不等式への招待 第11章
〔問題15-改〕
非負の実数 x,y,z ≧0 について以下の不等式が成り立つことを示せ：
7xyz ≦ (x+y+z)(xy+yz+zx) - 2xyz ≦ (7/27)(x+y+z)^3.
IMO-1984 問1
Inequalitybot [15]
https://twitter.com/Inequalitybot/status/1758038584966410706
秋山＋P.Frankl [完全攻略] 数学オリンピック、日本評論社 (1991) p.18-19
https://twitter.com/thejimwatkins 〔194〕
正の実数 a,b,c >0 に対して以下の不等式が成り立つことを示せ：
3(a+b+c) ≧ 8(abc)^{1/3} + [(aaa+bbb+ccc)/3]^{1/3}.
Austria Federal Competition for Advanced Students part2 (2006)、1日目 問2
Inequaltybot [194]
https://twitter.com/Inequalitybot/status/1757011819129172361
https://twitter.com/thejimwatkins [15]
x+y+z = s, xy+yz+zx = t, xyz = u とおく。
右
st -9u = x(y-z)^2 + y(z-x)^2 + z(x-y)^2 ≧ 0
左
(7/27)s^3 - st +2u = {7(s^3 -4st +9u) + (st -9u)}/27 ≧ 0,
[194]
(abc)^{1/3} = G, [(aaa+bbb+ccc)/3]^{1/3} = A
とおく。
(右辺) = G + G + …… + G + G + A
≦ 9[(GGG+GGG+ …… +GGG+GGG + AAA)/9]^{1/3}
= 9[(24abc + aaa+bbb+ccc)/27]^{1/3}
= 3(24abc + aaa+bbb+ccc)^{1/3}
≦ 3(a+b+c),
* (a+b+c)^3 - (24abc + aaa+bbb+ccc)
= 3(a+b+c)(ab+bc+ca) - 27abc
= 3a(b-c)^2 + 3b(c-a)^2 + 3c(a-b)^2
≧ 0, 〔問題136〕
f(x,y) := (x+y)/[(1+xx)(1+yy)],
とおく。
(1) 領域 0 ≦ x,y ≦ 1 での f(x,y) の最大値を求めよ。
(2) (x,y) ∈ R^2 での f(x,y) の最大値を求めよ。
東大院試 2012 数理 修士 問A2
Inequalitybot [136]
https://twitter,com/Inequalitybot/status/1758159380879663330
f(1/√3, 1/√3) = (3√3)/8, (1)
(1+xx)(1+yy) - {8/(3√3)}(x+y)
= (2/3){(2/√3) -x -y}^2 + (1/3)(x - y)^2 + (1/3 - xy)^2
≧ 0,
等号成立は x=y=1/√3 のとき。
(2)
x + y ≦ |x| + |y|,
f(x,y) ≦ f(|x|,|y|)
ゆえ、(1)に帰着する。 〔問題96-改〕
正の実数 x,y,z >0 に対して以下の不等式が成り立つことを示せ：
(yz/x + zx/y + xy/z)^3 ≧ 8(x^3 + y^3 + z^3) + 3xyz.
中国 Team Selection Test - 2008, 4日目, 問2
Inequalitybot [96]
https://twitter,com/Inequalitybot/status/1758461371178705122
* yz/x=a, zx/y=b, xy/z=c とおくと x=√bc, y=√ca, z=√ab. >>42
[13]
コーシーで
{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}*(左辺)
≧ (1/a + 1/b + 1/c)^2
= (bc+ca+ab)^2 /(abc)^2,
(左辺) ≧ (1/2)(bc+ca+ab)/(abc)^2
= (3/2)(abc)^{2/3} /(abc)^2
= (3/2) /(abc)^{4/3}, >>49
[96]
yz/x=a, zx/y=b, xy/z=c とおくと AM-GM で
x = √(bc) ≦ (b+c)/2,
y = √(ca) ≦ (c+a)/2,
z = √(ab) ≦ (a+b)/2.
