分からない問題はここに書いてね457

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/27(金) 23:32:35.42

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね456
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1567866548/

(使用済です: 478)

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/27(金) 23:41:57.72

ここは分からない問題を書くスレです。
お願いごとをするスレでも分からない問題に答えてもらえるスレでもありません。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/28(土) 07:26:23.52

前スレhttps://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1567866548/975
の続き
6人を定員2人の3部屋にわける場合を考える
部屋割りのやり方を列挙すると

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 1 1 2 2 3 3
[2,] 1 1 2 3 2 3
[3,] 1 1 2 3 3 2
[4,] 1 1 3 2 2 3
[5,] 1 1 3 2 3 2
[6,] 1 1 3 3 2 2
で始まり
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[85,] 3 3 1 1 2 2
[86,] 3 3 1 2 1 2
[87,] 3 3 1 2 2 1
[88,] 3 3 2 1 1 2
[89,] 3 3 2 1 2 1
[90,] 3 3 2 2 1 1
で終わる　90通り

このうち、5番と6番が同じものは
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 1 1 2 2 3 3
[2,] 1 1 3 3 2 2
[3,] 1 2 1 2 3 3
[4,] 1 2 2 1 3 3
[5,] 1 3 1 3 2 2
[6,] 1 3 3 1 2 2
[7,] 2 1 1 2 3 3
[8,] 2 1 2 1 3 3
[9,] 2 2 1 1 3 3
[10,] 2 2 3 3 1 1
[11,] 2 3 2 3 1 1
[12,] 2 3 3 2 1 1
[13,] 3 1 1 3 2 2
[14,] 3 1 3 1 2 2
[15,] 3 2 2 3 1 1
[16,] 3 2 3 2 1 1
[17,] 3 3 1 1 2 2
[18,] 3 3 2 2 1 1
の18通り
> 18/90　=　0.2は直感に反する、90通りが同様に確からしいという前提が間違い
数えてみると6人からどの2人の組み合わせでも同室になる場合は18通りになっている。
> FUN <- function(x) sum(dat3[,x[1]]==dat3[,x[2]])
> combn(1:6,2,FUN)
[1] 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/28(土) 07:57:41.94

１，２が同室、１，３が同室、２，３が同室、５，６が同室となる場合を選んで、シミュレーションしてみた。
同様に確からしければ1/90=0.01111=1.111111%の近似値が返ってくるはず。

# 同様に確からしくないシミュレーション
rm(list=ls())
r12=c(1,1,3,2,2,3)
r13=c(1,2,1,3,2,3)
r23=c(1,2,2,3,1,3)
r56=c(2,1,1,2,3,3)

sim <- function(x,n=6){ # 部屋の割当がxと等しいかT/Fを返す
r=numeric(n) # １～6人の部屋番号（１～３）の配列
for(i in 1:n){
j=which(c(sum(r==1)<n/3 , sum(r==2)<n/3 , sum(r==3)<n/3 ))　#　定員に達していない部屋から
r[i]=as.numeric(sample(as.character(j),1)) # ランダムに割り当てる
}
all(x==r)
}
mean(replicate(1e5,sim(r12)))*100 # 百分率%表示
mean(replicate(1e5,sim(r13)))*100
mean(replicate(1e5,sim(r23)))*100
mean(replicate(1e5,sim(r56)))*100

実行結果
> mean(replicate(1e5,sim(r12)))*100 # 百分率%表示
[1] 1.384
> mean(replicate(1e5,sim(r13)))*100
[1] 0.949
> mean(replicate(1e5,sim(r23)))*100
[1] 0.915
> mean(replicate(1e5,sim(r56)))*100
[1] 1.874

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/28(土) 09:59:47.46

lim [n→∞] e^(-n)*(2n,n)
を求めよ。
（(m,k)は二項係数で、mCkとも書く）

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/28(土) 11:34:29.46

>>3
６人を定員二人の３つの部屋に部屋を区別して分ける分け方は、
C(6,2)*C(4,2)=90

特定の二人が同じ部屋になる分け方は、他の二部屋に残りの４
人をどう振り分けるかなので、部屋を区別すれば、
3*C(4,2)=18

どの分け方も同確率で起きるとすれば、特定の２人が同じ部屋に
なる確率は　18/60=1/5

くじ引き方式（６枚の紙に３つの部屋番号を書いて６人に引かせる）
の場合がこのケースにあたる。くじを引く順番とは関係なくなる。

一方、ルーレット方式だと、
１番と２番が同じ部屋になる確率は、は1/3=0.333
2番と３番が同じ部屋になる確率は(1-1/3)*1/3=2/9=0.222
(１番と３番が同じ部屋になる確率も2/9)

３番と４番が同じ部屋になる確率は、１番と２番が同じ部屋という
条件なら1/2なので、1/3*1/2=1/6
１番と２番が別の部屋で、かつ１番とも２番とも３番が同じ部屋でない
という条件なら、1/3なので(1-4/9)*1/3=5/15=5/27
よって、1/6+5/27=17/54=0.315

５番と６番が同じ部屋になる確率は
　１番と２番が同じ部屋で３番と４番も同じ：1/6
１番と３番が同じ部屋で２番と４番も同じ：2/9*1/2=1/9
　１番と４番が同じ部屋で２番と３番も同じ：2/9*1/2=1/9
のいずれかの場合なので、1/6+1/9+1/9=7/18=0.389

間違ってたらスマソ

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/28(土) 11:52:36.23

>>5
n: 1以上の自然数
とすると
e*(n/e)^n <= n! <= e*n*(n/e)^n
より
4^n / (e* e^n * n^2) <= e^(-n) * (2*n, n)
だから+∞に発散

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/28(土) 12:48:28.51

この証明なんで収束すると仮定するとh-1=hとなるのでしょうか？
http://mathworld.wolfram.com/BernoullisParadox.html

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/28(土) 14:47:23.80

>>8
ここの No.344 参照。

ttp://www.junko-k.com/cthema/15zeta1.htm

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/28(土) 15:31:07.85

>>6

6人のうち特定の2人が同室になる確率をシミュレーションでだしてみた。

person.1... person.2... 同室確率
1 1 2 0.3323
2 1 3 0.2212
3 1 4 0.1840
4 1 5 0.1314
5 1 6 0.1273
6 2 3 0.2206
7 2 4 0.1872
8 2 5 0.1341
9 2 6 0.1264
10 3 4 0.2379
11 3 5 0.1590
12 3 6 0.1554
13 4 5 0.1971
14 4 6 0.1992
15 5 6 0.3859

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/28(土) 15:50:00.18

シミュレーション回数を1万から10万に増やした

person.1... person.2... 同室確率
1 1 2 0.33565
2 1 3 0.22310
3 1 4 0.18546
4 1 5 0.12928
5 1 6 0.13020
6 2 3 0.22420
7 2 4 0.18265
8 2 5 0.13074
9 2 6 0.13143
10 3 4 0.24123
11 3 5 0.15762
12 3 6 0.15692
13 4 5 0.19368
14 4 6 0.19190
15 5 6 0.38901

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/28(土) 17:47:36.78

900人を対象に実施したある試験の得点は，平均が300点，標準偏差が30点の正規分布に従うという。
成績が上位100番までの受験者の得点は，何点以上と考えられるか。

800人のYバーをXバーについて解くを考えました。しかし、一次方程式を作れませんでした。
σ^2/n=900/800なども考えました。Zでの変な等式のすごい作業量の計算をしました。
無作為抽出はあっても、上位100番の例題はありません。
先生限界です。もう教えていただけませんか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/28(土) 18:08:53.07

>>12
> qnorm(1-100/900,300,30)
[1] 336.6192

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/28(土) 18:11:08.21

> curve(dnorm(x,300,30),0,600,bty='l')
> qnorm(1-100/900,300,30)
[1] 336.6192
> # simulation
> x=300+scale(rnorm(900))*30
> hist(x)
> quantile(x,c(800/900))
88.88889%
337.376
> sort(x,dec=T)[100]
[1] 337.5716

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/28(土) 18:22:59.50

>>12
https://i.imgur.com/jWaCDC3.jpg

青の面積が100/900となる＊を正規分布表を使ってだせという問題じゃないの？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/28(土) 19:40:23.17

>>12
X～N(300,30^2)
Y=(X-300)/30～N(0,1)
X=300+30Y
P(X>x)=P(300+30Y>x)
=P(Y>(x-300)/30)=100/900=0.11111
(x-300)/30=1.220640
x=300+30*1.220640

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/28(土) 23:48:56.11

https://i.imgur.com/JCHcmzf.jpg
？の角度の解き方の解法を教えて下さい
答えは30°らしいのですが解き方が解りません

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/29(日) 00:29:18.92

>>17左右の開口部を閉じるしかないだよ。左上から反時計まわりに四角形ABCDとして、ACとBDの交点をGとすると、
AB=GBとしか思えない。できればメネラウスの定理かピタゴラスの定理でスカッと出したいところ。
∠BAG=180°-72°-24°-？=84°-？
∠AGB=24°+？
∠BAG=∠AGBより
84°-？=24°+？ ∴？=30°

【末吉】 · 2019/12/29(日) 00:45:37.76

前>>18
ABを1としたときのBD=x（一辺1の正五角形の対角線の長さx）は、
1/x+1=xを解いて、
1+x=x^2
x^2-x-1=0
x=(1+√5)/2
線分の長さAD=BD=BC=xからAB=GBを出そうと思ったんだけど、メネラウスだと文字3つ式2つじゃ解けないし。結果は間違いないと思うんだけど。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 01:10:52.02

>>3
サイコロを6回振り、選択肢が三つある場合は、(123456)→(AABBCC)
Bが満室になり、選択肢が二つになった場合は、(123456)→(AAACCC)
等と読み替えてカウントするようなプログラムを作りました。

12,13,14,15,16,
23,24,25,26,
34,35,36,
45,46,
56 に対応するカウントが下。合計すると3*6^6　になります。

15552,10368,8640,6048,6048,
10368,8640,6048,6048,
11232,7344,7344,
9072,9072,
18144

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 01:17:19.14

6^6　で割って、分数表記すると下です。

1/3 2/9 5/27 7/54 7/54
2/9 5/27 7/54 7/54
13/54 17/108 17/108
7/36 7/36
7/18

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 02:15:19.57

>>5
　a_n = e^(-n)･(2n,n)　とおく。

　a_1 = 2/e
n≧2 のとき
　a_n / a_{n-1} = (2n)(2n-1)/(nne)
　= (4 - 2/n)/e
　≧ 3/e,
∴　a_n ≧ (2/3)･(3/e)^n　→ ∞

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 02:31:07.98

lim [n→∞] 4^(-n)･(√n)･(2n,n)
を求めよ。
（(m,k)は二項係数）

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 03:59:08.23

>>23
2・4^(-2n)・n・(2n,n)^2 = (2n)・((2n-1)!!/(2n)!!)^2 → 2/π (Wallisの公式)

4^(-n)・(√n)・(2n,n)→1/√π

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 04:47:02.92

>>24
　正解です!!

