大学学部レベル質問スレ 13単位目
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>>132
本当にありがとう。
＞私の理解の上では"モデルにおいて閉論理式になる"という考え方は無いと思う。
うん、無いのだと思う。
こちらが大きな勘違いをしてる。
勘違いをしているから理解できない。
助言を乞いたいところだけどとりあえず本にあたってみる。
感謝！ 統語と意味との区別をつけるところからですかね
普通の日本語とかの言語では、文法的には正しいけど何言ってるかよくわからんみたいなことがありますよね
言語には、記号の並べ方が規則通りかという面と、その意味は何かという二つの側面があるわけです
形式論理も同じです
論理式を作る際にどのようなものが論理式になれて、また論理式をいじる操作としてはどのようなものがあるのか、という統語的な側面
できた(閉)論理式の真偽はどうなっているのか、という意味的な側面
ここで大事なのは、統語的な側面は誰にとっても不変的ですが、論理式の意味、すなわち論理式の真偽というのは人によって変わるということです
各論理式に真偽を当てはめる規則がモデルですね
車は左側通行である
日本では真の命題ですが、アメリカでは違いますね
モデルが違えば、真偽は変わるというわけですね 本を読むとかいっておきながら舞い戻ってきた。
どうやら数学の本は自分にとっては睡眠導入薬であるようだ。
というわけで皆さんのレスを参考にして、これだ！というのに辿り着いた。
どなたかこの理解で正しいのか教授してほしい。
記号列 演繹システムの言語を並べたもの。
論理式 演繹システムの言語を「ある文法に則って並べた」もの。
閉論理式 自由変数を含まない論理式。
ただの記号列 論理式に該当しない記号列。
自由変数 ∃∀で束縛されていない変数。
演繹システムの言語を組み合わせて（推論規則は無視）作られる記号列にはその様式によって論理式や閉論理式に分類できる。
統語論的完全性とは「この閉論理式に該当する様式を持った記号列ａについて、演繹システムはａまたは¬ａのどちらかを証明できる」。
でよいのかな？
そしてモデルとやらはあくまでも論理式に真偽を当てはめる規則であり、この統語論的完全性とは無関係である、と。
…また夜に。 記号列 演繹システムの記号並べたもの。
論理式 演繹システムの記号を「ある文法に則って並べた」もの。
記号列は論理式か「論理式でない記号列」のどちらか
論理式は閉論理式か「自由変数を含む論理式」のどちらか
統語論的完全性が成り立てば意味論的完全性(任意のモデルで成り立つ)も成り立つ >>139
＞統語論的完全性が成り立てば意味論的完全性(任意のモデルで成り立つ)も成り立つ
意味論的完全性誤解してません？
証明可能なものが任意のモデルで成り立つというのは、健全性定理で、これが成り立つのはある意味当たり前なんですけど
非自明なのはその逆で、正しいものが全て証明可能かどうかです >>139
ということは>>137のノリで良いということだろうか。
致命的に間違ってたら誰か違うとツッコミいれてくれれば嬉しい。
＞統語と意味との区別をつけるところからですかね
＞論理式を作る際にどのようなものが論理式になれて、また論理式をいじる操作としてはどのようなものがあるのか、という統語的な側面
＞できた(閉)論理式の真偽はどうなっているのか、という意味的な側面
自分はこの区別を誤ってたんだと思う。
＞統語論的完全性が成り立てば意味論的完全性(任意のモデルで成り立つ)も成り立つ
この辺りのことはこれから読んでいこうかと。
話に参加したいけれどもモデルってのがなんかモヤモヤしてるという。 上で書いたように、簡単に言えばモデルは論理式に真偽を付与する規則なわけですね
日本とアメリカで車が左側通行して良いかが変わると
統語と意味が異なるということさえ頭に入れておけば、モデルの定義くらいなら難しくないはずですから勉強してみると良いでしょう
それが統語と意味の理解にも繋がるはずです レス本当にありがとう。