(左辺) - (右辺)
= (a+b+c)^3 - 8(ab)√(ab) - 8(bc)√(bc) - 8(ca)√(ca) - 3abc
≧ (a+b+c)^3 - 4ab(a+b) - 4bc(b+c) - 4ca(c+a) -3abc
= a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b)
= F_1(a b c) (← Schur-1)
≧ 0. 〔問題157〕
正の実数 a,b,c >0 が (a+b)(b+c)(c+a)=1 を満たすとする。
このとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ：
ab + bc + ca ≦ 3/4.
クロアチア Team Selection Test 2006, 問2
Inequalitybot [157]
https://twitter,com/Inequalitybot/status/1759186146947715201 ■お題
√10 = 3.16227 76601 68379
√6 + 1/√2 = 3.15659 65239 69726
√2 + √3 = 3.14626 43699 41972
√7 + 1/2 = 3.14575 13110 64590 6
22/7 = 3.14285 71428 57143 (約率)
2(√6 -√2) + 4(2-√3) = 3.14234 91305 44657
355/113 = 3.14159 29203 53982 3 (密率)
π = 3.14159 26535 89793
が降順であることを示せ。
・高校数学の質問スレ_Part432, 766, 780-781,785,795の辺り
[Snellius-Huygens の不等式]
https://haruya12.hatenadiary.org/entry/20120314/1331712378 >>52
3次相加相乗で((a+b)+(b+c)+(c+a))/3≧(1)^(1/3)
これよりa+b+c≧3/2
(a+b)(b+c)(c+a)を展開してから8次相加相乗で
1/8≧((abc)(abc)(aab)(aac)(bba)(bbc)(cca)(ccb))^(1/8)
これより1/8≧abc
すなわち1+abc≦9/8
また恒等式(ab+bc+ca)(a+b+c)=(a+b)(b+c)(c+a)+abcより
ab+bc+ca=(1+abc)/(a+b+c)
よって
ab+bc+ca=(1+abc)/(a+b+c)≦9/8×2/3=3/4 (a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ca)
= {(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}/2
≧ 0,
また T = (a+b)(b+c)(c+a) とおくと
9T - (8√3)(ab+bc+ca)^{3/2}
≧ 9T - 8(ab+bc+ca)(a+b+c)
= (a+b)(b+c)(c+a) - 8abc (←恒等式)
= a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2
≧ 0, (← a,b,c>0)
∴ ab+bc+ca ≦ (3/4)T^{2/3}, R.m.s. ≧ A.M.
ak ≧ 0 (k=1,2,…,n) とする。
n(a1+a2…+an) = (√a1+√a2+…+√an)^2 + Σ[i<j] (√aj - √ai)^2,
∴ √{n(a1+a2+…+an)} ≧ √a1 + √a2 + … + √an,
等号成立は a1 = a2 = … = an のとき。
高校数学の質問スレ_Part432－839 〔問題１〕
正の実数 a,b,c >0 が
aa+bb+cc = 3, a+b>√2, b+c>√2, c+a>√2,
を満たすとする。このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ：
a/(b+c-a)^2 + b/(c+a-b)^2 + c/(a+b-c)^2
≧ 3/(abc)^2
≧ 81/(ab+bc+ca)^3
≧ 3,
IMO short list 2011 予選 A-7. ☆10
Inequalitybot [1]
https://twitter.com/Inequalitybot/status/1762508034214097152
https://twitter.com/thejimwatkins 〔問題6〕
実数 a,b,c >0 はある三角形の3辺の長さをなすとする。
このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ：
√(b+c-a)/(√b+√c-√a) + √(c+a-b)/(√c+√a-√b) + √(a+b-c)/(√a+√b-√c) ≦ 3.
