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603コメント168KB
微分形式
0001１３２人目の素数さん
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2022/11/08(火) 16:25:04.50ID:OtN2/lIN
微分形式について語ろう
ω=dx∧dy + dy∧dz + dz∧dx
0002１３２人目の素数さん
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2022/11/08(火) 16:26:39.68ID:OtN2/lIN
ω=dx∧dy + dy∧dz + dz∧dx これは何を表しているんだ？
0003１３２人目の素数さん
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2022/11/08(火) 16:28:26.14ID:OtN2/lIN
ド・ラームのコホモロジーとは？
0004１３２人目の素数さん
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2022/11/08(火) 18:30:47.53ID:aA/gP0cx
>>4
p次ド・ラームコホモロジー群は、次で定義される:
H^p(X;d) = Ker(d)/ Im(d)

空間Xが閉多様体ならば、これはp次の実係数特異コホモロジー群と
同型になると言うのが、ド・ラームの定理。
0005１３２人目の素数さん
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2022/11/08(火) 18:31:51.72ID:aA/gP0cx
>>4はアンカーミス
>>3
0008１３２人目の素数さん
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2022/11/09(水) 20:27:03.19ID:SMBlDbCt
そうじゃ無くて、直観的な意味とか
0009１３２人目の素数さん
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2022/11/09(水) 20:29:37.12ID:SMBlDbCt
1次微分形式はベクトル場の双対だから、幾何的な意味は分かりやすいけど、2次以上だと何なのか？
2次元平面を表しているの？
0010１３２人目の素数さん
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2022/11/09(水) 21:47:34.37ID:QIQCFUhQ
1次微分形式から外積で一挙に積み上げる
0013１３２人目の素数さん
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2022/11/11(金) 11:13:50.58ID:tMgnMNHt
>>12
いや、接平面はイメージ出来るやろw
0014１３２人目の素数さん
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2022/11/13(日) 03:45:37.72ID:K9XeEed2
>>13
ベクトル場でさえ正直イメージは難しい
各点で別の空間を成すからね
ベクトル場もどきはイメージできるけど
0015１３２人目の素数さん
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2022/11/13(日) 18:14:08.47ID:A87PjOOL
>>14
閉形式や完全形式のイメージはどんな感じ？
0017１３２人目の素数さん
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2022/11/13(日) 22:07:18.53ID:2+08SPR0
ポアンカレに聞け
0019１３２人目の素数さん
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2022/11/14(月) 08:21:00.47ID:TQJ/NmcJ
>>18
de Rham cohomologyのイメージは？
0021１３２人目の素数さん
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2022/11/14(月) 16:24:37.88ID:F7PCj3Xy
>>電気メッキしてできる被覆面のイメージそのもの。

>>ゲェジスライスみたいな同値類縞々。

趣味の違いが表れているというべきか
0022１３２人目の素数さん
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2022/11/16(水) 01:18:08.28ID:y0z96Tn9
>>15
流体力学でいえば、3次元の閉1-形式ωはrot ω=0となる。
0023１３２人目の素数さん
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2022/11/16(水) 23:55:03.74ID:AqGXQw3n
>>18,20
メッキの剥げてるのを特定のタヌキ皮視点

箔をつけるというより或る意味ラミネート加工フォリエーション葉層。
0024１３２人目の素数さん
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2022/11/19(土) 12:55:16.54ID:ZKzwG7WB
>>19
Hodge理論によれば、調和形式の空間と同型になる。
0025１３２人目の素数さん
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2022/11/19(土) 14:42:53.92ID:X0cNy/6h
コンパクトなら
0026１３２人目の素数さん
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2022/11/19(土) 22:26:05.64ID:X0cNy/6h
>>24
orbifoldの場合は？
0027１３２人目の素数さん
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2022/11/19(土) 22:28:34.90ID:ZKzwG7WB
>>25
コンパクトでなくても、完備ならL2-コホモロジーと同型になる
0028１３２人目の素数さん
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2022/11/19(土) 22:32:08.00ID:X0cNy/6h
>>コンパクトでなくても、完備ならL2-コホモロジーと同型になる
それは嘘
被約L2-コホモロジーとなら同型だが
0029１３２人目の素数さん
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2022/11/20(日) 08:43:44.94ID:O3/gkxDr
関数論では被約でない通常のL2コホモロジーの方が重要
0030１３２人目の素数さん
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2022/11/20(日) 16:26:07.59ID:tWmyFac9
完備の場合は、L2-コホモロジーじゃなくて、L2-調和形式の空間と同型
0031１３２人目の素数さん
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2022/11/20(日) 16:32:22.43ID:tWmyFac9
特異点つき空間で、L2-コホモロジーと交叉コホモロジーと同型になるという予想は解決されたのかな？
孤立特異点くらいなら証明されていたと思うが、一般の場合はどうなっているんだろう。
0032１３２人目の素数さん
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2022/11/20(日) 17:31:45.30ID:gdRLw20T
>>31
未解決
0033１３２人目の素数さん
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2022/11/20(日) 18:14:28.90ID:TDgF+rTA
長瀬先生が示したのはどの場合？
0034１３２人目の素数さん
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2022/11/20(日) 18:56:43.62ID:gdRLw20T
Nagase, Masayoshi Remarks on the L2-cohomology of singular algebraic surfaces. J. Math. Soc. Japan 41 (1989), no. 1, 97–116.
0035１３２人目の素数さん
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2022/11/20(日) 19:20:11.87ID:i96LPcIL
>>33
stratified spaceの場合

Nagase, Masayoshi, L2-cohomology and intersection homology of stratified spaces,
Duke Math. J. 50 (1983), no. 1, 329–368.
0036１３２人目の素数さん
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2022/11/20(日) 21:31:12.22ID:O3/gkxDr
isolated singularityの場合が結構難しかった
0037１３２人目の素数さん
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2022/11/20(日) 22:05:40.46ID:tWmyFac9
凄い結果なんだけど、日本では全然評価されてないね
幾何学賞でも良いほどなのに
0038１３２人目の素数さん
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2022/11/20(日) 22:07:03.38ID:tWmyFac9
大沢先生は複素のカテゴリー（解析空間）でやっていたのかな？
0039１３２人目の素数さん
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2022/11/20(日) 22:45:16.62ID:O3/gkxDr
日本ではD加群を盛り立てていたから
L2は日陰の存在だった
0040１３２人目の素数さん
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2022/11/21(月) 05:57:43.40ID:XuWZLDN0
代数幾何屋は解析が嫌いだから読まないし
解析やは代数幾何がわからないので読めない
0041１３２人目の素数さん
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2022/11/21(月) 21:09:01.71ID:XuWZLDN0
幾何屋は基本的に複素が嫌い
0042１３２人目の素数さん
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2022/11/21(月) 22:33:00.19ID:prJ3gCvB
>>36
Cheegerのテクニカルな評価のやつか
あの様な結果は代数では出せないし、解析の醍醐味だと思うが
0043１３２人目の素数さん
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2022/11/21(月) 22:36:28.91ID:prJ3gCvB
>>41
複素だと代数幾何にマウント取られるからな
K"ahler-EinsteinでようやくDonaldsonやが解決したが、
代数幾何の人達はさらに先に進んでいるからね
たたし、出来る所しかやってなくて、解析が絡むと放置する
0044１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/21(月) 23:04:26.14ID:TcadVfZe
Intersection Homology の参考図書

A. Borel ed., Intersection Cohomology, 2nd printing, Birkhaeuser, (2008).

F. Kirwan and J. Woolf, An Introduction to Intersection Homology Theory, 2nd ed.,
Chapman and Hall/CRC, (2006).

L. G. Maxim, Intersection Homology & Perverse Sheaves: with Applications to Singularities,
GTM 281, Springer (2020).

G. Friedman, Singular Intersection Homology, New Mathematical Monographs Book 33,
Cambridge University Press, (2020).

最近、2冊の大著が出たね
0045１３２人目の素数さん
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2022/11/21(月) 23:11:20.23ID:prJ3gCvB
>>41
複素（正則）のカテゴリーだと、単純に切り貼りが自由に出来ないというのもある
0046１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/21(月) 23:13:27.44ID:prJ3gCvB
>>44
そう、しかも両方とも分厚いんだよね
こういう分厚い本が出るということは、もう分野的に終わりなのかなあ？

上にもあるように、重要な問題が未解決なんだけど
0047１３２人目の素数さん
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2022/11/22(火) 07:16:55.21ID:4Pri4uD7
>>43
そのように放置されている問題のリストがあれば
ありがたいのだが
0049１３２人目の素数さん
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2022/11/22(火) 10:59:05.53ID:j0bCoDwl
>>48

これは？

紀伊国屋数学叢書
保型形式と整数論
土井公二/三宅敏恒
0051１３２人目の素数さん
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2022/11/22(火) 14:13:41.84ID:j0bCoDwl
アーベル微分は
複素解析的な1次微分形式
0052１３２人目の素数さん
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2022/11/22(火) 15:46:30.85ID:ajgi5H4e
(m, n)-微分というのがあって
(m, 0)-微分は正則 m 次微分とよばれ
別名が第一種アーベル微分
(−1, 1)微分はベルトラミ微分とよばれるらしい
　
これらと微分形式の関係が書かれた本ありますか
0053１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/22(火) 16:11:22.12ID:j0bCoDwl
タイヒミュラー空間論では(2,0)-微分がよく使われるし
ベルトラミ微分も基本的
タイヒミュラー空間上のWei-Petersson計量の曲率の話なんかは
微分幾何だから微分形式も必須
つまり
リーマン面の変形を反映する幾何学的構造の話として
それらの関係を論じたものならないわけではない。
0054１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/22(火) 16:53:50.34ID:ajgi5H4e
詳しい案内どうもです
どうやら重さ2kの保型形式というのは単なる微分形式
ではなくて、k-foldの微分形式だということらしいです
このあたりがわからず混乱しておりお騒がせしました
　
あとは、kが半整数のときは何を意味するかが問題・・
0055１３２人目の素数さん
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2022/11/22(火) 16:58:33.21ID:j0bCoDwl
>>54

>>kが半整数のときは何を意味するかが問題

これについては土井・三宅とか
清水先生の本をご参照ください。
0056１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/22(火) 20:52:30.63ID:gUuSkwaX
>>48
そもそも、保型形式って微分形式なの？
0057１３２人目の素数さん
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2022/11/22(火) 20:54:29.26ID:gUuSkwaX
留数は微分形式で定義すると良いというのは知っているが、
保型形式もそうやって微分形式で理解出来るということ？
0058１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/22(火) 21:26:42.42ID:4Pri4uD7
原型が標準束の切断
0059１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/22(火) 21:53:47.82ID:Hnwu8Yk0
>>31
Cheeger-Goresky-MacPherson予想
0060１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/22(火) 22:00:11.62ID:Hnwu8Yk0
複素関数ろんのCauchyの積分定理も、微分形式を使えばStokesの公式から簡単に得られる
0061１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/22(火) 22:00:50.61ID:4Pri4uD7
Cheeger, J., Goresky, M., MacPherson, R.: L 2 Cohomology and intersection
homology of singular algebraic varieties. Seminar on differential geometry,
Yau, S.T. (ed.) Princeton University Press, Princeton, NJ 1982
0062１３２人目の素数さん
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2022/11/23(水) 03:06:35.13ID:46qxcm8F
>>47
複素幾何なら参考になれば

RIMS 共同研究報告集 No.1731
複素幾何学の諸問題 Open Problems in Complex Geometry, (2010)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/1731.html

RIMS 共同研究報告集 No.2211
複素幾何学の諸問題 II Open Problems in Complex Geometry II, (2021)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/2211.html
0063１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/23(水) 09:33:12.27ID:dI57As+/
>>62
IIではIで放置された問題の解決が一行で要約されている。
0064１３２人目の素数さん
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2022/11/23(水) 10:08:54.14ID:4ETl72G6
>>56
微分幾何的な意味での微分形式ではないらしく
複素解析的な微分形式で考えないとあかんらしい
保型形式の本にはあまり詳しく書かれていない
まともにやろうとすると説明がやっかいだから？
0066１３２人目の素数さん
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2022/11/23(水) 13:24:26.10ID:5B6hbaci
>>65
Iの前から数えて40年目の解決だった
0067１３２人目の素数さん
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2022/11/23(水) 13:32:41.16ID:5B6hbaci
すでに有名な話だったから1行で済ませた
0069１３２人目の素数さん
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2022/11/24(木) 00:15:23.75ID:5GwQ/ugy
>>64
？
微分幾何だろうが複素解析だろうが、微分形式の定義は同じ
0071１３２人目の素数さん
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2022/11/24(木) 05:48:26.15ID:vVpUrry0
>>68
IとIIを眺めてごらん
0072１３２人目の素数さん
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2022/11/25(金) 23:54:21.96ID:Zd5MYZKj
>>15
D. Bachman, A Geometric Approach to Differential Forms, 2nd ed. Birkhaeuser (2012)

J. P. Fortney, A Visual Introduction to Differential Forms and Calculus on Manifolds, Birkhaeuser, (2018)
0073１３２人目の素数さん
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2022/11/26(土) 00:51:06.22ID:FLe7xSIT
微分形式の本

・多様体を勉強した後に読むと良い本

森田茂之，微分形式の幾何学，岩波現代数学の基礎 (2005)

坪井俊，幾何学III 微分形式，大学数学の入門，東京大学出版会 (2008)

Bott and Tu, 微分形式と代数トポロジー，丸善出版 (2020)

栗田稔，微分形式とその応用　―曲線・曲面から解析力学まで─，現代数学社 (2019)

