数理論理学（数学基礎論） その13
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数学基礎論は、数学の基礎づけを目的として誕生したが
現在では、数理論理学として、証明論、再帰的関数論、
構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、 多くの分野
に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも
若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、
代数幾何学、英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化などを参照）
前スレ
数学基礎論・数理論理学 その12
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1509638068/ 基礎論の研究者に聞きたいのですが、
ある定理がACを使って証明出来るのは知られているとした時、
新たにそれがACを使わずに証明出来ると言うことが証明されたら、その証明はどれぐらいの価値がありますか？
…
さっき距離空間の完備化の証明でACを使わないバージョンについてちょっと触れた物なので気になりました。 バナッハ・タルスキのパラドックスが、選択公理より真に弱いハーン・バナッハの定理から導かれることが示されたことはある。
特に重要な成果とは見なされていない。 もう一つ質問なんですが、基礎論を深くはやっていないからこそ抱いてる疑問です。
選択公理は全然自明じゃないから選択公理がないZFでどの程度の証明が出来るかに関心を持つのはごく普通だと思います
でも基礎論の議論(テキスト)でZFC^-という記述でZFCから巾集合公理を除いた物を意味させることがありますが、
巾集合公理はどっからどう見ても自明な公理なのに何でこんな公理を抜いた体型を考えるんですか？
どうせ公理を抜いた体系を考えるなら、正則性公理や置換公理を抜いた体系の方がまだいいような気がド素人には思えてしまいます。 「任意の鎖（全順序部分集合）が上界をもつような順序集合は極大元をもつ．」
↓
正しくは、
「全ての全順序部分集合が上界を持つ半順序集合の全ての元は極大元に含まれる。」 >>512-513
選択公理→ハーン・バナッハだが、逆は言えない ID:yh9aYAvLはいったい何をしたかったんだ？ >>506
キューネンだとブール代数値モデルが(理由は書いてあるけど)あまり触れられないから、
separativeは分からないな…… >>510
モデルが豊富だしV=L関連で役に立つからじゃね？ >>510
自明かどうかは個人の感想
問題なのは他の公理との関係
ACは正しいと考えられてたが他の公理から示せそうにないので公理化しただけのはなし
だからpowerも他の公理から示せない以上それを仮定するかしないか考えるのは別にいい、それが公理主義 「公理主義」という言葉は日本の哲学者が
でっち上げた言葉で、海外の学者は使わないから
注意した方が良いよ。
冪集合の公理を出来るだけ仮定せずに議論を展開するのは
近年の集合論の教科書に多いけど、それは技術的な理由で
そうした方が応用範囲が広がるからだと思う。
納得できないなら最初はあまり気にしなくて良い。
あと和集合や非順序対はモデルを拡大したり
部分構造を取ったりしても不変だけど、
冪集合はそうではなくてかなり自由度をもって変わる、
というのが強制法とかで大事な事なので、後々の展開を
知ってたらZF-Pで話を進めるのが自然に見えてくるとは思う。 「都合のよい名前」か
あれ定義を見てもよく分からないんだよな…… >>517
このあいだのところは何とか証明できました。
でもその先でまたつまづいています。 二人の男が定刻までに
どちらがより多くお金を集めてこれるか
というゲームをしました
一方の男は札束ばかりを集めました
もう一方の男は小銭ばかり大量に集めました
さて、定刻になりそれぞれ集めてきたお金を数えると
札束のほうはすぐに金額がわかりました
札束のほうが金額が多いことは誰が見ても明らかでした
しかし、小銭のほうはあまりにも大量にあったため
その日のうちに数え終わることができず
正確な金額がわかりませんでした
これによりこの勝負は引き分けとなりました >>525
重さを測れば解決する。gあたり一番高価なコインで計算をして考える。
正確な金額がわからなくても勝負はつく。
誰が見ても明らかならこれぐらいでもいい。 どすて
b/a ÷ d/c = bxd/axc
なの？ 教えて～。 b/a ÷ d/c = bxd/axc
は
b/a ÷ d/c = bxc/axd
の入力ミス。 数学基礎論とは分野の名前で、学校の数学の基礎という意味ではないぞ
そもそも有理数には足し算と掛け算しかなく(割り算よりも先に分数を作る)、掛け算はa/b * c/d = a*c / b*dで定義される
その上で割り算を定義する際に、a/b ÷ d/c = a/b * c/dと、既に掛け算があるからそれを使って定義する
「じゃあ数学基礎論って何よ？」と思ったなら、ニコニコ動画の「琴葉姉妹の数学キソ論」って動画が分かりやすい 頭悪いので質問させて下さい。
30%の確率で当たり
17%の確率で当たりのクジを両方同時に引いた場合、どちらか一つでも当たる確率は何%になりますか？ >>531
誤った前提から推論して導かれる結論は当てにならない
と読み替えて 矛盾からも結論がかけ外しできてないと。記号を使うと世の中のことは矛盾になる逆説。 >>534
それなら
「矛盾から何かを導く」の否定が正しいってことでしょ >>530
a/b * c/d は、a/b ÷ d/c の定義だって言いたいの？ ｗｗｗ >>537
いや、有理数の掛け算は整数の掛け算を使ってwell-definedに定義される >>538
> 有理数の掛け算は整数の掛け算を使ってwell-definedに定義される
どういう意味？？？ >>540
横からだけど、ここでの”well-defind”の意味は整数の掛け算の定義を使うだけで有理数の掛け算を定義できるよってこと。
二人の会話は数学用語の理解の程度が違うので噛み合ってないだけ。 数字に反応ない遺伝型でも失点にカウントしちゃうのかなあ。 （a/b)/(c/d)=(ad/b)/c=ad/bc だけどな 凄い発見 !!