IMO short list 2006 予選 A6
Inequalitybot [6]
https://twitter.com/Inequalitybot/status/1760998085755572257
安藤哲哉(著) 「不等式」数学書房 (2012) 例題3.2.3(9) ｐ.151
p := (√b+√c-√a)/2, q := (√c+√a-√b)/2, r := (√a+√b-√c)/2
とおく。
https://twitter.com/thejimwatkins 〔問題50〕
正の実数 a,b,c >0 に対して、以下の不等式が成り立つことを示せ：
a^{b+c}・b^{c+a}・c^{a+b} ≦ (abc)^{2(a+b+c)/3},
a^{b+c}・b^{c+a}・c^{a+b} ≦ (abc)^{a+b+c-1},
インドMO-2001 問A3
Inequalitybot [50]
https://twitter.com/Inequalitybot/status/1762628831310152071
https://twitter.com/thejimwatkins 〔問題78〕
ある三角形の３辺の長さとなる正の実数 a,b,c が
0 < a < 2b, 0 < b < 2c, 0 < c < 2a,
を満たすとする。このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ：
√{a/(2b-a)} + √{b/(2c-b)} + √{c/(2a-c)} ≧ √{(a+b+c)^3 /3abc}.
じゅー：作
Inequalitybot [78]
https://twitter.com/Inequalitybot/status/1761058483091443933
https://twitter.com/thejimwatkins 〔問題79〕
ある三角形の3辺の長さとなる正の実数 a,b,c >0 に対して、以下の不等式が成り立つことを示せ：
1/{a(a+b-c)} + 1/{b(b+c-a)} + 1/{c(c+a-b)} ≧ 3・√{(a+b+c)/[abc(ab+bc+ca)]}
じゅー：作
Inequalitybot [79]
https://twitter.com/Inequalitybot/status/1761904054874386869
https://twitter.com/thejimwatkins 〔問題144〕
C^2-級 (2回微分可能であって ｆ”が連続) の関数ｆ：Ｒ→Ｒ が
任意の実数xに対してｆ”(x) ≧ f(x) を満たすと仮定する。
このとき以下の不等式が成立することを示せ：
f(x) ≧ f(0)cosh(x) + ｆ’(0)sinh(x),
近大数学コンテスト-2008 問A5
Inequalitybot [144]
https://twitter.com/Inequalitybot/status/1762387238716100917
∫[0, x] {ｆ”(t)－ｆ(t)} sinh(x-t) dt ≧ 0 を使う。
https://twitter.com/thejimwatkins 〔問題76〕
正の実数 a,b,c >0 に対して以下の不等式が成り立つことを示せ：
a/√(4bb+bc+4cc) + b/√(4cc+ca+4aa) + c/√(4aa+ab+4bb) ≧ 1,
じゅー：作
Inequalitybot [76]
https://twitter.com/Inequalitybot/status/1764259576059424958
https://twitter.com/thejimwatkins 〔問題117〕
x,y,z がある三角形の3辺の長さとなるような実数であるとき、
以下の不等式が成り立つことを示せ：
xxy/z + yyz/x + zzx/y ≦ xx + yy + zz.
Art of problem solving より
Inequalitybot [117]
https://twitter.com/Inequalitybot/status/1763836789977227332
https://twitter.com/thejimwatkins 〔問題178〕
実数 x, y が (xx+yy)^2 = xx - yy を満たすとき、
x+y の取り得る最大の値を求めよ。
第2回 早大プレ 2006
Inequaitybot [178]
https://twitter,com/Inequalitybot/status/1764319974171226188/
*この閉曲線を 連珠形、(Jakob Bernoulliの) Lemniscate 等と云うらしい。(Jakob Bernoulli) 〔問題5〕
1でない実数 x, y, z ≠ 1 が xyz=1 を満たすとする。
このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ：
xx/(x-1)^2 + yy/(y-1)^2 + zz/(z-1)^2 ≧ 1,
IMO-2008, 問2
Inequalitybot [5]
https://twitter.com/Inequalitybot/status/1766011118693310560
佐藤(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013)
問題3.120
https://twitter.com/thejimwatkins >>35
[47] コーシー
>>36
[61]
aab + bbc + cca + abc ≦ (4/27)(a+b+c)^3.
(略証) 0≦a≦b,c としてもよい。
4(a+b+c)^3 － 27(aab+bbc+cca+abc)
＝ 9a(aa+bb+cc-ab-bc-ca) + (4b+c-5a)(a+b-2c)^2
≧ 0.
