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【数セミ】エレガントな解答をもとむ3【2018.10】
レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
0851１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/02/15(月) 03:06:49.52ID:fbJrP/KA
>　ρとして 1+2i とか使っていいなら ρ=2+i も使えば簡単に8点作れるけど、

他にもあるようです。
　ρ = ±33±4i, ±32±9i, ±31±12i, ±24±23i, ±23±24i, ±12±31i, ±9±32i, ±4±33i,
の32点　(|ρ|=√1105)
　ρ = ±65, ±63±16i, ±60±25i, ±56±33i, ±52±39i, ±39±52i, ±33±56i, ±25±60i, ±16±63i, ±65i,
の36点　(|ρ|=65)　など

…と言っているうちにもう15日
3月号の問題に取り組まねば
0853１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/02(火) 18:47:19.00ID:9tcN6NOO
出題1の（2）だが、実際に9個八面体を造る奴が、かなりいると思う。
0860１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/04(木) 03:20:16.42ID:cVC4XyuV
蛇足だけど。
「八面体」と、十二面体の半分である「正六角錐」を敷き詰めて
厚さ (√3)/2 の板を充填できる。 2個：1個
同じことだが
この八面体を小さい△で貼り合わせた「鼓形」と「十二面体」を
敷き詰めて　厚さ√3 の板を充填できる。
いわゆる 空間充填多面体。
(2) 一辺の長さが2の立方体にキレイに収まる物だけ残せば…
0865１３２人目の素数さん
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2021/03/09(火) 21:55:56.09ID:e9fDNuY/
3月号出題2はお茶を濁す解答になってしまった。変数変換後の領域(像)をどこまで正確に論じるか
0869１３２人目の素数さん
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2021/03/10(水) 21:54:07.36ID:dMP4wwTf
うむ。
　x = sinhξ/coshη, y = sinhη/coshζ, z = sinhζ/coshξ,
等とおけば、D_2 の定義式は
　0 ≦ sinhξ ≦　coshη,
　0 ≦ sinhη ≦　coshζ,　
　0 ≦ sinhζ ≦　coshξ,
のようなものかな？

問題はこれをどこまで正確に論じるか？　　　>>865
　
半直線 ξ=η=ζ≧0 を含む希ガス…
0870１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/10(水) 21:54:07.36ID:dMP4wwTf
うむ。
　x = sinhξ/coshη, y = sinhη/coshζ, z = sinhζ/coshξ,
等とおけば、D_2 の定義式は
　0 ≦ sinhξ ≦　coshη,
　0 ≦ sinhη ≦　coshζ,　
　0 ≦ sinhζ ≦　coshξ,
のようなものかな？

問題はこれをどこまで正確に論じるか？　　　>>865
　
半直線 ξ=η=ζ≧0 を含む希ガス…
0872１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/10(水) 22:59:50.48ID:x9yOJlKS
元のsin,cosの方は
0≦α≦asin(cos(β)) = π/2-β
0≦β≦asin(cos(β)) = π/2-γ
0≦α≦asin(cos(γ)) = π/2-α
で5点O(0,0,0), A(π/2,0,0), B(0,π/2,0), C(0,0,π/2),
D(π/4,π/4,π/4)の凸包、体積は三角錐OABCの3/2倍で
3/2×1/6×(π/2)^3=π^3/32
hyperbolic版はasinh(cosh(x))がasinh(cos(x))≧xにより領域はx=y=z>0を含む無限領域になる
　
0874１３２人目の素数さん
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2021/03/11(木) 17:18:59.70ID:i8irJ9V7
n=2の場合でsinh(x),cosh(x)使うと結局Σ1/(2n-1)^2の別計算になるんだな

integrate [0infty] (asinh(cosh(x)-x)dx
=
integrate [1,infty] (log(sqrt(t^2+1)+t) - log (sqrt(t^2-1)+t))/sqrt(t^2-1)dt
=
π^2/16
=0.616850275068...