2ch の某スレより引用。 m(_ _)m
> ベルトランの逆説に関しての議論で、M.Shiraishi 氏 が自爆したようなこと
> を書いているヤシがいるけど、そいつって、マツシン（こと、松本真吾＠鉄道総研）
> 並みの間抜けだよな（ｗ
>
> M.Shiraishi氏 は、「ベルトランの逆説に関しての従来の通説は間違いである
> ことに気づいた」と言い出し、「この逆説は、確率の従来の定義が間違って
> いたことによるものだ」として、議論を決着させている。
>
> 自爆どころか、２０世紀の確率論の基礎を覆す、凄い発見というべきだろう。
http://www.age.ne.jp/x/eurms/Bertrand.html 我々が大学で学んで来た論理学理論は、完全なる誤りであって、もう一度、根本的にやりなおさなければならない。 >>118１３２人目の素数さん2018/09/02(日) 21:15:37.89ID:ZwkeQDLB
＞このスレの基礎論の専門家に質問させて頂きます。背理法についてです。
＞証明したい命題をＡとします。このとき、￢Ａを仮定して、
＞矛盾(￢Ｃ∧Ｃ)を導いて、排中律より命題Ａを真とするのが背理法と思います。
いいや違う！
そのように書いているアホな著者がいるのは事実だが、ヽ(^o^)丿
証明したい命題「P(x)ならばＱ(x)である」があった場合、P(x)＆～Ｑ(x)
からｘに関しての矛盾を導くのが背理法（帰謬法）。
■3期連続で首位獲得
現在稼働中のPEZYグループ製スパコンで最大規模のシステムは、
理研に設置した液浸冷却スパコン「Shoubu（菖蒲） system B」である
2018年11月に公表されたスパコン省エネ性能ランキング
「Green500」で、Shoubu system Bは3期連続で首位を獲得した
電力効率は17.604ギガFLOPS／Wで、
米IBMと米エヌビディア（NVIDIA）が開発した新鋭機「Summit」
より2割近く高い
同社はGreen500参加の前提である
「TOP500のランキングに入ること」を確実にするため、
ノード数を50から60に増やしたほか、1CPU当たりのメモリーを
32ギガバイトから64ギガバイトに増設
これにより、ピーク演算性能を従来より2割以上高い
1063.3テラFLOPSとした
2018年11月のTOP500ランキングで375位である
さらにPEZYグループは、今回のGreen500で消費電力の計測方式を変えた
消費電力の計測箇所を計算ノード周辺（Level1計測）から、
冷却用ポンプや直流変換設備も含む範囲（Level3計測）に広げた
「PEZYの計測方式は冷却設備を含まず、非省エネのスパコンが
上位になり得る欠点がある」との批判に応えたものだ
■Green 壱大整域さんに「「コンパクトHausdorff空間の直積はコンパクト」は選択公理と同値でないことが知られている
(BPI (= Boolean Prime Ideal Theorem)と同値である．)」
とあるので駄目みたいですね >>552
チコノフの定理は同値じゃないの？
非可算のチコノフの定理の証明に選択公理が必要で
チコノフの定理の特別な場合から選択公理が出るんでしょ？ >>554
＞今年もここはダメみたいだなｗ
いや、未だ捨てたもんじゃあない。 >>549１３２人目の素数さん
＞>>548
＞と言うアホな人キター
アホはお前のほうだ。こんバカタレが！！！ 証明したい命題：Ｐ(α) があった場合、not-Ｐ(α) から α に関する矛盾を導くの＊も＊
背理法／帰謬法。
>>548 の言っているのは、広義の背理法で、上の背理法は広義の背理法より論理的に
導かれる。
尚、数学ではもっぱら、「広義の背理法」がつかわれる、 >>530
＞数学基礎論とは分野の名前で、学校の数学の基礎という意味ではないぞ
くだんの一件は、充分に数学基礎論上の問題足りうる。
そもそも有理数には足し算と掛け算しかなく(割り算よりも先に分数を作る)、掛け算はa/b * c/d = a*c / b*dで定義される
その上で割り算を定義する際に、a/b ÷ d/c = a/b * c/dと、既に掛け算があるからそれを使って定義する
問題は、なぜ分数の乗法が a/b * c/d = a*c / b*d で定義あれるか？ だ。 >>559
その答は？
答を持ってないなら黙殺する >>558
