分からない問題はここに書いてね456

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/07(土) 23:29:08.42

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね455
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566136007/

(使用済です: 478)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/07(土) 23:31:40.27

ここは分からない問題を書くスレです。
お願いごとをするスレでも分からない問題に答えてもらえるスレでもありません。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/07(土) 23:39:24.59

イチオツ

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/08(日) 16:36:41.65

xx+yy=1…①
xx-8x+yy+12=0…②
の共通接線Lを求めよという問題で
各円の中心を出してから、
L:2ax+2by+c=0…③　
とおいて点と直線の距離の公式を使えば解けるのはわかるのですが、式変形でやってみようと思い

①−③で整理して、
(x-a)^2+(y-b)^2=aa+bb+c+1=D、これが唯一つ(x,y)の解を持てばいいから、D=0かつ、点(a,b)がLの上にあればよい、

同様に②-③で、
(x-a-4)^2+(y-b)^2=c-12+(a+4)^2+b^2=E、これが唯一つ(x,y)の解を持てばいいから、E=0かつ、点(a+4,b)がLの上にあればよい、

となって、y=bでLが2通りのx座標を取るので、Lは傾き無限のy軸に並行な直線、となってしまったのですが、図を書けばこれは誤りです

とんでもないアホすぎミスをしてると思うのですが私の実力ではどこでミスしたのか分からないのでここの達人方お願いいたします

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/08(日) 17:00:52.24

>>4
D=0とかE=0とかしてるところがおかしいです

x^2+y^2=1…①
2x+2y=2√2…②

この連立方程式考えてみましょう

グラフ書けばこれらは接していますね

①-②すると
(x-1)^2+(y-1)^2=3-2√2
あなたは勝手に右辺0にしてますよね

①と②両方満たすのがひとつしかないわけですよね
①-②と②両方満たすのは一つしかないと言えても、①-②満たすのが一つとは限りませんね

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/08(日) 18:26:59.32

　xx + yy = 1 　　　　…　①
　(x-4)^2 + yy = 4　　…　②

①の接線で傾きがmのもの
　y = mx ±√(1+mm),
②の接線で傾きがmのもの
　y = m(x-4) ±2√(1+mm),
y切片が一致することから
　±√(1+mm) = -4m ±2√(1+mm),
これより
　m/√(1+mm) = -3/4, -1/4, 1/4, 3/4,
　m = -3/√7, -1/√15, 1/√15, 3/√7,

　y = ±(x+4)/√15,
　y = ±(3x-4)/√7,

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/08(日) 19:26:42.67

全校生徒ｘ人のうち２４％がバスを使って学校に通っています
バスを使わず通学している生徒は何人ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/08(日) 19:38:21.04

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/08(日) 22:02:29.73

平面状に非可算無限個のT字型の集合(大きさや縦横比や向きはそれぞれバラバラでもよい)を配置した時、重ならないように置く事は不可能である事を示せ
というのはどうやって解くのでしょうか

T字型の集合とはR^2の部分集合で
あるa,b>0を用いて
｛(x,0)| -a<x<a｝∪ ｛(0,y)| -b<y<0｝
という集合の回転と移動で得られるものであると定義されます

【大吉】 · 2019/09/09(月) 04:11:40.15

>>7
1-0.24=0.76
∴バスを使わずに通学する人は0.76x人

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/09(月) 10:31:50.81

雑談スレもくだらねぇスレも長く立っていないんだな

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/09(月) 10:54:04.06

くだらんスレ　　　2014/10/04(土) 21:22:05.10
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1412425325/

雑談スレ【54】　　2018/07/10(火)　03:17:19.95
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1531160239/

雑談スレ【５４】　2018/07/11(水) 03:18:01.83
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1531246681/

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/09(月) 11:38:26.77

　　告　示
このスレが正統の「分かスレ４５６」です。
[前スレ.960]　にて　2019/09/07(土) 23:29:22.15　認知

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/09(月) 15:20:33.07

質問です

A=Σ(k=0→n) (nCk)^2
B=Σ(k=0→n) (nCk)^3

それぞれどうやれば求まりますか？
Aだけでもお願いします

なるべく高校程度の範囲でお願いします

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/09(月) 17:19:58.45

数検の問題集を読んでいます。

1 / cos(x) の x = 0 でのテイラー展開を x^8 の項まで計算せよ

という問題の解答ですが、 1 / cos(x) は偶関数だから、

1 / cos(x) = a_0 + a_1*x^2 + a_2*x^4 + a_3*x^6 + a_4*x^8 + …

とおき、

cos(x) = 1 - (1/2)*x^2 + (1/24)*x^4 - (1/720)*x^6 + (1/40320)*x^8 + …

との積が 1 になるように漸化式を作ると、

1/ cos(x) = 1 + (1/2)*x^2 + 5/24*x^4 + (61/720)*x^6 + (277/8064)*x^8 + …

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/09(月) 17:20:16.84

Σ a_n
Σ b_n

がともに絶対収束ならば、

コーシー積 Σ c_n

も絶対収束して

Σ c_n = Σ a_n * Σ b_n

cos(x) = 1 - (1/2)*x^2 + (1/24)*x^4 - (1/720)*x^6 + (1/40320)*x^8 + …

は (-∞, +∞) で絶対収束する。

1 / cos(x) = a_0 + a_1*x^2 + a_2*x^4 + a_3*x^6 + a_4*x^8 + …

はその収束半径を R とすると、 (-R, R) で絶対収束する。

↑の命題により、

x ∈ (-R, R) のとき、

a_0 + ((-1/2)*a_0 + a_1) * x^2 + …

は絶対収束して、

a_0 + ((-1/2)*a_0 + a_1) * x^2 + … = cos(x) * (1/cos(x)) = 1

が成り立つ。

x = 0 を代入すると、

a_0 = 1

両辺を2回微分すると、

2! * ((-1/2)*a_0 + a_1) + … = 0

x = 0 を代入すると、

a_1 = 1/2

…

というように、 a_0, a_1, … を決定できる。

なので、そもそも、

1 / cos(x)

がテイラー展開できるのか？

ということに答えなければならないはずです。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/09(月) 22:16:35.73

>>14
>A=Σ(k=0→n) (nCk)^2
A=ΣnCk・nC(n-k)=2nCn

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/09(月) 23:15:25.31

>>14
>B=Σ(k=0→n) (nCk)^3
No good answer

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/10(火) 00:41:12.71

>>17
すいません、よくわかりません…

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/10(火) 00:44:19.43

>>14
B(n) = Σ(k=0→n) (nCk)^3
　　 = Σ(k=0→n) {(n+r)C(k+r)・(k+r)Cr}^3 / {(n+r)Cr}^3,　(r≧0)

B(n) = Franel number

〔漸化式〕　(J.Franel)
　(n+1)(n+1)･B(n+1) = {7n(n+1)+2}B(n) + 8nn･B(n-1),

〔生成函数〕　(P.D.Hanna)
Σ(n=0→∞) B(n)(x^n)/(n!)^3 = { Σ(k=0→∞) (x^k)/(k!)^3 }^2.

〔公式〕　(V.Strehl)
　B(n) = Σ(n/2≦k≦n) (nCk)^2･(2k)Cn,

http://oeis.org/A000172

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/10(火) 01:00:43.92

コインを表n枚と裏n枚で合わせる組み合わせは何通りか考える

そのまま考えると
2nCn通りだろう

これを別の数え方で数えあげる

始めのn枚を並べた時に表が何枚あるかで場合分けして数えると

最初のn枚を並べたときk枚あるパターンはnCk通りで

この時残りのn枚は表のコインがn-k枚しか残っていないから
並べ方の組み合わせはnC(n-k)通り

合わせると最初のn枚に表がk枚あるような2n枚の並べ方の組み合わせは
nC(n-k) ・nC(n-k)

これを全部合わせると全パターンの並べ方の総数になるわけで、つまり2nCn
に等しいわけだ

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/10(火) 01:05:35.05

>>21
1行目は
合わせて2n枚並べる組み合わせ、だった

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/10(火) 01:34:38.92

>>20 (補足)

B(n) = Σ(k=0→[n/2]) (n+k)!/{(k!)^3･(n-2k)!} ･ 2^(n-2k)

〔生成函数〕
y(x) = Σ(n=0→∞) B(n)･x^n = 1 + 2x + 10xx + 56x^3 + 346x^4 + 2252x^5 +
は2階線形微分方程式
　x(x+1)(8x-1)y " + (24xx+14x-1)y ' + 2(4x+1)y = 0,
の解。
　G.Coserea(2018)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/10(火) 07:32:24.82

>>19
(1+t)^(m+n)=Σ(m+n)Ck・t^k
(1+t)^m(1+t)^n=ΣmCi・t^iΣnCj・t^j=ΣΣmCi・nCj・t^(i+j)=Σ(Σ[i+j=k]mCi・nCj)t^k
Σ[i+j=k]mCi・nCj=(m+n)Ck
…
Σ[h+i+j=k]lCh・mCi・nCj=(l+m+n)Ck
…
Σ[Σi_j=k]Πm_jCi_j=(Σm_j)Ck

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/10(火) 10:37:34.83

>>20
>>21
>>22
>>24
ありがとうございます！
Bは難しそうなので諦めます
Aについてじっくり読んで考えてみます

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/10(火) 12:50:01.18

Michael Spivak著『Calculus』を読んでいます。

lim_{n → ∞} n * cos(n^2 * x) does not always exist(for example, it does not exist if x = 0).

