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大学学部レベル質問スレ 11単位目
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0001１３２人目の素数さん
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2018/04/20(金) 05:50:10.46ID:KlG5+Hlw
大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dote ra.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

関連スレ
分からない問題はここに書いてね478
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1511604229/

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 10単位目
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1519715377/
0376１３２人目の素数さん
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2018/05/16(水) 16:38:35.96ID:yQ9K+Isp
>>375
論文読むでしょ
0377１３２人目の素数さん
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2018/05/16(水) 16:41:20.41ID:yQ9K+Isp
>>374
a/2-a/5=3a/10
0379１３２人目の素数さん
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2018/05/16(水) 16:54:38.46ID:wrcnERm0
ゼミとかそういうのはやめて、講義を増やしてほしいですよね。
0380１３２人目の素数さん
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2018/05/16(水) 16:57:58.04ID:HBFrBM4e
>>376
３年次のカリキュラムを終えてすぐに論文読むのって厳しくない？
もっとずっとギャップがあるんじゃないの？
0381１３２人目の素数さん
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2018/05/16(水) 17:01:26.56ID:wrcnERm0
日本の大学の数学科の講義数が異常に少ないのは大問題ではないでしょうか？
0383１３２人目の素数さん
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2018/05/16(水) 17:29:24.22ID:wrcnERm0
面倒な実験、卒業論文などもないですし、これほど楽な学科もないのではないでしょうか？
0384１３２人目の素数さん
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2018/05/16(水) 18:14:32.08ID:wrcnERm0
∫ x / (exp(x) - 1) dx from x = 0 to x = ∞ を求めよ。
0385１３２人目の素数さん
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2018/05/16(水) 18:21:33.74ID:wrcnERm0
x = -log(t) とおく。

∫ x / (exp(x) - 1) dx from x = 0 to x = ∞

=

∫ -log(t) / (1/t - 1) (-1/t) dt from t = 1 to t =0

=

∫ log(t) / (t - 1) dt from t = 0 to t = 1

t = 1 + s とおく。

∫ log(t) / (t - 1) dt from t = 0 to t = 1

=

∫ log(1 + s) / s ds from s = -1 to s = 0

=

∫ [s - (1/2)*s^2 + (1/3)*s^3 - (1/4)*s^4 ± …] / s ds from s = -1 to s = 0

=

∫ 1 - (1/2)*s + (1/3)*s^2 - (1/4)*s^3 ± … ds from s = -1 to s = 0

=

[s - (1/2)^2*s^2 + (1/3)^2*s^3 - (1/4)^2*s^4 ± …] from s = -1 to s = 0

=

0 - [(-1) - (1/2)^2*(-1)^2 + (1/3)^2*(-1)^3 - (1/4)^2*(-1)^4 ± … ]

=

1 + 1/2^2 + 1/3^2 + …
0386１３２人目の素数さん
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2018/05/16(水) 18:22:19.00ID:wrcnERm0
>>385

=

π^2/6
0387１３２人目の素数さん
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2018/05/16(水) 18:24:27.52ID:B6aKTMQN
>>383
真面目にやるとこれほど適性の差を思い知らされる学問分野は有り得ない。の間違いだろ。
ちゃんと勉強できてれば数理経済学とかに文転も容易い。
0388１３２人目の素数さん
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2018/05/16(水) 18:34:21.23ID:wrcnERm0
数理経済学というのは何かの役に立つのでしょうか？

同じ役に立たないのなら数学のほうがいいですよね。
0389１３２人目の素数さん
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2018/05/16(水) 18:38:30.63ID:B6aKTMQN
バブル崩壊後に日本みたいにゼロ除算無理矢理しようとするがごとく流動性トラップゼロ金利に陥る間抜けがものづくり連呼するのには役に立たないかもね。
0390１３２人目の素数さん
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2018/05/16(水) 18:43:30.51ID:e/hc1wrd
>>375
基礎理論ではなく、所属する研究室の先生とかの専門分野の基礎的な話を学んだりするのでは
場合によっては論文も読むだろうけど
0392１３２人目の素数さん
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2018/05/17(木) 13:49:17.03ID:/Cd1dse+
主束π：P→Mのエーレスマン接続で水平分布の定め方が一意的でない理由がわからない
垂直部分空間はker π_*で一意に決まるのだからその直和成分も一意に決まるんじゃないんですか？？
0393１３２人目の素数さん
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2018/05/17(木) 18:43:24.81ID:MKgoY7jZ
選択公理は意識できる人はここで必要だなと意識できるものなんですか？
0394１３２人目の素数さん
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2018/05/17(木) 21:39:07.03ID:bK8jl4eF
>>392
んなわけないやん。R×Rの部分空間としてx=2yが仮に垂直成分として決まったとして、その補空間なんか一意には定まらないでしょ？x=0でもよし、2x=3yでもよし。内積とか入ってたら話は別ですが。
0396１３２人目の素数さん
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2018/05/18(金) 02:25:43.25ID:RWlLMkIt
(x^2-y^2)dx+(y-x^3/3)dy=0