背理法はPが真であると仮定したら矛盾が結論された時
~Pと結論することよ
~の定義と言っていい論法でそれ以上でもそれ以下でもない
ごく普通の証明方 それはただの否定の導入ですよね
背理法は¬Aから矛盾を導いてAを結論することを言います
商品の価値は、その商品を生産する為に消費される energy ( 単位は erg )
即ち、熱量 ( 単位は cal.) によって決定される。
人：Ａ が、自分が所有する商品ａよりも、人：Ｂ が所有する商品ｂの方が
価値が高いと感じ、一方、人：Ｂ は自分が所有する商品ｂよりも、人：Ａ が
所有する商品ａのほうが価値が高いと感じる時、交換が起きる。
ａとｂとが等価値であると Ａ，Ｂ の双方が感じたならば、交換など起きない。
故に、Karl H. Marx ( 1818 – 1883, 65 ↟ ) が完成したと言われている、
いわゆる労働価値説は完全なる誤謬なり。■ 「思い込みや先入観のない事実」は存在しない、
つまり、絶対的客観性はあり得ない、ということです(´・ω・`) ７ヶ国語に訳されている、知る人ぞ知る、確率論の「歴史的・世界的名著」：－
КУРС ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
（Борис. В. Гнеденко）
英訳： THEORY OF PROBABILITY
邦訳： 確率論教程 Ⅰ，Ⅱ （森北出版）
# この本は。確率論にとって、ルベーグ積分などは「無用の長物」で
あることを示している。 ☆★☆【神よこの者たちはもはや人間ではない悪魔であるこのような悪魔どもを一匹残らず殺してくださいお願いします】★☆★
《超悪質！盗聴盗撮・つきまとい嫌がらせ犯罪首謀者の実名と住所／死ねっ!! 悪魔井口・千明っ!!》
【要注意!! 盗聴盗撮・つきまとい嫌がらせ犯罪工作員】
◎井口・千明（東京都葛飾区青戸６－２３－１６）
※盗聴盗撮・嫌がらせつきまとい犯罪者のリーダー的存在／犯罪組織の一員で様々な犯罪行為に手を染めている
低学歴で醜いほどの学歴コンプレックスの塊／超変態で食糞愛好家である／醜悪で不気味な顔つきが特徴的である
【超悪質！盗聴盗撮・嫌がらせつきまとい犯罪者の実名と住所／井口・千明の子分たち】
①宇野壽倫（東京都葛飾区青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸２０２）
※宇野壽倫は過去に生活保護を不正に受給していた犯罪者です／どんどん警察や役所に通報・密告してやってください
②色川高志（東京都葛飾区青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸１０３）
※色川高志は現在まさに、生活保護を不正に受給している犯罪者です／どんどん警察や役所に通報・密告してやってください
【通報先】
◎葛飾区福祉事務所（西生活課）
〒１２４－８５５５
東京都葛飾区立石５－１３－１
℡０３－３６９５－１１１１
③清水（東京都葛飾区青戸６－２３－１９）
※低学歴脱糞老女：清水婆婆 ☆☆低学歴脱糞老女・清水婆婆は高学歴家系を一方的に憎悪している☆☆
清水婆婆はコンプレックスの塊でとにかく底意地が悪い／醜悪な形相で嫌がらせを楽しんでいるまさに悪魔のような老婆である
④高添・沼田（東京都葛飾区青戸６－２６－６）
※犯罪首謀者井口・千明の子分／いつも逆らえずに言いなりになっている金魚のフン／親子孫一族そろって低能
⑤高橋（東京都葛飾区青戸６－２３－２３）
⑥長木義明（東京都葛飾区青戸６－２３－２０）
⑦若林豆腐店店主（東京都葛飾区青戸２－９－１４）
⑧肉の津南青戸店店主（東京都葛飾区青戸６－３５ー２ >>568
背理法に違和感を覚える人って￢￢A→Aに納得がいかないんだよね 岩波数学辞典もだけど￢￢A→Aを矛盾律じゃなくて排中律だと思ってる日本人が多い >>570
矛盾律は伝統的な用語だから正しく「矛盾は起きない」の意味で使用すべき >>570
これは二重否定の除去で
排中律と呼ぶこともある
矛盾律は
人→A >>572
それは矛盾律ではない
今は爆発律という名前がつけられている なお、矛盾律という表現は誤解されやすいということで20年前位から「無矛盾律」という表現が使われている
今はこちらを見る方が多いかもしれない >>573
人→A
は矛盾律
爆発律はこれに違和感がある側が言っているだけよ
無矛盾律は
￢(A∧￢A)
