大学学部レベル質問スレ 11単位目
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>>419 おいおい行ける、って言われてんだろエアプ >>421 iPadは触ったことがないのですが、ペンと変わりないくらいの感じで書けますか? >>384 >>385 >>386 別解: コーシーの積分定理より ∫[C](π^2+z^2)/(exp(z)+1) dz = 0 ここでCは L+πi,πi,-πi,L-πi (L>0)を頂点とする長方形上の閉曲線 実軸に平行な積分 = ∫[0,L]{(π^2+(x-πi)^2)-(π^2+(x+πi)^2)}/(-exp(x)+1) dx = 4πi∫[0,L] x/(exp(x)-1) dx 虚軸上の積分 = -i∫[0,π]{(π^2-y^2)/(exp(iy)+1) + (π^2-y^2)/(exp(-iy)+1)}dy = -i∫[0,π](π^2-y^2)dy = -2(π^3)i/3 虚軸に平行な積分 →0 (L→∞) したって ∫[0,∞] x/(exp(x)-1) dx = (π^2)/6 参考: 同様の計算で ∫[C](π^2+z^2)^2 /(exp(z)+1) dz = 0 ⇒ ∫[0,∞] (x^3)/(exp(x)-1) dx = (π^4)/15 『定本解析概論』p.152(9)ですが、 (n + 1) * π * ∫ 1 / [1 + (n*π)^6 * (sin(x))^2] dx from x = 0 to x = π < 1 / n^2 という評価が書いてあります。 これはどうやって導くのでしょうか? >>427 それ、不等号が逆 >>425 sin x > 2x/π (0<x<π/2) を用いて (n+1)π∫[0,π] < 2(n+1)π∫[0,π/2] < 2(n+1)π∫[0,π/2] 1/(1+(nπ)^6 (2x/π)^2) dx < 2(n+1)π∫[0,∞] 1/(1+(nπ)^6 (2x/π)^2) dx < (n+1)/(2n^3) ≦ 1/n^2 >>429 ありがとうございました。 高木貞治さんの『定本解析概論』ですが、結構クールな例が載っているんですね。 少しだけ見直しました。 L1、L2が体Kの拡大体のとき、 L1、L2の元をすべて含む体はKの拡大体なんですか? どうやって示せばいいでしょうか? 拡大体L/L1(L2)じゃなくて単に集合としてL⊃L1∪L2であるような任意の体LがKの拡大体になるかってこと? あり得ないが >>432 すみません L1とL2を含むような最小の拡大体、という意味でした >>433 最小の拡大体→最小の体 です たびたびすみません LをL1,L2の拡大体とする 定義からK⊂Lであり、Lにおける演算をKに制限したものは体Kの演算に一致する すなわちLはKの拡大体である 体L1とL2がK上の基底をもっているばあい L1とL2を含む最小の体はK上を基底をもっている は真でしょうか? なんでわざわざ分かりにくい文章に書き直したのこの人 行列について質問です. 論文に The singularity assumption about A is required, since otherwise Ax = 0 would have only the trivial solution x = 0 という記述があったのですが,非正則な行列ならばAx=0を満たすxは0ベクトルだけではないと思うのですが,英語の解釈を間違っているのでしょうか. Aに関する非正則性が要求されます、なぜならばそうでなければAx=0は自明解x=0しかもたなくなるからです 数学やる人って、やっぱり英語できないんですね 下記データが有る場合において、統計学上、 103、104、105、106、107、108、109、110、 111、112、113、114、115、116、117、118 に該当する個別人数を推理することはできませんか? logとかいうのを使わないで、数式を教えて頂けませんか? エクセルで計算したいです。 あるいは、そんなこと(上記推理)はできないものでしょうか? なお、高校数学VCを除く程度の知識しかない文系です。 点数 左に該当する人数 175満点 0 167~ 1 159~ 10 151~ 56 143~ 161 135~ 261 127~ 314 119~ 259 111~ 178 103~ 100 95~ 38 87~ 14 79~ 9 71~ 6 63~ 1 55~ 1 47~ 0 39~ 1 31~ 3 23~ 10 15~ 8 7~ 1 0~ 9 この下線部の関係はただ単に1枚目のものに両辺からFourierインバースをかけただけなんですか? フーリエ変換とフーリエ逆変換の関係がイマイチよくわかりません。 