大学学部レベル質問スレ 10単位目
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>>521 どこにカット規則使うんですか? 試しに証明してみてください >>522 ボクが聞いてるんですけど? それに答えられないから 分からないんですね? と確認してるだけなんですがw >>523 √2が無理数であることを示す証明のどこに三段論法を使うのか、と聞いてるんですけど? >>524 さあ? 教えてくださいよw 三段論法を使わなくて証明できるって言ったのがあなたなんですけど? >>525 √2が無理数でないとします √2=m/nとかけます 2n^2=m^2となります 素因数分解を考えれば、左右で2の個数が異なってしまうので、これを満たすm,nは存在しません よって√2は無理数です >>528 >素因数分解を考えれば、左右で2の個数が異なってしまうので、これを満たすm,nは存在しません ここは三段論法じゃないんですか? 仮定をしてますよね? AとA→BからBを結論するのを三段論法と言いますが? それを三段論法と考えるということですか 結構めんどくさくて書き下すと本かけそうなくらい長くなりそうですよね 頑張ってみますか >>534 >それを三段論法と考えるということですか 普通は AとA→BからBを結論することを三段論法と言いますが? >>528 >√2=m/nとかけます ここもでしょうか? √2を有理数と仮定していますね A:√2は有理数である A→B:√2が有理数であればm/nと書けます よって B:√2=m/nとなります ではないのでしょうか? >>528 >√2=m/nとかけます >2n^2=m^2となります ここもでしょうか? A:√2=m/nと書けます A→B:√2=m/nと書ければ2=m^2/n^2となります よって B:2n^2=m^2となります ではないのでしょうか? 齋藤正彦著『齋藤正彦微分積分学』を読んでいます。 リーマン和による積分の近似についての命題の証明がおかしいですね。 dy=A(x)・dxをx=0〜ξで積分するときの方法なのですが、単にy=∫(0→ξ)A(x)dx でいいのかdy(x)/dx = A(x)として両辺積分しy(ξ)-y(0)=∫(0→ξ)A(x)dxとしてy(0)の初期条件代入するのとではどちらでやるのですか? 前者でやる場合はy(0)=0が明らかな場合のみですか? このスレの書き込みを読んでいます。 全員頭が悪いので、手直しが必要ですね。 R → R の関数を f とする。 f ≠ 0 とする。 f(x + y) = f(x) + f(y) f(x * y) = f(x) * f(y) が任意の実数 x, y に対して成り立つとする。 このとき、 x > 0 ⇒ f(x) > 0 を証明せよ。 これわかる方いますか?ちなみにここに書いてあるのはxが整数のときで、2で割りきれるとかそんな話なので役に立たないと思います https://i.imgur.com/7B52I5Q.jpg 最後の式はx_1=...=x_(2n+1)の誤植という話は出版社から聞きました ただしその証明についてはわからないとのことです 無理やり行列の問題にするとこんな感じでしょうか 全ての列ベクトルを足しあわせると零ベクトルになることからdetA=0までは言えるのですがするとrankA<2n+1しか分かりません https://i.imgur.com/nAYQBjA.jpg >>540 その本は読んでないが、積分の定義は共有できているかね? 命題 X,Y⊂R, Z={x+y|x∈X,y∈Y}とするとき、 X=(a,b)、Y=(c,d)⇒ Z=(a+c,b+d) 証明 Z⊂(a+c,b+d)の証明は分かる (a+c,b+d)⊂Zの証明を教えてください >>545 (∃x) 0 ≠ f(x) = f(x*1) = f(x) * f(1) より f(1) = 1 x≠0 のとき 1 = f(1) = f( x * 1/x ) = f(x) * f(1/x) より x≠0 ⇒ f(x)≠0 以上より x> 0 ⇒ f(x) = f(√x * √x ) = f(√x )*f(√x ) > 0 Z={x+y|x∈X,y∈Y}={t|x∈X,y∈Y,t=x+y}={t|a<x<b,c<y<d,t=x+y}={t|a<x<b,c<y<d,t=x+y,a+c<t<b+d}=(a+c,b+d) 高校生向きの参考書をパラパラと見ています。 