【数セミ】エレガントな解答をもとむ3【2018.10】

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/17(月) 01:40:43.02

締切りの過ぎた問題をみんなで議論しましょう。

過去スレ：
1. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1295154182/
2. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1476702312/

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/14(土) 11:31:59.47

>>813
それもアポロニウスの3円（球）を考えれば良さそう

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/14(土) 21:30:06.74

>>812
面積で表わすなら
⊿A｡B｡C。= (1/2)(2R)^2 sin(A｡)sin(B｡)sin(C｡)
　= (1/2){sin(A｡)cos(A｡)BC^2 + sin(B)cos(B｡)CA^2 + sin(C｡)cos(C｡)AB^2 ± 4S'},
　S' = S(a' ,b', c')
かな

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/19(木) 20:35:31.41

>>811
辺長が B'C'= BC･sin(A｡), C'A'= CA･sin(B｡), A'B'= AB･sin(C｡) である三角形の
頂角を ∠A'=α, ∠B'=β, ∠C'=γ とする。

・点PがΓの内側にある組
　辺C'A' の外側に、内角 A｡,B｡,C。の三角形を貼り付け、C'A'D' とする。
　∠D' = B。
　A'D' = CA･sin(C｡),　B'A' = AB･sin(C｡),　∠B'A'D' = α+A｡,
　B'C' = BC･sin(A｡),　C'D' = CA･sin(A｡),　∠B'C'D' = γ+C｡,

二辺が CA, AB で挟角が α+A。の三角形の対辺は x = B'D'/sin(C｡),
二辺が AB, BC で挟角が β+B。の三角形の対辺は y,
二辺が BC, CA で挟角が γ+C。の三角形の対辺は z = B'D'/sin(A｡),
　同様にして　x/sin(A｡) = y/sin(B｡) = z/sin(C｡)　(= 2R)
　これら3つの⊿の頂角の和は　180°+ 180°= 360°
　点Pの周りにこれらの⊿を並べてできる、辺長 x,y,z の⊿は題意をみたす。

・点PがΓの外側にある組
　辺C'A' の内側に内角 A｡,B｡,C。の三角形を貼り付け、C'A'E' とする。
　∠E' = B。
　A'E' = CA･sin(C｡),　B'A' = AB･sin(C｡),　∠B'A'E' = |α-A｡|,
　B'C' = BC･sin(A｡),　C'E' = CA･sin(A｡),　∠B'C'E' = |γ-C｡|,

二辺が CA, AB で挟角が |α-A｡| の三角形の対辺は x = B'E'/sin(C｡),
二辺が AB, BC で挟角が |β-B｡| の三角形の対辺は y,
二辺が BC, CA で挟角が |γ-C｡| の三角形の対辺は z = B'E'/sin(A｡),
　同様にして　x/sin(A｡) = y/sin(B｡) = z/sin(C｡)　(= 2R*)
　2つの⊿の頂角の和が、他の⊿の頂角。
　点Pの周りにこれらの⊿を重ねて残る、辺長 x,y,z の⊿は題意をみたす。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/07(月) 21:12:51.62

今更だけど10月号出題2の小問2と3解けた人いる？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/12(土) 22:33:04.01

