大学学部レベル質問スレ 11単位目

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/20(金) 05:50:10.46

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dote ra.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

関連スレ
分からない問題はここに書いてね478
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1511604229/

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 10単位目
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1519715377/

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/02(土) 20:42:31.18

それが何か関係あるのか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/02(土) 22:41:45.49

>>571
ん？
f1(x),...,fn(x)が一次独立か従属か決定するために
a1f1(x)+...+anfn(x)=0
と置いた上で
xに何か値たとえば0を入れて
a1f1(0)+...+anfn(0)=0
が成立する非自明なa1,...,anがあったとしても
それで
a1f1(x)+...+anfn(x)=0
が成立するとは限らないってことだよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/03(日) 00:43:47.95

>>570は関係ないが。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/03(日) 19:54:01.50

>>573
なんで？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/03(日) 19:55:35.43

R^3 から R への関数を f(x, y, z) とします。 c を定数とします。
f(x, y, z) = c となるような R^3 の部分集合は一般に曲面になる
というのはどうしてですか？ f にどんな条件が付くときに曲面に
なるのでしょうか？また曲面の定義自体が分かりません。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/03(日) 19:57:09.96

>>567
1と1+xだけで
a・1+c(1+x)=0
にx=0を代入して
a+c=0
になるからa=1,c=-1で成立するから1次従属？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/03(日) 22:41:47.74

A を平面の点の空でない集合とし、 f(x, y) を A で定義された関数とする。
平面の点の集合 S に対し、最大値の定理の証明の中だけで使う記号
A ≦ S と A > S を定義する。 A の任意の点 (x, y) に対し、 S に含まれる
A の点 (s, t) で f(x, y) ≦ f(s, t) をみたすものが存在するとき、 A ≦ S と
書く。 A の点 (x, y) で、 S に含まれる A の任意の点 (s, t) に対し
f(x, y) > f(s, t) となるものが存在するとき、 A > S と書く。記号 A ≦ S と
A > S の意味は関数 f(x, y) によって決まるものだが、記号からは省略した。

A が S の部分集合ならば A ≦ S である。 A は空集合ではないから、
A と S が交わらないならば A > S である。 A ≦ S ならば f(x, y) の最大値を
とる A の点で S に含まれるものがあるはずであり、 A > S ならば f(x, y) の
A での最大値をとる点は S には含まれない。

(1)と(2)のどちらが A ≦ S の定義でしょうか？

(1)
A ≦ S

⇔

∀(x, y) ∈ A, ∃(s, t) ∈ A ∩ S such that f(x, y) ≦ f(s, t)

(2)
A ≦ S

⇔

∃(s, t) ∈ A ∩ S, ∀(x, y) ∈ A such that f(x, y) ≦ f(s, t)

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/03(日) 22:56:32.12

>>575
R^2からR^3への連続像だよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/03(日) 23:47:02.52

>>577

(1)だと解釈すると、

「A が S の部分集合ならば A ≦ S である。」

は成り立ちますが、

「A ≦ S ならば f(x, y) の最大値をとる A の点で S に含まれるものがある。」

は成り立ちません。

(2)だと解釈すると

「A が S の部分集合ならば A ≦ S である。」

は成り立ちませんが、

「A ≦ S ならば f(x, y) の最大値をとる A の点で S に含まれるものがある。」

は成り立ちます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/03(日) 23:52:28.77

ほとんど自明のような気がするんですが、ちゃんと証明するとどうなるのかよくわからない問題です

K⊂M⊂Lを体の有限次拡大でNをKの代数閉包とするとき
１、任意のM→NのK準同型は、あるL→NのK準同型の制限として存在する
２、任意のL→NのK準同型は、あるM→NのK準同型の拡張として存在する

これってどうやって証明できますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 00:23:13.94

>>580
なんぼなんでも(2)は当たり前でしょ？g:L→NにたいしてそのMへの制限をfとすればgはfの拡張です。
(1)は[L:M]についての帰納法。[L:M]=1なら自明。[L:M]<nで成立として[L:M]=nとする。f:M→Nをとる。
h:M(a)→Nを以下のように定める。
a∈L＼Mをとってp(x)∈M[x]をaの最小多項式とする。
fをpの各係数にヒットして得られる多項式をq(x)∈N[x]とする。
b∈Nをq(x)=0の解とすればu(a) ∈ M[a]に対しh(u(a))を

h(u(a)) := u(b)

で定めればhがfのM(a)への拡張になる。
これを帰納法の仮定でLまで拡張すればよい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 00:25:39.00

>>581
ちょっと文章おかしい。orz

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 00:27:01.72

>>581
無限次拡大でも成立するでしょ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 01:07:17.27

>>581
ありがとうございます。
確かに、２は本当に自明でした。
１はLをM(a1),M(a1,a2)と順々に生成元を増やしていくことで
証明可能ですね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 01:08:30.80

>>583
成立するけどそんなこと聞かれてないじゃん。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 01:40:11.94

>>575
f がどんな関数でもいいとすると、多分収拾がつかなくなる。
とりあえず f は微分可能としておくと、

・f(x,y,z)=c となるような R^3 の部分集合が空でない。
・各点で、∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z の少なくとも一つが 0 でない。

が成り立てば、普通にイメージする「曲面」になると思う。（陰関数定理より）

曲面の定義についてはいろいろとややこしい話があって、俺もよく分かってない

>>578
それだと例えば１点集合も含まれてしまう

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 01:43:47.58

曲面とは第二可算公理を満たす二次元の多様体とする。

ウィキペディアに書いてありました

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 02:13:36.85

波の周波数のピークだけを求めたいときにフーリエ変換より軽いアルゴリズムってありますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 03:46:57.06

>>585
無限次元でも成立するということは
機能的にちょっとずつ示すということが本質にならないことを意味してる
それは楽なことではあるけれど本質をズバリ示す方法が別にあるはず

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 04:13:15.19

>>589
では本質的な証明をどうぞ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 08:58:40.11

>>576
そう言いたいんですが、ダメでしょうか

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 09:21:54.35

>>587
その上の例のところに
＞どんな形式的定義によってもこの多様さを包摂することはできないだろう。
と書いてある。

定義の所には
＞以下では、曲面とは第二可算公理を満たす二次元の多様体とする。
のように「以下では」と断っているので、
これが唯一絶対の定義というわけではない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 09:41:10.86

>>592
よくわかってないのにどうしてわかるんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 11:36:40.98

>>586
んじゃ
局所単射な連続像で

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 13:44:25.21

>>593
主語と目的語を明記しろ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 19:47:25.28

A を平面の点の空でない集合とし、 f(x, y) を A で定義された関数とする。
平面の点の集合 S に対し、最大値の定理の証明の中だけで使う記号
A ≦ S と A > S を定義する。 A の任意の点 (x, y) に対し、 S に含まれる
A の点 (s, t) で f(x, y) ≦ f(s, t) をみたすものが存在するとき、 A ≦ S と
書く。 A の点 (x, y) で、 S に含まれる A の任意の点 (s, t) に対し
f(x, y) > f(s, t) となるものが存在するとき、 A > S と書く。記号 A ≦ S と
A > S の意味は関数 f(x, y) によって決まるものだが、記号からは省略した。

A が S の部分集合ならば A ≦ S である。 A は空集合ではないから、
A と S が交わらないならば A > S である。 A ≦ S ならば f(x, y) の最大値を
とる A の点で S に含まれるものがあるはずであり、 A > S ならば f(x, y) の
A での最大値をとる点は S には含まれない。

(1)と(2)のどちらが A ≦ S の定義でしょうか？

(1)
A ≦ S

⇔

∀(x, y) ∈ A, ∃(s, t) ∈ A ∩ S such that f(x, y) ≦ f(s, t)

(2)
A ≦ S

⇔

∃(s, t) ∈ A ∩ S, ∀(x, y) ∈ A such that f(x, y) ≦ f(s, t)

(1)だと解釈すると、

「A が S の部分集合ならば A ≦ S である。」

は成り立ちますが、

「A ≦ S ならば f(x, y) の最大値をとる A の点で S に含まれるものがある。」

は成り立ちません。

(2)だと解釈すると

「A が S の部分集合ならば A ≦ S である。」

は成り立ちませんが、

「A ≦ S ならば f(x, y) の最大値をとる A の点で S に含まれるものがある。」

は成り立ちます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 21:37:15.77

>>591
ん？1と1+xが1次従属だと思ってるの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 22:06:06.63

「A の任意の点 (x, y) に対し、 S に含まれる A の点 (s, t) で
f(x, y) ≦ f(s, t) をみたすものが存在する」の意味ですが、これ
を素直に解釈した(1)の意味らしいです。

「A ≦ S ならば f(x, y) の最大値をとる A の点で S に含まれるものがある。」

は本当に成り立ちますか？

(1)
A ≦ S

⇔

∀(x, y) ∈ A, ∃(s, t) ∈ A ∩ S such that f(x, y) ≦ f(s, t)

(2)
A ≦ S

⇔

∃(s, t) ∈ A ∩ S such that ∀(x, y) ∈ A, f(x, y) ≦ f(s, t)

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 22:14:43.45

>>598

正誤表を見てみてもこの件については書いてありませんでした。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 22:35:22.68

>>596
前後の文脈も仮定もいまいちわからんがsの仮定の文章だけから判断するなら（1）でしかありえない
最大値云々のところは文脈がわからんから間違ってるともなんとも

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 22:37:40.96

ようするに抜き出し方が不十分なのでよくわからん
（2）はなさそうだろうということだけは言えるが

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 22:38:56.60

>>598

A＝{ (x,0)｜0＜x＜2 }
S＝{ (x,0)｜0＜x＜1 }
f：A → R, f(x,y)＝1/x

とすると、(1)は成り立つが、max f(A) は存在しない。
特に、f(x,y) の最大値をとる A の点で S に含まれるものはない。

ただし、max f(A) が存在するケースでは、f(x,y) の最大値をとる A の点で S に含まれるものが存在する。
文脈から推測するに、max f(A) が必ず存在するようなケースしか考えてないのでは？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 22:51:35.85

>>601-602

ありがとうございます。

抜き出し方が不十分ということはないと思います。

最大値の定理の証明の前の準備のような文章なので、もしかしたら、
max f(A) が存在するケースを勝手に考えているという可能性はあり
ます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 22:57:24.24

>>596

この本の妙なところですが、まず平面の開集合 U の点 a での連続性を定義していて、
その後に、一般の平面の点の集合 A の点 a での連続性が定義されていたりします。

妙に神経質なんです。

A - B という集合の演算についても B が A の部分集合のときにしか定義していません。
（意図が分かりません。）

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 23:03:49.86

https://imgur.com/7AbnKtF.jpg
https://imgur.com/0OxqEoZ.jpg

念のため該当箇所の周辺をアップロードします。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 23:50:56.98

wara

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/05(火) 00:03:36.23

>>605
単なる記号の定義で、成り立ちますかもクソもない気がするのですが、何が問題なんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/05(火) 00:26:24.95

>>607
何回同じ事やるんだ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/05(火) 06:15:14.27

>>604
アンタに神経質言われてもな

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/05(火) 19:01:19.69

>>597
1とxと1+xは一次従属じゃないんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/05(火) 19:51:08.19

なんでxを付け加えたの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/05(火) 20:07:51.97

x"=-ω^2cosx , ω=√(g/l)を変形して
(x')^2-2ω^2cosx=2Eを表せ
Eは系のエネルギー
分かりません、教えてください

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/05(火) 22:23:22.73

物理板へGO!

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/05(火) 22:56:14.31

数学としてみるなら、Ｅがエネルギーなのかなんなのかよくわかんないだろうけども
単に示すだけなあｒ、x'' = ... の式に、x'をかけていわゆるエネルギー積分してしまえば下の式になる。
Ｅは単なる積分定数としての扱いになるけど。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/05(火) 22:59:57.23

ならんよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/05(火) 23:02:52.35

わからないんですね

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/05(火) 23:13:37.90

いつも607みたいにおかしなこと書いてるね

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/05(火) 23:14:12.98

>>611
一応問題では1、x、1+xなので…

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/05(火) 23:20:03.45

>>614
よくみたら確かにならんわ
問題確認して物理板いけ>>612

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/05(火) 23:43:06.14

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%AF%E3%82%8A%E5%AD%90

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 01:26:43.90

>>618
1次従属の判定法が間違いだって言ってるんだがや

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 01:39:39.98

>>621
すいません、どこが間違ってるのでしょうか…

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 02:30:51.42

>>621
味噌カスくせーw

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 03:24:58.10

>>622
1と1+xでその判定法使えないって言ってるんだがや

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 03:51:08.55

>>622
必要条件を一つ出しただけで解き終わったと思ってる間抜けはよくいるから安心して

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 05:05:07.27

>>622
K:問題での係数体
多項式x,1+xの変数xはfixed
a,b,c∈Kが体K上一次独立⇔a+bx+c(1+x)=0⇔a+b=b+c=0⇔a=-b=c.
a=-b=c≠0、a+c=b+c=0のときもa+bx+c(1+x)=0.
∴a,b,cはK上一次従属

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 05:08:02.06

>>622
a=-b=c≠0はa=-b=c=0

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 05:17:00.63

>>622
a=-b=c=0⇔a+b=b+c=b
だから、
>>626の「a=-b=c≠0、a+c=b+c=0」はb=0(a=b=c=0)でいいや

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 05:37:52.25

集合論に関する問題です。
R := 実数集合 (連続体濃度)
A := 有限長記号列で表現可能な全ての実数の集合 (可付番濃度)
α := 集合 R - A から選んだ１要素 (選択公理を仮定)
とします。

α を定義する記号列は有限長なので、α は A に含まれます。
しかし α は A - B の要素なので、 α は A に含まれません。(矛盾)
これは何が問題なのでしょうか？

Aがあれで定義できているのか怪しい気がするのですが、
公理的集合論の立場から具体的に指摘してもらえると助かります。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 05:40:13.94

>>622
失礼、>>627-628は取り消し。
>>626でいい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 05:46:28.26

>a+bx+c(1+x)=0⇔a+b=b+c=0

?

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 05:54:37.91

>>622
本当に失礼。>>626の
>a+bx+c(1+x)=0⇔a+b=b+c=0⇔a=-b=c
は
>a+bx+c(1+x)=0⇔a+c=b+c=0⇔a=b=-c

「a=-b=c≠0、a+c=b+c=0」は「a=b=-c≠0、a+c=b+c=0」

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 05:57:28.05

>629
その定義では値が一意に定まらないから

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 07:20:47.10

>>633
αの値の定義ですか？
選択関数( 選択公理下で存在が保証されている )を適当に固定して ”sel” とでもしておきます。
α := sel( R - A )
これで一意に定まると言えるはずですが、矛盾は解消されません。

後付けですが A の定義について補足します。
有限長記号列で表現可能な実数とは
　現行のUnicode記号(有限種類)を有限個並べて数学的に意味をなし ”一意に定まる” 実数
という事にします。なので A が可付番濃度なのは明らか。(Aが定義できているのなら...)
また π, e , lim, Σ, ∫ , sin, cos 等の特定記号列は通常の意味を持つものとします。
◯例. lim[ξ→e] ∫[0, ξ] sin(t^π) dt
×例. m9(^Д^) (数学的に意味をなさない)
×例. 方程式 x^2 - 2 = 0 の解 (一意に定まらない)

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 07:36:35.15

>>634
定義可能が定義されないからだよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 07:36:55.06

>>634
>数学的に意味をなし ”一意に定まる”
ここがね

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 09:04:08.77

>>633
>>635
>>636

↑これが数学板の実力です
専門板なのに異常にレベルが低い
せいぜい数学の少しできる高校生レベル

>>629
＞A := 有限長記号列で表現可能な全ての実数の集合 (可付番濃度)

は集合ではありません
このような命題は、対象内の言語で表現不可能で、メタ視点から俯瞰していることに相当しているからです

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 09:12:24.22

こういうパラドックスての本質てのは自己言及なわけです

自分のことは自分ではわからない、ということですね

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 09:24:53.83

集合とは何か定義し、集合ではないことを示せますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 09:39:45.09

集合とは、特定の構成方法(ZFC)によって構成されるクラスであって、その方法ではAは構成できません

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 09:52:13.82

>>637
>このような命題は、対象内の言語で表現不可能で、メタ視点から俯瞰していることに相当しているからです
そういうことだよ
よく知ってんじゃんｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 10:17:20.58

素直にわかりませんでした、と認めたらどうですか？恥ずかしいですね

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 10:25:44.26

>>635, >>637, >>640
ありがとうございます。
言わんとする事の雰囲気は分かるのですが、自分はちゃんと理解する域に達していないようです。
こういうのってどういう本読めばいいんでしょうかね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 10:27:19.71

まずは数理論理学から勉強しましょう

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 10:29:52.17

>>640
具体的に定義し、具体的に示せますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 10:30:23.54

定義はウィキペディアに載ってますね
それを見ると明らかですね

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 10:32:34.43

>>622
K:問題での係数体、多項式x,1+xの変数xはfixed
多項式1,x,1+xが体K上一次独立とすると、
{1,x,1+x}はK-係数の多項式環K[x]の基底となり、a,b,c∈Kについて
a+bx+c(1+x)=0⇔a+c=b+c=0⇔a=b=-cなので、a=b=c＝0となるが、
c≠0、a+c=b+c=0のときa,b≠0でa+bx+c(1+x)=0は成立して定義に反し矛盾
∴1,x,1+x∈K[x]はK上一次従属

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 10:33:05.47

>>646
具体的にお願いします

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 10:52:49.30

>>622
>>626はなし

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 11:05:14.66

(1)+(x)=1+xだから独立ですよ
他の和で表せちゃったんですから

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 11:09:11.05

独立？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 11:09:13.16

独立ではない、でした

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 11:14:46.94

ヘッシアンが0の時に極値を取ることはどうやって証明するんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 11:17:54.89

さあ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 13:03:59.85

ヘッシアン0が極値のわけねーだろ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 13:15:33.70

ヘッシアンが0であれば極値をもつかどうかは分からない
そして実際に極値をもつかどうか判別する方法は問題ごとに違う
なので、具体的な問題を提示してくれないと答えられない

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 13:34:48.89

今まで見たのはヘッシアン0で極値を取らないことを示す問題ばかりでした
関数によっては極値を取るものもあると思うのですが、それを証明する方法はあるのでしょうか

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 14:06:17.14

>>647
＞多項式1,x,1+xが体K上一次独立とすると、
＞{1,x,1+x}はK-係数の多項式環K[x]の基底となり、

ここ詳しく説明してね

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 14:31:31.54

>>657
例えばf(x,y)=x^2+y^4上で(x,y)=(0,0)のヘッシアンは0になる
点(0,0)の近傍(x,y)を任意にとればf(x,y)>0を満たすので(0,0)で極小値0をとる

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 16:32:29.66

二次元分布わかる方教えてください

問題は2枚目と4枚目です
2枚目はできましたが4枚目がわかりません

https://i.imgur.com/bT8GtMb.jpg
https://i.imgur.com/v38wZjl.jpg
https://i.imgur.com/T4TLT0O.jpg
https://i.imgur.com/U8GsDKv.jpg
https://i.imgur.com/AoPv0Ou.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 16:35:25.70

わからないんですね

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 16:52:10.03

計算問題かよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 17:37:38.04

>>659
ありがとうございます

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 17:44:44.63

>>658
Fを環とする。環F上に定義された二項演算としての加法、乗法をそれぞれ+、・とする。1をFの単元とする。
Gを任意の可換群とする。可換群はその上に定義された加法の二項演算について可換と見なして考えることが多い。
そこで、+と区別するため、群G上に定義された二項演算を +' で表すことにする。0をGの単位元とする。
すると、Fの加法群Gへの、Gの加法 +' に関する左からの作用 F×G→G (a,f)→a+'f が定まる。
同様に、FのGへの、Gの加法 +' に関する右からの作用 G×F→G (f,a)→f+'a も定まる。
Fの加法群Gへの、Fの乗法・に関する左からの作用 F×G→G (a,f)→a・f＝af も定まるから、加法群Gは環Fの左F-加群。
同様に、FのGへの、Fの乗法・に関する右からの作用 G×F→G (f,a)→f・a＝fa も定まるから、GはFのF-右加群。
よって、加法群Gは環FのF-両側加群。Gは任意なので、G＝F として、
Gに定義された加法の二項演算 +' とFに定義された加法の二項演算+とを同じ二項演算の加法と見なせば、環FはFのF-両側加群となる。
単位的環はその上に定義された加法と乗法の二項演算について環なので、単位的環Fの加法の二項演算を+、乗法の二項演算を・とすれば、
Fは加法の二項演算+、乗法の二項演算・について、F上のF-両側加群となる。
Fの乗法の二項演算・が可換のときは、単位的環Fは可換環となって、同様に可換環Fは、
Fに定められた加法の二項演算+、乗法の二項演算・について、FのF-両側加群となる。
多項式環の定義から、可換環の点を係数とする多項式全体の空間F[x]は可換環をなし、
多項式環F[x]のF-係数多項式の変数xは固定されている。
このとき、もしF-係数多項式1,x,1+xが可換環F上一次独立ならば、{1,x,1+x}はF-係数の多項式環F[x]の基底となる。
体Kはその上に定義された加法と乗法の各二項演算が、環Fに定義された加法と乗法の各二項演算+、・のときは、環Fと見なせるので、
上の議論でのF上をF＝Kとすれば、多項式1,x,1+xが体K上一次独立とすると、
1,x,1+x{∈K[x]で、1,x,1+x}はK-係数の多項式環K[x]の基底となることがいえる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 18:02:03.77

>>658
>>664の一番下の「1,x,1+x{∈K[x]で、1,x,1+x}」は「1,x,1+x∈K[x]で、{1,x,1+x}」

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 18:25:48.86

1+x=1+x
これで終わることに長文垂れ流す人の心理を答えよ、という問題がわかりません

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 18:32:49.18

そんな反例すぐ分かってツマンネ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 18:36:11.35

また、1,x,1+xの線形結合によりx^2を構成せよ、という問題もわかりません

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 18:45:04.66

Kを体とすると、{1,x,x^2}はK-係数の多項式環K[x]の基底だから、
1,x,1+xのKの点による線形結合では表せない

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 18:48:39.39

体がK(x)とかだと、話は別