https://i.imgur.com/JRagH3C.jpg https://i.imgur.com/jX6pUVk.jpg >>445 逆変換の定義によるけど基本的にはそう。フーリエ変換したものをフーリエ逆変換すれば元に戻るという関係性が基本。 m ≦ n - 1 のとき Σ (-1)^k * Binomial(n, k) * k^m from k = 0 to k = n = 0 が成り立つことを示せ。 >>448 D = d/dxとおく。 f(x) = (1+ e^x)^nとおけば 与式=D^m f(iπ)。 ここで D^m f(x) = Σ[k1+k2+…+kn=m]D^k1(1+e^x) D^k2(1+e^x)…D^kn(1+e^x) でm<nによりkのいずれかは0。よってD^m f(iπ) = 0。 次の積分を求めよ ∫∫e^(x^3)dxdy D={(x,y) : 0≦y≦1,√y≦x≦1} お願いします X,Yをi.i.dな確率変数とし、MをXのmedianとする。 任意のε>0について 2P(|X-Y|≧ε) ≧ P(|X-M|≧ε) を証明せよ。 助けてください… >>701 M=0としてよい。 |X|≧e→|X-Y|≧e or |X+Y| ≧e ∴P(|X|≧e) ≧ P(|X-Y|≧e) + P(|X+Y| ≧e) = 2P(|X-Y| ≧e)。 >>455 0としていいのはなんでなんでしょうか。 >>456 X,YをX-M, Y-Mに置き換えてもi idだから >>457 いや、後は自分でなんとかします。ありがとうございました。 (2)です。特異点が2つあるのですが、Z=0を囲むかで2通りの展開方法があるそうです。ローラン展開の定義にはC1はC2の外側にあり且つC1とC2の間の領域には特異点がないようにするとあふので、 @C2はZ=2のみを囲み且つC1はC2より大きく左側がZ=0〜2の間を取るような閉曲線 AC2はZ=0,2を囲み且つC1はC2より大きい閉曲線 という2通りという意味ですか? https://i.imgur.com/fzENFfH.jpg https://i.imgur.com/OkhOfM7.jpg https://i.imgur.com/iSEaM6b.jpg 定積分 ∫[0, +∞] dx sin(x)^3/x^2 = 3*log(3)/4 (値はWolframAlpha より) の求め方を教えてください。 ∫[0, +∞] dx sin(x)^2/x^2 = (1/2)* lim{ε→+0} ∫[-∞, +∞] dx sin(x)^2/(x^2 + ε^2) = ... = π/2 こっちみたいに複素積分でバシっと行ける気がしませんが、どうなんですかね。 >>462 sin^3 x = (exp ix - exp (-ix))^3/(-8i) = (exp 3ix - 3exp ix + 3exp ix - exp (-3ix))/(-8i) として3ixとixの方は積分路を0 → i∞、残りは0 → -i∞ とすればいける希ガス。 >>462 >>463 訂正。その前にx^2をx^sにしといて後で解析接続しないとダメかも。 >>462 [補題] ∫[0,∞](exp(iax)-exp(ibx))/x dx = log(b/a) (a,b>0 or a,b<0) ∵a,b>0として積分路を実軸から虚軸に移すと ∫[0,∞](exp(iax)-exp(ibx))/x dx =∫[0,∞](exp(-ay)-exp(-by))/y dy =∫[0,∞]∫[a,b] exp(-ty) dtdy = ∫[a,b] 1/t dt = log(b/a) sin^3(x)/x^2 = (exp(3ix)-3exp(ix)+3exp(-ix)-exp(3ix))/(-8ix^2) = -(3/8)∫[-1,1] (exp(3itx)-exp(itx))/x dt 補題より ∫[0,∞] sin^3(x)/x^2 dx = -(3/8)∫[-1,1] log(1/3) dt = (3/4)log(3) 開区間族と閉区間族の問題なんですけど、部分集合を求めた後、どういった思考フローで解答するのかわかりません お願いします https://i.imgur.com/wR9gLxu.jpg >>467 (-1,1){0} (-1,1){0} ですよね 開集合の和は開集合 閉集合の積は閉集合 一点集合は閉集合ですね ∫[a-i∞,a+i∞]x^s/s ds の値をa>0 の時と a<0 の時で求めた定理になんか名前がついてた希ガスなんですが誰の定理か知ってます?