大学学部レベル質問スレ 11単位目
レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
y"-y'-2y=sinx
この特殊解の求め方お願いします
(cosx-3sinx)/10になります >>815
1) 正面から定数変化法で一気に一般解まで求める。
2) とりあえず、三角関数だし y0=asinx + bcosx くらいで試してみる。
他にも多分色々ある 複素数成分の正方行列Aについて，
「det(A) = 0ならばAの固有値は0のみ」
って言えますか？ A={x∈R^2| 1≦‖x‖≦２}とB={x∈R^2| 0＜‖x‖＜1}って位相同型になりますか？証明も合わせてしていただけると助かります。 小寺平治著『明快演習 線形代数』の147頁にある問題4.2
A, Bがn次正方行列であるとき，次の行列の固有多項式は一致することを示せ．
(1) A, Aの転置
(2) A, B^(-1) A B
(3) AB, BA
この問題なんですけど，(1), (2)は巻末解答を見なくてもできたんですが，(3)が巻末解答でもちょっと分からないので教えてください．
Bが正則なら(2)よりOKなのはいいんですが，Bが正則でないときについて，
「十分大な任意のtに対して|tE - B| ≠ 0.」（以下略）
とあるんですが，この「 」内のことがなぜなのか分かりません． |tE-B|=0となるtなんてn個しかねーんだからその最大のやつよりtがでかけりゃ≠0よ >>828, >>829
あー
なぁんだ、それだけのことですね
分かりました ツォルンの補題について質問です。
ZFのみの場合、ツォルンの補題はどのようにして示せなくなるのかが気になっています。
前提条件→結論の部分が変わるのか、それとも前提条件の部分が変わるのか、という点です。
まず前提条件→結論の部分について、
ある与えられた順序集合XにXの極大元が存在するかどうかは選択公理のある無しで変わるのでしょうか？
私はこれは選択公理のあるなしで変わらないと考えています。
一方で、ある順序集合Xがツォルンの補題の前提条件の「Xの任意の全順序部分集合がXの中に上界を持つ」を満たすかどうかは
選択公理のあるなしで変わり(選択公理があるとより強い条件になる)、
選択公理のない場合はこの前提条件を満たす順序集合の範囲がより広くなるので、
ツォルンの補題が成り立つと言えなくなるのかなと考えています。
この考えは合っているでしょうか？
よろしくおねがいします。 >>833
>ZFのみの場合、ツォルンの補題はどのようにして示せなくなるのかが気になっています。
示せなくなるっていうか
示せないでしょ
ZF上CとZornは同値 >>819すらわからない低レベルなんですから引っ込んでてくださいねー >>833
ググってきましたが、ZFとCはそれぞれ独立で、CとZornの補題は同値です
すなわち、ZFとZornの補題は独立なので、
＞ツォルンの補題が成り立つと言えなくなる
というわけではないようです
ZFとZornの補題が独立である、ということは、ZFのあるモデルM,Nが存在して、MではZornの補題が成り立つけど、NではZornの補題が成り立たないようにできる、ということを意味しています
つまり、ZFの上では単にZornの補題を証明できないだけで、Zornの補題が成立するかどうかとは別問題ということです
これ以上はもっと頭のいい人に聞いてくださあ ZornがACと(ZF上)同値なことは学部1年でも知ってることですけどねー
ググらないとわからないんですね(笑) >>835
ありがとうございます、示せないこと自体は理解しているつもりです
その上で気になっているのは、
ツォルンの補題は「前提条件を満たしているもの」は「ある性質を満たす」という形だと思うのですが、
選択公理がない場合に「前提条件を満たしているもの」が変わるのか、
それとも選択公理が無くても「前提条件を満たしているもの」は同じだけど、それが「ある性質を満たす」とは言えなくなるのか、という点です
>>838
ありがとうございます、ZFとCの否定を仮定した場合にZFCを仮定した場合と比べてどうなるのか、と言った方が適切かもしれないですね >>842
何を疑問に思ってるのか分かんないや
Zornの補題は「帰納的なら極大がある」
選択公理は「集合族には選択関数が存在する」
