大学学部レベル質問スレ 11単位目

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/20(金) 05:50:10.46

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dote ra.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

関連スレ
分からない問題はここに書いてね478
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1511604229/

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 10単位目
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1519715377/

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 11:00:48.23

>証明できる

証明しろよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 16:29:34.21

数値解析的な話題です。

「
R の区間 I 上で定義された関数 φ(x) に対して、次の2つの条件を満たす閉区間 J ⊂ I
と定数 0 < λ < 1 の存在を仮定する：

φ(x) ∈ J (x ∈ J).
| φ(x) - φ(x')| ≦ λ*|x - x'| (x, x' ∈ J).

このとき、 φ(x) は J において唯一の不動点を持つ。
」

「
不動点反復法が、有限回の反復で解 a に到達することはあるだろうか？
φ(x) は定数関数でないとする。もし、 x_N = φ(x_N) が成り立つと仮定すると、
a = x_N = φ(x_(N-1)) と不動点の一意性により、 x_N = x_(N-1) がわかる。
」

と書いてあるのですが、これはなぜでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 16:53:49.16

>>515
んなもん成り立つはずない。
例えばJ=(-1,1)、λ* = 1/2として前程条件は
φ(x) = (x-2x^2)/10
とかで成立するけど初期値1/2とすれば1回目でいきなり不動点やん。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 16:54:28.12

書いた奴が馬鹿だから。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 17:49:45.21

>>516

ちょっと言っている意味が分からないのですが、

>>515

の続きを含めて引用します：

「
不動点反復法が、有限回の反復で解 a に到達することはあるだろうか？
φ(x) は定数関数でないとする。もし、 x_N = φ(x_N) が成り立つと仮定すると、
a = x_N = φ(x_(N-1)) と不動点の一意性により、 x_N = x_(N-1) がわかる。
これを続けて、 x_0 = x_1 = … = x_N = a を得る。すなわち、初期値 x_0 を x_0 = a
と選んだ場合のみこのようなことが起こる。
」

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 17:59:43.32

さらに以下の記述があります：

「
関数 φ(x) には、唯一の不動点 a = φ(a) が存在するとし、 φ(x) は
a の近傍で C^1 級であるとする。関数 φ(x) は定数関数ではないとする。
このとき、次が成り立つ。

(i) …

(ii) |φ'(a)| > 1 ならば、いかなる初期値 x_0 に対しても、反復法 x_(k+1) = φ(x_k)
は a に収束し得ない。
」

x_0 = a とすれば、明らかに {x_n} は a に収束するように思います。

あと、「閉区間 J のコーシー列 {x_n} には極限 a が存在し、 a ∈ J を満たす。これを
J は完備であると言う。」という内容が書いてあります。

閉集合内の点列が収束すると仮定すると極限もその閉集合に属するという命題のこと
ですが、完備などと言いますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 18:02:14.16

書いた奴(515)が馬鹿だから。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 19:44:04.15

>>519
酷い本やな。なんちゅう本？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 21:37:57.32

命題に関してはズタボロ
完備については間違ってはいない

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 21:42:04.37

収束しないの命題に関しては、不動点以外からスタート、という仮定が含まれてるのかもしれん

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 21:45:25.80

>>513, >>514
> f は単射であると仮定する。f は R 上で連続だから、
> f は狭義単調増加または狭義単調減少となることが
> 簡単に証明できる。

f は単射かつ、ある a, b ∈ R に関して a < b ∧ f(a) < f(b) とする。
任意の c ≠ a, b に対して f は 3点 {a, b, c}上で狭義単調増加である事が示せる。
・a < b < c の場合: 単射より f(b) ≠ f(c)。 f(b) ＞ f(c) とすると、
　 2区間 (a, b) , (b, c) において fの値 ( f(b) + max(f(a), f(c)) )/2 をとる点が存在する。 (中間値の定理)
　よって f(a) < f(b) < f(c)
・ c < a < b の場合, a < c < b の場合も同様
つまり f が相異なる3点の内2点上で狭義単調増加なら3点上でもそうである。

任意の 2点 x, y (x < y) をとる。
上の3点 {a, b, c} に関して、x と一致しない２点(α, γとする)、その2点の中で y と一致しない1点(αとする) が必ず存在する。
よって 3点上での狭義単調増加性を保ったまま点の入れ変え {a, b, c} → {α, x, γ} → {α, x, y} が可能で、 f(x) < f(y) を得る。
x < y ⇒ f(x) < f(y) つまり f はR上で狭義単調増加である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 21:48:31.76

