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高校数学の質問スレPart408
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0001１３２人目の素数さん
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2020/10/13(火) 22:56:42.03ID:IAG/QuOR
【質問者必読！！】
まず>>1-4をよく読んでね

数学@5ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/

・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
　　（× x+1/x+2　；　 ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
　どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。
　（トリップの付け方は　名前(N)に　俺！#oretrip　←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。
　でないと放置されることがあります。
　（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。
　それがない場合、放置されることがあります。
　（特に、自分でやってみたのに合わないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。

※前スレ
高校数学の質問スレPart407
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1597160116/
0675１３２人目の素数さん
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2020/11/22(日) 17:22:11.04ID:03o3b8Sl
>>674
ゼノンに聞かせてやりたいｗ
0677１３２人目の素数さん
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2020/11/22(日) 22:45:20.43ID:03o3b8Sl
>>676
困る困るw
数えられちゃうからな
0678１３２人目の素数さん
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2020/11/22(日) 23:00:01.26ID:HXl3RtuZ
デデキントの切断をゼノンっぽく言い換えたっちゃあそんな感じではある。如来
0679１３２人目の素数さん
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2020/11/22(日) 23:08:03.44ID:03o3b8Sl
飛んでる矢は止まってる
0682１３２人目の素数さん
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2020/11/23(月) 12:25:00.59ID:lM6RzBWQ
3次方程式 x^3-3x^2+2x-(m+1)/m =0 が有理数の解をもつような
整数mを求めよ。

これはどう考えればよいですか。
0684１３２人目の素数さん
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2020/11/23(月) 16:55:29.10ID:tLbYio/e
因数分解の答えで(a-b)(b-c)(a-c)となる時に輪環の順に-(a-b)(b-c)(c-a)としなければいけない決まりってあります？
輪環の順にしてマイナス記号を前に出すよりはじめの形の方がすっきりして見やすいのですが
どちらでも正解ですか？
0685１３２人目の素数さん
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2020/11/23(月) 17:10:08.82ID:r+qjfoQS
学校いらないんだろ？
勉強動画みれば大学に入れるんだろ？
じゃ動画見て判断しろやクソが
0686１３２人目の素数さん
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2020/11/23(月) 17:14:57.87ID:EjA45M7q
>>682
結論からいうと高校数学範囲内では難しい
ここでは古典的な難問に帰着されることを主に説明する

xが有理数であることと 1+x/m が有理数であることは同値である
よって,xを1+x/m に置き換えて得られる方程式を考えればよい

つまり問題は
x^3 -m^2*x -m^2(m+1) = 0
を満たす有理数xをすべて求めることに等価である
(問題が意味をなすために m≠0 は前提として考える)

有理数xに対して x^3 -m^2*x -m^2(m+1) = 0 が成立していたとする
このとき xは整数であることがいえる
(ここはよくある議論で x=p/q などとおけばすぐわかる)
xとmの最大公約数をd＞0とおくと
x=ds, m=dt を満たす互いに素な整数s,t(t≠0)の組が取れる
これを代入して両辺をd^2で除すると
ds^3-dst^2-t^2(dt+1) = 0
ds^3 = t^2(ds+dt+1) より
ds^3 は t^2 で割り切れることになるが
sとtは互いに素であるから d=kt^2 を満たす正の整数kが取れる
これを代入して両辺をt^2で除すると
ks^3-kst^2-(kt^3+1) = 0
k(s^3-st^2-t^3) = 1 だから k=1 がいえる
したがって s^3-st^2-t^3=1 が得られた

残念ながら簡単な議論はここまで
このような方程式は一般には単数方程式というものに帰着され
(他にも楕円曲線を用いて説明する方法もある)
機械的に解くアルゴリズムが知られているが
高校数学の範囲内で解くのは厳しい
結果だけ知りたいなら PARI で以下のように入力すればよい

aaf = thueinit(x^3-x-1)
thue(aaf,1)

これにより s^3-st^2-t^3=1 を満たす
整数s,tの組が すべて 列挙され
アウトプットは
[[-1, -1], [0, -1], [1, -1], [1, 0], [4, 3]]

つまり (s,t)=(-1,-1),(0,-1),(1,-1),(1,0),(4,3)