思いもよらんかった

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/08(金) 22:36:34.17

必ず相異なる点に収束するってところがみたせねえ

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/09(土) 09:57:05.36

締切過ぎた
今月はパズル感が強めだったな

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/09(土) 20:47:31.03

「A｡, B｡, C。が平面上の相異なる3点としたとき････」

だから　↑AB, ↑BC, ↑CA を不変にすれば

「点列 {A_n}, {B_n}, {C_n} は相異なる3点に収束する」んぢゃね？

一方で　「自明な漸化式を含まない」とあるから、

ABCの重心は別の点（例えば原点）に近付く希ガス

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/09(土) 21:04:02.72

････というのは問２の⊿DEFの話でした。ｽﾏｿ

問１の方は ↑AB を一定しておいて、

　C_{n+1} = 2B_n - A_n

とかやるのかな

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/10(日) 17:06:28.31

問2は三角形じゃなきゃだめかね？
全点x_i＝0, y_i＝i の相異なる6点から開始したらどうしようもなかろ？

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/10(日) 20:19:56.31

「下図を得るような漸化式を…」と言ってて、その図では⊿なんだが…

６点が共線の場合も含む、と広く解釈するか
D｡, E｡, F。は⊿とする、と限定するか

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/10(日) 22:05:16.01

一般には三角形になるんだけど、初期値によっては三角形にならないMがある。どんな初期値でも三角形になるか？823の例だと流石に無理だよね、って話

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/13(水) 22:27:07.20

６点が共線の場合も含むと解釈すると、それを悪用していつでも共線化してしまう点列が問１と同様に作れてしまう
さすがにそれはなあと思う

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/15(金) 00:41:35.87

>>826
問題を曖昧にして解答者の間口を拡げたとは考えられないか？考えられないかそうだよな
でも823は三角形にできんでしょ？こんな例はつまらんけど

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/15(金) 00:49:03.78

ケーキカットは単純なロジックパズルで簡単だった
罠でもあったかな

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/17(日) 05:08:41.58

２月号　出題２
　「ピタゴラス三角形」だと仰せなんだから
　上図の3行目は b=104, 4行目は c=157 と解するんだろうね。

(御老公はエクセルを使われないらしい…)

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/17(日) 14:17:08.89

本当だ。間違ってるね。

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/19(火) 00:52:17.75

「上の例のような8点の組」が (;(a,b)を交換した点も含む）必要は無い
に一票…

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/20(水) 07:42:24.82

(a,b)交換しないなら a≒b もペル方程式も関係ないな…

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/21(木) 07:42:11.57

「ピタゴラス三角形の一般的表現」て複素数の2乗みたいな式？

「レオナルド・ピサノの恒等式」とかいう

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/25(月) 05:25:10.22

今月号の出題１は、10進数に限らず、一般化できそうだな。

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/31(日) 23:17:48.78

出題2の円の中心は原点以外だよな？

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/01(月) 13:56:17.53

う～む
出題文には「同一円周上に････」とあるだけで、中心の位置には言及してないが。

たとえば
　(a,b) = (63,16)　(60,25)　(56,33)　(52,39)　(39,52)　(33,56)　(25,60)　(16,63)
の８点は　原点を中心とする円周 (半径 c=65) 上にあるから
「正確に同一円周上には乗っていません」という条件に反してて
ダメだろうな....orz

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/01(月) 17:37:53.67

「上の例のような」という条件に反してるんじゃない？

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/01(月) 22:38:49.19

原点でいいなら簡単過ぎるし、2つの図は明らかに原点中心じゃないからな

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/06(土) 18:38:21.05

そして解けない
もう原点中心でいいかなって

**出題１** · 2021/02/09(火) 04:42:51.84

一般化して、h進法で考える。
φ(t)をオイラーのトーティエント関数、
tが素数pのs乗で割り切れ、かつs+1乗で割り切れないとき
s=v(p:t)と書くことにする。
kはn^mをh進数で表記したときの桁数である。
log(x)は底がhの対数である。

任意の正の整数mに対して、
n^M≡n^m (mod h^k) M＞mをみたすMが存在するための、n,hの条件を考える。

hを以下のように書く
h=(nの素因数からなる積)・(nの素因数以外の素数からなる積)。
ここで、(nの素因数からなる積)=a、(nの素因数以外の素数からなる積)=bと置く。
Nを正の整数、とすると、
フェルマー・オイラーの定理より、n^{m+φ(b^k)・N}≡n^m　(mod b^k)
がいえる。