integrate [1,infty] (log(sqrt(t^2+1)+t) - log (sqrt(t^2-1)+t))/sqrt(t^2-1)dt
0876１３２人目の素数さん
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2021/03/12(金) 23:37:57.49ID:qFD/RlMf
>>870
突起部を平面 x+y+z = 3a で切った断面を考える。
中心 (a,a,a) から最も遠い点は 2曲面の交線上にあり、
　(a-2e^(-2a), a, a+2e^(-2a))　とその rotation で、
　中心からの距離は 2(√2)e^(-2a)
と近似される。
さらに断面を正三角形と仮定すると面積は
　S = 6(√3)e^(-4a),
この平面と O(0,0,0) の距離は h = (x+y+z)/√3 = a√3 だから
　S(h) = 6(√3)e^(-4h/√3),
突起部 (x+y+z>2) の体積は
　∫[2/√3, ∞] S(h) dh ≒ (9/2)e^(-8/3) = 0.31267553
ぐらいかな？
0877１３２人目の素数さん
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2021/03/13(土) 06:35:51.25ID:D5MHIZN9
0 < x+y+z < log(1+√2) = b = 0.881373587 の部分は
　S(h) = (3/2)(√3)h^2,
　V = ∫[0,b] S(h) dh = (1/2)(√3)b^3 = 0.11411135
0878１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/13(土) 08:42:39.54ID:D5MHIZN9
訂正ｽﾏｿ
　V = ∫[0,b/√3] S(h) dh = (1/6)b^3 = 0.11411135


S(2/√3) = 0.73308　>　0.72209 = 6(√3)e^(-8/3),
S(√3) = 0.18893　<　0.19034 = 6(√3)e^(-4),

r(2/√3) = 0.83890　>　0.745565 = 2(√2)e^(-4/3),
r(√3) = 0.39544　>　0.382785 = 2(√2)e^(-2),
0879１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/13(土) 15:24:05.70ID:Twk+dGtm
今月号の1番は4直線と正方形の配置は問題文の例の図に決め打ちしていいんかな？
単純に
「4直線が与えられているとき、それぞれから一点ずつを選んで正方形を作図せよ」
と読み替えてしまうと配置の可能性がかなり出てきて、それぞれによって違う作図法が必要になる希ガス
説明の仕方工夫してキレイにまとめる事も要求されてるのかな？
正直方程式立ててやっちゃう方が短いけど、それはエレガントと言えない気もするし
0880１３２人目の素数さん
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2021/03/13(土) 16:55:13.94ID:NoAyNlDk
>>879
色々見つけたならどれか1個示せばよいかと。
余裕あるなら網羅すればよいかと
おれはいつも最低要求レベルの答案で満足してる
0881１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/13(土) 17:54:46.23ID:r85d/wY8
>>880
イヤイヤ、方法が色々あるんじゃなくて4点と言っても正方形と4直線の関わり方でいくつかケースがあって、「このケースならこの方法で作図できて、このケースならこの方法で作図できて‥」といっぱいケースがあるんだよ
あんまり細かいこと書くとヒントになるから描けないけどオレの方法だと円書いて点取ってそこから幾ばくか離れたところに点取るとき右なのか左なのかとかケースによって変わってきて微妙に作図方法が変わる
2、3例しかないならまだしもいっぱい配置がありうるんだよ
どうしたもんかなと思って
見つかる四角形が問題文中に例示されてる配置に決まってるならそんな心配いらないんだけど
0882１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/13(土) 18:04:46.85ID:4CZl6pQq
そら問題文の図だけじゃなくて一般的に論じるのがベターだろ
極端な話、例えば4直線が互いに平行に等間隔で並んでたりしたら自明なわけで
0884１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/14(日) 07:12:55.57ID:OBNK+OoH
進みが速いなあ
いまは中休みの時期だろ
そして1週間前になって焦る
0887１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/21(日) 10:29:04.30ID:dgPR3iTS
>>877-878

0<x+y+z<b　が　0.114
b<x+y+z<2　が　0.627
2<x+y+z　が　0.311
合わせて 1.052

理論値　(7/8)ζ(3) = 1.0518　に近い…
0888１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/03/21(日) 14:15:40.10ID:dgPR3iTS
ζ(3) = Σ[n=1,∞] 1/n^3　を「アペリーの定数」
それが無理数であることを「アペリーの定理」と云うらしい。

