小中学校範囲の算数・数学の問題のスレ Part 56
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小中学生の数学大好き少年少女！
ならびに小中学校範囲の算数・数学の問題で悩んでいる方！(年代を問わず)
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文字の使い方等は>>2を参照のこと。
※あくまで小中学生のためのスレなので範囲外のものについては別スレに。
皆様のご協力よろしくお願いします。
前スレ
小中学校範囲の算数・数学の問題のスレ Part 55
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548590777/ Q）ある学校の生徒数は、去年に比べて男子が8人増え、女子は4％減ったので全体としては1人減って479人になりました。
去年の男子の人数は何人だったでしょうか？
この問題の解き方ですが、「去年の女子の人数の4％＝9人」という手がかりで、9÷0.04＝255と出すのがお手本でしたが、
私は以下のように解こうとしたらダメでした。何がダメなのかご指摘ください。
（去年の男子の人数を□とする） □+8+（480-□）×0.96＝479
↑
この式を解いていくと□＝455となり、正解である255人とは異なってしまいます。何がダメなんでしょうか？ ↑
書き間違えました。模範解答は9÷.0.04＝225、480-225＝255 でした。 >>249-250
ごめんなさい。何回もやり直したら間違っていることに気づきました。
お騒がせしました。 たいていの数学者は奇数と偶数は同じだけあるというはずだが そうなの？
小中で言う数の比較は出来ないというんじゃないのかな？
濃度とかの話なら別だけど 前>>227
>>231
(1)
A(1,a),B(-2,4a)を結ぶ直線の傾きについて、
3a/(-3)=-2
∴a=2
(2)A(1,2)で直線lの傾きは-2だから、
y=-2x+cにx=1,y=2を代入し2=-2+c
c=4
∴y=-2x+4
(3)
(-1,4)とA(1,2)を結ぶ直線の式は、
y=(-2/2)(x-1)+2
∴y=-x+3 前>>255
>>234
図がコミックシーモアしか見れないんであれだけど、
P(3,2)とするとQ(3+2,2-3)すなわちQ(5,-1)
P,Qを結ぶ直線の式は、
y=(-3/2)(x-3)+2
y=(-3/2)x+9/2+2
∴y=-3x/2+13/2 前>>256
>>247
4%減ったってことは全体としては25倍だから、
-9×25=-225
去年女子は225人いたことになる。
480-225=255
∴去年いた男子は255人 前>>257
>>239
図が見えないんであれだけど、
4:1:2:2ってことは正六角形の半分である等脚台形を2本の対角線で4分割したってことだろう。
つまり底辺が2倍で高さが同じなら面積は2倍になるってことだと思う。 お願いします。
ttp://imepic.jp/20201124/743700
図は、2つの直角三角形を重ねたものです。
面積比なんですが、高さは同じで底辺の長さがちがうから、という観点から、
あ：い＝3：6=1：2
え：う＝2：4=1：2 というのはわかりますが
あ：い：う：え＝1：2：2：1となる理由が分かりません。
いの面積＝うの面積、あの面積＝えの面積 というのはどうやって証明できるのか教えてください。 >>259
あ、い、うを足すと18cm^2
い、う、えを足すと18cm^2 >>260
ありがとうございました！
あ＝18-（い+う）＝え ということですね！とてもよくわかりました。 前>>258
>>259
おうたのお姉さんの娘がかなちゃんだということはわかった。 小学生向けの分数の本で、
「3mのテープを3つに分けた1つ分は3/3m=1mになる」
という説明がなされていたのですが、
1つ分は1/3m=1mになるのでは？と疑問が拭えません。
この本の説明は正しいのでしょうか？ >>263
ちょっと意味がわからない
1/3=1のわけないですよね？
元の3mの3はどこ行っちゃったんです？ おしえてください。小5の方陣算の問題です。
ご石をある大きさの正方形にぎっしり並べたところ、69個余りました。そこで、たてと横を3列ずつ増やして大きな正方形を作ったところ、まだ6個余りました。これについて問いに答えなさい。
はじめに作った正方形のいちばん外側のひとまわりに並んでいたご石は何個ですか？ >>265
図を描かないと説明しづらいね
69-6=63
63-9=54
54÷2=27
27÷3=9
もとの正方形は9*9なので一番外側の一回りは8×4=32（個） >>266
すごいですね。ありがとうございます。答えもそのように書いてあるのですが、まず、なぜ３×3を引くのでしょうか？ 答えがわかっているなら実際にそのように並べてみればわかる
●●●●●●●●●★★★
●●●●●●●●●★★★
●●●●●●●●●★★★
○○○○○○○○○●●●
○○○○○○○○○●●●
○○○○○○○○○●●●
○○○○○○○○○●●●
○○○○○○○○○●●●
○○○○○○○○○●●●
○○○○○○○○○●●●
○○○○○○○○○●●●
○が最初の正方形で●と★が増やした3列
●と★の合計が63個
★が9個だから●は54個 >>269
大変わかりやすい説明ありがとうございます。
完璧に理解できました。
息子にも教えることができました。
貴殿は塾の先生か何かされておられますか？
素晴らしいです。 よろしくお願いいたします。
ttp://imepic.jp/20201128/668630
図の、点Ｄから、線ＢＣに対して直角に線を引き、線ＡＢとの交点を点Ｅとするとします。
この場合、線ＤＥは3センチになるそうなんですが、どうしてそう言えるのかわかりません。
どうして3センチなのか、やさしい言葉で証明してください。
お願いいたします。 >>272
もう少しお願いいたします。
左の大きな三角形と今回できた新三角形が相似だと、どうしてＥＤが3センチなんでしょうか？ >>272
今急に理解できました！
ＡＢＣとＥＢＤが相似ということなんですね！
ありがとうございました！！ >>265
方程式しか思いつかないな。
x^2+69=(x+3)^2+6 よろしくお願いいたします。
ttp://imepic.jp/20201130/703750
図は立方体です。
BC上の点PはBP:CP=1:2の位置、CD上の点QはCQ:DQ=1:2の位置にあります。
この立方体を、P、Q、Fの3点を通る平面で切ったとき、
辺GH上の切れ目は、GHの真ん中に来るそうなんですが、どうしてそう言えるのでしょうか？
また、このような、「立体を切ったとき」系の問題は、論理的思考力ではなく自分の頭で
図を思い描けるような能力が必須なんでしょうか？ >>276
PQFを通る平面(※）をPQを軸に回転させて底面と垂直な状態にすると、
その面とFGの交点はFGを1:2に分ける点（Rとする）、GHとの交点はGHを1:2に分ける点（Sとする）になる
PQは底面と平行だから※を回転させたときの底面との交わりである直線は全て平行になる
つまり、Fと求める切れ目（Tとする）を結ぶ線分FTとRSは平行
すると△RSGと△FTGは相似であり、RG：GQは2::1だからFG：GTも2:1
立方体の各辺は同じ長さだからTはGHの中点 >>276
ベクトルを使えば
F=(0,0,0)
P=(1,0,3)
Q=(3,1,3)
T=(3,y,0) # 求めるGH間の点
T=s*P+t*Qをみたすs,tがあれば同じ平面上にあるので
(3,y,0)=(s,0,3s)+(3t,t,3t)
s+3t=3
y=t
3s+3t=0
これを解いて
s=-1.5
t=1.5
y=1.5
小中学校の知識で解決するのはどうしたらよいのかわからん。 >>276
立方体の切断は3つのルールがあります。
①同一平面の二点はそのままつなぐ
②向かい合う面の切り口は平行
③上のルールでつなげないときは立体を延長して考える
の３つです。
今回は、GH上の切れ目をRとすると②のルールにより
FG:GR=PC:CQ=2:1
となり中点だと分かります。 前>>262
>>276
ルービックキューブが3×3だから、
鉛筆でうすく線を入れたらどうだろう。 前>>280
>>276
PQ、豆腐やな、立方体の豆腐にPQに刃先が当たるように包丁を斜めに入れてFをちょうど通るように捌いたら、
包丁はGHの中点を通るね。
∵PC:CQ=2:1で、
包丁がGH間のRを通るとすると、
直角三角形PCQと直角三角形FGRは相似でないといけない。
PC:FG=2:3だから、
CQ:GR=2:3
立体体の豆腐の一辺の長さを1とすると、
(1/3):GR=2:3
2GR=1
∴GR=1/2 >>276です。
皆様、ありがとうございました。
たいへん難しいですが、自分なりになんとか理解できました。
私の理解は↓のようですが、これでよいでしょうか？
・上面を、点Pと点Ｑからそのまま垂直に下に向かって切った場合に
底面にできるFG上の切れ目を点P’、GH上の切れ目を点Q'とする。
今回の問題の、PQFを通る切断によって辺GH上にできる切れ目を点Tとする。
・辺P'Q'と辺FTは、並行する直線である。
・よって三角形P'Q'Gと、FTGは、相似である（だって三つの角が同じだから）
・両三角形の辺の長さの比が1:2である。
・よって、辺GTの長さはFGの長さの1/2、つまりGT=TH
↑
こういう理解の仕方でOKでしょうか？ 前>>281
>>282
相似条件が違う。
3つの角を言う必要がない。
2角が等しい、でいいはず。 >>282
そだよ
あとはなぜ平行と言えるのかを理解出来ているかどうか >>278
一般化してみた。
辺の長さ１として
BP/BC=CQ/CD=a
とすると
求めるGH間の点Tは
(a/(1-a),1)
a=1/3のとき、(1/2,1) いつもお世話になっております。
ttp://imepic.jp/20201204/747000
図は、正六角形に3本の対角線を引いたものです。
辺の長さの比で、GH:HF=1:2になるそうなんですが、どうしてそう言えるのか
やさしい言葉で証明してください。
よろしくお願いいたします。 もうひとつ質問お願いいたします。
以下、問題と私の解答を書きます。私の解答の考え方や答えが間違っているかどうか判定お願いいたします。
問題）190本のジュースがあります。このジュースの空き瓶5本と同じジュース一本が交換できます。この交換をくり返しながら
ジュースが全部なくなるまで飲みました。全部で何本飲めたでしょうか？
解答）
190÷5＝38あまり0 38÷5＝7あまり3
7÷5＝1あまり2 (あまりの3+あまりの2)÷5＝1
190+38+7+1+1=237 → 答え237本
いかがでしょうか？ 前>>283
>>286
△AHFはHA=HFの二等辺三角形。
△AGHは∠A =30°,∠G=90°,∠H=60°の直角三角形だから、
GH:HA=1:2
∴GH:HF=1:2 >>287
合ってると思う
解答の2行目は10÷5=2としても良いと思う（10はその前の段階での余り3本と交換してもらった7本を飲んだ空き瓶7本の和） >>289
ありがとうございました！
>>288
よく理解できません。
どうしてAHFが2等辺三角形なのか
AGHが30-90-60の直角三角形だとどうしてAHFと関係してくるのか
さっぱりです。ごめんなさい。
どなたか、>>286お願いいたします。 >>290
掲示板では説明しにくいので、「正六角形の分割」で画像検索して、出てきた画像をいろいろ見てたらピンと来るのがあるんじゃないかな。 >>286
ADとEFは平行だから錯角やらなんやらで△AGHと△EFHは相似
AGはAOの半分なのでEFの半分でもある
だから相似の比は1:2
（証明としてはいろいろ端折ってるので補完して） 前>>288
>>291
正三角形の半分と相似な直角三角形だから、
2つの鋭角は30°と60°だろうが。 >>286です。
皆様ありがとうございました。やっとわかりました。
「正六角形の分割」の検索もしましたが、今回の問題だけじゃなく、いろいろと複雑な問題が多いと知りました。
ありがとうございました。 たびたびお世話になっております。
教えてください。
ttp://imepic.jp/20201206/128840
図は、直角三角形2つ（ABCとDBF）を重ねたものです。
点Gは、Dから線BFと平行に伸ばした線と線AEの交点です。
この図で、△DGEと△FCEが合同だそうですが、どうしてそう言えるのか
やさしい言葉で証明してください。
よろしくお願いいたします。 >>297です。
書き忘れましたが、角ECBは45度です。
よろしくお願いいたします。 >>297
その二つが相似なのはわかる？
DGとBFが平行だから∠ECBが45度なら∠AGDも45度、∠ABCが直角なら∠ADGも直角
鋭角が45度の直角三角形は直角二等辺三角形 >>299
わかりました！！！
角ECB45度で角Bが90度だから、△ABCは直角二等辺三角形
△ABCと△ADGは相似
つまりAD＝DG＝3センチ
△DGEとECFは相似、、ではなくDG＝CF＝3センチなので、合同
こういうわけですね！
ありがとうございました！！ 前>>294
>>297
AG=3√2
GC=8√2-3√2=5√2
DF=√(5^2+11^2)=√146
解く前に辺の長さや角度をわかるだけ書きこむ。
△DGEと△FCEにおいて、
DG=FC=3(cm)
DE=FE=√146/2(cm)
GE=CE=5√2/2(cm)
3辺が等しいから△DGE≡△FCE >>287
改題
問題）１００万本のジュースがあります。このジュースの空き瓶5本と同じジュース一本が交換できます。この交換をくり返しながら
ジュースが全部なくなるまで飲みました。全部で何本飲めたでしょうか？
答) 1249999本 >>303
応用問題
問題）
1本100円のジュースがあります。
このジュースの空き瓶5本と同じジュース一本が交換できます。
手元に100万円あります。
(1)何本買う時が一本あたりの単価がもっとも安くなりますか？
(2)そのとき何本飲めるでしょうか？ >>304
10本買うと1000円で12本飲める 1000/12=83.3333
9本買うと 900円で11本飲める 900/11=81.8181
9本買いの方が単価が安い。 たびたび恐縮ですが、教えてください。
ttp://imepic.jp/20201207/489210
左図は、1辺3センチの正方形の右端を追ったところです。
右図で、以下のような線を引きました
・下の辺の、左から1センチの点をEとする
・元々左上の頂点だった点Dから、Eに向かって直線を引く
・右の辺の折り曲げ点FからもEに向かって直線を引く
・DFの真ん中をGとし、GからもEに向かって直線を引く
この状態で、△DGEと△GFEと△FECは同じ面積（合同ではない）だと
言えるそうなのですが、どうしてそう言えるのか、やさしい言葉で証明してください。
よろしくお願いいたします。 >>306
上辺の折り曲げ点をH、正方形の右上の点をIとすると、
△HFI、△HFD、△FECは直角を挟む辺が1と2なので全て合同
直角以外の2角を足すと90°だから∠HFE=90°
∠GFEは90°から∠HFDを引いたものだから、∠DHFと等しく、従って∠CFEとも等しい
△GFEと△CFEは2辺と間の角が等しいから合同
従ってEGは2cm
∠EGFが直角だから∠EGDも直角であり、従って△GDEも△GFEと合同
合同だから全部面積は等しい
合同ではないというのは誤りだよ 前>>301
>>306
△DGEと△FGEと△FCEにおいて、
DG=FG=FC=1
GE(共通)=CE=2
ピタゴラスの定理より、
DE=FE(共通)=√(1^2+2^2)=√5
3辺が等しいから△DGE≡△FGE≡△FCE
2辺とそのあいだの角でやってもいいよ。
あいだの角の位置を間違える可能性もあるわけだから、
3辺でできるなら3辺でやったほうが安全だと思う。 >>307
とてもよくわかりました！
ありがとうございました！
>>308
いつもありがとうございます。
お察しのとおり、私の質問は小学生の問題であり、
私はそれすらろくに解けない人間です。
ピタゴラスとかそういう難しい名前は雲の上なんです。 前>>308別解。ピタゴラスの定理は三平方の定理ともいう。
>>306ピタゴラスの定理を使わずに解く場合。
△DGEと△FGEと△FCEにおいて、
DG=FG=FC=1
GE(共通)=CE=2
∠DGE=∠FGE=∠CFE=90°
2辺とそのあいだの角が等しいから
△DGE≡△FGE≡△FCE よろしくお願いいたします。
ttp://imepic.jp/20201219/030590
図は台形ABCDの中に、BCに平行な線PQを引いたものです。
台形APQDとPBCQの面積の比は3:8です。
ここで「PQの長さは何センチでしょう？」という問への解き方について相談させてください。
（解き方1）図が切れてしまっていますが、BAの延長とCDの延長の交点をOとします。
△OADと△OBCは相似で相似比は4:7、よって面積比は16:49、
そこから△OAD:APQD:PBCQ＝16:9:24となり、△APQ:△ABC＝25:49、よって、PQ:BC＝5:7だからPQ=10センチ
↑
こういう解き方をして正解でした。
しかし、教えていただきたいのですが、何ヶ月か前に類題で↓のような解き方をした覚えがあるんです。
（解き方2）点AからDCに平行な線を引きBCとの交点をRとする。ARCDは平行四辺形。
線RCと線SQは8センチ。△ABRと△APSは相似。線BRは6センチ。この相似を手がかりにPSの長さを得られるはず。
↑
こんな感じで、平行四辺形と三角形にわけて解く方法があった気がするんです。
点Oを用いず、この平行四辺形+三角形方式で解く方法を教えていただきたいです。
お願いいたします。 >>311
方程式を使ってよいなら、PS=xとおくと
△APSと△ABRが相似なので、高さの比はx:6
面積３の台形と面積８の台形にの高さの比はx:6-x
(8+x+8)*x:(x+8+14)*(6-x)=3:8
を解いて正の値を求めればx=2
PS=2なのでPQ=10 >>311
方程式を使ってよいなら、PS=xとおくと
△APSと△ABRが相似なので、高さの比はx:6
面積３の台形と面積８の台形の高さの比はx:6-x
台形の面積比は(AD+PQ)*x : (PQ+14)*(6-x)
PQ=x+8なので
(8+x+8)*x:(x+8+14)*(6-x)=3:8
という式が成立。 (14^2-PQ^2 ) : (PQ^2-8^2 ) = 3 : 8の方が計算が楽だな >>312-314
ありがとうございます。
ご回答をずっと考えているのですが、理解できないところがあります。
>>314なのですが、
どうして（下底の2乗－上底の2乗）の比がそのまま台形の面積比になるんでしょうか？ >>316
わかりました！！
台形の上底や下底ではなく、解き方1の考え方ってことてですね？
つまり相似の2つの三角形の底辺を2乗してたってことですね。
いま思い出しましたが、以前に見た記憶がある、解き方2を使った問題は、
APとPBの長さの比が書いてある問題でした。 前>>310
>>311
△APSと合同な三角形が、
上下てれこでどんなけ並ぶか。
上段に9=3^2
中段に11
下段に13
11+13=24=3×8
∴PQ=2×5=10(cm) > 上段に9=3^2
この時点ですでにPQ=10であることを前提としている
イナは人力計算機としてはなかなかだが、図形は全くダメだな
見た目で答えを出すｗ >>314
(14^2-PQ^2 ) : (PQ^2-8^2 ) = 8 :3 だな、混乱していたらスマン 前>>318
>>320
上下てれこやないか。
ほかの言い方か、ないことないけど。
上と下を互い違いにすることや。 >>323
その気持ち悪い表現は関西の方言と推測。
関西人には、お願いしましす というのを 頼んどきます という人が多い。 >>321
「正解をもとに作図した」とかいたら、
図より PQ=10
とかレスがきて、その芸風に笑ってしまった。 >>327
イナ芸人の解答を解読する方がもとの問題を解くより難しい。 前>>323
>>327
左上ぐらいがいいんじゃないかな。
それか右上か。 >>328
>325の作図より、>327の作図のプログラムの方に難渋した。
>321が指摘するようにPQ=10すなわちPS=2を使って作図のプログラムを完成。 スレ民には常識ですが、バカイナを当てにしてはいけません
高校スレで相手にされず
小中学スレに安住を求めにきてそこでもバカを発揮しているのです >>332
いや、イナ氏の発展問題（しばしば、誤答の探求になるけど）を解けてこそもとの問題が解けたと言える。
>321の解説がなければ俺は上下てれこ図は描けなかった。 中学２年の問題です
リボンを斜めに折り曲げた時の角度を求める問題で
９０°ー共通角＝角Ａだから
９０°ー共通角＝角Ｂなので
角Ａ＝角Ｂっていう流れがしっくりこない
まる覚えしかないのかな お願いします。東京で働くピアノ調律師の数をフェルミ推定を用いて答えよ 前スレにあった話題ですがお願いします。
もはや実際に問題を解いている子どもには関係なく、親が納得したいということなんですが、お願いします。
「4/5より大きく5/6より小さい分数で、分母がいちばん小さい分数を答えなさい」という問題の解法で、
どういうわけだか、「分子は分子同士、分母は分母同士で足せば答えになる」という裏技的解法を教える塾があるそうなんです。
つまりこの問題の答えは「4+5/5+6＝9/11」という導き方です。どうして確かにこの裏技をしっていれば秒で解けるので受験には
有利ですが、どうしてこうなるのか、塾でも言わないらしいです。誰からも嫉妬される頭のいい子でも、なぜそうなのかというのは知らないそうです。
これ、どうしてそうなのか論理的に理由を教えてください。どうし分子同士と分母同士を足せばその間の分数になるんでしょうか？ a,b,c,dは自然数でb/a<d/cとする
ノートに左辺をa個、右辺をc個、あわせてa+c個の数を書く
合計はb+dで平均は(b+d)/(a+c)、最小<平均<最大だから、b/a<(b+d)/(a+c)<d/c
(a-1)/aとa/(a+1)の間の数は、(a-1+x)/(a+x)でx=0のときとx=1のときだから
xに0と1の間の有理数q/pを置いてその中間の値を作るとすると、
0<q<pとし、(ap-p+q)/(ap+q)だから、分母を最小にするにはp=2、q=1しかない
つまり((a-1)+a)/(a+(a+1))になる >>337
その解き方だと、
分母がいちばん小さい分数
という条件は満たさないから既約分数にする作業が必要。
実例
3/5 < 5/7
3/5 < 8/12 < 5/7
正解は2/3なので8/12は不正解 1/5より大きく1/2より小さい分数で分母が一番小さい分数って2/7ではなく1/3じゃないか？
その解き方が使えるのは特定の条件を満たしたときだけなのでは？ >>337
それは２つの分数の差の分子が1でないと成立しない
5/6-4/5=1/30
格子点で4/5x<y<5/6x, x<11を満たすものがない事を示す問題
(4,5)→(1,0), (5,6)→(0,1), x=11→px+qy=r
とするaffine変換を考えてx>0,y>0,px+qy<rを満たす格子点を考えることになるがpx+qy=rが(1,1)を通るからそのような格子点はない ファレイ数列という名だろ。
中学生レベルの解説ってどこかにあるかな？ >>337
a,b,c,d>0として
a/b < c/d
両辺にbdをかけて
ad < bc
両辺にabを足して
ab+ad < ab+bc
変形して
a(b+d) < b(a+c)
両辺を(b+d)で割って
a < b(a+c)/(b+d)
両辺をbで割って
a/b < (a+c)/(b+d)
(a+c)/(b+d)< c/dの方は割愛。 おまけ
a/b < c/d
両辺にbdをかけて
ad < bc
両辺にcdを足して
ad+cd < bc+cd
変形して
d(a+c) < c(b+d)
両辺を(b+d)で割って
d(a+c)/(b+d) < c
両辺をdで割って
(a+c)/(b+d) < c/d a, b, c, dが正の数のとき
a/b < c/d ならば a/b < (a+c)/(b+d) < c/d
が成り立つか？
百万回実験してみる。
a,b は正であればいいので1以下の正の数をランダムに選んで
'%=>%' = function(P,Q) !(P&!Q)
fn <- function(n=runif(4)){
a=n[1]; b=n[2]; c=n[3]; d=n[4]
return(((a/b < c/d) %=>% ((a/b<(a+c)/(b+d)) & ((a+c)/(b+d)<c/d))))
}
sum(replicate(1e6,fn()))
結果
> sum(replicate(1e6,fn()))
[1] 1000000
１００万回中１００万回成り立っている。
(理屈は>342-343参照。) >>343
それでは分母がb+d未満になる分数で条件を満たすものが存在しない事が示せてない ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
