大学学部レベル質問スレ 11単位目
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>>592 よくわかってないのにどうしてわかるんですか? A を平面の点の空でない集合とし、 f(x, y) を A で定義された関数とする。 平面の点の集合 S に対し、最大値の定理の証明の中だけで使う記号 A ≦ S と A > S を定義する。 A の任意の点 (x, y) に対し、 S に含まれる A の点 (s, t) で f(x, y) ≦ f(s, t) をみたすものが存在するとき、 A ≦ S と 書く。 A の点 (x, y) で、 S に含まれる A の任意の点 (s, t) に対し f(x, y) > f(s, t) となるものが存在するとき、 A > S と書く。記号 A ≦ S と A > S の意味は関数 f(x, y) によって決まるものだが、記号からは省略した。 A が S の部分集合ならば A ≦ S である。 A は空集合ではないから、 A と S が交わらないならば A > S である。 A ≦ S ならば f(x, y) の最大値を とる A の点で S に含まれるものがあるはずであり、 A > S ならば f(x, y) の A での最大値をとる点は S には含まれない。 (1)と(2)のどちらが A ≦ S の定義でしょうか? (1) A ≦ S ⇔ ∀(x, y) ∈ A, ∃(s, t) ∈ A ∩ S such that f(x, y) ≦ f(s, t) (2) A ≦ S ⇔ ∃(s, t) ∈ A ∩ S, ∀(x, y) ∈ A such that f(x, y) ≦ f(s, t) (1)だと解釈すると、 「A が S の部分集合ならば A ≦ S である。」 は成り立ちますが、 「A ≦ S ならば f(x, y) の最大値をとる A の点で S に含まれるものがある。」 は成り立ちません。 (2)だと解釈すると 「A が S の部分集合ならば A ≦ S である。」 は成り立ちませんが、 「A ≦ S ならば f(x, y) の最大値をとる A の点で S に含まれるものがある。」 は成り立ちます。 >>591 ん?1と1+xが1次従属だと思ってるの? 「A の任意の点 (x, y) に対し、 S に含まれる A の点 (s, t) で f(x, y) ≦ f(s, t) をみたすものが存在する」の意味ですが、これ を素直に解釈した(1)の意味らしいです。 「A ≦ S ならば f(x, y) の最大値をとる A の点で S に含まれるものがある。」 は本当に成り立ちますか? (1) A ≦ S ⇔ ∀(x, y) ∈ A, ∃(s, t) ∈ A ∩ S such that f(x, y) ≦ f(s, t) (2) A ≦ S ⇔ ∃(s, t) ∈ A ∩ S such that ∀(x, y) ∈ A, f(x, y) ≦ f(s, t) >>598 正誤表を見てみてもこの件については書いてありませんでした。 >>596 前後の文脈も仮定もいまいちわからんがsの仮定の文章だけから判断するなら(1)でしかありえない 最大値云々のところは文脈がわからんから間違ってるともなんとも ようするに抜き出し方が不十分なのでよくわからん (2)はなさそうだろうということだけは言えるが >>598 A={ (x,0)|0<x<2 } S={ (x,0)|0<x<1 } f:A → R, f(x,y)=1/x とすると、(1)は成り立つが、max f(A) は存在しない。 特に、f(x,y) の最大値をとる A の点で S に含まれるものはない。 ただし、max f(A) が存在するケースでは、f(x,y) の最大値をとる A の点で S に含まれるものが存在する。 文脈から推測するに、max f(A) が必ず存在するようなケースしか考えてないのでは? >>601-602 ありがとうございます。 抜き出し方が不十分ということはないと思います。 最大値の定理の証明の前の準備のような文章なので、もしかしたら、 max f(A) が存在するケースを勝手に考えているという可能性はあり ます。 >>596 この本の妙なところですが、まず平面の開集合 U の点 a での連続性を定義していて、 その後に、一般の平面の点の集合 A の点 a での連続性が定義されていたりします。 妙に神経質なんです。 A - B という集合の演算についても B が A の部分集合のときにしか定義していません。 (意図が分かりません。) >>605 単なる記号の定義で、成り立ちますかもクソもない気がするのですが、何が問題なんですか? >>597 1とxと1+xは一次従属じゃないんですか? x"=-ω^2cosx , ω=√(g/l)を変形して (x')^2-2ω^2cosx=2Eを表せ Eは系のエネルギー 分かりません、教えてください 数学としてみるなら、Eがエネルギーなのかなんなのかよくわかんないだろうけども 単に示すだけなあr、x'' = ... の式に、x'をかけていわゆるエネルギー積分してしまえば下の式になる。 Eは単なる積分定数としての扱いになるけど。 >>614 よくみたら確かにならんわ 問題確認して物理板いけ>>612 >>618 1次従属の判定法が間違いだって言ってるんだがや >>621 すいません、どこが間違ってるのでしょうか… >>622 1と1+xでその判定法使えないって言ってるんだがや >>622 必要条件を一つ出しただけで解き終わったと思ってる間抜けはよくいるから安心して >>622 K:問題での係数体 多項式x,1+xの変数xはfixed a,b,c∈Kが体K上一次独立⇔a+bx+c(1+x)=0⇔a+b=b+c=0⇔a=-b=c. a=-b=c≠0、a+c=b+c=0のときもa+bx+c(1+x)=0. ∴a,b,cはK上一次従属 >>622 a=-b=c=0⇔a+b=b+c=b だから、 >>626 の「a=-b=c≠0、a+c=b+c=0」はb=0(a=b=c=0)でいいや 集合論に関する問題です。 R := 実数集合 (連続体濃度) A := 有限長記号列で表現可能な全ての実数の集合 (可付番濃度) α := 集合 R - A から選んだ1要素 (選択公理を仮定) とします。 α を定義する記号列は有限長なので、α は A に含まれます。 しかし α は A - B の要素なので、 α は A に含まれません。(矛盾) これは何が問題なのでしょうか? Aがあれで定義できているのか怪しい気がするのですが、 公理的集合論の立場から具体的に指摘してもらえると助かります。 >a+bx+c(1+x)=0⇔a+b=b+c=0 ? >>622 本当に失礼。>>626 の >a+bx+c(1+x)=0⇔a+b=b+c=0⇔a=-b=c は >a+bx+c(1+x)=0⇔a+c=b+c=0⇔a=b=-c 「a=-b=c≠0、a+c=b+c=0」は「a=b=-c≠0、a+c=b+c=0」 >>633 αの値の定義ですか? 選択関数( 選択公理下で存在が保証されている )を適当に固定して ”sel” とでもしておきます。 α := sel( R - A ) これで一意に定まると言えるはずですが、矛盾は解消されません。 後付けですが A の定義について補足します。 有限長記号列で表現可能な実数とは 現行のUnicode記号(有限種類)を有限個並べて数学的に意味をなし ”一意に定まる” 実数 という事にします。 なので A が可付番濃度なのは明らか。(Aが定義できているのなら...) また π, e , lim, Σ, ∫ , sin, cos 等の特定記号列は通常の意味を持つものとします。 ◯例. lim[ξ→e] ∫[0, ξ] sin(t^π) dt ×例. m9(^Д^) (数学的に意味をなさない) ×例. 方程式 x^2 - 2 = 0 の解 (一意に定まらない) >>634 >数学的に意味をなし ”一意に定まる” ここがね >>633 >>635 >>636 ↑これが数学板の実力です 専門板なのに異常にレベルが低い せいぜい数学の少しできる高校生レベル >>629 >A := 有限長記号列で表現可能な全ての実数の集合 (可付番濃度) は集合ではありません このような命題は、対象内の言語で表現不可能で、メタ視点から俯瞰していることに相当しているからです こういうパラドックスての本質てのは自己言及なわけです 自分のことは自分ではわからない、ということですね 集合とは何か定義し、集合ではないことを示せますか? 集合とは、特定の構成方法(ZFC)によって構成されるクラスであって、その方法ではAは構成できません >>637 >このような命題は、対象内の言語で表現不可能で、メタ視点から俯瞰していることに相当しているからです そういうことだよ よく知ってんじゃんw 素直にわかりませんでした、と認めたらどうですか?恥ずかしいですね >>635 , >>637 , >>640 ありがとうございます。 言わんとする事の雰囲気は分かるのですが、自分はちゃんと理解する域に達していないようです。 こういうのってどういう本読めばいいんでしょうかね。 定義はウィキペディアに載ってますね それを見ると明らかですね >>622 K:問題での係数体、多項式x,1+xの変数xはfixed 多項式1,x,1+xが体K上一次独立とすると、 {1,x,1+x}はK-係数の多項式環K[x]の基底となり、a,b,c∈Kについて a+bx+c(1+x)=0⇔a+c=b+c=0⇔a=b=-cなので、a=b=c=0となるが、 c≠0、a+c=b+c=0のときa,b≠0でa+bx+c(1+x)=0は成立して定義に反し矛盾 ∴1,x,1+x∈K[x]はK上一次従属 (1)+(x)=1+xだから独立ですよ 他の和で表せちゃったんですから ヘッシアンが0の時に極値を取ることはどうやって証明するんですか? ヘッシアンが0であれば極値をもつかどうかは分からない そして実際に極値をもつかどうか判別する方法は問題ごとに違う なので、具体的な問題を提示してくれないと答えられない 今まで見たのはヘッシアン0で極値を取らないことを示す問題ばかりでした 関数によっては極値を取るものもあると思うのですが、それを証明する方法はあるのでしょうか >>647 >多項式1,x,1+xが体K上一次独立とすると、 >{1,x,1+x}はK-係数の多項式環K[x]の基底となり、 ここ詳しく説明してね >>657 例えばf(x,y)=x^2+y^4上で(x,y)=(0,0)のヘッシアンは0になる 点(0,0)の近傍(x,y)を任意にとればf(x,y)>0を満たすので(0,0)で極小値0をとる >>658 Fを環とする。環F上に定義された二項演算としての加法、乗法をそれぞれ+、・とする。1をFの単元とする。 Gを任意の可換群とする。可換群はその上に定義された加法の二項演算について可換と見なして考えることが多い。 そこで、+と区別するため、群G上に定義された二項演算を +' で表すことにする。0をGの単位元とする。 すると、Fの加法群Gへの、Gの加法 +' に関する左からの作用 F×G→G (a,f)→a+'f が定まる。 同様に、FのGへの、Gの加法 +' に関する右からの作用 G×F→G (f,a)→f+'a も定まる。 Fの加法群Gへの、Fの乗法・に関する左からの作用 F×G→G (a,f)→a・f=af も定まるから、加法群Gは環Fの左F-加群。 同様に、FのGへの、Fの乗法・に関する右からの作用 G×F→G (f,a)→f・a=fa も定まるから、GはFのF-右加群。 よって、加法群Gは環FのF-両側加群。Gは任意なので、G=F として、 Gに定義された加法の二項演算 +' とFに定義された加法の二項演算+とを同じ二項演算の加法と見なせば、環FはFのF-両側加群となる。 単位的環はその上に定義された加法と乗法の二項演算について環なので、単位的環Fの加法の二項演算を+、乗法の二項演算を・とすれば、 Fは加法の二項演算+、乗法の二項演算・について、F上のF-両側加群となる。 Fの乗法の二項演算・が可換のときは、単位的環Fは可換環となって、同様に可換環Fは、 Fに定められた加法の二項演算+、乗法の二項演算・について、FのF-両側加群となる。 多項式環の定義から、可換環の点を係数とする多項式全体の空間F[x]は可換環をなし、 多項式環F[x]のF-係数多項式の変数xは固定されている。 このとき、もしF-係数多項式1,x,1+xが可換環F上一次独立ならば、{1,x,1+x}はF-係数の多項式環F[x]の基底となる。 体Kはその上に定義された加法と乗法の各二項演算が、環Fに定義された加法と乗法の各二項演算+、・のときは、環Fと見なせるので、 上の議論でのF上をF=Kとすれば、多項式1,x,1+xが体K上一次独立とすると、 1,x,1+x{∈K[x]で、1,x,1+x}はK-係数の多項式環K[x]の基底となることがいえる。 >>658 >>664 の一番下の「1,x,1+x{∈K[x]で、1,x,1+x}」は「1,x,1+x∈K[x]で、{1,x,1+x}」 1+x=1+x これで終わることに長文垂れ流す人の心理を答えよ、という問題がわかりません また、1,x,1+xの線形結合によりx^2を構成せよ、という問題もわかりません Kを体とすると、{1,x,x^2}はK-係数の多項式環K[x]の基底だから、 1,x,1+xのKの点による線形結合では表せない >>664 長々と意味のない説明もどきをありがとうございます 0点ですね >>669 基底なんだからどんなものでも表せるはずですよね はやく1とxと1+xでx^2を表してくださいね >>671 そもそも、そのような類の詳細は話はテキストに書いてある テキストへ Let's go. >>672 少なくともKが標数0の体である限り、そんなこと出来ない >>673 >>664 >このとき、もしF-係数多項式1,x,1+xが可換環F上一次独立ならば、{1,x,1+x}はF-係数の多項式環F[x]の基底となる。 あなたが基底だって言ったんですよ >>674 可換環FのF-係数多項式やその多項式環F[x]の構成などの話まで ここに書く気はしない。それで話は終わる。 >>675 あなたが1とxと1+xでx^2つくればいいだけの話ですね てか、環論よくわかりませんが、F係数って、多項式を係数としたら1が基底になるみたいな話なんですか? 係数はKですよね >>673 もちろん1,x,1+xが係数環上で一次従属(=一次独立でない)ことは知っていますよ (そんな当たり前なことを一々書いてある本は見たことないですが) 環K[x]の生成系ではなく基底だと言ったんですよね? >>676 可換環Fの元を係数に持つ1変数の多項式をF-係数の1変数多項式という。 有理関数体K'(y)の係数を持つK-係数の2変数xy多項式を考えて 多項式環が環K[y,x]だと>>647 の >c≠0、a+c=b+c=0のときa,b≠0でa+bx+c(1+x)=0は成立(a,b,c∈K(y)) がヒントになる。xに着目するのではなく、yに着目してyを不定元として考える。 >>678 1とxと1+xは一般には基底にならないということで良いですか? >>677 Kが体のとき、多項式環K[x]はK上の線型空間。 >>680 1とxと1+xはその線形空間の基底になってるんですか? >>679 大抵の場合はそうだが、体Kの有理関数体K(y)は超越拡大体なので、>>678 のような考え方は出来る。 >>682 「そう」の指し示すことは「(一般には)基底にならない」ということでいいですか? それでは、あなたの発言を見てみましょうか >多項式1,x,1+xが体K上一次独立とすると、 >{1,x,1+x}はK-係数の多項式環K[x]の基底となり、 ところで、>>678 の >有理関数体K'(y)の係数を持つK-係数の2変数xy多項式を考えて はどういう意味でしょうか?結局、係数環(体)はKですか?それともK(y)ですか??? >>686 いまは線形代数の話ではないのですか? 私はずっと線形代数の話のつもりでしたが……そもそも一次独立性と基底についての疑問でしたよね? >>688 結局、係数はKなのかK(y)なのかどちらでしょうか? しかし何でこんなアホな紛糾しトルンか分からんな 1,x,1+xはどんな体上の多項式と考えても1次従属 ただ 適当な値(たとえばx=0)を代入するという線形写像の像が1次従属だと示しても無駄 像が1次従属でも元が1次従属とは限らないからな でしまいだがや ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
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