a=1のとき
M=m+φ(b^k)・Nとおくと、n^M≡n^m　(mod h^k)がいえる。

以降、a＞1とする。

aの任意の素因数pに対して、v(p:n^m)≧v(p:a^k)となるとき
明らかに、n^{m+φ(b^k)・N}≡n^m≡0　(mod a^k)
がいえる。
よって、M=m+φ(b^k)・Nとおくと、n^M≡n^m　(mod h^k)がいえる。

aのある素因数p'に対して、v(p':n^m)＜v(p':a^k)となるとき
v(p':n^M),v(p':a^k)＞v(p':n^m)より、n^Mとn^mは、mod a^kで等しくない。
(ただし、Mはmより大きな整数とする。)
したがって、n^M≡n^m　(mod h^k)とはいえない。

**出題１** · 2021/02/09(火) 04:50:47.18

以上を踏まえて、以下のようになる。

n＜hのとき
aの任意の素因数pに対して、v(p:n)≧v(p:a)となるとき
mlog(n)=log(n^m)≧log(h^{k-1})=(k-1)log(h)より
m＞(k-1){log(h)/log(n)}≧k-1よりm≧k-1+1=kがいえるから、
aの任意の素因数pに対して、
v(p:n^m)=m・v(p:n)≧k・v(p:a)=v(p:a^k)がいえるから、
>>840より、任意の正の整数mに対して、n^M≡n^m　(mod h^k)をみたす
整数M＞mの存在ががいえる。

aのある素因数p'に対して、v(p':n)＜v(p':a)となるとき
m=1のとき、任意の2以上の整数Mに対して、n^Mとnはmod h^kで合同にならない。
したがって、n^M≡n^m　(mod h^k)とはいえない。

n≧hのとき
aのある素因数p'に対して、v(p':n)≦v(p':a)となるとき
klog(h)=log(h^k)＞log(n^m)=mlog(n)より
k＞m{log(n)/log(h)}≧mよりk＞mがいえるから、
aのある素因数p'に対して、
v(p':a^k)=k・v(p':a)＞m・v(p':n)=v(p':n^m)がいえるから、
>>840より、n^M≡n^m　(mod h^k)とはいえない。

**出題１** · 2021/02/09(火) 06:47:02.97

n≧h、a＞1かつ、aの任意の素因数pに対して、v(p:n)＞v(p:a)となるとき
この場合は、上記のような一般論を展開するのは難しいです。

ただ、hがsquare freeの場合以下のように議論できます。

h^(s-1)≦n＜h^sをみたす整数sをとる。
aの任意の素因数pに対して、v(p:n)≧sとなるとき
h^(k-1)≦n^m＜h^(sm)よりk＝k-1＋1≦sm
がいえるから、
v(p:n^m)=m・v(p:n)≧sm、v(p:h^k)=kv(p:h)=kより
aの任意の素因数pに対して、v(p:h^k)≧v(p:h^k)がいえるので
>>840より、任意の正の整数mに対して、n^M≡n^m　(mod h^k)をみたす
整数M＞mの存在ががいえる。

aのある素因数p'に対して、v(p':n)＜sとなるとき
m=1のとき、任意の2以上の整数Mに対して、n^Mとnはmod h^sで合同にならない。
したがって、n^M≡n^m　(mod h^k)とはいえない。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/09(火) 23:59:34.65

出題2はまぁヒントというか縛りというかの意味がわかれば一瞬やな
1個目の例
中心　119+120i = (12+5i)^2
4点　153+104i = (13+4i)^2
　　 133+156i = (13+6i)^2
　　 85+132i = (11+6i)^2
　　 105+88i = (11+4i)^2
2個目の例
中心　240+238i = (17+7i)^2
4点　225+272i = (17+8i)^2
　　 253+204i = (17+6i)^2
　　 207+244i = (16+7i)^2
　　 275+252i = (18+7i)^2