たしかPで始まる名前だったような… K⊂M⊂Lを体の有限次拡大で、NをKの代数閉包とする L→NのK準同型は、MではないLの元についての写像は任意のL→NのM準同型と同じで Mの元についての写像は任意のM→NのK準同型と同じであるようにとれる。 つまり L→NのK準同型の個数=L→NのM準同型の個数 × M→NのK準同型の個数 である。 これってどうやって証明できますか? >>467 (a) (-1, 1) だと予想できるから、 -1<x<1 をみたす任意の x が含まれ、 x=±1 が含まれないことを示す。 (b) {0} だと予想できるから、 x=0 が含まれ、 x≠0 が含まれないことを示す。 論理積とか聞かないんですかね ここの回答者って、レベル低いんですね >>470 すみません、どなたか470おしえてくれませんか >>470 体上の準同型写像を延長できる定理を使えばいいんでね? >>477 M→NのK準同型を、L→NのK準同型に延長するようなものが存在 することはわかるんですが それがL→NのM準同型の個数通りの延長の仕方が あるかどうかがわからないんです。 今も考えてるんですけど、有限次拡大なんで 基底の話にうまく結びつけることでとけないか 試行錯誤中です・・。 >>470 かっこいい方法は思いつかんけど、泥臭くていいなら M. Lの元でK上分離的な元の全体をM0. L0として (1) K → N の M への拡大の個数=[M0:K] (2) L → N の M への拡大の個数=[L0:K] (3) M0 → N の L への拡大の個数=[L0:M0] が任意の準同型について言えることを確認すればできそう。 https://arxiv.org/pdf/0908.4287.pdf のなかにΩ_±って記号がでてくるんですが、これ意味わかります? wikipediaの情報からすれば >記号 O とo は通常、関数の収束や発散の漸近的な上界を記述する為に用いられる。同様に漸近的な下界を記述する為にΩ, ωという類似記法が用いられ、上下両方を記述する為にΘ という記法を用いる。 とあるので “漸近的な下界” を表してるっぽいんですが、±はなんの意味でしょう?どなたかわかりますか? >>474 てゆーか 論理積のつもりで積集合使ってるとしたらアホだね >>481 数学において、集合族の共通部分(きょうつうぶぶん、英: intersection)とは、与えられた集合の集まり(族)全てに共通に含まれる元を全て含み、それ以外の元は含まない集合のことである。 共通集合(きょうつうしゅうごう)、交叉(こうさ、交差)、交わり(まじわり、meet)、積集合(せきしゅうごう)、積(せき)[1]、などとも呼ばれる。 わかりませんでした、ってはっきり言ったらどうなんですか? >>479 返信がおくれてすみません。 ようやくわかってきた気がします。 準同型の個数が共役の個数なので 共役のうち異なる元の数をかぞえあげれば・・・ という感じでしょうかね。 まだ全体像が見えてないですけど これならいけるかもです ありがとうございました! >>470 >>484 分離拡大あたりを勉強中かな?お疲れさん。 雪江代数学2の179ページ補題3.3.16を参照しなされ。 明快な答えがそこにある。 >>479 その議論で言えるのはK⊂M⊂Lが有限次分離拡大である場合だけでは? g(x) が x = a で n 回微分可能とする。 b := g(a) とする。 f(x) が x = b で n 回微分可能とする。 このとき、 f(g(x)) は x = a で n 回微分可能であることを示せ。 f(x) は x = a を含むある開区間で定義されているとする。 f(x) は x = a で微分可能とする。 このとき、 f(x) は x = a を含むある開区間で微分可能であるか? f(x) = |x| は x = 1/2 を含む開区間 (0, 1) で微分可能だと思います。 f(x) が x = a で2回微分可能というとき、 当然、 f(x) は x = a を含むある開区間で定義されている必要があります。 f'(x) も x = a を含むある開区間で定義されている必要があります。 