フランダース， 微分形式の理論: およびその物理科学への応用，岩波書店 (1967)
0075１３２人目の素数さん
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2022/11/26(土) 07:14:58.96ID:xE0lerTW
Wikiで放置されているこの手の劣悪な訳を集めて
改訳と並べて出版できれば良いと思われる
0077１３２人目の素数さん
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2022/11/26(土) 09:25:26.53ID:xE0lerTW
これくらいなら内閣府の肝いりで
すぐにでもできそうだが
0078１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/26(土) 18:32:33.17ID:AheRWPMC
法律的な問題がクリアできないような気がする
0079１３２人目の素数さん
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2022/11/26(土) 23:07:24.57ID:hrpRgDFV
>>64
>>74
こういう書き込みするあたり、実微分形式と複素微分形式が別物だと思っているんだな

微分形式は実でも複素でも定義は同じ
特に複素の場合は、複素構造があふから、正則と反正則に分解出来るということ

結局、線形代数の話なんだが、それを理解してないから、実微分形式と複素微分形式が全然別物と誤解してしまう
0081１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/27(日) 00:28:18.05ID:q3+nnP9D
>>80
間違いを素直に認める謙虚な姿勢は大事だぞ
でないと、自分の誤解を改めることが出来ず進歩が無い



69 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2022/11/24(木) 00:15:23.75 ID:5GwQ/ugy
>>64
？
微分幾何だろうが複素解析だろうが、微分形式の定義は同じ

70 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2022/11/24(木) 00:54:15.93 ID:lfS/Mwj6
そういうのいいからｗ
0082１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/27(日) 13:08:07.40ID:cd9wx0Qp
ここでそんな下らん言い争いは辞めてくれ
どうしてもしたけりゃ、以下のスレでやってくれ

ケーラー多様体・ホッジ分解
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1612652658/
0084１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/28(月) 02:55:28.19ID:6piu02TN
>>58
一般の保型形式は捻れているベクトル束の切断として表される
つまり、座標系がグローバルに取れない

ゼータ関数だって解析接続したら表示が変わる、つまり、定義域が変わるとその表記が代わるのは当然だろう。
特に、一般の場合には値が直積束ではなく捻れているベクトル束であるということ
0085１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/28(月) 06:41:03.86ID:3iytGQo2
>>84
カギ括弧つきの「捻る」ってなんでカギ括弧付けて記載するのかがいまいちピンと来ない。
0086１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/28(月) 09:17:55.12ID:1DWIax2H
>>85
>>84の文章のどこにカギ括弧つきの「捻る」が付いているのか？
お前の目が悪いだけだろ
0088１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/11/28(月) 15:23:07.74ID:3iytGQo2
>>86
ここのレスに限定した話ではなく
一般に数学や物理のPDFで「捻れ」てるにカギ括弧付けてる場合が多く見られる。

なんかこのスレでムキムキしてる誰かさんみたいな粗探しではなくこっちは疑問として提示してる。
0089１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/03(土) 01:49:14.87ID:VH2rKI2y
H"olmanderのL2理論の成功により、微分形式の解析が一気に広まったね
0090１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/03(土) 06:37:44.66ID:qJ9san2u
H"olmander--->Kodaira-H"ormander-
0091１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/03(土) 06:48:00.51ID:qJ9san2u
訂正
Kodaira-H"ormander-
ー−−＞
Bochner-Kodaira-Andreotti-Vesentini-Kohn-H"ormander
0092１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/03(土) 08:00:55.60ID:AznH32Xs
>>91
おいおい、Hodgeを抜かすのかよｗ
微分形式の解析はHodgeの調和積分論（完全な証明は小平による）によって大きく発展を遂げた
0093１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/03(土) 08:04:18.84ID:qJ9san2u
じゃ
Riemann-Hilbert-Weyl-Hodge-Bpochner-Kodaira-・・・
0094１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/03(土) 08:05:26.21ID:qJ9san2u
訂正
Bpochner--->Bochner
0095１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/04(日) 00:33:51.75ID:74LPh/8J
H"ormander以降はどうなの？
0096１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/04(日) 22:05:01.19ID:N2JNDSvZ
>>H"ormander以降はどうなの？
H"ormander(65)-Skoda(72)-Fefferman(74)-・・・
0097１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/05(月) 12:34:06.91ID:36HivrxM
Skoda以後とFefferman以後は分かれる。
0099１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/07(水) 15:58:19.63ID:aowQjg+r
>>98
なるほど
微分形式で非線形解析を行っている研究って他にある？

K"ahler-Einsteinは非線形だけど、K"ahlerポテンシャルの関数についての議論に帰着されるから、
微分形式の非線形解析ではないからね
0100１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/07(水) 18:25:17.95ID:GL6vFCAQ
>>99
Siuのglobal rigidity
0101１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/08(木) 08:24:23.28ID:xpFZils6
トラクターカルキュラスなども非線形
ペンローズの系統に近い
0102１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/08(木) 19:29:40.46ID:2E9fCkcn
>>100
それって調和写像を使ったケーラー多様体の同型を示す定理だっけ？
そう言えば、最近調和写像の研究ってどうなの？
全然聞かないんだけど
0103１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/08(木) 20:58:07.72ID:xpFZils6
Siuの続きはWikipediaによれば

Kevin Corlette found a significant extension of Siu's Bochner formula, and used it to prove new rigidity theorems for lattices in certain Lie groups.[32] Following this, Mikhael Gromov and Richard Schoen extended much of the theory of harmonic maps to allow (N, h) to be replaced by a metric space.[33] By an extension of the Eells−Sampson theorem together with an extension of the Siu–Corlette Bochner formula, they were able to prove new rigidity theorems for lattices.

このCorletteの仕事とDonaldsonの同時期の仕事が１１月に金沢であった研究集会の講演で引用されていた。詳しくは浅学非才ゆえ解説できないが。
0104１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/08(木) 22:17:52.50ID:xpFZils6
この他に、比較的最近Sampsonの研究の続きがあったが
論文の著者名を忘れた。
0105１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/08(木) 23:31:25.09ID:ZHzx5ZIt
>>102
Y-T, Siu, The complex-analyticity of harmonic maps and the strong rigidity of compact Kahler manifolds.
Ann. of Math. (2) 112 (1980), no. 1, 73?111.

Yauの予想「2つの負曲率のコンパクトケーラー多様体が同じホモトピー型であれば、それらは正則か反正則同型であろう」
を曲率の仮定を少し強めて証明した。
手法は調和写像に対するBochner techniqueを使う。
0106１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/09(金) 08:58:57.61ID:lK+WckRr
近年はそれがuniformizationの問題に応用されている。
0107１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/09(金) 15:40:49.57ID:8Dl9uL1L
例えばR上で、ルベーグ測度と微分形式はなぜ一致するのか？
測度と1-形式の概念は全く異なるものだと思うんだが
0108１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/09(金) 18:09:49.29ID:lFMdnum3
>>105
n次ホモトピー群の代表元を、調和写像に選べるか？という　Hodge理論の写像版の問題の研究とも関係ある
一般にはダメだけど、どこまで出来るのかも完全に解決はしてないはず
0109１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/09(金) 18:19:01.13ID:pZ+cIqKL
>>例えばR上で、ルベーグ測度と微分形式はなぜ一致するのか？
>>測度と1-形式の概念は全く異なるものだと思うんだが

一致しない
0110１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/09(金) 18:21:15.78ID:pZ+cIqKL
>>108
Siuはglobal rigidityに調和写像を使ったのは
学位論文でHodge予想を解こうとして失敗したときの経験から
0111１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/09(金) 18:58:15.14ID:j65XAkcz
もっとカレントの理論とかそっちなスレにするかと思ったが。
0112１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/09(金) 19:13:56.26ID:lK+WckRr
今日見た雑誌には
nonlinear Dirichlet problem
の論文があったが、内容は微分形式。
0113１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/09(金) 21:39:16.91ID:lK+WckRr
>>111
昨日の講演の中に
positive currentに対して
Lelong nummberを拡張する話があった。
0114１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/09(金) 21:47:22.36ID:lK+WckRr
訂正
nummber-->number
0116１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/10(土) 09:04:13.85ID:DV2XUKqW
片方は接ベクトル空間上の関数で
他方は単に記号の節約の意味でdxを使っている。
0118１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/10(土) 21:14:46.08ID:DV2XUKqW
少なくとも同一ではない
0119１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/10(土) 22:21:48.61ID:TwVrWWrD
余接ベクトルと測度が同じとか意味分からん
概念として全然違うもの
0120１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/10(土) 22:23:07.81ID:TwVrWWrD
>>112
何の研究集会
もし良ければホームページのリンクを貼ってくれるとありがたい
0121１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/10(土) 22:27:03.35ID:TwVrWWrD
>>108
Eells-Sampsonのheat flowによる調和写像の存在がきっかけとなり進展した
調和写像の微分は"非線形微分形式"ということなのかな
0122１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/10(土) 23:49:45.26ID:ccRtBtui
>>119
一見すると異なっていても、実は同じだったり
深い関係があるのは数学ではよくあることだろ
0124１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/11(日) 10:47:02.43ID:G4G3fajU
>>119
値域で積み上がった「葉層」が測度の正体だと幾何学的直観から見えなくもない。
0125１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/11(日) 11:49:59.42ID:OqLDUrQ4
>>120
CONFERENCE ON COMPLEX ANALYSIS, COMPLEX GEOMETRY AND DYNAMICS

_in memory of Nessim Sibony_

at the Laboratoire de Mathématiques d'Orsay, Université Paris-Saclay

CONFERENCE WEBSITE: https://sites.google.com/view/sibony-conference/
0126１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/11(日) 12:54:03.07ID:pWzY7KLw
>>125
ありがとう
0127１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/11(日) 22:15:05.69ID:fuZoBKCW
測度と微分形式には深いつながりがあるよ
なぜかほとんどの教科書に書かれていない
0128１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/12(月) 12:44:35.97ID:ZSex7Wyw
調和積分論の証明まできちんと書いてある良い本は、何がありますか？
0129１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/12(月) 13:33:15.42ID:rhV6xRHH
>>128
Demaillyの講義録
0130１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/13(火) 12:51:33.69ID:3VuaDUk0
>>128
洋書なら沢山あるけど、日本語だと証明まで真面目に書いている本って無いのかも
0131１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/13(火) 21:28:35.55ID:utO4JB0Z
秋月康夫の「調和積分論」は
古すぎますか？
0132１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/14(水) 07:39:40.48ID:HwNAEQvC
北原、河上の「調和積分論」は？
0133１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/14(水) 09:36:32.21ID:G5iUW+22
本書は大学教養程度の数学の知識、即ち多変数の微積分と線形代数、のみを仮定して「調和積分論」を論じるという大胆な試みの書である。本書で述べられている調和積分論のHodgeの主定理（Hodge-小平の分解定理）の証明は見事であり(*0)、熱核を用いるAtiyah-Singer理論へと読者を誘ってくれることだろう。

本書を読んで感銘をうけるのは、幾何学研究に適用される「変分法の適用範囲の広汎さ」である。私の知識の範囲においても、すぐに以下の理論を挙げることができる。

(1) 大域変分法への適用: Morse理論、調和写像の理論
(2) Gauge理論への適用: 例えば、Yang-Mills理論
(3) 調和積分論への適用: 例えば、de-Rham･Hodge理論 （本書の主題である）

これらのどの一つを取っても、素晴らしく美しい理論である。これらの理論を学べば、幾何学的な対象に適用される変分原理の摩訶不思議な調べに一層魅せられるのではなかろうか。
0135１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/14(水) 22:27:58.00ID:2JfTEDyd
>>132
日本語でまともに書いてあるのはこの本くらいですね
証明は熱流の方法を使っているのが特徴だが、解析の基礎(弱解の正則性など)は証明してない
前半が微分幾何の基礎事項にあてているから、どうしても証明をきちんと書くにはページ数が足りない
0136１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/14(水) 22:32:13.81ID:xGXIuy9C
>>135
熱方程式の場合
非線形になると弱解の正則性をちゃんと書いたものは
英語の文献でもほとんどない
0137１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/15(木) 10:18:54.55ID:XRNW/Fid
シュワルツ超函数に対応するものとしてカレントがある
わけだけども、佐藤超函数に対応させるとどうなるのか
佐藤超函数のコホモロジーと微分形式のコホモロジーが
合わさったようなものが存在するのだろうか
0138１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/15(木) 11:15:20.32ID:kLN3C4DZ
カレンとで思い出したけど、ドラームの翻訳本があったね
まあ殆ど手に入らないけど、このシリーズ復刊すれば需要あるんじゃないか

ド・ラーム， 微分多様体 : 微分形式・カレント・調和形式，東京図書 (1974)
0139１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/15(木) 11:46:01.31ID:itdNU1//
>>138

>>このシリーズ復刊すれば需要あるんじゃないか

この本も、ヘルマンダーの本も、復刊されないのには
それなりの理由があるのだろう。
0140１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/15(木) 14:22:49.58ID:VHHzYaPG
>>137
局所コホモロジーならとうぜん超局所解析で
D加群でも指数定理まで出来上がってるんじゃないの？。
知らんけど

>>139
秋月調和積分論の上巻が思いっきりカレントの理論の話なんだね。
ぜんぜん知らんかったわ。
0141１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/15(木) 15:20:23.25ID:SGmCP3qH
>>136
非線形は解析の結果を引用するでいいんじゃないか
幾何で問題になるのは大域解の存在だが、それは論文でも結構怪しいのがある
結果的には正しいけど、解析の結果を正しく使えてなかっなり、仮定を全部満たすことをチェックしていないとかはある
0142１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/15(木) 15:30:07.22ID:SGmCP3qH
>>138-139
権利関係かな
でもシュプリンガー(丸善？)は翻訳書を復刊しているし、単純に出版社のやる気かもしれない

東京図書は最近専門書より、教養の教科書レベルしか出してない印書があるんだけど
0143１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/15(木) 16:43:38.55ID:iG/nmIhy
>>142
読んだことがあればはっきりわかる一つの理由がある
0145１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/15(木) 19:02:12.03ID:iG/nmIhy
そう。高橋訳は特に。
0147１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/15(木) 19:45:24.98ID:WKhKwhG3
>>144-145
へぇ〜そうなんだ、知らなかったなあ
もっともド・ラームの本なんて難しくて訳が完璧でも読む気は無いけどw

