>>479 その議論で言えるのはK⊂M⊂Lが有限次分離拡大である場合だけでは? 0490132人目の素数さん2018/05/28(月) 07:59:43.68ID:7DoP0x8Y g(x) が x = a で n 回微分可能とする。
b := g(a) とする。
f(x) が x = b で n 回微分可能とする。
このとき、
f(g(x)) は x = a で n 回微分可能であることを示せ。 0491132人目の素数さん2018/05/28(月) 08:22:47.91ID:kdVc2zFn 合成関数の微分公式より明らか 0492132人目の素数さん2018/05/28(月) 08:27:36.61ID:7DoP0x8Y f(x) は x = a を含むある開区間で定義されているとする。
f(x) は x = a で微分可能とする。
このとき、
f(x) は x = a を含むある開区間で微分可能であるか? 0493132人目の素数さん2018/05/28(月) 08:32:04.36ID:kdVc2zFn 反例 (-1,1) y=|x| a=1/2 0494132人目の素数さん2018/05/28(月) 08:37:42.76ID:7DoP0x8Y f(x) = |x| は x = 1/2 を含む開区間 (0, 1) で微分可能だと思います。 0495132人目の素数さん2018/05/28(月) 08:39:46.25ID:7DoP0x8Y f(x) が x = a で2回微分可能というとき、
当然、
f(x) は x = a を含むある開区間で定義されている必要があります。 f'(x) も x = a を含むある開区間で定義されている必要があります。
よって、
f(x) は x = a を含むある開区間で微分可能でなくてはなりませんよね? 0496132人目の素数さん2018/05/28(月) 09:04:00.45ID:kdVc2zFn>>492 fは(-1,1)で定義された関数で f(0)=0 f(x)=1/n(n≦1/|x|<n+1) を満たす
「 関数 φ(x) には、唯一の不動点 a = φ(a) が存在するとし、 φ(x) は a の近傍で C^1 級であるとする。関数 φ(x) は定数関数ではないとする。 このとき、次が成り立つ。
(i) …
(ii) |φ'(a)| > 1 ならば、いかなる初期値 x_0 に対しても、反復法 x_(k+1) = φ(x_k) は a に収束し得ない。 」
x_0 = a とすれば、明らかに {x_n} は a に収束するように思います。
あと、「閉区間 J のコーシー列 {x_n} には極限 a が存在し、 a ∈ J を満たす。これを J は完備であると言う。」という内容が書いてあります。
閉集合内の点列が収束すると仮定すると極限もその閉集合に属するという命題のこと ですが、完備などと言いますか? 0520132人目の素数さん2018/05/30(水) 18:02:14.16ID:7943hsjh 書いた奴(515)が馬鹿だから。 0521132人目の素数さん2018/05/30(水) 19:44:04.15ID:BU4I0cfT>>519 酷い本やな。なんちゅう本? 0522132人目の素数さん2018/05/30(水) 21:37:57.32ID:Wv6vXhQM 命題に関してはズタボロ 完備については間違ってはいない 0523132人目の素数さん2018/05/30(水) 21:42:04.37ID:Wv6vXhQM 収束しないの命題に関しては、不動点以外からスタート、という仮定が含まれてるのかもしれん 0524132人目の素数さん2018/05/30(水) 21:45:25.80ID:Zmm+qT5O>>513, >>514 > f は単射であると仮定する。f は R 上で連続だから、 > f は狭義単調増加または狭義単調減少となることが > 簡単に証明できる。
f は単射かつ、ある a, b ∈ R に関して a < b ∧ f(a) < f(b) とする。 任意の c ≠ a, b に対して f は 3点 {a, b, c}上で狭義単調増加である事が示せる。 ・a < b < c の場合: 単射より f(b) ≠ f(c)。 f(b) > f(c) とすると、 2区間 (a, b) , (b, c) において fの値 ( f(b) + max(f(a), f(c)) )/2 をとる点が存在する。 (中間値の定理) よって f(a) < f(b) < f(c) ・ c < a < b の場合, a < c < b の場合 も同様 つまり f が相異なる3点の内2点上で狭義単調増加なら3点上でもそうである。
任意の 2点 x, y (x < y) をとる。 上の3点 {a, b, c} に関して、x と一致しない2点(α, γとする)、その2点の中で y と一致しない1点(αとする) が必ず存在する。 よって 3点上での狭義単調増加性を保ったまま点の入れ変え {a, b, c} → {α, x, γ} → {α, x, y} が可能で、 f(x) < f(y) を得る。 x < y ⇒ f(x) < f(y) つまり f はR上で狭義単調増加である。 0525132人目の素数さん2018/05/30(水) 21:48:31.76ID:PMZrRFyz>>521
勘違いしてたorz。 ロンスキアン使わなあかんのは一次独立であるを示すとき。 (1),(2)は一次従属だから好きなもん使って示せばいいと思う。 0566132人目の素数さん2018/06/02(土) 11:08:28.70ID:NK2MAr72>>560 >二つ目の問題の(1)はxに0を代入してa+c=0でa=-1、c=1でも成り立つので一次独立ではないといった感じで大丈夫ですか? 像が1次従属だからといって元も1次従属にはならんがや 0567132人目の素数さん2018/06/02(土) 15:35:16.56ID:o9EnEJxC>>566 すいません、どういう事でしょうか 0568132人目の素数さん2018/06/02(土) 15:51:39.97ID:2oBOSXM3 y=x+定数の部分なんですが、なぜ定数になるのかがわかりません。任意関数ではないんですか? https://i.imgur.com/dbDmjXj.jpg0569132人目の素数さん2018/06/02(土) 16:22:01.20ID:2oBOSXM3 分野は偏微分方程式です 0570132人目の素数さん2018/06/02(土) 19:40:46.94ID:K42WJEUT>>566 代入するとは多項式から実数への線形写像だよ 0571132人目の素数さん2018/06/02(土) 20:42:31.18ID:2TZQMZgd それが何か関係あるのか。 0572132人目の素数さん2018/06/02(土) 22:41:45.49ID:NK2MAr72>>571 ん? f1(x),...,fn(x)が一次独立か従属か決定するために a1f1(x)+...+anfn(x)=0 と置いた上で xに何か値たとえば0を入れて a1f1(0)+...+anfn(0)=0 が成立する非自明なa1,...,anがあったとしても それで a1f1(x)+...+anfn(x)=0 が成立するとは限らないってことだよ 0573132人目の素数さん2018/06/03(日) 00:43:47.95ID:yrB9kXha>>570は関係ないが。 0574132人目の素数さん2018/06/03(日) 19:54:01.50ID:kU0ozEMf>>573 なんで? 0575132人目の素数さん2018/06/03(日) 19:55:35.43ID:S/KX08qG R^3 から R への関数を f(x, y, z) とします。 c を定数とします。 f(x, y, z) = c となるような R^3 の部分集合は一般に曲面になる というのはどうしてですか? f にどんな条件が付くときに曲面に なるのでしょうか?また曲面の定義自体が分かりません。 0576132人目の素数さん2018/06/03(日) 19:57:09.96ID:kU0ozEMf>>567 1と1+xだけで a・1+c(1+x)=0 にx=0を代入して a+c=0 になるからa=1,c=-1で成立するから1次従属? 0577132人目の素数さん2018/06/03(日) 22:41:47.74ID:S/KX08qG A を平面の点の空でない集合とし、 f(x, y) を A で定義された関数とする。 平面の点の集合 S に対し、最大値の定理の証明の中だけで使う記号 A ≦ S と A > S を定義する。 A の任意の点 (x, y) に対し、 S に含まれる A の点 (s, t) で f(x, y) ≦ f(s, t) をみたすものが存在するとき、 A ≦ S と 書く。 A の点 (x, y) で、 S に含まれる A の任意の点 (s, t) に対し f(x, y) > f(s, t) となるものが存在するとき、 A > S と書く。記号 A ≦ S と A > S の意味は関数 f(x, y) によって決まるものだが、記号からは省略した。
A が S の部分集合ならば A ≦ S である。 A は空集合ではないから、 A と S が交わらないならば A > S である。 A ≦ S ならば f(x, y) の最大値を とる A の点で S に含まれるものがあるはずであり、 A > S ならば f(x, y) の A での最大値をとる点は S には含まれない。
(1)と(2)のどちらが A ≦ S の定義でしょうか?
(1) A ≦ S
⇔
∀(x, y) ∈ A, ∃(s, t) ∈ A ∩ S such that f(x, y) ≦ f(s, t)
(2) A ≦ S
⇔
∃(s, t) ∈ A ∩ S, ∀(x, y) ∈ A such that f(x, y) ≦ f(s, t) 0578132人目の素数さん2018/06/03(日) 22:56:32.12ID:kU0ozEMf>>575 R^2からR^3への連続像だよ 0579132人目の素数さん2018/06/03(日) 23:47:02.52ID:S/KX08qG>>577