どちらも中心α^2で4点が(α+ρ)^2, (α+ρi)^2, (α-ρ)^2, (α-ρi)^2, の形
このタイプで例1はρ=1+i、例2はρ=1
ρとして1+2iとか使っていいならρ=2+iも使えば簡単に8点作れるけど、多分禁止なんでしょう
となると例のようにy=xについて取り替えるしかない
それが許されるのは中心α^2が実部＝虚部に近くないとダメ
一例目ではy=x+1, 二例目ではy=x-2
つまりα=x+yiとおいてα^2=x^2-y^2+2xyiが実部＝虚部+k上にあるのは(x^2-y^2)-2xy = kの時だけどコレはペル方程式の形してるから基本解×基本単数^(2n)の形の解を無限に持つ

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/10(水) 01:22:49.80

なるほど。4点ずつ同一円周に近づけて x⇔y ですか。
でも円の中心は |x-y| ≧1 ですから、
2つの円の中心は √2 以上離れてますよね。(傾き-1)
そうすると円周もそのぐらい離れるような････

4点ずつが同一円周にかなり近い、ということが却って、
8点が同一円周に近づくのを難しくする希ガス。

>>833
そのとおり。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/10(水) 07:39:28.87

>>844
まぁとは言え例示されてる例がその方法で作ってる8点で「このようにして作れ」なんだからしょうがないと思いますけどねぇ？
もちろんそれ以外の方法で実際に「同一円周上にない8点と中心“もどき”で“半径もどき”の差が0に近づく例」を見つけられればいいですけど
多分一松先生の気持ちとしてはy=x±constに件の格子点が無限にある事とかも気づいて下さいねっぽいのに、それをガン無視するのもどうなんだろうという気もする

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/10(水) 15:25:12.43

その方法で「8点の組が、いくらでも正確に同一円周上の点列に近づく」例が見つかるのかなぁ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/11(木) 20:46:23.10

P((α+ρ)^2) 　　　|α| >> |ρ|
とし、中心を
Q((1+ε)α^2),　　ε>0 (あとで決める)
とすると
|PQ|^2 = |(α+ρ)^2 - (1+ε)α^2|^2
　= |2αρ + (ρ^2 - εα^2)|^2
　= |2αρ|^2 + 2(|ρ|^2 - ε|α|^2)(αρ'+α'ρ) + |ρ^2 - εα^2|^2
ここで ε = |ρ/α|^2 とおくと中項が消えて
　= |2αρ|^2 + |ρ^2 - εα^2|^2
　≦ |2αρ|^2 + (|ρ|^2 + ε|α|^2)^2
　= |2αρ|^2 + 4|ρ|^4,

∴　|2αρ| ≦ |PQ| ≦ |2αρ| + |ρ^3/α|,

|ρ| を固定して |α| を大きくすれば、
いくらでも正確に同一円周上の点列に近づく。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/12(金) 00:12:11.80

OPが最大になるのは ρ/α>0 のとき
　P：　(1+√ε)^2 α^2,　　　････　遠日点
OPが最小になるのは ρ/α<0 のとき
　P：　 (1-√ε)^2 α^2　　　････　近日点
その中点
　Q：　(1+ε) α^2.

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/13(土) 01:06:26.00

その2点の距離を直径2Rとすると
　R = (2√ε)|α|^2 = |2αρ|
∴　その2点は近地点でござる。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/13(土) 23:06:41.87

αとρの偏角の差δを使えば…
　δ = arg(ρ/α),
　ρ = α (√ε) e^{iδ},
と表わせるから
　P (α+ρ)^2 = {α (1 + (√ε) e^{iδ})}^2,
　Q (1+ε)α^2,

|PQ|^2 = |2αρ|^2 + |ρ^2 - εα^2|^2
　　= |2αρ|^2 + |(εα^2) (e^{2iδ} - 1)|^2
　　= |2αρ|^2 + |ρ|^4・| e^{iδ} - e^{-iδ} |^2
　　= |2αρ|^2 + |ρ|^4・| 2i sinδ |^2
　　= |2αρ|^2 + |ρ|^4・4 (sinδ)^2,

