不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net
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不等式の和書
[1] 不等式（数学クラシックス11），ハーディ・リトルウッド・ポリヤ，シュプリンガー，2003年
http://amazon.jp/o/ASIN/4431710566
[2] 不等式（数学選書），大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3] 不等式への招待（数学ゼミナール６），大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年
http://amazon.jp/dp/4844372661
[4] 不等式入門（数学のかんどころシリーズ９），大関清太，共立出版，2012年
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320019898
[5] 不等式入門（数学ライブラリー教養篇４），渡部隆一，森北出版，2005年
http://amazon.jp/o/ASIN/4627010494
[6] 不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年
http://amazon.jp/o/ASIN/4627075812
[7] 不等式（モノグラフ４），染取弘，科学新興新社，1990年
http://amazon.jp/o/ASIN/4894281740
[8] 不等式 ～ 21世紀の代数的不等式論 ～，安藤哲哉，数学書房，2012年
http://amazon.jp/dp/4903342700
[9] 美しい不等式の世界: 数学オリンピックの問題を題材として，佐藤淳郎（訳），朝倉書店，2013年
http://amazon.jp/dp/4254111371
[10] 思考力を鍛える不等式（大学への数学・別冊）、栗田哲也、東京出版、2014年
http://www.amazon.co.jp/dp/4887422091 不等式の項目を含む和書
[1] 数学トレッキングツアー第３章「相加平均≧相乗平均」，東京理科大学数学教育研究所，教育出版，2006年
http://amazon.jp/o/ASIN/4316801988
[2] 獲得金メダル！ 国際数学オリンピック第１章「不等式」，小林一章，朝倉書店，2011年
http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11132-3/
[3] 数学オリンピック事典，数学オリンピック財団，朝倉書店，2001年
http://amazon.jp/o/ASIN/4254110871
[4] 三角法の精選103問（シリーズ：数学オリンピックへの道 2），T.アンドレースク・Z.フェン著，朝倉書店，2010年
http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11808-7/
[5] 最大値と最小値の数学，P.J.ナーイン，シュプリンガー，2010年
http://amazon.jp/dp/4621062131
[6] 最大・最小（数学one Point双書24），服部泰，共立出版，1979年
http://amazon.jp/dp/4320012445
不等式の洋書
[1] The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities，J. M. Steele，Cambridge Univ. Pr.，2004年
http://amazon.jp/o/ASIN/052154677X
[2] Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach，Birkhaeuser Basel，2009年
http://amazon.jp/dp/3034600496
[3] Inequalities: Theorems (Techniques and Selected Problems)，Zdravko Cvetkovski，Springer，2012年
http://amazon.jp/gp/product/3642237916
[4] Analytic Inequalities，Xingzhi Zhan，Dragoslav S., Dr. Mitrinovic，Springer，1970年
http://www.amazon.co.jp/dp/3642999727
[5] Matrix Inequalities (Lecture Notes in Mathematics, No.1790)，Xingzhi Zhan，Springer，2002年
http://amazon.jp/dp/3540437983
[6] Matrix Analysis (Graduate Texts in Mathematics)，Rajendra Bhatia，Springer，1996年
http://amazon.jp/dp/0387948465 不等式の記事
[1] 特集 「現代の不等式」 （数理科学 No.386） ，サイエンス社，1995年8月号（絶版）
[2] 特集 「不等式の世界」 （数学セミナー No.2-569） ，日本評論社，2009年2月号
http://amazon.jp/o/ASIN/B001O9UIZ8
[3] 連載 「不等式の骨組み」 （大学への数学 vol.53，全12回，各4ページ），栗田哲也，東京出版，2009年4月号-2010年3月号，2014年に書籍化（不等式の和書[10]）
http://www.tokyo-s.jp/index.shtml
不等式の埋蔵地
[1] RGMIA http://rgmia.vu.edu.au/
[2] Crux Mathematicorum Synopses http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/
[3] Maths problems http://www.kalva.demon.co.uk/
[4] Mathematical Inequalities & Applications http://www.ele-math.com/
[5] American Mathematical Monthly http://www.maa.org/pubs/monthly.html
[6] Problems in the points contest of KöMaL http://www.komal.hu/verseny/feladatok.e.shtml
[7] IMO リンク集 http://imo.math.ca/
[9] Mathematical Olympiads Correspondence Program http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/
[10] Mathematical Excalibur http://www.math.ust.hk/excalibur/
[11] MathLinks Contest http://www.mathlinks.ro/Forum/contest.html
[12] MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/#proposed_problems (要自動登録)
[13] Wolfram MathWorld http://mathworld.wolfram.com/
[14] GRA20 Problem Solving Group http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.html
[15] American Mathematical Monthly Problems http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/AMM/amm.html
[16] Journal of Inequalities and Applications http://www.hindawi.com/journals/jia/
[17] すうじあむ http://suseum.jp/gd/all_berry_list/3504
海外不等式ヲタの生息地
[1] Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics http://jipam.vu.edu.au/
[2] MIA Journal http://www.mia-journal.com/
[3] MathLinks Math Forum http://www.mathlinks.ro/Forum/forum-55.html いいぜ ヘ(^o^)ヘ
|∧
/
てめえが
不等式を
集めるってなら
／
(^o^)／
／( )
／ ／ ＞
(^o^) 三
(＼＼ 三
＜ ＼ 三
`＼
(／o^)
( ／ まずは
／く そのふざけた
不等式を証明するッ！ ///////
///////＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿_
/////// ￣￣￣￣￣￣￣￣￣|￣￣
/////// ＿＿＿ (~) ﾁﾘﾝﾁﾘﾝ
/////// ／ ≧ ＼ ﾉ,,
/////// |::::: (● (● |
/////// ヽ::::... .ワ.....ノ 日本の夏
/////// （つ へへ つ 不等式の夏 ＼ 不等式と言えば？ / Schurﾑｽﾞ… Jensen最強 Lehmusって
＼ ∧＿∧ ∩AM-GMだろ / ∧＿∧ ∧＿∧ ∧＿∧
Ｍａｒｋｏｖの不等式 ＼ （ ・∀・）ノ＿＿＿___ / （ ；・∀・） （； ´Д｀） （´Д｀； ）
の証明おしえて ∧ ∧＼ （入 ⌒＼つ ／|. / ⊂ ⊂ ） ( つ ⊂ ） （ ⊃ ⊃
（ﾟДﾟ ）＿＼ ヾヽ ／＼⌒)／ |/ 〉 〉＼＼ 〉 〉 く く ／／（ （
／￣￣∪ ∪ ／| ＼ || ⌒|￣￣￣| / （＿_） （＿） （＿.）（＿） （＿） （＿_）
／∧＿∧Polyaを読め ＼ ∧∧∧∧ /
／ （；´∀｀ ）＿／ ＼ ＜ 不 ＞ レスの半分は自作自演、残りはなりすましでできてるよ
||￣（ つ ||／ ＼＜ 等 ま ＞ 集めた不等式を同化し改良するから、抵抗は無意味だよ
|| （_○_＿_) || ＜ 式 ＞ 群生体だから無限の知識と無尽蔵の体力を持ってるよ
――――――――――――――― .＜ ヲ た ＞―――――――――――――――――――――
∧＿∧ いつもながら ＜ タ ＞ ∧＿∧ﾃﾍｯ∧＿∧ ／￣￣￣￣￣￣￣￣
（ ；´∀｀） 見事じゃのぉ ＜か ＞ ＼ （ ´∀｀） （´∀｀ ）＜不等式（大関・青柳）
_＿＿__（つ＿ と)_＿＿ ./∨∨∨ 不＼ （ ）＿_（ ） ＼＿＿復刊キボンヌ！
. ／ ＼ ＿＿＿ ＼ｷﾀｧ / ∧＿∧等 ＼∧ ∧ ∧ ∧ ￣￣￣／.／／|￣￣￣￣￣
.<＼※ ＼＿＿__.|i＼＿＿＿ヽ.ｳﾋｮ ./γ(⌒)・∀・ ） 式 ＼ ；) （ ；） ／ ┃| ｜
ヽ＼ ※ ※ ※|i i|.====B|i.ヽ /（YYて)ﾉ ﾉ ヲ ＼↑￣￣↑＼)＿／ |__|／
＼`ー──-.|＼.|_|◎_|_.i‐>/ ＼ ￣￣￣￣＼ タ ＼数ヲタ | | ┃
￣￣￣￣|. |￣￣￣￣| / ||ヽ||￣￣￣￣|| め ＼ .|_） 三角不等式
AM-GM不等式
Cauchyの不等式
Chebyshevの不等式
Holderの不等式
Jensenの不等式
並べ替え不等式
Maclaurinの不等式
Newtonの不等式
Power Mean不等式
Minkovskiの不等式
Bernoulliの不等式
Muirheadの不等式
Karamataの不等式
ぬるぽビッチの不等式 >>7
不等式（大関・青柳）
復刊キボンヌ！
不等式への招待
は尼でオンデマンド版が買えるけど ★★★忖度と処世術に汚染された日本人：権威主義的な支配と損したくない人達★★★
～～～芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか～～～
佐藤幹夫：自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄：人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。
隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国？
（佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが）芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載され
さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ～～～
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、
『売れさえすれば学生の脳の質なんて何でもヨロシ』と居直る大学。そしてブランド名
だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろｗｗｗ
中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、
そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の
遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。
近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が
跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。
■■■馬鹿板を続けたらオツムがスポンジ脳になるのでサッサと足を洗うべき。■■■
￥ >>9
( ﾟ∀ﾟ)つ [2] 不等式（数学選書），大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版） ★★★忖度と処世術に汚染された日本人：権威主義的な支配と損したくない人達★★★
～～～芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか～～～
佐藤幹夫：自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄：人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。
隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国？
（佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが）芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載され
さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ～～～
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、
『売れさえすれば学生の脳の質なんて何でもヨロシ』と居直る大学。そしてブランド名
だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろｗｗｗ
中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、
そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の
遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。
近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が
跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。
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life time: 1569日 3時間 9分 28秒
約4年かかってて草 全国521駅｢10年累計鉄道自殺数｣ランキング
2016年06月22日
西八王子駅（東京）……39件
桶川駅（埼玉）…………34件
川崎駅（神奈川）………31件
新小岩駅（東京）………30件
新宿駅（東京）…………30件
八王子駅（東京）………30件
http://toyokeizai.net/articles/-/123503
ＪＲ川崎駅前にマタハリー(ピア、サントロぺ)のパチンコ台が約１８００台、パチスロ台が約１０００台ほどある。
その台はすべて、遠隔操作されています。
大勝ちしてる人のほとんどが内子です(ピアは内子の人数が日本一多い、詐欺犯罪組織です)。
今は大手のパチンコ店の大当たりはすべて遠隔大当たりなんです。
大当たりはアホ幹部がパソコンを１、３回クリックして大当たりさせています。
借金が原因で自殺してる人が多いけど、その原因は遠隔大当たりしかないパチンコ、パチスロなんです。
新小岩と新宿にはマルハンとエスパスがあります(エスバスは新宿歌舞伎町で一番大きなパチンコ店)。
西八王子駅の隣駅の八王子駅にはピアがあります(八王子駅にはパチンコ店がたくさんあります)。 Σ(a_i)^2≧(1/n)(Σ(a_i))^2
和は１からｎまで
a_iは実数です
これって成り立ちますかね？
a^2+b^2≧(1/2)(a+b)^2
a^2+b^2+c^2≧(1/3)(a+b+c)^2
みたいな感じです
成り立つならその証明を、成り立たないなら反例をおしえてほしいです >>26
まずは、ageるな。
ageると、￥が荒らしに来るから。 >>26
成り立つことの証明は
分からない問題はここに書いてね428
の>116に書いてあるよ。 >>26
B＝2Σ_{1≦i＜j≦n}(a_i・a_j)
から各積 a_i・a_j 1≦i＜j≦n を取り出すときは
B の 2Σ_{1≦i＜j≦n}(a_i・a_j) の部分から取るという話ね。 >>26
>>30の訂正：
B の 2Σ_{1≦i＜j≦n}(a_i・a_j) の部分 → B の Σ_{1≦i＜j≦n}(a_i・a_j) の部分 〔問題216〕
実数a～dについて
（aa+ac+cc) (bb+bd+dd）≧（3/4) (ab+bc+cd)^2,
（aa+ac+cc) (bb+bd+dd）≧（3/4) (ad-bc)^2, うむ、他スレで見かけた不等式を収集するのは別だが。 >>42
左辺が ｐｐ+ｐｑ+ｑｑ の形になるのは、アイゼンシュタイン整数Ｚ[ω］のノルムみたいなもの？
ナゴヤ△と関係あるの賀茂鴨 >>47
z1 = a - cω,
z2 = d - bω （a～d∈Ｚ）
をアイゼンシュタイン整数とすると、
z1･z2 = (ad-bc) - (ab+bc+cd)ω, >>47
ナゴヤ△ ＝ ノルムが平方数であるアイゼンシュタイン整数 >>47-49
ナゴヤ△は、乗法について閉じている。 実数 x,y,z が x^2 + y^2 + z^2 =1 をみたすとき、
(x-y)(y-z)(z-x)、(2x-y)(2y-z)(2z-x) の最大値を求めよ。 >>51
右：
y は x、z の中間にある、とする。
y を x、z の中間で動かすとき、
|x-y| |y-z| ≦ (1/4)|z-x|^2,
∴y=(x+z)/2（等間隔）のとき最大で
(与式）≦（1/4)|z-x|^3 ≦ 1/√2,
等号成立は（x,y,z）=（±1/√2, 0, 干1/√2） B.4599
Solve the equation (sin x)^5 + (cos x)^5 + (sin x)^4 = 2.
https://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=201401&t=mat&l=en
この問題を過去スレで改造手術してなかったっけ？ うまく見つけられなかった。
-1 ≦ (sin x)^5 + (cos x)^5 + (sin x)^4 ≦ 2
いい証明方法ない蟹？ >>53
sin(x) + cos(x) = y とおく。
1 - sin(x)^5 - cos(x)^5
= (1/2) {1-sin(x)} {1-cos(x)} F(sin(x)+cos(x))
= (1/4) (1-y)^2 F(y)
≧0,
F(y) = 4+3y+2yy+y^3 ≧ 8 - 5√2 > 0,
1 + sin(x)^5 + cos(x)^5
= (1/2) {1+sin(x)} {1+cos(x)} F(sin(x)+cos(x))
= (1/4) (1+y)^2 F(-y),
≧ 0,
F(-y) = 4-3y+2yy-y^3 ≧ F(√2) = 8 - 5√2 > 0,
を使うとか。 >>54
補足
F(y) = F(-√2) + (√2 +y) {2 + (1 -(1/√2) +y)^2}
≧ F(-√2)
= 8 -5√2,
訂正
1 + sin(x)^5 + cos(x)^5
= (1/2) {1+sin(x)} {1+cos(x)} F(－sin(x)－cos(x))
= (1/4) (1+y)^2 F(-y),
≧ 0, >>47-50
7 =｜5＋8ω｜=｜5ω＋8｜ … ナゴヤ
ただし、1+ω+ω^2 =0.
>>52
(x,y,z) は単位球面上の点。
x,zを止めてyだけ動かすのは無理 〔Golden-Thompsonの不等式〕
A、Bがエルミート行列のとき、
tr｛exp(A+B)｝≦ tr｛exp(A)exp(B)｝
S.Golden(1965)、C.J.Thompson(1965)
数セミ増刊「数学の問題 第(2)集」日本評論社（1978）No.96
No.96 >>956 (3)
｛Σ[n=1～∞] (x/n)^n｝^(1/x）≒ ｅ^(1/e + 4/x + …)
Lim[x→∞］｛Σ[n=1～∞] (x/n)^n｝^(1/x）= ｅ^(1/e）= 1.444667861 |
＼ __ ／
＿ （ｍ） ＿ﾋﾟｺｰﾝの等式
|ミ|
／ ｀´ ＼
('A`)
ノヽノヽ
くく >>62
オノの不等式
> 1914年に T.オノはこの式が任意の三角形について成り立つと予想したが、
> 1916年に Balitrand によって予想が誤りであることと、鋭角三角形であればこの式が成り立つことが示された。
T.オノって何者だ？ Ono Inequality
鋭角三角形の3辺の長さを a, b, c, 面積を S とするとき、
27(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) ≦ (4S)^2 不等式スレの第１章より前から集めているコレクションから引っ張り出してきた。
（つい最近まで出典をメモする習慣がなかったことを激しく後悔…）
実数 a,b,c に対して、
(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) ≦ {(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2
さて、a,b,cを鋭角三角形の3辺の長さとして、この右辺と Ono Inequality の右辺の大小とか定まるかな？ 任意の三角形の3辺の長さ a,b,c に対して、
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) ≦ abc
(a+b-c)^a*(b+c-a)^b*(c+a-b)^c ≦ a^a*b^b*c^c
|
＼ __ ／
＿ （ｍ） ＿ﾋﾟｺｰﾝ、ｺﾝﾅﾉ ｱｯﾀﾅｧ
|ミ|
／ ｀´ ＼
(ﾟ∀ﾟ)
ノヽノヽ
くく >>65
a,b,cが鋭角△をなすとき
(bb+cc-aa)(cc+aa-bb)(aa+bb-cc) ≦ {(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2 ≦（4S/√3)^3 ≦ (2s/3)^6,
S=△ABC、 s=(a+b+c)/2.
(左)
(bb+cc-aa)(cc+aa-bb）=（cc)^2 -（aa-bb)^2
=［c^2 - (a-b)^2］^2 - 2(aa+bb-cc)(a-b)^2
≦［c^2 - (a-b)^2］^2 (←鋭角)
=［(b+c-a)(c+a-b)］^2,
循環的に掛けて平方根。
(中)
相加-相乗平均より
a+b+c ≧ 3｛(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)｝^(1/3),
s ≧ 3｛(s-a)(s-b)(s-c)｝^(1/3),
S^2 = s(s-a)(s-b)(s-c) (←ヘロンの公式）
≧ 3｛(s-a)(s-b)(s-c)｝^(4/3),
∴｛(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2 ≦ (4S/√3)^3,
(右)
S^2 = s(s-a)(s-b)(s-c) ≦ 3(s/3)^4,
∴（4S/√3)^3 ≦（2s/3)^6. >>66 上
a+b-c=2z，b+c-a=2x，c+a-b=2y とおく。(*)
x,y,zは任意の正数。
abc - (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) = (y+z)(z+x)(x+y) - 8xyz
= x(y-z)^2 + y(z-x)^2 + z(x-y)^2
≧ 0,
等号は x=y=z、つまり a=b=c （正△）
* Ravi変換とかいうらしい。 (1)
正の数 a,b,c に対して、
(a+b+c)^5 ≧ 27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 +ca^2)
(2)
ab+bc+ca=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、
a+b+c ≧ abc+1
(3)
a+b+c=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、
(a^2 + bc^4)(b^2 + ca^4)(c^2 + ab^4) ≦ 64
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
<〇√
∥
くく
関係ないが、27って よく出てくるよな。
[第6章.908]
a,b,c>0のとき、{(a+b+c)(ab+bc+ca)}^2≧27abc(a^3＋b^3＋c^3)
[第5章.560]
a,b,cが三角形の三辺の長さのとき、
8/27 ≦ (a+b)(b+c)(c+a)/{(a+2b)(b+2c)(c+2a)},
[第5章.573]
1/4<(a+b)(b+c)(c+a)/(a+b+c)^3≦8/27 [1991 IMO]
[第5章.667]
正の数a、b、c、dに対して
2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)^3 ≧ 27(abc + abd + acd + bcd)^2
[第2章.144]
a, b, c≧0、a+b+c=1 のとき、a^2b+b^2c+c^2a ≦ 4/27 [1999 CMO] >>69の訂正
(2)
ab+bc+ca=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、
a+b+c ≧ abc+2 (4)
正の数 a,b,c に対して、
{(b+c)/a}^3 + {(c+a)/b}^3 + {(a+b)/c}^3 ≧ 24 B.3989
https://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=200703&t=mat&l=en
a, b, c are positive numbers, such that a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4. Prove that a+b+c<3.
A.422、B3987 にも不等式があるね。 >>71
(4)
(b+c)/a=x, (c+a)/b=y, (a+b)/c=z とおく。
x^3 + y^3 + z^3 = {(x+y+z)^3 +5s(ss-3t) +3(s^3-4st+9u)}/9 ≧ (1/9)(x+y+z)^3,
x+y+z = 6＋（a/b+b/a-2)＋(b/c+c/b-2)＋(c/a+a/c-2）≧ 6,
>>72
B.3987
中の b+c に注目する。
（a+b+c)(b+c+d）=（b+c)(a+b+c+d）+ ad
≧（b+c){(a+b)＋(c+d)}
≧ 2｛√(a+b)｝（b+c）｛√(c+d)},
循環的に掛ける。
B.3989
a=2cos(A)，b=2cos(B)，c=2cos(C) とおく。A+B+C=π
cos(x）は下に凸だから
a+b+c = 2{cos(A)+cos(B)+cos(C)｝≦ 6cos((A+B+C)/3）= 6cos(π/3) = 3,
ご参考
http://ameblo.jp/ineqfebot-sol/ >>73 訂正
B.3989
cos(x）は｜x｜<π/2 で上に凸でした。
(別解)
a=2sin(A/2)，b=2sin(B/2)，c=2sin(C/2) とおく。以下同様 >>72
A.422
Σ[i=1,n] x(i) = x(n+1) = S とおく。
Σ[i=1,n] x(i)^2 ≧ SS/n,
y=√x は上に凸だから
(左辺)^2 ≦ n｛ Σ[i=1,n] x(i) [S -x(i)] }
= n｛ SS -Σ[i=1,n] x(i)^2 }
≦ n (SS - SS/n)}
= (n-1) SS,
(右辺)^2 = SΣ[i=1,n] [S - x(i)]
= S (n S - S)
= (n-1) SS, >>72
A.422
(左辺)^2 ≦ n｛Σ[i=1,n] x(i)[S-x(i)] }
≦｛Σ[i=1,n] x(i)} {Σ[j=1,n] [S-x(j)]} (チェビシェフ)
= S・(n-1)S
でもいいか...
〔B.3987.改〕
n個の正数｛a,b,c, …,z｝がある。
連続するk項の和を巡回的に掛けたものを Ｐ_k とおく。
Ｐ_1 = abcd…z,
Ｐ_2 =（a+b)(b+c)(c+d)……(z+a),
Ｐ_3 = (a+b+c)(b+c+d)……(z+a+b),
Ｐ_4 = (a+b+c+d)(b+c+d+e)……(z+a+b+c),
このとき、
(Ｐ_k)^2 ≧ Ｐ_{k-1}・Ｐ_{k+1},
Ｐ_{mn} ≧ (m^n)Ｐ_n,
を示せ。 >>72
蒐集癖に火がついたでござる ( ﾟ∀ﾟ) ﾊｧﾊｧ…
以下、a, b, c は a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 をみたす正の実数とする。←非負実数でいいよね？多分…
(1) a+b+c ≧ ab+bc+ca
(2) abc+2 ≧ ab+bc+ca ≧ abc
(3) a+b+c<3
(4) (2+a)(2+b)(2+c) ≧27abc
(5) sqrt{(2-a)/(2+a)} + sqrt{(2-b)/(2+b)} + sqrt{(2-c)/(2+c)} ≧ 3
(5)は、リンク先を見ると
sqrt{(2-a)/(2+a)} + sqrt{(2-b)/(2+b)} + sqrt{(2-c)/(2+c)} ≧ 3sqrt{3} ≧ sqrt(4-a^2) + sqrt(4-b^2) + sqrt(4-b^2)
と書いている者もいる。証明は未確認。
民明書房刊 「不等式ヲタの異常な蒐集癖、または私は如何にして心配するのを止めて不等式を愛するようになったか」より
(1) 出典のmemoがないでござる。過去スレにあるかも…
(2) USAMO 2001 https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=2001_USAMO_Problems/Problem_3
(3) >>72 B.3989 https://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=200703&t=mat&l=en
(4) https://artofproblemsolving.com/community/c6h527320p2994128
(5) https://artofproblemsolving.com/community/c6h527320s1_a2b2c2abc4_two_inequalities_sm >>77
(3) はイランMO-2002、A16 かな？
Solution 見ても出典が無い。ほんとに KoMaL
「博士の愛した不等式」慎重文庫（2005） >>76
〔B.3987.改〕
k≦L のとき、Ｐ_k・Ｐ_L ≦ Ｐ_{k-1}･Ｐ_{L+1} >>66 下
a+b-c=z，b+c-a=x，c+a-b=y とおく。(*)
x,y,zは任意の正数。
a+b+c = x+y+z,
xy = cc-(a-b)^2 ≦ cc,
yz = aa-(b-c)^2 ≦ aa,
zx = bb-(c-a)^2 ≦ bb,
log（左辺）= a log(z）+ b log(x）+ c log(y)
= (y/2)log(yz) + (z/2)log(zx) + (x/2)log(xy)
≦ y log(a) + z log(b) + x log(c)
≦ a log(a) + b log(b) + c log(c) （←チェビシェフ）
= log（右辺）, >>69
[第5章.667]
a+b+c+d = s，ab+ac+ad+bc+bd+cd = t，abc+abd+acd+bcd = u とおく。
2tt - (9/2)su =（ab-cd)^2 + (ac-bd)^2 + (ad-bc)^2 + (1/4)(aa+bb)(c-d)^2 + … ≧ 0,
2st - 12u =（a+b)(c-d)^2 + (a+c)(b-d)^2 + … + (c+d)(a-b)^2 ≧ 0,
∴ 2t^3 ≧ 27uu, 〔B.3987.改〕の略証を
>>76
a_2 + a_3 + … + a_k = s とおく。
(a_1+a_2+…+a_k)(a2+a3+…+a(k+1)) = (a_1 + s)(s + a_(k+1)) > s{a_1 + s + a_(k+1)}
巡回的に掛ける。
>>79
k=L のときは >>76
k<L のときも
{Ｐ_k Ｐ_L}/{Ｐ_(k-1) Ｐ_(L+1)｝=｛(Ｐ_k)^2/Ｐ_(k-1)Ｐ_(k+1)}×{(Ｐ_(k+1))^2/Ｐ_k Ｐ_(k+2)}×
…… ×{(Ｐ_L)^2/Ｐ_(L-1)Ｐ_(L+1)} > 1, >>69
[第2章.144]
0 ≦ a ≦b,c としてよい。
4(a+b+c)^3 - 27(aab+bbc+cca+abc) = 9a(aa+bb+cc-ab-bc-ca) + (4b+c-5a)(a+b-2c)^2 ≧0,
等号成立は (a,b,c) = (0,2/3,1/3) とその rotation
カナダMO-1995 A.5
安藤哲哉：「不等式」数学書房（2012) 例題2.2.12(7) >>69
[第6章.908]
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc とおく。
st = (aaa+bbb+ccc)＋(abb+bcc+caa)＋(aab+bbc+cca) = S+p+q ≧ 3(Spq)^(1/3),
pq = T+uS+3uu ≧ 3(3STU)^(1/3) ≧ 3√(3SU),
∴ S+p+q ≧ 3(Spq)^(1/3) ≧ 3√(3Su),
ここに、S=aaa+bbb+ccc、T=(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3、U=(abc)^3.
Casphy!-不等式2-177 そういえば、数蝉2017.08のエレガント第２問が、関数の最大最小値問題だったね。締切まで答えは書けないけど。 学コンの答えを締切前に発表したら刑事事件に発展するの？
業務妨害？ ■■■輝かしい日本の未来の学問は、馬鹿板をしない国民一人一人が作るもの。■■■
￥ 学コン厨がage荒らしをして、￥が荒らす。
面白スレや数セミスレでもよく見かける数学板の風物詩。 ■■■輝かしい日本の未来の学問は、馬鹿板をしない国民一人一人が作るもの。■■■
￥ >>84 の訂正...
(a+b+c)(aa+bb+cc) = (aaa+bbb+ccc) + (abb+bcc+caa) + (aab+bbc+cca) = S+p+q ≧ 3(Spq)^(1/3), ◆◆◆馬鹿板をスルと脳が馬鹿汁漬けになってアホになります。そやし止めるべき。◆◆◆
￥ >>70 (2)
s = st/9 + 2s/3 ≧ u + 2√(t/3) = u + 2, ◇◇◇希望に満ちた明るい日本の将来は、馬鹿板を許さないネット社会の実現から。◇◇◇
￥ x,y,z>0に対して、{(x+y)/z}^3 + {(y+z)/x}^3 + {(z+x)/y}^3 ≧ 24
少しずつ未整理の不等式コレクションを整理中。相変わらず出典不明。
引越し前のダンボールから出てきた紙なので、2009～2010頃の入試問題だろうと思う。
もしかしたら海外の出題サイトから見つけたのかもしれないが…。
出典分かる人いたら教えて栗。
∩ _ _ ≡＝－
ミ(ﾟ∀ﾟ ) ≡＝－分数不等式！ 巡回不等式！ ﾋｬｯﾎｰ！
ミ⊃ ⊃ ≡＝－
（⌒ __)っ ≡＝－
し'´≡＝－ ◇◇◇希望に満ちた明るい日本の将来は、馬鹿板を許さないネット社会の実現から。◇◇◇
￥ 条件不等式のデータベースを作りたいね。
たとえば、上のような a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 かつ a,b,c>0 のときに成り立つ不等式がいろいろあるけど、
条件を代入して検索したら、それをみたす不等式がずらーっと出てくるような。 >>118
(誤) (7) 4(ab+bc+ca?abc) ≧ (a^2b+c)(b^2c+a)(c^2a+b)
(正) (7) 4(ab+bc+ca-abc) ≧ (a^2b+c)(b^2c+a)(c^2a+b) >>70
結局、a,b,c>0 かつ ab+bc+ca=3 のとき、a+b+c≧3 と 1≧abc が成立し、それをコッソリ使っていたのか…。
a+b+c ≧ 3 ≧ 2+abc
種明かしされると何でもないけど、a+b+c≧2+abc をパッと見たとき、次数を合わせるために、
左辺と右辺の第１項に ab+bc+ca、右辺第2項に 3 を掛けてみて…、ずっと悩んでいた。 >>70 の別解。
c = (3-ab)/(a+b) より、
(左辺)-(右辺) = [(ab-1)^2 + (a-1)^2 + (b-1)^2}/(a+b) ≧ 0. >>123
対称性を崩したくないのと、計算が面倒そうで、一文字消去は考えもしなかった。 >>118 (6)
最大になる位置は
（a，b，c）=（1.16745、1.83254、0）≒（7/6、11/6、0)
の辺りなので、
a+b≒3、b+c≒11/6、c+a≒7/6、
を利用して相乗-相加平均する。
（a+b)^(1/2）≦｛(a+b）+ 3}/(2 √3）= 0.288675（a+b）+ 0.8660254,
（b+c)^(1/3）≦｛(b+c）+(11/6)+(11/6)}/{3 (11/6)^(2/3)｝= 0.222528（b+c）+ 0.815935
（c+a)^(1/4）≦｛(c+a) +(7/6)+(7/6)+(7/6)}/{4 (7/6)^(3/4)｝= 0.222705（c+a）+ 0.7794674
（左辺）≦ 0.511380 (a+b+c) + 2.4614278 ≦ 3.995568 (← a+b+c≦3）
ただし、条件 a+b+c≦3 を使い、出題よりも広い範囲で考えている。
出題の最大値 ～ 3.9147720586
（a,b,c）=（1.17121、1.35653、0.396885） [2009 大阪教育大]
(1) 実数 a,b が、a>0、ab≧4 をみたすとき、a+b≧4 を示せ。
(2) 実数 x,y が、x>0、(x^8)(y-x^2)≧4 をみたすとき、x(x+y)≧4 を示せ。
(1)のヒントがなかったら、(2)はどうするんだろう。(1)があってもムズいが…。 >>136
(2)の結論の式は、等号は成り立たんよなあ。 ▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼
￥ >>136
(1) (a+b)^2 = 4ab + (a-b)^2 ≧ 4ab ≧ 4^2
(2) y ≧ xx + 4/x^8 = 4/x^3 + (x - 2/x^4)^2 ≧ 4/x^3,
x(x+y) ≧ x(x + 4/x^3) = xx + 4/xx = 4 + (x - 2/x)^2 ≧ 4, ▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼
￥ >>77
> a, b, c は a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 をみたす正の実数とする。
> (1) a+b+c ≧ ab+bc+ca
>
> 出典のmemoがないでござる。過去スレにあるかも…
過去スレを漁ってみたら、たぶん、以下の問題と混同してしまったっぽい。
条件式が ab+bc+ca+abc=4 で違う。申し訳ないでござる。
反例をうまく見つけられんけど、 a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 のときには成り立つのかな？
[不等式スレ第４章 701]
> 701 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2010/08/29(日) 23:19:11
> a,b,c≧0、ab+bc+ca+abc=4のとき、a+b+c≧ab+bc+caを示せ
> 「大学への数学 2010-7 宿題」
>
> （解1） b+c=s、bc=t とおくと、a=(4-s)/(1+t)で、
> 0 < t ≦ (s^2)/4 で f(t) = -t^2+(s-1)t+s^2-4s+4 ≧ 0 を示す
>
> （解2 >>143） a≦b≦c とおくと a≦1≦c で、
> a+b+c-(ab+bc+ca) = {ac(1-a)(c-1)+(a+c-2)^2}/(1+ac) ≧ 0
>
> 解説には、「今のところ対称性を崩さない綺麗なジャイアンは見つかっていない」とある ▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼
￥ [不等式スレ 第３章 343、第４章 627]
> cos(sinｘ)＞sin(cosｘ) をしめせ。 （xは任意の実数）
改造せずにはいられない。
-π/2 < x < π/2 のとき、cos(sin x) > cos x > sin(cos x)
∧,,∧
(；`・ω・） ｡･ﾟ･⌒） 不等式 改造するよ！！
/ ｏ━ヽニニフ))
しー-Ｊ ▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼
￥ >>77(4)
2+a = 1+1+a ≧ 3*a^(1/3)
2+b = 1+1+b ≧ 3*b^(1/3)
2+c = 1+1+c ≧ 3*c^(1/3)
∴(2+a)(2+b)(2+c) ≧ 27*(abc)^(1/3)
ところで、a,b,c>0 かつ a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 のときに、
「Easy to get that abc≦1」 とあるけど、どのようにして分かるんでせうか？
http://artofproblemsolving.com/community/c6h527320p2994128 ▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼
￥ >>155
|
＼ __ ／
＿ （ｍ） ＿ﾋﾟｺｰﾝ
|ミ|
／＿＿＿＼
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | ＜ 相加！ 相乗か！
ヽ::::... .ワ.....ノ >>77 (2)
改造せずにはいられない。
a^2 + b^2 + c^2 ≧ abc+2 ≧ ab+bc+ca ≧ abc
ﾟ･ ｡ ･｡
｡･ﾟ･⌒）
－＝≡ ｏ━ヽニニフ ))
－＝≡ ( ﾟ∀ﾟ)彡｡･ﾟ｡･⌒）
－＝≡ ⊂ ｏ━ヽニニフ ))
－＝≡ （ ⌒) 改造！ 改造！
－＝≡ c し' >>77 追加
a,b,c≧0、a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4のとき、
(8) bc/a + ca/b + ab/c + a + b + c ≧6
(9) sqrt(bc/a) + sqrt(ca/b) + sqrt(ab/c) ≧ sqrt(8+abc)
(10) sqrt(a/(bc)) + sqrt(b/(ca)) + sqrt(c/(ab)) ≧ 1 + 2/sqrt(abc)
https://artofproblemsolving.com/community/c6h527320s1_a2b2c2abc4_two_inequalities_sm
どうやるんだろう… >>153
各辺が周期πをもつばあいは、（最寄りの mπ から π/2 以内にあるとして）mπずらすことが可能でござる。
（オリジナルの周期は2πゆえ）たとえば絶対値を付けて
cos(sin(x)）≧｜cos(x)｜≧ ｜sin(cos(x))｜, >>153 （続き）
-π/2 ≦ x ≦π/2 に対して
cos(sin(x)）≧｜cos(x)｜≧｜sin(cos(x))｜
ゆえ、任意の実数に対して成り立つ。
左の等号 x=mπ
右の等号 x=mπ±π/2
〔類題〕
0.107126944873 ≦ cos(sin(x)）-｜sin(cos(x))｜≦ cos(1）～ 0.54030230
左の等号 x=mπ±0.692728570
右の等号 x=mπ±π/2 >>69 (1)
> 正の数 a,b,c に対して、
> (a+b+c)^5 ≧ 27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 +ca^2)
基本対称式 s,t,u に置き換えても、うまく証明できんでござる。 >>160 (9)(10)
sqrt(x)は上に凸だから、Jensenは使えんのよなあ。 [不等式 第7章]
> 241 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2014/09/18(木) 00:44:36.72
> 0<x<y<π/2の時
> (tanx/x)^x+(siny/y)^y<(tany/y)^y+(sinx/x)^x
> を示せ
これも証明できていない… ASU 1969.14 の巡回不等式を探そうとしたら消えていた。他も殆ど見れなくなっている… ('A`)ｳﾞｫｴｧ！
https://mks.mff.cuni.cz/kalva/index2.html >>69 (1)
>>163
0 ≦ a ≦ b, c としてよい。
この場合は基本対称式よりも b+c-2a = x の方がいいんぢゃね？
(左辺）=（a+b+c)^5 =（3a+x)^5
= 243a^5 + 405a^4x + 270aaaxx + 90aaxxx + 15ax^4 + x^5,
ab+bc+ca = 3aa + 2a(b+c-2a）+（b-a)(c-a）≦ 3aa + 2ax +（1/4)xx,
abb+bcc+caa = 3aaa+3aa(b+c-2a)+a(b+c-2a)^2+(b-a)(c-a)^2 ≦ 3aaa+3aax+axx+(4/27)xxx,
(右辺)=27(ab+bc+ca)(abb+bcc+caa)≦243a^5+405a^4x+(1053/4)aaaxx+(345/4)aaxxx+(59/4)ax^4+x^5,
(左辺）-（右辺）≧ a(27aa+15ax+xx)xx/4 ≧ 0, >>69 (1)
>>163
3a = A, b+c-2a = x とおくと…
(左辺)/243 =｛(a+b+c)/3}^5 =（A+x)^5
= A^5 + 5A^4･x + 10AAAxx + 10AAxxx + 5Ax^4 + x^5,
ab+bc+ca ≦ {AA + 2Ax + (3/4)xx}/3,
abb+bcc+caa ≦｛AAA +3AAx +3Axx +(4/3)xxx}/9,
(右辺)/243 = (ab+bc+ca)(abb+bcc+caa)/9
≦ A^5 + 5A^4･x +（9.75)AAAxx +（9.58333…)AAxxx +（4.91666…)Ax^4 + x^5,
(左辺）-（右辺）≧ A(3AA+5Ax+xx)xx/12 ≧ 0,
>>167 と同じだが… >>137
x(x+y) ≧ 4.283918322582003
（x=1.1960916895833343 y=2.3855052397246037)
3x^10 + 2x^9 - 28 = 0 の正根 >>167
さんくす。今夜読んでみます。
Shapiroの巡回不等式のn=6のときの証明を、>>2 [4] を見ながらやってみたけど、途中で詰まったでござる。
n=3のときは、f(x)=x/(s-x) に Jensenでok? >>170
>>2 [3] 「不等式への招待」(1987）p.28-30 を読むと
B_i = x_{i+1} + x_{i+2}
とおく。ただし x_{n+1} = x_1, x_{n+2} = x_2
コーシーより
Σ[i=1,n] x_i / B_i ≧ (Σ[i=1,n] x_i)^2 / ｛Σ[j=1,n] x_j B_j｝,
ゆえ
(Σ[i=1,n] x_i)^2 -(n/2)Σ[j=1,n] x_j B_j ≧ 0
を言えばよい。
n=3,5 の場合は
{1/(n-1)}Σ[1≦i<j≦n] (xi-xj)^2 ≧ 0,
n=4 のとき
(x1-x3)^2 + (x2-x4)^2 ≧ 0,
n=6 のとき
(1/2){(y1-y2)^2 + (y2-y3)^2 + (y3-y1)^2} ≧ 0,
ここに、y1=x1+x4、y2=x2+x5、y3=x3+x6
と思うけど… >>170
n=3（Nesbitt）の方はそれで おk ですね。ほかにも
a/(b+c）=（1/2){(a+b)/(b+c) -1 +(c+a)/(a+b)}
を巡回的にたして相加-相乗平均する。
a/(b+c）=（a+b+c)/(b+c） - 1
を巡回的にたして相加-調和平均する。
など種々ありますね。
http://mathtrain.jp/nesbitt ピコーン太郎が歌う…
I have a function u(x) which satisfies｛p1(x) u '(x)｝' + q1(x)u(x) = 0.
I have a function v(x) which satisfies｛p2(x) v '(x)｝' + q2(x)v(x) = 0.
mmmmmmmmmmmmmm
Picone identity
{1/u(x)^2}{u(x)[p1(x)u '(x) - p2(x)u(x)v'(x)/v(x)]} ' = {q2(x)-q1(x)} + {p1(x)-p2(x)}{u '(x)/u(x)}^2 + p2(x){u '(x)/u(x) - v '(x)/v(x)}^2, >>167-168
難しいです…。 検索して別のを見つけたが、bを中央の項としたとき、
なぜ 4(a^2+ac+c^2)(ab+bc+ca) ≦ (a+c)^2*(a+b+c)^2 となるのか分かりませぬ。
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1235638p6275527
さらに強い不等式が載っている。
a,b,c>0 のとき、108(a+b+c)^5 ≧ (ab+bc+ca)(3125(a^2b+b^2c+c^2a)-627abc)
>>171
n=6の式変形が神。
分かってて変形しないと出来そうにない。 ★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
￥ >>62-63
小野ちゃんの不等式から、三角形絡みの不等式を検索して、フランダースの不等式に辿り着いた。
ところが過去スレを検索すると、既に初代スレに載っていたでござった…。全く記憶にござらぬ…。
[不等式 第1章]
> 668 名前：580[sage] 投稿日：04/11/22(月) 11:39:24
> 【補題】A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、
> 0 < sin(A)sin(B)sin(C) ≦ {(3√3)/2π}^3 ABC ≦ (3√3)/8.
> -1 < cos(A)cos(B)cos(C) ≦ [1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)] ≦ 1/8.
>
> フランダースの不等式 とか言うらしい．．．
> http://mathworld.wolfram.com/FlandersInequality.html
> ぬるぽ
,.-─-、
/ /_wゝ-∠l
ヾ___ノ,. - >
/|／（ヽY__ノﾐ
.{ rｲ ノ
パトラッシュ、疲れたろう。
僕も疲れたんだ…
何だかとても眠いんだ…パトラ… ★★★忖度と処世術に汚染された日本人：権威主義的な支配と損したくない人達★★★
～～～芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか～～～
佐藤幹夫：自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄：人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。
隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国？
（佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが）芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載され
さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ～～～
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、
『売れさえすれば学生の脳の質なんて何でもヨロシ』と居直る大学。そしてブランド名
だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろｗｗｗ
中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、
そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の
遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。
近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が
跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。
■■■馬鹿板をスルと稲田朋美みたいな嘘吐きになります。そやし止めなさい。■■■
￥ ★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
￥ ageるとコピペ荒らしが来るから、sage進行で行きましょう。
まぁ Jane Style を使っているから、荒らし自体は あぼーんされて見えないけど、
無駄にレスが消費されて、すぐに次スレを立てないといけなくなるから。 >>188
Wlog、bを中央の項として、
c(a-b)(b-c)≧0 ⇔ b(a^2+ac+c^2) ≧ a^2b+b^2c+c^2a
(a+b+c)^5
＝ (1/8)*{2b + (a+c) + (a+c)}^3*(a+b+c)^2
≧ (27/4)*b(a+c)^2*(a+b+c)^2
＝ (27/4)*b*{(a^2+ac+c^2) + (ab+bc+ca)}^2
≧ 27b(a^2+ac+c^2)(ab+bc+ca)
≧ 27(a^2b+b^2c+c^2a)(ab+bc+ca)
┏━━━┓
┃ Q.E.D. ┃
┗━┳━┛
( ﾟ∀ﾟ) ノ >>184
> さらに強い不等式が載っている。
> a,b,c>0 のとき、108(a+b+c)^5 ≧ (ab+bc+ca)(3125(a^2b+b^2c+c^2a)-627abc)
難しすぎて ｽﾞｺｰ
∧∧
ヽ(･ω･)/
＼(.＼ ノ
､ﾊ,,､ ￣
￣ ★★★忖度と処世術に汚染された日本人：権威主義的な支配と損したくない人達★★★
～～～芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか～～～
佐藤幹夫：自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄：人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。
隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国？
（佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが）芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載され
さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ～～～
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、
『売れさえすれば学生の脳の質なんて何でもヨロシ』と居直る大学。そしてブランド名
だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろｗｗｗ
中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、
そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の
遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。
近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が
跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。
■■■馬鹿板をスルと稲田朋美みたいな嘘吐きになります。そやし止めなさい。■■■
￥ >>184
(a+c)(a+b+c) = (aa+ac+cc) + (ab+bc+ca）だから
{(a+c)(a+b+c)}^2 ≧ 4(aa+ac+cc)(ab+bc+ca).
bが a,c の中間になくてもいいんぢゃね？ >>184 >>202
3a=A、b-a=y、c-a=z とおく。（x=y+z)
a+b+c = A+x,
ab+bc+ca =（AA +2Ax +3yz)/3,
abc = (AAA +3AAx +9Ayz)/27,
aab+bbc+cca = (AAA +3AAx +3Axx +9yyz)/9,
(a+b+c)^5 = (A+x)^5 = A^5 + 5A^4･x + 10AAAxx + 10AAxxx + 5Ax^4 + x^5,
27(ab+bc+ca)(abb+bcc+caa) = A^5 + 5A^4･x + AAA(9xx+3yz) + AA(6xxx+9xyz+9yyz) + A(9x+18y)xyz + 27yyyzz,
81(ab+bc+ca)abc = A^5 + 5A^4･x + AAA(6xx+12yz) + 27AAxyz + 27Ayyzz + 0,
A^i の係数の差（A^0 の項が 27yyyzz ≦ (2916/3125) x^5 であること等）を考慮して適当な重みを定める。 ★★★忖度と処世術に汚染された日本人：権威主義的な支配と損したくない人達★★★
～～～芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか～～～
佐藤幹夫：自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄：人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。
隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国？
（佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが）芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載され
さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ～～～
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、
『売れさえすれば学生の脳の質なんて何でもヨロシ』と居直る大学。そしてブランド名
だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろｗｗｗ
中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、
そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の
遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。
近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が
跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。
■■■馬鹿板をスルと稲田朋美みたいな嘘吐きになります。そやし止めなさい。■■■
￥ >>71 (4)
AM-GMを2回。ユルユルでござった。改造の余地ありまくリング。
>>225
>>201のようなカラクリはないのかな？
>>166
> 14. Prove that for any positive numbers a1, a2, ... , an we have:
> a1/(a2+a3) + a2/(a3+a4) + ... + an-1/(an+a1) + an/(a1+a2) > n/4
http://webee.technion.ac.il/people/aditya/www.kalva.demon.co.uk/soviet/sov69.html
Shapiroよりユルユルだから、エレガントな証明方法があるんかなあ？ >>227
>>225 のようにバラバラに砕いたのは、「エレガントなカラクリ」を知らぬが故でござる。（最終兵器）
ご存知なれば、伝授願いたいぐらい。
14.
[初代スレ.497-502] のことでござるか？
されば n/3 に改良する習わし也。
(補題)
a/(b+c) +2b/(c+d) > (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) -1. >>227 （続き）
14. Shapiro
[初代スレ.497-502]
[第2章.284-285]
[第3章.172-173, 218-220]
[第4章.463-470]
n≦6の解法
[第2章.889-890]
[第8章.170-172] 作ってみたけど、簡単な証明あるかな？ ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
a,b,c>0 に対して、{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^2 ≧ 3(a+b+c)/2 >>230
(解1)
a+b+c=s とおく。
f(X) = X/√(s-X）= s/√(s-X) - √(s-X）
は下に凸ゆえ Jensen で
f(a）+ f(b）+ f(c）≧ 3f(s/3）= √(3s/2),
(解2)
x=b+c, y=c+a, z=a+b とおく。
a/√(b+c）=（y+z-x)/(2√x）≧｛2√(yz) -x}/(2√x),
したがって、
a/√(b+c）+ b/√(c+a）+ c/√(a+b)
≧｛√(yz/x）+ √(zx/y）+ √(xy/z)}/2 …(*)
= (xy+yz+zx)/(2√xyz),
(左辺) ≧ (xy+yz+zx)^2 /(4xyz）≧ 3(x+y+z)/4 …(**)
= 3(a+b+c)/2,
*）｛√(yz）-x}/√x +｛√(zx）-y}/√y +｛√(xy）-z}/√z
=｛(xy+yz+zx）-x√(yz) -y√(zx）-z√(xy)}/√(xyz)
=｛x(√y-√z)^2 + y(√z-√x)^2 + z(√x-√y)^2}/(2√xyz)
≧0,
**）（xy+yz+zx)^2 - 3xyz(x+y+z）=｛xx(y-z)^2 + yy(z-x)^2 + zz(x-y)^2｝≧ 0, さて、本題に戻って…
(a+b+c)^5 ≧（ab+bc+ca）｛27(K+1)(aab+bbc+cca) -81K･abc｝
とおいて、A^i の係数を求めます。 >>225
A^3 の係数から
K ≦ 1/3,
A^2 の係数から
K ≦ 0.182688493788
（等号成立は y/z = 1.52984518）
A^1 の係数から
K ≦ 0.07648328329
（等号成立は y/z = 1.5765615）
A^0 の係数から
27yyyzz = (2916/3125)(5y/3)^3 (5z/2)^2 ≦ (2916/3125)(y+z)^5 = (2916/3125）x^5,
K ≦（3125/2916）- 1 =（209/2916）= 0.0716735…
（等号成立は y/z = 3/2）
なんか上限がだんだん下がって来て窮屈ですが･･･
K =（209/2916）とすれば OKです。
------------------------------------------------
（訂正）
27（ab+bc+ca) (aab+bbc+cca）= A^5 + 5A^4･x + … >>232
さすがなり。 >>230の元になった問題は以下。
https://math.stackexchange.com/questions/1483425/olympiad-inequality-problem-with-abcabc-4?rq=1
a,b,c>0、a+b+c+abc=4 に対して、
(ab+bc+ca)*{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^2 ≧ (1/2)*(4-abc)^3
条件 a+b+c+abc=4 は、右辺を難しそうに見せるだけのノイズと見て削除して、
a,b,c>0 に対して、
(ab+bc+ca)*{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^2 ≧ (1/2)*(a+b+c)^3
これは一般化されたヘルダーの不等式から出てくるが、他に易しい証明ないかな？
この右辺を弄って >>230 を得る。 >>234
> a,b,c>0 に対して、
> (ab+bc+ca)*{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^2 ≧ (1/2)*(a+b+c)^3
>
> これは一般化されたヘルダーの不等式から出てくるが、
について、蛇足。
{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}^(1/3)*{ a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) }^(2/3) ≧ a+b+c >>225 >>233
参考のため残しておきまつ。
(a+b+c)^5 -（ab+bc+ca){27(1+K)(aab+bbc+cca）- 81K･abc｝における
A^3 の係数：
(1-3K)(yy-yz+zz),
A^2 の係数：
(4-6K)yyy -（6+9K)yyz + 3yzz +（4-6K),
A^1 の係数：
5y^4 -（7+27K)y^3･z -（6+9K)yyzz + (11-9K)yz^3 + 5z^4,
A^0 の係数：
(y+z)^5 - 27(1+K)yyyzz,
y≧0、z≧0 において上記がすべて非負となるような K≧0
を取れば十分でござる。
（x=y+z を使った） >>234-235
コーシーで一発でしたか... 参ったでござる。 >>184 >>201 >>214 を改造...
a+b+c = s、ab+bc+ca = t とおく。
{(a+c)s}^2 - 4(aa+ac+cc)t = (aa+ac+cc - t)^2 = δ
ss - 3t =｛(a-c)^2･t + δ}/(a+c)^2 ≧ t|(a-c)/(a+c)|^2, >>232
> *）｛√(yz）-x}/√x +｛√(zx）-y}/√y +｛√(xy）-z}/√z
｛2√(yz）-x}/2√x +｛2√(zx）-y}/2√y +｛2√(xy）-z}/2√z を計算しないといけないのでは？ 0 ≦ x ≦ π/2 に対して、2^{(sin x)*(cos x)} ≦ sinx + cos x ≦ sqrt(2) >>240 をプチ改造。
> 0 ≦ x ≦ π/2 に対して、2*sqrt{(sin x)*(cos x)} ≦ 2^{(sin x)*(cos x)} ≦ sinx + cos x ≦ sqrt(2) >>238
（大意）
ss/t の値は、a,b,c が似たり寄ったりのときは3よりチョト大きいだけだが、
a,b,c が極端に違うときは（2変数値の）4に近いよ。
>>239
略しすぎた…
{2√(yz) -x}/(2√x） = ｛√(yz)}/(2√x） + ｛√(yz) - x}/(2√x),
のように分けたのでござる。
後ろの項は 巡回和すれば ≧0 でござる。(*)
ついでながら（**）の方も 1/2 が抜けてますな。トホホ >>240-241
t = 2sin(x)cos(x）とおくと、0≦t≦1
一方、f(t）= 2^t は下に凸で f(0)=1, f(1)=2, f(2)=4 を通る。
0≦t≦1 では
（t=1、t=2 の割線）より上で、（t=0、t=1 の割線）より下。
∴ 2t ≦ f(t) ≦ 1 + t ≦ 2,
4sin(x)cos(x）≦ 2^{2sin(x)cos(x)｝≦ 1 + 2sin(x)cos(x）≦ 2,
各辺≧0 ゆえ平方根をとる。 >>243
実にエレガント！
元ネタは [数蝉NOTE (2005.08締切分)]
x, y≧0 かつ x^2 + y^2=1 のとき、2^(xy) ≦ x+y ≦ sqrt(2).
まず、0 ≦ (x-y)^2 = 1-2xy より、0 ≦ xy ≦ 1/2 だから、
右 ： (x+y)^2 = 1+2xy ≦ 2.
左 ： (x+y)^{1/(xy)} = (1+2xy)^{1/(2xy)} ≧ 1 + 2xy*{1/(2xy)} = 2.
ベルヌーイの不等式を用いて、鶏を割くに焉んぞ牛刀を用いん…。 まぁ、いろんな証明方法が身につくから褒め言葉なんですがね → 牛刀。 おめでとう
君は質問スレと面白スレの次くらいに人がいるスレを見つけた！！ >>248
上げるなよ。コピペ荒らしの被害を受けるだろうが！ 迷惑な奴め！ どうしてそういう嫌がらせをするのかな？ やる気なくすわ…。 〔問題1.96改〕
x, y, z ≧ 0 のとき
x^3 + y^3 + z^3 -3xyz ≧ 4|(x-y)(y-z)(z-x)|,
ルーマニアMO-2007（改）
［9］ 佐藤、演習問題1.96（改） >>2
-------------------------------
（略証）
yはxとzの中間にあるとする。
（x-y)(y-z）≧0,
xx+yy+zz-xy-yz-zx =（x-y)^2 +（x-y)(y-z）+（y-z)^2,
x+y+z ≧ |x-y| + |y-z| + min｛|x-y|，|y-z|｝,
辺々掛けて
x^3 + y^3 + z^3 -3xyz ≧（|x-y| + |y-z|)^3
= |x-z|^3
≧4|(x-y)(y-z)(z-x)|, 〔楠瀬の不等式〕
x, y, z≧0 のとき
x^3 + y^3 + z^3 -3xyz ≧ k｜(x-y)(y-z)(z-x)｜,
但し k = √(9+6√3）= 4.403669475･････
数セミ創刊30周年記念『エレガントな問題をもとむ』【優秀賞】受賞問題２
出題： 1992年4月, p.79
解説： 1992年7月, p.59-60
[初代スレ.836-869] なんで k の値が、上では 4 なのに、下では4より大きくなってるん？ 上では等号は成立しないの？ >>263
>>261 は少しユルいのですが、簡単・便利な式です。
x=y=z のときは等号が成立します。
>>262 のkの値は「限界」で、もうこれ以上改良できません。 今高2で不等式をうまく使えるようになりたいのですが不等式の入門書？的なものはありますか？
一応高校数学の範囲は全部終わっています ＃＃＃政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。＃＃＃
￥ >>265
馬鹿がageるから、コピペに荒らされる・・・ ＃＃＃政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。＃＃＃
￥ 中身のある書き込みがあると 中身のないレスでageる奴が現れるような気がする。 今高2で不等式をうまく使えるようになりたいのですが不等式の入門書？的なものはありますか？
一応高校数学の範囲は全部終わっています 今高2で不等式をうまく使えるようになりたいのですが不等式の入門書？的なものはありますか？
一応高校数学の範囲は全部終わっています 今高2で不等式をうまく使えるようになりたいのですが不等式の入門書？的なものはありますか？
一応高校数学の範囲は全部終わっています >>262
以前>>261を改良して得たけど既にやられてたんだね
エレガントな解放が知りたい >>261
まずココが分かりません。
> x+y+z ≧ |x-y| + |y-z| + min｛|x-y|，|y-z|｝
次にココ。辺々掛けたら |x-y|^3 + |y-z|^3 + C にならないかな？
> 辺々掛けて x^3 + y^3 + z^3 -3xyz ≧（|x-y| + |y-z|)^3
最後にココ。AM-GMでもないし何だろう？
> |x-z|^3 ≧ 4|(x-y)(y-z)(z-x)| ＃＃＃政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。＃＃＃
￥ >>299
それでは｜x-y｜= a，｜y-z｜= b とおきましょう。
まず
0≦x≦y≦z のとき
x+y+z = 3x + 2(y-x）+（z-y）≧ 2(y-x）+（z-y) = 2a + b,
x≧y≧z≧0 のとき
x+y+z =（x-y）+ 2(y-z）+ 3z ≧（x-y）+ 2(y-z）= a + 2b,
次に、辺々掛けると
(2a+b)(aa+ab+bb）= a^3 +（a+b)^3 ≧（a+b)^3,
(a+2b)(aa+ab+bb）=（a+b)^3 + b^3 ≧（a+b)^3,
最後は、
(a+b)^2 = 4ab +（a-b)^2 ≧ 4ab, ＃＃＃政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。＃＃＃
￥ ＃＃＃政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。＃＃＃
￥ ageる奴ってほんま糞だな
ケツに「＞」をぶち込んで拡張してやりたい ＃＃＃政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。＃＃＃
￥ [数蝉2014.07, p.51]
△ABCに対して、
|sin (A-B)/2|*(cos A/2)*(cos B/2) + |sin (B-C)/2|*(cos B/2)*(cos C/2) ≧ |sin (C-A)/2|*(cos C/2)*(cos A/2)
○ < ｼｮｳﾒｲ ｽﾙﾏﾃﾞ ｱｶﾞｯﾃ ｸﾙﾅ！
く|)へ
〉 ヾ○ｼ
￣￣７ ヘ/
/ ノ
｜
／
`｜
／ 任意の実数 x, y に対して、(1 + x^2 + y^2)/{1 + x^2 + (x-y)^2} の最大値を求めよ。
Σ○
く|）へ。
〉 〉
￣￣ ○ﾉ 道連れｯﾎｫｫ！
. / <ヽ
| /, |
／
|
／ >>349
φ =（1+√5)/2 = 1.618034 とおくと、
φ(1+xx+yy）-（φ-1){1+xx+(x-y)^2｝= 1 + (x/φ + y)^2 ≧ 1,
上限は
（1+xx+yy)/{1+xx+(x-y)^2｝＜ φ/(φ-1）= φ+1 = （3+√5)/2,
なお、蛇足だが
φ{1+xx+(x-y)^2｝-（φ-1)(1+xx+yy）= 1 + (φx - y)^2 ≧ 1,
下限は
（1+xx+yy)/{1+xx+(x-y)^2｝＞（φ-1)/φ = 2-φ = (3-√5)/2, >>350 訂正
次の同値な2式を入れ替えてください。
φ{1+xx+(x-y)^2｝-（φ-1)(1+xx+yy）= 1 + (φx - y)^2 ≧ 1,
φ(1+xx+yy）-（φ-1){1+xx+(x-y)^2｝= 1 + (x/φ + y)^2 ≧ 1,
ｽﾏｿ. 最大最小といえば、高校のときに解けなかった以下を思い出す。係数はうろ覚え。
任意の実数 x, y に対して、(x+2y+3)/(x^2 + 2y^2 + 3) のとりうる値の範囲を求めよ。
￣￣ ＼○ﾉ ﾃｦ ﾊﾅｾ！
. / <ヽ
| / |
／ (○ﾉ ｺﾄﾜﾙｯ！
| ( )
／ / | >>352
(xx+2yy+3) - 2(√2 -1)(x+2y+3) = (x+1-√2)^2 + 2(y+1-√2)^2 ≧ 0,
(xx+2yy+3) + 2(√2 +1)(x+2y+3) = (x+1+√2)^2 + 2(y+1+√2)^2 ≧ 0,
両辺を xx+2yy+3 >0 で割って
-(√2 -1)/2 ≦ (x+2y+3)/(xx+2yy+3) ≦ (√2 +1)/2,
でござるか。 [元ネタ不明]
任意の実数 x, y, z に対して、次式の最小値を求めよ。
sqrt{x^2 + (y-1)^2} + sqrt{y^2 + (z-1)^2} + sqrt{z^2 + (x-1)^2}
ｳﾘｬｯ！
Oノ
. ノ＼＿・'ヽO．
└ ＿ノ ヽ
〉
ヾ○ｼ
￣￣７ ヘ/
/ ノ
／
|
／ >>353
3(xx+2yy) = (x+2y)^2 + 2(x-y)^2 ≧（x+2y)^2,
等号成立は x=y のとき。
x+2y+3 = s とおくと、
（分母）≧（ss-6s+18)/3,
-(√2 -1)/2 ≦ 3s/(ss-6s+18）≦（√2 +1)/2,
でも出ますが... >>355
√{xx + (1-y)^2｝≧（|x｜+｜1-y|)/√2、etc.
等号成立は｜x|=|1-y|、|y|=|1-z|、|z|=|1-x|
△不等式 ｜x｜+｜1-x｜≧ 1、etc.
等号成立は 0≦x,y,z≦1
より、3/√2。（x=y=z=1/2のとき） 0 ≦ x, y, z ≦1 のとき、(x+y+z)/3 + sqrt{x(1-x) + y(1-y) + z(1-z)} の最大値を求めよ。
Σ○
ノ(）へ。
〉 〉
￣￣ ＼○ﾉ 道連れｯﾎｫｫ！
/ ( )
| / |
／ (○ﾉ ﾋｬｯﾎｫｫｫｩ！
| ( )
／ / | 巡回不等式のコレクションが少ないことに気づいた2017の夏。
正の数 a, b, c に対して、a^3/b^2 + b^3/c^2 + c^3/a^2 ≧ a+b+c を示せ。
￣￣ ＼○ﾉ ﾃｦ ﾊﾅｾ！
. / <ヽ
| / |
／ (○ﾉ ｺﾄﾜﾙｯ！
| ( )
／ / |
(○ﾉ ｻﾞｹﾝﾅﾖ！
( )
/ | >>358
相加平均（x+y+z)/3 = A とおくと、0≦A≦1.
x(1-x）+ y(1-y）+ z(1-z）
=（x+y+z）- (xx+yy+zz）
≦ 3(1-A）・A (←1変数）
≦｛[3(1-A）+ A]/2}^2
≦｛(3-2A)/2}^2
(左辺）≦ A +（3-2A)/2 = 3/2,
等号成立は 3(1-A)=A、A=3/4、x=y=z= 3/4 のとき
>>359
｛a^n，b^n，…，b^n｝の相加-相乗平均で
a^n +（n-1)b^n ≧ na･b^(n-1),
（a^n)/b^(n-1）≧ na - (n-1)b,
巡回的にたす。 >>360
さりげなく一般化とは、やはり神！
正の数 a, b, c に対して、a^n/b^(n-1) + b^n/c^(n-1) + c^n/a^(n-1) ≧ a+b+c.
気になるのは、
(1) Σ[cyc] a^(n+1)/b^n と Σ[cyc] a^n/b^(n-1) の大小
(2) Σ[cyc] a^(n-1)/b^n と 1/a + 1/b + 1/c の大小
(1)も(2)も≧が成り立ちそうな気がするけど、証明できていませぬ。 最大最小値問題を１変数にしたら、何通りくらいの解法があるのでせう？
任意の実数 x に対して、(5-2x)/(x^2 - 4x + 6) のとりうる値の範囲を求めよ。
ﾊﾟｷｯ
￣`;:'.￣ ＼○ﾉ
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/ | >>338
sin(a-b)cos(a)cos(b）+ sin(b-c)cos(b)cos(c）+ sin(c-a)cos(c)cos(a) + sin(a-b)sin(b-c)sin(c-a)
| sin(a-b)，-cos(c)，cos(c)｜
= | cos(a)，sin(b-c)，-cos(a)｜
| -cos(b)，cos(b)，sin(c-a)｜
= 0,
を利用するか…？ >>362
（5-2x)/(xx-4x+6）= 1 -（x-1)^2/(xx-4x+6) ≦ 1,
（5-2x)/(xx-4x+6）= -1/2 +（x-4)^2/{2(xx-4x+6)} ≧ -1/2,
等号成立はそれぞれ、x=1、x=4. >>361
(1）（a^n)/b^(n-1）は a^(n+1)/(b^n）(n-1)個と a 1個の相乗平均だから明らか。
ついでに、｛a^n，…，a^n，b^n｝で相加-相乗平均すると、
n a^(n+1) + b^(n+1) ≧ (n+1)(a^n)b,
n a^(n+1)/(b^n) ≧（n+1)(a^n)/b^(n-1) - b,
循環的にたすと
n S_(n+1) ≧（n+1)S_n - S_1,
{S_(n+1）- S_1}/(n+1）≧（S_n - S_1)/n,
（S_n - S_1)/n も単調増加。
* (a^n)/b^(n-1）は a^(n+1)/(b^n）(n-1)個と a 1個の相乗平均だが。
(2) a = 1/A、b = 1/B、c = 1/C とおくと… >>363
[数蝉2014.07, p.51,NOTE] の前のページで証明されていた不等式が以下。
実数 x, y, z >0 に対して、|(x-y)/(x+y)| + |(y-z)/(y+z)| ≧ |(x-z)/(x+z)| …(★)
これをRavi変換 （a=y+z、b=z+x、c=x+y）すると、次の不等式になる。
三角形の辺長a,b,cに対して、ab|a-b| + bc|b-c| ≧ ca|c-a|…(★★)
これを a, c に関する対称性から a≦c として、bの位置を３通りに分けて証明。
正弦定理と２倍角の定理で書き直すと、次のようになって不等式が得られるみたい。
ab|a-b| = 32R^3 (sin A/2)*(sin A/2)*(sin A/2)*(cos A/2)*(cos B/2)*|sin (A-B)/2|
この不等式をNOTEに投稿した人のコメントに、(★)の元ネタが考古学の本とある。
「新井宏、理系から見た考古学の論争点、大和書房、2007」
不等式のネタが他にもあるかもしれないと思い、図書館や書店を探したが無かった。←今ココ。
ところで、(★★)を弄って、何か不等式が作れないかなと弄ったことがある。たとえば次式とか。
ab|a-b| + bc|b-c| + ca|c-a| ≧ k(a+b+c)
2014の夏ってことは、もう3年前の話になるのか。今考えたら、両辺の次数が合わないから無理やん…。
3乗にするか？ >>365
> （a^n)/b^(n-1）は a^(n+1)/(b^n）(n-1)個と a 1個の相乗平均
ﾑﾑﾑ、ｽｺﾞｽｷﾞﾙ…。
> 循環的にたすと n S_(n+1) ≧（n+1)S_n - S_1,
これから (S_n)/n は単調減少も出るでござるな。
これを差の形にして、nを 1,2,…,n-1として和を取り、右辺を部分分数分解して計算したら、
(S_n)/n ≧ s_1/n
となって、何も得られなかったでござる…。 >>367
すまん、「これから (S_n)/n は単調減少も出るでござるな。」は勘違いですた。 >>366
（x-y)/(x+y）+（y-z)/(y+z）+（z-x)/(z+x）+（x-y)(y-z)(z-x)/{(x+y)(y+z)(z+x)}
｜(x-y)(x+y)， -1， 1｜
= ｜ 1，(y-z)/(y+z)， -1｜
｜ -1， 1，(z-x)/(z+x)｜
= 0,
ab(a-b）+ bc(b-c）+ ca(c-a）+（a-b)(b-c)(c-a）=
｜a-b，c，-c ｜
= ｜-a，b-c，a ｜
｜ b，-b，c-a｜
= 0,
でござるか…？ (1) 任意の実数 a, b, c に対して次の不等式が成り立つような実数 k の最小値は？
|ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)| <= k (a+b+c)^3
(2) 実関数 f(a,b,c)=ab|a-b|+bc|b-c|+ca|c-a| は (a+b+c)^3 で上から、下からいぜれも抑えられないことを示せ。 コレクションの中に、以下を発見。年度不明の学習院大ってmemoがあるが…。
三角形の３辺の長さ a, b, c に対して、a^2b(a-b) +b^2c(b-c) + c^2a(c-a) ≧0. >>371
a=y+z，b=z+x，c=x+y とおく。（Ravi変換）
(左辺) = 2{xy^3 +yz^3 +zx^3 -xyz(x+y+z)}
= 2xy(y-z)^2 + 2yz(z-x)^2 + 2zx(x-y)^2
≧ 0.
IMO-1983
佐藤［9］演習問題2.24
[第6章.793(71)，828，833] >>365 の続き
* (a^n)/b^(n-1）は a^(n+1)/(b^n）(n-1)個と a 1個の相乗平均だが、
それで（1）が明らかなワケではない。
相加-相乗平均
n(3n+1）a^(n+1)/(b^n）+（n+1）b^(n+1)/(c^n）+ n c^(n+1)/(a^n）≧（3nn+3n+1）a^n/b^(n^1),
を巡回的にたす。 >>373
> * (a^n)/b^(n-1）は a^(n+1)/(b^n）(n-1)個と a 1個の相乗平均だが、
> それで（1）が明らかなワケではない。
巡回的に加えて、(n-1)*S_(n+1) + S_1 ≧ n*S_n
この左辺に、証明済みの S_(n+1) ≧ S_1 を使って終わりじゃないの？ >>370
勘違いとかあったから訂正
(1) a+b+c > 0 を満たす任意の実数 a, b, c に対して次の不等式が成り立つような実数 k の最小値は？
|ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)| <= k (a+b+c)^3
(2) a+b+c > 0 を満たす任意の実数 a, b, c に対して次の不等式が成り立つような実数 k の最小値は？
ab|a-b|+bc|b-c|+ca|c-a| <= k (a+b+c)^3
(3) a+b+c >0 上の実関数 f(a,b,c)=ab|a-b|+bc|b-c|+ca|c-a| は (a+b+c)^3 で下から抑えられないことを示せ。 >>2
> [3] 不等式への招待（数学ゼミナール６），大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年
数年ぶりに読み返してみた。傑作だな。神書だわ！ >>359
そのまま相加-相乗平均で
(n+1)^2 a^(n+1)/(b^n）+（n+1)n b^(n+1)/(c^n）+ nn c^(n+1)/(a^n）≧（3nn+3n+1)a,
巡回的にたして
S_(n+1）≧ S_1,
>>374 >>376
そうですね。 >>338
｜sin((A-B)/2)｜cos(A/2)cos(B/2）=｜sin(A-B）+ sin(A）- sin(B)｜/4
=｜sin(A-B)｜/4 +｜sin(A)-sin(B)｜/4
= sin｜A-B｜/4 +｜sin(A)-sin(B)｜/4，etc.
｜sin(x)｜+｜sin(y)｜≧｜sin(x)cos(y）+ cos(x)sin(y)｜=｜sin(x+y)|,
あとは△不等式で。 >>375
(1) k=8/27 なら余裕だけど、よく分からん。 >>378
三角不等式だけであっさり片付くとは、恐るべし…。
>>311
この第８章で >>261 の証明方法は衝撃的だった。 >>375
(1) a≧b≧cとする。
|ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)|
＝ |(a-b)(b-c)(c-a)|
≦ {(|a-b|+|b-c|+|c-a)|)/3}^3
＝ (8/27)*(a-c)^3
(a+b+c)^3 - (a-c)^3 = (b+c)(3a^2+3ab+b^2+bc+c^2) > 0 >>381
最後三角不等式使ってるようだけど、正しくは |a-b|+|b-c| >= |a-c| です
不等号が逆
k=8/27のとき 例えば (a,b,c) = (1,-3,1) で成り立たない ていいつつ自分でも間違えてた
(a,b,c)=(3,-3,1) >>382
最後は三角不等式じゃなくて、等式でござるなり。 a≧b≧cの仮定を用いて、
|a-b|+|b-c|+|c-a| = (a-b) + (b-c) + (a-c) = 2(a-c) >>381
a,b,cは実数ということを忘れていたので、以下は0より大きくならんでござるな。
> (a+b+c)^3 - (a-c)^3 = (b+c)(3a^2+3ab+b^2+bc+c^2) > 0 >>384
そうか
かくいう自分も回答にミス発見してそもそも(a+b+c)^3で上からも下からも抑えられないことがわかってでござる >>381
｜(a-b)(b-c)(c-a)｜≦（1/4)|a-c|^3 >>261
ですが、a+b+c=0 の場合もアリなので… >>2 [10] 思考力を鍛える不等式（大学への数学・別冊）、栗田哲也、東京出版、2014年 より
(1) [10] P.28
a>b>c>0 に対して、(a-b)sqrt(x+c) + (b-c)sqrt(x+a) + (c-a)sqrt(x+b) < 0
a,b,cの大小関係いらないんじゃ？
(2) [2006 山形大(医)] [10] P.77
三角形の辺長 a,b,c に対して、(2+a^2)(2+b^2) > 2c^2
⇒ (2+a^2)(2+b^2) ≧ 2(a+b)^2 > 2c^2
a.b.c>0 に対して、(2+a^2)(2+b^2)(2+c^2) ≧ 9(ab+bc+ca) だから、
これらを組合せたりして、なにか改造できないかな？
(3) [10] P.82
a,b,c>0に対して、(abc)^2 + a^2 + b^2 + c^2 + 2 ≧ 2(ab+bc+ca)
aの関数として微分して証明しているけど、他の証明ないかな。平方和とか…
(4) [10] P.115, 116
四面体ABCDに対して、
(i) ∠AOB + ∠BOC > ∠COA
(ii) ∠AOB + ∠BOC + ∠COA < 2π
[1992 東大(後)] >>2 [10] P.116
空間内の相異なる４点A,B,C,Dに対して、
(iii) ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB ≦ 2π
(iii)の条件を四面体ABCDに限定したら、等号がなくなるだけかな？
(5) [10] P.120
四面体ABCDに対して、vec(OA), vec(OB), vec(OC), vec(OD) を a,b,c,dと略すとき、
|a| + |b| + |c| + |a+b+c| > |a+b| + |b+c| + |c+a|
これは Hlawka's ineequality かな？
(6) [2012 大阪教育大]、[10] P.125
x,y>0 かつ (x^6)(y^2) - (x^5)(y^3) + (x^5)(y^5) - (x^4)(y^6) ≧ 4 のとき、x^3+y^2≧3
どうやって、こういう変な条件を出したのか分からないから、類題を作りにくい。
(7) [2013 北海道大]、[10] P.126
a,b,c,x,y>0 に対して、ax^(a+b+c) + by^(a+b+c) + c ≧ (a+b+c)(x^a)(y^b)
⇒ a,b,c,x,y,z>0 に対して、ax^(a+b+c) + by^(a+b+c) + cz^(a+b+c) ≧ (a+b+c)(x^a)(y^b)(z^c)
weighted-AM-GMだけど、入試問題で出されると答案書くのはシンドイな。 別にこのスレの参加者ではないが
面白い問題を見つけたので
平面上にA(p,q),B(r,s),C(t,u)とD(v,w)があるとき
(Dが△ABCの内部および周上)
⇔ ∃k, ∀(x,y)>0, (x^v)(y^w)≦k((x^p)(y^q)+(x^r)(y^s)+(x^t)(y^u)
出典：近大数コン2009-A4 >>388-389
指数祭りかな？
自作問題でおじゃるが、簡単すぎた。
定数 a>0 に対して b = a^a とおくとき、a^a、a^b、b^a、b^b の大小を比較せよ。
(^⌒⌒^)
| i i i i i| 不等式、作るよ！
| i i i i i|
(；`・ω・)っ-O･ﾟ･⌒)
/ つ━ゝ,.ﾟ__.,ノ))
_l从从从从l_
|￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣| ☆☆☆馬鹿板は数学徒の脳を腐らせる悪い板であり、そやし廃止してナシにすべき。☆☆☆
￥ (1)
√(x+a) = A、√(x+b）= B、√(x+c）= C とおくと
(左辺）=（AA-BB)C +（BB-CC)A +（CC-AA)B =（A-B)(B-C)(C-A),
ﾔﾊﾟｰﾘ 要る…
(2)
(2+aa)(2+bb)(2+cc）≧（2√2)(a+b)(c+c)(c+a）≧｛(16√2)/9}(a+b+c)(ab+bc+ca),
等号は a=b=c=√2.
(3)
a = A^(3/2)、b = B^(3/2)、c = C^(3/2）とおく。
（左辺）=（ABC)^3 + A^3 + B^3 + C^3 +1 +1
≧ A^3 + B^3 + C^3 + 3ABC
＝ AB(A+B）+ BC(B+C）+ CA(C+A）+ F_1(A,B,C) ← Schur(n=1)
≧ 2{(AB)^(3/2）+（BC)^(3/2）+（CA)^(3/2)}
＝ 2(ab+bc+ca), [不等式スレ 第７章 984] 出典 「平成24年 第1回 東大入試プレ(文科)」
> 実数 a,b,c,d が a+b+c+d=0, a^2+b^2+c^2+d^2=100 をみたすとき、
> a^3+b^3+c^3+d^3 のとりうる値の範囲を求めよ。
> （-1000/√3, 1000/√3）に一票
エレガントな解法か、エロイ解法あるかな？ >>414
普通にやっただけだからつまらないと思うけど
EV-theorem から a=b=c のときに最大・最小となるのは明らか。これを念頭に変形する
d=-(a+b+c) を第 2 式に代入して (a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2=100
よって |(a+b)(b+c)(c+a)|<=(100/3)^(3/2)
|a^3+b^3+c^3+d^3|
=|3(a+b)(b+c)(c+a)|
<=1000/sqrt(3)
一方 d=a とすると c=-(2a+b), (a+b)^2+2a^2=50 (よって-5<=a<=5) から
与式 = -6*a*(b+a)^2 = -6a(50-2a^2)
これは [-1000/sqrt(3), 1000/sqrt(3)] の任意の値を取りうる >>414-415
「東大入試プレ」で検索したが出てこない
↓
そもそも東大入試プレは何か検索すると、代ゼミの模試らしい
↓
「東大入試プレ 代ゼミ」で検索すると、かなり近づいてきた気がする
https://www.yozemi.ac.jp/news/osirase/1277627_3435.html
↓
左上のweb構成を見て、さらに検索し、目的の物を発見
https://www.yozemi.ac.jp/news/osirase/1285660_3435.html
その模範解答では、p+q=x、pq=y とおいて、x, y の関数として考えているらしい。
出典情報は大事だね。 まさか見つかるとは思っても見なかった。 いつもと違う出題形式。 いろんな解法を考えていて、おかしくなったでござる。
『実数 a, b>0 が ab ≧ a+b+1 をみたすとき、ab の最小値を求めよ。』
について、以下の解法(a)、(b)、(c)を考える。
(a)、(b)のどこがおかしいのか？
(a)
ab ≧ a+b+1 ≧ 3*(a*b*1)^(1/3)、等号はa=b=1 かつab=a+b+1
∴ (ab)^3 ≧ 27ab
ab>0で割って、(ab)^2 ≧ 27
ab>0だから、ab ≧ 3√3
等号成立条件をみたすa, bがないから、ab > 3√3
(b)
ab ≧ a+b+1 ≧ 2√(ab) + 1、等号はa=b かつab=a+b+1
∴ab-1 ≧ 2√(ab)
∴(ab-1)^2 ≧ 4ab
∴(ab)^2 - 6ab - 1 ≧ 0
ab>0だから、0 < ab ≦3-2√2 または 3+2√2 ≦ab
(c)
a+b ≧ 2√(ab) ≧ 2√(a+b+1)、等号はa=b かつ ab=a+b+1
∴ (a+b)^2 ≧4(a+b+1)
∴ (a+b)^2 - 4(a+b) - 4 ≧0
∴ a+b>0 だから、a+b ≧ 2+2√2
∴ ab ≧ a+b+1 ≧ 3+2√2
abの最小値は、3+2√2 (a=b=1+√2) >>417
(a)
間違ってない
ただ等号が成立しない雑な不等式を用いてるから最後の結論もいい加減になっただけ
ab>3sqrt3 を満たすとは言ってるけどそのすべての範囲を取りうるとは言っていない
(b)
条件 ab>=1 を加えればいい ★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
￥ >>418
ありがとう。
脊髄反射でAM-GMを使って (a) のやり方でやって、アレレとなった。
結局、真面目に領域図示で片付けたんだが…。 >>388
（3）平方和で表わした。
(左辺）-（右辺) =｛(abc)^2 -3GG +2｝+｛3(a+b+c -3G)GG + F_1(a,b,c)}/(a+b+c),
ここで、G =（abc)^(1/3)
(abc)^2 -3GG +2 = G^6 -3GG +2 = (GG+2)(GG-1)^2,
(a+b+c）-3G =（a'+b'+c'){(a'-b')^2+(b'-c')^2+(c'-a')^2}/2, a'=a^(1/3), b'=b^(1/3), c'=c^(1/3),
F_1(a,b,c) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b)
= {ab(aa-bb)^2 + bc(bb-cc)^2 + ca(cc-aa)^2}/{(a+b)(b+c)(c+a)}
(4) (i)
OB方向をz軸とし、
OAの天頂角を ∠AOB=α
OCの天頂角を ∠BOC=γ
とする。
cosβ = cos(∠COA) =（OC・OA）= cosα cosγ + sinα sinγ cosφ （φは方位角の差、0<φ<π）
∴ cos(α+γ）< cosβ < cos(α-γ),
∴ α+γ > β > |α-γ| >>417
(d)
a,b>0 ゆえ
(√ab -1)^2 - 2 = ab -2√(ab） -1
= ab -（a+b+1） +（√a-√b)^2
≧ 0,
∴ √ab ≧ 1+√2, ★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
￥ (3)
a,b,cは任意の実数でよい
L-R=(a^2-1)(b^2-1)(c^2-1)+(ab-1)^2+(bc-1)^2+(ca-1)^2
よって絶対値が 1 以下のものが奇数個あるときのみ示せば十分
それを c とすると
(a^2-1)(b^2-1)(c^2-1)+(ab-1)^2 >= -(a^2-1)(b^2-1)+(ab-1)^2 = (a-b)^2 >= 0 ★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
￥ a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、
(1) [memoには 2004 JMO とあるが、全然違っていた…]
c/(1+a) + b/(1+b) + a/(1+c) ≧ 3/2
(2) [memoには 1998 Ukraina とあるが、もう自信がない]
(1+ab)/(1+a) + (1+bc)/(1+b) + (1+ca)/(1+c) ≧ 3
(3) [疑問]
1/(1+a) + 1/(1+b) + 1/(1+c) ≧？
bc/(1+a) + ca/(1+b) + ab/(1+c) ≧？
(4) [1998 IMO shortlist.A3]
a^3/{(1+b)(1+c)} + b^3/{(1+c)(1+a)} + c^3/{(1+a)(1+b)} ≧ 3/4
-----------------------------------------------------
TeXで編集する際に、問題順を入れ替えたりしているうちに、
問題番号と出典番号がずれて、もはや修正のしようがない。
確認したくても、リンク先が消えているし。
https://mks.mff.cuni.cz/kalva/index2.html
| |
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|∧ 从ﾉ (ミ_ (⌒＼ヽ _ __＿
（ (≡￣￣￣￣三＼⌒ノ ノ )
|(つWつ ￣￣＼ ⌒彡) ﾉ ＝＿
| ＼つ つ ＼,_＿_,ノノ
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| | /ノ ＿─ (´⌒(´
| | ﾐ/＝ (´⌒(´⌒;;
| ''''""'''"'''"""''"""'''''"'"''''""''"''''"""''"'''""''"''"'''"''（）
| ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ >>388
(5) Hlawka の不等式 にござりまする。
（左辺）*（左辺 - 右辺）= Sq + Trig,
Sq = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + |a+b+c|^2 - |a+b|^2 - |b+c|^2 - |c+a|^2,
Trig = (|b|+|c|-|b+c|) (|a|-|b+c|+|a+b+c|)
+ (|c|+|a|-|c+a|) (|b|-|c+a|+|a+b+c|)
+ (|a|+|b|-|a+b|) (|c|-|a+b|+|a+b+c|).
式の変形とはいえ、うまいものと感心するばかり。
Trig ≧0 は△不等式から出るが、Sq = 0 を出すには内積計算などが要る。（← Euclid性)
文献[3] 大関「不等式への招待」 p.33-34 例題8. >>2 >>449 に付け足し。
a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、
(4) [出典不明、元問題は"３乗和≧２乗和"を一般化した]
自然数nに対して、a^n + b^n + c^n ≧ a^(n-1) + b^(n-1) + c^(n-1)
(5) [出典不明]
b/a + c/b + a/b ≧ a+b+c ≧ √a + √b + √c
b/a + c/b + a/b ≧ 1/a + 1/b + 1/c ≧ √a + √b + √c
(6) [2016 東北大]
a^2 + b^2 + c^2 ≧ 1/a + 1/b + 1/c
(7) [疑問]
a^n + b^n + c^n ≧ b/a + c/b + a/b をみたす最小の n∈N はあるかな？
(8) [参考までに、これも出典のmemoがなくて困るが…]
a^3 + b^3 + c^3 + (ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3 ≧ b/a + c/b + a/b
--------------------------------------------------------------
同じ条件の不等式を整理していると、この問題と あの問題は繋がるのでは？
などと気になりはじめると、整理どころではなくなる。そうして未整理の不等式が貯まっていく。
(5)の2つの不等式の中辺の大小は定まらない。（過去スレでやったような希ガス…）
abc=1 に注意して、(a+b+c)-(ab+bc+ca) = (a-1)(b-1)(c-1)
a, b, cと1の大小で、正にも、０にも、負にもなる。 >>452
(8)の訂正。右辺は２倍ですた。
a^3 + b^3 + c^3 + (ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3 ≧ 2(b/a + c/b + a/b) ★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
￥ >>449
(1), (2) a=y/x … とおくだけ
(3)
Σ1/(1+a) = 1 + (a+b+c+1)/(ab+bc+ca+a+b+c+1) -> 1 (c=1/(ab), a->inf, b->inf)
Σbc/(1+a) = Σ1/(a+a^2) >= Σ(-3/4log(a)+1/2) = 3/4
(4) 相加相乗で終わり >>388 (2)
(aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 3(a+b+c)^2
Asia-Pacific MO-2004改
文献 [9] 佐藤(訳)、問題3.85改
（左辺）=（abc)^2 + 2(ab)^2 +2(bc)^2 +2(ca)^2 +4(aa+bb+cc) +8
=（abc)^2 +2(ab-1)^2 +2(bc-1)^2 +2(ca-1)^2 +3(a+b+c)^2 -2(ab+bc+ca) +2
=｛(abc)^2 +aa +bb +cc +2 -2(ab+bc+ca)｝+2(ab-1)^2 +2(bc-1)^2 +2(ca-1)^2 +3(a+b+c)^2
≧ 3(a+b+c)^2,
※ (abc)^2 +aa +bb +cc +2 -2(ab+bc+ca）≧ 0
は >>388 (3）または練習問題1.90(i）を使う。
>>449 (4)
文献 [9] 佐藤(訳)、演習問題 1.120 不等式が少しだけ載っているというタレコミがあったので、事情徴収（立ち読み）してきた。
容疑者 ： 佐久間一浩、『高校数学と大学数学の接点』、PP.18-30
(1) PP.18-24
三角形の辺長を a, b, c、面積をSとするとき、a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S.
(2) PP.25-30
R ≧ 2r （球殻不等式）
(1)に対して、８通りの証明を与えていた。
(2)は d^2 = R^2 - 2Rr （茶ップル-オイラーの定理）を証明して片付けていた。
ここで d は外心と内心の距離。
∧,,∧
(`･ω･´) ８通りの証明だと？ 詳しく聞こうか？
（ ）
￣￣Φ口U￣￣＼
_ _. ＼
＿（ ） ← 佐久間＼
￣┏┳┓） >>467
> 三角形の辺長を a, b, c、面積をSとするとき、a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S.
（証明１）
ヘロンの公式を使って a, b, c だけの式にして、(左辺)^2 - (右辺)^2
（証明２）
面積公式と余弦定理を使って a, b, c だけの式にして、(左辺)^2 - (右辺)^2
（証明３）
b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C とおいて、AM-GM とヘロンの公式。
（証明４）
a^2 + b^2 + c^2 ≧ ab+bc+ca の右辺に正弦定理を用いてから、凸不等式。
（証明５）
a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S + (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} を証明。
（証明６）
a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S + (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 を証明。
（証明７）
証明６の不等式を三角関数で証明。
（証明８）
座標平面上に、頂点を A(a/2,0)、B(-a/2,0)、C(s,t)、t>0 とおいて計算。
---------------------------------------------------------------------
[1] そもそもヘロンの公式は、面積公式と余弦定理から三角関数を消去して得られるものだから、
証明１と証明２は全く同じものである。証明６と証明７も一緒。つまり６通りの証明ですな。
[2] この不等式には、オノとかフランダースとか、なんか名前はついていないのかな？
[3] 他に証明は無いのかな。証明３と実質同じだが、Ravi変換くらいしか思いつかない。
ヘロンの公式を行列式で表すと、S = (√D)/4。ここでDは以下の行列式。
|0 1 1 1 |
|1 0 a^2 b^2|
|1 a^2 0 c^2|
|1 b^2 c^2 0 | >>388
>>456
相当な量の改良問題があった
for reals
[1] (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) >= (1+a+b)(1+b+c)(1+c+a)
[2] ((a^2+3)(b^2+3)(c^2+3))^2 >= 512(a+b)(b+c)(c+a)
for nonnegarives
[3] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= 3(a+b+c)^2+(abc-1)^2
[4] (x^2+2)(y^2+2)(z^2+2) >= 4(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+zx)+(xyz-1)^2
[5] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= 4(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ca)+(abc(a-1)^2(b-1)^2(c-1)^2)^(1/3)
AOPS
[1], [2] : c6h588096p3481394
[3] : c6h4830p15309
[4], [5] : c6h581954p3438879
他にもいろいろ >>469
ｷﾀ─ｗｗﾍ√ﾚｖｖ～(ﾟ∀ﾟ)─ｗｗﾍ√ﾚｖｖ～─ !! 素晴らしい！ [出典不明]
実数 a,b,c,x,y,z が ax-2by+cz=0 かつ ac > b^2 > 0 をみたすとき、y^2 ≧ xz を示せ。
こういう掴みどころのない問題は、改造や類題を作りにくいので困る。 ('A`)ｳﾞｫｴｧ！ >>471
xz≦0 のときは明らか。
xz>0 のとき
4{bbyy -（ax)(cz)｝≧（2by)^2 -（ax+cz)^2 = -(ac-2by+cz)(ac+2by+cz）= 0,
∴ yy ≧（ac/bb）xz ≧ xz, >>467
(2)
△の3辺を切る円はその内接円より大きい、を認めよう。
△の各辺の中点を通る円を考える。
この円は半径R/2であるが、△の3辺を切る。
R/2 ≧ r
（清水多門氏による）
文献[3]、p.7-8 例題4 >>2 >>414
> 実数 a,b,c,d が a+b+c+d=0, a^2+b^2+c^2+d^2=100 をみたすとき、
> a^3+b^3+c^3+d^3 のとりうる値の範囲を求めよ。
追加問題 ： 同じ条件の下で、aのとりうる値の範囲を求めよ。
|
＼ __ ／
＿ （ｍ） ＿ﾋﾟｺｰﾝ
|ミ|
／＿＿＿＼
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | ＜ 改造せずにはいられない！
ヽ::::... .ワ.....ノ （閃いたが、簡単過ぎる…）
人つゝ 人,,
Ｙノ人 ノ ノノゞ⌒～ゞ
ノ /ミ|＼、 ノノ （ 彡
`⌒ .Ｕ~Ｕ`ヾ 丿
⌒～⌒ >>449 (4)
チェビシェフにより
（左辺）≧ a/{(1+b)(1+c)｝+ b/{(1+c)(1+a)｝+ c/{(1+a)(1+b)｝
=｛a(1+a）+ b(1+b）+ c(1+c)}/{(1+a)(1+b)(1+c)}
≧(s+t)/(1+s+t+u),
≧ 3/4,
∵題意より u=abc=1 ゆえ s+t≧3{u^(1/3)+u^(2/3)｝= 6, >>414
> 実数 a,b,c,d が a+b+c+d=0, a^2+b^2+c^2+d^2=100 をみたすとき、
> a^3+b^3+c^3+d^3 のとりうる値の範囲を求めよ。
>
> 追加問題 ： 同じ条件の下で、aのとりうる値の範囲を求めよ。
さらに追加 ： 同じ条件の下で、ab+bc+cd+da のとりうる値の範囲を求めよ。
／⌒＼ っ ／＼
/'⌒'ヽ ＼ っ／＼ |
（●．●） ）／ |: |
>冊/ .／ |: /
/⌒ ミﾐ ＼ 〆
/ ／ |::|λ|
|√7ミ |::| ﾄ、
|:／ V＿ハ
／| i |
и .i Ｎ
λﾍ、| i .ＮV
Ｖ＼Ｗ
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＼ __ ／
＿ （ｍ） ＿ﾋﾟｺｰﾝ
|ミ|
／＿＿＿＼
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | ＜ なんか降りてきた！
ヽ::::... .ワ.....ノ 今夜は冴えてるぜ！
人つゝ 人,,
Ｙノ人 ノ ノノゞ⌒～ゞ
ノ /ミ|＼、 ノノ （ 彡
`⌒ .Ｕ~Ｕ`ヾ 丿
⌒～⌒ >>452
(7) n>=3
a^2+b^2+c^2 と b/a+c/b+a/c の大小は定まらない
(8) Schur + AMGM >>484
a=-(b+c+d）を代入して
aa = (-b-c-d)^2 ≦ 3(bb+cc+dd）= 3(100-aa）,
aa ≦ 75,
|a| ≦ 5√3,
>>487
(a+c)(b+d）= -(a+c)^2 = -(b+d)^2 ≧ -(aa+cc) -(bb+dd) = -100,
-100 ≦ (a+c)(b+d）≦ 0,
等号成立は（a,b,c,d）=（5,-5,5,-5）（5,5,-5,-5）など。 >>467-468
> 三角形の辺長を a, b, c、面積をSとするとき、a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S.
>
> [2] この不等式には、オノとかフランダースとか、なんか名前はついていないのかな？
Weitzenbock's inequality と言うらしい。ヴァイツェンベックと発音するのかな？
https://en.wikipedia.org/wiki/Weitzenb%C3%B6ck%27s_inequality Crux
https://cms.math.ca/crux/v43/n6/
いつの間にかパスワード制になって読めなくなったでござる。
パスワード無しで読める最後の記事は v37n8 (2011年)。
https://cms.math.ca/crux/v37/n8/
Problems
3690、3691、3694、3699 ★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
￥ (俺の経験人数)＞Σ(このスレの住人の経験人数)
を示せ ♪♪♪もう良い子は寝る時間です。そやし馬鹿板は止めて、また明日にしましょう。♪♪♪
ケケケ￥ >>467 (1）を改造...
三角形の辺長を a,b,c、面積をSとするとき、(1/3)(a+b+c)^2 ≧ (4√3)S.
(証明３)
b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C とおく。
(1/3)(a+b+c)^2
=（1/3)(A+B+C)^2
≧ √{3(A+B+C)ABC} （← AM-GM)
=（4√3)S,
三角形の辺長を a,b,c、面積をSとするとき、ab+bc+ca ≧ (4√3)S.
(証明６)
b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C とおく。
ab+bc+ca = aa+bb+cc -{(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2}/2
≧ aa+bb+cc -(a-b)^2 -(b-c)^2 -(c-a)^2
= AB+BC+CA
≧ √{3(A+B+C)ABC}
=（4√3)S, ★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
￥ a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、
(1) [AYIN 2012.09]
(a+b)/(ab+a+b) + (b+c)/(bc+b+c) + (c+a)/(ca+c+a) ≧ 2
(2) [1997 Romania]
(a^3+b^3)/(ab+a^2+b^2) + (b^3+c^3)/(bc+b^2+c^2) + (c^3+a^3)/(ca+c^2+a^2) ≧ 2
(3) [1996 IMO shortlist.A1]
ab/(ab+a^5+b^5) + bc/(bc+b^5+c^5) + ca/(ca+c^5+a^5) ≦ 1
----------------------------------------------------
[1] (3)だけ向きが逆。もしかして (1)(2)(3) すべて最大値と最小値があるかな？
[2] 分母が ab+a^n+b^n のタイプで、他に類題ないかな？
／⌒＼ っ ／＼
/'⌒'ヽ ＼ っ／＼ |
（●．●） ）／ |: |
>冊/ .／ |: /
/⌒ ミﾐ ＼ 〆
/ ／ |::|λ| |
|√7ミ |::| ﾄ、 |
|:／ V＿ハ |
／| i | ∧|∧
и .i Ｎ / ヽ） きりがないでござる…
λﾍ、| i .ＮV | | |
Ｖ＼Ｗ （ 、 ∪
|｜ |
∪∪ >>467、>>539
さらに改造。というか、コレクションに纏め済みでござった。
三角形の辺長 a, b, c、面積 S、外接円の半径 R、内接円の半径 r に対して、
9R^2 ≧ a^2 + b^2 + c^2 ≧ (1/3)(a+b+c)^2 ≧ ab+bc+ca ≧ 3(abc)^(2/3) ≧ (4√3)S ≧ 36r.
⊿ ○ ∇ 、＿＿＿,､´｀ﾞ；~､ ';冫 ☆
┏ ━ゝヽ''／ ≧ ＼━〆Ａ!ﾟ━━┓。
╋┓"〓┃ ＜ ゝ＼',冫｡' |:::: ＼ .／ |゛△│´'´,.ゝ'┃. ●┃ ┃┃
┃┃_.━┛ヤ━━━━━━|::::: (● (● |━━━━━━━━━ ━┛ ・ ・
∇ ┠─Σ- ヽ::::... .ワ.....ノ 冫 そ',´; ┨'ﾟ,。
.。冫▽ ＜ ⊂ ./⊃ 乙 ≧ ▽
。 ┃ Σ （⌒ゞ ,l, ､'' │ て く
┠─ム┼ ゝ,,ﾉ ﾉゝ. ､,, .┼ ｧ Ζ┨ ミｏ''｀
。､ﾟ`。､ i／ レ' o。了 ､'' × 个ｏ
○ ┃ `､,~´＋√ ▽ ',!ヽ.◇ ｏ┃
┗〆━┷ Ｚ,.' /┷━''ｏ ヾｏ┷+＼━┛,゛；
ヾ ⊿ '、´ ∇ >>467 >>539 >>542
さらに行けそうだぜ！ ヒャッハー！
http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200519index.html
9abc/(a+b+c) ≧ (4√3)S が成り立つらしい （証明は未だ読んでいない）
AM-GMから直ちに >>542 とドッキングさせられるぜ！ ヒャッハー！
9R^2 ≧ a^2 + b^2 + c^2 ≧ (1/3)(a+b+c)^2 ≧ ab+bc+ca ≧ 3(abc)^(2/3) ≧ 9abc/(a+b+c)≧ (4√3)S ≧ 36r.
＿ （）)二) )) 、,r:ﾆヽ いいぞ ベイべー！
@ニ＝＝＝)二二ニニ)('A` )) 不等式を収集し証明する奴は 不等式ヲタだ！！
^￣" ﾌ＼''|ﾉ=ﾉ-( ) 不等式を改造し拡張する奴は よく訓練された不等式ヲタだ！！
_/ ＼_ L L ホント不等式はﾊｧﾊｧするぜ！ ﾌｩﾊﾊﾊｰﾊｧｰ >>467 (1）>>539 を再改造…
>>541
(2)
(aa-ab+bb)/(aa+ab+bb）≧ 1/3，など。
(左辺）≧ 2(a+b+c)/3 ≧ 2(abc)^(2/3）= 2,
(3)
ab +a^5 +b^5 = aabbc +a^5 +b^5 ≧ aabb(a+b+c）= ab(a+b+c)/c,
IMO-1996 予選
文献[9］佐藤、演習問題1.15
>>543
abc =（A+B)(B+C)(C+A)/8 ≧（A+B+C)(AB+BC+CA)/9,
∴ ab+bc+ca ≧ 9abc/(a+b+c）≧ AB+BC+CA
>>539 により成立。
きりがないでござるよ… >>554
むむむ、再改造とは 恐るべし不等式ヲタ…
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
彳㍍” ,イ云” ,.ｯ | ｨ1 |ｌ | 、 ,. '´
ﾚ/ ﾁ㌢ ｒｆ少 ［> |||| || | 迅 /
ｒｆ ｆﾘｲ ｛孖 _レ-ー､|＿_ト-、 什 （ む
ｌト ｛iヌ ｛iヌ _/´,.´ ,. .., 、 ﾌ _ヽ、 ﾉ糸 _,） む
斗 弋ｚ 弋z,. 〃_｀ ／',ニ=ｭ> ｌｘﾆ∠ヽ|_ ｧｚｿ （ む
も、 ｀ﾏﾁｔｚ, ｛ G ﾚ‐、ゝー"´=ゝ一'‐, L `┐
ミﾏ辷 ` ＝ｚ.,,__ ! ,ｒ〉 ,二＿,.｛,＿,｝二,,,..､ .｝ ゝ
` ｔ述ｼｔｒ、 ｛`-”し',. '"´`ゝｖ, ｨ/´゛ヽﾚ' ｀つ
｀ー≧= ‐ .,,, ﾄ, || ゝ ひ ﾌ / てｿｊ |:| 〈 ⊂´￣￣
` 爻ミｚｚ,, | | . || , '´￣ |`￣''` i,| ,）ｒ'"
｀弋≧=ー' | || J ,._| .// ／"
,/､. || ､＿,,,.--､_, //
,.ｒ' !、 ￣ ゝ....,,,,＿＿＿_,,,/,1
,,.. ‐'ﾌ´ >`､「 ０ C.〕、
,. ＜ ``､､ ／' ,.ﾍ＞＝＝=====＝< ＼‐- .._ >>389 >>515
△ABC における重心座標を考える。
↑D = L･↑A + m･↑B + n･↑C， L+m+n=1,
（v，w）=（(Lp+mr+nt)/(L+m+n)，(Lq+ms+nu)/(L+m+n))
（Dが△ABCの内部または周上） ⇔ 0 ≦ L,m,n
∴ AM-GM により
x^v･y^w ≦｛L(x^p)(y^q) + m(x^r)(y^s) + n(x^t)(y^u)}/(L+m+n)
≦ (x^p)(y^q) + (x^r)(y^s) + (x^t)(y^u),
（Dが△ABCの外部） ⇔ min{L,m,n｝<0
さて、どうする？ 不等式ではなくって、等式なんだけど、
>>467の本 ： 佐久間一浩、『高校数学と大学数学の接点』
を立ち読みしてきたときに見つけた問題を。
Σ[n=1 to ∞] (15n^2 - 30πn^4 + 8π^2 n^6)*e^(-πn^2) = ？
あと、名前の付いた等式を一つ。（只の式変形で出るので面白くはないが…）
ヒルツェブルフの等式 ： x/ tanh x = 2x/(e^(2x)-1) + x >>388 (4)
(i) >>432
(ii) OA=OB=OC とし、Oから平面ABCに垂線OHを下し、z軸とする。
A,B,C の天頂角をθとおくと、OH =｜OA|･cosθ，etc.
２平面 OAH と OBH のなす角（二面角）を ∠AHB = φとおく。
cos(∠AOB）=（OA・OB)/|OA||OB｜=（cosθ)^2 +（sinθ)^2 cosφ ≧ cosφ,
∴ ∠AOB ≦ φ = ∠AHB,
循環的にたす。 >>579
0
L(x) = 1/tanh(x) - 1/x をランジュヴァン関数というらしい。
|x| << 1 で L(x)≒x/3 >>541 (1)
(a+b)/(ab+a+b) = (a+b)c/{1+(a+b)c｝= z/(1+z),
通分して
（1+x)(1+y)z +（1+x)y(1+z）+ x(1+y)(1+z）- 2(1+x)(1+y)(1+z)
= -2 -（x+y+z） +xyz,
= -2 -2(ab+bc+ca）+ abc(a+b)(b+c)(c+a)
=｛1 - (abc)^2｝+（ab+bc+ca-3）+（ab+bc+ca)｛abc(a+b+c) -3｝
≧ 0, >>449 >>455
(2)
（1+ab)/(1+a）= (1+c)/{c(1+a)}，etc.
AM-GM する。
>>455 とほとんど同じだ....
(3)
1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c)
≧ 1/(1+a+ab）+ 1/(1+b+bc）+ 1/(1+c+ca）
= x/(x+y+z）+ y/(y+z+x）+ z/(z+x+y)
= 1,
bc/(1+a) + ca/(1+b) + ab/(1+c) ≧ 3/2,
通分して
bc(1+b)(1+c）+ ca(1+c)(1+a）+ ab(1+a)(1+b）-（3/2)(1+a)(1+b)(1+c)
= t +（st-3u）+（tt-2su）-（3/2)(1+s+t+u)
=｛(s-3)t + s(t-3)}/6 +（2s+3)(u-1)/2 + 2(st-9u)/3 +（tt-3su)
=｛(s-3)t + s(t-3)}/6 +（2s+3)(u-1)/2
≧0, （← s≧3、t≧3、u=1） >>543-544
> 9R^2 ≧ a^2 + b^2 + c^2 ≧ (1/3)(a+b+c)^2 ≧ ab+bc+ca ≧ 3(abc)^(2/3) ≧ 9abc/(a+b+c)≧ (4√3)S ≧ 36r.
書き直すと
(√3)R ≧ (a^2+b^2+c^2)/3 ≧ AM ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)} ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r.
>>544より、√|3abc/(a+b+c)} ≧ √|(AB+BC+CA)/3}.
ところで、(ab+bc+ca)^2 - 3abc(a+b+c) ≧ 0 より、√|3abc/(a+b+c)} ≧ HM.
そこで気になるのは、2√(S/√3)、HM、√|(AB+BC+CA)/3} の大小だけど、定まるかな？
／⌒ヽ
／⌒ ・ ＞
E￣Ｕ) ε | きりがないでござる
E￣∩) ・ ＞
゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛ 数学文化という雑誌に不等式の特集があるというタレ込みがあったので買ってきた。未だ目を通していない。 >>449
(3)下
チェビシェフで
(左辺）= 1/{a(1+a)｝+ 1/{b(1+b)｝+ 1/{c(1+c)｝
≧ 1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝
よって、次の問題に帰着する。
〔問題3.93〕
1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝≧ 3/(1+abc),
バルカンMO-2006
文献［9］ 佐藤(訳)、問題3.93
左辺に 1+abc を掛ける。
(1+abc)/{a(1+b)｝= (1+a)/{a(1+b)｝-1 + b(1+c)/(1+b)，etc.
巡回的に AM-GM すると
（1+abc)(左辺）≧ 3(1/G -1 +G)
= 3(1-G+GG)/G
= 3(1+GGG)/{G(1+G)}．
∴ (左辺）≧ 3/{G(1+G)},
ここに G=(abc)^(1/3) >>584
（AB+BC+CA)/3 ≧ √{(A+B+C)ABC/3} =（4/√3)S, >>554
（HM)^2 ≧（4/√3)S
にて御座候。
HM と √{(AB+BC+CA)/3｝の大小は不定と思われ...
き、きりがねぇ。。。 >>587
> （HM)^2 ≧（4/√3)S
これがうまく証明できませぬ… >>584-585より、
(√3)R ≧ (a^2+b^2+c^2)/3 ≧ AM ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)}≧ HM ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r
ところで、三角形の辺長a,b,cに対して、2(ab+bc+ca) > (1/2)(a+b+c)^2 > a^2+b^2+c^2 だから、
{√2(ab+bc+ca)}/3 > (a+b+c)/(3√2) > (a^2+b^2+c^2)/3
合体させて、
{√2(ab+bc+ca)}/3 > (a+b+c)/(3√2) > (a^2+b^2+c^2)/3 ≧ AM ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)}≧ HM ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r
さて、(√3)R はどこに入るのだろう？
('A`) 出口が見えないでござる
ﾉ ﾉ)_ >>589
> >>584-585より、
> (√3)R ≧ (a^2+b^2+c^2)/3 ≧ AM ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)}≧ HM ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r
>
> ところで、三角形の辺長a,b,cに対して、2(ab+bc+ca) > (1/2)(a+b+c)^2 > a^2+b^2+c^2 だから、
GMの左側から合体させたら、
√{(ab+bc+ca)/3} ＞ (a+b+c)/(2√3) ＞ √|(a^2+b^2+c^2)/6} ≧ GM/(√2)
√{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)}≧ HM ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r
この2つは合体は無理そうかな。上側はGMより小さくなってるようだし… >>589
{√2(ab+bc+ca)/3｝>（a+b+c)/√6 > √{(aa+bb+cc)/3｝≧ AM
>>590
正△でも等号不成立なので、無理そうでござる。 >>588
（HM)^2 ≧（4/√3)S
⇔ (3√3)(abc)^2 ≧ 4(ab+bc+ca)^2 √{s(s-a)(s-b)(s-c)}
⇔ (3√3) sin A sin B sin C ≧ 2 (sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A)^2
この証明は難しいのでは？
a, b, c で表しても、sin で表してもややこしい。
レムスで削り落としても、まだ複雑な形でござる…
Lehmu's inequality ： abc ≧ (s-a)(s-b)(s-c)
, / ,
, / / , / ,
/ '＾ﾒ-' ─/- ､ / ,
∠ｒ _,゛_ / , ヽ/__/ ﾓｳ ﾀﾞﾒﾎﾟ…
''ヽ'_･.ノ｀ ' ｒ/、 ﾍ /‐’
./ " j 厂ﾞj | ﾚ_｀> j__ /
' .:‘::'ニ‘.:‐'´─ﾞ.:´一’ >>592
左辺の係数間違ごうとる
（HM)^2 ≧（4/√3)S
⇔ (9√3)(abc)^2 ≧ 4(ab+bc+ca)^2 √{s(s-a)(s-b)(s-c)}
⇔ (9√3) sin A sin B sin C ≧ 2 (sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A)^2 >>592
（HM)^2 ≧（4/√3)S ⇔ (x+y+z)/3 ≧ (xyz)^(1/3)
ラビで一発だった。 >>594
いや別の不等式の話でした。
ごめん、あれこれ弄っていて混乱していました。 >>588-595
HM^2 と (4/√3)S の大小
1辺だけが短い楔状△の場合は不成立のようでござる。
手間取らせて、すまぬ。 >>596
さんくす。(a,b,c)=(1/3,1,1)で、HMの方が小さくなりますね。
[疑問] HM ≧ （2/√3)r は成り立つか？
b=c=1、0<a<2でWolfram先生にグラフを書かせたら、０以上っぽいので、基本対称式で表すと、
(HM^2 - 12r)/3 の分子
= 3su^2+s^3t^2-4st^3+8t^2u
= (s^2-3t)st^2 - (t^2-3su)u
= 正 - 正
で、この方法では失敗でござった。 >>597
ちがった。最後は
(s^3t^2-4st^3+9t^2u) - (t^2-3su)u >>449、>>583、>>586
> a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、bc/(1+a) + ca/(1+b) + ab/(1+c) ≧ 3/2
>>586
> 1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝≧ 3/(1+abc),
>
> バルカンMO-2006、文献［9］ 佐藤(訳)、問題3.93
似たような不等式を見つけた。
[IMO 1995 第2問] http://www.cs.cornell.edu/~asdas/imo/imo/imo95.html
1/(a^3*(b+c)) + 1/(b^3*(c+a)) + 1/(c^3*(a+b)) ≧ 3/2. >>449、>>455、>>583
a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、3 > 1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c) > 1
上限を厳しく評価するには、どういう考え方でやればいいんでせうか？ >>600
f(x)=1/(1+e^x)
x+y+z=0 なる実数 x, y, z に対して f(x)+f(y)+f(z) の上限を調べればよい
f は x<=0 で狭義凸だから LCF から y=x, z=-2x のときの上限を調べれよばよい
sup 2f(x)+f(-2x) = 2
よって上限は 2 >>599
x=1/a、ｙ=1/b、z=1/c とおくと、xyz=1
S = xx/(y+z）+ yy/(z+x）+ zz/(x+y)
≧ (x+y+z)^2 /{(y+z)+(z+x)+(x+y)｝ (←コーシー)
=（x+y+z)/2
≧3/2,
文献[9] 佐藤(訳）例1.4.9
>>600
a,b,… のうち最小のものをmとおきます。（m≦1)
1より大きい2要素 p,q があったときは
(p, q）→（m, pq/m）と置き換えてみます。
このとき相乗平均は変わらず、
（m + pq/m）-（p+q）= (p-m)(q-m)/m ≧ 0 ゆえ左辺は
1/(1+m）+ 1/(1+pq/m）- 1/(1+p）- 1/(1+q）
= (2+m+pq/m)/{(1+m)(1+pq/m)｝-（2+p+q)/{(1+p)(1+q)｝
=（2+m+pq/m)/{1+(m+pq/m)+pq｝-（2+p+q)/{1+(p+q)+pq｝
= -(pq-1)/{1+(m+pq/m)+pq｝+（pq-1)/{1+(p+q)+pq｝
≧0
増大します。 LCF、RCF、LCRCF、SIP、EV、AC(UMV)、GI、GC、SMV…。さっぱり Arithmetic Compensation Theorem (AC-Theorem)
Equal Variable Theorem (EV-Theorem)
Half Convex Function Theorem (HCF-Theorem)
Left Concave Function Theorem (LCF-Theorem)
Right Convex Function theorem (RCF-Theorem)
Left Convex-Right Concave Function Theorem (LCRCF-Theorem)
Single Inflection Point Theorem (SIP-Theorem)
Strong Mixing Variables Theorem (SMV-Theorem)
GC-Theorem （文献[8] 安藤 P.197）は何の略？ >>606
AC が arithmetic なんだから GC はgeometric でしょ... >>597 >>598
s^3 -4st +9u = a(a-b)(a-c）+ b(b-c)(b-a）+ c(c-a)(c-b),
tt-3su = bc(a-b)(a-c）+ ca(b-c)(b-a）+ ab(c-a)(c-b),
より
(s^3 -4st +9u)tt - (tt-3su)u = P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b),
ここに
P=a(tt-bbcc)，Q=b(tt-ccaa)，R=c(tt-aabb),
P,Q,R≧0 かつ（P,Q,R）（a,b,c）は同順序なので Schurの拡張で成立.. >>608
Schurの拡張について詳しく教えてください。
f : R→(0,∞) が単調増加 or 単調減少のとき、a, b, c∈R に対して、
f(a)(a-b)(a-c) + f(b)(b-c)(b-a) + f(c)(c-a)(c-b) ≧0
というのは知っているけど、この場合は f(x) が f(a,b,c)の3変数関数で、
同順序ならokってのが、ピンと来ない… >>600-602
> a,b,c>0, abc=1のとき、1 < 1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c) < 2
>>583の真似をして上限を出してみたなり。 ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c)
= 1 + (1-ab)/(1+a+b+ab) + 1/(1+c)
< 1 + 1/(1+ab) + 1/(1+c)
= 1 + c/(1+c) + 1/(1+c)
= 2 >>610
>>583
その解き方で本当に上限下限って言えるの？ つまり、不等式を証明するだけなら、そのやり方でよいが、上限、下限であることを言うには、
a, b → +0 や a.,b → ∞ を調べて、限界値であることを確認しろってことかな？ うん
でもその解き方でもa,b->0考えれば最適であることは言えるかもね >>449
(3)下を、Jensen + AMGM で。
f(x) = 1/(a+a^2) は下に凸だから、
左辺
＝ f(a) + f(b) + f(c)
≧ 3*f( (a+b+c)/3 )
≧ 3*f( (abc)^(1/3) )
＝ 3*f(1)
＝ 3/2 >>614
f は単調増加じゃないから f( (a+b+c)/3 ) >= 3*f( (abc)^(1/3) ) は成り立たない
むしろ逆の不等号が成り立つ >>597 >>598
a,b,c が△の辺長の場合は Ravi変換で簡単でござるよ。 >>594
b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C, a+b+c=A+B+C.
HM = 3abc/(ab+bc+ca)
=（3/2)(A+B)(B+C)(C+A)/{(A+B+C)^2 +（AB+BC+CA)｝
≧（4/3)(A+B+C)(AB+BC+CA)/{(4/3)(A+B+C)^2}
=（AB+BC+CA)/(A+B+C)
≧（4√3)S/(a+b+c)
=（2√3)r,
したがって a,b,c>0 で成立するかがミソのようでござる… >>608 >>628
かたじけない。その証明が難しいので、もう少し時間を。 疑問でござる。
(1)
a, b, c >0 の相乗平均を G とおくとき、a/(b+G) + b/(c+G) + c/(a+G) ≧ 3/2 は成り立つか？
(2)
上式で、右辺の定数をGを含む式に変えられないか？ たとえば、3/(1+G) みたいな感じで。
(3)
a, b, c >0、s = a+b+c、t = ab+bc+ca、u = abc に対して、s^3u - t^3 ≧0 は成り立つか？ >>640
(3)は(a,b,c) = (1,1,2), (2,2,1) で正負になった。すまぬすまぬ…。 >>628
ようやく理解。ところでRavi変換は (b+c-a)/2 = x、… なのでは？
基本対称式を使って、力任せに証明してみた。
a, b, c の基本対称式を s, t, u とおくと、
HM^2 - (2√3*r)^2 = 3{3s(st-u)^2 - 4u(s^2+t)^2}/{s(s^2+t)^2}
分子 = u(s^2t+3su-4t^2) + s^2(st^2-4s^2u+3tu) + 2s^2t(st-9u) ≧0
週末が始まったと思ったら、もう終わっていたでござる… ('A`) >>652
正確には、分子じゃなくて、分子の中括弧の中身。 >>652
何度もすまぬ。
Ravi変換 (b+c-a)/2 = x、…をしてから、x, y, z の基本対称式 s, t, u を使ったのでござった。 >>609
〔Schur 不等式の拡張〕
P,Q,R≧0 かつ（P,Q,R）（a,b,c）が同順または逆順ならば
P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b）≧ 0.
(略証)
bはa，cの中間にあるとしてよい。
(a-b)(b-c）≧ 0
題意より、P,Q,R≧0 かつ QはP，Rの中間にあるから、
P-Q+R ≧0
これらより、
P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b）
= P(a-b)^2 +（P-Q+R)(a-b)(b-c）+ R(b-c)^2
≧ 0, （終）
いろいろな拡張があり、まとめて Vornicu－Schur 不等式と云うらしい。
詳しくは、ニコニコ大百科の「シューアの不等式」の項を参照
>>640
(1) >>449(1）と同じでつ。
(2）同次式ゆえ、定数でつ。
>>654
それなら、>>652 は >>628 と同じでつね。 >>617
専門バカになるでござる。
（ただし、専門を持たぬ只のバカよりは、すこーしマシである。） >>628
a,b,c が△の辺長でない場合も簡単でござるよ。
A+B=2c≧0，B+C=2a≧0，C+A=2b≧0,
∴ A,B,Cのうち負となるのは１つだけ。
∴ HM^2 ≧ 0 ≧ 3ABC/(A+B+C), a, b, c >0 かつ abc≧1 のとき、
(1) [2004 ウクライナ、 文献 [9] 佐藤(訳)P.139]
a^3 + b^3 + c^3 ≧ ab+bc+ca
(2) [2006.3 エレ解、一松信]
a^2b + b^2c + c^2a ≧ ab+bc+ca
(3) [疑問]
上の左辺 a^3 + b^3 + c^3 と a^2b + b^2c + c^2a の大小は定まるのか？
巡回不等式に有効な手段って何？ 真ん中の数を固定して場合分けくらいかな？ >>669
(abc)^(1/3) = G とおき、AM-GM する。
(1)
a^3+a^3+b^3 -3aab = (2a+b)(a-b)^2 ≧ 0
ゆえ、(2)に帰着する。
(2) aab+aab+bbc ≧ 3aG,
巡回的にたす。
(3) Muirheadの不等式 >>669
>>670 の訂正
(2) aab + aab + bbc ≧ 3abG
でござった。
(3) 非対称のときは微妙な場合もあるが、この場合は成立つでござる。 >>2 安藤 [8] に著者のHPのリンクを追加 （まとめwikiは更新済み）
http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/ （著者のページに正誤表+補遺）
Muirhead's inequality は難しくて、>>1のまとめwikiを見たけど挫折。
その後、>>2 安藤 [8] PP.11-14を読んで、なんとか証明は辿れたけど、
簡単な例を作るなどで練習していないから、全く使いこなせない。 ← 今ココ
今が勉強するときなのかもしれないなあ。
( ﾟдﾟ ) ｶﾞﾀｯ
.r ヾ
＿_l_l /￣￣￣/＿
＼/ / 古いmemoを見つけたので、紛失する前に書き込んでおく。
証明は簡単だけど、見た目がよかったので。
〔出典不明〕
A(a,b) = (a+b)/2、G(a,b) = √(ab)、A(a,b,c) = (a+b+c)/3 などと書くことにする。
正の数 a, b, c, d に対して、
A(a,b,c,d) ≧ G(A(a,b,c),A(b,c,d),A(c,d,a),A(d,a,b)) ≧ G(A(a,b).A(a,c).A(a,d).A(b,c).A(b,d).A(c,d).) ≧ G(a,b,c,d) >>674
[第6章.151-159］の辺りにござる。
G(A(a,b,c), A(b,c,d), A(c,d,a), A(d,a,b))^4
= (a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)/81
= (sst -su +v)/81,
G(A(a,b), A(a,c), A(a,d), A(b,c), A(b,d), A(c,d))^6
= (a+b)(a+c)(a+d)(b+c)(b+d)(c+d)/64
= (stu -ssv -uu)/64,
A(ab, ac, ad, bc, bd, cd)
= (ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6
= t/6,
A(abc, bcd, cda, dab)
= (abc+bcd+cda+dab)/4
= u/4, >>669(3)
(a^2, b^2, c^2) と (a,b,c) は大小の順が同じだから、
『同順序積の和 ≧ 乱順序積の和 ≧ 逆順除籍の和』 で、
a^3 + b^3 + c^3 ≧ a^2b + b^2c + c^2a
で問題ない蟹？ (1) [1999 Russia]
a, b, c >0 に対して、1 + 3/(ab+bc+ca) ≧ 6/(a+b+c)
(2) [1999 Russia]
a, b, c >0、abc=1 に対して、1 + 3/(a+b+c) ≧ 6/(ab+bc+ca)
(3) [不明]
a, b, c >0、abc=1 に対して、2/(a+b+c) + 1/3 ≧ 3/(ab+bc+ca) (1) [出典不明]
a, b, c, d >0、abcd=1 とする。
1/(1+ab+bc+ca) + 1/(1+bc+cd+db) + 1/(1+cd+da+ac) + 1/(1+da+ab+bd) ≦ 1
[疑問]
1/(1+ab+bc+cd) + 1/(1+bc+cd+da) + 1/(1+cd+da+ab) + 1/(1+da+ab+bc) だと、どうなるのだろう？ 以下、a, b, c >0、abc=1 とする。いずれも出典不明
(1)
(a+b)(b+c)(c+a) + 7 ≧ 5(a+b+c)
(2)
(a+b+c)/3 ≧ {(a^2+b^2+c^2)/3}^(1/5)
(3)
(a-1)/b + (b-1)/c + (c-1)/a ≧ 0
(4)
(a-1)/(b+c) + (b-1)/(c+a) + (c-1)/(a+b) ≧ 0
(5)
(a/c)^2 + (b/a)^2 + (c/b)^2 ≧ 2(a-b)(b-c)(c-a) + 3
-----------------------------------
未整理のmemoの中で abc=1、abcd=1 のタイプは片付いたかも…。
r～～～～～～～～～
＿_ _ﾉ きりがないでござる・・・
／__ ｀ヽ_ ⌒ヽ～～～～～～～～～
|〈___ﾉf レ1(
,L| しL.し'ﾞ"
"｀ "′ [おまけ]
友愛数みたいな関係でござるな。
(1)
a, b, c >0、a+b+c=3 のとき、a^2 + b^2 + c^2 + abc ≧ 4.
(2)
a, b, c >0、a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 のとき、a+b+c ≦3. >>679
(5) やはり巡回式は全く手が出ない… >>667
(1)
1 -6/s +3/t =（1 -3/s)^2 + 9/(3t）- 9/ss ≧ 0, （ss≧3t)
(2)
1 -6/t +3/(su）=（1 -3/t)^2 + 9/(3su）- 9/tt ≧ 0, (tt≧3su)
(3)
a=b<c のとき不成立（a=b≧c では成立）でござる。 >>680
(1）題意より
(左辺）= s(ss-2t)/3 + u
=｛4s^3 + 3(s^3 -4st+9u) + 2(ss-3t)}/27
≧（4/27)s^3
= 4,
セビリアMO-2008改
佐藤(訳)、[9] 問題3.118
(2)
題意より、0<a～c<2、
（3-a-b-c)(3+a-b-c+bc）=（4-aa-bb-cc-abc）+ 1 -（2-b)(2-c)(b+c-1)
≧ 1 -（2-b)(2-c)(b+c-1）≧0
∵ b+c-1>0 のとき、AM-GMで（2-b)(2-c)(b+c-1)≦1
イランMO-2002、A.16
>>682 (3)
不等号が逆でござった。 >>679
>>681
(3)
a=y/x, ... とおくだけ
(5)
x=b/a, ..., f(x, y, z)=LHS-RHSとおくと
f(x, y, z) - f(t, t, t) = 3/4 * (x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) >= 0 where t = (x+y+z)/3
よって x = y = z = 1 のとき示せばよいがこれは明らか >>677
(1)
1 -6/s +3/t =（1 -3/s)^2 + 9/(3t）- 9/ss ≧ 0, （ss≧3t)
(2)
1 -6/t +3/(su）=（1 -3/t)^2 + 9/(3su）- 9/tt ≧ 0, (tt≧3su)
(3)
成り立ったでござる。死んでお詫びを…（AA略 >>679
(2)
ss =（aa+bb+cc）+ t + t,
s^6 ≧｛(aa+bb+cc) +t +t}^3
≧ 27(aa+bb+cc)tt
≧ 81(aa+bb+cc)su,
∴（s/3)^5 ≧｛(aa+bb+cc)/3}u,
〔補題196〕
(8/27)(a+b+c)^5 ≧ (a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(aa+bb+cc),
を使う。（じゅー）
(4)
チェビシェフで，
箔ｯ順序積 ≧ 迫随㍼�ﾏ，
（左辺）≧（1/3)(a+b+c-3){1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)}≧0, >>687
> 〔補題196〕
> (8/27)(a+b+c)^5 ≧ (a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(aa+bb+cc),
左側はアッサリ、右側はサッパリ…。
8(a+b+c)^3 - 27(a+b)(b+c)(c+a) = 3(s^3-4st+9u) + 5s(s^2-3t) ≧ 0
(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 - 24abc(aa+bb+cc) = s^3t - 25s^2u +48tu
--------------------------------------------------
ついでに、過去ログ漁っていて出てきたやつですが、すっきりした証明ができませぬ。
[第６章.908]
a,b,c>0のとき、{(a+b+c)(ab+bc+ca)}^2≧27abc(a^3＋b^3＋c^3),
{(a+b+c)(ab+bc+ca)}^2 - 27abc(a^3＋b^3＋c^3)
= s^2t^2 - 27s^3u + 81stu - 81u^2
次数が上がると、s, t, u の不等式のどれを組み合わせるか難しくなる。 >>688
〔補題196〕の略証
チョト難しいのでSchurの拡張で。
bはa、cの間にあるとする。
(左辺)-(右辺）= P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b)
= P(a-b)^2 +（P-Q+R)(a-b)(b-c）+ R(b-c)^2,
P =（b+c)(b+c-a)^2 + 2(a+b+c)(b-c)^2 ≧ 0,
P-Q+R = 2b{(a+c)^2 -6ac＋3bb｝= 2b{(a+c-3m)^2＋3(bb-mm)｝≧ 0,
R =（a+b)(a+b-c)^2 + 2(a+b+c)(a-b)^2 ≧0,
ここに、m = min{a,c｝、ac=m(a+c-m)
-----------------------------ｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰ--------------------
[第６章.908］の略証
S = aaa+bbb+ccc, T =（ab)^3+(bc)^3+(ca)^3,
p = aab+bbc+cca, q = abb+bcc+caa, u=abc とおく。
pq = T+uS+3uu ≧ 3u(3ST)^(1/3）≧ 3u√(3Su）より、
（左辺）=｛(a+b+c)(aa+bb+cc)}^2 =（S+p+q)^2 ≧ 9(Spq)^(2/3）≧ 27Su，
Casphy!-不等式2-177 じゅー >>677 (3)
st +6Gt -9GGs ≧ 0,
>>679 (1)
st +6u -5GGs ≧ 0,
の特効薬は無いでござるか？（G=(abc)^(1/3))
3次方程式
X^3 -sX^2 +tX -u=0
の判別式は
27⊿^2 = 27{(a-b)(b-c)(c-a)}^2
= 4(ss-3t)^3 - (2s^3 -9st +27u)^2
=（st-9u)^2 -4(t^3 +s^3･u +27uu -9stu)
=（st+9u)^2 -4(t^3 +s^3･u +27uu)
=（st+6GGs +6Gt +9u)^2 -4(t +Gs +3GG)^3,
3つの実根 a,b,c をもつときは
st+6GGs+6Gt+9u ≧ 2(t+sG+3GG)^(3/2),
と思われるが、さて… >>679
>>690
f(a, b, c)=LHS-RHS, a>=c>=b とすると
f(a, b, c)- f(a, t, t) = 1/4 *(2a-b-c) >= 0 where t = (b+c)/2
f(a, b, c) - f(ab, c, 1) = (a-1)(1-b)(c^2+abc+ab+bc+ca+c-5) >=0
よって a = b = c = 1 のとき調べればよいが明らか >>690
f(X) = X^3 -sX^2 +tX -u
f'(X) = 3X^2 - 2sX + t
AN-GMより f'(X)の判別式 D/4 = s^2-3t ≧0
f'(X)=0の解α,βは、α+β, αβ>0 より、α,β>0
また f(0)=-u<0
グラフを考えると、f(X)=0が正の解a, b, cをもつ条件は f(α)f(β)≦0
f(α)f(β) = -(s^2t^2 - 4s^3u +18stu - 4t^3 -27u^2) ≦0
∴ s^2t^2 - 4s^3u +18stu - 4t^3 -27u^2 ≧0
残念無念…
s, t, u に関する既知の不等式が出てきただけでござった。
s^2t^2 - 4s^3u +18stu - 4t^3 -27u^2 = {(a-b)(b-c)(c-a)}^2
('A`) ,..;:～''"
ﾉ( ﾍﾍ ,,.､;;:～''' >>677 (3) が成立つとする。
2/s + 1/3 ≧ 3/t,
または
t ≧ 9s/(s+6),
一方、9ss -（s+6)(5s-6）= 4(s-3)^2 ≧ 0 より
9s/(s+6）≧（5s-6)/s,
したがって
t ≧（5s-6)/s,
または
st + 6 ≧ 5s >>679（1)
それぢゃ、>>677（3）はどうするか？ Schur's inequality を対称性を崩さずに証明するときの以下の変形は、どうやって思いつくんでしょうか？
F_1 = xy(x+y)(x-y)^2/{(y+z)(z+x)} + yz(y+z)(y-z)^2/{(z+x)(x+y)} + zx(z+x)(z-x)^2/{(x+y)(y+z)}
F_2 = {(x+y-z)2(x-y)^2 + (y+z-x)2(y-z)^2 + (z+x-y)2(z-x)^2 }/2 >>695
>>665 にある文献か
Casphy! - highmath - 不等式2 - 175（じゅー）
をサンショウウオ [疑問１]
Schur's inequality を対称性を崩さずに証明できるのは、n=0,1,2,3 以外には知られていないのかな？
検索の仕方が下手なのか見当たらんでござる。
[疑問２]
>>677のように、同次でない不等式の証明で、お決まりのテクニックって何じゃらほい？
条件式を使って無理やり同時にして、基本対称式の不等式を利用するくらいしか思いつかないけど、
この問題では、条件式を使っても３乗根が現れて大変だし… >>695 >>697 [1]
拙者にも分かりませぬ。
Ｆ_(n+3）=（x+y+z）Ｆ_(n+2）-（xy+yz+zx）Ｆ_(n+1）+ xyz Ｆ_n
では対称性は崩れませぬが、うまく証明できるのか疑問だし。 >>698
> Ｆ_(n+3）=（x+y+z）Ｆ_(n+2）-（xy+yz+zx）Ｆ_(n+1）+ xyz Ｆ_n
ちょうど今、その等式を導いたとこでござる。
それから F_1 を対称性を保つように変形中に次式が出てきて、Wolfram先生に確認してもらった。
F_1
= (1/2){(x^2+y^2-z^2)(x-y)^2 + (y^2+z^2-x^2)(y-z)^2 + (z^2+x^2-y^2)(z-x)^2}
= (1/2){(x+y-z)^2(x-y)^2 + (y+z-x)^2(y-z)^2 + (z+x-y)^2(z-x)^2}
しかし、ここから （結果を知らずに） 次式に変形する方法が思いつかない。
F_1 = xy(x+y)(x-y)^2/{(y+z)(z+x)} + yz(y+z)(y-z)^2/{(z+x)(x+y)} + zx(z+x)(z-x)^2/{(x+y)(y+z)} >>698
3Ｆ_2 = 2(x+y+z)Ｆ_1 +｛(x+y+z)^2 -4(xy+yz+zx)}Ｆ_0,
を使うと
Ｆ_3 =（xx+yy+zz)Ｆ_1 - 2xyzＦ_0
となるが、その後が…
700げとー >>700
P=p(z-y), Q=q(x-z), R=ｒ(y-x), p+q+r=0 のとき
P(x-y)(x-z）+ Q(y-z)(y-x）+ R(z-x)(z-y)
=（p+q+r)⊿
= 0,
ここに⊿=（x-y)(y-z)(z-x),
例 p=z-y，q=x-z，r=y-x のとき P=pp、Q=qq、R=rr. >>677 (3) >>690 >>694
・t≧9 のときは明らか。
・3≦t≦9 のとき。
24tt -（9-t)(t^3 +9u）= t(t-3)^3 + 3(9-t)(t-3）≧ 0,
(9-t)/3t ≦ 8t/(t^3 +9u),
(左辺）-（右辺）=（2/s + 1/3）- 3/t
= 2/s - (9-t)/3t
≧ 2/s -8t/(s^3 +9u)
= 2(s^3 -4st +9u)/{s(s^3 +9u)｝
= 2F_1(x,y,z)/{s(s^3 +9u)}
≧ 0, >>677 (3) >>690 >>694
・t≧9 のときは明らか。
・3≦t≦9 のとき。
24tt -（9-t)(t^3 +9uu）= ｔ(t-3)^3 +3(9-t)(t-3）≧ 0,
(9-t)/3t ≦ 8t/(t^3 +9uu),
(左辺）-（右辺）=（2/s + 1/3）- 3/t
= 2/(su) - (9-t)/3t
≧ 2/(su) -8t/(t^3 +9uu)
= 2(t^3 -4stu +9uu)/{su(t^3 +9uu)｝
= 2uu･F_1(1/x,1/y,1/z)/{s(t^3 +9uu)}
≧ 0, >>679 (1) >>690
・t≧5 のときは明らか。
・3≦t≦5 のとき、
24t -（5-t)(t^3 +9uu）=（t-3)^4 +7(t-3)^3 +9(t-3)^2 +6(t-3）≧0,
5-t ≦ 24t/(t^3 +9uu),
(左辺）-（右辺）= 6 -（5-t)s
≧ 6 -24st/(t^3 +9uu)
= 6(t^3 -24stu +9uu)/(t^3 +9uu)
= 6u^3･F_1(1/x,1/y,1/z)/(t^3 +9uu)
≧ 0, >>703 >>704
t^3 -4stu +9uu = u^3･F_1(1/x,1/y,1/z）= uu･F_{-2}(x,y,z)
=｛(z^5)(xx-yy)^2 + (x^5)(yy-zz)^2 +(y^5)(zz-xx)^2}/{(x+y)(y+z)(z+x)}
≧0
を使いますた。 >>677
佐藤(訳)：文献[9]、演習問題1.86
u=1 のときは（s,t）を入れ換えても成り立つ。（duality) >>388 (5) >>450
〔Hlawkaの不等式〕を拡張…
r≧1 のとき
K(r){|a|^r +｜b|^r +｜c|^r +｜a+b+c|^r｝≧｜a+b|^r +｜b+c|^r +｜c+a|^r,
ここに K(r）は
1≦r≦2 のとき、K(r）=（2^r)/{1+3^(r-1)},
2≦r のとき、K(r）= 2^(r-2),
kurims 講究録-1136-11 p.90-95 (2000) Theorem 2
>>449 (2)
佐藤(訳)：文献[9]、演習問題1.43、問題3.67
(1+ab)(1+a）= ab(1+c)/(1+a), など。
AM-GMする。
>>453
佐藤(訳)：文献[9]、演習問題1.61
x^3 +x^3 +y^3 ≧ 3xxy, (AM-GM）より
x^3 +y^3 +z^3 ≧ xxy + yyz + zzx,
(x,y,z）=（a,b,c）と（x,y,z）=（ab,bc,ca）をたす。 >>689
> 〔補題196〕の略証
> (左辺)-(右辺）= P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b)
この形に変形するのって、ものすごく大変なんじゃないん？ >>709
その通り。
（a,b,c）=（1,1,1）以外に（1,1,2）（1,2,1）（2,1,1）でも等号が成立するから、チョト難しい。
他に使えそうな方法は無いか？ >>708
解答も訂正。
>>453
チェビシェフ（または AM-GM）で
a^3 +b^3 +c^3 ≧ aab + bbc + cca = (a/c + b/a + c/b)u,
(ab)^3 +(bc)^3 +(ca)^3 ≧ ab(bc)^2 + bc(ca)^2 + ca(ab)^2 = (b/a + c/b + a/c)uu,
辺々たす。 >>679 (5)
a/c=y, b/a=z, c/b=x とおくと xyz=1.
(a-b)(b-c)(c-a)/abc =（a/b +b/c +c/a）-（c/b +a/c +b/a）=（xy+yz+zx）-（x-y-z),
(左辺）-（右辺）=（xx+yy+zz）-2(xy+yz+zx）+2(x-y-z）-3
=（x+y+z)^2 -4(xy+yz+zx）+2s -3
=｛F_1(x,y,z) -9xyz}/s +2s -3
= F_1(x,y,z）+（2s+3)(s-3)/s
≧0, （s=x+y+z≧3) (1) a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^5 ≧ 81abc(a^2+b^2+c^2)
(2) a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^6 ≧ 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2
AOPS：https://artofproblemsolving.com/community/c6h1282022p6753168
[疑問１]
(1)の証明について、
(a+b+c)^3 - 3(a+b)(b+c)(c+a) = s^3 - 3(st-u) = s(s^2-3t) + 3u >0
∴ (a+b+c)^3 > 3(a+b)(b+c)(c+a) ---(A)
>>687 〔補題196〕 の右側
(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(a^2+b^2+c^2) ---(B)
(A),(B)から、
(a+b+c)^3 *(a+b+c)^2 > 3(a+b)(b+c)(c+a)*(a+b+c)^2 ≧ 3*24abc(a^2+b^2+c^2)
等号が成り立たなくなるが、実際は例えば、a=b=c のときに等号が成り立つ。
このやり方は、何か間違っているのかな？
A≧B を証明するときに、途中に式を挟んで A≧C、C≧B を証明することがあるけど、
A=C かつ C=B から出した等号成立条件が、A=Bの等号成立条件と一致しないことがあるのは仕方のないことなのかな？
（具体例がすぐには出てこないけど、絶対値の入った不等式の証明とかで、なったことがある）
[疑問２]
(2)の証明が分かりませぬ…。
(1)を次のように証明して、そのコメントに、「コーラを飲んだらゲップが出るくらい明らか（嘘訳）」
と書いてあるけど、ピンときませぬ…。
(a+b+c)^6 ≧ 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2 ≧ 81abc(a^2+b^2+c^2) >>689
Q = (c+a)(c+a-b)^2 + 2(a+b+c)(c-a)^2 ですよね？ >>688-689
> (a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(aa+bb+cc)
>
> bはa、cの間にあるとする。
> (左辺)-(右辺）
> = P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b)
> = P(a-b)^2 +（P-Q+R)(a-b)(b-c）+ R(b-c)^2,
>
> P =（b+c)(b+c-a)^2 + 2(a+b+c)(b-c)^2 ≧ 0,
> P-Q+R = 2b{(a+c)^2 -6ac＋3bb｝= 2b{(a+c-3m)^2＋3(bb-mm)｝≧ 0,
> R =（a+b)(a+b-c)^2 + 2(a+b+c)(a-b)^2 ≧0,
> ここに、m = min{a,c｝、ac=m(a+c-m)
Q = (c+a)(c+a-b)^2 + 2(a+b+c)(c-a)^2 として、P-Q+R を計算したら、
P-Q+R = 2b{(a+c)^2 -6ac＋3bb｝ + 8(c+a){(c-a)^2 + ca}
となったけど、計算合っているか確認おねがいしますだ。 >>715
ごめん。私の計算違いでした。
ﾍ）)∧
（ﾟ ∀ﾟ ）
ノ || ｙ / ヽ 切腹しまつ
━(m二フ⊂[__ノ､
（＿（＿＿ノ >>712 の訂正
× (x-y-z)
○ (x+y+z)
>>713
[疑問1]
(1）は >>679 (2）ですね。
>>687 を参照。
あえて難しい〔補題196〕を使う必要は無かったですね。
[疑問2]
>>687 を参照。
(2）と（ab+bc+ca)^2 ≧ 3abc(a+b+c) から（1）を出します。
>>714
そうです。 >>713
(1)
A >= 81B という不等式を示すのに A > 72B という不等式を示しても何も意味がない
より雑な不等式にしてるんだから等号が成立しなくなるのは必然
[疑問1]
A >=C, C >=B の両方の等号成立条件を合わせたものが A >= B の等号成立条件
(2)
因数分解が一番簡単
[疑問2]
uvw で右側の不等式は明らか
(おそらく AoPS での解き方はこれ) >>718
なんと！ 因数分解できるとは…
(a+b+c)^6 - 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2
= (a^2 + b^2 + c^2 + 8ab + 8bc + 8ca)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)^2
UVW-method って、これのことですか？
https://brilliant.org/wiki/the-uvw-method/ >>719
それだよ
wikiがあったんだ
aopsにあるもとの記事読んでもいいと思うけど a, b, c >0 に対して、AM + 3*HM ≧ 5*GM/{16^(1/3)}. >>69 (1)、>>713 (1)
> a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^5 ≧ 27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 + ca^2)
> a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^5 ≧ 81abc(a^2 + b^2 + c^2)
改造手術の時間でござるよ。 右辺の大小は定まるのでせうか？
27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 +ca^2) = 27abc * (ab+bc+ca)(a/b + b/c + c/a)
81abc(a^2+b^2+c^2) = 27abc * 3(a^2 + b^2 + c^2)
だから、(ab+bc+ca)(a/b + b/c + c/a) と 3(a^2 + b^2 + c^2) の大小が定まれば…。
(ab+bc+ca)(a/b + b/c + c/a) ≧ (a+b+c)^2 ≧ 3(ab+bc+ca) ≦ 3(a^2 + b^2 + c^2)
適当にやっても、うまく行かんでござる…
..::::::,､_,､::: ::::: ::: :
/ﾖﾐﾞヽ)-､. :: ::::
─（ﾉ─ヽ.ｿ┴─ a, b, c >0 の基本対称式 s, t, u で、曲者を縛るでござる。 （曲者 = a/b + b/c + c/a）
(ab+bc+ca)(a/b + b/c + c/a) ≧ (a+b+c)^2
a(a-b)^2 + b(b-c)^2 + c(c-a)^2 = s^3 - 2st - 3u(a/b + b/c + c/a) ≧ 0
∴ s(s^2-2t)/(3u) ≧ a/b + b/c + c/a ≧ s^2/t
これしか思いつきませぬ…。 他にないでござるかな？ >>721
A + 4H =（A/2) +（A/2）+ 4H
≧ 3(AAH)^(1/3) （← AM-GM)
= 3{(s/3)(s/3)(3u/t)}^(1/3)
≧ 3u^(1/3) （← ss≧3t)
= 3G （← Sierpinski)
を使うのが簡単かと...
A + 3H > （2/3)(A+4H）≧ 2G >｛5/16^(1/3)} G >>721、>>724
ごめん、リンク先の問題をよく見たら、問題が間違っていました。
正しくは、 「a, b, c >0 に対して、AM + HM ≧ 5*GM/{16^(1/3)}」 でした。 >>721 再掲
a, b, c >0 に対して、AM + HM ≧ 5*GM/{16^(1/3)}
>>724 の方法を真似てみたが、うまくいかなかった。
A + H
＝（A/2) +（A/2）+ H
≧ 3(AAH/4)^(1/3) …(1)
＝ 3{(ss/(3t))*(u/4)}^(1/3)
≧ 3{(u/4)}^(1/3) …(2)
= 3G/{4^(1/3)}
(1)の等号は A=2H、(2)の等号は a=b=c で異なるから、
A+H > 3G/{4^(1/3)}
問題の右辺と較べたら、5/16^(1/3)} > 3/{4^(1/3)} でした。 【問題】
xyz座標平面において、次の不等式で表される立体の体積を求めよ。
|x＋y+z| + |-x+y+z| + |x-y+z| + |x+y-z| ≦ 4
検索中に、どこかで見たことのある問題を見つけた。
しばらく検索したものの、出典は分からず…。
コレクションに入っているかと探したが、そこにもなかった。
これが、どんな立体図形になるのかも分かりませぬ ('A`)ｳﾞｫｴｧ！ >>679 (1) について
問題再掲
a, b, c >0、abc=1 に対して、(a+b)(b+c)(c+a) + 7 ≧ 5(a+b+c).
解答
>>704、>>706
うますぎて、思いつきませぬ。
以下のような泥臭い方法で考えていたんだけど、行き詰まったでござる。
左辺 - 右辺 の最小値を考える。
abc=1 があるので、実質２文字の関数で、一方を任意に固定して、一変数関数で考えて出せないかと。 >>728
｜a+b｜+｜a-b｜= 2 Max{|a|，|b|｝を使うと、
(左辺）= Max{4|x|，4|y|，4|z|，2|x+y+z|，2|-x+y+z|，2|x-y+z|，2|x+y-z|}
｜x｜≦1
｜y｜≦1
｜z｜≦1
｜x+y+z｜≦2
｜-x+y+z｜≦2
｜x-y+z｜≦2
｜x+y-z｜≦2
の14面で囲まれた立方八面体でござる。
>>729
t^3 -4stu +9uu ≧ 0, >>706
s = a+b+c ≦ (t^3 +9uu)/4tu
u = abc = 1
を使って sとu を消し、t=ab+bc+ca だけの関数で考えて出したのが >>704 >>726 >>727
等号成立は（x､y､z）=λ(1,4,4） and cyclic shift
という所がミソ >>731
> t^3 -4stu +9uu ≧ 0, >>706
> s = a+b+c ≦ (t^3 +9uu)/4tu
> u = abc = 1
> を使って sとu を消し、t=ab+bc+ca だけの関数で考えて出したのが >>704
なるほど。 u=1 だから、s か t のどちらかを消せばよいと。
そこで s を消すために、sを含む s, t, u の不等式の中から、s≦f(t) となりそうなものとして F_1 を選んだ訳でござるな。
考え方が分かってスッキリ！
するってぇと何かい？ t^2 ≧ 3su を使ってもいいってことだね？
s ≦ (t^2)/(3u) = (t^2)/3 より、3≦t≦5 のとき、
(左辺）-（右辺）
＝ 6 - (5-t)s
≧ 6 - (5-t)*(t^2)/3
＝ (t-3)(t^2-2t-6)/3
-3 ≦ t^2-2t-6 ≦ 5 となって失敗したでござる。 F_1 じゃなきゃダメなのか…。 >>733
-3 ≦ t^2-2t-6 ≦ 9 の間違いですた >>733
F_1 じゃなきゃダメですね…。
マクラーレン・ホンダ：F_1ベルギーGPの決勝レポート（8/28）
マクラーレンはF_1ベルギーGP決勝で、S．バンドーンが14位、Ｆ．アロンソはリタイアだった。
両ドライバーは見事なスタートを切り、Ｆ．アロンソは1周目には10番手から7番手に浮上。
しかし、その後エンジンの不調が発生したためリタイアし、入賞を逃しますた。残念 怒涛の abc=1 シリーズの際に書いたつもりが、書いてなかったようなので。
【問題】
a, b, c >0、abc=1 に対して、
1/(1+a)^3 + 1/(1+b)^3 + 1/(1+c)^3 + 5/{(1+a)(1+b)(1+c)} ≧ 1
∧＿∧ 積一定？
( ･ω･)＝つ≡つ ボコボコにしてやんよ！
(っ ≡つ＝つ
/ ) ﾊﾞﾊﾞﾊﾞﾊﾞ
( /￣∪ >>677
(3)をプチ改造。
a, b, c >0、abc=1 に対して、2/(ab+bc+ca) + 1/3 ≧ 3/(a+b+c). >>722
成り立たなかった…。(a,b,c) = (1,1,2), (1,1,1), (1,1,1/2) >>732
AM-GM や Schur で証明できた場合は、等号成立条件が a=b=c になってしまうから、
証明の中で、それ以外の特殊な不等式が必要になるってことですかね？ >>737
(a,b,c) →（1/a,1/b,1/c）としたでござるな。
a+b+c → （ab+bc+ca)/abc,
ab+bc+ca → （a+b+c)/abc,
abc → 1/abc,
>>703 の（s,t）を入れ換えて
F_1(a,b,c）= s^3 -4st +9u ≧0,
t ≦（s^3 +9u)/4s,
これを使えば おk >>707
>>739
そうですね。
AM-GM や Schurは（1,4,4）で等しくないので使えません。 >>736
難しいので、劣化改造してみた。こちらは力任せに証明できる。
a, b>0 かつ ab=1 のとき、1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + 2/{(1+a)(1+b)} ≧1. ところで、AM + GM に関する不等式って何かあったっけ？ Jacobsthal は差だし、Sierpinskiは商か。 >>679
(4)をプチ改造。Nesbittの間に割り込んだ形ですね。
a, b, c >0、abc=1 に対して、
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ 1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) ≧ 3/2 >>744
左は(4)を変形しただけ。
右は間違っているかもしれん。
Cauchyの後にAM-GMを使ったんだけど、AM-GMの不等号が逆で、証明になっていなかった。 結局、こうですね。
a, b, c >0、abc=1 に対して、
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ 1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) > 0 これでOK？
λを正定数、a, b>0 かつ ab=1 のとき、
1 + λ/4 ≧ 1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + (2+λ)/{(1+a)(1+b)} ≧1. λを正定数、a, b>0 かつ ab=1 のとき、
1 + λ/4 ≧ 1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + (2+λ)/{(1+a)(1+b)} > 1.
こうですね。 a, b, c ≧0 かつ a+b+c=1 のとき、a*(a+b)^2*(b+c)^3*(c+a)^4 の最大値を求めよ。 >>750
GM-AM で
(与式）= 16･a･(a+b)^2･(b+c)^3･{(c+a)/2}^4
≦ 16｛[a + 2(a+b）+ 3(b+c）+ 4((c+a)/2)]/(1+2+3+4)}^10
= 16｛(a+b+c)/2}^10
= 1/64. （← a+b+c=1)
等号は（a,b,c）=（1/2,0,1/2) >>744
a, b, c >0, abc=1
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) >= 1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) + (3/2 - 4/((a+b)(b+c)(c+a))) >>752
間違えた
a, b, c >0, abc=1
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) >= 1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) + (1/2 - 4/((a+b)(b+c)(c+a))) 【問題A】a, b, c >0 とする。
(1)
(ab+bc+ca)^3 ≧ (a^2 + 2b^2)(b^2 + 2c^2)(c^2 + 2a^2)
(2)
(a^2 + b^2 + c^2)^3 ≧ (a+b+c)(ab+bc+ca)(a^3 + b^3 + c^3)
(3)
(a^2 + bc)(b^2 + ca)(c^2 + ab) ≧ abc(a+b)(b+c)(c+a)
(4)
3*{(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2} ≧ (ab+bc+ca)(a^2 + b^2 + c^2)
(5)
(a^2 + ab + b^2)(b^2 + bc + c^2)(c^2 + ca + a^2) ≧ (ab+bc+ca)^3
(6)
(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca) + 8abc/(a+b)(b+c)(c+a) ≧ 2
【問題B】
(7)
a, b, c, d >0 に対して、(a+b+c-d)(b+c+d-a)(c+d+a-b)(d+a+b-c) ≦ (a+b)(b+c)(c+d)(d+a)
(8)
0 ≦ a, b, c ≦ 1 に対して、a^(bc) + b^(ca) + c^(ab) > 2
【参考】
(8)の類題 [第5章.698, 708]
a, b, c >0 に対して、a^(b+c) + b^(c+a) + c^(a+b) ≧ 1
＿＿＿ ====
＼ .／ ≧ ＼ ====
＼| ＼ .／ ::::|
| ●） ●） :::::| そんな不等式で俺様がクマ――！！
ヽ......ワ...:::::.ノ
｀つ ｀つ (´⌒(´
ゝ_つ_｀つ≡≡≡(´⌒;;;≡≡≡
(´⌒(´⌒;;
ｽﾞｻﾞｻﾞｻﾞ 【問題】
a, b, c >0 に対して、2*QM + 3*GM ≦ 5*AM。 ただし、QM = √{(a^2+b^2+c^2)/3} >>388
条件 x>y が抜けとる。すみませぬ。
訂正
x>y>0 かつ (x^6)(y^2) - (x^5)(y^3) + (x^5)(y^5) - (x^4)(y^6) ≧ 4 のとき、x^3+y^2≧3. >>754
(1)
aa=A，bb=B，cc=C とおいて考える。
(右辺）=（A+2B)(B+2C)(C+2A)
= 2(AAB+BBC+CCA）+ 4(ABB+BCC+CAA）+ 9ABC,
(左辺）=（ab+bc+ca)^3
= aabb(ab+3bc+3ca）+ bbcc(bc+3ca+3ab）+ ccaa(ca+3ab+3bc）+6(abc)^2
≦ AB(2A+2B+3C）+ BC(2B+2C+3A）+ CA(2C+2A+3B）+ 6ABC
= 2(AAB+BBC+CCA）+ 2(ABB+BCC+CAA）+15ABC,
(右辺）-（左辺）≧ 2(ABB+BCC+CAA-3ABC）≧ 0, （← AM-GM)
(4) a>>b,c では不成立？
(5）コーシーで
(ab+bb+aa)(bb+bc+cc)(aa+cc+ca）≧（ab+bc+ca)^3
(6)
9(st-u) - 8st = 9(a+b)(b+c)(c+a）- 8(a+b+c)(ab+bc+ca)
= a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2
≧0,
(左辺）-2 = (ss-4t)/t + 8u/(st-u)
≧ 8s(ss-4t)/{9(st-u)} + 8u/(st-u)
= 8(s^3 -4st+9u)/{9(st-u)}
= 8F_1(a,b,c)/{9(st-u)}
≧0, >>754
(2)
(左辺）-（右辺）=（aa+bb+cc)^3 -（a+b+c)(ab+bc+ca)(a^3+b^3+c^3)
= p'(b-c)^2 + q'(c-a)^2 + r'(a-b)^2
≧ 0,
ここに
p ' =｛4a^4+b^4+c^4 +（a^4+a^4+b^4+c^4-4aabc)}/4 ≧（4a^4+b^4+c^4)/4,
q ' =｛a^4+4b^4+c^4 +（a^4+b^4+b^4+c^4-4abbc)}/4 ≧（a^4+4b^4+c^4)/4,
r ' =｛a^4+b^4+4c^4 +（a^4+b^4+c^4+c^4-4abcc)}/4 ≧（a^4+b^4+4c^4)/4,
(3)
(左辺）-（右辺）=（aa+bc)(bb+ca)(cc+ab）- abc(a+b)(b+c)(c+a)
= abc{a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)｝+｛(ab)^3 +（bc)^3 +（ca)^3 -3(abc)^2}
= u(s^3 -4st+9u）+ t(tt-3su)
= u･F_1(a,b,c）+ t･uF_{-1}(a,b,c)
≧ 0, >>754
(7)
左辺の4つの因子のうち、負になれるのは高々１つだけ。
左辺が正のときは４つとも正。
GM-AMで
(a+b+c-d)(b+c+d-a）=（b+c)^2 -（a-d)^2 ≦（b+c)^2,
循環的に掛ける。 >>754 (4)は成立しませんでした、すみません。 >>726 >>727
>>732 >>739
AM-GMやSchurは使えそうにないので...
a ≦ b,c とすると、G =（abc)^(1/3)≧ a,
m = √(bc）とおき、
(a,b,c）→（a,m,m）としたとき、Gは不変で、
A(a,b,c）- A(a,m,m）=（b+c-2m)/3,
H(a,b,c）- H(a,m,m）=（b+c-2m)/3｛-H(a,b,c)H(a,m,m)/bc}
≧（b+c-2m)/3（-GG/bc)
=（b+c-2m)/3（-a/G)
∴ A(a,b,c）+ H(a,b,c）≧ A(a,m,m）+ H(a,m,m）
等号成立は b=c のとき。 ……(1)
大きい方の2つが等しい場合を考えればよいので、
ほぼ１変数の問題に帰着する。
A(a,m,m）+ H(a,m,m）
= 2(aa+7am+mm)/{3(2a+m)}
=｛5/16^(1/3)}G + f(x)･mm/{24(2a+m)}
≧｛5/16^(1/3)}G,
ここに、x =（4a/m)^(1/3）とおいた。
f(x）= x^6 - 15x^4 +28x^3 -30x +16
=（x-1)^2｛(xx-4)^2 + 2x(x-1)^2},
等号成立は x=1，4a=m=√(bc）のとき。 ……(2)
(1)(2)より、（a,b,c）=λ(1,4,4) >>757
昔のmemoの中に、>>754(5)を改造したものがあった。
a, b, c >0 に対して、
(a^2 + ab + b^2)(b^2 + bc + c^2)(c^2 + ca + a^2)
≧ (27/64)*[(a+b)(b+c)(c+a)]^2
≧ (1/3)*[(a+b+c)(ab+bc+ca)]^2
≧ (ab+bc+ca)^3. >>726-727
〔類題〕
AM + 0.90096 HM ≧ 1.90096 GM
等号成立は（a,b,c）=λ( 0.3962570…，1，1）のとき
［第7章.897-903］ >>388 (5) >>450 >>708
〔Hlawkaの不等式〕の拡張
m≧2 のとき、
（m-2）Σ[k=1,m］｜x_k |^2 +｜Σ[k=1,m] x_k |^2 = Σ[1≦i<j≦m]｜x_i +x_j |^2.
（m-2）Σ[k=1,m］｜x_k｜+｜Σ[k=1,m] x_k｜≧ Σ[1≦i<j≦m］｜x_i +x_j｜.
（D.D.Adamovic）
[初代スレ.354-360,364]
文献[3] 大関、p.34 >>755
QQ =（ss-2t)/3 ≦｛ss - 2√(3su)}/3 = 3AA - 2G√(AG),
(5A-3G)^2 -（2Q）≧（5A-3G)^2 -12AA +8G√(AG)
= 13AA -30AG +8G√(AG) +9GG
=（√A -√G)^2｛13A +26√(AG）+9G}
≧ 0,
∴ 5A-3G ≧ 2Q, >>757 (6)
(左辺)-(右辺) の計算過程で、
9(a+b)(b+c)(c+a) ≧ 8st …(1)
の使うタイミングが上手いですね。
私は 左辺の第１項に対して使ってしまい、その後の変形で分子が
8F_1 - 2E_1 ここで E_1 = st-9u
となって、ずっと悩んでいました。
(左辺の第１項-2)に対して使うことで、あっさり片付くとは！ いと難し… ('A`)ｳﾞｫｴｧ！ Arithmetic Mean
Geometric Mean
Harmonic Mean
>>775のQMは？ ここまでの荒らし数470くらい。 50％を超えているとは思わなんだ。
￥って何なんだ？ 山崎パンかよ！ >>757 (1)
左辺の変形は、同順序積の方が大きいことを利用して、瞬時に大きくしたのですかね？ と思ったが、係数まで変わっているから、やっぱり分からないなあ。 >>833 >>834
GM-AM で
ab ≦（A+B)/2，bc ≦（B+C)/2，ca ≦（C+A)/2，
を使ったでござる。
>>820 >>821
Q = RMS は Root Mean Square（二乗平均平方根）です。
>>808 の修正
(5A-3G)^2 -(2Q)^2 ≧（5A-3G)^2 -12AA -2G√(AG)
= 13AA -30AG +8G√(AG）+9GG
= 9(A-G)^2 + 4{AA + G√(AG）+ G√(AG）-3AG}
≧ 0, (・3・) QMは quadratic mean の頭文字ｱﾙｪ- >>835
> >>808 の修正
> (5A-3G)^2 -(2Q)^2 ≧（5A-3G)^2 -12AA -2G√(AG)
> = 13AA -30AG +8G√(AG）+9GG
> = 9(A-G)^2 + 4{AA + G√(AG）+ G√(AG）-3AG}
> ≧ 0,
修正前の方が分かりやすいような希ガス…。 >>833 >>834
たしかに
（ab+bc+ca)^3 ≦（8/7)(AAB+BBC+CCA）+（8/7)(ABB+BCC+CAA）+（141/7)ABC,
等号は（a,b,c）=（1,1,1）と（3/4,1,1)
が最良でしょうが、出すのが面倒でござる。
ここでは、簡単に出せる >>757 を使ったでござる。（これで十分だし）
>>837
すまぬ。あちらを正せばこちらが…でござった。 >>768
>>754 (2) を F_0 を残したまま展開してみたなり。
(左辺）-（右辺）
＝ (F_0 + t)^3 - st*(sF_0 + 3u)
＝ (F_0)^3 + 2t*(F_0)^2 + t*(uF_{-1})
≧ 0 >>819
>>757(6）は（左辺第１項 -2）< 0 の場合は？でしたね。
通分してSchurの拡張を使います。
（左辺）- 2 =（ss-4t)/t + 8u/(st-u)
=｛(ss-4t)(st-u）+8ut}/{t(st-u)}
=｛P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b)}/{t(st-u)},
ここで
P = aa(b+c）= at-u >0,
Q = bb(c+a）= bt-u >0,
R = cc(a+b）= ct-u >0,
（P,Q,R）は（x,y,z）と同順なので成立。 >>754
(1)
Holder の不等式
(b^2+b^2+a^2)(b^2+c^2+c^2)(a^2+c^2+a^2)(a^2+b^2+c^2) >= (ab+bc+ca)^4
から明らか
(2)
LHS >= sqrt(3(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)) >= RHS
(3)
和積版並べ替え不等式から明らか
(a+x)(b+y)(c+z) >= (a+x’)(b+y’)(c+z’) >= (a+z)(b+y)(c+x)
for any positive a >= b >= c and x <= y <= z, {x’, y’, z’} = {x, y, z}
(5)
LHS >= 27/64 ((a+b)(b+c)(c+a)^2 >= RHS >>843
(1)
間違えた
LHS >= (a^2+a*b+b*c)*(b^2+b*c+c*a)*(c^2+c*a+a*b) >= RHS >>843
(2)は、何をやっているのか分かりませぬ… >>844
すみません、これもよく分からないです。 >>843
(1）そのあと、どうするんでつか？
(3）なるほど！
(5）>>783 【問題】
a, b, c >0 に対して、(a+b+c)^2 (a^2 + b^2 + c^2)^3 ≧ 27*{(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2}^2
///////
///////＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿_
/////// ￣￣￣￣￣￣￣￣￣|￣￣
/////// ＿＿＿ (~) ﾁﾘﾝﾁﾘﾝ
/////// ／ ≧ ＼ ﾉ,,
/////// |::::: (● (● |
/////// ヽ::::... .ワ.....ノ 日本の夏
/////// （つ へへ つ 不等式の夏 >>845
>>846
>>847
(1) 834は間違え
Holderから LHS >= (a^2+ab+bc)*(b^2+bc+ca)*(c^2+ca+ab)
(a^2+ab+bc)*(b^2+bc+ca)*(c^2+ca+ab) - RHS
= abc(a^3+b^3+c^3-3abc) + (x^6+y^6+z^6-xyz(x^3+y^3+z^3))
>= 0
where x=(a^2b)^(1/3), …
(2)
正しくは
LHS >= sqrt(3(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2))(a^3+b^3+c^3) >= RHS
だった
右側はIndia2007（柳田先生の初等的な不等式I, 問題202）
左側は解析的にゴリゴリやればなんとか（上手い解法ありそうだけど）
いずれにしてもこの不等式を用いて解くというよりこれも成り立つというだけです >>849
(1)
コーシーで
（aa+bb+bb)(aa+aa+cc）≧（aa+ab+bc)^2
これを巡回的に掛けたでござるな。
(2)
右側は
√(aa+ab+bb）≧（(√3)/2)(a+b),
(a+b)(b+c)(c+a）≧（8/9)(a+b+c)(ab+bc+ca),
で簡単ですが左側は
b=c=1 のとき
LHS - MHS =（aa+2)^3 - 3(aa+a+1)(a^3 +2)
=（a-1)^3･(a^3 -2),
1<a<2^(1/3）でゴリ霧中… >>850
(2) b=c=1としていいと結論付けるまでが長くない？ >>852
千手観音（千手千眼観自在菩薩）は、千本の手がありその手の掌には目が付いています。
へっへっへ >>754
(8)
f(x）=（1/a)^x は下に凸だから、0<x<1 で
f(x）- f(0）≦｛f(1）- f(0)}x,
(1/a)^x - 1 ≦｛(1/a）- 1}x,
∴ a^x ≧ a/(a+x-ax）= 1 - (1-a)x/(a+x-ax） …… ベルヌーイの式
x=bc を入れると、
a+x-ax = a+bc-abc = t-2u +a(1-b)(1-c）≧ t-2u,
∴ a^bc ≧ 1 -（bc-u)/(t-2u),
巡回的にたすと
(左辺）≧ 2 + u/(t-2u),
等号は u=abc=0 のとき。
【参考】
(8）の類題
a,b,c の中に１以上のものがあるときは明らか。
∴ 0< a,b,c <1 としてよい。
b+c,c+a,a+b の中に１より大きいものが無ければベルヌーイで一発なんだが… >>820 >>821 >>836
QM は Quantum Machanics（量子力学）です。
QED は Quantum Electro Dynamics（量子電磁力学）です。 >>854
なぜかあぼーんされて見えないけど、何か悪さした？ >>848 反例 a=b=c=3^(-1/2)
クソが作ったクソ問を避けるために出典欲しくなるのもわかる >>848
LHS >= 27((ab^3+bc^3+ca^3)(a^3b+b^3c+c^3a)((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2))^(2/3) >= RHS >>870
左側はさらに厳密な
LHS >= 9((ab^3+bc^3+ca^3)^2 + (a^3b+b^3c+c^3a)^2 + ((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2))^2
を示した方が簡単なおもしろい不等式 >>870 >>871
LHS =（a+b+c)^2（aa+bb+cc)^3 ≧ 27(ab^3+bc^3+ca^3)(a^3b+b^3c+c^3a)
は無理ですね。
〔参考〕
(aa+bb+cc)^2 ≧ 3(ab^3+bc^3+ca^3）または 3(a^3b+b^3c+c^3a)
[第5章.268, 284-290]
[第2章.389]
文献[8]、安藤、§2.3.2 p.61 中段、g_{p,q}(a,b,c）≧0, >>754 (2)
>>768
s = a+b+c,
t = ab+bc+ca,
S2 = aa+bb+cc,
S3 = a^3 +b^3 +c^3,
とおく。
S2 - t =｛(a-b)^2 +（b-c)^2 +（c-a)^2}/2 = F_0,
とおく。コーシーより
s･S3 - S2･S2 = ab(a-b)^2 + bc(b-c)^2 + ca(c-a)^2 ≦ F_0･S2,
∵ ab ≦（aa+bb)/2 ≦ S2 /2，etc.
