高校数学の質問スレPart409
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【質問者必読！！】
まず>>1-4をよく読んでね
数学@5ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。
（トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。
でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。
それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのに合わないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。
※前スレ
高校数学の質問スレPart408
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602597402/ [2] 主な公式と記載例
(a±b)^2 = a^2 ±2ab +b^2
(a±b)^3 = a^3 ±3a^2b +3ab^2 ±b^3
a^3±b^3 = (a±b)(a^2干ab+b^2)
√a*√b = √(ab), √a/√b = √(a/b), √(a^2b) = a√b [a>0, b>0]
√((a+b)±2√(ab)) = √a±√b [a>b>0]
ax^2+bx+c = a(x-α)(x-β) = 0 [a≠0, α+β=-b/a, αβ=c/a]
(α,β) = (-b±√(b^2-4ac))/2a [2次方程式の解の公式]
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R [正弦定理]
a = b cos(C) + c cos(B) [第一余弦定理]
a^2 = b^2 + c^2 -2bc cos(A) [第二余弦定理]
sin(a±b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b) [加法公式]
cos(a±b) = cos(a)cos(b) 干 sin(a)sin(b)
log_{a}(xy) = log_{a}(x) + log_{a}(y)
log_{a}(x/y) = log_{a}(x) - log_{a}(y)
log_{a}(x^n) = n(log_{a}(x))
log_{a}(x) = (log_{b}(x))/(log_{b}(a)) [底の変換公式]
f'(x) = lim_[h→0] (f(x+h)-f(x))/h [微分の定義]
(f±g) ' = f '±g '、(fg) ' = f'g+fg',
(f/g) ' = (f 'g-fg ')/(g^2) [和差積商の微分] [3] 基本的な記号の使い方は以下を参照してください。
その他については>>1のサイトで｡
■ 足し算/引き算/掛け算/割り算（加減乗除)
a+b → a 足す b (足し算) a-b → a 引く b (引き算)
a*b → a 掛ける b (掛け算) a/b → a 割る b (割り算)
■ 累乗 ^
a^b a の b乗
a^(b+1) a の b+1乗
a^b + 1 (a の b乗) 足す 1
■ 括弧の使用
a/(b + c) と a/b + c
a/(b*c) と a/b*c
はそれぞれ、違う意味です。
括弧を多用して、キチンと区別をつけてください｡
■ 数列
a[n] or a_(n) → 数列aの第n項目
a[n+1] = a[n] + 3 → 等差数列の一例
Σ[k=1,n] a_(k) → 数列の和
■ 積分
"∫"は「せきぶん」「いんてぐらる」「きごう」「すうがく」などで変換せよ。
(環境によって異なる。) ∮は高校では使わない。
∫[0,1] x^2 dx = (x^3)/3|_[x=0,1]
■ 三角関数
(sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1, cos(2x) = (cos(x))^2 - (sin(x))^2
■ ヴェクトル
AB↑ a↑
ヴェクトル：V = [V[1],V[2],...], |V>, V↑, vector(V)
(混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい。通常は縦ヴェクトルとして扱う。)
■行列
（全成分表示）：M = [[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I = [[1,0,0,...],[0,1,0,...],...]
