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大学学部レベル質問スレ 11単位目
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0001１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/04/20(金) 05:50:10.46ID:KlG5+Hlw
大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dote ra.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

関連スレ
分からない問題はここに書いてね478
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1511604229/

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 10単位目
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1519715377/
0114１３２人目の素数さん
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2018/04/29(日) 13:11:02.74ID:ouu7PUDE
てゆーかbって何だと思ってたの？
0115１３２人目の素数さん
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2018/04/29(日) 13:11:35.37ID:ouu7PUDE
>>113
>はいはい私の負けでいいですよ
勝ち負けじゃないのに･･･
だから劣等感ってバカにされるんだと思うよ
ある意味仕方ないかな
0118１３２人目の素数さん
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2018/04/29(日) 16:29:45.50ID:QmDQM2Vd
大学数学です
問1.6ですが、答えを見ても分かりません
①<1の定義を教科書で探しても存在せず、答えでいきなり「仮定より~」と書いてあり混乱してます
②答えの「よって~」の部分で何が起こったか分かりません
どなたか教えて下さい。

https://i.imgur.com/hHxbCMS.jpg
https://i.imgur.com/rgINhaI.jpg
0119１３２人目の素数さん
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2018/04/29(日) 16:46:21.46ID:QmDQM2Vd
①ε=γ≔(1/2)(1-lim|a_(n+1)/a_n|)として収束の定義を用いると分かりました...
②|a_(n+1)|<γ|a_n|<γ²|a_(n-1)|<⋅⋅⋅⋅といった感じですね

自己解決しますた！
0121１３２人目の素数さん
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2018/04/29(日) 22:44:45.29ID:aud3ZpID
L/K:拡大体, K^-:Kの代数閉包
このとき、
任意の有限次正規拡大K'/Kに対しL⊗K'が整域ならばL⊗K^-は整域
ってどうすれば示せますか？
0122１３２人目の素数さん
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2018/04/29(日) 23:20:18.52ID:aud3ZpID
α=(xᵢ⊗yᵢ),β=(zᵢ⊗wᵢ)∈L⊗K￣-0とし、fᵢ(x),gᵢ(x)を其々yᵢ,wᵢのK上の最小多項式とする
この時、h(x)をfᵢ(x),gᵢ(x)を全て掛け合わせたものとし、Mをh(x)のK上の最小分解体とすると、M/Kは有限次正規拡大で、α,β∈L⊗Mであるから、仮定よりαβ≠0となる
って感じですかね？
L⊗MがL⊗K￣に埋め込めることに注意して

合ってます？
0123１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/04/30(月) 00:49:12.42ID:bKuKTDT2
>>121>>122
あってる
0124１３２人目の素数さん
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2018/04/30(月) 04:06:48.74ID:TdKcz0m+
笠原の微分積分学ようやく微分まで来たけど最初から微分の説明がわからん。
数学書って曖昧な理解で前に進んでも良いかな？
他の本読もうとするとやっぱり最初っから読まないとわからなくなるから読み続けたいん抱けど。
0125１３２人目の素数さん
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2018/04/30(月) 05:55:58.23ID:UjT5nxOv
具体的な議論がわからないのか著者の感覚を共有できないのか
わからないことを覚えておくのが誠実で読み進めばわかることもあったりするというのが定番回答
0126１３２人目の素数さん
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2018/04/30(月) 08:44:25.83ID:w/Kfy5xc
>>124

確か、多変数関数の微分にそのまま一般化できるような形で定義しているんですよね。

一変数の場合にはなぜそう定義するのかと思ってしまいますよね。

いきなり多変数の微分を定義すればいいと思います。
0127１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/04/30(月) 08:52:27.85ID:w/Kfy5xc
>>124

笠原晧司さんの微分積分学のどこがいいのかさっぱり分かりません。
杉浦光夫さんの本のほうがよいのではないでしょうか？
0128１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/04/30(月) 12:23:59.33ID:BJtEts/+
>>127
あれは他変数のためなのか
評判が良さそうだから読んで見たけど分かりづらいとこ多い
0129１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/04/30(月) 12:39:52.08ID:GN2GPqGL
>>124
後で分かる事も有るから問題ない
むしろ最初から読む事に拘る方が有害
後ろを読んでから定義を知るために逆向きに読む方法もある
0132１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/04/30(月) 14:24:57.88ID:S+9FRbxC
>>130
とりあえずa×a=d、b=xa+yc+zdとおいて与式に打ち込めばでるね。
0144１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/02(水) 06:06:40.25ID:vdr3fqRt
x+logcosy=Cから
xcos(y/x)=C