等号成立は (a, b, c) = (0, 2/3, 1/3)、(0, -1/3, 4/3）とそのrotation
>>37
[123] 部分積分を利用する。
0 ≦ ∫ {f '(x) + x - 1/2}^2 dx
= ∫ {f '(x)}^2 dx + ∫ f '(x)(2x-1)dx + ∫ (x-1/2)^2 dx
= ∫ {f '(x)}^2 dx －2∫ f(x)dx + [ f(x)(2x-1) ] + (1/3)[ (x-1/2)^3 ]
= ∫ {f '(x)}^2 dx －2∫ f(x)dx + f(0) + f(1) + (1/3)[(1/8)－(-1/8)]
= ∫ {f '(x)}^2 dx －2∫ f(x)dx + c,
c = f(0) + f(1) + (1/3)(1/4) = (-1/6) + (-1/6) + 1/12 = -1/4.
>>40
[37]
a,b,c > 1 とすると 題意を満たさない。
min{a,b,c} = m ≦ 1,
(ab+bc+ca)－abc ≧ (ab+bc+ca)m － abc ≧ 0,
右) 2 + abc－(ab+bc+ca)＝(2-bc)－a(b+c-bc),
2-bc ≧ (4-bb-cc)/2 ＝ a(a+bc)/2 ≧ 0,
また |1-a|≦1, |1-b|≦1, |1-c|≦1,
∴ b+c-bc ＝１－(1-b)(1-c) ≧ 0,
{(2-bc)－a(b+c-bc)}･{(2-bc)＋(a+bc)(b+c-bc)}
＝ (2-bc){(2-bc)+bc(b+c-bc)}－(aa+abc)(b+c-bc)^2
＝ (2-bc)(1-b)(1-c){(2-bc)+2(b+c-bc)}＋{(b-c)^2－(aa+bb+cc+abc-4)}(b+c-bc)^2,
{1-a, 1-b, 1-c} のうち２つは同符号だから (1-b)(1-c)≧0とした。
>>41
[2]
Σ(x-1)^2 = S(2) - 2S(1) + S(0) = 4,
∴ x≦ 1+2=3.
(2xx+4x-3) + (3-x)(1+x)(1-x)^2
= 4x^3－x^4
= 4xx - xx(x-2)^2,
∴ 2xx + 4x－3 ≦ 4x^3－x^4 ≦ 4xx,
x=a,b,c,d でたす。
2S(2) + 4S(1)－3S(0) ≦ 4S(3)－S(4) ≦ 4S(2). >>49
[96]
yz/x = a, zx/y = b, xy/z = c とおくと
x = √(bc), y = √(ca), z = √(ab).
(左辺) - (右辺) = (a+b+c)^3 - 8ab√(ab) - 8bc√(bc) - 8ca√(ca) - 3abc
≧ (a+b+c)^3 - 4ab(a+b) - 4bc(b+c) - 4ca(c+a) - 3abc
= a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b)
= F_1(a, b, c)
≧ 0. (Schur-1)
>>57
[1]
題意より 0 < a b c < √2 < a+b b+c c+a,
a,b,c は△の3辺をなすので、
b+c-a = x, c+a-b = y, a+b-c = z,
とおく（Ravi変換）。
ss-t = 2(aa+bb+cc) = 6,
(左辺) = (y+z)/(2xx) + (z+x)/(2yy) + (x+y)/(2zz)
≧ x/(yz) + y/(zx) + z/(xy)
= (xx+yy+zz)/(xyz)
= (ss-2t)/u,
(右辺) = 3/(abc)^2
= 3 {8/(st-u)}^2
≦ 3 (9/st)^2
≦ 81/(sssu), (← tt ≧ 3su)
さてs>0を固定すると f(t)={3(ss-t)/(2ss)}^(5/2) はｔに関して下に凸。
(ss-2t) = (ss-3t) + t
≧ {(3/2)^(5/2)}(ss/3 -t) ＋ t
= f(0)(ss/3 -t) ＋ f(ss/3)t
≧ (ss/3)f(t)
= 81/sss,
これを左辺に入れる。
>>58
[6]
p = (√b+√c-√a)/2 >0, q = (√c +√a-√b)/2 >0, r = (√a+√b-√c)/2 >0,
とおく。
b+c-a = 4pp -2(p-q)(p-r)/2,
√(b+c-a) ≦ 2p - 2(p-q)(p-r)/4p,
(左辺) = √(b+c-a)/(2p) + √(c+a-b)/(2q) + √(a+b-c)/(2r)
≦ 3 - (p-q)(p-r)/(4pp) - (q-r)(q-p)/(4qq) - (r-p)(r-q)/(4rr)
= 3 - (1/4) F_{-2}(p q r)
= 3 - (pqr/4) F_1(1/p 1/q 1/r)
≦ 3.
>>59
[50]
(1) チェビシェフにより、
log(左辺) ＝ (b+c)log(a)＋(c+a)log(b)＋(a+b)log(c)
≦ (2/3)(a+b+c)log(abc),
(2) (x-1)log(x) ≧ 0 より
log(左辺) ＝ (a+b+c)log(abc)－a･log(a)－b･log(b)－c･log(c)
≦ (a+b+c)log(abc)－log(a)－log(b)－log(c)
＝ (a+b+c-1)log(abc). >>60
[78]
AM-GMにより 本問は
abc ≧ {(2b-a)(2c-b)(2a-c)}^(1/4)･{(a+b+c)/3}^(9/4),
厄介な附帯条件を消すために
2a-c = A, 2b-a = B, 2c-b = C,
とおくと
A,B,C ≧ 0,
a+b+c ＝ A+B+C,
a = (4A+B+2C)/7,
b = (2A+4B+C)/7,
c = (A+2B+4C)/7,
となる。これを用いると
(7^3)abc = (4A+B+2C)(2A+4B+C)(A+2B+4C)
＝ 8SSS ＋ 13ST ＋ 10U + 3⊿
≧ 8SSS ＋ 13ST ＋ 10U － (23/18)S(SS-3T)
＝ (101/18)S(SS+3T) ＋ (10/27)(SSS+SSS+SSS+27U)
≧ (101/18)S{SS+3√(3SU)} ＋ (10/27)(SSS+SSS+SSS+27U)
≧ 303･U^(1/4)･(S/3)^(9/4) ＋ 40･U^(1/4)･(S/3)^(9/4)
= (7^3)･U^(1/4)･(S/3)^(9/4)
= (7^3)･(ABC)^(1/4)･{(A+B+C)/3}^(9/4),
ここに、
S = A+B+C, T = AB+BC+CA, U ＝ ABC, ⊿ ＝ (A-B)(B-C)(C-A).
>>61
[79]
AM-GM により
(左辺) ≧3/{abc･(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}^(1/3)
≧ 3/{u^(1/3)√(3u/s)}
≧ 3/{√(t/3)・√(3u/s)
＝ 3√{s/(tu)}
＝ (右辺),
∵ {(a+b-c)(b+c-a)＋(b+c-a)(c+a-b)＋(c+a-b)(a+b-c)}/3 ＝ (4t－ss)/3 ≦ 3u/s. >>63
[76]
f(x) は単調減少かつ下に凸(x>0)。
Jensenにより、
a･f(4bb+4cc+bc) ＋ b･f(4cc+4aa+ca) ＋ c･f(4aa+4bb+ab)
≧ (a+b+c) f({a(4bb+4cc+bc)＋b(4cc+4aa+ca)＋c(4aa+4bb+ab)}/(a+b+c))
= s･f((4st-9u)/s)
≧s･f(ss)
= 1, (← f(x) = 1/√x )
ここで、s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc, とおいた。
>>64
[117]
(左辺)－(右辺) ＝ {(x+y-z)yy(z-x)^2＋(y+z-x)zz(x-y)^2＋(z+x-y)xx(y-z)^2}/(2xyz)
≧ 0.
>>65
[178]
(x+y)/√2 = u, (x-y)/√2 = v,
とおくと与式は
(uu+vv)^2 = 2uv,
x+y ≦ (1/4)(3^(1/4)) = 0.3290185032
この閉曲線を (Jakob Bernoulliの) Lemniscate と云うらしい。 〔問題174〕
正の実数 a, b, c>0 に対して、以下の不等式が成り立つことを証明せよ：
(1/aa+1/bb+1/cc)(a+b+c)^4 ≧ 81(aa+bb+cc),
ルーマニア Team Selection Test-2006 3日目・問4
Inequalitybot [174]
https://twitter,com/Inequalitybot/status/1767400271775420691
s^6 = {(aa+bb+cc) + t + t}^3 ≧ 3(aa+bb+cc)tt,
を使う。 >>65
[178]
(x+y)/√2=u, (x-y)/√2=v とおくと
xx + yy = uu + vv
= (uu/3) + (uu/3) + (uu/3) +vv
≧ 4(1/3)^{3/4}･√(uuuv),
(左辺) = (xx+yy)^2 = (uu+vv)^2 ≧ 16(1/3)^{3/2}･uuuv,
(右辺) = xx－yy = 2uv,
2uu ≦ (1/4)･3^{3/2}
x+y = u√2 ≦ (1/2)･3^｛3/4} =1.139753528,
なお、このとき
xy = (√3)/8,
xx + yy = uu + vv = (√3)/2,
xx - yy = 2uv = 3/4,
〔問題195〕
実数 x,y,z が x+y+z = 0 を満たすとする。
このとき以下の不等式が成り立つことを示せ：
(xx + yy + zz)^3 ≧ 6(x^3 + y^3 + z^3)^2,
蕉湖市数学競技会
Inequalitybot [195]
https://twitter,com/Inequalitybot/status/1768487435133243853
x=b-c, y=c-a, z=a-b とおくと
x + y + z = 0,
xx + yy + zz = 2(aa+bb+cc-ab-bc-ca) = 2(ss-3t),
x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz = 3(a-b)(b-c)(c-a) = 3⊿, >>65
[178]
焦点を A(-1/√2, 0) B(1/√2, 0) とおく。
P(x, y) の軌跡は
AP・BP = 1/2. >>35 訂正、ｽﾏｿ
[47]
右辺の指数は３が正しい。 〔問題97〕
正の実数 a,b,c>0 が a+b+c+√(abc) = 4 を満たすとする。
このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ：
√(bc/a) + √(ca/b) + √(ab/c) ≧ a + b + c，
中国 Team Selection Test-2007, 2日目, 問1
Inequalitybot [97]
https://twitter,com/Inequalitybot/status/1770299374251434063
x = √(bc/a), y = √(ca/b), z = √(ab/c) とおくと、
a+b+c = yz+zx+xy,
4 = a+b+c + √(abc) = yz+zx+xy + xyz, 〔問題3〕
正の実数 a,b,c>0 が 1/a+1/b+1/c = a+b+c を満たすとする。
このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ：
1/(2a+b+c)^2 + 1/(2b+c+a)^2 + 1/(2c+a+b)^2 ≦ 3/16,
IMO Short List-2009 予選 A-2
Inequalitybot [3]
https://twitter,com/Inequalitybot/status/1770238976504533266
AM-GM より、
(2a+b+c)^2 ≧ 4(a+b)(a+c), etc. 〔問題86-改〕
実数a,b,cに対して、以下の不等式が成り立つことを示せ：
2√{3(aa+bb+cc)} ≧ √(2aa+2bb) ＋ √(2bb+2cc) ＋ √(2cc+2aa)
≧ √{3(a+b)^2 + 3(b+c)^2 + 3(c+a)^2}
≧ 2(a+b+c),
ポーランドMO-2004, Final, 2日目, 問1
Inequalitybot [86]
https://twitter,com/Inequalitybot/status/1769997384006918161 >>66