（行 (または列) ごとに表示する． 例）M = [[1,-1],[3,2]])
■順列・組合せ
P[n,k] = nＰk, C[n.k] = nＣk, H[n,k] = nＨk,
■共役複素数
z = x+iy (x,yは実数) に対し z~ = x-iy [4] 単純計算は質問の前に http://www.wolframalpha.com/ などで確認
入力例
・因数分解
factor x^2+3x+2
・定積分
integral[2/(3-sin(2x)), {x,0,2pi}]
・極限
limit(t*ln(1+(1/t^2))+2*arctan(t))) as t->infinity
・無限級数
sum (n^2)/(n!), n=1 to infinity
・極方程式
PolarPlot[2/sqrt(3-sin(2t)), {t, 0, 2Pi}]
グラフ描画ソフトなど
・FunctionView for Windows
http://hp.vector.co.jp/authors/VA017172/
・GRAPES for Windows
http://tomodak.com/grapes/
・GRAPES-light for i-Pad
http://www.tokyo-shoseki.co.jp/ict/textbook_app/h/003003
・GeoGebra for Windows / Mac OS X
http://sites.google.com/site/geogebrajp/
入試問題集
http://www.densu.jp/index.htm (入試数学 電子図書館)
http://www.watana.be/ku/ (京大入試問題数学解答集)
http://www.toshin.com/nyushi/ (東進 過去問DB) 5のn乗は下2桁が25となる
25 125 625 3125 15625 78125 390625
百の位の差
1 5 25 125 625 3125
この比例関係?は簡単に表せそうで表せないのですが、決め手はありますか? 百の位一桁だけを見た場合、1と6を無限に繰り返すようです。千の位は同様に3,5,8,0を。万の位は計算してませんが8周期ですか?以下2の累乗だけの周期がある。あくまで推測ですが、証明はなされていますか？ >>7
そんなもの自力で証明できないとまずいよ
まずは君は初等整数論を学びなさない
このご時世でも無駄にならない基礎教養だよ 一応証明を書いておくけど これを機に初等数論を学ぶことをすすめます
まず説明のために言葉を定義しておきます
(a_n)を数列とするとき 次の条件を満たす自然数Mが取れるならば
(a_n)は Eventually Periodic であると呼ぶことにする
[条件]
a[n+p] = a[n] がM以上の任意の自然数で成立するような
非負整数pが存在する
上記の条件を満たす最小の正の整数pを数列(a_n)の周期と呼ぶことにします
ちょっと例をだしておきます:
n^n mod 8 の数列を書き出すと
1, 4, 3, 0, 5, 0, 7, 0, 1, 0, 3, 0, 5, ....
これは本来の意味では純粋な周期を持ってない(周期数列でない)
しかし Eventually Periodic な数列であることがわかります
この例の場合は M=3, p=8 が取れます
次の投稿で本題の証明を書いておきます >>7
>>9
次を証明すれば十分である:
m≧2を任意の整数定数とするとき
5^n の mod 10^m の周期は 2^(m-2) である
n≧m ならば 5^n≡0 (mod 5^m) であるから
5^n の mod 2^m の周期が 2^(m-2) であることを示せば十分
m=2 のときは ほとんど明らかであるから m≧3 とする
示すべきことは以下の(1)および(2)である:
(1) 5^(2^(m-2))≡1 (mod 2^m) が成立 "する"
(2) 5^(2^(m-3))≡1 (mod 2^m) が成立 "しない"
これを簡単な知識だけで同時に証明する方法は
A:=5^(2^(m-2))-1 を変形して 2で割り切れる回数をカウントすればよい
つまり Aの2で割り切れる回数がちょうどmであることをいえばよい
A = 24*Π[i=1,m-3](5^(2^i)+1) と変形できる
(m=3のときはΠは空積となるが その場合は1とみなす)
一般に奇数xに対して x^2+1 は2でちょうど1回だけ割り切れる
(証明は簡単. x=2k+1 とおけば x^2+1=2(2k^2+2k+1) なので)
よって A は 2 でちょうど 3 + (m-3) = m回割り切れる
(24は2でちょうど3回割り切れることに注意する)
証明ここまで これは十分に高校数学の範囲だとおもいます
なにも新しい道具を用いていません
アドホックな証明になってしまったけど
「系統的に学びたいなら初等整数論を学ぶことをすすめる」
ということが伝われば私としては十分です
