2つの極限の定義、どちらが優れてる?

1132人目の素数さん2018/03/11(日) 23:12:41.44ID:hk6zU6AF
・極限の定義には2通りある。
・1つ目はx=aを含めない定義。
・2つ目はx=aを含む可能性がある定義。
・後者は私が使ってる「解析入門I 杉浦光夫」での定義。
・一般的に前者の定義が多い。
・杉浦さんが後者の定義を使っているの理由は「前者の定義だとある定理を証明するのに不都合が生じる」から。

聞きたいこと!
・前者の定義ではその定理をどうやって証明しているのか?
・どちらの定義が優れているか?


ネタ元
「大学学部レベル質問スレ 10単位目」の>>300
http://itest.5ch.net/rio2016/test/read.cgi/math/1519715377

2132人目の素数さん2018/03/11(日) 23:16:53.67ID:hk6zU6AF
解析入門I 杉浦光夫
p51 定義2 極限の定義
p52 定義3 極限の定義
p53 定理6.2 問題の定理
p54 注意1 杉浦さんの主張


定義2
fをR^nの部分集合Aで定義され、R^mの値を取る関数とし、a∈(Aの閉集合)、b∈R^mとする。xがaに近づくときのf(x)の極限がbであるとは、どんな ε>0 に対しても、δ>0 が存在して、|x-a|<δ となるすべてのx∈Aに対し |f(x)-b|<ε となることを言う。このとき
lim_{x→a} f(x) =b, f(x)→b (x→a)
などと表す。


定義3
定義2において、B⊆A が与えられ、a∈(Bの閉集合)であるとき、任意の ε>0 に対し δ>0 が存在して、|x-a|<δ となる任意の x∈B に対し |f(x)-b|<ε となるとき、xがB内でaに近づくときのf(x)の極限がbであるといい、
lim_{x→a, x∈B} f(x) =b または f(x)→b (x→a, x∈B)と記す。
x∈Bと記す代わりにBを規定する条件を書くことも多い。例えば a∈A のとき B={x∈A|x≠a} ならば lim_{x→a, x∈B} f(x) を lim_{x→a, x≠a} f(x) と記す。

3132人目の素数さん2018/03/11(日) 23:19:12.82ID:hk6zU6AF
定理6.2
B⊆A⊆R^n, f:A→R^m, a∈(Bの閉集合)とするとき, 次のa),b)は同値である
a) f(x)→b (x→a, x∈B)
b) x_n→a (n→∞)となる任意のBの点列x_nに対して, f(x_n)→b (n→∞)である



注意1 ※()は付け足したものです。
a∈A のとき多くの本では我々の記号での
lim_{x→a, x≠a} f(x) を単に lim_{x→a} f(x) と書き、これを極限としている(前者の定義)。a∈A のとき我々の意味での極限(後者の定義)が存在すれば f(a)に等しくなくてはならぬが、このような定義(前者の定義)ではそうでなくてもよい。
しかしこのような定義(前者の定義)に対しては定理6.2のb)の点列にx_n≠aという条件をつけなければならない。また我々の定義(後者の定義)は x≠a という条件をつけることにより、この意味での極限(前者の定義)をも含むので、こちらを定義(後者の定義)に採用した。

4132人目の素数さん2018/03/11(日) 23:29:44.19ID:hk6zU6AF
>>2
定義3が切れてましたm(_ _)m


定義3
定義2において、B⊆A が与えられ、a∈(Bの閉集合)であるとき、任意の ε>0 に対し δ>0 が存在して、|x-a|<δ となる任意の x∈B に対し |f(x)-b|<ε となるとき、xがB内でaに近づくときのf(x)の極限がbであるといい、
lim_{x→a, x∈B} f(x) =b または f(x)→b (x→a, x∈B)と記す。
x∈Bと記す代わりにBを規定する条件を書くことも多い。例えば a∈A のとき B={x∈A|x≠a} ならば lim_{x→a, x∈B} f(x) を lim_{x→a, x≠a} f(x) と記す。

5132人目の素数さん2018/03/11(日) 23:31:00.90ID:NDcMSBz2
この本に、両定義の違いが解説してある。太古の必読書。
http://www.gensu.co.jp/book_print.cgi?isbn=978-4-7687-0366-3

6132人目の素数さん2018/03/11(日) 23:37:54.39ID:hk6zU6AF
>>5
初めて知りました!借りて読んでみます!