[5]
第１証明：
(左辺)－1 = {(xy+yz+zx-3)^2 + 2(xyz－1)[2xyz－(x+1)(y+1)(z+1)+6]}/{(x-1)(y-1)(z-1)}^2
≧0, (← xyz=1)
第２証明：
a = x/(x-1), b = y/(y-1), c = z/(z-1),
を代入すると、xyz=1 という条件は abc = (a-1)(b-1)(c-1) に同値になる。
この式から
(左辺) = aa + bb + cc
= (a+b+c－1)^2 + 1 + 2{(a-1)(b-1)(c-1)－abc}
= (a+b+c－1)^2 + 1
≧ 1. >>71
[174]
a+b+c = s, ab+bc+ca = t, abc = u,
とおくと
ss = (aa+bb+cc) + t + t,
(左辺) ≧ (1/ab + 1/bc ＋ 1/ca) s^4
＝ (s/u) s^4
＝ (s^6) /su
＝ (aa+bb+cc + t + t)^3 /su
≧ 27 (aa+bb+cc) tt/su
≧ 81 (aa+bb+cc). (← tt≧3su) 〔問題189〕
a, b, c >0 に対して、以下の不等式が成り立つことを証明せよ：
{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}^2 ≧ 27(ab+bc+ca)^3,
だるまにおん：作
Casphy!－高校数学板－不等式スレ１－339
2chの過去スレ (第３章)－727, 737, 739
Inequalitybot [189]
https://twitter,com/Inequalitybot/status/1771144946873217064
[補題]
a+b+c=s, ab+bc+ca=t とおくと
|(a-b)(b-c)(c-a)| ≦ (2/√3)(ss-3t)t/s,
等号成立は {a, b, c} = {0, √3 -1, √3 +1} のとき。 (a-b)(b-c)(c-a) = ⊿ を 差積 とよぶ。
|⊿| ≦ 2/(3√3)･(ss-3t)^{3/2},
(略証)
⊿^2 = (4/27)(ss-3t)^3 － (1/27){(2a-b-c)((2b-c-a)(2c-a-b)}^2
≦ (4/27)(ss-3t)^3.
〔問題3.98〕
任意の実数a,b,cに対して
|⊿| ≦ 9/(16√2)･(ss-2t)^2 /s
IMO-2006
Inequalitybot [7]
佐藤(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013) p.142
問題3.98 〔問題1.96〕
a,b,c を非負実数とする。このとき、
|(a-b)(b-c)(c-a)| ≦ (a^3+b^3+c^3－3abc)/4
(略証)
b は a, c の中間にあるとする。
a^3+b^3+c^3 － 3abc = (a+b+c)(aa+bb+cc-ab-bc-ca),
と因数分解する。
a+b+c ≧ |a-b| + |b-c| + min{|a-b|, |b-c|}
aa + bb + cc - ab - bc - ca = (a-b)^2 + (a-b)(b-c) + (b-c)^2,
辺々掛けて
a^3+b^3+c^3－3abc ≧ (|a-b|+|b-c|)^3
= (|a-b|+|b-c|)^2･|c-a|
≧ 4|a-b||b-c||c-a|
= 4|⊿|,
ルーマニアMO-2007
佐藤(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013) p.43
演習問題1.96 〔楠瀬の不等式〕
a,b,c ≧0 とする。このとき、
|(a-b)(b-c)(c-a)| ≦ (a^3+b^3+c^3－3abc) / Ku,
ここで
Ku = √(9+6√3) = 4.403669475 (楠瀬の定数)
数学セミナー, Vol.31, No.4&7 日本評論社 (1992年4月号&7月号) >>82
{(3/2)ss} + 3(ss-3t) = 4{(9/8)(ss-2t)} = 4･AM,
GM-AM で
{(3/2)ss}(ss-3t)^3 ≦ {(9/8)(ss-2t)}^4,
等号成立は ss+6t = 0 のとき。
(a, b, c) = ((1＋3/√2), 1, (1－3/√2))
∴ |⊿| ≦ 2/(3√3)･(ss-3t)^{3/2} ≦ 9/(16√2)･(ss-2t)/|s|,
〔問題3.98-改〕
a,b,c を非負実数に制限するとき、
|⊿| ≦ (1/4) (ss-2t)^2 /s,
等号成立は (a, b, c) = (0, 1, (1+√2)) 〔問題30〕
