巨大数探索スレッド15
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>>3
巨大数探索スレッドシリーズがクソスレになっちまったみたいだ。
もうここには何も望めない なんらかのメタ理論で定義された1階述語論理のドメインとしてVを定義することはできるが、
それが本当にVである保証は無い、ということだろうか Vに∀x(x∈V←→x=x)と形式的定義を与えても、Vがxの動く範囲にない2階以上の対象としてとらえないと
ZFCと矛盾するし、純粋にメタ言語としての1階述語論理はVを扱えないことになるのでは 集合論の言語においてドメイン(=項の集まり)Vは、関数記号を(定義による拡大を除いて)持っていないから、自由変数のみだろう
このメタ理論でZFCの宇宙V={x:x=x}は全ての自由変数を含む(全ての自由変数がVという論理式を満たす)から、メタ理論から見てこれは紛れもなくドメインVと変わらないような気がするが 確かに一階述語論理において議論領域は論理式ではないので、
ドメインV(議論領域)とZFCのモデルV(論理式)を同一視することはできないのか
二階述語論理はドメインも項として扱えるので、ドメインVの元であることとモデルVという論理式を満足することが同値であることも確認できそうではある
だとしたらその辺の集合論の本は当たり前のように、二階述語論理からVがZFCのモデルであると扱ってるんだろうか？
それはそれで受け入れがたいな メタ理論では可算個だがVの住人にとっては集合は非可算個というだけでは
むしろメタ理論でも非可算個だと有限主義者も黙ってないだろう 東方巨大数3のルールの議論を見て前スレの疑問が晴れた気がする
東方巨大数3では「ZFC+con(ZFC)を公理とする」ルールではなく「メタ理論でZFCを無矛盾としZFCを公理とする」ルールで落ち着いたようだが、
この後者のルールの立場ではZFCの中の一階述語言語ではVをZFCのモデルとして扱えない(扱えるものの上限)けども、
メタ理論の一階述語論理の言語であれば扱える
一方ZFCをメタ理論で無矛盾としなくても、二階述語論理で形式化されたZFC(いわゆるZFC2)では、
(stack exchangeの「What is the truth predicate of ZFC?」という質問の回答によると)クラスを量化出来る関係でZFCの真理述語が定義可能となり、
ZFC2の中でZFCのモデルが考えられるということか
これをあっさり書く前スレの人の凄さが改めて分かった POL(ZFC)が国産最強の巨大数かもって言われてたけど、
普通に戦え数の方が大きいと思ったが違うんかな 384=8!!
53760=2(10!!)+12!!
8755200=8(12!!)+13(14!!)
1805690880=15(14!!)+12(16!!)+9(18!!)
471092428800=10(16!!)+15(18!!)+16(20!!)+5(22!!)
153043438141440=4(18!!)+2(20!!)+3(26!!)
60836834554675200=(20!!)+17(22!!)+15(24!!)+16(26!!)+12(28!!)+(30!!)
規則性を見つけてくれ～(・ω・)ノ コルモゴロフ複雑性の高い数をシードに使えばより効率的に巨大数を生み出せるの？
それとも全然関係ない？ 「巨大数コンテストのレギュレーション一覧」という巨大数wikiのページを見ていて、これによるとラヨ数はラヨ部門に当たるらしいのですが、
ラヨ数は二階述語ZFCで定義可能のはずです
詳しくないので間違ってたらすみませんが、計算不可能部門で最小の部門において
ML FOST
MT ZFC+con(ZFC)
L SOST(second order set theory)
T ZFC2(ZFCの図式を論理式量化で置き換えたもの)
A PA
でLによってTに真理述語を入れることでラヨ数は定義可能で、エントリー可能だと思うんですが、誤りはあるでしょうか？ このML～Aの設定を主催者側は提示しない、デフォルトルールやMLを持つメタ理論でZFCを無矛盾として～とするでしょうから実際投稿出来ることにはならないでしょうけれども……
計算不可能部門で既にラヨ数などを投下できる枠組みがあるのですから、あえてラヨ数部門を極大無矛盾集合を使って用意するのも疑問符が浮かびます 今の巨大数は集合論だ、みたいなツイートがあったけど、
ZFCの中なら任意のモデルで真になる証明論の方が便利だし、外ならメタ理論での論理とか公理でZFCの任意のモデルを扱うから、
基本ZFCの特定のモデルの中で話す集合論はむしろ不利だよなあと思う どうもレギュレーションを書いた人はラヨ数は二階述語論理体系が不明のためwell-definedでない、と考えているようですが、
ZFCが具体的な一階述語論理体系を要しないように、ZFC2も同様なので、
その上でラヨ数はwell-definedですよね
日本でこの辺りが分かる他の方が入ってくださればありがたいのですが。 その「具体的な一階述語論理体系」というものをplatonist universeとやらに一任する、という一つの解釈が形式主義的な厳密さに欠ける、という意味なのでは。
「コード化された形式体系のPlatonist universeで命名可能な巨大数をエントリーする。」というレギュレーションの下ではたぶんwell definedになるんじゃないですかね
と書かれているし 真意が理解できず申し訳ないのですが、
そうすると全ての巨大数は一階述語論理を含むメタ理論の具体的な体系を提示していないので、全てill-definedになりませんか？ 理想を言えば1階の言語による具体的な体系まで提示すべきだろうが、計算可能なら帰納的公理化可能で、具体的に記述可能であることは分かってるし、超越整数レベルでもない限りそこまでうるさく言われることもそうないだろう。
計算不可能だと具体的な記述が不可能で、言語を定義するメタ理論の健全性を信じるしかない。
そして記述しきれない、全体像を把握できないがとりあえずそういう体系が存在すると仮定するか、という話になるけど、
たとえば「俺の巨大数はお前のplatonist universeよりも強いsuper platonist universeを使ってるから、どう足掻こうが俺の方が強い」という理屈も通るっちゃ通ってしまう。
モデル依存による定義とか、わりかし分かりやすい基準はある。 無知で申し訳ないですが、ラヨ数はZFC2で定義可能である以上、ZFCで定義可能なもの達(無限基数など)と同様メタ理論がなんであっても展開できるように思うのですが、
何故ラヨ数では、急にplatnist universeという数学書で見ないような概念が出てくるのでしょうか？
集合論などは何の問題もなくZFCで計算不能関数を扱ってるように見えるのですが そもそもなんですが、ZFC2(二階述語論理で形式化したZFC)でラヨ数は定義可能である(well-definedである)ということには異存はありませんよね？ 自民ゴキブリ党変態議員國場パイズリ不倫血税麦卵秘書田中奇形自殺しろ轢き殺されて死ね (3!!/3+0)/3!!=1/3
(5!!/3+0)/5!!=1/3
(7!!/3+1)/7!!=12/35
(9!!/3+14)/9!!=47/135
(11!!/3+190)/11!!=731/2079
(13!!/3+2799)/13!!=1772/5005
(15!!/3+45640)/15!!=20609/57915
(17!!/3+823724)/17!!=1119109/3132675
(19!!/3+16372071)/19!!=511144/1426425
(21!!/3+356123690)/21!!=75988111/211527855
規則性を見つけてくれ～(・ω・)ノ ベクレミシェフの虫とブーフホルツのヒドラってアルゴリズム的に似てる？
ベクレミシェフの虫が理解出来たらブーフホルツのヒドラの理解も進むとかだと嬉しいんだけど。 東方巨大数3ってZFCが無矛盾ってルールあるけど、俺と別の参加者って同じモデルなのかな ZFCが無矛盾ってことは完全性定理からモデルVが存在するわけで、
全てのモデルを対角化してる訳ではないけども、Vを含めて対角化した巨大数を提出した場合、他の巨大数以上となるの？ ラヨ関数はどういう理論のもとで定義されているのか明示されてないから、ZFCやZFC2を使うかどうかはこちらが察するしかない。
特に理論を指定せずに、「モデルが存在するかつ値が一意に定まる」だとビジービーバー関数と同等になるし、「モデルが存在するかつ値の最小の候補」だと証明が書けない戦え数と同等になるかと
モデルの存在は(形式的に定義するのでなく)プラトニズムにゆだねるとして。 戦え数のようなモデル依存によって定義された関数を同じ言語でモデル依存で定義できないというのは、言語の階層の厳密性で保証されるのね。
たとえば戦え数の定義には、帰納的公理化可能な理論のモデル全体を量化できる2階の言語なり超越的な1階の理論が必要で、
超越的にどんどん拡張していくのがBIG FOOTやBigeddonの方針で、言語の階層をあげていくのがp進さんの方針かな。
しかしこういう計算不可能レベルの拡張は、KPからの証明論的類似物で考えるとあまり大したことないような。 ラヨ関数自体はそうですね
ただZFCが矛盾してるとすると、0 > 全ての巨大数が証明可能なので、無矛盾と仮定するのが自然でしょう
するとプラトニスト宇宙が存在するとするのは自然だと思います
「戦え数と同等」のパターンは証明可能性は全てのモデルで真であることと同等なのでimmediateですが、
「ビジービーバーと同等」のパターンはobviousではないように思えるのですがどこかに説明はあるでしょうか？ 戦え数はZFCをメタ理論に課していたから、ZFCのメタモデル依存のモデルの依存となるのか 戦え数は証明可能性で定義しているのでモデル依存ではないのではないでしょうか 【超悪質！盗聴盗撮・つきまとい嫌がらせ犯罪者の実名と住所を公開】
①井口・千明（東京都葛飾区青戸６－２３－１６）
※盗聴盗撮・嫌がらせつきまとい犯罪者のリーダー的存在／犯罪組織の一員で様々な犯罪行為に手を染めている
低学歴で醜いほどの学歴コンプレックスの塊／超変態で食糞愛好家である／醜悪で不気味な顔つきが特徴的である
②宇野壽倫（東京都葛飾区青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸２０２）
※色黒で醜く太っている醜悪黒豚宇野壽倫／低学歴で人間性が醜いだけでなく今後の人生でもう二度と女とセックスをすることができないほど容姿が醜悪である
③色川高志（東京都葛飾区青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸１０３）
※色川高志はyoutubeの視聴回数を勝手に短時間に何百何千時には何万回と増やしたり高評価・低評価の数字を一人でいくつも増やしたり減らしたりなどの
youtubeの正常な運営を脅かし信頼性を損なわせるような犯罪的業務妨害行為を行っています
※色川高志は現在、生活保護を不正に受給している犯罪者です／どんどん警察や役所に通報・密告してやってください
【通報先】
◎葛飾区福祉事務所（西生活課）
〒１２４－８５５５
東京都葛飾区立石５－１３－１
℡０３－３６９５－１１１１
④清水（東京都葛飾区青戸６－２３－１９）
※低学歴脱糞老女：清水婆婆 ☆☆低学歴脱糞老女・清水婆婆は高学歴家系を一方的に憎悪している☆☆
清水婆婆はコンプレックスの塊でとにかく底意地が悪い／醜悪な形相で嫌がらせを楽しんでいるまさに悪魔のような老婆である
⑤高添・沼田（東京都葛飾区青戸６－２６－６）
※犯罪首謀者井口・千明の子分／いつも逆らえずに言いなりになっている金魚のフン／親子孫一族そろって低能
⑥高橋（東京都葛飾区青戸６－２３－２３）
※高橋母は夫婦の夜の営み亀甲縛り食い込み緊縛プレイの最中に高橋親父にどさくさに紛れて首を絞められて殺されそうになったことがある
⑦長木義明（東京都葛飾区青戸６－２３－２０） ※日曜日になると風俗店に行っている ここが治安悪くなるということはここが過疎るということ
ここが過疎るとより民度が下がり治安悪くなる
........もう需要なくなったかな？ まだラヨ数や戦え数関連は議論が終わってないと思うのですが、
まず理解できるようになるまで努力する方があまりいないですからね 筑波大学の春の合宿で巨大数について発表があったようですね
最早このスレを離れて大学で盛り上がるトピックになっていますね >>37
>ただZFCが矛盾してるとすると、0 > 全ての巨大数が証明可能なので、
定義にZFCを含む巨大数がそうなることが自明になるだけじゃないの >>39
否定の証明不可能性による定義で、また、1階述語論理の完全性より
「恒真であれば証明可能である」
対偶より
「証明不可能であれば恒真でない」
すなわち
「x_k=tとなるモデルが存在する」
ということでモデル依存になるんじゃ >>44
まずそもそもルールとしてZFCが矛盾してると全ての文が証明可能なので、
無矛盾とする他ないでしょう >>46
ええと、巨大数を定義するルールにZFCが課せられていること前提の話ですか？ >>47
はい
モデルの存在はプラトニストに委ねる、と言ってますが、
ZFCが矛盾している場合全ての巨大数が0より小さいことが証明可能なので、巨大数の意味をなさず、無矛盾とするのが自然であり、
すると完全性定理からモデルが存在することになるので、これをプラトニストに委ねると表現するのに奇妙さを感じます
ルールそのものと考える方が自然ではないでしょうか >>45
それはモデル依存の言葉のあやですね
モデルを用いた巨大数の定義はモデル依存ですが、戦え数は証明可能性からの帰結なのでモデル依存にはなりません
詳しくは「形式論理のお勉強(その8)」をご覧ください ラヨ関数がwell definedであるというのも気になってたけど、これももしかしてwell definedになるように、
証明可能ベースであればなにかしらの理論、モデルベースであればなにかしらのモデル（向こうのグーゴロジストのいうPlatonist universeとか）
の存在を暗に前提としている？ モデルの存在を明に前提としてますよ
ZFC2において定義できる真理述語によってZFCのモデルを分別してラヨ関数を定義するわけですから
証明可能性ベースであればそこまで大きくないでしょう http://web.mit.edu/arayo/www/bignums.html
ここの定義を見てもZFCの文字列がどこにも見当たらないのですが。
どこかにそういう補足があるのでしょうか 元の定義を見ても難しいですよ
正式な定義になってないので
それを噛み砕いて実現するものの一つが一階述語論理のZFCのモデルの対角化を使った定義です つまり、一階述語論理のZFCのモデル（具体的にどういうモデルを使うのかは分かりませんが）の対角化、
とこちらが独自に噛み砕いて初めてwell definedになるが、あれだけではwell definedにはならない、ということですか
モデルを使ったら使ったで多くの場合そのモデルを構成不可能で、比較や検証がなかなかできないという問題があって、
戦え数のような技術を使わない限りあまりすっきりするものでもないし、構成できたらできたぶんだけ非常に弱くなってしまうと思う。 そういうことですね
ラヨ関数の実現のもう一つとして証明可能性を使ってZFCで定義したものは、戦え数考案者の人が戦え数より小さいと考察してます x^n+y^n+z^n-2*√((x*y)^n+(x*z)^n+(z*y)^n)=0
x^6+y^6+z^6-2*√((x*y)^6+(x*z)^6+(z*y)^6)≠0
1/2≠√(Σ(a^n*b^n)/Σ(k^n)^2) 計算可能関数f(x)にx=BB(10^100)を入れたものを巨大数とする場合、計算可能巨大数扱いで良いの？ f(n)＜BB(n)だけど、BB(n)＜f(BB(n))となることはあり得るしな 0
1
5
36
329
3655
47844
721315
12310199
234615096
4939227215
113836841041
2850860253240
77087063678521
2238375706930349
69466733978519340
2294640596998068569
80381887628910919255
2976424482866702081004
116160936719430292078411
4765574829979508677295855
205035878625838303415800176
9231380112992703162388303775
434079901189282886935666077601
21279146538387854163010026106224
1085670553358969845200446997495025
57561818474563789649786700893342549
3166985686654367400583468996131335220
180575745957773505622907519480379450089
10657135997195291199152127118338518890471
650265871574870536653902661738130031768820
40977407045214039100395019816620530520326131
2664181723810487412062330190742072613852967335
Table[(2n-1)!!(1F1(-n, -2n, -2)),{n,1,33}] いや、値が確定してる数なので計算可能だよ
メモリが無限であればBB(10^100)という定数をマシンで定義できる BB(10^100)という定数を定義するためには最低10^100文字位必要なんだが？ >>65
おまえが、BB（10＾100）を実際に10進数かなにかでで書き下したら認めてやる。 >>66
俺が使ってるコンピュータはメモリが有限で正確にはチューリングマシンと同等ではない BB(10^100)が原理的に計算可能というのは認めるが。
巨大数スレで計算可能数を定義したと言い張るなら、計算不能な表現が入ってる時点でアウトや。
計算可能な表現のみでBB(10^100)を表現できたときにはじめてf(BB(10^100)も計算可能数として認められる。 1不可説不可説転=10^(7 2^122)
1グーゴルプレックス=10^(10^100)
1不可説不可説転
↓
10^37218383881977644441306597687849648128
なので 任意の自然数はある定数関数によって計算可能なので計算可能巨大数 >>68
そういうルールなんか？
東方巨大数3とかそうでもなかった気がするが
>>70
そう
BB(x)という関数が計算不能なだけ >>71
まあ、公式のルールがあるかどうかは知らない。
現状、俺一個人の意見ではあるが多分このスレの住人の大半は俺に味方してくれると思うぞ？ なにか数学的に扱いきれない理想的な理論が存在することを前提とすれば、BB(10^100)の値も決定できるし、おそらくそう考えるのが一般的
形式的な厳密さを要求されるとあまり自明でない。
いちおう「理想的な理論」ほどでなくとも、数学的に扱いきれる（1階の言語で帰納的公理化可能な）適当な理論で必要十分ではある。でも10^100となると現実的でないかな 海外の数学通に聞いたことがあるが、ラヨ数でもS……S(……(0)……)としてZFCで定義可能だと言ってたからな
それが普通の考え方 独自に定義可能なのはいいが作者自身の定義ではないのは留意しておくべき 東方巨大数3、Twitterアカウント持ってないと質問もできなくてワロタ
今の時代仕方ないのか S1=1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^4+・・・+1/2^n1=1-1/2^(n1)
S2=1/3+1/3^2+1/3^3+1/3^4+・・・+1/3^n2=1/2-1/2*1/3^(n2)
S3=1/5+1/5^2+1/5^3+1/5^4+・・・+1/5^n3=1/4-1/4*1/5^(n3)
2^n1*3^n2*5^n3*(S1-S2-2*S2)
2^n1*3^n2*5^n3*(1/2*1/3^n2+1/2*1/5^n3-1/2^n1)
2^2*3^2*5^2*(1/2*1/3^2+1/2*1/5^2-1/2^2)=-157
2^5*3^2*5^2*(1/2*1/3^2+1/2*1/5^2-1/2^5)=319
2^5*3^2*5^3*(1/2*1/3^2+1/2*1/5^3-1/2^5)=1019
n1,n2,n3に整数を入れると素数になる 東方巨大数のルール作成に関わったものです
まず、BB(10^100)を計算可能関数にぶち込んだものですが、計算可能関数がいかなる大きさであってもこの巨大数はBB(10^100)と近似されるため、「既知の関数を使っていて、かつその関数を本質的に拡張することに成功していない」 と見なされるため、計算可能部門不可能部門問わず無効となりそうです
要は、BB(n)を、ただでかいというだけで使わずに、それを理解した上で拡張できれば良いということです また、もし計算可能関数と不可能関数がごちゃ混ぜになっている表記(スパゲティですね)を投稿された場合は、計算不可能部門で扱うことになります。 ここからコンマ00で誰かが何かの巨大数をライフゲームと結びつける Table[((n-13)(a-4n-125))/(a(n-52)-7n^2+92n+6500),{a,10^(7 2^122),10^(7 2^122)+15},{n,3,3}]
を出力してくれ～(・ω・)ノ 2^2*3^2*5^3*(1/2^2+1/3^2+1/5^3)=11*151=2*3*5*(1/2-1/3+1/5))*2*3*5^2*(1/(2*5^2)-1/(3*5^2)+1)
X^2+Y^2+Z^3=(X-Y+Z)*(X*Z^2-Y*Z^2+1)
1/X^a*1/Y^b*1/Z^c*(X^a+Y^b+Z^c)
(X^a+Y^b+Z^c)が式変形できないとき
1/X^a*1/Y^b*1/Z^c*(X^a+Y^b+Z^c)は素数になる List of common mistakes on formal logic appearing in googology
って記事良記事だな
英語だけど 3１３２人目の素数さん2019/03/10(日) 00:53:01.15ID:T0MC3AGv
別にこれはゴールドバッハ予想の本筋の話じゃないし
3次元版黄金比(8つの線形独立な数のなんらかの比)だから
虚数が出てくるのは分かりきってるから実数解だけが出てくる必要性はあまりないんだが
実数解での近似値しかでねーんだよなwolfram
8乗根の1/8版
(1^(1/8)+7^(1/8)+11^(1/8)+13^(1/8)+17^(1/8)+19^(1/8)+23^(1/8)+29^(1/8))/8
結果：1.359492973752185331215785959543067512600248663925938276460...
URL: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%5E(1%2F8)%2B7%5E(1%2F8)%2B11%5E(1%2F8)%2B13%5E(1%2F8)%2B17%5E(1%2F8)%2B19%5E(1%2F8)%2B23%5E(1%2F8)%2B29%5E(1%2F8))%2F8
こっちが立方根の1/3版
(1^(1/3)+7^(1/3)+11^(1/3)+13^(1/3)+17^(1/3)+19^(1/3)+23^(1/3)+29^(1/3))/3
結果：6.214704335326685035221796173334212598695902925051971985536...
URL： https://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%5E(1%2F3)%2B7%5E(1%2F3)%2B11%5E(1%2F3)%2B13%5E(1%2F3)%2B17%5E(1%2F3)%2B19%5E(1%2F3)%2B23%5E(1%2F3)%2B29%5E(1%2F3))%2F3
8乗根の1/3版
(1^(1/8)+7^(1/8)+11^(1/8)+13^(1/8)+17^(1/8)+19^(1/8)+23^(1/8)+29^(1/8))/3
結果： 3.625314596672494216575429225448180033600663103802502070560...
URL: https://ja.wolframalpha.com/input/?i=(1%5E(1%2F8)%2B7%5E(1%2F8)%2B11%5E(1%2F8)%2B13%5E(1%2F8)%2B17%5E(1%2F8)%2B19%5E(1%2F8)%2B23%5E(1%2F8)%2B29%5E(1%2F8))%2F3
3乗根の1/8版
(1^(1/3)+7^(1/3)+11^(1/3)+13^(1/3)+17^(1/3)+19^(1/3)+23^(1/3)+29^(1/3))/8
結果：2.330514125747506888208173565000329724510963596894489494576...
URL: https://ja.wolframalpha.com/input/?i= アドレスを保持するレジスタが1個
アドレスは全ての整数値になりうる
各アドレスに対して1bitのデータを保持する
プログラムはn個の命令からなる
各命令は以下のような動作をする
switch (*addr){
case 0:
5種類の動作のどれか
case 1:
5種類の動作のどれか
}
5種類の動作は以下
A : *addr++ = 0; goto 「n個の命令の1個」;
B : *addr++ = 1; goto 「n個の命令の1個」;
C : *addr-- = 0; goto 「n個の命令の1個」;
D : *addr-- = 1; goto 「n個の命令の1個」;
E : 動作停止
データとaddrは全て0の状態で
1個目の命令から動作を開始する 巨大数を作ろうと考えてるんだけど全然上手く行かない
思い付く人すげーな 順序数崩壊関数はε-δ論法と同じくらい難しかった
やっと理解できました 不可説不可説転＾無量大数=(10^(7×2^122))^(10^68)
=（10^37218383881977644441306597687849648128）＾（10^68）
=10^10^3721838388197764444130659768784964812800000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.
≒10^(10^105.5707575110199) ・・・
1グーゴルプレックスを超えた！ >>92
関数によって違う。
順序数崩壊関数は、その関数ではどうやってもたどり着けない（次元が違う）順序数を使って、それより小さい順序数を作ろうというものなので。
計算可能な手順ではどうやっても構成することはできないという性質は、
ω_1の、可算な手順ではどうやっても構成することができないというのと同じような感じなので、
これを使って順序数崩壊関数を作ることができる。
ところで、ω_1^CKより小さくて、似たような性質がある順序数って存在するんだろうか。
なんとなくやってる人の意見でした。 Loader.cって、たしかn文字のCoCで書かれたプログラムのうち、最大の数を出力するものみたいな感じなんだっけ？
CoCは、ZFCと同じ強さ、表現力があるうえ、
なんと、必ず停止するという最強の利点があるから、これで総当たりしたら絶対でかい数ができるじゃんずる・・・賢いなー 必ず停止するのにZFCと同じ強さってなんか違和感が >>97
あ、ZFCと同じなのはCICだったか
停止するって↓に書いてあった
https://www.slideshare.net/qnighy/coq-13942184
関係ない話:
順序数を表すのにチェーン表記が不便だと思った
やはり時代はBEAFだな今回のでそれがよく分かったよ>>wiki感謝 >>98
CoCの証明論的強さの順序数って何になるの？ (100!/10^71)/10^71≧9×10^15
なので100!は
1000無量大数×1000無量大数×9000兆以上の大きさ Buchholzのψ関数について解説、ψ_0(1)まで
http://ja.googology.wikia.com/wiki/%CE%A8%E9%96%A2%E6%95%B0
順序数の集合を返す関数C_v(α)を補助的に使用している。
ψ_v(α)はC_v(α)に含まれない最小の順序数。
C_v(α)は、すべてのnについてのC^n_v(α)の和集合。
ψ_0(0)を求めるには、まずC_0(0)を求める必要がある。
C^0_0(0)=1={0}【順序数の定義より、α<β⇔α∈β】
C^1_0(0)={0}∪{0}【P(0)=∅】∪∅【ξ∈0となるようなξはない】={0}
・・・
C_0(0)={0}、よってψ_0(0)=1
つぎに、ψ_0(1)。同様にC_0(1)を求める。
C^0_0(1)={0}
C^1_0(1)={0}∪{0,1,2,…}【P(1)=P(2)=…={1}】∪{1,Ω,Ω_2,…,Ω_ω}【ψ_μ(0)】
・・・
C_0(1)={0,1,…}∪{Ω,Ω+1,……}
C_0(1)にωは含まれないのでψ_0(1)=ω
同様にすると、ψ_0(α)=ω^αとなる log(100!)/log(10)=157.97… wolframalphaより
つまり100!は158桁の数
Buchholzのψ関数を使ってツリー状の順序数表記を作ることができる。
・すべての節点には0以上の整数、またはωのラベルが付いている。
・ただし、根には+というラベルが付いている。
・同じ節点から複数の枝が生えているとき、和を意味する。
・ラベルνの節点から枝αが生えているとき、ψ_ν(α)を意味する。
0 = (+)
1 = ψ_0(0) = (+(0))
2 = ψ_0(0)+ψ_0(0) = (+(0)(0))
ω = ψ_0(ψ_0(0)) = (+(0(0))
ω^2 = ψ_0(ψ_0(0)+ψ_0(0)) = (+(0(0)(0)))
ε_0 = ψ_0(ψ_1(0)) = (+(0(1)))
φ(2,0) = ψ_0(ψ_1(ψ_1(0))) = (+(0(1(1))))
Г_0 = ψ_0(ψ_1(ψ_1(ψ_1(0)))) = (+(0(1(1(1))))) >>99
やはり私の読み間違えかもしれないので調べてみてください。
Ordinal Strength of Logic-Enriched Type Theories
https://www.cs.ru.nl/R.Adams/20120327cambridge.pdf
が参考になるかもしれません。 >>107
https://www.wolframalpha.com/input/?i=ceil(log10(1000!))
2568桁
十分大きなnに対してはa^n<n!<n^nということを使って、
10^1000＜1000!＜1000^1000＝10^3000
1000桁以上3000桁以下といってもいい
この方法はwolframで計算できないほど大きい階乗にも使える
10^10^10＜(10^10)!＜(10^10)^10^10＝10^10^11
(10^10)!は10 000 000 000桁以上、100 000 000 000桁未満 あ、log10ならこの方法で計算できるじゃん
function factorialDigits(n){
let digits = 0;
for(let k = 2; k <= n; k++) digits += Math.log10(k);
return Math.ceil(digits);
} 結局巨大数の探索とは複雑さの探索であり、どれだけ複雑にできるかということであり、複雑さの度合いは順序数で表すことができる。
これはつまり自己エントロピーとの闘いであり、整然とした複雑さの追求は、生きている限りエントロピーの増大に抗う生命という存在の、自然な欲求といえるのではないか？ 多相型の強さを知るために、多相型を使って順序数をつくる
0, f_0, +を用意する
ただし、f_0、+は多相であり、何を入力してもいい。
・f_0(χ) = χ´
・f_α+f_β=f_(α+β)
f_0(α) = ω^α
f_0(f_0) = f_1
f_1(α) = φ(1,α)
f_1+f_1 = f_2
f_η(α) = φ(η,α)
f_0(f_1) = f_ω
f_0(f_1+f_1) = f_{ω^2}
f_0(f_ω) = f_{ω^ω}
f_1(f_0) = f_ε_0
f_α(f_0) = f_φ(α,0)
fの限界はf_Г_0、つまりこの表記の限界はφ(Г_0,0) = Г_0 別の構成法
・f_0(f_α) = f_{ω^α}なのは同じだが
f_1(0) = Ω
f_0(Ω) = ψ_0(Ω)
f_1(α) = Ψ_1(α)
f_1 + f_1 = f_2
f_ν(α) = Ψ_ν(α)
f_2(f_0) = f_Ω
f_1(f_Ω) = f_{ψ_0(Ω)}
f_2(f_Ω) = f_{ψ_1(Ω)}
f_1(f_α) = f_{ψ_0(α)}
f_2(f_α) = f_{ψ_1(α)}
f_2(f_0) = f_{Ω_2}
この限界はおそらくψ(ψ_I(0)) 計算可能関数が好きだからビジービーバーは嫌って人居るけど、
ビジービーバー関数を10^100によって制限した関数って計算可能だよな？ a - 137!=0 を満たすaの値はいくつですか？ >>113
BB(10^100)と言っても、計算可能な定義が示されてないから、計算可能な部分だけ見れば「西暦3000年1月1日の時点で最大の数」って言うのとほとんど変わらない
依存型のようなものを追加してみる
[0]_α(β) = φ(α,β)
[0]_0([0]_0) = [0]_Ω
ここまではたぶん同じ
ここから：[1] :: A → (A → A)
[1](0) = [0]_{ψ_I(0)}
いつかしっかり定義したい
※[0]_0の_0部分はわかりやすくするために名前をつけるためのものなので、[0]_0=[0] おっと間違えた(7行目)
[0]_0([0]_0) = 1
その他、>>112と同じ >>103
100！＝
93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000
10 LET N=1
20 LET MAX=100
30 FOR I=0 TO MAX-1
40 LET A=I+1
50 LET N=N*A
60 PRINT I+1;
70 PRINT N
80 NEXT I
90 END I=Ω_Ω_Ω_...のI番目の不動点であってる？ >>115
BB(10^100)ではなく定義域を10^100に制限したBB(x) >>119
最低でも10^100状態以上のチューリングマシンが必要だぞ？ BB(10^100)は計算可能だが結局のところBB(10^100)と10文字で書けるのはBBの計算不能性によるところが大きい。 BB(10^100)は一つの自然数だから計算可能関数はおろか関数ですらない
BBの10^100による制限とは異なる それもそうだが
どちらにせよ計算可能ニストもビジービーバーは受け入れられるはずだろう なるほど。例えば
f(x) = BB(x) (if x < 10^100)
f(x) = 0 (otherwise)
という関数は計算可能だという訳か。
確かにその通りだが、計算可能ニストは納得しないだろう。
任意のxについてBB(x)の値を知る神様がいれば、n=10^100として
BB(0)=a0, BB(1)=a1, ... ,BB(n)=an
を満たす定数a0,a1,...,anを知っているから、
その神様は、入力がmかつm<nならamを出力し、m<nでないなら0を返す、
C言語で言うswitch文が10^100まで続く感じのプログラムを書ける。
しかし、BB(10^100)どころかBB(100)の値も知らない人間には、
このようなプログラムを実装できない。
おそらく計算可能ニストは、アルゴリズムがあるというだけでなく、
具体的なアルゴリズムを示すことまで求めるはずだ。 ＞5-状態ビジービーバーについて(中略)
他に約40個の非正則な振る舞いをするチューリングマシンが残されている。これらは停止しないと信じられているが、停止しないことの証明がいまだ得られていない
停止しないと信じられている非正則な振るまいって具体的にどういうこと？
例えば2-状態で、
(1RB)(1LB)(1RA)(1LA)という挙動をするマシンが停止しないのは明らかだけどこれは非正則といえるの？ >>129
https://web.archive.org/web/20121026023118/http://web.mit.edu/~dbriggs/www/
ここにリストがあるけど
正則なチューリングマシンってどういう定義なんだろう 1-状態のマシンが取りうる全挙動
1RA、1LA、0RA、0LB←無限に動き続ける為失格
1RH、1LH←優勝
0RH、0LH←２着
失格＝非正則
ゴール(停止)する＝正則
でいいんじゃね？
5-状態だと挙動の全パターンが多過ぎて失格する無限ループも複雑になるから判明しないとか 40個のうちどれか一つでも停止か無限ループになることが言えたらそれだけで論文になるレベル？ Twitterでこんな文見つけた
＞一番シンプルな停止性問題というと2記号5状態チューリングマシンの停止判定かなって思って調べてたら英語版巨大数Wikiの方で解明が進んでた。
停止するかが判明していなかった42個のチューリングマシンのうち14個が無限ループすることを証明(2014)
非正則＝停止するかしないかどちらかわからない、
って意味だな。 14個が無限ループするすることの証明になにか目新しいテクニックは使われたのだろうか？ BB(n) (n<10^100)
の値を求めるアルゴリズムは確かに存在するだろう
BB(1)は計算可能だし、ある決まった値についてはBB(n)もその次も計算可能だから
でも、そのアルゴリズムを書くにはこのスレの余白は余りにも小さすぎる
おあとがよろしいようで お久しぶりの、majimanjiです。
一秒だけ巨大数論復帰します。
質問です。
F_φ(ε_ω+1,0)(n)はBEAFで近似するとどうなりますか？ {X,X,(X↑↑X^X)+1}&n
あたりじゃないか >>138
と言うことはF_φ(ε_ω+1,0)(3)は余裕で鳥アクルス超えてる...!? C: 複素数全体
R: 実数全体
Q: 有理数全体
Z: 整数全体
N: 自然数全体
使用例. 1 ∈ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C. Buchholzのψ関数で、わざわざカントール標準形の集合を加えてる意味はあるんだろうか
{γ+δ|γ,δ∈C_ν^n(α)}みたいに書いた方が個人的にはわかりやすいと思うが、そうしてもいいのだろうか
あとC_ν^n(α)∪のとこいらなくね？ User_blog:Deedlit11/Ordinal_Notations_III:_Collapsing_Higher_Cardinalities を参考にした
ψ function up to ψ_0(Ω_Ω_Ω_...)
C_n(ν,α) = α∪{0}
C_n(ν,α) = {β+γ,Ω_β, ψ_μ(ξ) | μ∈C_n(ν,α); ξ∈C_n(ν,α)∩α; ξ∈C(μ,ξ)}
C(ν,α) = ∪[n < ω] C_n(ν,α)
ψ_ν(α) = min{β | β∉C(ν,α)} おかしかったな、ミスだ
C_n(ν,α) = {β+γ,Ω_β, ψ_β(ξ) | β,γ∈C_n(ν,α); ξ∈C_n(ν,α)∩α; ξ∈C(β,ξ)} 巨大数作ろうとするとすぐ自然数の無限集合になってしまってうまく行かんなぁ 多変数アッカーマンを順序数を使って1変数アッカーマンにする
どこまでいけるか？
まず、手抜きの定義を
A(a_n, …, a_1, a_0)をたろう氏の多変数アッカーマン関数とする
α=ω^n×a_n＋…＋ω^0×a_0とおく
A(α) = A(a_n, …, a_1, a_0)
この時点では、α＜ω^ωについて定義されている
後はお楽しみ！
ところで、順序数崩壊関数って、いろいろなギリシャ文字とかが割り当てられているけど、人によって仕様が違うからめんどくさいな
例えば、Deedlit11氏のブログではψ関数の中で＋,φが使われてるがBuchholz's ψでは＋だけが使われてるし、Madore's ψでは＋、×、↑が使われてる
in my ψ function, なんて言う人もいるし統一するかわかりやすくしてほしいもんだ
まあϑ関数は定義が一つしかないし、これを使えば安泰かな まあ、どの関数を使おうがBHOでは同じ強さになるのだが
ϑ(ε_(Ω+1)) = ψ_0(ε_(Ω+1)) [Rathjen] = ψ_0(ε_(Ω+1)) [Buchholz] = ψ(ε_(Ω+1)) 間違えた、というかRathjenのψわかってなかった
ψ_0 [Buchholz] ≒ ψ_Ω [Rathjen]
だった 到達不能階層というのがあるのか！
χ(0,β) = Ω_(1+β)：1+β番目の非可算な基数
χ(1,β) = I_(1+β)：1+β番目の1-到達不能基数
χ(2,β)：1+β番目の2-到達不能基数
χ(α,β)：1+β番目のα-到達不能基数
χ(M,β)：1+β番目のhyper-到達不能基数
χ(M+α,β)：1+β番目のhyper-α-到達不能基数
χ(M_2,β)：1+β番目のhyper-hyper-到達不能基数 また間違えたみたいだ・・・
・まず、到達不能基数ではなく“弱”到達不能基数
あと、Iは1-弱到達不能基数ではなかった、つまり
χ(α,β)：1+β番目の1+α-弱到達不能基数 「BB(5) Calculating Challenge」企画
もうそろそろ始めるか？ やってみたいけどビジービーバー関数の定義をまだ知らない n=5のビジービーバー候補って綺麗すぎじゃね？
なんとなく、もっとぐちゃぐちゃなのが真のビジービーバーだと思う。 BB(85)>>fε_0(1907)って書いてあるけど、真のBB(85)の値は多分もっと遥かにでかいよね？ >>155
その可能性もある
fφ(ω,0)(10)越えかもしれないし、
もっとでかいかもしれない >>155
その可能性もある
fφ(ω,0)(10)越えかもしれないし、
もっとでかいかもしれない X↑↑↑X&ω = θ(φ(2,Ω+1))
{X,2,1,2}&ω = θ(φ(ω,Ω+1))
{X,X,1,2}&ω = θ(Ω_2)
{X,X,2(1)2}&ω = θ(Ω_2^Ω_2)
X↑↑X&X&ω = θ(ε_(Ω_2+1))
X↑↑↑X&X&ω = θ(φ(2,Ω_2+1))
{X,X,1,2}&X&ω = θ(Ω_3)
{X,X,1,2}&X&X&ω = θ(Ω_4)
{ω,ω/2} = θ(Ω_ω) ω^ε_α＝ε_α
ω^(ε_α+1) = ω^ε_α・ω = ε_α・ω
ω^(ε_α・2) = (ω^ε_α)^2 = ε_α^2
ω^(ε_α^2) = (ω^ε_α)^ε_α = ε_α^ε_α
ω^(ε_α^ε_α) = (ω^ε_α)^ε_α^ε_α = ε_α^ε_α^ε_α
ε_(α+1) = ω^ω^・・・^ω^(ε_α*2) ? 日本の巨大数はレベルが高いらしいな
応募するの辞めとこ (´･ω･`)↑↑(*´▽｀*)↑↑↑(/・ω・)/ サラダ数を作ってみた。
トマト(a,b)=トマト(a-1,b)+トマト(a,b-1)とし、トマト(1,a)=a,トマト(a,1)=a+1とする
次に、シャリシャリレタス(a,b,c)を次のように定義する。
トマト(a,b)↑^[トマト(a,c)]トマト(b,c)
続いて、粉チーズ(a,b,c)を次のように定義する。
シャリシャリレタス(トマト(a,b),トマト(a,c),トマト(b,c))
最後に、マヨネーズ(a,b,c,d)をこう定義する。
粉チーズ(シャリシャリレタス(a,a+b,トマト(c,d)),トマト(a,b^2),トマト(a,d))
そして、マヨネーズ(114,514,810,1919)をサラダうまいとする 100!中の二進数字の桁数を求める：
In[1]:=IntegerLength[100!, 2]
Out[1]=525 ハイパー演算の、f_ω^ωレベルの自然な拡張を目指す
X: 0個以上の整数, Y: 0個以上の1, A: Yと同じ個数のa
a, b, c: 整数
hyper(a, Y) = a+1
hyper(a, b, Y) = a+b
hyper(a, 1, X) = a
hyper(a, b+1, Y, c+1, X) = hyper(a, A, hyper(a, b, Y, c+1, X), X) ミス 最後の行
hyper(a, b+1, Y, c+1, X) = hyper(a, A, hyper(a, b, Y, c+1, X), c, X) rT階層を次のように定義する
rT_0(n)=n
rT_n+1(m)=rT_n(rT_n(m))
rT_順序数(n)=rT_順序数[n](n)
ここで順序数[n]=順序数のn番目の基本列とする
だれか増加速度の比較作ってくだXi ,X,2(1)2}&ω = θ(Ω_2^三_2)
X↑↑X&X&ω = θ(ε_(Ω_2+1))
X↑↑↑X&X&ω = θ(φ(2,Ω_2+1))
{X,X,1,2}&X&ω = θ(⑤；ap-./ 3/3]0～2sin∠OPO'=1/3
2sin∠OPO'-(8/3)(sin∠OPO')^3=1/3
6sin∠OPO'-8(sin∠OPO')^3=1
前問同様、∠OPO'=10゜ ⛟⛴✈,I'm >>167
rT_m(n) = n
増えてねーぞ何かの間違いではないか？
仮に、rT_0(n) = n+1とすると
rT_m(n) = n+2^m
rT_ω(n) = n+2^n
f_0(n) ≦ rT_m(n) < f_1(n) < rT_ω(n) < f_2(n) < rT_ω+1(n)
Hardy＜rT＜FGH
H_ε_0 ≒ rT_ε_0 ≒ f_ε_0 超現実数というのがある
これは、実数を超限順序数まで拡張したようなものらしい
0 = {|}
1 = {0|}
2 = {1|}
-1 = {|0}
-2 = {|-1}
1/2 = {1|2}
3/4 = {1/2|1}
詳しくはWikipedia参照だが、巨大数に使えないか気になる >>170
それは単なるミス
補遺
rT_ω^ω(n)を急増化関数にしてみた
rT_ω^n(n)
こっから分からん 2^i = 3^j-1 となる (i, j): (1, 1), (3, 2), ?
・無数に存在するだろうか？
・増加速度は？ 新しい巨大数を考えた。
V(n)=n↑^[n]n
V^n(n)=R(n)
R(n)_m=R^V(m)(n)
R(n)_n=Ce(n)
Ce^64(4)をNaNaSi数v1とする >>176
V(n) ≒ f_ω(n)
R(n) ≒ f_ω+1(n)
Ce(n) = R^V(n) (n) ≒ f_ω+2(n) >>175
それしか無いのは高校生なら示せるようにしたいところ。 NaNaSi数v2は以下のような定義です。
V(n),R(n),Ce(n)....って感じの関数の列のn番目の関数をXu[n]とする
例:Xu[3](3)=Ce(3)
By(n,m)=Xu[n](m)↑^[Xu[n](m)] Xu[n](m)とする
By(10,10)をNaNaSi数第1定数とする
By(NaNaSi数第1定数、NaNaSi数第1定数)をNaNaSi数v2とする 段階的に定義
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
a,x={非負整数}
A=f[a+1](x)
f[0](x)=x+1
f[a+1](0)=f[a](1)
f[a+1](x+1)=f[a](A)
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
a,n,x={非負整数}
X={0個以上の非負整数}
a#n={n個のa}
B=f[0#(n+1)](x)
A=f[X,a+1,0#n](x)
f[](x)=x+1
f[0#(n+1)](0)=f[1#n](1)
f[0#(n+1)](x+1)=f[B#n](B)
f[X,a+1,0#n](0)=f[X,a,1#n](1)
f[X,a+1,0#n](x+1)=f[X,a,A#n](A) ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
a,m,n,x={非負整数}
X={0個以上の非負整数}
a#n={n個のa}
[]={0個のリスト}
[@]={0個以上の非負整数の0個以上のリスト}
[X]{m}={m個のXのリスト}
C=f[]{m+1}(x)
B=f[@][0#(n+1)][]{m}(x)
A=f[@][X,a+1,0#n][]{m}(x)
f(x)=x+1
f[]{m+1}(0)=f[1]{m}(1)
f[]{m+1}(x+1)=f[C#C]{m}(C)
f[@][0#(n+1)][]{m}(0)=f[@][1#n][1]{m}(1)
f[@][0#(n+1)][]{m}(x+1)=f[@][B#n][B#B]{m}(B)
f[@][X,a+1,0#n][]{m}(0)=f[@][X,a,1#n][1]{m}(1)
f[@][X,a+1,0#n][]{m}(x+1)=f[@][X,a,A#n][A#A]{m}(A) ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
a,k,m,n,x={非負整数}
X={0個以上の非負整数}
a#n={n個のa}
[]={0個のリスト}
[@]={0個以上の非負整数の0個以上のリスト}
[X]{m}={m個のXのリスト}
[[]]={0個のリストのリスト}
[[@]]={0個以上の非負整数の0個以上のリストの0個以上のリスト}
[[X]{m}]{k}={m個のXのリストのk個のリスト}
D=f[[]]{k+1}(x)
C=f[[@]][[]{m+1}][[]]{k}(x)
B=f[[@]][[@][0#(n+1)][]{m}][[]]{k}(x)
A=f[[@]][[@][X,a+1,0#n][]{m}][[]]{k}(x)
f(x)=x+1
f[[]]{k+1}(0)=f[[1]]{k}(1)
f[[]]{k+1}(x+1)=f[[D#D]{D}]{k}(D)
f[[@]][[]{m+1}][[]]{k}(0)=f[[@]][[1]{m}][[1]]{k}(1)
f[[@]][[]{m+1}][[]]{k}(x+1)=f[[@]][[C#C]{m}][[C#C]{C}]{k}(C)
f[[@]][[@][0#(n+1)][]{m}][[]]{k}(0)=f[[@]][[@][1#(n+1)][1]{m}][[1]]{k}(1)
f[[@]][[@][0#(n+1)][]{m}][[]]{k}(x+1)=f[[@]][[@][B#n][B#B]{m}][[B#B]{B}]{k}(B)
f[[@]][[@][X,a+1,0#n][]{m}][[]]{k}(0)=f[[@]][[@][X,a,1#n][1]{m}][[1]]{k}(1)
f[[@]][[@][X,a+1,0#n][]{m}][[]]{k}(x+1)=f[[@]][[@][X,a,A#n][A#A]{m}][[A#A]{A}]{k}(A) ()の中の数字はともかく、関数はそれ・・・と同じ位だと思うけど
By(n,m)=Xu[n](m)としても同じ位の強さになる
↑を使う必要はあまりないと思う ちょっと頑張ってみる
[n,m]=By(n^2,m^2)
[n,m,1]=[[n,m],[n,m]]
[n,m,2]=[[n,m,1],[n,m,1],1]
[n,m,3]=[[n,m,2,],[n,m,2],2]
.....
Uu(n)=[n,n,n]とする
Uu^Uu(3)(3)をNaNaSi数v3とする
小さい自信はある 1次元 ω^n×a_n＋…＋ω^1×a_1＋a_0 ＜ ω^ω
2次元 ω^(ω×b＋c)×a ＜ ω^ω^2
n次元 ＜ ω^ω^ω 俺もω_1^CKくらいの関数はいきたいんだけど
出来るだけ単純にしたいんだよなあ 海外はあまり集合論分かってないから巨大数が滅茶苦茶みたいな話があるけど、個人的に集合論はZFCの中で研究してるイメージあるから、メタ的な視点が大きく入り込むのは集合論ではなくモデル論や証明論といった別の分野な気はするよなぁ
集合論をやる上ではメタ理論という概念は形式上全く必要ないし そうなるよな
巨大数にはZFC公理系の理解が必須だが(東方巨大数のルールにも記述されてる)
解説がどこにもないからなぁ…… ただわかったと思うのと、使いこなすのは別かもしれないが、とりあえずWikipedia見ればわかった気になる 皆ゲームやろうぜ！
関数T:Nk↦Nが区分線形 (piecewise linear) であるとは、整数係数の不等式による条件分けされた有限個の一次関数によって表記できることを意味するものとする。
区分線形関数Tに対して、ベクトルy∈Nkがxに対するTの逆変換であるとは、T(y)=xを満たすことを意味するものとする。
区分線形関数T:Nk↦Nと、2つの正の整数nとsが与えられた時に、
有限区分線形約束ゲーム (finite piecewise linear copy/invert game, 略してFPLCIゲーム) G(T,n,s) を、次のように定義する。G(T,n,s)は、マシモとうるかの間の2人ゲームで、nラウンドで終了する。マシモが先手である。
マシモの手番では、w! または y+z となるようなx∈[0,s] を選ぶ。ここで、yとzはうるかがそれまでに選んだ数字でなければならない。xがマシモの提案である。うるかは、その提案を受け入れるか拒否することを選ぶことができる。
提案を受け入れた時には、うるかはxを選んで、うるかは決してxのTによる逆変換の中から数字を選ばないと約束する。
提案を拒否した時には、xのTによる逆変換の中から好きな数字を選んで、決してxを選ばないと約束する。
うるかが約束を破ると、うるかの負けである。うるかがnラウンドすべて約束を破らなければ、うるかの勝ちである。ここで、約束はうるかの過去、現在、未来のすべての手番に適用される。
....うん。 CoCがZFCより強いかはともかく、少なくとも2階述語論理と同じ強さがあるのは確かだろう
CoCでは述語を量化できるから いや、そうではないのか？
もしかするとCoCで量化できる述語には制限があるかもしれない
まだあまり理解してないからわからないけど
ところで、1階と2階があるなら3階以上の算術や述語論理はあるんだろうか？
1階算術→∀n:自然数
2階算術→∀X:集合
1階述語論理→∀x:物
2階述語論理→∀φ:述語
また、2階述語論理のサブセットは何かあるだろうか
ZFが集合の構成法を制限したように、述語の構成法を制限したようなものは 今Wikipedia見たら、高階述語論理の例として、CoCがあった
そうか、そうだよな、CoCでは述語に関する述語をつくることもできるもんな CoCはローダー数の理論であり同時に術後の一種でもある
すなっわちｋｓｋｌ、ｌｈがｇｆぁ；うｄｐｇ
本編：CoCって何？ CoCとは：ラムダ計算の親戚のようなもの。英語版Wikipediaを見ればたぶんわかる。
ラムダ計算を知らないならそこから調べてみるといいと思う。
ラムダ計算入門→https://www.slideshare.net/_yingtai/lambda-guide https://www.amazon.co.jp/gp/profile/ amzn1.account.AG7IMTGXGB7V5LN6Z2GH52VKIUWA
きちがいゴキブリニホンザル国産ゴミをフェイク主張世界のゴミ箱ヒトモドキニホンザル抹殺しろ Loader.cをさらに少し展開してみた
https://pastebin.com/SuQmtjw5
CoCについて少し解説
AからNへの関数は「λx:A.N」と表す（「(x:A) N」と表記されることもある）
この関数の型は「∀x:A.B」である（このときN:B; 「[x:A] B」や「A⇒B」と表記されることもある）
自然数 (チャーチ数)
Nat = ∀A:P. ∀s:(A⇒A). ∀z:A. A
0: Nat = λA:P. λs:(A⇒A). λz:A. z
1: Nat = λA:P. λs:(A⇒A). λz:A. s z
真偽値
Bool = ∀A:P. A⇒A⇒A
true: Bool = λA:P. λx y:A. x
false: Bool = λA:P. λx y:A. y >>186の拡張チャレンジ&NaNaSi数v4
[a,b,c,d]=[[a,b,c],[a,b,c],d]
[a,b,c,d,e]=[[a,b,c,d],[a,b,c,d],e]
以下同様
本編
a[]b=[a,a,..b回...,a,a]
a[[]]b=a[]a[]a..b回..a[]a[]a
この表記が連なっているときは、右から計算する。
例:2[]3[]4=2[][3,3,3,3]
10[[[[[[[]]]]]]]10をNaNaSi数v4とする
↑[4,5,6]回 チェーン表記は低位な数を見捨てた結果ω^2になったが
多変数アッカーマンやBEAFは見捨てなかった結果ω^ωになった
姥捨て山的好例といえるだろう
ということで右矢印表記作ります
…→1 = …
a→b+1 = a[↑(a→b)]a
a[↑m]1[↑n]…[↑o]y→z = a→z
a[↑m]…[↑n+1]y+1→z = a[↑m]…[↑n](a[↑m]…[↑n+1]y→z)→z
3→2 = チェーン表記 3→3→3
3↑3→2 = 3[↑(3↑2→2)]3 = 3[↑(3[↑(3→2)]3)]3 = 3[↑(3[↑(3[↑3]3)]3)]3 ～ チェーン表記 3→3→4→2
3↑n→2 ～ チェーン表記3→3→n→2
3↑↑2→2 = 3↑(3→2)→2 ～ チェーン 3→3→(3→3→n→2)→2
右矢印2つ以上は後で考える ε_0未満の順序数をエンコード
[2^n] = n
[3^2^n] = ω×(1+n)
[3^3^2^n] = ω×(1+ω×(1+n)) = ω^2×(1+n)
[3^3^3^2^n] = ω×(1+ω×(1+ω×(1+n))) = ω^3×(1+n)
[5^2^n] = ω^ω×(1+n) [1]=0, [2]=1, [3]=ω, [4]=2, [5]=ω^ω, [6]=ω+1, [7]=?, [8]=3, [9]=ω×2, ... 順序数を２種類のカッコで表現
[]=1
[][]=2
[][][]=3
[[]]=ω
[[]][]=ω+1
[[]][][]=ω+2
[[]][[]]=ω×2
[[]][[]][]=ω×2+1
[[]][[]][[]]=ω×3
[[][]]=ω^2
[[][]][]=ω^2+1
[[][]][[]]=ω^2+ω
[[][]][[]][[]]=ω^2+ω×2
[[][]][[][]]=ω^2×2
[[][][]]=ω^3
[[][][][]]=ω^4
[[[]]]=ω^ω
[[[]]][]=ω^ω+1
[[[]]][[]]=ω^ω+ω
[[[]]][[][]]=ω^ω+ω^2
[[[]]][[[]]]=ω^ω×2
[[[]][]]=ω^(ω+1)
[[[]][][]]=ω^(ω+2)
[[[]][[]]]=ω^(ω×2)
[[[]][[]][[]]]=ω^(ω×3)
[[[][]]]=ω^ω^2
[[[][]][]]=ω^(ω^2+1)
[[[][]][[]]]=ω^(ω^2+ω)
[[[][]][[][]]]=ω^(ω^2×2)
[[[][][]]]=ω^ω^3
[[[][][][]]]=ω^ω^4
[[[[]]]]=ω^ω^ω
[[[[[]]]]]=ω^ω^ω^ω [()]=ε_0
[()][]=ε_0+1
[()][[]]=ε_0+ω
[()][[[]]]=ε_0+ω^ω
[()][()]=ε_0×2
[()[]]=ε_0×ω
[()[[]]]=ε_0×ω^ω
[()[()]]=ε_0^2
[()[()][]]=ε_0^2×ω
[()[()][[]]]=ε_0^2×ω^ω
[()[()][()]]=ε_0^3
[()[()][()][()]]=ε_0^4
[()[()[]]]=ε_0^ω
[()[()[[]]]]=ε_0^ω^ω
[()[()[()]]]=ε_0^ε_0
[()[()[()]][]]=ε_0^ε_0×ω
[()[()[()]][[]]]=ε_0^ε_0×ω^ω
[()[()[()]][()]]=ε_0^(ε_0+1)
[()[()[()]][()][()]]=ε_0^(ε_0+2)
[()[()[()]][()[]]]=ε_0^(ε_0+ω)
[()[()[()]][()[[]]]]=ε_0^(ε_0+ω^ω)
[()[()[()]][()[()]]]=ε_0^(ε_0×2)
[()[()[()]][()[()]][()[()]]]=ε_0^(ε_0×3)
[()[()[()][]]]=ε_0^(ε_0×ω)
[()[()[()][[]]]]=ε_0^(ε_0×ω^ω)
[()[()[()][()]]]=ε_0^ε_0^2
[()[()[()][()][()]]]=ε_0^ε_0^3
[()[()[()[]]]]=ε_0^ε_0^ω
[()[()[()[[]]]]]=ε_0^ε_0^ω^ω
[()[()[()[()]]]]=ε_0^ε_0^ε_0
[()[()[()[()[()]]]]]=ε_0^ε_0^ε_0^ε_0 [()()]=ε_1
[()()[]]=ε_1×ω
[()()[[]]]=ε_1×ω^ω
[()()[()]]=ε_1×ε_0
[()()[()()]]=ε_1^2
[()()[()()[()()]]]=ε_1^ε_1
[()()[()()[()()[()()]]]]=ε_1^ε_1^ε_1
[()()()]=ε_2
[()()()()]=ε_3
[([])]=ε_ω
[([[]])]=ε_(ω^ω)
[([()])]=ε_ε_0
[([()()])]=ε_ε_1
[([([])])]=ε_ε_ω
[([([()])])]=ε_ε_ε_0
[([([([()])])])]=ε_ε_ε_ε_0 [(())]=ζ_0
[(())[]]=ζ_0×ω
[(())[()]]=ζ_0×ε_0
[(())[(())]]=ζ_0^2
[(())[(())[]]]=ζ_0^ω
[(())[(())[()]]]=ζ_0^ε_0
[(())[(())[(())]]]=ζ_0^ζ_0
[(())()]=ζ_1
[(())([])]=ζ_ω
[(())([()])]=ζ_ε_0
[(())([(())])]=ζ_ζ_0
[(())([(())()])]=ζ_ζ_1
[(())([(())([])])]=ζ_ζ_ω
[(())([(())([()])])]=ζ_ζ_ε_0
[(())([(())([(())])])]=ζ_ζ_ζ_0 [a][b] = [a]+[b]
[a] = ψ_0(a)
(a) = ψ_1(a)
[((…()…))] = ψ_0(ψ_1(ψ_2(0))) = θ(ε_(Ω+1)) ラベルがない木の限界は、必ずε_0になるのだろうか？
ヒドラなどでは、同じ頂点から複数の枝が出ている場合、それらの和になるが、必ずしもそうする必要はないだろう
枝の並び替えに依存しない方が好ましいかもしれないが、そも、順序数の和は非可換だ
例えば1+ω≠ω+1だし、和にする必要はないだろう >>213
ブーフホルツのヒドラで、ラベルを0と1だけに制限した場合に相当する RCA_0の言語＋集合A,Bから超現実数をつくる記号{A,B}でω_1^CKの基本列を定義できるかもしれない
RCA_0を対角化することでetc... ハイパー演算の二項演算子を一種類のカッコで表現したヒドラに置き換えるとfε0(n)になった
二種類のカッコでやったらそのサイズになるのかな >>216
おお！
なんか理解できないけどすごそう。 >>219
発想
RCA_0って計算可能数学って呼ばれるらしいっすね
ならRCA_0で定義できる＝計算可能ってことじゃね
計算可能な順序数すべての上の対角化って計算不可能になるんじゃね え、ω_1^CKの基本列を定義出来たらかなりすごいよね？
ビジービーバーの値が求まっちゃうくらいすごい？ 関係ないかもしれないがくら寿司の求人サイトが虚空っぽい感じに（宇宙） ω_1^CKの基本列がRCA0により定義されようとしている今、東方巨大数3が始まろうとしている。
そして、このコメントを書いている今も、巨大数は進化し続けているだろう。
そこに、f_Γ_0(10)レベルの数を作る合作が始まる....!
というわけでf_Γ_0(n)の関数作りたい皆は、この合作に参加しよう！
後質問。
ω_ω_1^CK^CKって定義可能？ y1=log(n1)*x-2*(m1)*π 2*(m1)/log(n1) ≦ x < 2*(m1+1)/log(n1) 0≦y1<2π
y2=log(n2)*x-2*(m2)*π 2*(m2)/log(n2) ≦ x < 2*(m2+1)/log(n2) 0≦y2<2π
y3=log(n1/n2)*x-2*(m3)*π 2*(m3)/log(n1/n2) ≦ x < 2*(m3+1)/log(n1/n2) 0≦y3<2π
m1、m2、m3=任意の整数
n1、n2=任意の実数
y1=y2=y3=πをみたすxは存在しない
y1=y2のとき
log(n1)*x-2*(m1)*π=log(n2)*x-2*(m2)*π
log(n1/n2)*x=2*(m1-m2)*π
x=2*(m1-m2)*π/log(n1/n2)
y3=2*(m1-m2-m3)*π
y2=y3のとき
log(n2)*x-2*(m2)*π=log(n1/n2)*x-2*(m3)*π
x=2*(m2-m3)*π/log(n2^2/n1)
y1=2*(m2-m3)*π*log(n1)/log(n2^2/n1)-2*(m1)*π
y1=y3のとき
log(n1)*x-2*(m1)*π=log(n1/n2)*x-2*(m3)*π
x=2*(m1-m3)*π/log(n2)
y2=2*(m1-m2-m3)*π 自分的巨大数ランク分け
~ω Weak
ω+1~ω^ω Fate
ω^ω+1~ε_0 Dimensional
ε_0+1~φ(ω,0) Noah's ark
φ(ω,0)+1~ϑ(Ω^ω) Exalarge
ϑ(Ω^ω)~ψ(ψ_i(0)) Vendekanumber
ψ(ψ_i(0))+1~ω_1^CK Verseverse
ω_1^CK~ Beaver House
と言うわけだ。 √(X^2+Y^2+Z^2-2*(X*Y+Y*Z+Z*X))=0
√X=√Y+√Zのとき√(X^2+Y^2+Z^2-2*(X*Y+Y*Z+Z*X))=0
√(X^2+Y^2+Z^2-2*(-X*Y+Y*Z+Z*X))=2*√(X*Y)
X+Y-Z=2*√(X*Y)のとき√(X^2+Y^2+Z^2-2*(X*Y+Y*Z+Z*X))=0で√X=√Y+√Z
√(X^2+Y^2+Z^2-2*(-X*Y-Y*Z-Z*X))=2*√(X*Y+Y*Z+X*Z)
X+Y+Z=2*√(X*Y+Y*Z+X*Z)のとき√X=√Y+√Z
X^6+Y^6+Z^6=2*√(X^6*Y^6+Y^6*Z^6+X^6*Z^6)のときX^3=Y^3+Z^3 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:1341adc37120578f18dba9451e6c8c3b) Cantor: 1, ω, ω^ω, ω^ω^ω, ... < ε_0
Veblen0: 1, ε_0, φ(2,0), φ(3,0), ... < φ(ω,0)
Veblen1: 1, ω, ε_0, Г_0, φ(1,0,0,0), φ(1,0,0,0,0), ... < θ(Ω^ω)
Veblen2: θ(Ω), θ(Ω^θ(Ω)), θ(Ω^θ(Ω^θ(Ω))), ... < θ(Ω^Ω)
Theta1: θ(Ω), θ(Ω^Ω), θ(Ω^Ω^Ω), ... < θ(ε_(Ω+1))
Theta2: θ(Ω), θ(Ω_2), θ(Ω_3), ... < θ(Ω_ω)
Theta3: θ(Ω), θ(Ω_Ω), θ(Ω_Ω_Ω), ... < ψ_0(ψ_I(0))
Psi1: ψ_0(ψ_I(0)), ψ_0(ψ_I(ψ_I(0))), ... < ψ_0(ψ_I(I)) g_0 = λn:N. 0
g_α = min{f∊F | ∀β＜α. g_β＜f}
f＜g ⇔ ∃n:N. ∀m:N. n≦m → f(m)＜g(m)
g_m(n) = m
g_ω(n) = n
g_ω^2(n) = n^2
g_ω^ω(n) = n^n
g_ε_0(n) = n↑↑n
g_αの集合Fをどうやって定義するか？ やっぱFじゃなくてGを使おう
G(α)={g_β|β<α}とすると
G(ω)={定数関数}
g_ω(n)はG(ω)の列挙
g_ω+1(n)はG(ω)-{0}の列挙
g_ω+1(n)はG(ω)-{0,1}の列挙
g_ω2(n)は・・・ 久しぶりのNaNaSi数シリーズ
[a,b,c]_2=[[a,b,c],[a,b,c],[a,b,c]]
[a,b,c]_3=[[[a,b,c],[a,b,c],[a,b,c]],[[a,b,c],[a,b,c],[a,b,c]],[[a,b,c],[a,b,c],[a,b,c]]]
以降同様に拡張できる
[a,b,c]_[a,b,c]_[a,b,c]...と言う風に続く場合、下から計算する。
[a,b,c]_[a,b,c]_...[a,b,c]回...[a,b,c]_[a,b,c]をLe(a,b,c)とする
Le(10,10,10)をNaNaSi数v5とする >>231
[a,b,c]の定義がわからん。それがないと[a,b,c]_2とかが定義できなくない？ BEAFを順序数で表現してみる
1. 線形配列: ω^ω未満の順序数で表すことができる
{3,3,1,2} = {ω^3+ω3+3}
2. 多次元配列: ω^ω^ω未満
{3,3(1)2} = {ω^ω 2+ω3+3}
{3,3(1)(1)2} = {ω^ω2 2+ω3+3}
{3,3(2)2} = {ω^ω^2 2+ω3+3}
{3,3(3)2} = {ω^ω^3 2+ω3+3}
3. テトレーション配列: ε_0未満
{3,3(0,1)2} = {ω^ω^ω 2+ω3+3}
{3,3(1,1)2} = {ω^ω^(ω+1) 2+ω3+3}
{3,3(0,0,1)2} = {ω^ω^ω^2 2+ω3+3}
{3,3((1)1)2} = {(ω↑↑4) 2+ω3+3}
{3,3(((1)1)1)2} = {(ω↑↑5) 2+ω3+3}
配列次元演算子: θ(Ω_ω)未満
a&b = {b,a(1)2} = {ω^ω 2+ω a+b}
(a↑↑a)&b = {ε_0 2+ω a+b}
{a,a,a}&b = {φ(ω,0) 2+ω a+b}
{a,a,1,2}&b = {θ(0) 2+ω a+b}
{a,a(1)2}&b = {θ(Ω^ω) 2+ω a+b}
(a↑↑a)&a&b = {θ(φ(1,Ω+1)) 2+ω a+b}
{a,a,1,2}&a&b = {θ(Ω_2) 2+ω a+b}
{a,a,1,2}&a&a&b = {θ(Ω_3) 2+ω a+b}
なお、θ(Ω_ω)未満の順序数は、α＋β、φ(α,β)、θ(α)の組み合わせで表すことができる レギオン
{b,a/2} = {θ(Ω_ω) 2+ωa+b} ?
{b,a/1,2} = {θ(Ω_Ω) 2+ωa+b} ? 京都大学霊長類研究所とかわらえてくるけど
まあボタン押ししかできなくなった人が何をするのか
昔牢屋から脱走するのはなんたら問題が在って
怖くなったら一瞬で出るっていったんだけど
まあ実際家を飛び出したりいろんなことがあった
平和だと言われていた時間はみんな閉じ込められてたんだね
おれそんなのしらなかったわ
おれいえからでなくなったけどただかんがえてただけだったからね
そもそもおとなしいこでした
でも学校に行くときだけは元気でした
最初から閉じ込められていると思っている人だと
さて問題です
最初から閉じ込められていたをおき
そこから大小
まあ・・・・・
比較のできぬものに対角関係などあるはずもなく
そんな位相の本が明倫館書店にあったことを覚えています
もしなんも知らなくても
僕の場合は旧ソ連の束論の1ページ目とその位相の最初で知覚をし
それがなんなのか
だったんですけど
その本を持てなかったことは残念です
おそらく法のシステムが在ります
各国がどのようなシステムなのかがわかり
領域を知ることができるので
要
です
これはにほんごでもかけないでしょう
必
これは運用ではないので
ああわかりました
ここで
約
ですね してみると
領域の査
は在るが
ここからどうのこうのは目的論で在り独立しています
というのもだいたいですけどね
即
強引ですが
領域 査
調
深
こんな風に書いてあってもわかればよい
これが技術ですから
すべて平和のためだとおもえば
まあ仕方がないかなともおもいます
重の問題については書いたので
書 重
論理で書いてもああそうなんだわかった
というだけであります
形式から始めろ
これで
函式は作れません
幻覚・妄想時に
創造物を見せろ
というのがあったのですが
まあ難しいですね
元気でね >>235
じゃあfω^2くらいになるんじゃない？ 巨大数は宗教でもある
しかしスポーツでもある
サッカーでも同じだろう
サッカーをスポーツと見る人もいれば、宗教ととらえる人もいる 最初は巨大さを楽しみたかっただけかもしれない
しかし巨大さを崇め、巨大さをただひたすら求めるあまりに
そうしたらある日気が付いて 本当に自分には巨大さ以外がなくなってしまっていたんです 腸内細菌（善玉菌）を爆発的に増やす食べ物
１位キダチアロエ
２位ゴボウ
３位バナナ
４位玉ねぎ
５位にんにく
６位サツマイモ
10位リンゴ https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0168007298000463
ω^ω未満の順序数をCoCで表現する
On = ∀A:P. ∀L:(A⇒A)⇒(A⇒A). ∀s:A⇒A. ∀z:A. A
0: On = λA L s z. z
1: On = λA L s z. s z
2: On = λA L s z. s (s z)
ω: On = λA L s z. L s z
ω+1: On = λA L s z. s (L s z)
ω2: On = λA L s z. L s (L s z)
ω^2: On = λA L s z. L (L s) z
ω^3+ω^2×2+ω×2+1 = s (L s (L s (L (L s) (L (L s) (L (L (L s)) z))))) C_0(α,β) = β∪{0}
C_n+1(α,β) = { γ+δ, φ(ε,γ), φ(α,ζ) | γ,δ,ε,ζ ∈ C_n(α,β) ∧ ε < α ∧ ζ < β }
C(α,β) = { γ ∈ C_n(α,β) | n < ω }
φ(α,β) = min{ γ ∉ C(α, β) }
φ(Ω,0)=Г_0になるようにしたいが、どうやったらいいだろう・・・ SKIコンビネータ―にRを加えSRKIコンビネータ―を作成
Rx,y,z=xy(xy)zとする
この時SK(RKI(K))ってどうなるんやろ R x y z = x y (x y) z
R x y = x y (x y)
R x = S x x
R = S S I
S K (R K I K) x = K x (R K I K x) = x
S K (R K I K) = I 巨大数の歌 lyrics.NaNaSi
皆が小学生のころ
不可説不可説転を使っていた
その不可説不可説転とはーー
しかし。
不可説不可説転の上は
いくらでも定義できる
たとえをいくつか挙げると
10^10^100とか3↑↑↑3とか
無限に作ることができる
日本の巨大数論は
「フィッシュ数」から始まった
FGHでF_ω^2+1(63)
そんなふぃっしゅ数は
バージョン7迄ある
それから巨大数論は
どんどん広がっていき
おこじょ数にBM1
ペアの算術の限界ε_0を
容易に超えるTREE(3)
Search and Make
巨大数を探索し
それから作って投稿する
唉 巨大数予
Making the large numbers
それこそが巨大数....zzz 2^x*3^y*(1+(1/2)^x+(1/3)^y) mod 6^2
6^2+3^2+2^2 mod 6^2 =7*7
6^3+3^3+2^3 mod 6^2 =5*7
6^4+3^4+2^4 mod 6^2 =5*5
6^5+3^5+2^5 mod 6^2 =23*1
6^6+3^6+2^6 mod 6^2 =1*1
6^7+3^7+2^7 mod 6^2 =1*11
6^7+3^7+2^7 mod 6^2 =1*13 ←6^7+3^7+2^7-36*46845=13
(1*2*3*5*7)^n*(1+1/2^n+1/3^n+1/5^n+1/7^n) mod (1*2*3*5*7)^2 はすべて7以上の素数の２乗もしくは素数になる (1*2*3*5*7)^n*(1+1/2^n+1/3^n+1/5^n+1/7^n) mod 11^2はすべて非素数かつ2か3か５か７の素因数のみで構成される >>248
>>249
今日は家のリビングで、紅茶でも飲みながらペンギンの映像とか見た方がいいよ [a,b,c,...]をNaNaSi配列表記とする
231で定義した[a,b,c,...]_[d,e,f....]_....を一桁で書くと、
[a,b,c,...<1>d,e,f...<1>...]となる
次に、これを「平面」と呼び、平面を重ねる。これが「立体」である
次に立体を重ね....
定義
n次元NaNaSi配列表記は、以下のように定義される。
全ての配列に入っている数を、<n-1>を<n-2>に置き換えた今の配列にする
<n-1>を配列から削除する
n次元、一辺がnで、すべての要素がnな配列を出力する関数をNo(n)とする
No(63)をNaNaSi数v6とする(つかれた {α|cf(α)=Ω} = {Ω, Ω2, Ω3, ..., Ω^2, Ω^2+Ω, Ω^2+Ω2, ..., Ω^3, ..., Ω^4, ..., Ω^Ω, ...}
CNF_π = C^ω_π
C^0_π = {0}
C^α_π = {γ+δ | γ,δ ∈ C^β_π; β＜α} (α≠0)
CNF_π = {0, 1}∪{α|cf(α)=Ω∧α＜ε_(Ω+1)}
次にエプシロン数のようなものを定義したくなる
cf(ε_(Ω+1))=cf(Ω↑↑ω)=ω
Ω↑↑Ωを定義するには？
φ_π(0,0) = 1
φ_π(α,β) = {γ | γ∉C^π_π(α,β) ∧ cf(γ)=π} (α,β≠0)
C^0_π(α,β) = {0}
C^μ_π(α,β) = {γ+δ, φ_π(ε,γ), φ_π(α,ζ) | γ,δ,ε,η∈C^ν_π(α,β); ν＜μ; ε＜α; ζ＜β} (μ≠0)
φ_Ω(1,0) = Ω↑↑Ω
VNF_π = C^ω_π
C^0_π = {0}
C^α_π = {γ+δ, φ_π(γ,δ) | γ,δ ∈ C^β_π; β＜α} (α≠0) あ、ミス C^Ω_Ω(0,1)=ωになってしまう
とりあえず修正
φ_π(0,0) = 1
φ_π(α,β) = max C^π_π(α,β) (α,β≠0)
C^0_π(α,β) = {0}
C^μ_π(α,β) = {γ+δ, φ_π(ε,γ), φ_π(α,ζ), sup C^ν_π(α,β) | γ,δ,ε,η∈C^ν_π(α,β); ν＜μ; ε＜α; ζ＜β} (μ≠0)
これで一応C^Ω_Ω(0,1)=Ωになるはず
でもこれでも、φ_Ω(0,β)=Ω^βにしたいところが、φ_Ω(0,ω)=Ω^Ωになってしまうんだよなあ・・・
どうしたらいいだろうなあ Cantor's Atticを見て勉強中
◆強極限: ℶ_λ (λは極限順序数) 例: ℶ_ωやℶ_(ω2)など
◆強到達不能: 非可算∧正則∧強極限
つまり、I番目のΩ不動点ということでよさそう
◆弱到達不能: 非可算∧正則∧極限 ((1*2*3*5)^n*(1+1/2^n+1/3^n+1/5^n)) mod ((1*2*3*5)) =1
nが１以上の整数のとき必ず余りが1になる ((2*3*5)^n*(1/2^n+1/3^n+1/5^n)) mod ((2*3*5)) =1
((7*3*5)^2n*(1/7^2n+1/3^2n+1/5^2n)) mod ((7*3*5)) =1
nが整数のとき必ず余りが1になる ((7*11*5)^3*(1/7^3+1/11^3+1/5^3)) mod ((7*3*5))=83
((7*11*5)^3*(1/7^3+1/11^3+1/5^3)) mod ((7*2*5))=13
((7*11*5)^3*(1/7^3+1/11^3+1/5^3)) mod ((2*5*3)) 数列を並べてやる
(1)=1 (1,1)=2 (1,1,1)=3 (1,2)=ω
・・・原始数列と同じ・・・
(1,2,4)=ε_0
(1,2,4,2,3,5)=ε_0^2
(1,2,4,2,4)=ε_1
(1,2,4,3,4,6)=ε_{ε_0}
(1,2,4,3,5)=φ(2,0)
(1,2,4,3,5,2,4)=φ(1,φ(2,0)+1)
(1,2,4,3,5,2,4,3,5)=φ(2,1)
(1,2,4,3,5,3,5)=φ(3,0)
(1,2,4,3,5,4,6)=ψ(Ω^Ω)
(1,2,4,4)=ψ(ψ{Ω_2}(0))
(1,2,4,4,4)=ψ(ψ_{Ω_3}(0))
(1,2,4,5)=ψ(Ω_ω)
(1,2,4,6)=ψ(Ω_Ω)
(1,2,4,6,5,7,9)=ψ(Ω_{Ω_Ω})
(1,2,4,6,6)=ψ(ψ_I(0))
(1,2,4,6,8,8)=ψ(ψ_{χ(2,0)}(0))
(1,2,4,6,…)=ψ(ψ_{χ(ω,0)}(0)) >>251
これが案外でかいように見えて
F_ω^2+ωくらいなんだよな
ω^ωに達するにはどうすればいいだろうか
うーむ I――弱到達不能基数は、Ω_Ω_Ω_…とΩを何個つなげても辿り着けない基数である。
それはIがオメガ不動点でもあることを意味する。
しかし、最初のオメガ不動点、ψ_I(0)=Ω_Ω_Ω_…はIではない。
なぜか？それは、Iが正則だからだ。Iは正則故に、最初のオメガ不動点―ψ_I(0)―でも、ω番目のオメガ不動点―ψ_I(ω)―でもない。それらの共終数はωであり、Iではない。
Iの共終数はIそれ自身である。つまり、Iは、1+1+1+…という列のI番目1×Iであり、ω+ω+ω+…という列のI番目ω×Iでもある。
さらに言えば、I番目のエプシロン数ε_Iでもあり、I番目の非可算順序数Ω_Iでもある。
Iは、Iに上界なあらゆる順序数列のI番目である。 オメガ不動点とかは初めて見たけど、言ってることは普通に共終数の話だな
キューネン「集合論」で言えば第一章 F_φ(ε_0,0)ぐらいの関数作りてえな
どんな発想が必要だろうか 参考
・ふぃっしゅ数バージョン5のm(n)変換
M_0:自然数として、M_n+1: M_n→M_nの写像、M_nの対角化がf[ε_0]の強さ
・ふぃっしゅ数バージョン6のm(m,n)変換
m(n)変換を2変数に拡張したもの、強さはf[φ(2,0)]
m(多変数)変換・・・φ(ω,0)
m(多重リスト)変換・・・φ(ε_0,0)くらい？
強くするには、単純に、構造の中に構造を埋め込んでいって複雑にするのが一番やりやすい方法だと思う ただ、構造を生かすには効率的にそれを強さにつなげる必要がある
急増加関数やハーディ階層は非常に効率的にやっていると思う
(1) H_0(n) = n
(2) H_α+1(n) = H_α(n+1)
(3) H_α(n) = H_α[n](n) (αが極限順序数のとき)
対して、緩増加関数は非常に効率が悪い（しかし、順序数そのものの強さを調べるには都合がいい）
(1) g_0(n) = 0
(2) g_α+1(n) = g_α(n)+1
(3) g_α(n) = g_α[n](n) (αが極限順序数のとき)
最も大きな違いは、それぞれの定義の(2)。
H_ω2(3)とg_ω2(3)をそれぞれ計算してみればわかるだろうが、ハーディーは計算した値を使って次の値を計算するのに対して、緩増加関数は中身の値はずっと変わらない
その結果、H_ε_0(n)の強さがf_ε_0(n)になるのに対し、g_ε_0(n)はたったのf_3(n)程度になる。 とはいえ、ある程度以上巨大な順序数、例えばθ(ε_(Ω+1))とか、ではfとgの大きさは殆ど同じになるので、
ある程度以上巨大な関数f1とそこそこ巨大な関数f2を合成してもf1とほとんど変わらない現象が起きてしまうから、
順序数を使って巨大数を作るときは順序数以外は無視して良いと思う
つまり、何が言いたいかって言うと、サラダ数よりもシンプルに強力な定義をした方が強くなりやすいってばよ ほう
多重リストm(n)変換でφ(ε_0,0)なのか
となるとφ(ζ_0,0)は難しそうだな 2^a*3^b*5^c*(1/2^a+1/3^b+1/5^c) mod 2^a*3^b = X
a,b,c,,N,Xは1以上の整数
2^a*3^b*5^c*(1/2^a+1/3^b+1/5^c)=N*2^a*3^b+X
Nが2,3,5の素数のみで構成される際Xは必ず素数になる
(2^2*3^4*5^5*(1/2^2+1/3^4+1/5^5)) mod (2^2*3^4) =269
(2^2*3^4*5^5*(1/2^2+1/3^4+1/5^5))=820*(2^2*3^4)+269 (2^2*3^2*5^5*(1/2^2+1/3^2+1/5^5)) mod (2^2*3^2) =17
(2^2*3^2*5^6*(1/2^2+1/3^2+1/5^6)) mod (2^2*3^2) =13
(2^2*3^2*5^7*(1/2^2+1/3^2+1/5^7)) mod (2^2*3^2) =29
(2^2*3^2*5^8*(1/2^2+1/3^2+1/5^8)) mod (2^2*3^2) =1
(2^2*3^2*5^9*(1/2^2+1/3^2+1/5^9)) mod (2^2*3^2) =9
(2^2*3^3*5^2*(1/2^2+1/3^3+1/5^2)) mod (2^2*3^3) =19
(2^2*3^3*5^4*(1/2^2+1/3^3+1/5^4)) mod (2^2*3^3) =43
(2^2*3^3*5^5*(1/2^2+1/3^3+1/5^5)) mod (2^2*3^3) =107
(2^2*3^3*5^6*(1/2^2+1/3^3+1/5^6)) mod (2^2*3^3) =103
(2^2*3^3*5^7*(1/2^2+1/3^3+1/5^7)) mod (2^2*3^3) =83
(2^2*3^3*5^9*(1/2^2+1/3^3+1/5^9)) mod (2^2*3^3)=23
(2^2*3^3*5^10*(1/2^2+1/3^3+1/5^10)) mod (2^2*3^3) =7
(2^2*3^3*5^12*(1/2^2+1/3^3+1/5^12)) mod (2^2*3^3) =67
(2^2*3^3*5^13*(1/2^2+1/3^3+1/5^13)) mod (2^2*3^3) =11
(2^2*3^3*5^15*(1/2^2+1/3^3+1/5^15)) mod (2^2*3^3)=59
(2^2*3^3*5^16*(1/2^2+1/3^3+1/5^16)) mod (2^2*3^3) =79
(2^2*3^3*5^17*(1/2^2+1/3^3+1/5^17)) mod (2^2*3^3)=71
(2^2*3^3*5^18*(1/2^2+1/3^3+1/5^18)) mod (2^2*3^3)=31
(2^2*3^3*5^19*(1/2^2+1/3^3+1/5^19)) mod (2^2*3^3)=47
(2^2*3^3*5^20*(1/2^2+1/3^3+1/5^20)) mod (2^2*3^3)=19 (2^4*3^2*5^4*(1/2^4+1/3^2+1/5^4)) mod (2^4*3^2)=73
(2^4*3^2*5^6*(1/2^4+1/3^2+1/5^6)) mod (2^4*3^2)=97
(2^4*3^2*5^7*(1/2^4+1/3^2+1/5^7)) mod (2^4*3^2)=53
(2^4*3^2*5^9*(1/2^4+1/3^2+1/5^9)) mod (2^4*3^2)=29
(2^4*3^2*5^15*(1/2^4+1/3^2+1/5^15)) mod (2^4*3^2)=101
(2^4*3^3*5^2*(1/2^4+1/3^3+1/5^2)) mod (2^4*3^3)=211
(2^4*3^3*5^3*(1/2^4+1/3^3+1/5^3)) mod (2^4*3^3)=191
(2^4*3^3*5^4*7^2*(1/2^4+1/3^3+1/5^4+1/7^2)) mod (2^4*3^3)=139
(2^4*3^3*5^4*7^3*(1/2^4+1/3^3+1/5^4+1/7^3)) mod (2^4*3^3)=109
(2^4*3^3*5^4*7^4*(1/2^4+1/3^3+1/5^4+1/7^4)) mod (2^4*3^3)=331
(2^4*3^3*5^4*7^5*(1/2^4+1/3^3+1/5^4+1/7^5)) mod (2^4*3^3)=157
(2^8*3^3*5^4*7^5*11^2*13^3*(1/2^8+1/3^3+1/5^4+1/7^5+1/11^2+1/13^3)) mod (2^8*3^3)=1993 素数ツリーでTaranovsky's Cを表現
p[0] = 0
p[C(a,b)] = 3^p[a] * 2^p[b]
p[Ω_a] = 5^p[a]
例: https://pastebin.com/9ZAUh6Hp
とりあえずψ(ψ_I(0))まで 適当に作ったらふぃっしゅ数っぽくなった
L(x+1,f(n))=L(L(x,f^n(n)),f^n(n))
L(0,f(x))=f(n+1)
次に、L^a(x,f(n))を以下のように定義する。
L^a(x,f(n))=L^L^a-1(x,f^n(n))(x-1,f(n))
最後に、LL(x,f(n))を以下のように定義する。
LL(x,f(n))=LL^LL(x-1,f^n(n))^LL(x,f(n))(x-1,f(n))
LL^a(x,f(n))の定義はL^a(x,f(n))と同様だとすると、
LL^63(63,2^n)を三葉虫数とする。 巨大数研究wikiの弱コンパクト基数、「ZFCにWCCが存在という公理を加えたものは無矛盾だと推測されている」の出自が気になるな
弱到達不能基数ならまだ分かるが弱コンパクト基数はどうだろうと思う
wikipediaにあるカバル学派の話だろうか？ ω番目の到達不能奇数は存在しますか？
特異基数になってしまうような気がするんですが とりあえずアッカーマン配列表記
Y=0個以上の1
X=0個以上の1以上の整数
a,b=1以上の整数
c,d=2以上の整数
A{Y,a}=a+(Yに含まれる1の数)
A{c,d}=従来のアッカーマン関数
A{X,b+1,0}=A{X,b,A{X,b}}
A{X,b+1,a+1}=A{X,A{X,b,a},b}
A{X,b+1,0,Y,a}=A{X,b,a+b,Y,a}
多変数アッカーマン70%,BEAF20%,普通のアッカーマン10%です。
ちゃんと定義できてるか不安... 計算を進めていったら、これA{c,Y}に対する処理が必要だ...
A{c,0,Y}=A{c-1,c-1,Y} □■■■■■□□□□□■
□□■■■■□□□□■■
□□□■■■□□□■■■
□□□□■■□□■■■■
□□□□□■□■■■■■
■■■■■□■□□□□□
■■■■□□■■□□□□
■■■□□□■■■□□□
■■□□□□■■■■□□
■□□□□□■■■■■□ バシクではない
(0) = 1
(0)(0) = 2
(0)(1) = (0)...(0)= ω
(0)(1)(0) = ω+1
(0)(1)(0)(1) = ω2
(0)(1)(1) = (0)(1)...(0)(1) = ω^2
(0)(1)(2) = (0)(1)...(1) = ω^ω
(0)(1)(2)(2) = (0)(1)(2)...(1)(2) = ω^ω^2
(0)(1)(2)(3) = (0)(1)(2)...(2) = ω^ω^ω
(0)(2) = (0)(1)(2)(3)... = ε_0
(0)(2)(1) = (0)(2)...(0)(2) = ε_0 ω
(0)(2)(1)(2) = (0)(2)(1)...(1) = ε_0 ω^ω
(0)(2)(1)(3) = (0)(2)(1)(2)(3)... = ε_0^2
(0)(2)(1)(3)(2)(4) = (0)(2)(1)(3)(2)(3)(4)... = ε_0^ε_0
(0)(2)(2) = (0)(2)(1)(3)(2)(4)(3)(5)... = ε_1
(0)(2)(3) = (0)(2)(2)... = ε_ω
(0)(2)(3)(5) = (0)(2)(3)(4)(5)... = ε_ε_0
(0)(2)(3)(5)(6)(8) = ε_ε_ε_0
(0)(2)(4) = φ_2(0)
(0)(2)(4)(2)(4) = φ_2(1)
(0)(2)(4)(3) = φ_2(ω)
(0)(2)(4)(3)(5)(7) = φ_2(φ_2(0))
(0)(2)(4)(3)(5)(7)(6)(8)(10) = φ_2(φ_2(φ_2(0)))
(0)(2)(4)(4) = φ_3(0)
(0)(2)(4)(5) = φ_ω(0)
(0)(2)(4)(5)(7)(9) = φ_ε_0(0)
(0)(2)(4)(5)(7)(9)(10)(12)(14) = φ_{φ_ε_0(0)}(0)
(0)(2)(4)(6) = ϑ(0)
(0)(2)(4)(6)(8) = ϑ(Ω)
(0)(2)(4)(6)(8)(10) = ϑ(Ω^Ω)
(0)(3) = ϑ(ε_(Ω+1))
up to ϑ(Ω_ω) >>281
巨大数探索スレッド14の085と一緒やな >>269
fとgが同じ強さになるのはψ(Ω_ω)やで NaNaSi配列表記まとめ
3列NaNaSi配列表記
[a,b,c]=[[a,b,c-1],[a,b,c-1,c-1]
[a,b,1]=[[a,b],[a,b]]
[a,b]=By(a^2,b^2)
初出:186
近似(予想):F_ω^3(n)
n列NaNaSi配列表記
[a,b,c,d]=[[a,b,c],[a,b,c],d]
[a,b,c,d,e]=[[a,b,c,d],[a,b,c,d],e]
以下同様
近似(予想):F_ω^3+ω(n)
初出:204
配列A[]B表記
a[]b=[a,a,a,a...](aがb個)
a[[]]b=a[](a[[]]b-1)
a[[[]]]b=a[[]](a[[[]]]b-1)
以下同様
近似(予想)：F_ω^4(n)
初出：上に同じく
下付きNaNaSi配列表記
[a,b,c]_2=[[a,b,c],[a,b,c],[a,b,c]]
[a,b,c]_3=[[[a,b,c],[a,b,c],[a,b,c]],[[a,b,c],[a,b,c],[a,b,c]],[[a,b,c],[a,b,c],[a,b,c]]]
以降同様に拡張できる
[a,b,c]_[a,b,c]_[a,b,c]...と言う風に続く場合、下から計算する。(原文ママ)
近似(予想)F_ω^4(n)
初出:231
多次元NaNaSi配列表記
[a,b,c,...]_[d,e,f....]_....を一桁で書くと、
[a,b,c,...<1>d,e,f...<1>...]となる
次に、これを「平面」と呼び、平面を重ねる。これが「立体」である
次に立体を重ね....
定義
全ての配列に入っている数を、<n-1>を<n-2>に置き換えた今の配列にする
<n-1>を配列から削除する
近似(予想):F_ω^5(n)
初出:251
近似が違ったら教えて下さい 今日巨大数のイベントあるらしいけど
何か日本の巨大数界隈はほぼTwitterの内輪コンテンツになってしまったな 有限個の自然数の組から「関数から関数への写像」への写像Fを以下のように定める.ただしfとは関数である.
n:非負整数
X:0個以上の非負整数
Z:0個以上の0 として,
F(X,Z)=F(X)
F(0)f(x)=f^x(x)
F(n+1,X)f(x)=(F(n,X)^x)f(x)
F(Z,0,n+1,X)f(x)=(F(Z,x,n,X))f(x)
ここで,f(x)=x+1として関数gを
g(x)=F((x個の0),1)f(x)
とする.
多分ε_0くらい行ったか？もうちょい拡張する予定 ニッチなジャンルだし、あちこちのコミュニティでほそぼそとやっていてたまに交流があるくらいだ >>277
ω番目の到達不能基数の存在はω番目の到達不能基数の存在と同値な公理を認めれば存在する。
ω番目の到達不能基数はI,I_2,I_3,...の極限ではないから特異基数ではない、と言いたいところだけど、文脈によっては極限とすることもあるみたいだし、それだと特異基数になる 10日ぶりのNaNaSi数シリーズ
今回は頑張る
No_m(n)=No_n(No(m-1))(m>n)
No_m(n)=No_No_m-1(m)(m)(n-1)(n>m)
No_1(n)=No(n)
No_No_No_...(Noがa回)...(b)(b)(b)(b)をNo_a,1(b)とする
んでaにNo_a,1を入れるのがa,2
a,2を入れるのがa,3
以下同様
No_64,1(64)をNaNaSi数v7をする
誰か評価お願いします
気になったとこがあったら突っ込んでください。 修正
No_a,1(n)=No_No_a-1,1(a)^n(n) 5^a×3^b×2^c×(1/5^a+1/3^b+1/2^c) mod 2^c×3^b ＝ N
5^a×3^b×2^c×(1/5^a+1/3^b+1/2^c) ＝ X×2^c×3^b +N
X-1を素因数分解しそこから2と3と5の素因数をのぞいた素数しかNは素数をもたない
X-1が2.3.5の素因数のみで構成される際はNは必ず素数
X-1が2.3.5以外の素因数を持つ際はその素因数でNを割り切れなくなるまでわることでNを素数に変えられる ■志村 五郎氏（しむら・ごろう=数学者、米プリンストン大名誉教授）
プリンストン大の発表によると、5月3日死去、89歳
楕円関数の性質に関する「谷山・志村予想」を提唱
350年余り数学者を悩ませてきた「フェルマーの最終定理」の
証明につながった
東京大助教授、大阪大教授を経て1964～99年にプリンストン大
教授を務めた（ワシントン=共同） 今回はガチ
通常のヒドラに、アッカーマンノードを追加する
アッカーマンノードは先っちょにA(n,m)が付いている
アッカーマンノードのルール
ここで、ターン数をnとする
ノードを木から削除する
もし親が根なら、何も変わらない。
それ以外は、cをbの親としノードをcにn個取り付ける
アッカーマンノードが付いている枝を、nノード分伸ばす
アッカーマン関数の計算を進める
先っちょに数字(数字をpとする)が付いてる場合、通常のノードをp個束ねたものと見なす
長さαの木、先っちょにA(β,γ)が付く関数をAckHyd(α,β,γ)とする
ポリプ数=AckHyd(10,10,10) m=0
B(n, 0) = n
B(z, y, #, 0) = B(z(y, _, ..., _), #, 0)
n=0
B(#, 0, m+1) = B(#, B(#, 1, 0), m)
m,n>0
B(n+1, m+1) = B(B(n, m+1), m)
B(g, n+1, m+1) = B(B(g, _, m), B(g, n, m+1), m)
B(h, g, n+1, m+1) = B(B(h, _, _, m), B(h, g, _, m), B(h, g, n, m+1), m)
B(z, #, g, n+1, m+1) = B(B(z, _, ..., _, _, m), ..., B(#, g, _, m), B(z, #, g, n, m+1), m)
s(x) = x+1
B(s, n, 0) = B(s(n), 0) = s(n) = n+1
B(f, 0, 1) = B(f, 1, 0) = f(1)
B(f, n+1, 1) = B(B(f, _, 0), B(f, n, 1), 0) = f(B(f, n, 1))
B(f, n, 1) = f^n+1(1)
B(s, n, 1) = n+2
B(f, 0, 2) = B(f, 1, 1) = f^2(1)
B(f, n+1, 2) = B(B(f, _, 1), B(s, n, 2), 1) = B(f^_+1(1), B(f, n, 2), 1) = [f^_+1(1)]^B(f,n,2)+1(1)
B(s, n+1, 2) = 2*B(s, n, 2)+3
B(s, n, 2) = 2^(n+3)-3
予測 B(s, n, n) ~ f_ω(n) B1(g, m, 1) = B(g, _, m)
B1(h, m, 2) = B(h, _, _, m)
B(f_α, n, m) ~ f_α+m(n)
B(B(_, _, m), f_α, n, 0) ~ f_α+m(n)
B(B(_, _, 1), f_α, n, 1) ~ f_α+2(B(B(_, _, 0), f_α, n, 1)) ~ f_α+3(n)
あんまおおきくならんな
使うべきは関数より数だったか (2*3*5*7*11*13*17*(1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+1/17)) mod (2*3**5*7*11*13*17) =205657 (2*3*5*7*11*13*17*19*(1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19)) mod (2*3*5*7*11*13*17*19) =4417993
(2*3*5*7*11*13*17*19*・・・*(n番目の素数)*(1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+・・・+1/(n番目の素数))) mod (2*3*5*7*11*13*17*19*・・・*n番目の素数) は必ず素数になる こういうことだ
あ、まちがえた
右から3番目、本来ならあれを2伸ばすべきだったし、2段目にも通常のノードを2個つけないといけなかった (2*3*5*7^a*11^b*13^c*(1/(7^a*11^b*13^c)+1/(2*3*5))) mod (2*3*5) = y
a,b,cに任意の正の整数を入力する際yは必ず素数になる
(2*3*5*7^2*11^3*13^4*(1/(7^2*11^3*13^4)+1/(2*3*5))) mod (2*3*5) =29
(2*3*5*7^2*11^3*13^5*(1/(7^2*11^3*13^5)+1/(2*3*5))) mod (2*3*5) =17
(2*3*5*7^2*11^3*13^3*(1/(7^2*11^3*13^3)+1/(2*3*5))) mod (2*3*5) =23 (2*3*5*7^a*11^b*13^c*(1/(7^a*11^b*13^c)+1/(2*3*5))) mod (2*3*5) =y
(2*3*5*7^a*11^b*13^c*(1/(7^a*11^b*13^c)+1/(2*3*5)))=x*(2*3*5)+y
((1-x)*(2*3*5)+(7^a*11^b*13^c))=y
(1-x)が7,11,13を因数に持たないyは30より小さく2,3,5,7,11,13を因数に持たない値になるため必ず素数になる
(2*3*5*7*11^a*13^b*17^c*(1/(11^a*13^b*17^c)+1/(2*3*5*7))) mod (2*3*5*7)
(2*3*5*7*11^a*13^b*17^c*(1/(11^a*13^b*17^c)+1/(2*3*5*7)))=x*(2*3*5*7)+y
((1-x)*(2*3*5*7)+(11^a*13^b*17^c))=y
(1-x)が11,13,17を因数に持たないyは210より小さく2,3,5,7,11,13,17を因数に持たない値になるため必ず素数になる
(2*3*5*7*11^2*13^2*17^2*(1/(11^2*13^2*17^2)+1/(2*3*5*7))) mod (2*3*5*7) =151 即興で巨大数作った
m,n:1以上の整数
█=1個以上の0
█s=█に含まれる0の数
□=1個以上の1以上の整数
(█)=1
(█,n)=n+█s
(█,□,m,n)=(█,□,(█,□,m-1,n-1),n-1)
(█,□,m,█)=(█,□,m-1,█s個のm-1)
(█,□,█,□)=(█,□,█s,□)
(□,m,n)=(□,m-1,(□,m,n-1))
最初が1以上で配列の途中に█が含まれる場合、その█を█sに置き換える
Y(n,m)=(n,n,n,..m個..n,n,n)
Y(57,57)を「57は巨大数」とする 訂正
最初の値をpとする
p=0,█と□が入り混じっている場合、一番最後の█を█sに置き換える
(□,m,n)=(□,m-1,(□,m,n-1))
↓
(□,m,n)=(□,(□,m,n-1),n-1) 最近、日本巨大数協会が出来たり、東方巨大数3が始まったりと活発だね 自称ω+99
J(1,x)=x!
J(x,1)=x^(x!)
J(x,y)=J(x!,J(x-1,y!))
JJ(x,y)=J(J(J(J(x,y),J(x,y)),J(x,y)),J(x,y))(x+y! times J)
JJJ(x,y)=nest JJ
JJJJ(x,y)=nest JJJ
Jx(x)(y,z)=JJJJJJJ(y,z)(x times J)
J^(x)(y,z)=JxJxJxJx(y,z)(y,z)(y,z)(y,z)(x times J
J^^(x)(y,z)=nest J^(x)
以下同様、JをJJなどに置き換えることもできる
J↑^(x)(y,z)=J^^^^^^^^^(y,z)(x times ^)
J↑^(100)(100,100)=Googfactrhdrorial >>317
でもTwitterアカウントがないと参加すら出来ないようになってきたな
匿名の2ちゃんねるが主流だった頃は良かった >>321
匿名だと関係ない話題とかいっぱい流れてきたり、誰の発言か分からなくて追えなかったりするだろ
議論がその都度ぶつ切りになるし
ただTwitterアカウント作るだけだろ？ >>322
その方が自由で好きだな
最近は一つの同人サークルが幅を効かせているけど、その内の一人は「計算不可能巨大数は巨大数と認めてない」と言ってるし、
今のところそのサークルが主宰するイベントでは認めてるようだがそういう意識が根底にあるっていうのはずっと付きまとう
それにTwitterで巨大数を投稿して「何だこれ滅茶苦茶じゃん」などと叩かれでもしたら投稿へのモチベーションは格段に下がるが、匿名で叩かれれば次の日から何事もなかったかのように議論に参加できる
そういう意味で匿名の方が好きだったなと 参加のハードルが低いといえば聞こえはいいが、自分の発言に責任を取りたくないと言ってるのと大して変わらないんじゃないか
ただの趣味が負担になるほど気負いたくないというのはわかるが phpBBやDjangoBBを使用したサイトなどもログイン制だな
xkcdはその一例だ >>260
(1,2)=ω
(1,2,3)=ω^ω
(1,2,3,4)=ω^ω^ω
(1,2,3,4,5)=ω^ω^ω^ω
(1,2,3,4,5,6)=ω^ω^ω^ω^ω
(1,2,4)=ε_0
(1,2,4,2,3,5)=ε_0^2
(1,2,4,2,3,5,3,4,6)=ε_0^ε_0
(1,2,4,2,3,5,3,4,6,4,5,7)=ε_0^ε_0^ε_0
(1,2,4,2,3,5,3,4,6,4,5,7,5,6,8)=ε_0^ε_0^ε_0^ε_0
(1,2,4)=ε_0
(1,2,4,2,4)=ε_1
(1,2,4,2,4,2,4)=ε_2
(1,2,4,2,4,2,4,2,4)=ε_3
(1,2,4,2,4,2,4,2,4,2,4)=ε_4
(1,2,4)=ε_0
(1,2,4,3,4,6)=ε_{ε_0}
(1,2,4,3,4,6,5,6,8)=ε_{ε_{ε_0}}
(1,2,4,3,4,6,5,6,8,7,8,10)=ε_{ε_{ε_{ε_0}}}
(1,2,4,3,4,6,5,6,8,7,8,10,9,10,12)=ε_{ε_{ε_{ε_{ε_0}}}}
(1,2,4)=ε_0
(1,2,4,3,5)=φ(2,0)
(1,2,4,3,5,3,5)=φ(3,0)
(1,2,4,3,5,3,5,3,5)=φ(4,0)
(1,2,4,3,5,3,5,3,5,3,5)=φ(5,0)
(1,2,4)=ε_0
(1,2,4,4)=ψ(ψ{Ω_2}(0))
(1,2,4,4,4)=ψ(ψ{Ω_3}(0))
(1,2,4,4,4,4)=ψ(ψ{Ω_4}(0))
(1,2,4,4,4,4,4)=ψ(ψ{Ω_5}(0))
(1)=1
(1,2)=ω
(1,2,4)=ε_0
(1,2,4,8)= ←ここを教えて？ 見る限り、前の数+1ならψ_0、+2ならψ_1のようなので
(1,2,4,8) = ψ_0(ψ_1(ψ_1(0))) = ψ_0(Ω^2) = φ(2,0) あと, (1,2,4,3,5)はψ_0(ψ_1(0)+ψ_0(ψ_1(0)))=ψ_0(Ω+ε_0)=ε_0^2ではないか？ ああ違う、φ(2,0)は(1,2,4,6)だ
(1,2,4,8)がもしψ_0(ψ_1(Ω_3))=ψ_0(ψ_1(ψ_2(Ω_3)))だとすると、? (2*3*5*7*11*13*17*19*23*29*(1/(11*13*17*19*23*29)+1/(2*3*5*7))) mod (2*3*5*7)=13
(2*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31*(1/(11*13*17*19*23*29*31)+1/(2*3*5*7))) mod (2*3*5*7)=193
(2*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31*37*(1/(11*13*17*19*23*29*31*37)+1/(2*3*5*7))) mod (2*3*5*7)=1
(2*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31*37*41*(1/(11*13*17*19*23*29*31*37*41)+1/(2*3*5*7))) mod (2*3*5*7)=41
(2*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*(1/(11*13*17*19*23*29*31*37*41*43)+1/(2*3*5*7))) mod (2*3*5*7)=83 >>326
私が以前作ったTY数列という数列と挙動が同じようなので、
(1,2,4,5)=ψ(Ω_ω)
(1,2,4,5,7)=ψ(Ω_Ω)
(1,2,4,6)=ψ(I)
(1,2,4,7)=ψ(Ω_{M+1})
(1,2,4,8)=ψ(M_ω)
だと思います。 >>331
ありがとうです
TY数列というのですか。でかいですね
この数列はこう続いていくんですよね
(1,2)=(1,1,1,1,1,1,...)
(1,3)=(1,2,4,8,16,32,...)
(1,4)=(1,3,9,27,81,243,...)
(1,5)=(1,4,16,64,256,1024,...)
(1,6)=(...)
(1,7)=(...)
...
(1,ω)が気になります >>332
ＴＹ数列は(1,3)以降があいまいなので、極限を(今のところ)(1,2,4,8,16...)
としています。
今開催されている東方巨大数3に私が投降した「Y数列」は、(1,3)でちょうどバシク行列と大きさが一致し、さらに極限が(1,ω)なので大きさが期待できます。
よかったら見てみてください。 >>332
あ、(1,3)や(1,4)の展開はそれであっています。
一般にY数列では、(1,n+1)は(1,n,n^2,n^3,n^4...)と展開されます。 >>333
東方巨大数3のエントリー一覧みつけました
Y数列はまだ解析されていないんですね
期待してまってます (2*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*(1/(13*17*19*23*29*31*37*41*43)+1/(2*3*5*7*11))) mod (2*3*5*7*11)=1153
(2*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47*(1/(13*17*19*23*29*31*37*41*43*47)+1/(2*3*5*7*11))) mod (2*3*5*7*11)=1061
2*3*5*7*11より小さく47までの素因数をもたないため
仮にyが非素数だとすると最小でもy=53*53になる必要がある 2310よりおおきくなるひつようがあるのでyは必ず素数になる (1,2,4,3,5,3,5,3,5,3,5...)=φ(ω,0)
(1,2,4,5,8,9,16,17,32,33...)=?
↑を教えてください >>337
そのような数列は出てこないと思います。
(1,2,4,6)=(1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,...)なので >>326
(1)(2)(4)(6)(8)・・・
までしか考えてないし、定義もなく感覚でやってるだけでした >>326
ϑ(ε_Ω+1)やϑ(φ(Ω,1))の表し方が気になるな
質問ばかりですまんが教えてくれ >>333
TY数列の展開は、次のように定義するのがいいのかも
TY数列の(1,n+1)の展開 (Y2はTY数列を示す仮シンボル)
Y2(1,2)=Y2(1,1,1,1,1,...)=Y2(1↑↑0,1↑↑1,1↑↑2,1↑↑3,1↑↑4,...)
Y2(1,3)=Y2(1,2,4,16,65536,...)=Y2(2↑↑0,2↑↑1,2↑↑2,2↑↑3,2↑↑4,...)
Y2(1,4)=Y2(1,3,27,3^27,3^3^27,...)=Y2(3↑↑0,3↑↑1,3↑↑2,3↑↑3,3↑↑4,...)
Y2(1,5)=Y2(1,4,256,4^256,4^4^256...)=Y2(4↑↑0,4↑↑1,4↑↑2,4↑↑3,4↑↑4,...)
Y2(1,6)=Y2(1,5,3125,5^3125,5^5^3125,...)=Y2(5↑↑0,5↑↑1,5↑↑2,5↑↑3,5↑↑4,...)
......
Y数列の(1,n+1)の展開 (Y1はY数列を示す仮シンボル)
Y1(1,2)=Y1(1,1,1,1,1,...)=Y1(1↑0,1↑1,1↑2,1↑3,1↑4,...)
Y1(1,3)=Y1(1,2,4,8,16,...)=Y1(2↑0,2↑1,2↑2,2↑3,2↑4,...)
Y1(1,4)=Y1(1,3,9,27,81,...)=Y1(3↑0,3↑1,3↑2,3↑3,3↑4,...)
Y1(1,5)=Y1(1,4,16,64,256,...)=Y1(4↑0,4↑1,4↑2,4↑3,4↑4,...)
Y1(1,6)=Y1(1,5,25,125,625,...)=Y1(5↑0,5↑1,5↑2,5↑3,5↑4,...)
......
ハイパー原始数列の(1,n+1)の展開 (Y0はハイパー原始数列を示す仮シンボル)
Y0(0,1)=Y0(0,0,0,0,0,...)=Y0(0×0,0×1,0×2,0×3,0×4,...)
Y0(0,2)=Y0(0,1,2,3,4,...)=Y0(1×0,1×1,1×2,1×3,1×4,...)
Y0(0,3)=Y0(0,2,4,6,8,...)=Y0(2×0,2×1,2×2,2×3,2×4,...)
Y0(0,4)=Y0(0,3,6,9,12,...)=Y0(3×0,3×1,3×2,3×3,3×4,...)
Y0(0,5)=Y0(0,4,8,12,16,...)=Y0(4×0,4×1,4×2,4×3,4×4,...)
...... >>340
同じく感覚でやっています
>>341
自分にはわからないです
TY数列の作者さんに期待 (1,2,4,3,6)=φ(ω,0)
(1,2,4,3,7)=Γ_0? >>341
前者はUNOCFでψ(Ω_2)と大きさが一致するので、(1,2,4,4)だと思います
後者はちょっと分かりませんね。。
>>342
面白いと思います。組み込めないか考えてみる
>>344
φ(ω,0)=(1,2,4,3,5,4)
Γ_0=(1,2,4,3,5,4,6)
だと思います。 TY数列の(a,b,c,...)のaの値をa>1とかにしたらめっちゃ強くなりそう
ただ障害がある
定義がかなり複雑 >>341
ϑ(φ(Ω,1))はUNOCFではψ(Ω_2^Ω)だったと思うので、TY(1,2,4,4,3,5,5,4,6)です。 へ～1次元配列なのにそんなに強いのか。
よくわからんが数字に多次元構造を埋め込んでる感じなのだろうか？ TY数列よりもY数列を知ってほしいので布教すると、
(1,2,3,4,5,...)=原始数列と同じε_0=(0,0)(1,1)
(1,2,3,...)の数列の階差数列は(1,1,1,...)なので、これを原始数列のように(1,2)に圧縮する
なので(0,0)(1,1)は階差に(1,2)をもつ数列になるので、(1,2,4)
階差をとることを続けると、
(1,2,4)=(0,0)(1,1)
(1,2,4,8)=(0,0,0)(1,1,1)
(1,2,4,8,16)=(0,0,0,0)(1,1,1,1)
(1,2,4,8,16,32)=(0,0,0,0,0)(1,1,1,1,1)
この極限が(1,3)=(0)(1[1]1)
ここからはTrancefinite Basic Matrix Systemとの比較になるが、
(1,3,7)=(0)(1[2]1)
(1,3,7,11)=(0)(1[3]1)
(1,3,7,12)=(0)(1[ω]1)
(1,3,7,13)=(0)(1[Ω]1)=α→(0)(1[α]1)の不動点
ここまでは解析できてる
Y(1,4)への道のりは長い。。 Y数列つええな
Y(1,4)がtbms を越えるとか >>352
定義できます。
例えば、(1,3)の階差は2ですが、この2を1の斜め右上、3の斜め左上に書いておきます。
すると、1と2で原始数列のような展開をすることが可能なので、(1,2)を展開した(1,1,...)を斜め右上方向に伸ばしていきます。
あとは階差に従って数列を補完すれば、ちょうど2のべき乗の列(1,2,4,8,...)が現れるという寸法です
(1,4)も同じように、階差の3を1の右上に書いて、階差の(1,3)を(1,2,4,8,...)と展開して、数列を階差に従って補完すると(1,3,9,27...)となります。
このように、(1,n+1)は(1,n)の展開が分かればよく、また(1,2)は(1,1,1,...)と展開されるのは原始数列で説明がつくので、帰納的にすべてのn>1についての展開を定めることができます。
実際に手を動かして計算すると楽しいですよ~ >>355
あんまり登録とかしたくないです。。
Twitterが主な活動場所なので、そちらにあげている定義等を見ていただければと思います 俺的レベルの分類(東巨よりも細かい)
0~ω Arrow
ω~ω^ω^ω nDimention
ω^ω^ω~ε_0 Cantor
ε_0~ζ_0 Hydric
ζ_0~Γ_0 SNZO
Γ_0~ϑ(ε_Ω+1) EXSAN
ϑ(ε_Ω+1)~TFBO Factorial EX
TFBO~C(C_1(Ω)^2) BEAF Limit
C(C_1(Ω)^2)~(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,3,1) 5243Limit
(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,3,1)~BMS Over UNOCF
BMS~(Y(1,n)[n] Level) YVarst
Y(1,n)[n] Level~Taranovsky C Limit C2ThN
Taranovsky C Limit~ω_1^CK A lonely ordinals
ω_1^CK~ Over Turing machine ちなみにY数列の実際に動作するプログラムコードはありますか？ >>358
ありません。
私はプログラムに書き下す能力はありません。。
自分で書いた定義も一部数式じゃないところがあるので、修正中です。 へー意外。
そんだけ本質的に複雑なことやってるってことかな？ ωxnSGAN(ただしnは1以上の整数)とかいう奴がチ―トすぎる件について
ωx3SGANでω^(ω^3+ω)を表すとどうなってしまうんだ.... TY数列らしきものをもう少し解析してみる。
OCFはRathjenのKPMのやつからΦを除いてφを1変数に制限したもの。
ψ_Ωはψと略する。
(1,2,4,7)=ψ(ψ_{χ(ω,0)}(0))
(1,2,4,7,2,4)=ψ(ψ_{χ(ω,0)}(0)+1)
(1,2,4,7,2,4,6,9)=ψ(ψ_{χ(ω,0)}(0)*2)
(1,2,4,7,2,4,6,9,4)=ψ(ψ_{χ(ω,0)}(0)↑↑ω)
(1,2,4,7,2,4,6,9,4,6,8,11)=ψ(ψ_{χ(ω,0)}(1))
(1,2,4,7,2,4,6,9,4,6,8,11,4,6,8,11)=ψ(ψ_{χ(ω,0)}(2))
(1,2,4,7,2,4,6,9,4,6,8,11,5,7,9,12)=ψ(ψ_{χ(ω,0)}(ψ_{χ(ω,0)}(0)))
(1,2,4,7,2,4,6,8,4,6,8,11,6,8,10,13)=ψ(ψ_{χ(ω,0)}(ψ_{χ(ω,0)}(1)))
(1,2,4,7,2,4,7)=ψ(χ(ω,0)) (1,2,4,7,2,4,7,2,4,7)=ψ(χ(ω,0)*2)
(1,2,4,7,4,6,8,11)=ψ(ψ_{χ(ω,1)}(0))
(1,2,4,7,4,6,8,11,4,6,8,11)=ψ(ψ_{χ(ω,1)}(1))
(1,2,4,7,4,6,8,11,5,7,9,12)=ψ(ψ_{χ(ω,1)}(ψ_{χ(ω,0)}(0)))
(1,2,4,7,4,6,8,11,6,8,11)=ψ(ψ_{χ(ω,1)}(χ(ω,0)))
(1,2,4,7,4,6,8,11,8,10,12,15)=ψ(ψ_{χ(ω,1)}(ψ_{χ(ω,1)}(0)))
(1,2,4,7,4,6,9)=ψ(χ(ω,1))
(1,2,4,7,4,6,9,4,6,9)=ψ(χ(ω,2))
(1,2,4,7,4,6,9,5,7,10)=ψ(χ(ω,χ(ω,0)))
(1,2,4,7,4,6,9,6,8,11)=ψ(χ(ω,χ(ω,1)))
(1,2,4,7,4,7)=ψ(ψ_{χ(ω+1,0)}(0)) もしかして多次元配列と一次元配列は計算ルール次第で相互に変換可能で本質的には等価な強さ？ 4状態4記号のビジービーバーの値は10^10^7.3622145を超えていると思う
5状態3記号は[10^(100341+π^e)]を超えていると思う
ここで[n]はガウス記号
人殺しの殺人鬼の池田糞作の創価の公明が政治活動
キチガイの集まりの創価の公明が政治活動
キチガイカルトの創価の公明が政治活動 ライフゲームで巨大数
nセルで最も長寿なライフゲームのパターンをL(n)とする。
ここで、このパターンの大きさはn≧10のときn-2×n-1,n>25のとき2√n×2√n以下でなければならない(不正防止)
この時、L^10(100)を「マイクラ十周年Yeaaaaaah数」とする rootからたどり着くまでのノード数とは別に高さを定義する。
(i)刈った枝の長さ(=高さの差分)が1の場合はヒドラゲームと同様
(ii)2以上の場合、より短い枝にたどり着くまで先祖を遡る。
(iii)その短い枝から伸びる木をコピーし、刈ったところから貼り付け、その貼り付けた木の刈った部分からまた貼り付け・・・というのをn回繰り返す。
この定義だと>>362>>363は見直さないとな 改行式順序数表記で
((0,1))=φ(φ(φ(ω,0),0),0)
(((0,1)))=φ(φ(φ(φ(ω,0),0),0),0)
(0,1)<1>(0,1)=Γ_0
((0,1)<1>(0,1))<1>(0,1)=Γ_1
(0,1)<1>[(0,1)+1]=Γ_ω
(0,1)<1>[(0,1)+2]=ここを教えて
ちなみに、ルールは(0,n)(n≧5)でφ(n-2,0),(1)でφ(ω,0),(0,1)でω >>323
ひとつのサークルが幅を効かせてるからといってそれに合わせる義理はないし、
自分は自分で好きにすればいいと思うよ >>362
(1,2,4,6)と(1,2,4,7)=ψ(ψ_{χ(ω,0)}(0))の間はどのようになりますか？
UNOCFを使い解析したところ(1,2,4,7)=ψ(ε_{M+1})となりましたが。 宣伝すみません・・。
あまり需要がないかもしれないけれど、巨大数専門の掲示板作ってみました。
http://googology.bbs.fc2.com/
スレ立て自由、匿名OKなので、よかったら気軽に書き込みにきてください♪ マジかよｗ
嫌いじゃないけど絶対維持できないと思うｗｗｗ >>375
Fc2の無料掲示板なので維持費とかはかからないのですが、過疎る可能性は否めないですね・・。 >>375
Fc2の無料掲示板なので維持費とかはかからないのですが、過疎る可能性は否めないですね・・。 >>372
定義をいろいろ見直してみました。
(1,2,4,6)=ψ(ψ_I(0))
(1,2,4,6,6)=ψ(ψ_{χ(2,0)}(0))
(1,2,4,6,8)=ψ(ψ_{χ(M,0)}(0))=ψ(ψ_{χ(ψ_{χ(M,0)}(0),0)}(0))
(1,2,4,6,8,6,8)=ψ(ψ_{χ(M,0)}(1))ψ(ψ_{χ(ψ_{χ(M,0)}(1),0)}(1))
(1,2,4,6,8,8)=ψ(χ(M,0))
(1,2,4,6,8,8,6,8,8)=ψ(χ(M,0)*2)
(1,2,4,6,8,8,8)=ψ(χ(M,0)^2)
(1,2,4,6,8,10)=ψ(χ(M,0)^χ(M,0))
(1,2,4,7)=ψ(ε_{χ(M,0)+1})=ψ(ψ_{Ω_{χ(M,0)+1}}(0))
(1,2,4,7,4,7)=ψ(ψ_{Ω_{χ(M,0)+1}}(1))
(1,2,4,7,5,8)=ψ(ψ_{Ω_{χ(M,0)+1}}(χ(M,0)))
(1,2,4,7,6)=ψ(Ω_{χ(M,0)+1})
(1,2,4,7,6,8)=ψ(Ω_{χ(M,0)*2}) >>378 訂正
(1,2,4,6,8,6,8)=ψ(ψ_{χ(M,0)}(1))=ψ(ψ_{χ(ψ_{χ(M,0)}(1),0)}(1)) 定義を見直してみた（定義があるとは言ってない）
(1,2,4,7,6,9)=ψ(Ω_{Ω_{χ(M,0)+1}})
(1,2,4,7,7)=ψ(ψ_{χ(1,χ(M,0)+1)}(0))
(1,2,4,7,7,2,4,7,7)=ψ(ψ_{χ(1,χ(M,0)+1)}(1))
(1,2,4,7,7,3,5,8,8)=ψ(χ(1,χ(M,0)+1))
(1,2,4,7,7,4,7,7)=ψ(ψ_{χ(1,χ(M,0)+2)}(0))
(1,2,4,7,7,7)=ψ(ψ_{χ(2,χ(M,0)+1)}(0))
(1,2,4,7,9,12)=ψ(ψ_{χ(M,1)}(0))=ψ(ψ_{χ(ψ_{χ(M,1)}(0),0)}(χ(M,1))) >>380 途中からたぶん間違えてる
(1,2,4,7,7,2,4,7,7)=ψ(ψ_{χ(1,χ(M,0)+1)}(0)+ψ_{χ_M(0)}(ψ_{χ(1,χ(M,0)+1)}(0)))
(1,2,4,7,7,3,5,8,8)=ψ(ψ_{χ(1,χ(M,0)+1)}(0)+ψ_{χ_M(0)}(ψ_{χ(1,χ(M,0)+1)}(0))^2)
(1,2,4,7,7,4,7,7)=ψ(ψ_{χ(1,χ(M,0)+1)}(1))
(1,2,4,7,7,7)=ψ(ψ_{χ(1,χ(M,0)+2)}(0))
(1,2,4,7,9,12)=ψ(χ(1,Ω_{χ(M,0)+1}))
(1,2,4,7,10)=ψ(ψ_{χ(2,χ(M,0)+1)}(0))
(1,2,4,7,11)=ψ(ε_{χ(M,1)+1})
(1,2,4,8)=ψ(χ(M,ω))
(1,3)=ψ(ψ_{χ(M+1,0)}(0)) 急増加関数の考え方ってこれであってる？
F_0(1)=2
F_0(2)=3
F_0(3)=4
......
F_0(n)=n+1
F_1(1)=F_0(1)
F_1(2)=F_0(F_0(2))
F_1(3)=F_0(F_0(F_0(3)))
......
F_1(n)=F_0^n(n)
F_2(1)=F_1(1)
F_2(2)=F_1(F_1(2))
F_2(3)=F_1(F_1(F_1(3)))
......
F_2(n)=F_1^n(n)
F_{m+1}(1)=F_m(1)
F_{m+1}(2)=F_m(F_m(2))
F_{m+1}(3)=F_m(F_m(F_m(3)))
......
F_{m+1}(n)=F_m^n(n)
F_ω(1)=F_1(1)
F_ω(2)=F_2(F_2(2))
F_ω(3)=F_3(F_3(F_3(3)))
.....
F_ω(n)=F_ω[n]^n(n)
ω=(1,2,3,4,...)
F_{ω+1}(1)=F_ω(1)
F_{ω+1}(2)=F_ω(F_ω(2))
F_{ω+1}(3)=F_ω(F_ω(F_ω(3)))
......
F_{ω+1}(n)=F_ω^n(n)
F_{ω+2}(1)=F_{ω+1}(1)
F_{ω+2}(2)=F_{ω+1}(F_{ω+1}(2))
F_{ω+2}(3)=F_{ω+1}(F_{ω+1}(F_{ω+1}(3)))
......
F_{ω+2}(n)=F_{ω+1}^n(n)
F_{ω+m+1}(1)=F_{ω+m}(1)
F_{ω+m+1}(2)=F_{ω+m}(F_{ω+m}(2))
F_{ω+m+1}(3)=F_{ω+m}(F_{ω+m}(F_{ω+m}(3)))
......
F_{ω+m+1}(n)=F_{ω+m}^n(n) F_{ω×2}(1)=F_ω(1)
F_{ω×2}(2)=F_{ω+1}(F_{ω+1}(2))
F_{ω×2}(3)=F_{ω+2}(F_{ω+2}(F_{ω+2}(3)))
......
F_{ω×2}(n)=F_{ω×2}[n]^n(n)
{ω×2}=(ω,ω+1,ω+2,ω+3,...)
F_{ω^2}(1)=F_ω(1)
F_{ω^2}(2)=F_{ω×2}(F_{ω×2}(2))
F_{ω^2}(3)=F_{ω×3}(F_{ω×3}(F_{ω×3}(3)))
......
F_{ω^2}(n)=F_{ω^2}[n]^n(n)
ω^2=(ω,ω×2,ω×3,ω×4,...)
F_{ω^ω}(1)=F_ω(1)
F_{ω^ω}(2)=F_{ω^2}(F_{ω^2}(2))
F_{ω^ω}(3)=F_{ω^3}(F_{ω^3}(F_{ω^3}(3)))
......
F_{ω^ω}(n)=F_{ω^ω}[n]^n(n)
ω^ω=(ω,ω^2,ω^3,ω^4,...)
F_{ε_0}(1)=F_ω(1)
F_{ε_0}(2)=F_{ω^ω}(F_{ω^ω}(2))
F_{ε_0}(3)=F_{ω^ω^ω}(F_{ω^ω^ω}(F_{ω^ω^ω}(3)))
......
F_{ε_0}(n)=F_{ε_0}[n]^n(n)
ε_0=(ω,ω^ω,ω^ω^ω,ω^ω^ω^ω,...) bad root探索のアイディアがいくつかあって、それぞれで解析結果が変わってくる。最終的に同じ強さに収束するかもしれんが。
TYの具体的な定義がわからないのでここらでやめておく。 >>382
ワイナー階層で考えればだいたいそうだろうが、微妙にずれてないか
F_ω(3)=F_{ω[3]}(3)=F_3(3)=F_2(F_2(F_2(3)))
0から数えるか1から数えるかでも微妙にずれる Ψ(Ω_ω)やΨ((Ω_ω)2)の基本列ってどんなんだ? >>387
ψ(Ω_ω)の基本列はψ(1),ψ(Ω),ψ(Ω_2),ψ(Ω_3),...
ψ((Ω_ω)×2)はψ(Ω_ω),ψ(Ω_ω+Ω),ψ(Ω_ω+Ω_2),ψ(Ω_ω+Ω_3),...
かな >>389
サンキュー 順序数崩壊関数がだいたいわかったぞ ω_1^CKの基本列ってビジービーバーみたいに神様ならわかるものなの？
それとも0除算のように神様でも無理なの？ ブーフホルツのΨ関数で
Ψ(Ω_(Ω_1+Ψ(Ω_Ψ(Ω_(...)))))=Ψ(Ω_(Ω_1+Ω_1))？ >>391
自明な基本列は存在しない。
ただ自明でない基本列ならある 巨大数 探索 ×
巨大数 創造 〇
グラハム数以上は意味がない。そのグラハム数ですら証明されているわけではない。
本当に意味があるのはリーマン予想で使われた数まで。 自然数の存在だって証明されたわけじゃない。
だから有限体をつかうべき 自然数の存在が証明されてないってどういうこっちゃ？
無限公理を仮定しないのか？ 円周率を11進法で計算していたコンピューターが
1857万桁のところで異変を感知し、その部分を画面に表示し始めた
その表示は0と1のみしか登場せず、ある一定の区間ごとにに折り返され、
0と1によってある図形が浮かび上がった…
0000000011111100000000
0000011110000111100000
0001110000000000111000
0011000000000000001100
0110000000000000000110
1000000000000000000001
1000000000000000000001
0110000000000000000110
0011000000000000001100
0001110000000000111000
0000011110000111100000
0000000011111100000000 >>392
α↦Ψ(Ω_(Ω_1+Ψ(Ω_Ψ(Ω_(α)))))
という意味？ ふぃっしゅさん、数セミデビューおめでとうございます ローダー数ってF_(0)(1[1]1) (99)を超える可能性ってあるのか？ そういや指数には指数法則があるけどテトレーションにも似たような法則ある？ ϑ(ε_Ω+1)くらいの関数を作りたい
何かコツはありますか？ 数学セミナーの2019年7月号(6月発売)の特集が
おおきな数
だ ■有限単純群モンスター
モンスターとは、およそ8.08×10^53個，正確には
2^46・3^20・5^9・7^6・11^2・13^3・17・19・23・29・31・41・47・59・71=
808017424794512875886459904961710757005754368000000000個の
元からなる巨大な群である
ちなみにアボガドロ定数はおよそ6.02 ×10^23である
モンスターは豊かな構造をもつ興味深い研究対象である 数セミ７月号見て寿司虚空編買って来た
うるか可愛い
https://comic.pixiv.net/viewer/stories/9843
これの１２番の右ページ上から２番目（単行本では２０４ページ上から２番目）
変な表情してるけど髪の描き方で可愛らしさを表現してるのは大したもんだな 0345
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！
ｈｔｔｐｓ://pbs.twimg.com/media/D-IuUuqVUAALnAB.jpg
ｈｔｔｐｓ://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) >>405
バッハマン・ハワード順序数相当の関数で、
膨張配列表記(強配列表記のバージョンのひとつ)というものがあるから
それを参考にすると良いと思う ここの趣旨とは少しずれるかもしれませんが、ベントレー数、TREE(3)のように
「趣旨がわかりやすく」
「さわりを聞いたら大したことなさそうな」
「実は巨大数」
っての、他に何かありますか？（ベントレー数はだまし討ちの感がありますが…） >>417
組み合わせ爆発のやばさを教えてくれるお姉さん的な 数論・論理・意味論 その原型と展開: 知の巨人たちの軌跡をたどる
736ページ東京大学出版会 ￥15,984
数学の本スレで挙がってた本だが、
目次を読む限り計算不可能巨大数の勉強に良さそうだからここでオススメしておく 無駄に高いな
巨大数関連だけ知りたいって人には重すぎる1冊っぽい？ 計算不可能巨大数だけ知ろうと思っても結局重い道を進むことになる
理解するだけで大変だからな
値段の高さは数学の本スレでも話題になってたが むしろ一冊読めばラヨ数が(目次を見る限りおそらく)理解できるだけで敷居が大分下がる
大学図書館に縁のある人とかは借りて読んでみては ラヨ数は定義をどう解釈するかで変わってくるからなあ
platonist universeで解釈するのが多数派みたいだけど 囲碁やオセロみたいななんたらゲームでお互い最善を尽くしたときの一局とか、
定義は簡単だけど変化が複雑で証明が難しい一例だな。これでもせいぜい指数関数レベルだけど ランダム実数選出ゲームで基礎論って言いかえられるんじゃなかったっけ？ >>432
アッカーマン関数の定義丸暗記するより楽やろ TYの定義考えるなら(強さ的に)Yの定義を考えたほうがいいだろうし、みんなYの定義を探してる 先に展開の計算結果があって、後から定義を考える逆グーゴロジー 展開の計算結果があるならそれがそのまま定義に採用できるのでは？
外延的定義というか？ 本当は計算結果が無限にあるはずだけど実際には有限個しか示すことができないから、
有限個からほかの計算結果を推理して内包的な定義を研究するという作業 3915
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います！
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) Sierpinskiの“Cardinal and Ordinal Numbers”について質問です。
第１版と第２版とで内容はどの様に違っているのでしょうか？
（ページ数に関しては487pp.と491pp.なので４ページしか増えていないようなのですが）
御存知でしたら教えて頂けると助かります。宜しくお願い致します。 ωを拡張して大きな順序数をωと括弧と数字だけで表現できるようにしてみた
ω[]=1+1+1+1+...
ω[]×2=ω[]+(1+1+1+1+...)=ω[]+ω[]
ω[]^2=ω[]×(1+1+1+1+...)=ω[]+ω[]+ω[]+ω[]+...=ω[]×ω[]
ω[]^ω[]=ω[]^(1+1+1+1+...)=ω[]×ω[]×ω[]×ω[]×...
ω[0]=ω[]^ω[]^ω[]^ω[]^...
ω[1]=ω[0]^ω[0]^ω[0]^ω[0]^...
ω[ω[]]=ω[1+1+1+1+...]
ω[ω[0]]=ω[ω[]^ω[]^ω[]^ω[]^...]
ω[ω[1]]=ω[ω[0]^ω[0]^ω[0]^ω[0]^...]
ω[ω[ω[]]]=ω[ω[1+1+1+1+...]]
ω[ω[ω[0]]]=ω[ω[ω[]^ω[]^ω[]^ω[]^...]]
ω[0,0]=ω[ω[ω[ω[...ω[0]...]]]]
ω[0,1]=ω[0,0]^ω[0,0]^ω[0,0]^ω[0,0]^...
ω[0,ω[]]=ω[0,1+1+1+1+...]
ω[0,ω[0]]=ω[0,ω[]^ω[]^ω[]^ω[]^...]
ω[0,ω[0,0]]=ω[0,ω[ω[ω[ω[...ω[0]...]]]]]
ω[0,ω[0,1]]=ω[0,ω[0,0]^ω[0,0]^ω[0,0]^ω[0,0]^...]
ω[0,ω[0,ω[]]]=ω[0,ω[0,1+1+1+1+...]]
ω[0,ω[0,ω[0]]]=ω[0,ω[0,ω[]^ω[]^ω[]^ω[]^...]]
ω[0,ω[0,ω[0,0]]]=ω[0,ω[0,ω[ω[ω[ω[...ω[0]...]]]]]]]
ω[1,0]=ω[0,ω[0,ω[0,ω[0,...ω[0,0]...]]]]
ω[ω[],0]=ω[1+1+1+1+...,0]
ω[ω[0],0]=ω[ω[]^ω[]^ω[]^ω[]^...,0]
ω[ω[0,0],0]=ω[ω[ω[ω[ω[...ω[0]...]]]],0]
ω[ω[1,0],0]=ω[ω[0,ω[0,ω[0,ω[0,...ω[0,0]...]]]],0]
ω[ω[ω[],0],0]=ω[ω[1+1+1+1+...,0],0]
ω[ω[ω[0],0],0]=ω[ω[ω[]^ω[]^ω[]^ω[]^...,0],0]
ω[ω[ω[0,0],0],0]=ω[ω[ω[ω[ω[ω[...ω[0]...]]]],0],0]
ω[0,0,0]=ω[ω[ω[ω[...ω[0,0]...,0],0],0],0]
ω[][]=ω[0,0,0,0,...] ちなみに括弧はブーフホルツのヒドラを使っている
ω[][0]=ω[][]^ω[][]^ω[][]^ω[][]^...
ω[][0,0]=ω[][ω[][ω[][ω[][...ω[][0]...]]]]
ω[][0,0,0]=ω[][ω[][ω[][ω[][...ω[][0,0]...,0],0],0],0]
ω[0][]=ω[][0,0,0,0,...]
ω[0,0][]=ω[ω[ω[ω[...ω[0][]...][]][]][]][]
ω[0,0,0][]=ω[ω[ω[ω[...ω[0,0][]...,0][],0][],0][],0][]
ω[][][]=ω[0,0,0,0,...][]
ω[[]]=ω[][][][]...
ω[[0]]=ω[[]]^ω[[]]^ω[[]]^ω[[]]^...
ω[[0,0]]=ω[[ω[[ω[[ω[[...ω[[0]]...]]]]]]]]
ω[[]][]=ω[[0,0,0,0,...]]
ω[[]][[]]=ω[[]][][][][]...
ω[[][]]=ω[[]][[]][[]][[]]...
ω[[][][]]=ω[[][]][[][]][[][]][[][]]...
ω[[[]]]=ω[[][][][]...]
ω[[[]][]]=ω[[[]]][][][][]...
ω[[[]][[]]]=ω[[[]][][][][]...]
ω[[[][]]]=ω[[[]][[]][[]][[]]...]
ω[[[[]]]]=ω[[[][][][]...]]
ω[{}]=ω[[[[...[]...]]]]
ω[{}][{}]=ω[{}][[[[...[]...]]]]
ω[{}[]]=ω[{}][{}][{}][{}]...
ω[{}[[]]]=ω[{}[][][][]...]
ω[{}[{}]]=ω[{}[[[[...[]...]]]]]
ω[{}[{}[]]]=ω[{}[{}][{}][{}][{}]...]
ω[{}[{}[[]]]]=ω[{}[{}[][][][]...]]
ω[{}[{}[{}]]]=ω[{}[{}[[[[...[]...]]]]]]
ω[{}{}]=ω[{}[{}[{}[{}...[{}]...]]]]
ω[{[]}]=ω[{}{}{}{}...] ブーフホルツのヒドラのカッコの構造って感覚的には理解できるけど、やさしい言葉で説明しようとすると難しすぎる ノーマルのヒドラは理解できたけどブーフホルツはまだ理解できてない。
ベクレミシェフも理解できてない。
ブーフホルツの前にベクレミシェフを理解するのが先かもしれない。 数字を一切使わないところが最高にクール
まじ憧れる >>441
ω[0,0,...]=ω[][]=φ(ω,0)
ω[][][]...=ω[[]]=φ(ω^2,0)
までは解析できた
そこから
ω[[]][]=ω[[0,0,0,0,...]]
ここら辺の動きが分からず頓挫 >>443
ベクレミシェフは大きさもε_0だしとっかかりやすいかも
手を動かすと割と分かると思う 無印ヒドラって、わかりやすさにおいては最強なんじゃね？
しかもとっかかりを聞いただけじゃ全然大したことなさそうなのに(4)からの爆発力だけでも素人目からはもう十分途方もないし。 ヒドラの構造をそのままハイパー演算に組み込めば、クヌースの矢印表記から自然にヒドラに移行できる
そしてその大きさな恐れおののく ブーフホルツのヒドラの括弧１種類パターンは無印ヒドラだよね
[]=1
[][]=2
[[]]=ω
[[]][]=ω+1
[[]][][]=ω+2
[[]][[]]=ω×2
[[]][[]][]=ω×2+1
[[]][[]][][]=ω×2+2
[[][]]=ω^2
[[][]][[][]]=ω^2×2
[[[]]]=ω^ω
[[[]]][]=ω^ω+1
[[[]]][[]]=ω^ω+ω
[[[]]][[[]]]=ω^ω×2
[[[]][]]=ω^(ω+1)
[[[]][[]]]=ω^(ω×2)
[[[][]]]=ω^ω^2
[[[[]]]]=ω^ω^ω
[[[[]]]][]=ω^ω^ω+1
[[[[]]]][[]]=ω^ω^ω+ω
[[[[]]]][[[]]]=ω^ω^ω+ω^ω
[[[[]]]][[[[]]]]=ω^ω^ω×2
[[[[]]][]]=ω^(ω^ω+1)
[[[[]]][[]]]=ω^(ω^ω+ω)
[[[[]]][[[]]]]=ω^(ω^ω×2)
[[[[]][]]]=ω^ω^(ω+1)
[[[[]][[]]]]=ω^ω^(ω×2)
[[[[][]]]]=ω^ω^ω^2
[[[[[]]]]]=ω^ω^ω^ω
[[[[[...]]]]]=ε_0 ハイパー原始数列はブーフホルツのヒドラと同じものだな
ハイパー原始数列の(0,n)はn種類の括弧を使ったブーフホルツのヒドラと同じになる Y数列を演算子にしてみた
a[Y数列]0=1
a[](b+1)=a^(a[]b)
a[1](b+1)=a[](a[1]b)
a[1,1](b+1)=a[1](a[1,1]b)
a[1,2](b+1)=a[1,1,1,...{a[1,2]b個}...,1](a[1,2]b)
a[1,2,1](b+1)=a[1,2](a[1,2,1]b)
a[1,2,1,1](b+1)=a[1,2,1](a[1,2,1,1]b)
a[1,2,1,2](b+1)=a[1,2,1,1,...{a[1,2,1,2]b個}...,1](a[1,2,1,2]b)
a[1,2,2](b+1)=a[1,2,1,2,...{a[1,2,2]b個}...,1,2](a[1,2,2]b)
a[1,2,3](b+1)=a[1,2,2,...{a[1,2,3]b個}...,2](a[1,2,3]b)
a[1,2,4](b+1)=a[1,2,3,...,(a[1,2,4]b)-1,a[1,2,4]b](a[1,2,4]b)
a[1,3](b+1)=a[1,2,4,8,16,32,...,2^((a[1,3]b)-1),2^(a[1,3]b)](a[1,3]b) 今更感すごいですが
https://scratch.mit.edu/projects/338237643/
ふぃっしゅ数バージョン1のScratchプログラム書きました。バグってそうですが… なんだこの言語？
子供向けにとっつきやすくしようとして、かえってとっつきにくくなってる感じか？ 取っつきやすいんですけど、ある程度高度なところだとかなり面倒臭いです。 レベル構造とやらでΩ_ω以上へ行く方法がわからん
おそらく
(Ω)=((Ω_2))=(((Ω_3)))=...
となっていくような構造なんだろうけど、Ω_ωからは無限に深い入れ子が必要になって記述できないんだな 1変数ウェブレン関数でもε_0を表すのに無限に深い入れ子を必要としてしまう。それを2変数にすることで解決できる。
同様に解決できるか テンプレにあるたろう氏のC言語のやつってベクレミシェフとかブーフホルツみたいな感じのアルゴリズムなの？
以前はさっぱりわからなかったけど、今見たらそんな感じに見える。 ε0を現すのに無限の入れ子を使った後にさらに上にいくために
無限の入れ子を2つ使って更に上に行くために配列にして、、、
てやっていくとブーフホルツに行き着く？ 入れ子の種類を2種類の記号として分けるなら、ε_nぐらいかも？試してないからわからんけど 府中(n)を以下のように定義する
府中(n)=府中(n-1)×京王(n+1,n)
府中(0)=1
但し京王は、
京王(n,m)=n^(京王(n-1,m+1)^m)
京王(0,m)=m^m
天橋立(a,b....c,d)=天橋立(京王(d,b),b+1..(間の全てに1を足す)..c+1,d-1)
天橋立(a,b....c,0)=天橋立(a,b....c)
讃岐府中(n)=天橋立(n,n..(n個のn)..n,n)
讃岐府中^100(100)=府中数
定義に不備があったら教えてくれ、俺がすぐ直す 天橋立(a,b)=天橋立(京王(b,b),b-1)
と解釈すると、
0^0=1を採用すれば
府中数=1 (a+1[0]b+1[0]X[×])=((a[0]b+1[0]X[×])+1[0]b[0]X[×])
(0[0]b+1[0]X[×])=1
(a[0]0[0]0[×])=a+1
(a+1[0]0[×]b+1[c+1]X[×])=(a+1[0]0[×](a[0]0[×]b+1[c+1]X[×])+1[c]b[c+1]X[×])
(a+1[0]0[×]0[c]b+1[0]X[×])=(a+1[0]0[×](a[0]0[×]0[c]b+1[0]X[×])+1[c+1]b[0]X[×])
二重リストと配列表記の多次元の強いとこだけ煮詰めてみた あ、間違えた
A…左辺をコピペしてa+1をaに変えたものが入る場所
(0[0],b+1[0],X[×],)=1
(a+1[0],b+1[0],X[×],)=(A+1[0],b[0],X[×],)
(a[0],0[0],0[×],)=a+1
(a+1[0],0[0],0[×],0[0]0[X]b+1[c+1]X[X],X[×],)=(a+1[0],0[0],0[×],0[0]0[X]A+1[c]b[c+1]X[X],0[0]0[X]b[c+1]X[X],X[×],)
(a+1[0],0[0],0[×],0[X]b+1[0]c+1[0]X[X],X[×],)=(a+1[0],0[0],0[×],0[X]A+1[0]c[0]X[X],0[X]b[0]c+1[0]X[X],X[×],)
(a+1[0],0[0],0[×],0[X]0[c]b+1[0]X[X],X[×],)=(a+1[0],0[0],0[X]A+1[c]b[0]X[X],0[X]0[c]b[0]X[X],0[×],)
(a+1[0],0[×],0[0]X[X],b+1[0]0[X],X[×],)=(a+1[0],0[×],A+1[×],b[0]0[X],X[×],)
こっちだこっち 指数関数なら利子の増え方とか生物の繁殖とかに見出せるけど、テトレーション以降は厳しいな。
複素数や4元数でも量子力学だかなんだかでみかけるのに テトレーション的に膨張されたら宇宙に収まらんだろｗ a^b^xという形の関数ならどっかで見かけた気がするけど気のせいかもしれない 定数記号0と後者関数を表す関数記号、等号記号、あとは適当な論理記号でペアノ算術を実装するとして、
1の存在は、0の存在とその後者の存在から導き出すことができる。
2の存在は、1の存在とその後者の存在から導き出すことができる
・・・とやって、任意の自然数につき存在の証明が存在することは適当なメタ理論の帰納法で証明できるけど、
現実的には証明できない巨大数の存在を無条件で受け入れられるというのは、チョコボの不思議なダンジョン 学校教育の効果で、数の比較と言えば桁になってるな(科学的記法も結局は巨大桁の視覚的略記だし) それですね
数を出力するシステムの強さで数を比較する考え方に慣れるのってすごく時間がかかります BIG FOOTのコメント欄でV_[0]がフォン・ノイマン宇宙とか言ってた気がするけど、
誤解されてるか、記号の濫用じゃないかな 今後の拡張性があると思う
a,b,n={0以上の整数}
X={0個以上の0以上の整数}
a:n={n個のa}
a:n+b=a:(n+b)
f()=1
f(0)=f()+f()
f(a+1)=f(a)+f(a)
f(0:n+2)=f(1:n+1)
f(0:n+1,a+1)=f(f(0:n+1,a):n+1)
f(X,b+1,0:n+1)=f(X,b,1:n+1)
f(X,b+1,0:n,a+1)=f(X,b,f(X,b+1,0:n,a):n+1)
f[]()=f(1)
f[](0)=f(f[]():f[]())
f[](a+1)=f(f[](a):f[](a))
f[](0:n+2)=f[](1:n+1)
f[](0:n+1,a+1)=f[](f[](0:n+1,a):n+1)
f[](X,b+1,0:n+1)=f[](X,b,1:n+1)
f[](X,b+1,0:n,a+1)=f[](X,b,f[](X,b+1,0:n,a):n+1)
f[0]()=f[](1)
f[0](0)=f[](f[0]():f[0]())
f[0](a+1)=f[](f[0](a):f[0](a))
f[c+1]()=f[c](1)
f[c+1](0)=f[c](f[c+1]():f[c+1]())
f[c+1](a+1)=f[c](f[c+1](a):f[c+1](a))
f[c](0:n+2)=f[c](1:n+1)
f[c](0:n+1,a+1)=f[c](f[c](0:n+1,a):n+1)
f[c](X,b+1,0:n+1)=f[c](X,b,1:n+1)
f[c](X,b+1,0:n,a+1)=f[c](X,b,f[c](X,b+1,0:n,a):n+1)
f[0,0]()=f[1](1)
f[0,0](0)=f[f[0,0]()](f[0,0]():f[0,0]())
f[0,0](a+1)=f[f[0,0](a)](f[0,0](a):f[0,0](a))
f[0,0](0:n+2)=f[0,0](1:n+1)
f[0,0](0:n+1,a+1)=f[0,0](f[0,0](0:n+1,a):n+1)
f[0,0](X,b+1,0:n+1)=f[0,0](X,b,1:n+1)
f[0,0](X,b+1,0:n,a+1)=f[0,0](X,b,f[0,0](X,b+1,0:n,a):n+1)
F(a)=f[0,0](a:a) 拡張してみた
a,b,m,n={0以上の整数}
X,Y={0個以上の0以上の整数}
a:n={n個のa}
a:n+b=a:(n+b)
f()=1
f(0)=f()+f()
f(a+1)=f(a)+f(a)
f(0:n+2)=f(1:n+1)
f(0:n+1,a+1)=f(f(0:n+1,a):n+1)
f(X,b+1,0:n+1)=f(X,b,1:n+1)
f(X,b+1,0:n,a+1)=f(X,b,f(X,b+1,0:n,a):n+1)
f[]()=f(1)
f[](0)=f(f[]():f[]())
f[](a+1)=f(f[](a):f[](a))
f[0:m+1]()=f[1:m](1)
f[0:m+1](0)=f[f[0:m+1]():m](f[0:m+1]():f[0:m+1]())
f[0:m+1](a+1)=f[f[0:m+1](a):m](f[0:m+1](a):f[0:m+1](a))
f[Y,d+1,0:m]()=f[Y,d,1:m](1)
f[Y,d+1,0:m](0)=f[Y,d,f[Y,d+1,0:m]():m](f[Y,d+1,0:m]():f[Y,d+1,0:m]())
f[Y,d+1,0:m](a+1)=f[d,f[Y,d+1,0:m](a)](f[Y,d+1,0:m](a):f[Y,d+1,0:m](a))
f[Y](0:n+2)=f[Y](1:n+1)
f[Y](0:n+1,a+1)=f[Y](f[Y](0:n+1,a):n+1)
f[Y](X,b+1,0:n+1)=f[Y](X,b,1:n+1)
f[Y](X,b+1,0:n,a+1)=f[Y](X,b,f[Y](X,b+1,0:n,a):n+1)
F(a)=f[a:a](a:a) >>483
下から8行目訂正
x f[Y,d+1,0:m](a+1)=f[d,f[Y,d+1,0:m](a)](f[Y,d+1,0:m](a):f[Y,d+1,0:m](a))
o f[Y,d+1,0:m](a+1)=f[Y,d,f[Y,d+1,0:m](a):m](f[Y,d+1,0:m](a):f[Y,d+1,0:m](a)) []をヒドラにすればもっと大きく拡張できる
f()=1
f(0)=f()+f()
f(a+1)=f(a)+f(a)
f(0:n+2)=f(1:n+1)
f(0:n+1,a+1)=f(f(0:n+1,a):n+1)
f(X,b+1,0:n+1)=f(X,b,1:n+1)
f(X,b+1,0:n,a+1)=f(X,b,f(X,b+1,0:n,a):n+1)
f[]{m+1}()=f[]{m}(1)
f[]{m+1}(0)=f[]{m}(f[]{m+1}():f[]{m+1}())
f[]{m+1}(a+1)=f[]{m}(f[]{m+1}(a):f[]{m+1}(a))
f[]{m+1}(0:n+2)=f[]{m+1}(1:n+1)
f[]{m+1}(0:n+1,a+1)=f[]{m+1}(f[]{m+1}(0:n+1,a):n+1)
f[]{m+1}(X,b+1,0:n+1)=f[]{m+1}(X,b,1:n+1)
f[]{m+1}(X,b+1,0:n,a+1)=f[]{m+1}(X,b,f[]{m+1}(X,b+1,0:n,a):n+1)
f[[]]()=f[](1)
f[[]](0)=f[]{f[[]]()}(f[[]]():f[[]]())
f[[]](a+1)=f[]{f[[]](a)}(f[[]](a):f[[]](a))
f[[]](0:n+2)=f[[]](1:n+1)
f[[]](0:n+1,a+1)=f[[]](f[[]](0:n+1,a):n+1)
f[[]](X,b+1,0:n+1)=f[[]](X,b,1:n+1)
f[[]](X,b+1,0:n,a+1)=f[[]](X,b,f[[]](X,b+1,0:n,a):n+1)
f[[]][]{m+1}()=f[[]][]{m}(1)
f[[]][]{m+1}(0)=f[[]][]{m}(f[[]][]{m+1}():f[[]][]{m+1}())
f[[]][]{m+1}(a+1)=f[[]][]{m}(f[[]][]{m+1}(a):f[[]][]{m+1}(a))
f[[]][]{m+1}(0:n+2)=f[[]][]{m+1}(1:n+1)
f[[]][]{m+1}(0:n+1,a+1)=f[[]][]{m+1}(f[[]][]{m+1}(0:n+1,a):n+1)
f[[]][]{m+1}(X,b+1,0:n+1)=f[[]][]{m+1}(X,b,1:n+1)
f[[]][]{m+1}(X,b+1,0:n,a+1)=f[[]][]{m+1}(X,b,f[[]][]{m+1}(X,b+1,0:n,a):n+1)
f[[]][[]]()=f[[]][](1)
f[[]][[]](0)=f[[]][]{f[[]][[]]()}(f[[]][[]]():f[[]][[]]())
f[[]][[]](a+1)=f[[]][]{f[[]][[]](a)}(f[[]][[]](a):f[[]][[]](a))
f[[]][[]](0:n+2)=f[[]][[]](1:n+1)
f[[]][[]](0:n+1,a+1)=f[[]][[]](f[[]][[]](0:n+1,a):n+1)
f[[]][[]](X,b+1,0:n+1)=f[[]][[]](X,b,1:n+1)
f[[]][[]](X,b+1,0:n,a+1)=f[[]][[]](X,b,f[[]][[]](X,b+1,0:n,a):n+1)
F(a)=f[[]][[]](a:a) ハイパー原始数列を入れ子にすれば更に強い順序数が生成できるよね
[]=()=0
[[]]=(0)=1
[[],[]]=(0,0)=2
[[],[],[]]=(0,0,0)=3
[[],[[]]]=(0,1)=ω
[[],[[]],[]]=(0,1,0)=ω+1
[[],[[]],[],[]]=(0,1,0,0)=ω+2
[[],[[]],[],[[]]]=(0,1,0,1)=ω×2
[[],[[]],[[]]]=(0,1,1)=ω^2
[[],[[]],[[],[]]]=(0,1,2)=ω^ω
[[],[[]],[[],[]],[[],[],[]]]=(0,1,2,3)=ω^ω^ω
[[],[[],[]]]=(0,2)=ε_0
[[],[[],[],[]]]=(0,3)=ψ(ε_(Ω+1))
[[],[[],[],[],[]]]=(0,4)
[[],[[],[[]]]]=(0,(0,1))
[[],[[],[[]]],[]]=(0,(0,1),0)
[[],[[],[[]]],[],[]]=(0,(0,1),0,0)
[[],[[],[[]]],[],[[]]]=(0,(0,1),0,1)
[[],[[],[[]]],[],[[]],[[],[]]]=(0,(0,1),0,1,2)
[[],[[],[[]]],[],[[],[]]]=(0,(0,1),0,2)
[[],[[],[[]]],[],[[],[],[]]]=(0,(0,1),0,3)
[[],[[],[[]]],[],[[],[[]]]]]]=(0,(0,1),0,(0,1))
[[],[[],[[]]],[[],[[]]]]=(0,(0,1),(0,1))
[[],[[],[[]]],[[],[[]]],[[],[[]]]]=(0,(0,1),(0,1),(0,1))
[[],[[],[[]]],[[],[[]],[]]]=(0,(0,1),(0,1,0))
[[],[[],[[]]],[[],[[]],[]],[[],[[]],[],[]]]=(0,(0,1),(0,1,0),(0,1,0,0))
[[],[[],[[]],[]]]=(0,(0,1,0))
[[],[[],[[]],[],[]]]=(0,(0,1,0,0))
[[],[[],[[]],[],[],[]]]=(0,(0,1,0,0,0))
[[],[[],[[]],[],[[]]]]=(0,(0,1,0,1))
[[],[[],[[]],[[]]]]=(0,(0,1,1))
[[],[[],[[]],[[]],[[]]]]=(0,(0,1,1,1))
[[],[[],[[]],[[],[]]]]=(0,(0,1,2))
[[],[[],[[]],[[],[]],[[],[],[]]]]=(0,(0,1,2,3))
[[],[[],[[],[]]]=(0,(0,2))
[[],[[],[[],[],[]]]=(0,(0,3))
[[],[[],[[],[[]]]]]=(0,(0,(0,1)))
[[],[[],[[],[[],[[]]]]]]=(0,(0,(0,(0,1)))) バシク行列系は入れ子を使わない気持ちがあったそうだ 入れ子を平らな構造にしさらにそれを入れ子に拡張しと繰り返していくとどうなるか 入れ子を平らな構造にしの所がめちゃめちゃ難しいけど出来たらものすごく大きい数にはなると思う ウェブレン関数って思ったより複雑で、ブーフホルツのΨとの擦り合わせが大変なんだが （全域）計算可能の定義というのが少々厄介で、ZFCで停止性/非停止性を証明可能なら、
とるあえずZFCの無矛盾性と健全性を信じて一部の計算可能性を定義することができるけど、
より一般的な定義となると帰納的公理化可能な理論では無理で、帰納的公理化不可能な理論
はふわふわしていてつかみどころがない。
帰納的公理化可能なメタ理論で言語Lを定義して、そういう帰納的公理化不可能なL-理論が
存在するとして寝る 計算不可能関数でも再帰理論で全域関数として定義することはできる、決定できない値が無数に存在するだけで。
定義もできない最初の関数がラヨ関数ということかな。
たぶんBIG FOOT系列もこの流れの拡張として考えられてるのだろう、フォン・ノイマン宇宙をなにか勘違いしてるっぽいけど。
自分がなにか勘違いしてる可能性は否定しない 足し算を
x+0=x
x+s(y)=s(x+y)
で定義すると1+ωはωに等しいではなく定義不能だな
0除算も割り算の実装の仕方によっては例外処理するまでもなく定義不能という話があったような 数学的知識が比較的浅めでも理解できるφ(2,0)以上のものって出てこないのかな
とりあえず考えてみよう TREE(3)面白いな
でもデカさを実感するには自分で手を動かしてみるしかない？ 積み木遊びみたいに手を動かす巨大数はやっぱりグラフ関連か あるアルゴリズムが停止することが示せる⇔大きさを見積もれる
は正しい？ 少なくとも<=は成り立たないと思う。
<=は、例えば、ビジービーバー関数の計算結果に適当な演算を加えて、
それにビジービーバー関数の逆関数を作用させた場合。
ほとんど恒等関数になるけど、計算可能ではないだろう。
⇒は、大きさを見積もるという言葉の定義次第？
極論、自分自身(に自明な操作をしたもの)をものさしにしてしまえば、何でも見積もれるだろう。
どんなものさしで見積もるか、その使うものさしの限界以内なら可能って感じだと思う。
一応、どんなものさしでも限界はあるだろうけど。 停止するのを示すのにその物差しがひつようになるって可能性が無きにしも非ず。 ZFから停止性を証明できないアルゴリズムA,B
ZF＋ACからAの停止性、Bの非停止性を証明可能
ZF＋￢ACからAの非停止性、Bの停止性を証明可能
ZFは無矛盾としておく >>504
> ZFから停止性を証明できないアルゴリズムA,B
> ZF＋ACからAの停止性、Bの非停止性を証明可能
> ZF＋￢ACからAの非停止性、Bの停止性を証明可能
そういう事態になったとすれば、ZFが矛盾していることになる
何故ならば、停止性の証明に用いる体系とは無関係に（全てを見通せる神の立場では）
アルゴリズムA（Bでも同様）は停止性を有するか有しないかの何れか一方でしかない
今、例えばアルゴリズムAは実は停止性を満たさないとする
するとZF＋ACは偽の命題を証明してしまったことになるので体系ZF＋ACは矛盾していることになる
しかしながら、ACのZFに対する相対的無矛盾性（ZFが無矛盾ならばZF＋ACも無矛盾）より
ZF＋ACが矛盾しているということはZFが矛盾していることになる
Aが停止性を満たす場合も同様にしてZFが矛盾しているという結論になる
（この場合の論証はACのZFに対する独立性を用いる）
従って、
> ZFは無矛盾としておく
限り、最初に引用した３行のような事態は起こり得ない >>505
>今、例えばアルゴリズムAは実は停止性を満たさないとする
>するとZF＋ACは偽の命題を証明してしまったことになるので体系ZF＋ACは矛盾していることになる
実際には停止しないけど、形式的には超準的な時間をかけて停止する、とすれば矛盾にはならない。ω矛盾にはなるけど
A,Bの停止性に関係なくZF＋ACが矛盾していたらあきらめる ω矛盾ってつまるところ矛盾を導く計算に超限的な時間がかかるってイメージだけど、
ここでかかる時間は可算か非可算かとかで、さらに分類できそうな気がする。
可算回では停止せず、非可算回の操作の果てに停止するとか。
そういう感じの停止性を元に定義された計算不能巨大数ってある？
この前、非可算回の計算の概念を少し考えてみたら、
計算機の時間や空間や状態を非可算濃度で扱い、
それぞれの連続性や整礎性を超準的な意味で適切に定義すれば扱えそうではあった。
まぁ、計算可能で途中なのがあるから今は深入りするつもりはないけど。
有限文字で定義された特定の言語を用いて
N文字で記述できる最大の自然数の代わりに
有限文字で記述できる限界の順序数を考える代わりに
可算文字で記述できる限界の非可算順序数もどきを考える代わりに
連続体濃度文字で記述できる限界の…
みたいな系譜を対角化したアプローチがあったら強そうだけど既出かな？ ω矛盾があるならΩ矛盾や I 矛盾 M 矛盾もあるのかなと思ったことはある 自然数nによって定まる論理式って所がどうなるのかだな、、 素数を拡張してみる
αが素数⇔¬∃β∃γ[α＝βγ∧β≠1∧β≠α]
すると、ωは素数、ω+ｋも素数、ω2+1は素数、ω2+2k+1は素数、・・・
ω^ωは素数、ω^ω^ωは素数、・・・、ε_0は素数、・・・。 α番目の素数をP_αとおいてみる
O((P_α_n)^a_n・…・(P_α_0)^a_0) = ω^α_n・a_n + … + ω^α_0・a_0
O(2) = O(P_0) = 1
O(4) = O(P_0^2) = 2
O(3) = O(P_1) = ω
O(ω) = ω^ω
O(ω^ω) = ω^ω^ω ハーディー階層を使ってなんかいいのできないかと思ったけど、
強さはf_ε_0(n)くらいだし、出てきた数をまたかけてもω^ωくらいにしかならないし、だめなのでした fghより強い階層無いのかな
fghでf_ε₀(n)=F_ω(n)
になるような関数F(n) SGH: g_α+1(n) = g_α(n)+1
Hardy: H_α+1(n) = H_α(n+1)
FGH: f_α+1(n) = f_α^n(n)
SGHはどちらも捨てている
Hardyは順序数の強さを取り込んでいる
FGHは順序数の強さと、そこからできる関数の強さを両方取り込んでいる F: 順序数×数→数
この構成でFGH越そうとしたら小細工しかない感ある
構成を変える必要がある
F: 順序数×何か→何か
何かは数、順序数、関数、・・・なんだろう
関数は順序数から作れるし、数は順序数から作った関数から作れるので、順序数を強くできればおｋ ZFが矛盾してなかった場合それはZFでは証明できないけど、矛盾してる場合はそれはZFで証明できるんだよね？ 矛盾してる場合にはどんな命題も証明できる
だからZFが矛盾していればZFが矛盾してることも証明できる 順序数ってでかくなるほど矛盾に近づいていくんだっけ？確か 自然数を全て一列に並べて、適当に順番を入れ替えたものを考える（すなわち自然数全体の順列）。
辞書順に順序を付け、順序数の小さいものから一対一の対応をつける。
このとき、自然数を降順に並べたものと対応する順序数はどのようなものになるか？ >>521
辞書式順序は整礎じゃないからそのままじゃ順序数と対応しない フーム、整礎ってよくわからんがとにかくダメってことやな。
いいアイディアだと思ったんだけど。 1番目の{1,2,3,4,5,…}っていう順列の次が定まらないと思う。イメージ的には、2番目は
n番目とm番目を入れ替えたもので、nとmを無限に大きくしていったものって感じな気がする。
でも、その極限は1番目になっちゃう。だから、枢密…っていうんだっけか？、
有理数とか実数とかみたいないくらでも近い近傍を持つ構造のものとなら対応させられるものがあるかも知れないが、
順序数みたいに隣との最短距離が1以上とかに固定されたものだと、どこかの概念の定義を調整しないと無理だろう。 1番目{1,2,3,4,5,...}
2番目{2,1,3,4,5,...}
3番目{3,1,2,4,5,...}
4番目{3,2,1,4,5,...}
5番目{4,1,2,3,5,...}
6番目{4,2,1,3,5,...}
7番目{4,3,1,2,5,...}
8番目{4,3,2,1,5,...}
9番目{5,1,2,3,4,...}
みたいな小手先の変更じゃ駄目ってこと？ それはn番目までの範囲での交換操作だけで書けるものから順番にって感じかな？
{(1～nを並び替えたやつ),n+1,n+2,n+3,…}
という感じで。
この場合、n以下でってのは有限通りだから、nをどこまで大きくしていっても有限。
交換の操作が有限回のものは書けるけど、無限回のものにインデックスが割り振れない。
有限回のもの全体に対しての極限でなら順序数でいえばωになるかな。
無限回の交換を考える場合は…。例えば{2,1,4,3,6,5,…}とかが考えられるか。
全体は連続体濃度以上になるみたいだね。
証明概略：
(2k,2k+1)の形の互換のみの組み合わせで書ける数列だけを考えたとき、
各自然数kに対する互換があればk桁目が1、なければ0という形で作れる2進数と対応付けられる。
多分、無限回の交換の部分の並びの割り付け方次第で、
いくらでも大きな順序数まで対応させられるけれど、基本的に部分しか対応させられない。
全部を対応させることが出来るとしたら最低でも第一非可算基数以上を要求し、
なおかつそれが可能か否かは連続体仮説依存になる感じかな？ 仮に、ZFCの範囲内で全単射が見つかったとしたらZFCが矛盾してるってことになる？ 俺は数学科出身じゃないし、
集合論含む数学諸分野の内容はwikiでたまに読み流してたくらいのにわか知識(＆感覚派)だし、
割と初歩的なところから勘違いがあるかも知れないと前置きしておく。
(最近だと、長期間φ(ω,0)をΓ0と勘違いしてたしorz)
俺の認識では、第一非可算基数(Ω)が連続体濃度に一致するか否かはZFCと独立。
で、順序数の世界だと、Ω未満は全部可算集合だから、多分Ωは最小の可算でない濃度ではあると思う。
名前も第一非可算基数っていうくらいだし。この推測があってればΩ≦連続体濃度は言える。
すると、連続体仮説が真なら、Ωが連続体濃度で、偽なら、Ωより大きなところに連続体濃度がある。
Ωと連続体濃度との間の対応関係がZFCで示せるなら、それは連続体濃度が真あるいは偽であると証明していることになる。
だから、Ωと連続体濃度との間の対応はZFCで示せないはず。
そして、自然数の列の話は2進数以上の濃度になるとかいう連続体濃度寄りの話で考えたけど、
順序数を構成するときはΩの方の話になるから、
結局、Ωと連続体濃度の比較ができなければ限界は決まらないとも言える。
ただ、これは言語の表現力とかのことを考慮してない。
イメージ的には507で書いたような色々なレベルの無限文字使える言語があったら～みたいなことを考えない限りは
Ω以上の限界を細かく分ける意義はないと思うし、そこまで考えだすとZFCでは解決できないだろうし、自然に解決できる公理系があるのかも知らない。
そこまで考えないのが普通だろうし、そこまで考えないなら、一応ZFCで解決出来ると言えるだろう。
その場合の結論は、可算順序数全体から自然数列への全射が取れるかは連続体仮説依存だけど単射なら取れる。
あるいは、自然数列から可算順序数全体への全射は取れるけど、自然数列から可算順序数全体への単射が取れるかどうかは連続体仮説依存でもある。…みたいな感じかな。
多分、どう頑張っても、自然数列側に未定義な余りか同じ順序数への重複割り付けが生じると思うというか、もし生じなければ連続体仮説が真であると証明したことになりそう。
…これでΩ＝連続体濃度であることと連続体仮説は独立だったら滑稽だな。 数学が崩壊する事なく連続体仮説が真になるなんてあり得るの？ >>531
連続体仮説だけでなく一般連続体仮説もZFの公理系とは独立だからZFで作られる数学の崩壊なしに
一般連続体仮説が真になることは可能だろ
但し、その場合の数学世界では基数の構造は良く言えば簡単明瞭、悪く言えば単純だから集合論屋さんは飯の食い上げになるので許し難いだろうが
他の普通の数学者にとっては実用上＝自分の論文を書く上では連続体仮説を認めないZFCとは実質的に何の違いもないので何ら困らないと思うよ >>532
「普通の数学者」というのはMac Laneの圏論の本のタイトルでの“Working Mathematician”の意味ね
あるいは基礎論屋・数理論理屋や集合論屋などを除いた数学者 >>526のやりかたでωとかε0とかってどう自然数列にわりつけられる？ >>526の自然な拡張で任意の自然数列の大小が決定可能なものがあるかどうか ある自然数列に対しaがbより後ろにある時x(a,b)=1そうでない時x(a,b)=0とする
そうすると2進数に変換出来て、大小もきめられる、かなぁ 結局、大小が決まるだけではダメって感じかな、うーむ 一般連続体仮説が真だとおまんまの食い上げという話は聞いたことがない
今は代数屋とか圏論屋の証明に関わるグロタンディーク宇宙の存在と同値な弱到達不能基数などの巨大基数の問題が主流だと思われる
定理っていうのは完全性定理から任意のZFCのモデルで成立する、ということなので、一般連続体仮説が真のモデルでも偽のモデルでも成立する
だから既存の数学は崩壊しない モデルとかよく知らないけど連続体仮説が真なら連続体仮説の否定を採用したものほ矛盾するのでは？ 俺も詳しくないから、間違いがあったら教えてほしい
集合論の言語LにおけるL-構造Mにおいて、一般連続体仮説という閉論理式が真を取りかつ偽を取ることはない
(なぜなら述語に対する解釈関数M_Pred(P): Dn --> {T,F} は、閉論理式Pを取れば空写像となって対象変数x∈DによらずTまたはFを取るが、両方取るとすると関数の定義に反する)
だから例えば理論TとしてZFC+連続体仮説の否定を取ると、ZFCのモデルMで連続体仮説が真であるようなものは、矛盾以前にTのモデルでさえない よくわからんが有限文字列で具体的な全単射が示されることはない、でおk？ 連続体仮説
ℵ1 = 2^(ℵ_0)
濃度を小さい順に並べたものがℵ_α
濃度の冪集合を集めたものがב_α
ב_(α+1) = 2^(ב_α)
連続体仮説が正しければℵ_α = ב_α
あってる？ xyz空間で例えるとx=yという定理があったらそれはz=0でもz=1でも成り立ちますよ
みたいなイメージなのだろうか？ >>543
最後の場所は「一般連続体仮説が正しければ」が適切
連続体仮説だけだとアレフ0の冪がアレフ1になるけど
アレフ1とその冪の間に別の濃度があるかもしれない
一般連続体仮説ならどの濃度も冪との間に別の濃度を持たない >>545
さんくす
ところでオメガ不動点と到達不能基数の間には他の基数はありうる？ >>543
最後の場所は「一般連続体仮説が正しければ」が適切
連続体仮説だけだとアレフ0の冪がアレフ1になるけど
アレフ1とその冪の間に別の濃度があるかもしれない
一般連続体仮説ならどの濃度も冪との間に別の濃度を持たない >>546
ω^Xの最小の不動点はε[0]だけど、
Xの共終数が自分自身になる最小の不動点はΩ。
ここでいうε[0]とΩくらいオメガ不動点と(弱)到達不能基数は離れてるイメージで捉えてる。
オメガ不動点と(弱)到達不能基数の間の基数の例だと
Ω_(オメガ不動点+1)
なんかが分かりやすい例かな。ω^(ε[0]+1)、ε[ζ[0]+1]、ε[Ω+1]とかみたいな作り方。
他、{オメガ不動点+1、Ω_(オメガ不動点+1)、Ω_Ω_(オメガ不動点+1)、Ω_Ω_Ω_(オメガ不動点+1)、…}
な極限でオメガ不動点がε[0]に対応するイメージでいうε[1]みたいなのも作れる。 >>548
解説ありがとう
+1しなければいけない本質的な理由みたいなのってある？
ーーーー別の話
Coqでは集合Xは述語P(x)⇔x∈Xとして表す。
順序数も集合なので同じ風に表せそう。
succ(x) = λy. x=y または x(y)
ω(x) ⇔ x=0 または xの前者がyのときω(y)
足し算はどうやって表せばいいだろう
add(x, y) =
・y=0のとき、x
・y=succ(z)のとき、succ(add(x, z))
・yが極限順序数のとき、？ +1はそうだなぁ。
Ω_(オメガ不動点)=オメガ不動点：オメガ不動点番目の基数
ω^(ε[0])=ε[0]：ω×Xという操作のε[0]番目の不動点
ε[ζ[0]]=ζ[0]：ω^Xという操作のζ[0]番目の不動点
ε[Ω]=Ω：ω^Xという操作のΩ番目の不動点
って感じで、まぁ、オメガ不動点だけ～番目の基数だけど、
これは到達不能基数同様、不動点であるという条件＋αな感じで似たようなものと捉えてる。
で、548での例だとこの各方面での操作の次の不動点(後続不動点)を表すために+1してるって感じかな。
なんとなくε[Ω+1]とかを見てると、最初の不動点を0番目ではなく1番目と定義した方がこういう場面では自然な気がする。
足し算の話は、yが極限順序数のときはsup{ add(x,y[n]) }でいいんじゃないかな？ ちょっと言い方間違えたかもしれない。
こういう順序数κってないだろうか。
・ω_αとかα番目のオメガ不動点とかの操作のκ回未満の反復では作れない
・κ＜到達不能基数
ψ_I(0)=最初のオメガ不動点、ψ_I(I)=ψ_I(I)番目のオメガ不動点、だけど、
こういう作り方では作れないようなものは存在するだろうか。
どんな非可算順序数にしても、最後はψ_Ω()にかけて可算につぶすから、人間が作れるのは可算個にすぎないはず。
ということは、Ω_αとかψ_I(α)みたいな操作を何回やっても可算無限回やっても作れない、かつ、Iよりも小さいような順序数が存在する？ >>551
極限基数がお望みだとして、強と弱の区別がつかないようとりあえずGCHを認めて
最初の条件が正則性を意味するのなら存在しない。
置換公理による列が作れないという意味なら worldly cardinal ?
実用的じゃないけど Square-free word で原始数列を3種の文字による列で表し4種でなんたらかんたらというのを考えてたけどまだ具体性はない square free wordってなんですか？無平方数の言語バージョン？どう定義されてるんだろう TaranovskyのCって、Ω_n＝C(Ω_{n+1}, 0)だけど、
これだとΩ_ωを表すことができない、というか、あるΩ_nを基準に使うことにしたらそれより大きいの表せないよね
Ω_3の例は
Ω_2 = "0Ω_3C" > "00Ω_3CC" = Ω_1
あー、辞書式だと無限下降列がありうるからこうなったのか
でもどうにかできないだろうか。辞書式順序を捨てた場合とか TaranovskyのC関数の拡張
0IC = C(I, 0) = Ω
0ICIC = C(I, Ω) = Ω_2
0ICICIC = C(I, Ω_2) = Ω_3
0ICI0CC = C(I+1, Ω) = Ω_ω
0ICI0CCIC = C(I, Ω_ω) = Ω_(ω+1)
0ICI0C0CC = C(I+2, Ω) = Ω_(ω*2)
0ICI00CCC = C(I+ω, Ω) = Ω_(ω^2)
0ICI000CCCC = C(I+ω^ω, Ω) = Ω_(ω^ω)
0ICI0ICCC = C(I+Ω, Ω) = Ω_Ω
0ICI0ICI0ICCCCC = C(I+Ω_Ω, Ω) = Ω_Ω_Ω
0ICIICC = C(I*2, Ω) = ψ_I(0) タラノフスキのCって基本列、順序数表記まで定義されてるんだっけ
そこまで分かってればFGHに適用させて新しい物差しにできるんだけどな、、 Calculus of Constructions
terms: Type, Prop, (λx:A. B), (∀x:A. B), (A B), x
(λx:A. B)と(∀x:A. B)をBrujin's indexを用いてそれぞれλ(A, B)と∀(A, B)のように表記
たとえば、(λA:Prop. A)はλ(Prop, 0)、
∀A:Prop. ∀f:(∀x:A. A). ∀x:A. A は ∀(Prop, ∀(∀(0, 1), ∀(1, 2))) となる
これをコード化する。"二進数"
C[A B] = C[B] C[A] "11"
C[λ(A, B)] = C[B] C[A] "01"
C[∀(A, B)] = C[B] C[A] "10"
C[Type] = "000"
C[Prop] = "0100"
C[n] = "0" ("1" * n) "1100"
例
C[∀(Prop, ∀(∀(0, 1), ∀(1, 2)))] = "011110001110010011100011001010010010"
0 = C[Type]
1 = C[λ(Type, Type)]
2 = C[∀(Type, Type)]
3 = C[Type Type] error
4 = C[Prop]
5 = C[λ(λ(Type, Type), Type)] error ちょっと無駄を省いてみた
CTは型を、Ctは項をエンコードする
CT_a[a[n]] = (a[|a| - n - 1]) "0"
CT_a[∀(x:A, B)] = CT_(a : [x])[B] CT_a[A] "1"
CT[A] = CT_[Type, Prop][A]
Ct_a[a[n]] = (a[|a| - n - 1]) "0"
Ct_a[∀(x:A, B)] = CT_(a : [x])[B] CT_a[A] "01"
Ct_a[λ(x:A, M) N] = Ct_a[N] Ct_(a : [x])[M] CT_a[A] "11"
Ct[N] = Ct_[Type, Prop][N]
0 = "00" = Ct[Prop]
1 = "00001" = Ct[λA:Prop. A]
2 = "00010" = Ct[∀A:Prop. A]
3 = "000011" = Ct[(λx:Prop. Prop) Prop] エラー a,b,c,n := 0以上の整数
X := 0個以上の0以上の整数
a#n := n個のa
a[0]0=a^a
a[0](b+1)=a^(a[0]b)
a[0#(n+2)]0=a[a#(n+1)]a
a[0#(n+2)](b+1)=a[(a[0#(n+2)]b)#(n+1)]a
a[X,c+1,0#(n+1)]0=a[X,c,a#(n+1)]a
a[X,c+1,0#(n+1)](b+1)=a[X,c,(a[X,c+1,0#(n+1)]b)#(n+1)]a
a[X,c+1]0=a[X,c]a
a[X,c+1](b+1)=a[X,c](a[X,c+1]b)
a[]0=a[a#a]a
a[](b+1)=a[(a[]b)#(a[]b)]a >>561
L_αが2番目のKPωのモデルになるようなα
非再帰順序数は巨大数論的に扱いが難しかったりあまり意味がなかったりすると思う おいちょっと待てL_αってなに？リュカ数？？？
KPって？？？無声軟口蓋両唇破裂音？？？？ あ、KPは分かった。
モデルとL_αってなんだこれ Kripke–Platek set theory + 無限公理 略してKPω
Lは構成可能宇宙 ハーディ階層でHω+1(x)=2(x+1)になるそうですが、どうしても2x+1になってしまいます。計算式に間違いがあれば教えてください
https://i.imgur.com/MXUd4d2.jpg >>566
H_{ω+1}(x)
=H_{ω}(x+1)
=H_{ω[x+1]}(x+1)
ここでWeiner階層を使うとω[x+1]=x+1なので、
=H_{x+1}(x+1)
=2(x+1)
ってなります。
あと、手書きでxをそのように書くとギリシャ文字のχ(カイ)と間違われるかもしれないのでもう一方の方で書いた方がいいと思います(巨大数ではχ(カイ)もよく使うので)。 扱いが簡単な計算不可能数があると信じてこんな数を作りました。
オムライ数その1
数列m_nを定義する。ただしn≧0
rule1 n<10のときm_n=n
rule2 もし、m_nの時点であることを10回繰り返したならその繰り返しを
10回、100回、1000回...と繰り返した場合の数がそれぞれ
m_(n+1)、m_(n+2)、m_(n+3)...となる。
この「あること」は似たような計算式だけではなく
繰り返し や 繰り返しの繰り返し、
繰り返しの繰り返しの繰り返しの...の繰り返しなどのありとあらゆる繰り返しも含む。
これらは計算の「慣れ」で分かる。
また「あること」が 繰り返しの場合、繰り返しの最後尾
をとる。
このときOm(n)＝m_1とし、Om^googol(googol)をオムライ数その1と定義する。
語彙力があれなので、言いたいことを簡単にすると、
mₙは、ありとあらゆる繰り返しを見つけて、(10回繰り返すと見つける)
その繰り返しの回数を10^nで指定して強くする。
という感じです。
「ありとあらゆる」繰り返しなので、ω_1^CKの強さだと思うのですが、ビジービーバー関数より
明らかに弱いのでちょっと心配です。 >>568
どんな計算可能巨大数関数も何らかの繰り返しで作られているわけなので、ありとあらゆる繰り返しならたしかに強そうだな
でも、一通りに定義できるか微妙なところだ。例えば{1, 2}という数列があるときルールは+1なのか×2なのかそれ以外なのかわからない。おそらくもっと長い数列でも同じ問題はあると思う
あと、ありとあらゆる繰り返しというのがどこまで許されるのかわからないのでもしかするとω_1^CKより大きいかもしれない
例えばビジービーバー関数を繰り返し適用したのも繰り返しに含めるなら、少なくともf_(ω_1^CK+1)(n)にはなりそう 「ありとあらゆる繰り返し」を「ありとあらゆる再帰的な繰り返し」に置き換えればオムライ数その1定義できますかね......
誤解されているけど、でてくる数列はm_nという決まった数列だけです。
この数列を計算すると、
m_1=1
m_2=2
...
m_10=10
m_11=10
m_12=100
...
m_20=10↑10
m_21=10↑10
m_22=10↑100
...
m_100=10↑↑11
m_101=10↑↑11
m_102=10↑↑101
...
m_200≈10↑↑10↑↑11
...
m_1000≈10↑↑↑11
...
m_10↑10≈10→10→10
です。 原始再帰関数までだったので続き行きます。
m_10↑10+1≈10→10→10
m_10↑10+2≈10→10→100
m_10↑10+3≈10→10→1000
...
m_10↑10×2≈10→10→(10→10→10)
...
m_10↑10×3≈10→10→(10→10→(10→10→10))
...
m_10↑11≈10{{1}}11
...
m_10↑11+2≈10{{1}}101
...
m_10×2≈10{{1}}({10{{1}}11+1)
...
m_10↑12≈10{{2}}11
......
m_10↑20≈10{{10}}11
.........
m_googol≈10{{{1}}}11
............
m_10↑10↑10≈{10,11,1,11}
......という感じです。 つか、コンウェイってつい最近まで生きてたのか。
しらんかった。随分昔の人かと思ってた。 なんで大体の順序数崩壊関数は2変数なんだ？多変数と相性悪いの？ 2変数あればツリーが作れるから多変数と遜色ないとかかなぁ。
適当だけど。 >>577
(3)まではまだ数えられるレベルだが
(4)からいきなりのグラハム数超え 名もなき巨大数掲示板がオワコンになりました
アバタさんのTwitterはとっくの昔に凍結されてます
オワコンですね 日本ではオワコンだけど海外はどうなんだろう
SasquatchはLittle Bigeddon以上ではないみたいな問題とかあった気がするけど、議論してるんだろうか 英語版wiki見たらいつの間にかlittle bigeddonとsasquatchの問題点が指摘されて修正しないとill-definedみたいで、議論は進んでるんだと感じたわ
これくらい巨大な巨大数だと参戦できる人も殆どいないだろうけど世界は広いな >>584
知らん
去年の11月から活動が途絶え、2020/01/26には凍結を確認 √(a^2+b^2+c^2+2*(-a*b+a*c+b*c))=√((a^(1/2)+i*b^(1/2)+i*√(c))*(a^(1/2)+i*b^(1/2)-i*√(c+d))*(a^(1/2)-i*b^(1/2)+i*√(c+d))*(a^(1/2)-i*b^(1/2)-i*√(c+d)))
①√(a^2+b^2+c^2+2*(-a*b+a*c+b*c))=√((a^(1/2)+b^(1/2)+i*√(c))*(a^(1/2)+b^(1/2)-i*√(c))*(a^(1/2)-b^(1/2)+i*√(c))*(a^(1/2)-b^(1/2)-i*√(c)))
②√(a^2+b^2+c^2+d^2+2*(-a*b+a*c+a*d+b*c+b*d+c*d))=√((a^(1/2)+b^(1/2)+i*√(c+d))*(a^(1/2)+b^(1/2)-i*√(c+d))*(a^(1/2)-b^(1/2)+i*√(c+d))*(a^(1/2)-b^(1/2)-i*√(c+d))) √(a^2+b^2+c^2+2*(-a*b+a*c+b*c))=√(√a+√b+i*√c)*(√a-√b+i*√c)*(√a+√b-i*√c)*(√a-√b-i*√c)=0
√(a^2+b^2+c^2+2*(-a*b-a*c-b*c))=√(√a+√b+i^2*√c)*(√a-√b+i^2*√c)*(√a+√b-i^2*√c)*(√a-√b-i^2*√c)=0
a^2+b^2+i^2*c^2=0
a^2+b^2-i^2*c^2=0→i*c=√(a^2+b^2)
a^2-b^2+i^2*c^2=0
a^2-b^2-i^2*c^2=0→i*c=√(a^2-c^2)
a^3+b^3+i^2*c^3=0
a^3+b^3-i^2*c^3=0→i^(2/3)*c=(a^3+b^3)^(1/3)
a^3-b^3+i^2*c^3=0
a^3-b^3-i^2*c^3=0→i^(2/3)*c=(a^3-b^3)^(1/3)
cが複素数平面上でy軸かx軸上に解をもつときのみ整数になる
3以上の時c=A*e^(iθ)(0<θ<π/2)になるため整数解をもたない x^2/z-y^2/z=1
zが素数のとき
x=(z+1)/2 ,y=(z-1)/2以外でx,yが格子点を通ることはない
√((x^2+y^2+z)*(x^2+y^2-z)*(x^2-y^2+z)*(x^2-y^2-z))=√(x^12+y^12+z^4-2*(x^2*y^2+x^2*z+y^2*z))=0
√(x^8+y^8+z^4-2*(x^2*y^2+x^2*z+y^2*z))=0
この関数がx,y,zが同時に整数となる格子点を通るときzは必ず素数になる BIG FOOT は「FOSTのplatonist universe(すなわちV_{Ord_0}など)が存在する」
「「FOST+V_{Ord_0}の存在」のplatonist universeが存在する」
・・・
「「FOST+[α]の存在」のplatonist universeが存在する」
という公理が必要だと思うけどそのへん明らかになってないのね。
フォン・ノイマン宇宙の扱いもなんかおかしかったような
というか結局platonist universeの下でFOSTを拡張した可算言語を対角化するんだから、
モデルの拡張より直接言語を拡張したほうが分かりやすいし効率がいいと思うのだわ FOSTのplatonist universeはFOSTで定義不能だし記述不能だから、何か新しい定数記号なり関数記号なり述語記号なりをもってきて、
例えば関数fが任意のFOSTの式(のゲーデル数)を決定可能！ という公理を作るとかしないといけない
言語の階層を上げる方向でもよし というかその辺の巨大数(ラヨ数、ビッグフット、リトルビッゲドン、サスクワッチ)は大体ill-definedで公理を追加しても解決しない ラヨ数はplatonist universe部門ならwell definedだろう。platonist universe前提の定義に疑問をもつのは認める。
ビッグフット以降はプラトニズムに頼るにしてももっと突っ込んだ定義が見たい 任意のFOSTの式を決定可能は強すぎだな。
fはstandardな集合論とやらで恒真な式を判別する、というふわふわした表現で我慢するしかない。 platonist universeの意味が良くわからないが、ラヨ数をZFの中で形式化した公理によって定義し、更にそれをZFの自然数と対応付けることは出来るの？ https://googology.wikia.org/ja/wiki/ユーザーブログ:P進大好きbot/高階集合論を超えた1階述語論理
上記巨大数庭園数の話に書かれている、計算不可能関数の巨大数を作る流れ(概要の1～5)がいまいち分かりません…
い.引数1の関数記号Uはなんの為にあるんでしょうか？
"理論"という欄や"埋め込み"という欄でUを順序数を引数に取る増大していく宇宙と説明していますが、これは一般の計算不可能巨大数を定義するのにも用いられますか？
ろ.Lで記述されるZF集合論はなんの為にあるんでしょうか？
Lで記述されるZFC集合論から始めて、その中でLを形式化し、Uに関する公理系(？)を具体的に構成し、それをZFに追加した理論Tを(ZFC)の中で定めて、その中で巨大関数を定義してZFCに移す、というのではうまく行かないのでしょうか？
は.3のUに関する具体的な公理系とはなんでしょうか？
定義による拡大の定義公理(∀xφ(U(x)))のことでしょうか？
に.4の具体的なモデル込みで埋め込む、はどういう操作なのでしょうか？
概要下部にPAとNの例がありますが、ZFCの中で言語を用いて公理系PAを定めてそのモデルωも存在するのは確かですが、埋め込むという感じではないように思います
初歩的な質問かもしれないのですが、分かる人がいれば部分的でも良いので教えてほしいです… >>595
Satの定義に2階述語論理を使ってあるから、ZFで形式化された2階述語論理を定義して、その論理でさらに対角化する形式言語Lを定義する、という流れになるだろう。
L-論理式の真理値を決定するのにL-理論が必要となる。計算不可能レベルにまでもってくるにはさらにモデルを指定するなり、もう一工夫必要。 >>597
URL先のP進大好きbotさんの説明によれば、
1階集合論の言語に関数記号Uを追加した言語Lで記述されるZF集合論で、LとZFC集合論を形式化する、
と説明があるのですが、この書き方だとZFで形式化されたLもまた1階だと思ったのですが、違うのでしょうか
(高階述語論理を勉強不足なので申し訳ないですが、確かに二階述語論理でも言語の定義に大差は無さそうなので援用できそうではありますが)
レスの後半は論理学に明るければ分かるのでしょうか……？
一階述語論理であれば、L-論理式の真理値を決定するのは解釈の与え方で、L-理論(L-閉論理式の集合)は不必要な気がするのですが 3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku
昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、
学コンBコースが 1/1 = 100% ，
宿題が 3/10 = 30% でした！
宿題の勝率が低すぎると思うので、
これからは一層精進していきたいです！
https://twitter.com/shukudai_sujaku
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) 学術の巨大掲示板群 - アルファ・ラボ
ttp://x0000.net
数学 物理学 化学 生物学 天文学 地理地学
IT 電子 工学 言語学 国語 方言 など
PS 連続と離散を統一した！
ttp://x0000.net/topic.aspx?id=3709-0 階層数なる概念を考えました。順序数を階層に特化した感じです。順序数の数学的な美しさと秩序を壊滅させた上で、計算の正確性を手に入れました。
__________特徴__________
・後続と極限があるのは変わりません。
・基本列が1つしかありません。
・1+ω≠ωです。
・基本列が階層数の列になることがあるのは同じです。
・急増化関数などの順序数階層に使えます。
これを使えば、例えば、ω_α^CKと対応する階層数を使えば、正確に、簡単にf[ω_α^CK](n)程度の関数が完成します。 垓の次は何ですか？
日本語Wikipediaでは「じょ」、
中国語Wikipediaでは「?」となっていますが。 ああコロナは武漢から
慰安婦は韓国と朝日から
にほひは不可視とくあのエラびと
ああ
いきのこるべし
田とヒブ感におちぶれるとも あにかえるところにあるまじや 恐らく現状、ラヨ数系列と呼ばれる巨大数が理解できている日本人って、P進大好きbotさん含め2,3人くらいって感じなんでしょうね……
質問も投げてみましたが、理解することを諦めざるを得ないような感じです
どんな本を読めばいいかとかも全く分かんないですし…… とりあえずplatonist universeありきとそれ以外じゃ定義の考え方が違うから、
ラヨ数の定義と>>596は別に考えるべきだと思う >>598
形式化されたLも1階の言語だろう。
でもメタ言語側で形式化されたLのドメインを量化することはできる。
レスの後半は言い方悪かったけど、定義文が定義文であると判定するために公理が必要という程度の話です。 3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku
昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、
学コンBコースが 1/1 = 100% ，
宿題が 3/10 = 30% でした！
宿題の勝率が低すぎると思うので、
これからは一層精進していきたいです！
https://twitter.com/shukudai_sujaku
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) >>607
そもそもplatonist universe(※)を用いたラヨ数の定義はwell-definedではないようです
https://googology.wikia.org/ja/wiki/ユーザーブログ:P進大好きbot/形式論理のお勉強（その９）
＞ 簡単に言うと、Platonist universeであってもモデルに出来る以下のことしか出来ず、
「メタ自然数の形式化をPlatonist universe内に相対化された自然数」として巨大数を定義する上では論理式の真理値が使えても、
「メタ自然数そのもの」として巨大数を定義するために論理式全体を動かした時の真理値を参照する方法はない、というのが僕の主張です。従ってPlatonist universeを用いたラヨ数の修正もまたwell-definedでないと考えています。
(※)platonist universeは正直聞き慣れない言葉ですが、
https://googology.wikia.org/ja/wiki/ユーザーブログ:Kyodaisuu/ラヨ数の説明について
のコメント欄の、(この人ばかりで申し訳ないですが)P進大好きbotさんの発言「Platonist universeが通常は集合論の定義可能クラスとしてのモデルVのこととして扱われる」から、いわゆる(正則性公理より){x : x=x}のことみたいですね >>608
理論 理論の中の言語
メタ理論:問わない 言語:L(一階述語言語)
対象理論:ZF 言語:形式化されたL(一階述語言語)
その下の理論:ZFC
という形だと思っていますが、
(以下「言語L」と「形式化された言語L」で理論の立ち位置を分けます)
言語Lにおいて、形式化された言語Lの自由変数は一般には量化できないと思われます
例えば対象理論の空集合は∀x∃!y(¬(x∈y))というL-論理式で表されるyのことですが、yはメタ理論においては、割り当て関数によって
あるZFのモデル(構造)のドメインの元に対応しており、これはメタ理論の一階述語論理の中で完結しておらず、言語Lにおける自由変数ではないはずです
このように対象理論の集合はメタ理論においては構造のドメインの要素であるため、対象理論の集合である形式化された言語Lの自由変数もまた、メタ理論においてはドメインの要素でしかなく、言語Lの自由変数とは限らないはずで、量化できるとも言えない、と考えてます
正直ややこしすぎて間違いがあるかもしれません…… 「ラヨ数の定義」と言っちゃったけどラヨ自身はそこまで定義してなかった。
あとplatonist universe依存で考えるんだったら定義文でなく命名文というのが正しかった。
いろいろぐだぐだですまん
>>610
その記事の下のほうにあるように、(真理値を参照する方法がないことを受け入れた上で)platonist universeを「天与のもの」として考えた場合を想定していました。
あるいはあくまで形式的にwell definedであることに拘るとして、「巨大数コンテストのレギュレーション一覧」のラヨ部門を参照することにします。(あまり本質的な問題の解決になってないけど)
でも>>594で修正したようにラヨ自身はplatonist universeまで考えてなくて、standardな集合論で定義可能なものと考えていたかもしれない。
たとえば本当にZFCが無矛盾なら、ZFCから独立した連続体仮説の真理値は決定しないうえで定義を考えるとか。
結局天与のものになっちゃう。
ω矛盾したものや健全でないものはstandardなのかという疑問も湧く。 >>611
そのメタ理論で形式化された言語Lのドメインを定義することができない、という前提でしょうか? >>612
形式論理のお勉強(その8)でも説明されていましたがフォン・ノイマン宇宙はZFCのクラスモデルなので、メタ理論においては何かしら真理値が定まってますが、(参照はできないけれど)寄与とする、という感じですかね
>>613
メタ理論では対象理論のオブジェクトもメタ理論のオブジェクトなので定義は出来ると思います
ところで、ちょっと読み違えてました
改めて書きますが、
>>608ではメタ言語で対象言語のドメインを量化という記述がありますが、メタ言語ではメタ言語の自由変数しか量化できないので、対象言語のドメイン(ここでのドメインは構造の領域ではなく自由変数の集合)は自由変数でなく量化できない気がするのですが…… 巨大数庭園数のページを改めて見て考えましたが、
ZFCが自然数を定義する理論で、そこでZFCやMKなどと埋め込まれたそのモデル上の真理述語を満足関係で定義して対角化して、
命名可能性を用いた巨大数の定義(形式論理のお勉強(その8)にありました)でZFC上に自然数を定義する、という形のような気がします
そうするとやはり最初に言語LでZFを定め、ZF上でLとZFCを形式化するという手はずがよく分からないんですよね
言語LでZFCを定めれば済むような気がしますが……
関数記号Uの存在理由と関係あるんでしょうか 3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku
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宿題の勝率が低すぎると思うので、
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PS 連続と離散を統一した！
ttp://x0000.net/topic.aspx?id=3709-0 Sasquatchはwell definedかどうかはともかく、構想としてはマイクロ言語を支配するメタ言語の対角化みたいだな。
さすがにメタ言語の解釈なり理論のクラスなりを形にしてもらわないと、「すべての関数を支配する関数」みたいにならんだろうか サスクワッチはill-defined
https://googology.wikia.org/wiki/Sasquatch
The definition contains many errors.
(中略)
As a conclusion, Sasquatch is ill-defined. 巨大数庭園数はsasquatchの構想を具体的にwell definedにした感じなのかな 過去にも証明が書けなくても戦え数とか作ってるので、具体的にサスクワッチということはないと思いますが、ラヨ数系列の検証を行う中でレシピを得た気はします
巨大数庭園数の解説ページでも、リトルビゲッドンでZFC+V=HODを用いて整列順序の定義可能性を担保して定義可能性を広げたこととの同質性を述べていますし ヒドラゲームの首7個って何ターンかかるでしょうか？ ヒドラゲームって増え方の理屈見てるとチェーン表記に毛が生えた程度にしか見えないのに何故ああもデカくなるんだろう ヒドラゲームってある意味究極に完成されてるよな。
極限までシンプルに切り詰めたその姿はダイヤモンドのよう。 形だけ見るとカントール標準形を渡り歩ける力を持ってるとは思えない(でも順序数が木構造のようなものだと捉えるとヒドラゲームが現れるのも藪から棒ってわけでもないのかなと思ったり) >>623
3が27で4がグラハム数より大ききなるから、7はやばそうだな…
というかそもそも4で本当にグラハム数こえるのがオレの理解を超えてるんだが… >>623
(4)でｆ_(ω*2+4)(5)より大きく
(5)でｆ_(ω^(ω*2+4))(5)より大きいということだから
単純に(7)はω↑↑４～５程度の強さと考えていいんじゃないかな？ >>571
成長遅くない？m_30=10↑↑10では？ 単純な計算不可能関数を作りました。
＿＿＿＿＿モンブラン数＿＿＿＿＿
fを任意の関数、xを任意の自然数、nを任意の>>602で紹介した階層数とし、(まだきちんと定義されてないが)
変換Sを次のように定義する。
Sf(n)[x]=m_xとしたとき、数列mは以下の通りになる。
1, x<3のとき
m_x=f^x(n)
2, m_0からm_nのnを1つずつ変えていき、xでちょうどあることを3回繰り返すと、
繰り返した回数をnとした関数g(n)とすると
m_(x+1)とm_(x+2)とm_(x+3)はそれぞれg(x)とg(g(n))とg(g(g(n)))になる
このとき、w(n)=n+1として急増化関数で
f_(S^2(w))(ω)+1)(Googol)
をモンブラン数とする。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿大きさの評価＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
f_(S(w)(ω))(n)≈f_(ω_1^CK)(n)
f_(S(w)^2(ω))(n)≈f_(ω_2^CK)(n)
f_(S(w)^ω(ω))(n)≈f_(ω_ω^CK)(n)
f_(S(S(w))(ω))(n)≈f_(ω_なにか^CKとかいう表記を再帰的に使っても表せられない最小の順序数)(n)
っていう感じです。 >>614
たとえばラヨ数の定義に出てくるSatを使って、φのゲーデル数は[φ]で表して、
Sat([∀xφ(x)],t)⇔任意の変数設定sについて、Sat([φ(x)],s)
を利用するのはどうでしょう。 >>632
すみません、ラヨ数についてよく知らないのですが、Satは満足関係の定義であって量化とは無関係なのではないでしょうか
それ以前に、確かに、
例えばZFCの中で一階述語論理を形式化し、自由変数の集合をF={x1,x2,…}とします
この形式化した一階述語論理によって対象理論のZFC'(ZFCだけれどもメタ理論と区別してプライムをつけます)を定め、その中でまた一階述語論理を形式化したとします
ZFC'の中で形式化した一階述語論理の自由変数の集合F'={x'1,x'2,…}は、ZFCの中でも集合であるので、*たまたま* F'⊂Fであり、F'の元をZFCの一階述語論理で量化できる、ということはないとは言えませんが、これに意味があるとはちょっと考えづらいですし、
そもそも
https://googology.wikia.org/ja/wiki/ユーザーブログ:P進大好きbot/高階集合論を超えた1階述語論理
では*一般的な*計算不可能巨大数の作り方を解説しているように読めますので、ラヨ数にしぼった具体的な構成などは無関係ではないでしょうか？ >>633
Sat自体はただの充足関係を形式的に定義したものでラヨ数固有のものではありません。
また、自由変数xを持つ任意の1変数論理式φ(x)について、∀xφ(x)という文字列を、メタ側で、
「(ある理論の)任意のモデルが、φ(x)のxに任意の要素を代入した論理式(の意味)を充足する」
で定義できるため無関係ではないと思います。
趣旨がよく分からなくなってきたので整理しますが、
>>608では構造の領域という意味で「ドメイン」という言葉をつかいました。
L-論理式φ(x)に現れる自由変数xが量化されると、
その自由変数xに任意の対象を代入してもφが成り立つ(全称量化)、
または、
xに代入してφが成り立つ対象が存在する(存在量化)
のいづれかを意味するようになる、でよろしいでしょうか。
また対象言語の自由変数x'_1,x'_2,x'_3,...を意味するメタ理論の項が存在する、というのはよろしいでしょうか。 >>635
満足関係の定義は集合モデルについてはスコーレム標準形を用いて使うということは話に聞いたことがありますが、ラヨ数のあれは一般的な定義だったんですね
満足関係はタルスキの定義不可能性定理から中では定義できないので確かに関係あるかと思いますが、全称量化はやはりできないのではないでしょうか
例えばZFCをメタ理論としてPAのモデルとなる構造の領域は、一般的にはωだと思ってるのですが、これがZFCで形式化した一階述語論理で全称量化できるというのは意味が通らないのではないでしょうか
正直この辺りは勉強不足かもしれないですので、参考となる教科書があれば教えてほしいです
計算不可能巨大数の解説などはありますが、読むと良い教科書とかの説明は見たことないので…… 式神巨大数という、プログラミングで出力する巨大数を競う大会が開かれてるが、
「C言語で10^10^100以下で記載されるソースから出力される最大の自然数+1を出力するソース」とかって作れないんだろうか
「C言語で10^10^100以下で記載されるソースから出力される最大の自然数+1」はルールに反するが、プログラムにすればルール内だろうし 10^10^100バイトのストレージどうやって用意すんのよ よく見たら「C言語で10^10^100以下で記載されるソースから出力される最大の自然数+1を出力するソース」か
でもビジービーバーは圧縮できないぞ。
それゆえのビジービーバーだからな。 C言語で10^10^100以下で記載されるプログラムをすべて並べて順番に動かしたとしても、
あるプログラムがいつまでも停止しない場合に、いつになったらそのプログラムが永遠に
停止しないと判定出来るかを決めることができないので、最大の有限値を得ることはできない。 任意のチューリングマシンの停止性を決定できなくても、特定の範囲のチューリングマシンの停止性を決定することはできる。
それに有限個のチューリングマシンの停止性ならあらかじめそれらの停止するかしないかのリストを判定するプログラムに組み込んでおけばいい そういうプログラムを具体的に構成してみせろという話なので、できると言われてもだからどうしたとしか。
BB(10^10^100)の値を書くプログラムをprint文で書けるよ、と言ってるのと何も変わらない 文字数制限の話もなかったので理論上可能かどうかの話だと思ったのです
ビジービーバーの情報を圧縮できないのはその通りだと思います 昔このスレで多重リストアッカーマンを解析するとかなんとか言っておきながらずっと放置しちゃってるけど、
あれって定義完成してたっけ? 簡単なレギュレーションみたいなものでも書いとくか
アルゴリズム部門
適当なプログラミング言語で記述すればおk
巨大数の定義としてwell definedかどうかは前提とする理論による。ZFCで考えるのが一般的だろう。ZFCを超えたらすごい、かもしれない
フリードマン部門
理論そのものの対角化。強い
実質計算不能部門
計算不能な関数でも利用して計算可能なプログラムを提出する。却下される
計算不能系
計算できない関数を使う。プラトン部門とかラヨ部門とかある。platonistは抽象的 実質計算不能って書いちゃったけどグーゴロジー的にはどれも大概実質計算不能だった Loader.cについてメモ
ソースをボトムアップ解析しようと全人類が努力していたがそれは難しすぎたのでトップダウン解析することにする
もし、説明通りCalculus of Constructions (CoC)を使っているなら、CoCの式をエンコードしたビット列を生成しているのだろう
その中から型が∀A:Prop. (A -> A) -> A -> Aであるような式（これは自然数を表す）を評価する
CoCはstrongly normalizingなので必ず計算が終わる 必ず計算が終わるってどういうカラクリなの？
アッカーマンとかヒドラみたいなやつも停止性を保証できるの？ >>652
アッカーマンはまず
Ack(0,n)が全ての自然数nに対し停止する
するとAck(1,0)も停止する
Ack(1,p)が停止する場合、Ack(1,p+1)=Ack(0,Ack(1,p)だから結局Ack(0,n)の形になって停止する
こんな感じの帰納法でAck(1,n)が証明されて
2重帰納法で左変数についてもやると停止性を証明できる
ヒドラは順序数が永遠に小さくなり続けることはないっていう性質を利用して
どんな形のヒドラも順序数に対応してて変形すればその順序数が小さくなるけど
永遠には続かないからいつか停止するってやつ どんな式も突き詰め分解すると必ずループとカウンタが存在し、
カウンタが目標値に達するまで（大抵は０まで減算）計算し続けるという構造をとっているはず。
式のカウンタが絶対に目標値に達するため永遠にループしない事を停止性の保証と解釈してるんだが如何に？ >>654
チャイティンの業績が好きなんだけど受けが悪い。 無限ループを如何に回避するかを考えてたら小さい数しか生まれない コラッツ予想の反例を探すようなプログラムを書いて仮にめちゃくちゃデカい反例があったとしても
そのプログラムのサイズが1000ステップに満たなかったらビジービーバー(1000)を超えられないわけで
あんまり夢がないなぁと コラッツ予想の否定の証明は実際に反例があれば理論上は簡単か。
でもその反例が表記に困るくらいめちゃくちゃでかくて、現実的な証明にめちゃくちゃ強力な理論が必要とかだとめちゃくちゃでかくなりそう ループとカウンタで簡単に停止性が証明できる程度の再帰であれば、停止性の議論の対象にすらならない。 理論上の簡単と実際の簡単には乖離があって、たとえばロビンソン算術で証明できちゃうけどTREE(3)文字かかっちゃうパターンとか 理論上に難しいも簡単もない。簡単に書けるかどうかは実際に簡単に書けるかどうかで決まる。
TREE(3)文字の証明は実際に書けないので簡単ではない。 証明に必要な理論の難しさと(最低限)必要な文字数の難しさの違いだわ。
まずとりあえず強力な理論で証明しておいて、それからその強力な理論をメタ理論としてより弱い理論による証明可能性を証明するみたいな。
RathjenがZFCからKPMまで落としこむことやってなかったっけ BMSのプログラムよろしく簡単だけどめちゃくちゃ強いみたいなのが停止性の証明にもあるかもしれない
整疎性は停止性よりも強いからある理論でどこまで証明できるかが分かりやすい(分かりやすいとは言ってない) ラヨの哲学的実在論上の定義ってグーゴロジー的にウケが悪いのかね？
数の比較が著しく困難でラヨ数も集合論の縛りがなかったらFOST
の域を超えてる可能性があるとはいえ、ひとつの数を定義していることは保証される
個人的にはそういうひとつのレギュレーションとして受け容れていい気持ちだけど 3415
学コン・宿題ボイコット実行委員会@gakkon_boycott 9月1日
#拡散希望
#みんなで学コン・宿題をボイコットしよう
雑誌「大学への数学」の誌上で毎月開催されている学力コンテスト(学コン)と宿題は、添削が雑で採点ミスが多く、訂正をお願いしても応じてもらえない悪質なコンテストです。(私も7月号の宿題でその被害に遭いました。)このようなコンテストに参加するのは時間と努力の無駄であり、参加する価値はありません。そこで私は、これ以上の被害者を出さないようにするため、また、出版社に反省と改善を促すために、学コン・宿題のボイコットを呼び掛けることにしました。少しでも多くの方がこの活動にご賛同頂き、このツイートを拡散して頂ければ幸いです。
https://twitter.com/gakkon_boycott/status/1300459618326388737
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) >>668
ちなみに何を見てウケが悪いと思ったんですか？ 原始数列のコーディング
例
(0)(1)(2)(1)→2^0(1+2^1(1+2^2(1+2^1)))
パラメータにもコードを使っちゃいたい。つまりこの場合、簡約して
(0)(1)(2)
を2^0(1+2^1(1+2^2(1+2^1)))回繰り返す数列がでてくるみたいな
素数使うのはなんかいや 元々の計算ルールから変えて、
(0)(0)…(0)
を停止状態とする。すなわち、右側の(0)だけからなる列は無視して左側だけで計算していって、全部(0)だけの列になったらループを脱出して終了する。 n行の場合は指数部分も
2^0(1+2^1(1+2^2(1+2^1)))
みたいにして数列を表すことで任意のバシク行列をコード化できるかな
このまま指数タワーで多次元まで拡張できるな Making a GOOGOL:1 Reduction with Lego Gears
https://www.youtube.com/watch?v=QwXK4e4uqXY プロの数学者が入ってきてから日本版の進化が目覚ましい一方で英語版の酷さが浮き彫りになってるようだけど、海外の数学者はあまり興味示さないんだろうか
p進さんも専門は数学基礎論周辺じゃなさそうだし、気分転換くらいでやれそうなもんだけど この宇宙の物理的状態が一つの順序数を表していると考えるのはどうだろう。
宇宙が停止する日は来るのか？ ちなみに言うと物理法則の時間発展は可逆でa→bという時間発展が存在すると逆のb→aという時間発展も存在するので整礎性とはむしろ相性が悪いのではないかと。 全ての順序数を集めたものは集合ではない、クラスだ。
みたいな話がどこかにあったんだけど、
すべてのクラスもクラスじゃなくて更に超クラスみたいなのがあってってふうに無限に続いていくの？ 全てのメラを集めたものはメラではない、メラゾーマだ。 クラスを型と考えれば型の型としてカインドとか、もっといけば高階のカインドとかいうのが
詳しいことは知らんけど ハイパー原始数列を使って新しい順序数表記を考えてみた
0
1
2
3
[] = ω
[]+1 = ω+1
[]+2 = ω+2
[]+3 = ω+3
[]×2 = ω×2
[]×3 = ω×3
[]^2 = ω^2
[]^3 = ω^3
[]^[] = ω^ω
[]^[]^[] = ω^ω^ω
[]_0 = ε_0
[]_0^[]_0 = ε_0^ε_0
[]_0^[]_0^[]_0 = ε_0^ε_0^ε_0
[]_1 = ε_1
[]_2 = ε_2
[]_[] = ε_ω
[]_[]_0 = ε_ε_0
[]_[]_[] = ε_ε_ω
[]_(0,0) = ζ_0 = φ(2,0)
[]_(0,1) = ζ_1
[]_(0,2) = ζ_2
[]_(0,[]) = ζ_ω
[]_(0,[]_0) = ζ_ε_0
[]_(0,[]_[]) = ζ_ε_ω
[]_(0,[]_[]_[]) = ζ_ε_ε_ω
[]_(0,[]_(0,0)) = ζ_ζ_0
[]_(0,[]_(0,[]_(0,0))) = ζ_ζ_ζ_0
[]_(1,0) = φ(3,0)
[]_(2,0) = φ(4,0)
[]_([],0) = φ(ω,0)
[]_([]_0,0) = φ(ε_0,0)
[]_([]_[],0) = φ(ε_ω,0)
[]_([]_(0,0),0) = φ(ζ_0,0)
[]_([]_([]_(0,0),0),0) = φ(φ(ζ_0,0),0)
[]_(0,0,0) = Γ_0 = φ(1,0,0)
[]_(0,0,0,0) = φ(1,0,0,0)
[0] = []_(0,0,0,0,...) = ψ(Ω^ω) [0]+1
[0]+[]
[0]+[]_0
[0]+[]_(0,0)
[0]+[]_(0,0,0)
[0]×2
[0]×[]
[0]×[]_0
[0]×[]_(0,0)
[0]×[]_(0,0,0)
[0]^2
[0]^[]
[0]^[]_0
[0]^[]_(0,0)
[0]^[]_(0,0,0)
[0]^[0]
[0]^[0]^[0]
[0]_0
[0]_[]
[0]_[]_0
[0]_[]_(0,0)
[0]_[]_(0,0,0)
[0]_[0]
[0]_[0]_[0]
[0]_(0,0)
[0]_(0,0,0)
[0,0] = [0]_(0,0,0,0,...)
[0,1] = [0,0,0,0,...]_(0,0,0,0,...)
[0,1,0,1] = [0,1,0,0,0,0,...]_(0,0,0,0,...)
[0,1,1] = [0,1,0,1,0,1,...]_(0,0,0,0,...)
[0,1,2] = [0,1,1,1,1,...]_(0,0,0,0,...)
[0,2] = [0,1,2,3,4,...]_(0,0,0,0,...)
[0,3] = [0,2,4,6,8,...]_(0,0,0,0,...)
[0,4] = [0,3,6,9,12,...]_(0,0,0,0,...) 小さい関数の話題ですみません
多変数アッカーマン関数を順序数で強化してみました
以下が定義です
小文字のアルファベット=0以上の整数
Z=任意の順序数
X=0個以上の0以上の整数
a#b=b個のa
a#b+c=a#(b+c)
A[Z](0)=1
A[Z](a,0#n+1)=A[Z](a#n+1)
A[Z](0#n+1,b+1,X)=A[Z](1#n+1,b,X)
A[Z](a+1,0#n,b+1,X)=A[Z](A[Z](a,0#n,b+1,X)#n+1,b,X)
A[0](a+1)=A[0](a)+1
A[1](a+1)=A[0](A[1](a)#A[1](a))
A[2](a+1)=A[1](A[2](a)#A[2](a))
...
A[c+1](a+1)=A[c](A[c+1](a)#A[c+1](a))
A[ω](a+1)=A[A[ω](a)](A[ω](a)#A[ω](a))
A[ω+1](a+1)=A[ω](A[ω+1](a)#A[ω+1](a))
A[ω+2](a+1)=A[ω+1](A[ω+2](a)#A[ω+2](a))
...
A[ω+c+1](a+1)=A[ω+c](A[ω+c+1](a)#A[ω+c+1](a))
A[ω×2](a+1)=A[ω+A[ω×2](a)](A[ω×2](a)#A[ω×2](a))
A[ω×2+1](a+1)=A[ω×2](A[ω×2+1](a)#A[ω×2+1](a))
A[ω×2+2](a+1)=A[ω×2+1](A[ω×2+2](a)#A[ω×2+2](a))
...
A[ω×d+c+1](a+1)=A[ω×d+c](A[ω×d+c+1](a)#A[ω×d+c+1](a))
A[ω×(d+1)](a+1)=A[ω×d+A[ω×(d+1)](a)](A[ω×(d+1)](a)#A[ω×(d+1)](a))
A[ω^2](a+1)=A[ω×A[ω^2](a)](A[ω^2](a)#A[ω^2](a))
A[ω^2×2](a+1)=A[ω^2+ω×A[ω^2×2](a)](A[ω^2×2](a)#A[ω^2×2](a))
A[ω^2×3](a+1)=A[ω^2×2+ω×A[ω^2×3](a)](A[ω^2×3](a)#A[ω^2×3](a))
...
A[ω^2×(d+1)](a+1)=A[ω^2×d+ω×A[ω^2×(d+1)](a)](A[ω^2×(d+1)](a)#A[ω^2×(d+1)](a))
A[ω^3](a+1)=A[ω^2×A[ω^3](a)](A[ω^3](a)#A[ω^3](a))
A[ω^4](a+1)=A[ω^3×A[ω^4](a)](A[ω^4](a)#A[ω^4](a))
...
A[ω^(c+1)](a+1)=A[ω^c×A[ω^(c+1)](a)](A[ω^(c+1)](a)#A[ω^(c+1)](a))
A[ω^ω](a+1)=A[ω^A[ω^ω](a)](A[ω^ω](a)#A[ω^ω](a))
A[ω^ω^ω](a+1)=A[ω^ω^A[ω^ω^ω](a)](A[ω^ω^ω](a)#A[ω^ω^ω](a))
...
A[ε_0](a+1)=A[ω↑↑A[ε_0](a)](A[ε_0](a)#A[ε_0](a))
とりあえずε_0まで 多重リストアッカーマン関数もどきを作ってみた
a,b,c,d,n,mは、0以上の整数
[c]は、番号付きのセパレーター(番号付きのカンマ)
セパレーターは、番号の小さいものが優先される
a[c]b[c+1]d=(a[c]b)[c+1]d
セパレーターが短絡したり連結したりした場合は、そのセパレーターは省略する
a[c]b[c]=a[c]b
a[c][c]b=a[c]b
a[c][c+1]b=a[c+1]b
Xは、前置のセパレーターで区切られた0個以上の0以上の整数
Yは、任意のセパレーターで区切られた0個以上の0以上の整数
:は、左辺値を前置のセパレーターで区切って右辺値回繰り返す
a[c]:n+m=a[c]:(n+m)
a[c]:n+1=a[c]a[c]:n
Ack(a)=a+1
Z0=Ack(1[0]:n+1)
Ack(0[0]:n+2[c+1]Y)=Ack(Z0[0]:n+1[c+1]Y)
Z1=Ack(a[0]0[0]:n+1[c+1]Y)
Ack(a+1[0]0[0]:n+1[c+1]Y)=Ack(Z1[0]:n+1[c+1]Y)
Z2=Ack(1[0]:n+1[0]b[0]X[c+1]Y)
Ack(0[0]:n+1[0]b+1[0]X[c+1]Y)=Ack(Z2[0]:n+1[0]b[0]X[c+1]Y)
Z3=Ack(a[0]0[0]:n[0]b+1[0]X[c+1]Y)
Ack(a+1[0]0[0]:n[0]b+1[0]X[c+1]Y)=Ack(Z3[0]:n+1[0]b[0]X[c+1]Y)
Z4=Ack(1[c+1]:n+1)
Ack(0[c+1]:n+2)=Ack(Z4[c]:Z4[c+1]:n+1)
Z5=Ack(a[c+1]0[c+1]:n+1)
Ack(a+1[c+1]0[c+1]:n+1)=Ack(Z5[c]:Z5[c+1]:n+1)
Z6=Ack(1[c+1]:n+1[c+1]1[c]:m+1[c+1]Y)
Ack(0[c+1]:n+1[c+1]0[c]:m+2[c+1]Y)=Ack(Z6[c]:Z6[c+1]:n+1[c+1]Z6[c]:m+1[c+1]Y)
Z7=Ack(a[c+1]0[c+1]:n[c+1]0[c]:m+2[c+1]Y)
Ack(a+1[c+1]0[c+1]:n[c+1]0[c]:m+2[c+1]Y)=Ack(Z7[c]:Z7[c+1]:n+1[c+1]Z7[c]:m+1[c+1]Y)
Z8=Ack(1[c+1]:n+1[c+1]1[c]:m[c]b[c]X[c+1]Y)
Ack(0[c+1]:n+1[c+1]0[c]:m[c]b+1[c]X[c+1]Y)=Ack(Z8[c]:Z8[c+1]:n+1[c+1]Z8[c]:m[c]b[c]X[c+1]Y)
Z9=Ack(a[c+1]0[c+1]:n[c+1]0[c]:m[c]b+1[c]X[c+1]Y)
Ack(a+1[c+1]0[c+1]:n[c+1]0[c]:m[c]b+1[c]X[c+1]Y)=Ack(Z9[c]:Z9[c+1]:n+1[c+1]Z9[c]:m[c]b[c]X[c+1]Y) チェーン表記をレベル0，拡張チェーン表記をレベル1として再帰的にレベルnのチェーン表記を定義できたら
ω^ωいけないか? 多変数アッカーマンを順序数へ拡張するとφ関数になるイメージがある 多重リストアッカーマンのセパレーターを順序数で拡張するとどうなるのかな？ なるほど
アッカーマン関数もまだまだ進化できるんだなあ a^b^cで括弧を付けなくても結合の順番が決まってるとかいう雑学 LaTeXだといちいち{}でくくらないといけない。くくらなかったら左結合になる はえー ワードだとスペース押した時に右から結合されていくな 【多重ブロックアッカーマン関数】
セパレーターに整数のラベルを付けて多重リストアッカーマン関数を定義するならば
多重リストをブロックとみなしセパレーターの整数をブロックに拡張すると2重ブロックアッカーマン関数になる
更に2重ブロックアッカーマン関数のセパレーターをブロック化していけば3重ブロック、4重ブロックという風に
多重ブロックアッカーマン関数が定義できていく
2重ブロックアッカーマン関数の大きさは ψ(ε_(Ω+1))=ψ(Ω_2) じゃなかろうか
n重ブロックアッカーマン関数の大きさは ψ(Ω_n)
【多重階層アッカーマン関数の大きさ】
・通常のアッカーマン関数（第1階層アッカーマン関数）の限界値が ω^2
・多変数アッカーマン関数（第2階層アッカーマン関数）の限界値が ω^ω
・多重リストアッカーマン関数（第3階層アッカーマン関数）の限界値が ε_0
・多重ブロックアッカーマン関数（第4階層アッカーマン関数）の限界値が ψ(Ω_ω)
第1階層 ω↑2=ω×ω=ω^2
第2階層 ω↑↑2=ω↑ω=ω^ω
第3階層 ω↑↑↑2=ω↑↑ω=ε_0
第4階層 ω↑↑↑↑2=ω↑↑↑ω=ψ(Ω_ω)
第n階層 ω↑^[n]2=ω↑^[n-1]ω
多重階層の限界値は ω↑^[ω]2=ω↑^[ω]ω=ω_0^CK
ω↑^[ω]ω はどんな加算、乗算、ベキ算、ハイパー演算、再帰演算を行っても変化しないかと
つまり演算不可能 お前ら生まれる前は精子と卵子だったわけだが今は一人の人間として自我があるよな。
父ちゃんと母ちゃんという宇宙の中の特別な精子と卵子という細胞が出会って人間に化けたわけだ。
この世界が本当に再帰的にできているなら今のこの人間という姿も宇宙に対する精子みたいなものなんじゃないか？
精子である人間とそれに対する卵子にあたる何かが出会うと新しい宇宙の自我が生まれるみたいな。 ω↑↑ωがε_0なのは理解できるけど
ω↑↑↑ωが良くわからん
どんな順序数なんだろう？ そもそもω↑↑ω↑↑ωが良くわからん
ω↑↑ω↑↑ω ＝ ω↑↑ε_0
となるから↑↑の定義から考えると
ω＾ω＾ω＾…ε_0個…＾ω＾ω
てことだから結局ε_0じゃね？とか思ったりする。 質問です
nが2以上の自然数の場合
以下はそれぞれどんな順序数になるんでしょうか？
(1) n+n+n+...ω回...+n
(2) ω+ω+ω+...n回...+ω
(3) ω+ω+ω+...ω回...+ω
(4) n+n+n+...ε_0回...+n
(5) ε_0+ε_0+ε_0+...n回...+ε_0
(6) ω+ω+ω+...ε_0回...+ω
(7) ε_0+ε_0+ε_0+...ω回...+ε_0
(8) ε_0+ε_0+ε_0+...ε_0回...+ε_0
(9) n×n×n×...ω回...×n
(10) ω×ω×ω×...n回...×ω
(11) ω×ω×ω×...ω回...×ω
(12) n×n×n×...ε_0回...×n
(13) ε_0×ε_0×ε_0×...n回...×ε_0
(14) ω×ω×ω×...ε_0回...×ω
(15) ε_0×ε_0×ε_0×...ω回...×ε_0
(16) ε_0×ε_0×ε_0×...ε_0回...×ε_0
(17) n^n^n^...ω回...^n
(18) ω^ω^ω^...n回...^ω
(19) ω^ω^ω^...ω回...^ω
(20) n^n^n^...ε_0回...^n
(21) ε_0^ε_0^ε_0^...n回...^ε_0
(22) ω^ω^ω^...ε_0回...^ω
(23) ε_0^ε_0^ε_0^...ω回...^ε_0
(24) ε_0^ε_0^ε_0^...ε_0回...^ε_0 たとえばテトレーションの定義はx↑↑0=1をbase caseとして
x↑↑succ(y)=x↑(x↑↑y)
だけで考えると
x↑↑ω
が定義不能
順序数まで拡張するなら右側が極限の場合の処理を新たに考えないとだめね >>702
テトレーションの右辺が極限の場合は定義不能ですか
すると>>701はそれぞれこうなるんですかね
(1) ω
(2) ω×n
(3) ω^2
(4) ε_0
(5) ε_0×n
(6) ε_0
(7) ε_0×ω
(8) ε_0^2
(9) ω
(10) ω^n
(11) ω^ω
(12) ε_0
(13) ε_0^n
(14) ε_0
(15) ε_0^ω
(16) ε_0^ε_0
(17) 定義不能
(18) ω↑↑n
(19) ε_0
(20) 定義不能
(21) ε_0↑↑n
(22) 定義不能
(23) ε_1
(24) 定義不能 定義不能というより決定不能といったほうが正しかったか
遅いから寝る そうですね
定義はしようと思えばできますもんね
ありがとうございます
おやすみなさい だいたい完備化する方向で補完するのが普通っぽい(？)から、αを極限順序数として単純に
a↑↑α[n]
の極限をとればいいだろう。
でもこの考えかただとテトレーション以降が順序数的に意味をなさないし、素直にOCFを使おうということになる 順序数的に意味をなさないというのは
順序を付けられないものになってしまうといううことですね
結局クヌースの矢印に順序数の適用はやめた方がいいわけですね 3変数アッカーマン風順序数
A(0)=ω
A(a+1)=A(a)+ω
A(0,0)=A(ω)
A(a+1,0)=A(A(a,0))
A(0,b+1)=A(ω,b)
A(a+1,b+1)=A(A(a+1,b),b)
A(0,0,0)=A(ω,ω)
A(a+1,0,0)=A(A(a,0,0),A(a,0,0))
A(0,b+1,c)=A(ω,b,c)
A(a+1,b+1,c)=A(A(a,b+1,c),b,c)
A(0,0,c+1)=A(ω,ω,c)
A(a+1,0,c+1)=A(A(a,0,c+1),A(a,0,c+1),c)
多変数アッカーマン風順序数
A(0)=ω
A(a+1)=A(a)+ω
A(0#n+2)=A(ω#n+1)
A(0#n+1,b+1,X)=A(ω#n+1,b,X)
A(a+1,0#n,b+1,X)=A(A(a,0#n,b+1,X)#n+1,b,X) >>709
多変数アッカーマン風順序数はこれが抜けてた
A(a+1,0#n+1)=A(A(a,0#n+1)#n+1) 多重リストの関数を再帰定義で作ってみたが複雑になってしまうな。
a,b,c,m,n,x,y,z := 0以上の整数
X := 0個以上の0以上の整数、セパレータは前置の物
Y := 0個以上の0以上の整数、セパレータは任意
()内の[x] := 番号付きセパレータ、番号が小さいほど結合度が強い
例： (a[0]b[0]c[1]x[0]y) → ((a[0]b[0]c)[1](x[0]y))
a[x]#b := b個のa、セパレータは[x]
例： (a[0]#3) → (a[0]a[0]a)
@ := 左辺の[a,b+1]を[a,b]に置き換えた物
例： A[a,b+1](0[0]0)=A[@,@](@) → A[a,b+1](0[0]0)=A[A[a,b](0[0]0),A[a,b](0[0]0)](A[a,b](0[0]0))
A[a,0]()=a+1
A[a,b+1]()=@+1
A[a,0](0[0]#n+1[z+1]Y)=A[a,a](a[0]#n[z+1]Y)
A[a,b+1](0[0]#n+1[z+1]Y)=A[@,@](@[0]#n[z+1]Y)
A[a,0](0[0]#n[0]c+1[0]X[z+1]Y)=A[a,a](a[0]#n[0]c[0]X[z+1]Y)
A[a,b+1](0[0]#n[0]c+1[0]X[z+1]Y)=A[@,@](@[0]#n[0]c[0]X[z+1]Y)
A[a,0](0[x+1]#n+2[x+z+2]Y)=A[a,a](a[x]#a[x+1]#n+1[x+z+2]Y)
A[a,b+1](0[x+1]#n+2[x+z+2]Y)=A[@,@](@[x]#@[x+1]#n+1[x+z+2]Y)
A[a,0](0[x+y+2]#n+2[y+1]0[y+1]#m+2[y+z+2]Y)=A[a,a](a[x+y+1]#a[x+y+2]#n+2[y+1]a[y]#a[y+1]#m+1[y+z+2]Y)
A[a,b+1](0[x+y+2]#n+2[y+1]0[y+1]#m+2[y+z+2]Y)=A[@,@](@[x+y+1]#@[x+y+2]#n+2[y+1]@[y]#@[y+1]#m+1[y+z+2]Y)
A[a,0](0[x+y+2]#n+2[y+1]0[y+1]#n[y+1]c+1[y+1]X[y+z+2]Y)=A[a,a](a[x+y+1]#a[x+y+2]#n+2[y+1]a[y]#a[y+1]#n[y+1]c[y+1]X[y+z+2]Y)
A[a,b+1](0[x+y+2]#n+2[y+1]0[y+1]#m[y+1]c+1[y+1]X[y+z+2]Y)=A[@,@](@[x+y+1]#@[x+y+2]#n+2[y+1]@[y]#@[y+1]#m[y+1]c[y+1]X[y+z+2]Y) 多重リストの関数を再帰定義。
一部修正と見通し変更をしてみた。
多重リストアッカーマンに興味ある人には需要あるかなと思った。
アッカーマン関数じゃ無いので関数名を変更した。
a,b,c,m,n,x,y,z := 0以上の整数
X := 0個以上の0以上の整数、セパレータは前置の物
例： (a[1]X) Xがx,y,zの場合 → (a[1]x[1]y[1]z)
Y := 0個以上の0以上の整数、セパレータは任意
{x} := 番号付きセパレータ、番号が小さいほど結合度が強い
例： (a{0}b{0}c{1}x{0}y) → ((a{0}b{0}c){1}(x{0}y))
a{x}#b := b個のa、セパレータは{x}
例： (a{0}#3) → (a{0}a{0}a)
A := 左辺の[a,b+1]を[a,b]に置き換えた物
例： F[a,b+1](0{0}0) = F[A,A](A) → F[a,b+1](0{0}0) = F[F{a,b](0{0}0),F[a,b](0{0}0)}(F[a,b](0{0}0))
F := 関数名
F[a,0]() = a+1
F[a,b+1]() = A+1
F[a,0](0{0}#n+1{z+1}Y) = F[a,a](a{0}#n{z+1}Y)
F[a,b+1](0{0}#n+1{z+1}Y) = F[A,A](A{0}#n{z+1}Y)
F[a,0](0{0}#n{0}c+1{0}X{z+1}Y) = F[a,a](a{0}#n{0}c{0}X{z+1}Y)
F[a,b+1](0{0}#n{0}c+1{0}X{z+1}Y) = F[A,A](A{0}#n{0}c{0}X{z+1}Y)
F[a,0](0{x+1}#n+2{x+z+2}Y) = F[a,a](a{x}#a{x+1}#n+1{x+z+2}Y)
F[a,b+1](0{x+1}#n+2{x+z+2}Y) = F[A,A](A{x}#A{x+1}#n+1{x+z+2}Y)
F[a,0](0{x+1}#n+1{x+1}c+1{x+1}X{x+z+2}Y) = F[a,a](a{x}#a{x+1}#n+1{x+1}c{x+1}X{x+z+2}Y)
F[a,b+1](0{x+1}#n+1{x+1}c+1{x+1}X{x+z+2}Y) = F[A,A](A{x}#A{x+1}#n+1{x+1}c{x+1}X{x+z+2}Y)
F[a,0](0{x+y+2}#n+2{y+1}0{y+1}#m+2{y+z+2}Y) = F[a,a](a{x+y+1}#a{x+y+2}#n+2{y+1}a{y}#a{y+1}#m+1{y+z+2}Y)
F[a,b+1](0{x+y+2}#n+2{y+1}0{y+1}#m+2{y+z+2}Y) = F[A,A](A{x+y+1}#A{x+y+2}#n+2{y+1}A{y}#A{y+1}#m+1{y+z+2}Y)
F[a,0](0{x+y+2}#n+2{y+1}0{y+1}#n{y+1}c+1{y+1}X{y+z+2}Y) = F[a,a](a{x+y+1}#a{x+y+2}#n+2{y+1}a{y}#a{y+1}#n{y+1}c{y+1}X{y+z+2}Y)
F[a,b+1](0{x+y+2}#n+2{y+1}0{y+1}#m{y+1}c+1{y+1}X{y+z+2}Y) = F[A,A](A{x+y+1}#A{x+y+2}#n+2{y+1}A{y}#A{y+1}#m{y+1}c{y+1}X{y+z+2}Y) セパレータに多重リストを入れ子で定義できたら呼んでください >>713
解析してみたけどω^ω^ωの強さでしか無いみたい
セパレータの入子を繰り返してもε_0が限界みたいだね
F[n,0]() = f[0](n) ← n+1
F[n,0](0) ≒ f[1](n) ← 2×(n+1)-1
F[n,0](1) ≒ f[2](n) ← 2^(n+1)×(n+1)-1
F[n,0](2) ≒ f[3](n)
F[n,0](3) ≒ f[4](n)
F[n,0](0{0}0) ≒ f[ω](n)
F[n,0](1{0}0) ≒ f[ω+1](n)
F[n,0](2{0}0) ≒ f[ω+2](n)
F[n,0](0{0}1) ≒ f[ω×2](n)
F[n,0](1{0}1) ≒ f[ω×2+1](n)
F[n,0](0{0}2) ≒ f[ω×3](n)
F[n,0](0{0}3) ≒ f[ω×4](n)
F[n,0](0{0}0{0}0) ≒ f[ω^2](n)
F[n,0](1{0}0{0}0) ≒ f[ω^2+1](n)
F[n,0](0{0}1{0}0) ≒ f[ω^2+ω](n)
F[n,0](1{0}1{0}0) ≒ f[ω^2+ω+1](n)
F[n,0](0{0}0{0}1) ≒ f[ω^2×2](n)
F[n,0](0{0}0{0}2) ≒ f[ω^2×3](n)
F[n,0](0{0}0{0}0{0}0) ≒ f[ω^3](n)
F[n,0](0{0}0{0}0{0}0{0}0) ≒ f[ω^4](n)
F[n,0](0{1}0) ≒ f[ω^ω](n) ←多変数の限界
F[n,0](1{1}0) ≒ f[ω^ω+1](n)
F[n,0](0{0}0{1}0) ≒ f[ω^ω+ω](n)
F[n,0](0{0}0{0}0{1}0) ≒ f[ω^ω+ω^2](n)
F[n,0](0{1}1) ≒ f[ω^ω×2](n)
F[n,0](0{1}2) ≒ f[ω^ω×3](n)
F[n,0](0{1}0{0}0) ≒ f[ω^(ω+1)](n)
F[n,0](0{1}1{0}0) ≒ f[ω^(ω+1)+ω^ω](n)
F[n,0](0{1}2{0}0) ≒ f[ω^(ω+1)+ω^ω×2](n)
F[n,0](0{1}0{0}1) ≒ f[ω^(ω+1)×2](n)
F[n,0](0{1}0{0}0{0}0) ≒ f[ω^(ω+2)](n)
F[n,0](0{1}0{0}0{0}0{0}0) ≒ f[ω^(ω+3)](n)
F[n,0](0{1}0{1}0) ≒ f[ω^(ω×2)](n)
F[n,0](1{1}0{1}0) ≒ f[ω^(ω×2)+1](n)
F[n,0](0{0}0{1}0{1}0) ≒ f[ω^(ω×2)+ω](n)
F[n,0](0{0}0{0}0{1}0{1}0) ≒ f[ω^(ω×2)+ω^2](n) F[n,0](0{1}1{1}0) ≒ f[ω^(ω×2)+ω^ω](n)
F[n,0](0{1}2{1}0) ≒ f[ω^(ω×2)+ω^ω×2](n)
F[n,0](0{1}0{0}0{1}0) ≒ f[ω^(ω×2)+ω^(ω+1)](n)
F[n,0](0{1}0{0}0{0}0{1}0) ≒ f[ω^(ω×2)+ω^(ω+2)](n)
F[n,0](0{1}0{1}1) ≒ f[ω^(ω×2)×2](n)
F[n,0](0{1}0{1}2) ≒ f[ω^(ω×2)×3](n)
F[n,0](0{1}0{1}0{0}0) ≒ f[ω^(ω×2+1)](n)
F[n,0](0{1}0{1}0{0}0{0}0) ≒ f[ω^(ω×2+2)](n)
F[n,0](0{1}0{1}0{1}0) ≒ f[ω^(ω×3)](n)
F[n,0](0{1}0{1}0{1}0{1}0) ≒ f[ω^(ω×4)](n)
F[n,0](0{2}0) ≒ f[ω^ω^2](n)
F[n,0](0{3}0) ≒ f[ω^ω^3](n)
F[n,0](0{0{0}0}0) ≒ f[ω^ω^ω](n) ←多重リストの限界
F[n,0](1{0{0}0}0) ≒ f[ω^ω^ω+1](n)
F[n,0](0{0}0{0{0}0}0) ≒ f[ω^ω^ω+ω](n)
F[n,0](0{1}0{0{0}0}0) ≒ f[ω^ω^ω+ω^ω](n)
F[n,0](0{2}0{0{0}0}0) ≒ f[ω^ω^ω+ω^ω^2](n)
F[n,0](0{0{0}0}1) ≒ f[ω^ω^ω×2](n)
F[n,0](0{0{0}0}0{0}0) ≒ f[ω^(ω^ω+1)](n)
F[n,0](0{0{0}0}0{1}0) ≒ f[ω^(ω^ω+ω)](n)
F[n,0](0{0{0}0}0{2}0) ≒ f[ω^(ω^ω+ω^2)](n)
F[n,0](0{0{0}0}0{0{0}0}0) ≒ f[ω^(ω^ω×2)](n)
F[n,0](0{0{0}0}0{0{0}0}0{0{0}0}0) ≒ f[ω^(ω^ω×3)](n)
F[n,0](0{1{0}0}0) ≒ f[ω^ω^(ω+1)](n)
F[n,0](0{2{0}0}0) ≒ f[ω^ω^(ω+2)](n)
F[n,0](0{0{0}1}0) ≒ f[ω^ω^(ω×2)](n)
F[n,0](0{0{0}2}0) ≒ f[ω^ω^(ω×3)](n)
F[n,0](0{0{0}0{0}0}0) ≒ f[ω^ω^ω^2](n)
F[n,0](0{0{0}0{0}0{0}0}0) ≒ f[ω^ω^ω^3](n)
F[n,0](0{0{1}0}0) ≒ f[ω^ω^ω^ω](n) ←多重リストのセパレータの多変数化の限界 F[n,0](1{0{1}0}0) ≒ f[ω^ω^ω^ω+1](n)
F[n,0](0{0}0{0{1}0}0) ≒ f[ω^ω^ω^ω+ω](n)
F[n,0](0{1}0{0{1}0}0) ≒ f[ω^ω^ω^ω+ω^ω](n)
F[n,0](0{0{0}0}0{0{1}0}0) ≒ f[ω^ω^ω^ω+ω^ω^ω](n)
F[n,0](0{0{1}0}1) ≒ f[ω^ω^ω^ω×2](n)
F[n,0](0{0{1}0}0{0}0) ≒ f[ω^(ω^ω^ω+1)](n)
F[n,0](0{0{1}0}0{1}0) ≒ f[ω^(ω^ω^ω+ω)](n)
F[n,0](0{0{1}0}0{2}0) ≒ f[ω^(ω^ω^ω+ω^2)](n)
F[n,0](0{0{1}0}0{0{0}0}0) ≒ f[ω^(ω^ω^ω+ω^ω)](n)
F[n,0](0{0{1}0}0{0{0}0}0{0{0}0}0) ≒ f[ω^(ω^ω^ω+ω^ω×2)](n)
F[n,0](0{0{1}0}0{1{0}0}0) ≒ f[ω^(ω^ω^ω+ω^(ω+1))](n)
F[n,0](0{0{1}0}0{0{0}1}0) ≒ f[ω^(ω^ω^ω+ω^(ω×2))](n)
F[n,0](0{0{1}0}0{0{0}0{0}0}0) ≒ f[ω^(ω^ω^ω+ω^ω^2)](n)
F[n,0](0{0{1}0}0{0{1}0}0) ≒ f[ω^(ω^ω^ω×2)](n)
F[n,0](0{0{1}0}0{0{1}0}0{0{1}0}0) ≒ f[ω^(ω^ω^ω×3)](n)
F[n,0](0{1{1}0}0) ≒ f[ω^ω^(ω^ω+1)](n)
F[n,0](0{0{1}1}0) ≒ f[ω^ω^(ω^ω×2)](n)
F[n,0](0{0{1}0{0}0}0) ≒ f[ω^ω^ω^(ω+1)](n)
F[n,0](0{0{1}0{0}0{0}0}0) ≒ f[ω^ω^ω^(ω+2)](n)
F[n,0](0{0{1}0{1}0}0) ≒ f[ω^ω^ω^(ω×2)](n)
F[n,0](0{0{2}0}0) ≒ f[ω^ω^ω^ω^2](n)
F[n,0](0{0{3}0}0) ≒ f[ω^ω^ω^ω^3](n)
F[n,0](0{0{0{0}0}0}0) ≒ f[ω^ω^ω^ω^ω](n) ←多重リストのセパレータの多重リスト化の限界
F[n,0](0{0{0{1}0}0}0) ≒ f[ω^ω^ω^ω^ω^ω](n)
F[n,0](0{0{0{0{0}0}0}0}0) ≒ f[ω^ω^ω^ω^ω^ω^ω](n) https:/twitter.com/aki_fx
ネトウヨ障害者ニホンザルヒトモドキ増長非人殺せ
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) 超限変数ヴェブレン関数をさらに拡張したやつってありますかね...? >>721
ヴェブレン関数のセパレータをカッコ括りの番号付きにしてネストできるようにすれば
順序数を崩壊させなくても大きな順序数を表現できるかもということか
φ(1[0]0)=φ(1,0,0,0,0,0,…)=ψ(Ω^ω)
自分は順序数崩壊関数を理解してないからこれ以上評価できないけど
誰か体系化してくれ いっそのこと超限変数ヴェブレン関数のセパレータを
ブーフホルツのヒドラとかY数列にすればいいかもよ 超限変数ヴェブレン関数の値とインデックスの組みを明示するセパレータを「[]」と表記する
例： φ(a[]8,b[]5,c[]0)=φ(a,0,0,b,0,0,0,0,c)
φ(1[]0)=φ(1)=ω
φ(1[]1)=φ(1,0)=ε_0
φ(2[]1)=φ(2,0)=ζ_0
φ(1[]2)=φ(1,0,0)=Γ_0
φ(1[]ω)=φ(1,0,0,0,0,0...)=SVO
φ(1[]φ(1[]φ(1[]...φ(1[]ω)...)))=LVO
値とインデックスの組みを明示するセパレータを新たに導入して
LVOを以下のように定義する
φ(1[0]0)=φ(1[]φ(1[]φ(1[]...φ(1[]ω)...)))=LVO
超限変数ヴェブレン関数で表現できなかった部分のブーフホルツのヒドラが
以下のように表現できる
([[[[]]]])=φ(1[0]0)
([[[[]]]][[[[]]]])=φ(1[0]0,1[]0)
([[[[]]]()])=φ(1[0]0,ω[]0)
([[[[]]][]])=φ(1[0]0,1[]1)
([[[[]]][][]])=φ(1[0]0,2[]1)
([[[[]]][()]])=φ(1[0]0,ω[]1)
([[[[]]][[]]])=φ(1[0]0,1[]2)
([[[[]]][[][]]])=φ(1[0]0,1[]3)
([[[[]]][[()]]])=φ(1[0]0,1[]ω)
([[[[]]][[[]]]])=φ(2[0]0)
([[[[]]()]])=φ(ω[0]0)
([[[[]][]]])=φ(1[0]1,1[0]0)
([[[[]][][]]])=φ(1[0]1,2[0]0)
([[[[]][()]]])=φ(1[0]1,ω[0]0)
([[[[]][[]]]])=φ(2[0]1)
([[[[]()]]])=φ(ω[0]1)
([[[[][]]]])=φ(1[0]2)
([[[[][][]]]])=φ(1[0]3)
([[[[()]]]])=φ(1[0]ω)
([[[[([[[[()]]]])]]]])=φ(1[0]φ(1[0]ω))
更に限界に達したら値とインデックスの組みを明示するセパレータを
新たに導入していけばいい
([[[[[]]]]])=φ(1[1]0)
ω個のセパレータがあれば超限変数ヴェブレン関数をBHOまで大きくできる 今更だけど前スレの944について
計算不能なほうの戦え数はZFCからのモデルの存在ベースで定義されてたはず
そしてサスカッチはplatonist universeとか哲学的実在論とか、なんか非形式的でプラトニズムに頼った定義、かどうかは知らんけどそういう慣例になっていたはず
その数学的プラトニズムからV=HODが独立しているとすれば、わざわざこれを課すのは弱体化になってる？
わかんね 数学的プラトニズムは対角化する言語に使うのであってメタ理論として課すものではなくて、
例えば戦え数はZFCからモデルの存在の否定ができないものの中で最小のものって定義になってるけど、
ラヨ数まわりではZFCのように具体的に記述できる理論ではなく、ずっと強い、そして強すぎて記述できないふわふわした理論のもとで定義する慣例になっているっぽいから、
戦え数でいう最小の値を決定するような、ZFCからは存在を否定できないモデルの存在が否定される(だろう)ことも考えられるから戦え数よりずっと強い
てことになるのか。
それはそれとしてサスカッチBIGFOOTと考え方あんま変わらん気がするけどどうなんだろ サスカッチはおそらくR(1)で、一階の集合論の言語に集合として（メタ側からVにおける真理値を使って）定義可能な関数なり真理述語なりを追加して定義可能な集合の集まり、
という考えでだからこそBIG FOOTやLittle bigeddonよりも強い、という考えなのかな。
巨大数庭園数のU(0)に似てるような >>607
巨大数庭園数のレギュレーションは知らんけど、Θでヘンキン拡大みたいなことやってるあたり同じような比較ができるかな
もしかしてサスカッチと同等の強さ？
サスカッチのもとの定義自体は循環の問題とかあるけど >>724
ブーフホルツのヒドラとY数列について詳しく >>730
ブーフホルツのヒドラは順序数崩壊関数のブーフホルツのψ関数と対応できるやつ
Y数列は原始数列に階差数列の考え方を取り入れたやつ
的な感じだったはず
適当でｽﾏｿ >>731
あざす
Y数列wiki見ても分からんからな。。 こないだ、近所の本屋で
新井敏康氏の「数学基礎論 増補版」
をみつけたので、ついつい買っちまった
出版社が東京大学出版会になってたんで
あれ？岩波書店じゃなかったっけ？
と思ったけど、変わったのね 一応超限変数ヴェブレン関数の拡張やってみたけど
普通に順序数崩壊関数の方が大きい順序数を表現できるし
定義も簡単そうだったからやめた。
一応BHOくらいまでは伸ばせるかもしれないけどそれ以降は俺には厳しそう。 今アッカーマン関数あたりを読んでるんだけど計算値より計算ステップの方が大きそう。
計算ステップ数を返す関数作って、アッカーマン関数を基礎とする関数を書き換えたらもっと巨大化しないの？ 大して大きさが変わらないのと、単に大きくするだけならA(x、y) {y+1 if x=0 の y+1 を y+2 にでもした方が簡単で増加率も大きい。
元の関数と追加システムの相乗効果を期待できないのなら、元の関数+1のほうがでかいと言ってるのと同じ扱いになる >>734
普通に伸ばすとρ関数問題に思いっきりぶち当たるからな
複雑化すると結局OCFとやること変わらなくなる 東方巨大数4やるらしいな
東方要素必須になってるのか… >>739
確か仏教かなんかの数でそれより大きい数はないみたいな感じだったか >>741
仏教ですか……以前検索したら、不可説不可説転よりさらに上があるという記事を見つけたのですが今は再度検索しても嘘のようにその記事が見つからなくてあれは何だったのだろうと…… SコンビネータとIコンビネータでどこまで強い関数ができる？ 超限多重リストヴェブレン関数というものを考えてみた
表記例
例1：φ(a1@8, a2@5, a3@0) = φ(a1, 0, 0, a2, 0, 0, 0, 0, a3)
例2：φ(a1@3@2, a2@4@1, a3@1@1, a4@0@0) = φ([a1, 0, 0, 0], [a2, 0, 0, a3, 0], [a4])
例3：φ(a1@2@0@2, a2@2@2@1, a3@0@2@1, a4@0@0@1, a5@3@1@0, a6@1@0@0) =
φ([[a1, 0, 0]], [[a2, 0, a3], [0], [a4]], [[a5, 0, 0, 0], [a6, 0]])
値@1番内側のインデックス@2番内側のインデックス@3番内側のインデックス@...
値0は省略する
φ([1], [0]) は、α=φ(1@α)が成り立つ最小の順序数(LVO)
φ([1], [1]) は、α=φ(1@α)が成り立つ2番目の順序数
φ([1], [2]) は、α=φ(1@α)が成り立つ3番目の順序数
φ([1], [ω]) は、α=φ(1@α)が成り立つω番目の順序数
φ([1], [φ([1], [ω])]) は、α=φ(1@α)が成り立つφ([1], [ω])番目の順序数
φ([1], [1, 0]) は、α=φ([1], [α])が成り立つ最小の順序数
φ([1], [1, 1]) は、α=φ([1], [α])が成り立つ2番目の順序数
φ([1], [1, ω]) は、α=φ([1], [α])が成り立つω番目の順序数
φ([1], [1, φ([1], [1, ω])]) は、α=φ([1], [α])が成り立つφ([1], [1, ω])番目の順序数
φ([1], [2, 0]) は、α=φ([1], [1, α])が成り立つ最小の順序数
φ([1], [ω, 0]) は、任意の非負整数mに対してα=φ([1], [m, α])が成り立つ最小の順序数
φ([1], [φ([1], [ω, 0]), 0]) は、任意の非負整数mに対してα=φ([1], [m, α])が成り立つφ([1], [ω, 0])番目の順序数
φ([1], [1, 0, 0]) は、α=φ([1], [α, 0])が成り立つ最小の順序数
φ([1], [1@3]) は、α=φ([1], [α, 0, 0])が成り立つ最小の順序数
φ([1], [1@ω]) は、φ([1], [0])以上において多変数で表せない最小の順序数
φ([1], [1@φ([1], [1@ω])]) は、φ([1], [0])以上において多変数で表せないφ([1], [1@ω])番目の順序数
φ([2], [0]) は、α=φ([1], [1@α])が成り立つ最小の順序数
φ([3], [0]) は、α=φ([2], [1@α])が成り立つ最小の順序数 ()=1
()()=2
(())=φ(1)
(())()=φ(1)+1
(())()()=φ(1)+2
(())(())=φ(1)×2
(())(())()=φ(1)×2+1
(()())=φ(2)
((()))=φ(φ(1))
((()))()=φ(φ(1))+1
((()))(())=φ(φ(1))+φ(1)
((()))((()))=φ(φ(1))×2
((())())=φ(φ(1)+1)
((())(()))=φ(φ(1)×2)
((()()))=φ(φ(2))
(((())))=φ(φ(φ(1)))
((((()))))=φ(φ(φ(φ(1))))
([])=φ(1,0)
([])()=φ(1,0)+1
([])(())=φ(1,0)+φ(1)
([])([])=φ(1,0)×2
([]())=φ(1,0)×φ(1)
([]()())=φ(1,0)×φ(2)
([](()))=φ(1,0)×φ(φ(1))
([]([]))=φ(1,0)^2
([]([])())=φ(1,0)^2×φ(1)
([]([])()())=φ(1,0)^2×φ(2)
([]([])(()))=φ(1,0)^2×φ(φ(1))
([]([])([]))=φ(1,0)^3
([]([]()))=φ(1,0)^φ(1)
([]([](())))=φ(1,0)^φ(φ(1))
([]([]([])))=φ(1,0)^φ(1,0)
([]([]([]([]))))=φ(1,0)^φ(1,0)^φ(1,0)
([][])=φ(1,1)
([][][])=φ(1,2)
([()])=φ(1,φ(1))
([()]())=φ(1,φ(1))×φ(1)
([()]()())=φ(1,φ(1))×φ(2)
([()](()))=φ(1,φ(1))×φ(φ(1))
([()]([]))=φ(1,φ(1))×φ(1,0) ([()]([]([])))=φ(1,φ(1))×φ(1,0)^2
([()]([]([]([]))))=φ(1,φ(1))×φ(1,0)^φ(1,0)
([()]([][]))=φ(1,φ(1))×φ(1,1)
([()]([][][]))=φ(1,φ(1))×φ(1,2)
([()]([()]))=φ(1,φ(1))^2
([()]([()]([()])))=φ(1,φ(1))^φ(1,φ(1))
([()][])=φ(1,φ(1)+1)
([()][][])=φ(1,φ(1)+2)
([()][()])=φ(1,φ(1)×2)
([()()])=φ(1,φ(2))
([(())])=φ(1,φ(φ(1)))
([([])])=φ(1,φ(1,0))
([([([])])])=φ(1,φ(1,φ(1,0)))
([[]])=φ(2,0)
([[]]())=φ(2,0)×φ(1)
([[]](()))=φ(2,0)×φ(φ(1))
([[]]([]))=φ(2,0)×φ(1,0)
([[]]([][]))=φ(2,0)×φ(1,1)
([[]]([()]))=φ(2,0)×φ(1,φ(1))
([[]]([([])]))=φ(2,0)×φ(1,φ(1,0))
([[]]([([([])])]))=φ(2,0)×φ(1,φ(1,φ(1,0)))
([[]]([[]]))=φ(2,0)^2
([[]]([[]]([[]])))=φ(2,0)^φ(2,0)
([[]][])=φ(1,φ(2,0)+1)
([[]][][])=φ(1,φ(2,0)+2)
([[]][()])=φ(1,φ(2,0)+φ(1))
([[]][([])])=φ(1,φ(2,0)+φ(1,0))
([[]][([[]])])=φ(1,φ(2,0))
([[]][([[]]())])=φ(1,φ(2,0)×φ(1))
([[]][([[]]([[]]))])=φ(1,φ(2,0)^2)
([[]][([[]]([[]]([[]])))])=φ(1,φ(2,0)^φ(2,0))
([[]][([[]][])])=φ(1,φ(1,φ(2,0)+1))
([[]][([[]][][])])=φ(1,φ(1,φ(2,0)+2))
([[]][([[]][()])])=φ(1,φ(1,φ(2,0)+φ(1)))
([[]][([[]][([])])])=φ(1,φ(1,φ(2,0)+φ(1,0)))
([[]][([[]][([[]])])])=φ(1,φ(1,φ(2,0)×2))
([[]][([[]][([[]]([[]]))])])=φ(1,φ(1,φ(2,0)^2))
([[]][([[]][([[]]([[]]([[]])))])])=φ(1,φ(1,φ(2,0)^φ(2,0)))
([[]][([[]][([[]][])])])=φ(1,φ(1,φ(1,φ(2,0)+1)))
([[]][[]])=φ(2,1) ([[]][[]][[]])=φ(2,2)
([[]()])=φ(2,φ(1))
([[]([])])=φ(2,φ(1,0))
([[]([[]])])=φ(2,φ(2,0))
([[]([[]]([[]]))])=φ(2,φ(2,φ(2,0)))
([[][]])=φ(3,0)
([[][][]])=φ(4,0)
([[()]])=φ(φ(1),0)
([[([])]])=φ(φ(1,0),0)
([[([[]])]])=φ(φ(2,0),0)
([[([[][]])]])=φ(φ(3,0),0)
([[([[()]])]])=φ(φ(φ(1),0),0)
([[([[([[()]])]])]])=φ(φ(φ(φ(1),0),0),0)
([[[]]])=φ(1,0,0)
([[[]]][[[]]])=φ(1,0,1)
([[[]]()])=φ(1,0,φ(1))
([[[]]([])])=φ(1,0,φ(1,0))
([[[]]([[]])])=φ(1,0,φ(2,0))
([[[]]([[[]]])])=φ(1,0,φ(1,0,0))
([[[]]([[[]]]([[[]]]))])=φ(1,0,φ(1,0,φ(1,0,0)))
([[[]][]])=φ(1,1,0)
([[[]][]][[[]][]])=φ(1,1,1)
([[[]][]()])=φ(1,1,φ(1))
([[[]][]([])])=φ(1,1,φ(1,0))
([[[]][]([[]])])=φ(1,1,φ(2,0))
([[[]][]([[[]]])])=φ(1,1,φ(1,0,0))
([[[]][]([[[]]][])])=φ(1,1,φ(1,1,0))
([[[]][]([[[]]][]([[[]]][]))])=φ(1,1,φ(1,1,φ(1,1,0)))
([[[]][][]])=φ(1,2,0)
([[[]][()]])=φ(1,φ(1),0)
([[[]][([])]])=φ(1,φ(1,0),0)
([[[]][([[]])]])=φ(1,φ(2,0),0)
([[[]][([[[]]])]])=φ(1,φ(1,0,0),0)
([[[]][([[[]]][])]])=φ(1,φ(1,1,0),0)
([[[]][([[[]]][()])]])=φ(1,φ(1,φ(1),0),0)
([[[]][([[[]]][([[[]]])])]])=φ(1,φ(1,φ(1,0,0),0),0)
([[[]][[]]])=φ(2,0,0)
([[[]][[]][[]]])=φ(3,0,0)
([[[]()]])=φ(φ(1),0,0)
([[[]([])]])=φ(φ(1,0),0,0) ([[[]([[]])]])=φ(φ(2,0),0,0)
([[[]([[[]]])]])=φ(φ(1,0,0),0,0)
([[[]([[[]][[]]])]])=φ(φ(2,0,0),0,0)
([[[]([[[]()])]])=φ(φ(φ(1),0,0),0,0)
([[[]([[[]([[[]]])])]])=φ(φ(φ(1,0,0),0,0),0,0)
([[[][]]])=φ(1,0,0,0)
([[[][]]][[[][]]])=φ(1,0,0,1)
([[[][]]()])=φ(1,0,0,φ(1))
([[[][]]([[[][]]])])=φ(1,0,0,φ(1,0,0,0))
([[[][]][]])=φ(1,0,1,0)
([[[][]][()]])=φ(1,0,φ(1),0)
([[[][]][([[[][]]])]])=φ(1,0,φ(1,0,0,0),0)
([[[][]][([[[][]][]])]])=φ(1,0,φ(1,0,1,0),0)
([[[][]][([[[][]][()]])]])=φ(1,0,φ(1,0,φ(1),0),0)
([[[][]][([[[][]][([[[][]]])]])]])=φ(1,0,φ(1,0,φ(1,0,0,0),0),0)
([[[][]][[]]])=φ(1,1,0,0)
([[[][]][[]][[]]])=φ(1,2,0,0)
([[[][]][[]()]])=φ(1,φ(1),0,0)
([[[][]][[]([[[][]][[]]])]])=φ(1,φ(1,1,0,0),0,0)
([[[][]][[]([[[][]][[]([[[][]][[]]])]])]])=φ(1,φ(1,φ(1,1,0,0),0,0),0,0)
([[[][]][[][]]])=φ(2,0,0,0)
([[[][]()]])=φ(φ(1),0,0,0)
([[[][]([[[][]]])]])=φ(φ(1,0,0,0),0,0,0)
([[[][]([[[][]([[[][]]])]])]])=φ(φ(φ(1,0,0,0),0,0,0),0,0,0)
([[[][][]]])=φ(1@4)
([[[][][][]]])=φ(1@5)
([[[()]]])=φ(1@φ(1))
([[[()]]][[[()]]])=φ(1@φ(1),1@0)
([[[()]]()])=φ(1@φ(1),φ(1)@0)
([[[()]]([[[()]]])])=φ(1@φ(1),φ(1@φ(1))@0)
([[[()]]([[[()]]()])])=φ(1@φ(1),φ(1@φ(1),φ(1)@0)@0)
([[[()]]([[[()]]([[[()]]])])])=φ(1@φ(1),φ(1@φ(1),φ(1@φ(1))@0)@0)
([[[()]][]])=φ(1@φ(1),1@1)
([[[()]][][]])=φ(1@φ(1),2@1)
([[[()]][()]])=φ(1@φ(1),φ(1)@1)
([[[()]][([[[()]]])]])=φ(1@φ(1),φ(1@φ(1))@1)
([[[()]][[]]])=φ(1@φ(1),1@2)
([[[()]][[]][[]]])=φ(1@φ(1),2@2)
([[[()]][[]()]])=φ(1@φ(1),φ(1)@2)
([[[()]][[]([[[()]]])]])=φ(1@φ(1),φ(1@φ(1))@2) ([[[()]][[][]]])=φ(1@φ(1),1@3)
([[[()]][[][][]]])=φ(1@φ(1),1@4)
([[[()]][[()]]])=φ(2@φ(1))
([[[()]][[()]][[()]]])=φ(3@φ(1))
([[[()]()]])=φ(φ(1)@φ(1))
([[[()]([[[()]]])]])=φ(φ(1@φ(1))@φ(1))
([[[()][]]])=φ(1@φ(1)+1)
([[[()][][]]])=φ(1@φ(1)+2)
([[[()][()]]])=φ(1@φ(1)×2)
([[[()()]]])=φ(1@φ(2))
([[[(())]]])=φ(1@φ(φ(1)))
([[[([])]]])=φ(1@φ(1,0))
([[[([[[()]]])]]])=φ(1@φ(1@φ(1)))
([[[([[[([[[()]]])]]])]]])=φ(1@φ(1@φ(1@φ(1@φ(1)))))
([[[[]]]])=φ([1],[0])
([[[[]]]][[[[]]]])=φ([1],[1])
([[[[]]]()])=φ([1],[φ(1)])
([[[[]]]([[[[]]]])])=φ([1],[φ([1],[0])])
([[[[]]][]])=φ([1],[1,0])
([[[[]]][][]])=φ([1],[2,0])
([[[[]]][()]])=φ([1],[φ(1),0])
([[[[]]][([[[[]]]])]])=φ([1],[φ([1],[0]),0])
([[[[]]][[]]])=φ([1],[1,0,0])
([[[[]]][[]][]])=φ([1],[1,1,0])
([[[[]]][[]][][]])=φ([1],[1,2,0])
([[[[]]][[]][()]])=φ([1],[1,2,0])
([[[[]]][[]][[]]])=φ([1],[2,0,0])
([[[[]]][[]()]])=φ([1],[φ(1),0,0])
([[[[]]][[][]]])=φ([1],[1@3])
([[[[]]][[][][]]])=φ([1],[1@4])
([[[[]]][[()]]])=φ([1],[1@φ(1)])
([[[[]]][[()]]][[[[]]][[()]]])=φ([1],[1@φ(1),1@0])
([[[[]]][[()]]()])=φ([1],[1@φ(1),φ(1)@0])
([[[[]]][[()]][]])=φ([1],[1@φ(1),1@1])
([[[[]]][[()]][][]])=φ([1],[1@φ(1),2@1])
([[[[]]][[()]][()]])=φ([1],[1@φ(1),φ(1)@1])
([[[[]]][[()]][[]]])=φ([1],[1@φ(1),1@2])
([[[[]]][[()]][[]][[]]])=φ([1],[1@φ(1),2@2])
([[[[]]][[()]][[]()]])=φ([1],[1@φ(1),φ(1)@2])
([[[[]]][[()]][[][]]])=φ([1],[1@φ(1),1@3]) ([[[[]]][[()]][[][][]]])=φ([1],[1@φ(1),1@4])
([[[[]]][[()]][[()]]])=φ([1],[2@φ(1)])
([[[[]]][[()]()]])=φ([1],[φ(1)@φ(1)])
([[[[]]][[()][]]])=φ([1],[1@φ(1)+1])
([[[[]]][[()][][]]])=φ([1],[1@φ(1)+2])
([[[[]]][[()][()]]])=φ([1],[1@φ(1)×2])
([[[[]]][[()()]]])=φ([1],[1@φ(2)])
([[[[]]][[(())]]])=φ([1],[1@φ(φ(1))])
([[[[]]][[([])]]])=φ([1],[1@φ(1,0)])
([[[[]]][[([[[[]]][[()]]])]]])=φ([1],[1@φ([1],[1@φ(1)])])
([[[[]]][[[]]]])=φ([2],[0])
([[[[]]][[[]]]][[[[]]][[[]]]])=φ([2],[1])
([[[[]]][[[]]]()])=φ([2],[φ(1)])
([[[[]]][[[]]][]])=φ([2],[1,0])
([[[[]]][[[]]][][]])=φ([2],[2,0])
([[[[]]][[[]]][()]])=φ([2],[φ(1),0])
([[[[]]][[[]]][[]]])=φ([2],[1,0,0])
([[[[]]][[[]]][[]]()])=φ([2],[1,0,φ(1)])
([[[[]]][[[]]][[]][]])=φ([2],[1,1,0])
([[[[]]][[[]]][[]][][]])=φ([2],[1,2,0])
([[[[]]][[[]]][[]][()]])=φ([2],[1,φ(1),0])
([[[[]]][[[]]][[]][[]]])=φ([2],[2,0,0])
([[[[]]][[[]]][[]()]])=φ([2],[φ(1),0,0])
([[[[]]][[[]]][[][]]])=φ([2],[1@3])
([[[[]]][[[]]][[][][]]])=φ([2],[1@4])
([[[[]]][[[]]][[()]]])=φ([2],[1@φ(1)])
([[[[]]][[[]]][[[]]]])=φ([3],[0])
([[[[]]()]])=φ([φ(1)],[0])
([[[[]][]]])=φ([1,0],[0])
([[[[]][][]]])=φ([2,0],[0])
([[[[]][()]]])=φ([φ(1),0],[0])
([[[[]][[]]]])=φ([1,0,0],[0])
([[[[]][[]][[]]]])=φ([2,0,0],[0])
([[[[]()]]])=φ([φ(1),0,0],[0])
([[[[][]]]])=φ([1@3],[0])
([[[[][][]]]])=φ([1@4],[0])
([[[[()]]]])=φ([1@φ(1)],[0])
([[[[[]]]]])=φ([1],[0],[0])
([[[[[[]]]]]])=φ([1],[0],[0],[0])
({})=φ([1]@φ(1)) ↑ ブーフホルツのヒドラと超限多重リストヴェブレン関数を対応づけしてみた
SVO=φ(1@φ(1))=φ(1@φ(1)@0)
LVO=φ([1]@1)=φ(1@0@1)
BHO=φ([1]@φ(1))=φ(1@0@φ(1)) 1種類の括弧だけでψ(Ω_Ω)まで表現できるのかもしれない。
[] ＝ 1
[][] ＝ 2
[][[]] ＝ ω
[][[]][] ＝ ω+1
[][[]][][[]] ＝ ω×2
[][[]][[]] ＝ ω^2
[][[]][[][]] ＝ ω^ω
[][[][]] ＝ ε_0
[][[][]][][[][]] ＝ ε_0×2
[][[][]][[]] ＝ ε_0×ω
[][[][]][[]][[][][]] ＝ ε_0^2
[][[][]][[]][[][][]][[][]][[][][][]] ＝ ε_0^ε_0
[][[][]][[][]] ＝ ε_1
[][[][]][[][][]] ＝ ε_ω
[][[][]][[][][]][[][][][][]] ＝ ε_ε_0
[][[][]][[][][][]] ＝ ζ_0
[][[][]][[][][][]][[][][][]] ＝ φ(3,0)
[][[][]][[][][][]][[][][][][][]] ＝ Γ_0
[][[][][]] ＝ ψ(Ω_2)
[][[][][][]] ＝ ψ(Ω_3)
[][[][[]]] ＝ ψ(Ω_ω)
[][[][[][]]] ＝ ψ(Ω_ε_0)
[][[][[][][]]] ＝ ψ(Ω_ψ(Ω_2))
[][[][[][][][]]] ＝ ψ(Ω_ψ(Ω_3))
[][[][[][[]]]] ＝ ψ(Ω_ψ(Ω_ω))
[][[][[][[][[]]]]] ＝ ψ(Ω_ψ(Ω_ψ(Ω_ω))) 宣伝失礼します。
名もなき巨大数研究掲示板というところで名もなき巨大数コンテストというのをやっています。
https://docs.google.com/document/d/1seNqd88KmigZgruCGg_GuUsOTmtAVrtY0dSx_to1sP4/
掲示板に匿名で投稿もできるのでよろしければ参加検討してみてください♪
巨大数界隈最近はツイッター勢の勢力が強いですが、ぜひ偉大なる匿名勢のパワーを見せつけちゃいましょう！ >>752
あらゆる可算順序数を（括弧と言わず）1種類の記号だけで表現する方法は当然あるぞ >>754
互いに素になる２つの一進数の整数を有理数に見立てるとかですね あらゆる再帰的でない可算順序数を
表現する方法とか当然無いでしょ。 [を1、]を0に見立てた二進数の個数だけ棒を並べれば簡単に記号一種類になる
[] ＝ 10 ＝ ||
[][] ＝ 1010 ＝ ||||||||||
[][[]] ＝ 101100 ＝ |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| あらゆる「加算順序数を表現する方法」ってことなのね
「あらゆる加算順序数」を表現する方法だと思ってびっくりした よく分かんないけどω^2 + ωとかは可算順序数じゃない
という扱いなの？ >>760
いや、それも可算順序数
>>752 が1からψ(Ω_Ω)までの表現方法の例を示したから
括弧だけでψ(Ω_Ω)までの可算順序数の表現が仮にできたとしても
ψ(Ω_Ω)以上の可算順序数はそれだけじゃ表現できないでしょってこと
必然的に>>757 もψ(Ω_Ω)までしか表せないよねってこと
しかし良く考えたら記号1種類だと構造が無くなるから
記号がω個を超えるパターンは全て区別が付かなくなるよね >>633
亀レスだけど量化をするのにF'⊂Fの条件はいらんのでは 順序対の定義をいじって
(a,b):={{a},{a{b}}}
として、これを利用すれば
ψ_a(ψ_b(0+A)+B)+C=((a)(a(b)A)B)C
と表現できるので、添字付きでもひと種類の括弧にできます
構造も(恐らくですが)よく見れば判別できると思います ψ_a(0+A)+B -> ((a)(a(A)))B 765に則ると、ブーフホルツのψなら
ψ_0(0)=(()(()))
ε_0=ψ_0(ψ_ψ_0(0)(0))
=(()(((((()(())))((()(()))())))))
か、恐ろしくグロいな 巨大数界でもSDGs(Sugoi Defined na Googologisms)が流行るべき 定義が短くて分かりやすくかつできるだけ大きな巨大数ちょうだい ほい( ・ω・)ノ⌒
最大のメルセンヌ素数
最小の奇数の完全数 それが存在することを分かりやすく説明してくれ
話はそれからな(/・ω・)/ ⌒ほいっ ネタはさておき、定義の簡単な巨大数ってもう代わりにwell definedにするための理論がめちゃ強かったり証明がめちゃ難しかったりするものしか残ってないかな？ そうだと思う
簡単な定義で複雑な挙動をする巨大数には、そこに明文化されてない非自明な性質が数多く含まざるをえないだろうし
量も膨大になってきて「飛ばし飛ばし計算してみたけれど何となく無限ループはなさそう」ですまなくなってきた グッドスタイン関数は定義簡単だし、全域性の証明も分かりやすくて良いと思う
これより大きくて証明が難しくないのを挙げるとしたら何がいいだろうか？ 遺伝的記法を使わずにグッドスタイン関数を定義してみた
f(k,0,i) = 0
f(k,n,i) = f(k, [n/k], i+1) + (k+1)^{f(k, i, 0)}(n mod k)
g(k,0) = k
g(k,n) = g(k+1, f(k+1, n, 0) - 1)
G(n) = g(1, n) 原始数列数にはレベルがあって通常の原始数列や
その拡張のハイパー原始数列はレベル1の大きさなのだと思う
ちなみにレベル0の原始数列は、数列の先頭に0が付かないパターンで
レベル1の原始数列で0と1だけで表現できる大きさしかない
逆に先頭に0を2つ付けるパターンにすればレベル2の原始数列になって
レベル1の原始数列の限界の大きさまで0と1だけで表現できる
そうやって先頭に0を3つ、4つとつけていけばレベル3、レベル4の
大きさの原始数列になっていき先頭に0がω個付くと
計算不可能領域に飛び込むんじゃなかろうか
【レベル0の原始数列】
()=0
(0)=1
(0,0)=2
(0,0,0)=3
(1)=ω
(1,0)=ω+1
(1,0,0)=ω+2
(1,1)=ω×2
(1,1,0)=ω×2+1
(1,1,0,0)=ω×2+2
(1,1,1)=ω×3
(1,1,1,1)=ω×4
(2)=ω^2
(2,0)=ω^2+1
(2,1)=ω^2+ω
(2,2)=ω^2×2
(2,2,2)=ω^2×3
(3)=ω^3
(4)=ω^4
(ω)=ω^ω 【レベル1の原始数列】
()=0
(0)=1
(0,0)=2
(0,0,0)=3
(0,1)=ω
(0,1,0)=ω+1
(0,1,0,0)=ω+2
(0,1,0,1)=ω×2
(0,1,0,1,0)=ω×2+1
(0,1,0,1,0,0)=ω×2+2
(0,1,0,1,0,1)=ω×3
(0,1,0,1,0,1,0,1)=ω×4
(0,1,1)=ω^2
(0,1,1,0)=ω^2+1
(0,1,1,0,1)=ω^2+ω
(0,1,1,0,1,1)=ω^2×2
(0,1,1,0,1,1,0,1,1)=ω^2×3
(0,1,1,1)=ω^3
(0,1,1,1,1)=ω^4
(0,1,2)=ω^ω ←レベル0が超えられない壁
(0,1,2,3)=ω^ω^ω
(0,1,2,3,4)=ω^ω^ω^ω
(0,2)=ψ(Ω)=ε_0
(0,3)=ψ(Ω_2)
(0,4)=ψ(Ω_3)
(0,ω)=ψ(Ω_ω) 【レベル2の原始数列】
()=0
(0)=1
(0,0)=2
(0,0,0)=3
(0,0,1)=ω
(0,0,1,0)=ω+1
(0,0,1,0,0)=ω+2
(0,0,1,0,0,1)=ω×2
(0,0,1,0,0,1,0)=ω×2+1
(0,0,1,0,0,1,0,0)=ω×2+2
(0,0,1,0,0,1,0,0,1)=ω×3
(0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1)=ω×4
(0,0,1,0,1)=ω^2
(0,0,1,0,1,0)=ω^2+1
(0,0,1,0,1,0,0,1)=ω^2+ω
(0,0,1,0,1,0,0,1,0,1)=ω^2×2
(0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1)=ω^2×3
(0,0,1,0,1,0,1)=ω^3
(0,0,1,0,1,0,1,0,1)=ω^4
(0,0,1,0,1,0,1,1)=ω^ω
(0,0,1,0,1,0,1,1,0,1,1,1)=ω^ω^ω
(0,0,1,0,1,0,1,1,0,1,1,1,0,1,1,1,1)=ω^ω^ω^ω
(0,0,1,1)=ψ(Ω)=ε_0
(0,0,1,1,1)=ψ(Ω_2)
(0,0,1,1,1,1)=ψ(Ω_3)
(0,0,1,1,2)=ψ(Ω_ω) ←レベル1が超えられない壁
(0,0,1,1,2,2,3)=ψ(Ω_ψ(Ω_ω))
(0,0,1,1,2,2,3,3,4)=ψ(Ω_ψ(Ω_ψ(Ω_ω)))
(0,0,2)=ψ(Ω_Ω)
(0,0,2,2)=ψ(Ω_Ω_Ω)
(0,0,3)=ψ(Ω_Ω_Ω_Ω)
(0,0,3,3)=ψ(Ω_Ω_Ω_Ω_Ω)
(0,0,ω)=ψ(M) 展開規則が過不足なく与えられれば強いけど場合分けがかなり面倒そう 各項の数だけ1をかいて0で区切るってやつを前ツイッターで見た気がする (0,{0,1,0},1)[0]=(0,{0,1,0})
(0,{0,1,0},1)[1]=(0,{0,1,0},{0,1,0})
(0,{0,1,0},1)[2]=(0,{0,1,0},{0,1,0},{0,1,0})
(0,{0,1,0,1,0},1)[0]=(0,{0,1,0,1,0})
(0,{0,1,0,1,0},1)[1]=(0,{0,1,0,1,0},{0,1,0,1,0})
(0,{0,1,0,1,0},1)[2]=(0,{0,1,0,1,0},{0,1,0,1,0},{0,1,0,1,0})
と考えると気持ちがいい ε０とSVOとψ(Ω_ω)の表記がやけに多い気がする >>764
ψ_a(b) を (a)(b) にすればうまくいく気がする。ブーフホルツで
()() = 1 = ψ0(0)
()()()()
()()()()()()
()(()())
()(()())()(()())
()(()())()(()())()(()())
()(()()()())
()(()()()()()())
()(()(()()))
()(()(()(()())))
()((()())()) = ε０ = ψ0(ψ1(0))
()(((...)())()) = 可算極限 囲碁の局面の総数が3^361なので、
3^27=3↑↑3 より大きくテトレーションレベルのスケールが現れる物理現象と言えそうですかね 歯車を適当に組み合わせれば、現実的な大きさで入出力の回転速度比がグーゴルになるような変速機を構成できるらしい より正確には
208168199381979984699478633344862770286522453884530548425639456820927419612738015378525648451698519643907259916015628128546089888314427129715319317557736620397247064840935
らしいです 著者が明確でかつ著作が(盗作や悪質な剽窃などなく)正当でかつ著者が著作権を主張している場合は発生すると思います。
とはいえインターネット上の著作物にかけられる著作権には、ある程度の自由な流通を許可するためにさまざまな制約をかけていることがしばしばあります。
https://creativecommons.jp/licenses/ ギガントスーパーでかい数を「連続体仮説が真ならA、偽ならB」で定義するとややこしいことになりそう
著作権の及ぶ範囲 ただ巨大数であるというだけでは、その数そのものには著作権は発生しない。
その巨大数を表現している著作物には著作権が発生する。
その巨大数が思想又は感情を創作的に表現したものであれば著作権は生じる。
あらゆるデジタルデータは1つの巨大数で表現できるので、そのデジタルデータが
著作物であれば対応する巨大数は著作物だということになる。 テトレーションレベルの数は巨大数のクラスの概念を考えるとクラス6の数よりは大きくないといけない。つまり、10^10^10^10^10^10^6より大きくないといけないぞ なんか巨大数の伝統として、小さい数を入れて大きな数を返す関数を作ることになってるけど、
こういうのはどうだろうか？
無限を入れて大きな数を返す関数というか射だね
例えばあらゆる実数の全てを含む無限の要素を持つ集合からの写像で、有限の巨大な数になるように
関数を作ることってできないだろうか？
俺は今それを自分で考えてるけど、自分だけで考えるよりみんなで考えたほうが手っ取り早いと思って今書き込んでる
専門家は多分数学者だろう
だから数学の中で専門が違ってもある程度は意見がもらえると思う
どうだろう？
東方巨大数のようなイベントなら失格になってしまうかもしれないけど、何でもいいから巨大数を作りたいのであれば
考慮に値すると思うんだが まあ基本的に無限からいくら数を取り除いても有限な数にはならないから
無限個の要素から一つの写像を得るような関数になるのかなと思う
例えばある大きなの有限な点に平面などを分割すると有限個になる
このことを使えば当然、微小な空間に分割するというアイデアになる
すると分割された個数は巨大数となる
そこまでいくと写像の概念から離れてしまうが、しょうがない
それは単純に微小量の逆数であって、我々の求める巨大数とは違う
そうではなくて、なにか面白い方法で有限の写像を無限から得られないだろうか 詳しくはないが私はp進数というものの存在だけは知っている
p進数の要素というのは分かりやすいp^n個
何か手がかりになるんじゃないだろうか こういうのが出来ると思うんだよね
まず無限に続く道を用意する
原点がスタート地点で、
その道のどこかに、ゴールを設定する
無限ホテルのパラドックスを利用するとこの点って無限キロ先にある
でも実際には距離は|x-0|キロなので数えられる
こうすると期待値を計算したら分かるけど、無限になると思う
しかし決してxは無限ではない
確率的には実は100メートル先の可能性もある 違うなあ
無限キロという情報がなければ有限に……ならないな
つまり何かゲームでお金もらえるとしても出発しちゃいけないんだな
初めから歩く長さの平均が無限なわけだな 急増加階層に付けることができる「無限」は、ただ無限であるだけじゃなくて厳しいルールをクリアしたエリートのみなんだよな、、ここが難しいところ その無限が順序数表記なら、FGHに適用して巨大数を取り出せる。
順序数表記の中にたくさんの無限があるようにもできる。その場合、それぞれの無限はなんと大小比較できる。
大きい無限なほど大きな巨大数が出せる。
FGHなどの階層を使わずに無限を使って巨大数を作る方法はわからないけど、あるかもしれないです ラヨ数みたいなのはダメなのかな
あれはある意味無限にすぐに行きそうだな
でも、基本はあくまで関数か、写像を取るんだと思ってたわ もうリストを使ったアッカーマン関数の時代は終わってしまったんだね……
あれムチャクチャ大きくて俺は感動したよ 初めは
あれじゃもうダメなのかな
定義が難しい数だと、本気で意味が分からなくて分からないままで終わるからラヨ数すげえなシンプルで
って思ってるよ ＞基本はあくまで関数か、写像を取るんだと思ってたわ
勿論有限の値を入れて無限は使わず巨大数を作るという意味だけど
無限入れていいんだったら可能性が広がるな
面白そうだ
そんなことになってたんだったら俺も勉強しようと思うけど
勝つことは目指さなくていいか
自分なりにかな 巨大数庭園数は初めの方は分かりやすいねまだしも
途中で読むのやめてるけど、読まないといけないはずの文献が多すぎるんだよなあの人のやつで
理解してから先に進むってのはやめた方がいいか
とりあえず見てみよう なんだろな
思いついたんだけど、無限をまず無限として考えて、そこからより小さい順序数を逆に考えていけばいいんじゃね？
それで１とか０とかまで小さくしたら、その順序数の列の中に無限ではないものが入ってるんじゃね
でも俺の脳みそではどうやったらそういう風に小さくできるのか分からない
俺に分かるのは無限ホテルのパラドックスは正しくて、無限を小さくしてもどこまで行っても無限にしかならないということだけだから
そもそも不可能だよねこれって これってちょっとヤバいね
無限降下列じゃなくて前の方が小さい普通の数列だったら
１から数えてデカくするという意味になる
最悪
「１をコツコツ足していっても巨大な数を作ることができる」
と主張してるのと一緒だから
つまり、巨大数を否定してるのと同じことになる すべての計算可能巨大数はメタ自然数ですか？
の所今読んでるから、これ読み終わるまで巨大数庭園数の所読めないわ
でも読むよ
分からなくても読む だから……
「計算可能な限りでとても大きい数」
というものを順序数とかとは別に巨大な数として定義したら、
巨大数を作る意味はなくなるってことを意味してるのかな
悲しいねそれは
まあつまり、そういう物を使うのはマナー違反ということだね だから例えば
「ある数nを持ってきた時に、必ずそれよりも大きくなる数」
っていう風に定義したら無限になってしまうから矛盾するということだけど、
だけどこれは結果的に無限になるだけで、発想としては上手いよね
だって単純な定義で無限にできるって凄いじゃん
単に
「大きな数」では何も定義されていないということだよね
じゃあどうすんのってことでそれを考えればいい 矛盾っていうのは無限ってのは数ではないという風に解釈した場合ね
数と言ってるのに、数ではない無限になってしまったらそれは矛盾してるという意味 それから数を定義している公理を省くって発想もできると思うんだ
全て省くとは言ってないけど、例えば自然数の環の代わりに実数aが単位元の環を扱うということもできるし
もっと凄い、ただ数であれば何でもよくて、大きさも問わないというような数を考えることだって不可能ではないんじゃない？
そしたらそれは大きさが分からないけど、例えば１とゼロがあって、それから独立して無関係に大きなある数がある
それに対して演算してデカくすると、大きさが不明のままデカくなる
そしてそれを巨大数とする
数として比較するための計算ができないので、計算不可能な巨大数となる
みたいなこともできるかもしれんし 既に思いついたけどね
一つの原像と写像しか考えないけど、ある数Aとその全単射の写像Bがあって
Aが小数点以下(1/10)^nまであったら、もう片方の数に10^nをかける、とかさ
そしたらBはむちゃ大きくなってすぐ無限になる 無限になっちゃうから意味がないけど、基本的に微少数を使うと簡単に大きな数ができる
難しい関数も要らない
どっかで止めて無限にならないようにしなきゃならないけど 微小数を直接出すのって難しくないか？何も思いつかない、、 直接出さなくても非常に低い確率が十分に大きいNで表されるN回起きるとか、
非常に遅いスピードで長い距離進むまでにかかる時間とか、
実数の桁がどこまで行っても切りがないこととかで使うことができる もうこの話題はスレチかも知れないが、一応
ふぃっしゅ数ver7でｆ（b）=aってやつ
f(b)=aって式があったよね
一個の変数から複数の値を返す多価関数f(x)を定義しておいて、
1→グラハム数→グラハム数^グラハム数
という風に非常に多くの値を返す関数を使って沢山のツリーのような構造を作る
で、それぞれの写像をa_1,a_2と名前を付ける
そしてそれでグラハム数のテトレーションIができたら、今度a_nの元の数のグラハム数乗xに、
xを元の数nだけグラハム数乗をn回したものを返す
それで逆に辿っていってa_1の所まで戻ってきたら
その値をa_nに代入してまた逆に辿るのをm回繰り返す
一回でグラハム数乗のグラハム数乗がグラハム数……だからテトレーションか
グラハム数のテトレーションをグラハム数数のテトレーション乗してそれをグラハム数回繰り返した後更にそれをm回ってことは……
グラハム数↑↑↑↑グラハム数
こう？
分からない
正しいのを誰か教えてちょ
俺数学あまりできないから、こういう時全くダメなんだ
全然大きくない
アイデアでは全然大きくならないんだな
まあそんな言い方はしない方がいいか
でも実際事実かな
めちゃめちゃ大きな数を作る凄いアイデアってないよね？
巨大数庭園数みたいに、
「理論を作る」ことから始めて数を定義するしかないのか
そもそもそれ自体が俺には理解できないが
というか巨大数庭園数より大きな数を作ろうと思ったら
巨大数庭園数「改」
になるのかな
まあいいか あれ、ちょっと待って
しまった
写像って一つの値しか取らないじゃん
じゃあこれは何だ？
多価関数の逆関数か
そうとしか言えない？
それも不自由だな
でもそうなんだな x+y→x*yとしてR→Rを考える……
この位のことって誰でも考えるよね。
つまんね。無限になるだけじゃん。 なんでグラハム数を使ったり3を基準にしたりするんだろうね。
5を基準に作ればいい。
もっと大きくしたければ7とか11とか。 できるだけ小さい数と少ない記号を使って驚異的な数字が出てくることに快感を感じるのでは でも最近は基礎的な値にグーゴルを使う人も一定数いる気がする
小さすぎると時々事故って小さいままのことあるからな じゃあ2だろ？
メルセンヌ素数やフェルマー素数。
なぜ3？ クヌースの矢印表記の伝統が残ってる
2↑^n2=4だからな 矢印じゃそうなると2じゃ無理だからってんで3
そこで有名なトリトリ3↑33が生まれる
これを意識してか3が使われる
もしかしたらモーザー数に影響を受けた人は2を使っているかも 6は巨大数とかいう内輪スラングに基づいて6を使う人もいるな あ、あとあれだ東方のチルノ絡みで9だ
ともかく元ネタは過去の巨大数やスラングにもある https://googology.fandom.com/ja/wiki/%E3%83%9E%E3%82%B7%E3%83%A2%E9%96%A2%E6%95%B0
このマシモ関数っていうのが全然分からないんだけど、分かりやすく教えてくれる？
初めのH関数で
実数にできるようにするのか、ふーん。
変換の仕方がよくわからないけど、一応可能なんだな。
でもこれってそもそも無限が数に入ってるのでは？
何でこれが有限なの？
ここで既に分からなすぎて続きを読む気が起きなかった。 V 関数は多変数のヴェブレン関数で、計算（計算というのかは知らない）するのは比較的簡単だと思うんだよね
そもそも大ヴェブレン順序数超えない時点で手に負えないものではないと分かるし H(a,n)について、Hα(n)が定義される。
このαが恐らく>>834がいう「無限」なんだけどもね、
αはaを「nを底とした遺伝的表記」で表した時に、出てきたnをωに直すことでできる順序数なんだ
nを底とした遺伝的表記とは何か、、それはグッドスタイン数列の記事を見れば分かる >>836
本当にわからないんだけども、ωって無限ではないの？
自然数の中で最も大きい数、ということだから無限ではないということなの？ >>837
ωは最小の無限順序数です。
誤解を恐れずに言うと、無限なものと有限なものを対応させることができる方法がありまして、それを使って有限の数を無限の数に変換したのです。 >>>838
全然理解できなかったけど一応「巨大数論」のWeb上のpdfは読んだんだ。
それによると
「こういうルールの元で表せる全ての順序数よりも大きいもの」
を取り出すということを何度も繰り返すと、どんどん大きい順序数が作れると書いてあった。
この理解って間違ってるのかな？
やっぱり無限なんだね。
順序数崩壊関数とか多変数ヴェブレン関数から分からないんだよね……。
誰か順序数崩壊関数について教えて下さい。 https://googology.fandom.com/ja/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0%E5%B4%A9%E5%A3%8A%E9%96%A2%E6%95%B0
ここは見たんですが、
ψ(α) H_αってなんだろうって感じで……
多分これも
「このルールで定義できない最小の順序数」って意味なんだろうなとは思ったんですが。
どうもすっきりしないんですよ。
何よりまず、
なぜ「順序数崩壊関数」という名前がついているのか。これはただの順序数の定義ではないですか？ 単純に
「こんな定義まともじゃねえからまともそうな名前つけたらマズいだろ」
ってことですか？ あーハーディ階層のことか
ハーディ階層は理解したつもりなんだけどな
極限順序数の時に基本列のn番目になるって、どこも難しくないでしょ？
なんかおかしなこと言ってたら指摘してほしいんだけども、このαってのは極限順序数か
でも基本列がどこにも書いてないぞ……
わかんねー…… 連投は避けたほうがいいかもしれんけど、
ハーディ階層の極限順序数αのH(α)のグザイ番目がグザイに含まれるってことは……
ああそうか
つまりやっぱりこのルールで定義できないような、そういう順序数のことか
そういうことだな
「順序数崩壊関数」って名前がわからない原因になってるんだが？ PTOって何のことか、どなたか教えて下さいませんか？ 巨大数庭園数見てての素人の思いつきなんだけど
定義より自然数に上限はないけれど
ある言語Lの上で定義できる数に上限がある可能性ってないの？
つまり自然数そのものは無限に大きくなれるけれど
観測可能な数はたかだか有限、みたいな
物理学的に考えると宇宙の全ての原子にビットを割り振って表現できる二進数がそれに該当するんだろうけれど 巨大数のはなしって有限なのに非可算無限が出てくるの？ ついでに聞くけど
計算不可能巨大数って可算無限より「大きい」って考えていいの？ サラダ数Sを定義してみた
a,b,n := 非負整数
G^64(4) := グラハム数
Ack(a,b) := アッカーマン関数
X := 0個以上の非負整数
a:b := b個のa
a:b+n := a:(b+n)
F[](0)=Ack(G^64(4),G^64(4))
F[](n+1)=Ack(F[](n),F[](n))
F[0:a+1](0)=F[F[0:a](0):a](F[0:a](0))
F[0:a+1](n+1)=F[F[0:a+1](n):a](F[0:a+1](n))
F[X,b+1,0:a](0)=F[X,b,F[X,b,0:a](0):a](F[X,b,0:a](0))
F[X,b+1,0:a](n+1)=F[X,b,F[X,b+1,0:a](n):a](F[X,b+1,0:a](n))
F(0)=F[F[](0):F[](0)](F[](0))
F(n+1)=F[F(n):F(n)](F(n))
S=F(F(0)) 数の大きさをそれとなく大小評価するために増加階層なるものを使うことがほとんど。
しかしながら増加階層を使って巨大数の大小を明らかにするには、順序数表記への理解が必要不可欠。
そして、ある程度大きな順序数表記においては、その表記のもとになった関数で非可算無限を要することがある。
という流れ アッカーマン演算子を考えてみた
a,b,c,n,m = 非負整数
Z = 0個以上の非負整数
Y = 1個以上の非負整数
a#b = b個のa
a+b#c = (a+b)#b
a#b+c = a#(b+c)
a[]0 = a+1
0[Z](b+1) = 1[Z]b
(a+1)[Z](b+1) = (a[Z](b+1))[Z]b
a[Z]b[z]c = a[Z](b[Z]c)
a[Z]#0 = a
a[Z]#(b+1) = a[Z](a[Z]#b)
0[Y]0 = 1
@ = a[Y]0
(a+1)[Y]0 = @[Z]#@ [Y] → [Z]
[0] → []
[0,0] → [0]
[0,0,0] → [0,0]
[0#n+1] → [0#n]
[1] → [0#@]
[1,0] → [1]
[1,0,0] → [1,0]
[1,0#n+1] → [1,0#n]
[1,1] → [1,0#@]
[1#n+1] → [1#n,0#@]
[2] → [1#@]
[2,0#n+1] → [2,0#n]
[2,1#n+1] → [2,1#n,0#@]
[2#n+1] → [2#n,1#@]
[c+1#n+1] → [c+1#n,c#@]
[X,0] → [X]
[A,c+1] → [A,c#@]
[0,1] → [@#@]
[0,1,0] → [0,1]
[0,1,0#n+1] → [0,1,0#n]
[0,1,0,1] → [0,1,0#@]
[(0,1)#n+2] → [(0,1)#n+1,0#@]
[0,1,1] → [(0,1)#@]
[(0,1,1)#n+1] → [(0,1,1)#n,(0,1)#@]
[0,1#n+2] → [(0,1#n+1)#@]
[(0,1#n+2)#m+1] → [(0,1#n+2)#m,(0,1#n+1)#@]
[0,1,2] → [(0,1#@)#@]
[0,1,2,0] → [0,1,2]
[0,1,2,1] → [0,1,2,0#@]
[0,1,2,1,2] → [0,1,2,1#@]
[0,1,2,2] → [0,1,2,(1,2)#@]
[0,1,2,3] → [(0,1,2#@)#@]
[0,2] → [(0,1,2,3,...,@-2,@-1,@)#@]
[0,3] → [(0,2,4,6,...,(@-2)×2,(@-1)×2,@×2)#@]
[0,4] → [(0,3,9,12,...,(@-2)×3,(@-1)×3,@×3)#@]
[0,0,1] → [(0,@,2×@,3×@,...,(@-2)×@,(@-1)×@,@×@)#@]
[0,0,0,1] → [(0,0,@,@,2×@,2×@,3×@,3×@,...,(@-2)×@,(@-2)×@,(@-1)×@,(@-1)×@,@×@,@×@)#@]
[0,0,0,0,1] → [(0,0,0,@,@,@,2×@,2×@,2×@,3×@,3×@,3×@,...,(@-2)×@,(@-2)×@,(@-2)×@,(@-1)×@,(@-1)×@,(@-1)×@,@×@,@×@,@×@)#@] a[]0 = a+1
a[]1 = 2+(a+3)-3
a[]2 = 2×(a+3)-3
a[]3 = 2^(a+3)-3
a[]4 = 2↑↑(a+3)-3
a[]5 = 2↑↑↑(a+3)-3
a[]6 = 2↑↑↑↑(a+3)-3
a[]b = 2↑^[b-2](a+3)-3
a[]b[]c = 2↑^[2↑^[c-2](b+3)-5](a+3)-3
0[0]0 = 1
1[0]0 = (0[0]0)[]#(0[0]0) = 1[]#1 = 1[]1 = 3
2[0]0 = (1[0]0)[]#(1[0]0) = 3[]#3 = 3[]3[]3[]3 = 3[]3[]61 = 3[](2↑^59(6)-3) = 2↑^[2↑^59(6)-5](6)-3
3[0]0 = (2[0]0)[]#(2[0]0) = (2↑^[2↑^59(6)-5](6)-3)[]#(2↑^[2↑^59(6)-5](6)-3)
0[0]1 = 1[0]0 = 3
1[0]1 = (0[0]1)[0]0 = 3[0]0 = (2↑^[2↑^59(6)-5](6)-3)[]#(2↑^[2↑^59(6)-5](6)-3)
2[0]1 = (1[0]1)[0]0 = {(2↑^[2↑^59(6)-5](6)-3)[]#(2↑^[2↑^59(6)-5](6)-3)}[0]0 新アッカーマン関数数
a,b:非負整数
⒈A(a,0)=a+1
⒉A(a,b+1)=A(A(・・・(a)・・・(A(a,b),b )・・・,b),b)
A(2,2)
A(A(2,1),1)
A(A(2,0),0),1)
A(4,1)
A(A(A(A(4,0),0),0),0)
8
A(3,3)
A(A(A(3,2),2),2)
A(A(A(A(A(3,1),1),1),2),2)
A(A(A(A(A(A(A(3,0),0),0),1),1),2),2)
A(A(A(A(A(A(6,1),1),1),2),2)
A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(6,0),0),0),0),0),0),1),1),2),2)
A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(12,1),1),1),2),2)
A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(12,0),0),0),0),0),0),0),0),0),0),0),0),1),1),2),2)
A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(24,1),1),1),2),2),2)
・
・
・
A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(48,1),1),2),2),2)
・
・
・
A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(A(192,2),2),2)
・
・
・
A(n,n)=A(n)としたとき
A^100(100)を新アッカーマン関数数とする サラダ数Tを定義してみた
a,b := 非負整数
G^64(4) := グラハム数
→ := チェーン演算子
F(0)=G^64(4)
F(a+1)=F(a)→F(a)→F(a)→...F(a)個...→F(a)
F[0](0)=F^{F(0)}(F(0))
F[0](a+1)=F^{F[0](a)}(F[0](a))
F[b+1](0)=F[b]^{F[b](1)}(F[b](1))
F[b+1](a+1)=F[b]^{F[b](F[b+1](a))}(F[b](F[b+1](a)))
T=F[F[0](0)]^{F[0](0)}(F[0](0)) 通常のハイパー数学ではa+b=abで、+はただの連結を意味する。しかし、a+bを「aをb回連結する」とすればa+b=aaaになる。これを強化ハイパー数学と呼ぶことにする。
通常のハイパー数学では左から計算するが、この強化ハイパー数学では右から計算する。
通常のハイパー数学では
3+3+3=33+3=333333
だが、
強化ハイパー数学では
3+3+3=3+333=3...3 [333個の3]
になる。 S(a)=aa 連結後者関数
とすると、
S(S(a))=S^2(a)=a+2=aaa
になるから修正しよう。 ハイパー数学の和算の定義
a[]b=10^(int(log_10(b)+1))*a+b
1[]1=11
1[]2=12
2[]1=21
2[]2=22
10[]10=1010
11[]11=1111
100[]100=100100
111[]2222=1112222
ハイパー数学の積算以降の定義
a[n]1=a
a[0](b+1)=a[](a[0]1)
a[n+1](b+1)=a[n](a[n+1]b) >>864 の積算以降は間違い
ハイパー数学の積算以降の定義
a[n]1=a
a[0](b+1)=a[](a[0]b)
a[n+1](b+1)=a[n](a[n+1]b) 強化ハイパー数学のa+bを「aの右にaをb回連結する」とすればa+b=aa...aとする。
S(・)後者連結関数は、入力した記号を右に1回連結する意味にする。すると、
S(a)=aa
S^3(a)=S(S(S(a)))=S(S(aa))=S(aaa)=aaaa=a+3
ただ、a+3=aaaな一方で3+a=3...3(3がa個)なので、a+3≠3+aになることに注意。
厳密に定義しようとすると定義域が複雑になるからやらないけど >>864-865 の定義域
a,bは自然数、nは非負整数
a[0]bが >>866 の強化ハイパー数学のa+bと同等となる
3[0]3=3[](3[0]2)=3[](3[](3[0]1))=3[](3[]3)=3[]333=3333...{333桁}...3
3[1]3=3[0](3[1]2)=3[0](3[0](3[1]1))=3[0](3[0]3)=3[0](3333...{333桁}...3)=3333...{3333...{333桁}...3桁}...3
3[2]3=3[1](3[2]2)=3[1](3[1](3[2]1))=3[1](3[1]3)=3[1](3333...{3333...{333桁}...3桁}...3) >>867
3[]333は>>864によると通常のハイパー数学なので3333では？ >>867
3[1]3
=3[0](3[1]2)
=3[0](3[0](3[1]1))
=3[0](3[0]3)
=3[0](3[](3[0]2))
=3[0](3[](3[](3[0]1)))
=3[0](3[](3[]3))
=3[0](3[]33)
=3[0]333
=3[](3[0]332)
=3...(333個)...3
なので、3[1]3が等しくなりそうです >>868
申し訳ない
全く間違ってた
3[0]3=3[](3[0]2)=3[](3[](3[0]1))=3[](3[]3)=3[]33=333
3[1]3=3[0](3[1]2)=3[0](3[0](3[1]1))=3[0](3[0]3)=3[0]333=3333...{333桁}...3
3[2]3=3[1](3[2]2)=3[1](3[1](3[2]1))=3[1](3[1]3)=3[1](3333...{333桁}...3)
強化ハイパー数学のa+bと同等となるのはa[1]bだね 3[]3=33
3[0]3=333
3[1]3=3[0]333=3...(333)...3
3[2]3=3[1]333=巨大 >>871
3[2]3=3[1]3...(333)...3だった a[0]bが強化ハイパー数学のa+bと同等で
a[1]bが強化ハイパー数学のa+...+a:=a×bと同等ですね
[]の中に拡張性があるのでいろいろできそう
めざせコピー表記越えですね >>873
[]の中の拡張というとこんな感じ
a,bは自然数、n,mは非負整数、ωは全ての自然数より大きな最小の順序数
a[]b=10^(int(log_10(b)+1))*a+b
a[n]1=a
a[0](b+1)=a[](a[0]b)
a[n+1](b+1)=a[n](a[n+1]b)
多変数拡張化コース（例は2変数のみ）
a[m,n]1=a
a[0,0](b+1)=a[a[0,0]b](a[0,0]b)
a[m,n+1](b+1)=a[m,n](a[m,n+1]b)
a[m+1,0](b+1)=a[m,a[m+1,0]b](a[m+1,0]b)
順序数拡張化コース（例は最小の順序数のみ）
a[ω]1=a
a[ω](b+1)=a[a[ω]b](a[ω]b) 3[0,0]3
=3[3[0,0]2]3[0,0]2
=3[3[3[0,0]1](3[0,0]1)](3[3[0,0]1](3[0,0]1))
=3[3[3]3](3[3]3)
になりますね
n[0,0]nがf_ω(n)より大きくなりそうなら、
3[0,1]3
=3[0,0](3[0,1]2)
=3[0,0](3[0,0](3[0,1]1))
=3[0,0](3[0,0]3)
3[1,0]3
=3[0,3[0,3[1,0]1](3[1,0]1)](3[0,3[1,0]1](3[1,0]1))
=3[0,3[0,3]3](3[0,3]3)
なので、n[n,0]nはf_ω×2(n)ぐらいでしょうか >>876
自分、FGHの理解ができていないんですけど
以下はFGHで近似したらどのような記述になるんでしょうか？
n[0]2=n[]n
n[0]3=n[](n[]n)
n[0]4=n[](n[](n[]n))
n[0]5=n[](n[](n[](n[]n)))
n[1]2=n[0]n
n[1]3=n[0](n[0]n)
n[1]4=n[0](n[0](n[0]n))
n[1]5=n[0](n[0](n[0](n[0]n)))
n[2]2=n[1]n
n[2]3=n[1](n[1]n)
n[2]4=n[1](n[1](n[1]n))
n[2]5=n[1](n[1](n[1](n[1]n)))
n[3]2=n[2]n
n[3]3=n[2](n[2]n)
n[3]4=n[2](n[2](n[2]n))
n[3]5=n[2](n[2](n[2](n[2]n)))
n[0,0]2=n[n[0,0]1](n[0,0]1)=n[n]n
n[0,0]3=n[n[0,0]2](n[0,0]2)=n[n[n]n](n[n]n)
n[0,0]4=n[n[0,0]3](n[0,0]3)=n[n[n[n]n](n[n]n)](n[n[n]n](n[n]n))
n[0,0]5=n[n[0,0]4](n[0,0]4)=n[n[n[n[n]n](n[n]n)](n[n[n]n](n[n]n))](n[n[n[n]n](n[n]n)](n[n[n]n](n[n]n)))
n[0,0]n ε₀以下の順序数αに基本列を与える。この基本列をWainer階層と呼ぶ。αの基本列のn番目の順序数をα[n]と書く。後続順序数の基本列は省略する。βをε₀以下の順序数とする。
α=ωならα[n]=n
α=ω^(β+1)ならα[n]=ω^β+ω^β...+ω^β (n項)
α=ω^β[n]かつβが極限順序数ならα[n]=ω^(α[n])
α=ω^(β_1)+...+ω^(β_k)かつβ_1≧...≧β_kなら
α[n]=ω^(β_1)+...+ω^(β_k)[n]
α=ε₀ならα[0]=0かつα[n+1]=ω^(α[n])
また、基本列が定められた任意の順序数αに対して、自然数から自然数への関数f_α(n)を以下のように定めたものを急増加階層(急増加関数)と呼ぶ。
α=0ならf_α(n)=n+1
α=α'+1ならf_α(n)=f_α'(...f_α'(n)...) : (n個)
αが0でない極限順序数ならf_α(n)=f_α[n](n)
ここでは、Wainer階層が与えられたε₀以下の順序数を用いて急増加関数を動かしていく。 f_0(n)=n+1
f_1(n)=f_0(...f_0(n)...)=(...(n+1)...)+1=2n
f_2(n)=f_1(...f_1(n)...)=2(...(2n)...)=(2^n)n
3[1]3>3[0]3>3[]3>f_2(3)=24
f_3(n)以降は具体的な形を上のように表示すると長くなるので、具体例だけ。
f_3(3)
=f_2(f_2(f_2(3)))
=f_2(f_2((2^3)×3))
=f_2(f_2(24))
=f_2((2^24)×24)
=f_2(402653184) (121210694桁の数字)
よって3[2]3>f_3(3)>3[1]3
f_4(3)
=f_3(f_3(f_3(3)))
3[3]3>f_4(3)>3[2]3 (かなあと予想)
この事からごくごくおおざっぱに
f_n(m)≒m[n-1]m
だろうと超ごくごく曖昧な予想を立てられる。 この予想が正しいと仮定すれば、
f_ω(n)=f_ω[n](n)=f_n(n)≒n[n-1]n
となる。さらに、
f_(ω+1)(n)=f_ω(...f_ω(n)...)≒n[0,0]n (n[...n[n]n...]nという構造をとるので)
f_(ω+2)(n)=f_(ω+1)(...f_(ω+1)(n)...)≒n[1,0]n
(n[0,...n[0,n]n...]nという構造をとるので)
とつづく。
よって、
f_(ω×2)(n)
=f_(ω+ω)(n)
=f_(ω+ω[n])(n)
=f_(ω+n)(n)
≒n[n-1,0]n
になりそうだなとめちゃくちゃ大雑把に予想できる。 という感じで、実は細かい計算は急増加関数でもf_3(n)あたりが限界です。
例えば
(2^1098)×1098>3[1]3>(2^1097)×1097
であることから
f_2(1098)>3[1]3>f_2(1097)
とより厳密に求められます。条件を緩くすれば
f_2(f_2(8))>3[1]3>f_2(f_2(7))
f_3(2)>3[1]3>f_3(1)
などとなります。
定義から厳密に不等式評価できればいいのですが、私の頭では力不足です。なので僅かな証拠からすっ飛ばしてこんな感じかなとした次第です。 >>881
詳細な解説ありがとうございます
>>880 の「f_(ω+1)(n)=f_ω(...f_ω(n)...)≒n[0,0]n (n[...n[n]n...]nという構造をとるので)」
の部分がなるほどなと思いました
自分はまだまだFGHの理解力が足りないですけど精進していきます 【多変数再帰関数の定義】
a,b,n 非負整数
X 0個以上の非負整数
a:b b個のa
A[](a)=a+1
A[0:n+1](0)=A[A[0:n](0):n]^{A[0:n](0)}(A[0:n](0))
A[0:n+1](a+1)=A[A[0:n+1](a):n]^{A[0:n+1](a)}(A[0:n+1](a))
A[X,b+1,0:n](0)=A[X,b,A[X,b,0:n](0):n]^{A[X,b,0:n](0)}(A[X,b,0:n](0))
A[X,b+1,0:n](a+1)=A[X,b,A[X,b+1,0:n](a):n]^{A[X,b+1,0:n](a)}(A[X,b+1,0:n](a))
【計算の具体例】
A[0](0)
=A[]^{A[](0)}(A[](0))
=A[]^1(1)=A[](1)=2
A[0](1)
=A[]^{A[0](0)}(A[0](0))
=A[]^2(2)=A[]^1(A[](2))
=A[]^1(3)=A[](3)=4
A[0](2)
=A[]^{A[0](1)}(A[0](1))
=A[]^4(4)=A[]^3(A[](4))
=A[]^3(5)=A[]^2(A[](5))
=A[]^2(6)=A[]^1(A[](6))
=A[]^1(7)=A[](7)=8
A[0](a)=2^(a+1)
A[1](0)
=A[0]^{A[0](0)}(A[0](0))
=A[0]^2(2)=A[0]^1(A[0](2))
=A[0]^1(8)=A[0](8)=512
A[1](1)
=A[0]^{A[1](0)}(A[1](0))
=A[0]^512(512)
A[1](2)
=A[0]^{A[1](1)}(A[1](1))
=A[0]^{A[0]^512(512)}(A[0]^512(512)) 遺伝的表記を楽に書きたい
全部底が同じならこれでいいがな
順序数がこれ以上加算できないってなる数って具体的な数字として実在すると思うんだけど
決定可能と決定不可能の境目を具体的な数として求めるって試みないの？
プログラミングならオーバーフローする時に例外を返す処理系が該当するんだろうけど 後者関数の定義域が順序数なので順序数だったら加算できてしまうと思うけど
関数と定義域を勉強しなおせ >>859
A(0,b+1)=A(1,A(1,・・・(b+1)・・・A(1,A(1,b))・・・))