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 04:54:01.80

>>17
A,B,C,Dを >>18 のようにおく。
AD = DB = BC = 1 とすると、底辺ABの長さは正弦定理から
　AB = sin(36ﾟ)/sin(72ﾟ) = 1/{2cos(36ﾟ)} = sin(30ﾟ)/sin(54ﾟ),
底辺ABを共有するもう一つの三角形の頂角ABC=x に対して、底角BACは 84ﾟ-x
になるが、これに正弦定理を適用すると、
　AB = sin(x)/sin(84ﾟ-x),

∴　sin(x)sin(54ﾟ) = sin(30ﾟ)sin(84ﾟ-x)
ところで
　sin(x)sin(54ﾟ) = [cos(54ﾟ-x) - cos(54ﾟ+x)]/2,
　sin(30ﾟ)sin(84ﾟ-x) = [cos(54ﾟ-x) - cos(114ﾟ-x)]/2,
よって
　cos(54ﾟ+x) = cos(114ﾟ-x),
　54ﾟ+x = 114ﾟ-x,
　x = 30ﾟ

[前スレ.919,946,949]

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/29(日) 06:30:05.24

前>>18
今みんなで正弦定理を使わない解き方を考えてたところでした。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 06:37:44.43

>>20
参考にしたいので
できればソースをどこかにあげていただきたい。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 06:57:08.77

>>23
>（(m,k)は二項係数）
(m-k,k)と書くのが普通だと思うよ
(n1,n2,…,nk)=(n1+n2+…+nk)!/Π(ni!)

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 07:00:09.61

Σ[n=0,∞]{(π/2)・4^(-2n)・(2n,n)^2 - 1/(2n+1)}
を求めよ。
((m,k)は二項係数)

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 07:02:59.74

>>21
すばらしい！
c(1/3,2/9,5/27,7/54,7/54,
2/9,5/27,7/54,7/54,
13/54,17/108,17/108,
7/36,7/36,
7/18)
=
[1] 0.3333333 0.2222222 0.1851852 0.1296296 0.1296296 0.2222222 0.1851852 0.1296296 0.1296296
[10] 0.2407407 0.1574074 0.1574074 0.1944444 0.1944444 0.3888889
>11の近似値と合致

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 07:51:49.27

>>30
ln2

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 08:27:14.36

>>32
導出過程は？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 09:32:45.20

>>19
>>26
ありがとうございました
求められました！

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 09:54:24.62

郵便局(投信かんぽ)詐欺事件
(約18万件の詐欺被害は氷山の一角)

消えた年金問題より深刻な事態

返金問い合わせ！
NHK
https://www.nhk.or.jp/gendai/kiji/153/index.html

※ゆうちょ銀行・かんぽ生命
書類有効返金なし

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 10:09:40.94

>>17
図の、等しい長さを半径とする二つの円を描き、
24+36=60を利用して、正三角形を二つ描けば解ける。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 10:30:41.94

>>36
kwsk

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 10:31:41.93

>>27
折れ線の長さが等しくないときの一般解の方が面白い。
偏角使えばすぐできるけど。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 10:33:51.40

>>28

少々のコメントと、小数表記出力を加えたソースと実行結果です。

http://codepad.org/5OkQN9DL

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 10:41:31.30

>>3
結局
m人をa1人～an人に部屋分けするとは
Ωm={1,…,m}=ΣAk : #Ak=akに直和分解するということ
このような直和分解(A1,…,An)が与えられたとき
それが起こる確率をP(A1,…,An)とすれば
σ∈Snに対してP(Aσ1,…,Aσn)=P(A1,…,An)　（部屋番の入れ替えで同一）
P(A1,…,An,Φ)=P(A1,…,An)　（入れない部屋は有っても無くても同じ）
P(A1)=1　（一部屋しかなければ必然）
うーん
これから漸化式どうすればよいやら

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 10:44:04.79

2A=B^2+B
上の式でAが解かっているとき、Bを求める式を教えて下さい
お願いします

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 11:57:53.93

>>41
高校で習った２次方程式の解の公式使えばいいでしょ。
B={-1±√(1+8A)}/2

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 12:42:31.83

>>42
教えてくださりありがとうございました！！

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 13:24:34.92

体積積分にした後の積分範囲が上手く決められないです
どなたか教えて下さい
https://i.imgur.com/fGFyMh3.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 13:33:04.62

とりあえずdivは？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 14:24:28.40

>>39
ありがとうございます。やはりCで書かれておりましたか。
以前にも教えていただいた方かと存じます。
これをRに移植するのは私の手には負えないので、Rで最初から作ってみました。
整数表示はできておりません。

ra2p <- function(x){ # 部屋割り配列からその確率を返す room allocation to probability
n=length(x)
y=numeric(3) # ルーレット後にA,B,Cに埋まった人数の数列
z=0 # ルーレット後に満室の数
p=numeric(n) # 収容可能な部屋から特定の部屋が選ばれる確率の配列
p[1]=1/3

for(i in 1:(n-1)){
xi=x[1:i] # i番目までの部分数列
y=c(sum(xi==1),sum(xi==2),sum(xi==3)) # A,B,cの収容人数
z=sum(y==n/3) # 満室の数　0 ～３
p[i+1]=c(1/3,1/2,1,1)[z+1] ;p # 1/(残り部屋種類数)　1/3, 1/2, 1のいずれか
}
prod(p)
}

# sum(apply(dat3,1,ra2p)) # 総和１を確認

srp <- function(x){ # a,bが同室の部屋割り配列の確率を総和する
a=x[1]
b=x[2]
sum(apply(dat3[dat3[,a]==dat3[,b],],1,ra2p))
}

p=combn(n,2,srp) # 組合わせごとに実行
person=combn(6,2)
data.frame(person[1,],person[2,],同室確率=p)

結果は一致したようです。
person.1... person.2... 同室確率
1 1 2 0.3333333333
2 1 3 0.2222222222
3 1 4 0.1851851852
4 1 5 0.1296296296
5 1 6 0.1296296296
6 2 3 0.2222222222
7 2 4 0.1851851852
8 2 5 0.1296296296
9 2 6 0.1296296296
10 3 4 0.2407407407
11 3 5 0.1574074074
12 3 6 0.1574074074
13 4 5 0.1944444444
14 4 6 0.1944444444
15 5 6 0.3888888889

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 14:35:24.81

9人を定員3の3部屋に分ける場合、同室になる確率。

> data.frame(person[1,],person[2,],同室確率=p)
person.1... person.2... 同室確率
1 1 2 0.3333333333
2 1 3 0.3333333333
3 1 4 0.2962962963
4 1 5 0.2592592593
5 1 6 0.2345679012
6 1 7 0.1985596708
7 1 8 0.1723251029
8 1 9 0.1723251029
9 2 3 0.3333333333
10 2 4 0.2962962963
11 2 5 0.2592592593
12 2 6 0.2345679012
13 2 7 0.1985596708
14 2 8 0.1723251029
15 2 9 0.1723251029
16 3 4 0.2962962963
17 3 5 0.2592592593
18 3 6 0.2345679012
19 3 7 0.1985596708
20 3 8 0.1723251029
21 3 9 0.1723251029
22 4 5 0.2777777778
23 4 6 0.2530864198
24 4 7 0.2124485597
25 4 8 0.1838991770
26 4 9 0.1838991770
27 5 6 0.2901234568
28 5 7 0.2402263374
29 5 8 0.2070473251
30 5 9 0.2070473251
31 6 7 0.2772633745
32 6 8 0.2379115226
33 6 9 0.2379115226
34 7 8 0.3371913580
35 7 9 0.3371913580
36 8 9 0.5169753086

とても３０人での435通りにはオーバーフローして算出は無理でした。

**哀れな素人** · 2019/12/29(日) 16:33:20.16

>>37
>>17の図のＺ形の折れ線の端を、左上から順にＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄとする。
Ｃを中心として半径ＣＢ＝ＣＤの円Ｅを描く。
次にＣＤを底辺とする正三角形を描き、その頂点と円Ｅとの交点をＦとする。

するとＡＦはＣＢと平行である。
なぜならＡＢとＣＦは長さが等しく、ＣＢとなす角も36°で等しいから。
ゆえに∠ＡＦＣ＝36°
また∠ＡＣＦも36°である。
なぜなら二等辺三角形ＢＡＣの底角72－36＝36°だから。
ゆえにＡＣＦは二等辺三角形だからＡＣ＝ＡＦ。

ゆえに△ＡＣＤと△ＡＦＤは三辺が等しいから合同。
ゆえにｘ＝30°

**哀れな素人** · 2019/12/29(日) 16:37:37.10

なぜかIDが変わっているが、>>36の投稿は僕である(笑

名前を入れると質問少年が粘着して来るから入れなかった(笑

パソコンが壊れそうなので、投稿は控えている(笑

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 18:00:02.82

絶対収束する無限級数は足す順番を入れ替えることが出来る、と習いました。
すなわち、どんな全単射ρ:N→Nに対しても絶対収束するなら蚤_n=蚤_ρ(n)である、という説明でした。
しかしこれでは、nの偶奇で場合分けして足すことが正当化出来ない気がします。
123456789を135792468と並べ替えることは出来ますが、これが自然数全体になってくると全単射を構成するのは無理な気がします。
nの偶奇で場合分けして無限級数を計算することはどういう場合に限り正当化出来るのか教えてください。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 20:12:17.25

>>27 正弦定理を使わない解き方
>>38 偏角使う方法
　-1 + e^(24ﾟi) - e^(-12ﾟi) = - e^(-30ﾟi){e^(30ﾟi) - e^(54ﾟi) + e^(18ﾟi)},

　Im{e^(30ﾟi) - e^(54ﾟi) + e^(18ﾟi)} = 1/2 - sin(54ﾟ) + sin(18ﾟ)
　= {1 + 2sin(234ﾟ) + 2sin(18ﾟ)}/2
　= {sin(90ﾟ) + sin(306ﾟ) + sin(234ﾟ) + sin(162ﾟ) + sin(18ﾟ)}/2
　= 0,　　　(←正5角形)
より
　e^(30ﾟi) - e^(54ﾟi) + e^(18ﾟi) = AC,　(=実数)

　-1 + e^(24ﾟi) - e^(-12ﾟi) = - AC･e^(-30ﾟi).