>>521

齊藤宜一著『数値解析』（共立出版）

という本です。

>>522-523

>>518

は間違っていますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 21:49:55.80

名前が間違っていました。訂正します：

>>521

齊藤宣一著『数値解析』（共立出版）

という本です。

>>522-523

>>518

は間違っていますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 21:58:57.63

>>523
それだって成り立たんが。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 22:01:56.37

>>526
>>516の計算ぐらいしろ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 22:05:01.02

齊藤宣一著『数値解析』（共立出版）ですが、慣れないとちょっと読みにくいですね。

「
f(x) を区間 I で定義された C^1 級関数で方程式 f(x) = 0 には唯一の解 a ∈ I が
存在するとする。このとき、簡易ニュートン法(1.6)は、初期値 x_0 を a の近くからとり、
さらに f'(x_0) ≠ 0 である限り収束する。
」

簡易ニュートン法(1.6)とは、

x_(k+1) = x_k - f(x_k) / f'(x_0) (k = 0, 1, 2, …)

のことです。（分母が f'(x_0) で固定）

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 22:07:59.15

>>529

の証明ですが、ちょっと変わっています。

「
証明
φ(x) = x - f(x)/f'(x_0) とおくと、 φ'(x_0) = 0 であるから、 |φ'(a)| = |φ'(a) - φ'(x_0)|
となる。 f'(x_0) ≠ 0 である限り、 φ'(x) は a の近傍で連続なので、 x_0 を a の十分近く
にとれば、 |φ'(a)| はいくらでも小さくなる。
」

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 22:10:19.29

>>530

の証明では、↓の(i)が使われています。

「
関数 φ(x) には、唯一の不動点 a = φ(a) が存在するとし、 φ(x) は
a の近傍で C^1 級であるとする。関数 φ(x) は定数関数ではないとする。
このとき、次が成り立つ。

(i) |φ'(a)| < 1 ならば、 a の十分近くに初期値 x_0 をとると、反復法 x_(k+1) = φ(x_k)
は a に収束する。

(ii) |φ'(a)| > 1 ならば、いかなる初期値 x_0 に対しても、反復法 x_(k+1) = φ(x_k)
は a に収束し得ない。
」

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 22:11:31.52

日本語の数値解析の入門書っていい本がないですよね。

齊藤さんの本はましだと期待したんですが、この本はどうなんでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 22:14:03.43

>>530

x_0 を動かして φ(a) を評価するというのがちょっと変わっていると思いました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 22:25:12.92

>>515
>>516

あ、なるほど。

φ(1/2) = 0
φ(0) = 0

x_0 = 1/2
x_1 = 0
x_2 = 0

x_1 = φ(x_1)
x_1 = φ(x_0)

0 = x_1 ≠ x_0 = 1/2

ですね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 22:36:10.43

>>515-516

J = [-1, 1] とする。

|φ(x) - φ(x')|

=

|(x - 2*x^2) / 10 - (x' - 2*x'^2) / 10|

≦

(1/10) * |x - x'| + (1/5) * |x^2 - x'^2|

=

(1/10) * |x - x'| * (1 + 2 * |x + x'|)

≦

(1/10) * |x - x'| * (1 + 2 * 2)

=

(1/2) * |x - x'|

ですね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 22:42:26.94

>>527

うーん。いまその証明を見ていますが、どうも成り立つように思うのですが…

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 22:44:42.44

>>515

↓は、わざわざ注意1.3として書いていることです。恥ずかしすぎますね。

「
不動点反復法が、有限回の反復で解 a に到達することはあるだろうか？
φ(x) は定数関数でないとする。もし、 x_N = φ(x_N) が成り立つと仮定すると、
a = x_N = φ(x_(N-1)) と不動点の一意性により、 x_N = x_(N-1) がわかる。
」

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 23:29:08.75

>>530

↓「|φ'(a)| はいくらでも小さくなる」と書いてありますが、 a は固定された点です。
表現がおかしいですよね。こういうところも分かりにくいと感じさせる一つの要因かも
知れません。

「
証明
φ(x) = x - f(x)/f'(x_0) とおくと、 φ'(x_0) = 0 であるから、 |φ'(a)| = |φ'(a) - φ'(x_0)|
となる。 f'(x_0) ≠ 0 である限り、 φ'(x) は a の近傍で連続なので、 x_0 を a の十分近く
にとれば、 |φ'(a)| はいくらでも小さくなる。
」