などと書いてあります。

lim_{n → ∞} n * cos(n^2 * x) が収束するような x って存在するんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/10(火) 13:17:05.96

しない

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/10(火) 13:25:00.34

>>27

証明をお願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/10(火) 13:41:12.62

Weylの稠密定理+α

**おいら** · 2019/09/10(火) 15:13:37.90

1/cos(x) = Σ[k=0,∞) (-1)^k･{E_(2k)/(2k)!}･x^(2k),

と展開される。　E_(2k) はオイラー数。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/10(火) 20:30:52.41

Michael Spivak著『Calculus』を読んでいます。
以下が成り立つことの証明を読みました。
非常に重要かつ興味深い結果だと思いました。

ところが、微分積分学の教科書でこのことが書いてある本はほとんどないように思います。

藤原松三郎以外の本で、このことが書いてある本を教えてください。

f(x) = Σ_{n = 0}^{∞} a_n * x^n
a_0 ≠ 0
Σ_{n = 0}^{∞} a_n * (x_0)^n ∈ R for some x_0 ∈ R - {0}

とする。

このとき、正の収束半径を持ったべき級数 g(x) = Σ_{n = 0}^{∞} b_n * x^n

で、

f(x) * g(x) = 1 for all x ∈ (-R, R) for some R > 0

が成り立つようなものが存在することを証明せよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/10(火) 21:40:56.73

>>31
Robert Strichartzの
The Way of Analysis

とかにもある

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/10(火) 22:37:54.04

>>32

ありがとうございます。

Closure Properties of Analytic Functionsというセクションにある定理ですね。

ぱっと見、分かりやすくていい本っぽいですね。

ところで、それほどメジャーな本ではないと思いますが、この本を読んだきっかけは何ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/10(火) 22:45:35.32

>>32

探せばいい本はたくさんあるようですね。

>>32

の本もパソコンにあったのですが、全く見たことがありませんでした。

**おいら** · 2019/09/10(火) 23:40:20.82

>>30 から

1 = cos(x) {1/cos(x)}
　= {Σ(j=0→∞) (-1)^j･{1/(2j)!} x^(2j)} {Σ(k=0→∞) |E_(2k)|/(2k)! x^(2k)},
x^(2n) の係数から
　Σ(k=0→n)　(2n)C(2k)･E_(2k) = 0,

〔漸化式〕
E_(2n) = - Σ(k=0→n-1)　(2n)C(2k)･E_(2k)
と E_0 =1 により整数。

〔漸近形〕
　E_(2k) / (2k)! ～ (-1)^k･(2/π)^(2k+1)　　(k→∞)

**おいら** · 2019/09/10(火) 23:57:47.86

>>35
1 = cos(x) {1/cos(x)}
　= {Σ(j=0→∞) (-1)^j･{1/(2j)!} x^(2j)} {Σ(k=0→∞) |E_(2k)|/(2k)! x^(2k)}
　= Σ(n=0→∞) {Σ(k=0→n)　(2n)C(2k)・E_(2k)}/(2n)!　x^(2n)
から
　Σ(k=0→n)　(2n)C(2k)･E_(2k)　= δ_(n,0)

**おいら** · 2019/09/11(水) 10:14:47.61

>>36
E_0 = 1,　　　　　　　　(1.27323954)
E_2 = -1,　　　　　　　(-1.0320491)
E_4 = 5,　　　　　　　　(5.019285)
E_6 = -61,　　　　　　　(-61.02719)
E_8 = 1385,　　　　　　(1385.0697)
E_10 = -50521,　　　　　(-50521.284)
E_12 = 2702765,　　　　　(2702766.69)
E_14 = -199360981,　　　(-199360994.9)
E_16 = 19391512145,　　　(19391512295)
E_18 = -2404879675441,　(-2404879677510)
E_20 = 370371188237525,　(370371188272932)
……
(　)内は (-1)^(2k)･2(2k)!･(2/π)^(2k+1)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 00:19:16.41

[脇スレ.026]

(1)　(√2 + √3)^n は負でない整数 a_n, b_n, c_n, d_n を用いて
　a_n + (√2)b_n + (√3)c_n + (√6)d_n,
と表せることを示せ。

(2)　d_(2n-1) を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 00:22:29.77

>>38
(略解)
漸化式
　a_(n+1) = 2b_n + 3c_n,
　b_(n+1) = a_n + 3d_n,
　c_(n+1) = a_n + 2d_n,
　d_(n+1) = b_n + c_n,
と
　a_1=0,　b_1=1,　c_1=1,　d_1=0
から。
(2)
　a_(2n-1) = d_(2n-1) = 0,
　b_(2n) = c_(2n) = 0,
後者は
　(√2 + √3)^(2n) = (5+2√6)^n
　= Σ(k=0,n) C(n,k) (5^k)(2√6)^(n-k)
　= a_(2n) + (√6)d_(2n),

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 00:28:38.43

[脇スレ.044]
Aは実数を成分とする2次正方行列で A≠E、A≠O とする。
このとき、Aによる一次変換αの不動点
　( x ) ≠ ( 0 ) を求めよ。
　( y )　　( 0 )

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 00:34:52.04

>>40
(略解)
A = (a b)
　　(c d)
A-E ≠ O,
|A-E| = (a-1)(d-1) - bc = |A| - (a+d) +1 = 0,
とするとき、不動点は
　( x ) ＝ ( b ),　(1-d)
　( y )　　(1-a),　( c )

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 00:49:24.44

[脇スレ.082]
実数を成分とする2次正方行列Aは、
　A = [a,b]
　　　[c,d]
　ad-bc = 1
　3以上のある自然数nに対して　A^n = E,
を満たす。Aを求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 01:10:35.06

>>42
(略解)
　A = ±E
pはnの素因数として
　A = [ cos(2qπ/p),　±sin(2qπ/p) ]
　　　[ 干sin(2qπ/p),　cos(2qπ/p）]

>>41　不動軸と云うべきか....

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 01:29:09.76

>>43
それだけじゃ収まんめえよ

[4 -7]^3
[3 -5]

とか計算してみい

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 01:55:03.44

[脇スレ.083]
分からない問題
(1)　スターリングの公式の導出

　log(k) ≧ ∫[k-1/2,k+1/2] log(x)dx,
　(1/2){log(k-1)+log(k)} ≦ ∫[k-1,k] log(x)dx,
を k=2,････,n について足すと
　log(n!) = Σ[k=2,n] log(k) ～ (n+1/2)log(n) -n +c,
　　0.89180 = (3/2)log(2e/3) < c < 1,
は出るが、
　c = (1/2)log(2π) = 0.91894
が出ませぬ....orz　　どうやるんだろ？？
　
*) log(n+1/2) = log(n) - log{1 - 1/(2n+1)} > log(n) + 1/(2n+1),

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 02:05:25.03

[脇スレ.083]
分からない問題
(2)　オイラー定数γを規則的な連分数で表示する。

代数的数どころか無理数かどうかも怪しい。
もう、ｻﾊﾟｰﾘですよね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 02:32:45.96

[脇スレ.083]
分からない問題
(3)　円周率πを計算するニュートンの公式の導出

(略解)
二項公式
　(1-xx)^n = Σ(k=0,n) (-1)^k C(n,k) x^(2k),
で n=-1/2 のとき、
　1/√(1-xx) = Σ(k=0,∞) (-1)^k C(-1/2,k) x^(2k),
xで積分して
　arcsin(x) = Σ(k=0,∞) (-1)^k {C(-1/2,k)/(2k+1)} x^(2k+1),
x=1/2 のとき
　π/6 = Σ(k=0,∞) (-1)^k {C(-1/2,k)/(2k+1)} (1/2)^(2k+1),

ここに、一般化二項係数
　C(-1/2,k) = (-1)^k {(2k-1)!!/(2^k・k!)},　　(k≧1)
　　　　　　　= 1　　　　　(k=0)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 02:54:43.43

>>46
　ｻﾊﾟｰﾘでもないか。

ネイピア数eにはある。
　e = 2 + [1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, ...]

円周率πにもある。(正則ぢゃないけど)
　π = 3 + (1^2)/{6 + (3^2)/[6 + (5^2)/(6 +(7^2)/(6 + ････))]}

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 03:01:40.15

>>42

A = [cosθ+ p sinθ, -q(1+pp)sinθ]
　　　[(1/q)sinθ, cosθ- p sinθ]
p,q≠0：実数, θ=2πk/n, k：整数
らしい。。。
[脇スレ.090]

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 03:31:46.20

>>49
n = 3 の場合で
p = 18q = ±3√3,
1+pp = 28,
k = ±1,
θ = ±2π/3,
cosθ = -1/2,
sinθ = 3q = 1/(4q) = 9/(2p),
とおけば >>44 を含む。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 03:42:56.23

いや、>>49も不十分。
ジョルダンセルのサイズが1で固有値がともに1の冪根でtrace、determinantが実数が条件だから固有値が+1,-1となるケース、つまりtr=0、det=-1のケースも入れないといかん。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 03:51:18.13

>>51
>det=-1のケース
ad-bc=1

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 04:02:21.87

>>52
お、ホント。
見逃した。失礼。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 12:15:04.50

>>49
固有値λ = e^(iθ) に対する固有ヴェクトルu
　( p+i )
　( 1/q )

固有値λ = e^(-iθ) に対する固有ヴェクトルu
　( p-i )
　( 1/q )

[脇スレ.090]

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/13(金) 12:26:59.54

>>35
〔漸近形〕
　E_(2k) / (2k)! ～ (-1)^k　２(2/π)^(2k+1)　　(k→∞)

>>37
　(　)内は (-1)^ｋ　2(2k)!･(2/π)^(2k+1)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 07:20:12.67

>>45
n! = Γ(n+1) = ∫[0,∞] x^n e^(-x) dx (置換: x=n+(√n)t)
　= ∫[-n^2,∞] (n+(√n)t)^n e^(-n-(√n)t) (√n)dt
　= n^(n+1/2) e^(-n) ∫[-n^2,∞] (1+t/(√n))^n e^(-(√n)t) dt

n→∞ で (1+t/(√n))^n e^(-(√n)t) → e^(-t^2/2),
∫[-n^2,∞] (1+t/(√n))^n e^(-(√n)t) dt → ∫[-∞,∞] e^(-t^2/2) dt = √(2π)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 15:15:04.46

被積分函数 x^n e^(-x) は x=n で極大 (n/e)^n となる
x=n のまわりにテーラー展開して
　x^n e^(-x) = (n/e)^n {1 - tt/2 + ttt/(3√n) + (n-2)t^4 /(8n) + (6-5n)t^5 /(30n√n) + ････ }
　　= (n/e)^n e^(-tt/2 + (t^3 /√n) -(t^4)/(4n) + (t^5)/(5n√n) - ････ )
　　～ (n/e)^n e^(-tt/2)　　　　････正規分布
これはｔ=±√2 の辺りでも極大値の 1/e であり、t<-√n ではひじょうに小さい。
∴積分の下限を -∞ としてもよい。
n! = ∫[0,∞] x^n e^(-x) dx
　～ (n/e)^n ∫[-√n, ∞] e^(-tt/2) (√n)dt
　～ n^(n+1/2) e^(-n) ∫[-∞, ∞] e^(-tt/2) dt
　= n^(n+1/2) e^(-n) √(2π),
でござるな。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 19:12:21.54

https://youtu.be/89d5f8WUf1Y

↑は、

lim_{n → ∞} (n!/n^n)^(1/n)

の値を求めている動画です。

40万回以上も再生されている動画ですが、いい加減すぎやしないでしょうか？

こういう解答を何の疑いもなく受け入れてしまう人もいると思います。

質が悪いですよね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 19:50:54.73

〔問題102〕
f(x,t) = exp(-xx) cos(t),
g(x,t) = exp(-xx) sin(t),
F(x,t) = [[f, -g] [g, f]],
D = [[∂/∂x, -(∂/∂t)] [∂/∂t, ∂/∂x]],　　…　微分演算子
X(x,t) = {F(x,t)^(-1)} D F(x,t),
とおく。
自然数nに対して X^n をx,tで表わせ。

[脇スレ.102]

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 20:08:49.38

T(t) = [cos(t), -sin(t)] [sin(t), cos(t)]],
とおくと
F(x,t) = exp(-xx) T(t),
F^(-1) = exp(xx) T(-t),
D T(t) = T(t) (∂x - 1),
より
X^n = {F^(-1) D F}^n
　= F^(-1) D^n F
　= F^(-1) (∂x - 1)^n exp(-xx) T(t)
　= exp(xx) (∂x - 1)^n exp(-xx) E,
さて、どうする？？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 20:25:59.47

(∂x - 1) ぢゃなくて (∂/∂x) - 1

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 20:51:09.08

>>58
字で書いて

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 21:31:20.43

>>58
なんか間違ってるのかこれ

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 22:05:44.10

たぶん「極限が存在するかどうか示してないのにlogの連続性使って計算してる」とかそんな感じよくだらない部分だと思う

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 22:06:32.94

そんな感じよ→そんな感じの

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 22:06:48.59

>>63
リーマン和のようなものを作っていて、それが広義積分に収束するということを勝手に仮定しています。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 22:08:15.15

自分で考えた解答は以下です：

a_n := log((n!/n^n)^(1/n))

=

(1/n) * log(n!/n^n) = (1/n) * log(1/n * 2/n * … * n/n)

=

(1/n) * (log(1/n) + log(2/n) + … + log(n/n))

とおく。

log(x) は単調増加関数だから、

(1/n) * (log(1/n) + log(2/n) + … + log((n-1)/n)) ≦ ∫_{1/n}^{1} log(x) dx ≦ (1/n) * (log(2/n) + … + log(n/n))

が成り立つ。

よって、

(1/n) * (log(1/n) + log(2/n) + … + log(n/n)) ≦ ∫_{1/n}^{1} log(x) dx + (1/n) * log(n/n) = ∫_{1/n}^{1} log(x) dx

∫_{1/n}^{1} log(x) dx + (1/n) * log(1/n) ≦ (1/n) * (log(1/n) + log(2/n) + … + log(n/n))

が成り立つ。

まとめると、

∫_{1/n}^{1} log(x) dx + (1/n) * log(1/n) ≦ a_n ≦ ∫_{1/n}^{1} log(x) dx

が成り立つ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 22:08:31.86

∫ log(x) dx = x * log(x) - x

であり、

lim_{ε → +0} ε * log(ε) = lim_{ε → +0} - log(1/ε) / (1/ε) = 0

であるから、

lim_{ε → +0} ∫_{ε}^{1} log(x) dx

=

lim_{ε → +0} [(1 * log(1) - 1) - (ε * log(ε) - ε)]

=

lim_{ε → +0} [- 1 - ε * log(ε) + ε]

=

-1

である。

したがって、

lim_{n → ∞} ∫_{1/n}^{1} log(x) dx + lim_{n → ∞} (1/n) * log(1/n) ≦ lim_{n → ∞} a_n ≦ lim_{n → ∞} ∫_{1/n}^{1} log(x) dx

∴ -1 ≦ lim_{n → ∞} a_n ≦ -1

∴ lim_{n → ∞} a_n = -1

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 22:08:48.45

exp(x) は連続関数だから、

lim_{n → ∞} (n!/n^n)^(1/n)

=

lim_{n → ∞} exp(a_n)

=

exp(-1)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 22:09:20.00

>>58

誤魔化しですが、誤魔化されたことに気づかない人も多いと思います。

そこが質が悪いですよね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 22:09:38.50

Michael Spivak著『Calculus 3rd Edition』をチェックしてみたら、

同じ問題がありました。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 22:09:54.57

13

(a)

f を [1, ∞) で狭義単調増加関数とする。

f(1) + … + f(n-1) < ∫_{1}^{n} f(x) dx < f(2) + … + f(n)

を示せ。

(b)

f = log とし、

n^n / exp(n-1) < n! < (n + 1)^(n + 1) / exp(n)

を示せ。

したがって、

lim_{n → ∞} (n!)^(1/n) / n = 1 / e

が成り立つ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 22:10:10.41

(a) 明らか。

(b)

log(1) + … + log(n - 1)

=

log((n - 1)!)

∫_{1}^{n} log(x) dx

=

n * log(n) - n + 1

log(2) + … + log(n)

=

log(n!)

よって、

log((n - 1)!) < n * log(n) - n + 1 < log(n!)

(n - 1)! < n^n / exp(n - 1) < n!

∴

n^n / exp(n - 1) < n! < (n + 1)^(n + 1)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 22:10:26.23

Spivakさんの解答のほうが理解するのは簡単だと思いますが、思いつくのは大変かもしれませんね。

◆Q/LEoOxAUk · 2019/09/14(土) 22:25:05.86

単調収束定理使ってんじゃないの？
今電車の中でイヤホン持ってきてないから声聞こえないけど説明はなんて言ってんの？

◆Q/LEoOxAUk · 2019/09/14(土) 22:26:45.66

あ、単調収束定理じゃなくて一様可積分性による収束定理ね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 22:29:34.68

解くだけなら積分とか使わなくても
分解して

(n!/n^n)＝((1/2)^1)*((2/3)^2)*((3/4)^3)*・・・((n-1)/n)^(n-1))*n/n

と見れば
各項の((k-1)/k)^(k-1)という数列、これは定義式からeに収束する数列そのもの、の逆数なので
それらを掛け合わせた(n!/n^n)も(積の)チェザロ平均の法則から同じ値に収束する、とシンプルに求める事はできる

一応、数列a_kが収束するなら (a_1a_2・・・a_n)^(1/n)も同じ値に収束するという法則ね

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 22:36:02.49

ん？積の場合はチェザロ平均とは言わないか
単に幾何平均だな

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 23:09:42.28

>>77

a_k := (k/(k+1))^k とおく。

n!/n^n = a_1 * … * a_{n-1}

n!/n^n = (1/a_n) * (a_1 * … * a_n)

(n!/n^n)^(1/n)

=

(1/a_n)^(1/n) * (a_1 * … * a_n)^(1/n)

=

((n+1)/n) * (a_1 * … * a_n)^(1/n)

lim_{n → ∞} (n!/n^n)^(1/n)

=

lim_{n → ∞} ((n+1)/n) * (a_1 * … * a_n)^(1/n)

=

lim_{n → ∞} ((n+1)/n) * lim_{n → ∞} (a_1 * … * a_n)^(1/n)

=

1 * lim_{n → ∞} a_n

=

lim_{n → ∞} a_n

=

lim_{n → ∞} (n/(n+1))^n

=

lim_{n → ∞} (1 - 1/(n+1))^n

=

lim_{n → ∞} (1 - 1/(n+1))^(n+1) / (1 - 1/(n+1))

=

lim_{n → ∞} (1 - 1/(n+1))^(n+1) / lim_{n → ∞} (1 - 1/(n+1))

=

(1/e) / 1

=

1/e

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 23:21:22.43

(a_n) を正の実数のみからなる数列とし、正の実数 α に収束するとする。

log(x) は連続関数だから、

lim_{n → ∞} log(a_n) = log(α)

である。

log((a_1 * … * a_n)^(1/n))

=

(1/n) * log(a_1 * … * a_n)

=

(log(a_1) + … + log(a_n)) / n

である。

lim_{n → ∞} log((a_1 * … * a_n)^(1/n))

=

lim_{n → ∞} (log(a_1) + … + log(a_n)) / n

=

lim_{n → ∞} log(a_n)

=

log(α)

である。

exp(x) は連続関数だから、

lim_{n → ∞} (a_1 * … * a_n)^(1/n)

=

lim_{n → ∞} exp(log((a_1 * … * a_n)^(1/n)))

=

exp(log(α))

=

α

である。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 23:23:19.71

>>77

積分を使わないというだけで、この解法のほうが複雑で難しいですね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 23:33:33.55

>>78
対数取って
でしょ
チェザロ平均でいいと思う

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/14(土) 23:54:46.43

>>81
いやさね、どれだけシンプルに答えが出るか
って事なんだ

(n!/n^n)が((1/2)^1)*((2/3)^2)*((3/4)^3)*・・・((n-1)/n)^(n-1))*n/nと分解されるのは行間とかなしで一目みれば明らかだろう

それぞれの項の((k-1)/k)^(k-1)がeの逆数なんてのも見れば明らかだろう

そして数列の調和平均、相乗平均、相加平均が元の数列と同じ値に収束するというのもそういう法則を知っていれば明らか

つまりこの問題の為に必要な計算は1行でいいという事だ

別に積分が悪いってわけじゃないけどね
誤差評価には役立つし

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/15(日) 01:24:02.03

binary512以降のフォーマット

binary512はExponentが23bit
binary1024はExponentが27bit
binary2048はExponentが31bit
binary4096はExponentが35bit
binary8192はExponentが39bit
binary16384はExponentが43bit
binary32768はExponentが47bit
binary65536はExponentが51bit

である場合の問題点。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/15(日) 02:24:01.12

>>60 >>61

(∂/∂x - 1)^n = {exp(x)(∂/∂x)exp(-x)}^n
　　　　　　　　　= exp(x) (∂/∂x)^n exp(-x),
より
exp(xx) (∂/∂x - 1)^n exp(-xx)
　= exp{x(x+1)} (∂/∂x)^n exp{-x(x+1)}
　= exp{(x+1/2)^2} (∂/∂x)^n exp{-(x+1/2)^2}
　= (-1)^n Ｈ_n(x+1/2),　　　(← ロドリーグの公式)

Ｈ_n(x) はn次のエルミート多項式。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/15(日) 03:14:42.71

何か変だ。
X = F^(-1) (DF)　　　　　　　(←直後のＦにのみ作用)
　= exp(xx)T(-t) D T(t) exp(-xx)
　= exp(xx) (∂/∂ｘ -1) exp(-xx) E
　= (-2x-1) E,
より
X^n = (-2x-1)^n E.

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/15(日) 03:27:10.68

>>60 >>61 は次の問題の解

〔類題〕
F(x,t) = exp(-xx) [ [ cos(t), -sin(t) ] [ sin(t), cos(t) ] ],
D = [ [∂/∂x, -(∂/∂t)] [∂/∂t, ∂/∂x] ],　　…　微分演算子
X_n(x,t) = {F(x,t)^(-1)} D^n F(x,t),
とおく。
自然数nに対して X_n をx,tで表わせ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/16(月) 22:05:30.66

松坂和夫著『解析入門上』を読んでいます。

以下の定理3は、実数値関数についての定理として証明されています。この証明を読むと、複素関数についてもそのまま
通用するのではないかと思うのですが、この定理3の38ページ後ろのページに、「定理3の記述はやや実変数に“局限”
された形になっているから、証明には多少の補正を要しよう。」と書いてあります。

以下の証明のどの部分が「多少の補正を要」するのでしょうか？

なお、証明中の定理1とは一様収束に関するコーシーの条件です。

定理3

I を1つの区間とし、 x_0 を I の1つの点（ I の端点でもよい）、 I から x_0 をとり除いた集合を E とする。
(f_n) を E で定義された関数列とし、 (f_n) は E において関数 f に一様収束するとする。また、 n = 1, 2, …
について、有限の極限 lim_{x → x_0} f_n(x) = A_n が存在するとする。そのとき、数列 (A_n) は収束し、その極限を
A とすれば、 lim_{x → x_0} f(x) = A である。

証明

f_n は E で一様収束するから、定理1により、与えられた ε > 0 に対し、ある N が存在して、 m ≧ N, n ≧ N ならば、
すべての x ∈ E に対して |f_m(x) - f_n(x)| < ε が成り立つ。ここで x → x_0 とすれば、 f_m(x) → A_m, f_n(x) → A_n
であるから、 |A_m - A_n| ≦ ε。ゆえに数列 (A_n) はコーシー列である。したがって (A_n) は収束する。その極限を A とする。

f_n は f に E で一様収束し、また A_n → A であるから、自然数 n を十分大きく選んで、すべての x ∈ E に対し
|f(x) - f_n(x)| < ε/3 が成り立ち、かつ |A_n - A| < ε/3 が成り立つようにすることができる。さらにこの n に対し、
lim_{x → x_0} f_n(x) = A_n であるから、 δ > 0 を、 |x - x_0| < δ, x ∈ E ならば、 |f_n(x) - A_n| < ε/3 が
成り立つように選ぶことができる。そうすれば、 |x - x_0| < δ, x ∈ E のとき
|f(x) - A| ≦ |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - A_n| + |A_n - A| < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε。

これは lim_{x → x_0} f(x) = A であることを意味する。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/16(月) 23:01:08.02

不定積分を求めよ。

（1）∫1/(3^x+1) dx

（2）∫log(log(x))/{x･log(x)} dx

（3）∫e^(2x)/√(e^x + 1) dx

[脇スレ.216]

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/16(月) 23:39:31.17

(1)
3^x + 1 = u　とおく。
log(3) 3^x dx = du
(与式1) = ∫{1 - (3^x)/(3^x + 1)} dx
　= x -∫(1/u)du /log(3) = x - log(3^x + 1) /log(3),

(2)
log(log(x)) = u　とおく。
1/{x･log(x)} dx = du,
(与式) = ∫ u･(du/dx) dx = (1/2)uu = (1/2){log(log(x))}^2,

(3)
e^x +1 = uu とおく。
　(e^x) dx = 2u du
　(与式) = ∫2(uu-1)du = (2/3)u^3 - 2u
　= (2/3)(uu-3)u = (2/3)(e^x - 2)√(e^x + 1),

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/17(火) 00:17:12.86

脇スレってなんのこと？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/17(火) 10:08:15.26

脇スレ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1567920449/l20

>>13

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/17(火) 11:36:35.77

川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

∫_{C} f(z) dz の定義ですが、リーマン和の極限によって定義しています。

ところが、実数変数の複素数値関数 f(t) = g(t) + i * h(t) に対する

∫_{a}^{b} f(t) dt

の定義は、リーマン和の極限によって定義せず、

∫_{a}^{b} g(t) dt + i * ∫_{a}^{b} h(t) dt

によって定義しています。

統一性が全くありませんよね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/17(火) 11:41:35.06

思ったのですが、

実数変数の実数値関数を含めて、すべて、リーマン和の極限によって積分を定義するのが一番統一性もあり、いいように思います。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/17(火) 11:42:00.35

思ったのですが、

実数変数の実数値関数を含めて、すべて、リーマン和の極限によって積分を定義するのが一番統一性もあり、いいように思います。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/17(火) 13:39:53.07

マルチ

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/17(火) 15:23:44.84

>>93
>>94

Serge Langの本では、

∫_{C} f(z) dz := ∫_{a}^{b} f(z(t)) * z'(t) dt

などと定義しています。

これでは、

∫_{C} f(z) dz

の意味が分かりづらいですよね？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/17(火) 16:57:38.34

なんか複素関数論って基本的なアイディアは難しいとは思いませんが、厳密にやろうとすると、
途端に非常に難しくなりますね。

ジョルダンの定理とか。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/17(火) 17:04:37.29

グリーンの定理というのがあります。

∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy

というものです。

証明は、

∫_{C} P dx = ∬_{Ω} -P_y dx dy

と

∫_{C} Q dy = ∬_{Ω} Q_x dx dy

とをそれぞれ証明して、積分の加法性から、

∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy

が成り立つをことを証明します。

なぜ、

∫_{C} P dx = ∬_{Ω} -P_y dx dy

のみをグリーンの定理と言わないのでしょうか？

なんか冗長なような気がします。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/17(火) 17:07:22.92

∫_{C} P dx = ∬_{Ω} -P_y dx dy

をグリーンの定理とよび、

その系として、

∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy

を書けばいいように思います。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/17(火) 17:10:59.65

>>98

グリーンの定理の証明も大体のアイディアは難しくありませんが、厳密な証明は
Ω を有限個の縦線領域と横線領域にどうやって分割するのかとか考えると、
おそらくかなり面倒なことになるなと思われます。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/17(火) 17:12:33.21

>>99
>∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy
左辺にカッコ要らないの？要らない場合
∫x^2+2x+3dxでもよくない？
これはダメだというのなら
∫x^2dx+2xdx+3dxなら問題なし？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/17(火) 18:22:55.71

2次正方行列
A = [[1 2] [4 4]]
に対し、
A^n = [[a(n) b(n)] [c(n) d(n)]]
を考える。
このとき　a(n)d(n) - b(n)c(n) = (-4)^n を示せ。

[脇スレ..242]

ヒント：　　　|A^n| = |A|^n

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/18(水) 03:26:51.37

|tE-A| = tt-5t-4 =0 より　Aの固有値は
　α = (5-√41)/2,　β = (5+√41)/2,
固有ヴェクトルは
　　　[ 2 ]　　　　　　[β-4]
　　　[α-1]　　　　　[ 4 ]
これを使うと
　a(n) = (1/2)(α^n + β^n) - 3(β^n - α^n)/(2√41),
　b(n) = 2(β^n - α^n)/√41,
　c(n) = 4(β^n - α^n)/√41,
　d(n) = (1/2)(α^n + β^n) + 3(β^n - α^n)/(2√41),
よって
a(n)d(n) - b(n)c(n) = (1/4)(α^n + β^n)^2 - (1/4)(β^n - α^n)^2
　= (αβ)^n = (-4)^n,

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/18(水) 03:55:50.74

a[n] = Σ[k=0,n] 1/nCk,
b[n] = Σ[k=0,n] (-1)^k/nCk
ただし nCk は二項係数とする。

(1) n(a[n]-2)→2 (n→∞) を示せ。
(2) b[n] を求めよ。

[脇スレ 195]

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/18(水) 05:51:36.54

(1)
　nＣ0 = nＣn = 1,
　nＣ1 = nＣ(n-1) = n,
　nＣ2 = nＣ(n-2) = n(n-1)/2,
3≦k≦n-3 のとき
　nＣk ≧ nＣ3 = n(n-1)(n-2)/6,　　(*)
よって
　2 < n(a[n]-2) < 2 + 4/(n-1) + 6(n-5)/{(n-1)(n-2)}
n→∞ とする。

*)　nＣk = {(n-k+1)/k}･nＣ(k-1),
　　k = [n/2] で最大、その両側に単調減少。

(2)
n:奇数のとき　nＣk = nＣ(n-k)　より 0
n:偶数のとき
　1/(nＣk) = {(n+1)/(n+2)}{1/(n+1)Ｃk + 1/(n+1)Ｃ(k+1)}
より
　b[n] = {(n+1)/(n+2)}{1 + (-1)^n}
　　　　= 2(n+1)/(n+2),

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/18(水) 09:08:55.82

劣等感ババアの餌です

862 名前：755[sage] 投稿日：2019/09/16(月) 22:01:21.56 ID:???
任意の無限小dxに対して、{f(x+dx)-f(x)}/dxがある実数f’(x)に無限に近くなる時、f(x)は微分可能であるといいます

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/18(水) 16:12:37.71

2次正方行列
　A = [[1 2] [3 4]]
を考える。nを自然数とし、
　A^n = [[a(n) b(n)] [c(n) d(n)]]
と表すとき、
　a(n)d(n) - b(n)c(n) = (-2)^n,
を示せ。

[脇スレ.240,247]

ヒント：　　det(A^n) = (det A)^n.

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/18(水) 16:28:05.48

|tE-A| = tt-5t-2 =0 より　Aの固有値は
　α = (5-√33)/2,　β = (5+√33)/2,
固有ヴェクトルは
　　　[ 2 ]　　　　　　[β-4]
　　　[α-1]　　　　　[ 3 ]
これを使うと
　a(n) = (α^n + β^n)/2 - 3(β^n - α^n)/(2√33),
　b(n) = 2(β^n - α^n)/(√33),
　c(n) = 3(β^n - α^n)/(√33),
　d(n) = (α^n + β^n)/2 + 3(β^n - α^n)/(2√33),
よって
　a(n)d(n) - b(n)c(n) = (1/4)(α^n + β^n)^2 - (1/4)(β^n - α^n)^2
　= (αβ)^n = (-2)^n,

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/18(水) 17:04:11.91

川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

演習問題に、

∫_{0}^{2*π} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx

の値を計算させる問題があります。

こういう積分を簡単に計算できるのは素晴らしいですね。

でも、

∫_{0}^{2*π} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx

↑こういう定積分を見たときに、それに応じてどういう複素線積分を考えればいいかを思いつかないと
いけないですよね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/18(水) 22:34:14.97

(b/a)tan(x) = t　とおいて
∫ 1 /{aa*cos(x)^2 + bb*sin(x)^2} dx
　= (1/ab)∫ 1/(1+tt) dt
　= (1/ab)*arctan(t)
　= (1/ab)*arctan((b/a)tan(x))
を思いつかないといけないですよね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/18(水) 22:38:53.42

Arctanの微積を知ってたら高校生でも思いつく件

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/19(木) 13:25:34.81

教科書に文句を言う俺様偉い　など相手にすんな

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/19(木) 15:01:42.96

>>105 (1)
　
n>>1 のとき
Σ[k=0,n] 1/(nＣk) = 2(1 + 1/n ＋ 2/n^2 + 8/n^3 + 44/n^4 + 308/n^5 + 2612/n^6 + 25988/n^7 + ････)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/19(木) 23:11:57.62

〔問題〕
3辺の長さがそれぞれa,b,cの三角形Tをとる。
0<a≦b≦c<a+b かつ a+b+c=1 の条件下で実数a,b,cを動かすとき、
Tの面積⊿を最大にするa,b,cを求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/19(木) 23:22:33.59

GM-AM より
⊿⊿ = (1/16)(a+b+c)･(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
　≦ (1/16)(a+b+c){(a+b+c)/3}^3
　= (1/16)(1/27)(a+b+c)^4,
⊿ ≦ {1/(12√3)}(a+b+c)^2,
等号成立は a=b=c =1/3.

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/19(木) 23:25:01.32

〔問題273〕
等面四面体Sの各側面は合同である。すなわち、3辺の長さがa,b,cの三角形Tである。
0<a≦b≦c<a+b かつ a+b+c=1 の条件下で実数a,b,cを動かすとき、Sの体積Vを最大にするa,b,cを求めよ。

[脇スレ.273]

【末吉】 · 2019/09/20(金) 00:03:57.12

前>>10
>>117
a+b+c=1
b=1/3とすると、
a+c=2/3=8/12
a=3/12=1/4,
c=5/12のとき、
a^2+b^2=(1/4)^2+(1/3)^2
=1/16+1/9
=25/144
=(5/12)
=c^2
ピタゴラスの定理より、
長さaの辺と長さbの辺は直角に交わる。
面積のとき考えてこうなんだから、体積のときに拡張し、
S=(1/3)(1/2)abc
=(1/3)(1/2)(1/4)(1/3)(5/12)
=5/864
a=1/4
b=1/3
c=5/12

【大吉】 · 2019/09/20(金) 00:06:22.77

前>>118訂正。
S→V

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/20(金) 00:41:19.22

直角⊿のとき
(0,0,0)
(a,0,ε)
(a,b,0)
(0,b,ε)
を頂点とする「4面体」と考える。
ε→0 とすると潰れて長方形になる。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/20(金) 00:52:47.25

>>117
Sの頂点は、或る直方体の4頂点である。
その稜の長さをp,q,rとすれば
　a = √(qq+rr) ≧ (q+r)/√2,
　b = √(rr+pp) ≧ (r+p)/√2,
　c = √(pp+qq) ≧ (p+q)/√2,
　Tは鋭角△
したがって
　V = (1/3)pqr
　　≦ (1/24)(p+q)(q+r)(r+p)　　(← GM-AM)
　　≦ {1/(6√2)}abc
　　≦ {1/(162√2)}(a+b+c)^3,　　(← GM-AM)
等号成立は p=q=r, a=b=c=1/3.

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/20(金) 05:48:41.67

〔問題278〕
以下を示せ。

・a[n] = √(3nn + 1) が整数となる自然数nは無数にある。

・任意の正の実数εに対し、ある自然数の組(m,n)が存在して、
　|a[n] - m| < εとなるようにできる。

[脇スレ.278]

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/20(金) 13:24:55.51

2500
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います！
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/20(金) 15:38:01.73

演習問題に
　∫ １/(aa*cos(x)^2 + bb*sin(x)^2}^2　dx
の値を計算させる問題があります。
こういう積分を簡単に計算できるのは素晴らしいですね。
でも、こういう不定積分を見たときに、それに応じて
どういう置換積分を考えればいいかを思いつかないと
いけないですよね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/20(金) 16:16:43.93

(b/a)tan(x) = t　とおいて
(b/a)dx/cos(x)^2 = dt,
aa･cos(x)^2 + bb･sin(x)^2 = aa･(1+tt)cos(x)^2
　= (ab)^2 (1+tt)/{(at)^2+bb},
より
∫１/{aa･cos(x)^2 + bb･sin(x)^2}^2　dx
　= 1/(ab)^3 ∫ {(at)^2 + bb}/(1+tt)^2 dt
　= 1/{2(ab)^3} ∫{(bb+aa)/(1+tt) + (bb-aa)･(1-tt)/(1+tt)^2} dt
　= 1/{2(ab)^3} [ (bb+aa)･arctan(t) + (bb-aa)･t/(1+tt) ]
　= 1/{2(ab)^3} (bb+aa)･arctan((b/a)tan(x))
　 + 1/{2(ab)^2} (bb-aa)･cos(x)sin(x)/{aa･cos(x)^2 + bb･sin(x)^2},
を思いつかないといけないですよね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/20(金) 16:19:39.08

Arctanの微分を知ってたら高校生でも思いつく件

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/20(金) 16:21:30.50

演習問題に
　∫ １/(aa*cos(x)^2 + bb*sin(x)^2}^3　dx
の値を計算させる問題があります。
こういう積分を簡単に計算できるのは素晴らしいですね。
でも、こういう不定積分を見たときに、それに応じて
どういう置換積分を考えればいいかを思いつかないと
いけないですよね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/20(金) 16:42:41.56

>>111

cos(π/2) = cos(3*π/2) = 0

なので、少し面倒ですね。

∫_{0}^{2*π} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx

=

∫_{-π/2}^{3*π/2} 1 / (b^2 * cos^2(x) + a^2 * sin^2(x)) dx

=

∫_{-π/2}^{π/2} 1 / (b^2 * cos^2(x) + a^2 * sin^2(x)) dx

+

∫_{π/2}^{3*π/2} 1 / (b^2 * cos^2(x) + a^2 * sin^2(x)) dx

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/20(金) 16:44:03.42

>>128

=

2 * ∫_{-π/2}^{π/2} 1 / (b^2 * cos^2(x) + a^2 * sin^2(x)) dx

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/20(金) 16:49:43.50

>>129

∫_{-π/2}^{0} 1 / (b^2 * cos^2(x) + a^2 * sin^2(x)) dx

=

∫_{0}^{π/2} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx

だから、

2 * ∫_{-π/2}^{π/2} 1 / (b^2 * cos^2(x) + a^2 * sin^2(x)) dx

=

2 * (∫_{0}^{π/2} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx + ∫_{0^{π/2} 1 / (b^2 * cos^2(x) + a^2 * sin^2(x)) dx)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/20(金) 16:57:12.48

>>130

g(x) = 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x))
f(x) = (1 / (a^2 * cos^2(x))) / (1 + (b/a)^2 * tan^2(x))

とおく。

g(x) = f(x) for all x ∈ [0, π/2)

∫_{0}^{π/2} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx

=

lim_{c → π/2} ∫_{0}^{c} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx

=

lim_{c → π/2} ∫_{0}^{c} g(x) dx

=

lim_{c → π/2} ∫_{0}^{c} f(x) dx

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/20(金) 17:08:32.70

∫_{0}^{c} f(x) dx

=

(1/(a*b)) * ∫_{0}^{(b/a)*tan(c)} 1 / (1 + t^2) dt

=

(1/(a*b)) * [arctan((b/a)*tan(c)) - arctan(0)]

=

(1/(a*b)) * arctan((b/a)*tan(c))

∴

lim_{c → π/2} ∫_{0}^{c} f(x) dx

=

lim_{c → π/2} (1/(a*b)) * arctan((b/a)*tan(c))

=

(1/(a*b)) * (π/2)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/20(金) 17:09:26.95

同様に、

∫_{0^{π/2} 1 / (b^2 * cos^2(x) + a^2 * sin^2(x)) dx

=

(1/(a*b)) * (π/2)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/20(金) 17:10:47.82

∴

∫_{0}^{2*π} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx

=

2 * (∫_{0}^{π/2} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx + ∫_{0^{π/2} 1 / (b^2 * cos^2(x) + a^2 * sin^2(x)) dx)

=

2 * (2 * (1/(a*b)) * (π/2))

=

(2*π) / (a*b)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/20(金) 17:13:00.01

>>112

高校生でも思いつくとは思いますが、

cos(π/2) = cos(3*π/2) = 0

なので、どうすればいいのか分からないのではないでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/20(金) 17:58:13.93

コレ自演？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/20(金) 22:27:12.59

志賀浩二著『数学が育っていく物語第2週解析性』を読んでいます。

テイラーの公式の剰余項が 0 に収束することを証明して、

exp(x), sin(x), cos(x) がテイラー展開可能であることを導いています。

次に、

log(1 + x) のテイラー展開ですが、これについては、

志賀浩二著『数学が育っていく物語第1週極限の深み』で、べき級数の理論を使って求めています。

log(1 + x) のテイラーの公式の剰余項が 0 に収束することを直接証明することは難しい理由を以下のように

説明してます。

R_n = (-1)^(n+1) * x^n / (n * (1 + θ*x)^n)

の θ は x と n の関数で 0 < θ < 1 を満たします。

最悪の状況を想定すると、 n を大きくしていったとき θ がずっと 1 に近いままであるかもしれません。

もし、たとえば、 x = -2/3 のときに、そのような状況が起きるとすると、

|R_n| ≒ (1/n) * (2/3)^n / (1 - 2/3)^n = 2^n / n → ∞

となってしまいます。

R_n → 0 であることを証明するには、このような状況が起きないことを証明しなければならず、それは難しい。

950 自分：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2019/09/20(金) 22:26:16.69 ID:lq2/XEro [7/7]
志賀浩二さんの本もたまには少し面白い話が書いてありますね。

log(1 + x) のテイラーの公式の剰余項が 0 に収束することを直接証明することはできますか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/21(土) 02:47:32.38

-1<x<0 のときは
　f(x) = f(0) - ∫[x,0] f '(t) dt
　　= ････　　(部分積分をn-1回)
　　= (n-1次のMcLaurin多項式) + R_n(x),
ここに
　R_n(x) = (-1)^n {1/(n-1)!}∫[x,0] f^(n)(t) (t-x)^(n-1) dt.
　　　･････積分型剰余 (ベルヌーイの剰余) と云うらしい

さて本問では
f(t) = log(1+t),
f^(n)(t) = (-1)^(n-1) (n-1)! /(1+t)^n,
また
-1<x≦t≦0,
0 ≦ (t-x)/(t+1) ≦ -x = |x|,
1 ≦ 1/(1+t) ≦ 1/(1+x),
よって
| 被積分函数 | < |x|^n /(1+x),
|R_n(x)| < |x|^(n-1) /(1+x) ∫[x,0] dt = |x|^n /(1+x) → 0　(n→∞)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/21(土) 04:09:43.94

〔問題〕
nを3以上の自然数とする。
　n次正方行列Aのnn個の成分のうち少なくとも1つは虚数である。
　また、Aの成分はいずれも0でない。
　このとき次の命題Pが成り立つことを示せ。
『命題P』　AA = O となるAが存在する。
ただし、この問題において「虚数」とは実数でない複素数を指す。

[脇スレ.263,274]

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/21(土) 04:15:57.24

例)
　1のn乗根を ω = e^(2πi/n) として
　A_(j,k) = ω^{(j+k)/2} = e^{iπ(j+k)/n}.

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/21(土) 08:15:10.23

ダメ

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/21(土) 14:24:51.10

>>140
A_(j,k) = ω＾(pｊ+qk)/(p+q),
ただし　p,qは整数、p+q≠0.

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/21(土) 15:42:38.61

>>137
コーシー剰余を使えば・・・・
-1 < x < 0 < θ < 1　より
1+θx > 1-θ > 0　かつ　1+θx > 1+x > 0,
| f^(n)(θx) | = (n-1)! /(1+θx)^n < (n-1)! /[(1+x)(1-θ)^(n-1)],
∴　コーシー剰余は
| R_n(x) | = {1/(n-1)!} |f^(n)(θx) (1-θ)^(n-1) x^n |
　　< |x|^n /(1+x)　→　0　　(n→∞)

[脇スレ.336,341]

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/21(土) 18:51:50.43

>>121 (補足)

四面体の各側面の面積ヴェクトルをｐ,ｑ,ｒ,ｓとおく。
等面積だから |p|=|q|=|r|=|s|,
閉じた多面体だからｐ+ｑ+ｒ+ｓ=ｏ,
∴　ｐ+ｑ = - (ｒ+ｓ),　ｐ+ｒ = -(ｑ+ｓ),　ｐ+ｓ = -(ｑ+ｒ),　…(1)
∴　(ｐ+ｑ)･(ｐ+ｒ) = (-ｒ-ｓ)･ｐ + (ｐ+ｑ)･ｒ
　　= -(ｓ･ｐ) + (ｑ･ｒ)
　　= {|p|^2 + |s|^2 -|s+p|^2}/2 + {|q+r|^2 -|q|^2 -|r|^2}/2
　　= 0,
∴　(1) は直交系をなす。
それらをxyz軸とすれば、Sの2回軸となる。
∴ Sの頂点は、xyz軸に平行な稜をもつ或る直方体の4頂点である。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/21(土) 18:55:11.26

〔類題〕
四つの面がすべて等面積の四面体においては、
四つの面をなす三角形は互いに合同であることを証明してください。

数セミ増刊「数学の問題」第(1)集 ●45　(1977)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/22(日) 12:42:18.83

閉じた多面体の面積ベクトルの和が 0 って
どうやって証明するんだ？
4面体なら簡単だが

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/22(日) 13:23:51.64

川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

以下の問題の川平さんの解答ですが、非常に長いものになっています。

関数 g(z), h(z) は点 α を含む領域上の正則関数とし、条件

g(α) ≠ 0
h(α) = 0
h'(α) ≠ 0

をみたすものとする。

このとき、点 α は関数 g(z) / h(z) の1位の極であることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/22(日) 13:24:08.14

以下の簡単な解答でOKだと思いますがどうでしょうか？

解答：

関数 h(z) は点 α を含む領域上の正則関数であるから、 α の近くで、

h(z) = a_0 + a_1 * (z - α) + a_2 * (z - α)^2 + …

とべき級数展開できる。

0 = h(α) = a_0

であり、

h'(z) = a_1 + 2 * a_2 * (z - α) + …

0 ≠ h'(α) = a_1

であるから、

α の近くで、

h(z) = a_1 * (z - α) + a_2 * (z - α)^2 + …
a_1 ≠ 0

である。

h(z) = (z - α) * [a_1 + a_2 * (z - α) + …]

である。

f(z) := a_1 + a_2 * (z - α) + …

は

点 α を含む領域上の正則関数であり、 f(α) ≠ 0 であるから、

g(z) / f(z)

も点 α を含む領域上の正則関数である。よって、 α の近くで、

g(z) / f(z) = b_0 + b_1 * (z - α) + b_2 * (z - α)^2 + …

とべき級数展開できる。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/22(日) 13:24:24.07

g(z) / h(z)

=

(1 / (z - α)) * [b_0 + b_1 * (z - α) + b_2 * (z - α)^2 + …]

=

b_0 / (z - α) + b_1 + b_2 * (z - α) + …

は

g(z) / h(z)

のローラン展開であり、明らかに点 α は関数 g(z) / h(z) の1位の極である。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/22(日) 14:14:29.62

あ、よく考えたら、

川平さんの本では、べき級数の話は付録に登場するだけでした。

べき級数で表される関数が正則であることは証明されていませんね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/22(日) 14:16:30.40

べき級数で表される関数が正則であること

を使わないで証明するとすると面倒なことになりますね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/22(日) 14:33:09.84

別にローラン展開の話に持ってっても普通に正しいと思うが

そのまま直接定義通りにやっても
z-aかけりゃ普通に正則だろうし1行で終わるだろうと思うが

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/22(日) 15:04:29.81

特異点周りで有界であると実質特異点ではないとか
一致の定理だとか
そう言う基本性質は前提だが

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/22(日) 15:25:07.33

>>152

ありがとうございます。

>>153

そういう定理はまだ紹介されていません。

H(z) := h(z) / (z - α)

が

lim_{z → α} H(z) = lim_{z → α} (h(z) - h(α)) / (z - α) = h'(α) ≠ 0 だから

H(z) は α の近くで有界であると書いてあるのですが、それはなぜですか？

ちなみに、コンパクト集合上で連続な関数は最大値、最小値をもつ

という定理は、付録で紹介されているので、この定理は使えません。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/22(日) 15:32:19.05

>>154
＞ちなみに、コンパクト集合上で連続な関数は最大値、最小値をもつ
＞
＞という定理は、付録で紹介されているので、この定理は使えません。

とんでもないアホを見た

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/22(日) 15:33:15.20

>>154

やはり、

「コンパクト集合上で連続な関数は最大値、最小値をもつ」

という定理を暗に使っているようにしか思えません。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/22(日) 15:48:08.19

>>154

あ、分かりました。

lim_{z → α} H(z) = lim_{z → α} (h(z) - h(α)) / (z - α) = h'(α) ∈ C

だから、

ある正の実数 r が存在して、 {z | 0 < |z - α| < r} 上で H(z) は有界である。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/22(日) 15:48:23.65

>>150
べき級数で表される関数f(z)が D = { z | |z-α|<R } で収束したとする。
(z-α)^n までの部分和を S_n(z) とすると、△不等式より
　|f(z1)-f(z2)| ≦ |f(z1)-S_n(z1)| + |S_n(z1) - S_n(z2)| + |S_n(z2)-f(z2)|,
右辺の第1項と第3項は　n>N に対して <ε,
右辺の第2項も　|z1-z2|<δ に対して <ε,
∴　f(z) はD内で連続である。
∴　f(z) はD内で積分可能。

　|f(z) - S_n(z)| → 0　　(n→∞)
　Max{ |f(z)-S_n(z)| | z∈C } = M_n → 0　　(n→∞)
∴　「項別積分」してよい。
D内の閉曲線Cに沿ってf(z)を積分すると S_n(z) の部分は消えて
　|∫_C f(z)dz | = |∫_C {f(z)-S_n(z)}dz | + M_n∫_C |dz| → 0　(n→∞)
∴　∫_C f(z)dz = 0,
CはD内の任意のJordan曲線でよいから、Moreraの定理より、
f(z)はDで正則である。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/22(日) 15:51:17.32

数学書の付録っていうのは
エクストラで紹介するだけ的な意味合いのものもあれば
こういう性質や理論を使って議論するので押さえておいてくださいねっていう物もある
どちらかというと後者が多いんじゃないかな

複素関数の理論話してるのに位相の定理とかから証明しだすとどんどん話が逸れるだろ
そういう時に話を分ける意味で他の分野の知識などは付録にまとめておく

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/22(日) 15:53:26.82

あ、

>>154

で書いたのと川平さんが書いたことは少し違ってました。

以下に川平さんの解答から引用します：

H(z) := h(z) / (z - α)

とおく。これはある十分に小さな穴あき円板 D := D(α, r) - {α} 上で正則である。

h(α) = 0 より、 z → α のとき

H(z) = (h(z) - h(α)) / (z - α) → h'(α) ≠ 0

が成り立つから、 D 上の正則関数 F(z) := g(z) / H(z) は有界である。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/22(日) 15:58:19.04

>>160

要するに、

lim_{z → α} F(z) = lim_{z → α} g(z) / H(z) ∈ C

だから、

十分小さな r に対して、 D(α, r) - {α} 上で F(z) は有界である

ということですね。

でも、

>>160

のような書き方だと最初にとった r をもっと小さな r に取り直さないといけない可能性がありますよね。

川平さんは、

「
D 上の正則関数 F(z) := g(z) / H(z) は有界である。
」

と書いていますが、最大最小値の定理を使わないのであれば、この書き方は不適切ですね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/22(日) 15:58:49.22

>>154
Hの有界性を示して何になるのかはわからんが
limitが存在してりゃそりゃ有界だよ
1/Hの有界性なら
正則関数の零点が孤立点である事と連続性から明らか

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/22(日) 15:59:37.42

>>146
k番目の面の面積ヴェクトルをｐ_k としましょう。
この多面体を川の水に漬けます。
水の流速ｖは一定とします。
単位時間にこの多面体に
流れ込む水の体積－出ていく水の体積は
　　(ｖ・Σｐ_k) = 0,
これはｖがどちらを向いてても成り立ちますから
　　Σｐ_k = ｏ
(流体運動学による証明)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/22(日) 16:02:45.25

>>160

「
H(z) := h(z) / (z - α)

とおく。これはある十分に小さな穴あき円板 D := D(α, r) - {α} 上で正則である。

h(α) = 0 より、 z → α のとき

H(z) = (h(z) - h(α)) / (z - α) → h'(α) ≠ 0

が成り立つから、 D 上の正則関数 F(z) := g(z) / H(z) は有界である。
」

これを以下のように訂正すれば問題ないですね。

「
H(z) := h(z) / (z - α)

とおく。これはある十分に小さな穴あき円板 D := D(α, r) - {α} 上で正則である。

h(α) = 0 より、 z → α のとき

H(z) = (h(z) - h(α)) / (z - α) → h'(α) ≠ 0

が成り立つから、必要ならば、上の r をもっと小さくとりなおせば、 D 上の正則関数 F(z) := g(z) / H(z) は有界である。
」

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/22(日) 18:39:36.40

以下のリーマンの定理が演習問題にあります。

f(z) = … + a_{-2} / (z - α)^2 + a_{-1} / (z - α) + a_0 + a_{1} * (z - α) + a_{2} * (z - α)^2 + …

と書いてみれば、

lim_{z → α} |a_{-n} / (z - α)^n| = +∞

なので明らかであるようにも見えます。

この線で、リーマンの定理を証明できませんか？

ちなみに、川平さんの解答では、 ML不等式を使って分かりやすく証明しています。

リーマンの定理：

関数 f(z) が穴あき円板 D = {z ∈ C | 0 < |z - α| < R} 上で正則かつ有界であるとき、
α は f(z) の除去可能な特異点であることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/22(日) 23:19:49.04

川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

以下の演習問題があります。

「
関数 f(z) は穴あき円板 D = {z ∈C | 0 < |z - α| < R} 上で正則であり、 α は f(z) の除去可能特異点であるとする。
このとき、ある D(α, r) 上の正則関数 g(z) で、 D 上 g(z) = f(z) をみたすようなものが存在することを示せ。
」

これは非常に簡単な問題ですが、べき級数の理論を使わない川平さんの解答は恐ろしく長いです。

以下のように、ほぼ自明な問題であるにもかかわらずです。

z ∈ D とする。

f(z) = a_0 + a_1 * (z - α) + a_2 * (z - α)^2 + …

とローラン展開できる。

g(z) := f(z) if z ∈ D
g(z) := a_0 if z = α

で定義される D(α, R) 上の関数 g(z) は D(α, R) 上の正則関数である。

8 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2019/09/22(日) 23:09:19.26 ID:2TbS0DPZ [2/2]
>>7

あと、

「
このとき、ある D(α, r) 上の正則関数 g(z) で
」

と書いてありますが、明らかに、

「
このとき、 D(α, R) 上の正則関数 g(z) で
」

としたほうがいいですよね？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/23(月) 16:52:38.99

>>127
(b/a)tan(x) = t とおいて
(b/a)dx/cos(x)^2 = dt,
によりtで積分する。　被積分函数は
(a/b) cos(x)^2 /{aa･cos(x)^2 + bb･sin(x)^2}^3
　= {1/(ab)^5} (aatt+bb)^2 /(1+tt)^3
　= p/(1+tt) + (q/ab)(1-tt)/(1+tt)^2 + (r/aaab)(1-3tt)/(1+tt)^3,
∴　F(x) = p･arctan(t) + (q/ab)t/(1+tt) + (r/aaab)t/(1+tt)^2
　= p･arctan{(b/a)tan(x)} + q･cos(x)･sin(x)/{aa･cos(x)^2 + bb･sin(x)^2}
　 + r･cos(x)^3･sin(x)/{aa･cos(x)^2 + bb･sin(x)^2}^2,
ここに
　p = (1/8)(3a^4 +2aabb +3b^4)/(ab)^5,
　q = (1/8)(5aa+3bb)(bb-aa)/(ab)^4,
　r = (1/4)(bb-aa)^2/(aa･b^4).
を思いつかないといけないですよね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/23(月) 17:41:59.27

Arctanの微分を知ってたら高校生でも思いつく････わけない。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/23(月) 18:59:51.46

留数について質問です。

f(z) は {z ∈ C | 0 < |z - α| < R} を含む領域上で正則であるとする。

という仮定をしますが、

なぜ、

f(z) は {z ∈ C | R_1 < |z - α| < R_2} を含む領域上で正則であるとする。

という仮定はしないのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/24(火) 00:50:42.80

>>146
四面体OABCでは
　2ｐ = OA×OB,
　2ｑ = OB×OC,
　2ｒ = OC×OA,
　2ｓ = AC×AB = (OC-OA)×(OB-OA)
　　　= -OA×OB -OB×OC -OC×OA
より成立。
　多面体は四面体を何個か貼り合わせたもの。
　貼り合わせ面では相殺してｏになる。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/24(火) 04:42:11.89

>>93 >>110 >>147 >>166
川平友規『入門複素関数』裳華房 (2019/Feb)
240p．2640円
http://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-1579-5.htm

著者のサポートページもある。。。
http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/courses/nyumonfukuso.html

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/24(火) 20:31:15.81

川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

∫_{-∞}^{∞} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)

という等式を示す例題があります。

その例題では、

lim_{R → ∞} ∫_{-R}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)

を示しています。

本来示すべきは、

lim_{S → -∞, T → ∞} ∫_{S}^{T} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)

ですよね。

2 * ∫_{0}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = ∫_{-R}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)

∫_{0}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = (1/2) * ∫_{-R}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = π / (2 * sqrt(2))

なので、

lim_{S → -∞, T → ∞} ∫_{S}^{T} 1 / (1 + x^4) dx

=

π / sqrt(2)ですけど。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/25(水) 03:33:41.20

複素関数を使って解こうという趣旨だけど、実数の範囲内でも解けなくはない。
1 + x^4 = (1+xx)^2 - 2xx
= (1 +x√2 +xx)(1 -x√2 +xx)
= {1 + (1+x√2)^2}{1 + (1-x√2)^2}/4,

1/(1+x^4) = 1/(4√2)・{(√2 +2x)/(1 +x√2 +xx) - (-√2 +2x)/(1 -x√2 +xx)}
　+ (1/2)/{1 +(1 +x√2)^2} + (1/2)/{1 +(1 -x√2)^2},
と部分分数に分けて
∫1/(1+x^4) dx = 1/(4√2)・{log(1+x√2 +xx) - log(1 -x√2 +xx)}
　+ 1/(2√2)・{arctan(1+x√2) - arctan(1-x√2)}
　= 1/(4√2)・log[(1+x√2 +xx)/(1 -x√2 +xx)]
　 + 1/(2√2)・arctan{(√2)x/(1-xx)},

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/25(水) 23:38:42.00

川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

第4章「留数定理」の章末問題に以下の問題があります。

a > 0 とする。

∫_{-∞}^{∞} x^4 / (x^2 + a^2)^4 dx

の値を求めよ。

定石通りに計算すれば、答えが求まりますが、

g(z) := z^4 / (z + a*i)^4

の3次導関数を計算しなければなりません。

g(z) を 1 / (z + a*i) についての4次多項式で表して、なんとか3次導関数を計算しましたが、
かなり苦労しました。

簡単に計算する方法はありますか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/25(水) 23:39:43.33

>>173

確かに複素関数論を知らなくても解けますね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/26(木) 02:00:06.61

直接ローラン展開が出来たり…しないか中々

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/26(木) 10:51:47.22

川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

第4章「留数定理」の章末問題に以下の問題があります。

∫_{0}^{∞} exp(-x^2) dx = sqrt(π) / 2 を用いて、

∫_{0}^{∞} sin(x^2) dx = ∫_{0}^{∞} cos(x^2) dx = sqrt(π) / (2 * sqrt(2))

を示せ。

この問題を自力で解けました。

結構すごいですか？

第4章に出てくる積分の積分路は決まって半円だったので、最初は戸惑いました。

が、↓が閃きました。

f(z) := exp(z^2)

とおくと、

f(i*t) = exp(-t^2)

f(sqrt(i) * t) = exp(i * t^2) = cos(t^2) + i * sin(t^2)

なかなか冴えていますか？

この問題が第4章の章末問題のラストを飾る問題です。

しかも、☆印つきの問題です。

「はじめに」には、

「
とくに発展的な問題には*をつけ区別してある。
」

などと書かれています。

気持ちよく、最終章第5章へと進むことができそうです。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/26(木) 16:33:22.80

>>177

の問題を自力で解けたということは、もう既に、「玲瓏なる境地」に達していると考えていいですか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/26(木) 18:00:52.69

川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

∫_{-∞}^{∞} cos(x) / (1 + x^2)^2 dx

を計算せよ。

という問題を解きました。

怪しいなと思いつつ、まず以下の積分を考えました：

∫_{C} cos(z) / (1 + z^2)^2 dz

cos(z) = (exp(i * z) + exp(-i * z)) / 2

です。

|exp(i * z)| = exp(-y)
|exp(-i * z)| = exp(y)

ですので、普通に積分路を考えると 0 と評価したい積分が 0 と評価できません。

そこで、

∫_{C} exp(i * z) / (1 + z^2)^2 dz

を考えれば、

|exp(i * z)| = exp(-y)

ですから、 z の虚部が大きくなるような場所を通る積分路を考えれば、 0 と評価したい
積分を 0 と評価できそうです。

このような推理の結果、正解を得ることができました。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/26(木) 18:03:30.48

あ、というか、 |exp(-y)| ≦ 1 for y ≧ 0 ですね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/27(金) 18:09:38.57

>>177
(上) は数学者にとっては 2x2=4 と同じくらい明らかです。(ケルビン)

>>178
ちょこっと計算して数が合ってると「玲瓏なる境地」に達しているとうぬぼれながら、解析接続すら理解できていないバカですからね。
それにこの人間性じゃ受け入れ先も全くないでしょう。
[脇スレ.460]

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/27(金) 21:12:45.61

川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

E を複素平面内のコンパクト集合とする。
E_r を E から r 以下の距離にある点全体の集合とする。

このとき、 E_r がコンパクト集合であることの証明を以下のように書いています。

「
E はコンパクト集合（すなわち、有界な閉集合）なので、十分に大きな R > 0 を選んで
E ⊂ D(0, R) とできる。任意の正の数 r > 0 に対し E_r ⊂ D(0, R + r) であるから、
E_r は有界である。また、 E_r の補集合は E 上の各点からの距離が r より真に大きな点
からなる集合であり、開集合となる。すなわち、 E_r は閉集合。よって、コンパクト集合
である。
」

「E_r の補集合は E 上の各点からの距離が r より真に大きな点からなる集合であり、開集合となる。」

↑これは自明じゃないですよね？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/27(金) 21:13:50.22

a ∈ C とする。
関数 f : C ∋ x → |x - a| ∈ R は、連続関数である。

証明：

x_0 ∈ C とする。

f(x) - f(x_0) = |x - a| - |x_0 - a| ≦ |x - x_0|
f(x_0) - f(x) = |x_0 - a| - |x - a| ≦ |x_0 - x|

∴ |f(x) - f(x_0)| ≦ |x - x_0|

任意の正の実数 ε に対して、 δ = ε とすれば、

|x - x_0| < δ ⇒ |f(x) - f(x_0)| ≦ |x - x_0| < δ = ε

が成り立つから、 f は連続関数である。

a ∈ C とする。
関数 g : E ∋ x → |x - a| ∈ R は、コンパクト集合 E 上の連続関数である。

よって、 g は E 上で最大値・最小値をとる。

110 自分：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2019/09/27(金) 19:48:42.53 ID:N/cfTNg/ [4/7]
x ∈ C とする。

dist(x, E) := min {|x - y| | y ∈ E}

と定義する。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/27(金) 21:14:18.40

C ∋ x → dist(x, E) ∈ R は連続関数である。

証明：

x, x_0 を任意の複素数とする。

任意の y ∈ E に対して、

dist(x, E) ≦ |x - y| ≦ |x - x_0| + |x_0 - y|

が成り立つ。

y_0 を

dist(x_0, E) = |x_0 - y_0|

を成り立させる E の元とする。

↑の不等式から、

dist(x, E) ≦ |x - y| ≦ |x - x_0| + |x_0 - y_0| = |x - x_0| + dist(x_0, E)

∴ dist(x, E) - dist(x_0, E) ≦ |x - x_0|

x と x_0 は任意だったから、

dist(x_0, E) - dist(x, E) ≦ |x - x_0|

も成り立つ。

∴ |dist(x, E) - dist(x_0, E)| ≦ |x - x_0|

任意の正の実数 ε に対して、 δ = ε とすれば、

|x - x_0| < δ ⇒|dist(x, E) - dist(x_0, E)| ≦ |x - x_0| < δ = ε

が成り立つから、 C ∋ x → dist(x, E) ∈ R は連続関数である。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/27(金) 21:14:34.45

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/27(金) 23:22:32.63

いやあ自明だと思うけどね
補集合の1点取ってきたらeとの距離はrより真に大きいんだから
その値とrとのギャップで円の半径決めれば明らかに分離できるでしょ

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/27(金) 23:24:41.07

真に大きい事も閉集合なんだから明らかだし

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/27(金) 23:32:03.93

慣れてれば明らかだけどまあ慣れてないならしっかり行間は埋めて
られるようにしておいた方がいいね
形式的にしっかり書くならそうなるだろう

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/28(土) 00:25:56.47

x[n]∈E_r、lim x[n]=xとする。
y[n]∈Eをd(x[n],y[n])≦rととれる。
Eはコンパクトだから(必要なら部分列をとって)lim y[n]=y∈Eとしてよい。
この時d(x,y)≦r。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/29(日) 20:58:00.20

5800
かずきち@dy_dt_dt_dx 9月29日
京大オープン経済190/550しか取ってないやつにマウント取られて草
お前より90点高いんだよ黙って勉強しろ
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/29(日) 23:34:55.48

マラソンについて質問です。

マラソンをテレビで見ていると、明らかに駆け引きが存在することが分かります。

解説者も駆け引きについて説明したりします。

サッカーのような競技とは違い、普通に考えれば、他の選手のことなど一切考えずに、
ゴールするまでのタイムが最小になるようにするにはどういうペースで走ればいいかのみ
を考えて走るのが最適な戦術であるように思います。

ところが、実際には相手の走り方に影響を受けて、自分の走り方を決めているように見えます。

これについて何か合理的な説明は可能でしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/30(月) 08:29:37.54

終盤で優勝争いになればしかたないけど・・・
マイペースで走って無駄なスパートとかしないのが得策ぢゃね？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/30(月) 11:53:40.41

fがU⊂R^n上で一様連続であるとき単位法線ベクトルnに対して
∫[U] f_(x_i)(x) dx = ∫[∂U] f(x)n_i dS
を示して下さい

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/30(月) 13:26:46.26

ガウスの定理ならググったほうが早い

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/30(月) 13:28:25.07

>>191
ついて行くのは簡単→ピッチ合わせて呼吸合わせるだけ
ピッチを作るのは他の選手を上回るだけの体力が必要

車で例えるなら100キロの車を追い抜くのに最低時速110キロで車間もわからないが大体6秒必要。それが人間の場合体力となる。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/01(火) 21:02:04.71

>>191
空気抵抗考えるだけで、マイペースベストなどとは言えなくなるが。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/03(木) 16:07:17.47

https://imgur.com/B4peVPp.jpg

川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

問題：

領域 D 内に任意の円板 E をえらび、それを「割った卵」に見立てて、図の左側のように「黄身」と「白身」に塗り分ける。
このとき、 D 上の定数関数ではない正則関数 f(z) による E の像は、決して図の右側のようにならない。すなわち、「黄身」が「白身」よりも外側に飛び出すことはない。

その理由を説明せよ。

解答：

もしそのように「黄身」が飛び出したと仮定すると、適当な1次関数 g(z) = exp(i*θ) * z + B（回転と平行移動）を用いて、
g(f(z)) が「黄身」の部分で最大絶対値をとるようにできるが、 g(f(z)) は正則であり、「黄身」の部分に E の境界点はないので、定理5.11に矛盾。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/03(木) 16:09:01.86

g(z) = exp(i*θ) * z + B = exp(i*θ) * (z + exp(-i*θ) * B)

|g(f(z))| = |exp(i*θ) * (f(z) + exp(-i*θ) * B)| = |f(z) + exp(-i*θ) * B|

だから、証明に用いている g(z) は、よりシンプルな g(z) = z + B（平行移動）でOKですよね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/03(木) 16:10:11.74

>>197

この問題の解答ですが、もっと大きな問題があります。

「黄身の像の部分で最大絶対値を取るように平行移動できるとは限らない」

という指摘がありました。

確かにそうだと思います。

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/03(木) 16:11:10.78

そこで、質問ですが、実際に、「黄身は白身の外に出ない」というのは成り立ちますか？成り立ちませんか？