にしとく >>858,890
新アッカーマン関数はこの方がいいかと
1. A(a,0) = a+1
2. A(0,b+1) = A(A(A(……{A(1,b)}……A(A(1,b),b)……,b),b),b)
3. A(a+1,b+1) = A(A(A(……{A(a,b+1)}……A(A(a,b+1),b)……,b),b),b) もしかして加算って可算のtypo?
数え上げることができないみたいな 何となくで巨大数みたいなのが作ってみたくて、考えてみたんですがどうでしょうか
n^n+1=o
o^n↔:o:n^o=a
a^o↔:a:o^a=b
…
例
n=1
1^1+1=2
2^1↔:2:1^2=2^1↔1^2=2^1*1^2=4
4^2↔:4:2^4=16^16↔:3:16^16=1.8446744e+19 ↔:2:1.8446744e+19=…b
n=2
2^2+1=5
5^2↔:5:2^5=25^32↔:4:32^25=5,42101086E+44^ 4.25352959E+37↔:3:4.25352959E+37^ 32^25=5,42101086E+44d……=a
みたいな感じなんですが…
長文失礼しましたm(*_ _)m ↔:x:は、この矢印の左右の数をx回分入れ替える(o^aとa^oだったらo^aの結果をa^oのoに入れ、a^oの結果をo^aのaに入れる。なのでo^(a^o)*a^(o^a)みたいになる)
上手く伝わんなかったらごめんなさい。語彙力が～ やっぱり小さいですかね
チェーンとかアッカーマンとかには勝てないとは自分で思ってるんですが… aを元にbという巨大数が作られているなら
a^b*b^a を b回繰り返すよりb^bをｂ回繰り返した方が大きい ごめんなさい
894の例で4^2↔:4:2^4の計算を間違えてました
正↓
4^2↔:4:2^4=16^16↔:3:16^16=1,8446744e+19^1,8446744e+19↔:2:1,8446744e+19^1,8446744e+19d…=b
でした >>898
ありがとうございます！
参考にさせていただきます
初めて巨大数の式を考えたので、至らぬ部分もありますが、ご容赦くださいm(*_ _)m なんとなくで
a^b↔:a:^↔:a:b^a
というのを思いついたけど、どうなるんだろう なら
5^2↔:5:^↔:5:2^5
=(25^32↔:4:32^25)^(25^32↔:4:32^25)^(25^32↔:4:32^25)^(25^32↔:4:32^25)^(25^32↔:4:32^25)
=(5.42e+44^4.25e37↔:3:4.25e+37^5.42e+44)^(5.42e+44^4.25e+37↔:3:4.25e+37^5.42e+44)^(5.42e+44^4.25e+37↔:3:4.25e+37^5.42e+44)^(5.42e+44^4.25e+37↔:3:4.25e+37^5.42e44)
=…=a
という感じにしてみました。 冪乗で繋げる回数を増やしても強さはほぼ変わっていない
巨大数は函数を複雑にしても計算が面倒になって検証しにくくなるだけ
簡潔に表したほうが拡張しやすくなってより大きな数を作りやすいよ
とりあえずa↑↑↑b(a,bともに3以上)を超えるかどうか自分で計算してみて
そのあたりの感覚がつかめてないと巨大数の話は難しい 巨大数で重要なのは増やし方より如何に減らし方(無限ループ回避部分)を回りくどくするかだな p_n を n 番目の素数とし、n→∞で max(p_{k+1}-p_1,···,p_{n+k}-p_n) が発散する最小のk
そんなものはない p_n を n 番目の素数とし、n→∞ で sup((p_{k+1}-p_1)/1,···,(p_{n+k}-p_n)/n,···) が発散する最小のk
これは？ >>913
書き方がおかしくなってた。n→∞はいらない
>>910はk=1の時点で発散する >>913
も k=1 の時点で発散しそうだしなんなら (p_{n+k}-p_n)/e^n にしても発散しそう
(p_{n+k}-p_n)/(n·e^n) がどうだろう >>915
それはいくらなんでも自明に0に収束するだろ >>916
素数の分布にえらく初歩的な勘違いをしてしまってた。
「任意の自然数 k に対して、ある自然数 N を取ると、任意の自然数 n > N に対して、n と 2n の間に素数が少なくとも k 個存在する」
だから (p_{n+k}-p_n)/2^n は収束するし
(p_{n+k}-p_n)/e^n も収束する。
リーマン予想外正しければ任意のm>1に対して
(p_{n+k}-p_n)/m^n も収束するか 素人だけど無限大で収束するけど途中でやたら大きくなるみたいな級数を定義して停止性を保ったまま数を大きくするみたいなテクニックってないの？
このやり方じゃそんなにデカい数作れなさそうだけど >>917
ならば (p_{2n}-p_n)/n は1よりも小さく、したがって (p_{n+k}-p_n)/n は0に収束しそう ある正の定数 a が存在し、n が十分大きければ、n から n+a√n の間に素数が必ず k 個存在する、かもしれない
そうでなければ (p_{n+k}-p_n)/(n+√n) が発散する k が巨大数になるかもしれない
いや発散する条件のほうが強いか 例えばグッドスタイン数列は必ず0に収束することで有名だけど、この0に収束するという性質はペアノ算術では証明できないらしい。もし収束について遅さという言葉を使うならば、この「証明できないかどうか」という事実によって与えているのではないかと最近は思ってる。
発散の速度はよく分からん とりあえず3↑↑10と3^10↔:10:10^3とで比べてみたけど、3↑↑10より大きいと思うということがわかりました。(どのくらい大きいかは、これからまたやってみないといけない。)
(もっと簡単な比べ方は無いのだろうか) a,b,c,n 非負整数
X 0個以上の非負整数
a:b b個のa
↑^{n} クヌースの矢印表記
a[]0=a+1
a[](b+1)=(a[]b)↑^{a[]b}(a[]b)
a[0:n+1]0=(a[a:n]a)[(a[a:n]a):n](a[a:n]a)
a[0:n+1](b+1)=(a[0:n+1]b)[(a[0:n+1]b):n](a[0:n+1]b)
a[X,c+1,0:n]0=(a[X,c,a:n]a)[X,c,(a[X,c,a:n]a):n](a[X,c,a:n]a)
a[X,c+1,0:n](b+1)=(a[X,c+1,0:n]b)[X,c,(a[X,c+1,0:n]b):n](a[X,c+1,0:n]b)
G(0)=(1[1]1)[(1[1]1):(1[1]1)](1[1]1)
G(a+1)=G(a)[G(a):G(a)]G(a)
G(100)をクヌー数とする k,ak,b:非負整数
n:自然数
(a0,a1,…,a(k-1),ak)[n]=s[n]
(s)=()の場合
(s)[n]=n
それ以外の
s[n]=(expand_n(s))[n+1]
expand_n(s,0)=expand_n(s)
それ以外の場合
expand_n(s)=expand_n(L,R0,R1,…,R(n-1),Rn)
r=max{ar<ak∧r<k}
L=a0,a1,…a(r-2),a(r-1)
R_b=ar+c,a(r+1)+c,…,a(k-2)+c,a(k-1)+c
c=b^{(ak-ar-1)↑^n(a0,…,a(k-1))[n]}
f(n)=(0,n)[n]
f^10(10)を「2022年8月1日数」とする n-チューリングマシン
1-チューリングマシンは通常のチューリングマシンである
(n+1)-チューリングマシンはn-チューリングマシンの テープを無限個複製したもの(n+1次元ということ)
ここからn-チューリングマシンから新ルールを追加する
a1軸,a2軸,…,a(n-1)軸,an軸に対しak軸(1≦k≦n)からam軸(k≠m)に移動できない
そして関数L_m(n)を定義する
2記号n状態のm-チューリングマシンに書き込める有限で最大の0の数
ここから拡張
ZFCにL_m(n)が存在するという論理をZFC+L
言語Pで定義する、定義は
<,∈,∀,→,Lで定義されるZFC+L言語
こっからPでn文字以内で定義できない最小の自然数をP(n)とする
P^10(10)をP数とする 円巨大数
⑤の時は2→3→4→5という風に2→3→…→n-1→nにする（チェーン表記）なお円の中に円を入れても良い 段数
x⇃
この記号をつけることで、これをつけた関数が縦にx段積み上がる
5⇃3↑↑↑3
=3↑↑…↑↑3
︸
3↑↑…↑↑3
︸
3↑↑…↑↑3
︸
3↑↑…↑↑3
︸
3↑↑↑3 a,m,n,x 非負整数
X 0個以上の非負整数
a:m m個のa
f(x)=x+1
f^0(x)=f(x)
f^{n+1}(x)=f(f^n(x))
f[]^0(x)=f^x(x)
f[]^{n+1}(x)=f^{f[]^n(x)}(f[]^n(x))
f[0:m+1]^0(x)=f[x:m]^x(x)
f[0:m+1]^{n+1}(x)=f[f[0:m+1]^n(x):m]^{f[0:m+1]^n(x)}(f[0:m+1]^n(x))
f[X,a+1,0:m]^0(x)=f[X,a,x:m]^x(x)
f[X,a+1,0:m]^{n+1}(x)=f[X,a,f[X,a+1,0:m]^n(x):m]^{f[X,a+1,0:m]^n(x)}(f[X,a+1,0:m]^n(x))
f[100:100]^100(100)を「100の場合数」とする グラハム数に入れると、
2⇃G^64(4)
=G^G64^G64…G64^G64(4)
↑Gの肩にG64がG^64(4)個乗っている
同じように、チェーン表記に入れると、
2⇃3→3→3→3
=3→3→3…→3→3→3
↑チェーンの数が3→3→3→3本
となる x⇃(x+1)↑^{x}x
x1=1
1⇃2↑^{1}1
=2
x=2
2⇃3↑^{2}2=3↑^{27}2
⇃が1つの時を「1段階段数」とする x⇃^[n]x↑^{x}x
2⇃^[2]3↑^{2}2
=2⇃⇃3↑^{2}2
=2⇃3↑^{2⇃3↑^{2}2}2
=2⇃3↑^{3↑^{27}3}3
=3↑^{3↑^{3↑^{3↑^{27}3}3}3}3
⇃がn個の時を「n段階段数」とする 2階x段階段数
x⇃^[x]n↑^{a}b⇃n↑^{a}b
x=6の時、
6⇃^[6]3↑^{2}2⇃3↑^{2}2
を「中3数」とする a,b,n 非負整数
X 0個以上の非負整数
a:n n個のa
Ack(0:n,a)=a+1
Ack(X,b+1,0:n+1)=Ack(X,b,1:n+1)
Ack(X,b+1,0:n,a+1)=Ack(X,b,Ack(X,b+1,0:n,a):n+1)
F(a)=Ack(a:a)
N=3↑↑↑3
左辺=A[X](a+1) ならば @=A[X](a)
A[](0)=F(N)
A[](a+1)=F(@)
A[0:n+1](0)=A[N:n](N)
A[0:n+1](a+1)=A[@:n](@)
A[X,b+1,0:n](0)=A[X,b,N:n](N)
A[X,b+1,0:n](a+1)=A[X,b,@:n](@)
A(0)=A[N:N](N)
A(a+1)=A[A(a):A(a)](A(a))
A(N)をトリトリアッカーマン数とする 集合数
2
「3↑^{2}3)」
=3↑^{3↑^{2}3}3
相互数
3⇂^[2]3↑^{2}3
=3⇃^[2]3⇃3^[2]3⇃3^[2]3⇃3↑^{2}3
828
「168⇂^[2909]3↑^{2}3」を「ブルジュ・ハリファ数」とする ビジービーバーが可測基数だとしたら庭園はマーロ基数 a,b,n 非負整数
X 0個以上の非負整数
a:b b個のa
左辺=F[X](a+1) ならば @=F[X](a)
左辺=G[X](a+1) ならば @=G[X](a)
N=1
F(a)=a+1
F[](0)=F^N(N)
F[](a+1)=F^@(@)
F[0:n+1](0)=F[N:n]^N(N)
F[0:n+1](a+1)=F[@:n]^@(@)
F[X,b+1,0:n](0)=F[X,b,N:n]^N(N)
F[X,b+1,0:n](a+1)=F[X,b,@:n]^@(@)
M=F[100:100]^100(100)
G(a)=F[a:a]^a(a)
G[](0)=G^M(M)
G[](a+1)=G^@(@)
G[0:n+1](0)=G[M:n]^M(M)
G[0:n+1](a+1)=G[@:n]^@(@)
G[X,b+1,0:n](0)=G[X,b,M:n]^M(M)
G[X,b+1,0:n](a+1)=G[X,b,@:n]^@(@)
G[M:M]^M(M)をジム数とする a,z は 非負整数
X,Y,Z は 0個以上の非負整数
a:z は z個のa
左辺=(a+1)[X]z ならば @=a[X]z
z は レベル数
X は レベル付き原始数列
Y は Xのgood part
Z は Xのbad part
N=1
F(a)=a+1
0[]0=F(N)
(a+1)[]0=F(@)
0[](z+1)=N[0:z,N]z
(a+1)[](z+1)=@[0:z,@]z
0[X,0]z=N[X]z
(a+1)[X,0]z=@[X]z
0[X]z=N[Y,Z:N]z
(a+1)[X]z=@[Y,Z:@]z
>>777-779
a[]1 = (ω) = ω^ω
a[]2 = (0,ω) = ψ(Ω_ω)
a[]3 = (0,0,ω) = ψ(M)
a[]4 = (0,0,0,ω)
a[]5 = (0,0,0,0,ω) In変換アッカーマン関数
a,b=0以上の整数
IA(a,b)
=A(A(a,b),A(a,b-1),A(a,b-2)…,A(a,0))
In変換アッカーマン関数の中にアッカーマン関数を入れ、それぞれ計算し、その答えを1番外のアッカーマン関数の数字にする。
IA(2,2)を飴数とする IA(0,0)=1
IA(0,1)=A(2,1)
IA(1,0)=2
IA(1,1)=29
IA(2,2)=A(7,5,3)
IA(3,3)=A(61,29,13,5)
IA(4,4)
=A(2^2^2^65536-3,2^2^65536-3,2^65536-3,65533,13) a,b,n 非負整数
[] 空配列
X 0個以上の非負整数
Y 0個以上の空配列を含む非負整数(ただし1個以上の場合は右端が空配列)
a:n n個のa
左辺=A[X](a+1) ならば @=A[X](a)
Ack(0:n,a)=a+1
Ack(X,b+1,0:n+1)=Ack(X,b,1:n+1)
Ack(X,b+1,0:n,a+1)=Ack(X,b,Ack(X,b+1,0:n,a):n+1)
F(a)=Ack(a:a)
N=Ack(100,100)
A[](0)=F(N)
A[](a+1)=F(@)
A[[]:n+1](0)=A[N:N,([],N:N):n](N)
A[[]:n+1](a+1)=A[@:@,([],@:@):n](@)
A[Y,0:m+1,[]:n](0)=A[Y,N:m,([],N:N):n](N)
A[Y,0:m+1,[]:n](a+1)=A[Y,@:m,([],@:@):n](@)
A[Y,X,b+1,0:m,[]:n](0)=A[Y,X,b,N:m,([],N:N):n](N)
A[Y,X,b+1,0:m,[]:n](a+1)=A[Y,X,b,@:m,([],@:@):n](@)
A(0)=A[N:N,([],N:N):N](N)
A(a+1)=A[A(a):A(a),([],A(a):A(a)):A(a)](A(a))
A(N)を百式アッカーマン数とする a,b,c,j,k,m,n 非負整数
n{0},n{1},n{2},...,n{k-2},n{k-1},n{k} 非負整数
X 0個以上の非負整数のリスト
[] 空配列
[X] 配列
Z 0個以上の配列と0個以上の非負整数の混在リスト
Y 0個以上の空配列と0個以上の非負整数の混在リスト
Y{0},Y{1},Y{2},...,Y{k-2},Y{k-1},Y{k}
Zと同様であるが添字より大きな要素を持った配列は持たない
a:n n個のaのリスト
例 2:0=()
例 0:3=(0,0,0)
例 1:5=(1,1,1,1,1)
[X]:n n個の配列
例 []:4=([],[],[],[])
例 [0]:2=([0],[0])
例 [1,2]:3=([1,2],[1,2],[1,2])
(Z):n リストのn回の繰り返し
例 ():2=()
例 (1,2):3=(1,2,1,2,1,2)
例 ([],3,1):2=([],3,1,[],3,1)
例 ([1],[2]):2=([1],[2],[1],[2])
a%[];b=([],a:a):b
a#[];b=(a:a,a%[];b)
a%[0:n+1];b=([0:n+1],a#[a:n];a):b
a#[0:n+1];b=(a#[a:n];a,a%[0:n+1];b)
a%[X,c+1,0:n];b=([X,c+1,0:n],a#[X,c,a:n];a):b
a#[X,c+1,0:n];b=(a#[X,c,a:n];a,a%[X,c+1,0:n];b)
Y&j;k=(Y{k},Y{k-1},Y{k-2},...,Y{j+2},Y{j+1},Y{j})
n&j;k=([j]:n{j},[j+1]:n{j+1},[j+2]:n{j+2},...,[k-2]:n{k-2},[k-1]:n{k-1},[k]:n{k})
a;n&j;k=(a%[j];n{j},a%[j+1];n{j+1},a%[j+2];n{j+2},...,a%[k-2];n{k-2},a%[k-1];n{k-1},a%[k];n{k})
左辺=A[Z](a+1) ならば @=A[Z](a)
例 左辺=A[](a+1) の場合 @=A[](a)
例 左辺=A[2,3](a+1) の場合 @=A[2,3](a)
例 左辺=A[1,[],2](a+1) の場合 @=A[1,[],2](a)
例 左辺=A[[2]](a+1) の場合 @=A[[2]](a) N=1
F(a)=a+1
A[](0)=F(N)
A[](a+1)=F(@)
A[[c]:n{c}+1](0)=A[N#[c];n{c}](N)
A[[c]:n{c}+1](a+1)=A[@#[c];n{c}](@)
A[Y&c;c,[c-1]:n{c-1}+1,n&c;c](0)=A[Y&c;c,N#[c-1];n{c-1},N;n&c;c](N)
A[Y&c;c,[c-1]:n{c-1}+1,n&c;c](a+1)=A[Y&c;c,@#[c-1];n{c-1},@;n&c;c](@)
A[Y&c-1;c,[c-2]:n{c-2}+1,n&c-1;c](0)=A[Y&c-1;c,N#[c-2];n{c-2},N;n&c-1;c](N)
A[Y&c-1;c,[c-2]:n{c-2}+1,n&c-1;c](a+1)=A[Y&c-1;c,@#[c-2];n{c-2},@;n&c-1;c](@)
A[Y&c-2;c,[c-3]:n{c-3}+1,n&c-2;c](0)=A[Y&c-2;c,N#[c-3];n{c-3},N;n&c-2;c](N)
A[Y&c-2;c,[c-3]:n{c-3}+1,n&c-2;c](a+1)=A[Y&c-2;c,@#[c-3];n{c-3},@;n&c-2;c](@)
......
A[Y&3;c,[2]:n{2}+1,n&3;c](0)=A[Y&3;c,N#[2];n{2},N;n&3;c](N)
A[Y&3;c,[2]:n{2}+1,n&3;c](a+1)=A[Y&3;c,@#[2];n{2},@;n&3;c](@)
A[Y&2;c,[1]:n{1}+1,n&2;c](0)=A[Y&2;c,N#[1];n{1},N;n&2;c](N)
A[Y&2;c,[1]:n{1}+1,n&2;c](a+1)=A[Y&2;c,@#[1];n{1},@;n&2;c](@)
A[Y&1;c,[0]:n{0}+1,n&1;c](0)=A[Y&1;c,N#[0];n{0},N;n&1;c](N)
A[Y&1;c,[0]:n{0}+1,n&1;c](a+1)=A[Y&1;c,@#[0];n{0},@;n&1;c](@)
A[Y&0;c,[]:n+1,n&0;c](0)=A[Y&0;c,N#[];n,N;n&0;c](N)
A[Y&0;c,[]:n+1,n&0;c](a+1)=A[Y&0;c,@#[];n,@;n&0;c](@)
A[Y&0;c,Y,0:m+1,[]:n,n&0;c](0)=A[Y&0;c,Y,N:m,N%[];n,N;n&0;c](N)
A[Y&0;c,Y,0:m+1,[]:n,n&0;c](a+1)=A[Y&0;c,Y,@:m,@%[];n,@;n&0;c](@)
A[Y&0;c,Y,X,b+1,0:m,[]:n,n&0;c](0)=A[Y&0;c,Y,X,b,N:m,N%[];n,N;n&0;c](N)
A[Y&0;c,Y,X,b+1,0:m,[]:n,n&0;c](a+1)=A[Y&0;c,Y,X,b,@:m,@%[];n,@;n&0;c](@)
A(0)=A[[N]:N](N)
A(a+1)=A[[A(a)]:A(a)](A(a))
A(N)を「なんとなく巨大数」とする 数直数
x…数直の数
x^…数直の次元
a=0以上の自然数
b=0以上の自然数
x=n (a) 0→a…0からaまで
x=n (a)
0→a
A(A(…A(A(1，a)，a)…a)a)←n回A(1，a)を埋め込む
x^2=n (a・b)
0→a
AN^a(b)
=IA(b，b…b，b) ←a個のb x^2=1 (2，3)
0→2
AN^{2}(3)=AN1
=IA(3，3)
=A(61,29,13,5)
x^2=2 (2，3)
0→2
AN^{A(AN^2(3)，2)}(A(AN^2(3)，3))=AN2
x^2=3 (2，3)
0→2
AN^{A(AN2，2)}(A(AN2，3))=AN3
AN6を「ネタ数」、AN100を｢霧数」とする c，b，k，y，z=0以上の自然数
x^3=n (a，b，c)
AN^{c}(a，b)=AN^{c}(ANn)=AN[c]n^3
x^4=n (a，b，c，d)
AN^{d}(a，b，c)
=AN^{d}(AN[c]n)=AN[c，d]n^4
x^k=n (AN[z]n^k-1，y)
AN^{y}(AN[z]n^k-1)=AN[z，y]n^k
このとき、
x^100=100 (AN[100]100^99，100)
=AN[100，100]100^100
を｢直数｣とする 0と1だけの数列でε_0より小さい順序数を全て表現できる
これを幻視数列と名付ける
[]=0
[0]=1
[0,0]=2
[0,0,0]=3
[0,1]=ω
[0,1,0]=ω+1
[0,1,0,0]=ω+2
[0,1,0,0,0]=ω+3
[0,1,0,1]=ω×2
[0,1,0,1,0]=ω×2+1
[0,1,0,1,0,0]=ω×2+2
[0,1,0,1,0,1]=ω×3
[0,0,1]=ω^2
[0,0,1,0]=ω^2+1
[0,0,1,0,1]=ω^2+ω
[0,0,1,0,1,0,1]=ω^2+ω×2
[0,0,1,0,0,1]=ω^2×2
[0,0,1,0,0,1,0,0,1]=ω^2×3
[0,0,0,1]=ω^3
[0,0,0,0,1]=ω^4
[0,1,0,1,1]=ω^ω
[0,1,0,1,1,0]=ω^ω+1
[0,1,0,1,1,0,1]=ω^ω+ω
[0,1,0,1,1,0,0,1]=ω^ω+ω^2
[0,1,0,1,1,0,0,0,1]=ω^ω+ω^3
[0,1,0,1,1,0,1,0,1,1]=ω^ω×2
[0,1,0,1,1,0,1,0,1,1,0,1,0,1,1]=ω^ω×3
[0,1,0,0,1,1]=ω^(ω+1)
[0,1,0,0,1,1,0,1,0,1,1]=ω^(ω+1)+ω^ω
[0,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1,1]=ω^(ω+1)×2
[0,1,0,0,0,1,1]=ω^(ω+2)
[0,1,0,0,0,0,1,1]=ω^(ω+3)
[0,1,0,1,0,1,1]=ω^(ω×2)
[0,1,0,1,0,1,0,1,1]=ω^(ω×3)
[0,0,1,0,1,1]=ω^ω^2 [0,0,1,0,0,1,1]=ω^(ω^2+1)
[0,0,1,0,0,0,1,1]=ω^(ω^2+2)
[0,0,1,0,1,0,1,1]=ω^(ω^2+ω)
[0,0,1,0,1,0,0,1,1]=ω^(ω^2+ω+1)
[0,0,1,0,1,0,1,0,1,1]=ω^(ω^2+ω×2)
[0,0,1,0,0,1,0,1,1]=ω^(ω^2×2)
[0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,1,1]=ω^(ω^2×3)
[0,0,0,1,0,1,1]=ω^ω^3
[0,0,0,0,1,0,1,1]=ω^ω^4
[0,1,0,1,1,0,1,1,1]=ω^ω^ω
[0,1,0,1,1,0,0,1,1,1]=ω^(ω^ω+1)
[0,1,0,1,1,0,0,0,1,1,1]=ω^(ω^ω+2)
[0,1,0,1,1,0,1,0,1,1,1]=ω^(ω^ω+ω)
[0,1,0,1,1,0,1,0,1,0,1,1,1]=ω^(ω^ω+ω×2)
[0,1,0,1,1,0,0,1,0,1,1,1]=ω^(ω^ω+ω^2)
[0,1,0,1,1,0,0,0,1,0,1,1,1]=ω^(ω^ω+ω^3)
[0,1,0,1,1,0,1,0,1,1,0,1,1,1]=ω^(ω^ω×2)
[0,1,0,0,1,1,0,1,1,1]=ω^ω^(ω+1)
[0,1,0,0,0,1,1,0,1,1,1]=ω^ω^(ω+2)
[0,1,0,1,0,1,1,0,1,1,1]=ω^ω^(ω×2)
[0,1,0,1,0,1,0,1,1,0,1,1,1]=ω^ω^(ω×3)
[0,0,1,0,1,1,0,1,1,1]=ω^ω^ω^2
[0,0,1,0,0,1,1,0,1,1,1]=ω^ω^(ω^2+1)
[0,0,1,0,1,0,1,1,0,1,1,1]=ω^ω^(ω^2+ω)
[0,0,1,0,0,1,0,1,1,0,1,1,1]=ω^ω^(ω^2×2)
[0,0,0,1,0,1,1,0,1,1,1]=ω^ω^ω^3
[0,0,0,0,1,0,1,1,0,1,1,1]=ω^ω^ω^4
[0,1,0,1,1,0,1,1,1,0,1,1,1,1]=ω^ω^ω^ω
[0,1,0,1,1,0,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1]=ω^ω^ω^ω^ω 昔のスレ読んでて思ったが、「巨大数の生成を学習する」ってなんなんだろうな。
人工知能でも普通の知能でもいいけど。
まずAlphaZeroみたいにゼロからランダムに動きまくって学習していくってのを考えてみる。
とりあえず512文字のC言語で出力されるものでより巨大な数を生成することを目的とする。文字数はもっと増やしてもいいしそのほうが学習の幅が広がりそう。
学習するための情報として生成されたプログラムがどれほどの巨大数を生み出すかを評価できなければならない。少なくともそれぞれの大きさを比較できないといけない。
言語を指定していなければまず文脈を推定するメタプログラムも必要になる。
巨大数の生成を学習すると同時に健全な理論も獲得していく必要があるな。
しかしその健全性も経験則の域を出ることはない。
何を以てwell definedな巨大数と見做すかというレギュレーションの問題もあるな 生成されたプログラムとは別に最初から天与の数が在る必要がある
そして生成されたプログラムがどのような天与の数に相当するものを出力するかを本質的に決定するアルゴリズムも必要
しかし実際に相当する天与の数を決定して大きさ比較するのはほとんどの場合現実的に不可能になってくるため、直接プログラム同士を比較する方法を学習する必要が出てくる。 計算不能レベルは天与の数を〜現実的に不可能じゃなくて、原理的に不可能となるため、必要が出てくる。
計算不能関数を学習するとは？
停止性はさておき、無限時間を扱える言語なら計算不能関数も表現できようが、さて、そのような言語で学習を回したとして直接プログラムを比較するアルゴリズムを学習できなければならない、あるいは自ら言語とアルゴリズムを獲得しなければならない。
グーゴロジストって高度なことやってんだな 多変数IA変換アッカーマン関数
x，y，z=0以上の自然数
IA(x，y，z)
=IA(x，IA(y，z))
IA(3変数以上の変数)
→IA(2変数)
3変数以上の変数を2変数に直し、計算する
IA(1，1，1)
=IA(1，IA(1，1))
=IA(1，27)
IA(1，1，1，1)
=IA(1，IA(1，IA(1，1)))
=IA(1，IA(1，27))
となる。 a,b,n 非負整数
X 0個以上の非負整数
a:n a個のn
* A,B,C,D,Eのどれか
左辺=*[0:n+1](0) ならば %=*[*cup:n](*cup)
左辺=*[X,b+1,0:n](0) ならば $=*[X,b,*cup:n](*cup)
左辺=*[X](a+1) ならば @=*[X](a)
Acup=1
A[](0)=Acup+1
A[](a+1)=@+1
A[0:n+1](0)=A[%:n]^%(%)
A[0:n+1](a+1)=A[@:n]^@(@)
A[X,b+1,0:n](0)=A[X,b,$:n]^$($)
A[X,b+1,0:n](a+1)=A[X,b,@:n]^@(@)
Bcup=A[Acup:Acup]^Acup(Acup)
B[](0)=A[Bcup:Bcup]^Bcup(Bcup)
B[](a+1)=A[@:@]^@(@)
B[0:n+1](0)=B[%:n]^%(%)
B[0:n+1](a+1)=B[@:n]^@(@)
B[X,b+1,0:n](0)=B[X,b,$:n]^$($)
B[X,b+1,0:n](a+1)=B[X,b,@:n]^@(@)
Ccup=B[Bcup:Bcup]^Bcup(Bcup)
C[](0)=B[Ccup:Ccup]^Ccup(Ccup)
C[](a+1)=B[@:@]^@(@)
C[0:n+1](0)=C[%:n]^%(%)
C[0:n+1](a+1)=C[@:n]^@(@)
C[X,b+1,0:n](0)=C[X,b,$:n]^$($)
C[X,b+1,0:n](a+1)=C[X,b,@:n]^@(@)
Dcup=C[Ccup:Ccup]^Ccup(Ccup)
D[](0)=C[Dcup:Dcup]^Dcup(Dcup)
D[](a+1)=C[@:@]^@(@)
D[0:n+1](0)=D[%:n]^%(%)
D[0:n+1](a+1)=D[@:n]^@(@)
D[X,b+1,0:n](0)=D[X,b,$:n]^$($)
D[X,b+1,0:n](a+1)=D[X,b,@:n]^@(@)
Ecup=D[Dcup:Dcup]^Dcup(Dcup)
E[](0)=D[Ecup:Ecup]^Ecup(Ecup)
E[](a+1)=D[@:@]^@(@)
E[0:n+1](0)=E[%:n]^%(%)
E[0:n+1](a+1)=E[@:n]^@(@)
E[X,b+1,0:n](0)=E[X,b,$:n]^$($)
E[X,b+1,0:n](a+1)=E[X,b,@:n]^@(@)
Fcup=E[Ecup:Ecup]^Ecup(Ecup)
Fcupを巨乳数とする >>964
>a:n a個のn
間違い
a:n n個のa a,b,n,z 非負整数
X 0個以上の非負整数
a:n n個のa
(X):n Xのn回の繰り返し
左辺=(a+1)[X]z ならば @=a[X]z
a[]0=a+1
0[](z+1)=(z+1)[(z+1:z+1):z+1]z
(a+1)[](z+1)=@[(@:@):@]z
0[0:n+1]z=(z+1)[(z+1):n]z
(a+1)[0:n+1]z=@[@:n]z
0[X,b+1,0:n]z=(z+1)[X,b,(z+1):n]z
(a+1)[X,b+1,0:n]z=@[X,b,@:n]z
a[](b[](c[](d[]...[](w[](x[](y[]z)))...))) と記述して巨大数を表現する 急増加関数を使って巨大関数を表してみた
G(0,n)＝F_[0](n)
G(1,n)＝F_[ω](n)
G(2,n)＝F_[ψ(Ω)](n)
G(3,n)＝F_[ψ(Ω_ω)](n)
G(4,n)＝F_[ψ(Ω_Ω)](n)
G(5,n)＝F_[ψ(Ω_Ω_ω)](n)
G(6,n)＝F_[ψ(Ω_Ω_Ω)](n)
G(7,n)＝F_[ψ(Ω_Ω_Ω_ω)](n)
G(8,n)＝F_[ψ(Ω_Ω_Ω_Ω)](n) a,b,cは1以上の整数、右から計算する
a+1...+1=a(+1)b [+1がb個]
a(+1)b...(+1)b=a((+1)b)c [(+1)bがc個]
a(+1)a=a((+1))1
a((+1)a)a=a((+1))2
a(((+1)a)a)a=a((+1))3
a(...(+1)a...)a=a((+1))b [)aがb個]
a((+1))b...((+1))b=a((((+1))b))c [((+1))bがc個]
a((+1))a=a(((+1)))1
a((((+1))a))a=a(((+1)))2
a((((((+1))a))a))a=a(((+1)))3
a((...((+1))a...))a=a(((+1)))b [))aがb個]
a(...(+1)...)a=(a,1,b) [()がb個]
(1,1,100)は大きくなるかな 1だと個数を数える時に1個になるから大きくならなかった
(100,1,100)だったら大きくなりそう？ ωの基本列の第n項ω[n]をnとして、
(100,1,2)<f{ω}(100)
(100,1,100)<f{ω+98}(2)
ぐらいかも オイラーの定理の拡張
任意のm,nにつき、nと互いに素なaが存在し、
a(↑^m)φ(n)≡1 mod n >>971
反例がありそうだが、とりあえずaがφ(n)の約数でないという条件も必要 >>972
3を法としたときの2があるから必要条件でもないか。分からなくなった B関数(仮)
B()…B関数(仮)
c,k=0以上の非負整数
a1…a=0以上の非負整数
n1…n=0以上の非負整数
B(a1,c)=B(a-1,a,c)
B(a,c,k)=B(a,c-1,B(a,c,k-1))
B(0,n1)=n+1
B(a2,0)=B(a2-1,1)
B(0,a3,t)=B(a3-1,t+1)
B(a4,a5,0)=B(a4,a5-1,1)
B(a6,0,n2)=B(a6-1,1,n2)
B(1,1)=3
B(3,3)=B(2,3,3)
B(3,3,3)=B(2,3,3,3)
B(3,3,3,3)=B(2,3,3,3,3)
(ちなみに、多変数アッカーマン関数とほぼ同じ大きさです。) B関数(多変数？)
[]の中のaの数分だけ、[n]が埋め込まれる。
右の[0]は、左の[]の解に+1をする
B([1],[2])
=B([[1],1],[1])
=B([[[1],1],1],[0])
=B([[2,1],1],[0])
[]の中の2変数はB関数で解く
B([],0)
=1
[]の中に何も入っていなく、なおかつ、右の数も[]の中に入っていない場合、1を出力する。 B関数(派生)
B
┌[]0┐
└[]0┘
=B
┌1┐
└1┘
=B[1,1]
=B(1,1)
上の式を、
B[(1)[]0^2]と表す
さらに、
B
┌[]0┐0
└[]0┘0
=B
┌1┐0
└1┘0
=B[1,1],[0],[0]
=B[3],[2]
となり
B[(1)[]0^2]0
と表す。
この時、
B[(47)[41]95^76]64
を「乱数生成機で出てきた5つの数で作った自作(？)巨大数にしようか迷ってる数」とする 上の巨大数を作るにあたって、
・アッカーマン関数
・多変数アッカーマン関数
・リストアッカーマン関数
・多重リストアッカーマン関数
・バシク行列数
・原始数列数
などを参考にしておりますm(_ _)m で、これが急増加関数で表すと、どんぐらいになるか分からんので、誰か教えてくださいm(_ _)mお願いします(中３には難しかった) 今更なんですが、多変数アッカーマン関数とかを元にしてるってことは、ω^ωはあるのかなと思いました(コナミ) a,b,c,d,e=0以上の非負整数
B[(a)[b]c^d]eをB(1)とした時、
B(2)=B[(a)[B(a)[b]c^d]e^d]e
B(n)=B[(a)[B(a)[…[B(a)[b]c^d]…]e^d]e^d
となる。
この時、B(100)を「小数」とする。
さらに、B(B(1))を₂B(1)とした時、
₂B(n)=B(B(B(…(B(n))…)))
となる。
この時、₂B(100)を「中数」とする。 (2"B(n)=B(B(…(B(n))…))
さらに、2"B(2"B(n))を3"B(n)とした時、
3"B(100)を「大数」とする。
n"B(n)=n-1"B(n-1"B(…(n-1"B(n))…))
とすることが出来る。
そこで、
100"B(100)を「基数集合数」とする。 B[(1)[]0^2]0=B(1)の時の
100"B(100)を「最小100限基数集合数」とする
同じく、
B[(47)[41]95^76]64=B(1)の時の
100"B(100)を「最小ルーレット数」とする B(1)=B[(1)[]0^2]0の時の
B[100"B(100)]をB{1}とし、
100"B{100}を
「最小100限B関数基数集合数」とし、
B[100"B{100}]をB[1]とした時、
100"B[100]を
「最大最小100限B関数複合基数集合数」
とする。
同様に、
B(1)=B[(47)[41]95^76]64とした時の
B[100"B(100)]をB{1}とし、
100"B{100}を
「最小ルーレット基数」とし、
B[100"B{100}]をB[1]とした時、
100"B[100]を
「最大最小ルーレット基数」
とする。 加減乗除や指数を使った定理なり素数なりって既に偉大な先人の名前が付いてるけど、
最近定義された多変数アッカーマンやBMSを使ったものならアマチュアでもワンチャン名を残せるのでは B関数強化IBI数
a1…a4=1以上の非負整数
b,c,d,e=1以上の非負整数
IBI[a1,a2,…a3,a4](n)
=IBI[a1,a2,…a3,a4](0)
↑[]の中の数を2^n回複製する
IBI[b,c,d,e](0) b＞e
=IBI[b1-1,c1,d1,e1,b1,c1,d1,e1](0)
↑b＜eになるまで、初めの[]の中の数を複製する
IBI[b2,c2,d2,e2](0) b2＜e2
=IBI[b2,c2,d2](e2)
↑e2を消去し、()の中にe2を入れる
IBI[b3,c3,d3,e3](0) b3=e3
=IBI[b3,e3](c3+d3)
↑b3とe3以外の数を消去し、()の中に入れ、全て足し合わせる
IBI[1,1,1,1](0)
=4
↑[]の中の数が全て1の時、[]の中の数を全て足し合わせる
IBI[7,3,4]=2^{5×2^{986}} なお、IBI数(B関数強化関数)でB関数をどう強くさせるかは、未定 IBIB関数
計算自体は変わらんので、割愛
IBIB[(1)[]0^2]0(0)
=7
IBIB[(1)[]0^2]0(1)
=2^{2×2^{2×2^{2×2^{2×2^{2772×2^213120}}}}} 上の基数集合数と同じやり方で、
IBIB[(1)[]0^2]0(1)=IBIB(1)とした時の
100"IBIB[100]を「最小IBIB数」とする 何とか大きくできた。これなら、急増加関数でω^ω^ω位は行けたかな？ >>990
2^{2×2^{2×2^{2×2^{2×2^{2772×2^213120}}}}}
計算ミスで、これよりだいぶ小さくなりました >>992
2^{6×2^{10×2^{14×2^{18×2^{180224}}}}}
こうなった。 もうちょい詳しく計算しないと、すぐ計算ミスするなこれ いや、よくよく考えれば、
IBIB[7](1)
=IBIB[7,7](0)
=IBIB[7,6](0)
じゃなくて
IBIB[7](1)
=IBIB[7,7](0)
=IBIB[6,7,7](0)
になるわ、やっぱ最初の
2^{2×2^{2×2^{2×2^{2×2^{2772×2^213120}}}}}
であってた。あと、多分これより大きい。誤差の範囲内だろうけど、途中の2×2^{…}の
×2の部分(「2×」2^{…})がもうちょい大きくなる 強化版IBI数
a,b,c=1以上の非負整数
IBI₂[a,b,c](0) a＜b＜c
=IBI₂[c](a,b) a＜b
=IBI₁[[c](b)](a)
[]の中の数を比較し、1番右の数より小さいものは外に出され、()の中に入れられる。
また、()の中でも同様のことをし、引数をひとつ減らす。
[]の中から計算する。
IBI₂[2,4,3]
=IBI₁[2^{6×2^{630}}](1)
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