フェルマー最終定理について

**ID:1lEWVa2s** · 2019/10/02(水) 16:05:45.79

一つの整数を二つの平方数の差で表すのスレ主です。
まあ、書きましょう。
名前は梅田悠祐で
(31104)’3+(1292966)’3=(1292972)’3
です。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/18(土) 20:57:30.64

>>949
>>947の前半に例を挙げて解説してあるでしょ

大丈夫？

日高 · 2020/07/18(土) 21:05:55.58

>951
> 「x=sw,y=tw,z=uw が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^p の解である」
> の仮定をしても、
> 「x=s,y=t,z=u が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^pの解である」
> は導けない
のですよね？

はい。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/18(土) 21:07:35.41

>>953
分かりました。ありがとうございます。

日高 · 2020/07/18(土) 21:08:32.87

>952
大丈夫？

どういう意味でしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/18(土) 21:20:28.05

>>955
あなたは正常か？という意味です

>>947の解説部分を飛ばして質問しているから
同じ解説をする意味があるのか知りたいのです

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/18(土) 21:49:58.78

>>941

> rが無理数の時、整数比となる解があるならば、有理数解があります。

あなたは、5/4,12/4,13/4と同じ比で、(3)を満たす、「5/4,12/4,13/4以外の」数の組　をあげることができなかったので、これはウソです。

s/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})と同じ比で(3)を満たす、s/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})以外の数の組は、ありません。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/18(土) 22:10:51.63

x^2+y^2=z^2=(x+r)^2でr=√2(無理数)に固定した場合に3:4:5の整数比
になる解(x,y,z)を探す

このような問題設定でまず考えたとして

日高が大丈夫なら>>947の前半部分からでも次のことが容易に理解できるでしょう

x^2+y^2=z^2=(x+r)^2でr=√2のときにyが有理数であると限定すると
3:4:5の比になる解(x,y={有理数},z)は存在しない

日高 · 2020/07/19(日) 06:53:25.78

>956
>>947の解説部分を飛ばして質問しているから
同じ解説をする意味があるのか知りたいのです

どういう意味かわからないので、解説を、お願いします。

日高 · 2020/07/19(日) 07:24:03.15

>952
> rが無理数の時、整数比となる解があるならば、有理数解があります。

例
x^2+y^2=(x+√2)^2
x=3√2/2、y=4√2/2、z=5√2/2
x^2+y^2=z^2
x=3、y=4、z=5

(3)には、同じ比の解は１組しかありません。

日高 · 2020/07/19(日) 07:28:07.44

>958
x^2+y^2=z^2=(x+r)^2でr=√2のときにyが有理数であると限定すると
3:4:5の比になる解(x,y={有理数},z)は存在しない

そうですね。

日高 · 2020/07/19(日) 08:08:28.26

【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
【証明】x^2+y^2=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)の両辺を積の形にすると、r{(y/r)^2-1}=2x…(2)となる。
(2)はr=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(3)はrが有理数なので、yが有理数のとき、x,y,zは整数比となる。
(2)はr{(y/r)^2-1}=a2x(1/a)…(4)となる。
(4)はr=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(5)となる。
(5)の解は(3)の解のa倍となるので、rが有理数のときの解は、整数比となる。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。

日高 · 2020/07/19(日) 08:09:36.30

【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)はrが無理数なので、yが有理数のとき、x,y,zは整数比とならない。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)の解は(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、rが有理数のときの解は整数比とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/19(日) 08:46:12.17

>>961
> そうですね。

だったら>>963に書いてあるように
> rが無理数なので、yが有理数のとき、x,y,zは整数比とならない。
から
> rが有理数のときの解は整数比とならない
を導けば

x^2+y^2=(x+2)^2の解はx^2+y^2=(x+√2)^2の解の
√2倍となるのでr=2(有理数)のときの解は整数比とならない
となるのは分かりますよね？

あなたが用いている論理では上の間違った結果を導くから
間違っているのです

r=√2(無理数)のときにyが有理数であると限定すると
3:4:5の比になる解(x,y={有理数},z)は存在しない

rを√2(無理数)倍したときに得られる正しい結論は

√2(無理数)倍してr=2(有理数)のときにyが無理数であると限定すると
3:4:5の比になる解(x,y={無理数},z)は存在しない

だから>>963から導かれる結論
> ∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
は正しくない

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/19(日) 08:55:44.77

>>964の補足

>>963から導かれる結論
> ∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
は正しくない

正しくないのは>>963の論理がという意味なので

>>963では
> ∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
を証明できない

と書いた方が良いですね

日高 · 2020/07/19(日) 09:59:02.04

>964
x^2+y^2=(x+2)^2の解はx^2+y^2=(x+√2)^2の解の
√2倍となるのでr=2(有理数)のときの解は整数比とならない
となるのは分かりますよね？

わかりません。説明していただけないでしょうか。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/19(日) 10:51:30.38

>>966

>>963の
> rが無理数なので、yが有理数のとき、x,y,zは整数比とならない
から
> rが有理数のときの解は整数比とならない
を具体的な整数比で書き換えれば

rが無理数なのでyが有理数のときx,y,zは3:4:5の比にならない (***)
から
rが有理数のときの解は3:4:5の比とならない

r=√2のときにyが有理数であると限定すると
3:4:5の比になる解(x,y={有理数},z)は存在しない

において√2は無理数だから(***)を満たす

よってr=2(有理数)のときの解は3:4:5の比にならない
という結論が導かれる

日高 · 2020/07/19(日) 11:44:35.28

>967
よってr=2(有理数)のときの解は3:4:5の比にならない
という結論が導かれる

これは、p=2のとき、の話でしょうか？
それとも、pが奇素数のとき、の話でしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/19(日) 12:28:52.98

>>968
今挙げている具体例ではp=2のときなんだけれど
それは具体例(3:4:5の比)を簡単に示せるからであって

rが無理数のときにyが有理数であると限定することがポイント
だからpの値に依存しないですよ

>>963の方針だと
pに2を含めてもx^p+y^p=z^pは3:4:5の比となる解をもたない
も証明できちゃうことになるでしょ

rが無理数のときにyが有理数であると限定することがポイント
だからpの値に依存しないですよ
に少し付け加えると

p=2のときでもpが奇素数のときのどちらでも
r={無理数}を有理数にするにはrがどんな無理数でも無理数倍する
しかないでしょ
するとこのとき有理数に限定されているy={有理数}も
無理数倍するんだから必ず無理数になる

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/19(日) 12:43:18.42

納得した？

日高 · 2020/07/19(日) 12:50:13.94

>969
>rが無理数のときにyが有理数であると限定することがポイント
だからpの値に依存しないですよ

例をあげてもらえないでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/19(日) 13:01:05.69

>>971

>>969の
> p=2のときでもpが奇素数のときのどちらでも
以降に書いてあるでしょ

日高 · 2020/07/19(日) 13:50:06.98

>972
> p=2のときでもpが奇素数のときのどちらでも
以降に書いてあるでしょ

x^2+y^2=(x+√2)^2の場合
yを有理数とすると、解は、整数比となりませんが？

要領が、わかりません。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/19(日) 14:31:34.29

>>973
> x^2+y^2=(x+√2)^2の場合
> yを有理数とすると、解は、整数比となりませんが？

それで√2倍すると
r'=√2r=2となってy'=√2yは必ず無理数になるでしょ
yは有理数限定なのだから
そうするとr'=2 (x',y'={無理数},z')は整数比には決してならない

p=2のときでもpが奇素数のときのどちらでも
整数比となる可能性があるのは
r'={有理数} (x',y'={有理数},z')の場合か
r'={無理数} (x',y'={無理数},z')であるけれども
>>963では一切使用されていないので
整数比の解を持たないことを示すことはできない

あんたの間違った主張は>>963で整数比の解を持たないことが示される
ということだけど同じ間違った主張
> rが有理数のときの解は整数比とならない
を用いればp=2でも整数比の解を持たないことが示される
もちろんこれは誤った答えである

日高 · 2020/07/19(日) 15:09:44.02

>974
r'={有理数} (x',y'={有理数},z')の場合か
r'={無理数} (x',y'={無理数},z')であるけれども

この意味がわかりません。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/19(日) 15:39:30.39