正の実数 a,b,c >0 が aa ≦ bb+cc, bb ≦ cc+aa, cc ≦ aa+bb を満たすとする。
このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ：
(a+b+c)(aa+bb+cc)(a^3+b^3+c^3) ≧ (aa+bb+cc)^3 ≧ 4(a^6+b^6+c^6),
JMO-2001, 問3
Inequalitybot [30]
https://twitter,com/Inequalitybot/status/1773983650553696305 >>73
[195]
x=b-c, y=c-a, z=a-b 等とおくと
(左辺)－(右辺) = 8(ss-3t)^3 － 54⊿⊿
= 2{(2x-y-z)(2y-z-x)(2z-x-y)}^2
≧ 0,
>>76
[97]
x=√(bc/a), y=√(ca/b), z=√(ab/c),
s = x+y+z, t = xy+yz+zx = a+b+c, u = xyz = √(abc),
とおく。
題意より、 t+u = 4,
∴ u ≦ 1, t ≧ 3, s ≧ √(3t) ≧ 3。
∴ s(ss-tt) = F1(x y z) + (st-9)u ≧0,
∴ s ≧ t. >>77
[3]
AM-GMより、
(2a+b+c)^2 ≧ 4(a+b)(a+c) etc,
(左辺) ≦ (a+b+c)/{2(a+b)(b+c)(c+a)} = s/{2(st-u)} ≦ 9/(16t),
(st-u) ≧ (8/9)st ↑
題意より、
tt ≧ 3abc(a+b+c) = 3abc(1/a+1/b+1/c) = 3t,
∴ t ≧ 3。
>>78
[86]
(左辺)^2 ＝ 4(aa+bb+cc) ＋ 4√(aa+bb)√(bb+cc) ＋ … ＋ …
≧ 4(aa+bb+cc) ＋ 2(a+b)(b+c) ＋ 2(b+c)(c+a) ＋ 2(c+a)(a+b)
＝ 3(a+b)^2 ＋ 3(b+c)^2 ＋ 3(c+a)^2
＝ (中辺)^2.
>>81
[189]
(左辺) － (右辺) = (3st+⊿)^2 - 27t^3
= 9(ss-3t)tt + 6st⊿ + ⊿⊿,
∴ [補題] に帰着する。
前スレ第３章－727, 737, 739 ⊿の外接円の半径をR, 内接円の半径をrとすると
R－2r > 0,
OI = √{R(R-2r)}, Chapple-Euler
このとき、⊿の面積Sが取りうる値の範囲は
r√(2RR+10rR-rr－2√{R(R-2r)^3}) ≦ S ≦ r√(2RR+10rR-rr＋2√{R(R-2r)^3}),
高校数学の質問スレ_Part434－88 S：最小のとき
h = R + r －√{R(R-2r)},
底辺 2(√r)√(4R+r-2h),
斜辺 √(2hR),
S：最大のとき
h = R + r + √{R(R-2r)},
底辺 2(√r)√(4R+r-2h),
斜辺 √(2hR), 〔問題44〕
正の実数 a, b, c >0 に対して、以下の不等式が成り立つことを示せ：
(2a+b+c)^2/[2aa+(b+c)^2] +(2b+c+a)^2/[2bb+(c+a)^2] +(2c+a+b)^2/[2cc+(a+b)^2] ≦ 8
USAMO-2003 問5
Inequalitybot [44]
https://twitter,com/Inequalitybot/status/1780265040589054125 >>91
[44]
a+b+c = s とおく。
(2a+b+c)^2／{2aa+(b+c)^2}
＝ (a+s)^2／{2aa+(s-a)^2}
≦ 4a/s ＋ 4/3, (← a=s/3 で接線を曳く)
循環的にたす。
a=s/3 での接線より下側に来る。計算は面倒だが。。。 >>86
[30]
コーシーにより、
(左辺) ≧ (aa+bb+cc)^3
= 4(a^6+b^6+c^6) + 6(abc)^2 + 3(bb+cc-aa)a^4 ＋ 3(cc+aa-bb)b^4 ＋ 3(aa+bb-cc)c^4
≧ 4(a^6+b^6+c^6) + 6(abc)^2
= (右辺), 〔問題185〕
a+b+c=1 を満たす非負実数 a,b,c ≧ 0 に対して以下の不等式が成り立つことを示せ：
a/[1+9bc+4(b-c)^2] + b/[1+9ca+4(c-a)^2] + c/[1+9ab+4(a-b)^2] ≧ 1/2,
JMO-2014, 問5
Inequalitybot [185]
https://twitter,com/Inequalitybot/status/1786002848133914750
Casphy! - bbs - highmath - 不等式2 - 176＆186 