に持ってく方法を教えてください
Cは積分定数です
0146１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/03(木) 00:00:59.04ID:p8vx6fNI
区間 (a, b) で連続な関数 f(x) に対して

lim_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx

が存在するならば

(4.35) ∫_{a}^{b} f(x) dx = lim_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx

と定義する。ここで(4.35)は任意の正の実数 ε に対応して一つの正の実数 δ(ε)
が定まって、 b - δ(ε) < t < b, a < s < a + δ(ε) ならば

| ∫_{a}^{b} f(x) dx - ∫_{s}^{t} f(x) dx | < ε

となることを意味するが、点 c, a < c < b, を一つ定めれば

∫_{s}^{t} f(x) dx = ∫_{s}^{c} f(x) dx + ∫_{c}^{t} f(x) dx

であるから

lim_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx

=

lim_{s → a+0} ∫_{s}^{c} f(x) dx + lim_{t → b-0} ∫_{c}^{t} f(x) dx,

したがって(4.35)は

∫_{a}^{b} f(x) dx

=

lim_{s → a+0} ∫_{s}^{c} f(x) dx + lim_{t → b-0} ∫_{c}^{t} f(x) dx

とも書かれる。
0147１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/03(木) 00:02:30.23ID:p8vx6fNI
lim_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx

が存在するならば

lim_{s → a+0} ∫_{s}^{c} f(x) dx

および

lim_{t → b-0} ∫_{c}^{t} f(x) dx,

が存在することの証明はどうやるのでしょうか？
0148１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/03(木) 00:38:04.73ID:0xeUuOyi
>>147
とりあえずlim_[s→a,t→b](p(s)+q(b))の形してるから

lim_[s→a,t→b](p(s)+q(b))が収束
⇔lim_[s→a](p(s))が収束 かつ lim_[t→b](q(b))が収束

を頑張って示せばできる。
0149１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/03(木) 07:27:23.72ID:fUuBduSR
>>148

ありがとうございます。

lim_[s→a](p(s))が収束 かつ lim_[t→b](q(b))が収束

⇒

lim_[s→a,t→b](p(s)+q(b))が収束

は簡単に示せますが、逆が示せません。

反例があるのではないかと思います。
0150１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/03(木) 07:27:42.02ID:fUuBduSR
lim_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx

が存在するならば

s, t ∈ (a, b) とし、

F(s, t) := ∫_{s}^{t} f(x) dx

とおく。

c ∈ (a, b) とする。

lim_{s → a+0} F(s, c)

および

lim_{t → b-0} F(c, t)

が存在するとする。

S1 := lim_{s → a+0} F(s, c)
S2 := lim_{t → b-0} F(c, t)

とおく。

ε を任意の正の実数とする。

S1 = lim_{s → a+0} F(s, c)

だから、以下のような正の実数 δ1 が存在する。

a < s < a + δ1 ⇒ | F(s, c) - S1 | < ε

S2 = lim_{t → b-0} F(c, t)

だから、以下のような正の実数 δ2 が存在する。

b - δ2 < t < b ⇒ | F(c, t) - S2 | < ε

δ := min(δ1, δ2) とおく。

a < s < a + δ ⇒ | F(s, c) - S1 | < ε/2
b - δ < t < b ⇒ | F(c, t) - S2 | < ε/2

が成り立つ。

| F(s, t) - (S1 + S2) | = | F(s, c) + F(c, t) - (S1 + S2) | ≦ | F(s, c) - S1 | + | F(c, t) - S2 | < ε

以上より、

lim_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx

=

lim_{s → a+0} ∫_{s}^{c} f(x) dx + lim_{t → b-0} ∫_{c}^{t} f(x) dx

が成り立つ。 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:1341adc37120578f18dba9451e6c8c3b)
0151１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/03(木) 07:28:39.84ID:fUuBduSR
訂正します：

s, t ∈ (a, b) とし、

F(s, t) := ∫_{s}^{t} f(x) dx

とおく。

c ∈ (a, b) とする。

lim_{s → a+0} F(s, c)

