大学学部レベル質問スレ 13単位目
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
加法群Z/nZタイプの準同型は1の行き先で決まる
Z/4Z={0,1,2,3}からZ/6Z= {0,1,2,3,4,5}への準同型fを考える
まずf(0)=0は決まってる
次にf(1)=aとすると準同型性によって
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=a+a=2a
f(3)=f(1+1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=a+a+a=3a
f(4)=f(1+1+1+1)=f(1)+f(1)+f(1)+f(1)=a+a+a+a=4a
と他は自動的に行き先が決まってしまう
ところがZ/4Zにおいては4=0だから最後の式はf(0)=0に一致しなくてはいけない
よって0=4a ∈Z/6Z
これからa=0もしくはa=3であることがわかる
(Z/6Zにおいて4×3=12=0であることに注意)
a=0のときは
f(0)=0、f(1)=0、f(2)=0、f(3)=0
a=3のときは
f(0)=0、f(1)=3、f(2)=6=0、f(3)=9=3
となる
この2パターンしかないことがわかった 適当に数値いれてみたところ
f(0)=f(0)+f(0)からf(0)=0は必須で
f(1)を0〜5としてf(4)=f(0)を求めると成立は0と3のときだけでは >>950
Z/4Zの元xを1+4Z、Z/6Zの元yを1+6Zとし、Kを<2x>、Iを<3y>どする。
fを求める準同型の一つとする。
f(x) = ayとなる整数をとる。
f(x) = f(3x - 2x) = f(3x) = 3ay
によりa=2にとれる時はf=0。
aが奇数の時a=2b+1となる整数をとる時
f(x)=3(2b+1)y=3y。
以上によりf(x)=0,3yのいずれか。
また準同型g(t)=3t+6Zで定められる準同型g:Z→Z/6Zはg(4)=0によりZ→Z/4Zを通過するが、それをf0:Z/4Z→X/6Zとするとf0(x)=3y。
以上により0でない準同型Z/4Z→Z/6Zはf0のみ。
よりf(x)∈Iだからim Hom(Z/nZ,Z/mZ)=Z/dZ,d=gcd(n,m)
Hom(Z/4Z,Z/6Z)=Z/2Z
2個 >>949
>>956
ありがとうございました。
「整列可能定理によって、ある整列集合(W,≦)と全単射f:W->R-{0}が存在する。Wの部分集合W_0を、超限帰納法により、次のように構成しよう。
f(a)が{f(x)|x∈W<a>∩W_0}に属する有限個の実数のQ上一次結合と成り得ないとき、そのときに限りa∈W_0とする。B={f(a)|a∈W_0}とおけば、
集合Bがハメル基である。」
とハメル基の存在を証明していますが、理解できません。まず最初の全単射が存在するという部分ですが、W=R-{0}として、fを恒等写像とすればよい
というのは間違っていませんか？
後半の超限帰納法のところは超限帰納法を使った議論を見たのが初めてのため全く分かりません。解説をお願いします。 >>957
全単射が存在するのは整列可能定理を仮定してるんだから当たり前じゃないの？ >>959
ある整列集合として、R-{0}が取れるというのであっていますか？ こういう風な疑問で質問し合う状況が起きてしまうって事を著者は書いてて想像出来んかったんかな
想像出来てたら予め行間飛ばさずに丁寧に書けてたはずなんだがな >>960
ああ、そうか、その本の定義ならそうなるね。
あってます。 >>960
その本の証明が周りくどくてわかりにくく感じてしまうのは、もう少し進んだ集合論の教科書なら
-整列可能定理-
∀S ∃Z ∃f:S→Z s.t. Z:順序数、f:全単射
の形にする事が多いから。
多分その本の著者は読者がそのレベルの話を意識してる。
もしその本の定義に従うなら定理を
∀S ∃≦ s.t. ≦はSに整列順序集合の構造を与える
の形にしてそのまま使う方がいいのだけどそうはしてないね。 日本語へんになった。
著者はそのレベルの話しを意識してるね。
初学者向きの本で“簡単な定義”にしておくけど、普段自分たちが専門家同士で話するときはそんな“簡単な定義”なんてつかわないからなぁ。 そもそも <a> の意味がわからんし
超限帰納法の使い方も分かりにくい W<a> = {x ∈ W | x < a}です。 >>957
間違いではないけど本の記述の意図は汲み取れてなさそうに見える
>>963の二つの定義の同値性は分かる？ 整列可能定理は、文字通り整列順序が存在するという主張であって、
整列集合に対して順序同型になる順序数が一意に存在するという定理とは別物。 >>969
じゃなんでオレに聞くの？
オレの書いた事間違ってると思うなら間違い指摘して書けばいいじゃん？
なんでオレに聞くの？ >>972
ああ、すまん、質問者に聞いてるのね。
どうぞ教えてあげてください。 用語が多く混乱しているのですが、
階数1の局所自由層=可逆層=直線束=階数1のベクトル束
ですか？ >>957 の記述って定義されてない物を超限帰納法で定義に使う事
についての説明はあったの？ 小ネタ
実は｢超限帰納法｣は一般化できるんだよな
超限帰納法は順序数の持つ整列性を使ってるんだけど、この整列性を一般化させて｢有基底的述語｣って概念があって、
この有基底的述語に関する超限帰納法が成立する。
ググってみ >>975
一切ないです。内田伏一著 集合と位相です。 >>976
ググったけど安心して読めるものはないな PAQ =(Er,O,O,O)となるP,Qって一意に定まりますか？
定まらないとするとPQの組はどのように求めればいいのでしょう
特にAが正則でないときに興味があります >>980
noether scheme上くらいなら正しいような。 >>979
Pのs倍とQの1/s倍も条件を満たす
P,Qは
[A E]
[E 0]
を掃き出して
[PAQ P]
[Q 0]
にすれば求まる >>982
これが条件を満たすというのは分かるのですが、
答えの組が、この基本変形で求めたP,Qとそのスカラー倍以外にない
というのはどのように示せるのでしょうか
P,Qが正則なのかということも併せて教えてほしいです >>981
豊富な直線束というwikipediaの記事を見ると、「Xをスキームまたは複素多様体とし、FをX上の層とする。(中略)Fが直線束であったとする。つまり局所自由なランク1であったとすると〜」と、任意のスキームX上で同じかのように書いてありますが、暗黙のうちにネーター性が使われてるんですかね
難しいのであまり理解できていませんが >>983
P,Qが正則なものだと、PAQの1,2行目を入れ換えて1,2列目を入れ換えてもPAQのままだからBP,QBの形の行列も条件を満たす
正則でないものだと、PをPAQPに置き換えても条件を満たす >>984
いや、noetherスキームじゃないのなんかやった事ないからわからん。
いらんのかも。 >>983
掃き出しを構成する行列は全部正則
1と1, 0と0を交換しても変わらん >>985
書いてあることがよくわからなかったのですが、
もとの条件からはP,Qが正則であるとは言えないということですか
>>987
掃き出しを構成する行列も、その積も正則なのは分かっていて
基本変形でP,Qを求めればP,Qが正則というのは分かるのですが
基本変形で求められないP,Qの組はないのか
元の条件からP,Qが正則だと言えるのか、というのが分かりません >>988
書き方悪かった
簡単のためにAがn次正方行列(n>1)の場合のみ考えるが一般の行列でもだいたい同じ
掃き出しによって条件を満たす正則行列P,Qが得られたとする
Bを左からかけると1,2行目を入れ換えるような基本行列とすると、BP,QBも条件を満たす正則行列である
またPAQP,Qは条件を満たすがr<nならばPAQPが正則でない Aをm×n行列、Bをn×m行列とし、C=A*Bとする。m≠nならばCは正則行列ではないことを示せ。 A=[[1,0,0],[0,1,0]]
B=[[1,0],[0,1],[0,0]] >>948
はぁ
弱めてどうする
整列可能なんだから当然全順序化されてるわ >>957
>超限帰納法
そこでやってるのも超限帰納法と呼ぶんだ
超限帰納的な定義って呼ぶんだと思ってた
（超限）帰納法は証明手段のことだとばかり >>992
ありがとうで良いのか？ m>nじゃなくてか？ >>996
言わんか？aを組み込むか否かをaより下の条件で決めてるじゃん 離散位相、密着位相という名前はなぜそうつけられたんですか？直感的な説明をお願いします。 近さを測る分離する＝開集合→全部バラララ＝離散位相→全部一緒＝密着位相 このスレッドは１０００を超えました。
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