|2αρ| ≦ PQ ≦ |2αρ| + (|ρ|^3/|α|) (sinδ)^2,

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/15(月) 03:06:49.52

>　ρとして 1+2i とか使っていいなら ρ=2+i も使えば簡単に8点作れるけど、

他にもあるようです。
　ρ = ±33±4i, ±32±9i, ±31±12i, ±24±23i, ±23±24i, ±12±31i, ±9±32i, ±4±33i,
の32点　(|ρ|=√1105)
　ρ = ±65, ±63±16i, ±60±25i, ±56±33i, ±52±39i, ±39±52i, ±33±56i, ±25±60i, ±16±63i, ±65i,
の36点　(|ρ|=65)　など

…と言っているうちにもう15日
3月号の問題に取り組まねば

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/01(月) 21:40:46.59

出題2のほにゃほにゃをきちんと示せるかがポイントだな

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/02(火) 18:47:19.00

出題1の（2）だが、実際に9個八面体を造る奴が、かなりいると思う。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/02(火) 18:50:21.28

八面体9個じゃなくて、八面体6個と十二面体3個だったw

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/02(火) 19:30:46.38

cadで描こうとした某

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/02(火) 20:20:38.05

1の(2)は「(1)より明らか」じゃ駄目なのか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/02(火) 23:35:42.98

だれか折り紙で立体作る方法考えてくれ

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/03(水) 02:31:01.10

>>857
ユニット折り紙でもマスターしたら？

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/03(水) 12:03:20.13

>>857
その方が問題解くより難しい

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/04(木) 03:20:16.42

蛇足だけど。
「八面体」と、十二面体の半分である「正六角錐」を敷き詰めて
厚さ (√3)/2 の板を充填できる。 2個：1個
同じことだが
この八面体を小さい△で貼り合わせた「鼓形」と「十二面体」を
敷き詰めて　厚さ√3 の板を充填できる。
いわゆる空間充填多面体。
(2) 一辺の長さが2の立方体にキレイに収まる物だけ残せば…

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/07(日) 10:01:30.84

出題2を正確に論じ切るの難しいんだが

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/07(日) 10:36:23.10

>>861
バカめ
オレなんか1ミリもわからんわワッハッハ
orz

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/09(火) 20:21:44.57

4月号の問題きてるね

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/09(火) 20:48:35.80

3月号の問1は史上最も簡単だったのでは

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/09(火) 21:55:56.09

3月号出題2はお茶を濁す解答になってしまった。変数変換後の領域(像)をどこまで正確に論じるか

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/09(火) 21:59:14.72

4月号出題2はおもしろそう

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/10(水) 13:39:00.18

3月号出題2の解説 (屮゜Д゜)屮カモーン

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/10(水) 18:46:36.62

sin,cosの代わりにsinh,cosh使うだけか

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/10(水) 21:54:07.36

うむ。
　x = sinhξ/coshη, y = sinhη/coshζ, z = sinhζ/coshξ,
等とおけば、D_2 の定義式は
　0 ≦ sinhξ ≦　coshη,
　0 ≦ sinhη ≦　coshζ,　
　0 ≦ sinhζ ≦　coshξ,
のようなものかな？

問題はこれをどこまで正確に論じるか？　　　>>865
　
半直線 ξ=η=ζ≧0 を含む希ガス…

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/10(水) 21:54:07.36

うむ。
　x = sinhξ/coshη, y = sinhη/coshζ, z = sinhζ/coshξ,
等とおけば、D_2 の定義式は
　0 ≦ sinhξ ≦　coshη,
　0 ≦ sinhη ≦　coshζ,　
　0 ≦ sinhζ ≦　coshξ,
のようなものかな？