および

lim_{t → b-0} F(c, t)

が存在するとする。

S1 := lim_{s → a+0} F(s, c)
S2 := lim_{t → b-0} F(c, t)

とおく。

ε を任意の正の実数とする。

S1 = lim_{s → a+0} F(s, c)

だから、以下のような正の実数 δ1 が存在する。

a < s < a + δ1 ⇒ | F(s, c) - S1 | < ε

S2 = lim_{t → b-0} F(c, t)

だから、以下のような正の実数 δ2 が存在する。

b - δ2 < t < b ⇒ | F(c, t) - S2 | < ε

δ := min(δ1, δ2) とおく。

a < s < a + δ ⇒ | F(s, c) - S1 | < ε/2
b - δ < t < b ⇒ | F(c, t) - S2 | < ε/2

が成り立つ。

| F(s, t) - (S1 + S2) | = | F(s, c) + F(c, t) - (S1 + S2) | ≦ | F(s, c) - S1 | + | F(c, t) - S2 | < ε

以上より、

lim_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx

=

lim_{s → a+0} ∫_{s}^{c} f(x) dx + lim_{t → b-0} ∫_{c}^{t} f(x) dx

が成り立つ。
0152１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/03(木) 07:42:07.62ID:fUuBduSR
∫_{-π/2}^{π/2} tan(x) dx = 0

∫_{0^{π/2} tan(x) dx

も

∫_{-π/2}^{0} tan(x) dx

も存在しない。
0153１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/03(木) 07:48:27.47ID:fUuBduSR
あ、

∫_{-π/2}^{π/2} tan(x) dx = 0

は成り立ちませんね。
0154１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/03(木) 10:26:49.05ID:PQNVo0sN
>>153
まずはそいつですねぇ。

lim_[s→a,t→b](p(s)+q(b))が収束

⇒

p(s), q(t)は有界。
p(s)が非有界、t_n→bとする。s_nを……と定めるとs_n→aなのにp(s_n) + q(t_n)→∞。
0155１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/03(木) 12:21:41.96ID:wgWklzzc
lim_[s→a,t→b](p(s)+q(t)) が存在するなら、その値を α とするとき、

∀ε＞0, ∃δ＞0, a＜∀s＜a＋δ, b－δ＜∀t＜b s.t ｜p(s)＋q(t)－α｜＜ε

が成り立つ。特に、b－δ＜t＜b を1つ取って固定すれば、a＜s_1＜a＋δかつ a＜s_2＜a＋δ のとき

｜p(s_1)＋q(t)－α｜＜ε,　｜p(s_2)＋q(t)－α｜＜ε

であるから、｜p(s_1)－p(s_2)｜＜ 2ε となる。
よって、コーシー列の関数版により、lim[s→a] p(s) が存在する。
同様にして、lim[t→b] q(t) も存在する。
0156１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/03(木) 18:32:08.27ID:fUuBduSR
>>154-155

ありがとうございました。



s, t ∈ (a, b) とし、

F(s, t) := ∫_{s}^{t} f(x) dx

とおく。

逆に、

lim_{t → b-0, s → a+0} F(s, t)

が存在するとする。

S := lim_{t → b-0, s → a+0} F(s, t)

とおく。

ε を任意の正の実数とする。

S = lim_{t → b-0, s → a+0} F(s, t)

だから、定義により、以下のような正の実数 δ が存在する。

a < s < a + δ, b - δ < t < b ⇒ | F(s, t) - S | < ε/2

b - δ < t0 < b をみたす t0 を任意に固定する。

a < s1 < a + δ, a < s2 < a + δ

⇒

| F(s1, t0) - F(s2, t0) |
≦
| F(s1, t0) - S | + | F(s2, t0) - S |
<
ε/2 + ε/2
=
ε
0157１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/03(木) 18:32:25.66ID:fUuBduSR
コーシーの条件より、

lim_{s → a+0} F(s, t0) が存在する。

同様にして、

lim_{t → b-0} F(s0, t) が存在する。

c を a < c < b をみたす任意の実数とする。

F(s, c) = F(s, t0) - F(c, t0)

だから、

lim_{s → a+0} F(s, c)
=
lim_{s → a+0} [F(s, t0) - F(c, t0)]
=
lim_{s → a+0} F(s, t0) - F(c, t0)