なんかこんな解答で大丈夫なんだろうか?という解答が多いですね。 どうみても書き足りていない解答が多いです。 減点されないんですかね? f : R → R は任意の x, y に対し、 f(y) - f(x) ≦ (y - x)^2 を満たすという。 f は定数値関数であることを証明せよ。 >>558 f(h) - f(0) + f(2h) - f(h) + ... + f(Nh) - f(Nh-h) ≦ N(+h)^2 f(0) - f(h) + f(h) - f(2h) + ... + f(Nh-h) - f(Nh) ≦ N(-h)^2 より | f(Nh) - f(0) | ≦ Nh^2 x = Nh と置くと、| f(x) - f(0) | ≦ x h xを固定したまま N→+∞, h→+0 (x<0 なら h→ -0) の極限を取れば |f(x) - f(0)| ≦ 0 f(x) = f(0) よって定数である。 | f(x) - f(0) | ≦ x^2 /N → 0 (N → +∞) 同じ事だけどこっちのほうが分かりやすいな。 すみません、数学専門の方にはすごく基本なのでしょうが、無限小と0は全く同じものなのでしょうか lim(n→∞)1/nは無限小であり0なのか、無限小ではあるが0とは違うものなのかよく分かりません 以前本で、無限小は0と同値なのかそれとも0に限りなく近いが0とは違うものなのかについては、歴史的に著名な数学者でも意見が分かれていると書いてあるのを読みました。 現代数学では結論としてどうなっているのでしょうか F を R から R への関数全体の集合とする。 以下の性質を満たす F の部分集合 P は存在しないことを証明せよ。 任意の a ∈ F に対して、 a = 0 a ∈ P -a ∈ P のうち、ちょうど一つが成り立つ。 任意の a, b ∈ P に対して、 a + b ∈ P a * b ∈ P >>564 超準解析の本嫁。 ただし、頭の悪い者、硬い者には、 超準解析の理解は無理。 超準解析本ちょっと読みましたけど、数理論理学がふんだんに使われていましたね やはり、数学の基本は数理論理なわけです この分野をわかってない人が多いというのは残念なことですね >>564 その本に書かれてあることは極限が出来た時の数百年前の話ですから、今ではもう少しましな議論ができるようになっています 現代では、一般的には、無限小とは、x→0のときにf(x)→0となる関数のことです 関数ですから、値がどんなに大きくなる場合もありますし、そもそも関数は数ではないわけで、0ではないのです 一般的ではない、超準解析において、無限小とは、本当に絶対値がどんな正の「実数」よりも小さい数と扱われます こんなのは、実数だけを考えている限りあるわけありませんから、実数を拡張した超実数というものを考えます しかし、この場合においても、無限小は0ではありません 超実数には標準部分と呼ばれる実数が定められていて、任意の無限小の標準部分は0です すなわち、任意の無限小は0に限りなく近いですけど0ではない、しかし実数で表すとすれば0となる(=標準部分)というわけですね >>571 >>507 の具体例って分かったりしますか? とんでもなく長くなるでしょうから、数理論理の本を勉強してみてくださいね >>573 あ、もしかして>>474 さんって>>534 さんですか? >>575 >>534 と>>567 か... あっ、なるほど。心中お察しします。 >>565 そのような部分集合 P が存在すると仮定する。 有理数: x, 無理数: y に対して σ(x) = 0, σ(y) = 1, τ(x) = 1, τ(y) = 0 となる関数 σ, τ α(1) = +1, α(π) = -1 β(1) = -1, β(π) = -1 その他で0値をとる関数 α, β を考える。 σ*α = σ*β, τ*α = -τ*β である。 σ, τ ∈ P の場合 α ∈ P とすると、β ∈ P 、 よって τ*α, τ*β, ∈ P , τ*α = -τ*β (矛盾) -α ∈ P とすると、-β ∈ P 、よって τ*-α, τ*-β ∈ P , τ*-α = -τ*-β (矛盾) σ, -τ ∈ P その他の場合も同様にして矛盾が導かれる。 