三井孝美「数論の最近の話題から」
　数学セミナー, vol.18, no.12　(1979/Dec)
　数セミ増刊「数の世界」日本評論社 (1982)　p.142-150
0892１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/09(金) 23:21:30.25ID:qtjVxAQC
2021年４月号
■出題2
単一閉回路 (ジョルダン閉回路) を「ループ」と呼ぶなら、
奇数本の電灯がオンであるようなループが無いこと
かな？
0897１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/11(日) 23:09:19.30ID:XpMtbDgW
誰か出題1の答えあげてよ
オレの見つけた方法だと4本の直線のどこに頂点かわくるかの配置でめちゃめちゃ可能性があってとてもエレ解とは言えない
作図方法そのものじゃなくて作図可能である事だけ示すなら少しは楽になるけど
0899１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/12(月) 12:16:30.51ID:scUzzqi2
まず4直線ではなく3直線を通る正方形を考える。これは無数にある

異なる2つの3直線の組に対して同じことをやると、通常1通りに絞られることが分かる

で、その存在が保証されていることから作図可能とわかる
0900１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/12(月) 12:21:25.53ID:scUzzqi2
最初のステップ、3直線を通る正方形については、少なくとも頂点の1つが直線の交点となる極端なケースでは作図可能
この事実をうまく使えば作図可能な正方形の軌跡が得られ、次のステップに進める
0901１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/13(火) 00:50:45.30ID:SfYSo0zq
オレがつけた作図可能の証明

4本中3本が平行な時には議論は容易ゆえそうでないとする
この時4本の直線k,l,m,nのうちk,lとm,nは交点を持つとして良い
実際、どの2本も平行なら当然で、一組平行である時k,mは平行として良い
この時仮定によりkとl、mとnは平行ではない
kとlの交点をX、mとnの交点をYとする
まずXとYが一致しない時を考える
適当に座標軸を固定してk〜nの偏角をθk〜θnとする
k,l,m,n上の点KLMNで正方形の頂点をなす物のうち、まずKLが対角線となる場合を考える
Kt(cost, sint)を通りkに平行な直線をk(t)、
Lt(-cost, -sint)を通りlに平行な直線をl(t)、
Mt(sint, -cost)を通りmに平行な直線をm(t)、
Nt(-sint, cost)を通りnに平行な直線をn(t)とする
k(t)、l(t)の交点をX(t)、m(t)、n(t)の交点をY(t)とすればX(t),Y(t)の座標はcos(t),sin(t)の線形結合となる
よってXYベクトルとX(t)Y(t)ベクトルが平行となる条件はtan(t)=の形を取る
その方程式を解いて得られる(cos(t),sin(t))の解は作図可能である
コレを用いて得られるtを用いてk(t)〜n(t)を用いて得られる図形は元の図形と相似で相似の中心も容易に作図できる
この相似変換でKt〜Ntに対応するk〜n上の点が求める点である
X=Yとなる場合やKLMNの順番が異なる場合も同様である
0902１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/13(火) 01:03:18.40ID:4sZyeNlo
作図可能性を言いたいだけなら線形代数でよくないか？
90°の回転行列をRとしてAB=R BC, BC=R CDが条件だから、加減乗除だけで解けてもちろん作図可能
0903１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/13(火) 01:45:33.62ID:SfYSo0zq
回転の中点点を(X,Y)として4本の直線k,l,m,nを(X,Y)を中心に0,R,2R,3R回転して得られる直線の方程式はX,Yの一次式で得られる
それが全て同一の点をとおる事、すなわちコレら4本の直線の係数のなす4行3列の行列のrankが2以下がX,Yのなすべき条件
その解が二次以下の方程式の繰り返しで得られる事の証明ができればそれでもいい
0905１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/13(火) 02:54:23.10ID:AEPZEFT7
コレでよかったのか
なるほど