よって、

lim_{s → a+0} F(s, c) は存在する。

同様にして、

lim_{t → b-0} F(c, t) が存在する。

>>151

により、

lim_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx

=

lim_{s → a+0} ∫_{s}^{c} f(x) dx + lim_{t → b-0} ∫_{c}^{t} f(x) dx

が成り立つ。
0158１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/03(木) 18:53:28.45ID:fUuBduSR
>>156-157

あ、やっぱりこれじゃダメですね。
0159１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/03(木) 18:54:03.67ID:fUuBduSR
b - δ < t0 < b をみたす t0 を任意に固定する。

↑ここがダメです
0160１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/03(木) 19:02:07.71ID:fUuBduSR
>>159

ε に応じて δ も変化するため、固定した t0 は取れません。
0161１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/03(木) 19:06:51.12ID:fUuBduSR
>>149

反例があるような気がします：

lim_[s→a,t→b](p(s)+q(b))が収束

⇒

lim_[s→a](p(s))が収束 かつ lim_[t→b](q(b))が収束
0162１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/03(木) 19:30:27.34ID:ImXj+PSc
（自力では）示せないことと
本質的に示せない（＝成り立たない）ことが
数学的直感に乏しい人には
判別できないもんなんだね。

自分じゃ示せないからって
反例があるんじゃないかって (ﾌﾟﾌﾟﾌﾟ
0163１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/03(木) 19:41:35.44ID:fUuBduSR
>>146

「
区間 (a, b) で連続な関数 f(x) に対して

lim_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx

が存在するならば

(4.35) ∫_{a}^{b} f(x) dx = lim_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx

と定義する。ここで(4.35)は任意の正の実数 ε に対応して一つの正の実数 δ(ε)
が定まって、 b - δ(ε) < t < b, a < s < a + δ(ε) ならば

| ∫_{a}^{b} f(x) dx - ∫_{s}^{t} f(x) dx | < ε

となることを意味する
」

↑なぜ、

b - δ1(ε) < t < b, a < s < a + δ2(ε)

ではなく

b - δ(ε) < t < b, a < s < a + δ(ε)

なんですかね？
0164１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/03(木) 19:42:48.22ID:fUuBduSR
>>146

ちなみに、この本はフィールズ賞受賞者の書いた本です。
0165１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/03(木) 19:45:59.59ID:y4IXvcRn
問題全く把握してないけど、δ1、δ2のうち小さい方を考えれば良いのでは？
0166１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/03(木) 19:48:17.38ID:fUuBduSR
問題は、

im_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx

が存在するならば

lim_{s → a+0} ∫_{s}^{c} f(x) dx

および

lim_{t → b-0} ∫_{c}^{t} f(x) dx,

が存在することを証明せよ

です。

im_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx

の定義は、

>>163

に書いてあります。
0168１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/03(木) 19:55:45.74ID:fUuBduSR
やはり反例がありそうな気がします。
0169１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/03(木) 20:51:08.03ID:fUuBduSR
lim_{x → a+0} f(x)
lim_{x → b-0} f(x)

の挙動が重要ですね。
0170１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/03(木) 20:55:49.26ID:fUuBduSR
ちょっと直接関係ない話ですが、

integrate (1/x^2)*sin(1/x) from 0 to 1
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(1%2Fx%5E2)*sin(1%2Fx)+from+0+to+1

↑この広義積分は収束しません。

↓この広義積分は収束します。

integrate (1/x^1.95)*sin(1/x) from 0 to 1
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(1%2Fx%5E1.95)*sin(1%2Fx)+from+0+to+1

境界となる x の指数はやはり 2 ですか？
0171１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/03(木) 20:58:53.63ID:ftPM1az6
>>149
s→aかつt→bはsとtが独立にaとbに収束するという意味でs→aのあとt→bでもいいしt→bのあとs→aでもいい同時に動かす必要は無いよ
0172１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/03(木) 21:05:19.06ID:PQNVo0sN
>>166
Cauchyの理論にそって考えるなら
（仮定）
∀e>0 ∃A B ∀s s' ; t t' a<s,s'<A B<t,t'<b ⇒ |p(s) + q(t) - p(s') - q(t')| < e…(＊)