もし なんでもつかっていいなら(それこそ本当に飛び級なら)
(Z/2^m)* ≅ (Z/2Z)×(Z/2^(m-2)Z) から従うでいいでしょう
(でも私はそんなふうには書かなかった)
もちろんもっと一般化できるでしょうが
回答は高校数学のレベルで十分に伝わるように書いたつもりです
もし分かりづらかったら すみませんね >>10
プログラムを組んで体感してみた。
> # 5^n の mod 2^m の周期が 2^(m-2) であることを示す
> library(gmp)
> f <- function(m=4,ps=5){ # ps周期表示
+ M=numeric()
+ for(i in 1:(2^(m-2)*ps)){
+ n=as.bigz(i)
+ M[i] = asNumeric(mod.bigz(as.bigz(5^n),2^m))
+ }
+ matrix(M,nrow=ps,byrow=TRUE)
+ }
> f(4)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 5 9 13 1
[2,] 5 9 13 1
[3,] 5 9 13 1
[4,] 5 9 13 1
[5,] 5 9 13 1
> f(5)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8]
[1,] 5 25 29 17 21 9 13 1
[2,] 5 25 29 17 21 9 13 1
[3,] 5 25 29 17 21 9 13 1
[4,] 5 25 29 17 21 9 13 1
[5,] 5 25 29 17 21 9 13 1
> f(6)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14] [,15] [,16]
[1,] 5 25 61 49 53 9 45 33 37 57 29 17 21 41 13 1
[2,] 5 25 61 49 53 9 45 33 37 57 29 17 21 41 13 1
[3,] 5 25 61 49 53 9 45 33 37 57 29 17 21 41 13 1
[4,] 5 25 61 49 53 9 45 33 37 57 29 17 21 41 13 1
[5,] 5 25 61 49 53 9 45 33 37 57 29 17 21 41 13 1 >>13
ここの数値より周期性が話題だから、グラフにした方が視覚化できていいな。
https://i.imgur.com/EO9s9Sg.png 0～9の数字を1個ずつ入れて
次の4桁＋2桁の計算が成り立つような入れ方は何通りあるますか。
□□□□＋□□＝□□□□ 99*9999=A
√A=│994│
994*994
994’2-1’2=(993)*(995)＜994’2
降下。
□□□□。 >>18
ABCD+EF=WXYZとする。
B=0,X=9,A=W+1は確定
一つ解があればCとEを入れ替えたもの、DとFを入れ替えたものはまた解
あとはしらみつぶしで
(A,C,D,E,F,W,Y,Z)=(1,5,6,7,8,2,3,4),(1,5,6,8,7,2,4,3),(1,6,5,7,8,2,4,3),(2,4,7,6,8,3,1,5),(2,6,4,8,7,3,5,1),(4,2,6,8,7,5,1,3),(5,3,4,7,8,6,1,2),(5,3,4,8,7,6,2,1)
の9通り×2×2=36通り □ >>18
1000+(1→99)
9999-99=9900
(9900-1000)*99=881100通りだと思う多分。 B=9, W=A+1, X=0 だな。
A=1, W=2
56 + 87 = 57 + 86 = 143,
65 + 78 = 75 + 68 = 143,
56 + 78 = 58 + 76 = 134,
A=2, W=3
64 + 87 = 67 + 84 = 151,
47 + 68 = 48 + 67 = 115,
A=4, W=5
26 + 87 = 27 + 86 = 113,
A=5, W=6
34 + 78 = 38 + 74 = 112,
34 + 87 = 37 + 84 = 121,
43 + 78 = 48 + 73 = 121,
の9通り。 >>30
先頭に０を許すと等式が成立しないから、結局、>23のいう通り、３６通りだな。
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[1,] 1 9 5 6 7 8 2 0 3 4
[2,] 1 9 5 6 8 7 2 0 4 3
[3,] 1 9 5 7 8 6 2 0 4 3
[4,] 1 9 5 8 7 6 2 0 3 4
[5,] 1 9 6 5 7 8 2 0 4 3
[6,] 1 9 6 8 7 5 2 0 4 3
[7,] 1 9 7 5 6 8 2 0 4 3
[8,] 1 9 7 6 5 8 2 0 3 4
[9,] 1 9 7 8 5 6 2 0 3 4
