小中学校範囲の算数・数学の問題のスレ Part 56
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小中学生の数学大好き少年少女！
ならびに小中学校範囲の算数・数学の問題で悩んでいる方！(年代を問わず)
分からない問題があったら気軽にレスしてください。
学校の宿題、塾の問題など幅広く扱っていきたいと思います。
文字の使い方等は>>2を参照のこと。
※あくまで小中学生のためのスレなので範囲外のものについては別スレに。
皆様のご協力よろしくお願いします。
前スレ
小中学校範囲の算数・数学の問題のスレ Part 55
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548590777/ 二次方程式に関する疑問について教えてください。
たすきがけによる因数分解は覚えなくてもいい
https://mathtrain.jp/tasuki
上記サイトでは、
＞ ax^2+bx+c = 0 の解が α, β であるとき、
＞ ax^2+bx+c = a(x-α)(x-β)
＞ と因数分解できる。
とあります。
また、因数分解の例として下記のように書いてあります。
＞ 3x^2－10x+8
＞ = 3(x－2)(x－4/3)
＞ = (x－2)(3x－4)
こちらに着目していただきたいのですが、
＞ 3(x－2)(x－4/3)
＞ (x－2)(3x－4)
α = 2
(x－2)：xの係数1
β = 4/3
(3x－4)：xの係数3
上記のように、αとβの分母がxの係数になっているのですが、これは偶然でしょうか。
それとも何か法則性のようなものがあるのでしょうか。もしそのようなものがあるのでしたら、教えてください。よろしくお願いいたします。 中学２年の一次関数です
（３，５） と（６，１０）の２点を通る直線の式を求めなさいという問題です。
子供は変化の割合で傾きを求めてから切片を求めますが
y=ax+bの連立方程式で解いたほうが将来的にいいのじゃないかと思ってます
先生にはどちらでもいいよって教わったらしいのですが
みなさんはどう思われますか？ >>147
たすき掛けで解けるように「仕組まれた」２次方程式なら、必ずαβの分母は x^2 の係数の約数になっていますよ。
でも、必ずたすき掛けができるかって保証はそこにあるのかってのが問題なわけで >>148
連立方程式が早く確実に解ける自信があるなら、連立方程式の方が将来関数が複雑になっても対応できる
可能性が強くなるので、それがオススメ
でも、連立方程式がネックだとすると、変化の割合がオススメ。でも、ｘの増加量とかをしっかり理解していないと
思わぬミスを発生させるかもね。増加量なのに、減少量を計算したり、変化の方向を逆にするとミスが発生する。 >>148
どちらかにする必要はない
どちらでも自在に出来ることが好ましいと思う >>148
両方自在にできるようにするのが理想でしょ。
計算が早いのは傾き作戦だけど、汎用性は連立が上。でも高校で微分やると曲線の接線の式求めるのにまた傾き使うようになるしね。 前>>146
>>148
傾き5/3=(10-5)/(6-3)で、
y=(5/3)x+bとおけるが、
(0,0)も通るからb=0
∴y=5x/3 >>149
ご回答ありがとうございます。
そのようになるよう、問題が作られているということですね、了解です。
ありがとうございました。 ありがとうございました
両方使えるほうがいいんですね
勉強になりました 質問です
「千の位以上を〇%引き」とはどういう意味でしょうか
正直言葉の意味がわかりません
例えば1,234円と5,678円の商品を20%引きで買ったなら、どういう計算になるかわかる方いらっしゃいましたら教えてください 些細な訂正ですが
千の位以上を20%引きでの計算式をどうか教えてください >>156
それは多分その言葉作ったオリジナルな言い回しで世間一般には通用しないんじゃない？
ググっても出てこないし
おそらく千円未満の桁は値引きの対象としないと言う意味だと思う
12345円なら12000+345円として12000×20%=2400円値引きするって意味なんだろうと思う >>158
ご意見ありがとうございます
メルカリという動物園で起こった問題でして。
1万円以上の品物なら、お答えくださった例がとてもわかりやすく納得できます
数千円のものを2点購入して、出品者の合計金額が間違っている(高くなっている)事を指摘すると、「千の位以上20%引き」と返答がきまして。
変な出品者にあたったとスルーしておくことにします
しょうもない質問で失礼いたしました >>159
具体的にいくらといくらのものを購入していくらだといってきたのかを書けばここの人たちも推測しやすいと思うんだけど 前>>153
>>156
1234-1000×0.2=1234-200=1034(円)
5678-5000×0.2=5678-1000=4678(円) AB=ACの二等辺三角形ABCの中点CM上に∠PCA＝∠PABとなるように点Pをとる。
この時、∠PBC＝∠PCA＝∠PABとなることを証明せよ。
ベクトルとか使えばすぐ解けるんですが中学生の問題なんで多分相似やら円やら使って解くんだと思います
歯が立たなかったので教えてください >>163
誤字です 誤)中点 正)中線
Mは辺ABを二等分する点ですね なんか問題間違っていないか？
ならないように思える いやA(0,3m),B(-1,0),C(1,0)で計算したら
全部の角の正接が2m/(1+3m^2)になったから正しいのは正しい
初等的にはどうやるんだろね
サッパリ >>162
三角形ABCをMを中心に180度ひっくり返し、Cの移動先をDとすると、平行四辺形ADBCができる。
角BDMは角ACMと等しいので、四角形ADBPは円に内接する。
角ADPとABPが等しくなるのでMCBとABPも等しい。
ABCは二等辺なので角PBCとPCAも等しい。 >>168
ひっくり返してから円に内接する四角形を作るのか
それは予想外だったわ
すっきりしましたありがとうございます 前>>165
>>162
AM=MBよりAM:AC=1:2
△BPM=(1/2)△ABC(面積は1/4)
2:x=x:1
x=√2
√2/sinA=2/sinB=2/sinC
√2sinA=sinB=sinC
sin69.3°/√2=0.66145881762……
sin41.4°=0.66131186532……
∴∠A≒41.4°
∠B=∠C≒69.3° 前>>170
∠PBC=69.3°-41.4°=27.9°
sin∠BCP/sin∠PBC=sin41.4°/sin27.9°=1.41421356……=√2
∴示された。 前>>173訂正。
sin41.4°/sin27.9°=1.41327148895……≒√2 Ａ駅とＢ駅を結ぶ鉄道がありどの列車も一方の駅を出発してから
9分後にもう一方の駅に着く。列車は駅の間を一定の速さで走るものとして
列車の長さは考えないものとする。
Ｃ君はＡ駅からＢ駅までこの鉄道に沿った道を自転車で45分かけて通っている
C君がＡ駅を7時5分に出発した列車に追い抜かれてから100秒後に
Ｂ駅を7時に出発した列車と出会った。C君がA駅を出発した時刻を求めなさい
C君は一定の速さで走るものとする
答えお願いします >>176
7時7分に両方の電車が出会うからＣは7時7分50秒にＢ駅からの電車に
出会ってるでいいかな？
それだと7時2分出発にならない？ >>175
C君と列車の速さの比は1:5
列車+C君の速さと列車+列車の速さの比は6:10
列車の同士が出会うのは7:07
列車AとC君が並んでからC君と列車Bが出会うまで100秒だから、列車Aと列車Bが出会うまでは60秒
ということは列車AとC君が並んだのは7:06
列車Aが1分かかる距離をC君は5分かかる。
よってC君が出発したのは7:01 >>175
この問題ってどこかの過去問？できたら出典教えて欲しい。 >>181
ありがとう。
高校入試か。てっきり中学入試かと思った。あんまり方程式向きの問題じゃないよね。 方程式で素直に解くならC君の速度をvとして列車の速度は5v
駅間距離は5v×540=2700v
7:00をt=0として単位を秒としてCの出発時刻をt0,A列車に抜かれた時刻をt1,B列車に遭遇した時刻をt2としてt秒後のA,B,Cの位置はA駅から見て
5v(t-300), -5v+2700v, v(t-t0)
だから条件より
-5vt2+2700v=v(t2-t0) → 6vt2=2700v +vt0‥①
5vt1-1500=v(t1-t0) → 4vt1 = 1500v - vt0‥②
t2-t1=100だから①×2-②×3により
1200v = 900v + 5vt0
∴ t0 = 60
ダイアグラム睨めっこするよりは楽な気もする >>179
Ａ列車に追い抜かれてＣが自転車で走ってることを忘れてた
だからＢ列車と出会うのが7時7分40秒となってＡ列車に追い抜かれたのが
7時6分。追い抜かれた時点でＢ駅までの時間が40分掛かるので
Ａ駅の出発した時間は7時1分てことか
ありがとう 前>>174
>>175
わかりやすいようにC君をC3PO,列車を頭文字RをとってR2B2とする。
R2B2はC3POの45/9=5(倍)の絶対的な速さで往来する。
時を戻そう。まず6時台にC3POがBに向かってAを出た。
7時にR2B2はAに向かってBを出る。
5分後、5AB/9進んでるからAを出たR2B2がC3POを追い越す地点は、
ABの中間地点よりかなりA寄りだ。
C3POが100秒で進む距離をR2B2は20秒で通過する。
AB間は540秒だからその距離は20AB/540=AB/27
7時5分から2機のR2B2がたがいの間合いをつめていく。その距離、
(AB-AB/27-5AB/9)/2=23AB/54
時間にして9×23/54=23/6(分)
23/6×60秒=3分50秒
7時8分50秒にC3POはR2B2に追い越される。
R2B2の5倍時間がかかってるから、
(23/6)×5=115/6(分)前にAを出た。
7時何分か。
5分+(23/6)分-(115/6)分=-(62/6)分
7時の10分20 秒前。
∴6時49分40秒 前>>185訂正。
>>175
わかりやすいようにC君をC-3PO,列車を頭文字RをとってR2-D2とする。
R2-D2はC-3POの45/9=5(倍)の絶対的な速さで往来する。
時を戻そう。まず6時台にC-3POがBに向かってAを出た。
7時にR2-D2はAに向かってBを出る。
5分後、5AB/9進んでるからAを出たR2-D2がC-3POを追い越す地点は、
ABの中間地点よりかなりA寄りだ。
C-3POが100秒で進む距離をR2-D2は20秒で通過する。
AB間は540秒だからその距離は20AB/540=AB/27
7時5分から2機のR2-D2がたがいの間合いをつめていく。その距離、AB/27は双方のR2-D2のぶん引かないといけないんじゃないか。
(AB-AB/27-AB/27-5AB/9)/2=21AB/54=7AB/18
時間にして9×7/18=7/2(分)
つまり3分30秒
7時8分30秒にC-3POはR2-D2に追い越される。
R2-D2の5倍時間がかかってるから、
(7/2)×5=35/2(分)前にAを出た。
7時何分か。
5分+(7/2)分-(35/2)分=-(18/2)分=-9分
7時の9分前。
∴6時51分 前>>186
わかんないんだったら走るR2-D2を2機買ってきて廊下の端から5分あいだあけて走らせてみな。 1から6までの数字を使って5ケタの数字「作ります。同じ数字を何回使ってもいいとすると、6の倍数は何通りできますか。
これが全然分かりません。 >>188
5ケタの数字を作ります。
の打ち間違いです。 1個240円のキャベツと1個160円のトマトを全部で12個買って3000円支払いました
お釣りが760円帰ってきました トマトは何個買いましたか
どうやって解けばいいですか
式に直すのですか >>191
最初にいくら払ったか引き算
3000-760=2240
安い方に12を掛ける
160×12=1920
次に安い方と高い方、払った金額と安い方を計算した両方の差額を出して割る
2240-1920=320
240-160=80
320÷80=4
引き算
12-4=8
160円の方が8
240円の方が4
答えの方を選ぶ
この場合はトマトだから8 >>190
なぜ6^4になるか教えていただけると助かります。よろしくお願いします。 最初の数で÷6のあまりが0～5になるのが1個ずつ
次の数足して÷6のあまりが0～5になるのが6個ずつ
次の数足して÷6のあまりが0～5になるのが36個ずつ
次の数足して÷6のあまりが0～5になるのが216個ずつ
次の数足して÷6のあまりが0～5になるのが1296個ずつ
だから >>194
1の位が0で10の位から1万の位までが1～6の数字というのは6^4個ある
この6^4個の数に対して1の位を1～6のいずれかに変えることで6の倍数になるのはそれぞれ1個ずつ存在する >>188
1の位以外の数字の決め方は
6×6×6×6＝1296通り
ある4桁について、1の位に1から6をつけた
連続する6つの数を考えると、このうち1つは
必ず6の倍数となる
よって、6の倍数の数も1296通り
>>195
各桁の数字を足して倍数を判定する方法は
3の倍数、9の倍数には使えるが
6の倍数には直接は使えない
例えば33は足して6になるが、奇数なので
6の倍数にはならない 前>>187
>>191
キャベツとトマトの大きさから考えて4個8個だろう。
3000-760=2240
240×4=960
160×8=1280
960+1280=2240
な、ぴったりだ。 前>>199
キャベツとトマトの大きさから考えて4個8個と予想。
3000-760=2240
240×4=960
160×8=1280
960+1280=2240
∴8個 >>194
6進法で考えて55555+1=100000個の連続した数字があって
このうち６個に１個が６の倍数だから６の倍数の個数は10000個。
これを10進法で表すと6^4=1296個。 改題
1から6までの数字を使って5ケタの数字を作ります。
同じ数字を何回使ってもいいとすると、6の倍数は1296通りある。
小さい順に並べたときに1000番目にくる数字を述べよ。 連続してない
できる数字は
11111,11112,‥,11116,11121,12122,‥
と切れてる
切れてる列を6進法で表し直しても切れてるもんは切れてる 6進法で表すのではなく6進法に当てはめて考えるってことじゃないんかな？
ただ、余りはズレて対応するからそこを説明するのがちょっと面倒な気はする
元の問題の方の余りって順には並ばないよね？
6個区切りで見ればその中に必ず余り0～5の6種類あり、総数が6^5個と6の倍数だから問題ないわけだけど、
その説明をするとその時点で求める数は6^4であることを示しちゃってることになる 列挙してみた。
> head(y,10) ; tail(y,10)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 1 1 1 1 2
[2,] 1 1 1 2 4
[3,] 1 1 1 3 6
[4,] 1 1 1 4 2
[5,] 1 1 1 5 4
[6,] 1 1 1 6 6
[7,] 1 1 2 1 4
[8,] 1 1 2 2 6
[9,] 1 1 2 3 2
[10,] 1 1 2 4 4
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1287,] 6 6 5 3 4
[1288,] 6 6 5 4 6
[1289,] 6 6 5 5 2
[1290,] 6 6 5 6 4
[1291,] 6 6 6 1 2
[1292,] 6 6 6 2 4
[1293,] 6 6 6 3 6
[1294,] 6 6 6 4 2
[1295,] 6 6 6 5 4
[1296,] 6 6 6 6 6
１000番目は
> cat(paste(y[1000,],collapse=''))
54546 六進法で１１１１５（六）の次は１１１１２０（六）だけどこの並びはないから連続した数字じゃないね。 >>206
こうやって6で割った剰余を書き出してみると、６の倍数が6＾5/6個あるのは納得できる。
> head(pm1,30)
mod6
[1,] 1 1 1 1 1 5
[2,] 1 1 1 1 2 0
[3,] 1 1 1 1 3 1
[4,] 1 1 1 1 4 2
[5,] 1 1 1 1 5 3
[6,] 1 1 1 1 6 4
[7,] 1 1 1 2 1 3
[8,] 1 1 1 2 2 4
[9,] 1 1 1 2 3 5
[10,] 1 1 1 2 4 0
[11,] 1 1 1 2 5 1
[12,] 1 1 1 2 6 2
[13,] 1 1 1 3 1 1
[14,] 1 1 1 3 2 2
[15,] 1 1 1 3 3 3
[16,] 1 1 1 3 4 4
[17,] 1 1 1 3 5 5
[18,] 1 1 1 3 6 0
[19,] 1 1 1 4 1 5
[20,] 1 1 1 4 2 0
[21,] 1 1 1 4 3 1
[22,] 1 1 1 4 4 2
[23,] 1 1 1 4 5 3
[24,] 1 1 1 4 6 4
[25,] 1 1 1 5 1 3
[26,] 1 1 1 5 2 4
[27,] 1 1 1 5 3 5
[28,] 1 1 1 5 4 0
[29,] 1 1 1 5 5 1
[30,] 1 1 1 5 6 2
> 問題の条件で作られた6の倍数の1桁目を取り除いて4桁の数を作り、そこから1110を引く
これらを小さい順に並べると、1、2、3、4、5、10、11……と6進法で表した自然数と同じ数字が並ぶ
この1000番目は1000を6進法で表した数字であるから4344
これを元の数に戻すと54546 ちょっとおかしかった
問題の条件で作られた6の倍数を小さい順に並べ、それぞれに対して1桁目を取り除いて4桁の数を作り、そこから1110を引くという操作をすると、
6進法で表した自然数を小さい順に並べたものと同じ数列が出来る
自明に近いけど並び順が変わらないことを明示するべきだった >>210
最後の６は６の倍数になるように調節ですね？ >>210
この手順に基づいて関数化して算出すると
> order2num(333)
[1] 24234
> order2num(777)
[1] 44436
実際に列挙して並べると
> cat(paste(y[333,],collapse=''))
24234
> cat(paste(y[777,],collapse=''))
44436
で御明算！ 算数のかけ算の問題です
二桁のかけ算である98ｘ97を簡単に解く公式（？）として
式
(100-2-3)x100+2x3
※スレ的には(100-2-3)*100+2*3
と算数の参考書に書いてあったのですが、
なぜ、この式になるのでしょうか？
参考書には
「かけ算の答えは、それぞれの数字を辺の長さとする長方形の面積と同じ」
「まずは100ｘ100の長方形の面積を求めて、そこから余計な部分の面積をひいていく」
と書いてあったのですが、
この考え方で、どうして、この式に結び付くのかまったくイメージできません。
私の頭では下記の考えでなら、98x97のかけ算を理解できるのですが、
①全体の面積を求める・・・100*100=10000
②不要な面積を求める(1)・・・100*2=200
③不要な面積を求める(2)・・・100*3=300
④二重に引いた面積を戻す・・・2*3=6
⑤計算・・・10000-200-300+6=9506
参考書の式・・・(100-2-3)x100+2x3
が、どうしてこの形に落ち着くのか理解できません。
どなたかご教示頂けると幸いです。 >>214
⑤は100*100-100*2-100*3+2*3だから最初の3項を100でくくると100*(100-2-3)+2*3になる >>214
(X-a)*(X-b)=(X-a-b)*X + a*b
X=100;a=2;b=3 >>215
あ～～～～～なるほど！！
100でくくるのか！！！
たしかに100がかぶってるから、100でくくれますね！！
すみません、納得できて一人で興奮してます
ご回答いただき、誠にありがとうございます！
>>216
ご回答、ありがとうございます。 Wikipediaの六進法と十二進法を狂人が鬼編集してたの思い出した
あれまだ直ってないんだよな 中学２年の数学です
授業で三角形の内角の和は１８０度って覚えなさいって言われたみたいなんだけど
説明が難しいんでしょうか？ >>219
納得できないというだけなら
同じ三角形を3つ集めると一直線の180度、
6つ集めると一周360度が出来ることを
紙で作って確かめさせればよいでしょう
理屈で理解させたいなら、順を追って
平行線の錯角は等しい（学校で習う）
↓
同じ三角形を上下逆さまにして
貼り合わせると、必ず平行四辺形になる
↓
できた平行四辺形を2つ用意してつなげても
平行四辺形になる
↓
つなげた部分に3つの角の和ができて
一直線になるので、180度とわかる
と説明できます 今時理由も説明せずに覚えろなんて言うかな？
もしそうなら先生が悪いな。 ガチャの確率問題
とあるソーシャルゲームのガチャには30種類のキャラがいて、全て等確率で出てくる(3.33……%)
10連ガチャを回したとき、どのキャラでもいいので同じキャラが5回以上出てくる確率を求めよ
これの計算方法と答が分かりません
よろしくお願いします P(Aが4回以下)
= (29/30)^10+10(29/30)^9(1/30)
+ 45(29/30)^8(1/30)^2+120(29/30)^7(1/30)^3
+ 210(29/30)^6(1/30)^4
= Xとおく
P(AもBも5回ずつ)
=252(1/30)^5(1/30)^5
= Yとおく
P(いずれかが五回以上)=30(1-X) - 435Y よろしくお願いします。
ttp://imepic.jp/20201119/449200
この図で、
ABQ：CBQの面積比が4：5になるそうなのですが、どうしてなのか理解できません。
どうしてそう言えるのか解説してください。
QPR：QCRの面積比が3:4になるのと、
ABP：CBPの面積比が4：5になるのは理解できます。
できるだけ簡単な言葉と論理でお願いいたします。 >>225
このアプロダ出てくるポップアップ広告消すための×印出てこない
画像見れない 前>>201
>>225
メネラウスの定理じゃないのか。がっかり。
BQを底辺として、
△ABQの点Aと△CBQの点Cがどんなけ離れてるか、なんぼの高さにあるか。
AP:PC=4:5だから、
BQの垂線とACのなす角をθとして、
△ABQ:△CBQ=BQ(APcosθ)/2:BQ(CPcosθ)/2
=AP:CP
=4:5
∴示された。 >>225
BQを底辺だと思えば高さの比が4:5だから
ABP：CBPの面積比が4：5ってのと同じ 中3数学です。Y=ax(にじょう) と傾き－２、切片Cの直線lが2点ABで交わっている。点ABのx座標はそれぞれ1,-２であるとき次の問に答えよ
1)aの値を求めよ
2)直線lの式を求めよ
3)点Aを通り、三角形aobの面積を二等分する式を求めよ
よろしくお願いします >>224
遅れましたがありがとうございました
ちょっと理解できなかったのでググりながら調べます 中学の一次関数の問題です。
図のように、x座標とy座標がともに整数である25個の点に、黒と白のしるしをつけ、これらの点をそれぞれ黒点、白点とよぶことにする。いま、黒点P(a,b)からbだけ右に進み、aだけ下に進んだ点をQとし、2点P,Qを通る直線PQをひくものとする。
(1)黒点Pの座標が(2,1)のとき、直線PQの式を求めよ。また、この直線上に白点があるか。あれば座標を答えよ。
(2)ある黒点Pをもとにしてひいた直線PQ上に、白点(1,5)がある。この黒点Pの座標を求めよ。
(1)は分かりました。(2)の解説が「白点(1,5)を通って右下がりの直線を考える」としか書かれておらず、分かりませんでした。
よろしくお願いします。
http://imepic.jp/20201119/751730 すみません、書き忘れました。
解答は P(3,2)です。 >>235
(1,5)と点Pの傾きは(b-5)/(a-1)
点Pと点Qの傾きは-a/b
これらが等しいから=でつないで分母を払うと
a(a-1)=b(5-b)ただしa+bは奇数
これのbに1～4を代入したら出る。けど、最適な解法かどうかは分からん。 確かに出ますね。ありがとうございます。
もし他の解法が分かる方がいらっしゃれば、よろしくお願いします。 教えてください。
ttp://imepic.jp/20201119/854810
図は、正六角形に3本の対角線を引いたものです。
六角形の半分の中に、4つの三角形ができていますが、この三角形の面積比が
あ：い：う：え＝4 : 1 : 2 : 2 となるらしいのですが、どうしてそう言えるのか分かりません。
三平方の定理とかそういうのを使わず、小学生でも理解できる範囲の言葉で証明してください。
よろしくお願いします。 >>239
相似って小学校でやるんだっけ？
正六角形だからADはFEの2倍 >>240
たしかにADがFEの2倍なら、相似比と面積比の決まり（中受組なら知っている）から、あ：い＝4:1になりますが、
どうしてADがFEの2倍といえるのかがわかりません。
どうしてでしょうか？ >>240-241
自己解決しました。
AD、BE、CFという対角線を書くと、6この正三角形ができるので、
ADは正三角形の2辺分の長さだとわかるんですね。 まだわからないことがありました。
>>239の図にて、あ：い＝４：1というのはわかりましたが、
い＝1のとき、うとえが2になる理由がわかりません。
どこを見てそう判断できるのでしょうか？ >>243
△EFGと△ADGは相似でその比は1：2だとわかったわけだろう？
そうするとその二つはそれぞれEF、ADを底辺と見たときの高さの比が1：2
すると△EFGと△EFAをEFを底辺と見たときの高さの比は1：3だから面積も1：3 >>243
EG：AG=1：2だからと考えた方が簡単だった >>244-245
ありがとうございました。
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