数理論理学（数学基礎論） その12
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数学基礎論は、数学の基礎づけを目的として誕生したが
現在では、数理論理学として、証明論、再帰的関数論、
構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、 多くの分野
に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも
若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、
代数幾何学、 英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化
などを参照）
前スレ
数学基礎論・数理論理学 その11
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1325247440/ 前スレ 999
直観主義論理では二重否定の除去
￢￢B → B
は出来ないけど三重否定から否定を二つ除去
￢￢￢B → ￢B
するのは出来るんだよな
「「「Bが成り立つなら矛盾が導き出される」が成り立つなら矛盾が導き出される」
が成り立つなら矛盾が導き出される」
から「Bが成り立つなら矛盾が導き出される」が導き出されるという… 直観主義では(￢(A∧B))→((￢A)∨(￢B))は示せないですが、その対偶の
(￢((￢A)∨(￢B)))→(￢￢(A∧B))を示すことは出来ました。
でも(￢∃x￢A)→(￢￢∀xA)は示せないようです。（もし直観主義で
示せる人がいるなら証明を教えてくれるとうれしいです。）
直観主義では本当に(￢∃x￢A)→(￢￢∀xA)が示せないのなら、
直観主義では∀x￢￢Aと￢∀xAを同時に仮定しても矛盾しない
ことになりますが、なんか不思議な気がします。ここらへんを
うまく説明できる人はいるでしょうか。 >>2
それは一般的な定理で
古典論理が直感論理に埋め込めるって奴 >>4
量化子は無限に関わって来るので
その扱いが古典と直感とで異なるんだろうと思ってるんだけど
詳しい人の見解を聞きたいところだ >>4
直観論理の位相空間による解釈を知ってるとおかしく感じない。 >>4
丁度直観主義の意味論をかじったところなので回答します
直観主義における論理式の解釈を、以下のクリプキモデルによって定義します
世界Wiの集まり{Wi|i∈I}をクリプキモデルと呼びます
各世界Wiは通常の古典論理における構造に対応します
また、世界Wiには到達可能関係→が定義され、以下が成り立ちます
反射律 Wi→Wi
推移律 Wi→WjかつWj→Wkならば、Wi→Wk
また、Wi→Wjのとき、以下に従います
Dom(Wi)⊂Dom(Wj)
P^Wiが真ならばP^Wjも真
P^Wi(a1,..,an)が真ならばP^Wj(a1,...,an)も真(a1,...,an∈Dom(Wi))
すなわち、クリプキモデルとは、通常の古典的な意味での構造=世界をいくつも持つものであり、それぞれの世界は我々の持つ知識量に対応している、と解釈できます
すなわち、Wi→Wjのとき、Wjの世界においては、Wiの世界よりも我々の知識量が多いため、より多くの事柄に関する真偽を決定できる、というわけです ある原子命題Pが真であるというのは、「世界Wiにおいて」Pが正しいと判断できる、ということを意味して、Wi|=Pと表します
逆にPが偽であるということは、「世界Wiにおいて」Pが正しいと判断できないということ、を意味して、Wi|≠Pと表します
命題¬Pが真であるとは、Wi→Wjなるすべての世界Wjに対して、Wj|≠Pとなることを意味します
言い換えれば、その世界より後ろは全部偽なわけです
今、Wi|≠P、とわかったとします
このとき、Wi|=¬Pと言えるわけではありません
Wiに関して言えば、真ではない、とわかっただけですから
Pは本当にWi|=¬Pとなるかもしれませんし、到達可能な世界を巡っていけば真だとわかることがあるかもしれません
前者を、Pは真に偽である、後者をPは保留状態にある、と言うことにしましょう
このようにすると、Pが偽、すなわちWi|≠Pであるとは、真に偽である状態であるか保留状態にあるかのどちらかだ、と言いかえることができます
直感主義における偽とは、確証のなさを表していると言えるでしょう
本当は偽なんだけど自信がないときは真の偽、本当は真なんだけど自信がないときは保留状態であり、どちらの場合も断定ができないので、真ではないという意味で、偽を与えるのです
命題∀xP(x)が真であるとは、Wi→Wjなるすべての世界Wjに対して、全てのa∈Dom(Wj)に対してWj|=P(a)となること、を意味します
その世界より後の世界の対象をどれだけ持ってきても真になる、というわけです ¬¬Aの意味を考えましょう
Wi|=¬¬A、Wi→Wjとします
Wj|≠¬A、すなわち、「Wj|=¬A」ではない、となっています
これは、任意のWjに対して『「Wjより後ろは全部偽」ではない』、ということですから、WiにおけるAは真であるか保留状態になっている、ということを意味しています
Wi|=¬¬AとWi|=Aは異なるわけです
Wi|=∀x￢￢A
これは、全てのWjの全ての対象xに対して、Aは真であるか保留状態となっていることを表しています
Wi|=￢∀xA
これは、任意のWjに対して、『「その世界より後の世界の対象をどれだけ持ってきても真になる」わけではない』ことを意味しています
Wjより後の世界には、必ず偽となるような対象が存在する、というわけです
別に矛盾はしていませんよね クリプキモデルもいいんだけど必然的に時間の概念というかモデルの順序関係に依存するので
静的な単独なモデル(位相空間でもイイよ)による意味論の方が何かしっくりくる感じが >>11
>>8
＞各世界Wiは通常の古典論理における構造に対応します 古典命題論理＋様相記号 の体系において演繹定理ってどういう形で成り立つんですか？
参考になるURLあれば教えて下さい
私個人でチェックした限りでは
Γ,□A |- □B ならば Γ |- □(A→B)
が成り立ちそうな気がするんですが？ 前スレ http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1325247440/897
でもいいましたが直観主義命題論理学は前原昭二の｢復刊 数理論理学序説｣で初歩を扱っています
>>2,4の話も出てきてたと思います 高橋洋一（嘉悦大）
@YoichiTakahashi
統数研。70年代にちょっといて赤池さんと話したことを思い出した。いい概念（AIC）は応用も広いし、道筋の見通しもよくなる。AICについて、AkaikeではなくAn Information Criteria と控えめに言っていたのが印象的
統計数理研究所
@tousuuken
本日は統計数理研究所第8代所長 赤池弘次先生の生誕90周年です。
https://www.google.com/doodles/hirotugu-akaikes-90th-birthday Aを公理とするとき、A|-BもA|-¬Bも証明可能ではないですから、Bは決定不能命題ですか？ 有限の立場からの質問です
普通、(公理的集合論で？)超限帰納法の定理を証明する時って背理法によって証明しますよね？
これを直接(構成的に？)証明することって出来るんですか？ 質問
自然数論の無矛盾性証明の下準備として、その証明に関係することになる順序数の定義を行うじゃ無いですか？
で、そこで定義される順序数って、その証明に必要なことを便宜的に駆け足で定義しているせいか、公理的集合論(ZFC)で議論される順序数の定義とは違ったものじゃ無いですか？
そこで気になったんですが、この順序数の定義と公理的集合論における順序数の定義って同値ですか？
なんとなく 有限の立場から(ZFCを仮定せずに定義されている？)順序数の定義から帰結される命題集合 ⊆ ZFCでの順序数の定義から帰結される命題集合
な感じはするんですが、⊇の主張には何か他の仮定がいるんですかね？
ZFCで習った順序数と違う定義を学んだものでしたので疑問を持ちました ZFにおける議論において、
順序数がカントール標準形を持つこと、
特にε_0未満の順序数については自然数とωだけを用いた標準形を持つことを示せる。
したがって、有限の立場においても、
自然数と新しく導入した記号ωを用いればカントール標準形と外見上全く同じ有限長の記号列を定義できる。
この記号列に対して順序を入れることもできる。
再びZFにおいて議論すると、
有限の立場で定義されたこの記号列全体は（順序まで含めて）ε_0未満の順序数全体と一対一対応することが示せる。
特に、この記号列全体は整列集合であることが示せる。
この記号列全体がZFでは整列集合であることがわかったので、
「この記号列全体は整列集合である」という仮定を追加して有限の立場を拡張しようと思う。
もちろん「」内の命題は自然数論では証明できない。もしできたら第二不完全性定理に反する。
無矛盾性証明では（自然数に関する）数学的帰納法を拡張した体系で議論することを基本方針としよう。 細かいことだけど以下のように訂正
× この記号列全体は整列集合である
○ この記号列からなる無限下降列は存在しない >>42
ジャストミートな回答ありがとうございます
モヤモヤ感が何となく解けました 以前、直観主義論理で証明可能では無い論理式についてのレスがありましたが、それに関係する記述を見つけたので書いておきますと、
竹内外史「数学基礎論」共立出版株式会社 の68ページの記述がそのまんまそれですね
ゲンツェン流の体系LJにおいて以下の式はprovableではない(一部抜粋)
１） ⇒A∨￢A
２） A⊃B ⇒￢A∨B
５） ￢∃x￢A(x) ⇒ ∀xA(x)
provableでない事の証明も載っています。カット除去定理を使った系としての証明ですね。 UAB := ¬∃(Ax∧Bx)
なる U があれば NAND だけで命題論理が作れるようにそれだけで一階述語論理が作れるってマジ？ >>46
もう少し具体的に教えてもらえますか？どこでそんなこと聞いたのかも含めて >>46
面白い記述を見つけました
竹内外史の「数学基礎論」101ページ
Γ_0＾~の下では、∃xA(x)とA(Min(x)A(x))とは同等である
(この意味でMinを用いれば、∀とか∃とかを取り除くことが出来る)
という記述がありますね。 >>47
コンビネータ論理を考案したシェーンフィンケリが示したけど、あまり知られていないらしい。
コンビネータ論理についてネット検索してた時に見かけた記事で読んだんだけど、今探したらちょっと見つけられなかった。
束縛変項に関する公理がなんか姑息というか、美しくないように感じるので、これを消せないかと思ってコンビネータ論理について色々調べてたんだが、コンビネータ論理って inconsistent らしいのね。
>>48
違うアプローチみたいだけど面白そう。その本は持ってないけど買ってみるわ。でも自分みたいなドシロウトには難しそう… >>49
>>48ですが、これは昔に出版された時の書籍名です
現在はこの増補版(改題された)として｢証明論入門｣竹内外史(ともう一人の女性)著 が市場に出回っています。
>>48の記述ですがこれは、自然数論の無矛盾性証明の議論において脇道に逸れた話題として出てきた話です
この本は本格的な数学基礎論の書籍です。入門書を終えないとまず理解出来ないでしょう。 直観主義 と 有限の立場 ってどこが違うんですか？ >>52
あなたが無職だと言うことですよ、東大生さん [Ｐ⊃Ｑ] ⊃ [～Ｑ⊃～Ｐ] は恒真式（tautology）であるが故に
対偶律： 《 [ＰならばＱ] ならば [ＱでないならばＰではない] 》
、 を表わしていると信じられて来た。 しかし、これは誤りであった。
例えば、[Ｐ⊃(Ｑ∨Ｒ)] ⊃[(Ｐ⊃Ｑ)∨(Ｐ⊃R)] はtautologyである
にも拘わらず、《 [Ｐならば(ＱかＲ)] ならば、[ (ＰならばＱである)か、又は(ＰならばRである) ] 》 は
成立しない ■ z>>5
F(P,Q) ⊃ g ( p, p) が tautology だからって、「F(P,Q) ならば g ( p, p) 」が
必ずしも成立するわけではないってことさ。 z>>5
F(P,Q) ⊃ g (P,Q) が tautology だからって、「F(P,Q) ならば g (P,Q」が
必ずしも成立するわけではないってことさ。 >>58
何言ってるか分からないんですが、
P,Qが存在して、
|=F(P,Q)⊃g(P,Q) かつ |=F(P,Q) かつ |=￢g(P,Q)
が成り立つ
と言いたいのですか？ Jech の「Set theory」の sillver's theorem の証明がわかりません。
間違っているということはありますか？ >>59
ｆ(P,Q)⊃g(P,Q) だからと言って、ｆ(P,Q)|=g(P,Q) とは限らないってことさ。 |=ｆ(P,Q)⊃g(P,Q) だからと言って、ｆ(P,Q)|=g(P,Q) とは限らないってことさ。 >>54
＞にも拘わらず、《 [Ｐならば(ＱかＲ)] ならば、[ (ＰならばＱである)か、又は(ＰならばRである) ] 》 は
ああ、これですか
「ならば」を高校数学的に考えてる限りわかりませんよ
まずは命題論理と述語論理の区別から始めましょうね >>52
> 直観主義 と 有限の立場 ってどこが違うんですか？
直観主義にしても有限の立場にしても明確な記号論理の体系で公理化されているわけでない
研究者によって同じ「直観主義」という言葉で表しているものが違う、「有限の立場」についても同様
だから誰のなのかを明記した「××さんの直観主義（または有限の立場）」とか
場合によっては「××さんが○○という時期に（あるいは△△論文等で）主張している直観主義（または有限の立場）」と指定しなければ
異同の議論はできない
例えば直観主義論理を客観的な公理系として最初に提示したのはBrouwerの弟子のHeytingだが
師匠のBrouwerは「あんなものは俺の直観主義じゃない！」とその公理化の意義を認めなかったそうだ
その辺りの混乱に関しては先日亡くなられたばかりの竹内外史先生が彼のエッセイの幾つかで書いていて著書にも収録されているから
探せば今でも容易に読めると思うが、その竹内先生御自身も有限の立場について哲学的というか教条的というか非教育的だったので
竹内先生の証明論のアプローチを直接に継ぐ弟子は育たなかった（継ごうとした人達はみな討ち死にして挫折した）というような話を
確か八杉先生だったと思うがどこかに書いていた記憶がある
なので上の問は漠然としていて解答不能 >>69
ありがとうございます。
ざっくりと分かりました。
竹内＆八杉のコンビといえば｢証明論入門｣が思いついた。 式SからGodel Interpretation S^Gを作るまでは割と形式的に出来るけど
そこからquantier-freeなreductionを作るのがホント紛らわしい 大学院生が太刀打ち出来るレベルの未解決な問題ってなんかありますか？(発展的専門書の章末問題レベル)
ステップアップにちょうどいい論文も教えて欲しいです そんなもん知ってたらこんなところに書かず、自分で論文書くか指導学生にテーマとして与えるわ [PならばQ]を[Pでないか又はQ]と同値であると考えたのが、そもそもの誤り。 ラッセル・ヒルベルト流にしろ、ゲンツェン流にしろ、[PならばQ]を[Pでないか又はQ]と同値であると考えたのが、そもそもの誤り。 >>77
直観主義論理というその同値性を認めない論理体系も存在しますよ
まあ、あなたのように命題と述語の区別をつけていない人には関係ない話ですけど >>77
別の規則の体系もある。矛盾していない限り数学上は誤りもクソも無い。 数学セミナー
2018年2月号（2018年1月12日発売）予価1090円＋税
特集=「竹内外史と数学基礎論(仮)」
解析学の基礎付けをはじめ、数学基礎論の分野で偉大な足跡を残し，2017年5月に逝去した竹内外史氏。
今回は思い出も振り返りながら、氏が切り拓いた道を紹介する。
“竹内の証明論”における有限の立場(仮題)八杉満利子(京都産業大学名誉教授)
竹内先生の思い出(仮題)難波完爾(東京大学名誉教授)
竹内外史氏の思い出(仮題)一松信(京都大学名誉教授)
竹内先生の証明論(仮題)新井敏康(千葉大学) 待ちに待ってた様相論理学入門が届いた。分厚い奴ね
テンション上がったわ 有限の立場とは、具体的な図形の与えられた列、または具体的な図形の列についての具体的な操作の与えられた列、… についての思考実験を許す立場である。
by竹内外史
(科学基礎論研究39号、1972．Vol10, No.4)
だってさ その定義なら確かに超限帰納法を用いた背理法を含んでるな >>81
＞矛盾していない限り数学上は誤りもクソも無い。
現実と矛盾したのでは話にならない。 論理とは主観的なものです
どのような推論を推論として認めるのか、というのは絶対的なものではないんですね >>87
現実と矛盾する、とは何を指すのか？
全ての現実に当てはまる公理が存在するとでも？ 様相論理の和書は古いもの以外はほぼ無いけど
黒い本の第1章は割と纏まってて良い感じだったと思う 量子力学が定説となった現代において、数学理論が現実と矛盾するかどうか検証するのは極めて困難 >>85
ところが竹内外史はinductive definitionを有限の立場の根幹とするFefermanの考え（哲学）は完全に反対していた
どうも竹内外史は、predicativeであることが有限の立場では本質的に重要だと考えていたみたいだね >>94訂正
ごめん、日本語が少し変だった
誤＞ところが竹内外史はinductive definitionを有限の立場の根幹とするFefermanの考え（哲学）は完全に反対していた
正＞ところが竹内外史はinductive definitionを有限の立場の根幹とするFefermanの考え（哲学）については完全に否定的だった >>90
[ (ＰならばＱである)か、又は(ＰならばRである) ] は偽であって、「現実と矛盾している」。
＞全ての現実に当てはまる公理が存在するとでも？
ある命題が真ならば、その否定は偽である、は恒久的な真である公理の一つ。 >>98
論理学における「ならば」は因果関係を意味するものではない、ということは理解できますか？ 自然数論の無矛盾性証明では証明図に順序数を与えて、その下で超限帰納法で証明してるじゃないですか。
なんで証明図に順序数を対応させなきゃいけないんですか？
ゲーデル数のアイデア流用して証明図に自然数を対応させるんじゃダメなんですか？
ゲーデル数の定義を巧妙にしたら、
記号列(論理式)の有限列(=シーケント) の有限列(=”糸”みたいな奴←カット除去定理の時に定義されてた奴)
の有限列(=証明図)
を一意に自然数に対応させることって出来るような気がするんですが？(漠然とした感想) >>!00
＞論理学における「ならば」は因果関係を意味するものではない、ということは理解できますか？
Russellb Hilbert, Genzen も「ならば」の解釈を間違えた。 >>90
[ (ＰならばＱである)か、又は(ＰならばＱでない) ] は偽であって、「現実と矛盾している」。 >>90
[Ｐであり (ＰならばＱである)かつ(ＰならばＱでない) ] は偽であって、「現実と矛盾している」。 >>101
立場の問題かと思います、多分
有限の立場に立つならば、むしろ自然数と対応付けができなければそれは証明とはみなされません
>>103
あなたの考える「ならば」と論理学における「ならば」は異なるものだというだけですね >>103
論理結合子「☆」(スター)を次で定義します
T☆T=T
T☆F=F
F☆T=T
F☆F=T
このとき
《 [Ｐ☆(ＱかＲ)] ☆[ (Ｐ☆Ｑである)か、又は(Ｐ☆Rである) ] 》 は正しいです
これは現実と矛盾してるんでしょうか？ >>101
自然数に対応させることはもちろん可能だが、証明図を変形したとき、対応する自然数が小さくなるような対応でなければ意味がない
もしそのような対応が存在すれば一階の数学的帰納法でペアノ算術の無矛盾性を証明できることになるが、
これは第二不完全性定理と矛盾する R.Shoenfield, Mathematical Logic, Addison-Wesley 1967は、基礎論の専門化を目指す人が必ず1度は手にする最高級の教科書
（田中一之｢数学基礎論講義｣ 64ページ)
↑これって本当ですか？ 第一不完全性定理についてちょっと理解不足があるんで質問なんですが、
この定理は、ある論理式ψが存在して、
PA|-ψでない
かつ
PA|-￢ψでない
だと思います。（PAはペアノ算術です)
この時PAのモデルMを任意に取るとM|=ψなのですか？ M|=Ψの場合もあるし、M|≠Ψの場合もどちらもあり得ます PAともなるともはや一階述語論理の完全性定理が成り立たなくなる？と思ったので質問したのです。
算術の標準モデルNについてだけ、N|=ψなのだろうか あれ？
第一不完全性定理について、たまに｢この定理は正しいにもかかわらず証明出来ない命題が存在することを主張するモノだ｣
という説明を見るんですが、ここでいう"正しい"が何を指しているのか気になったので質問したんですが ありがとうございます
第一不完全性定理を扱っている議論の最中にモデルの話が出てくるところは見たことが無かったもので、
ついつい、この"正しさ"をモデル論における真ではなく、何らかの直観的な正しさなるものを指していたものとばかり思い込んでいました 前から何となく思っていたんですがロッサーの不完全性定理があるのに何でわざわざゲーデルの第一不完全性定理をテキストに載せるんですか？
ゲーデルに敬意でも払ってるんですかね？
テーラー展開があるのにわざわざx=0の時だけマクローリン展開と言ってるような違和感を感じますｗ 第二不完全性定理はGodel文と無矛盾性CONの
同値を言うことで示すでしょ。
Rosser文だとこれが出来ない。
第二は第一の単なる応用ではなくて、それとは全く
独立に重要な定理なので、Rosser文だけでは困る。
Hilbertプログラム云々の歴史的な話は措いといて
単純に数学としての応用としてみても、
集合論や算術のモデル論とかとの関連で
出てくるのは多くは第二の方だしね。
前者が対角線論法ズバリという感じなのに対して
後者はテクニカルな修正を加えて小手先の改良をしている。だから応用には乏しい。