問題のために t=0 となるものを除くと
(s,t)=(-1,-1),(0,-1),(1,-1),(4,3) となるので
m=t^3 より m= -1, 27 の2つのみが適となる
よって求める整数mは -1 と 27 だけである

ちなみにですが もし元の問題が高校数学の範囲内で解けたら
不定方程式: s^3-st^2-t^3=1 が簡単に解けたことになります
かなり難しいとおもうので チャレンジするなら覚悟が必要です
0689１３２人目の素数さん
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2020/11/23(月) 19:33:08.72ID:8MdyC1X9
ググったら出た
PARI/GPは計算機代数アプリケーションであり、数論に関する様々な演算を行うために開発された。
バージョン2.1.0からはフリーソフトウェアとしてGNU General Public Licenseにしたがって米フリーソフトウェア財団から公開、配布
0692１３２人目の素数さん
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2020/11/23(月) 20:32:51.18ID:GYtO5Ga4
f(x)=log₃x＋log₃(−x＋a)とする。ただし、aは正の定数とする。
xについての方程式ｆ(x)＝３が異なる二つの実数解をもつときを考える。
このとき、二つの解をα、βとおく。ただし、α＜βとする。
β−α＝６となるとき、a＝ネノでありｋ＝f(α＋β／２）とすれば
３^k＝ハヒである。
さらに、このとき、ｂ＝３＾aを満たすｂについて、ｂ＾ｋはフヘ桁の整数である。
ただし、log₁₀２＝0.3010、log₁₀３＝0.4771とする。

この問題って最後の桁数１８で合っているのでしょうか？
誰か、解説のほどお願いいたします。
0693１３２人目の素数さん
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2020/11/23(月) 21:36:02.47ID:GYtO5Ga4
誰か偉い人、解説お願いします。
0695１３２人目の素数さん
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2020/11/23(月) 23:38:36.99ID:GYtO5Ga4
>>694
良問、正解！　10＾1が2桁　10＾２が3桁　

素晴らしい問題だ！
0696１３２人目の素数さん
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2020/11/24(火) 00:15:44.95ID:KR3YT4Dj
>>695
あと1問で、A欄に行けるのに・・・・・・・・

あと一押し
0697１３２人目の素数さん
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2020/11/24(火) 00:29:34.85ID:SUevlcxg
>>686
あるがとうございます
そんんないに難しい問題だったとは
0698１３２人目の素数さん
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2020/11/24(火) 00:51:39.47ID:XePTSUu8
>>682

x(x-1)(x-2)=(m+1)/m

x=a/b ; a,bは互いに素な整数。
を代入し整理すると、
ma(a-b)(a-2b)=(m+1)b^3
a,a-b,a-2b等はbと互いに素。mとm+1も互いに素。→　m=b^3　　(☆)
これで割って、代入すると、
a(a-b)(a-2b)=b^3+1=(b+1)(b^2-b+1)　→　{a,a-b,a-2b}={1,b+1,b^2-b+1},{-1,-b-1,b^2-b+1},...
等の有限個の組み合わせが考えられる。
この中で、a-2b=1,a-b=b+1,a=b^2-b+1　の時、a=7,b=3,m=27　が見つかる。
他に題意に添う、丁度良いものは、無いようだ。

ただ、(☆)で「mとm+1も互いに素」としているが、一方が 0 の時は、不能。
従って、m=-1 は、別に検討する必要があった訳だが、この時、三次方程式は、
x(x-1)(x-2)=0　で、題意を満たすので、解として採用される。
0699１３２人目の素数さん
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2020/11/24(火) 01:13:36.94ID:NO3rnOYH
>>698
以下の部分が誤ってる :
a(a-b)(a-2b)=b^3+1=(b+1)(b^2-b+1)　→　{a,a-b,a-2b}={1,b+1,b^2-b+1},{-1,-b-1,b^2-b+1},...
有限個の候補に絞れるとは限らない
たとえばすべて素数(と±1)の組合わせとかならそういう議論はできるけれど
一般の場合は素因数分解に依存するので その議論はあまり有効でない
ちなみに くだんの不定方程式 x^3 - xy^2 - y^3 = 1 は初等的解法が知られていないので
逆説的にいうなら その時点で おそらく解法が誤りであると推測がたってしまう
0700１３２人目の素数さん
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2020/11/24(火) 01:28:40.91ID:z0JupO0u
やっぱり一般論として計算機がどうやって
s^3-st^2-t^3=1
の整数解を求めてるのかの方が知りたいな
0701１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/24(火) 02:45:11.53ID:XePTSUu8
>>699
確かに右辺が具体的な整数値だったら、使えるけど、
文字式だと、ダメですね。698は取り消します。

ただ、候補が有限個に絞れたのは確かだと思います。
問題なのは、全ての候補を「表現できない」からですよね。
0704sage
垢版 |
2020/11/24(火) 04:11:30.08ID:NO3rnOYH
以下は不定方程式: s^3-st^2-t^3 = 1 が
単数方程式に帰着するという部分の説明

計算機のほうは超越数論(とくにbakerの結果)絡みで
解の上限を具体的に得て計算していたような気がする
とくに整数論的アルゴリズムじゃなかったような？
整数論的といえば古くからskolemのp進法的手法がある

f(x)=x^3-x-1∈Q[x] とおく.
fの全ての複素数根をα,β,γとおく.
f(x)のQ上の最小分解体をKとおく.
Kの実共役体と虚共役体の個数はそれぞれ0と6
整基底の計算により Kの整数環は A:=Z[α,β] となる
また,代数体Kの判別式は -12167 = -23^3 となる.
Kの判別式の値とKのQ上の拡大次数から
Kに含まれる1の冪根は ±1 のみである

ディリクレの単数定理より
Aの基本単数系は2個の基本単数からなる.
それらをη,φとおく

f(x) = (x-α)(x-β)(x-γ) より
f(s/t) = (s/t-α)(s/t-β)(s/t-γ)
t^3*f(s/t) = (s-tα)(s-tβ)(s-tγ)
∴ s^3-st^2-t^3 = (s-tα)(s-tβ)(s-tγ)

s^3-st^2-t^3 = 1 だから
s-tα,s-tβ,s-tγは Aの単数となるので

s-tα = ±η^(e1)*φ^(e2)
s-tβ = ±η^(e3)*φ^(e4)
s-tγ = ±η^(e5)*φ^(e6)
を同時に満たすように3つの符号および
整数e1,e2,.,e6の組を選ぶことができる

単数方程式に帰着されるというのはこういうこと
基本単数は具体的に計算するアルゴリズムがあるので
η,φはα,βだけの式で具体的に表すことができる
0705１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/24(火) 04:49:01.25ID:NO3rnOYH
誤解をあたえる可能性のある部分を訂正

✕ Kの実共役体と虚共役体の個数はそれぞれ0と6
◯ Kの実埋め込みの虚埋め込みの個数はそれぞれ0と6

つまりKのQ上の共役写像σであって
σ(K)が実数体に含まれるようなσの個数が 0
そうならないようなσの個数が 6 ということ

説明の比重のバランスが悪くなるから これぐらいにしとく
0706１３２人目の素数さん
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2020/11/24(火) 04:53:13.80ID:z0JupO0u
>>704
なるほどthx
で単数基底を見つけられれば行けると
そういや二次体の単数基底探す時も|α-p/q|<cq^2となるcを探す話とリンクしてたような
bakerの方法もその延長なのかなぁ
0709ID:1lEWVa2s
垢版 |
2020/11/25(水) 04:26:09.95ID:KqBVds6Y
>>708
ん？僕？
会話できる友達が欲しい。
ただ要らない反面もある。
ようするにイナさんをせっくす事件に巻き込もうとするな。
昔ソープ何回通ってるとかきいてたけどお前らキチガイか？。
0712１３２人目の素数さん
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2020/11/25(水) 22:05:01.82ID:k2cWc+km
paris
0713１３２人目の素数さん
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2020/11/25(水) 22:11:43.57ID:Wori00xb
ILOはInternational Labor Organization（国際労働機関)である。

問題 :では IMO とは何ですか？

答：　イモです。

という類いの冗談でした。
0714１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/25(水) 22:18:45.39ID:Wori00xb
「フランス語では最後のsは発音しないのでパリスとは読まない」のと同じく
「フランス語では最初のHは発音しない」
例：　ヘンリ４世ではなくアンリ４世

整形外科の手術器具にホーマン鉤(Homan鉤)という器具がある。
0716１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/25(水) 23:25:14.77ID:uNm3BuF0
school や scholar も "h" は発音しない。
ラテン語 / イタリア語はローマ字のように素直に読めるのがいい。(表音文字?)
よそには [∫] とか [t∫] とか変な発音する国もあるけど
0718１３２人目の素数さん
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2020/11/26(木) 09:28:20.93ID:5V7Nv7L6
YMO は Yellow Magic Orchestra である。

問題 :では IMO とは何ですか？

ぢゃね？
0724１３２人目の素数さん
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2020/11/26(木) 20:01:53.87ID:R6EukM+L
2a+b=9が成り立つとき、
10(9x+b)+2aが18の倍数になることは
どのように証明すれば良いですか?
0725１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/26(木) 20:07:13.34ID:R6EukM+L
数字和が9の倍数になる偶数が18の倍数であることは分かるのですが、
こういう形で証明を求められたら、まず答えられないので。
0729１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/26(木) 22:07:54.63ID:nTBSTLPq
KINTAMAは何番目にくるか、書き出してみたら
> IMO('KINTAMA')
[1] 3190483713
になったｗ
暇なひとの追試を希望します。
0730１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/26(木) 22:18:10.04ID:NeuCKANU
>>724
「どのように証明すれば良いですか」の答は既に書かれてるから
それを見つける方法を書こう
まず「18の倍数」とは「2の倍数」で「9の倍数」だから
既に「10(9x+b)+2a」は 2の倍数だから「5(9x+b)+a」が 9の倍数になると証明すれば良い
この内「9x」は既に 9の倍数だから残りの「5b+a」だけで良い
あとは合同式で書けば、条件が「2a+b≡0 (mod 9)」で結論が「5b+a≡0 (mod 9)」
条件を「b≡-2a (mod 9)」と書けば結論は「5b+a≡5(-2a)+a≡-9a≡0 (mod 9)」
b≡-2a (mod 9) を b=9-2a にすれば一足飛びに結論が出る
0741１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/26(木) 23:58:09.51ID:nTBSTLPq
>>729
数字からアルファベット列にdecodeする関数も完成。

> n2IMO(3190483713)
[1] KINTAMA

> IMO('BLOWJOB')
[1] 446401698
> n2IMO(446401698)
[1] BLOWJOB
0744１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/27(金) 00:42:16.64ID:IXre02LE
00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
2019 = 2*26^2 + 25*26 + 17 = CZR
0747１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/27(金) 08:08:33.59ID:anGa5WFp
フリーウェアだから利用しない手はないね。
JASRACのように、もしベイズの公式に使用料とられたら使う人は減るだろうな。
金を払わずに定理を使ったら不正利用とかなると普及しない。


「A12個のAAAAAAAAAAAAを一番めにしたときに１京めにあたるアルファベット列は何か」
と問われて手書き計算する人っているのか？文明人なら文明の利器を使ってミニプログラムを書いて処理するだろ？
0748１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/27(金) 08:17:13.37ID:oHOj+u2n
こんなアホな問題に計算機使って、一方でまさにlinear programingの出番みたいな時に使えない
0749１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/27(金) 08:28:44.52ID:anGa5WFp
>>748
ミニ暗号プログラムができたので楽しめた。

では、あんたに暗号を送って差し上げよう。

26595214988
0752１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/27(金) 09:21:26.12ID:o0Q+7ReS
>>746
プログラム不正利用中年認定か、笑えるな

このプログラム不正利用認定中年、ちゃんと地力で入学し卒業したんか？どこの医大？卒論は？金とコネクション？
0754１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/27(金) 11:47:41.56ID:t86CTWyp
94は4の倍数ではない。
なぜなら、10の位が奇数で1の位が4(8)だから。
同様に、124も8の倍数ではない。
なぜなら、100の位が奇数で末尾2桁が8の倍数だから。


この答えが正しいことを証明できますか?
0755１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/27(金) 11:48:41.73ID:o0Q+7ReS
やっぱりそう思うだろ？だから内視鏡技師（⊂医師）なわけが無いんだよ、臨床検査技師だろ
そう指摘した時に、この反論大好き人間が反論して来なかったから疑惑は深まった
0756１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/27(金) 12:04:03.95ID:Lm5SI2M+
こういうのは俺の投稿

内視鏡検査について Part.4
https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1579701192/486

