なし。
・a≠1, a≠-2 のとき
係数行列
[ a, 1, 1 ]
[ 1, a, 1 ]
[ 1, 1, a ]
の行列式=(a-1)(a+2)≠0 で、逆行列が存在する。
[ a+1, -1, -1 ]
[ -1, a+1, -1 ] /
[ -1, -1, a+1 ]
これを右辺に乗じて
x = -(a+1)/(a+2),
y = 1/(a+2),
z = (a+1)^2 /(a+2), >>593
三倍角の公式に cos(3θ) = 4(cosθ)^3 - 3cosθ 等がありますが、cosθを未知数 x 、cos(3θ)を定数 a と考えれば、
4x^3-3x=a
となります。どんな三次方程式でも、二次の項は平行移動で消すことができ、
三次の係数と一次の係数の比を4:3になる様に、スケール変換すれば、この形に持って行けます。
|a|≦1なら、cost=aとなるtを持ってくると、cos((t+2πk)/3)、k=0,1,2 が解になります。 >>595
|a|≧1 のときは
実数解が
r = (1/2) { [a+√(aa-1)]^(1/3) + (1/2)[a-√(aa-1)]^(1/3) },
虚数解が
(1/2) {-r±i√(a/r - rr)},
なんだろうな… >>597 訂正
実数解が
r = (1/2) { [a+√(aa-1)]^(1/3) + [a-√(aa-1)]^(1/3) },
でした。 >>594 訂正
の行列式=(a-1)^2・(a+2)≠0 で、逆行列が存在する。
[ a+1, -1, -1 ]
[ -1, a+1, -1 ] /{(a-1)(a+2)}
[ -1, -1, a+1 ]
だった。 >>592
ありがとう!!
おかげさまで無駄に時間をつぶさなくて済んでよかった。
しかし、こんな項目があるのなら、もっと早く紹介して欲しかった。 部分分数分解の要領でやるのと思ったのですが、どうしても導けなかったので手順を教えてください
(x-1) / (3x+2)
が、
1/3 - 5 / (3(3k+2))
と
なるものです >>601
あ、k と書きました x と読み替えてください >>601
分母が1次式なのに部分分数分解はない
分子÷分母を計算して余りが 3x+2 の分子に残る
−−
(馬^ェ^) ーー
f´ ,.} (鹿^ェ^ )
,ム ィ´_}._.小. / .` `ヽ ーーー
Y.ゝ‐´ |. ∨ーfト. __ . 、 廴}| ( ★^ェ^ )
:| ヽ阪 .ノ!゙1 /:| ト._リ ,。-" ~ヽ
.弋._ノ`{: | 弋リ f、 。 | / }
}、.ノ ! ` 、_ .ノ! | {_ .-、 f: メ.
{. リ ‘. 京__ノ l / 三! . ノ|´ l
弋_) マ リ マ ア~  ̄ !、 ‘.
{ ー'| 〉r‐' l! マ 〉
}: { i | o ハ `´
{ ヘ | } 、 ノ !
 ̄ l `::禿 :!
ゝ==イ `| ,' 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:1341adc37120578f18dba9451e6c8c3b) >>584
Haskellでそれが素数であることを確認してみました。
Prelude Data.List> import Data.List
Prelude Data.List> divisor n = find (\m -> n `mod` m ==0 )[2..floor.sqrt.fromIntegral $ n]
Prelude Data.List> divisor $ (10^19-1) `div` 9
Nothing >>604
偉いね、チコちゃんは!
高2なのに、nxnの行列式を知っているんだね。 >>607
本当に高専2年です
高専の数学問題集2の問題ですが解説抜きで答えだけ書いてあるので解説してもらいたくて載せました >>604
「第 n 列に沿っての余因子展開し、」
って日本語がおかしくないですか? >>608
(1) D_n = D_(n-1) + D_(n-2)
(2) D5 = D4 + D3 = D3 + D2 + D3 = 2*D3 + D2 = 2*3 + 2 = 8 >>603
ありがとうございます
3x+2 を x-1 でくくって 5 がでてくるとこまではいけましたが
分数を二つに分けるとこまでは理解できず…
雰囲気は感じることができましたが、僕は数学のセンスは無いんでしょうね… 第 n 列に関して展開すると、
D_n
=
(-1)^[(n-1)+n] * (-1)^[(n-1)+(n-1)] * (-1) * D_(n-2)
+
(-1)^[n + n] * D_(n-1)
=
(-1)^[4*n - 2] * D_(n-2) + (-1)^[2*n] * D_(n-1)
=
D_(n-2) + D_(n-1) >>613
今自分でもやってみましたが第n列で展開するとdet A_(n-1)-A_(n-1,n)[余因子展開]になり、A_(n-1,n)は-det A_(n-2)+0となりますね。さっきは計算ミスで0にならなくて困ってました(笑)解説ありがとうございます。 >>604
〔問題〕
nを2以上の自然数として、n次の正方行列A_n = (a_{i,j}) を次のように定める。
a_{i,j} = 1, i-j = 0 または -1
= -1, i-j = 1
= 0, |i-j|≧2
たとえば A_5 = … (ry … である。
(1) D_n = det A_n とする。第n列に沿って余因子展開し、 D_nに関する漸化式を求めよ。
(2) D_5 を求めよ。 (新潟大*, 類:電通大*)
蛇足ですが、
D_n = F_{n+1} …… フィボナッチ数 >>616
>>610さんの回答で尽きていますよ。
D_0=1と置くのは乗法の自然な措定。
改めてフィボナッチなどと言及せずとも自明なことなのです。 どの桁も0と1からなり、最高位の数字が1の自然数を考える。
いま数字列100,101,110,111のうち1つを無作為に選び、この自然数の最高位にそれを付け加え、新しく3n+3桁の自然数を作る。
すなわち元の自然数をNとすれば、それに101を付け加えた新しい自然数とは{N+101^(n+2)}である。
初期状態100からこの操作を繰り返し行うとき、n回目の操作で出来た自然数が7の倍数となる確率p[n]を求めよ。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています