大学学部レベル質問スレ 11単位目
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K代数の準同型φ:K(S)→Lって LがKを含んでいたらφはKについては恒等写像なんですか? そう決めているだけ? >>370 Lの部分集合です KとLは体でも環でもいいです >>369 K代数の射と言ったらk上は恒等になる。定義。単なる代数の射ならk上恒等にならないものもありうる。 a/2-a/2+t= がなぜat/2(2+t)になるのですか? 分かりにくかったので訂正します↓ a/2 - a/(2+t)= がなぜat/[2(2+t)]になるのですか? 学部の数学科3年生は多様体とかガロア理論とかルベーグ積分を勉強してるらしいけど 4年生はどんな勉強してるの? ゼミとかそういうのはやめて、講義を増やしてほしいですよね。 >>376 3年次のカリキュラムを終えてすぐに論文読むのって厳しくない? もっとずっとギャップがあるんじゃないの? 日本の大学の数学科の講義数が異常に少ないのは大問題ではないでしょうか? 面倒な実験、卒業論文などもないですし、これほど楽な学科もないのではないでしょうか? ∫ x / (exp(x) - 1) dx from x = 0 to x = ∞ を求めよ。 x = -log(t) とおく。 ∫ x / (exp(x) - 1) dx from x = 0 to x = ∞ = ∫ -log(t) / (1/t - 1) (-1/t) dt from t = 1 to t =0 = ∫ log(t) / (t - 1) dt from t = 0 to t = 1 t = 1 + s とおく。 ∫ log(t) / (t - 1) dt from t = 0 to t = 1 = ∫ log(1 + s) / s ds from s = -1 to s = 0 = ∫ [s - (1/2)*s^2 + (1/3)*s^3 - (1/4)*s^4 ± …] / s ds from s = -1 to s = 0 = ∫ 1 - (1/2)*s + (1/3)*s^2 - (1/4)*s^3 ± … ds from s = -1 to s = 0 = [s - (1/2)^2*s^2 + (1/3)^2*s^3 - (1/4)^2*s^4 ± …] from s = -1 to s = 0 = 0 - [(-1) - (1/2)^2*(-1)^2 + (1/3)^2*(-1)^3 - (1/4)^2*(-1)^4 ± … ] = 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + … >>383 真面目にやるとこれほど適性の差を思い知らされる学問分野は有り得ない。の間違いだろ。 ちゃんと勉強できてれば数理経済学とかに文転も容易い。 数理経済学というのは何かの役に立つのでしょうか? 同じ役に立たないのなら数学のほうがいいですよね。 バブル崩壊後に日本みたいにゼロ除算無理矢理しようとするがごとく流動性トラップゼロ金利に陥る間抜けがものづくり連呼するのには役に立たないかもね。 >>375 基礎理論ではなく、所属する研究室の先生とかの専門分野の基礎的な話を学んだりするのでは 場合によっては論文も読むだろうけど >>383 当時は楽と思ったが後で損したと思ったね 主束π:P→Mのエーレスマン接続で水平分布の定め方が一意的でない理由がわからない 垂直部分空間はker π_*で一意に決まるのだからその直和成分も一意に決まるんじゃないんですか?? 選択公理は意識できる人はここで必要だなと意識できるものなんですか? >>392 んなわけないやん。R×Rの部分空間としてx=2yが仮に垂直成分として決まったとして、その補空間なんか一意には定まらないでしょ?x=0でもよし、2x=3yでもよし。内積とか入ってたら話は別ですが。 >>394 あーそうか ありがとうございます 何かすごい勘違いしてた (x^2-y^2)dx+(y-x^3/3)dy=0 これの積分因子が求まらないのでお願いします。 >>396 dx側のやつをP、dy側のやつをPと置いて Py=x^2-2y、Qx=-x^2 不一致より完全微分方程式ではない (Py-Qx)/P=(2x^2-2y)/(x^2y-y^2) ここから分子2でくくって分母yでくくれば2/yになって、これを積分したやつをYとしたら 積分因子はe^-Y f(x) は [a, +∞) で連続かつ負でないとする。このとき、 ∫ f(x) dx from x = a to x = ∞ が収束しかつ、 f(x) が有界でないということをあり得るか? あ、分かりました。 区間 [k, k+1] の真ん中に、幅 1/k^3、高さ n の二等辺三角形をおいたような グラフを考えればいい分けですね。 訂正します: あ、分かりました。 区間 [k, k+1] の真ん中に、幅 1/k^3、高さ k の二等辺三角形をおいたような グラフを考えればいい分けですね。 あ、別に三角形じゃなくて長方形でもいいですね。まあ、何でもいいですね。 >>406 解析概論のp141の練習問題(9)より引用: ∫ x/(1+x^6 sin^2 x) dx from x = 0 to x = ∞ は収束する. ちなみにこの積分はWolfram Alpha/Mathematicaが 収束判定を間違える例としても知られる。 微分可能でもいっしょ 三角形の接地点をなめらかにつなぐだけ >>407 >>408 ありがとうございました。 >>407 『定本解析概論』p.152(9)ですね。 >>407 ∫ x/(1+x^6 sin^2 x) dx from x = 0 to x = t を Mathematica にプロットさせました。 https://imgur.com/q8Mwi48.jpg 多項式環をR[x]でなくP(R)と書く人初めて見た とりあえず(x^2+1)^2展開すればわかると思うよ (x^2+1)^2=x^4+2x^2+1 x^4+1=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2+1-√2x)(x^2+1+√2x) なるほど >>417 WG-S50使ってるぞ ニ万円しないし短い計算なら行けるぞ 電車の中とかでも便利 >>418 最低A5サイズでないときついと思います。 まあ、少し待てば超高解像度で細い線も綺麗にかけるようjな、いいのが 安価な価格で出るでしょうね。 >>419 おいおい行ける、って言われてんだろエアプ >>421 iPadは触ったことがないのですが、ペンと変わりないくらいの感じで書けますか? >>384 >>385 >>386 別解: コーシーの積分定理より ∫[C](π^2+z^2)/(exp(z)+1) dz = 0 ここでCは L+πi,πi,-πi,L-πi (L>0)を頂点とする長方形上の閉曲線 実軸に平行な積分 = ∫[0,L]{(π^2+(x-πi)^2)-(π^2+(x+πi)^2)}/(-exp(x)+1) dx = 4πi∫[0,L] x/(exp(x)-1) dx 虚軸上の積分 = -i∫[0,π]{(π^2-y^2)/(exp(iy)+1) + (π^2-y^2)/(exp(-iy)+1)}dy = -i∫[0,π](π^2-y^2)dy = -2(π^3)i/3 虚軸に平行な積分 →0 (L→∞) したって ∫[0,∞] x/(exp(x)-1) dx = (π^2)/6 参考: 同様の計算で ∫[C](π^2+z^2)^2 /(exp(z)+1) dz = 0 ⇒ ∫[0,∞] (x^3)/(exp(x)-1) dx = (π^4)/15 『定本解析概論』p.152(9)ですが、 (n + 1) * π * ∫ 1 / [1 + (n*π)^6 * (sin(x))^2] dx from x = 0 to x = π < 1 / n^2 という評価が書いてあります。 これはどうやって導くのでしょうか? >>427 それ、不等号が逆 >>425 sin x > 2x/π (0<x<π/2) を用いて (n+1)π∫[0,π] < 2(n+1)π∫[0,π/2] < 2(n+1)π∫[0,π/2] 1/(1+(nπ)^6 (2x/π)^2) dx < 2(n+1)π∫[0,∞] 1/(1+(nπ)^6 (2x/π)^2) dx < (n+1)/(2n^3) ≦ 1/n^2 >>429 ありがとうございました。 高木貞治さんの『定本解析概論』ですが、結構クールな例が載っているんですね。 少しだけ見直しました。 L1、L2が体Kの拡大体のとき、 L1、L2の元をすべて含む体はKの拡大体なんですか? どうやって示せばいいでしょうか? 拡大体L/L1(L2)じゃなくて単に集合としてL⊃L1∪L2であるような任意の体LがKの拡大体になるかってこと? あり得ないが >>432 すみません L1とL2を含むような最小の拡大体、という意味でした >>433 最小の拡大体→最小の体 です たびたびすみません LをL1,L2の拡大体とする 定義からK⊂Lであり、Lにおける演算をKに制限したものは体Kの演算に一致する すなわちLはKの拡大体である 体L1とL2がK上の基底をもっているばあい L1とL2を含む最小の体はK上を基底をもっている は真でしょうか? なんでわざわざ分かりにくい文章に書き直したのこの人 行列について質問です. 論文に The singularity assumption about A is required, since otherwise Ax = 0 would have only the trivial solution x = 0 という記述があったのですが,非正則な行列ならばAx=0を満たすxは0ベクトルだけではないと思うのですが,英語の解釈を間違っているのでしょうか. Aに関する非正則性が要求されます、なぜならばそうでなければAx=0は自明解x=0しかもたなくなるからです 数学やる人って、やっぱり英語できないんですね 下記データが有る場合において、統計学上、 103、104、105、106、107、108、109、110、 111、112、113、114、115、116、117、118 に該当する個別人数を推理することはできませんか? logとかいうのを使わないで、数式を教えて頂けませんか? エクセルで計算したいです。 