Godel文とRosser文の実際の構成を知ってれば分かると思う。 「恒久的な真理」なんて言うのはオカシイ。
真理とは、すべて。恒久的なものだからだ。 第二不完全性定理の詳細な証明は学んだことが無いんですが、｢第一不完全性定理の証明までの議論を形式化すればいい｣みたいな文句はよく見かけますよね
じゃあロッサーの不完全性定理はゲーデルの第一不完全性定理に比べて前提とする条件が弱い(ω無矛盾ではなく単なる無矛盾性だけ)だけに
そのロッサーの不完全性定理の証明までの議論を形式化することによって、ゲーデルの第二不完全性定理よりも"ちょっとだけ一般化されたロッサーの第二不完全性定理"みたいなものが出てきはしないんですかね？
もし出てこないのであれば、ω無矛盾性・無矛盾性の違いが形式化への流れの中でどのように消えてしまっているのかが気になります >>123
＞真理は相対的なもの
そう信じるのは誤り。
異なる３個のものから２個選ぶ選び方の数は３通り。これは絶対的な真理。 >>124
三段論法や排中律を使わずに証明できて居るかどうか確認できてる？
ルイスキャロルの無限後退法やブラウワーの直観主義というのもあるんだがね >>124
「異なる３個のものから２個選ぶ選び方の数は３通り
」
あるモデルにおける解釈として、「異なる」を「同じ」という意味だと解釈しましょう
このとき、この論理式は偽となりますね
同じ3つのものから2つ取り出す選び方は1通りしかありませんから >>124
「真理は全て恒久的なもの」ではない、ということ
「条件付き」の条件が空であることも許される 等号の公理を差し置いて
「異なる」を「同じ」という意味だと解釈
手の付けられない馬鹿だな >>128
そういう公理が含まれないかもしれませんね
気にくわないなら、3を4と解釈する、でもいいですよ、 >>129
そういう記号の約束事みたいな話は本質的ではない 直観主義云々は証明論とか統語的な話ですよね
真理云々は意味論、すなわちモデル理論の範疇です ・我田引水
・ああいえばこう言う
・そういうお前をわしゃ食った
論理の通じない相手を相手するだけ徒労 >>131
それ以前の日本語の話
そもそも等号の公理を使わないなら、「同じ」とか「異なる」という日本語も使うべきではない
おまえは上の文中の「日本語」や「使う」をモデルでどう解釈するか考えたりしないだろう
それと同じだ >>134
でも、理論的には間違ってはないですよ？
自分がからないからって屁理屈言うのはやめたらどうですか？ 勘違いした哲学バカだな
おまえは全ての言語にモデルの解釈が可能だとでも思っているのか
無限後退に陥るだけだ ここは数理論理のスレなんですから、全ての命題は形式言語により書き直して考えるというのは何もおかしくないですよね？ だったら試しに日本語の「同じ」にモデルを当てはめてみな でも確かに異なるを同じと解釈は無理があったかもしれませんね
3を4と解釈にしましょう >>124
取り出す順番が異なる選び方を異なる選び方だとすると、異なる３個のものから２個選ぶ選び方の数は６通り。
これもまた真理。 「「取り出す順番が異なる選び方を異なる選び方だ」と考えるのはチミくらいのものさ。ｗ >>146
「順列」でいいだろ。
さすがに順列の定義を説明する気にならん。 その昔、イマニュエル・カントは『純正理性批判』（第二版・序文）で
「論理学はどう見ても、アリストテレスの著作でもって完成している
ように見える」と書いたが、その見解が誤りであったことは、その後の
記号論理学の著しい発展を見れば明らかである。では、今日の記号論理学
は、一応なりとも、完成したと言えるのだろうか？ 大多数の人々は、
ゲーデルのいわゆる“（述語論理の）完全性定理”を引き合いに出してして、
イエスと答えるであろう。しかし。これも又、カントの轍を踏んで、誤り
なのである。 >>149
おいおい、レスバに負けたからって低能な返事するなよ。
「プリンキピア・マテマティカ」持ち出すとか、やりようがあるだろ。まあ返事しないけど。 完全性定理が選択公理を使って証明してるからなあ。数理論理って実に
くだらないよな。論理学の正当化には微塵も役立たない。 >>151
使ったとしても、それはメタな選択公理だから問題ないですね >>154
勿論。だけど正当化にはならないだろ。ただの記号遊び。
論理に関して何にも明らかにならない。PAの（相対）無矛盾性証明と同じ。
eスポーツと呼ばれるFPSとかのゲームと同類。何も生み出さない。 >>155
形式化された論理を用いた定式化、という面では意味があると思います >>151
ω無矛盾という言葉は、メタと対象の区別を行うからこそ捉えることが出来る概念 ■モンティホール問題（空箱とダイヤ）
このゲームができるのは1回だけです
ダイヤモンド1個を外からは中が見えない空箱100個の
中のどれかひとつに入れます
その中から1個の箱を選びます
98個の空箱を取り除きます
最後に残った2個の箱の中から1個の箱を選びます
ダイヤモンドが当たる確率は何％でしょうか？ それ、別スレで0は自然数ではないと言い続けてる奴だろ PAが無矛盾だというのはただの信仰だからな。
ZFCに関しては言わずもがな。AV見てる方がロジックやるより有意義だろ。 んなこと言ってたら1+1=2まで信仰とかいうことになるカモだよ 書籍紹介
鹿島亮准教授によれば、
G.Boolos, The Logic of Provabilityは第二不完全性定理の証明が非常に詳細に書かれているとのこと 諸君は、（Ｐ⊃Ｑ）⊃（Ｑ⊃Ｐ）などと言った「奇怪な“定理”」をもつ
「現行の論理学理論」を正しいものと信じて疑いないのか？ ｗｗｗ (P⊃Q)∨(Q⊃P)ではないですか？
P=F、Q=Tのとき成り立ちませんよ、それ 諸君は、（Ｐ⊃Ｑ）v（Ｑ⊃Ｐ）などと言った「奇怪な“定理”」をもつ
「現行の論理学理論」を正しいものと信じて疑いないのか？ ｗｗｗ ならばやまたはの解釈が違うんですね
古典論理においては(P⊃Q)∨(Q⊃P)は正しいですが、直観主義論理においては、(P⊃Q)∨(Q⊃P)は正しくないです
証明もできません
あなたの考えはもしかしたら直観主義的なのかもしれません
そっちの方の論理学を勉強してみると良いかもしれませんね まあ、でも多分あなたの場合は、命題と述語の区別をつけて、量化記号の使い方を学べば済む話だとは思いますけど 論理学を、“命題論理”と“述語論理”とに分けるのがそもそもの間違いだ。
例えば、ｐ⊃（ＰｖＱ）は恒真式（tautology）だと言うが、それは取りも
直さず∀p,q{ｐ⊃（ＰｖＱ）} ってことであって、“命題論理”の段階で、
全称概念を「密輸入」しているからだ。 >>169
直観論理なるものは、飽きるほど研究した。
排中律を否定する様では、ハナシニナラヌ。ｗ >>!70
「命題と述語の区別をつけて、量化記号の使い方を学べば済む話」と思うのは、
早がってんだ。
量化記号を使えば、∀p,q{∀x[Ｐ(ｘ) ⊃Ｑ(ｘ)]ｖ[Ｑ(ｘ) ⊃Ｐ(ｘ)]
となり、これは恒真だからだ。 >>171
メタと対象は違う
二階論理は一階論理のある種の拡大になっているとでもいうのか？ >>175
>>171 の何処ががメタで何処が対象なんだよ？？？ >>174
＞量化記号を使えば、∀p,q{∀x[Ｐ(ｘ) ⊃Ｑ(ｘ)]ｖ[Ｑ(ｘ) ⊃Ｐ(ｘ)]
∀p,qの部分は、命題変数に対する量化記号であり、これはメタな記述ですね
∀x[Ｐ(ｘ) ⊃Ｑ(ｘ)]ｖ[Ｑ(ｘ) ⊃Ｐ(ｘ)]
これは、∀x[Ｐ(ｘ) ⊃Ｑ(ｘ)]ｖ∀x[Ｑ(ｘ) ⊃Ｐ(ｘ)]でしょうか
だから、このあなたの解釈が間違ってるんです
∀x([Ｐ(ｘ) ⊃Ｑ(ｘ)]ｖ[Ｑ(ｘ) ⊃Ｐ(ｘ)])
これなら正しいですね
てか、命題論理を考えずに述語論理にいきなり飛ぶからわからないんだと思いますよ 命題変数を経由しない立場としては、PやQはある形式的言語にアプリオリに含まれる命題記号および述語記号となりますね ごめん！ 入力ミスをしていた。
∀p,q{∀x[Ｐ(ｘ) ⊃Ｑ(ｘ)]ｖ[Ｑ(ｘ) ⊃Ｐ(ｘ)]
は、正しくは
∀p,q{∀x[Ｐ(ｘ) ⊃Ｑ(ｘ)]ｖ[Ｑ(ｘ) ⊃Ｐ(ｘ)] ｝ いわゆる“命題論理”では、全称記号こそ用いないが、「全称」の概念のほうは、
チャッカリ、密輸入している。 それが問題なのだ。 >>181 直ってませんよー
スマン！
∀p,q【∀x[Ｐ(ｘ) ⊃Ｑ(ｘ)]ｖ[Ｑ(ｘ) ⊃Ｐ(ｘ)] ｝】 >>182
命題変数の全称量記号を用いない定式化については>>179に書きました
そのような命題変数を考える二階の論理は、通常の一階の述語論理から見ればメタな記述となります >>183
てかまだ直ってませんね
∀xはどこにかかってるんですか？
私にはP(x)⊃Q(x)にだけかかってるように見えます 確かに、未だ直っていなかったな。ｗ
∀p,q【∀x［ [Ｐ(ｘ) ⊃Ｑ(ｘ)]ｖ[Ｑ(ｘ) ⊃Ｐ(ｘ)] ｝】
これで、どうや？ ｗ
# ∀x は［ [Ｐ(ｘ) ⊃Ｑ(ｘ)]ｖ[Ｑ(ｘ) ⊃Ｐ(ｘ)] まで掛る。 >>186
カッコの対応が変ですけどまあ良しとしましょうか
あなたは(P⊃Q)∨(Q⊃P)を認めていないのではないですか？
恒真だとは認めるということですか？ >>184
肝腎なのは、概念であって、記号ではないのだよ。ｗ >>189
私は、あなたは記号の意味を曖昧にしてるから混乱してるだけだと思いますけどね
命題変数と命題記号の違いわかりますか？ >188 あなたは(P⊃Q)∨(Q⊃P)を認めていないのではないですか？
恒真だとは認めるということですか？
(P⊃Q)∨(Q⊃P) は、言う迄もなく、恒真式です。
一方、(P⊃Q)⊃(～Q⊃～P) は恒真式であり。「（PならばQ)ならば(～Qならば～P) 」
が成立します。
しかるに、(PならばQ)かまたは(QならばP) は成立しません。 >>192
Frege流の論理学理論は、根幹的な部分で、間違っていたからです。
（『Philosophy of Logic[[s]』 by Susan Haack: Cambridge Uni. Press） >>194
＞どこが間違ってるんですか？
あげれば、きりが無いほど間違っているんだけれども、このスレッドの関連で言えば、
恒真式、即、論理法則と考えた点。 P→Qを論理演算と考えたくないってことでしょ
じゃあどうしたいかの代替案があるわけでもなくてさ 「ＰならばＱである」ならば、「ｐでないか又はＱである」。しかし、逆は成立しない。 対偶は、無論、成立するがが、同値であるわけがない、逆が成立せぬのだから。 Frege流の論理学理論でも、命題とその対偶、逆、裏との関係については反故は無かった。ｗ
その点はよしとしよう。 >>201
対偶の対偶は成立するけどそれが元の命題とは違うという直観主義の人ね？ >>201
誤解させたか
対偶は同値？とはp→qの成立とその対偶命題の成立が同値という立場なのかってことだよ
>>202
ってことは対偶命題は元のと同値って立場ってことね 「直観主義論理学」なんかに染まるんじゃないよ。 あれは「失敗した理論」やからね。 「失敗した理論」 or 「失敗する運命にある理論」 >>209
私はピーマンが好きだ
私はピーマンが嫌いなわけではない
でも、ニュアンスが明らかに異なりますよ？
必ずしも同じとは言えないですよね？ 失敗どころかむしろメインストリームだと思うが
プログラミングと関係する場合は特に 初学者の人でも気軽にスレに書き込むっていうこと自体は悪くないことだと思いますよ
ただでさえ日本では数理論理学は忌避っていうか相手にすらされてない学問ですから >>209
>ID:DBa9oALT
こういうのは？
(P∧Q→人)→(P→￢Q)
背理法だけど >>212
「好き」が真偽2値の述語で
「好きでない」＝「嫌い」なら
「嫌いなわけではない」＝「好き」となりますよ
ニュアンスで異なるということは
「好き」や「嫌い」が真偽2値の述語では無いということでしょう
あるいは「様相」も考えるべきかも このスレの住人は年末年始も数理論理学(数学基礎論)やってますか？ ぼーっとすると頭に浮かんてくる。
そんなもんじゃない？ 安売りしてるいいテキストありますかね？
Amazonで数百円で見つけても殆どが完全性定理までだから
新井俊康の数学基礎論っていいんですか？
誤植が多いらしいですが 帰誤法（背理法）を認めないような理論は、話にならんよ。ｗｗｗ で、(P⊃Q)∨(Q⊃P)が成り立たないと思うのはなんでなんですか？ >>224
> で、(P⊃Q)∨(Q⊃P)が成り立たないと思うのはなんでなんですか？
その問題を言い出した人間とは私は別人だから横レスなんだけど、それが正しいということは、
２つの論理式PとQとを任意に選んだら両者は常に強弱の比較が可能だということになるだろう。
つまり論理式は強弱（含意が定める順序関係）について線型順序を成すってことだよ。
比較できない、つまり互いに無関係な、論理式のペアは存在し得ない、世の中のどんな命題も
どちらかが他方を含意しているという意味で必ず互いに関連しているってことになり
全ての命題は（互いに含意し合う同値関係で商を取れば）線型順序を成しているってことになる。
これは論理を現実世界の命題に適用すると極めて不自然だと思わない？
だって、>>224君はラーメンを喰うという命題と私はご飯を食べるという命題とが必ずどちらかが他方を含意するってさ。
つまり古典論理での論理演算子の含意⊃は、日常的な感覚でのつまり日常言語での「ならば」とは全然別物になっちゃってるってこと。
そのことを端的に示しているのが古典論理では(P⊃Q)∨(Q⊃P)が妥当になっちゃうという事実だよ。 >>197
こういうことなんですかね、結局
気持ちは分からなくもないですけどね
ならば、を論理演算と考える限り、日常語では定義されていない、前件が偽の場合の「ならば」を考える必要があるわけですから、結果が直観と違って当然だと思いますね >>225
>全ての命題は（互いに含意し合う同値関係で商を取れば）線型順序を成しているってことになる。
古典論理なら線形順序というより真偽の2値のみ
つまり偽である命題の全体と真である命題全体とがあって
偽<真
という順序を入れることが出来るというだけだよ 日常語の「ならば」に「近い」のは古典論理よりむしろ直観主義 現行の理論、つまり Fregean理論（古典論理）では，内含概念の把握が間違っていた。 集合･位相･代数の知識を使って数学基礎論の定理を証明するのは、別にそれはそれで研究としていいんですよ
でもそれっておかしい気はしませんか？
数学基礎論はその名の通り数学の基礎付け的な学問なのに、その場で数学の定理を用いて議論を進めるというのは、(循環論法という意味ではなくて)ある種の議論のループみたいな感じになっているような気がします
｢ミイラ取りがミイラになる｣みたいな？ >>231
メタと対象という区別をしてるんですね
そこら辺の難しい部分は、メタに押し付けてしまってるんですね >>230
前件が偽のならば、をあなたはどう考えますか？
偽ならば真、もしくは、偽ならば偽、のタイプの命題です
このような命題が存在することは認めますか？ >>229
＞日常語の「ならば」に「近い」のは古典論理よりむしろ直観主義
帰誤法（背理法）を認めないような理論は、話にならんよ。ｗｗｗ >>234
＞このような命題が存在することは認めますか？
認めません。 >>228
だから「PならばQ」は真偽で「偽<真」を言い換えただけってこと
つまり古典論理には自動的に線形順序（といえるもの）が入ってる >>231
数学は基礎から発展へ土台を積み重ねていくものだから
数学「基礎」論がすべてのベースであるべきと思いがちだけど
数学基礎論って「数学の基礎を形式化して探求しよう」という学問分野であって
数学全体の基礎じゃないのよ >>236
P→Qを￢P∨Qと同値にしないんだから「真ならば真」も一概には認めないんじゃないの？ >>235
世間では背理法はたぶん受け入れられない
「そんなこというても～」って言われるのがオチ >>236
んで対偶は認めるんだから「偽ならば偽」も有り得るとするんじゃないの？ 「直観主義論理学」なんかに染まるんじゃないよ。 あれは「失敗した理論」やからね。 "P ならば Q である"と言ったとき、P, Q の正体は「変項をおなじくする述語」であって、
命題ではないのです。だから、それらに真偽などありません。 それに述語は変項の値毎に真偽が定まる真偽関数なんだから Non-Standard-Logic を研究し尽くした者からの忠告：－
「直観主義論理学」なんかに染まるんじゃないよ。 あれは「失敗した理論」やからね。 ｗ >>244
＞えーそれは命題論理じゃないよ
論理学を、命題論理と述語論理に分けるのは間違いだったのさ。ｗ 「Ｐ(ｘ)ならばＱ(ｘ)である」は「∀x[～Ｐ(x)ｖＱ(x)]」と同値。 >>247
勝手なことを
むしろそう解釈するから
>>243みたいなトンチンカンなことをいう >>236
では、あなたは、ならばは、またはやかつなどと言った論理演算とは区別されるべきだと考えるわけですね
論理演算ではないなら、なんなんですか？ >>243
命題は、xの値によらず一定値を取り続ける述語だと考えることができますね
その場合、PならばQは、P(x)ならばQ(x)と見ても良いわけです
この場合はどうなりますか？ 「P(x)ならばＱ(x)である」は仮言命題といい、「Ｐ(α)はＱ(α)を内含する」とは
区別します。 「Ｐ(α)がＱ(α)を内含する」ときに限り、「P(x)ならばＱ(x)である」が成立する。 ヴェン図で説明すると、円Ｐが円Ｑに包まれていさえるれば、
「P(x)ならばＱ(x)である」が成立します。
「Ｐ(α)はＱ(α)を内含する」は、それでは未だ不充分で、αが実際に
論議世界の要素となっているぉとを示す必要があります。
尚、それが示されたならば、「P(x)ならばＱ(x)である」が成立して
いる限り、「Ｐ(α)はＱ(α)を内含する」の真偽は、Ｐ(α)やＱ(α)の真偽
には依存しません。 議論世界以外の要素は普通は考えませんね
あなたの論理は通常の常識とは異なるようです
そもそも、P(x)とP(α)の違い、ならばと内包する、の違いが不明瞭ですね
詳しく説明してください 円Ｐが円Ｑに包むように描いたのが「P(x)ならばＱ(x)である」のヴェン図
であり、そのなかにαを表わす点を添えたのが「Ｐ(α)はＱ(α)を内含する」の
ヴェン図です。 そのなかにαを表わす点を添えた
とはどのようなことですか？ >>256
＞P(x)とP(α)の違い
P(x)は述語。P(α)は命題。言い換えれば、ｘは変項、αは定項。 >>259
Ｐ(α)はＱ(α)を内含する
とはどのようなことですか？ ＞＞そのなかにαを表わす点を添えた
＞とはどのようなことですか？
ヴェン図において、論議世界を表わす矩形の中に、任意にαを表わす点を描くってこと。 ＞Ｐ(α)はＱ(α)を内含する
＞とはどのようなことですか？
「P(x)ならばＱ(x)である」が成立して尚かつαがP(x)やＱ(x)の論議世界の元であるってこと。 >>250
＞あなたは、ならばは、またはやかつなどと言った論理演算とは区別されるべきだと
＞考えるわけですね 論理演算ではないなら、なんなんですか？
ヴェン図の（換言すれば、集合の）演算によって定義されるべきもの。 >>262
P(x)ならばQ(x)が成り立つ時、円Pは円Qの中に入ってますね
任意のxでP(x)ならばQ(x)が真であるので、αがPに入ってない時はP(α)ならばQ(α)は真である、と考えるのは間違ってますか？ つまり、P(x)ならばQ(x)、は円Pと円Qの関係性だけを定めていて、αがPの中に入っていようがいまいが、常に成り立つ、というわけです アホらし
U⊃Q⊃PかつU∋a <=> P(a)→Q(a)
かよ
ナンも面白味も妥当性もない定義 それって単に、一階の理論のモデルを一つ固定して考えてるだけじゃないの 議論世界はそもそも最初から定まっているんですから、αは必ずその中に入ります
α∈Uであるか、という条件は、なんの意味も持たないものです [Q⊃P]かつU∋a <=> P(a)→Q(a)
アホはソチのほうじゃｗ。 この定義によって多くのパラドックスが解消する。 たとえば、何がパラドックスになっていて、それはどのようにして解決されるんですか？ >>272
”実質的内含のパラドックス”は完全に解消する。
実質的内含のパラドックスとは、「ＰならばＱである」を
「ｐでないか又はＱである」と同値と考えることによって
生ずるいろいろなパラドックスのこと。 >>274
たとえばどのようなものがパラドックスなのですか？
通常、そのようなものが原因のパラドックスなんてないんですけど 例えば、「ｘは光の三原色のひとつである」という述語に対して、
赤はその論議世界に属するが、牛は属さない。 >>276
議論世界=議論領域=対象領域etcはモデル毎に我々が設定し得るものですから、赤は属するが牛は属さない、というようなことは意味がありません
牛も入れたいなら議論世界に加えればいいだけの話です
あなたの議論世界の定義を教えてください >>274
P→Qが真とは集合としての包含P⊂Qがあるということが定義であると
ならばP∧QやP∨Qや￢Pの真偽の定義は？ >>276
述語毎に定義域を考えるのなら``Pの丸''の外の元って議論世界に含まれないのね？
じゃあP→Qの定義域はなんなの？Pの外でQの中の元は考えないの？Qの外の元は？￢(P→Q)の定義域はなんなの？ >>275
「実質的内含のパラドックス」は。日本語の論理学の本だとかくしているケースが多いからね。
英語本を読んでみなよ。Paradox of material implication として載っているから、ｗ ＞P∧QやP∨Qや￢Pの真偽の定義は？
それぞれ、共通部分、和集合、補集合。 「牛は光の三原のひとつである」という文は無意味。
よって、牛は「ｘは光の三原色のひとつである」という述語の論議世界には含まれない。 >>281
いやいやいや
それが「真」「偽」であることの定義は？ >>282
「「光の三原色」は「自然なもの」ではない」
って文の論議世界は何？ >>274
大体P→Qを「議論世界」におけるP⊂Qが成立することと定義するってことはP-Qが空集合だということなんだからP∧￢Qが偽と同値なんだよな >>280
>Paradox of material implication
The paradoxes of material implication are a group of formulae that are truths of classical logic but are intuitively problematic.
