Let A be open in R^n; let f : A -> R^n; let f(a) = b. Suppose that g maps a neighborhood of b into R^n, that g(b) = a, and
g(f(x)) = x
for all x in a neighborhood of a. If f is differentiable at a and if g is differentiable at b, then
Dg(b) = [Df(a)]^(-1). 0197１３２人目の素数さん2018/08/15(水) 13:42:42.50ID:SQV3T5wE ↑は、 James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』に書いてある定理です。
なぜ↓のように書かなかったのでしょうか？
Let A be open in R^n. Let f : A -> R^n. Let B be open in R^n. Let g : B -> R^n. Let a ∈ A. Let b ∈ B. Let f(a) = b. Let f be differentiable at a. Let g be differentiable at b. Let g(f(x)) = x for all x in a neighborhood of a.
「 写像 F : U -> R^n があったとき（U は R^n の開集合）、一点 p ∈ U でヤコビ行列の行列式が 0 でないならば、 U を小さく取り直すことで、 F : U -> F(U) には、逆写像 F^(-1) : F(U) -> U が存在するようにできる。 」
「 まず説明しなければならないのは、 U を小さく取り直さないと定理が成立しないということです。これは、 F : C -> C として F(z) = e^z などという例を出してやるわけです。 」
「U を小さく取り直さないと定理が成立しない」などということは説明するまでもないことではないでしょうか？ 0250１３２人目の素数さん2018/08/16(木) 15:26:26.15ID:GbAIDwkg James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』を読んでいます。
p.65 Theorem 8.2.
Let A be open in R^n; let f : A -> R^n be of class C^r; let B = f(A). If f is one-to-one on A and if Df(x) is non-singular for x ∈ A, then the set B is open in R^n and the inverse function g : B -> A is of class C^r.
G. Gierz, K. M. Hofmann, K. Keimelm, J. D. Lawson, M. W. Mislove and Dana S. Scott Continuous Lattices and Domains, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 93, Cambridge University Press (2003) 0252１３２人目の素数さん2018/08/16(木) 16:31:15.11ID:siFDFOBN>>251 言いたいことはよくわかる。 わかりやすい例でいうと、GUI のウィンドウシステムは、 有限束の応用の一例だ。 わかりにく例でいうと、「かな漢字変換」が、 有限則の応用の一例だ。 「半順序関係」を見落として、泣きをみたという個人的な 体験について白状しておこう (T_T) 0253１３２人目の素数さん2018/08/16(木) 17:27:08.69ID:zTbqGQLh>>251 別にそこまで深い思索の下にでは無くフィーリングで言ったまでなんですが、話を膨らまして貰ってどうも 0254１３２人目の素数さん2018/08/16(木) 18:42:49.85ID:7ocxqnC9 かなり現代数学めいてる層の概念使って強制法な証明できるのが気になって昔入門書買ったわ
まあだいたい忘れた 0255１３２人目の素数さん2018/08/16(木) 18:47:23.94ID:Umctfcrx>>249 一次元は初等的にわかるけど多次元になると 不動点定理を使った証明が簡単で美しい 微分方程式の解の存在証明と同じ考え方だし 0256１３２人目の素数さん2018/08/16(木) 18:50:13.06ID:GbAIDwkg James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』を読んでいます。
p.65 Theorem 8.2.
Let A be open in R^n; let f : A -> R^n be of class C^r; let B = f(A). If f is one-to-one on A and if Df(x) is non-singular for x ∈ A, then the set B is open in R^n and the inverse function g : B -> A is of class C^r.
この定理の証明のStep3まで読み終わりました。
なんかこの定理の証明むちゃくちゃ面倒くさいですね。 0257１３２人目の素数さん2018/08/16(木) 18:51:40.57ID:GbAIDwkg この定理って典型的な自分では証明できないけれど、よく使うことになる定理っぽいですね。 0258１３２人目の素数さん2018/08/16(木) 19:45:51.99ID:GbAIDwkg James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』を読んでいます。
p.65 Theorem 8.2.
Let A be open in R^n; let f : A -> R^n be of class C^r; let B = f(A). If f is one-to-one on A and if Df(x) is non-singular for x ∈ A, then the set B is open in R^n and the inverse function g : B -> A is of class C^r.