少し興味がわいたので 問い( >>545 , >>558 , >>565 ) の元になった本があれば教えて欲しいです。 一般論でできるってわかってるからいいんです 形式化しようとすれば、√2が有理数だと仮定する、は∃x(x*x=2 ∧ ∃n∃m(n is Natural∧m is Natural ∧x=m/n)) なんてなりますよ多分 こんな調子でやってたらいつになったら終わるかわかりませんよね >>577 α ∈ P とすると、β ∈ P はなぜですか? >>579 前提 σ, α ∈ P より、σ*β = σ*α ∈ P ここで β not∈ P と仮定すると -β ∈ P 。よって -σ* β = σ*-β ∈ P σ*β, -σ*β ∈ P は同時に成り立ちません。 (....ちょうど一つが成り立つ) よって β ∈ P >>510 定義を十分に説明していなかったので追加しておきます。 ∂g/∂y_l(y)はgのyにおけるy_lについての偏導値です。∂g/∂y_lはgのy_lについての偏導関数です。∂g/∂y_l:R→R^pで、∂g/∂y_l(y)の(r,1)成分を∂g_r/∂y_l(y)としています。 あと、参考までに この定理は「解析入門I 杉浦光夫 p136」です。 >>581 ∂/∂xi(∂gr/∂yl)=∂/∂yl(∂gr/∂xi) >>584 すみません。よく分かりません。なぜ連鎖律が使えるのでしょう?もう少し詳しく書いていただけるとありがたいです。私が考えたことを詳しく書いておきますね。 ∂/∂x_i(∂g_r/∂y_l)に連鎖律を適用できるということは、>>517 のF,Gが連鎖律の条件を満たすということ。写真の証明の他の文脈から見て、おそらくF=f, G=∂g/∂y_l。 よって、∂/∂x_i(∂g_r/∂y_l)に連鎖律を適用できることを証明するためには、 ∂g/∂y_lの定義域をVとするとき、 ・Vが開集合 ・f(U)⊆V ・∂g/∂y_lがy=f(x)で微分可能 この3点を証明する必要があると考えました。 だから、∂/∂xi(∂gr/∂yl)=∂/∂yl(∂gr/∂xi) 使えばいいですよね xで微分してからyで微分すれば >>578 私は数理論理学を知らないのでわからないですが、>>534 を見る限り、三段論法が分かってないということですよね? 三段論法を分かってない人が、数理論理学が分かると言ってもいいんでしょうか? 本当いちゃもんつけたいがために簡単なことがわからなくなってしまってますよ そういうのを、バカ、というんです >>587 私はカット除去定理がわかります あなたはわかりません それが全てですよw >>589 実数の部分として自然数を定義する話 おまえ、メタレベルと対象レベルの区別すら付いてなかったじゃん 基礎論のお勉強の成果としては論外だろ >>591 あれは、あなたが勝手に関係ない話をし始めたとして決着ついたはずですよ >>591 ペアノ算術はわかるようになったんですかね >>510 自己解決しました。 今まで私に教えてくださった、皆さんありがとうございました。大半はみなさんのおかげです。 >>586 さん、私の理解力が乏しかったため、結局最後まで何を言っているのか分かりませんでした。 皆さん、ありがとうございました。 >>591 N(1) ∀x x<1→¬N(x) ∀xN(x)→N(x+1) ∀x「N(x)→∀y[(x≦y<x+1∧N(y))→y=x]」 実数の公理に上の公理を付け加えます Nをxが自然数である、と解釈することによりこの解釈に実数の標準的な解釈を合わせたものは、考えている公理系のモデルになっているので、この公理系は無矛盾です これならどうですか? あなたの言ってる場合でも、{n∈R|N(n)}は自然数の集合になりますね >>594 ちなみになんでわかったんですか? 今後のためにも、頭の悪い人の思考回路を知りたいので参考にさせてください >>596 他の質問サイトの方が細かく教えてくださいました。 >>597 shoichi_0313さんこんばんは >>552 の問題もマルチしてたんですね やめたほうがいいですよ、マルチは 今回の収穫は、自己解決=マルチで教えてもらった、という意味だということですね >>556 されませんね というかできません いくつかの理由でね >>564 (n→∞ のときの)1/n そのものは 無限小と呼んでもいいのでしょうが、 lim[n→∞] 1/n はきっちり 0 です。 a[n] が収束するときの lim a[n] は、 a[n] そのものではなくて、極限値、 つまり a[n] が「目指している値」、 言い換えれば a[n] によって「目指されている値」 を指しているからです。 >>564 意見が割れていたのは歴史的に、極限が定式化されるまでの話であり 現代においては無限小というものは実数としては存在しないと示されている ここでいう、実数とは数学的にキチンと定式化されたものであり、現代の数学体系で普遍的に数として扱うものを指す その意味で、無限小というものは存在しない lim(n→∞)1/nも間違いなく0そのものであり無限小とはならない(そもそも存在しない) ただし一つの体型として無限小というものを含むものを考えることはできる 一般的に数としては扱われてはいないがモデルとしては興味深いし、関数論などにも応用は聞く >>577 Michael Spivak著『Calculus』です。 >>604 ネットに転がってる 3rd ed. では、該当箇所分からんかったです。(全確認したわけではない) 4th ed. に載ってるんですか? それとも着想の元ってだけで自分で考えた問題ってこと? >>605 3rd Editionにも載っている問題です。 最初のほう(第3章 Functions)の問題です。 pp.51-53 を見てください。 p.52 17(c) p.52 20(b) p.53 28(c) >>595 ∀xという表現を定義するためには先に自然数を定義しておかなければならず、不可能 実数の一階理論に不完全性定理を適用できないのも同じ理由 >>609 >∀xという表現を定義するためには先に自然数を定義しておかなければならず なぜ? I = [a_1, b_1] × … × [a_n, b_n] の直径 d(I) を d(I) := sup_{ x, y ∈ I } | x - y | と定義するのはなぜですか? d(I) := max_{ x, y ∈ I } | x - y | あるいは、 d(I) := sqrt( (b_1 - a_1)^2 + … + (b_n - a_n)^2 ) と定義しないのはなぜしょうか? 下2つの定義だと閉集合とか直方体みたいな形のときにしか定義できないけど上の定義だともっといろんな集合に対しても定義できるから一般的に直径と言ったら一番上の定義が使われてる このIだとたまたま下の2つでも一致するだけ >>616 ありがとうございました。 重積分のところを読んでいて疑問に感じたのですが、もっと一般の集合に対して 直径を定義することがあるんですね。 >>578 >こんな調子でやってたらいつになったら終わるかわかりませんよね 出来ると思いますよ? まずは 最初と最後の論理式ぐらい書いて欲しいところですが? ∀x∀y.x+y=y+x, ∀x∀y∀z.(x+y)+z=x+(y+z), ∀x.x+0=x, ∀x∃y.x+y=0, ∀x∀y.x*y=y*x, ∀x∀y∀z.(x*y)*z=x*(y*z), ∀x.x*1=x, ∀x.(¬x=0→∃y.x*y=1), ¬(0=1), ∀x∀y∀z.x*(y+z)=x*y+x*z, ∀x.¬x<x, ∀x∀y∀z.x<y∧y∧z→x<z, ∀x∀y. x<y∨y<x∨x=y, ∀x∀y∀z.x<y→x+z<y+z, ∀x∀y∀z.x<y∧0<z→x*z<y*z, N(1), ∀x x<1→¬N(x), ∀xN(x)→N(x+1), ∀x「N(x)→∀y[(x≦y<x+1∧N(y))→y=x]」 |-¬(∃x∃n∃m.x*x=2∧n=x*m∧N(n)∧N(m)) とりあえずこんな感じが示せれば良いわけですよね ぶっちゃけ三段論法除去するのは簡単なんですよ それまでの証明完成させてくれませんか? ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
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