>>142
＞上で書いたように、簡単に言えばモデルは論理式に真偽を付与する規則なわけですね
こう言い切ってくれると、なんだかもうわかった気がしてくる。
>>135を念頭において読み進めてみる。 「証明」は
シンタックスの世界では特定の文字列変換で移りあうこと
セマンティクスの世界では真か偽かを公理から導けること
でいいの？ >>144
多分違う。
セマンティックスとは意味論、実際に言葉に"集合"や"写像"を割り当てて主張が成立しているかどうか実験してみる事。
推論規則で公理から演繹できるかどうかではなく、実例で確かめてみる事が意味論。 だからセマンティックスの意味では証明などありません。
実例で成り立ってるからどうかダイレクトにみる。 >>141
「論理システム」のモデルとは特殊例のこと
大抵は集合論を基にして特殊な集合だけを集めてモデルを作る
「論理システム」の公理系を満たすような集合だけでモデルを作るから
元の「論理システム」で証明できることは全部成り立つが
特殊な集合の選択により証明できない事も成り立つようにできる
「ある命題」が成り立つモデルも否定するモデルも作れたなら
その命題は元の公理系と独立なことが証明される トポロジーっていったら一般的には代数的トポロジーのことをいうの？ >>147
レスありがとう。
趣味の独学なので躓くとそこで止まってしまって。
本音ではモデルについて納得できるまで会話したいところだけれども。
知識が不足しているのでとりあえず地道にまずは自分で。
＞「論理システム」のモデルとは特殊例のこと
＞大抵は集合論を基にして特殊な集合だけを集めてモデルを作る
持ってる本が初心者向けのためかモデルについても説明があるんだけど集合とか使って説明してないという。
とりあえず集合論を絡ませたとこまで自分でまずはやってみることにする。 集合論を基にしてたのは昔の話だからなー
その後、圏論を基にするのが流行ったはずだけど、今はどうなんだろ？ 数理論理学関連でちょっと気になった質問があるんだが、
命題結合子はシェーファーの縦棒 ｜ だけで足りるという事実はよく知られてますが、
命題の公理(公理図式)は最小で何個必要なんですかね？
ヒルベルトの公理系では公理図式は3個なのだが、1or2個で済むような公理系ってあり得るんですかね？
当然だが、1階述語論理と同等な公理系という条件の下での最小の公理の数の話です。 >>152
あ、このような質問の仕方だと、ゲンツェン流のシーケントを使った体系だと、(推論規則が沢山あるおかげで)公理図式がA⇒Aのたった1つですね。
じゃあ、質問を変えてみます。
公理図式と推論規則を合わせた総数が最小となる1階述語論理の体系ってどんなのがありますか？ 全然詳しくないですけどなんか最小論理とかいうのがあるみたいですよ
あなたのいう意味で最小かは知りませんけど >>154
古典論理と同等になるための最小のという質問だろう
最小論理は排中律も爆発律もない
最小論理が最小ということもなく
もっと減らしたものを考えるのに妨げはないよ >>153
一階述語なん？
∀とか∃とかの推論則も入れたら一個や二個じゃ済まない希ガス 最小論理から更に減らした原始論理(primitive logic)てのもあったな
書物では見た事ないが名古屋大学で名誉教授の小野勝次さんの講義で研究中と言ってた
否定がなくても結構いろいろできるとか 命題論理だけに限って考えたら
論理記号は1つで足りるから
それに関する導入と除去の公理を2つ用意すれば
あとは二重否定の除去とMPだけで何とかならんか？ >>158
思考停止のゴミは要らないから引っ込んどけ そういえば必要な公理の数というのは公理の独立性の話ですね、結局は。
ヒルベルトの公理系の3つの公理図式は確か独立だったから減らしようがない >>163
それはどうかな
爆発律＋排中律＝二重否定除去
だけど
爆発律と排中律は独立
爆発律と排中律を持っていても
独立だから外せないけど
両方外して二重否定除去を入れれば問題ない 推論規則でMPあるいはそれに同等なものは流石に外せないと思う