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 23:30:59.82

あ、今思ったんですが、

要は、 φ'(a) = 0 ということですよね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 23:46:10.72

ここは質問スレ

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/31(木) 00:13:19.19

まぁ今回のはそもそも分かりやすい分かりにくい以前に間違ってる。
しかし、反例提示されても理解するのにエライ時間くってるし、
今は今で成立してない命題証明しようと頑張ってるし、そもそも自分の数学力が足りてないんじゃないの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/31(木) 09:52:23.90

松坂君が馬鹿であることを再発見したね

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/31(木) 13:19:51.64

離散数学のいい参考書ない？？
講義受けてるけど教授が何言ってるのか（声が小さくて）きこえないしわからない

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/31(木) 13:35:33.00

>>543
前の席に座れば？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/31(木) 13:43:00.01

>>543
板名が読めるように日本語勉強したら

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/31(木) 14:06:54.83

>>545
わかんねえからわかりやすいの聞いてんだろアスペか？日本語学び直してきたら？

>>544
一番前ではないけど前から２,３番目に座ってるけど聞こえんのよね

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/31(木) 14:12:27.64

>>543

離散数学の本はタイトルは同じでも扱っている内容が大きく異なることが多いと思います。

その講義で扱われている内容はどんな内容なのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/31(木) 14:14:02.10

>>546
情報板へ行けといってるんだだボケ

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/31(木) 14:24:26.01

>>548
そうかすまんかった

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/31(木) 14:32:00.69

>>547
離散集合集合と対応関数同値関係集合の分割演算と代数順序集合と束様々な代数ブール代数ブール関数周期関数とその表現周期関数の級数展開関数の変換とその応用

ぱっとシラバスからコピペしたらこんな感じでした

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/31(木) 14:33:16.06

離散数学を数学とはみないのは日本に特有のことみたいですね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/31(木) 14:50:38.92

全部網羅的な教科書は無さそう

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/31(木) 16:51:13.69

>>550

なんかよく分かりませんが、

＞周期関数とその表現周期関数の級数展開関数の変換とその応用

↑これって離散数学なんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/31(木) 18:17:23.33

フーリエ解析に分類されるよね普通
まあ応用数学一般として講義してるなら入れるかも

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/31(木) 18:43:26.54

離散フーリエなんだろよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/31(木) 21:58:46.16

純粋数学寄りの離散数学だとほぼ組合せ論の話だしな
やや応用寄りでグラフ理論
離散フーリエとか差分スキームあたりは情報方面行った方がいいレベルの完全に応用

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/31(木) 22:13:21.82

>>518

「
不動点反復法が、有限回の反復で解 a に到達することはあるだろうか？
φ(x) は定数関数でないとする。もし、 x_N = φ(x_N) が成り立つと仮定すると、
a = x_N = φ(x_(N-1)) と不動点の一意性により、 x_N = x_(N-1) がわかる。
これを続けて、 x_0 = x_1 = … = x_N = a を得る。すなわち、初期値 x_0 を x_0 = a
と選んだ場合のみこのようなことが起こる。
」

↑この誤った注意ですが、後ろのほうにも影響が及んでいます↓。

「
定理1.13（ニュートン法の収束の速さ）

定理1.6と同じ仮定の下で、ニュートン法（1.5）の反復列は、 x_0 ≠ a のとき、

lim [x_(k+1) - a] / [(x_k - a)^2] as k → ∞ = (1/2) * f’’(a) / f’(a)

を満たす。
」

齊藤さんは、 x_0 ≠ a のとき、 x_k ≠ a だと思っているわけなので、
x_k = a となる場合があることを全く心配していません。

ひどい本です。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/01(金) 00:17:57.30

低速フーリエ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/01(金) 13:27:35.41

劣等感が追い出されて来たんか

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/01(金) 21:47:11.19

ある関数y(x)、z(x)のロンスキー行列をD(y、z)とするとき、このD(y、z)が恒等的に0にならない場合にy(x)とz(x)が一次独立であることの証明を行え

また、次の組みの一次独立の判定を証明を含めて行え
(1)1、x、1+x
(2)1、cos2x、cos^2x
(3)1、sin2x、sin^2x

すいません、これをお願いします。
二つ目の問題の(1)はxに0を代入してa+c=0でa=-1、c＝1でも成り立つので一次独立ではないといった感じで大丈夫ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/01(金) 22:10:25.53

>>560
(3)はsin2xとsin^2xのみでした

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/01(金) 22:19:54.48

>>560
その設問だとロンスキアンつかわなダメじゃね？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/01(金) 22:25:00.14

>>562
すいません1問目ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/01(金) 22:34:20.37

2問目は抜けていましたが、一次独立の定義(ある関数y(x)、z(x)と定数a、bごあるときに、ay(x)+bz(x)=0がa＝b＝0の場合のみ恒等的に成立するとき関数y(x)、z(x)は一次独立)を利用して証明です

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/01(金) 23:18:33.64

>>5630

勘違いしてたorz。
ロンスキアン使わなあかんのは一次独立であるを示すとき。
(1),(2)は一次従属だから好きなもん使って示せばいいと思う。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/02(土) 11:08:28.70

>>560
>二つ目の問題の(1)はxに0を代入してa+c=0でa=-1、c＝1でも成り立つので一次独立ではないといった感じで大丈夫ですか？
像が1次従属だからといって元も1次従属にはならんがや

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/02(土) 15:35:16.56

>>566
すいません、どういう事でしょうか

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/02(土) 15:51:39.97

y=x＋定数の部分なんですが、なぜ定数になるのかがわかりません。任意関数ではないんですか？
https://i.imgur.com/dbDmjXj.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/02(土) 16:22:01.20

分野は偏微分方程式です

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/02(土) 19:40:46.94

>>566
代入するとは多項式から実数への線形写像だよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/02(土) 20:42:31.18

それが何か関係あるのか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/02(土) 22:41:45.49

>>571
ん？
f1(x),...,fn(x)が一次独立か従属か決定するために
a1f1(x)+...+anfn(x)=0
と置いた上で
xに何か値たとえば0を入れて
a1f1(0)+...+anfn(0)=0
が成立する非自明なa1,...,anがあったとしても
それで
a1f1(x)+...+anfn(x)=0
が成立するとは限らないってことだよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/03(日) 00:43:47.95

>>570は関係ないが。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/03(日) 19:54:01.50

>>573
なんで？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/03(日) 19:55:35.43

R^3 から R への関数を f(x, y, z) とします。 c を定数とします。
f(x, y, z) = c となるような R^3 の部分集合は一般に曲面になる
というのはどうしてですか？ f にどんな条件が付くときに曲面に
なるのでしょうか？また曲面の定義自体が分かりません。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/03(日) 19:57:09.96

>>567
1と1+xだけで
a・1+c(1+x)=0
にx=0を代入して
a+c=0
になるからa=1,c=-1で成立するから1次従属？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/03(日) 22:41:47.74

A を平面の点の空でない集合とし、 f(x, y) を A で定義された関数とする。
平面の点の集合 S に対し、最大値の定理の証明の中だけで使う記号
A ≦ S と A > S を定義する。 A の任意の点 (x, y) に対し、 S に含まれる
A の点 (s, t) で f(x, y) ≦ f(s, t) をみたすものが存在するとき、 A ≦ S と
書く。 A の点 (x, y) で、 S に含まれる A の任意の点 (s, t) に対し
f(x, y) > f(s, t) となるものが存在するとき、 A > S と書く。記号 A ≦ S と
A > S の意味は関数 f(x, y) によって決まるものだが、記号からは省略した。

A が S の部分集合ならば A ≦ S である。 A は空集合ではないから、
A と S が交わらないならば A > S である。 A ≦ S ならば f(x, y) の最大値を
とる A の点で S に含まれるものがあるはずであり、 A > S ならば f(x, y) の
A での最大値をとる点は S には含まれない。

(1)と(2)のどちらが A ≦ S の定義でしょうか？

(1)
A ≦ S

⇔

∀(x, y) ∈ A, ∃(s, t) ∈ A ∩ S such that f(x, y) ≦ f(s, t)

(2)
A ≦ S

⇔

∃(s, t) ∈ A ∩ S, ∀(x, y) ∈ A such that f(x, y) ≦ f(s, t)

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/03(日) 22:56:32.12

>>575
R^2からR^3への連続像だよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/03(日) 23:47:02.52

>>577

(1)だと解釈すると、

「A が S の部分集合ならば A ≦ S である。」

は成り立ちますが、

「A ≦ S ならば f(x, y) の最大値をとる A の点で S に含まれるものがある。」

は成り立ちません。

(2)だと解釈すると

「A が S の部分集合ならば A ≦ S である。」

は成り立ちませんが、

「A ≦ S ならば f(x, y) の最大値をとる A の点で S に含まれるものがある。」

は成り立ちます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/03(日) 23:52:28.77

ほとんど自明のような気がするんですが、ちゃんと証明するとどうなるのかよくわからない問題です

K⊂M⊂Lを体の有限次拡大でNをKの代数閉包とするとき
１、任意のM→NのK準同型は、あるL→NのK準同型の制限として存在する
２、任意のL→NのK準同型は、あるM→NのK準同型の拡張として存在する

これってどうやって証明できますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 00:23:13.94

>>580
なんぼなんでも(2)は当たり前でしょ？g:L→NにたいしてそのMへの制限をfとすればgはfの拡張です。
(1)は[L:M]についての帰納法。[L:M]=1なら自明。[L:M]<nで成立として[L:M]=nとする。f:M→Nをとる。
h:M(a)→Nを以下のように定める。
a∈L＼Mをとってp(x)∈M[x]をaの最小多項式とする。
fをpの各係数にヒットして得られる多項式をq(x)∈N[x]とする。
b∈Nをq(x)=0の解とすればu(a) ∈ M[a]に対しh(u(a))を

h(u(a)) := u(b)

で定めればhがfのM(a)への拡張になる。
これを帰納法の仮定でLまで拡張すればよい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 00:25:39.00

>>581
ちょっと文章おかしい。orz

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 00:27:01.72

>>581
無限次拡大でも成立するでしょ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 01:07:17.27

>>581
ありがとうございます。
確かに、２は本当に自明でした。
１はLをM(a1),M(a1,a2)と順々に生成元を増やしていくことで
証明可能ですね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 01:08:30.80

>>583
成立するけどそんなこと聞かれてないじゃん。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 01:40:11.94

>>575
f がどんな関数でもいいとすると、多分収拾がつかなくなる。
とりあえず f は微分可能としておくと、

・f(x,y,z)=c となるような R^3 の部分集合が空でない。
・各点で、∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z の少なくとも一つが 0 でない。

が成り立てば、普通にイメージする「曲面」になると思う。（陰関数定理より）

曲面の定義についてはいろいろとややこしい話があって、俺もよく分かってない

>>578
それだと例えば１点集合も含まれてしまう

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 01:43:47.58

曲面とは第二可算公理を満たす二次元の多様体とする。

ウィキペディアに書いてありました

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 02:13:36.85

波の周波数のピークだけを求めたいときにフーリエ変換より軽いアルゴリズムってありますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 03:46:57.06

>>585
無限次元でも成立するということは
機能的にちょっとずつ示すということが本質にならないことを意味してる
それは楽なことではあるけれど本質をズバリ示す方法が別にあるはず

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 04:13:15.19

>>589
では本質的な証明をどうぞ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 08:58:40.11

>>576
そう言いたいんですが、ダメでしょうか

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 09:21:54.35

>>587
その上の例のところに
＞どんな形式的定義によってもこの多様さを包摂することはできないだろう。
と書いてある。

定義の所には
＞以下では、曲面とは第二可算公理を満たす二次元の多様体とする。
のように「以下では」と断っているので、
これが唯一絶対の定義というわけではない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 09:41:10.86

>>592
よくわかってないのにどうしてわかるんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 11:36:40.98

>>586
んじゃ
局所単射な連続像で

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 13:44:25.21

>>593
主語と目的語を明記しろ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 19:47:25.28

A を平面の点の空でない集合とし、 f(x, y) を A で定義された関数とする。
平面の点の集合 S に対し、最大値の定理の証明の中だけで使う記号
A ≦ S と A > S を定義する。 A の任意の点 (x, y) に対し、 S に含まれる
A の点 (s, t) で f(x, y) ≦ f(s, t) をみたすものが存在するとき、 A ≦ S と
書く。 A の点 (x, y) で、 S に含まれる A の任意の点 (s, t) に対し
f(x, y) > f(s, t) となるものが存在するとき、 A > S と書く。記号 A ≦ S と
A > S の意味は関数 f(x, y) によって決まるものだが、記号からは省略した。

A が S の部分集合ならば A ≦ S である。 A は空集合ではないから、
A と S が交わらないならば A > S である。 A ≦ S ならば f(x, y) の最大値を
とる A の点で S に含まれるものがあるはずであり、 A > S ならば f(x, y) の
A での最大値をとる点は S には含まれない。

(1)と(2)のどちらが A ≦ S の定義でしょうか？

(1)
A ≦ S

⇔

∀(x, y) ∈ A, ∃(s, t) ∈ A ∩ S such that f(x, y) ≦ f(s, t)

(2)
A ≦ S

⇔

∃(s, t) ∈ A ∩ S, ∀(x, y) ∈ A such that f(x, y) ≦ f(s, t)

(1)だと解釈すると、

「A が S の部分集合ならば A ≦ S である。」

は成り立ちますが、

「A ≦ S ならば f(x, y) の最大値をとる A の点で S に含まれるものがある。」

は成り立ちません。

(2)だと解釈すると

「A が S の部分集合ならば A ≦ S である。」

は成り立ちませんが、

「A ≦ S ならば f(x, y) の最大値をとる A の点で S に含まれるものがある。」

は成り立ちます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 21:37:15.77

>>591
ん？1と1+xが1次従属だと思ってるの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 22:06:06.63

「A の任意の点 (x, y) に対し、 S に含まれる A の点 (s, t) で
f(x, y) ≦ f(s, t) をみたすものが存在する」の意味ですが、これ
を素直に解釈した(1)の意味らしいです。

「A ≦ S ならば f(x, y) の最大値をとる A の点で S に含まれるものがある。」

は本当に成り立ちますか？

(1)
A ≦ S

⇔

∀(x, y) ∈ A, ∃(s, t) ∈ A ∩ S such that f(x, y) ≦ f(s, t)

(2)
A ≦ S

⇔

∃(s, t) ∈ A ∩ S such that ∀(x, y) ∈ A, f(x, y) ≦ f(s, t)

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 22:14:43.45

>>598

正誤表を見てみてもこの件については書いてありませんでした。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 22:35:22.68

>>596
前後の文脈も仮定もいまいちわからんがsの仮定の文章だけから判断するなら（1）でしかありえない
最大値云々のところは文脈がわからんから間違ってるともなんとも

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 22:37:40.96

ようするに抜き出し方が不十分なのでよくわからん
（2）はなさそうだろうということだけは言えるが

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 22:38:56.60

>>598

A＝{ (x,0)｜0＜x＜2 }
S＝{ (x,0)｜0＜x＜1 }
f：A → R, f(x,y)＝1/x

とすると、(1)は成り立つが、max f(A) は存在しない。
特に、f(x,y) の最大値をとる A の点で S に含まれるものはない。

ただし、max f(A) が存在するケースでは、f(x,y) の最大値をとる A の点で S に含まれるものが存在する。
文脈から推測するに、max f(A) が必ず存在するようなケースしか考えてないのでは？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 22:51:35.85

>>601-602

ありがとうございます。

抜き出し方が不十分ということはないと思います。

最大値の定理の証明の前の準備のような文章なので、もしかしたら、
max f(A) が存在するケースを勝手に考えているという可能性はあり
ます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 22:57:24.24

>>596

この本の妙なところですが、まず平面の開集合 U の点 a での連続性を定義していて、
その後に、一般の平面の点の集合 A の点 a での連続性が定義されていたりします。

妙に神経質なんです。

A - B という集合の演算についても B が A の部分集合のときにしか定義していません。
（意図が分かりません。）

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 23:03:49.86

https://imgur.com/7AbnKtF.jpg
https://imgur.com/0OxqEoZ.jpg

念のため該当箇所の周辺をアップロードします。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 23:50:56.98

wara

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/05(火) 00:03:36.23

>>605
単なる記号の定義で、成り立ちますかもクソもない気がするのですが、何が問題なんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/05(火) 00:26:24.95

>>607
何回同じ事やるんだ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/05(火) 06:15:14.27

>>604
アンタに神経質言われてもな

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/05(火) 19:01:19.69

>>597
1とxと1+xは一次従属じゃないんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/05(火) 19:51:08.19

なんでxを付け加えたの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/05(火) 20:07:51.97

x"=-ω^2cosx , ω=√(g/l)を変形して
(x')^2-2ω^2cosx=2Eを表せ
Eは系のエネルギー
分かりません、教えてください

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/05(火) 22:23:22.73

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