これの積分因子が求まらないのでお願いします。
0397１３２人目の素数さん
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2018/05/18(金) 02:36:23.87ID:I0L1CYnW
>>396
dx側のやつをP、dy側のやつをPと置いて
Py=x^2-2y、Qx=-x^2
不一致より完全微分方程式ではない
(Py-Qx)/P=(2x^2-2y)/(x^2y-y^2)

ここから分子2でくくって分母yでくくれば2/yになって、これを積分したやつをYとしたら
積分因子はe^-Y
0398１３２人目の素数さん
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2018/05/18(金) 13:33:17.13ID:uyAuGu51
f(x) は [a, +∞) で連続かつ負でないとする。このとき、

∫ f(x) dx from x = a to x = ∞ が収束しかつ、 f(x) が有界でないということをあり得るか？
0400１３２人目の素数さん
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2018/05/18(金) 13:50:24.06ID:uyAuGu51
あ、分かりました。

区間 [k, k+1] の真ん中に、幅 1/k^3、高さ n の二等辺三角形をおいたような
グラフを考えればいい分けですね。
0401１３２人目の素数さん
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2018/05/18(金) 13:51:11.53ID:uyAuGu51
訂正します：

あ、分かりました。

区間 [k, k+1] の真ん中に、幅 1/k^3、高さ k の二等辺三角形をおいたような
グラフを考えればいい分けですね。
0402１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/18(金) 13:51:44.64ID:uyAuGu51
あ、別に三角形じゃなくて長方形でもいいですね。まあ、何でもいいですね。
0403１３２人目の素数さん
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2018/05/18(金) 13:53:09.92ID:uyAuGu51
解答を見てみたら、やはり似たような解答でした。
0405１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/18(金) 14:23:22.05ID:uyAuGu51
あ、長方形だと連続関数にはなりませんね。
0406１３２人目の素数さん
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2018/05/18(金) 14:32:06.44ID:uyAuGu51
微分可能という条件を付けるとどうですかね？
0407１３２人目の素数さん
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2018/05/18(金) 16:04:45.62ID:oOiIqROd
>>406
解析概論のp141の練習問題(9)より引用:
∫ x/(1+x^6 sin^2 x) dx from x = 0 to x = ∞ は収束する．

ちなみにこの積分はWolfram Alpha/Mathematicaが
収束判定を間違える例としても知られる。
0409１３２人目の素数さん
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2018/05/18(金) 18:25:23.60ID:uyAuGu51
>>407
>>408

ありがとうございました。


>>407

『定本解析概論』p.152(9)ですね。
0411１３２人目の素数さん
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2018/05/18(金) 20:16:31.81ID:uyAuGu51
>>407

∫ x/(1+x^6 sin^2 x) dx from x = 0 to x = t

を Mathematica にプロットさせました。

https://imgur.com/q8Mwi48.jpg
0413１３２人目の素数さん
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2018/05/18(金) 21:19:40.53ID:yoEo8VzU
多項式環をR[x]でなくP(R)と書く人初めて見た
とりあえず(x^2+1)^2展開すればわかると思うよ
0416１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/19(土) 18:02:37.90ID:KgS6VdgG
>>415
同型以外有り得まいが
0419１３２人目の素数さん
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2018/05/19(土) 20:49:03.99ID:M4pEwFRY
>>418