直線kを点P(X,Y)中心に+90°回した直線をkP、
直線lを点P(X,Y)中心に-90°回した直線をlPとして
kPとlPの交点が直線m上であるという条件を満たすPの軌跡aは直線になる
よってこの軌跡上の2点を作図できれば直線aが作図できる
ここでm上の点XをひとつとりXを通るk,lに垂直な直線k',l'をとる
このk'とkの2等分線の片方の上の任意の点を中心とする+90°回転によってkはk'にうつる
同様にl'とlの2等分線の片方の上の任意の点を中心とする-90°回転によってlはl'にうつる
よってこのふたつの2等分線の交点は直線a上にある
同様の構成をm上の別の点で行えばa上のもう一つの点を作図できる
コレでaが作図できる
同様にしてPを中心にkを-90°回転させた直線とlを+90°回転させた直線の交点がn上にあるようなPの軌跡のなす直線bも作図できる
このa,bの交点が求める正方形の中心である
0907１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/04/28(水) 21:57:32.54ID:zYonR4F/
簡単そうと思って手を付けずにいたんだが難しい、だと？
困るじゃないか
0909１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/05(水) 07:43:38.83ID:7b/pfnNf
2番は？
0911１３２人目の素数さん
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2021/05/05(水) 13:57:44.13ID:vTnGlv4q
だよな
てか全く初頭的な証明が分からん
ガロア理論とか使えば一発だけど
0915１３２人目の素数さん
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2021/05/08(土) 17:56:18.49ID:zmPJMSXR
>>914
問2はガロア拡大が活躍する典型問題
ガロアを使う解答はエレガントだけどエレ解としてはエレガントでないという矛盾
0916１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/08(土) 19:33:37.13ID:rzut8Ezb
今月号の出題1だが、ガロア理論の「ガ」の字もでてこなかったんだけど・・・。
とりあえず締め切り以降に、回答らしきものを出す予定。
0919１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/08(土) 21:45:55.62ID:PfNBiEsz
有理数は無い
0920１３２人目の素数さん
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2021/05/08(土) 21:57:35.96ID:izXhYIuc
ガロア理論使わない解答がもちろん想定解だろう
まぁオレはガロア理論使った回答できたので満足してるけど
0921１３２人目の素数さん
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2021/05/09(日) 00:05:35.46ID:B9RgXt6+
0でない整数mが素数pのu乗で割り切れ、かつu+1乗で割り切れないとき
u=v(p:m)と書くことにする。

ab=0あるいはgcd(a,b)＞1のときは明らか。
ab≠0かつgcd(a,b)=1のときを考える。

a＜0のとき、a・x^n+b・y^nの代わりに、(-a)・x^n+(-b)・y^nを考えれば同様に示せるので
a＞0と仮定しても一般性を失わない。

ある素数pに対して、v(p:ab)≧2となるとき
v(p:a・x^n+b・y^n)=0あるいはv(p:a・x^n+b・y^n)≧2だから
v(p:m)=1となるような整数mは題意をみたす。

n≧3でかつ、ある素数pに対して、v(p:ab)=1となるとき
v(p:a・x^n+b・y^n)=0,1あるいはv(p:a・x^n+b・y^n)≧n≧3だから
v(p:m)=2となるような整数mは題意をみたす。

よって、「n≧2かつa=1,b=±1」または「n=2かつ-abはsquare free」
の場合のみ示せばよいことがわかる。
0922１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/09(日) 00:06:07.17ID:B9RgXt6+
ここで補題を二つ上げる。

補題１
s,tを整数、pを素数とする。
そのとき、v(p:s^p-t^p)=0あるいは、v(p:s^p-t^p)≧2がいえる。

補題１の証明
s^p-t^pがpで割り切れないときは明らか
s^p-t^pがpで割り切れるとき
s≡s^p≡t^p≡t　(mod p)がいえるから
s^(p-1)+s^(p-2)t+…+t^(p-1)≡pt^(p-1)≡0 (mod p)より
s^p-t^p=(s-t){s^(p-1)+s^(p-2)t+…+t^(p-1)}≡0 (mod p^2) ■

補題２
s,tを整数、wを平方数ではない整数かつpをwが平方非剰余となるような素数とする。
そのとき、v(p:s^2-w・t^2)=0あるいは、v(p:s^2-w・t^2)≧2がいえる。