てことで
ZFだけなら「帰納的でも極大があると証明できない」
ZFに¬Cなら「帰納的でかつ極大がない集合があると証明できる」
だよ ZF と ZFC では、集合を作るために使える手段が異なる。
ZFC では、選択公理という手段があるために、よりたくさんの集合が作れるが、
ZF では選択公理がないので、集合を作る手段が制限されており、
ZFC では到達できた集合が ZF では到達できない、ということが起こりえる。
つまり、感覚的には、
・ ZF で作れる集合は ZFC でも作れる
(ZF で作れる集合は選択公理を使ってないので、同じことを ZFC でマネすれば、ZFC 版の同じ構造の集合が得られる)
・ ZFC で作れる集合は必ずしも ZF では作れない
(選択公理を使った集合は、ZF ではマネできない可能性がある)
ということになる(あくまでも感覚的には)。 このことを踏まえて >>833 に回答すると、次のようになる。
P1 [順序集合Xに極大元が存在するかどうかは ZF と ZFC とで変わるか？]
ZF で作られた順序集合 X を任意に取る。感覚的には、この集合と同じ構造の集合は ZFC でも作れるので、
対応する順序集合を X' とする。すると、X に極大元 x が存在するなら、
対応する x'∈X' は X' の極大元だし、逆に X' に極大元 x' が存在するなら、
対応する x∈X は X の極大元である。この意味において、P1 は ZF と ZFC とで変わらないと考えられる。
しかし、ZFC で作られた順序集合 X' を任意に取るとき、X' に対応する集合は ZF の中では
必ずしも存在しないので、この意味において、P1 は質問としてナンセンスとも言える。 >>844
＞ZFC では、選択公理という手段があるために、よりたくさんの集合が作れるが、
たとえばどんな集合ですか？ P2 [順序集合 X が「Xの任意の全順序部分集合がXの中に上界を持つ」かどうかは ZF と ZFC とで変わるか？]
ZF で作られた順序集合 X を任意に取る。感覚的には、この集合と同じ構造の集合は ZFC でも作れるので、
対応する順序集合を X' とする。すると、
Q'「 X' の任意の全順序部分集合が X' の中に上界を持つ」
ならば
Q「 X の任意の全順序部分集合が X の中に上界を持つ」
は言える。しかし、Q ⇒ Q' は必ずしも言えない可能性がある。
なぜなら、X' の全順序部分集合 U' を任意に取るとき、もし選択公理を経由して U' を作っていたら、
U' に対応する U は ZF の中では作れない可能性があるので、これでは「Q」に帰着できないからだ
(すなわち、Q を仮定しても、Q' を示すのに「Q」に帰着できないので、Q' が成り立つとは言えなくなり、
よって Q ⇒ Q' は必ずしも言えない可能性があるということ)。
この意味において、P2 は ZF と ZFC とで変わると考えられる。
しかし、ZFC で作られた順序集合 X' を任意に取るとき、X' に対応する集合は ZF の中では
必ずしも存在しないので、この意味において、P2 は質問としてナンセンスとも言える。 >>846
たとえば「 R のルベーグ非可測集合」が該当するはず。 >>848
そのクラスが集合であることは示せますか？ あ、集合全体、ではなく集合そのものですか？
たとえばどんなのがあるのでしょうか？ >>849
そのような捉え方ではない。
ZFC の中では「 R のルベーグ非可測集合」が作れるが、
ZF＋決定性公理 の中では、R の全ての部分集合がルベーグ可測になる。
ということは、ZF の中では、「 R のルベーグ非可測集合」は
存在することもしないことも「証明できない」ことになる。言い換えると、
・ ZFC ならルベーグ非可測集合が "作れる" 。すなわち、存在性が証明できる。
・ ZF の中では、ルベーグ非可測集合が "作れない"。ここでの "作れない" とは、
「作れる」(＝存在性が証明できる)を否定しているという意味であり、
存在しないことが証明できる、という意味ではない。
このことは、感覚的に言うと、ルベーグ非可測集合は選択公理を経由することで
初めて作れる集合なのであって、選択公理が使えない ZF では、
「いくら ZF の公理を組み合わせて集合を作っていっても、ルベーグ非可測集合に到達できない」
