大学学部レベル質問スレ 11単位目
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>>190
言葉足らずでしたすみません、191さんのおっしゃった意味で書きました 一枚目の黒下線部の解き方はこれでいいんですか？
解いてて疑問だったのは、z=re^iθとしたときrは正でなければいけないんですか？
https://i.imgur.com/FXghV9P.jpg
https://i.imgur.com/OphGItd.jpg >>193
お好み次第。r>0にして0〜2πにしてもよし、r自由で0〜πにしてもよし。 これ何度見直してもe^aπになるとおもうのですがどうなんでしょうか
https://i.imgur.com/RY4RXvd.jpg >>197
n次元多様体Mの部分集合Sがk次元多様体構造を持つことの必要十分条件は,次のどちらかの条件を満たすこと.
(1)k=nかつSはMの開集合.
(2)0≦k<nかつSの任意の点pに対し,pを含むMの座標近傍(U;x_1,…,x_n)が存在してM⋂S={(x_1,…x_n)∈U|x_{k+1}=…=x_n=0}.
具体的には実数直線の半開区間[0,1)は0近傍でユークリッド空間の開集合に同相な開近傍を持たないので多様体構造を持たないという反例がある. >>200
等比級数を計算すれば
Σe^{(ia-1)(2n-1)πi}
=(e^{(ia-1)πi})/(1-e^{(ia-1)2πi})
=(-e^{-aπ})/(1-e^{-2πa})
となるので教科書が正しいと思われる. >>202
ありがとうございます。その計算でやってみます。自分はこうやったのですがどこの部分が計算ミスしてますか？
https://i.imgur.com/tW5ai5H.jpg >>202
Σの2行目の分母のexpの中身にマイナスが必要ではないですか？ >>203
https://ja.wikipedia.org/wiki/境界付き多様体
私は↑にあるように境界付き多様体は多様体でないという立場です.
あなたのように境界付き多様体を多様体ととらえる人がいることを考慮していませんでした.
反例は>>201に挙げたものでなく,実数全体の部分集合として有理数全体を考えれば満足できるかと.
>>204
下から2行目まであってます.
e^{-2aπn+aπ}にn=1を入れるとe^{-aπ}なので分子に来るのはe^{aπ}ではなくe^{-aπ}です.
>>205
公比e^{(ia-1)2πi}なのでマイナスは不要です. >>201
次元が違う場合の証明はどうするんですか？例えばf:R→Mが連続単射でf^(-1)(開部分集合)の全体がRの位相を生成するという条件だけから>>201の(2)で述べられてる強い条件が証明できる気がしないんですけど。気のせいかな？ >>206
初項ってことですね！ありがとうございました >>206
>あなたのように境界付き多様体を多様体ととらえる人がいることを考慮していませんでした.
普通境界持つものも多様体
そうでないとボルディズムの発想は出ない 境界持つものも多様体
というのは語弊あるかさすがに
境界持つものも排除しない
というべきかも 碌に勉強してないのに書き込んで申し訳ない
これ以上変なことを書かないために>>207に答えるのは控えておく
幸いこの板には多様体論に精通した人がいるようだからこのような学部レベルの証明はすぐ教えてもらえるだろう 境界付き多様体ってあんまり初学者向けの本に詳しく書いてないからわからんのだが、境界付き多様体上の関数とか微分形式とか接ベクトルってどうなんの？
例えば
関数が可微分⇔内部で可微分かつ境界で可微分
みたいな感じいいの？
接空間の次元だと、境界の接空間だと内部の接空間の次元より1小さいとかいう風になってると思えばいいんですかね？ Σ_{n = 0}^∞} a_n が絶対収束するとする。
自然数の集合 N を以下のように分割する。
N = ∪_{i = 0}^{∞} A_i
A_i ≠ A_j (i ≠ j)
Σ_{i = 0}^{k} Σ_{n ∈ A_i} a_n = Σ_{n ∈ ∪_{i = 0}^{k} A_i} a_n
が成り立つことを示せ。
これがよく分かりません。お願いします。 Σ_{n = 0}^{∞} a_n が絶対収束するとする。
自然数の集合 N を以下のように分割する。
N = ∪_{i = 0}^{∞} A_i
A_i ∩ A_j = φ (i ≠ j)
Σ_{i = 0}^{k} Σ_{n ∈ A_i} a_n = Σ_{n ∈ ∪_{i = 0}^{k} A_i} a_n
が成り立つことを示せ。
これがよく分かりません。お願いします。 >>216
どこの問題か知らんけど酷い問題やな。
絶対収束するときは和は順番を自由に変えられる事を、使ったら自明になるけど問題文の
> Σ_{i = 0}^{k} Σ_{n ∈ A_i} a_n = Σ_{n ∈ ∪_{i = 0}^{k} A_i} a_n
は和が順序によらず決まることを利用しないと文章として成立してない。出題者にバーカっていっとけば？ 文章として成立していない、とはどのようなことですか？ >>217
絶対収束するときは和は順番を自由に変えられる事を、使って示してください。 >>218
文章として成立させようと思うと示すべき命題が自明になる。 >>220
この問題の前に、絶対収束するときは和は順番を自由に変えられる事は示されています。 運良く新しい定理を発見した場合、
ヘラクレスの定理とか吉沢明歩の定理とか
好きな名前を付けてもいいんですか？
(´・ω・｀) >>223
良いけど他の人がそれで呼んでくれるとは限るまい | 4*arctan(1/5) - π/4 | < π/2
を証明してください。 Σa_n^2 が収束するとき Σa_n/n の収束性はどうなるか？ >>216
Σ_{n ∈ A}の定義はどうなっとる？ >>232
A という記号は登場しません。
A_i です。 正項級数 Σa_n が収束すれば lim n * a_n = 0 は成り立つか成り立たないか？ >>233