Bott-Tuを訳した三村も訳が酷かったなあ
昔の教授は院生をこき使ってたいたというからね
0148１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/15(木) 21:05:34.34ID:itdNU1//
>>147
>>ド・ラームの本なんて難しくて訳が完璧でも読む気は無いけどw
>ド・ラームの本の続編にあたるヴェイユの本は
訳は多分完璧。
0150１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/15(木) 22:07:16.24ID:itdNU1//
>>149
>>ヴェイユの続編ってどの本のこと？

148には「ド・ラームの本の続編にあたるヴェイユの本」と書いたわけだが

このヴェイユの本の続編をお尋ね？
0151１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/18(日) 12:31:59.32ID:UFHUDiIE
>>140
もしあるのなら、例えば"hyperforms"のように
currentとは別の名前で呼ぶべきだと思うんだが
0153１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/21(水) 22:36:52.32ID:d2Z4gYmn
>>149
ケーラー多様体論入門 (シュプリンガー数学クラシックス) 単行本 – 2010/9/11
アンドレ・ヴェイユ (著), 佐武 一郎 (翻訳), 小林 昭七 (翻訳)
0154１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/21(水) 23:11:33.29ID:d2Z4gYmn
この続きでここまでまとまりの良いものを書くのは難しい
0155１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/22(木) 07:56:49.96ID:fsr6819L
ドラームとヴェイユは古典
0156１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/22(木) 09:42:09.81ID:PmJUD9hr
進化系がHodge予想
0157１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/22(木) 09:44:18.62ID:PmJUD9hr
ホッジ予想 (Hodge Conjecture)
複素解析多様体のあるホモロジー類は、代数的なド・ラームコホモロジー類であろう、
つまり、部分多様体のホモロジー類のポアンカレ双対の和として表されるようなド・ラームコホモロジー類であろう。
0159１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/23(金) 01:56:53.02ID:0t7NOGX0
Hodge予想
X を非特異な複素射影多様体とすると、X 上のすべての(p,p)次の有理ド・ラームコホモロジー類は、
X の複素部分多様体のコホモロジー類の有理数係数の線形結合となるだろう。

p=1の時はLefschetzの定理でOK。
0160１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/23(金) 08:14:34.05ID:6xFNalbd
これが解けないから
nonlineaar-Hodgeでお茶を濁す
0161１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/23(金) 11:27:55.16ID:t8Xe5Ug0
訂正
nonlineaarー−＞nonlinear
0163１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/23(金) 13:28:56.28ID:ALzI+m8I
>>158
GAGAって何？
0164１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/23(金) 13:31:10.97ID:ALzI+m8I
ミレニアム問題だから、相当難しいんだろうね
ただ、ミレニアム問題の中では、一番解かれそうと言われている
0165１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/23(金) 13:34:08.75ID:ug8NJUkz
GAGAは「Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique」
Hodge予想はLefschetz定理とGAGAから思いついたのではないか
0166１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/23(金) 13:55:31.46ID:0t7NOGX0
>>165
なるほど
Hodge予想は1950年のケンブリッジ大学でのICMで発表されたとある

それとは別に、ホモロジー類の代表元を部分多様体で実現できるか？という問題も一時期考えられていたが、
それとも関係あるのでは？
0168１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/23(金) 14:07:36.52ID:ug8NJUkz
>>166
そうか間違えた、Hodge予想のほうがGAGAより先だね
けど、Hodge予想もGAGA的な現象なのかもしれない
0169１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/23(金) 14:17:20.99ID:0t7NOGX0
着想の原点はLefschetzの超平面定理(1924年)だろう
ド・ラームの定理より前
0170１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/23(金) 14:39:53.70ID:t8Xe5Ug0
GAGA的な現象の走りは
1939年の「岡の原理」
0171１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/23(金) 15:18:29.27ID:0t7NOGX0
Hodge分解の基礎からHodge予想まで書いてある本では次が有名かな

C.Voisin, Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry, I,
Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 76, (2002)

C.Voisin, Hodge theory and complex algebraic geometry II,
Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 77, (2003)
0172１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/23(金) 15:19:54.34ID:0t7NOGX0
>>170
Hodgeによる調和積分論が先じゃないか（証明に不備があったにせよ）
0173１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/23(金) 18:44:32.99ID:6xFNalbd
>>172
調和積分論と岡の原理は
互いに独立な理論
0174１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/25(日) 15:51:03.97ID:O2DsbGsM
両方ともポアンカレが元ネタ
0175１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/25(日) 17:33:20.52ID:hpar9BDb
岡の原理って、シュタイン多様体なら連接層のコホモロジーが消えるってやつ？
それならポアンカレの補題の発展版だよね
0176１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/25(日) 17:37:43.82ID:O2DsbGsM
>>175
無茶苦茶言うな
0177１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/25(日) 17:44:52.11ID:O2DsbGsM
岡の原理は岡多様体
0178１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/25(日) 17:56:28.82ID:hpar9BDb
>>175
あれ？違ったか
岡の原理ってなんだっけ？
0179１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/25(日) 19:17:05.09ID:laueymQR
岡の原理とは複素解析におけるホモトピー原理のことである. より厳密には, Stein 多様体 X に対して X 上のあるクラスの解析的対象と位相的対象 (例えば正則ベクトル束の正則切断と連続切断) を考えたときに包含写像
{ X 上の解析的対象 } ,→ { X 上の位相的対象 }
が弱同値になるということである. 標語的に「Stein 多様体上の解析的な問題には位相的な障害しかない」ことが岡の原理であるとも言うことができる. この原理は 1939 年の岡の第 III 論文 に端を発し, Grauert, Gromov, Forstneriˇc らによって岡多様体の理論へと発展した.
0181１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/27(火) 19:36:25.08ID:VRfHkim5
無限次元では？
0183１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/27(火) 23:15:20.51ID:mb8Zr6YW
>>182
ソースは？
0184１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/28(水) 20:08:08.65ID:nMJlPXtz
>>180
微分形式に条件が必要
0185１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/29(木) 09:27:39.73ID:af4qdYBg
>>184
微分形式dxと言った時点でuniqueでは？
0186１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/29(木) 12:48:09.40ID:bPC3Lvoh
>>185
1次元の話をしているのか？
1次元じゃ微分形式を使うメリットはない
高次元の多様体で初めて効果を発揮する
0187１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/29(木) 15:03:18.30ID:bPC3Lvoh
>>2
> ω=dx∧dy + dy∧dz + dz∧dx これは何を表しているんだ？

この問いに誰も答えていない
0188１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/29(木) 16:05:25.77ID:XpWEA4Gy
とりあえず3変数の非退化2次形式
0189１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/29(木) 18:35:45.94ID:WKSV+QcM
微分形式はクリフォード代数から生まれる
クリフォード代数の特別な場合が微分形式
だから、測度もクリフォード代数が起源と言える
0190１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/29(木) 19:03:38.39ID:rt/HU/FA
>>187
物理でなんか名前がついていたと思うが、忘れた
物理的には色々意味があるらしいが、数学では単なる2-形式としか見なされない
0191１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/29(木) 22:19:46.16ID:/WNYC9KJ
>>189
でもクリフォード代数は次数付け(Z-grading)が出来ないから、
微分形式の理論をすべて含んでるわけでは無い
0192１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/29(木) 22:21:49.85ID:/WNYC9KJ
クリフォード代数は±のZ_2-gradingしか出来ない
0194１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/29(木) 23:15:03.16ID:/WNYC9KJ
>>193
では、クリフォード代数にどの様にZ-gradingを入れるのか示してくれ
0195１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/30(金) 01:24:42.51ID:E1yCPLOa
クリフォード代数も普通の微分形式の空間もものとしては2ⁿ次元ベクトル空間じゃないの？
代数束としての積の構造が違うだけで
逆にいうと積の構造が違うんだから外積代数はクリフォード代数の一部というのはちょっと誤解を生むな
クリフォード代数は交換関係にその空間の計量を使って積を定義する
なので底空間ぎ同じでも計量が違えば一般には代数束としては別の物ができる
計量として退化してる物も許して<ω,η>=0 (∀ω,η)をとったらその内積で作ったクリフォード代数は外積代数になる
だったような
0196１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/30(金) 02:05:49.17ID:9pT5k1Z3
>>193>>195
理解が甘い
全体の空間が同型でも、次数まで込めて同型では無いから(DGAとしては同型でない)。

微分形式はZ-次数付け出来るが、クリフォード代数はZ_2-次数付けしか出来ない。

wikipedia
クリフォード代数
https://ja.wikipedia.org/wiki/クリフォード代数
0197１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/30(金) 02:16:28.08ID:E1yCPLOa
>>196
それ反交換関係入れなければでしょ？
当然ここでいう“微分形式”は反交換関係入れて2ⁿ次元の束の話でしょ？
大体そんな事言い出したら交換関係一切いれずに自由テンソル場でアルファベットn文字のワードでグレーディングされるクソでかい束でもできますがな
0198１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/30(金) 02:21:31.54ID:E1yCPLOa
おっと撤回
グレーディングとして自然なのはせいぜいℤまでやな
ただし交換関係を入れても入れなくてもℤ gradeになるけどものは違うよな？
そんな話してなくね？
0199１３２人目の素数さん
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2022/12/30(金) 02:25:17.93ID:9pT5k1Z3
>>197
クリフォード代数は、DGA(Differential graded Algebra)にならない。
当然、微分形式もクリフォード代数もどちらも積構造を考えている。
クリフォード代数の関係式で、2つのベクトルのクリフォード積がスカラーに落ちる(次数を保たない)のが原因。

これ以上は専門書を見てくれて。
0200１３２人目の素数さん
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2022/12/30(金) 02:27:12.49ID:9pT5k1Z3
>>198
>>191はお前じゃ無かったのか？
クリフォード代数が、微分形式も含んでいるというから、
それは違うと指摘したまで。
0201１３２人目の素数さん
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2022/12/30(金) 02:29:27.51ID:9pT5k1Z3
>>200
アンカーミス
正しくは

>>189>>193はお前じゃ無かったのか？
クリフォード代数が、微分形式も含んでいるというから、
それは違うと指摘したまで。
0202１３２人目の素数さん
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2022/12/30(金) 07:58:16.54ID:E1yCPLOa
オレは>>193じゃないけど>>193の言うところの“含む”は「内積が0の場合にクリフォード代数は外積代数になる」つて話じゃないの？
0203193
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2022/12/30(金) 17:54:53.11ID:6rU2Z0TY
クリフォード代数は偉大だよ
やろうと思えば微分形式をすべて説明できる
けど、通常はそんなことしないだけのはなし
回りくどくてわかりにくくなるだけだから
0206１３２人目の素数さん
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2023/01/08(日) 22:37:48.15ID:+74BXUKJ
dxを無限小という人があるが本当か？
そもそも無限小って数学に必要かい？
0207１３２人目の素数さん
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2023/01/09(月) 01:00:43.03ID:l/SgpgpA
そんなもんに正しいもクソもない
もちろん「無限小"infiniticimal"と見なすこともできる」と言う理論もある
しかしこのスレでも既出の“微分形式と解釈する”考えとは相容れない
じゃあ結局何を“デフォルト”とするのと言う話でしかない、もちろん現代数学の一般的な教程ではまずは“微分形式としての解釈を理解する”と言うのがまぁ大勢
0208１３２人目の素数さん
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2023/01/09(月) 07:28:02.68ID:4JDol5oY
無限小というより
二度微分すると消えるランダウ記法とか
幾何学的双対的に余接空間とか
そっちのほうに力点おいた方がよくね？
0209１３２人目の素数さん
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2023/01/09(月) 10:51:46.40ID:l/SgpgpA
こんな学部レベルの勉強の話は“俺様定義”じゃなくて、まず一般的な数学の教程で第一義に数えられるものから順に勉強してけばいいんだよ
無限小解析とかやりたいならやってもいいけど、それもこれもまずは普通に微分形式、微分幾何勉強し終わった後でやればいい
受験数学でよく出てくる“計算法”

d( sin(x³) ) = 3x²cos( x³ )dx

を単なる便法と考えるならそれで終わりでいいし、そこに何か意味を見出そうとするなら、まずは微分幾何やろ
もちろんそれが最も現代数学で応用の広い豊かな世界に繋がってるんだから
まぁ「俺様無人の荒野を行く」のがいいならそうすればいいけど
0211１３２人目の素数さん
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2023/01/10(火) 14:41:50.55ID:D11EXlFu
>>206>>210
それと微分形式は全然別物

その考えでは線形和 dx∧dy + dy∧dz + dz∧dx はどう理解するんだ？
0212１３２人目の素数さん
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2023/01/11(水) 15:34:07.79ID:buL0BLV/
言葉足らずだった
δxとかの無限小はあくまで無限小のイメージであって
微分のdxとは全く違う使い方をする
物理の講義ではわざとごっちゃにしたりするのかも
大学一年の電磁気でガウスの発散定理とストロークスの定理をやらされたがそのときは誤魔化された
0213１３２人目の素数さん
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2023/01/12(木) 13:12:55.44ID:uSD5NueJ
ある種の微分形式はディラック・スピノルとよばれるが
そのスピノルからなる空間にクリフォード代数は作用する
微分形式の空間はクリフォード代数の表現というわけだ
0214１３２人目の素数さん
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2023/01/16(月) 19:34:17.90ID:Mfj6HscI
数学の大家、佐藤幹夫さん死去　94歳　「佐藤超関数」など理論示す
https://news.yahoo.co.jp/articles/d602a10d5975589cf3f182258d864b1b24dc6642

「数学の大家」として知られ、関数を極限まで一般化した「佐藤超関数」などの理論を示した
京都大名誉教授の佐藤幹夫（さとう・みきお）さんが9日、老衰のため死去した。94歳だった。
葬儀は近親者で営まれた。喪主は長男信夫さん。

1928年、東京に生まれた。東京大卒業後、大阪大教授、東京大教授、京大数理解析研究所教授、
同所長などを歴任した。

ノーベル物理学賞を受けた朝永振一郎に学んだが、数学を目指した。「佐藤超関数」のほか、
微分・積分などの解析をきっちりと代数的に調べる「代数解析学」、特殊な波の物理方程式の
解析などを開拓し、数学や物理学に大きな影響を与えた。
69年度朝日賞、76年日本学士院賞、84年文化功労者、97年ショック賞。2003年には、ウルフ賞を受けた。
0217１３２人目の素数さん
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2023/01/19(木) 00:18:27.79ID:Hg3Prz2/
電磁気の理論において、場の強さをあらわす2-形式Fは
マックスウェルの方程式によりdF＝０を満たしている
つまりこの2-形式は閉じているというわけだから、ある
1-形式Aによって、F＝dAという形に書けるであろう
我々は1-形式Aをゲージポテンシャルなどとよんでいる
0220１３２人目の素数さん
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2023/01/19(木) 17:45:51.12ID:QU4kCMAF
1950年代にヤンとミルズは、電磁気の理論を2成分を持つ
波動関数によって表される核子の場へ理論を一般化した
そこでもやはりゲージポテンシャルの1-形式Bが活躍する
D=∂+igBとおくと、その交換子［D,D］は＝(ig)Fであり
場の強さを表し、Dは一般化された共変微分となっている
0221１３２人目の素数さん
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2023/01/19(木) 22:43:38.39ID:QU4kCMAF
上で、(ig)Fのところ正しくは(-ig)F
マイナス符号が抜けてたので訂正する
0222１３２人目の素数さん
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2023/01/20(金) 01:09:10.66ID:N/pxrwQ8
>>217
数学ではAは接続1-形式、Fは曲率2-形式に相当する
ちなみに、dF=0 はビアンキの恒等式と呼ばれている。
0223１３２人目の素数さん
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2023/01/24(火) 01:47:08.99ID:tsutDPmj
>>222
へぇ〜それは知らなかった
数学の本ではそんな説明無いからなあ
0224１３２人目の素数さん
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2023/01/24(火) 09:59:42.57ID:R+BeihEu
ビアンキを米国人は梅安記と呼ぶ
0227１３２人目の素数さん
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2023/02/07(火) 03:22:44.81ID:ERCLl8A7
超弦理論に出てくるD-ブレーンというのを微分形式で記述出来るそうだ
0228１３２人目の素数さん
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2023/02/08(水) 02:18:57.76ID:jt7fPU+P
dωのdは双対境界写像でしょ？
じゃあdx∧dyのdはなんなんだろう
dxが1形式なのでxは0形式
ある点の局所近傍に対応付けられたR^n上のうちある一つの成分についてφ(x)=∂[a,b]={a}∪{b} (a,b∈R)ならφ(dx)は[a,b]
dx=φ*([a,b])といったところかな？
局所近傍ゆえの無限小っぽさはある
0229１３２人目の素数さん
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2023/02/08(水) 02:19:32.49ID:CWDZB5GA
はい
0230１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/08(水) 06:25:03.96ID:tQDGIJEE
圏論的？
0231１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/09(木) 22:41:02.42ID:CS4LdbzO
Xが完備ケーラーなら、L^2調和な(p,0)形式は正則である

ケーラーで無い場合は？
0232１３２人目の素数さん
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2023/02/09(木) 22:56:09.23ID:IHBT6Jl6
証明は完備かつケーラーの場合しか知らない
0233１３２人目の素数さん
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2023/02/10(金) 09:48:33.69ID:TLtLyVEx
コンパクトなケーラー多様体上の
調和形式の(p,0)成分は正則になる。
ホップ曲面上の任意のエルミート計量に対し、
0でない実調和1形式の
(1,0)成分は正則ではない。
0234１３２人目の素数さん
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2023/02/10(金) 14:15:42.09ID:j+TfyzvY
>>233
サンクス
0235１３２人目の素数さん
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2023/02/10(金) 17:04:47.71ID:vIdvZOAj
>>187
え？微分形式でしょ
0236１３２人目の素数さん
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2023/02/11(土) 15:19:43.41ID:vhbHL1HH
>>233
ケーラーの場合 △ =2□ が成り立つため、調和性 △ω=0から □ω=0が従い、
完備性から ∂ω=0, ∂‾ω=0 が従うので、正則となる。

しかし，ケーラーでない場合は、 △ =2□ とは限らない。
0237１３２人目の素数さん
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2023/02/13(月) 13:19:22.49ID:XfvYwo7U
>>231
コンパクトでRicci flatはケーラー多様体上の調和(p,0)-形式は平行(定数形式)である。
0239１３２人目の素数さん
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2023/02/14(火) 14:40:05.63ID:U6zPaZsc
>>238
そもそも 1/2-form dx^(1/2)や-1/2-form dx^(-1/2)の定義は？
0240１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/14(火) 14:44:26.89ID:iLM43Jn9
それは変換関数系の分数べきが意味を持てば
自然に定義できる
0241１３２人目の素数さん
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2023/02/14(火) 15:36:47.83ID:U6zPaZsc
具体的に1次元ユークリッド空間Rのとき、dx^(1/2) って何？
0242１３２人目の素数さん
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2023/02/14(火) 19:46:04.78ID:dF+0yQ/M
>>240
交代性はどうすんの？
例えば、dx^(1/2) ∧ dx^(1/2) は0か、それとも指数法則で dx か？

テンソル積と違い交代性があるから、単純に変換関数だけでは処理できないのでは？
標準束のルート束もベクトル束ではなく、K群の元としてしか意味持たないし
0243１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/14(火) 21:31:36.02ID:feBbhNmb
>>交代性はどうすんの？

ベクトル空間の外積をあてはめるだけ
一般のベクトル束の外積と同様
0245１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/14(火) 21:38:36.04ID:feBbhNmb
>>244
ソースは？
0246１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/15(水) 17:56:01.59ID:d237uh+Z
確率微分方程式で√dtみたいな形を見たことがあるが
あれは正規分布の標準偏差が√dtだからって理由で
微分形式と一緒にしていいものなのか分からない
一応確率の組み合わせという文脈で掛け算も出来た筈だが
0247１３２人目の素数さん
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2023/02/15(水) 19:18:27.63ID:rEpklfRi
>>246
確率過程だと (dW_t)^2 = dt とかそういうのがあるからでは？
（この二乗はどういう積なんだっけ、ウェッジ？）
0248１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/19(日) 18:34:41.58ID:AIhRT60O
>>217
ストリングの理論においても高階の微分形式によって
表されるポテンシャルがあって、それが弦を一般化した
Dブレーンと結合することで相互作用が生じるわけだ
ストリング理論も一般化された一種のゲージ理論である
0249１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/22(水) 18:59:35.15ID:IvrdmkQp
微分形式があるのなら積分形式あるのだろうな。
0250１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/22(水) 19:33:27.93ID:SmIi6TKA
>>249
サイクルだな
0251１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/22(水) 23:06:56.10ID:VdZ75au0
>>248
Dブレーンて高次元の幕の様なもんちゃうの？
0252１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/25(土) 18:31:38.09ID:+adLyIDo
>>250
> サイクルだな

正確にはチェインだな
サイクルは ∂c=0を満たさなくてはならない、
これは微分形式でいえば dω=0 の閉形式に相当する。
0253１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/25(土) 18:59:36.38ID:jF+8uFdv
そうだチェインだ
閉じてない領域上も積分はできるからな
0255１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/26(日) 20:28:56.17ID:0fLbOhee
微分形式もチェインもカレントになる
0257１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/26(日) 21:27:18.06ID:hj4BEixb
積分公式で啓くベクトル解析と微分幾何学
―ストークスの定理から変分公式まで―

著者 小池 直之 著
発売日 2022/09/12
ISBN 9784320114753
体裁 A5・400頁
定価 5,280円 （本体4,800円 + 税10%）

https://www.kyoritsu-pub.co.jp/book/b10013505.html

本書は、「積分公式」に焦点を当てることにより、ベクトル解析と微分幾何学を俯瞰する一冊である。
　ベクトル解析において、グリーンの定理や（曲面に沿うベクトル場に対する）ストークスの定理、
ガウスの発散定理を学ぶが、これらは微分幾何学において「多様体上の微分形式に対するストークスの定理」
として包括的に論ずることができる。また、多様体論と位相幾何学を結びつけるド・ラームの定理は、
多様体上のストークスの定理を用いて示され、さらに、曲面論におけるガウス・ボンネの定理も
ストークスの定理により導かれる。一方で、微分幾何学における偶数次元閉超曲面におけるガウス・ボンネの
定理の証明には、モース理論を用いたまったく別の手法が用いられる。
　本書ではこれらの事実をスムーズに学べ、さらに、体積汎関数の第1変分公式・第2変分公式と
その完全証明も与えられており、「積分公式」を通して見えるベクトル解析と微分幾何学のつながりを案内する。
　また、モース理論の完全証明や特性類の位相幾何学的定義（障害理論に基づいた定義）、
および微分幾何学的定義（チャーン・ヴェイユ理論に基づいた定義）、さらには、ガウス・ボンネの定理が
特性類の一つであるオイラー類の積分を用いた積分表示公式として与えられることも解説されており、
微分幾何学と位相幾何学の密接なつながりも実感できる。
　本書では各所で図を挿み、視覚的に理解できるよう工夫されている。
0258１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/27(月) 00:07:07.99ID:2JBQ3w9d
>>256
境界作用素もおかしかった
加群の元が積分形式や
つまり微分形式は同時に積分形式でもあるんや
0260１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/27(月) 02:07:31.19ID:o3DQcYIK
Jacobianの平方が出てくる
知らんけど
0261１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/27(月) 02:07:50.66ID:o3DQcYIK
平方→平方根
0263１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/27(月) 08:55:45.80ID:vYVemDVA
>>258
お前は境界知能ではなくて知的障害
0264１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/27(月) 08:57:37.13ID:vYVemDVA
>>262
お前はただの知的障害者
0265１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/27(月) 10:38:44.44ID:6mCrLH9h
>>262
対称微分形式でしょ？
0267１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/27(月) 11:13:32.27ID:OR6Po6Su
>>262
>>265
テンソルと共変ベクトル反変ベクトルって難しいよな
おれも最初わからなかった
dsは微分形式だ
逆にここのdx^i dx^jは微分形式じゃなく記号
0269１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/27(月) 12:15:18.63ID:LiyMWZUS
微分形式とは、微分可能多様体上に
定義される共変テンソル場のこと。
0270１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/27(月) 12:17:10.63ID:aBN38Voi
>>268
(ds)^2=g_{ij} dx^i dx^jって微分形式のウェッジ積じゃなくて単なる積で表されるから微分形式じゃないと思った
0271１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/27(月) 15:19:10.94ID:MGx5FJPo
対称テンソルを微分形式とは呼べないが
エルミート計量はその基本形式としばしば
同一視される
0272１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/27(月) 16:51:03.98ID:EnSayiK5
微分形式は交代性を満たさなくてはならないが(外積束の切断)、
(ds)^2=g_{ij} dx^i dx^j は交代性は満たさないので微分形式ではない。
対称性をみたすただのテンソル場(対称テンソル束の切断)。
0273１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/27(月) 16:52:00.23ID:EnSayiK5
>>269
ダウト！
交代性が必要
0274１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/27(月) 17:30:54.20ID:/uCl+tt1
>>272
その通り！
ウェッジ積は交代的だから、リーマン計量は微分形式ではありませんね
0275１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/27(月) 20:02:08.12ID:OR6Po6Su
勘違いしてたけど確かに(ds)^2はただの2次形式だな
“微分”形式ではない
0276１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/28(火) 08:20:12.18ID:KNSme0hL
2次形式の変数を微分に変えたものが2次微分形式。
0278１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/02/28(火) 10:46:03.90ID:Lp1W0+I5
接ベクトル束上の関数を考える
0280１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/03/01(水) 17:44:35.73ID:0ShTBkWP
>>249
微分形式を積分するわけだけども
積分形式の微分は何になるのかな？
0281１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/03/01(水) 18:24:49.72ID:yoaR/5od
・境界説
・接ベクトル（微分係数）説

を提唱する
0282１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/03/01(水) 18:58:56.87ID:0ShTBkWP
微分形式でコホモロジーが作れるけど
積分形式からホモロジーが出るんかな？
0283１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/03/02(木) 20:35:40.87ID:VrkpXNWd
二次形式を計量テンソルとする対称微分形式が微小な線素の長さを表すのなら、
三次形式や四次形式は何を表すか。
クリストッフェル記号とか曲率テンソルなのだろうか？
0284１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/03/02(木) 20:48:10.76ID:FMn5P81u
>>283
気分で書き込むなよ
n次テンソルは線形空間で、その中の特別なものが計量や曲率と名付けられてる
だからn次=○○みたいな考え方はおかしい
0285１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/03/03(金) 07:58:14.66ID:xFJJi9eq
外微分作用素dの双対である余微分作用素はホッジのスター作用素*とdを併用して
*d*と表せる
0286１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/03/03(金) 13:54:18.06ID:dHs/cB83
>>283
n次元一般リーマン多様体上の計量テンソルならば基底ベクトル場に対する正定値性は必要無く、単に対称な二階テンソル場であればいい
独立成分はn(n+1)/2個

クリストッフェル記号Γは(1,2)形式について
Γ^i_{jk}=Γ^i_{kj}
であるので独立成分はn^2(n+1)/2個

リーマン曲率テンソルRは(1,3)形式では共変微分の括弧積で表されることから負でも良い添字を下ろした際に(0,4)形式について
R_{ijkl}=-R_{jikl}
R_{ijkl}=-R_{ijlk}
R_{ijkl}=R_{kjil}
R_{ijkl}+R_{iljk}+R_{iklj}=0
を満たす
独立成分はn^2(n+1)(n-1)/12個

そこから縮合して得られるリッチ曲率テンソルは
R_{ijkl}=-R_{jikl}
R_{ijkl}=-R_{ijlk}
R_{ijkl}=R_{kjil}
より
R_{ijik}=R_{ikij}
⇔R_{jk}=R_{kj}
自由度はn(n+1)/2


一般には二階テンソルは計量テンソルやリッチ曲率テンソルにはならないし、三階テンソルはクリストッフェル記号にはならないし、四階テンソルはリーマン曲率テンソルにはならない

ただしこれらは単体での話だが
また、クリストッフェル記号は物理学的流儀だと座標変換則の観点からテンソルには常にならない
0287１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/03/03(金) 16:35:28.27ID:bPiim5l7
>>285
符号が必要

>>286
> クリストッフェル記号は物理学的流儀だと座標変換則の観点からテンソルには常にならない

数学的にもクリストッフェル記号はテンソル場にはならない。
クリストッフェル記号は共変微分∇の成分表示したもの、
そもそも「共変微分」という微分作用素なので、テンソル場にはなり得ない。
0288１３２人目の素数さん
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2023/03/03(金) 17:53:29.83ID:HJMiEIYX
>>285
その余微分作用素が、積分形式の微分と考えられるのかな？
0290１３２人目の素数さん
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2023/03/03(金) 18:56:07.85ID:t7xp2dxk
emanの物理学見てたけど馬鹿だから結局リーマン曲率とかクリストッフェル記号とかは分かったような分からないような理解しかできてない
誰か分かりやすく説明してくれねえか
0291１３２人目の素数さん
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2023/03/03(金) 23:00:12.37ID:FETRX67d
>>290
クリストッフェル記号は↓
https://eman-physics.net/relativity/co_dif.html


リーマン曲率テンソルについて
曲率のある空間中でベクトル場を平行移動すると、ベクトル場の方向がズレる
例えば地球上で東方向に向いたベクトルを平行移動する
ベクトルの方向に対して前方にπ/2、左方にπ/2の順と、左方にπ/2、前方にπ/2の順だと最終的なベクトルの向きが異なる

これを無限小に対して適用するとある一点における曲率を表せる
異なるベクトル場∂/∂(x^k)、∂/∂(x^l)に沿った共変微分∇_kと∇_lの作用させる順番次第でベクトルの方向にズレが生じる
その大きさ[∇_l,∇_k]=∇_l∇k-∇_k∇_lが(1,3)形式がリーマン曲率テンソル
0296１３２人目の素数さん
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2023/03/05(日) 17:25:34.36ID:QthrJnVy
微分形式（接分布）に対して、積分多様体という概念がある
ベクトルばの積分曲線の高次元版に当たる
0297１３２人目の素数さん
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2023/03/06(月) 23:11:48.66ID:e3xN9wLS
フロベニウスの定理か
あれムズイねんな
0299１３２人目の素数さん
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2023/03/07(火) 08:45:16.69ID:X1YDyGoP
>>295
その発想を展開させると
prolongationの理論になる
0302１３２人目の素数さん
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2023/03/08(水) 22:29:46.88ID:fV8U2sgQ
>>301
お前アホか？単なる線形代数の話だ

有限次元ベクトル空間 V に対して、双対を２回取れば元の空間と同型になる：(V^*)^* = V
V= TxM と接ベクトル空間と見れば、1-coform は通常のベクトル場になる
2次以上も同様
0303１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/03/08(水) 23:07:50.94ID:QExZ1BGu
形式とは接ベクトル空間上の線形汎関数
余接ベクトルによる内積表示が可能なので、この余接ベクトルを形式とみなすこともアリ
余接ベクトルの共役は接ベクトルであろう
コフォームは接ベクトル
0306１３２人目の素数さん
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2023/03/09(木) 08:30:20.77ID:jaCVlYEr
>>フロベニウスの定理か
>>あれムズイねんな

本の証明がへたくそなだけ
0308１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/03/11(土) 21:56:23.86ID:UqfwDfEV
一般に、ベクトル空間Vの元をvectorと呼べば
双対ベクトル空間V*の元はcovectorと呼ぶことになる。
0309１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/03/13(月) 17:20:20.91ID:siYuI2Wo
微分作用素はベクトルなわけだが、そうすると
コベクトルは積分作用素ということになるんかな？
0310１３２人目の素数さん
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2023/03/15(水) 21:56:00.09ID:pymv/vhd
>>309
直前のスレくらい読めや
ベクトル場の双対は微分形式
0311１３２人目の素数さん
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2023/03/17(金) 13:39:01.72ID:L2ZN88Kq
>>309
素人の思いつきで書き込むなよ

偏微分方程式で弱微分は積分形式で解釈するのは常識だからさ
0313１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/03/19(日) 06:59:45.12ID:hfCDQfPc
空間の方向性をどう表現するかの問題
0314１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/03/22(水) 08:37:14.89ID:r5DSYwfm
微分方程式論の本道
0315１３２人目の素数さん
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2023/04/06(木) 22:10:34.43ID:6u7zCCE6
【カルタンの定理B】
シュタイン多様体X上の解析的連接層Fに対して、H^p(X;F)=0(p>0)である。
0316１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/04/07(金) 15:12:31.19ID:WDYjVDqm
カルタンの定理Cが仮にあるとすれば、それはどんなものであるか？
0317１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/04/13(木) 23:10:22.67ID:HlvStHZC
>>315
多変数関数論は良く知らないのですが、これは岡潔の結果を層のコホモロジーで言い換えた定理という認識で合っていますか？

またこの層コホモロジーをド・ラーム（ドルボー）コホモロジーを通して、微分形式の計算により証明することは出来ますか？
例えば小平消滅定理のように、調和積分論を使って微分形式の話に持ち込んだ議論です。
0318１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/04/14(金) 00:00:56.11ID:R8il5zXB
>>187
微分形式だよ
0319１３２人目の素数さん
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2023/04/15(土) 23:31:12.97ID:NGL0uhfk
>>317
応用上は局所自由層のコホモロジーで十分な時が多く
その場合には小平式の方法が通用します
0320１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/04/19(水) 10:47:52.04ID:jUlHDOn1
微分形式の定義について
ブルバキで議論があったとき
カルタンがデュードネの批判に兜を脱ぐ場面があったそうだね
0322１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/04/20(木) 00:34:34.92ID:MrrWQl6+
微分形式でCartan's magic formulaて呼ばれている公式があるけど、何がmagicなんや？
0323１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/04/23(日) 17:21:12.61ID:5/DqZTdp
>>322
日本語の本では単に「カルタンの公式」としか書かれてないけど、
英語の本では"magic formula"と書かれているのが多いね。
出た当時の印象が魔法のような関係式だったのだろうか？
0324１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/04/23(日) 21:12:18.70ID:H1gskOsa
アーノルドはhomotopy formulaと呼ぶ
熱力学の第一法則を解き明かす不可思議
0325１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/04/26(水) 01:30:47.60ID:JN+HVJGb
>>187

2-formだよ
0326１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/04/26(水) 22:15:20.35ID:IEwEYJpm
>>325
いつまでそんなのに相手してるんだよ
少しはまともな書き込みしろ
0328１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/05/29(月) 02:37:28.15ID:zwPNEUde
二次元以上の連結な概複素多様体の強擬凸領域は
連結な境界を持つ。
2014年の論文に出ていた。
0329１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/06/05(月) 06:44:55.24ID:qb5YuZob
2次元以上の連結ケーラー多様体の滑らかな局所擬凸有界領域なら
いたるところ両面擬凸でなければ境界は連結
0330１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/06/07(水) 07:39:12.04ID:qId5qqCn
ストークスの定理の簡単な応用
0331１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/06/08(木) 07:19:31.63ID:NMO5Zfp+
しかし今世紀に入ってからの論文
0332１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/06/08(木) 20:34:34.42ID:NMO5Zfp+
Merker-Portenの接続定理も新しい
0334１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/06/16(金) 15:14:53.93ID:oo8zpfhD
>>333
マジ？
その証明が書かれている本は？
0335１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/06/16(金) 16:26:42.16ID:d4y3icdx
>>334
微積分学の基本定理を言い直しただけ
0336１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/06/17(土) 17:46:27.78ID:M72gt5hr
複素関数論のほとんどの教科書はストークスの定理や微分形式の知識を仮定してないから、
コーシーの積分定理の証明が、道の取り方に依らないなど面倒な議論をせざるを得ない。

留数も本当は値ではなく、留数形式という微分形式で定義するとスッキリする
特に無限遠点の周りの留数を考えるときは、留数形式で考えないと間違える。
0337１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/06/18(日) 21:42:53.12ID:lmuvFAWD
>>336
>>複素関数論のほとんどの教科書はストークスの定理や微分形式の知識を仮定してない
例外は？
0338１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/06/20(火) 18:48:56.46ID:qzw1B6m7
二変数の微積分でガウス・グリーンの定理はやる
0339１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/06/21(水) 02:07:50.76ID:wn/367VJ
機体トラブルで酸欠状態に
残りあと１０分しかなく、必死で家族が待つ地球へ戻ろうとする様を描いています。
想像してみてください。//youtu.be/oWs3yvVADVg
0340１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/06/21(水) 06:39:41.64ID:9RRcHEaJ
>>コーシーの積分定理の証明が、道の取り方に依らないなど面倒な議論をせざるを得ない。
それは「領域の内部を左手に見る向き」を積分を使って定義するとき
素朴な形の「境界に沿う線積分が０」だけなら「滑らかなジョルダン曲線で囲まれる領域」
に対して証明するだけなので楽
0341１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/06/23(金) 00:59:59.63ID:jUudKrb9
>>290
クリストッフェル記号はベクトル場の微分を自分で構成してみると自然に導入できるぜ
0342１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/07/24(月) 12:15:41.06ID:/Vm8rRhv
雑誌「数理科学」が微分形式の特集のせいかネット書店で売り切れてる
0343１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/07/27(木) 18:22:27.46ID:MuYwfdmB
数理科学 2023年8月号 Ｎｏ.722
微分形式で書く・考える
空間に現れる現象を記述する言語
https://www.saiensu.co.jp/search/?isbn=4910054690835&y=2023

内容詳細

微分形式は，３次元実空間のみならずさまざまな空間の上の関数を拡張した概念であり，
微分や積分で表される関係を表現する道具です．微分形式は，微積分やベクトル解析の
延長上にある概念記法ですが，表現形式が洗練されており，理論物理に現れるさまざまな
数学的関係を見通しよく表現する言葉になっています．また，微分形式自体が数学的研究
の対象になることもあります．本特集では微分形式の数学的役割や物理現象との対応など
の話も交えて，様々なテーマについて紹介していきます．
0344１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/07/27(木) 18:25:30.06ID:MuYwfdmB
目次

特集
巻頭言　谷村省吾
空間図形と微分形式　大森英樹
微分形式と力学　柴山允瑠
微分形式と電磁気学 ～ アブラハム‒ミンコフスキー論争 ～　谷村省吾
微分形式と熱力学　新井朝雄
微分形式と量子力学 ～ 幾何学的位相入門 ～　野村健太郎
相対性理論における微分形式　井田大輔
微分形式と多様体　橋本義武
微分形式と代数幾何　植田一石

書評
重点解説 微分方程式とモジュライ空間　松原宰栄
組合せ最適化から機械学習へ ～ 劣モジュラ最適化とグラフマイニング ～　永野清仁

連載
計算機科学の数学 7 ～ 一階述語論理(4) ～　龍田真
0345１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/06(日) 02:49:16.76ID:hEeWYTpP
微分積分で使うdxとdyって任意の点における基底ベクトルってことなん？
0346１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/06(日) 03:46:09.74ID:D6MEx/oE
>>344
微分形式の特殊じゃなくて、物理法則や理論も微分形式で書けますよって話で、期待外れ。
微分形式とコホモロジーや特製類の話など、数学の世界で有効な微分形式の話を
書いて欲しかった。
0347１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/06(日) 06:52:26.70ID:/f8NXugj
微分形式と多変数関数論がない
執筆者が見つからなかったのか
0348１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/06(日) 22:03:14.95ID:/f8NXugj
ドルボーの補題なしの
微分形式の話など
考えられない
0349１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/07(月) 11:30:06.71ID:Lj3uUrqP
ヤコビが量子力学を知っていた
という岩堀先生のつぶやきは
印象的
0350１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/07(月) 16:39:27.82ID:1FPyEEKk
>>347
多変数関数論はそれだけで一つの特集が組めるだろうけど、最近は余り見かけ無いね
数学の話題だけじゃなくて、どうしても岡潔の話題を取り上げざるをえない。この手の雑誌では岡潔の話題は一般人の食いつきがは良いからね