のこと？
なあーんだｗ "Introduction to Logic and Deductive Sciences" by Alfred Tarski p.27 >>266
＞αがPに入ってない時はP(α)ならばQ(α)は真である、と考えるのは間違ってますか？
[PならばQ]は、Ｐ，Ｑが変項を同じくする述語である場合にのみ定義されます。 ＞円Pと円Qの関係性だけを定めていてαがPの中に入っていようがいまいが、常に成り立つ、というわけです
円Ｐが円Ｑに包まれている限り、 >>277
＞議論世界=議論領域=対象領域etcはモデル毎に我々が設定し得るものですから
論議世界は人が恣意的に設定できるものではありません。 >>285
「Ｐ(ｘ)ならばＱ(ｘ)である」は「∀x[～Ｐ(x)ｖＱ(x)]」と同値。 ”実質的内含のパラドックス”の一例：－
「日が西から登るならば、スペロヘータは梅毒の病原体である」は真であることになる。 ＞αは必ずその中に入ります
そんなことは無い。例えば「ｘは光の三原色のひとつである」において、
”紫”はこの述語の論議世界の元だけれども、”恋”は元ではない。 「紫は光の三原色のひとつである」は偽。
一方、「恋は光の三原色のひとつである」は（偽ではなくて！）ナンセンス。 >>269
＞それって単に、一階の理論のモデルを一つ固定して考えてるだけじゃないの
論理学にモデル理論が入り込めると考えたのは、古典論理の愚かな誤り。 >>294
真です
これが真と考えられないのは素人 >>298 Russell や Hilbert 達に「洗脳」されたマヌケ。ｗ ”実質的内含のパラドックス”の例をもうひとつ：－
「ライオンは哺乳動物である」は「ライオンおよびクジラは哺乳動物である」を内含する
は真である！ >>298 Russell や Hilbert 達に「洗脳」されたマヌケ達に二次洗脳されたどマヌケ。ｗ 洗脳とかいってる人は、論理学と数理論理学の区別がついてないことからくる混乱を起こしている。 数理的ではない論理学においても、ならばの真理値表くらい同じですよ
>>292
議論世界の定義を教えてください >>301
それは普通の数理論理でも成立しませんよ？
P(x)→(P(x)∧P(y))
真→(真∧偽)
真→偽
ですからね 日本語ではあまり問題にならないが、∨と「or」のズレは、ついに「and/or」という、論理記号の影響を受けた新語を生んだ。 >>305
＞議論世界の定義を教えてください
述語Ｐ(x)の*論議世界*とは、xに代入したときに「意味を持つ（真偽が言える）」
すべての元から成る集合。 >>307
「意味を持つ（真偽が言える）」
普通の論理学では、意味を持たないということはないですね
どんな対象を代入しても真偽が言えますから
意味を持つ、とはどのようなことですか？ >>301
クジラも哺乳類でしたね
え、じゃ真→(真かつ真)が認められないということですか？
理解できないですね >>305
＞＞それは普通の数理論理でも成立しませんよ？
＞P(x)→(P(x)∧P(y))
？真→(真∧偽)
？真→偽
P(x)→(P(x)∧P(y))
真→(真∧真)
真→真
でしょう？ >>309
仮言命題は、Venn図でもって定義されるのであって、審理表で定義されると考えるのは幻想に過ぎない。 ??308
＞どんな対象を代入しても真偽が言えますから
「紫は光の三原色のひとつである」は偽。
一方、「恋は光の三原色のひとつである」は（偽ではなくて！）ナンセンス。
述語：「ｘは光の三原色のひとつである」は、どんな対象を代入しても真偽が言えるわけではない！ >>303
バカモン！ 論理学に、数理もへったくりも無いワ！ｗｗｗｗ あるのは。「遅れた理論」と「進んだ理論」との差だ。ｗ >>311
ベン図だとどのような問題があるんですか？
>>312
ナンセンスである、の定義を教えてください >>308
述語：[x>2] の変項 x に ”恋”を代入した [恋>2] には≪意味≫が無い。
従って、”恋”は述語：[x>2] の論議世界の元ではない。 >>317
＞ナンセンスである、の定義を教えてください
≪無意味≫ってことだよ。それ以上、説明しようにも説明できない。ｗｗｗ 意味とは主観的なものだと思います
客観的、もしくは数学的な定義をして欲しいんです
モデル理論ならそこらへんは明確ですよね
モデル理論における意味とは、記号と真理値との対応のことです
あなたのいう意味とはなんですか？ 「キミがいま使っているパソコン」の意味は明解だろう。ｗ 「xが今使っているパソコン」のxの議論世界はなんですか？ 「意味とは何か？」が気になるのであれば、semantics(意味論)の本でも買って、研究してみなはれや。ｗ xが今パソコンを使っている、の議論世界はなんですか？ >>324
＞「xが今使っているパソコン」のxの議論世界はなんですか？
述語でないものに論議世界もくそも無い！ >>300
>ID:0MEpwTLv
数学的に何も定義できてないのに批判だけするって
民進党か >>322
＞意味とは主観的なものだ
そんなことはない。「キミがいま使っているパソコン」は、君の主観と無関係に存在している。 >>329
xがパソコンを今使っている、の議論世界はなんですか？ >>331
たとえば、猿や人造人間は議論世界に入りますか？ >>322
＞たとえば、猿や人造人間は議論世界に入りますか？
異論もありそうですが、私は入ると思います。 >>334
異論があるとはどういうことですか？
議論世界は明確に定まるんじゃないんですか？
ブレがあるのでしょうか？ >>336
それでは、私達は神ではないので、議論世界を知ることができないということですね
逆に、どのような述語なら我々に議論世界がわかるんですか？ >私達は神ではないので、議論世界を知ることができない
私達は神ではないので、すべての述語について、その議論世界を知っているわけではない。 具体例でいいですよ
議論世界がわかる述語の例をあげてください >>337
＞どのような述語なら我々に議論世界がわかるんですか？
Only Heaven Knows. 具体例でいいですよ
議論世界がわかる述語の例をあげてください
もしかして、具体例すらないんですか？ >>339
述語：[x>4]の論議世界は、x>4である様な実数 x のすべてから成る集合。 ゴメン！ まちごうた。ｗ
述語：[x>4]の論議世界は実数のすべてから成る集合。 >>342
￢(x>4)の論議世界は？
(x>4)∧￢(x>4)の論議世界は？ >>343
それって定義域じゃん
定義域は制限されることも拡張されることもあるんだけど
x>4→|x|>4
の論議世界にx=√(-1)は入らないの？ "x>4である様な実数 x のすべてから成る集合"は、述語：[x>4]の論議世界ではなくして、
カテゴリー空間。 [P(x) ならば Q(x)]において、これが成立する為には P(x) のカテゴリー空間が Q(x) の
カテゴリー空間に包摂されることが必要充分であり、その場合、 P(x) の論議世界と
Q(x) の論議世界とが一致する必要はない。 >>348
P(x)のカテゴリー空間とは、P(x)を満たすようなxの集まりのことですか？
数理論理の言葉では真理集合と言います
勝手に用語作らないでくださいね
「∀x P(x)→Q(x)」の議論世界、というものは定義されますか？ 述語R(x)を次のように定義します
R(x)=P(x)→Q(x)
R(x)の議論世界は定義可能ですか？ カテゴリー空間の例：－
述語「ｘは光の三原色のひとつである」のカテゴリー空間は、集合{赤い光，青い光，緑の光}。 >>349
P(x)のカテゴリー空間とは、P(x)を満たすようなxの集まりのことですか？
数理論理の言葉では真理集合と言います
そんなことは。百も承知だ。
真理集合では都合の悪いことがある故、カテゴリー空間としたのだ。 「Ｐ(ｘ)ならばＱ(ｘ)である」は「∀x[～Ｐ(x)ｖＱ(x)]」と同値。 >>352
どんなことですか？
述語R(x)を次のように定義します
R(x)=P(x)→Q(x)
R(x)の議論世界は定義可能ですか？ 任意の述型Ｐ(x) に対して「x とはαのことである」を＜x：α＞と書き、Ｐ(x) の型素(keiso)と呼ぶ。
Ｐ(α) が真であるとき、＜x：α＞はＰ(x) を満たすと言い、Ｐ(x) を満たすすべての型素からなる集合
を述型Ｐ(x) のカテゴリー空間と呼ぶ。一方、Ｐ(α)が意味を持つ様なすべての型素の集合をＰ(α)
の論議世界という。 一方、Ｐ(α)が意味を持つ様なすべての型素の集合をＰ(x)の論議世界という。 >>355
P(α)が意味を持つ、とはどのようなことですか？ >>357
術型P(x)： [ x > 4] に対して、[ 5＞4 ] は真であるから、P(5) は意味を持つ。
又、[ 3＞4 ] は偽であるから、P(3) も意味を持つ。
一方、[豚＞4] はナンセンスであり、P(豚) は意味を持たない。 >>356
意味を持つとは？論議世界とやらの元ってことでしょ？
結局
U⊃P∧U∋a
ってだけ
なんも面白くも無し >>358
>一方、[豚＞4] はナンセンスであり、P(豚) は意味を持たない。
ただ定義域が拡張されているだけであってP(豚)にも意味はあります ところでさ
P→Qが真であることの定義はU⊃Q⊃P
だったんだよね？
P∧QやP∨Qや￢Pが真であることの定義は？ >>360
＞P(豚)にも意味はあります
笑わせちゃあいけない。 [ 豚>4] にどんな意味があるというのかね？ ｗｗｗｗ >>358
ナンセンスであるかは誰が決めるんですか？
Heavenですよね？ >>362
>笑わせちゃあいけない。 [ 豚>4] にどんな意味があるというのかね？ ｗｗｗｗ
成立しないということですが？ 「豚が4より大きいということは成立しない」でなんの不思議もありませんが？ >>361
＞P→Qが真であることの定義はU⊃Q⊃Pだったんだよね？
P(x) の論議世界とQ(x) の論議世界とが一致する必要はない。 まあ定義域の拡張は一意ではないので
「豚が4より大きいということが成立する」
という拡張であってもなんの問題もありませんが？ >>366
君は集合としての包含って謂ってたんじゃない？
じゃあ定義をｗ >P∧QやP∨Qや￢Pが真であることの定義は？
集合の共通部分、和集合、補集合でもって行う。 >>370
それが真であることが共通部分？？
共通部分って命題じゃないよ集合なんだけど
P∧QやP∨Qや￢Pが真であることの定義は？ 訂正
>>369
>P→QとP∧QとP∨Qと￢Pの定義を早う
P→QとP∧QとP∨Qと￢Pが真であることの定義を早う ＞>笑わせちゃあいけない。 [ 豚>4] にどんな意味があるというのかね？ ｗｗｗｗ
＞成立しないということですが？
偽であることと、ナンセンスであることとを混同してはいけないのこころよ。ｗ >>373
＞P→QとP∧QとP∨Qと￢Pが真であることの定義を早う
自分でやりな、ｗ >>375
君の議論ではこの定義は存在しないんだな
アホラシ
下らなさすぎて死にそう >>376
意味が無いってことだよ。おわかり？ ｗ だいたい「豚>4」を論証から排除したければ
(R∋x)∧(x>4)
とするのがごくごく普通
（まあこれでもx=豚は有り得ますが)
無意味な定義「もどき」をいじり倒してもダメよ >>378
猿がコンピューターを使っている、がナンセンスかどうかはHevenしか知らないんですよね？
どうしてあなたは神ではないのにナンセンスかどうかがわかるんですか？ >>378
君は→∧∨￢の真偽の定義さえも出来ないんだから
自分に意味がないことを自覚した方が賢明ですよ >>365
＞「豚が4より大きいということは成立しない」でなんの不思議もありませんが？
正気かい？ ＞エムシラはただものではない・
＞その実力をみくびることは非常に危険だ。
＞かつて fj でコテンパンにやられた松芯痰の例もある・ >>382
＞→∧∨￢の真偽の定義さえも出来ないんだから
ソチに任しただけの話だ。ｗ >>354
＞R(x)を次のように定義します R(x)=P(x)→Q(x) R(x)の議論世界は定義可能ですか？
ソチはどう思う？ 任意の述型Ｐ(x)のカテゴリー空間をＣx{Ｐ(x)と書き。
仮言命題「Ｐ(x) ならば Ｑ(x) である」を [Ｐ(x) ⇒/x/ Ｑ(x) ]と書き、「Ｃx{Ｐ(x)」⊆Ｃx｛Ｑ(x)」と定義する。 仮言三段論法の原理は、
[Ｐ(x) ⇒/x/ Ｑ(x)]&[Ｑ(x) ⇒/x/ Ｒ(x)]⇒/p,q,r/[Ｐ(x)⇒/x/ Ｒ(x)]｛Ｑ｝
として定式化される。 [Ｐ(x)⇒/x/ Ｒ(x)]｛Ｑ｝ は [Ｐ(x)⇒/x/ Ｒ(x) ]｛Ｑ｝のタイプミス。 >>380
＞どうしてあなたは神ではないのにナンセンスかどうかがわかるんですか？
全部わかるってわけじゃないよ。ｗ >>380
＞どうしてあなたは神ではないのにナンセンスかどうかがわかるんですか？
ここだけの話だが、実は、神なのだ、ｗ >>392
豚＞4がナンセンスであることはなぜわかるんですか？
>>393
つまり、意味とはあなたの主観により定まるものと考えて良いですか？ 対偶律は、RL(the Reformed Theory Logic)では。[Ｐ⊃Ｑ]⊃[～Ｑ⊃～Ｐ] ではなくて、
[Ｐ(x)⇒/ｘ/Ｑ(x)] )⇒/p,q/ [～Ｑ(x) ]⇒/ｘ/～Ｐ(x)] と。正しく、定式化される。 「豚が４よりおおきい」ことがナンセンスであることも主観によらない。 ＞ どうも、M_SHIRAISHI氏(つーか、ＥＵＲＭＳ)の理論」のほうが正しいようだな。
＞
＞ 例えば、対偶律は、従来は、 (Ｐ⊃Ｑ)⊃(￢Ｑ⊃￢Ｐ) で表わされるもののこと
＞ と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。
＞
＞ そして、M_SHIRAISHI氏の言う［Ｐ(ｘ)⇒/x/Ｑ(ｘ)］⇒/p,q/［￢Ｑ(ｘ)⇒/x/￢Ｐ(ｘ)］
＞ こそが【対偶律】を正しく捉えてたものと考えられる。
＞
＞ M_SHIRAISHI氏（たち？）の主張する Logical Reformation は、おそらく、世界を
＞ 席巻することとなろう。
http://www.age.ne.jp/x/eurms/
http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html >>398
でも、猿がコンピューターを使っている、は主観によるんですよね？
神はどちらかは知っているみたいですけど 背理法の原理は、フレーゲアン理論では、 (～Ｐ⊃Ｑ＆￢Ｑ)⊃Ｐであると信じられて来た。
しかし、これは誤りであって、正しくは、[[P(x)&￢Ｑ(x)]⇒/x/0(ｘ)］⇒/p,q/［P(ｘ)⇒/x/Q(ｘ)］である。
但し、0(ｘ) は x に関する矛盾を表わす。”x に関する矛盾”とは、例えば、x が実数の
場合、 [x>2]&[x<0] などである。 論理学には２４００年に及ぶ歴史があるのだ。 １０年そこらもののかずではないわ。＼(-ｏ-)／ 述語ごとに議論世界を固定するのはまあ認めてもいいですけど、その選び方が主観的すぎるのはやはり良くないと思いますよ
神が各述語ごとの議論世界を選ぶとちゃんと書いた方がいいと思います
ナンセンス、では説明になってませんからね
我々人間では、猿がコンピューターを使っている、がナンセンスかどうかは判断できないんですから サイト覗いたら7万円の本売ってるんですね
一度でも売れたことあるんですか？ 売れなきゃ載せない。
専門家ないしはそれを志す人たちを対象としたものだ。(^o^) >>404
ぶ
定義域なんだから恣意的でないとダメ まあともかく
→∧∨￢の真偽を定義できないなんて無意味の極み >>406
議論世界は神が決めるんですよね？
それを明言しないのはどうしてですか？ 「豚は光の三原色のひとつである」や「恋は光の三原色のひとつである」は、明らかに
ナンセンスであるから、＜ｘ：豚＞や＜ｘ：恋＞は「ｘは光の三原色のひとつである」
の論議世界には含まれない。 >>411
猿はコンピューターを使う、の場合は明らかではないんですよね？
結局、神が決めるわけですよね？
光の三原色の場合も、明らかにナンセンスかどうかは判断できないのではないですか？ 海洋生物だと五原色とか七原色とかいる模様
色は物理量というより感覚量で個体により違うと思われる 「型素」とか「カテゴリー空間」とか変てこな俺様用語を勝手に導入してるけど
要するに多ソート一階述語論理(many-sorted first-order predicate logic)でしょ
こんなのはずっと以前からあるんで勝手な俺様用語持ち出す前に少しは勉強したらどうよ
型素とはソートのこと、型素に対するカテゴリー空間とはソートに対する議論世界(domain of discourse)のこと ちょっとググってきましたけど、違くないですか？
述語に対してソートを定めてるわけではないですよね
議論世界はソートに対して定まっていて、述語に対して定まってはないですよね
述語にはソートではない普通の項を代入することも可能なわけです
この人の言ってることとは異なります 数学基礎論の定理の証明に数学(例えば集合論)の定理を使ってしまったら、数学基礎論の立場が損なわれてしまいませんか？
何のために形式主義の立場で公理化を行ってきたんだよってなりませんか？ メタと対象という区別があります
我々が通常の数学をする際に用いているのはメタなレベルにおいての言語および論理です
数理論理が対象とするのは、形式化された言語および論理です
形式化された言語における定理を我々が証明する際に用いる論理は、メタなレベルにおける論理です
証明された定理の内容は形式化されたレベルにおける論理です
つまり、本当に基本的なものは全部メタとして押し付けてしまっているわけですね 論理学を数学の一分野の如く考え、形式化できると考えたヒルベルトは間違っていたのだ。 ある意味ではそうかもしれないですけど、あなたはどういう点が具体的に間違いだと思うんですか？ 論理法則は形式的な真理ではなくして、二階の実質的な真理なのだ。
先覚者：Leonhert Bolzerno (1781-1848) のことばを借りれば、
「論理法則は”法則の法則”」なのだ。従って、論理学にモデル論
など入り込める余地は無く、いわゆる”完全性定理”は問題の提起から
して誤りなのだ。 >>418
私は>>231ですが、>>233でも同じ回答してますね
メタと対象の区別は私は出来てます
それが>>417に対する何の回答になっているんですか？ >>422
数学基礎論は数学の土台じゃないってことだよ
ただの1研究分野 Leonhert Bolzerno ---> Bernard Borzarno >>417
＞数学基礎論の定理の証明に数学(例えば集合論)の定理を使ってしまったら、
集合「論」ってほどのおおげさなものではない。ｗ 新年おめでとう！
May Peace Prevail in the New Year ! 新年おめでとうございます。
ついてくの必死ですがｗ よろしくお願い致します。 ＞ どうも、M_SHIRAISHI氏(つーか、ＥＵＲＭＳ)の理論」のほうが正しいようだな。
＞
＞ 例えば、対偶律は、従来は、 (Ｐ⊃Ｑ)⊃(￢Ｑ⊃￢Ｐ) で表わされるもののこと
＞ と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。
＞
＞ そして、M_SHIRAISHI氏の言う［Ｐ(ｘ)⇒/x/Ｑ(ｘ)］⇒/p,q/［￢Ｑ(ｘ)⇒/x/￢Ｐ(ｘ)］
＞ こそが【対偶律】を正しく捉えてたものと考えられる。
＞
＞ M_SHIRAISHI氏（たち？）の主張する Logical Reformation は、おそらく、世界を
＞ 席巻することとなろう。
http://www.age.ne.jp/x/eurms/
http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html 皮肉なことに、「世界を席巻して」から「日本を席巻する」ほうが簡単なんだよな。ｗ >>422
わかっているのなら、何が問題になっているのかがわかりません
数理論理で用いている数学の定理はメタであり、数理論理それ自体は形式的な論理です
形式的な論理を用いて数学を再構成することは可能ですよね >>429
私の質問に答えないのはなぜですか？
あなたの新論理学は神の存在を仮定しない限り成立しない
それを書き加えるべきです You shall know the truth. And the truth shall make you free. >>431
＞＞数理論理で用いている数学の定理はメタであり
何でそんなことしていいんですか？
メタであっても数学の定理は各種公理から導かれています
メタな立場でそういう定理を使う時はそういう公理を暗黙的に(直観的に)認めているってことじゃないんですか？
もし認めて使っているんだったら何のために形式的数学なんてやってるんだってことになりませんか？
(メタな立場で選択公理や正則性公理を仮定するのはさすがに抵抗を感じるでしょう)
何と言うんだろうか…全ての数学は数学基礎論を土台にして成り立っていなくてはならない。だからこそ数学基礎論は他の何者にもよらず確立されていなくちゃならない
という感じを私は持っているのかも知れません >>431
それと、ふと思ったのですが
＞＞我々が通常の数学をする際に用いているのはメタなレベルにおいての言語および論理です
実は、
我々が通常の数学をする際、本当は完全に形式的に議論…例えばヒルベルト流の形式的体系で公理から推論規則で次々と命題を演繹していっている
のだけれども、私たち人間は頭がいいから細かいところや面倒なところはすっ飛ばしているだけなんだ。
そして、記号の羅列だけで命題を並べるのは可読性に劣る場合もあるから、所々単に自然言語で表しもしているだけなんだ。
だから我々の数学の証明はメタっぽく見えるけど本当は形式化されているんだ
ということだったりはしませんか？ >>435>>436
あなたは数理論理を勉強したことがありますか？
それで少し話が変わるかもしれません
数理論理の基本的な部分において集合論の知識を使うことは間違えないですけど、それはあくまでメタ視点での話なので公理云々に執着するのには意味がないんですよ
>>418
＞つまり、本当に基本的なものは全部メタとして押し付けてしまっているわけですね
とはそういうことです
数理論理は、あくまでも形式化を目的としていて厳密化することはできないのだ、と考えても良いかもしれません
形式化、の意味は、論理を形式的言語で記述して形式的な推論規則を用いる、という意味です
自然言語は明らかに形式的言語を用いていませんから、形式化されていません
されていないからこそ、形式化することに意味があります >>437