> A という記号は登場しません。
> A_i です。
Σ{n∈A}の定義がないとAiでも定義ないけど？？ θ~が微小のときのsin(θ~ +θe2)の加法定理だと思うんですが、なぜオーダーが入るんですか？ >>234
成り立ってないとおかしい
自然数の逆数和は発散するのだから >>241
ああスマン、やっぱり反例作れた
平方数のときだけそのまま、あと0とかでもいいね
単調減少とかないと成り立たないね テイラー展開ではなくテイラーの公式ではないでしょうか？ >>238
f(x) = f(a) + f'(a) * (x - a) + O((x - a)^2)
という公式です。 テイラー展開の方が馴染みがあるだけ
展開の形からもわかるから
テイラーの定理をつかってもいい >>247
なるほど加法定理ではなくテーラー展開をしてるんですね。話が変わってしまうのですが、加法定理はその公式から導けるのですか？ >>237
ありがとうございます。
a_1^2 + a_2^2 + … a_n^2 → S（n → ∞） とする。
|a_1|/1 + |a_2|/2 + … + |a_n|/n
≦
sqrt(a_1^2 + a_2^2 + … a_n^2) * sqrt(1 + 1/2^2 + … + 1/n^2)
→
sqrt(S) * sqrt(π^2/6)
{|a_1|/1 + |a_2|/2 + … + |a_n|/n} は収束する。
絶対収束する級数は収束するから、
{a_1/1 + a_2/2 + … + a_n/n} は収束する。 >>237
齋藤正彦著『齋藤正彦微分積分学』の解答は、以下です。
a_n^2 + 1/n^2 = (|a_n| - 1/n)^2 + 2*|a_n|/n ≧ 2*|a_n|/n 教科書の粗探ししてるのが松坂くん
定期的に発狂してるのが劣等感婆
￥って書いてるのが￥ 「わからないんですね」や「ある無矛盾な〜」は劣等感婆 >>258
補足
東大、どっちが、と言ってるのがヒマラヤ
こいつはホロン部>>257 微分方程式です
dy/dx-(ln x)y=x^x
解き方教えてください >>268
計算ミスしてました
無事たどり着けました
ありがとう アーベルの定理について質問です。
以下の議論はOKですよね？
ちょっとややこしいですね。
1 / (1 + x) = 1 - x + x^2 - x^3 ± … (-1 < x < 1)
x = t^2 (-1 < t < 1) を代入
1 / (1 + t^2) = 1 - t^2 + t^4 - t^6 ± … (-1 < t < 1)
これを項別積分すると、
arctan(x) = x - x^3 / 3 + x^5 / 5 - x^7 / 7 ± … (-1 < x < 1)
±(1 - 1 / 3 + 1 / 5 - 1 / 7 ± …) は交項級数だから収束する。
アーベルの定理から
lim_{x → ±1} (x - x^3 / 3 + x^5 / 5 - x^7 / 7 ± …)
=
±(1 - 1 / 3 + 1 / 5 - 1 / 7 ± …)
arctan(x) は (-1, 1) の外でも定義され、 x = ±1 で連続だから
arctan(±1)
=
lim_{x → ±1} arctan(x)
=
lim_{x → ±1} (x - x^3 / 3 + x^5 / 5 - x^7 / 7 ± …)
=
±(1 - 1 / 3 + 1 / 5 - 1 / 7 ± …) a_0 + a_1 * x_0 + a_2 * x_0^2 + …
は収束するが
a_1 + a_2 * x_0 + a_3 * x_0^2 + …
は発散するような例はありますか？ 関数の微分値しかわからない二次元パラメータの制約なし局所最適化問題を解く必要があるんですが、いい感じのアルゴリズムってありますか？ この↓解き方に関してですが、
https://imgur.com/a/sqgLUNV
高校数学では、ふつうこのような問題は場合分けして、f(x)の
グラフを書いて求めると思いますが、この解法はいきなり微分
してやってあります。
このようなことができる理由は
∫｜g(t)｜dt は微分して｜g(t)｜になる関数だから
f(x)=∫[x→x+1]｜g(t)｜dt → f'(x)=｜g(x+1)｜-｜g(x)｜
となるのは当然としてよいのか、本当はこれは証明が必要な
ことなのか考えあぐねています。
このようなことができる明確な理由、若しくは証明はありますか。 >>277
高校数学では微積分学の基本定理(連続関数の積分が微分可能で微分すると元に戻る)を認めてるから別にいい 積分：関数 ---> 原始関数
その逆が微分（えへん） その荻野の本に書いてないのかよ
側注にITEM云々と書いてあるようだが >>281
＞その荻野の本に書いてないのかよ
書いてないです。 ふつうの本の解法は場合分けです。
いきなり微分しても成り立つのが当然なら、どの本もそうなってるはず
だけどそうしないのはやはり引っ掛かるものがあるからだと思います。 >>283
証明するのが難しいというよりは、高校数学では証明しようがないよ
だから認めて使ってるわけだけど
積分したものを微分したらもとに戻る、ってのは大学以上でちゃんと証明するわけだけど
その証明自体はふつう連続関数でやるか 、らその範囲で使って問題ない
教科書にも書いてあるはず
てかtの積分がt^2/2になったりするのもその事実に基づいてるはずだから、それを使えないということはないと思うが >>284
ふつうの本は、って言うけど何冊みたのやら
問題集のレベルにもよるし
あまり難しいことを考えさせない計算問題集みたいな色の強い物だと、あなたみたいに疑問に思う人のことを考えて、手間は掛かっても愚直にやる解法を採用したりする >>285
でも直観的ではあるが証明の概要のようなものは習うのではないでしょうか？ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