ということを感覚的には意味している。 >>842
ZFに¬Cで帰納的でかつ極大がないと証明される集合は、ZFCでは
帰納的なものに含まれなくなるのか、
帰納的でかつ極大があることになるのか
という点を疑問に思っていました
>>844 >>845 >>847
頂いた返答がまさに知りたかったことです、ありがとうございます
ZFに¬Cで「帰納的でかつ極大がない集合があると証明される」集合に対応するものがZFCではそもそも集合として必ずしも存在しないし、存在しても必ずしも帰納的とは言えない、ということですね
とても腑に落ちました >>850
「どんなもの」とは？
具体的に構成して、ってこと？ f(x, y) = x*y / (x^2 + y^2) for (x, y) ≠ (0, 0)
f(0, 0) = 0
とする。
f は (0, 0) で偏微分可能である。
それ以外の方向微分は存在するか？ 関数 f ： R^2 → R で、(0, 0) でのすべての方向微分が 0 であるにもかかわらず、
(0, 0) で不連続であるような例を与えよ。 >>855
f(x,y)={1 for y=x^2(x≠0); 0 otherwise} >>854
f(x,y)=(sin2θ)/2
アルワケネッス >>854
存在しますね。
c > 0
-c * e_1
-c * e_2
を方向ベクトルとすれば、いいわけです。 >>860
e1 方向の方向微分である ∂f/∂x と
-e1 方向の方向微分は異なります。（符号が反対） >>863
ある無矛盾な公理系τの任意のモデルに対してある論理式φが常に真となるならば、τからφがLKにおいて証明可能となることを示せ p[n] をn番目(n = 1,2,3,...)の素数とするとき、交代級数Σ(-1)^(n-1)/p[n]が収束するのは分かるのですが、どのような数に収束するのかが分かりません。
そもそも、logやe,Πなどを用いて表せるのでしょうか？
wolframalphaで求めた所、数値的には0.269・・・となるようです。
具体的な値は分かりませんでした。どなたか教えて下さい。 >>865
すげー。収束するんですか？どうやって証明するんですか？ ライプニッツの定理ってのがあるんですね。すばらしい。 |a[n] - a[n-1]| > |a[n+1] - a[n]| → 0 ∂f/∂x_i = Σ (a_{ki} + a_{ik}) * x_k from k = 1 to k = n
は明らかに連続関数である。よって、 f は C^1 級の関数である。
したがって、 f は微分可能である。
Df(a) * h
=
∂f(a)/∂x_1 * h_1 + … + ∂f(a)/∂x_n * h_n
=
Σ (a_{k1} + a_{1k}) * a_k from k = 1 to k = n
+
…
+
Σ (a_{kn} + a_{nk}) * a_k from k = 1 to k = n
=
<A^T * a, h> + <A * a, h>
=
<A * h, a> + <A * a, h> >>874
微積分
微積分
微積分
微積分
微積分 電気系の技術者ですが、集合と位相のはじめに出てくる話で、
開集合、閉集合、閉包などの用語が現れた歴史的経緯をご教示ください。
（どの本みてもありません。）
そもそもこれらは実数とか、測度論の理解に必要だから
やっとくという理解でいいでしょうか？ 本当にくだらない質問ですみませんがお願いします。
主成分分析というのがありますが、
これは、例えば、「青さ」「明るさ」「透明度」などの成分を先に全部足して計算して、
その計算された成分から、第一主成分、第二主成分などをえらぶのでしょうか？
それとも、例えば「青さ」「明るさ」「透明度」などの成分が
ばらつきが、「青さ」＞「明るさ」＞「透明度」、 の場合
そのまま、第一主成分が「青さ」で第二主成分が「明るさ」になるのでしょうか？
恐らく前者だと思うのですが、ある主成分分析の説明に、後者が書いてあったので、
確認したくなりました。
すみませんが宜しくお願いします。 >>877
＞開集合、閉集合、閉包などの用語が現れた歴史的経緯をご教示ください。
カントールの「集積点」からまず 始めよう。 >>877
この本に歴史的経由含めて解説が載っていたと思う
無限への飛翔 集合論の誕生 (大人のための数学 3) 志賀 浩二 (著)