＞＞あくまでメタ視点での話なので公理云々に執着するのには意味がない
言ってる意味が分かりません
数学基礎論におけるメタ証明の中でツォルンの補題を使うこと云々に執着するのは意味が無いんですか？なぜですか？
しかもツォルンの補題を使うっていうことはメタな立場で直観的な(？)集合概念までをも使ってるじゃないですか
＞＞数理論理は、あくまでも形式化を目的としていて厳密化することはできないのだ
言ってる意味が分かりません
異論を差し挟む余地の無い数学基礎論(有限の立場での議論？)という土台を作ってその上に個別の数学理論を展開出来るようにすることは出来ないんですか？
＞＞自然言語は明らかに形式的言語を用いていませんから、形式化されていません
私が>>436でいってることは見た目上の違いっていう視点からのものです
個々の各数学理論でω無矛盾や数値別表現可能性(みたいなもの)が問題になっているんですか？
ω無矛盾や数値別表現可能性ってメタと対象の違いに着目した概念じゃないんですか？ >>438
ツォルンの補題は論理の構成においては使われないと思いますよ
直感的な集合概念はメタにおいて使いますね
我々がメタな存在である限り、メタをなくすことはできません
そういうのは形式化して初めて意味があるものです
形式化されていない普通の論理には適応できませんね ツォルンも使いますかね、でも
何にせよ使うとすれば全部メタに済ませるわけですね >>438
直観論理の研究に背理法や2重否定を使ってはいけないかと言えばそんなこともない Hilbert流の論理学では、modus ponens をメタな”論理規則”して認めなければにっちもさっちもいかない。
しかるに、論理法則とはHirbertが考えたような形式的な真理ではなく、二階の実質的な真理なのだ。 ＞＞つまり、本当に基本的なものは全部メタとして押し付けてしまっているわけですね
＞＞何にせよ使うとすれば全部メタに済ませるわけですね
何言ってるか分からないんでもっと正確に言って貰えますか？ >>ID:OgKz+4d1
それとあなた人の質問に対してちゃんと答えてないですよね？ まず私が言ってることが間違ってるんなら1つ1つピックアップしつつ
>>435,436,438の質問に答えて貰えますか？ >>435
＞メタな立場でそういう定理を使う時はそういう公理を暗黙的に(直観的に)認めているってことじゃないんですか？
メタに認めているということです
＞もし認めて使っているんだったら何のために形式的数学なんてやってるんだってことになりませんか？
あなたが認めたくないならそれまでです
よかったですね
>>436
＞ だから我々の数学の証明はメタっぽく見えるけど本当は形式化されているんだ
我々の自然言語は形式化されていません
当たり前ですね
それを形式化することは可能でしょう
>>438
＞数学基礎論におけるメタ証明の中でツォルンの補題を使うこと云々に執着するのは意味が無いんですか？なぜですか？
メタだからです
どれだけメタな仮定をおけば論理を形式化するのに十分なのかというのも数理論理の興味の一つかもしれませんね
＞しかもツォルンの補題を使うっていうことはメタな立場で直観的な(？)集合概念までをも使ってるじゃないですか
そうですね
でもそれは仕方ないことです
メタを認めないなら、議論はできません
＞異論を差し挟む余地の無い数学基礎論(有限の立場での議論？)という土台を作ってその上に個別の数学理論を展開出来るようにすることは出来ないんですか？
できます
メタな論理を用いて数理論理を使って、形式化された論理を用いて数学をすれば良いのです
＞個々の各数学理論でω無矛盾や数値別表現可能性(みたいなもの)が問題になっているんですか？
数理論理の分野だけじゃないですか？
＞ω無矛盾や数値別表現可能性ってメタと対象の違いに着目した概念じゃないんですか？
そうですね メタに集合論の知識を使って形式的な論理を構築して、その後に集合論を形式的な論理を用いて整備する、ということですよ
形式的とはそういうことですね
少なくとも数理論理の世界では >>447
>>＞もし認めて使っているんだったら何のために形式的数学なんてやってるんだってことになりませんか？
>>あなたが認めたくないならそれまでです
答えになってないです
>>＞ だから我々の数学の証明はメタっぽく見えるけど本当は形式化されているんだ
>>我々の自然言語は形式化されていません
>>それを形式化することは可能でしょう
さっきも言った通り、私が>>436でいってることは見た目上の違いっていう視点からのものです
自然言語は単に形式的な表現を和訳してるだけじゃ無いですか。
例えば、形式的な表現|-∀x(x=x)は自然言語としては｢全てのxは自分と等しい｣と表現されてますけど、
これは日本人が(概念把握の都合上)そう言語化した方が分かりやすいからそう言っているだけであって、
この日本語表現によって指されている物そのものが|-∀x(x=x)に他ならない(日本語表現はこれを意図してそのように日本語された)から、
｢全てのxは自分と等しい｣という記号の有限列は単に見た目の問題でしかなく、
｢全てのxは自分と等しい｣といったところでその言及がメタなものにはなっては居ない。形式化されたものそのものだ。
単に人間が認知するという行為がメタな立場からなされるに過ぎない。
そういう意味で>>436を言ったんです。
あなたは｢我々が通常の数学をする際に用いているのはメタなレベルにおいての言語および論理です｣と言っていますが、形式的に表現された有限記号列を、予め定められた言語以外の記号(日本語)を用いて捉え直した時点でもう既にメタの議論をしているという解釈をしているように思えました。
>>＞数学基礎論におけるメタ証明の中でツォルンの補題を使うこと云々に執着するのは意味が無いんですか？なぜですか？>>メタだからです
意味が分かりません
>>どれだけメタな仮定をおけば論理を形式化するのに十分なのか
意味が分かりません >>＞しかもツォルンの補題を使うっていうことはメタな立場で直観的な(？)集合概念までをも使ってるじゃないですか
>>そうですね
>>でもそれは仕方ないことです
>>メタを認めないなら、議論はできません
メタを認める、の意味が分かりません
さっきからメタメタメタメタばっかり言って中身が伴っていません
>>＞異論を差し挟む余地の無い数学基礎論(有限の立場での議論？)という土台を作ってその上に個別の数学理論を展開出来るようにすることは出来ないんですか？
>>できます
>>メタな論理を用いて数理論理を使って、形式化された論理を用いて数学をすれば良いのです
だったらそれでいいじゃないですか
数学基礎論におけるメタ証明に個々の数学理論の定理を用いることに違和感を感じるということにあなた自身も同意したようなもんじゃないんですか？
>>＞個々の各数学理論でω無矛盾や数値別表現可能性(みたいなもの)が問題になっているんですか？
>>数理論理の分野だけじゃないですか？
ω矛盾したり数値別に表現可能で無いというようなことがあれば、それはメタな立場で直観的に演繹される結果と形式的体系内で演繹される結果に齟齬が起きる(かもしれない？)というわけじゃないんですかね？
だとしたらメタな立場で暗黙的に仮定された集合論から導かれる結果を用いて数学基礎論のメタ定理の証明を行うことには違和感は感じるんじゃ無いんですかね
>>＞ω無矛盾や数値別表現可能性ってメタと対象の違いに着目した概念じゃないんですか？
>>そうですね
あ、それだけですか。
>>メタに集合論の知識を使って形式的な論理を構築して、その後に集合論を形式的な論理を用いて整備する、ということですよ
>>形式的とはそういうことですね
？？？数学基礎論の議論の前提として、先にメタの集合論がある？？？
意味が分からないです 私の素朴な感覚は、
数学基礎論における議論で選択公理や正則性公理などのZFCの公理(とZFCから演繹される結果)を使うのは気持ち悪い
ということ一言に尽きます ？？？数学基礎論の議論の前提として、先にメタの集合論がある？？？
論理学は、概念論（つまり、初歩的「集合論」）より始まる。 Venn図に言及しない論理学の教科書なんて、アルコールの抜けたビールみたいだ。 >>451
だから、メタな仮定を一切認めないなら論理の形式化を全て諦めればいいじゃないですか
前にも言ったはずですよ？ >>451
例えばですね、論理式を定義するのにも、記号の集合やメタな添え字としての自然数を導入する必要があるんです
こればっかりはどうしようもないんですよ
これをメタに認めなければ、我々は何もすることができないんです >>455
というより厳密な数学をあきらめればいいのよ。所詮数学とて
メタな存在（記号図式、記号の集合）に依存せにゃならん砂上の楼閣
なんだから。 >>454
あなたのベン図は神が定めてるんですよ
神を前提とした論理学とか斬新ですね >>451
なるほど、じゃあ君にとっては古典１階述語論理に関する完全性定理は無価値なわけだし
その完全性定理を活用して示される論理でなく数学の理論に関する様々な結果も価値がないわけね
で、君のようなことを言い出すと「数学の基礎付けに使うメタ論理やそこでの諸概念の定義にimpredicativeなのがあっても良いのか」という話になってくる
私にとっては数学基礎論という問題意識、数学を基礎付けようなどという傲慢な意識が今となってはナンセンスだと感じるだけだがね
まあ逆数学みたいなアプローチは単なる知的好奇心だけでなく実際の数学の「難しさ」を客観的に測る上でも価値があるとは思ってるが
ちょうどGentzen流の還元的証明論によって公理系の無矛盾性証明の「難しさ」（つまり無矛盾性の保証料とでも言うべき事柄）に対して特定の順序数が与えられるようになり
公理系の「複雑さ」を測る客観的な尺度が与えられたことに大きな意義や価値があるのと同じように
そう言えば逆数学の易しそうな解説本が出たね >>460
完全性定理を用いた定理って例えばどんなのがあるんですか？
無知なので教えてください >>328
＞数学的に何も定義できてないのに批判だけするって民進党か
民進党
言及されて
四苦八苦
啄木 圈 正しいと証明できてないものは使ってはいけないというのは数学においては究極的には正しくなくて
正しいと証明できてなくても正しそうなものは皆が認めるなら使ってもいいし
それを使って矛盾がないことが証明できれば誰がどう言おうが使ってもいい
ただし正しいと証明されないのだからそれを認めない立場も認める
もちろんそれを認めない立場がつまらないと認める立場も認める
というのが数学における正しい立場じゃないかな
矛盾が起こらないこと自体は形式化で証明すればよいわけだけど
それだって数学で使われている事柄が矛盾を引き起こさないという共同合意に基づいている
だって矛盾が起こるようなら何でも結論できちゃうからね
そしてその場合当然形式化でも矛盾が起きちゃう
今のところ
数学において究極の正しいと認められている事柄（公理）は
モノに関しては集合論（ZF,ZFC,BG)
演繹に関しては古典論理（LK,NK)
じゃないかしら >>464
> 正しいと証明できてなくても正しそうなものは皆が認めるなら使ってもいいし
「公理として」が抜けてるよ。 >>464
誰に取っても正しいとかそういう主観的な概念を持ち込みたくないから、形式的な数学的立場が発達したんじゃないですか？ 絶対的な真理を認めるくらいなら、なにも認めない方が数学的でしょう 形式的体系の目的は数学を形式化して初めて扱えるようになる問題（証明不可能性、無矛盾性）
「正しい」とか「正しくない」とかは無関係
ヒルベルトが形式的体系と無矛盾性証明にこだわったのは、無矛盾でありさえすれば存在を認めるという哲学的立場であるため
形式的体系そのものが数学の存在や正しさを保証するわけではない それはそうですけど、>>464のいうことは違いますよ明らかに
メタに認めることは誰もが正しいと認めざるを得ないことなのかというとそうでもないですし >>469
>それはそうですけど、>>464のいうことは違いますよ明らかに
じゃあ「正しい」の意味があなたと私とで違うというだけでしょう 「それはそうですけど」と言ってるけど実は分かってないでしょ
メタで何も認めず形式的体系だけで全てを保証したい、という願望を持ってるんでしょ貴方は 私は
>>455
ですよ
私に取っては、あなたたちのほうが、メタと真理を混同しているとしか思えませんね
メタとは、あくまで立場の問題ですよ
ただ単純に、認めるか認めないかの違いであり、正しいか正しくないか、もしくは明らかであるかないかの違いではないのです 完全性定理の証明に選択公理使うからな。それ以前に自然数論は構文論にすら
使ってるからな。公理図式自体が可算個の記号集合を走る変数を含む記号列だし。 >>464
＞数学において究極の正しいと認められている事柄（公理）は
＞モノに関しては集合論（ZF,ZFC,BG)
＞演繹に関しては古典論理（LK,NK)
＞じゃないかしら
Ｐ⊃Ｑ）ｖ（Ｑ⊃Ｐ）などと言った「奇怪な“定理”」をもつ古典論理が正しいわけがない。ｗ >>475
神を前提とした論理学は正しいんですか？ やっぱりメタな立場についてのスタンスについて考えると>>85がしっくりくる
でも”…”のところがよく分からないんですよね >>477
"・・・"は明らかに帰納法の省略だよなｗ
記号列と、その操作の列の列の列・・・っていうね。 >>479
間違ってないですよ
>>475さんの理論では、議論世界を定めるために神の存在を必要とします (P⊃Q)ｖ（Ｑ⊃Ｐ）などと言った「奇怪な“定理”」をもつ古典論理が正しいわけがない。ｗ
にたいしての答えかってんだよ。 "Only Heaven Knows" を文字どおりにとってり間抜けがいるな。(^o^)
「人間が未だ知らぬことなどぎょうさんあろうがなｗ」それを素直に認めて何が悪い！ >>482
直感主義はそんな感じですけど、あなたの神論理学は、神でないと命題の真偽すら決定できないということになりますよ？
議論世界を決定できるのは神だけなんですから
クリプキモデルでは知識量により真偽が変わるとしますが、あなたの場合は神でなければ真偽を決定できない、です >>483
そうそう
真偽の定義ができないんだもんな >>484
正しくは、「真偽が決定できる場合もあるし、できない場合もある。」 数学上の未解決問題などは”真偽が決定できない命題”の典型的な例だ。
その真偽は Only Heaven Knows だ。 >>486
猿がコンピューターを使っている
これは真偽が決定できない命題ですか？
ナンセンスな命題ですか？
議論世界が決定できない命題ですか？ やっぱりメタな立場として、有限の立場というか有限の手続きのみによって認められるものを認める立場をとろうとすると、ZFCの公理はメタな立場の公理としては案外認められない感じしますね
選択公理は言うまでも無く、置換公理、正則性公理も受け入れられなくなりますし、
巾集合公理、外延性公理、和集合公理も受け入れたらダメなんじゃ寝？って気分になります
空集合公理、対集合公理は何のためらいも無く受け入れることが出来ますが。 >>489
雑だね
どんな集合にそれら公理を適用するかまで考えたことある？
決して無制限に公理を駆使してるわけではないんだよ >>488
現に「猿がコンピューターを使っている」のを見ての発言であれば真・ >>492
-Inf
か
-Inf+￢Inf
かでも違うんだよな >>491
じゃあもう少し具体的に説明して貰えますか？
例えば完全性定理の証明の際に、論理式全体(だったかな？)を整列させて帰納的に極大無矛盾集合を作るじゃないですか
その際にこの帰納的に作る過程において公理をどういう風に適応させていると言うんでしょうか？ ドイツ観念論の三馬鹿トリオ：－
馬鹿カント
いかれヘーゲル
狂えるマルクス
#マルクス本人は観念論から脱したと思っていたようだが、はたから見れば
ヘーゲルの影響が甚大で。充分に観念論的だ。ｗ ７ヶ国語に訳されている、知る人ぞ知る、確率論の世界的歴史的「名著」：－
КУРС ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
（Борис. В. Гнеденко）
英訳： THEORY OF PROBABILITY
邦訳： 確率論教程 Ⅰ，Ⅱ （森北出版）
百ヶ国語に訳されるであろう、知る人ぞ知る論理学の歴史的世界的名著：－
『改革論理要諦』 http]//www.age.ne.jp/x/eurms/ 年末辺りにAmazonで数学書が破格の安売りしてたから注文したら価格設定のミスって言われてキャンセルされたわ
卑怯だろ ＞（Ｐ⊃Ｑ）⋁（Ｑ⊃Ｐ）などと言った「奇怪な“定理”」
（Ｐ⊃Ｑ）⋁（Ｑ⊃Ｐ）がなり立つからといって
∀ｘ（Ｐ（ｘ）⊃Ｑ（ｘ））⋁∀ｘ（Ｑ（ｘ）⊃Ｐ（ｘ））が成り立つとはいってないけど Venn図って結局図上の点それぞれで命題論理適用して
どの点ｘでも￢Ｑ（ｘ）⋁Ｐ（ｘ）が成立すれば
∀ｘ（Ｑ（ｘ）⊃Ｐ（ｘ））としてそれを「ＱならばＰ」とあらわしてるだけ
（しかも「ならば」としての⊃と、集合の包含としての⊃は向きが逆） 独立の命題P_1、・・・、P_nを考えると
それぞれの成立不成立によって
２＾ｎ個の点を想定することができ
さらにそれらの点における
成立不成立にとって２＾（２＾ｎ）個の
合成命題を考えることができる
ｎ＝N（つまり自然数の集合）なら
点は２＾N個（つまり実数の集合と同濃度）
さらに合成命題の数は２＾（２＾N)（さらに高い濃度） ＞論理法則とはHirbertが考えたような形式的な真理ではなく、二階の実質的な真理なのだ。
ベン図で描けるからかい？ ttp://www.age.ne.jp/x/eurms/GDL.html
eurms氏の言い分ではBew[R(n);n]は、どのR(n)とも一致しないそうだが
単にゲーデルの定義した述語Bewは、証明可能の意味ではない、と
云ってるだけのように聞こえる
確かにゲーデルの定義した述語Bewでは、
任意の命題Pについて、Bew（P)⇒Pを
証明することはできない
Bew(P)⇒Pが証明できるのは、Pが証明できるときそのときに限られるから >>505
＞（Ｐ⊃Ｑ）⊃（～Ｑ⊃～Ｐ）の場合はどうなんだい？ >>509
＞（Ｐ⊃Ｑ）⊃（～Ｑ⊃～Ｐ）の場合
￢（∀ｘ．（￢Ｐ（ｘ）⋁Ｑ（ｘ）））⋁（∀ｘ．（Ｑ（ｘ）⋁￢Ｐ（ｘ）））
Ｐ⋁Ｑ⇔Ｑ⋁Ｐ と 排中律から証明可能 >>504の補足
（Ｐ⊃Ｑ）⋁（Ｑ⊃Ｐ）は
（Ｐ⋀￢Ｑ）⊃（Ｑ⊃Ｐ）と
同値である
しかし、後の式を
∃ｘ（Ｐ（ｘ）⋀￢Ｑ（ｘ））⊃∀ｘ（Ｑ（ｘ）⊃Ｐ（ｘ）） （＊）
と解釈することはできない。（（＊）は恒等式ではない）
要するに命題論理の⊃は「包含関係」とは異なる だから
p→q,p∨q,p∧q,￢p
の真偽の定義が出来ないのなら意味なし >>512
それは別に問題なくね？
論理法則は絶対的でないと駄目という信念があるならどうだか知らないけど 真偽の定め方に任意性があるのを「定義できない」と言ってるわけでしょ
数学的公理ならともかく論理的公理がこれでは困る、という信念なのかと推察するが あと「背理法」
(p∧￢q→人)→(p→q)
を認めるのかどうか 背理法の原理は、正しくは、
[Ｐ(x)∧￢Q(x)⇒/x/0(x)]⇒/p,q/[P(x)⇒/x/Q(x)]
であって、(p∧￢q→人)→(p→q) のことではない。 フレーゲアン理論（いわゆる”古典”論理）は、肝腎なところで誤っており、根本的に書き換えられなければならない。
http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html 特定の述語に対してのみならばを考えるとか論外なんですよねー
命題に対してならばを考えないのはなぜですか？ [P(x) ならば Q(x) である] は P.Q が論議世界を同じくするかまたは Q の論議世界が
P の論議世界を包摂する場合にのみ定義される。
命題 P(α)⊰Q(α) は、[P(x) ならば Q(x) ]でありかつ＜x」α＞∈Ｕx である場合のみ
成立する。 集合論で濃度や基数が厳密に定義されていますが、
数学基礎論で濃度や基数が扱われるのは何とも思いませんか？
（例えばレーベンハイム･スコーレムの定理） G.Boolos の The Logic of Provability 読みたいなあ
|ω・)ﾁﾗ. 数学を基礎付けようという意識が傲慢とか
言ってる人が上に居たようだけど、
これは現代に同じ事を言ってたら確かにそうだが、
19世紀末の時代は何が数学的証明として許容されるかの
コンセンサスが充分でなかった時代なのを考慮に入れて
差し引いて考えないとフェアじゃないと思う。
神学者が堂々と数学者の証明に
哲学的なケチを付けてたりした時代。 >>524
libgen io で検索するといいことがあるかもしれない って隣の奥さんが言ってた あと、「メタレベル」と「意味論のレベル」は
別々の独立の話。
たまたま一致する事もあれば異なる事もある。
区別しないで同じようなものだと思って話すから
メタレベルのさらにメタレベルのさらにメタ………
みたいな混乱した議論になる >>526
460です
なるほど現代とは数学やその証明を取り巻く時代背景が全く異なっており
当時は数学に対して可能な限り客観的な形での基礎づけが必要とされたということですか
それには納得です
一つ勉強させてもらいました
どうもありがとうございました さっき、組み合わせ的独立命題の話でヒドラ-ヘラクレス線の話よんだんだが面白いね
こういう感じの数学的話題はもっと知りたくなりますね >>524
Goedel-Loeb Logicの本ね
>>532
照井一成氏の「コンピュータは数学者になれるのか」がお勧め
個人的には自然数の最小値原理をプログラム化する
クライゼル計画がツボ
最小値原理って実はヒルベルトが「ゴルダンの問題」を
解いたときに使った論法らしい 「神学」とかいわれたけど
要するに自然数の集合には必ず最小の要素があるが、具体的に
自然数の集合から最小の要素を取り出す具体的方法がない
ってところが具体的な最小値を知りたい人には面白くない
ってことらしい >>533
面白そうな話ですね
いつか読もうと思います
自然数の集合Aが空で無ければ最小値が存在することについてですが、
0から初めて1つ1つ自然数ｎがAに属するかを検証することによって最小値を求めることができるのでは？
この場合Aが空でないという仮定により、いつかはあるｎに対して初めてAに属することが分かることが保証されているのだから。
だからAが再帰的集合でありさえすれば何も問題は無いかと。 >>534
> だからAが再帰的集合でありさえすれば何も問題は無いかと。
再帰的集合でないから問題になるわけで Aが再帰的であってもc.e.じゃなかったら
困るんじゃないの？
n∈Aだけじゃなくてn-1∈(N-A), n-2∈(N-A), ......
である事も分かってないと最小値だとは言えない訳だから 専門化を目指すなら、この程度の知識は宴会で酔っ払ってもそらんじられるくらいにマスターしておきたい、
そうでないと、基礎論の研究者とはつきあえないだろう。
田仲一之、「数学基礎論講義 不完全性定理とその発展」、はじめに の1ページ目下段
これって本当ですか？この程度というのはどこまでを指しているんですか？ >>534
＞0から初めて1つ1つ自然数ｎがAに属するかを
＞検証することによって最小値を求めることができるのでは？
Aに属するかどうかアルゴリズムで判定可能とは限らないところがポイントです
逆にAから一つづつ要素を取り出していくとして、
必ずあるところで最小の要素が取り出されますが
それがいつかが分からないのがポイントです 最小値原理
∃ｘ∈N．ｘ∈A⇒∃ｘ∈N．（ｘ∈A＆∀ｙ∈N．ｙ＜ｘ⇒￢（ｙ∈A)）
整礎帰納法
∀ｘ∈N．（∀ｙ∈N.ｙ＜ｘ＆ｙ∈B⇒ｘ∈B）⇒∀ｘ∈N．ｘ∈B
ｘ∈Nのとき、ｘ∈A⇔￢（ｘ∈B）とすれば、両者は対偶の関係 専門書の電子書籍化ってしてます？
高い本なだけにちょっと抵抗感じてしまうんですよね ドイツ観念論の三馬鹿トリオ：－
馬鹿カント
いかれヘーゲル
狂えるマルクス
#マルクス本人は観念論から脱したと思っていたようだが、はたから見れば
ヘーゲルの影響が甚大で、充分に観念論的だ。ｗ >>537
あの本の第１章の内容は全部そうだと思って良い >>542
ですよね1章だけですよね
第2不完全性定理以降も含まれているのかと一瞬勘違いしてしまいました 先日ファジィ集合･論理に関する本をゲットしたんですが、普通の数理論理学の研究を深めていく上でファジィ方面ってあんまり関係しない？する？ >>543
第２章は基礎的と言えば基礎的
と言っても定理の成立条件の細かい条件の吟味とか
し出すとキリがないんだけど クラス量化を含まない論理式がNBGで証明可能であれば、その論理式はZFでも証明可能である
このように
ある型の論理式について、ある体系で証明可能であれば、実はより弱い体系でも証明可能である
という主張をできるだけたくさん教えてください それって強い理論は弱い理論の保存的拡大になってるってことだから
保存的拡大とその実例について調べて探してごらん 突然ですが
名著」ソラリスね。書店にあったから、つい買ってしまった（＾＾
https://www.nhk.or.jp/meicho/famousbook/71_solaris/index.html
NHKテレビテキスト「100分 de 名著」ソラリス 2017年12月
(抜粋)
惑星ソラリスの探査に赴いた科学者クリス・ケルヴィンは、科学者たちが自殺や鬱病に追い込まれている事実に直面。何が起こっているのか調査に乗り出します。その過程で、死んだはずの人間が次々に出現する現象に遭遇し、自らの狂気を疑うクリス。
やがて惑星ソラリスの海が一つの知的生命体であり、死者の実体化という現象は、海が人類の深層意識をさぐり、コミュニケーションをとろうする試みではないかという可能性に行き当たります。果たして「ソラリスの海」の目的は？
この作品は、人類とは全く異なる文明の接触を描いているだけではありません。ソラリスの海が引き起こす不可解な現象は、人間の深層に潜んでいるおぞましい欲望や人間の理性が実は何も知りえないのではないかという「知の限界」をあぶりだしていきます。
ロシア・東欧文学研究者の沼野充義さんは、レムは、この作品を通して「人間存在の意味」を問うているのだといいます。
さまざまな意味を凝縮した「ソラリス」の物語を【科学や知の限界】【異文明との接触の可能性】【人間の深層に潜む欲望とは？】【人間存在の意味とは？】など多角的なテーマから読み解き、混迷する現代社会を問い直す普遍的なメッセージを引き出します。
(引用終り)
https://hh.pid.nhk.or.jp/pidh07/ProgramIntro/Show.do?pkey=001-20171204-31-16596
１００分ｄｅ名著 レム“ソラリス”［新］ 第１回「未知なるものとのコンタクト」
[Eテレ] 2017年12月4日（月） 午後10:25～午後10:50（25分）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BD%E3%83%A9%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%81%AE%E9%99%BD%E3%81%AE%E3%82%82%E3%81%A8%E3%81%AB
ソラリスの陽のもとに >>554
横レスだが、当然ながら数理論理学でしょ
実際、海外では現在はFoundations of MathematicsというのはMathematical Logicの意味で使うのは稀で
文字通り数学の基礎付けに実際に関係している場合に使うのが圧倒的に多い
数学的な手法・道具による論理学の研究にはMathematical Logicを使用する
日本だけだよ、Mathematical Logicの意味でFoundations of Mathematicsに相当する言葉を現在でも多用しているのは 成る程、
漠然と広い意味で言うなら数理論理学であって、その中のごく一部を指すのに使うのが数学基礎論と言うことか ただ、日本で数理論理学を勉強できる大学は少ないだろうね。 >>558
＞ただ、日本で数理論理学を勉強できる大学は少ないだろうね。
大学に行けば、間違った理論（いわゆる”古典”論理）を刷り込まされるだけだよ。ｗ 形式的な論理の正しさは、あくまでその人の立場によって定まるものですから、間違った(形式的な)論理、というのはないわけです
まあ、あなたの場合の論理学は矛盾だらけですから間違えですけどね 普段Twitterで他の哲学分野バカにしてるy何とかってやつが
数学関係者に論理学バカにされた途端ブチ切れてたのには笑いました >>559
大学院でも数理論理学専攻を持っている大学はごく少数だろうね。
俺は知らない。 >>565
日本のレベルは？
欧米と比較した時の。 数理論理学専攻とかないだろ
数学専攻の中の数理論理の先生の下で勉強するってだけ 数理論理学って純粋数学よりも歴史が浅いってのもあるかも知れないが(←だったら情報科学はどうなんだよｗ)、舐められてる感じがあるんですかね？ 数理論理学は初等幾何学が不得意な人用の数学って感じ >>563
>>568
らしいです
ytb@ytb_at_twt
「論理学はオタクばかりで気持ち悪くて何をやってもダメ」なんだそうなんですが、そもそもオチてないんですけど、
罵倒炎上商法でRT稼ぎってビジネス手法は「数学の楽しさを伝える」という謳い文句的にどうなんですか。
https://twitter.com/asunokibou/status/953427539946455040 …
ytb@ytb_at_twt
まじめな話、数学は自分のプライドに常時強い負荷がかかる分野の一つで、なんとか精神の平衡を保とうとするなら、
自分より立場が弱そうな人間を探して罵倒するって人、時々いるんですよね。論理学は格好のエジキなんですよ。 数学だけじやなくて情報工学の中にも数理論理学の教授はいるだろう >>571
> 数学だけじやなくて情報工学の中にも数理論理学の教授はいるだろう
というよりも数理論理学の先生方は数学科でポストを得ている人数よりも
情報系（計算機科学科、情報科学科、情報工学科など）あるいは哲学科にポストを得ている人数の方が多いのでは？と個人的には推定している
例えば訳注・解説の豊かさで有名なゲーデルの不完全性定理の翻訳を岩波文庫から出した林晋さんは
数解研→竜谷の情報系→神戸大（は数学科だったっけ情報系だったっけ？）→京大の哲学科だし
まあ一例だけでは何とも言えないが、林さんのお弟子さんとか佐藤雅彦さんのお弟子さんで型理論やってた人たちも概ね情報系でポストを得ているんじゃないかな
型理論（高階直観主義論理）などはそもそも純粋数学（あるいは情報系以外の古典的な＝解析学中心の応用数学）よりも情報系でのほうが
具体的な応用とかと結びついていて親和性が遥かに良い >>570
もう既にそのツイート削除されてますね
本人はこのスレを見ているのだろうか…
そのツイート内容って本人の偏りすぎた価値観反映されすぎですよね
正直、理系が文系を見下すのは分かる
でも数学やってる人が論理学を見下す理由が全く分からない >>560
＞形式的な論理の正しさは
「形式的な論理」って言うこと自体が間違っているのさ。ｗ
論理（法則）は形式的なものではない。 >>574
単純にツマンナイからでしょ
細かすぎて それだけではあるまい
論理学に対して異様に攻撃的な人が多いでしょ
多分に感情的な理由があると思われる >>577
> 論理学に対して異様に攻撃的な人が多いでしょ
> 多分に感情的な理由があると思われる
随分と昔（と言っても戦後）の話だが、東大数学科のとある有名な教授が「私の目が黒いうちは基礎論なんかでは絶対に学位を与えない」
と宣われたという逸話もあるみたいですから確かにね
通常の数学をやってる数学者（MacLane風に言えばworking mathematicians、以下ＷＭと略）が感情的で攻撃的なのは
（数理）論理学というか数学基礎論に対してだと思いますね
しかし日本では>>555にも書きましたが、数学の基礎付けと関係ない数理論理学のことも今でも数学基礎論と呼ぶことが多いので
ＷＭから見れば哲学風味ゼロな数理論理学も哲学風味てんこ盛りな本来の数学基礎論も混同されてしまってて当然です
ＷＭが生業とする普通の数学そのものに対して数学の基礎付けなる言葉で理解困難な懐疑を並べ上げるだけの数学基礎論は
ＷＭには単なる懐疑のための懐疑に過ぎない難癖をつけて言葉遊びをしているだけの哲学厨にしか見えないでしょうから
ＷＭからの反発は尋常ならざるものがあってもある意味では当たり前でしょう
なにしろＷＭが信じている普通の数学やその論証手段（数学的帰納法など）に対して「君ってナイーブだねえ、そんな怪しげなのを
平気で信用できるなんてさ（笑」といった調子でＷＭたちを馬鹿にするしか能のない基礎論厨は実際に少なくなかったからです
（今でも基礎論を少し齧っただけの素人ほどこういう知ったかな態度を出す人間が多い）
けれども数理論理学の発展には違った道筋も有り得たのではないかと思うのですよ
そしてそのもう一つの有り得た歴史の中では数学者の論理学への反発はほとんどなかったのではと想像するのです
歴史にIFはありませんが、敢えて数学や論理学の歴史でＩＦを言わせてもらえば、最初から数学の基礎の云々する基礎論など出現せず
論理に対する厳密な理解のために論理を数学的道具や手法を用いて分析・研究という現代流の数理論理学のアプローチで発展してきたならば
ＷＭの数理論理学への反発はほとんどなかったのではないか、とね
だって、それならば単に研究対象が論理学で現れる概念であるにすぎず手法などはＷＭがやっている普通の数学と同じですからね ＞＞理解困難な懐疑を並べ上げるだけの数学基礎論はＷＭには単なる懐疑のための懐疑に過ぎない難癖をつけて言葉遊びをしているだけの哲学厨にしか見えない
｢明らか｣や｢絶対に正しい｣に対する懐疑度合いの違いからWMの人と数理論理学の人の意識の違いがあるのだと思います
WMの人は｢抽象的思考力のある人が理性的に正しいと思えるものを認める｣であって、
数理論理学の人たちは｢コンピューターでも理解出来るものを認める｣という感じの認識の違いでしょうか
(↑別にこれは意味論、形式論の話を特に意図するつもりはないですが) 数学的帰納法を例に出してますけど、｢A⇒A｣だって同じ例になると思いますよ
WMからしてみたら｢そんなもん当たり前だ｣になるでしょうが
数理論理学の人たちからしたら｢ヒルベルト流の体系で証明するなら公理に○○を当てはめて～～。でこの程度を証明するにも○○行も掛かるんですよ｣みたいに。 >>578
>随分と昔（と言っても戦後）の話だが、東大数学科のとある有名な教授が「私の目が黒いうちは基礎論なんかでは絶対に学位を与えない」
>と宣われたという逸話もあるみたいですから確かにね
単につまんないってことだと思うよ 古くはバナッハタルスキ
最近だと実数の中に有理数より多くて無理数より少ない部分集合の存在とか
直感に反する例が出てきたりしてめんどくさっていう印象もあるし >>582
> 最近だと実数の中に有理数より多くて無理数より少ない部分集合の存在とか
詳しく >>561
その人、神戸の菊池誠さんとか加藤文元さんとかを
あからさまにdisるような事ばっか書いてて
人の冗談には激昂するとかどんだけ一方的なんだよ、
と思うよね ついこの間似たようなことあったよね
東大卒の小説家だったか誰かが、東北か北海道のサークルの人に自分の小説批判されただけで学歴持ち出してブチ切れてた奴 >>583
巨大基数公理から2^N0=N2が出る
Nはアレフね カナモリの巨大基数の集合論は前々からやろうやろうとばっかり思ってて全然手がついてないんだよな >>587
2^(アレフ0)=(アレフ2)が
有理数より多くて無理数より少ない部分集合の存在を意味する、というのがよくわからない 2^(アレフ0)は実数の濃度=無理数の濃度
有理数の濃度は可算でアレフ0
アレフ2はアレフ0の次に大きい濃度であるアレフ1に次いで大きい濃度
だから、
有理数の濃度(=アレフ0)より大きく無理数の濃度(=アレフ2)より小さいような濃度(=アレフ1の濃度)をもつ実数の部分集合がある
ということを言いたいのだろうが、もう少し丁寧に書いた方が喜ばれたとは思う 無理数の濃度=実数の濃度=2＾アレフ0≦アレフ1
じゃないんですか？ 一般にはアレフ1以上だが先に書いてる人が言っているように巨大基数の存在などのもっともらしい公理の追加をすると実数の濃度がアレフ2かアレフ2以下に制限される現象が知られていて俗にアレフ2現象と呼ばれている
今はそのレスからの流れだからアレフ2 別にaleph2じゃなくても、not CHだけで良いよね、っていう >>590
検索したらそいつだった有名な人なんですね 別に矛盾しないならどんな公理を想定してもいいけど
非可算だけど実数濃度より真に少ない部分集合を
具体的に構成してこれと示せないのは気持ち悪すぎ ただ記述集合論をある程度やるとGodelみたいに
CHの方が気持ち悪く感じるようになるみたいなんだよね 別にこれは個人的な好みの問題だから別にいいんですけど、
数理論理学でも集合論でもある程度抽象度のある集合を考えた方が面白い(？)のに、実数の部分集合みたいな具体的な集合考えて楽しいんですかね？ >>601
てゆーか「無いと言いたいがどうしても言えそうにない」って感覚なんじゃないかな >>602
具体的に思えるのに実はつかみ所が無くて困るってこと
でも
こういうのをちまちま考えるから数理論理学は嫌われる
有ったからどうだって言うの？無かったからどうなの？
って感覚が普通 ここの人で実解析と数理論理学の関係に興味ある人いる？ 数学基礎論は数学じゃないでしょ
数学との交わりも少なすぎるし
今ある交わりも枯れ果てる寸前の細枝 >>602
>数理論理学でも集合論でもある程度抽象度のある集合を考えた方が面白い
↑
具体例を挙げないバカ >>609
だって何かしら動機を与える興味深い問題を豊富に内在してないでしょ それで何度もスレに悪口を書き込んでるのか
感情的な理由ではない、と
説得力ないね >>611
理由を添えずに批判だけするのは
頭使わなくても機械的に出来る >>613
↑
健全な反論を何一つできないくせに
幼稚な皮肉めいたレスしか返せないバカ アレフゼロとかオウム真理教みたいできもいと思ったやつが正解 その的外れな反応も感情で目が曇っているのが理由ではない、と 興味深い問題を豊富に内在していないから何度もスレにそのことを書き込みに来ている
攻撃的な内容に見えるかもしれないが、決して感情的な理由から何度もそうしているわけではない
こう言いたいわけだ
うん、やはり説得力がないね >>618
↑
①相手に対して「俺はムチャクチャを言っていない」と思ってる訳ね、
という機械的念押し
②最後尾に「説得力がないね」という文字列を付加する
自分のレスにアンカがつくと
必ず①+②のレスが生成されて必ずかぶせてくる >>618が間違っているなら訂正を
今の君は皮肉めいたレスで逃げているように見える というか…
>>618で俺は君の「機械的なレス」という誤解を解こうと思ったわけだが、全然伝わらなかったのだろうか 集合論はもともと三角級数の研究してたCantorが
実数の集合Rの部分集合について点集合論的な問題を
考える必要になったのが端緒なので
解析方面やgeneral topologyとの繋がりは
当時からずっと強いと思うよ
モデル理論はもともと代数幾何で考えられてきたような
問題を、体と多項式系ではなくもっと一般的な設定の下で
考察したい、みたいな考えが根本にあるから、
当然そっち方面への応用が一番自然で強力なものになる
（その他にも色々と応用はあるけれど）。
610があまりに数学を知らなさ過ぎるだけなんじゃない？ ウルトラフィルターを取る操作と
極大イデアルを取る操作は
本質的に同じ操作なので、ウルトラフィルターが
ゴミ屑の概念だと言うなら極大イデアルもそうなる。
連接トポスに関するDeligneの定理と
Godelの完全性定理は片方からもう一方を導けるので、
片方が無意義ならもう片方もそうなるだろう。
そうやって数学の各分野を枯れた分野だと言って
切り捨てていけるなら大したものだね もう50年くらい前のイデアル論を著した成田正雄ですら
証明なしにツォルンの補題を用いている
鎖という考え方はネーター環の土台であるが
今では完全列などのホモロジー代数によって形を変えている
無限集合の問題は対象すなわちオブジェクトの存在を仮定すればよいだろう >>623は興味深いが
>>624は言葉足らずで意味不明 >>623
説明があった
1975年に指摘されていたみたいね
https://arxiv.org/abs/1309.0389
あと言っとくが、同値な命題だからといって同価値ではない。 >>622
general topology（笑）
それだけをなんやかんや弄る人達がいるのは知ってるけど
そのgeneral topologyの研究も同様に、数学の主流とほぼ交わりなしでしょ
>モデル理論はもともと代数幾何で考えられてきたような
もうずっと昔にモーデルの定理か何かで
モデル理論的なアプローチが成功したとかいう過去の栄光のただその一点に
ずっとしがみついてる感じ
あれ以降に何か目に見える発展はあったんですかね
実代数幾何とかゲテモノ（しかもカビの生えた古びたゲテモノ）という印象しかない
>連接トポスに関するDeligneの定理と
>Godelの完全性定理は片方からもう一方を導けるので
>片方が無意義ならもう片方もそうなるだろう。
>>626←の人が既に言ってるみたいだけど
その話自体は全然知らなかったが、翻訳することで何か具体的な実りはあるのですか？
もし翻訳することの価値がないなら、一般論として、
AとBが翻訳可能でAに価値があっても、Bに翻訳する価値がないなら
Bに価値があるとは限らない 幾何学的群論と数理論理学は深い関連があるみたいで、詰まらなくはない。 モデル理論が実代数幾何には使えて
代数閉体上の代数幾何への応用には乏しいとかいうことは
全くないので、何かかなり誤解しているんじゃないかと。
627のいう”数学の主流”って何なの？
どうも、かなり狭い範囲の分野の事を言っているように
感じられるんだけど。
例えば、数論こそが数学の主流であり、その他の分野は
お情けで数学と呼ばれているに過ぎない、とか
解析学は複素解析以外数学じゃない、レベルの狭隘さ。 >>630
代数幾何や数論幾何以外は数学でないと思ってるド阿呆もいるぞ。 上から目線で扱き下ろす快感のためにこのスレに足を運んでる様子なので、
それを感情的だと見透かされるのは絶対に受け入れられないんだろうなとは想像がつく >>632
感情を使わずに数学をやってるようじゃまだまだだな 独我論的構造を持つ現代数学を扱う人間は自然に独我論者になる
①自己が独我論に陥っている
②他者が独我論に陥っている
の二つの場合がある
お互いに何を言っているのかわからないバカの壁となりやすい中で
論文を出すことは至難の業だ
自他ともにわかりやすい文章を書くという作業ですら危うい時代になった >>634
> 独我論的構造を持つ現代数学
インチキ >>633
貴方がこのスレでやってることが数学なのかね >>634
かの御仁は独我論の意味も知らんやろ
ケチをつけるのに理由を添えることすらしていない >>636
当たり前だが5ちゃんの書き込みは数学とは言えない 埒が明かないので大真面目に受け止めるけども、貴方は基本的な読解力に問題があるみたいだね 自然数に関する命題で、巨大基数公理を仮定することで証明できるようになるもの
ってどんなのがありますか
ヘンテコな命題や、メタ数学的な内容の命題は除いて >>640
へんてこに決まってんじゃん
だいたい
巨大基数は存在しないというのが普通の感覚 >>641
調べても分かりませんでした
>>642
普通の人の感覚では到達不能基数の存在を利用したフェルマーの最終定理もヘンテコということになるのでしょうか 正確には、フェルマーの最終定理が本当に巨大基数を必要としているかどうかは不明なので、>>640の答えにはなりませんけど 巨大基数公理ってクラスを必要としないで済ませられるよって言いたいが為にする公理なので
そんなモノあると思う方が変ってのが普通の感覚 >>643
> 普通の人の感覚では到達不能基数の存在を利用したフェルマーの最終定理もヘンテコということになるのでしょうか
えっ？？？
Wiles（と補題に関しては彼とTaylorだっけ）によるフェルマーの最終予想の証明は到達不能基数の公理なんて使ってた？
WilesによるFLTの証明はそんな怪しげ（少なくとも集合論屋や論理屋以外の通常の数学者の少なからずは疑っているどころか
その公理の存在すら知らない）な公理には依存していないんじゃないの？ 当時、そんな変な公理を使ってるなんて騒ぎにはならなかったし
もしWilesの証明がそうであったならば、FLTは到達不能基数の存在・不在とは関係なく正しいわけで、そういう関係なく正しい命題であるFLTを
別の誰かが通常のZFCよりも強力な公理（到達不能基数の存在公理）を持ち出して証明するって
（仮にその新しい証明がたとえWilesのよりもエレガントだったとしても）数学的にはあまり意味がないよね（最初の証明ならともかく、既により弱い
公理系で証明済のを強力な公理系でエレガントに証明し直すって単なる 【牛刀をもって鶏を割く】 の類でしょ） >巨大基数公理ってクラスを必要としないで済ませられるよって言いたいが為にする公理なので
いや違うでしょ >>647
>誰かが通常のZFCよりも強力な公理（到達不能基数の存在公理）を持ち出して証明するって
> （仮にその新しい証明がたとえWilesのよりもエレガントだったとしても）数学的にはあまり意味がないよね（最初の証明ならともかく、既により弱い
> 公理系で証明済のを強力な公理系でエレガントに証明し直すって単なる 【牛刀をもって鶏を割く】 の類でしょ）
基礎論にそんなかっこいいことできたためしないよ
確かグロタンディーク宇宙っていう集合論のモデルの存在が巨大基数公理と同値とかなんとかで
グロたんの構築した概念使う限りは巨大基数公理の存在を認めざるを得ないとかなんとか
けど精査したらWilesの証明にはそこまで仮定する必要なくって選択公理も不要で
ZFで十分だったんだって >>651
なるほどそういうことか、答えてくれて有難う >>649
そうそれ。自然数の集合として表現されるから自然数に関する命題かなあと 直観主義な人はそれをやる前提が中途半端と嫌ったりもする 選択公理を採用する直観主義数学として有名なのはビショップの構成的数学
もちろん直観主義なので排中律は成り立たない
竹内外史の直観主義集合論の本にも選択公理から排中律を導く話は出てくる 数学ってまず手を動かしてノート取らないと分からないけど、数理論理学は熟読するだけで割と何となく分かるからいいよな >>654
証明読むと有限集合しか出てこないから
選択公理を使う必要はないよね
結局
ZFの命題では必ず排中律が成立
つまり
LJ+ZF=LK
みたいな 日本には哲学者でも数学者でもないいわゆる
論理学者ってあんまり居ないよね
思いつく限りでは、岡田光弘、照井一成、小野寛晰、
藁谷敏晴くらいしか居ない気がする
ytbさんとかも敢えて分類するなら数学者じゃなくて
論理学の人だけども、、 有名でない人も含めればまだ居るとは思うけど、
論理学者って「趣味 読書」とかと同じで、
実際にはそんなにガチじゃない癖に取り敢えず
自称する人が多すぎる気がする。
数理論理の専門家ならまだ分かるけど、論理のパズル本を
出しただけの哲学科教員とか、 >>668
論理の本は数理論理学の専門家が書いたほうがいい。 >>659
そこのページも正しくなさそう
なぜかってABふたついらないから
X={0,1}
f:2^X-{{}}->X
f({0})=0
f({1})=f({0,1})=1
A={x∈X|x=0∨ψ}
f(A)∈A
f(A)=0∨ψ
f(A)=0∧ψ→A=X→f(A)=1→NG→￢ψ
f(A)=0∨ψ→￢ψ∨ψ
結局
>>664
> LJ+ZF=LK+ZF
てことね 数理論理学を位相空間的に扱うのってありますか？
あれば参考本でもURLでも教えて下さい ありましたね、田中俊一『論理と位相』 日本評論社 ってのが
現時点では品切れかも https://www.amazon.co.jp/dp/toc/4535601275/
位相と論理 (日評数学選書)
田中 俊一 (著)
中古品の出品：3 ￥ 13,755より
目次
1 順序と束
2 命題論理とブール代数
3 構造とモデル
4 ブール代数の表現定理
5 フレーム
6 カテゴリー ラッセル・ヒルベルト流にしろ、ゲンツェン流にしろ、[PならばQ]を[Pでないか又はQ]と同値であると考えたのが、そもそもの誤り。 >>676
また言い出したよ
結局定義も出来ないんじゃ
くり言うわ言たわ言だよ >>676
> ・・・、[PならばQ]を[Pでないか又はQ]と同値であると考えたのが、そもそもの誤り。
日常言語の「ならば」とか「又は」に込められた感覚が記号論理に正確に写し取られるとは限らないし正確に写し取らねばならない必然性もない。
そもそも日常言語での「ならば」はしばしば因果関係的なニュアンスを含んでいる。 >>678は書きかけて廃棄しようと思ったのを間違って投稿してしまったので無視してね 皆、講義PDFは印刷してorタブレット端末上どっちで読んでる？ 676>>
ラッセル・ヒルベルトもゲンツェンも、肝腎かなめのところで間違っていたってことだな。 >>676
ラッセル・ヒルベルトもゲンツェンも、肝腎かなめのところで間違っていたってことだな。 Jechのset theoryを今読んでいます。
行間が開きすぎというか証明とかも結構間違っているように思えます。
set theoryの専門家はあれをちゃらちゃらと修正してさらさら読み進めることができるのでしょうか？
なかなか読み進められないのでちょっと自信がなくなってきます。 >>684
jechを読んだことないけど、一般論としてはある程度さくさく読めるようにはなるよ
読みづらいと感じるならしばらく別の本を読むのも手 数学において｢読む｣という言葉の意味の幅って十人十色だから 隅々まで読んだことあるわけじゃないけど、
最初の1/3くらいならそこまであからさまな誤りは
無いと思うけどなあ。
一般論として行間の狭さとか解説の緻密さで言えば
Kunenの方が丁寧ではある。実際に集合論の専門家なら
まあ2冊とも持っているものだと思うし、
Jechを通読したからKunenは読む必要無かった、
みたいな人もまあそうは居ないんじゃないかと。
微積既習の人が必ずしも杉浦光夫の厚い教科書を
通読してる訳じゃない、みたいなのに近いと思う
（Kunenの方は通読してる人が大半かも）。
ただ、サラサラと簡単に、という訳じゃなくても
行間を適宜自分で（それなりに苦労しながら）補完して
読み進んでいく、という事は集合論を勉強していく上で
いつかは必要になって来るとは思うけどね。
Jechよりもっと行間広くて大変な本も実際あるし。 あとJechは二版は単なる初版の増訂版だけど
三版のmillenium editionは内容が非常に増えて
一新されてて、二版までの内容の記述は
結果としてかなり圧縮されてるので、
そういう意味で読みにくくはなっているはず。
40台以上の先生がJechというとき、
実際に彼らが若い頃に読んだのは二版で、
彼らにはその印象が強いはずなので
その点注意した方が良いかも知れない。 >>688
そういう事なのですね。有難うございます。私が読んでいるのはmillenium editionです。
最初の1/3について言えば、例えばChapter8のSilver's theoremの証明は論理の飛躍があるように思えました。 まー洋書はネットで……………だから皆…………なんだろうけど 荒らしがまず現れないこんな学術スレでレスが非表示だから何かと思ってウェブブラウザで見たら数学関係のスレで現れる荒らしだった
連投規制掛かって10レスほどで止まってるね 諸君は、（Ｐ⊃Ｑ）ｖ（Ｑ⊃Ｐ）などと言った「奇怪な“定理”」をもつ
「現行の論理学理論」を正しいものと信じて疑いないのか？ ｗｗｗ 直観主義なら成り立たないって何回言えばわかるんですか そいつ宣伝しに来てるんだよ
俺の考えた理論を知ってくれー、ホームページ見てくれーってな >>706
これを称して、下種の勘繰りと言う。
燕雀安んぞ鴻鵠の志を知らんや 円弱、安いんぞ、広告の志を知らんや
(大意)
米グーグルの持ち株会社アルファベットが発表した1～3月期決算は、
純利益が94億0100万ドルだった。（前年同期比＋73%）
四半期ベースで過去最高を更新した。
主力の広告事業が同24%の増収と好調だった。
売上高は311億4600万ドル（同＋26%）
うち86%を広告収入が占めている。 大会の結果です。
ドッジボールの島根県出雲市大会
1位 倉澤奏 クラザワカナデ
2位 屋喜陽磨 ヤギハルマ
3位 八尾井愛 ヤオイカナ
4位 立川目海音 タチカワメカオン
5位 鍬農喜太郎 クワノキタロウ
6位 竹嵜颯太 タケサキハヤタ
7位 蔵前束咲 クラマエタバサ
8位 箱嶋心露 ハコシマコロロ
9位 長田聖康 ナガタキヨヤス
10位 桑場策太郎 クワバサクタロウ
11位 八重木舜起 ヤエキシュンキ
12位 矢田川黄朝空 ヤタガワキアラ
13位 嶽森佳月 タケモリカヅキ
14位 羽冨香加 ハトミキョウカ
15位 陣副義一郎 ジンゾエギイチロウ
16位 黒河凪夏 クロコウナギカ
17位 立子山夏芳 タツコヤマナツハ
18位 黒政紀里 クロマサキリ
19位 栗藤クリス クリトウクリス
20位 拝高貴奈 ハイタカキナ
21位 八津川英鷹 ヤツカワヒデタカ
22位 竹根沢虹々菜 タケネザワココナ
23位 城村小手毬 シロムラコマリ
24位 多田出寿人 タダイデヒサヒト
25位 黒嵜琴那 クロザキコトナ
26位 黒礒夏恵 クロイソナツメ
27位 神結奏音 シンケツカノン
28位 馬醫澄 バイキヨム
29位 矢鍋愛美里 ヤナベエミリ
30位 竹川馨媛 タケカワカエン まったく数学素人なのですが、質問させてください（スレチかもしれませんが）
自分を起点とした先祖の、n世代前における人数は
シンプルに考えると2のn乗で表せる気がしてしまいますが
計算していくと実際にはありえない人数になってしまうかと思います
その人数と実際の「n世代前における先祖の人数」とのギャップの要因はたくさんの重婚や近親者、近い血縁者との婚姻関係にあると
思いますが、そのギャップを埋めた数式モデルなどは存在するでしょうか？
また参考になりそうなサイトなどありましたらお教えください >>720
このスレのタイトルにある「数学基礎論」というのは「基礎的な（つまり基本的な、あるいは初歩的な）数学」とは全く違います
「数学基礎論」あるいは「数理論理学」というのは、数学の中の、それもかなり特殊で偏屈な分野の名前で普通の数学（代数とか幾何とか解析とか）をやっている人々の
大半からは胡散臭い目で見られている分野です
というわけで、ご質問の件は、このスレでは答えは得られないと思います
この数学板や生物学板にスレがあるか否かは知りませんが、ご質問は「数理生物学」に関する問題だと思いますので、数理生物学に関するスレッドで
ご質問なさるか、あるいは、数学板で質問したり問題を提起したりするための以下のスレのどちらか（あるいは両方）で訊ねられては如何でしょうか
分からない問題はここに書いてね442
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1522418128/
面白い問題おしえて～な 26問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/ >>721>>732さん
そんな気はしていました。。
>>720の質問は取り下げます
親切にありがとうごさいました
また他のスレッドできいてみます >> 705１３２人目の素数さん2018/04/22(日) 03:11:11.98ID:XPQebsTa
＞直観主義なら成り立たないって何回言えばわかるんですか
チミは、帰謬法の原理を否定するような Intuist の考えをまともなものと信じて疑わないのかね？ >>734
少なくもチミの考えはマトモじゃないと信じるに足る 命題「AならばB」に対し、
対偶：「BでないならAでない」
逆：「BならばA」
裏：「AでないならBでない」
数学基礎論ならば初歩的な数学
初歩的な数学でないなら数学基礎論でない 直観主義論理はいろいろいい性質を持ってるので考慮に入れるのにやぶさかではない 帰謬法の原理を否定するような Intuist に、夢も希望も無い、 数学基礎論は初歩的な数学ではない。
よって、初歩的な数学ならば数学基礎論ではない。 ロジック・基礎論の入門的な教科書って、
書く人の専門によって
内容がかなり違うから面白いよね。
集合論のキューネンは、集合論を勉強していく上で
大事になって来そうな事ばかり書くいている。
田中先生は逆数学とか算術の超準モデルとか
そういう分野（そういう分野としか言いようがないが
敢えて言うなら証明論）向けの事を中心に書く。
坪井先生は超準解析に触れてたり。
新井先生はやっぱり順序数解析関係に必要な分野が
詳しいし、van Dalenは直観主義論理を取り扱ってたり、
証明論の人だとカット除去がやたら重要視されてたり。
キューネンは、集合論をやる上で必要充分な内容なのかと
思ったら、超冪とか超フィルターとかには触れてないのが
ちょっと意外。まあ割と必要充分に近いのだけど。 初等的な話ですみません
complement law(補集合の法則)についての質問ですSchaum's outlines SET THORY AND RELATED TOPICS SECOND EDITIONのP8で
集合に関するいくつかの法則が載っており
Aの補集合をA^c、全体集合をUと表記とし
A^c={x:x∈U,¬(x∈A)}と定義されており
(8a)A∪A^c=U (P8)
が法則の一つとして載っているのですが、これを証明する際に
任意のxに対して
x∈A∪A^c
→x∈A∨(x∈U∧¬(x∈A)) (定義より)
→(x∈A∨x∈U)∧(x∈A∨¬(x∈A)) (分配法則)
とした際に∧の右側に現れる
x∈A∨¬(x∈A)
を
x∈A∨¬(x∈A)＝x∈Uとすれば
(x∈A∨x∈U)∧x∈U
とすることができるのですが、
x∈A∨¬(x∈A)＝x∈U
であることはこの前のページにも後にも載っていません
こういう場合は自明なものとして
x∈A∨¬(x∈A)＝x∈U
を利用するか自分で定義するしかないのでしょうか？
もし定義するとしても求めたい帰結を利用することになるのではないかと思い、少しよくわからなくなってしまいました x∈A∨¬(x∈A)
も
x∈U
もどっちもトートロジーですから置き換えても良いですね >>771
(8a)A∪A^c=U (P8)
は正確には
A∪A^c=A∪U
あるいは
A⊆U→A∪A^c=U
なのではないでしょうか。 >>773
「A⊆U」は大前提じゃないの？
読み落としてない？ Hundert Jahre sind notig, um eine Wahrheit zu begreifen, und wieder hundert,
um sie zu verwirklichen. 強制法と相性がいいとは聞いた
でもBGのほうがいいよね 先日亡くなったフィールズ賞な男の方の人は証明検証システムと相性がいいHoTTとかイうのを推奨していたらしい 数学歴ゼロに近いから分かるとこまではわかるのだろうか。理詰めで。誰か説明して。 数学基礎論の問題：ー 命題とはなにか？ 数とはなにか？ 量とはなにか？ >>775
真理は、理解されるのに百年、実用化されるのに更に百年を要する。 >>773
原本を見たらp4で「A⊆U」が定理扱いされていたぞ propertyって定理なんですね
求める帰結を得るのに、その帰結を用いることって数学では許されてることなんでしょうか
なんか再帰性みたいな感じで >>785
そこの「定理」っていうのはその前にある記述をまとめただけだ
「property」とは何を言ってるの？ p4でthe following properties of sets should be notedと書かれていたことからです
あまり数学のことをわかっていないのでpropertyと述べられたら定理なのかと思ってしまいました >>770
キューネン+超冪+超フィルターで必要十分ですか？ 知らんけど大抵の事はどうにかなりそうだよ。
分野によっては記述集合論を深く知るには再帰理論を
もっと知ってたほうが良いとか、
モデル理論の知識で知ってた方が良いものがあるとか、
そういうことはあるけど。
というか集合論はロジックの分野の中では
あまりロジックの細かい知識は要らない方だと思う。 日本人の著者の中には、“恒真命題”なんて用語を使っているアホがいるぜｗ。
ーーーーー＞『ゲーデルと２０世紀の論理学１～４』 >>791
>“恒真命題”なんて用語を使っているアホ
？ 12回生になったある日、Dibbie が言った；－「小さなサークルを作って、論理学の研究をしない？」と。
「今、学校で教えられている論理学の理論はどうもオカシイ」というのだった。
彼女が言うには、「”PがQを内含(imply)する”の解釈が現行の論理学ではどうも変だ」
とのことだった。「”PがQを内含する” は ”Pでないか又はQである” と実質的に同値である
とされているのだが、Pに”ライオンは哺乳動物である”を代入し、Qに”ライオンとクジラは共に哺乳動物
である”を代入すれば、”PはQを内含する” は 偽であるのに、 ”Pでないか又はQである”
は真である。一方が偽で他方が真であるような二つの命題が同値である筈はない！」
Dibbie の主張は明解だった。 P ∨ Q は否定と論理積を用いた ￢(￢P ∧ ￢Q) と同じである
P ∨ Q ⇔ ￢(￢P ∧ ￢Q)
P ∧ Q ⇔ ￢(￢P ∨ ￢Q)
この二つをド・モルガンの法則という
二つの命題 P, Q に対する論理積を P ∧ Q と書き、
「P かつ Q」や「P そして Q」などと読む >>796
>PはQを内含する” は 偽であるのに
真だよ P→P∨Q
はPが真であれ偽であれ必ず真になるので恒真命題ですが
Pが真であれば
P∨Q→P
は真です >>798
”ライオンは哺乳動物である” は ”ライオンとクジラは共に哺乳動物である” を
内含しはしない。 P→P∧Q
∀x(P(x)→P(x)∧Q(x))
これの区別ができないんですね
または、で解釈する際は上使ってるのに、ならば、になると下になってしまってるんです P ならば Q である（前提 -- 実質含意）
Q でないならば P でない（その対偶）
Q でない（前提）
従って、P でない（モーダスポネンスによる帰結） >>802
命題論理は意味を省いた真理値だけで論理を解釈するもの
ライオンが鯨が
ではなく
真理値が内包するかどうか
真理値の内包とは
偽は偽を内包し
真は真と偽を内包すると
それだけ >>803
これなんですよ結局
異なる論理式の真偽が違うじゃないかーって言ってるわけです 内含(implication)の意味が分かってない香具師がいるようだなｗ。
”俺は大阪に住んでいる” は ”俺は日本に住んでいる” を内含する。
しかし、
”俺は日本に住んでいる” は ”俺は大阪に住んでいる” を内含しない。 >>807
”俺はライオンであり哺乳動物である”
”俺はライオンでありとあいつはクジラであり、俺もあいつも共に哺乳動物である”
”ライオンは哺乳動物である”
”ライオンとクジラは共に哺乳動物である”
この違いですよ P”俺は大阪に住んでいる” Q”俺は日本に住んでいる”
P ならば Q である（前提 -- 実質含意）
Q でないならば P でない（その対偶）
Q でない（前提）
従って、P でない（モーダスポネンスによる帰結） >>808
なんか変でしたね
とにかく、またはをならばに読み返るとき、あなたは勝手に量化してるんです 安倍昭恵さんの件といい、
新井敏康先生の奥さんの件といい、
最近の日本では偉い人の妻が夫の威光を傘に来て
偉そうにするのがトレンドなのかねえ…
ぶっちゃけあの人ロジックの研究者でも
数学者でも何でもないしなあ。
あの人がいっぱしの研究者みたいな顔して
議論に参加してる段階で半分勝ちみたいなものだし。
あの人が数学者ならダグラス・ホフスタッターなんか
20世紀の大数学者になってしまう。 かつて C I Lewis は、material implication(実質的内含)は真の implication ではない
ことを次の例によって示した：－
（Ｐ⊃Ｑ）ｖ（Ｑ⊃Ｐ）は恒真式である。と言うことは、任意の二つの命題Ｐ、Ｑについて、
一方が他方を内含(materially imply)するということである。真の内含であるかぎりそんな
ことはありえない！ ∀x(P(x)→Q(x)) ∨ ∀x(Q(x)→P(x))は成り立たない、というだけです >>807
>内含(implication)の意味が分かってない香具師がいるようだなｗ。
お前がその香具師な >>813
>真の内含
とか云うものを定義できなければどうにもならない "if P(x) then Q(x)" is defined to mean ∀x(～P(x)vQ(x)) . ＞内含(implication)の意味が分かってない香具師がいるようだなｗ。