よって、 f(x) は x = a を含むある開区間で微分可能でなくてはなりませんよね? >>492 fは(-1,1)で定義された関数で f(0)=0 f(x)=1/n(n≦1/|x|<n+1) を満たす (f(h)-f(0))/h=1/nh ただし、n≦1/h<n+1 1≦1/(nh)<1+1/n 0≦(f(h)-f(0))/h-1<1/n ε=1/Nととると、h<εに対して 0≦(f(h)-f(0))/h-1<1/n<1/N=ε よって、f'(0)=1 しかし、どのようなx=0を含む開区間をとっても、ある点x=1/nが存在して、この点においては不連続となるため微分不可 >>495 なんで2回微分可能という条件つけんの? ある同値関係R_1,R_2に対して以下の関係が同値関係かどうか示せという問題なのですが、 R_1 ∪ R_2に関して。反射律、対称律は導けますが、推移率に関してがわかりません x(R_1 ∪ R_2)y ∧ y(R_1 ∪ R_2)z ⇔ (xR_1y ∨ xR_2y) ∧ (yR_1z ∨ yR_2z) とは、つまるところxR_1yとyR_2zにおいても推移性があるのかどうか。この推移性があることで推移律は満たしていないかどうか。 教えてくださいお願いします >>500 ≡(mod2)∪≡(mod3) 2,4,7で考えてみたら? やはり、推移律は成り立たなさそうです ありがとうございました f が全実数で微分可能な関数で lim f(x) = 0 as x → ∞, lim f(x) = 0 as x → -∞ なら、 f'(x) = 0 となる点 x が存在することを示せ。 f が全実数で微分可能な関数で lim f(x) = 0 as x → ∞, lim f(x) = 0 as x → -∞ なら、 f'(x) = 0 となる点 x が存在することを示せ。 f(x) ≡ 0 の場合には↑の命題は成り立つ。 f(x) ≠ 0 となる x が存在すると仮定する。 f(b) ≠ 0 とする。 c < x ⇒ |f(x)| < |f(b)| となるような c が存在する。 b ≦ c である。 x < a ⇒ |f(x)| < |f(b)| となるような a が存在する。 a ≦ b である。 a ≦ b ≦ c である。 a = c のときには、 すべての x に対して |f(x)| ≦ |f(b)| であるから、 f(x) は x = b で最大値または最小値をとる。 ロルの定理の証明と同様の論法により、 f'(b) = 0 である。 よってこの場合には、↑の命題は成り立つ。 a < c の場合を考える。 f(x) は [a, c] で連続だから [a, c] で [a, c] 内での最大値 M および最小値 m をとる。 K := max{|M|, |m|} とおく。 |f(b)| ≦ K だから、 f(x) は [a, c] 内 の点 d で、 R 全体での最大値または最小値をとる。 ロルの定理の証明と同様の論法により、 f'(d) = 0 である。 以上より、↑の命題は成り立つことが分かった。 f=0なら自明 f≠0なら平均値or閉区間とって最大(または最小)値の存在 齋藤正彦さんの解答は以下です。 f(x) が恒等的に 0 ならあきらかだから、ある x0 で f(x0) > 0 とする。 極限の条件により、 a < x0 < b なる a, b で f(a) < (1/3)*f(x0), f(b) < (1/3)*f(x0) となるものがある。中間値の定理により、 a と x0 のあいだの c で f(c) = (2/3)*f(x0) となるものがあり、 x0 と b のあいだの d で f(d) = (2/3)*f(x0) となるものがある。 ロルの定理により、 c と d のあいだの e で f'(e) = 0 となるものがある。 >>504 の解答とどちらが良い解答でしょうか? >>504 の解答から、 f が全実数で微分可能な関数で lim f(x) = 0 as x → ∞, lim f(x) = 0 as x → -∞ ⇒ f(x) は最大値または最小値をもつ ということも分かりますね。 f(x)が 恒等的に0でない場合を考え、f(c) = α > 0 とする。(α < 0 の場合も同様) 仮に 0 not∈ f ' (R) とする。連続関数の連結性保存により f ' (R) > 0 または f ' (R) < 0 である。 