あるいは、そんなこと(上記推理)はできないものでしょうか? なお、高校数学VCを除く程度の知識しかない文系です。 点数 左に該当する人数 175満点 0 167~ 1 159~ 10 151~ 56 143~ 161 135~ 261 127~ 314 119~ 259 111~ 178 103~ 100 95~ 38 87~ 14 79~ 9 71~ 6 63~ 1 55~ 1 47~ 0 39~ 1 31~ 3 23~ 10 15~ 8 7~ 1 0~ 9 この下線部の関係はただ単に1枚目のものに両辺からFourierインバースをかけただけなんですか? フーリエ変換とフーリエ逆変換の関係がイマイチよくわかりません。 https://i.imgur.com/JRagH3C.jpg https://i.imgur.com/jX6pUVk.jpg >>445 逆変換の定義によるけど基本的にはそう。フーリエ変換したものをフーリエ逆変換すれば元に戻るという関係性が基本。 m ≦ n - 1 のとき Σ (-1)^k * Binomial(n, k) * k^m from k = 0 to k = n = 0 が成り立つことを示せ。 >>448 D = d/dxとおく。 f(x) = (1+ e^x)^nとおけば 与式=D^m f(iπ)。 ここで D^m f(x) = Σ[k1+k2+…+kn=m]D^k1(1+e^x) D^k2(1+e^x)…D^kn(1+e^x) でm<nによりkのいずれかは0。よってD^m f(iπ) = 0。 次の積分を求めよ ∫∫e^(x^3)dxdy D={(x,y) : 0≦y≦1,√y≦x≦1} お願いします X,Yをi.i.dな確率変数とし、MをXのmedianとする。 任意のε>0について 2P(|X-Y|≧ε) ≧ P(|X-M|≧ε) を証明せよ。 助けてください… >>701 M=0としてよい。 |X|≧e→|X-Y|≧e or |X+Y| ≧e ∴P(|X|≧e) ≧ P(|X-Y|≧e) + P(|X+Y| ≧e) = 2P(|X-Y| ≧e)。 >>455 0としていいのはなんでなんでしょうか。 >>456 X,YをX-M, Y-Mに置き換えてもi idだから >>457 いや、後は自分でなんとかします。ありがとうございました。 (2)です。特異点が2つあるのですが、Z=0を囲むかで2通りの展開方法があるそうです。ローラン展開の定義にはC1はC2の外側にあり且つC1とC2の間の領域には特異点がないようにするとあふので、 @C2はZ=2のみを囲み且つC1はC2より大きく左側がZ=0〜2の間を取るような閉曲線 AC2はZ=0,2を囲み且つC1はC2より大きい閉曲線 という2通りという意味ですか? https://i.imgur.com/fzENFfH.jpg https://i.imgur.com/OkhOfM7.jpg https://i.imgur.com/iSEaM6b.jpg 定積分 ∫[0, +∞] dx sin(x)^3/x^2 = 3*log(3)/4 (値はWolframAlpha より) の求め方を教えてください。 ∫[0, +∞] dx sin(x)^2/x^2 = (1/2)* lim{ε→+0} ∫[-∞, +∞] dx sin(x)^2/(x^2 + ε^2) = ... = π/2 こっちみたいに複素積分でバシっと行ける気がしませんが、どうなんですかね。 >>462 sin^3 x = (exp ix - exp (-ix))^3/(-8i) = (exp 3ix - 3exp ix + 3exp ix - exp (-3ix))/(-8i) として3ixとixの方は積分路を0 → i∞、残りは0 → -i∞ とすればいける希ガス。 >>462 >>463 訂正。その前にx^2をx^sにしといて後で解析接続しないとダメかも。 >>462 [補題] ∫[0,∞](exp(iax)-exp(ibx))/x dx = log(b/a) (a,b>0 or a,b<0) ∵a,b>0として積分路を実軸から虚軸に移すと ∫[0,∞](exp(iax)-exp(ibx))/x dx =∫[0,∞](exp(-ay)-exp(-by))/y dy =∫[0,∞]∫[a,b] exp(-ty) dtdy = ∫[a,b] 1/t dt = log(b/a) sin^3(x)/x^2 = (exp(3ix)-3exp(ix)+3exp(-ix)-exp(3ix))/(-8ix^2) = -(3/8)∫[-1,1] (exp(3itx)-exp(itx))/x dt 補題より ∫[0,∞] sin^3(x)/x^2 dx = -(3/8)∫[-1,1] log(1/3) dt = (3/4)log(3) ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
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