述語論理の限量子の意味がわからないヤツがいるようだなｗ 「アライNさんがもしトリイロさんに喧嘩とか
吹っかけて行ったら面白いだろうけど、
彼女は賢いから、彼女が若手研究者のホープみたいなに
絡んでいく場面なんか見られないだろうな」、
とか何となく思ってたら、
アライさんtwitterを鍵アカにして
盤外戦術を仕掛けていっててワロタ
彼女の政治力は凄いけど、
流石にそりゃ無茶だと思うけどなあ、、 ゲーデルの(第二?)不完全性定理の証明への途上でゲーデルのベータ関数ってどうしてなくちゃならないんですか？
殆どどの教科書でもゲーデルのβ関数定義して議論を進めてますよね？
議論のどこかで帰納法を使うことは許されないんですかね
で、さっき廣瀬健の帰納的関数ではゲーデルのβ関数を定義してなかったのですが
ますます混乱してしまいます >>827
いや面白すぎるでしょコレ
ただ、他の数学者（夫含む）の数学の邪魔はして
欲しくないなとは思うけど。 >>826
再帰的定義のコーディングが必要なのが
第二の方なのか第一なのかは証明の方針を理解してりゃ
明らかにわかるでしょ。知りたいならちゃんとした
教科書を読むしかないよ。
中国剰余定理を使うコーディングが主流なのは、多分
多分それが一番サクッとコーディング出来るから、
というだけだと思う。
使わないやり方の本は、Peano算術より弱い
限定算術に対して不完全性定理を証明してる本とか、
説明の都合上最初は指数関数の記号が入ってて
コーディングが楽にできる体系で本筋を進みたいという
方針の本とか、
割と話題を証明論の一部に特化した本になる。
基本的に表現力が強い体系の方がコーディングは楽で、
弱い体系になればなるほど、地道で微妙なコーディングが
必要になって来る。 >>830
僕の質問はコーディングに際して
素因数分解の一意性に基づいて議論を進めるのか
可逆写像φ:N*N→N の存在に基づいて議論を進めるのか
に関わっているということですか そもそも素数が無限個あることを前提としている
限定算術だとかなり微妙な問題 direct limitって直極限と訳されてるけど、
明らかにdirected setと関わりの深い概念なんだから
有向極限と呼ぶべきな気がする ああでも逆極限と同時に考える場合はそれじゃ困るか
今のなしで 純粋数学で議論･構築されている数学って形式的体系内における数学なのか外における数学なのかどっちですか？ ということは形式的体系外で議論している内容を体系内へ表現することって意識はすると思うのですが、
数論的関数を形式的体系へ表現したのと同様に
ZFCにおける論理式を形式的体系へ表現するとか言う議論ってあるんですか？ ZFCにおける術語が帰納的かどうかで分類して形式的議論においてどこまでの違いを生むのかとか気になりますが 形式的体系外とか内とかいっても、やってることは
ZFCの宇宙Vの中で、ZFCのモデルMとか
その意味論や証明論をやってるだけ。
そう考えるのが一番簡単だし、それが集合論の人の
普段の思考に最も即すと思う。
別にZFCじゃなくても良いけど、
公理系を変えて考えるときにもそれがVの性質なのか
Mの性質なのかの二つの場合がある。
非ユークリッド幾何のモデルをユークリッド幾何の中で
作ったりする事とまったく同じ。
Vがambient spaceで、Mがその中に埋め込まれた空間。
独立性証明は、原理的にはもっと弱い算術の上で
行われてると考える事も出来るけどね。そう考える場合、
実際の証明の流れを多少modifyしたような事が
算術の上でemulateできる、みたいね感じになって
あまり直感的に分かりやすいとは言い難いよね。 >>840
>ということは形式的体系外で議論している内容を体系内へ表現することって意識はすると思うのですが、
そんなの意識するのは
食い詰めた基礎論屋だけ 船上に26匹の羊と10匹のヤギがいる
このとき、船長は何歳でしょう？
40年前、数学教育を専門とするフランスの研究者が
この問いを小学低学年の子どもたちに投げかけた
すると、大多数の子どもが「36」と答えたそうだ
もちろん、船の上に動物が何匹いようが、
船長の年齢と関係はない
解けるはずのないナンセンスな問いだが、
子どもたちは反射的に、文中に出てきた数を足し合わせ、
もっともらしい「解」を導き出した A「ピザって十回言ってみて」
B「ピザピザピザピザ…」
A「じゃあここは？」
B「ひざ」 Ｐ，Ｑをそれぞれ
ｐ：「ケネディ大統領は暗殺された」
Ｑ：「ケネディ大統領もリンカーン大統領もあんさつされた」
とする。
「ＰはＱを内含する」は、明らかに偽。
他方、「ＰはＱを実質的に内含する（即ち、not-ＰｖＱ）」は真。
一方が偽で他方が真であるような２つの命題が同義である筈がない！ Ｐ，Ｑをそれぞれ
ｐ：「ケネディ大統領は暗殺された」
Ｑ：「ケネディ大統領もリンカーン大統領も暗殺された」
とする。
「ＰはＱを内含する」は、明らかに偽。
他方、「ＰはＱを実質的に内含する（即ち、not-ＰvＱ）」は真。
一方が偽で他方が真であるような２つの命題が同義である筈がない！ だから
命題論理の内包ってのは
命題の「真偽」だけに着目してるんだって
PQいずれも真なら
P→QもQ→Pも真 material inplucationは質料と形相とかいうときの
質料のmaterialなので実質と訳すのはどうなのかなあ >>826は私ですけど、廣瀬健の帰納的関数 p117-p118に気持ちいいぐらいのドストライクな回答がありましたね
初等的述語が算術的述語であることを証明するのに必要でした 今、廣瀬健の｢帰納的関数｣を黙読してますけどこれいい本ですよ
説明・証明が丁寧で議論の筋道がわかりやすい
今日、一般枚挙可能定理まで黙読しました >>850 P Qいずれも真なら P→QもQ→Pも真
Ｐ，Ｑをそれぞれ
ｐ：「ケネディ大統領は暗殺された」
Ｑ：「ケネディ大統領もリンカーン大統領も暗殺された」
とすると、 P→Q は明らかに偽。
P Qいずれも真であるが、 >>850 P Qいずれも真なら P→QもQ→Pも真
Ｐ，Ｑをそれぞれ
ｐ：「ケネディ大統領は暗殺された」
Ｑ：「ケネディ大統領もリンカーン大統領も暗殺された」
とすると、P Q いずれも真であるが、 P→Q は明らかに偽。 明らかに真だが…
もちろん、項にいかなる人物を入れても、P→Qと¬P∨Qの真理値は一致する。
技術的用語を、定義を追わず、見た目から自分勝手に表面的に解釈し、その解釈に惑わされて全く無用の思考を延々とくり返し、あまつさえそれを世の中に公表しまくってしまう、ご苦労なおバカさんっているよね。
アインシュタインは間違っている！とか言いだしちゃう手合いも、そういうタイプなんだろうなあ。 849１３２人目の素数さん2018/06/10(日) 03:19:10.66ID:ATVzbBYJ
哲学板でやってれば
いいや、ここに留まる。
”if ..., then ...” の解釈を誤った上に構築されている現行の論理学理論は、根本的に間違っているのだ。 >>856 いかなる人物を入れても、P→Qと¬P∨Qの真理値は一致する
P→Qを¬P∨Qと定義したのならならそのとおりだ。
問題は、P→Qを¬P∨Qと定義すべきではないと主張しているのだ、ｗ P→Qを∀x.P(x)→Q(x)としか思えないヤツは頭が悪い ＞アインシュタインは間違っている！とか言いだしちゃう手合い
そういうヤツは現実ではなく自分勝手な前提に基づく馬鹿だな
現実の現象は絶対時刻と矛盾する
物理学は現実を扱う学問 アタマの中の”事実”を扱う学問ではない >>859
まだ言ってる
ではどう定義するべきかは何も考えてない P→Qを∀x.P(x)→Q(x)と考える香具師は、一歩進んでいる。 >>862
＞ではどう定義するべきかは何も考えてない
のではなくて、何も教えていない。ｗ なお
背理法が使えるような定義でなくては誰も興味持たないよ >>866
＞背理法が使えるような定義でなくては誰も興味持たないよ
勿論、使えるさ。 何度言えばわかるんですかねー
あなたのならばは、自由変数を含まない原始命題に対しては定義することすらできない欠陥品だと ケネディ大統領が暗殺された→1+1=2である
これはどうですか？
命題ではないですか？
真偽が定義できないですか？ >>866
どういう話の流れか把握してないけど、
俺は背理法が使えない矛盾許容論理に興味あるぞ >>874
数理論理的に言うなら、命題とは、アトミックな論理式、すなわち原始命題から構成される論理式のことですね
複雑な論理式は、原始命題や他の命題を論理結合子で結びつけることによって作ることができます
前提とは、A→BにおけるAのことですね
つまりですね、ならば命題を作ると言う段階は統語の範疇であり、意味はまだ付加されていないんですよ
少なくとも数理論理においては
ここまでの説明がわからないのであれば、あなたは意見をするレベルにないと言うことです
勉強し直してくださいね マジレスすると
「象は動物である」を命題って言うのは
何でも集合だってしてた素朴集合論同様の「素朴命題論理」ってやつね
命題論理は真偽のみに着目して
「何が真」「何が偽」という真偽以前の「素朴命題」（って呼ばせてもらうね）には関知しない
あくまで投射された真偽の真偽そのものにしか注視しないのよ だので
「象が植物であるならばケネディは90歳で死んだ」は真（に投射される） 874 名前:１３２人目の素数さん :2018/06/13(水) 23:44:56.08 ID:DMPVOmLK
>>870
前提は命題って言うにはちょっと甘いな
これは統語と意味論の区別がついていないから書き込めるレスですね >>878
「意味」を考えることはないってことが分かってないのね >>880
そこで言ったのは
ケネディ
暗殺
ケネディが暗殺された
定義を明確に出来ないからだよ >>881
数理論理学において、意味とは、命題記号、述語記号、定数記号、関数記号に具体的な命題、述語、対象、写像をマッピングすることを言います 定義を明確にしようとすればするほど無限後退になってしまうからね >>884
数学的には、意味とは厳密に数学的に定義された用語です >>883
どうぞ
ケネディ
大統領
暗殺
をマッピングしてね >>870
>ケネディ大統領が暗殺された
さあ
ドンドン「意味」をマッピングしてね >>887
ケネディ→ケネディ
大統領→大統領
暗殺→暗殺
この意味が分からなければ、あなたはこのスレッドにいる資格がありません M|=ケネディ^M大統領^Mは暗殺^Mされた
こういうことを、数理論理において論理式を解釈する、といいます
>>891
はい、数理論理が何もわかっていないことが判明しましたね
消えてください >>883
命題記号には真偽値を、述語記号には真理集合を、に訂正しておきます >>857
> 哲学板でやってれば
>
> いいや、ここに留まる。
> ”if ..., then ...” の解釈を誤った上に構築されている現行の論理学理論は、根本的に間違っているのだ。
だからそれは哲学の問題、あるいは哲学としての論理学理論の問題
ここは数学、数学は単なるゲーム
ゲームとしての数学で重要なのは、公理系が面白い＝様々な美しい定理が導かれるだけの豊かさを持つか否かであって日常の言葉に沿っているか否かの問題は数学では関心・興味の対象ではない
君が拘っている自然語としての"if …, then …"に沿った解釈に基づく公理か否かは数学の問題ではないから、これについて数理論理学としては正しい・間違っているの判断はしない
どういう解釈であろうと、その解釈の結果として面白い公理系が得られればそれが数学としては「正しい」道
そして、君が「解釈が間違っている」と批判する古典命題論理はモデルとしてのブール代数など十分に豊かで楽しめる世界を与えてくれたので数学の一分野である数理論理学としてはそれで十分に合格
君の疑問や議論が意味や意義を持つのはあくまでも哲学においてだけだ、数学では君の疑問の価値はゼロ、ここで論じられても単なる迷惑なだけというのを良く認識したまえ、偏執狂のアスペ君 命題論理で拘るべきなのは形式の整合性であって、現実的な意味内容にアクセント
を置くものではないんんじゃない。
ケネディ暗殺とか言っても、それを自分たちで目撃した訳でも検証したのでなく、
単なる歴史的な風聞を鵜呑みにしているだけであって、ケネディ暗殺が真値である
という保証さえない。替え玉が殺されたのかもしれないし。だから意味内容として
それが整合的になっているかを重視するのでなく、形式レベルを問題にすれば
いいだろう。 >>901
全くその通り
極論を言えば普通に考えておかしいと思えるような公理であったとしてもそこから十分に面白いと思える定理が導かれるなら
そういう公理もアリとなる 矛盾許容論理って
積極的に矛盾を導入するって立場と
矛盾律（⊥→A）を使わないって立場と
硬軟2種類有るよね 思うんだが、何で日本ってこれほどまでに数理論理学が舐められてるの？ 日本人がバカだからに決まってます
言語性IQの平均値は欧米より10も低いんですよ 日本のIT分野全般的にダメダメだから
理論的な根底成してる数理論理学もダメなんでしょ >>909
それ数理論理学特有の理由にはなってないんですがね どのスレに書けばいいか分からないのでココに書きます
足し算を“一括で”行う演算がかけ算 a*(b+1) = a*b+a
かけ算を“一括で”行う演算がべき乗 a^(b+1) = (a^b)*a
ではどうしてべき乗を“一括で”行う｢演算f3 f3(a,b+1)=f3(a,b)^a｣は数学もしくは数理論理学で扱われないんですか？
もっと言えば
fnを“一括で”行う演算f_(n+1)(a,b+1)=f_n(f_(n+1)(a,b),a)はなぜ扱われないんですか？ >>912
クヌースの矢印表記のこと？
巨大数スレ見てみた？ 数理論理学は論理学と哲学分野が密接に関係していると思っていて、数理論理学に触れる前にそれらを通るものだと考えると、
元々それらは日本の文化として存在せず、現在も根付いておらず、研究者の層が薄く、 幼少期から本物に触れる機会も少なく、知らないからこそ舐められていると思う。
結果として数理論理学まで到達する人も少なく、関連する数理論理学も同様に舐められているんだと思うな。 ヒルベルトとかの頃ならともかく
単に数学として面白みがないってことだと思うよ
実数がアレフ１か２かとか
別にどうでもよさげ
アレフ2だとして
じゃあそのアレフ1の部分集合が
なんだかよく分かるかって
実際全然具体性ないし >>915
908が知りたいのは日本特有の理由だから、数学としての面白みがないだけだとまだ足りないと思う
何で欧米では軽視されてないのに日本では軽視されてるの？って質問を言い換えるといいのかも
単に人口の問題ではないとして、文化的な違いが背景にあるんじゃないかと思ってるわ https://www.youtube.com/watch?v=5LJgfNQle9M
数字の発見をしました。
動画です。
ついでにもしよかったら他の動画もよろしく。（工作、電卓、絵、花火など） >>908
数理論理学の研究者が数学科の中でポストを得にくいから情報科学科とかで何とか大学教員になる。
余計数学科の中では勢力が弱くなるってことでしょ。 >>920だけど、数学難しいです。
理科が好きですー 921は数理論理学が舐められていることを前提にしていて、舐められているからこそ数学科のポストが得られず、情報科に行き、それによってまた舐められて数学科のポストが得られないという負の循環を示すだけで、数学的帰納法で言うn=1が成り立つ理由を説明できてないように思う >>922
見ましたよ
面白いですやん
数学的な理由付けがあればシリーズ物として見てみたいと思いましたわ アメリカは日本の不幸の元凶である。
・アメリカはインディアン殲滅と土地略奪、奴隷貿易で成立したキチガイ国家である。
・その汚らしい歴史を薄めるため、ありもしない南京大虐殺の罪を日本に被せ、自らは正義面をし世界に
アメリカ流をゴリ押ししている。
・中国共産党と北朝鮮そして韓国はアメリカが作った傀儡国である。
・これらの三か国に反日と憎悪を煽り日本への破壊行為の手助けをしてるのは紛れもなくアメリカである。
・北朝鮮にミサイルを打たせてるのはアメリカである。中国の日本領海の侵入を後押ししてるのもアメリカである。
・日本へのタカリ根性と乞食根性が染みついた韓国中国をとことん甘やかし増長させてるのもアメリカである。
・日本を滅ぼす行為を裏で操りながら、守ってやると偉そうに米軍基地を置き日本を監視し独立を
阻害してるのはアメリカである。
・GHQ体制以後、アメリカは在日朝鮮人を日本の間接支配の道具とし、様々な重要ポストを与え日本人を牽制かつ毀損し
日本人の監視を行わせている。
・芸能界において人気がないにもかかわらず、在日やハーフもしくは白人が起用されるのはアメリカの圧力があるからである。
・アメリカは貿易黒字のドルを金へ兌換することを日本に許さず。エンドレスに米国債を買わせアメリカ経済とドルを
支えることを強制している。
・アメリカは緊縮財政と消費増税かつ東京一極集中を日本政府に行わせ、日本人を貧乏かつ疲弊させ、国力低下と日本人削減を
徹底的に行わせている。
・アメリカは日本政府に移民を大量に入れることを命令し、日本の文化と秩序を壊し、日本を東南アジアのような貧乏かつ
売春大国にしようとしている。
・アメリカは自ら作った国際緊張で日本を脅し、日本の法律と憲法の上に位置するTPPもしくはFTAを結び、日本の主権を奪い
日本人を奴隷にしようとしている。 >>918
> 908が知りたいのは日本特有の理由だから、数学としての面白みがないだけだとまだ足りないと思う
> 何で欧米では軽視されてないのに日本では軽視されてるの？って質問を言い換えるといいのかも
欧米でも数理論理学が充分にリスペクトされるようになったのは割と最近で
それまではマイノリティとして主流分野の数学者との間で長い長い戦いがあった
それは欧州のとある数理論理学者から直接に聞いたので確かだろう
現時点において、欧米で数理論理学が日本よりも安定した地位を得ているのは、
理論計算機科学に対する欧米と日本とでのリスペクトの違い
日本が人工知能という与太に基づく第５世代コンピュータを当時の通産省主導でブチ上げたのに対する
ヨーロッパの反撃はESPRIT計画だったわけだが、このプロジェクトを成す様々な研究テーマの大半は理論計算機科学の特定テーマの研究加速化であったり
理論計算機科学の成果を応用しようというものであったりした
少なくとも当時のハード性能では与太話に過ぎなかった人工知能や知識工学に入れあげた日本と、理論計算機科学という中身の確かな学術分野を育てようとしたヨーロッパ
その理論計算機科学への集中的かつそれなりに長い期間の予算投入と重点強化で、そのバックグラウンドとしての数理論理学もヨーロッパではスポットライトを浴びて
数理論理学の研究者はヨーロッパで安定したステータスを確立できたと考えるのが妥当だろうね
日本だって一応はロジックプログラミングに基づく第五世代ということで、その際にばら撒かれた研究資金はロジック屋や理論計算機科学屋さんたちにも少しは流れたから
第五世代プロジェクトの時代にそれらの分野の研究者が急激に増えて育ったが、その後の予算が続かなかったので徐々に先細りしつつあるのが現状 AwodeyたちがやってるHoTTのプロジェクトも
軍関係で半分計算機関係の予算だよね。
日本で研究予算が続かなかったのは、まあ、
ロジックに限った事じゃないよね。
国の大元の金融財政政策がおかしくて景気が悪かったから
研究予算の総額自体が先細ったのが
根本的な原因だとは思う。そのせいで文科省の役人が、
一発当ててやろうみたいな打算で割り振った予算とか、
親族が有名な学者で自分には大した研究業績はないが
コネは持っててプレゼンテーションだけは得意、
みたいな政治屋が予算をもぎ取っていくとか、
そういう事例ばかりが目立つ事になる。 p進さんってGentzenのHauptsatzについて
かもさんとかよりずっと数学的に
きちんと理解してる感じがする 極限について、ツイッターで大学の教員が「極限は一階述語論理の関数記号であり、それを付け加えることは保存的拡大」としていたんだが、
極限は普通の関数(写像)の定義で作れる関数ではないの？ 極限は普通の関数(写像)の定義で作れるから、新しい関数記号として lim を付け加えても元と同じ（保存的拡大）
という趣旨の発言ではないの？ >>931
確かにそう見ようと思えば見られる
ありがとう >>908
・相対性理論
・数学基礎論（foundation of mathematics）
・量子力学
確かにこの３点セットは舐められているようになっているように見える。
でもどれも共通していることは、ゆるぎないものだってことだよね。
変なこと言ったら全方面から怒りを買うし気を使うよ。 >>933
> ・相対性理論
> ・数学基礎論（foundation of mathematics）
> ・量子力学
> 確かにこの３点セットは舐められているようになっているように見える。
量子力学と相対性理論は物理屋さんの間で舐められていない。
特に量子力学はこれに習熟していなければ研究者どころか物理学専攻の院生にさえなれない。
相対性理論だって宇宙論や天体物理方面を志望する学生には必須。