[10,] 1 9 7 8 6 5 2 0 4 3
[11,] 1 9 8 6 5 7 2 0 4 3
[12,] 1 9 8 7 5 6 2 0 4 3
[13,] 2 9 4 7 6 8 3 0 1 5
[14,] 2 9 4 8 6 7 3 0 1 5
[15,] 2 9 6 4 8 7 3 0 5 1
[16,] 2 9 6 7 4 8 3 0 1 5
[17,] 2 9 6 7 8 4 3 0 5 1
[18,] 2 9 6 8 4 7 3 0 1 5
[19,] 2 9 8 4 6 7 3 0 5 1
[20,] 2 9 8 7 6 4 3 0 5 1 >>31
(続き)
[21,] 4 9 2 6 8 7 5 0 1 3
[22,] 4 9 2 7 8 6 5 0 1 3
[23,] 4 9 8 6 2 7 5 0 1 3
[24,] 4 9 8 7 2 6 5 0 1 3
[25,] 5 9 3 4 7 8 6 0 1 2
[26,] 5 9 3 4 8 7 6 0 2 1
[27,] 5 9 3 7 8 4 6 0 2 1
[28,] 5 9 3 8 7 4 6 0 1 2
[29,] 5 9 4 3 7 8 6 0 2 1
[30,] 5 9 4 8 7 3 6 0 2 1
[31,] 5 9 7 3 4 8 6 0 2 1
[32,] 5 9 7 4 3 8 6 0 1 2
[33,] 5 9 7 8 3 4 6 0 1 2
[34,] 5 9 7 8 4 3 6 0 2 1
[35,] 5 9 8 4 3 7 6 0 2 1
[36,] 5 9 8 7 3 4 6 0 2 1 （改題）
0～9の数字を1個ずつ入れて先頭の０は不可として
次の3桁＋3桁=4桁の計算が成り立つような入れ方は何通りあるますか。
□□□＋□□□＝□□□□ >>33
見づらいしtypoもあるしで出題する気あんのかよ？ 数を数えることが数学の始まり。
>>33
んで、先頭の数字として０を許すとして数えてみたら432通りあった。 学問って所詮、道具だよなぁ。
こういう援用もできる。
新型コロナの感染者数は日本の人口12602万人のうち21.5万人
GOTOトラベルの利用者7000万人のうち感染者は340人
GOTOトラベルを利用者の方が感染率が少ないというのを
これをカイ二乗検定でやってみると
X-squared = 118688, df = 1, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: two.sided
p-value < 2.2e-16で統計的に有意差があるので
GOTOトラベルを利用者の方が感染率が少ないと結論できる。 見ずらかったらすいません
画像の赤丸のところ
分母の×1ってなんなのかがわかりません
右欄外の平方完成で記号がプラスだから-1/2ならわかるんですが
わかりやすく教えてください
https://i.imgur.com/QLd4Rkj.jpg 他人を敬う心とか学問に必要な求められる資質をもうすでに全て失ってしまってるんやろ
学問というものに尊崇の念がないから結局自分自身の成長もない
一生高卒レベルにすら到達することもないやろ >>44
わいのことか。
中卒だで。今26歳で論理学の勉強中や。しかし諦めてもいる。
アラド戦記のダメージ計算の研究してる。ただし良い装備は計算するまでもなく強くなる。
アラド戦記のダメージ計算が今一番のはぁとの火がついとるで。 (改題その２）
0～9の数字を1個ずつ入れて先頭の0は不可として
次の3桁 ×2桁=5桁の計算が成り立つような入れ方は何通りありますか。
□□□ × □□ ＝□□□□□
例: 297*54=16038 >>46
99999-99999/log(99999)やろ。 >>42
学問カルト信者に好かれたら気持ち悪いからね。
同僚のナースに好かれていたらいいよ。朝に塗ってもヒルドイドｗ >>43
2次方程式の解の公式の分母の2aにa=1を代入 改題その３
0～9の数字を1個ずつ入れて先頭の0は不可として
次の4桁 ×1桁=5桁の計算が成り立つような入れ方は何通りありますか。
□□□□ × □ ＝□□□□□
例
3094*7=21658 >>45
では、論理学の練習問題
医者ならば、シリツ卒なら馬鹿である から
シリツ卒ならば、医者ならば馬鹿である が、導けるか？ >>53
まずお前は国語を勉強した方が良い上にわいは論理学が単に国語であることに気付いて理解に通ずる本が何所にでもあることに気付いた。 >>50
ん？解の公式の途中か省かれてるってこと？
だとしたら随分不親切な解説書だなあ >>50
今、他の問題解いていてわかったんだけど解の公式ではなく軸の公式の-b/2aでした >>49
まさかそれ面白いと思ってる？
リアルでも5chでも気持ち悪がられてるのはあんただろ？w >>51
5694 × 3 = 17082,
6819 × 3 = 20457,
6918 × 3 = 20754,
8169 × 3 = 24507,
9168 × 3 = 27504,
3907 × 4 = 15628,
7039 × 4 = 28156,
9127 × 4 = 36508,
5817 × 6 = 34902,
3094 × 7 = 21658,
4093 × 7 = 28651,
9304 × 7 = 65128,
9403 × 7 = 65821,
13 通り. >>46
594 × 27 = 16038,
495 × 36 = 17820,
402 × 39 = 15678,
396 × 45 = 17820,
715 × 46 = 32890,
367 × 52 = 19084,
297 × 54 = 16038,
927 × 63 = 58401,
345 × 78 = 26910,
９通り. >>56
解の公式の √判別式 = 0 ってことだから
どちらも同じことだ >>58
イデベノンやトスキサシンの濁音ジョークは逆にナースが教えてくれたよ。業界ネタだからわからんだろうけど。 正解のレスが返ってきたので問題追加
改題その４
0～9の数字を1個ずつ入れて(先頭の0は不可)
次のの計算が成り立つような入れ方は何通りありますか。
□□□□ ÷ □□□ ＝ 商：□□ 余り：□
例 9805 ÷ 213 = 46 余り 7
改題その５
□□□□ ÷ □□□ ＝ 商：□ 余り：□□
例 7640 ÷ 951 = 8 余り32 先頭の0も可なら…
>>46
483 × 12 = 05796,
297 × 18 = 05346,
198 × 27 = 05346,
157 × 28 = 04396,
186 × 39 = 07254,
138 × 42 = 05796,
159 × 48 = 07632,
>>51
1738 × 4 = 06952,
1963 × 4 = 07852, # □□□□ ÷ □□ ＝ 商：□□ 余り：□□
# 例 7650 ÷ 92 = 83 余り14 今どきの７０は元気でござるよ。
野上課長 (税所伊久磨)：
「あ～ぁ、きのうも3時まで付き合わされちゃったよ。 向こうの社長７０なのに元気なの！」
助兵衛 (ホリケン｡)：「それはお疲れで御座った。」
R-18
「たそがれ助兵衛 ～平成セクハラ武士道～」(2003)
(株) ラフター、 監督 友松直之、 脚本 久保裕章 貧乏子だくさん
対偶
貧乏でないなら、子だくさんではない
おかしくない？ >>72
間違えた
対偶
子だくさんでないなら貧乏ではない
おかしくない？ >>53
＞医者ならば、シリツ卒なら馬鹿である から
＞シリツ卒ならば、医者ならば馬鹿である が、導けるか？
1，∀x(xは医者→(xはシリツ卒→xは馬鹿)) ・・・前提
2，aはシリツ卒 ・・・仮定
3，aは医者 ・・・仮定
4，￢aは馬鹿 ・・・仮定
5，aは医者→(aはシリツ卒→aは馬鹿)) ・・・1より全称例示化
6，aはシリツ卒→aは馬鹿 ・・・3と5より→除去
7，aは馬鹿 ・・・2と6より→除去
8，矛盾 ・・・4と7より矛盾導入
9，aは馬鹿 ・・・4と8より￢除去
10，aは医者→aは馬鹿 ・・・3と9より→導入
11，aはシリツ卒→(aは医者→aは馬鹿) ・・・2と10より→導入
12，∀x(xはシリツ卒→(xは医者→xは馬鹿)) ・・・11より∀導入
より導けた A⇒B（貧乏ならば子だくさんである）
を対偶にすると、
￢B⇒￢A（子だくさんでないならば貧乏ではない）
おかしいよね。子供が一人しかいなくても貧乏な家はいくらでもある >>79
そりゃ導けるだろｗ
で、質問だが
「私立出の医者で馬鹿でない人」は本当にいないのか？ >>76
f(x)=g(x)=xのとき │x│=x↔ｘ=xまたは-x=x だから偽 >>81
＞そりゃ導けるだろｗ
そうだよ
だからなに？ ＞「私立出の医者で馬鹿でない人」は本当にいないのか？
いると思う 昔からある問題が
叱られないと勉強しない
の対偶を述べよという問題だね。 文系志望なんだけど
黄色チャートじゃなくて文系の数学赤青でいい？ >>79
題材を 馬鹿は死ななきゃ治らない に変えると
（１）馬鹿ならば、 死なないならば治らない
から
（２）死なないならば、馬鹿は治らない
が導ける。
問題
（１）（２）の命題の対偶を述べよ。 >>87
(1){馬鹿→(死なない→直らない)}の対偶
↔（死なない→直らない)でない→馬鹿でない
↔死なないかつ直る ならば 馬鹿でない
(2){死なない→(馬鹿→直らない)}の対偶
↔(馬鹿→直らない)でない→(死なない)でない
↔馬鹿かつ直る ならば 死ぬ >>87
バカは死ななきゃ治らない
バカにつける薬はない
よく似合ってるよ >>85
同類の問題としては
ヤクザがこないと金を返さない
の対偶でもいいな >>95
やっぱりバカは死ななきゃ治らないみたいね。 >>98
勉強しない の 否定は 数学でも勉強する じゃないのか？ 叱られない の否定は 国語でも数学でも 叱られる だと思うが。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