最低A5サイズでないときついと思います。

まあ、少し待てば超高解像度で細い線も綺麗にかけるようｊな、いいのが
安価な価格で出るでしょうね。
0422１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/19(土) 23:12:19.84ID:M4pEwFRY
>>421

iPadは触ったことがないのですが、ペンと変わりないくらいの感じで書けますか？
0423１３２人目の素数さん
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2018/05/20(日) 00:41:12.25ID:8wgASu/T
>>422
全然ダメ
0424１３２人目の素数さん
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2018/05/20(日) 06:49:25.35ID:I0Nl1W3D
>>384 >>385 >>386

別解: コーシーの積分定理より
∫[C](π^2+z^2)/(exp(z)+1) dz = 0
ここでCは L+πi,πi,-πi,L-πi (L>0)を頂点とする長方形上の閉曲線

実軸に平行な積分
= ∫[0,L]{(π^2+(x-πi)^2)-(π^2+(x+πi)^2)}/(-exp(x)+1) dx
= 4πi∫[0,L] x/(exp(x)-1) dx

虚軸上の積分
= -i∫[0,π]{(π^2-y^2)/(exp(iy)+1) + (π^2-y^2)/(exp(-iy)+1)}dy
= -i∫[0,π](π^2-y^2)dy
= -2(π^3)i/3

虚軸に平行な積分
→0 (L→∞)

したって
∫[0,∞] x/(exp(x)-1) dx = (π^2)/6


参考: 同様の計算で
∫[C](π^2+z^2)^2 /(exp(z)+1) dz = 0
⇒ ∫[0,∞] (x^3)/(exp(x)-1) dx = (π^4)/15
0425１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/20(日) 11:03:52.23ID:HzA/UPrm
『定本解析概論』p.152(9)ですが、

(n + 1) * π * ∫ 1 / [1 + (n*π)^6 * (sin(x))^2] dx from x = 0 to x = π

<

1 / n^2

という評価が書いてあります。

これはどうやって導くのでしょうか？
0429１３２人目の素数さん
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2018/05/20(日) 12:43:46.54ID:I0Nl1W3D
>>427
それ、不等号が逆

>>425
sin x > 2x/π (0<x<π/2)
を用いて
(n+1)π∫[0,π] ＜ 2(n+1)π∫[0,π/2]
＜ 2(n+1)π∫[0,π/2] 1/(1+(nπ)^6 (2x/π)^2) dx
＜ 2(n+1)π∫[0,∞] 1/(1+(nπ)^6 (2x/π)^2) dx
＜ (n+1)/(2n^3)
≦ 1/n^2
0430１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/20(日) 16:52:13.62ID:HzA/UPrm
>>429

ありがとうございました。

高木貞治さんの『定本解析概論』ですが、結構クールな例が載っているんですね。

少しだけ見直しました。
0431１３２人目の素数さん
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2018/05/21(月) 19:57:06.18ID:w+/hwJ1E
L1、L2が体Kの拡大体のとき、
L1、L2の元をすべて含む体はKの拡大体なんですか？
どうやって示せばいいでしょうか？
0432１３２人目の素数さん
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2018/05/21(月) 20:01:37.25ID:lIiBgml3
拡大体L/L1(L2)じゃなくて単に集合としてL⊃L1∪L2であるような任意の体LがKの拡大体になるかってこと？
あり得ないが
0433１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/21(月) 20:04:51.77ID:w+/hwJ1E
>>432
すみません
L1とL2を含むような最小の拡大体、という意味でした
0434１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/21(月) 20:05:42.62ID:w+/hwJ1E
>>433
最小の拡大体→最小の体
です
たびたびすみません
0435１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/21(月) 20:12:20.48ID:lIiBgml3
LをL1,L2の拡大体とする
定義からK⊂Lであり、Lにおける演算をKに制限したものは体Kの演算に一致する
すなわちLはKの拡大体である
0436１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/21(月) 20:20:16.20ID:w+/hwJ1E
体L1とL2がK上の基底をもっているばあい
L1とL2を含む最小の体はK上を基底をもっている
は真でしょうか？
0437１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/21(月) 20:32:45.07ID:lIiBgml3
なんでわざわざ分かりにくい文章に書き直したのこの人
0438１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/21(月) 21:50:59.29ID:SUavv2Mw
>>431.432
は？
L⊃L1⊃K
0439１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/21(月) 21:51:53.67ID:SUavv2Mw
>>436
は？
拡大体はベクトル空間だが
0440１３２人目の素数さん
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2018/05/22(火) 18:47:48.08ID:/DwI5E12
行列について質問です．
論文に
The singularity assumption about A is required, since otherwise Ax = 0 would
have only the trivial solution x = 0
という記述があったのですが，非正則な行列ならばAx=0を満たすxは0ベクトルだけではないと思うのですが，英語の解釈を間違っているのでしょうか．
0441１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/22(火) 19:01:02.88ID:meniBz/p
Aに関する非正則性が要求されます、なぜならばそうでなければAx=0は自明解x=0しかもたなくなるからです