問題はこれをどこまで正確に論じるか？　　　>>865
　
半直線 ξ=η=ζ≧0 を含む希ガス…

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/10(水) 22:07:18.33

そうそう
領域は無限に大きくなる
けど体積は有限

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/10(水) 22:59:50.48

元のsin,cosの方は
0≦α≦asin(cos(β)) = π/2-β
0≦β≦asin(cos(β)) = π/2-γ
0≦α≦asin(cos(γ)) = π/2-α
で5点O(0,0,0), A(π/2,0,0), B(0,π/2,0), C(0,0,π/2),
D(π/4,π/4,π/4)の凸包、体積は三角錐OABCの3/2倍で
3/2×1/6×(π/2)^3=π^3/32
hyperbolic版はasinh(cosh(x))がasinh(cos(x))≧xにより領域はx=y=z>0を含む無限領域になる
　

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/10(水) 23:36:21.01

出題1の解答
https://www.i.h.kyoto-u.ac.jp/users/tsuiki/3H6T/index.html

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/11(木) 17:18:59.70

n=2の場合でsinh(x),cosh(x)使うと結局Σ1/(2n-1)^2の別計算になるんだな

integrate [0infty] (asinh(cosh(x)-x)dx
=
integrate [1,infty] (log(sqrt(t^2+1)+t) - log (sqrt(t^2-1)+t))/sqrt(t^2-1)dt
=
π^2/16
=0.616850275068...

integrate [1,infty] (log(sqrt(t^2+1)+t) - log (sqrt(t^2-1)+t))/sqrt(t^2-1)dt

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/11(木) 17:33:32.53

間違えた
コッチ
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%5B1%2Cinfty%5D+%28log%28sqrt%28t%5E2%2B1%29%2Bt%29+-+log+%28sqrt%28t%5E2-1%29%2Bt%29%29%2Fsqrt%28t%5E2-1%29dt&;lang=ja

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/12(金) 23:37:57.49

>>870
突起部を平面 x+y+z = 3a で切った断面を考える。
中心 (a,a,a) から最も遠い点は 2曲面の交線上にあり、
　(a-2e^(-2a), a, a+2e^(-2a))　とその rotation で、
　中心からの距離は 2(√2)e^(-2a)
と近似される。
さらに断面を正三角形と仮定すると面積は
　S = 6(√3)e^(-4a),
この平面と O(0,0,0) の距離は h = (x+y+z)/√3 = a√3 だから
　S(h) = 6(√3)e^(-4h/√3),
突起部 (x+y+z>2) の体積は
　∫[2/√3, ∞] S(h) dh ≒ (9/2)e^(-8/3) = 0.31267553
ぐらいかな？

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 06:35:51.25

0 < x+y+z < log(1+√2) = b = 0.881373587 の部分は
　S(h) = (3/2)(√3)h^2,
　V = ∫[0,b] S(h) dh = (1/2)(√3)b^3 = 0.11411135

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 08:42:39.54

訂正ｽﾏｿ
　V = ∫[0,b/√3] S(h) dh = (1/6)b^3 = 0.11411135

S(2/√3) = 0.73308　>　0.72209 = 6(√3)e^(-8/3),
S(√3) = 0.18893　<　0.19034 = 6(√3)e^(-4),

r(2/√3) = 0.83890　>　0.745565 = 2(√2)e^(-4/3),
r(√3) = 0.39544　>　0.382785 = 2(√2)e^(-2),

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 15:24:05.70

今月号の1番は4直線と正方形の配置は問題文の例の図に決め打ちしていいんかな？
単純に
「4直線が与えられているとき、それぞれから一点ずつを選んで正方形を作図せよ」
と読み替えてしまうと配置の可能性がかなり出てきて、それぞれによって違う作図法が必要になる希ガス
説明の仕方工夫してキレイにまとめる事も要求されてるのかな？
正直方程式立ててやっちゃう方が短いけど、それはエレガントと言えない気もするし

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 16:55:13.94

>>879
色々見つけたならどれか1個示せばよいかと。
余裕あるなら網羅すればよいかと
おれはいつも最低要求レベルの答案で満足してる

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 17:54:46.23

>>880
イヤイヤ、方法が色々あるんじゃなくて4点と言っても正方形と4直線の関わり方でいくつかケースがあって、「このケースならこの方法で作図できて、このケースならこの方法で作図できて‥」といっぱいケースがあるんだよ
あんまり細かいこと書くとヒントになるから描けないけどオレの方法だと円書いて点取ってそこから幾ばくか離れたところに点取るとき右なのか左なのかとかケースによって変わってきて微妙に作図方法が変わる
2、3例しかないならまだしもいっぱい配置がありうるんだよ
どうしたもんかなと思って
見つかる四角形が問題文中に例示されてる配置に決まってるならそんな心配いらないんだけど

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 18:04:46.85

そら問題文の図だけじゃなくて一般的に論じるのがベターだろ
極端な話、例えば4直線が互いに平行に等間隔で並んでたりしたら自明なわけで

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/13(土) 19:12:11.81

>>882
そうだわな
となるととてもエレガントとは言えんのかな
再考

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/14(日) 07:12:55.57

進みが速いなあ
いまは中休みの時期だろ
そして1週間前になって焦る

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/20(土) 01:00:04.50

4月号だし簡単だろと思ってたら意外とむずいんだが？

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/20(土) 22:49:36.50

5月号じゃない？簡単なのは。新入生が買うのはそれだから。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/21(日) 10:29:04.30

>>877-878

0<x+y+z<b　が　0.114
b<x+y+z<2　が　0.627
2<x+y+z　が　0.311
合わせて 1.052

理論値　(7/8)ζ(3) = 1.0518　に近い…

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/21(日) 14:15:40.10

ζ(3) = Σ[n=1,∞] 1/n^3　を「アペリーの定数」
それが無理数であることを「アペリーの定理」と云うらしい。

三井孝美「数論の最近の話題から」
　数学セミナー, vol.18, no.12　(1979/Dec)
　数セミ増刊「数の世界」日本評論社 (1982)　p.142-150

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/23(火) 02:22:36.14

作図できたけどgeogebraが真っ黒になった

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/05(月) 00:25:21.93

2問とも良問、すばらしき春の日かな

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/09(金) 12:21:42.61

5月号は既視感あるな

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/09(金) 23:21:30.25

2021年４月号
■出題2
単一閉回路 (ジョルダン閉回路) を「ループ」と呼ぶなら、
奇数本の電灯がオンであるようなループが無いこと
かな？

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 10:15:00.64

>>892
うむ。十分性の議論がきちんとできたかどうかがポイントかな

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 10:18:16.12

問１も面白かったな
おれは中心を割り出す方法を採った

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/11(日) 10:11:40.33

一松先生大盤振る舞い、全員正解にしちゃったw

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/11(日) 10:15:13.71

2/8〆のやつ？
まぁあれは問題文微妙だったからなぁwww

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/11(日) 23:09:19.30

誰か出題1の答えあげてよ
オレの見つけた方法だと4本の直線のどこに頂点かわくるかの配置でめちゃめちゃ可能性があってとてもエレ解とは言えない
作図方法そのものじゃなくて作図可能である事だけ示すなら少しは楽になるけど

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 03:21:10.22

出題１はこれを参考にした
https://www.nikkei-science.com/page/magazine/alice/201802/question.html

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 12:16:30.51

まず4直線ではなく3直線を通る正方形を考える。これは無数にある

異なる2つの3直線の組に対して同じことをやると、通常1通りに絞られることが分かる

で、その存在が保証されていることから作図可能とわかる

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 12:21:25.53

最初のステップ、3直線を通る正方形については、少なくとも頂点の1つが直線の交点となる極端なケースでは作図可能
この事実をうまく使えば作図可能な正方形の軌跡が得られ、次のステップに進める

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/13(火) 00:50:45.30

オレがつけた作図可能の証明

4本中3本が平行な時には議論は容易ゆえそうでないとする
この時4本の直線k,l,m,nのうちk,lとm,nは交点を持つとして良い
実際、どの2本も平行なら当然で、一組平行である時k,mは平行として良い
この時仮定によりkとl、mとnは平行ではない
kとlの交点をX、mとnの交点をYとする
まずXとYが一致しない時を考える
適当に座標軸を固定してk～nの偏角をθk～θnとする
k,l,m,n上の点KLMNで正方形の頂点をなす物のうち、まずKLが対角線となる場合を考える
Kt(cost, sint)を通りkに平行な直線をk(t)、
Lt(-cost, -sint)を通りlに平行な直線をl(t)、
Mt(sint, -cost)を通りmに平行な直線をm(t)、
Nt(-sint, cost)を通りnに平行な直線をn(t)とする
k(t)、l(t)の交点をX(t)、m(t)、n(t)の交点をY(t)とすればX(t),Y(t)の座標はcos(t),sin(t)の線形結合となる
よってXYベクトルとX(t)Y(t)ベクトルが平行となる条件はtan(t)=の形を取る
その方程式を解いて得られる(cos(t),sin(t))の解は作図可能である
コレを用いて得られるtを用いてk(t)～n(t)を用いて得られる図形は元の図形と相似で相似の中心も容易に作図できる
この相似変換でKt～Ntに対応するk～n上の点が求める点である
X=Yとなる場合やKLMNの順番が異なる場合も同様である

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/13(火) 01:03:18.40

作図可能性を言いたいだけなら線形代数でよくないか？
90°の回転行列をRとしてAB=R BC, BC=R CDが条件だから、加減乗除だけで解けてもちろん作図可能

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/13(火) 01:45:33.62

回転の中点点を(X,Y)として4本の直線k,l,m,nを(X,Y)を中心に0,R,2R,3R回転して得られる直線の方程式はX,Yの一次式で得られる
それが全て同一の点をとおる事、すなわちコレら4本の直線の係数のなす4行3列の行列のrankが2以下がX,Yのなすべき条件
その解が二次以下の方程式の繰り返しで得られる事の証明ができればそれでもいい

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/13(火) 02:13:56.01

あれ？
その証明そんなに難しくないな

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/13(火) 02:54:23.10

コレでよかったのか
なるほど

直線kを点P(X,Y)中心に+90°回した直線をkP、
直線lを点P(X,Y)中心に-90°回した直線をlPとして
kPとlPの交点が直線m上であるという条件を満たすPの軌跡aは直線になる
よってこの軌跡上の2点を作図できれば直線aが作図できる
ここでm上の点XをひとつとりXを通るk,lに垂直な直線k',l'をとる
このk'とkの2等分線の片方の上の任意の点を中心とする+90°回転によってkはk'にうつる
同様にl'とlの2等分線の片方の上の任意の点を中心とする-90°回転によってlはl'にうつる
よってこのふたつの2等分線の交点は直線a上にある
同様の構成をm上の別の点で行えばa上のもう一つの点を作図できる
コレでaが作図できる
同様にしてPを中心にkを-90°回転させた直線とlを+90°回転させた直線の交点がn上にあるようなPの軌跡のなす直線bも作図できる
このa,bの交点が求める正方形の中心である

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/28(水) 17:57:53.96

5月号なら簡単だろと思ってたらこれもむずいんだが？

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/28(水) 21:57:32.54

簡単そうと思って手を付けずにいたんだが難しい、だと？
困るじゃないか

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/04(火) 13:27:48.37

出題1簡単過ぎないか？
解釈間違ってるのかも

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/05(水) 07:43:38.83

2番は？

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/05(水) 12:34:36.13

>>908
失敬やっぱり難しかった

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/05(水) 13:57:44.13

だよな
てか全く初頭的な証明が分からん
ガロア理論とか使えば一発だけど

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/05(水) 15:10:37.47

>>911
問１クリアできたっぽい

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/08(土) 10:32:48.34

２が解けないなー