[前スレ.995]

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 20:23:46.83

>>44
４．曲面Sは原点Oを中心とし、半径が3の球面、S: x^2+y^2+z^2 = 3^2 とする。
ベクトル場Ｆ(x,y,z) を
　　Ｆ(x,y,z) = (2x+y-z)ｉ+ (x+3y+2z)ｊ+ (-x-y+4z)ｋ
とするとき、面積分∫_S Ｆ・ｎ dS をガウスの発散定理を用いて求めよ。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/29(日) 20:29:46.99

>>48∠ABC=36°だからといって∠AFC=36°かどうかはわからないと思う。CFとABの交点がAとFから等距離にあれば底角等しいから36°だけど。線分ACからの円周角ってわけにもいかないし、たまたま36°だと思う。CB//AFなら∠AFC=36°だけど。
￣￣]/＼前>>27_______
____/＼/,,､､　　　　 )
￣￣＼/彡-_-ﾐ　　　 /
￣￣|＼_U,~⌒ヽ___／|
□　| ∥￣~U~U~￣∥ |
____| ∥ □　□　∥ |/
_____`∥_________∥／

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 20:33:03.80

>>48
おお、なるほど！GJ!!

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/29(日) 21:08:44.97

前>>53
AC:CF=2:1+√5
∠ACF=∠ACB-∠FCB
=72°-(60°-24°)
=36°
△ACFの辺の比となす角は正五角形の一辺と対角線のそれであるから、
∠AFC=36°こうじゃないか。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/29(日) 21:18:50.23

前>>55
ADとCFが直交するから、
？=∠CDA=60°/2=30°
正五角形の中に正三角形を描くなんてずるいな。
もっとメネラウスとかでポンッと出してみろよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 22:02:53.36

>>56
もっとズルいのが複素平面で偏角を使って解く方法。
幾何の知識ほぼ０でも解けちゃう。
こんな感じ
https://i.imgur.com/OHBXKGl.jpg

Rのソースはhttps://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1575242106/662

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 22:05:15.92

それはあかん。
Rはあくまで近似計算しかできん。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/29(日) 22:07:24.23

iとかeとかわかりにくい。前>>56メネラウスでどうやって解くか。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 23:30:08.04

以下の2つの方程式がともに実数解のみを持ち、かつ2つの方程式でそれらの解がすべて一致するように、実数aの値を定めよ。
ただし、実数sに対して[s]はsを超えない最大の整数を表す。

x^3-ax^2+2=0
[x]^3-a[x]^2+2=0

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 23:45:19.44

>>58
いや、単に数式を書いてRに計算させるだけだぞ。
二次方程式の解の公式に係数を入力して計算させるのと同じ。

# 長さL,M,NのZ尺を角度A°（LとMのなす角）、B°（LとMのなす角）で折り曲げたとき
# 先端と終端を結ぶ線とZ尺の作る角度および先端と終端の距離
# https://i.imgur.com/pr80GBC.jpg

L=1；M=1；N=1；A=36；B=24
alpha=B/180*pi
beta=A/180*pi
a=M/N
b=L/N
P=a*(cos(alpha)+1i*sin(alpha))
Q=P+b*(cos(alpha+pi-beta)+1i*sin(alpha+pi-beta))
Langle=(pi-Arg(Q-1))/pi*180 # degree of Q-1-0
Uangle=Arg(Q-P)/pi*180 - Arg(Q-1)/pi*180 # degree of P-Q-1
length=abs(Q-1)*N # length of Q1

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 23:47:10.57

(±1)(±1)+(±1)(±2)+(±1)(±2)≡1 (mod 2)

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 23:48:20.64

>>61
だからその計算が数値計算だっての。
多分なんでダメか君にはわからん。
計算論ちゃんと勉強してないと無理。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 23:50:48.68

>>59
折れ線が長さL,M,Nとして
角度A°（LとMのなす角）、B°（LとMのなす角）のときの計算式はメネラウスで出せるの？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/29(日) 23:59:03.88

>>63
偏角使って計算するだけだから、他のソフトでもできるだろ。

wolframで解いた回答も前スレにあったし。

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1567866548/938

他のソフトでも出来るね
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28180%2Fpi%29*arg%281%2Bexp%28i*%2813%2F15%29pi%29%2Bexp%28i*%281%2F15%29pi%29%29

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 00:00:35.53

>>51
ヴェクトルによる方法
↑AD の向きに主軸をとる。
↑AB:　x-12ﾟ
↑BC:　x+204ﾟ
↑CD:　x
より、↑AD の垂直成分は
　sin(x-12ﾟ) + sin(x+204ﾟ) + sin(x),
あるいは
　sin(192ﾟ-x) + sin(336ﾟ-x) + sin(x),
平均して
　{sin(x-12ﾟ) + 2sin(x) + sin(192ﾟ-x) + sin(x+204ﾟ) + sin(336ﾟ-x)}/2,
x=30ﾟとおけば左辺は
　{sin(18ﾟ) + sin(90ﾟ) + sin(162ﾟ) sin(234ﾟ) + sin(306ﾟ)}/2 = 0　　←正5角形
となり与式を満たす。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/30(月) 00:02:02.85

前>>59
>>64折れ線の長さは、
左上と左下の頂点間の距離aにたいして三本とも同じ長さで、
(1+√5)a/2
です。

【大吉】 · 2019/12/30(月) 00:03:04.09

前>>59
>>64折れ線の長さは、
左上と左下の頂点間の距離aにたいして三本とも同じ長さで、
(1+√5)a/2
です。

開運!!

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 00:03:17.58

>>65
だから君には私がなに言ってるか理解するのは無理。
他のちゃんと計算論勉強した事があるか、もしくはそこまで行かなくてもコンピュータにいかに人間のかわりに計算、証明ができるかキチンと考えた事ある人間なら私がなに言ってるか最初のレスで分かったはず。
もうこの時点ですらそんな事いってるようでは到底理解できないよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 00:22:34.12

>>69
いや、手作業でやっていることを計算機に計算させているだけだろ。
手作業の分数表示が小数表示になるだけ。
乱数発生でのシミュレーションは疑似解だけど
該当する候補を虱潰しに列挙して確率を総和しているのは別に擬似解じゃないぞ。

> 1/2*1/3
[1] 0.1666666667
を
1/6と書くかの差だろ？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 00:27:01.09

>>67
同じ長さじゃないときの角度計算をしたいだけの話。

こういうプログラムを書きたかっただけの話。

長さが２，３，１で角度が３０°６０°の場合
https://i.imgur.com/uRIhCVP.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 00:28:54.53

違う。
Rがやってるのは数値計算。
抽象代数計算は標準のライブラリではやってない。
もちろんチューリング完全だから抽象代数計算させるプログラムを組めばいいが標準のライブラリは数値計算。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 00:30:50.92

>>72
角度を求めよ、という問題だったから、数値で答えればいいんじゃね？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 00:40:11.43

>>73
違う。
仮に計算機が30.000000と言う値を出したとしてもそれでわかるのは30.000000±0.00000001という事でしかない。
人間や抽象代数計算のライブラリがあるソフトなら答えが正確に30になる事の証明を与える事ができる。
そのプログラムはそこまで難しくはないけど標準で入ってるソフトは多分ない。
私は昔作ったことあるけど遅いし問題を立式して方程式を与えるとこまでは手計算でしないといけない仕様でめんどくさくて実用性は全然だった。
30.000000±0.0000001だから30でいいと思えるならそれでどうぞ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 00:46:49.32

>>56

>>59

>>64
　出ません

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 01:08:01.88

>>17
何だかんだ言って図を描いたほうがわかりやすいかもね
http://imgur.com/h7IrtTv.jpg

BE=BD、∠EBD=36°、∠EBC=60°となるように点Eをとり、BEとADの交点をFとする
・∠FBD=∠FDBだから BF=DF、これと BE=DA より FE=FA
　さらに∠BFD=∠EFAだから、⊿BFD∽⊿EFA
　よって∠FEA=∠FBD=36°①
・AD=BDだから∠ABD=∠BAD=(2∠R-∠ADB)÷2=72°
　よって∠ABE=∠ABD-∠EBD=36°②
・∠CBE=60°、BC=BEだから⊿CBEは正三角形
　よって、BC=EC③
・①、②より、AB=AE これと③より、⊿ACB≡⊿ACE
　よって∠ACB=∠ACE=∠BCE÷2=30°

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 01:17:57.43

>>74
計算器の精度を知っていればいいんじゃないの？
こういうのがプログラムのバグの原因になったりするけど。

> (1.2-1)*5
0.9999999999999998

> 0.72*5-3.6
-4.440892098500626e-16

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 01:19:56.13

>>77
やっぱりまったく分かってもらえないようだ。
ここまで説明してわからないならやっぱり君には理解できないよ。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/30(月) 01:24:45.01

前>>67-68
>>17答えは30°でいいと思う。
ただ出し方が正五角形とか正三角形とか自然界の偶然にあまりに委ねすぎてる感があって、実感が持てないというか、たまたま結果オーライというか。
メネラウスの定理で左上と左下の頂点間の長さとその線分と36°をなすその(1+√5)/2倍の線分上の折れ線の端と端を結んでできる交点までの長さがちょうど同じ長さになるとわかったら、それがいいと思うんだよなぁ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 01:47:14.50

>>77
例えばこういう例(なぜeやπは様々な性質を持つのか？-63)：

> P = ln(640320^3 + 744)/√163
> はπと30桁一致するが、πとは異なる超越数である。

は通常の計算機の精度ではπと区別がつかず、
某関数電卓ではPをπと誤って表示するそうです。

いくら計算機の誤差を認識していてもこういう例は無数に存在するので、
数学の証明には直接使えない。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 01:55:53.98

これはまぁかなり哲学的なこだわりでもあるからなぁ。
ある意味数学畑の人間しか理解できないかもしれない。
計算機で30.の後ろに例え0が100個並んだとしても数学畑の人間には、答えは30とわかった、どうやって証明しようと考え始めるだけの話で答えが出たとは思わない。
もちろん何度か求めよから30°である事を示せに変わっただけでグッと難易度は下がる、でもそれだけ。
数学畑の人間じゃない人にはバカじゃないと思われてもしょうがない所なのかもしれないけど。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 02:00:50.26

>>80
それを区別する必要があるかどうかは出題者が求めてるもの次第だし
駄目と一概に否定するような話じゃないでしょ

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 02:02:32.98

>>81
哲学的なこだわりというか空気読めてないだけだと思うぞ

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 02:09:25.96

数学の問題で計算機で計算して誤差0.000001ならもうOKなんて事は有り得ないでしょ？
そもそも出題者に納得してもらえないからダメなんじゃなくて±10^(-100)の誤差でも納得しないのは自分自身だよ。
逆に言えばおそらくそんなこだわりを理解してもらえるのは同じ数学畑の人間にだけわかってもらえれば十分だし、そうでないはたけあの人が30.00000なんだから30でいいだろってのは、そっちはそれでわかるしね。
この辺のこだわりがわからない人に無理にわかってもらおうとは思わない。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 02:20:57.73

実用上は
>(1+1/10-1)*10==1
[1] FALSE
> (1-1+1/10)*10==1
[1] TRUE
こういうのがあるから困る。
n進法の小数点表示プログラムを書こうとしたときデバッグしていて気づいた。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/30(月) 02:21:06.42

前>>79別解。もっとも自然な解き方。右利き向け。ずるくない。
>>17折れ線の左上をA、右上をB、左下をCとすると、
AB=BC、∠ABC=36°
AB=BC=CD、∠BCD=36°となるDをとり、
AB=BC=CD=DE、∠CDE=36°となるEをとると、
AB=BC=CD=DE=EA、∠DEA=36°となった。
∠BAEの二等分線を引くとCDと直交し、折れ線の端に達するから、
？=90°-(36°+24°)
=30°
∴示された。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 03:06:44.46

>>85
丸め誤差と呼ばれる
実数を扱う場合もっとも留意が必要な事柄のひとつ

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 07:27:53.68

三角形ABCに内接する楕円で面積が最大になるとき
面積を辺の長さa,b,cを用いて表すとどうなるか

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 08:15:28.38

π√s(s-a)(s-b)(s-c)/27)

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 08:39:35.17

二次関数のグラフに関して気持ち悪くなってきたので質問させて下さい

xy平面に2次関数のグラフは描けますね
これは問題ない
y軸と交わればそれが方程式の解になる
これもOK
交わらないものの解は複素数になる、それは実軸と虚軸で表せる、これもOK

最初のxy平面を3次元にするとz軸が余ります
これを虚軸にしてあげれば、複素数の点が描けますね
3DCGソフトでY軸からXZ平面を見てる感じです

さて、こうなるとグラフは3次元空間でy軸とクロスするはずですね？
グラフを3次元で描くとどうなるんでしょうか？

そもそもZ軸を虚軸にするって言うのが数学的におかしいですかね？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 08:47:25.97

四元数の話？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 08:50:00.90

>>91
初めて聞きました
工学部では習わなかった

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 09:13:44.76

>>60
f(x)=x^3-ax^2+2
f'(x)=3x^2-2ax=x(3x-2a)=0
x=0,2a/3
f(0)=2>0, f(2a/3)=8a^3/27-4a^3/9+2=-4a^3/27+2=-4/27(a^3-27/2)≦0
a≧3/2^(1/3)
f(α)=0
f([α])=0
n=[α]∈Z
n≦x<n+1
n=[x]
f([x])=0
NG

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 09:28:46.96

>>90
>y軸と交わればそれが方程式の解になる
>これもOK
ｘ軸
>そもそもZ軸を虚軸にするって言うのが数学的におかしいですかね？
別におかしくはない
xyz空間内に
y=(x+zi)^2=(x^2-z^2)+2xzi
xz=0
y=x^2-z^2
z=0, y=x^2の曲線と
x=0, y=-z^2の曲線が描けるというだけでツマラン
ツマラン理由はyが実数だから
スコシ面白いのは
z+wi=(x+yi)^2から
z=x^2-z^2
w=2xy
にしてz軸とw軸を同じ軸としてxyz(w)空間に2枚の曲面を描く等
複素2次関数を認識すること
複素函数の認識ではこのような方法ではなく
x+yi平面とz+wi平面の対応を曲線対応で認識する（ある種等高線のようなもの）のが一般的

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 10:01:28.82

>>90
複素数を定義域にする二次関数の実部を取ればええんでないの？
たとえば、f(x)=x^2+1っていう二次関数に対しては、f(x+iy)=(x+iy)^2+1
っていう複素関数を考えて、その実部だけとるとか。
実部をzとすると、z=x^2-y^2+1　という馬の鞍型の曲面がそのグラフに
なる。虚部も０になる( xy=0）という条件を加えると、この曲面を平面、
yz平面で切った切り口の曲線で、それぞれ、z=-y^2+1 と z =x^2+1
という放物線になる。xy平面と交差する（z=0）のはz=-y^2+1のほう。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 10:06:18.63

ごめん、テレビみながらのんびり書いてるうちに、>>94と被っちゃいましたね。

あと、一部脱字があるので訂正。
>虚部も０になる( xy=0）という条件を加えると、この曲面を平面、
虚部も０になる( xy=0）という条件を加えると、この曲面をxz平面、

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 10:16:13.51

>>87
10進法の0.1は切りのいい数字に思えるけど
２進法のだと無限循環小数0.01100110011001100110...だからと思っている。
1/8は有限小数だから
> (1+1/8-1)*8==1
[1] TRUE

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 11:36:01.77

>>47
6人固定では無く、多人数対応版を作りました。(%define N 6 と書かれている部分の 6 を　変更。)
codepad　では、のタイム制限のため18人が限界でしたが、あげておきます。
http://codepad.org/a26eGzbn

家のパソコンでは24人の計算が、1時間くらいかかったので、30人はきつそうです。
最後の方の出力を添付します。
18,21 : 1676106446227881984 (0.3537297500039)
18,22 : 1641736445103673344 (0.3464762179072)
18,23 : 1641736445103673344 (0.3464762179072)
19,20 : 2006126487611449344 (0.4233780154811)
19,21 : 1939130795867553792 (0.4092390749948)
19,22 : 1902620050033250304 (0.4015337547119)
19,23 : 1902620050033250304 (0.4015337547119)
20,21 : 2317796304041189376 (0.4891536030028)
20,22 : 2279025883235119104 (0.4809713951901)
20,23 : 2279025883235119104 (0.4809713951901)
21,22 : 2774399932531519488 (0.5855163893403)
21,23 : 2774399932531519488 (0.5855163893403)
22,23 : 3368802401881104384 (0.7109605920984)

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 11:41:59.67

>>94、95
丁寧にありがとうございます
おかげでなんだかモヤモヤしたのが解けました

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 11:59:14.35

>>98
俺もRで
# rmax=3 # 部屋の数
# rcap=2 # 各部屋の定員
# a=5 # 対象者の番号
# b=6 # 対象者の番号
を指定できる汎用版を作った

コードはこれ

https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1575242106/667

Cと違ってRだと人数12人が限度だった。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 13:14:30.16

>>98
定員10人の3部屋30人で29番と30番の同室確率はシミュレーションで
> mean(replicate(1e6,sim(n=30,a=29,b=30)))
[1] 0.741349
になるようだけど
プログラムでの数え上げでは一晩かかっても終わりそうにないなぁ。
メモリー不足のエラーで固まりそう。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 13:57:46.01

>>88
　一次変換により⊿ABC を正三角形△A'B'C'に移す。面積は|J|倍になる。
　△の面積は {(√3)/4}aa,　(a：一辺の長さ)
　△に内接する面積最大の楕円は内接円で、半径 r=(1/2√3)a, 面積 πrr=(π/12)aa,
　両者の面積比はπ/√27,
　逆変換すると、両面積とも 1/|J| 倍になるが、面積比は変わらない。　>>89

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 14:03:04.07

>>89
　s=(a+b+c)/2 だから
　(π/4)√{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/27}

**ID:1lEWVa2s** · 2019/12/30(月) 14:05:50.18

>>102
>>103
すごいけど
ヘロンの公式とアルキメデスの定理でしょ。

**ID:1lEWVa2s** · 2019/12/30(月) 14:13:09.02

>>102
>>103
こんなきれいな文字は今年はじめてみた。
すみのはちだんぱそこんだからな。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 14:21:20.77

⊿の面積をSとする。
内接する楕円の面積の最大値
　T1 = (π/√27)S
内接円の面積
　T2 = π(S/s)^2
GM-AM より
　S = √{s(s-a)(s-b)(s-c)}
　≦ √{s(s/3)^3}
　= (1/√27)ss,

∴　T1 ≧ T2

**ID:1lEWVa2s** · 2019/12/30(月) 14:25:31.26

>>106
みたものを計算機回路でうち(つ)しただけのしろものにすぎない。
私には勝てないな。
天からおりてくるみかえるにも踏まれないぞ。コンスタンティン。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 17:30:23.28

三角形ABCに外接する楕円の面積が最小になるとき、
面積を辺の長さa,b,cを用いて表すとどうなるか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 17:38:48.20

⊿の面積をSとする。
外接する楕円の面積の最大値
　T'1 = 4T1 = 4(π/√27)S,
外接円の面積
　R = abc/4S より
　T'2 = πR^2 = π(abc/4S)^2

　T'1 ≦ T'2　？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 19:59:12.73

以下の条件を満たす複素数α、βの関係式を述べよ。

『複素数平面の実軸上の点A(α)と虚軸上の点B(β)を考えると、点C(αβ)は直線AB上にあり、かつOCとABは直交する』

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 20:40:25.08

方程式
x^3-kx=[x]^3-kx=x^3-k[x]=[x^3-kx]
が実数解のみを持つとき、kの範囲を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 20:52:11.91

>>111
ツマンネ

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 21:01:04.71

>>109
S = (1/2)sin(A)･bc = (1/2)sin(B)･ca = (1/2)sin(C)･ab,
辺々掛けて
S^3 = (1/8)sin(A)sin(B)sin(C)・(abc)^2
　≦ (1/8) sin((A+B+C)/3)^3・(abc)^2
　= {(√3)/4}^3・(abc)^2,
より
　S ≦ {(√3)/4}(abc)^(2/3),
∴　T'1 ≦ T'2

ところで内接楕円と外接楕円は相似で、相似比１：２.
∴　4T1 =　T'1
∴　4(πrr) = 4T2 ≦ 4T1 = T'1 ≦ T'2 = πRR
∴　2r ≦ R

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 22:10:55.33

ガウス記号と3次方程式を組み合わせた傑作を作問してください

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 22:22:21.68

〔内接楕円〕 ⊿ABCに内接する楕円のうち面積が最大のもの。
〔外接楕円〕 ⊿ABCに外接する楕円のうち面積が最小のもの。
両者は相似で、相似比は１：２
面積はそれぞれ (π/√27)S, 4(π/√27)S である。 (Sは⊿ABCの面積)

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/30(月) 23:39:18.07

純虚数αβは虚軸上。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 00:24:11.42

>>101
元々の問題は、最後の二人が同じ部屋になる確率は大きくなるのでは？　というようなものだったと思います。
この質問に答えるだけならば、全く別の方法がありました。
3N-2人の部屋振りが終了したとき、(N,N-1,N-1)等という割り振りだと、最後の二人は異なる部屋に行きます。
(N,N,N-2)等という割り振りだと、同じ部屋に行きます。
この点に注目して作ったプログラムです。30人でも、一瞬です。

http://codepad.org/ahMMd8ki

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 02:07:06.83

統計的推定について質問です
統計的推定問題では確率変数が与えられているのですか？その場合確率空間の確率測度の像測度をとればいいので違いますよね
だとすると、確率変数の値がいくつか与えられているということだと思いますが、これは確率変数も推測するということですか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 03:56:00.34

>>44
>>52
曲面Sの内部をVとおく。
　S = ∂V,
　divＦ = 2+3+4 = 9,
よって
　∫_S Ｆ・ｎ dS = ∫_V divＦ dτ　　(←発散定理)
　　= 9∫_V dτ
　　= 9(Vの体積)

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 09:37:26.39

kn人をルーレット方式でk部屋に分ける場合。
最後の2人が同部屋という事象をXとする。
最後のにまで残る2部屋がABである事象をE1として、R1下での条件付き確率を比較してよい。最後の2人を除くkn-2人から(k-2)n人を選んだ集合Sに対しこのSに属する人間がAB部屋意外を選ぶ事象をE2(S)として
P(X)=P(X|E1)=ΣP(E2(S))P(X|E2(S))
であるからP(E(2(S))について調べる。
Sに属しないxに対して
P(xがAに入る|E2(S))
=0 if xより前のSにAが売り切れたとき。
=1 if xより前のSにBが売り切れたとき。
=1/2 iotherwise
であるからこの条件下での試行はk=2である場合の試行と同じになる。
この場合最後の2人が同じ部屋にはいるのは前の2n-2人によってA部屋,B部屋がn-1回ずつ選ばれた場合であり、その確率は
C[2n-2,n-1](1/2)^(2n-2)
である。
これはn=1のとき1、n=2のとき1/2、n>2のとき1/2より小さい。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 09:49:48.41

6人を2部屋の場合の確率が5/8
6人を3部屋の場合の確率が7/18

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 09:50:36.00

あれ？ホント？どっか間違えた？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 10:13:58.72

あ、わかった。>>120は撤回します。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 10:36:03.20

8人を2部屋の場合の確率は11/16
8人を4部屋の場合の確率は
AABBCC 443322
AABCBC 443332
AABCCB 443332
ABABCC 444322
ABACBC 444332
ABACCB 444332
ABBACC 444322
ABBCAC 444332
ABBCCA 444332
ABCABC 444432
ABCACB 444432
ABCBAC 444432
ABCBCA 444432
ABCCAB 444432
ABCCBA 444432
4!(443+4422+4332+4432+6332)/444433322
=(43+422+332+432+333)/44332=(12+16+18+24+27)/288=97/288
あら1/2より小さいな
こりゃ単純な思い込みでは洞察にならんか
9人を3部屋だと
AAABBBC
AAABBCB
AAABCBB
AAACBBB
AABABBC
AABABCB
AABACBB
AABBABC
AABBACB
AABBBAC
AABBBCA
AABBCAB
AABBCBA
AABCABB
AABCBAB
AABCBBA
AACABBB
AACBABB
AACBBAB
AACBBBA
ABAABBC
ABAABCB
ABAACBB
ABABABC
ABABACB
ABABBAC
ABABBCA
ABABCAB
ABABCBA
ABACABB
ABACBAB
ABACBBA
ABBAABC
あーもやだ3(3,3,1)=3*7!/3!3!=420通りもある

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 10:42:50.10

まぁもう計算機の考察はいいや。
そろそろ証明あげたいね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 11:17:39.95

>>71
https://i.imgur.com/A89RFW2.jpg
のように名付けて
角P（もとの問題では３６°）、角Q（２４°）を変化させて角Iの大きさをグラフ化してみた。
https://i.imgur.com/F50memV.jpg

＊が３６°２４°のとき。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 11:31:53.35

9人を3部屋で1部屋目の満室がi人目と2部屋目の満室がj人目だとすると
3≦i≦5, 6≦j≦7
でなくてはならないから
(i, j)=(3,6) (1/3)^3(1/2)^3
(i, j)=(3,7) 3C2(1/3)^3(1/2)^4
(i, j)=(4,6) 3C2(1/3)^4(1/2)^2
(i, j)=(4,7) 3C2*3C2(1/3)^4(1/2)^3
(i, j)=(5,6) 4C2(1/3)^5(1/2)
(i, j)=(5,7) 4C2*3C2(1/3)^5(1/2)^2
3!/333332222(332+333+3322+3332+23222+23322)
=(32+33+322+332+2222+2322)/333222
=(6+9+12+18+16+24)/333222
=85/216<1/2

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 11:58:53.71

2n人を2部屋の場合1部屋目の満室がi人目とすると
n≦i≦2n-2でなくてはならないから
2!Σ[i=n, 2n-2] (i-1)C(n-1) (1/2)^i
3n人を3部屋の場合1部屋目の満室がi人目2部屋目の満室がj人目とすると
3!Σ[i=n, 3n-3]Σ[j=max(i+1,2n), min(i+n, 3n-2)] (i-1)C(n-1)*(j-n-1)C(n-1)(1/3)^i(1/2)^(j-i)
かな
ちょっとjの範囲は自信なし

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 12:04:34.80

>>124
３０人を３部屋で
２９番と３０番が同じ組になる場合の数は
> 3*factorial(28)/factorial(10)/factorial(10)/factorial(8) # 3*28!/(10!*10!*8!)
[1] 1722723142140
とても虱潰しじゃあ、扱えないぁ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 12:49:49.45

一部屋目の満室は最低n人目
最大では2部屋目1人分3部屋目2人分は残すので
n≦i≦3n-3
iが何人目でも2部屋目が満室となるのが最も早いのはj=2nのとき
またi+1≦jも当然
最大ではiが何人目でも3部屋目2人分を残すので
max(i+1,2n)≦j≦3n-2
ということで3n人を3部屋の場合
3!Σ[i=n, 3n-3]Σ[j=max(i+1,2n), 3n-2] (i-1)C(n-1)*(j-n-1)C(n-1)(1/3)^i(1/2)^(j-i)
かな

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 13:01:07.46

>>124
９人３部屋の場合を計算させてみた。　乱数発生でのシミュレーションでなくて虱潰しに列挙して加算。
person1 とperson 2が同室になる確率。
> data.frame(person[1,],person[2,],同室確率=p)
person.1... person.2... 同室確率
1 1 2 0.3333333333
2 1 3 0.3333333333
3 1 4 0.2962962963
4 1 5 0.2592592593
5 1 6 0.2345679012
6 1 7 0.1985596708
7 1 8 0.1723251029
8 1 9 0.1723251029
9 2 3 0.3333333333
10 2 4 0.2962962963
11 2 5 0.2592592593
12 2 6 0.2345679012
13 2 7 0.1985596708
14 2 8 0.1723251029
15 2 9 0.1723251029
16 3 4 0.2962962963
17 3 5 0.2592592593
18 3 6 0.2345679012
19 3 7 0.1985596708
20 3 8 0.1723251029
21 3 9 0.1723251029
22 4 5 0.2777777778
23 4 6 0.2530864198
24 4 7 0.2124485597
25 4 8 0.1838991770
26 4 9 0.1838991770
27 5 6 0.2901234568
28 5 7 0.2402263374
29 5 8 0.2070473251
30 5 9 0.2070473251
31 6 7 0.2772633745
32 6 8 0.2379115226
33 6 9 0.2379115226
34 7 8 0.3371913580
35 7 9 0.3371913580
36 8 9 0.5169753086

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 13:12:19.56

>>117
いつも、華麗なコードのアップロードありがとうございます。

１００万回のシミュレーションも３桁の一致にとどまることが認識できました。
> mean(replicate(1e6,sim(n=30,a=29,b=30)))
[1] 0.741349

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 13:33:30.27

i<nのとき(i-1)C(n-1)=0だからi≧nを条件にしなくても良いし
j<2nのとき(j-n-1)C(n-1)=0だからj≧2nを条件にしなくても良い
とすると
3!Σ[i=1, 3n-3]Σ[j=i+1, 3n-2] (i-1)C(n-1)*(j-n-1)C(n-1)(1/3)^i(1/2)^(j-i)
=3!Σ[i=1, 3n-3]Σ[k=1, 3n-i-2] (i-1)C(n-1)*(i+k-n-1)C(n-1)(1/3)^i(1/2)^k
=3!Σ[1≦i, k, i+k≦3n-2] (i-1)C(n-1)*(i+k-n-1)C(n-1)(1/3)^i(1/2)^k
でどうかな
i+k-n-1≧n-1
から
i+k≧2n
なので
3!Σ[1≦i, k, 2n≦i+k≦3n-2] (i-1)C(n-1)*(i+k-n-1)C(n-1)(1/3)^i(1/2)^k
でいいかも

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 13:41:31.02

>>124
>=(43+422+332+432+333)/44332=(12+16+18+24+27)/288=97/288
>あら1/2より小さいな
1/2と比較しても仕方なかった
97/288>1/4
>>127
>=85/216<1/2
1/2と比較しても仕方なかった
85/216>1/3
でいずれも12番同室より確率は高いから
単純な洞察「残り部屋を等確率で選択」の場合
「最初の2名が同室になる確率よりも最後の2名が同室になる確率が大きい」
で問題無さそう

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 14:35:17.43

９人３部屋で同室になる確率の高い順

> cbind(t(person[,rev(order(p))]),rev(sort(p)))
[,1] [,2] [,3]
[1,] 8 9 0.5169753086
[2,] 7 9 0.3371913580
[3,] 7 8 0.3371913580
[4,] 1 3 0.3333333333
[5,] 1 2 0.3333333333
[6,] 2 3 0.3333333333
[7,] 1 4 0.2962962963
[8,] 2 4 0.2962962963
[9,] 3 4 0.2962962963
[10,] 5 6 0.2901234568
[11,] 4 5 0.2777777778
[12,] 6 7 0.2772633745
[13,] 3 5 0.2592592593
[14,] 1 5 0.2592592593
[15,] 2 5 0.2592592593
[16,] 4 6 0.2530864198
[17,] 5 7 0.2402263374
[18,] 6 9 0.2379115226
[19,] 6 8 0.2379115226
[20,] 2 6 0.2345679012
[21,] 1 6 0.2345679012
[22,] 3 6 0.2345679012
[23,] 4 7 0.2124485597
[24,] 5 9 0.2070473251
[25,] 5 8 0.2070473251
[26,] 2 7 0.1985596708
[27,] 3 7 0.1985596708
[28,] 1 7 0.1985596708
[29,] 4 9 0.1838991770
[30,] 4 8 0.1838991770
[31,] 1 9 0.1723251029
[32,] 1 8 0.1723251029
[33,] 3 9 0.1723251029
[34,] 3 8 0.1723251029
[35,] 2 9 0.1723251029
[36,] 2 8 0.1723251029
>

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 15:05:28.74

900人を対象に実施したある試験の得点は，平均が300点，標準偏差が30点の正規分布に従うという。
成績が上位100番までの受験者の得点は，何点以上と考えられるか。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 15:50:37.60

>>136
> sd=30
> mu=300
> pdf <- function(x) 1/(sqrt(2*pi)*sd)*exp(-(x-mu)^2/(2*sd^2))
> cdf <- function(x) integrate(pdf,x,Inf)$value
> uniroot(function(x) cdf(x)-100/900,c(200,400))$root
[1] 336.619213

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 16:10:09.58

　1/√π < 4^(-n)･(√n)･(2n,n) < 1/2,

略証
　g(n) = 4^(-n)･(√n)･(2n,n) = 4^(-n)･(√n)･(2n)!/(n!)^2,
とおけば
　g(n+1)/g(n) = (2n+1)/{2√(n(n+1))} > 1
よって g(n) は単調増加で、g(n) > g(1) = 1/2.
ところで、lim[n→∞] g(n) = 1/√π　　　>>24
により g(n) < 1/√π.

大関：「不等式への招待」近代科学社 (1987) p.53 例題10.
Sierpinski: "Elementary theory of numbers", PWN-Polish Sci.Publ. (1964)

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 16:49:26.94

平面上に2点A(2，3)，B(5，3)と直線x+y-2=0がある。この直線上に点Pをとるとき，
AP+BPを最小にするような点Pの座標を求めよ。

疲れました。教科書ガイドに載っているような一番単純でまともな解き方を、
大変面倒なところ申し訳ないのですが、もう教えていただけないでしょうか？
自分の勝手な都合で教科書ガイド持っていなくて大変申し訳ありません。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 16:56:41.11

>>139
P(p,2-p)とおく。
AP=√(p-2)^2+(-1-p)^2
=√(2p^2-2p+5)
BP=√(p-5)^2+(-1-p)^2
=√(2p^2-8p+26)
APはp=1/2のときに最小、BPはp=2のときに最小
したがってAP+BPはp=(1/2+2)/2=5/4のときに最小

あとは代入

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 16:57:44.52

900人を対象に実施したある試験の得点は，平均が300点，標準偏差が30点の正規分布に従うという。
成績が上位100番までの受験者の得点は，何点以上と考えられるか。

疲れました。教科書ガイドに載っているような一番単純でまともな解き方を、
大変面倒なところ申し訳ないのですが、もう教えていただけないでしょうか？
自分の勝手な都合で教科書ガイド持っていなくて大変申し訳ありません。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 17:01:33.92

>>141
前スレに回答したけど？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 17:07:06.90

>>140
何に何を代入するのかわかりません。pの座標がばらばらです。答えは(1，1)ですよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 17:10:53.12

>>142
最初に質問したのはこのスレの>>12です。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 17:15:18.36

>>144
じゃあ>>16

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 17:26:35.37

>>143
チッ
騙されねえかw

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 17:52:25.62

線を描くだけ！万能視覚的かけ算【インド式計算】
https://www.youtube.com/watch?v=Sj6Y43D76GA
中学数学からはじめる微分積分
https://www.youtube.com/watch?v=4p1rwfXbCoY&;t=4341s
中学数学からはじめる相対性理論
https://www.youtube.com/watch?v=voFHToRM4xI&;t=10s
理学部と工学部の違いとは？
https://www.youtube.com/watch?v=eJH4nKU6mJA&;t=80s
大学と大学院の違い
https://www.youtube.com/watch?v=xBKAEvTegN8
東大院生がYouTuberになった理由
https://www.youtube.com/watch?v=pEqdjYJoyms
塾講師をはじめる君へ【新人講師・教師の方へ】
https://www.youtube.com/watch?v=z-EtLRtDlzY
なぜ勉強するのか
https://www.youtube.com/watch?v=Kpfae1U2uFE

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 18:06:42.96

>>139
面倒なのでPCで解く、P(p,2-p)として

f <- function(p,A=2+3i,B=5+3i){
P=p+(2-p)*1i
abs(A-P)+abs(B-P)
}
optimise(f,c(-50,50),tol = .Machine$double.eps)

> optimise(f,c(-50,50),tol = .Machine$double.eps)
$minimum
[1] 1

$objective
[1] 6.708204

p=1 ゆえ P(1,1)

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 19:13:20.06

>>139
x+y-2=0に対してBと線対称の位置にある点B’(-1,-3)を考えればいい。
AP+BP=AP+B’Pだが、AP+B’Pが最小になるのはAPB’が直線上に
ある場合なのは自明。
直線APB’の方程式はy=2x-1なので、これとx+y-2=0の交点が求めるP
で、(1,1)

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 19:35:48.92

>>149
自明では駄目です
背理法で示してください。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 20:32:42.15

>>150
直線が最短だから距離というのよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 21:21:10.72

やっとルーレットのやつ片付いたかも。

有限個を除いて0である非負整数の列sに対し
w(s)=#{i | w(i)≠0}
A(s)={t| ∃j tj=sj-11≧0, ti=si (∀i≠j)}
で定めてP(s)を
P(s)=1 (if w(s)=2, si≦1}
. =0 (if (w(s)=1)
. =1/(w(s)Σ[t∈A(s)]P(s)
で定める。
この時
P(s)=1 iff si≦1, w(s)≧2
. =(w(s)-1)/w(s) iff ( ∃j sj=2, si≦1 (∀i≠j)) or (w(s)=2, si=2,0 (∀i))
. < (w(s)-1)/w(s)
が成立する。
とくに
p(n,n,‥,n)≦(w(p)-1)/w(p) if w≧3 or n≧3。

証明は帰納法で簡単。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 21:45:15.69

>>150
三角不等式は絶対値の基本的性質で自明でいいだろう

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 22:08:49.68

>>152
6人を2部屋の場合の確率が5/8
6人を3部屋の場合の確率が7/18
8人を2部屋の場合の確率は11/16
8人を4部屋の場合の確率は97/288
9人を3部屋の場合の確率は85/216
になる？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 22:10:58.97

>>154
6人3部屋は手計算で確認した。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 22:11:48.01

>>152
別々の部屋になる確率を計算している？
なら
6人を2部屋の場合の確率が3/8
6人を3部屋の場合の確率が11/18
8人を2部屋の場合の確率は5/16
8人を4部屋の場合の確率は191/288
9人を3部屋の場合の確率は131/216
になる？

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 22:37:58.24

>>154
９人３部屋だと０．５を超えない？他はパソコン計算での少数表示と合致したけど。

> # AB最後の２人の順位,rmax:部屋数,rcap:各部屋定員
> Same_Room(AB=c(5,6),rmax=2,rcap=3) ; 5/8
[1] 0.625
[1] 0.625
> Same_Room(AB=c(5,6),rmax=3,rcap=2) ; 7/18
[1] 0.3888888889
[1] 0.3888888889
> Same_Room(AB=c(7,8),rmax=2,rcap=4) ; 11/16
[1] 0.6875
[1] 0.6875
> Same_Room(AB=c(7,8),rmax=4,rcap=2) ; 97/288
[1] 0.3368055556
[1] 0.3368055556
> Same_Room(AB=c(8,9),rmax=3,rcap=3) ; 85/216
[1] 0.5169753086
[1] 0.3935185185

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 22:46:41.38

>>139
ちょっと問題を直線から円に変えてみた。

平面上に2点A(2，3)，B(5，3)と円x^2+y^2=2^2がある。この直線上に点Pをとるとき，
AP+BPを最小にするような点Pの座標を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 22:57:09.03

>>158
思考停止のパソコン解

f <- function(theta,A=2+3i,B=5+3i){
P=2*cos(theta)+2i*sin(theta)
abs(A-P)+abs(B-P)
}
opt=optimise(f,c(-pi,pi))
theta=opt$minimum
c(2*cos(theta),2*sin(theta))

> c(2*cos(theta),2*sin(theta))
[1] 1.3892 1.4388

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 23:12:18.30

9人3部屋は335/648になった。

**１３２人目の素数さん** · 2019/12/31(火) 23:25:20.20

import Data.Ratio
import Data.List

w s = fromIntegral $ length [e| e<-s, e/= 0]
rotations x = tail$ zipWith (++) ( tails x) (inits x)

p s = case [e | e<-s, e /= 0] of
[1,1] -> 1%1
[_] -> 0
x -> (/(w s)) $ sum [p $ ((head t)-1):((tail t)) | t <- (rotations x)]

printP s = print (s, p s,fromRational $ p s)

main = do
printP [3,3]
printP [2,2,2]
printP [4,4]
printP [2,2,2,2]
printP [3,3,3]

結果

([3,3],3 % 8,0.375)
([2,2,2],11 % 18,0.6111111111111112)
([4,4],5 % 16,0.3125)
([2,2,2,2],191 % 288,0.6631944444444444)
([3,3,3],313 % 648,0.48302469135802467)

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/12/31(火) 23:39:36.44

前>>86
>>139高校スレに書いたけど、図を描いてP(1,1)がちょうどA,B双方から同じ角度だな、と思ったらそこで決まりというのが1つの解答。
教科書的な解答は、
y=-x+2という川からの距離を比べると、A(2,3)は(1/2,3/2)がもっとも近く、B(5,3)は(0,2)がもっとも近い。
川までの距離はAが3√2/2,Bが3√2すなわち1:2でAが近い。
つまり(1/2,3/2)と(2,0)を1:2に分ける地点にPをとればAP+BPは最短になる。
∴P(1,1)

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/01(水) 00:21:03.47

>>127
>3≦i≦5, 6≦j≦7
3≦i≦6だった
(i, j)=(6,7) 5C2*3C2(1/3)^6(1/2)
3!523/3333332=25/3333=10/81追加で
85/216+10/81=335/648
>>157,159
サンクス

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/01(水) 01:19:13.87

10人を2部屋
2!{(1/2)^5+5(1/2)^6+35(1/2)^7+75(1/2)^8}=83/128
10人を5部屋
1部屋目満室i1人目・・・4部屋目満室i1+i2+i3+i4人目
(2,2,2,2) 1C1*1C1*1C1*1C1/55443322
(2,2,3,1) 1C1*1C1*2C1*1C1/55443332
(2,3.1,2) 1C1*2C1*1C1*1C1/55444322
(2,3.2,1) 1C1*2C1*2C1*1C1/55444332
(2,4,1,1) 1C1*3C1*2C1*1C1/55444432
(3,1,2,2) 2C1*1C1*1C1*1C1/55543322
(3,1.3,1) 2C1*1C1*2C1*1C1/55543332
(3,2,1,2) 2C1*2C1*1C1*1C1/55544322
(3,2,2,1) 2C1*2C1*2C1*1C1/55544332
(3,3,1,1) 2C1*3C1*2C1*1C1/55544432
(4,1,1,2) 3C1*2C1*1C1*1C1/55554322
(4,1,2,1) 3C1*2C1*2C1*1C1/55554332
(4,2,1,1) 3C1*3C1*2C1*1C1/55554432
(5,1,1,1) 4C1*3C1*2C1*1C1/55555432
5!(555443+2555442+2555433+22555432+32555332+2554443+22554442+22554433+222554432+232554332+32544433+322544432+332544332+432444332)/55555444433322
=(55543+255542+255533+2255532+355533+255443+2255442+2255433+22255432+23255332+3254433+32254432+332544332+43244332)/555544332
=(1500+2000+2250+3000+3375+2400+3200+3600+4800+5400+4320+5760+8640+6912)/180000=57157/180000
>1/5

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/01(水) 01:23:41.02

>>161
>([3,3,3],313 % 648,0.48302469135802467)
ここ違うんでない？

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/01(水) 01:30:20.13

それ同室にならない確率。
同室なら335/648で既出の数値と合ってる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/01(水) 01:32:28.49

>>160
サンクス

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/01(水) 01:33:18.11

>>166
サンクス

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/01(水) 01:34:02.79

同室バージョン

import Data.Ratio
import Data.List

rotations x = tail $ zipWith (++) (tails x) (inits x)
w s = fromIntegral $ length s
a s = [ filter (/=0) $ ((head t)-1):(tail t) | t <- rotations s]
p s = case s of
[1,1] -> 0%1
[_] -> 1%1
x -> (/(w s)) $ sum $ map p $ a s

printP s = print (s, p s,fromRational $ p s)
main = do
printP [3,3]
printP [2,2,2]
printP [4,4]
printP [2,2,2,2]
printP [3,3,3]
printP [5,5]
printP [2,2,2,2,2]

実行結果

([3,3],5 % 8,0.625)
([2,2,2],7 % 18,0.3888888888888889)
([4,4],11 % 16,0.6875)
([2,2,2,2],97 % 288,0.3368055555555556)
([3,3,3],335 % 648,0.5169753086419753)
([5,5],93 % 128,0.7265625)
([2,2,2,2,2],54997 % 180000,0.3055388888888889)

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/01(水) 01:35:03.02

>>152,161
解説希望

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/01(水) 01:41:52.98

>>164
>=83/128
=93/128

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/01(水) 02:35:23.67

>>152
の漸化式は問題文の文章そのまま立式してるだけ。
p s はsの部屋割りのとき最後の2人がバラける確率。
p [1,1] = 1 は定員1人の部屋2部屋なら必ずバラける。
p [m] =0 は定員m人の部屋一部屋なら必ず同室。
それ以外なら1人目をどの部屋に入れる確率も等しいのが仮定だから最後の2人が同室になる確率は
p(s)Σp(t)/部屋の数、ただしtはいずれか一部屋の定員を1だけ減らした部屋の組みを渡る。
この漸化式を満たすとき、示したのは
p [1,1,‥,1] = 1 (全ての部屋の定員が1なら必ずバラける)
p [2,1,‥,1] = 1/(部屋数) (漸化式から容易)
p [2,2] = 1/2 (漸化式から容易)
それ以外の場合は
p(s) <1-1/(部屋数)
最後のは帰納法。
いずれかの部屋に1人入れて(1,‥,1)になるのは{1,‥,1)か(2,1,‥,1)しかないのでこの場合は既に示せている。
いずれかの部屋に1人入れて[2,2]になるのは[3,2]か[2,2,1]。
これらの場合は
p [3,2]= 3/8 < 1-1/2
p [2,2,1] = 11/18 < 1 - 1/3
により成立。
いずれの部屋に1人入れても上記例外ケースが現れないなら帰納法の仮定により同室にならない確率は1-1/部屋数より小さい。
説明はザックリだけどルーチンワークで難しい議論は必要ない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/01(水) 02:43:52.28

>>162
＞図を描いてP(1,1)がちょうどA,B双方から同じ角度だな、と思ったらそこで決まり

決まりじゃないでしょ。そんなに自明ではない。

直線に対してどちらか一点の鏡像を考えれば、他方の点から直線上の１点
を経由して鏡像に達する経路の長さが最小になるのは、３点が同じ直線に
乗る場合。これは、3点を頂点とする三角形を考えれば明らか、
で、そこから、入射角と反射角は等しいという光の反射の法則も、光は
最短経路を通るというフェルマーの原理によって導かれる。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/01/01(水) 05:05:54.19

前>>162
A(2,3)とB(5,3)がいい感じに並んでるから、
図を描いてP(1,1)が一瞬で決まると思う。
→AP=(-1,-2)と、
→BP=(-4,-2)は、
こうやって並べて書くと、図を描いても描かなくてもy=xに対して同じ角度で入射することが実感できる。

実感できるけど、y=-x+2との距離を測れば数字で示せていい。わかってますよ、と主張するためにも川までの距離を書いたほうがいい。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/01(水) 07:47:53.10

>>172
>それ以外なら1人目をどの部屋に入れる確率も等しいのが仮定だから最後の2人が同室になる確率は
>p(s)Σp(t)/部屋の数、ただしtはいずれか一部屋の定員を1だけ減らした部屋の組みを渡る。
p(s)=Σp(t)/部屋の数
ですねどうもありがとう

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/01(水) 09:37:07.60

予備校の授業で出た問題です
（1）は東工大の問題でした、ネット上で解答を見つけて納得しました
（2）はオリジナルだと思いますが円と違ってうまく行きません。こちらを解答願えないでしょうか。よろしくお願いします。

（1）楕円x^2/8+y^2/17=25上の2接線が直交するとき、その交点の描く軌跡を求めよ。

（2）双曲線x^2/8-y^2/17=25上の2接線が直交するとき、その交点の描く軌跡を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/01(水) 09:47:09.09

>>176
双曲線の準円。
↓の数値かえれば桶
https://examist.jp/mathematics/quadratic-curve/soukyokusen-jyunen/

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/01(水) 13:40:59.21

既約分数表示できるようにRのプログラムを改造しているうちに呪文のようなHaskellの神コード投稿の出現に驚愕。
９人３部屋の同室確率の計算（他の投稿とも数字が一致しているから良しとしよう）
> # rmax 部屋の数
> # rcap 各部屋の定員
> p9=combn(9,2,function(x) Same_Room(x,rmax=3,rcap=3))

1 & 2 : 1 / 3 = 0.3333333333
1 & 3 : 1 / 3 = 0.3333333333
1 & 4 : 8 / 27 = 0.2962962963
1 & 5 : 7 / 27 = 0.2592592593
1 & 6 : 19 / 81 = 0.2345679012
1 & 7 : 193 / 972 = 0.1985596708
1 & 8 : 335 / 1944 = 0.1723251029
1 & 9 : 335 / 1944 = 0.1723251029
2 & 3 : 1 / 3 = 0.3333333333
2 & 4 : 8 / 27 = 0.2962962963
2 & 5 : 7 / 27 = 0.2592592593
2 & 6 : 19 / 81 = 0.2345679012
2 & 7 : 193 / 972 = 0.1985596708
2 & 8 : 335 / 1944 = 0.1723251029
2 & 9 : 335 / 1944 = 0.1723251029
3 & 4 : 8 / 27 = 0.2962962963
3 & 5 : 7 / 27 = 0.2592592593
3 & 6 : 19 / 81 = 0.2345679012
3 & 7 : 193 / 972 = 0.1985596708
3 & 8 : 335 / 1944 = 0.1723251029
3 & 9 : 335 / 1944 = 0.1723251029
4 & 5 : 5 / 18 = 0.2777777778
4 & 6 : 41 / 162 = 0.2530864198
4 & 7 : 413 / 1944 = 0.2124485597
4 & 8 : 715 / 3888 = 0.183899177
4 & 9 : 715 / 3888 = 0.183899177
5 & 6 : 47 / 162 = 0.2901234568
5 & 7 : 467 / 1944 = 0.2402263374
5 & 8 : 805 / 3888 = 0.2070473251
5 & 9 : 805 / 3888 = 0.2070473251
6 & 7 : 539 / 1944 = 0.2772633745
6 & 8 : 925 / 3888 = 0.2379115226
6 & 9 : 925 / 3888 = 0.2379115226
7 & 8 : 437 / 1296 = 0.337191358
7 & 9 : 437 / 1296 = 0.337191358
8 & 9 : 335 / 648 = 0.5169753086

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/01/01(水) 17:19:24.36

前>>174
>>176双曲線y={(17/8)x^2-425}^(1/2)を微分すると、
y'=(1/2)(17x^2/8-425)^(-1/2)･(17x/4)
=17x/8√(17x^2/8-425)
図を描くと、
x≦-10√2と10√2≦xに、2つの双曲線が描け、差しがねを当ててずらしていくと、差しがねの角は原点を中心とした円を2つの双曲線のあいだに描く。
半径がわかれば円の方程式は決まるから、適当に直交する接線を引いてその交点と原点の距離を出せばいいはず。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/01/01(水) 19:29:18.65

前>>179
>>176(2)双曲線y=√(17x^/8-425)の接線の方程式をy=x-rとy=-x-rとしてy軸上の点(0,-r)で直交するとすると、
y=x-rとy=√(17x^2/8-425)からyを消去し辺々二乗し、
x^2-2rx+r^2=17x^2/8-425=0
9x^2/8+2rx-r^2-425=0
判別式D/4=r^2+(9/8)(r^2+425=17r^2/8+3825/8≠0
――不適。
二乗するときの符号を逆にすると、
x^2-2rx+r^2+17x^2/8-425=0
D/4=r^2-25(r^2-425)/8=0
17r^2/8=25･425/8
r^2=25･425/17=25･35=875
r=5√35
2つの接線の交点の軌跡は、
x^2+y^2=875

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/01/01(水) 19:34:11.07

前>>180ちがうなぁ。
10√2より小さいrがあるはずだから。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/01/01(水) 22:42:46.29

前>>181
>>176(できたできた！)
x^2/8-y^2/17=25を変形すると、
17x^2-8y^2=3400
8y^2=17x^2-3400
y^2=17x^2/8-425
y=√(17x^2/8-425)
y=x-rがy=√(17x^2/8-425)と第Ⅰ象限で接するから、
(2r,r)がy=√(17x^2/8-425)上にある。
r=√(17･4r^2/8-425)
r^2=17r^2/2-425
15r^2/2=425
r^2=850/15=170/3
7＜r=√(170/3)＜8(妥当な範囲にある)
∴求める軌跡は、
x^2+y^2=170/3

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/02(木) 06:16:44.45

I_n = ∫[0,1] (x^2n)/1+x^2 dx
とする。
またI_1=aとおく。

I_nについての漸化式を作ることによりI_nをnとaの式で表せ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/02(木) 13:07:20.19

nを5の倍数でない偶数とする。
n,n^2,n^3,...,n^k,...
の1の位の数字をそれぞれn[i]（i=1,2,...）と表す。
mが十分大きいとき、n[1],...,n[m]の中に2,4,6,8のいずれも現れることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/02(木) 15:05:49.36

反例
6, 36, 216, 1296, 7776, ...

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/02(木) 15:40:08.25

地球と太陽の重心はほぼ太陽の位置に等しいらしいのですが、何故ですか？
太陽の質量が地球の質量に比べてとても大きいからでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/02(木) 16:31:17.94

>>186
そうだよ。
太陽質量は地球の３３万倍だから、重心は太陽地球間を33万:1に内分する位置。
太陽地球間は1億５千万kmだから、太陽中心から450kmくらいのところになる。
太陽の半径70万kmの千分の一にも満たない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/02(木) 20:01:44.34

>>184
ツマンネ

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/03(金) 01:42:20.06

nを自然数の定数とする。
xの方程式
x^2-(2n+a)x-{2n/(n+1)}=0
が整数解を持つとき、実数aの取りうる値を述べよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/03(金) 01:54:36.40

>>176
二次曲線
　xx/A + yy/B = 1　　(AB≠0)
を考える。
曲線上の点P(p1,p2) における接線は
　(p1/A)x + (p2/B)y = 1,
曲線上の点Q(q1,q2) における接線は
　(q1/A)x + (q2/B)y = 1,
これらの交点は
　(x,y) = (A(q2-p2)/D, B(p1-q1)/D)
ここで　D = p1･q2 - p2･q1,

　Zp = (p1/A)^2 + (p2/B)^2,
　Zq = (q1/A)^2 + (q2/B)^2,
　d = p1q1/AA + p2q2/BB = (D/AB)cotθ,
　θ は2本の接線がなす角
とおく。
　Zp +Zq -2d= (A+B)Zp･Zq + [(A-B)(p1q1/AA - p2q2/BB)-2]d
　　+ Zp(1 -q1q1/A -q2q2/B) + Zq(1 -p1p1/A -p2p2/B)
　　= (A+B)Zp･Zq + [(A-B)(p1q1/AA - p2q2/BB) -2]d
よって
　xx + yy = (AB/D)^2 (Zp +Zq -2d)
　= (AB/D)^2 {(A+B)Zp･Zq + [(A-B)(p1q1/AA -p2q2/BB) -2]d}
　= (A+B)/(sinθ)^2 + (AB/D)^2 [(A-B)(p1q1/AA -p2q2/BB) -2]d
本問では θ=90ﾟだから d=0,
　xx+yy = A+B.

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/03(金) 02:26:02.59

>>183

I_0 = ∫[0,1] 1/(1+xx) dx
　= [ arctan(x) ](x=0,1)
　= π/4
　= 0.7854･･･

I_n + I_{n+1} = ∫[0,1] x^(2n) dx
　= [ 1/(2n+1) x^(2n+1) ](x=0,1)
　= 1/(2n+1),

【大はずれ】【266円】 · 2020/01/03(金) 10:47:26.48

双曲線のときは交点の全体のなす軌跡は準円全体の一部分のはず。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/03(金) 11:16:53.93

楕円の準円なんてあるのか知らんかった。
ググったら無限大の楕円に近づけると放物線の準線に一致するらしい。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/03(金) 14:01:36.23

おもしれーじゃん

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/03(金) 16:45:32.22

三角形ABCの内部の点P、直線APとBCの交点をD、直線CPとABの交点をFとする。
４点BFPDが同一円周上にあるという条件を満たしながら点Pが動くときどのような曲線を描くか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/03(金) 21:21:04.44

n次正方行列A,Bに対して、AB=IならAB=BA=I？

【大凶】【11円】 · 2020/01/03(金) 21:27:19.52

>>196
行列環では
右可逆→両側可逆→右逆元＝左逆元

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/03(金) 21:53:40.24

3n人を、三つの部屋へn人ずつ振り分ける問題で最後の二人が同部屋になる確率ですが、次の式で場合数が求められます。
216^n-12 Sum[C[n-1+i+j,n-1]C[i+j,i]C[2n-2-i-j,n-1-i] 18^n (2/3)^(i+j),{i,0,n-1},{j,0,n-1}]
{n,上の値,確率(20桁で近似表示)}　(確率は6^3nで割る)

{{1, 0, 0}, {2, 18144, 0.38888888888888888889}, {3, 5209920, 0.51697530864197530864}, {4, 1277358336, 0.58681031854900167657},
{5, 297406930176, 0.63253174799742586665}, {6, 67589314735104, 0.66551145699851912065}, {7, 15153630372661248, 0.69078107623440557760},
{8, 3368802401881104384, 0.71096059209839126823}, {9, 744659248966899388416, 0.72756839875113198117},
{10, 163938283321351774519296, 0.74155415314679864909}, {11, 35983339833191982439956480, 0.75354676153215254988},
{12, 7880031805665022883287400448, 0.76398170131777257272}, {13, 1722560951214725128467380305920, 0.77317149277716051550},
{14, 376007509734863346448921970343936, 0.78134709670837789933}, {15, 81980202854724066591387792127819776, 0.78868343876259628398}}

>>117 の結果(私の投稿です)とn=8までは完全に一致しますが、n=9,10では微妙にずれています。
cの倍精度の有効数字は15桁位なので、n=8で19桁全てが一致している方が驚きですが、
扱っている数字が 2^10 の倍数ばかりのようなケースでは、起こりえることと考えられます。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/03(金) 23:56:26.00

零行列でない3次正方行列Aと、3次のベクトルvが与えられている。
いまAv=pとし、3次のベクトルxを用いて内積x・pを所望の値rにしたい。
このときxをrと、A,vの成分を用いて表わせ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/04(土) 00:16:36.54

>>197
ユニタリ行列は
†g g = E を満たすg全体のこと
と習ったのですが、講義の中で当然のように†g g = g †g = Eが使われていたので疑問に思いました
学部1年の初学者の質問ですがよろしくお願いします…変なこと言ってたらすみません