不等式への招待第11章

**１３２人目の素数さん** · 2023/05/23(火) 14:01:56.54

ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

【まとめWiki】　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

【過去スレ】
・不等式スレッド（第１章） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待第３章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待第４章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待第５章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待第６章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待第７章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待第８章　http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・不等式への招待第９章　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1505269203/
不等式への招待第10章
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1545137227/
・過去スレのミラー置き場　http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

【姉妹サイト】
キャスフィ高校数学板不等式スレ　　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ高校数学板不等式スレ２　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/

【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html

**１３２人目の素数さん** · 2023/05/23(火) 14:19:47.74

AAきめえ

**１３２人目の素数さん** · 2023/05/23(火) 14:20:31.99

糞スレ

**１３２人目の素数さん** · 2023/05/23(火) 22:29:19.39

真面目に議論していた人たちは何処かへか去ってしまった

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/04(日) 10:06:17.81

a / [a^2+(b+c)^2] + b / [b^2+(c+a)^2] + c / [c^2+(a+b)^2] <= 3/5

abc = 1, a, b, c > 0

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/06(火) 01:04:06.35

>>5
a, b, cをそれぞれ0や∞にすると左辺は0.
未定乗数法の連立方程式を, a, b, cが相異なると仮定し,
辺々の差をとって同値変形し続けると矛盾を導ける. (腕力が必要)
あとはx, x, x^(-2)を代入したものについて示せばよい. (腕力が必要)

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/09(金) 08:07:32.40

For positive reals x, y, z with x＋y＋z＝３, show that

(xy)^2 ＊(y+1) + (yz)^2 ＊(z+1) + (zx)2 ＊(x+1) ≥ 6 xyz.

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/10(土) 14:48:59.56

実数 a, bが連立不等式

a+b-2k(a+b)/ab ≥ 2(2-k), ab+a+b ≥ 8, a ≥ 1, b ≥ 1を満たすとき, k のとり得る

値の最大値を求めよ.

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/11(日) 09:27:41.09

普段から数学における不等式の扱いが小さくて不当であると感じる。
たとえば連立一次方程式（等式）はあれほど丁寧根絶に扱われ教えられているという
のにだ、連立一次不等式の扱いがあまりにも少ない。
当局には断固として差別扱いの解消を要求する。

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/12(月) 04:16:25.79

>>9 公立中学のカリキュラムの時点で, 1次不等式を学ばない時代なので,
もうその時点でこの国は終わっている.

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/12(月) 04:36:35.41

線形計画法とかmax-plus代数（またはトロピカル代数）とかを中学生に教えるの？

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/15(木) 10:56:33.66

この問題, この様に解いてみたのですが, この先, 方針が立ちません.

実数 a, bが連立不等式

a+b - 2k＊(a+b) / ab ≥ 2(2-k), ab+a+b ≥ 8, a ≥ 1, b ≥ 1を満たすとき, k のとり得る

値の最大値を求めよ.

a+ b = s, ab = t とおくと, a, b は f (x) := x^2 - s x + t = 0 の2解である.

a ≥ 1, b ≥ 1 <=> f (1) ≥ 0 かつ D ≥ 0 かつ軸 : 1 ≤ s/2 <=> s -1 ≤ t ≤ (1/4)s^2 かつ s ≥ 2 … ①

また, 与えられた条件 : s t - 2 k s +2 (k-2) t ≥ 0 <=> (s + 2(k-2))(t - 2k) ≥ - 4k(k-2)… ②

s-t 平面上で, ①かつ② の表す領域 D に対して, a ≥ 1 かつ b ≥ 1 なる実数 a, b の存在条件を考える.

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/16(金) 06:33:27.96

>>10,9
線形計画法とかmax-plus代数（またはトロピカル代数）とかを中学生に教えるの？

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/18(日) 17:59:46.20

* 堀内利郎：「古典的不等式の精密化: 臨界・非臨界の統一と∞次特異点の導入まで」、
内田老鶴圃、ISBN‎ 978-4753600885（2023年5月29日）。

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/19(月) 21:48:46.28

a^10001+b^2000001=432145677524

整数解をもとむ

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/20(火) 03:47:41.02

それのどこが不等式なのだろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/20(火) 21:49:26.26

嵐には構うなよ、あぁ？

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/01(土) 02:43:56.40

不等式ぢゃあないが…

\sqrt{5}
+ \sqrt{22 + 2 \sqrt{5}}
- \sqrt{11 + 2 \sqrt{29}}
- \sqrt{16 - 2 \sqrt{29} + 2 \sqrt{55 - 10 \sqrt{29}}}
= 0.