この定理の証明のStep4まで読み終わりました。
Let A be open in R^n; let f : A -> R^n be of class C^r; let B = f(A). If f is one-to-one on A and if Df(x) is non-singular for x ∈ A, then the set B is open in R^n
確か杉浦光夫さんの『解析入門II』のまえがきに、不動点定理を使った証明が主流であるみたいなことが 書いてあったように思います。 0260高添沼田の親父「糞関東連合テメエらまとめてぶち殺すっ!!」2018/08/16(木) 21:18:32.04ID:dZ5ratnn 高添沼田（葛飾区青戸6－２３－２１ハイツニュー青戸103号室）の挑発 高添沼田の親父「関東連合文句があったらいつでも孫を金属バットで殴り殺しに来やがれっ!! 関東連合の糞野郎どもは俺様がぶちのめしてやるぜっ!! 賞金をやるからいつでもかかって来いっ!!糞バエ関東連合どもっ!! 待ってるぜっ!!」 (挑戦状) 02612012018/08/16(木) 21:29:03.28ID:AKtrazAa 現役京大生のかたはいらっしゃいませんか >>201の質問に答えていただけると嬉しいです 0262１３２人目の素数さん2018/08/16(木) 23:07:10.01ID:GbAIDwkg James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』を読んでいます。
p.65 Theorem 8.2.
Let A be open in R^n; let f : A -> R^n be of class C^r; let B = f(A). If f is one-to-one on A and if Df(x) is non-singular for x ∈ A, then the set B is open in R^n and the inverse function g : B -> A is of class C^r.
この定理の証明の最終ステップであるStep5を読み終わり、証明をすべて読み終わりました。
さらに、次の逆関数定理の証明を読み終わりました。
p.69 Theorem 8.3(The inverse function theorem).
Let A be open in R^n; let f : A -> R^n be of class C^r. If Df(x) is non-singular at the point a of A, there is a neighborhood U of the point a such that f carries U in a one-to-one fashion onto an open set V of R^n and the inverse function is of class C^r. 0263１３２人目の素数さん2018/08/16(木) 23:19:27.09ID:lzC6kq5G>>235 >>237 強引すぎる
>>261 複素解析はスタインだよ 0264１３２人目の素数さん2018/08/17(金) 02:33:03.58ID:ddzSvxmN 不動点定理などを使った現代的な中上級微積分 の本か講義ノートで、オススメがあれば教えて。 0265１３２人目の素数さん2018/08/17(金) 05:03:49.92ID:lZfx0A9r Roger Godement "Analyse mathématique I: Convergence, fonctions élémentaires" -> "Introductory Real Analysis" Roger Godement "Analyse Math Matique II: Calcul Diff Rentiel Et Int Gral, S Ries de Fourier, Fonctions Holomorphes" -> "Complex Analysis" Roger Godement "Analyse mathématique III: Fonctions analytiques, différentielles et variétés, surfaces de Riemann" -> "Theory of manifolds, Riemann surfaces" Roger Godement "Analyse mathématique IV: Integration et théorie spectrale, analyse harmonique, le jardin des délices modulaires" -> "Functional analysis" 原著はフランス語だけど、英訳や中国語訳も出てる。アメリカの教科書みたいに分かりやすくないけど２冊目なら違った視点も得られるしオヌヌメ。語学が堪能なら仏語や独語の教科書は良いぞ。 Remmert & Schumacher も２分冊で原著がドイツ語で英訳が出てる。 Fritzsche & Grauert は１冊で微積からStein空間、層理論までカバーしてる。 中上級なんて大家の著作は大抵該当するから、時間を浪費しない程度で切り上げ、実力が上がったら再挑戦するのが良い。 0266１３２人目の素数さん2018/08/17(金) 05:18:39.00ID:lZfx0A9r アメリカの教科書で中上級向けで定評があるのはRudinだろう。 Walter Rudin "The Principles of Mathematical Analysis" Walter Rudin "Real and Complex Analysis" Walter Rudin "Functional Analysis" かなりカッチリした書き方で、ドンドン進むので一通り勉強範囲の予備知識をあらかじめ仕入れておくべき。 かといって２冊目というほどの難度でもない。自信があればRudinで始めると良い。 英語も難しくないし、初めての洋書の教科書としても勧められる。 0267１３２人目の素数さん2018/08/17(金) 05:28:16.65ID:X+/MaV/b>>264 微積分のスレで聞け 0268１３２人目の素数さん2018/08/17(金) 05:30:21.43ID:X+/MaV/b>>261 GGRKS 0269１３２人目の素数さん2018/08/17(金) 05:33:52.47ID:lZfx0A9r どの教科書読むときでもそうなんだけど、巻末の文献を頼りに出典の原論文にも目を通すこと。 その定理を考えた動機や問題意識が書いてある（ことが多い）。 教科書の批判をする暇があるなら、原論文を読むのに時間を使う方が有益なのは言うまでもない。 0270１３２人目の素数さん2018/08/17(金) 06:00:07.95ID:H0Tf8Tss>>264
