というなら、それは誤り 0612現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/06(金) 07:56:31.62ID:eTcHIROk 参考 https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity Axiom of infinity (抜粋) It was first published by Ernst Zermelo as part of his set theory in 1908.[1]
References [1] Zermelo: Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre, 1907, in: Mathematische Annalen 65 (1908), 261-281; Axiom des Unendlichen p. 266f.
https://glossar.hs-augsburg.de/Zermelo,_E._(1908):_Untersuchungen_%C3%BCber_die_Grundlagen_der_Mengenlehre Datenschutz Uber GlossarWiki Lizenzbestimmungen (抜粋) Zermelo, E. (1908): Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre Zermelo (1908b): Ernst Zermelo; Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre; in: Mathematische Annalen; Band: 65; Nummer: 2; Seite(n): 261?281; https://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN235181684_0065 （このサイトからPDFが落とせる） Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre. I. Von E. ZERMELO in Gottingen. P261
PDFをOCRして、表題だけGoogle翻訳すると Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre. I. Von E. ZERMELO in Gottingen. ↓ Studies on the basics of set theory. I. From E. ZERMELO in Gottingen.
（>>612より） https://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN235181684_0065 （このサイトからPDFが落とせる） Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre. I. Von E. ZERMELO in Gottingen. P261 (抜粋英訳) P263 Axiom I. If every element of a set M is simultaneously an element of N and vice versa, that is, if M = E N and N = E M at the same time, then M = N is always M or shorter: every set is determined by its elements.
P266 But in order to secure the existence of "infinite" sets, we still need the following axiom, which derives from its essential content by Mr. R. Dedekind. Axiom VII. The domain contains at least a set Z which contains the null set as an element and is such that each of its elements a is another element of the form {a}, or which with each of its elements a is also the corresponding set {a } as an element. (Axiom of the infinite.) 14 VII. *) If Z is an arbitrary set of the properties required in VII, then for each of its subsets Z1 it is definite whether it possesses the same property. For if a is any element of Z1 ', it is definite whether {a} ∈ Z1, and all the elements a of Z1 thus constituted form the elements of a subset Z1' for which it is definite whether Z1 '= Z1 or Not. Thus, all subsets Z1 of the considered property form the elements of a subset T = E UZ, and the average corresponding to them (# 9) Z0 = DT is an amount of the same nature. つづく 0618現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/07(土) 08:43:56.92ID:H2e5WMAT>>617 つづき
For once 0 is a common element of all elements Z1 of T, and on the other hand, if a is a common element of all these Z1, then also {a} is common to all and therefore also an element of Z0. If Z 'is any other quantity of the nature required in the axiom, then in the same way as Z0 it corresponds to Z for a smallest subset Z0' of the property under consideration. Now, however, the average [Z0, Z0 '], which is a common subset of Z and Z', must have the same properties as Z and Z and, as a subset of Z, the constituent Z0 and, as a subset of Z ', the constituent Z0 ' contain. After I it follows that [Z0, Z0 '] = Z0 = Z0', and that Z0 is therefore the common component of all possible quantities, such as Z, although these do not need to form the elements of a set. The set Z0 contains the elements 0, {0}, {{0}}, and so on, and may be called a "series of numbers" because their elements can represent the location of the numerals. It is the simplest example of a "countless infinite" set (Nos. 36).
(ドイツ語原文) P263 Axiom I. Ist jedes Element einer Menge M gleichzeitig Element von N und umgekehrt, ist also gleichzeitig M =E N und N =E M, so ist immer M = N. Oder kurzer: jede Menge ist durch ihre Elemente bestimmt.
P266 Um aber die Existenz "unendlicher" Mengen zu sichern, bedurfen wir noch des folgenden, seinem wesentlichen Inhalte von Herrn R. Dedekind**) herruhrenden Axiomes. Axiom VII. Der Bereich enthalt mindestens eine Menge Z, welche die Nullmenge als Element enthalt und so beschaffen ist, das jedem ihrer Elemente a ein weiteres Element der Form {a} entspricht, oder welche mit jedem ihrer Elemente a auch die entsprechende Menge {a} als Element enthalt. (Axiom des Unendlichen.) 14 VII. *) Ist Z eine beliebige Menge von der in VII geforderten Beschaffenheit, so ist fur jede ihrer Untermengen Z1 definit, ob sie die gleiche Eigenschaft besitzt. Denn ist a irgend ein Element von Z1' so ist definit, ob auch {a} ε Z1 ist, und alle so beschaffenen Elemente a von Z1 bilden die Elemente einer Untermenge Z1', fur welche definit ist, ob Z1' = Z1 ist oder nicht. Somit bilden alle Untermengen Z1 von der betrachteten Eigenschaft die Elemente einer Untermenge T =E UZ, und der ihnen entsprechende Durchschnitt (Nr. 9) Z0 = DT ist eine Menge von der gleichen Beschaffenheit.
Denn einmal ist 0 gemeinsames Element aller Elemente Z1 von T, und andererseits, wenn a gemeinsames Element aller dieser Z1 ist, so ist auch {a} allen gemeinsam und somit gleichfalls Element von Z0. Ist nun Z' irgend eine andere Menge von der im Axiom gefordertenN Beschaffenheit, so entspricht ihr in gen au derselben Weise wie Z0 dem Z eine kleinste Untermenge Z0' von der betrachteten Eigenschaft. Nun mus aber auch der Durchschnitt [Z0, Z0'] , welcher eine gemeinsame Untermenge von Z und Z' ist, die gleiche Beschaffenheit wie Z und Z haben und als Untermenge von Z den Bestandteil Z0, sowie als Untermenge von Z' den Bestandteil Z0' enthalten. Nach I folgt also, das [Z0, Z0'] = Z0 = Z0' sein mus, und das somit Z0 der gemeinsame Bestandteil aller moglichen wie Z beschaff (men Mengen ist, obwohl diese nicht die Elemente einer Menge zu bilden brauchen. Die Menge Z0 enthalt die Elemente 0, {0}, { {0} } usw. und moge als "Zahlenreihe" bezeichnet werden, weil ihre Elemente die Stelle der Zahlzeichen vertreten konnen. Sie bildet das einfachste Beispiel einer "abzahl bar unendlichen" Menge (N r. 36). (引用終り) 以上 0621現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/07(土) 08:49:51.11ID:H2e5WMAT>>618 補足
(引用開始) The set Z0 contains the elements 0, {0}, {{0}}, and so on, and may be called a "series of numbers" because their elements can represent the location of the numerals. It is the simplest example of a "countless infinite" set (Nos. 36). 注：36節(Nos. 36 P280)で、ZERMELOは無限（"unendliche"）について論じている。 (引用終り)
https://en.wikipedia.org/wiki/L%C3%B6wenheim%E2%80%93Skolem_theorem Lowenheim?Skolem theorem (抜粋) The proof of the upward part of the theorem also shows that a theory with arbitrarily large finite models must have an infinite model; sometimes this is considered to be part of the theorem.
Many consequences of the Lowenheim?Skolem theorem seemed counterintuitive to logicians in the early 20th century, as the distinction between first-order and non-first-order properties was not yet understood. One such consequence is the existence of uncountable models of true arithmetic, which satisfy every first-order induction axiom but have non-inductive subsets.
Another consequence that was considered particularly troubling is the existence of a countable model of set theory, which nevertheless must satisfy the sentence saying the real numbers are uncountable. This counterintuitive situation came to be known as Skolem's paradox; it shows that the notion of countability is not absolute. 0628現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/07(土) 14:54:57.80ID:H2e5WMAT>>626-627
(引用開始) レーヴェンハイム−スコーレムの定理 定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。 The proof of the upward part of the theorem also shows that a theory with arbitrarily large finite models must have an infinite model; sometimes this is considered to be part of the theorem. (引用終り)
「集合Z0には要素0、{0}、{{0}}などが含まれ、 それらの要素が数字の位置を表すことができるため、 「一連の数字」と呼ばれる場合があります。 これは、「無数の無限」集合の最も単純な例です」 ↓ （>>621より英文） The set Z0 contains the elements 0, {0}, {{0}}, and so on, and may be called a "series of numbers" because their elements can represent the location of the numerals. It is the simplest example of a "countless infinite" set (Nos. 36). (引用終り)
これの意味は 0、{0}、{{0}}、・・・、{・・{0}・・}n重、・・・ ↓↑ 0、 1、 2、・・・、 n、 ・・・ これで無限集合ができるってこと つまり、シングルトンの無限列だよｗ（＾＾ 0630１３２人目の素数さん2019/12/07(土) 15:04:02.97ID:r8l5YtX/>>628 違います。 後者関数だけで超限帰納法ができると言ってるのは整列順序集合がわかってないからです。 もうすでにあなたがコピペした文章の中に整列順序集合は何回も出てきていますがあなたは一つも理解できていません。 理解するつもりなどないから当たり前ですが。 0631１３２人目の素数さん2019/12/07(土) 15:10:20.63ID:uZFmzNJe>>629 The set Z0 contains the elements 0, {0}, {{0}}, and so on