これを利用して
∀e>0 ∃A ∀s s' ; a<s,s'<A ⇒ |p(s) - p(s')| < e…(＊＊)
を示したい。

e>0が与えられた。見つけないといけないのは(＊＊)のA。使えるのは(＊)。
0173１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/03(木) 21:05:45.58ID:ftPM1az6
>>170
>(1/x^2)*sin(1/x)
積分は関数でなくて微分形式に対して考えるべき
(1/x^2)sin(1/x)dx=-sintdt
(1/x^1.95)sin(1/x)dx=-t^(-0.05)sintdt
0174１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/03(木) 22:05:45.30ID:wgWklzzc
>>155で終わってるのに何をやってるんだこのバカは。反例なんてねーよゴミクズ。

＞ε に応じて δ も変化するため、固定した t0 は取れません。

t0をεやδに依存させずに完全なる定数として取る必要はどこにも無い。
何のためのε－δだと思ってるんだ。

εに応じてδが取れて、そのδに対して t0 を1つ取ったときに(たとえば t0 ＝ b－(δ/2) と置けばよい)、
この t0 は確かにεやδに依存しているが、しかし a＜s_1＜a＋δかつ a＜s_2＜a＋δ のとき

｜p(s_1)－p(s_2)｜≦｜p(s_1)＋q(t)－α｜＋｜p(s_2)＋q(t)－α｜＜2ε

が成り立つのだから、全体としては

∀ε＞0, ∃δ＞0, a＜∀s_1,∀s_2＜a＋δ s.t ｜p(s_1)－p(s_2)｜＜2ε

が成り立つということ。よって、コーシー列の関数版により、lim[s→a] p(s) が存在する。
同様にして、lim[t→b] q(t) も存在する。ただのε－δに何を躓いてるんだよ。
0175１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/03(木) 22:13:04.25ID:wgWklzzc
>>163
＞↑なぜ、
＞b - δ1(ε) < t < b, a < s < a + δ2(ε)
＞ではなく
＞
＞b - δ(ε) < t < b, a < s < a + δ(ε)
＞なんですかね？

δ(ε)＝min{ δ1(ε), δ2(ε) } と置けばいいだけ。

>>172
(*)が使えるなら、(*)で t＝t' とすれば即座に(**)が出る
(t,t'に具体的な形が欲しければ t＝t'＝(B＋b)/2 とでも置けばよい)。
やっている計算は>>155と全く同じ。
0178１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/04(金) 15:50:33.34ID:fqBGkpaJ
>>176
多値関数だから
0179１３２人目の素数さん
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2018/05/04(金) 17:11:41.24ID:GPw8PjUi
多様体から部分集合をとってきて、その部分集合に多様体の構造が入らない場合ってありますか
元の多様体から得られる構造がそのまま入りそうなのですが
0182１３２人目の素数さん
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2018/05/04(金) 18:20:24.43ID:fqBGkpaJ
>>181
|exp z|=exp re(z)
0184１３２人目の素数さん
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2018/05/04(金) 20:14:28.17ID:fqBGkpaJ
合ってる
0185１３２人目の素数さん
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2018/05/04(金) 20:50:23.90ID:gNzgKvet
ありがとうございます。
ローラン展開って式の形見る限りテーラー展開のnの範囲を0から-∞にして特異点周りに限定しただけですよね？
0186１３２人目の素数さん
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2018/05/04(金) 20:52:01.47ID:fqBGkpaJ
ですね
0189１３２人目の素数さん
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2018/05/04(金) 22:17:26.72ID:ij4zuGWh
解釈の原因は解釈者自身の固定観念。解釈の自由には責任が伴う
言葉風紀世相の乱れはそう感じる人の心の乱れの自己投影。人は鏡
憤怒は一時の狂気、無知無能の自己証明。中途半端な知識主ほど激昂
「真実は一つ」は錯誤。執着する者ほど矛盾を体験（争い煩悩）
他人に不自由（制約）を与えれば己も不自由（不快）を得る
問題解決力の乏しい者ほど自己防衛の為に礼儀作法マナーを要求
情報分析力の低い者ほどデマ宗教フェイク疑似科学に感化洗脳
自己肯定感の欠けた者ほど「己の知見こそ全で真」に自己陶酔
人生経験の少ない者ほど嫌いキモイ怖いウザイ想定外不思議を体験
キリスト教は世界最大のカルト。聖書は史上最も売れているト本
全ては必然。偶然 奇跡 理不尽 不条理は思考停止 視野狭窄の産物
人生存在現象に元々意味価値理由目的義務使命はない
宗教民族領土貧困は争いの「原因」ではなく「口実動機言訳」
虐め差別犯罪テロ紛争は根絶可能。必要なのは適切十分な高度教育
体罰は指導力問題解決力の乏しい教育素人の独善甘え怠慢責任転嫁
死刑は民度の低い排他的集団リンチ殺人。「死ねば償える」は偽善
核武装論は人間不信と劣等感に苛まれた臆病な外交素人の精神安定剤
投票率低下は社会成熟の徴候。奇人変人の当選は議員数過多の証左