7132人目の素数さん2018/03/12(月) 13:52:45.82ID:/mCjPv9l
b)の命題に x_n ≠ a を付けるだけだろ

8132人目の素数さん2018/03/12(月) 14:50:48.96ID:eSM32Haq
>>1
・前者の定義ではその定理をどうやって証明しているのか?
については解決しました。

・どちらの定義が優れているか?
これが知りたい。

9132人目の素数さん2018/03/12(月) 16:10:25.07ID:HToqeGDa
ああ、詳細に書いてくれてたのね
ありがとう

>聞きたいこと!
>・前者の定義ではその定理をどうやって証明しているのか?

これは
点列にx_n≠aという条件を入れるだけ、証明は同様


>・どちらの定義が優れているか?

x=aを含める方式
メリット
含めない場合を包含できるため理論としては使える場面が増える

デメリット
標準からずれるため学ぶ人は後々大変かもね
微分の定義とかaで定義されてない関数を考えるのにいちいちh≠aとか書かなくてはいけない


x=aを含めない方式
メリット
aでの定義を気にせず使える
いちいちx≠aなど書かなくて済む


デメリット
x=aを含めて等式や不等式の極限を考えたいときは分けて考える必要あり
点列式などの言い換えでx_n≠aなどの条件をつけなくてはいけない(そこまでデメリットとは感じないが)




備考
デメリットでまとめて極限を取りたい場合は分ける必要ありと述べたが、等式や不等式で極限を飛ばす際はそもそも元となる式にx=aの場合が入っているのでまとめて極限を飛ばす必要がある場面、というのが実用上想像できない
ちなみに解析系の理論や研究ではhが分母にあってlim_{h→0}なんて死ぬほど使う
微分だけじゃなくて近似でちょっとだけずらして極限飛ばすとか考えることが多いので0とかは入ってないほうが有り難い

いちいちh ≠0やλ≠0なんて書いてたらロスが大きい

あと個人的な感覚で言えば、"極限"というものはあくまで近づけた先の話なので、
極限での定義域は入っていないほうが自然
x=aを含めるというのはどちらかというと連続性を表しているような気がして言葉のイメージとずれる

他にも思いついたら書いてく

10132人目の素数さん2018/03/12(月) 21:48:15.86ID:IU5FCezA
歴史的には、定義域の端まで関数を延長すると、、、
ってことから極限の取り扱いが始まったんだろうから、
x≠a の定義のほうが自然だったんだろうが、
>>9 のいうように、x=a を含める定義は
連続性の定義と馴染むから、現代ではこちらが普通かと。
使った教科書の年代によるんじゃないかね?

11132人目の素数さん2018/03/13(火) 04:45:55.46ID:E9lxv2kJ
>>10
実際現在は近似とかが主流なので含めないのがよく使われると思う
含めることで、連続性の定義が「lim が存在する」となるか、含めないことで「lim f(x)=f(a)」となるかにそんなに違いはないし
個人的な感想だと連続性は「極限がその点の値と一致する」といったように、極限の定義に含めるよりかは極限を用いて定義される性質のほうが自然かな

12132人目の素数さん2018/03/13(火) 12:36:09.87ID:dYBs/a3R
>>1です
x=aを含める方の最大のメリットであるxn≠aという条件をつけなくていいという点が、実用上大してありがたくないとしたら

x=aを含める方は扱いづらいし、極限の感覚からずれているので、x=aを含めない方が優れているんですかね

杉浦さんはどうしてxn≠aという条件をつけなくていいという理由だけのためにx=aを含める定義を採用したんでしょうかね?本人にしかわからないと思いますが

13132人目の素数さん2018/03/13(火) 12:48:41.53ID:vqA8DVYF
定義域を広くするのが数学の趨勢

14132人目の素数さん2018/03/13(火) 15:04:14.85ID:dYBs/a3R
>>2 >>3 >>4
訂正
閉集合→触集合

15132人目の素数さん2018/03/13(火) 15:56:50.75ID:cvlcz9gq
これの方が優れてるに決まってる
https://goo.gl/fXQHan

16132人目の素数さん2018/03/13(火) 16:39:43.56ID:J0sexnb+
>>1
糞スレ乙

17132人目の素数さん2018/03/13(火) 17:14:25.33ID:dYBs/a3R
>>16
糞コメ乙

18132人目の素数さん2018/03/13(火) 23:57:31.08ID:eRXxBWOs
広義極限と狭義極限

19132人目の素数さん2018/03/14(水) 08:49:25.17ID:YaMsMm7n
>>12
>>13
そう、理論としては扱える対象が広くなるからそれ自体は優れている

ただ、既存の定義で扱えるものを表すときに、同じ記号で異なった定義になってしまうのがよろしくない
扱える範囲を広げることによるメリットが薄いのも一つ

20132人目の素数さん2018/03/15(木) 17:40:17.98ID:S5Y2guKa
連続関数の定義域を狭くしても連続関数
これが定義域を1点にした時に例外になると不便

21132人目の素数さん2018/03/15(木) 20:11:04.67ID:wtFSNtfs
どっちの定義でも連続関数の定義自体は変わらないと思うが

22132人目の素数さん2018/03/16(金) 14:38:49.91ID:yWZm3FGc
おんなじ表記で別の意味になるならば

杉浦でのlim_{x→a}f(x)の意味を
lim_{x→a,x=a}f(x)という表記に

杉浦でのlim_{x→a,x≠a}f(x)の意味を
lim_{x→a}f(x)という表記に

変えた方がよさそうですね

23132人目の素数さん2018/03/16(金) 15:08:36.78ID:tv0WCmdc
そうするしかないね、特に混同が支障となり厳正精確に語らなければならない時は

24132人目の素数さん2018/03/16(金) 23:05:20.21ID:6KGlR2Co
杉浦の表記で十分なんじゃないの?
既に普及している定義だし。
俺は変える!で済む話でもなさげ。

25132人目の素数さん2018/03/17(土) 10:16:44.46ID:S2D6neFo
いうほど普及してないぞ

26132人目の素数さん2018/03/17(土) 10:18:24.00ID:S2D6neFo
てか、杉浦の極限の定義は一般の物と異なるので注意、と割と聞くレベル
一般的な場で使うときは杉浦式は使わないほうがいい

27132人目の素数さん2018/03/17(土) 14:34:08.43ID:01TYQxjO
位相論だと、杉浦式が普通じゃない?

28132人目の素数さん2018/03/17(土) 14:54:37.20ID:fjOiUkwV
>>27
位相空間でも杉浦式はあんまり見たことないけど、なんの本?(あるいはなんの理論?)

29132人目の素数さん2018/03/22(木) 19:56:20.90ID:X9kuhV99
つかまともな学生ならみんなrudinで勉強するんじゃないの?

30◆2VB8wsVUoo 2018/04/06(金) 18:50:08.72ID:I+Mybrk/

31◆2VB8wsVUoo 2018/04/06(金) 18:50:28.55ID:I+Mybrk/

32◆2VB8wsVUoo 2018/04/06(金) 18:50:48.37ID:I+Mybrk/

33◆2VB8wsVUoo 2018/04/06(金) 18:51:10.96ID:I+Mybrk/

34◆2VB8wsVUoo 2018/04/06(金) 18:51:28.84ID:I+Mybrk/

35◆2VB8wsVUoo 2018/04/06(金) 18:51:47.06ID:I+Mybrk/

36◆2VB8wsVUoo 2018/04/06(金) 18:52:07.77ID:I+Mybrk/

37◆2VB8wsVUoo 2018/04/06(金) 18:52:25.19ID:I+Mybrk/

38◆2VB8wsVUoo 2018/04/06(金) 18:52:41.07ID:I+Mybrk/

39◆2VB8wsVUoo 2018/04/06(金) 18:53:00.33ID:I+Mybrk/

40132人目の素数さん2018/07/05(木) 09:31:58.81ID:A9itLhGK
杉浦光夫著『解析入門I』での極限の定義は以下です:


f を R^n の部分集合 A で定義され、 R^m の値を取る函数とし、
a ∈ closure(A), b ∈ R^m とする。 x が a に近づくときの
f(x) の極限が b であるとは、どんな ε > 0 に対しても、 δ > 0
が存在して、 |x - a| < δ となるすべての x ∈ A に対し
|f(x) - b| < ε となることを言う。このとき

lim_{x → a} f(x) = b
f(x) → b (x → a)

などと表わす。

杉浦光夫著『解析入門I』での微分可能の定義は以下です:

lim_{h → 0, h ≠ 0} [f(t + h) - f(t)] / h = c

h ≠ 0 と書いてありますが、これは余計ですよね。

h の関数 [f(t + h) - f(t)] / h の定義域に当然 h = 0 は含まれていないからです。



杉浦光夫さんの『解析入門I』ですが、完成度の高い本かと思っていましたが、
少し読んでみると全然そうではないですね。穴だらけです。

41132人目の素数さん2018/07/05(木) 09:33:02.48ID:A9itLhGK
f を R^n の部分集合 A で定義され、 R^m の値を取る函数とし、
a ∈ closure(A), b ∈ R^m とする。 x が a に近づくときの
f(x) の極限が b であるとは、どんな ε > 0 に対しても、 δ > 0
が存在して、 |x - a| < δ となるすべての x ∈ A に対し
|f(x) - b| < ε となることを言う。このとき

lim_{x → a} f(x) = b
f(x) → b (x → a)

などと表わす。


↑この定義だと、 a ∈ A のときには、必然的に f が a で連続ということになってしまいますね。

なんか奇妙な定義です。

こんな定義を採用している本ってないですよね?

この本の欠点の一つですよね。

D ⊂ R^n、 f : D → R^m とする。 a ∈ D に対し、極限

lim_{x → a} f(x) = f(a)

が存在するとき、 f は a で連続であるという。

↑はこの本での連続の定義ですが、


lim_{x → a} f(x) = f(a)

が存在するとき


って変ですよね。

42132人目の素数さん2018/07/05(木) 09:33:46.20ID:A9itLhGK
ところで、この本でも、

lim_{x → a} f(x) が存在する

という記述があるのですが、この定義が書かれていません。

lim_{x → a} f(x) = b の定義は書いてあります。

ですので、 lim_{x → a} f(x) 単独で意味のある記号と考えることはできません。

推測するに

lim_{x → a} f(x) = b

のとき、

b のことを lim_{x → a} f(x) であらわすのだとは思います。


D ⊂ R^n、 f : D → R^m とする。 a ∈ D に対し、極限

lim_{x → a} f(x) = f(a)

が存在するとき、 f は a で連続であるという。


これは変なので、


D ⊂ R^n、 f : D → R^m とする。 a ∈ D に対し、

lim_{x → a} f(x) = b

となるような b ∈ R^m

が存在するとき、 f は a で連続であるという。

と書くべきです。

杉浦光夫著『解析入門I』第I章§6極限と連続

はダメダメですね。

余計で自明な命題を並べ立てすぎです。

43132人目の素数さん2018/07/07(土) 19:30:52.18ID:soVR71GW
>>42
こんな書き換えだと連続にならない例があるだろ

44132人目の素数さん2018/07/07(土) 19:50:42.31ID:Dx5EaDhr
杉浦光夫著『解析入門I』を読んでいます。

pp.60-61 命題6.9(2)の証明が間違っていますね。

lim_{x → a} f(x) = +∞、 g(x) ≧ c > 0 ならば、 lim_{x → a} f(x) * g(x) = +∞

証明:

任意の M ∈ R に対し、 f(x) > M/c (∀x ∈ U(a, δ) ∩ D) となる δ > 0 がある。
このとき f(x) * g(x) > M (∀x ∈ U(a, δ) ∩ D) となる。

たとえば、

f(x) = 1/x - 1
g(x) = 2
c = 1
a = 0
D = {x > 0}

とします。

lim_{x → a} f(x) = +∞、 g(x) ≧ c > 0

は成り立ちます。

M として、 -1 をとります。

f(x) = 1/x - 1 > M/c = -1/1 となる δ は確かに存在します。(任意の正の実数でよい。)
たとえば、 δ = 100 とします。

ところが、

f(x) * g(x) = (1/x - 1) * 2 > -1 (∀x ∈ U(0, 100) ∩ D = (0, 100))

は成り立ちません。

45132人目の素数さん2018/07/07(土) 20:58:46.51ID:soVR71GW
>>44
任意の M ∈ R に対し、
↑こんなこと書かれていない。
「1)と同様.」とあるだけ。
同様は、「まったく同条件で」を意味しない。

46132人目の素数さん2018/07/07(土) 21:01:28.33ID:Dx5EaDhr
M として正の実数をとるのならそう書くはずです。

杉浦光夫さんの頭の中では、 M は任意の実数だったはずです。

47132人目の素数さん2018/07/07(土) 21:25:02.00ID:soVR71GW
>>46
そういうのをゲスパーという
証明のロジックは確かに同様なので間違いではない
数学の本は手取り足取り致せりつくせりで書かれているわけではない

48132人目の素数さん2018/07/07(土) 21:25:33.63ID:soVR71GW
至れり尽くせりの間違いすまない

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