ね なぜ
人→A
を矛盾律と呼ぶかというと
これが
矛盾とは任意のAについてのA∧￢Aのことである
という主張に他ならないからだよ
A∧￢A→A
は論理積の除去で最小論理の公理だから
矛盾は任意のAについてのA∧￢Aのことだとすればこれを
人→A
と書けるし
逆にこれを認めることで
人→A∧￢A
が成り立つことと最小論理の公理である否定の除去
A∧￢A→人
から
矛盾は任意のAについてのA∧￢Aのこととの同値性が出る つまり
人→A
とは
矛盾を定義しているということ >>575
矛盾律は同一律や排中律とともにアリストテレス論理学からある2000年以上の歴史を持つ由緒正しい用語なのでそのような誤用は望ましくない
20年以上前にこの誤用が話題になりその時にはまだ爆発律という用語は無く適切な用語があるといいなという話になっていた
人はその頃はむしろ⊥より多く使われていた ちなみに無矛盾律
￢(A∧￢A)
は最小論理で証明可能な定理であって
「律」（≒公理）というのは面はゆいかも このスレって前から哲学系の学部1,2年生みたいなのが多いよな
矛盾律がうんたらかんたらいっても、形式論理学の入門書1冊やったら明確な答えがすぐに分かるやろ
何をそんな話題にずっとグダグダやっとんねん
ええ加減に先の話題に進まんかいや 所詮言葉だから誤用が広まれば使ってしまうこと自体は仕方ないのはわかる Aが真でもなければ偽でもないときは、￢￢A→Aは少なくとも偽ではない。
だから￢￢A→Aは排中律ではない >>583
Aが真でもなければ偽でもないときは、￢A∨Aは少なくとも偽ではない。
￢￢A→Aと￢A∨Aの真偽は一致するから排中律と呼んでも良い ＞￢A∨Aは少なくとも偽ではない
少なくとも真ではない、だろｗ >>586
＞間違った。￢A∨Aは偽だ。
なんばボケちょるかｗ
偽ではなくて、恒真だろがｗｗｗ ■論理は言葉なのか
“人間は言葉で考える”
これはあちこちで言われる定説のようなものですが
子供の頃は、これに対して非常な抵抗がありました
同じように感じる人もおられるかもしれない
思考というのは言葉に限定されるようなものじゃなく、
もっと広いものだ
言葉にできない“思い”はいっぱいあると、
そんな感覚というか確信があったわけです
ところがそこそこ歳をとって、浅知恵がついてまいりますと
言葉で表現できないようなものはそもそも思考ではない
それは単に上手く説明できない自分に対しての
悶々とした気分にすぎないのだ
などと思うようになりました、いい加減なものです
しかし子供の頃に感じたあの確信は、果たしてそのまま
ゴミ箱に捨ててよいものなのか
たとえば、計算はそれ自体、言葉なのか
それがもし言葉でないとするなら計算は思考ではない
ことになるが、そうなのか >>584
最小論理では排中律￢A∨Aから二重否定除去￢￢A→Aは導けない
逆は言えるけど “人間は言葉で考える”なんてイメージ思考ができない奴の戯言じゃん
イメージ思考は負荷が大きいから必要ない場合は手軽な言語思考で済ませるが
覚えておいて損はないぞ
俺は高校くらいの頃に立ち読みで知ったけど随分得した
本のタイトルなんぞ覚えてないから紹介はできんが >>588
恒真というのは任意の真理値が前提とされる ■人間やモノ不在のまま論理や集合を考える
なにも無い、としたいが、「無」は「存在」しない
なんらかの「存在」が必要なのだが、論理や集合は、
それに答えてくれるのだろうか
論理でもっとも基本的と考えられるのはTRUE,FALSEであろうか
これらはどこに「存在」するのか？
集合でもっとも基本的と考えられるのは空集合であろうか
これもどこに「存在」するのか？
論理は論理空間における位置の問題であるとしてもよいが、
集合は、そのものが空間である
空集合とは何か、そこから考えるのがよさそうだ
気が向いたら続きを考えよう 存在するしないが議論できるのも「場」があってこそだろ間抜けの空論。 >>594
同値というのは恒真という意味ではないのだが >>599
同値というのは、aとbが両方真か両方偽のとき真となる言明だ。 >>601
直観主義論理は二重否定除去をもっていず ┏┓┏┓ ┓┏┓
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謹┃賀┃新┃年┃
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