岡潔が人気あるから、どうしてもヘルマンダー流の微分形式の話は日本では陰の存在になってしまう。
0351１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/07(月) 21:41:21.74ID:INayLHqp
ヘルマンダー流などない
あるのは
岡流と小平流
0354１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/08(火) 07:47:44.64ID:Az+bjc0X
>>352
>>∂~-問題はヘルマンダーでしよ
複素境界値問題を多変数関数論に持ち込んだのは
スペンサー
クザンの問題を正則領域上で解いたのは
岡潔
コンパクトなケーラー多様体上で解いたのは
小平邦彦
これらを完備なケーラー多様体上の∂~-問題として
統一的に論じたのはアンドレオッティとヴェゼンティー二が最初で
そのあとでコーンやヘルマンダーの論文が出た
ヘルマンダーが教科書を書いたので
多変数関数論をヘルマンダーの教科書のみで勉強した者たちは
全部ヘルマンダーがやったことだと勘違いした
0355１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/08(火) 08:06:45.43ID:Az+bjc0X
リーマン面の一意化定理は
ケーベの定理と呼ばれていて
これはアルフォルスがそう呼んだかららしいが
最近はヒッチンがポアンカレの定理と呼びだして
それに追随するものが増えている
0356１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/08(火) 10:07:20.27ID:Iiw1KUn4
ケーベの定理で何がよくない？
0357１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/08(火) 12:38:25.06ID:zKeqVW3U
ヘルマンダーはフィールズ賞、ウルフ賞受賞者
最初にやっては無かったが、∂‾-問題のアプローチを多変数関数論まで昇華させた
0358１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/08(火) 12:41:30.68ID:zKeqVW3U
>>351
>>354の流れを見ると、これを小平流と言うのは無理がある
0362１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/08(火) 17:55:10.80ID:x6hJSXju
層係数コホモロジーど∂￣コホモロジーの同型は
ドルボー
それを用いてコンパクト多様体上でクザンの問題を解いたのは
小平
小平の方法を完備ケーラー多様体上に拡張するのは
容易なことで
アンドレオッティ・ヴェゼンティー二の論文の結果だけで
岡理論の大半はカバーできる
0363１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/08(火) 20:38:50.09ID:Tn0LXHzS
カルタンの定理A,Bは？
シュタイン多様体上で∂‾-問題を解かなくてはならない
0364１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/08(火) 20:57:38.83ID:Az+bjc0X
>>363

>>シュタイン多様体上で∂~-問題を解かなくてはならない

これをやったのがAndreottiとVesentini
0365１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/09(水) 08:51:45.41ID:/x3euq4L
359が読めなくなっている
0366１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/09(水) 17:15:38.23ID:H2mHvfVr
>>364
なるほど、それは知りませんでした
となると、多変数関数論におけるヘルマンダー流というのは、
例の本が余りにも有名過ぎてヘルマンダーが作った理論と誤解されていますね

逆に、ヘルマンダーの多変数関数論の研究成果って何がありますか？
0367１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/09(水) 17:17:21.85ID:H2mHvfVr
>>365
今アクセスしたが、普通に読めるけど
たまたまサーバーのメンテナンス時間やったのでは
0368１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/09(水) 20:47:24.01ID:/x3euq4L
>>366
ベルグマン核の境界挙動
0369１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/13(日) 05:11:42.98ID:gabGMOBa
L2拡張定理の出発点
0370１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/14(月) 08:04:28.69ID:mnmHCoOF
L2拡張理論以外は2003年の論文に詳しい
0372１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/17(木) 18:10:01.91ID:jHaGpGqP
Forstnericの本によくまとまっていると思ったが
最近になって新たに面白い展開があり
スロベニアとオスロではその話題で盛り上がっていたらしい
0373１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/17(木) 21:08:38.64ID:43UpJy3d
>>371
Forstnericの本はStein多様体上のホモトピー原理だが
岡の定理が成り立つ複素多様体はStein多様体とは
限らない。
Stein多様体上のStein束で全空間がSteinでないものが
いくつかしられているが
その中には岡の原理が成り立つものがある。
これは近い将来の多変数関数論の一つの方向性を示唆していると
思われる。
0374１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/17(木) 23:19:36.27ID:43UpJy3d
372と373は岡の原理の話
多様体上の岡・カルタン理論であれば
擬凸なケーラー多様体上での
拡張定理にごく最近
目覚ましい進展があったようだ
0375１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/20(日) 07:27:32.90ID:1rwpBP/2
多重種数の変形不変性は
ケーラー多様体論の主要な
未解決問題の一つ
0376１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/21(月) 13:05:56.14ID:83XYnZY3
>>9
面素で
0377１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/21(月) 13:25:09.13ID:G8+NOUis
曲面論の理解がまとまれば
リーマン多様体論へと進める
0378１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/21(月) 18:46:14.14ID:c0d4xiQG
>>373
> Stein多様体上のStein束で全空間がSteinでないものが
> いくつかしられているが

ファイバー束の連接層係数のコホモロジースペクトル系列で
コホモロジーが消えてないことが示せるのだろうか？
0379１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/21(月) 18:52:03.33ID:G8AVkjMT
高次順像が消えても０次順像は残り
これは連接ではないから
スペクトル列が出てきても
一般論では扱いようがない
0381１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/21(月) 22:11:22.00ID:G8AVkjMT
現代数学の12月号から連載開始
0382１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/21(月) 23:38:59.58ID:G8AVkjMT
>>378
とはいえ、2次以上のコホモロジーが消えることは
Stein多様体上のStein束すべてに対して
言えることらしい。
0383１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/22(火) 16:03:25.71ID:xl52YQCt
>>382
それはカルタンの定理Bとスペクトル系列の一般論だけでは分からないことですか？
0384１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/22(火) 18:02:04.14ID:oU3/82VC
>>383
無理、E_2=0までしか分からん
0385１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/23(水) 11:07:59.18ID:RW6RpK/N
2-完備性が言えるからだろう
pluripotential theoryは
sheaf theoryより
ずっと深い
0387１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/23(水) 12:31:27.12ID:BQckRIsb
>>386
商加群の段階的な構成法と
軽く考えておけば十分
簡単な計算例が分かればなおよいが
0389１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/24(木) 01:32:56.65ID:JopXmR0U
すいませんどなたかおしえてください
二次元球面上でベクトルを平行移動させたくてjavascriptでコードを書いてみたんですが
うまくいきません
どこに間違いがあるんでしょうか？
https://codepen.io/yamada-yamada/pen/WNLvzQJ
0390１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/24(木) 01:34:55.84ID:JopXmR0U
アニメーションではわけわかんない軌道を描いてますが球面状を真っ直ぐ平行移動させたいです
0392１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/08/24(木) 21:50:30.63ID:JopXmR0U
>>391
曲がった二次元平面空間におけるまっすぐです
正しくは大円を描くはずなんですが・・・
0393１３２人目の素数さん
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2023/08/25(金) 00:46:40.16ID:oivM+7pp
複素多様体M上の正則領域の特徴付けはC^nの場合と同様に出来ますか？
例えば、「複素多様体Mの集合Uが正則領域となるための必要十分条件は、U上のLevi形式ωが正定値となる」は成立しますか？
0394１３２人目の素数さん
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2023/08/25(金) 06:24:43.95ID:F7RtDNjY
>>393

>>U上のLevi形式ωが正定値となる

M内の相対コンパクトな開集合Uが名C^２級の滑らかな境界を持つとき
境界の定義関数のLevi形式が正定値ならUは強擬凸であるという。

定理(1958 Hans Grauert)強擬凸な開集合は正則領域である。
0395１３２人目の素数さん
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2023/08/25(金) 08:35:50.02ID:F7RtDNjY
>>394

>>例えば、「複素多様体Mの集合Uが正則領域となるための必要十分条件は、U上の>>Levi形式ωが正定値となる」は成立しますか？

問題の述べ方が雑なので、それに関連した有名な定理を上にあげた。
Grauertの定理の逆は正しくない。つまりLevi形式が半正定値でも
正則領域になる例はC^n内でも多い。
0396１３２人目の素数さん
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2023/08/25(金) 17:46:30.30ID:oivM+7pp
レビ形式が正定値になるとケーラー形式になる
0397１３２人目の素数さん
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2023/08/25(金) 17:57:49.99ID:m2ieTAkq
中国、日本水産物の加工品禁止　輸入停止に続き

日本鬼子は脅せば簡単アルヨ
0399１３２人目の素数さん
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2023/08/26(土) 11:57:11.62ID:enIUOOTt
C^n内では境界が実解析的な領域が
完備なケーラー計量を持てば
正則領域であることを1956年に
Grauertが学位論文で示しています。
Grauertの学友であったRemmertによると
この結果はHeinz Hopfをたいへん驚かせたそうです。
0401１３２人目の素数さん
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2023/08/26(土) 12:51:29.14ID:enIUOOTt
>>400
当然岡潔はその問題も重要なものと考えた。
そしてそれを弟子たちに学位論文の課題として与えた
最初に答えを出したのが藤田玲子で
これで学位をもらった。
C^nの場合の岡の証明を利用するものだった。
それを見た武内章は岡の証明に用いられた
微分幾何的な補題が
ユークリッド計量に対してだけではなく
フビニ・ストュディ計量に対しても成立することを見抜き
論文を日本語で書いて大阪の大学の紀要に発表した。
学位論文としてもっと一般的な形にまとめているときに
エレンツワイクに先を越されてしまったが
結局学位は無しのままで京大の助教授になった。
0403１３２人目の素数さん
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2023/08/26(土) 19:45:03.95ID:0Um029Bj
正則凸多様体
0405１３２人目の素数さん
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2023/08/27(日) 17:20:43.73ID:FiMBuc59
>>396
そうなん？
ケーラー幾何と正則領域って関係あるの？
0406１３２人目の素数さん
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2023/08/27(日) 17:29:42.14ID:FiMBuc59
>>404
P^nはコンパクトやから、正則関数は定数しか無い。
コンパクト多様体を考えるなら、その真部分集合やないとね
0407１３２人目の素数さん
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2023/08/28(月) 09:00:06.71ID:bWSCE2DX
「P^n上の局所擬凸な非コンパクトなリーマン領域はシュタインである」
が藤田の定理。(岡・藤田の定理と呼ぶべきかもしれない)

P^n上の局所擬凸な非コンパクトなリーマン領域上で
フビニ・ストゥディ計量に関する境界距離をδとしたとき
-logδは強擬凸関数になるというのが
武内の定理で
これとグラウエルトの定理を合わせると
藤田・岡の定理が系として導ける。
0408１３２人目の素数さん
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2023/08/28(月) 09:50:51.90ID:bWSCE2DX
一般に、コンパクトなケーラー多様体上の
非コンパクトな局所擬凸リーマン領域に対し、
δ=/=∞の場合には
双正則断面曲率が正である限り
武内の定理と同様な結果が得られる。
しかしながら、シウ・ヤウ・森の定理(フランケル予想の解決)によれば
このような多様体はP^nに限る。
0409１３２人目の素数さん
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2023/08/28(月) 10:06:34.64ID:bWSCE2DX
双正則断面曲率が半正のときは
完全には分かっていないが
岡・藤田の定理は上田によりグラスマン多様体上に
拡張された
0410１３２人目の素数さん
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2023/08/28(月) 13:07:12.31ID:AeFGuLbF
P^2内の擬凸領域はシュタインだが
その中に
局所的に両面擬凸なものがあるかどうかは
未解決の有名な難問
0411１３２人目の素数さん
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2023/08/28(月) 15:41:18.62ID:Migaq0fq
多変数函数論を展開するにあたって
P^nというのは、十分に一般的な世界
と考えてしまってもいいのでしょうか
あるいはもっと広い枠組みが必要ですか
0412１３２人目の素数さん
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2023/08/28(月) 16:54:14.32ID:/m3blvtZ
解析学を展開するためにはC^nで十分
幾何学を展開するためにはP^nでも足りない
0413１３２人目の素数さん
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2023/08/28(月) 18:37:55.44ID:26Gyv2qG
>>407
δは多重劣調和関数なのか？
∂∂‾logδはケーラー形式のように見えるが、、、
0414１３２人目の素数さん
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2023/08/28(月) 18:40:24.92ID:26Gyv2qG
C^nに埋め込めるのがシュタイン、
P^nに埋め込めるのが代数多様体。
小平の埋め込み定理は、P^nに埋め込めるための十分条件を与えている。
0415１３２人目の素数さん
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2023/08/28(月) 19:30:09.93ID:AJ2iJPHL
>>412
P^nでも足りない、というのはどのように
考えればいいですか、初学者な者ですから
0416１３２人目の素数さん
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2023/08/28(月) 20:48:47.42ID:bWSCE2DX
>>415

K3曲面とか
0417１３２人目の素数さん
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2023/08/28(月) 21:12:29.90ID:AJ2iJPHL
P^nでも足りないK3曲面を埋め込めるような
十分に一般的な空間を考えることは可能ですか
0418１３２人目の素数さん
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2023/08/28(月) 21:39:07.20ID:26Gyv2qG
>>417
任意の多様体は十分次元の高いユークリッド空間R^Nに埋め込める

しかし、複素構造を保って埋め込むのは無理(それが出来るのがシュタイン多様体のみ)
0419１３２人目の素数さん
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2023/08/28(月) 21:46:55.99ID:bWSCE2DX
それができるのは可分な多様体だけ
0420１３２人目の素数さん
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2023/08/28(月) 23:42:51.13ID:26Gyv2qG
その時はL2空間に埋め込めば良い

現実問題、可分じゃない多様体を扱うことなんてあるか？
0421１３２人目の素数さん
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2023/08/29(火) 08:41:16.50ID:mhUDh+Tj
>>420
1次元複素多様体の可分性を示す二通りの方法を
知っているが
どちらも解析学の至宝であろう
0422１３２人目の素数さん
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2023/08/29(火) 08:43:42.38ID:mhUDh+Tj
>>420
C上のL2空間は可分
0423１３２人目の素数さん
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2023/08/29(火) 14:25:09.76ID:lonOCres
なるほど、P^nやC^nにこだわらなくても
もっと大きな空間がいろいろあるわけですね
0424１３２人目の素数さん
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2023/08/29(火) 18:24:51.52ID:dEd9UtIa
領域をベルグマン写像で無限次元射影空間に埋め込んで
Fubini-Study計量を引き戻したものがベルグマン計量
(小林昭七による特徴づけ)
0426１３２人目の素数さん
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2023/08/30(水) 18:07:24.30ID:gjl33RNk
複素構造やなくて概複素構造を使った岡理論って出来るのかなぁ？
0427１３２人目の素数さん
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2023/08/30(水) 19:17:15.03ID:+/Oz0dhm
>>426
概複素構造だと
結論はかなり弱くなる
例えば
二次元以上の概複素多様体内の強擬凸な領域について
知られていることは
境界が連結であることくらいだ
0428１３２人目の素数さん
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2023/08/31(木) 12:26:57.27ID:bnXvYBIU
二次元の弱擬凸領域で
境界が一点でも強擬凸なら連結であることは
予想されてはいるが未解決
0429１３２人目の素数さん
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2023/08/31(木) 21:23:45.18ID:NzcsU7/S
ケーラー曲面なら正しい
0430１３２人目の素数さん
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2023/08/31(木) 23:20:13.52ID:bZmBU0gh
ケーラー曲面は複素構造
ここで概複素構造って言っているのは、複素構造にはならない(積分可能でない)概複素構造の事でしょ
0431１３２人目の素数さん
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2023/09/01(金) 00:05:04.26ID:+N9SJp/S
>>430
428からは複素多様体の話に戻っている
単に擬凸領域と言ったときは
複素多様体の局所擬凸な領域を指します
0432１３２人目の素数さん
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2023/09/01(金) 00:07:33.26ID:+N9SJp/S
概複素の場合は強擬凸でも
ここまでしかわからないと言った後で
弱擬凸のもっと強い命題を書いてしまった
ケーラーの場合のこの結果によれば
ハルトークㇲ型の拡張定理が成立するので
境界は連結でなければなりません。
0433１３２人目の素数さん
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2023/09/01(金) 14:46:04.08ID:chjaNkf9
複素1次元のコーシーの積分表示により留数計算で色々な積分値が計算できたけど、
複素多変数で同じようにして、積分の値が計算出来る例ってあるのでしょうか？

例えば、ガウス積分の値が重積分を使って簡単に計算出来るように、次元をあげることで
計算が可能になる例が留数計算でもあるのか教えて下さい。
0434１３２人目の素数さん
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2023/09/01(金) 19:17:13.39ID:+N9SJp/S
知らない
0435１３２人目の素数さん
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2023/09/02(土) 14:55:31.14ID:LFTxVa9y
逆の例だが、ガウス積分は工夫すれば一次元積分の留数のみで計算できる
0436１３２人目の素数さん
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2023/09/02(土) 15:25:26.74ID:9ulump+b
>>433
具体的に計算するのって実は理論より難しかったりする
ζ(3)ですらその値は不明、ζ(5)に至っては無理数かどうかも証明されてない。
留数計算いこう強力な積分計算方法って無いように思う。
0437１３２人目の素数さん
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2023/09/02(土) 19:42:54.72ID:EN6+zEqr
>>ガウス積分は工夫すれば一次元積分の留数のみで計算できる

Remmertの本に書いてある
0438１３２人目の素数さん
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2023/09/03(日) 20:09:01.30ID:TeaDBysG
工夫すればとか言い出したら、ガウス積分は留数なんかつかわなくても、1変数の微積分の知識だけ計算できる。
0439１３２人目の素数さん
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2023/09/03(日) 20:15:14.56ID:vQUnnjew
これが一番簡単だろ、フレネル積分なら別だが
>ガウス積分の値が重積分を使って簡単に計算出来る
0440１３２人目の素数さん
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2023/09/03(日) 22:08:12.46ID:TeaDBysG
>>439
同意
0441１３２人目の素数さん
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2023/09/03(日) 22:10:47.35ID:TeaDBysG
ζ(2n)の値は留数計算で求められる？
0442１３２人目の素数さん
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2023/09/04(月) 09:04:09.10ID:g7mafiYB
n<0なら０
0443１３２人目の素数さん
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2023/09/04(月) 16:58:53.58ID:mbFwqrdJ
>>441
出来るけど式変形に工夫が必要なので簡単ではない
sinの無限積表示を使う方が圧倒的に簡単
0445１３２人目の素数さん
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2023/09/04(月) 19:04:30.16ID:BpmQQmYN
>>441 の解答例
z=m∈Z＼{0}でのπcot(πz)/z^(2n)の留数は1/m^(2n)
z=0のときはベルヌーイ数の定義よりπcot(πz)=(1/z)ΣB_{2k}(2iπz)^(2k)/(2k)!
留数和は積分の不等式評価より0だからζ(2n)=-(1/2)B_{2n}(2iπ)^(2n)/(2n)!

>>443
sinの無限積表示からの計算(sinの対数微分がcot)と留数計算はさほど違わない
0446１３２人目の素数さん
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2023/09/04(月) 21:14:28.52ID:iGomIGzs
>>445
なるほど、分かりやすいですね
ありがとう

>>444
私の時はやった記憶がない
多分、担当の先生の差(趣味)の方が大きい気がする

もちろんディリクレ積分や、フレネル積分は講義の例題でやって、演出は似たケースやテクニカルな場合をやったかな
0447１３２人目の素数さん
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2023/09/08(金) 23:17:35.33ID:eijxUioQ
>>387
スペクトル系列を勉強するのに良い本は何ですか？
特にファイバー束のスペクトル系列で十分です。
0448１３２人目の素数さん
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2023/09/09(土) 06:13:08.67ID:YIKJbUrb
Homologie singulier des espaces fibrees
0449１３２人目の素数さん
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2023/09/09(土) 16:56:12.73ID:K2IWNmXD
そんな難しい本読まんでも、Bott-Tuで十分やろ
しかも訳本もあるし
0450１３２人目の素数さん
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2023/09/09(土) 17:22:56.41ID:Tha7L5dg
オリジナルの香気が味わえる
0451１３２人目の素数さん
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2023/09/09(土) 17:32:01.73ID:LBJZ/ds5
オリジナルならルレーでないかい
もっとも俺はグロタンの東北ざっと見して分かった気がした
0453１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/09/09(土) 17:39:41.51ID:Tha7L5dg
使って見てわかるのがスペクトル系列
0454１３２人目の素数さん
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2023/09/09(土) 18:42:37.96ID:K2IWNmXD
>>452
訳が多少変でも日本語で、しかも数学やから意味は分かる
どうしても嫌なら原本の英語版読めばええし、それなら問題無かろう
0455１３２人目の素数さん
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2023/09/09(土) 18:43:53.21ID:K2IWNmXD
>>453
その使うまでのハードルが高いんのよ
0456１３２人目の素数さん
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2023/09/09(土) 19:08:45.59ID:Tha7L5dg
だから上手な人が使うのを見る
0459１３２人目の素数さん
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2023/09/10(日) 19:19:17.29ID:7MNLK06N
>>457
加群の知識なんか要らん、線形代数で十分
コホモロジーの完全系列と準同型定理、商空間、商写像程度

だが予備知識が少ないからといって簡単とは限らない
証明が追えても、何をやっているかを理解するのが難しい
0461１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/09/11(月) 08:35:29.91ID:YgFQs4rf
保形形式はある適当な空間上の微分形式なわけだろ？
0462１３２人目の素数さん
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2023/09/11(月) 08:40:07.91ID:z+FmymWJ
だから？
0464１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/09/11(月) 17:05:50.91ID:cdt5Kltw
>>459
これは何を勉強すればよい？残りは代数入門で勉強した
>コホモロジーの完全系列
0465１３２人目の素数さん
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2023/09/11(月) 21:52:47.75ID:kpgrW3qC
コホモロジー完全系列は一般論を勉強することも必要だが、それ以上に具体的に使いこなせることが重要だろう
0466１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/09/11(月) 23:57:09.07ID:JKe3l61M
そのとおり
俺もそう思う
0467１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/09/12(火) 19:36:38.93ID:DsuylfL4
>>453
> 使って見てわかるのがスペクトル系列

完全系列とかマイヤー・ビートリスもまさにこれ
使って分かる
0468１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/09/13(水) 07:41:50.86ID:NJWdScQD
マイヤー・ビートリスを使って
ジョルダンの閉曲線定理を
証明してみよう
0469１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/09/13(水) 12:35:04.43ID:izKts1Mi
ビートリスとビートルズってなんか関係ある？
0471１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/09/13(水) 12:40:30.38ID:lR/8S8qC
>>469
関係をつけたかったらつけてみたら？
何とか系列で
0473１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/09/14(木) 09:14:08.23ID:PpsryP/y
微分形式に積は入る？
0474１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/09/14(木) 09:32:44.07ID:uSeCWmOR
外積
0476１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/09/14(木) 14:45:34.96ID:5DNG9TNy
コホモロジーもカップ積があるけど、微分形式の外積の方が分かりやすいな
0477１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/09/19(火) 22:01:29.92ID:sQRenBco
スペクトル系列のスペクトルって固有値とかのスペクトルと関係あるの？
0478１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/09/20(水) 01:47:55.00ID:nk5guMWV
>>477
その質問は
有理型関数の極は
極線の方程式と関係あるのという
質問と似ていると思いませんか？
0479１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/09/20(水) 15:12:12.81ID:WZrw6wab
物理学科卒後数年、趣味で物理数学を復習して卒業時以上の知識を身に付けているが、どの分野を復習しても結局微分形式を学ばないと次に進めない段階に来た
そこで、物理学科向けの微分形式の参考書を教えて下さい
0481１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/09/20(水) 20:51:38.30ID:nk5guMWV
>>464
騙されたと思って自分で証明を考えてみたら？
案外簡単だから
0483１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/09/30(土) 09:24:17.66ID:h7lj5rrY
微分形式の本のうち
カルタンのオリジナルに近い形の解説が
栗田本
0484１３２人目の素数さん
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2023/10/05(木) 23:42:10.39ID:4Mgbns3G
数学科むけの微分形式のよい教科書は何ですか？
やっぱりBott-Tuですか？
0485１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/10/06(金) 06:15:50.04ID:Pc35Hoib
村上
0486１３２人目の素数さん
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2023/10/06(金) 14:06:37.43ID:A2hM83QC
森田茂之「微分形式の幾何学」
0491１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/10/07(土) 10:55:38.73ID:nfYHwKES
習うより慣れろが微分形式
0494１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/10/07(土) 14:50:16.34ID:xAUmfPvf
いや、微分形式は色々な分野で出てくるから、それなりに学ぶ必要がある
ボッジ理論なんかは、習うより慣れろでは無理
0495１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/10/08(日) 09:13:19.49ID:Uh6Ewkaw
微分形式とホッジ理論を同列に論じるのは
国語の教科書と長編小説を同等と
みなすようなもの
0497１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/10/08(日) 10:00:22.02ID:Uh6Ewkaw
演算規則が整合するための障害類の
集合としてなら
何のコホモロジーでもありだと思う
0498１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/10/08(日) 17:17:44.74ID:fZZHVCC3
リー環のコホモロジーならある
0500１３２人目の素数さん
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2023/10/27(金) 18:00:30.32ID:HLiECchG
学部3回や4回で習う時はどういう教科書が使われてますか？
0501１３２人目の素数さん
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2023/10/28(土) 08:50:20.32ID:ADdtMmRC
習うより慣れろなので教科書はいらないと思う
0504１３２人目の素数さん
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2023/10/29(日) 20:04:43.32ID:HDk7Tial
習うより慣れろは微分形式の本質に辿り着けない
表面的な計算で終わるのがオチ
0505１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/10/29(日) 21:19:35.59ID:U7R8Ml5T
微分形式は計算ができてなんぼ
0507１３２人目の素数さん
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2023/10/30(月) 19:01:01.08ID:LXk+N4jZ
今日東北大でp進Hodge理論のセミナーがあった
数論幾何でも微分形式の深い理解が必要だね
0509１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/09(木) 23:12:31.75ID:1ZwzN0Uh
微分形式も情緒で
0511１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/10(金) 20:36:50.35ID:LkxW9J9f
全然違う
0515１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/11(土) 00:25:16.29ID:6pCZREnc
>>512
微分形式には引き戻しが自然に定義されるが、ベクトル場には自然な引き戻しが定義出来ない
0516１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/11(土) 00:26:20.77ID:6pCZREnc
ホモロジーとコホモロジーの違いと言ってもよい
0517１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/11(土) 09:01:38.41ID:5QK8jvL3
リーマン多様体上では両者は一致する
とか、そういう感じなのかな？
0518１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/11(土) 09:18:43.23ID:F73CQlIp
全然違う
0519１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/11(土) 09:37:56.26ID:MatXt6xh
微分形式=反対称共変テンソル場だし
普通ベクトル場と言えば反変ベクトル場なんだが

曲面の基本形式のように反対称でない積を入れた対称微分形式を考えることもあるけど、単に微分形式と言えば反対称なものを指すよ
0520１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/11(土) 09:47:15.94ID:5QK8jvL3
厳密には違うのかもしれないけど
物理の本では、反対称共変テンソル場が
微分形式の定義として書かれてたりするね
対称的な微分形式というのがあるのか・・
0521１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/11(土) 14:34:36.01ID:6pCZREnc
>>519
> 曲面の基本形式のように反対称でない積を入れた対称微分形式を考えることもあるけど、

は？微分形式の定義知らんの？
交代性も課しているから、基本形式（リーマン計量）は微分形式ではない。

習うより慣れろとか言ってるから、基本的な定義も理解できてない。
0523１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/11(土) 20:25:52.88ID:8yU7EMOV
微分形式の定義は草
0524１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/11(土) 20:30:07.60ID:9pRCd1CD
>>521

>>習うより慣れろとか言ってるから、基本的な定義も理解できてない。

こういうところで出鱈目をほざくのは
慣れていないから
0525１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/11(土) 20:56:40.08ID:PBRHU33B
>>523
草とは？
0526１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/11(土) 23:51:20.18ID:8yU7EMOV
微分を使った形式ｗｗｗただそれだけやろがいｗｗｗ
0527１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/11(土) 23:59:29.71ID:MatXt6xh
>>521
わざわざ「対称」微分形式と言ったのに理解できないとは……基本形式に出てくるdu,dvと反対称微分形式(外微分形式)のdu,dvとの関係知らんの？
共変テンソルに対してベクトル場の引き戻し云々言ってたところからも全く理解してなさそうね
0528１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/12(日) 00:02:19.80ID:MrKjUYsz
>>526
形式とはなんですか？
0533１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/12(日) 22:43:15.84ID:r3wK7+j7
保型形式の「形式」も微分形式の「形式」なわけだろ？
0534１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/13(月) 07:13:28.30ID:Y7Xk5f++
関数と区別するために形式と言っているだけ
0536１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/13(月) 14:41:49.74ID:BzQgNSIh
関数と思うことも可能
0538１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/13(月) 15:44:03.53ID:BzQgNSIh
数学でもそうだろう
0539１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/13(月) 16:15:59.05ID:A0Cnuo9A
量子力学だとボーズ粒子は対称テンソル、フェルミ粒子は反対称テンソルで記述する
0540１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/13(月) 17:23:32.59ID:A0Cnuo9A
接ベクトル空間上の多重線型形式が共変テンソル、余接ベクトル空間上の多重線型形式が反変テンソル
0543１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/13(月) 19:00:20.92ID:Y0/Fw3mC
>>541
「素粒子論にリー代数が使われる」と聞いたら「リー代数は素粒子のようなもの」と解釈しちゃう人？
0547１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/13(月) 23:17:16.66ID:Pu8eMAB5
>>541
実際に微分形式のなす空間がフェルミオン
のフォック空間として使われたりはするな
0548１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/14(火) 00:19:20.86ID:37KDtSgv
>>543
素粒子の分類はリー代数の表現論そのもの

ゲージ理論はファイバーバンドルと接続の理論そのもの
0551１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/14(火) 15:58:22.90ID:lP/pnK0K
>>522
物質がボゾンとフェルミオンからできてるのは
微分形式が対称部分と交代部分に分解できること
に対応していたりするんだろうか
0555１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/14(火) 21:54:24.17ID:TARyVpJO
>>551
ボゾンとフェルミオンが対応してるんだが
対称形式と交代形式はどう対応するんだ？
0557１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/14(火) 22:48:42.78ID:lP/pnK0K
>>551
それは違っていることがわかった
フェルミオンが微分形式に対応するのはあってるが
ボゾンは微分作用素に対応するというのが真相らしい
線形代数でいえば、共変ベクトルと反変ベクトル
してみると、超対称性というのも身近に思えてくる
0558１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/16(木) 08:37:57.77ID:fUP4Yuoe
生成作用素と消失作用素
0559１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/17(金) 18:08:31.87ID:iqg0G7R1
不確定性原理
0560１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/18(土) 11:52:14.29ID:VJ+mGZUx
geometric quantization
0561１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/23(木) 07:36:55.78ID:E0ojd8NH
数式を破れるものはいるか？ζ ( 2 n ) = k = 1 ∞ 1 k 2 n = 1 1 2 n + 1 2 2 n + 1 3 2 n + 1 4 2 nζ ( 2 n ) = k = 1 ∞ζ ( 2 n ) = k = 1 ∞ 1 k 2 n = 1 東大の研究によれば縄文時代には高齢者が存在しなかった1 2 n + 1 2 2 n + 1 3 2 n + 1 4 2 n + ⋯ = ( − 1 ) n + 1 B 2 n ( 2 π ) 2 nζ 468208022481123124n = 1 1 2 n + 1 2 2 n + 1 3 2 n + 1 4 2 n + ⋯ = ( − 1 ) n + 1 B 2 n ( 2 π ) 2 n 2 ( 2 n ) ! 2 ( 2 n ) ! 1 k 2 n = 1 1 2 n + 1 2 2 n + 1 3 2 n + 1 4 2 n + ⋯ = ( − 1 ) n + 1 B 2 n ( 2 π ) 2 n 2 ( 2 n ) ! + ⋯ = ( − 1 ) n + 1 B 2 n ( 2 π ) 2 n 2 ( 2 n ) !ζ ( 2 n ) = k = 1 ∞ 1 k 2 n = 1 1 2 n + 1 2 2 n + 1 3 2 n + 1 4 2 n + ⋯ = ( − 1 ) n + 1 B 2 n ( 2 π ) 2 n 2 ( 2 n ) !
0562１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/23(木) 07:39:48.35ID:E0ojd8NH
geometric quantization0561 １３２人目5.7808036882485数式を破れるものはいるか？ζ ( 2 n ) = ? 045469k = 1 ∞ 108064976469484^953494.85 k 2 n = 1 1 2 n + 1 2 2 n + 108036954763 3 2 n + 1 4 2 nζ ( 2 n ) = ? k = 1 ∞ζ ( 2 n ) = ? k = 1 ∞ 1 k 2 n = 1 東大の研究によれば縄文時代には高齢者が存在しなかった1 2 080915739768+ 1 2 2 n + 1 3 2 n + 1 4 2 n + ⋯ = ( − 1 ) n + 1 B 20802568548622468208022481123124.1637.630159. 1 1
0561 １３２人目5.7808036882485数式を破れるものはいるか？ζ ( 2 n ) = ? 045469k = 1 ∞ 108064976469484^953494.85 k 2 n = 1 1 2 n + 1 2 2 n + 108036954763 3 2 n + 1 4 2 nζ ( 2 n ) = ? k = 1 ∞ζ ( 2 n ) = ? k = 1 ∞ 1 k 2 n = 1 東大の研究によれば縄文時代には高齢者が存在しなかった1 2 080915739768+ 1 2 2 n + 1 3 2 n + 1 4 2 n + ⋯ = ( − 1 ) n + 1 B 20802568548622468208022481123124.1637.630159. 1 1 2 n + 1 2 2 n + 1 3 2 n + 1 4 2 n + ⋯ = ( − 1 ) n + 1 B 2 n ( 2 π ) 2 n 2 ( 2 n ) ! 2 ( 2 n ) ! 1 k 2 n = 1 1 2 n + 1 2 2 n + 1 3 2 n + 1 4 2 n + ⋯ = ( − 1 ) n + 1 B 2 n ( 2 π ) 2 n 2 ( 2 n ) ! + ⋯ = ( − 1 ) n + 1 B 2 n ( 2 π ) 2 n 2 ( 2 n ) !ζ ( 2 n ) = ? k = 1 ∞ 1 k 2 n = 1 1 2 n + 1 2 2 n + 1 3 2 n + 1 4 2 n + ⋯ = ( − 1 ) n + 1 B 2 n ( 2 π ) 2 n 2 ( 2 n ) !
0563１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/23(木) 07:40:56.78ID:E0ojd8NH
geometric quantization0561 １３２人目5.7808036882485数式を破れるものはいるか？ζ ( 2 n ) = ? 045469k = 1 ∞ 108064976469484^953494.85 k 2 n = 1 1 2 n + 1 080643491513=2 2 n + 108036954763 3 2 n + 0806934349461 4 2 nζ ( 2 n ) = ? k = 1 ∞ζ ( 2 n ) = ? k = 1 ∞ 1 k 2 n = 1 東大の研究によれば縄文時代には高齢者が存在しなかった1 2 080915739768+ 1 2 2 n + 1 3 2 n + 1 4 2 n + ⋯ = ( − 1 ) n + 1 B 20802568548622468208022481123124.1637.630159. 1 1
0561 １３２人目5.7808036882485数式を破れるものはいるか？ζ ( 2 n ) = ? 045469k = 1 ∞ 108064976469484^953494.85 k 2 n = 1 1 2 n + 1 2 2 n + 108036954763 3 2 n + 1 4 2 nζ ( 2 n ) = ? k = 1 ∞ζ ( 2 n ) = ? k = 1 ∞ 1 k 2 n = 1 東大の研究によれば縄文時代には高齢者が存在しなかった1 2 080915739768+ 1 2 2 n + 1 3 2 n + 1 4 2 n + ⋯ = ( − 1 ) n + 1 B 20802568548622468208022481123124.1637.630159. 1 1 2 n + 1 2 2 n + 1 3 2 n + 1 4 2 n + ⋯ = ( − 1 ) n + 1 B 2 n ( 2 π ) 2 n 2 ( 2 n ) ! 2 ( 2 n ) ! 1 k 2 n = 1 1 2 n + 1 2 2 n + 1 3 2 n + 1 4 2 n + ⋯ = ( − 1 ) n + 1 B 2 n ( 2 π ) 2 n 2 ( 2 n ) ! + ⋯ = ( − 1 ) n + 1 B 2 n ( 2 π ) 2 n 2 ( 2 n ) !ζ ( 2 n ) = ? k = 1 ∞ 1 k 2 n = 1 1 2 n + 1 2 2 n + 1 3 2 n + 1 4 2 n + ⋯ = ( − 1 ) n + 1 B 2 n ( 2 π ) 2 n 2 ( 2 n ) !
0564１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/27(月) 22:32:34.03ID:/ddZkdA8
Poincar\'e's inequality
0565１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/28(火) 06:49:40.53ID:ABxOPJme
知らん
0566１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/28(火) 07:45:49.58ID:OATI8M4w
不確定性原理と等価らしい
0568１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/12/09(土) 07:19:11.74ID:CN0B/wdI
Bargmann-Fock
0569１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/12/09(土) 18:58:11.43ID:EmxBvoKq
ヒーリング系もしくはドローンアンビエントで最強のリラックスを手に入れてください。
自然の波音も入っているので、さまざまな周波数の恩恵を得ることができます。
神経過敏でイライラしやすい人、なんらかの依存症にも少なからず効果が期待できます。
食事前にナイアシン療法を行うと、効く人には大変有効と思います。
自然な形でセロトニンが増えれば、ほとんどの神経症や精神疾患は良くなっていきます。
薬も確実に減っていきます。それと同時に高タンパクな食事が大変大事です。
そして適度な運動で最強です。
試してみてください。//youtu.be/e1IPKVrDUoM
0571１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/24(水) 13:31:08.35ID:nIabq+ee
微分形式の三大重要理論
・ド・ラーム理論
・チャーン・ベイユ理論
・ボッジ理論
0573１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/24(水) 19:06:49.53ID:nIabq+ee
最初の2つは森田茂之「微分形式の幾何学」かな
ボッジ理論も結果だけなら書かれてる。
他にはBott-Tuにも書いてある

証明も含めたらWarnerとかWellsとか
0575１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/24(水) 19:24:50.40ID:0DFbSK/O
初級　>>571
中級　指数定理
上級　ゲージ理論(ドナルドソン理論)
0576１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/25(木) 19:18:44.54ID:87ld6l/E
ドラームの微分多様体は一読の価値あり
0577１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/25(木) 22:56:37.66ID:87ld6l/E
variété différentiables
0578１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/26(金) 06:48:35.18ID:ci0OX3qY
高橋訳でもよい
0579１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/26(金) 19:09:33.21ID:+pOAeJWr
ボッジ理論の正しい証明を最初に与えたのは小平邦彦だが、
現論文で勉強したと言う人は聞いた事ないなあ
0580１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/27(土) 06:26:18.64ID:QuF2K8cf
ホッジの本を読んだことを自慢した人ならいた
0581１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/27(土) 15:26:10.57ID:H62Wwq2K
モース理論もオリジナルのモースの本で勉強したという人も聞いたこと無い
0582１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/27(土) 21:15:06.85ID:QuF2K8cf
モースの不等式はウィッテンの論文で初めて知った
0583１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/28(日) 06:58:49.32ID:JbWAVbl4
複素モース理論をドマイエの原論文で勉強した人は
結構いるだろう
0584１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/28(日) 09:11:44.01ID:JbWAVbl4
最近では
Ma-Marinescuの本
0585１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/28(日) 15:22:07.30ID:jChBthfK
昔はモース理論はミルナーの本で勉強するのが定番だったけど、
最近は松本先生の本で勉強したという人が増えてきた

ミルナーの訳本が手に入らんのも一因かも
0586１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/29(月) 11:01:57.58ID:or3lrBic
モース理論―多様体上の解析学とトポロジーとの関連 M.SpivakとR.Wellsによってノートされた講義録に基づく POD版 Tankobon Hardcover – November 1, 2004
by J. ミルナー (著), J. Milnor (原名), 志賀 浩二 (翻訳)
0587１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/29(月) 23:06:21.88ID:or3lrBic
栗田本もまだ人気があるようだ
0588１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/30(火) 08:36:27.58ID:dbyjbpZp
現代数学社の本
0589１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/30(火) 11:38:32.74ID:dZrmuZxS
モース理論の確率解析的解釈というものは
あるだろうか
0590１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/30(火) 19:00:34.42ID:hwCHWgTl
無限次元ってこと？

元々のモース理論は無限次元（曲線の空間）の理論
0591１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/30(火) 19:24:30.38ID:xj+PXdDU
ボットのモース理論もある
0592１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/30(火) 20:47:35.03ID:dbyjbpZp
ウィッテンはボットの講義を聴いてアイディアを得た
0593１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/30(火) 22:47:37.04ID:dbyjbpZp
ボットはそれをほめたたえた
0594１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/30(火) 23:08:41.97ID:dbyjbpZp
71位
0595１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/30(火) 23:10:37.95ID:hwCHWgTl
ボットのモース理論って何？
どんな内容なのか？
0597１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/04/30(火) 23:21:42.50ID:dbyjbpZp
３４
0598１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/01(水) 08:00:58.31ID:sgJI4piv
アティヤ・ボットでは？
0599１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/01(水) 08:19:08.40ID:GTi2zYzK
>>595
臨界点が孤立点ではなく、部分多様体の場合
0600１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/01(水) 12:13:58.38ID:9Iy0b6XE
無限次元モース理論はフレアー理論
0601１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/01(水) 14:51:39.88ID:UsUgg8VN
数学らしくなった
0603１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/05/03(金) 21:09:40.96ID:6zMkVwvk
Morse Theory and Floer Homology (Universitext) Paperback – December 17, 2013
English Edition by Michèle Audin (著), Mihai Damian Reinie Erné (翻訳)
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