f ' (R) > 0 の時、f(x) = f(c) + ∫ [c, x] dt f ' (t) > α (x > c) より lim[x→ +∞]f(x) ≠ 0 である。 f ' (R) < 0 の時、f(x) = f(c) + ∫ [c, x] dt f ' (t) > α (x < c) より lim[x→ -∞] f(x) ≠ 0 である。 前提条件と矛盾するので、0 ∈ f ' (R) である。 つまり ある β に関して f ' (β) = 0 となる。 f(x) = x^2 sin(1/x) if x ≠0, f(0) = 0とすればすべてのxで微分可能で f’(x) = 2x sin(1/x) - cos(1/x)、f’(0) = 0。 f’(1/(2nπ)) = -1よりn→∞において1/(2nπ)→0であるがf’(1/(2nπ)→f’(0)=0にならない。 > f が全実数で微分可能な関数で lim f(x) = 0 as x → ∞, lim f(x) = 0 as x → -∞ なら、 > f'(x) = 0 となる点 x が存在することを示せ。 f は単射であると仮定する。f は R 上で連続だから、f は狭義単調増加または狭義単調減少となることが 簡単に証明できる。どちらのケースでも、[ lim f(x) = 0 as x → ∞, lim f(x) = 0 as x → -∞ ] という 仮定に矛盾することが証明できる。 よって、f は単射ではない。よって、ある a<b に対して f(a)=f(b) である。 このとき、閉区間 [a,b] 上でロルの定理を使えば、f '(x)=0 なる x の存在性が出る。 数値解析的な話題です。 「 R の区間 I 上で定義された関数 φ(x) に対して、次の2つの条件を満たす閉区間 J ⊂ I と定数 0 < λ < 1 の存在を仮定する: φ(x) ∈ J (x ∈ J). | φ(x) - φ(x')| ≦ λ*|x - x'| (x, x' ∈ J). このとき、 φ(x) は J において唯一の不動点を持つ。 」 「 不動点反復法が、有限回の反復で解 a に到達することはあるだろうか? φ(x) は定数関数でないとする。もし、 x_N = φ(x_N) が成り立つと仮定すると、 a = x_N = φ(x_(N-1)) と不動点の一意性により、 x_N = x_(N-1) がわかる。 」 と書いてあるのですが、これはなぜでしょうか? >>515 んなもん成り立つはずない。 例えばJ=(-1,1)、λ* = 1/2として前程条件は φ(x) = (x-2x^2)/10 とかで成立するけど初期値1/2とすれば1回目でいきなり不動点やん。 >>516 ちょっと言っている意味が分からないのですが、 >>515 の続きを含めて引用します: 「 不動点反復法が、有限回の反復で解 a に到達することはあるだろうか? φ(x) は定数関数でないとする。もし、 x_N = φ(x_N) が成り立つと仮定すると、 a = x_N = φ(x_(N-1)) と不動点の一意性により、 x_N = x_(N-1) がわかる。 これを続けて、 x_0 = x_1 = … = x_N = a を得る。すなわち、初期値 x_0 を x_0 = a と選んだ場合のみこのようなことが起こる。 」 さらに以下の記述があります: 「 関数 φ(x) には、唯一の不動点 a = φ(a) が存在するとし、 φ(x) は a の近傍で C^1 級であるとする。関数 φ(x) は定数関数ではないとする。 このとき、次が成り立つ。 (i) … (ii) |φ'(a)| > 1 ならば、いかなる初期値 x_0 に対しても、反復法 x_(k+1) = φ(x_k) は a に収束し得ない。 」 x_0 = a とすれば、明らかに {x_n} は a に収束するように思います。 あと、「閉区間 J のコーシー列 {x_n} には極限 a が存在し、 a ∈ J を満たす。これを J は完備であると言う。」という内容が書いてあります。 閉集合内の点列が収束すると仮定すると極限もその閉集合に属するという命題のこと ですが、完備などと言いますか? ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
read.cgi ver 07.5.1 2024/04/28 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる