小中学校範囲の算数・数学の問題のスレ Part 55
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前スレ
小中学校範囲の算数・数学の問題のスレ Part 54
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483872494/ 要するにatan((√3)/2)が40°でない事を示せばいいわけだけど、数2以上の知識あればtanの3倍角で示せる
知らなくてもこんなのすぐ導出できるし
初等的にもできるだろうけど意味はないな 前>>945
>>950
R=16√3/3
この値は球とはなんの因果もないように見えて、
球の半径をr=16√3/3ぐらいにしたらいいんじゃないかな？
∠Aは90°を超えそうだけど。
ACも16√3/3がちょうどいいぐらい。 >>953は元の>>923についてだね。
BC上にBD=4, CD=8となる位置に点Dを取ると△ABD側からAD⊥BD, AD=4√3 がいえるってことか。
∠Cをarctan(√3/2)=40.893…°に変えると存在するのね。 球面三角形の余弦定理・正弦定理を満たす球の半径はR>12には存在しないから、条件を満たす球面三角形は存在しない。 >>957
BCは大円の円周以下だから、Rは>12/(2π)以上で解は存在しないな。 AB = 8, BC = 12, ∠B = 60°, ∠C = 40° のとき、
球面三角形ABCの存在する球の半径xを求めよ
という問題にして
中心角
a=BC/x=12/x
b=CA/x
c=AB/x=8/x
内角
B=pi*60/180=pi/3
C=pi*40/180=pi*2/9
sin(b)/sin(B)=sin(c)/sin(C) 正弦定理
cos(b)=cos(c)cos(a)+sin(c)sin(a)cos(B) 余弦定理
を適用して
sin(b)=sin(8/x)*sin(pi/3)/sin(pi*2/9)
cos(b)=cos(8/x)*cos(12/x)+sin(8/x)*sin(12/x)*cos(pi*2/9)
cos(b)^2+sin(b)^2=1で立式
(sin(8/x)*sin(pi/3)/sin(pi*2/9))^2+(cos(8/x)*cos(12/x)+sin(8/x)*sin(12/x)*cos(pi*2/9))^2=1
数値解を出すと
fn <- function(x)(sin(8/x)*sin(pi/3)/sin(pi*2/9))^2+(cos(8/x)*cos(12/x)+sin(8/x)*sin(12/x)*cos(pi*2/9))^2 -1
curve(fn(x),xlim=c(12/(2*pi),10),bty='l') ; abline(h=0,lty=3)
optimize(fn,c(6/pi,4))
(r1=uniroot(fn,c(6/pi,2.54),tol=1e-24)$root)
(r2=uniroot(fn,c(2.54,4),tol=1e-24)$root)
解が２つ出てきた
> (r1=uniroot(fn,c(6/pi,2.54),tol=1e-24)$root)
[1] 2.063988
> (r2=uniroot(fn,c(2.54,4),tol=1e-24)$root)
[1] 3.323372 前>>955
>>950
AB=8,BC=12,∠A=60°を作図し、AからBCに垂線AHを下ろすとAH=4√3,BH=4,HC=8
△ABCが平面上にあるとするとピタゴラスの定理より、
AC=√(4√3)^2+8^2｝=4√7
8/4√7=2/√7=0.75592894601……
cos40°=0.76604444311……
HC/AC=8/4√7＜cos 40°
つまりACは平面だとじゅうぶん長い。
といってもほんのわずかだから、球体の半径をじゅうぶんとる必要があると考える。
∴△ABCは平面上には存在しないが、球体面上であれば存在すると考えられる。 前>>960
>>950
水晶に、おっきい三角形とちっさい三角形が見えました。 ふつう、球面三角形では辺の長さを180°以下とするから
12/R＜π 即ち R＞12/π=3.8197 が課せられるのだが、
この範囲にはたぶんない。
一辺だけ180°を超えることを許せば存在するみたいだ。
12/R＜2π かつ 8/R＜π
即ち R＞8/π=2.5464 でよいことになる。
どうやら
R=3.2722 のときに
(大円の半周は πR=10.279)
∠A=210.16°, ∠B=60°, ∠C=40,
AB=8, BC=12, BC=3.4175
(角度で表すと
AB/πR=0.7804=140.07°,
BC/πR=1.1707=210.11°,
AC/πR=0.3324=59.840°)
という解があると思う。 >>963
なるほど
大円の優弧の方でできる可能性があったのか
気づかなかった >>959 には一ヶ所、余弦定理に入れる B の値にミスがある？
誤 cos(b)=cos(8/x)*cos(12/x)+sin(8/x)*sin(12/x)*cos(pi*2/9)
正 cos(b)=cos(8/x)*cos(12/x)+sin(8/x)*sin(12/x)*cos(pi/3)
すると自分と同じ値が出るかも。
ちなみに、球面三角形の内角を定義するあたりが高校範囲外たる理由だと思われる 球面三角形は過去の学問で、実際の応用では回転行列に置き換わっている。
でも、行列は高校から追い出されたから使っちゃイカンのか？ >>959
（立式間違いと数値修正）
959 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2020/09/02(水) 22:32:09.95 ID:62Rt+r6G
AB = 8, BC = 12, ∠B = 60°, ∠C = 40° のとき、
球面三角形ABCの存在する球の半径xを求めよ
という問題にして
中心角
a=BC/x=12/x
b=CA/x
c=AB/x=8/x
内角
B=pi*60/180=pi/3
C=pi*40/180=pi*2/9
sin(b)/sin(B)=sin(c)/sin(C) 正弦定理
cos(b)=cos(c)cos(a)+sin(c)sin(a)cos(B) 余弦定理
を適用して
sin(b)=sin(8/x)*sin(pi/3)/sin(pi*2/9)
cos(b)=cos(8/x)*cos(12/x)+sin(8/x)*sin(12/x)*cos(pi/3)
cos(b)^2+sin(b)^2=1で立式
(sin(8/x)*sin(pi/3)/sin(pi*2/9))^2+(cos(8/x)*cos(12/x)+sin(8/x)*sin(12/x)*cos(pi/3))^2=1
数値解を出すと
fn <- function(x)(sin(8/x)*sin(pi/3)/sin(pi*2/9))^2+(cos(8/x)*cos(12/x)+sin(8/x)*sin(12/x)*cos(pi/3))^2 -1
curve(fn(x),xlim=c(12/(2*pi),10),bty='l') ; abline(h=0,lty=3)
optimize(fn,c(6/pi,4))
(r1=uniroot(fn,c(6/pi,2.54),tol=1e-24)$root)
(r2=uniroot(fn,c(2.54,4),tol=1e-24)$root)
解が２つ出てきた
> (r1=uniroot(fn,c(6/pi,2.54),tol=1e-24)$root)
[1] 2.08421
> (r2=uniroot(fn,c(2.54,4),tol=1e-24)$root)
[1] 3.27225 >>965
ご指摘の通りです。
そこを修正して同じ数値が出ました。 よろしくお願いします。
ttp://get.secret.jp/pt/file/1599070740.png
この図は、三角形ＯＢＣに、底辺ＢＣに並行な線ＰＱと線ＡＤを書き加えたものです。
ＢＣの長さが14cm、ＡＤの長さが8cmです。
先日、相似比と面積比のことを教えていだだき勉強したのですが、
相似の三角形ＯＡＤとＯＢＣの面積の比は8*8：14*14＝16：49と分かりました。
よって面積比として、三角形ＯＡＤ：台形ＡＢＣＤ＝16：33となる、ということはわかりました。
そこで質問なんですが、同じく面積比として、
ＯＡＤ：ＡＰＱＤ：ＰＢＣＱ＝16：9：24となるそうなんですが、どうしてそうなるのかわかりません。
台形ＡＰＱＤと台形ＰＢＣＱの面積比を、どうやって確定すればいいのか、教えてください。 もうひとつ質問です。中学受験用の問題でつまづきました。
ある問題への私の解答の何が間違っているのか指摘してください。
問題→「２時間に３分遅れる時計があります。この時計を午前６時に正確な時刻にあわせました。
この時計がその日の午後7時を指したとき、正確な時刻は７時何分ですか？」
私の考えは、
・２時間で３分なら、１時間で1.5分遅れるんだな。
・このアホ時計がAM6からPM7を指すまでに、現実には13時間＋（13*1.5分）が経っているはずだ。
・よって、このアホ時計が19時を指しているとき、正確な時間は19時19分30秒だ（だって13*1.5=19.5だから）
↑
これは間違いだそうです。正解は19時20分ジャストらしいです。私の何が間違っているんでしょうか？ >>969
その条件だけでは確定しない
逆に、
ＯＡＤ：ＡＰＱＤ：ＰＢＣＱ＝16：9：24となるとき、ＰＱの長さを求めよ
とかいう問題ならわかる >>972
>>969です。
ひとつ書き忘れました。
APQD：PBCQ＝3：8という条件が問題にありました。
これでいかがでしょうか？ >>971
＞・このアホ時計がAM6からPM7を指すまでに、現実には13時間＋（13*1.5分）が経っているはずだ。
ココが間違い
１時間に1.5分遅れる時計は、60分後に60-1.5分後を指すのであって、60+1,5分後に60分後を指す、のとは異なることに注意すべし >>973
その条件があれば確定する
ABCD＝APQD＋PBCQであることを利用して求めればよい 自分のもちょっと表記がおかしかった
∠A=210.16°, ∠B=60°, ∠C=40,
AB=8, BC=12, AC=3.4175
(角度で表すと
AB/R=2.4448=0.7782π=140.07°,
BC/R=3.6672=1.1673π=210.11°,
AC/R=1.0444=0.3324π=59.840°)
と書くべきか
>>970
（ ´∀`）つ https://dotup.org/uploda/dotup.org2245513.jpg
180度を超える角が思いのほかキモい >>974
ありがとうございました！もういちどよく考えてみます。
>>975
よく考えてみたらわかりました！！ ありがとうございました。 球面上だと凸の三角形をイメージするけど
凹三角形も可能じゃないかな。
これだと内角の和は180°より小さいと思う。 >>980
赤と黄は問題ないな
青と緑はさすがに自己交叉してるとちょっとあかんやろ 前>>962
>>969
題意より△OAD:□ABCD=16:33
□APQD:□PBCQ=3:8=9:24(9+24=33だから)
∴△OAD:□APQD:□PBCQ=16:9:24 前>>982
>>971
題意より時計は13時間に13×(3/2)=39/2分遅れる。
時計が午後7時のとき正確な時刻は午後7時19分30秒。
何時何分かと問うたはるから、19分か20分か。
その30秒が経たないと分針は動かないか正確な時刻で19分30秒遅れているとき、時計は20分遅れている。
∴午後7時20分 どんなに頑張っても“内角”の和がπ以下になることはないな
３つの相異なる大円がわける８つ領域のうち少なくともひとつは内角が全て鈍角でないものが取れる
その内角をπ/2-a,π/2-b,π/2-cとすると８つの三角形の内角はπ/2±a, π/2±b, π/2±cとするとガウスの定理より
π/2±a±b±c>0
この3円の円弧からどう“三角形”を作っても、ひとつの角はπ/2±aか3π/2±a
残りの二つも同様でどうあがいても三角の和がπ以下にはなれない >>984
証明間違ってる
撤回
でもまぁなさそう いや、さすがにふざけてんだと思うよ
よくいるじゃん、何にでも“ちょける”やつ
それのいい歳した大人版 本気なんだったとしたら、ちゃんと間違いを認めて訂正して欲しい。
なんか質問者をバカにしてるようで、見ててすごく不快だ。 前>>983
>>971
先に出題者が答え言っちゃってるんでおもしろくもなんともないけど、この問題に対する答案としていいボケがとくに浮かばなかったからまともに答えた。 前>>993訂正。
>>971
題意より時計は13時間に13×(3/2)=39/2分遅れる。
時計が午後7時のとき正確な時刻は午後7時19分30秒。
何時何分かと問うたはるから、19分か20分か。
その30秒が経たないと分針は動かないから正確な時刻で19分30秒遅れているとき、時計は20分遅れている。
∴午後7時20分 前>>994訂正。
>>971
題意より時計は13時間に13×(3/2)=39/2分遅れる。
時計が午後7時のとき正確な時刻は午後7時19分30秒。 7時何分かと問うたはるから、19分か20分か。
その30秒が経たないと分針は動かないから正確な時刻で19分30秒遅れているとき、時計は20分遅れている。
∴午後7時20分
午後はつけといたほうがいいと思う。 >>971
正確な時計とアホ時計の進む時間の比は120:117。
で、アホ時計が780分進む間に正確な時計は780×(120/117)=800分進む。
よって7時20分ちょうど。
一応な。 >>996
球面幾何学なら測地線は大円しか許されない 前>>995別解。
>>971
2時間で3分遅れる時計は、
13時間20分後、
(13+1/3)(3/2)=39/2+1/2=20(分)遅れる。
∴午後7時20分 このスレッドは１０００を超えました。
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