数学やる人って、やっぱり英語できないんですね
0443１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/22(火) 19:49:37.95ID:41rk/Y2T
下記データが有る場合において、統計学上、

103、104、105、106、107、108、109、110、
111、112、113、114、115、116、117、118

に該当する個別人数を推理することはできませんか？
logとかいうのを使わないで、数式を教えて頂けませんか？
エクセルで計算したいです。
あるいは、そんなこと（上記推理）はできないものでしょうか？

なお、高校数学ⅢCを除く程度の知識しかない文系です。

点数 左に該当する人数
175満点 0
167~ 1
159~ 10
151~ 56
143~ 161
135~ 261
127~ 314
119~ 259
111~ 178
103~ 100
95~ 38
87~ 14
79~ 9
71~ 6
63~ 1
55~ 1
47~ 0
39~ 1
31~ 3
23~ 10
15~ 8
7~ 1
0~ 9
0444１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/23(水) 16:05:55.76ID:3HDcsTBb
両対数グラフで傾きどうやって求めるの？
0446１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/23(水) 23:48:45.88ID:TkJyJaId
>>445
逆変換の定義によるけど基本的にはそう。フーリエ変換したものをフーリエ逆変換すれば元に戻るという関係性が基本。
0448１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/24(木) 21:50:44.08ID:avJjNNJR
m ≦ n - 1 のとき

Σ (-1)^k * Binomial(n, k) * k^m from k = 0 to k = n

=

0

が成り立つことを示せ。
0449１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/25(金) 01:11:22.18ID:r+XnG/ib
>>448
D = d/dxとおく。
f(x) = (1+ e^x)^nとおけば
与式=D^m f(iπ)。
ここで
D^m f(x) = Σ[k1+k2+…+kn=m]D^k1(1+e^x) D^k2(1+e^x)…D^kn(1+e^x)
でm<nによりkのいずれかは０。よってD^m f(iπ) = 0。
0450１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/25(金) 02:23:22.87ID:BhnK8c7c
0^0-1^0=0
0451１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/25(金) 03:31:36.39ID:FzI0O2aB
次の積分を求めよ
∫∫e^(x^3)dxdy
D={(x,y) : 0≦y≦1,√y≦x≦1}
お願いします
0454１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/25(金) 09:09:39.17ID:WwKb5LHl
X,Yをi.i.dな確率変数とし、MをXのmedianとする。
任意のε>0について
2P(|X-Y|≧ε) ≧ P(|X-M|≧ε)
を証明せよ。