他の推論規則からMP出せるような気がしないけど
論理包含の代わりになる論理演算で同等なモノはできるのかな？ >>164
>爆発律＋排中律＝二重否定除去
ML上での話です
LK=ML＋爆発律＋排中律＝ML＋二重否定除去 線形の部分空間がよくわからないなあ
次元が一つ減って原点を通る斜めに傾いたものだと考えていいんでしょか？ 原点通るのはそうだと思いますけど、そこは別にって感じで次元が減るってことですよね、まあ
今までa1e1+a2e2+....+anenと書いてたものを制限してa1e1+...+amemだけを考えると(m＜n) f : R^n → R^m が C^1 級であることの定義ですが、
f が微分可能で、
f' : R^n → L(R^n, R^m)
が連続である
という定義を採用している本があります。
その本では、
f : R^n → R^m が C^r 級であることの定義は、
f の成分函数が C^r 級であることと定義しています。
一貫性がないですよね。だったら最初から
f : R^n → R^m が C^1 級であることの定義を、
f の成分函数が C^1 級であることとすればいいのにと思います。 >>171
に関連した話ですが、
f : R^n → R^m の高階の導関数は定義しないんですね。 >>168
なんでR^3とかの見える範囲で考えてみらんの？
あるいはR[x]_nとかで 集合Xの元の有限列全体の集合ってどういう風に構成すればいいですか？
∪_{n∈N}X^n (Nは自然数全体のなす集合)
でいいんですか？
でも、この集合はつまり、χ:= { X^n | n∈N } という集合が構成できるからこそ、和集合公理によって
∪χ = ∪_{n∈N}X^n
が構成できるという理屈だと思います。
では、χが構成できる根拠は何ですか？ 置換公理じゃないの？
Nからある一定の方法で構成する集合を要素とする集合の存在 >>174
まず命題φ(f)を
φ(f):=
fは関数で有限集合
∧∀i,j∈ω∀x<i,x>∈f ,j≦i⇒∃y<j,y>∈f
(iが定義域にはいってたらjも入っている)
で定めておく。
すると分出公理から
χ={f∈ω×X | φ(f)}
が存在するけどこれが定義域が有限順序数であるXへの関数全体のなす集合、すなわちXの有限列の集合を与える。 >>176
{ X^n | n∈N }の形を経由せず一挙に有限列全体の集合を作ってますね。ちょっと気に掛かる。
さっき検討しましたが
P(x,y) := x∈N∧y=X^x
と置けば、置換公理により、∃χ∀y(y∈χ⇔∃n∈N P(n,y)) つまり χ={ X^n | n∈N } ですね >>176
dom(z) := { x | ∃y (x,y)∈z } とすれば
{ f⊆ω×X | fは関数∧dom(f)∈ω } がもっと直接的な解ですね >>178
それだとfの全体はωの部分集合からXへの関数全体の集合になるので
数列の全体よりでかい。 部分空間が分からないというやつのことが俺には分からないよ n次元複素ベクトル空間Vについて
W={dim(Im(f)∩Ker(f)):fはV→Vとなる線形写像}
とWを定めるとき、Wの最大元を求めよ 問題文のみで途中送信してしまいましたが
上記の問題の方針など教えて頂ければ幸いです >>184
>Wの最大元
dim(Im(f)∩Ker(f))の最大値のコトね
dimImf+dimKerf=dimV
dim(Im(f)∩Ker(f))≦min(dimImf, dimKerf)≦[dimV/2]
V=U+W dimU=[dimV/2]≦dimW
j:U→U'⊂W
f:V=U+W→W+0⊂V
Imf=U' Kerf=W Imf∩Kerf=U' dim(Imf∩Kerf)=dimU'=dimU=[dimV/2] 素朴な疑問
ガンマ関数Γってxが自然数の時、Γ(x+1)=x!なのだが、
なんでΓ(x)=x!となるように定義の調節しなかったんですか？ >>189
ならR^nでm=[n/2]として
f(a_1,,,,a_n)=(0,,,0,a_m,,,,a_1)
で >>190
>>190
>ガンマ関数Γってxが自然数の時、Γ(x+1)=x!なのだが、
>なんでΓ(x)=x!となるように定義の調節しなかったんですか？
定義の積分の式の綺麗さを優先したのでは？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%B3%E3%83%9E%E9%96%A2%E6%95%B0
ガンマ関数
ガンマ関数（ガンマかんすう、英: Gamma function）とは、階乗の概念を複素数全体に拡張した特殊関数である。互いに同値となるいくつかの定義が存在するが、1729年、数学者レオンハルト・オイラーが無限乗積の形で、最初に導入した[1]。
定義
実部が正となる複素数 z について、次の積分で定義される関数
Γ(z)=∫ 0〜∞ t^(z-1)e^(-t) dt (Re z>0)
をガンマ関数と呼ぶ[2]。
元は階乗の一般化としてオイラーが得たもので、Γ という記号は、1814年にルジャンドルが導入したものである[1]。それ以前は Π(x) などと表記していた（ただし Π(x) = Γ(x + 1)）。 >>192
積分の定義式の綺麗さを優先するなら、なお一層
Γ(z)=∫ 0〜∞ t^(z-1)e^(-t) dt
ではなく
Γ(z)=∫ 0〜∞ t^z e^(-t) dt
と定義すべきですよね？
後者の場合、zが自然数ならΓ(z)=z!となる。 >>194
というか一々国語力使ってこっちが補って理解するの面倒なんでやっぱ要らない
説明出来る国語力ある人に求む >>193
Γ(z)=∫ 0〜∞ t^(z-1)e^(-t) dt は Γ(z)=∫ 0〜∞ t^z e^(-t) t^(-1)dt
と読むんだよ
e^(-t)は加法指標， t^zは乗法指標， t^(-1)dtが乗法不変測度
すなわち，実数体上のガウス和な >>199
ガウス和はガンマ関数の有限体における類似物である。 (wiki)
ちょっと期待してた回答じゃないっぽいです 不偏分散s^2は
s^2=1/n * Σ[k=1,...,n](x_k - x^\bar)^2
ではなく
s^2=1/(n-1) * Σ[k=1,...,n](x_k - x^\bar)^2
であることは合理的理由がありますが、それと同じような感じで理由を期待してたんですがね。 一般の 1/(n-k) になる場合を見た方がわかりやすいとか？ sin2ydx+sin2xdy=0の積分因子ってどうやって見つければいいですかね >>203
dx/sin2x+dy/sin2y=0
∫dx/sin2x+dy/sin2y=C
あとは頑張って積分するだけ dx/sin2x=dx/(2sin x cos x)=cos x dx/(2sin x cos^2x)
=d(sin x)/(2sin x(1-sin^2x)) この板来るの初めてだからスレ違い・既出だったらすまん
この証明ってあってる？
数学記号の集合を狽ﾆする。このとき任意の数式は*に属する。
また、狽ﾍ有限集合だから*の濃度は可算濃度である。
ここで無理数の集合Iの濃度は連続体濃度であるから、*からIへの全射は存在しない。
よってどんな数式でも表せない無理数が存在する。
「有限集合のクリーネ閉方の濃度は可算濃度」っていうのがちょっと自信ないんだけど 数学記号の集合をSとする。このとき任意の数式はS*に属する。
また、Sは有限集合だからS*の濃度は可算濃度である。
ここで無理数の集合Iの濃度は連続体濃度であるから、S*からIへの全射は存在しない。
よってどんな数式でも表せない無理数が存在する。
何度もすまん >>209
問題とは関係ないがUnicodeの(U+2211)は機種依存文字で文字化けする
ギリシャ文字のΣを使えば文字化けしない >>211
>>212
S*はSのクリーネ閉方。調べたら数学の用語じゃなかったわ。すまん。
>>214
サンクス >>210
屁理屈じみた結論言ってるけど、
数式から全ての実数への対応付けを一挙に与える事ができないというだけであって、
数学における議論は、常に有限個の数式の使用で収まる(=人間は有限個の記号列しか追えない)訳だから、そのような対応付けは必要としない。
>>213の言うように、今その時点で言及したい無理数が現れる度にそれを(今までの議論(証明)に現れてこない)xで表せば、議論に何の障害も起きない。
当然、より大きい濃度を持つような任意の集合I’に対しても、全く問題が無い。 >>210は単純に
Lが実数論、Mをその標準モデル、TをLの項の全体とするとき、M(L)は常にRの真部分集合であるか？
でないの？
それなら正しいのではないかと。 >>217
ありがとう、確かに無意味っちゃ無意味な証明だったなw
ただなんか、「数直線上に確かにあるはずなのに言葉で表せない(？)数がある」っていうのがなんか気持ち悪くてな >>218
聞いたことない言葉が多くてニュアンスしかわかんなかったけど、主張自体は正しかったみたいでよかったわ
レスありがとう >>219
全然気持ち悪くない
つーかZの部分集合の全体とか
Zの数列の全体とか存在感がないかな？
全部を個別に表せないのは当然だと思うけど 可算無限だけを特別扱いするとかある場面では有限しか認めないとか
そういうのの方が違和感あるなあ うーん、大学じゃあんまり数学やってないからな
こういうことへの直感って言うか、勘？みたいなのが普段から数学やってる人とは違うのかも 定数記号を非可算個用意するって議論はよくありますけどね >>219
>、「数直線上に確かにあるはずなのに言葉で表せない(？)数がある」
間違ってる。
どんな実数も議論に出てきた時に適切な数式を使って表すことが出来る。
記号列の集合から全ての実数を"一挙に"対応づけさせることができないだけ >>225
あーなるほど…
そうか、全部に式を当てる必要はないのか… でも議論に出てきうるのって、文字列使って議論してたら加算無限個じゃないの？ x∈R
とするとする場合xは1個と考えるのかってコトよ >>227
人間が作る･読む証明は常に有限の記号列
でも使える記号列が有限個しか無かった場合、その有限個より1個多く必要とする議論が出来なくなるから無限個の記号は使えなきゃいけない
よって可算無限個の記号列が必要十分な記号の個数 義務教育というテスターで検知された優秀児のうち、支配階層に都合の悪い子供達は、冤罪を着せてでも潰される。コロされる。日本の悲劇。
Y軸がX軸の微分値になっているグラフって、数学界では一般に何と呼ばれるのですか？両逆対数グラフみたいに。 >>228
それは>>225の言う「数式を使って表せる」とは違うんじゃないの？
>>229
その必要十分な記号で可能な議論に出てきうる実数は加算無限個じゃないのかってのが疑問なんだけど
議論に出てきうる実数が加算無限個なら、
>「数直線上に確かにあるはずなのに言葉で表せない(？)数がある」
っていうのが正しいように思うんだけど >>231
その認識であってるよ。
ただし数理論理学てきに少し曖昧なところはある。
まず公理的な実数論の項として出てくる"実数"とその理論のモデルとして出てくる"実数"は切り分けて考えないとダメだし、一つの理論に対してはモデルは一つとは限らないんだから、話しの最初として実数論Lと標準モデルMを持ってこないと。
その上でLの項のモデル上の元とモデルの中に出てくる実数の全体を比較することになる。
オレ専門家じゃないから詳しくは知らないけど標準モデルでないモデルならそのモデルの全部の実数がLの項で書けるモデルも存在するんじゃなかろか？
誰かの定理で必ず可算無限集合上のモデルが存在するってのがあって、その時の証明で項全体の集合からなんかモデルを作るんだったと思うけど、その構成で作ったモデルなら全ての現在がLの項になるモデルも作れる希ガス。
標準モデルでは濃度がちがうからもちろん一致しない。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