LHS - RHS =（S2)^3 - st･S3
=（S2-t)S2･S2 - t(s･S3-S2･S2)
≧ F_0･S2･S2 - t･F_0･S2
=（F_0)^2･S2
≧ 0, >>883
> コーシーより
> ab(a-b)^2 + bc(b-c)^2 + ca(c-a)^2 ≦ F_0･S2,
caushyをどう使ったんでせうか？
たしかに差をとれば (F_0)^2 + uF_{-1} ≧0 となりますが、caushyでパッと出す方法を知りたいです。 >>894
〔補題〕（>>754 (2) のための）
a,b,c >0 とすると
(aa+bb+cc){2(aa+bb+cc）-（ab+bc+ca)｝≧（a+b+c)(a^3+b^3+c^3）≧（aa+bb+cc)^2,
(略証)
左側は
S2（S2+F_0）- s･S3 =｛(a-b)^2+cc}/2 (a-b)^2 + cyclic. ≧ 0,
右側がコーシーでしたね。
s･S3 -（S2)^2 = ab(a-b)^2 + bc(b-c)^2 + ca(c-a)^2 ≧ 0，（終）
あとは >>883 のとおり。 >>848 >>870 >>871
(aa+bb+cc)^(3/2）=｛(ss + 2F_0)/3}^(3/2)
≧ √(ss/3）（ss/3 + F_0） （← AM-GM)
= （4sss -9st)/(3√3)
≧（7st -36u)/(3√3） （← F_1=sss-4st+9u≧0)
≧（3√3)(st -5u)/4 （← st-9u≧0)
= （3√3）｛(ab^3+bc^3+ca^3）+（a^3b+b^3c+c^3a）+ 2[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2]}/(4s)
≧（3√3）｛(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2)}/s, （← AM-GM)
を示した方が簡単なおもしろい不等式… >>897
ゴクリ…。弄り甲斐のある不等式ですね。
２行目のAM-GMの使い方が分かりませぬ。 すみません、わかりました。
それにしても、その形になるように変形しようという発想を知りたいですね。 [問題]
nを2以上の自然数として
σ(n)をnの約数の総和、H_n:=農{k=1}^n 1/k とする
このとき
σ(n)＜H_n+exp(H_n)log(H_n)
が成り立つことを示せ a, b, c >0 に対して、
(a+b+c)^2 (a^2 + b^2 + c^2)^3 ≧ 27 {(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2}^2
(a+b+c)^2 (a^2 + b^2 + c^2)^3 ≧ 27abc (a^2 + b^2 + c^2) (a^3 + b^3 + c^3)
(a+b+c)^2 (a^2 + b^2 + c^2)^3 ≧ (a+b+c)^3 (ab+bc+ca) (a^3 + b^3 + c^3)
などが得られるが、残念ながら、右辺の上中下の３式の大小は定まらないでおじゃる。 >>899
左辺の無理式
（ss/3 + …)^(3/2)
を有理式で評価するために使ったでござる。
（ab^3+bc^3+ca^3）、（a^3b+b^3c+c^3a）を経由せずに直接
(4sss-9st）- 27(tt-3su)/s =（(4ss+7t) F_1 + 21u F_0 + su F_{-1})/ss ≧ 0
も簡単でつが、面白いので入れますた。
F_n(a,b,c）=（a^n)(a-b)(a-c）+（b^n)(b-c)(b-a）+（c^n)(c-a)(c-b）≧0, >>901
ならば 0.03826828245292 ≦ k ≦ 16/27 のとき
（下）≧（1-k)*(中）+ k*(上),
はいかがでござる？ >>923
なるほど、その発想はなかったでござるよ、ニンともカンとも。
0.03826828245292 ≦ k ≦ 16/27 をみたす k の中で、
（1-k)*(中）+ k*(上) がきれいな形に整理できるものがあれば、いい不等式が作れますな。
その k の範囲はどうやって求めたのですか。
kのままで差を取って計算したのですか？ >>754
> (8)の類題 [第5章.698, 708]
> a, b, c >0 に対して、a^(b+c) + b^(c+a) + c^(a+b) ≧ 1
[疑問]
a^(2a) * b^(2b) * c^(2c) ≧ a^(b+c) * b^(c+a) * c^(a+b) は余裕で成り立つけど、
a^(2a) + b^(2b) + c^(2c) ≧ a^(b+c) + b^(c+a) + c^(a+b) は成り立つでござるか？
下の式がうまく証明できませぬ…
..::::::,､_,､::: ::::: ::: :
/ﾖﾐﾞヽ)-､. :: ::::
─（ﾉ─ヽ.ｿ┴─ A,B,C,D>0 に対して、AB ≧ CD ⇒ A+B ≧ C+D は無条件では成り立たないから、
上の式を弄って、下の式を導くのは無理そう。 (2^a + 2^b)/2 ≧ √(2^a*2^b) = 2^{(a+b)/2} ≧ 2^{√(ab)}
巡回させて加えて、2^a + 2^b +2^c ≧ 2^{√(ab)} + 2^{√(bc)} + 2^{√(ca)}
( ﾟ∀ﾟ) OK？ a, b, c >0 に対して、
2^(a^2) + 2^(b^2) + 2^(c^2)
≧ 2^(ab) + 2^(bc) + 2^(ca)
≧ 2^{a√(bc)} + 2^{b√(ca)} + 2^{c√(ab)}
≧ 2^{abc√(ab)} + 2^{abc√(bc)} + 2^{abc√(ca)}
≧ …
（以下無限に続く）
( 'A`) 自作の不等式といふものは、見栄えも悪いし、作成方法もバレバレよのぅ。 もう少し綺麗にならんものかな。 >>925
上は対数とってチェビシェフで。
下はどうでおじゃる？
〔補題〕
a,b>0 のとき a^a + b^b ≧ a^b + b^a,
(略証)
・1≦a≦b のとき
b^b ≧（b^a)a^(b-a),
(左辺）-（右辺）≧ a^a +（b^a)a^(b-a）- a^b - b^a
=（b^a - a^a)(a^b - a^a)/(a^a)
≧ 0,
・0<a≦1≦b のとき、ベルヌーイより、
（左辺）≦ 1 + ab ≦ a + b ≦（右辺),
・Max{1,a｝≦b のとき
b^x ≧ a^x より
（左辺）-（右辺）=∫[a,b]｛log(b) b^x - log(a) a^x｝dx ≧ 0,
・0<a,b≦1 のとき、
う～む。。。思ったよりめんどくせえ。
〔ベルヌーイの式〕
0<a,b≦1 のとき、
1-b+ab ≧ a^b ≧ a/(a+b-ab),
0<a≦1≦b のとき
1-b+ab ≦ a^b ≦ a/(a+b-ab), Cauchyより、
{a^(2b) + b^(2c) + c^(2a)}*{a^(2c) + b^(2a) + c^(2b)} ≧ {a^(b+c) + b^(c+a) + c^(a+b)}^2
そこで、
{a^(2a) + b^(2b) + c^(2c)}^2 ≧ {a^(2b) + b^(2c) + c^(2a)}*{a^(2c) + b^(2a) + c^(2b)} …(★)
が成り立てば解決と考えたけど、(★)が証明できない。
試しに b=c=1 を代入してみたらいけるので、成り立っているような感じだけど、ニンともカンとも…。 >>930
ベルヌーイの式はどうやって証明するのですか？
ベルヌーイの不等式
r≦0 or 1≦r のとき、(1+x)^r ≧ 1+rx
0≦ｒ≦1 のとき、(1+x)^r ≧ 1+rx
とは別物ですか？ >>932
>>854 を参照。
a→1/a とすれば
a^b ≦ 1-b+ab
1<b のときは不等号が逆向き。
a=1+x、b=r >>931
>>930 より
a^(2a）+ b^(2b）≧ a^(2b）+ b^(2a),
巡回的にたして AM-GMする。
a^(2a）+ b^(2b）+ c^(2a）≧｛a^(2b）+ b^(2c）+ c^(2a)}/2 +｛a^(2c）+ b^(2a）+ c^(2b)}/2
≧ √{a^(2b）+ b^(2c）+ c^(2a)} √{a^(2c）+ b^(2a）+ c^(2b)} ……（★） >>928
> ≧ 2^{abc√(ab)} + 2^{abc√(bc)} + 2^{abc√(ca)}
≧ 2^{√(abc√(ab))} + 2^{√(abc√(bc))} + 2^{√(abc√(ca))}
の間違いだな。 >>930 >>934
〔補題〕
0<a≦b, 0<c≦d のとき
a^c + b^d ≧ a^d + b^c,
(略証)
m =（c+d)/2，h=（d-c)/2 > 0 とおく。
題意より、0 < a^m < b^m，0 < a^h < b^h,
よって
a^c - a^d - b^c + b^d
= a^(m-h）- a^(m+h）- b^(m-h）+ b^(m+h)
= a^m｛a^(-h）- a^h｝+ b^m｛b^h - b^(-h)}
≧ a^m（b^h - a^h）{1 +（ab)^(-h)}
≧ 0,
簡単だった... >>934
むむむ…。すると >>930 の補題の 0<a,b≦1 のときが示されれば解決ですか。 検索したら…
面白スレ六問目 208 (出題のみ解答なし)
a, b >0 のとき、(a^b+b^a)/(a^a+b^b) のとりうる範囲を求めよ。 >>930
> >>925
> 上は対数とってチェビシェフで。
私は (a-b)(log a - log b) ≧0 を巡回させて加えて整理しますた。
チェビシェフって、具体的にどうやるんですか？ きっと前スレも同じ方法。
> 正の数a,b,cに対して (a^b)(b^c)(c^a)≦(a^a)(b^b)(c^c) を示せ。
> 対数とってチェビシェフ >>930
> 〔補題〕
> a,b>0 のとき a^a + b^b ≧ a^b + b^a,
この間からずっと探していて、先程手書きメモから発掘。そのメモによると、
a,b,c,d>0 かつ ab≧cd かつ b = min{a,b,c,d} のとき、a+b ≧ c+d ……(☆)
対称性から a≧b として、(a^a)(b^b) ≧ (a^b)(b^a) かつ a^a, a^b, b^a ≧ b^b で、(☆)を適用。
とだけ書きなぐってあった。例によって出典メモもなく、数学板の過去ログを検索してもヒットせず。 >>936と、第２章 466-467 より、
a, b >0 に対して、a^a + b^b ≧ a^b + b^a >1
第３章 109-111 より、
a, b, c >0 に対して、a^b + b^c + c^a >1
[疑問]
次式は成り立ちそうだけど、証明が分かりませぬ。
a^a + b^b + c^c ≧ a^b + b^c + c^a >>940
もしかして、並べ替え不等式のことを言っているのかな？
同順序積の和 ≧ 乱順序積の和 ≧ 逆順序積の和
チェビシェフは、
同順序積の和の平均 ≧ 平均の積 ≧ Σ 乱順序積の和の平均 >>936
簡単ぢゃなかった......orz
0<a,b≦1 のときは？だった。
凡例 0<a<1/3，b=2a，c=1, d=2，（c/a = d/b ≧3）
大風呂敷 広げすぎたけど、 c/a = d/b ≦ e に限れば成り立つかも。
懲りずに作るでござる。
〔補題〕
0<a,b，0≦k≦e のとき
a^(ka）+ b^(kb）≧ a^(kb）+ b^(ka),
>>941
a≧b ⇒ a^a，b^a ≧ b^b が成立たないところが… >>930
左側 （a^b + b^a）≦ 1 + ab はどうやって出すんですか？
1 + ab = (1-b+ab) + b
と分けて、ベルヌーイを使うのかなと思ったら、
a^b ≧ 1-b+ab
b^a ≦ b
で不等号の向きが揃わない… >>930
> ・0<a≦1≦b のとき、ベルヌーイより、
> （左辺）≦ 1 + ab ≦ a + b ≦（右辺),
ここですが、a^a ≧ a^b、b^a ≧ b^b だから、差をとれば終わりでは？
(a^a + b^b) - (a^b + b^a)
= (a^a - a^b) + (b^b - b^a)
≧0 >>946
その通りでつ。
>>783 に追加
a,b,c>0 に対して、
（aa+bb+cc)^3 ≧（aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa）≧（aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa）≧…
>>754 (1)(5）より >>947
すまぬ、不等号の向きが逆でござる。
>>757の証明では、修正済みですね。
>>754 (1) 【訂正】
a, b, c >0 に対して、(ab+bc+ca)^3 ≦ (a^2 + 2b^2)(b^2 + 2c^2)(c^2 + 2a^2) >>949
>>754 (1）
［第3章.727］より
（aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa）≧（1/27){(a+2b)(b+2c)(c+2a)}^2 ≧（ab+bc+ca)^3, [第３章 843、845] より、
a≧b≧0，c≧d≧0のとき、
√（a^2+ad+d^2）+√（b^2+bc+c^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2） >>951 の類題
[第１章 68、71] より、
実数x,y,zに対して √(x^2+y^2-xy)+√(y^2+z^2-yz) ≧ √(z^2+x^2+zx) >>951は、根号内が負にならないように x, y, z >0 (≧0) とすべきだよな。 >>389の不等式について
元の問題(>>515)の2は、その対偶に当たる
∃k, ∀(x,y)>0, (x^v)(y^w)≦k((x^p)(y^q)+(x^r)(y^s)+(x^t)(y^u) ⇒ (Dが△ABCの内部および周上)
(>>389の←)
を示せばよい？
近大発表の解答を探したが、既刊の2冊には載っていなかった
『２１世紀無差別級数学バトル』
https://www.amazon.co.jp/dp/4894714248
『白熱！無差別級数学バトル』
https://www.amazon.co.jp/dp/4535786720 >>954
2009年の問題だから、数蝉2010年8月号P.60
近畿大学『数学コンテスト』／12年の歩みを振り返って／大野泰生＋佐久間一浩
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/5364.html
に解説があるやもしれぬ… ('A`) >>952
3直線 OA、OB、OC を
∠AOB = ∠BOC = ∠AOC/2 = π/3,
となるようにとる。
OA上、座標xの点をX，
OB上、座標yの点をY，
OC上、座標zの点をZ とする。
このとき
XY = √(xx-xy+yy),
YZ = √(yy-yz+zz),
ZX = √(zz+zx+xx),
XY + YZ ≧ ZX,
等号成立条件は y(x+z)=xz．｛x=z=2y も含む.}
>>953 ？ >>956
問題文の x,y,z は実数だけど、実数でも成り立つのかな？ >>953
>>957
非負でなくてはならない条件はつかってないと思うけどどういうこと？ う～ん、私が理解できていないだけみたい。
>>956
> OA上、座標xの点をX，
この意味が分かりません。 >>42
> 〔問題216〕
> 実数a～dについて
> （aa+ac+cc) (bb+bd+dd）≧（3/4) (ab+bc+cd)^2,
> （aa+ac+cc) (bb+bd+dd）≧（3/4) (ad-bc)^2,
上側
4(a^2 + ac + c^2)(b^2 + bd + d^2) - 3(ab + bc + cd)^2
＝ (ab - bc + cd + 2da)^2
≧ 0
下側は、Wolfram 先生に以下の２通りを処理させても、ずっと 『COMPUTING』 のまま結果を出さない。
factor 4(a^2 + ac + c^2)(b^2 + bd + d^2) - 3(ad - bc)^2
expand 4(a^2 + ac + c^2)(b^2 + bd + d^2) - 3(ad - bc)^2
つまり因数分解できないんだろうけど、長い式は展開してくれないのかな？
平方和になるのかな？ 手計算で展開してから、Wolfram先生に因数分解してもらった。
4(a^2 + ac + c^2)(b^2 + bd + d^2) - 3(ad - bc)^2
= 4(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2d^2 + d^2a^2 + a^2bd + ab^2c + acd^2 + bc^2d + abcd) - 3(a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2)
= 4a^2b^2 + b^2c^2 + 4c^2d^2 + d^2a^2 + 4a^2bd + 4ab^2c + 4acd^2 + 4bc^2d + 10abcd
= (2ab+ad+bc+2cd)^2
≧0 >>959
OAを，Oを原点とする座標軸みたいに考えて言ってる
要するに 直線OA＝直線OXであって |OX|=x となるような点Xを取りなさいということ． >>956
直線OAをx軸とし、OAの向きを正とします。
もちろん、x軸，y軸，z軸は直交しません（斜交軸）
>>960-961
>>47-48 から
(aa+ac+cc)(bb+bd+dd）=（ad-bc)^2 +（ad-bc)(ab+bc+cd）+（ab+bc+cd)^2,
これと
xx+xy+yy ≧（3/4)xx，(3/4)yy
から出ますけど... >>952
では図に頼らず代数的に...
LHS^2 - RHS^2 = 2√(xx-xy+yy)√(yy-yz+zz）+（2yy-t)
=｛4(xx-xy+yy)(yy-yz+zz）-（2yy-t)^2｝/｛2√(xx-xy+yy)√(yy-yz+zz）-2yy+ｔ}
= 3DD /｛2√(xx-xy+yy)√(yy-yz+zz）-2yy+ｔ}
≧ 0,
ここに、t = xy+yz+zx,
等号成立条件は D = xy+yz-zx = 0, >>962-963
ありがとうございます！ 今から考えてみます。
>>963
じゃあ xx+xy+yy ≧3xy だから、次式も成り立ちますね。
（aa+ac+cc) (bb+bd+dd）≧ 3(ad-bc)(ab+bc+cd) >>956
たとえば x>0, y<0 のときに、
XY = √(xx-xy+yy) じゃなく
XY = √(xx+xy+yy) になりませんか？ いやいやいや、>>966は忘れてくだされ。負のときは角度が変わるから、大丈夫なんだね。 >>389 >>954
⇒ は簡単なんでつが… >>568
三角形を回して考えるのかな。
p’，r’，t’< v’ ならば ｘ→∞
p’，r’，t’ > v’ ならば ｘ→0
q’，s’，u’< w’ ならば y→∞
q’，s’，u’ > w’ ならば y→0
として反例を探す。 >>947
AM-GM で
（aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa）-（aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa)
=｛(aabb+c^4)/2 +2ccaa}(a-b)^2 +｛(bbcc+a^4)/2 +2aabb}(b-c)^2 +｛(ccaa+b^4)/2 +2bbcc}(c-a)^2 + 2abc⊿
≧ 2ccaa(a-b)^2 + 2aabb(b-c)^2 + 2bbcc(c-a)^2 +2abc⊿
= 2abc{(ca/b)(a-b)^2 +（ab/c)(b-c)^2 +（bc/a)(c-a)^2 + ⊿}
≧ 0,
ここに、⊿ =（a-b)(b-c)(c-a),
〔補題〕
-1/2 < ⊿／｛(ca/b)(a-b)^2 +（ab/c)(b-c)^2 +（bc/a)(c-a)^2｝≦（7-3√3)/22 = 0.0819930717
左側は（a，b，c）=（a，1，1/a）で a→∞ のとき近づく。
さて、どうやって示すんでしょうね... >>969
AM-GMで
(aabb+c^4)/2（a-b)^2 +（bbcc+a^4)/2（b-c)^2 +（ccaa+b^4)/2（c-a)^2 + abc⊿
≧ abc{c(a-b)^2 + a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + ⊿}
= 2(abb+bcc+caa - 3abc)
≧ 0, ［第４章.626］
を使うと、
（aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa）-（aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa)
≧ abc{2(ca/b)(a-b)^2 + 2(ab/c)(b-c)^2 + 2(bc/a)(c-a)^2 + ⊿}, 【問題】 (出典 2016 TOT)
a, b, c >0 に対して、a + (ab)^(1/2) + (abc)^(1/3) ≦ (4/3)*(a+b+c)
TOTって何ぞや？
＿＿＿
彡 ／ ≧ ＼ 彡 ﾋﾞｭｩ……
彡 |::: ＼ .／ | 彡
|:::: (● (●| 書店で立ち読み中に
ヽ::::......ワ...ノ 見かけた問題でござる
人つゝ 人,,
Ｙノ人 ノ ノノゞ⌒～ゞ
. ノ /ミ|＼、 ノノ （ 彡
`⌒ .Ｕ~Ｕ`ヾ 丿
⌒～⌒ 【おまけ】 難易度：鼻くそ
a,b,c,d,e>0 に対して、a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 ≧ (a+b+c+d)e >>972 を改造しようとして、λの最小値を出そうとしたが、挫折したでござる。
a, b, c, d >0 に対して、a + (ab)^(1/2) + (abc)^(1/3) + (abcd)^(1/4) ≦ λ*(a+b+c+d) >>972
Tournament of the town
a/12 + b/3 + 4c/3 >= (abc)^(1/2)
a/4 + b >= (ab)^(1/2)
>>973
L - R = (a-e/2)^2 + … >>972
２文字なら簡単に作れるのでおじゃるが…
a, b >0 に対して、a + (ab)^(1/2) ≦ {(1+√2)/2}*(a+b) [疑問]-----------------------------------------------
a, b, c >0 に対して、
M(a,b,c) ≧ (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ m(a,b,c)
-----------------------------------------------------
AM-GMで m(a,b,c) = 27(abc)^2 を得るけど、もっとキツく締め上げたいのでござる。
L = a^2b + b^2c + c^2a
R = ab^2 + bc^2 + ca^2
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)
= L^2 + LR + R^2
= (s^2)(t^2) - (s^3)u - t^3
" ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ ;ヾ;ヾ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ " ;ヾ ; ;";ヾゝゝ" ;ヾゞ ヽ /
,." ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ ;ヾ;ヾ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ " ;ヾ ; ;";ヾゝゝ" ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ; ＼ ／
ゞヾ ; ;" ; ; ;; ;"iiiiii;;;;;::::: :)_/ヽ,.ゞ:,,ヾゞヾゞ__;::/ ` ` ` ー ─ ' `
ゞヾゞ;＼＼iiiiii;;;;::::: :|;:/ヾ; ;ゞ "ゝゞ ; ;`
` ,|i;iiiiiii;;;;;;::: :| ` ` ` ` ` ` `
,|iiii;iiii;;;;:;_ _: :| ＿＿＿ 秋の夜長に不等式 ` ` `,
` |iiiiiii;;;;;;((,,,):::|／ ≧ ＼ ヾ从//"
` |iiiiiiii;;;;ii;;;;;;;;::|::::: (● (● | ` ﾞ ` ヾ'./"
|iiiiii;iii;;;;i;;:: ::::|ヽ::::......ワ...ノ ○ .||. ,
` |iii;;iiiii;::;:;;;;::::::| ( つ且 ~ ` ○○ | |
, , .,.. ,..M|M|iMii;;ii:i;;i:i;:; ゝ つつ.,.. ,...... ,.... ,,,.,.. ,.... ,,,.,.. ,..,,,,.,...,..,.,|￣￣|,.,..（ ）.. ,,,..,,.. ,.... ,,,.,...,.. .. ,.... ,,,.,.. ,.... ,,, >>974
a = a,
√ab ≦｛1/(2√p)｝（a+pb),
（abc)^(1/3）≦｛1/[3(pq)^(1/3)]｝（a+pb+qc),
（abcd)^(1/4）≦｛1/[4(pqr)^(1/4)]｝（a+pb+qc+rd),
ここに、
p = 3.37617521979458
q = 9.55342152751350
r = 32.2851876698453
辺々たすと
λ = 1.42084438540961 >>979
３変数でよかったのか…。次のように６変数でやっていますた。
a = a
√ab = √{(pa)(b/p)} ≦ {(pa)+(b/p)}/2
（abc)^(1/3） = {（qa)(rb)(c/pq))}^(1/3） ≦ {（qa)+(rb)+(c/pq)}/3
（abcd)^(1/4） = {（sa)(tb)(uc)(d/stu)}^(1/4） ≦ {（sa)+(tb)+(uc)+(d/stu)}/4
1 + p/2 + q/3 + s/4 = 1/2p + 3/r + t/4 = 1/3pq + u/4 = 1/4stu
pa = b/p
qa = rb = c/pq
sa = tb = uc = d/stu >>4
埋蔵地のリンクが切れているところが結構あるので修正中。
>>1の過去ログ・まとめサイト、>>2の和書以外は、まとめサイト参照でいいかもね。 >>165
[不等式 第7章 241]
> 0<x<y<π/2の時
> (tanx/x)^x+(siny/y)^y<(tany/y)^y+(sinx/x)^x
> を示せ
これも未解決ですな >>469
> >>388
> >>456
> 相当な量の改良問題があった
>
> for reals
> [1] (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) >= (1+a+b)(1+b+c)(1+c+a)
> [2] ((a^2+3)(b^2+3)(c^2+3))^2 >= 512(a+b)(b+c)(c+a)
>
> for nonnegarives
> [3] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= 3(a+b+c)^2+(abc-1)^2
> [4] (x^2+2)(y^2+2)(z^2+2) >= 4(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+zx)+(xyz-1)^2
> [5] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= 4(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ca)+(abc(a-1)^2(b-1)^2(c-1)^2)^(1/3)
>
> AOPS
> [1], [2] : c6h588096p3481394
> [3] : c6h4830p15309
> [4], [5] : c6h581954p3438879
>
> 他にもいろいろ
この辺に改造できそうなネタがたくさん埋もれていそう。 数研通信に SMV-Theorem についての解説があった。
数検通信
http://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin.html
89号、対称的な不等式の証明方法について、柳田五夫 ← コレ
他に不等式絡みの記事
80号、3次の同次対称式P(a,b,c)の不等式について、柳田五夫
76号、絶対値記号を含む不等式について、柳田五夫
75号、不等式の証明に役立つ不等式と接線の利用について、柳田五夫
66号、1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 1/e (a,b,c,d,e∈N)の最大値について、柳田五夫
60号、接線を利用した台形の面積で，ある不等式を証明する、柳田五夫
08号、ある不等式の証明について、柳田五夫
89号、数学的帰納法とベルヌーイの不等式、大谷昌範
85号、モローの不等式の証明、藤岡優太
80号、n数の相加・相乗平均の関係の証明、西元教善
76号、ベクトルの三角不等式の活用、岡本雅史
66号、チェバ・メネラウスの定理から導く三角形の不等式、中村公一
60号、巡回不等式特集、大塚秀幸
50号、不等式をつくる、仁平政一
42号、いままで出会ったことのない「ある不等式」について、仁平政一
49号、相加・相乗平均の不等式を産み出す根源的不等式について 、西元教善
47号、不等式の証明の統一的方法、仁平政一
20号、チェビシェフの不等式について、遠藤一成、中島政彦 >>979
ｐ, q, r の値は具体的にどう表されるのですか？ 解くのは大変そうですが… >>979
1 + 1/(2√p) + 1/[3(pq)^(1/3)] + 1/[4(pqr)^(1/4)]
= p/(2√p) + p/[3(pq)^(1/3)] + p/[4(pqr)^(1/4)]
= q/[3(pq)^(1/3)] + q/[4(pqr)^(1/4)]
= r/[4(pqr)^(1/4)]
をみたす正の数 p, q, r を求めればいいんだけど、うまく出せない…
p = 3.37617521979458
q = 9.55342152751350
r = 32.2851876698453
この値はどうやったら出せるんですか？ >>981
>>974 の等号が a=pb=qc=rd で成立するならば、
このとき >>981 の3式も等号が成立するはず。
これを考慮すると、
a=A、pb=B、qc=C、rd=D とおくとき
√AB ≦（A+B)/2,
（ABC)^(1/3）≦（A+B+C)/3,
（ABCD)^(1/4）≦（A+B+C+D)/4,
の定数倍になっている。
>>987-989
それは拙者も知りとうござる。
ところで、
λ_1 = 1.0
λ_2 =（1+√2)/2 = 1.20710678118655 >>976
λ_3 = 4/3 = 1.33333333333333 >>972
λ_4 = 1.42084438540961 >>979
単調に増加する....
lim_{n→∞｝λ_n = ? >>977
とりあえず少し進展したのでパピコ。 Caushyの拡張より、
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)
＝ (ab+b^2+a^2)(b^2+bc+c^2)(a^2+c^2+ca)
≧ (ab+bc+ca)^3
＝ t^3
AM-GMで 27(abc)^2 = 27u^2 としたよりもマシになった。
m(a,b,c) = (ab+bc+ca)^3 ≧ 27(abc)^2
が、以下のように分割すると、非負値の和ばかりで、ずいぶんとゆるゆるなうんちでござる。
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) - t^3
＝ (s^2)(t^2) - (s^3)u - 2(t^3)
＝ (t^2-3su)F_0 + 2suF_0 + (u^2)F_{-2} + u(st-9u)
≧ 0
まだまだ厳しくできるはず！
ちなみに M(a,b,c) の方は、どこから手をつけてよいか見当がつかぬ…。
／⌒ヽ
／⌒ ・ ＞ ぬ～ん…
E￣Ｕ) ε |
E￣∩) ・ ＞
゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛ >>990
では、どうやって具体的な p, q, r の近似値を出したのでござるか？ どうでもいいが、新スレ3のAAの元ネタは、「よろしい ならば戦争だ」
ニコ動で演説は見たが、元のアニメを見たことがなくてピンとこない。 >>984
[1]
a=b=c=1 のとき？
[2]
(aa+3)(bb+3）=（ab-1)^2 +（3aa+2ab+3bb）+ 8
=（ab-1)^2 + (a-b)^2 + 2(a+b)^2 + 8
=（ab-1)^2 + (a-b)^2 + 2(a+b-2)^2 +8(a+b), >>994
たしかに (1) は成り立ちませんね。
AoPSの掲示板が元ネタだから、仕方ないでござる。 >>994
for positives
[1] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= (1+a+b)(1+b+c)(1+c+a)
だった
なんで全然違う問題を掲載したんだろう
>>995
それはどうだろう
少なくともやばい連中はそこにたくさんいる >>996
> 少なくともやばい連中はそこにたくさんいる
やばい連中って、どんな連中？ "; ;ヾ; ;ヾ; ;ﾒヾ "ゞ ;ヾ ;ゞ ;" "ゞ ; ; ; ゞ ;" "ゞ";ヾ ; ヾ ;ゞ; ;ゞ ;ゞ ;" "ゞ /. ヽ
;" "ゞ ; ; ; ゞ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ ;ヾ; ヾ ; ヾ ;ゞ; ;ゞ ;" ";ゞ ; ;ヾ l l
" ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ ;ヾ;ヾ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ " ;ヾ ; ;";ヾゝゝ" ;ヾゞ ヽ /
,." ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ ;ヾ;ヾ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ " ;ヾ ; ;";ヾゝゝ" ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ; ＼ ／
ゞヾ ; ;" ; ; ;; ;"iiiiii;;;;;::::: :)_/ヽ,.ゞ:,,ヾゞヾゞ__;::/ ` ` ` ー ─ ' `
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￣| ::|／| ┌──┐
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／|＿| |┌──┐| ∧＿∧|(・ω・｀ )
|文| | | ∧＿∧（ ）⊂ ）
|￣| | | （ ）⊂ ） （＿Ο Ο :::
| ::| | | ⊂ ） （＿Ο Ο わかってる、生き延びた奴が
| ::|／ .|_ （＿Ο Ο ::::::::: :::::: 不等式を収集し、証明する !
| ::| :::::::::::::::::::::::::::::::: 俺たちゃ死んでも仲間だぜ !! ┏━━━┓
┃ Q.E.D. ┃
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