夏場は防護服着ての検査は熱くて大変だったけど、今は涼しくなったので随分楽になった。
検査の合間に検査台の消毒とかをナースがするので予定検査数は減って待機時間が増えた。

>747の一京番目にくるアルファベット列は
> n2IMO(10^16)
[1] CSVUNIZIJKAP

と出力されたが、こういうのを手書き計算でする人がいるとは思えんのだが、
アル厨マウント猿だと手計算もしくは全部列挙すんのかなぁ？
1秒に1000個列挙できても316887年以上かかるな。
0757１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/27(金) 13:02:23.23ID:oHOj+u2n
-2進法の話とかのレス見てたら理系である事すら疑うレベルだからねぇ
0758１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/27(金) 13:43:42.53ID:anGa5WFp
>>754
4(8)を4または8と解釈。
>同様に
というのが、よくわからんけど、計算すれば済む。
手書き計算は面倒なので計算機にさせる。

> a=c(1,3,5,7,9)
> b=c(4,8)
> apply(expand.grid(a,b),1,function(x) (10*x[1]+x[2])%%4)==0
[1] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
> (c=8*(2:12))
[1] 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96
> apply(expand.grid(a,c),1,function(x) (100*x[1]+x[2])%%8)==0
[1] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
[13] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
[25] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
[37] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
[49] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE

2桁3桁では確認できた。
0759１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/27(金) 13:51:07.67ID:anGa5WFp
>>744
こういうのを書くのもプログラム書いた方が他で利用できるからいいな。
> cat(sapply(0:25,function(x) paste(dec2nw(x,10,2),collapse='')))
00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
C言語だとコンパイルするのが面倒。
0761１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/27(金) 14:58:19.79ID:GlEH0JtM
>>754
4×5=20, 8×25=200に注意すれば、10が4の倍数でないことと100が8の倍数でないことからしたがう
0762１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/27(金) 15:02:37.05ID:anGa5WFp
>>760
5chの投稿に何らかのプログラムを使っているのだから、全員プログラムおじさんなわけだが。
>749の復号できた？　アルゴリズムは既出だけど手計算は面倒だと思う。
0764１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/27(金) 15:40:09.26ID:anGa5WFp
NGワード回避の回避にこんなスクリプトを作って暇つぶしもできる。

> tate(str,11)
は 　 　 わ な 　 　 　 　 　 　
な 　 　 が が 　 　 　 　 　 　
の う 　 み め 　 　 　 　 　 　
い つ 　 よ せ 　 　 　 　 　 　
ろ り 　 に し 　 　 　 　 　 　
は に い ふ ま 　 　 　 　 　 　
　 け た る に 　 　 　 　 　 　
　 り ず 　 　 　 　 　 　 　 　
　 な ら 　 　 　 　 　 　 　 　
　 　 に 　 　 　 　 　 　 　 　
　 　 　 　 　 　 　 　 　


　 　 　 　 　 　 な わ 　 　 は
　 　 　 　 　 　 が が 　 　 な
　 　 　 　 　 　 め み 　 う の
　 　 　 　 　 　 せ よ 　 つ い
　 　 　 　 　 　 し に 　 り ろ
　 　 　 　 　 　 ま ふ い に は
　 　 　 　 　 　 に る た け 　
　 　 　 　 　 　 　 　 ず り 　
　 　 　 　 　 　 　 　 ら な 　
　 　 　 　 　 　 　 　 に 　
0767１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/27(金) 20:01:09.94ID:gox3YhIq
>>724
10b+2a=9+9bとして
9(b+1)とすれば
bが奇数であるため
9と偶数の積で表せることから
18の倍数となる。
これでいいですか?
0768１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/27(金) 20:01:10.71ID:gox3YhIq
>>724
10b+2a=9+9bとして
9(b+1)とすれば
bが奇数であるため
9と偶数の積で表せることから
18の倍数となる。
これでいいですか?
0774１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/11/27(金) 23:58:37.52ID:yLVDbowD
>>767
2a+b=9が成り立つている。
A=10(9x+b)+2a　とおけば、　A=2(5(9x+b)+a)　ゆえ、Aは偶数である。
一方、A=(9+1)(9x+b)+2a=9(9x+b)+9x+b+2a==9(9x+b)+9x+9 (∵仮定からb+2a=9) ゆえ　Aは9の倍数である。
2と9は互いに素な整数なのでAは18の倍数である。
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