感情自己責任論 ～学校では教えない合理主義哲学～　m9｀･ω･)
0190１３２人目の素数さん
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2018/05/05(土) 10:18:15.58ID:y3sGc/sx
>>185
なんで負だけ？？
0191１３２人目の素数さん
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2018/05/05(土) 10:34:40.23ID:tEdcrB57
０～∞を－∞～∞にしたということじゃない
0196１３２人目の素数さん
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2018/05/05(土) 15:36:05.92ID:UMWHPgmy
>>193
お好み次第。r>0にして0～2πにしてもよし、r自由で0～πにしてもよし。
0201１３２人目の素数さん
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2018/05/05(土) 17:20:39.73ID:EMULr+4U
>>197
n次元多様体Mの部分集合Sがk次元多様体構造を持つことの必要十分条件は,次のどちらかの条件を満たすこと.
(1)k=nかつSはMの開集合.
(2)0≦k<nかつSの任意の点pに対し,pを含むMの座標近傍(U;x_1,…,x_n)が存在してM⋂S={(x_1,…x_n)∈U|x_{k+1}=…=x_n=0}.

具体的には実数直線の半開区間[0,1)は0近傍でユークリッド空間の開集合に同相な開近傍を持たないので多様体構造を持たないという反例がある.
0202１３２人目の素数さん
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2018/05/05(土) 17:36:30.29ID:EMULr+4U
>>200
等比級数を計算すれば
Σe^{(ia-1)(2n-1)πi}
=(e^{(ia-1)πi})/(1-e^{(ia-1)2πi})
=(-e^{-aπ})/(1-e^{-2πa})
となるので教科書が正しいと思われる.
0203１３２人目の素数さん
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2018/05/05(土) 18:22:44.12ID:y3sGc/sx
>>201
境界持つ多様体じゃん
0206１３２人目の素数さん
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2018/05/05(土) 19:43:17.98ID:EMULr+4U
>>203
https://ja.wikipedia.org/wiki/境界付き多様体
私は↑にあるように境界付き多様体は多様体でないという立場です.
あなたのように境界付き多様体を多様体ととらえる人がいることを考慮していませんでした.
反例は>>201に挙げたものでなく,実数全体の部分集合として有理数全体を考えれば満足できるかと.

>>204
下から2行目まであってます.
e^{-2aπn+aπ}にn=1を入れるとe^{-aπ}なので分子に来るのはe^{aπ}ではなくe^{-aπ}です.

>>205
公比e^{(ia-1)2πi}なのでマイナスは不要です.
0207１３２人目の素数さん
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2018/05/05(土) 20:13:15.43ID:UMWHPgmy
>>201
次元が違う場合の証明はどうするんですか？例えばf:R→Mが連続単射でf^(-1)(開部分集合)の全体がRの位相を生成するという条件だけから>>201の(2)で述べられてる強い条件が証明できる気がしないんですけど。気のせいかな？
0209１３２人目の素数さん
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2018/05/05(土) 20:58:58.65ID:S3jerne2
>>206
>あなたのように境界付き多様体を多様体ととらえる人がいることを考慮していませんでした.
普通境界持つものも多様体
そうでないとボルディズムの発想は出ない
0210１３２人目の素数さん
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2018/05/05(土) 21:00:32.79ID:S3jerne2
境界持つものも多様体
というのは語弊あるかさすがに
境界持つものも排除しない
というべきかも
0212１３２人目の素数さん
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2018/05/05(土) 23:55:53.74ID:EMULr+4U
碌に勉強してないのに書き込んで申し訳ない
これ以上変なことを書かないために>>207に答えるのは控えておく
幸いこの板には多様体論に精通した人がいるようだからこのような学部レベルの証明はすぐ教えてもらえるだろう
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