位相への30講 (数学30講シリーズ) >>878
全然違う
まず主成分を抽出してから成分の意味を考えて
意味の合いそうな性質を当てはめ名付ける >>881
ありがとうございます。
もう少し調べてみます。 >>877
教えてもらって礼ができない社会不適合者 Euler's Theorem on Homogeneous Functions
って何の役に立つんですか？ 可換環論で、整域の元に対して同伴という関係が導入されていて、
整域以外の環に対して導入されてる例はググった範囲では見つからなかったのですが
整域に制限する理由はありますか？
整域でのものと同様の定義は整域でない可換環でもできるし、それを満たす例もZ6での2と4とかあると思うのですが、
整域以外では同伴関係を考えてもあまり有用でないのでしょうか？ なんかUFDの文脈で出てきた気がするけど、ググったらUFD関係なかったわ
「整域Rの元a,bが同伴⇔a=cb,b=daとなるc,d∈Rが存在」だとさ
まあでも有用性の問題だけだと思うよ
PIDにしろUFDにしろ、整域じゃなくてもいいことでも対象を限定して定義してることはよくあるし ∫∫e^(x^2+y^2)dydx (x^2+y^2＝1, x≧0,y≧0)を極座標変換しろって言われたけどガチで分からんわ x^2+y^2＝1
は
x^2+y^2≦1
ではなくて？ ∫∫e^(r^2) r dr dθ （0≦r≦1，0≦θ≦π） >>887
ありがとうございます
まだ整域自体の重要性も理解できてない段階ですが、同伴関係を考えるのは整域だと有用なんだと心に留めておこうと思います U ⊂ R^n
U ： 開集合
g ： U → R は a ∈ U で微分可能
g(a) ≠ 0
1/g は a で微分可能で
D(1/g)(a) = [-1/[g(a)]^2] * Dg(a)
が成り立つことを示せ。 U ⊂ R^n
U ： 開集合
g ： U → R は a ∈ U で微分可能
g(a) ≠ 0
1/g は a で微分可能で
D(1/g)(a) = [-1/[g(a)]^2] * Dg(a)
が成り立つことを示せ。
{x ∈ U | g(x) = 0} は g が連続写像だから U の閉集合
よって、 {x ∈ U | g(x) ≠ 0} は U の開集合
a ∈ {x ∈ U | g(x) ≠ 0} だから、 {x ∈ U | g(x) ≠ 0} ≠ φ
g の {x ∈ U | g(x) ≠ 0} への制限を f で表わす。
f ： {x ∈ U | g(x) ≠ 0} → R - {0}
R - {0} ∋ x → 1/x ∈ R を h とする。
f は a で微分可能である。
h は f(a) = g(a) で微分可能である。
チェインルールにより、
D(1/g)(a) = Dh〇f(a) = Dh(f(a))〇Df(a) = [-1/[f(a)]^2] * Df(a) = [-1/[g(a)]^2] * Dg(a) アフィンリー代数の「アフィン 」という名前の由来はどこからきているんでしょうか。
アフィン 変換と何か関係があるんでしょうか。名前の由来がさっぱりわからない >>899
一般語としては「姻族」という意味の名詞形容詞同形
語源はラテン語のaffinisで、意味は「親類縁者（の）」
数学用語としては「疑似（の）」という訳があるな（「疑似幾何学」とかで引くと辞書とかにも出てる >899
アフィンリー代数ってリー代数とどう違うの？ アフィンリー代数は特殊なリー代数
バカバカしいけど書いとく >>879
>>880
>>883
問いに対して何一つ答えられないんですね。
役立たずバーカ。 >>905
電気屋さんには必要ない知識ですから、気にする必要はないと思いますよ 大学レベル？院宣 院司 レベルを超えたところの分野の方が。 やってないと思いますよ
統計学ってのはあくまで偉い人が意思決定するための道具ですからね
日本ではそういう分野は育ちにくいでしょう >>911
＞統計学ってのはあくまで偉い人が意思決定するための道具ですからね
それは「統計学をやる」とは言わない
例えるならスマホやパソコンを道具として使うだけの人が「工学をやってる」と言うようなもん レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