ただ、量子力学にせよ相対性理論にせよ既に物理理論として確立してこれら自体の研究は終わっているからポストもない。
舐められているとすれば、量子力学でなく量子力学基礎論とでも呼ぶべき研究分野、つまり観測の問題とか量子力学の解釈問題とかを研究テーマとする分野。
これが何故に殆どの物理学者から無視され相手にされない（つまり舐められている）かと言えば、それら量子力学基礎論の問題の答えがどうなろうとも
量子力学を使って実験・観測で出るべき値を予測したり実験で出たデータを解析したりする上で全く影響がないからだ。
つまり量子力学の解釈問題（コペンハーゲン解釈が正しいかEveretteの多世界解釈が正しいか或いは他の解釈が正しいのかという問題）は
実験によって当否を判定できる（つまり反証可能な）の問題でなく、従って自然科学としての物理学の研究対象ではない（自然哲学の対象ではあるかも知れないが）という事だ。
観測の問題にしても同様だと思われているが、こちらは本当に反証不能な問題なのかは少し疑問が残るような気が個人的にはしている。
これが殆どの物理学者たちが量子力学基礎論に対して冷淡な理由だよ、本質的に自然科学の研究ではないからだ。
もっとも「人間原理」なんて持ち出す宇宙論とか素粒子論の連中は量子力学基礎論の研究者以上に自然科学者として正気か疑わしいけれどね。
これに対して重力理論としての相対性理論に対する疑問は現在も充分にホットなトピックだよ。
何しろ一般相対性理論は量子力学と矛盾してしまうからね。（発散の問題）
だから例えばエントロピック重力理論なんてのは非常に魅力的な新しい重力理論の代替候補だし量子力学とは矛盾しない。
ただ、重力理論を素粒子論から基礎付けようとする超弦理論が久しくブームなので他の代替候補には予算もポストも回らない現実がある。 >>934で言いたかったことを要約しておくと、
量子力学と量子力学基礎論とはきちんと区別すべきだ、ということだ。
前者は反証可能な自然科学（自然は～である、を扱う学問）の理論だが、
後者は（恐らくは）反証不能な問題に関する理論を作ろうとしており自然哲学（自然は～であるべし、を扱う学問）の理論ということだ。
（一般）相対性理論や重力理論に関しては状況は全く異なる。
一部の分野には必須だし、その当否については現状でもホットな問題でもあるが物理学者コミュニティ内部の力学が原因で
特定のアプローチだけに予算とポストが集中している（ので他のアプローチは舐められてるように見えている）。 ところで量子力学基礎論が反証不可能であることの証明はできますか？ >>934-935
要約ありがとう。だいたいそういう理由が返ってくるので物理学専攻の学生でも
あまり手を出さない、つまり聖域みたいになっている。だから量子力学基礎論に
至っては、物理学専攻じゃなくて計算機専攻が量子コンピューターの研究の一環
で手を出しはじめている。量子力学基礎論を本当に進めたいのは量子コンピュー
ターまわりの人物だ。
つまり２系統今あるわけで、どこかで合流することは必然的だ。（これは不可避）
相対性理論、これもまた物理学専攻の学生にとっては聖域だね。専攻して講義を
受けてみても不可解な教科書に講義、図書館で調べようとしても相対性理論と名
のつく本は「ものすごく頭のいい人が書いたから」というような不可解な理由付
けがされているものの結局は、形容しづらいので、難しいわけだ。
宇宙論は輪をかけて難しいものの、こう、最初の膨張宇宙のモデルを提出した人
達で有名ではない人をみていると、亡くなっていても偉大な人物はいまからでも
評価しなくてはならない、ってなる。宇宙論だろうが力学分野だろうが探せば、
ああこの現象を理由付けたのはあの人物だったのか、って言う人がいるだろう。
ブラックホールの概念についてもそうだね。
>>936
量子力学基礎論が反証不可能な証明ですか、それは今の自分の力量ではできません。
なにせ数理論理学ってすごく難しいでしょう。中高でやる幾何学の証明とは全く別物
みたいで、幾何学の証明について書かれている古い本もっていますけど、その付録を
読んでいると、ああ、丸写しできる答えがそのままのっていないと証明することって
一人では難しいなって思ってしまいます。 「量子力学基礎論」という知らない固有名詞に乗るのはよろしくなかった。
「量子力学の解釈問題」で読み替えてください。 格子ゲージ理論が離散化で却って成功してる事例だろ
ガイシも本書いてるｗｗｗ ガイシの時点で量子論理とかとの関係性見いだそうとやってたのに
にじゅういっせいきになって「量子力学基礎論」とか・・・ 怒らないで聞いて欲しいんだけれど、こう、陳腐な話だけれど、
他人の命とか人生とか粗末に扱ってはいけないと思うんだ。
よく、思い起こして欲しいのだけれど、それは陳腐な話なんだよ。
もう怖くてみんな言い出せないだけで、顔色も変えないように
しているだけなんじゃないかな。
ただ単に仕返しが怖いから笑っているだけなんじゃないかな。 言ってしまえば、所詮ね、こんな学問的に追い求めるということは
一つのロマンであって、大事なものではあるけれど、結局はありもしない
ロマンでしかない。事実今現在存在する現実とロマンを比べたときは、
現実をとらないといけない。ロマンを追い求めて、現実逃避のために
ちゃんと今存在してくれている現実を台無しにしてしまう人なんてね、
こう、身近なしょうもないケースに喩えて考えてみることは大事なんじゃ
ないかと思う。 人生は死ぬまでの暇つぶし
自分という中心がある限り、現実が大事かどうかは自分しか判断できない。 それはあなたの判断であって他の人は違うでしょう？
暇つぶしなんてしょうもない理由しかない人もいるでしょうが、
家族を大切にしたいとか、目標を達成したいとか、
別の価値観の人がいるんですよ。 もう理解もしていないロマンを追っておかしなことをするのは止めよう
自分ももうお払い箱なんだし。具体的手法も含めて全部言ってしまった。
願わくばまだ見ぬ異国のメンバーたち頑張って実現してくれ、
ここでは無理だから。青い鳥なんていない、現実に戻るべきだよ。 スレチだったらすみません。
任意の自然数nに関する実数tの3次方程式を考えます。
∀n∈N∃t∈R {t^3+3nt^2-3n-2=0}
このときこの方程式の条件式の部分だけを考えて、
t^3+3nt^2-3n-2=0⇔∃X,Y{Y=(3/2)t^2*X-t^3∧(X,Y)=(-2n,-3n-2)}
と、同値変形することは正しいでしょうか？
これだけだと同値式の左辺はn,tの定義が不明で方程式として見ているのか恒等式なのか判断できないから真偽判定できないが
右辺はX,Yの存在に関する真偽判定可能な命題になっていて本当に論理的に左右が等しいのかわからないのではないか？
と、指摘がありました。
その人は右辺の二つ目の条件は条件というよりもX,Yの定義そのものだから∃X,Yを削除して、さらに条件式だけではなくt,nの定義もセットにして
∀n∈N∃t∈R {t^3+3nt^2-3n-2=0}⇔∀n∈N∃t∈R{Y=(3/2)t^2*X-t^3, ただし(X,Y)=(-2n,-3n-2)}
とするのであれば理解できると言ってました。
結局条件式の同値変形はどうするのが正しいのでしょうか？
特に∃X,Yが付くか付かないかで本当に意味が変わってしまうのでしょうか？
わかる方がいましたら何卒回答を教えていただきたいです。よろしくお願いいたします >>948
論理的に同値かどうかを調べるには、論理式に使われる言語や述語記号などの解釈を定めていただかないといけないのですが、そこら辺はどのようになっていますか？ >>948
ゼンシヨウヘイホウカトクシヨウヘイホウカジユツゴカ >>948
∀n∈N[
( ∃t∈R t^3+3nt^2-3n-2=0 )
⇔
( ∃t∈R ∃Y∈R ∃X∈R Y=(3/2)t^2*X-t^3 ∧ (X,Y)=(-2n,-3n-2) )
]
は明らかに正しいよな
でも、代数学の基本定理を加味して考えると(？)
∀n∈N ∃t∈R[
( t^3+3nt^2-3n-2=0 )
⇔
( ∃Y∈R ∃X∈R Y=(3/2)t^2*X-t^3 ∧ (X,Y)=(-2n,-3n-2) )
]
も正しいよな
(3次方程式だから代数学の基本定理は一々言わなくていいか…) ∀x(P(x)⇔Q(x)) ならば ∀xP(x)⇔∀xQ(x)
も正しい主張だから、>>951の前段により、
論理式
∀n∈N( ∃t∈R t^3+3nt^2-3n-2=0 )
⇔
∀n∈N( ∃t∈R ∃Y∈R ∃X∈R Y=(3/2)t^2*X-t^3 ∧ (X,Y)=(-2n,-3n-2) )
も正しい
はず…。 ∀n∈N ∀t∈R[
( t^3+3nt^2-3n-2=0 )
⇔
( ∃Y∈R ∃X∈R Y=(3/2)t^2*X-t^3 ∧ (X,Y)=(-2n,-3n-2) )
]
も正しいな
(∃ｔを∀ｔに変えた) カッコって
｛（[ ]）｝の大中小関係だと思ってたが違うんか？ >>954
>>953は単なる見栄え上の問題です
ただ、論理式を書く中で波括弧{}を書くと、集合と誤解を受けるので角括弧[],丸括弧()が多用されますね
勿論丸括弧()も組(x,ｙ)と誤解を受ける可能性があるので注意は払うべきですが >>870
「当時の」日本の関係者が揶揄するなら、K.Y.ケネディ
ということですね。 順序数定義可能集合について書かれている、
キューネン以外のおすすめの本はありませんか？ ２０世紀は、論理学の歴史からみれば、おおかたの予想に反して、Russell-Hilbert-Goedel
にミスリードされた暗愚な10０年であったと記憶されることとなろう。 ZFCで(とりあえず)考えます
P(x,y)を述語とする
選択公理により、∀x∈X∃ｙ∈Y P(x,y) ならば ∃ｆ：X→Y ∀x∈X P(x,f(x)) です
じゃあ、∀x∃ｙ P(x,ｙ) ならば 新しい関数記号ｆを導入し、公理∀x P(x,f(x)) を加えた体系は元の体系の保存的拡大(だったっけ？)になるんですか？
選択公理を使わずとも、∀x∈X∃!ｙ∈Y P(x,y) ならば ∃ｆ：X→Y ∀x∈X P(x,f(x)) です
じゃあ、∀x∃!ｙ P(x,ｙ) ならば 新しい関数記号ｆを導入し、公理∀x P(x,f(x)) を加えた体系は元の体系の保存的拡大(だったっけ？)になるんですか？
この場合は上の場合とは違った議論は何かありますか？ >>960
計算機科学屋さんで一番役に立たない連中の間違いだろ >>960
自分としては幾何学の基礎の八版改訂をしたベルナイスが一番。
フロイデンタールは皮肉ったが、他は誰も誤解されてても
指摘しなかったしそういう雰囲気だったんじゃないか。 ヒルベルトも第一次世界大戦後にドイツがようやく加入がみとめられて、
一応ブラウワーを追い出すこととなった大舞台のボローニャの国際会議（1928）で
大々的にぶち上げたもんだから訂正もできないわ、そりゃ「数学の危機」って
言われるって。 論理式全体の集合Fは含意記号⇒について順序集合をなしますが(議論している形式的体系はZFCとかそれ以外でもいいんですかね？)、
ということは⇒からFに位相が定まりますが、この位相空間について議論している研究分野って何て言うんですか？
勉強になる資料あったら教えて欲しいです
で、気になったんですがこの議論って、 Fにおける順序 と 位相空間Fから演繹される⇒を含んだ各種命題 が循環しそうな感じですよね
厄介な議論になりそうでこの点でも興味あるんですが >>968
自分の理解では、その含意の意味が少なくとも２種類あるのだけれど、
混同して理解されているからまず分離しないと研究領域にならないと思う。
言い換えると、〜ならば〜っていうときの「ならば」は自然言語的で曖昧なんで、
包含の意味なのか導出という意味なのかそれぞれ固定して別個の領域で研究する
必要があるだろうということ。 宇宙が地球よりも大きいならば
太陽系は銀河系よりも小さい 宇宙はcosmologyの宇宙じゃなくてuniverseの方か？
一つに絞れてはいないけれど、どれであったとしても正直信じることができない。
ギャップがありすぎるし、それに、原理をなぜ断片的にでも説明していかないんだ？
バッと出して、解説も一緒に出すのか？だとしたら自分バカみたいじゃないか。 無念の内に埋没していった奴らの業績掘り起こすのぐらい言われなくてもやるわい。
そもそもそうしないと話繋がらないんだから。 なんだったっけ…
人間は動物である
したがって
人間の鼻は動物の鼻である
が1階の述語論理じゃ形式化できないんだったっけ？ パース（Peirce）について聞かれても正直わからん。 その『数学的対象』と呼ばれるものは何か実在モデルがあってその定式化されたものと
考えるべきで、結局数学的対象物の実在性というのは現実モデルの実在性に帰着する。
前期ヒルベルトみたいに無矛盾性だけに帰着させて、無意味な形而上学を放置
しておくと、インテリジェンス誌上でベルナイスの弟子のマックレーンが数学の健康問題
（The Health of Mathematics, 1983）で論争するような集団になる。
結局のところ数学も人間の編み出した表現の一つでしかないのだから、数学を『完全言語』
とみなして、すべてを導出するというような使い古された話は意味なくて、現実に発生する
『現象』ベースで文の真理値を確保して、それを数学的定式化したということで数学的表現の
真理値の保証を得る、つまり客観的実在物であると認定させるという方式しかないと思う。
結局、数学というのは二次的なものでベースは現実に発生する現象の物理に持ってこないと
数学もできないと思った。 自励系だけじゃないだろ。結局、現象は作れるけど『実は、説明はできません』とは
言えないことに起因しているんじゃないか。
強がっているが実は説明できないので時間だけ過ぎていく。 >>982
頭の中を整理してから書き込みましょう。 自分のアプローチというか動機は物理に型概念を導入したいということなので、
ほぼすべてその観点から組み立てている。
ただ、まだ意見を言うには早いし正直内容的にわかってない。 >>977
これだと、ラッセルの考え方と逆になるね。
命題関数や論理は、その概念上の中で自己完結できるというのがラッセルの
観点。つまり、現実的な対応物がなくても、数学的な記号操作だけで真偽を決定できる、
ということ。自分もこのラッセルの考え方を支持しているよ。
なぜなら、科学的な真理は、かつて天動説が信じられていた時代があったように
論理の真理値を完全に保障するものとはなり得ないから。つまり、客観的な物理学を
想定しなくても用いることが出来るのが論理や命題関数の本質じゃないかな、と考えられる。
だから「すべての人間は死ぬ」という命題も常に真、すなわち恒真命題だとはいえない。
なぜなら、バイオテクノロジーの発展で、今後、不老不死の人間が現れないとも限らないから。
あと、枚挙型の帰納的推論だと、人類誕生以来のすべての人間の死を確認した訳でもないので、
そこからも命題の真偽と現実の客観的対応は、完全である、と思い込まない方がいいだろう。
あくまでそれは蓋然性の度合いや高低の問題となる ラッセルの時代は知られてなかったけど、
算術を入れた一階述語論理では命題関数を自分の中では扱えない
任意の論理式φに対して、φをゲーデル数化した項をt、(真であると解釈する)述語記号をTとしたときに
φ↔T(t)
とすると矛盾してしまう たとえば、「先日、オウム真理教の教祖、麻原彰晃に対して死刑執行が為された」
という命題を考えてみよう。この命題は真である、と考えられるけど、実際の
事実レベルでは、それとは違う事態が生じていた可能性はあり得ないだろうか。
執行以前に、刑務官の暴行で麻原が死んでいたり、病死していたり、自殺していた、
幽体離脱して消えていたという真実がある可能性もゼロではない。それがマスコミに
発覚すると刑務所の死刑囚管理体制に対してバッシングを受ける恐れがあるので、
それを隠密裏に処理した。そして、通常通りの死刑執行が麻原彰晃本人すでに死去の中、
形式的にのみ執り行われた、という真実もあり得る訳で、命題だけからでは、
決して本当の真理値を論理的に導出し得ないことが判る。あくまで、その命題が
真となる蓋然性や度合いのグラデーションがそこにある、という風にそれを解釈できる。
つまり、論理や命題論理式は世界や実在の完全な記述ではなく、矛盾許容論理、
多値論理などを用いて真理値に幅を緩く持たせてあげたりするようにして整合
させようとするものがあることからも判る通り、論理というゲームの世界で
なるべく斉合させていくというアプローチだろう。でも、そのような論理を
人工知能などに実装すれば、それは病理判定など専門的な挙動なり判断、推論も
そこから得られるので、現実においても有効に活用できる。ただし、それでも
論理は完全ではない、ということだろう。
別に完全でなくても、論理は十分に役立つし有意義な道具や概念であると割り切って
いれば、いいでしょう。 現実との対応関係が曖昧なのは、論理だけでなく、数学でも事情は一緒。
たとえば、無限という数学的概念に対応している現実的な存在物を挙げて
みよ、と言われても誰も答えられないはず。人は実際に無限を見たことも
経験したこともない、常に有限を生きている。また、無限はその性質から
言って数え上げることもできない。無限を数え上げ終わる前に、人や人類は
寿命や終焉を迎えることだろうから。
つまり、あたかも無限や無限小なるものが概念上で実在しうるものとみなして、
数学というゲームをなるべく精密に構築して展開しよう、ということなので、
それを厳密に考えたら、数学と現実に写像的な対応関係がある訳ではない。
ただそうした抽象化をすることで多くの利点がもたらされるので、そうした
数学を活用しているということ。 >>986
ラッセルが英墺系の哲学と論理学をイギリスをはじめとする英米系の文化圏にもって
来るときに、フレーゲの論理学もなにもだいぶ簡略化して紹介してしまったんだよ。
ラッセルの念頭には「形式論理学」としての論理主義があったので、フレーゲの真理
概念も誰にとっての真理なのかわからない真理関数として単純化された。
それはそれで時流に乗って成功しちゃったんだけど、やっぱ現実と合わないところが
出てきたので、同じイギリス人のダメットが回りくどいやり方で、もとの英墺系の
哲学論理学を復活させようという運動をしてくれた。
英墺系哲学論理学の観点から２０世紀科学をみると、納得いかないところが
いっぱいあるので、英墺系哲学論理学をベースに２０世紀科学をやり直そう、という
運動をしたらここまできた。 計算機の方が現実的なメソドロジカルな経験主義的な最重要な「手段」だからね 自分としてはこういう理由。
１ 論理実証主義者が無意味な形而上学と退けたいくつかの現象が
計算機の発展によるインスタントメッセージの流通とその監視により
合理的に存在するもので無意味な形而上学とはいなくなった。
２ 女性活躍社会になったので心的現象を社会的に無視できなくなった。 我々は２０世紀論理実証主義者が定義した科学の範疇を逸脱しているのに
合理的であるとみなされる現象に振り回されている。
これは「科学」の範疇が時代にあっていないせいだ。だから、我々は合理的現象を
説明する枠組みとしての科学を２１世紀に合致するものとして再定義しなければ
ならない。言うなれば、２１世紀の新しいウィーン学団的論理実証主義を定義
することだ。。→いつの間にかアイコン的目標もできたよ。 >>991
だから、ラッセルやオーストリア出身のゲーデルを出すまでもなく、
古典論理の運用は、日常言語の使用法とは幾分、解離しているよ。
命題をP,Qと置き、論理和は、P ∨ Q はP,Qが共に真(1)の場合でも、
真とみなされるけど、現実の日常生活でこの論理の法則を適用したら、
おかしくなるよ。
たとえば性別を問われた時には、PかQのいずれかが真でいずれかが偽となる
回答を求めているのに、「私は男(P(1))です」また同時に「私は女(Q(1))です」
という回答も真理関数の上では真(P(1)∨ Q(1) ⇒ 1)となる。
P⇒Qについても同じで、Pが偽の時は、Qがどんな命題でも真となる。
これは日常言語での言葉の扱いとはズレている。
「オウム真理教の教祖、麻原彰晃に対しては、まだ死刑執行が為されていない」
という命題Pは偽なので、任意の命題Q、
「だから、麻原彰晃は今も独房の中で生きている」
というP(0)⇒Q(0) は、真偽表の上では真(1)となる命題扱いになるから。
偽からはどんな帰結でも導けるというのは、論理の世界では有名でしょ。
それは、日常での言語運用感覚とは異なるもの。 「オウム真理教の教祖、麻原彰晃に対しては、まだ死刑執行が為されていない」
という命題Pは現時点では偽なので、任意の命題Q、
「だから、麻原彰晃はすでに死んでいる」
という奇怪な文も、真理関数の概念の上では、真となる命題の関係となる。 もっと簡単に言うと、OR文を日常言語の運用法で解釈すると、PかQのどちらか一方
となるのに、論理の真理関数上ではPとQが共に真の時も、真とされるというところに
日常世界と論理の世界との間にズレがあるということ。
なんで論理がそうなっているかはの理由簡単で、計算上の整合性がそこに求められているから。
P∧Q は、P*Q
P∨Qは、(P+Q)-(P*Q)
という計算で整合するように構成されている。 このスレッドは１０００を超えました。
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