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/09(日) 01:19:00.72

平面上の潰れていない3角形があり、その3辺の長さをa、ｂ、ｃとするときに
a < b + c であることを証明しなさい（配点5点）。

3次元空間内の潰れていない4面体があり、その4つの面の面積をA,B,C,Dとするときに
A < B+C+Dは成り立つか？（配点10点）。

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/10(月) 23:14:22.93

長さaの辺を含む直線に残り2辺を射影すると長さaの辺は射影の像で被覆される
∴a ≦ 残り2辺の射影の像の長さの和 < 残り2辺の長さの和

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/11(火) 08:41:19.77

相加相乗平均の不等式の一般化は
ネットによれば
マクローリンの不等式と
ヤングの不等式だが
他に何かありますか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/14(金) 22:49:44.52

マクローリンの不等式から
算術幾何平均と同様に
極限を取って
一般にn個の正の実数の
「マクローリン極限」が定まるような気がするが
もしそうならガウスがこれを調べていなかったはずはないと思うのだが
どなたかご存じの方はいませんか

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/15(土) 09:13:50.55

志賀弘典氏が多変数関数論冬セミナーで
そのような話をされていたので
何処かに論文になって出ているかもしれません

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/19(水) 13:32:25.76

これって高校数学の範囲で、かつ数IIIの微分とか使わずにいけますか？(1)はいけそうなんですが(2)が難しい…
https://i.imgur.com/69LsI51.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2023/08/10(木) 19:01:24.43

エルミートアダマール不等式と凸性は同値ですか?

**１３２人目の素数さん** · 2023/08/26(土) 19:06:27.18

(;ﾟдﾟ)ｺﾞｸﾘ…

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/12(火) 15:58:10.24

不等式と整数論はどっちが難しい？

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/12(火) 20:38:03.76

それを知ってどうする

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/15(水) 14:01:03.45

その不等式に覚悟はあるか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/17(金) 17:20:54.92

アヌスはあるみたいだね

**１３２人目の素数さん** · 2024/01/13(土) 19:47:39.76

>>18
(sqrt{11 + 2*sqrt{29}} + sqrt{11 - 2*sqrt{29}})^2
= 22 + 2*sqrt{11^2 - 4*29}
= 22 + 2*sqrt{5},
より
sqrt{11 + 2*sqrt{29}} + sqrt{11 - 2*sqrt{29}} = sqrt{22 + 2*sqrt{5}},

16 - 2*sqrt{29} + 2*sqrt{55 - 10*sqrt{29}}
= 5 + (11 - 2*sqrt{29}) + 2*sqrt{5}*sqrt{11 - 2*sqrt{29}}
= (sqrt{5} + sqrt{11 - 2*sqrt{29}} )^2,
より
sqrt{16 - 2*sqrt{29} + 2*sqrt{55 - 10*sqrt{29}}} = sqrt{5} + sqrt{11 - 2*sqrt{29}},

を使おうかな。。。

**prime_132** · 2024/01/14(日) 00:31:57.33

>>007
(左辺) - (右辺)
= { (xy)^2 * (4y+z+x) + (yz)^2 * (4z +x+y) + (zx)^2 * (4x+y+z) - 2 xyz (x+y+z)^2 }/3
= { x^3 * (y-z)^2 + y^3 * (z-x)^2 + z^3 * (x-y)^2 }/3
　+ (4 y^3 x^2 + 2 x^3 z^2 + z^3 y^2 )/7 - xyz * xy
　+ (4 z^3 y^2 + 2 y^3 x^2 + x^3 z^2 )/7 - xyz * yz
　+ (4 x^3 z^2 + 2 z^3 y^2 + y^3 x^2 )/7 - xyz * zx
≧ 0,
x, y, z >0 なので、重み付きAM-GMを使った。

**１３２人目の素数さん** · 2024/01/14(日) 07:51:22.89

重み付き相加相乗平均の不等式

**prime_132** · 2024/02/11(日) 21:22:21.54

〔問題145．改〕
　正の実数 a,b,c >0 に対して以下の不等式が成立することを示せ：
　(a^3)/(b+2c) + (b^3)/(c+2a) + (c^3)/(a+2b)
　　　≧ (aa+bb+cc)^2 /{3(ab+bc+ca)}
　　　≧ (2aa +2bb +2cc -ab -bc -ca)/3,

ウクライナM.O.-1996
Inequalitybot [145]
https://twitter.com/Inequalitybot/status/1755018685985804339
https://twitter.com/thejimwatkins