>>975
r'={有理数} (x',y'={有理数},z')の場合
解(x',y',z')においてr'=z'-x'が有理数
y'が有理数

r'={無理数} (x',y'={無理数},z')の場合
解(x',y',z')においてr'=z'-x'が無理数
y'が無理数

整数比の解をs,t,uが0以外の整数であるとして
(x,y,z)=(s,t,u)とするとr=u-sは整数でy=tも整数

有理数倍するとr'={有理数} (x',y'={有理数},z')にしかならないし
無理数倍するとr'={無理数} (x',y'={無理数},z')にしかならない

よって整数比の解が存在するかどうかは
この2つの場合のみを調べれば良い

r'={有理数} (x',y'={無理数},z')の場合や
r'={無理数} (x',y'={有理数},z')の場合には
(x,y,z)=(s,t,u)を有理数倍したものあるいは無理数倍したもの
どちらも含まれることはない

日高 · 2020/07/19(日) 16:01:56.43

>976
r'={有理数} (x',y'={有理数},z')の場合
解(x',y',z')においてr'=z'-x'が有理数
y'が有理数

どういう意味でしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/19(日) 18:40:14.67

>>957が無視されたようなので、書き直します。

> rが無理数の時、整数比となる解があるならば、有理数解があります。

嘘です。でたらめです。

(3)の解である5/4,12/4,13/4と同じ比で(3)の解になる数の組は、ほかにありません。

(3)の解であるs/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})と同じ比で(3)の解になる数の組は、ほかにありません

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/19(日) 20:03:48.08

>>977
> どういう意味でしょうか？

>>975
> r'={有理数} (x',y'={有理数},z')の場合
> この意味がわかりません。

に対する答えで見たままだよ

> r'={有理数} (x',y'={有理数},z')の場合
> 解(x',y',z')においてr'=z'-x'が有理数
> y'が有理数

「r'={有理数}」の意味するところは「解(x',y',z')においてr'=z'-x'が有理数」
「(x',y'={有理数},z')」の意味するところは「y'が有理数」

日高 · 2020/07/19(日) 20:10:22.85

>978
>(3)の解である5/4,12/4,13/4と同じ比で(3)の解になる数の組は、ほかにありません。

r=2のとき、これは、正しいです。

>(3)の解であるs/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})と同じ比で(3)の解になる数の組は、ほかにありません

pが奇素数のときは、s/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})は、
(3)の解となりません。
p=2のときは、s/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})は、
(3)の解となります。

日高 · 2020/07/19(日) 20:18:54.89

>979
「r'={有理数}」の意味するところは「解(x',y',z')においてr'=z'-x'が有理数」
「(x',y'={有理数},z')」の意味するところは「y'が有理数」

これは、p=2のとき、でしょうか？
pが奇素数のときでしょうか？

これの元となる式は、どのような式でしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/19(日) 20:25:11.84

>>980

pが奇素数のときは、s/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})は、
(3)の解となりません。

なんでわかるんです？
だれかが、s/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})は(3)の解とならないと証明したんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/19(日) 20:35:29.46

>>981
> これは、p=2のとき、でしょうか？
> pが奇素数のときでしょうか？

あのねえ
今の話の流れは>>974からの続きなんだよ

> p=2のときでもpが奇素数のときのどちらでも
> 整数比となる可能性があるのは
> r'={有理数} (x',y'={有理数},z')の場合か
> r'={無理数} (x',y'={無理数},z')であるけれども

> これの元となる式は、どのような式でしょうか？

式は関係ないですよ
>>976の
> 整数比の解をs,t,uが0以外の整数であるとして
以降を読みなさい

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/19(日) 20:36:35.09

>>980
逆の証明ならできますよ。

s^p+t^p=u^pが成り立つ有理数s,t,uが存在するとき、
(u-s)^(p-1)=apが成り立つようにaを定義することが必ずできて、
s/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})を(3)に代入すると
s^p+t^p=u^pとなるので、(3)が成り立つ。
つまり、s/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})は(3)の解です。

よって、s/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})と同じ比で、(3)を満たす、数の組は、ほかにありません。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/19(日) 20:47:21.24

s^p+t^p=u^pが成り立つとしたら、
同じ比の(3)の解はs/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})以外ありません。

s^p+t^p=u^pが成り立つとしたら、同じ比の(3)のｙは絶対に有理数になりません。

s^p+t^p=u^pが成り立つとしたら、同じ比の(3)の解は絶対に無理数で整数比です。

>>963に無理数で整数比の(3)の解があるかないか書かない限り、>>963は絶対に正しくなりません。

日高 · 2020/07/19(日) 21:11:25.01

>982
pが奇素数のときは、s/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})は、
(3)の解となりません。

なんでわかるんです？
だれかが、s/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})は(3)の解とならないと証明したんですか？

s/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})は整数比だからです。よって、(3)の解には、なりません。

日高 · 2020/07/19(日) 21:13:33.75

>983
> r'={有理数} (x',y'={有理数},z')の場合か
> r'={無理数} (x',y'={無理数},z')であるけれども

これは、どのように、読めばよいのでしょうか？

日高 · 2020/07/19(日) 21:16:02.98

>984
よって、s/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})と同じ比で、(3)を満たす、数の組は、ほかにありません。

そうですね。

日高 · 2020/07/19(日) 21:23:42.54

>985
>>963に無理数で整数比の(3)の解があるかないか書かない限り、>>963は絶対に正しくなりません。

963に無理数で整数比の解があるならば、有理数で整数比の解があります。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/19(日) 21:28:57.04

>>989

r^(p-1)=pのとき、rは無理数です。
無理数と整数比になる数は、無理数です。
無理数と整数比になる有理数はないので、yが有理数の時なんて考えるだけ無駄です。
無理数で整数比の(3)の解の数の組は、>>963で探していません。

r^(p-1)=pでないとき、r^(p-1)=apが成り立つようにaを定義することが必ずできます。
(5)の解は(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(5)の解の数の組が有理数の時、(3)の解の数の組は無理数で整数比です。
無理数で整数比の(3)の解の数の組は、>>963で探していません。

>>963のなかで無理数で整数比の(3)の解の数の組があるかないかを書かない限り、>>963は絶対に間違いです。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/19(日) 21:34:57.26

>>989

>　963に無理数で整数比の解があるならば、有理数で整数比の解があります。

解、とは、どの式を満たす数のことですか？
r^(p-1)=pですか？
r^(p-1)=apですか
(3)ですか？
(5)ですか？

何度も書いていますが、(3)の解と同じ比の(3)の解は他にはありません。1つだけです。
(5)の解と同じ比の(5)の解は他にはありません。1つだけです。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/19(日) 21:35:31.87

>>987

>>979を読みなさい

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/19(日) 21:36:52.25

>>991追記
>>989には、「解」という言葉が2回出てきているので、どちらも答えてくださいね。

1つ目の「解」とは、どの式を満たす数のことですか？
r^(p-1)=pですか？
r^(p-1)=apですか
(3)ですか？
(5)ですか？

2つ目の「解」とは、どの式を満たす数のことですか？
r^(p-1)=pですか？
r^(p-1)=apですか
(3)ですか？
(5)ですか？

日高 · 2020/07/20(月) 06:48:37.09

>990
無理数で整数比の(3)の解の数の組は、>>963で探していません。

無理数で整数比の解を、共通の無理数で割ると、有理数となります。

日高 · 2020/07/20(月) 06:53:27.97

>991
>　963に無理数で整数比の解があるならば、有理数で整数比の解があります。

解、とは、どの式を満たす数のことですか？

x^p+y^p=z^pを満たす数のことです。

日高 · 2020/07/20(月) 07:02:38.61

>993
1つ目の「解」とは、どの式を満たす数のことですか？
r^(p-1)=pですか？
r^(p-1)=apですか
(3)ですか？
(5)ですか？

(3)の解で、無理数で、整数比となる自明な解はあります。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/20(月) 07:13:48.17

質問には絶対まともに答えないんだな。
見てるだけでも気分が悪いくなる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/20(月) 13:31:18.16

>>997
わかっていてわざとやってるのかな？

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/20(月) 14:20:18.08

>>963 日高
これだけ疑問点を出されているんだからきちんと補ったものを載せるべきじゃないか？

日高 · 2020/07/20(月) 14:36:41.23

>990
>>963のなかで無理数で整数比の(3)の解の数の組があるかないかを書かない限り、>>963は絶対に間違いです。

x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)
x=sw、y=twとおく。(s,tは有理数、wは無理数）
(3)に代入すると、
(sw)^p+(tw)^p=(sw+p^{1/(p-1)})^pとなる。
両辺をw^pでわると、
s^p+t^p=(s+(p^{1/(p-1)})/w)^pとなる。
(p^{1/(p-1)})/wが有理数のときは、(5)となる。
(5)の解は(3)の解の、定数倍となるので、(5)のx,yは共に有理数とならない。
よって、s,tは共に有理数とならない。

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