助けてください…
0455１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/25(金) 10:12:34.97ID:1dfelh4+
>>701
M=0としてよい。
|X|≧e→|X-Y|≧e or |X+Y| ≧e
∴P(|X|≧e) ≧ P(|X-Y|≧e) + P(|X+Y| ≧e) = 2P(|X-Y| ≧e)。
0456１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/25(金) 10:44:22.56ID:WwKb5LHl
>>455
0としていいのはなんでなんでしょうか。
0458１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/25(金) 15:00:31.80ID:1UDD8qIb
>>457
すみません2行目はなんでですか…？
0459１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/25(金) 15:08:28.41ID:1UDD8qIb
>>457
いや、後は自分でなんとかします。ありがとうございました。
0460１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/25(金) 19:47:30.81ID:T95taKiP
(2)です。特異点が2つあるのですが、Z=0を囲むかで2通りの展開方法があるそうです。ローラン展開の定義にはC1はC2の外側にあり且つC1とC2の間の領域には特異点がないようにするとあふので、
①C2はZ=2のみを囲み且つC1はC2より大きく左側がZ=0～2の間を取るような閉曲線
②C2はZ=0,2を囲み且つC1はC2より大きい閉曲線
という2通りという意味ですか？
https://i.imgur.com/fzENFfH.jpg
https://i.imgur.com/OkhOfM7.jpg
https://i.imgur.com/iSEaM6b.jpg
0462１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/26(土) 02:56:50.48ID:ZJxn9u1a
定積分 ∫[0, +∞] dx sin(x)^3/x^2 = 3*log(3)/4 (値はWolframAlpha より)
の求め方を教えてください。
∫[0, +∞] dx sin(x)^2/x^2
= (1/2)* lim{ε→+0} ∫[-∞, +∞] dx sin(x)^2/(x^2 + ε^2) = ... = π/2
こっちみたいに複素積分でバシっと行ける気がしませんが、どうなんですかね。
0463１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/26(土) 04:21:35.09ID:gMdOQMEY
>>462
sin^3 x = (exp ix - exp (-ix))^3/(-8i) = (exp 3ix - 3exp ix + 3exp ix - exp (-3ix))/(-8i)
として3ixとixの方は積分路を0 → i∞、残りは0 → -i∞ とすればいける希ガス。
0464１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/26(土) 04:28:22.07ID:b8MXO5HY
>>462 >>463
訂正。その前にx^2をx^sにしといて後で解析接続しないとダメかも。
0465１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/26(土) 07:45:47.15ID:OEuXm00o
>>462
[補題] ∫[0,∞](exp(iax)-exp(ibx))/x dx = log(b/a)　(a,b>0 or a,b<0)
∵a,b>0として積分路を実軸から虚軸に移すと
∫[0,∞](exp(iax)-exp(ibx))/x dx
=∫[0,∞](exp(-ay)-exp(-by))/y dy
=∫[0,∞]∫[a,b] exp(-ty) dtdy
= ∫[a,b] 1/t dt
= log(b/a)

sin^3(x)/x^2 = (exp(3ix)-3exp(ix)+3exp(-ix)-exp(3ix))/(-8ix^2)
= -(3/8)∫[-1,1] (exp(3itx)-exp(itx))/x dt
補題より
∫[0,∞] sin^3(x)/x^2 dx = -(3/8)∫[-1,1] log(1/3) dt = (3/4)log(3)
0466462
垢版 |
2018/05/26(土) 09:23:13.10ID:ZJxn9u1a
ありがとうございます。
0467１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/26(土) 18:07:44.45ID:HUORxEdm
開区間族と閉区間族の問題なんですけど、部分集合を求めた後、どういった思考フローで解答するのかわかりません
お願いします

https://i.imgur.com/wR9gLxu.jpg
0468１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/26(土) 21:32:52.33ID:efhvyUI2
>>467
(-1,1){0}
(-1,1){0}

ですよね
開集合の和は開集合
閉集合の積は閉集合
一点集合は閉集合ですね
0469１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/27(日) 13:07:13.12ID:s9yJF/4c
∫[a-i∞,a+i∞]x^s/s ds の値をa>0 の時と a<0 の時で求めた定理になんか名前がついてた希ガスなんですが誰の定理か知ってます？たしかPで始まる名前だったような…
0470１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/27(日) 14:03:41.04ID:YT8PnXu1
K⊂M⊂Lを体の有限次拡大で、NをKの代数閉包とする
L→NのK準同型は、MではないLの元についての写像は任意のL→NのM準同型と同じで
Mの元についての写像は任意のM→NのK準同型と同じであるようにとれる。
つまり
L→NのK準同型の個数＝L→NのM準同型の個数　×　M→NのK準同型の個数
である。
これってどうやって証明できますか？
0471１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/27(日) 14:52:34.52ID:V8AY+o1S
>>467
(a) (-1, 1) だと予想できるから、
-1<x<1 をみたす任意の x が含まれ、
x=±1 が含まれないことを示す。

(b) {0} だと予想できるから、
x=0 が含まれ、
x≠0 が含まれないことを示す。
0472１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/27(日) 15:13:01.91ID:CGYiTgTM
>>468
>積
？
0473１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/27(日) 16:19:23.49ID:IAxjNy8a
共通部分を積集合と呼ぶことはある
0475１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/27(日) 17:52:07.56ID:JlVk5Goy
論理積とか聞かないんですかね
ここの回答者って、レベル低いんですね
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