補題２の証明
s^2-w・t^2がpで割り切れないときは明らか
s^2-w・t^2がpで割り切れるとき
tがpで割り切れないと仮定するとw≡(s/t)^2 (mod p)となり
wがpの平方非剰余であることに反する。
よって、tはpで割り切れる。したがってsもpで割り切れる。
以上より、v(p:s^2-w・t^2)≧2がいえる。 ■
0923１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/09(日) 00:07:35.00ID:B9RgXt6+
a=1,b=-1のとき
nの素因数pをとると、補題１よりv(p:x^n-y^n)=0あるいは、v(p:x^n-y^n)≧2がいえる
から、v(p:m)=1となるような整数mは題意をみたす。

nは奇数かつa=1,b=1のとき
nの素因数pをとると、補題１よりv(p:x^n+y^n)=0あるいは、v(p:x^n+y^n)≧2がいえる
から、v(p:m)=1となるような整数mは題意をみたす。

nは偶数かつa=1,b=1のとき
x^n+y^n≡0,1,2 (mod 4)より、m≡3 (mod 4)となるような整数mは題意をみたす。

n=2かつ-abはsquare freeとなるとき、
-abが平方非剰余となるような素数pをとる。
v(p:m)=1となるような整数mに対して、m=a・(x_0)^2+b・(y_0)^2
をみたす整数x_0、y_0が存在すると仮定すると
am=(a・x_0)^2-(-ab)・(y_0)^2だから、
補題２より、v(p:(a・x_0)^2-(-ab)・(y_0)^2 )=0あるいはv(p:(a・x_0)^2-(-ab)・(y_0)^2 )≧2
がいえるが、v(p:am)=1だから不合理。よってv(p:m)=1となるような整数mは題意をみたす。
0924１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/09(日) 00:08:16.38ID:B9RgXt6+
平方数ではない整数wに対してwが平方非剰余となるような素数pが必ず存在することの証明

w=-1のときp≡3 (mod 4)

v(2:w)が奇数のとき、
「p≡5 (mod 8)
wの2以外の素因数qに対してp≡1 (mod q)」…☆
とおくと、中国剰余定理とディリクレの算術級数定理より
☆をみたす素数pは必ず存在する。

上記のいずれでもないとき
v(q?0:w)が奇数となるような素因数q_0と、q_0の平方非剰余r_0をとる。
このとき
p≡r_0 (mod q_0)
p≡1　(mod　8)
wのq_0以外の素因数qに対して
p≡1 (mod q)」…★
とおくと、中国剰余定理とディリクレの算術級数定理より、
★をみたす素数pは必ず存在する。

いずれにせよwはpの平方非剰余になる。
0925１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/09(日) 00:11:44.00ID:B9RgXt6+
>>924
×v(q?0:w)
〇v(q_0:w)
0926１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/09(日) 01:08:15.24ID:v3AkR5Oi
奇素数ベキのa=1,b=-1がネックだったんだがv(p:m)≠1か‥気づかなかったな
0927１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/09(日) 01:46:39.27ID:LEPemAHr
出題１
n=2のときは容易である
nは奇素数として良い
またa,bは互いに素として良い
f(t)=at^n+bとおく
ζ=exp(2πi)、α=|b/a|^(1/n)とする
(i) αが有理数のとき
このとき|a|^(1/n),|b|^(1/n)ともに整数であるからa=b=1として良い
素数pをQ(ζ)/QにおけるpのFrobenius共役類Fが単位元でないものを取る、すなわちp≡1 ( mod n )でないものを取る
p=x^n+y^nであるとすればx+y=±pまたはx+y=±1である
前者のときx^(n-1)+‥+y^(n-1)=±1となるが左辺はx>yのときは前から２つずつ出すと(n-1)/2個の正の整数のの和とy.^(n-1)の和であるからコレが±1となることはない
後者のときx^(n-1)+‥+y^n=pとなるが、このときζの最小多項式がmod pで有理解を持つ事になりFが単位元の属する類である事に反する
いずれにせよ矛盾するので(i)は起こり得ない
(ii)αが無理数のとき
このときK=Q(α,ζ)とおけばGal(K/Q)の元σでσ(α)=αζとなるものがとれる
素数pてそのFrobenius共役類Fがσの属する類とすれば方程式ax^n+by^n=pが整数解を持つとすればyはpの倍数足り得ず(x/y)のるいはZ/pZにおいてt^n+b/a=0の解となるが、コレはσがα,αζ,‥に不動点なしに作用する事に反する
0929１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/09(日) 15:22:58.28ID:KICdmF8d
生姜ねゑな。。。

2021年5月号
■出題2
まづ 1/(2^(1/3)) = q　とおく。

cos(πθ) = q　となる有理数θ = m/n が存在したと仮定する。
　nは自然数、mは整数。
このとき cos(nπθ) = cos(mπ) = (-1)^m　　… (*)

ところで、和積公式
　cos((n+1)φ) = (2cosφ)cos(nφ) - cos((n-1)φ),
から
　2cos(nφ) は 2cosφ = 2x の 整数係数の多項式で表わせる。
ことが分かる。(nについての帰納法で)
　cos(nφ) = Ｔ_n(cosφ),
n次の第一種チェビシェフ多項式と云うらしい。

Ｔ_n(x) を 2x^3 -1 で割って
　Ｔ_n(x) = (2x^3 -1)Q(x) + a･xx + b･x + c,
とおく。　a_n, b_n, c_n は整係数。

2q^3 -1 = 0 より
　Ｔ_n(q) = a･qq + b･q + c,
これらにより、(*) は
　 a･qq + b･q + c = (-1)^m,
となるが、{qq,q,1} はQ上１次独立だから (証略)
　a_n = b_n = 0,　c_n = ±1,
となる自然数nが存在する。　　(続く)
0930１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/09(日) 15:29:26.73ID:KICdmF8d
ところで　2(qω)^3 - 1 = 0 からも
　Ｔ_n(qω) = a(qω)^2 + b(qω) + c,
これの挙動を調べてみる。
　|λ| = √(2q(q+1)+1) = 1.9614591767
　φ = π(1+θ)/2 = 1.897760298045
とおくと
　cos(φ +ｉLog|λ|) = qω,
　Ｔ_n(qω) = cos(nφ +ｉn･Log|λ|)
　　= cos(nφ)cosh(n･Log|λ|) +ｉsin(nφ)sinh(n･Log|λ|),

|Ｔ_n(qω)|^2 = cos(nφ)^2 + sinh(n･Log|λ|)^2
　　 = cos(nφ)^2 + [(|λ|^n - |λ|^{-n})/2]^2,
∴　|Ｔ_n(qω)| ≧ (|λ|^n - |λ|^{-n})/2
∴　nとともに 等比数列的に増大する。
a, b, c の少なくとも一つは１より大きくなり、
　a_n = b_n = 0,　c_n = ±1
と矛盾する。　■

ガロア理論使ってないけど、ちっともエレガントぢゃねゑ。。。
0932１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/09(日) 15:54:33.05ID:FwjTy9yc
改めてガロアの遺した業績の偉大さがわかるスレ
0933１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/09(日) 16:01:20.64ID:FwjTy9yc
解けるのは解けるけど答えだけ見るとすごいシンプルな式になる
もっと鮮やかな導出がありそうだな
0934１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/09(日) 16:01:56.37ID:FwjTy9yc
>>934
誤爆スマソ
0936１３２人目の素数さん
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2021/05/09(日) 16:51:03.44ID:jYmv+ON6
>>927
> (n-1)/2個の正の整数のの和とy.^(n-1)の和であるからコレが±1となることはない