**prime_132** · 2024/02/11(日) 23:22:10.41

〔問題47〕
　実数 a,b,c >0 に対して、以下の不等式が成り立つことを示せ：
　(ab+bb+aa)(bb+bc+cc)(aa+cc+ca) ≧ (ab+bc+ca)^2,

IMO Long List 1990, day 1, 問77
Inequalitybot [47]
https://twitter.com/Inequalitybot/status/1753569134263337347
https://twitter.com/thejimwatkins

**prime_132** · 2024/02/11(日) 23:33:04.21

〔問題61〕
　正の実数 a,b,c >0 に対して、以下の不等式が成り立つことを示せ：
　aab + bbc + cca ≦ (4/27)(a+b+c)^3,

カナダM.O.-1995, 問5
Inequalitybot [61]
https://twitter.com/Inequalitybot/status/1754112715231269188
https://twitter.com/thejimwatkins

**prime_132** · 2024/02/12(月) 00:06:14.64

〔問題123〕
　[0,1]上で定義された C^1 級関数 (1回微分可能かつ導関数が連続な関数)
f(x) が f(0) = f(1) = -1/6 を満たしているとする。
このとき、以下の不等式が成り立つことを示しなさい。
　∫[0,1] {f '(x)}^2 dx ≧ 2∫[0,1] f(x)dx + 1/4.

G.R.A.20 Problem Solving Group, Mathematical Magazine M 1852
Inequalitybot [123]
https://twitter.com/Inequalitybot/status/1754052318881079583

*　∫[0,1] {f '(x) + x - 1/2}^2 dx ≧ 0　を使う。
　　　　　　Lang Tu Mua Bui (2016/03/22)
https://twitter.com/thejimwatkins

**prime_132** · 2024/02/12(月) 00:19:01.97

〔問題221〕
正の実数 a,b,c が a+b+c+abc=4 を満たすとする。
このとき以下の不等式が成り立つことを示せ：
　(a+b)/{ac(1+b)} + (b+c)/{ba(1+c)} + (c+a)/{cb(1+a)} ≧ 3,

5th On-line Inequality Competition 問3
Inequalitybot [221]
https://twitter.com/Inequalitybot/status/1754958288595358204
https://twitter.com/thejimwatkins

**１３２人目の素数さん** · 2024/02/12(月) 14:40:10.99

>>34
コーシーでもいいけど、AM-GMで
　a^2 + {(b+2c)/3}^2 ≧ 2a{(b+2c)/3},
として
　a^3/(b+2c) ≧ 2aa/3 - a(b+2c)/9,
循環的にたす。

**prime_132** · 2024/02/12(月) 20:26:56.36

〔問題37〕
正の実数 a,b,c >0 が aa + bb + cc + abc = 4 を満たすとする。
このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ：
0 ≦ ab + bc + ca - abc ≦ 2,

USA-MO-2001　問3
Inequalitybot [37]
https://twitter.com/Inequalitybot/status/1756468237280391424

*)　a = 2cos(A),　b = 2cos(B),　c = 2cos(C)　とおけば条件は
　　A+B+C = π　になるらしいが。。。
https://twitter.com/thejimwatkins

**prime_132** · 2024/02/15(木) 18:16:31.83

〔問題2〕
実数 a,b,c,d が S(1)=6, S(2)=12 を満たすとする。
このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ：
　36 ≦ 4S(3) - S(4) ≦ 4S(2),

ここに　S(k) = a^k + b^k + c_k + d^k　とおいた。

IMO Short List 2010 予選 A-2
Inequalitybot [2]
https://twitter.com/Inequalitybot/status/1757313808287301775
https://twitter.com/thejimwatkins

**１３２人目の素数さん** · 2024/02/15(木) 18:37:32.36

〔問題13〕
正の実数 a,b,c >0 が abc=1 を満たすとする。
このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ：
　1/[aaa(b+c)] + 1/[bbb(c+a)] + 1/[ccc(a+b)] ≧ 3/2.

IMO-1995 問2
Inequalitybot [13]
https://twitter.com/Inequalitybot/status/1757555401548242985
佐藤(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013)
　例1.4.9 (p.22) 及び例1.6.5 (p.47)
https://twitter.com/thejimwatkins

**１３２人目の素数さん** · 2024/02/15(木) 18:56:20.70

〔問題25〕
非負の実数 a,b,c ≧0 が ab+bc+ca + 2abc =1 を満たすとする。
このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ：
　2(a+b+c) + 1 ≧ 32abc.

地中海-MO 2004　問3
Inequalitybot [25]
https://twitter.com/Inequalitybot/status/1757374207040815152
https://twitter.com/thejimwatkins