なんで？
0937１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/09(日) 17:07:28.13ID:FwjTy9yc
>>936
x^(n-1)-x^(n-2)y+x^(n-3)y^2+‥+y^(n-1)はxとyが異符号の場合には上記の和はぜんぶ同符号なのでもちろん±1になることはない
x>yの場合には前から２つずつくみあわせて一般項は
x^(2i)y^j - x^(2i-1)y^(j+1)
で必ず正
それに最後の項y^(n-1)も正なので総和は1より大きい
両方負の場合も同じ
0938１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/09(日) 17:45:27.75ID:FwjTy9yc
あぁ、凸不等式なら一発か
ft)=|x|^t|y|^(n-1-t)とおいて凸関数
|x^(n-1)-x^(n-2)y+‥|
≧|x^(n-1)|-|x^(n-2)y|+‥
=(1/2)( |x|^(n-1) + |y|^(n-1) + Σ(f(2i-1) - f(2i+1)-2f(2i)) )
でカツコ内の第3項は凸不等式より正
第一項、第二項は正の整数だから共に1以上
よって和は1以上だがx≠yより1にはならない
0939１３２人目の素数さん
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2021/05/09(日) 21:00:03.34ID:KICdmF8d
>>930
　|λ| = √{q/(1-q)} = 1.9614591767
　-cosφ = sin(πθ/2) = √{(1-q)/2} = 0.3211693276
　sinφ = cos(πθ/2) = √{(1-q)/2} (√3)/(2q-1) = 0.9470217859

|a|, |b|, |c| の少なくとも一つは１より大きくなり…
0940１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/10(月) 00:23:08.17ID:i71w++EK
>>929
漸化式
　a_{n+1} = 2b_n - a_{n-1},
　b_{n+1} = 2c_n - b_{n-1},
　c_{n+1} = a_n - c_{n-1},

　u_{n+6} + 3u_{n+4} - 4u_{n+3} + 3u_{n+2} + u_n = 0,
特性多項式
　(tt+1)^3 - 4t^3
　= (tt - 2qt + 1){tt + 2qqt + q/(1-q)}{tt + 2q(1-q)t +(1-q)/q}
　= (t - e^{iπθ}) (t - e^{-iπθ}) (t - λ) (t - λ') (t - 1/λ) (t - 1/λ')
0942１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/10(月) 23:56:53.84ID:B8kGmpeH
受験数学ではありえないテーマやな
条件と必要十分になるθの条件を好きになんでも選べって事やろ
もちろん合ってる合ってないなら問題文の条件そのままコピペしても必要十分
正しいか正しいかではない
エディタを1番唸らしたものの勝ち
0943１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/11(火) 00:01:14.29ID:nf4TeMQU
あ、もしかしたら簡単すぎるやんって意味？
それはそうかも
0944１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/11(火) 16:03:18.46ID:V1E4ia2/
やっぱり簡単すぎるよなあ
ただしθは整数度、が抜けてるとかだろうか
ぶっ飛んだ言い換えをして審査員特別賞狙いにいくのは面白いかもと思った
0945１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/11(火) 23:34:28.62ID:V7aKcUts
この問題を言い換えると、取りうるθを全部求めよってことだと思うけど
0946１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/20(木) 12:04:28.47ID:P4oltw8K
5月号2番のガロア理論解答は？
0947１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/05/20(木) 13:17:32.35ID:02+d2nOa
解1
m,nを互いに素である自然数とする時
[Q[cos(2πm/n):Q]
=φ(n)/2 (n≧3)
=1 (φはeulerのトーシェント関数)
φ(n)/2=3 となるのはn=7,14のみ
何も(1/2)^(1/3)を含まない

解2
任意の有理数θに対しQ(cos(πθ))/Qはガロア拡大
しかしQ((1/2)^(1/3))/Qは(1/2)^(1/3)の共役元(1/2)^(1/3)exp(2πi/3)を含まないのでガロア拡大ではない
0949１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/06/04(金) 10:12:54.79ID:1f/LdWNr
こういうエレガントがどうこう言ってる限りダメだな
どんな問題でも最初解く時は力技だよ
エレガント云々言ってることは
新しい問題に取り組め無くなることと事実上同じでっせ
0950１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/06/04(金) 10:14:08.51ID:1f/LdWNr
エレガントで無くていいから
まず解けな
注目する点を間違ってるぞ





　
0951１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/06/07(月) 11:26:46.84ID:7mnf7YYR
7月号の問題はまだ？
レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
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