面白い問題おしえて〜な 26問目
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
保守がてら 自分のIDに含まれている数字で10を作れ。 最初に成功した者が勝者である。 四則演算のみ使ってよい。 数字の分離、結合、並びの変更は認める。 例 ID:43ab2017 → 20/4+1+7-3=10 〔問題980〕 平面上にn個の異なる点を配置する。 どの2点間の距離も、必ず或る2つの実数値のどちらかを取るようにする。 n=3の時は、二等辺三角形をなすように配置する例がある。 1) n=4の時、点の配置をすべて求めよ。 2) n=5の時、点の配置は正五角形に限ると言えるか。 3) n=6の時、条件を満たす点は位置は存在しないことを示せ。 [前スレ.980] 1)は、円周上の4点(2種)、円周上の3点と円の中心(4種)が判明している。>>983 〔問題970〕 a,b の最大公約数を gcd(a,b)と略記する。 gcd(a,b)= 1 をみたす a,b∈Z と 任意の n∈Z(n≠0)に対して、 gcd(ax+b,n)= 1 をみたす x∈Z が存在することを示せ。 [前スレ.970-971] 975 132人目の素数さん 2018/02/18(日) 05:13:40.49 ID:3SEy6oaf (1) 0<θ<πで、2-2cosθと(sinθ)^2の大小を比較せよ。 (2) πを下から抑えるとき、円に内接する正多角形の周長と面積のどちらを用いるのがよいか。 (3) πを上から抑えるとき、円に外接する正多角形の周長と面積のどちらを用いるのがよいか。 (参考) 一般の平面図形で、与えられた周長で面積が最大となるものは円である(等周問題)。 従って、ある平面図形の周長が2πより短いとき、(周長の半分の数値)>(面積の数値)である。 976 132人目の素数さん sage 2018/02/18(日) 06:31:15.01 ID:3BoN6Yxt >>975 (1) (2-2cosθ)-(sinθ)^2=(1-cosθ)^2 0<θ<πで、cosθ<1なので2-2cosθ>(sinθ)^2 974 問.点Oを中心とする半径1の円と、点Aがあり、OA=2とする。 円周上に点P,Q,Rをとり、Oから直線APへの距離は1/2とする。 また、AP上P側に点XをAX=5となるように取り、 さらに、AQ上、AR上それぞれQ,R側に点Y,Zを取ると、 四角形PQYX,及び四角形QRZYはそれぞれ円に内接するという。 ∠XYZ=120°の時、XZの長さを求めよ。 解答は手に入れたが、貼る前にもう一度考えてみて [23-937] [24-30] 地球上の2地点A,B間を飛行機で移動する。このとき、飛行機がA,Bの両方より北側(高緯度側)を通ることがあるためのA,Bの位置関係を答えよ。 例えば、東京(N35.7°,E139.7°)と ・ロンドン(N51.5°,W0.1°) ・メキシコシティー(N19.4°,W99.1°) ・リオデジャネイロ(S22.9°,W43.2°) はこの位置関係にあるが、 ・大阪(N34.7°,E135.5°) ・ヨハネスブルク(S26.2°,E28.0°) ・ブエノスアイレス(S34.6°,W58.4°) はこの位置関係にない(東京より北は通らない) 地球は球と見なせるとし、飛行機は2地点間を最短距離で(大圏航路で)移動する。 また、球面上の2点を最短距離で結ぶ線は、球面をその中心を通る平面で切った円(大円)の弧になることが知られている。 [24-437] 3^m+4^n=5^kを満たす非負整数の組(m,n,k)をすべて求めよ。 【カーマイケル数】 gcd(a,n)=1 をみたす任意のa∈Zに対して、a^(n-1)≡1 (mod n) をみたすn∈Nをカーマイケル数という。 以下を証明せよ。 (1) カーマイケル数は奇数である。 (2) n∈Nに対して、nがカーマイケル数であるための必要十分条件は、(i)かつ(ii)である。 (i) nは合成数で、平方因子をもたない (ii) nの任意の素因数pに対して、n-1はp-1で割り切れる (3) カーマイケル数は、3個以上の異なる素数の積である。 (4) 6k+1、12k+1、18k+1がすべて素数のとき、n = (6k+1)(12k+1)(18k+1) はカーマイケル数である。 素数p、整数a, bに対して、a≡b (mod p) ならば、a^p≡b^p (mod p^2) であることを示せ。 これは簡単杉か… >>11 a-b=np a=b+np a^p=(b+np)^p=b^p+pb^(p-1)np+...+(np)^p a^p-b^p=p^2{b^(p-1)n+...+n^pp^(p-2)} >>9 (4) Chernick のカーマイケル数と云うらしい。 (A033502) k=1, 1729, k=6, 294409, k=35, 56052361, k=45, 118901521, k=51, 172947529, k=55, 216821881, k=56, 228842209, k=100, 1299963601, k=121, 2301745249, なお、逆は成り立たないようです。 ・3因子のうち2つだけが素数であるカーマイケル数 (A242980) k=5, 172081, (4), 18k+1=91=7*13, k=11, 1773289, (4), 12k+1=133=7*19, k=15, 4463641, (4), 6k+1=91=7*13, k=33, 47006785, (5), 18k+1=595=5*7*17, k=61, 295643089, (4), 18k+1=1099=7*157, k=85, 798770161, (4), 6k+1=511=7*73, k=96, 1150270849, (5), 18k+1=1729=7*13*19, k=115, 1976295241, (4), 18k+1=2071=19*109, ・3因子のうち1つだけが素数であるカーマイケル数 (A242981) k=22, 13992265, (5), 6k+1=133=7*199, 12k+1=265=5*53, k=105, 1504651681, (5), 12k+1=1261=13*97, 18k+1=1891=31*61, >>11 >>12 pは素数でなくても成り立ちそう… (ただしp≧2) a^p - b^p = (a-b) {a^(p-1) + a^(p-2) b + …… + a b^(p-2) + b^(p-1)} ここで a-b = np, a = b+np, {……}≡ b^(p-1) ×(p項) ≡ 0, (mod p) >>13 の訂正 k=22, n=13992265, (5つの素数の積), 6k+1=133=7*19, 12k+1=… >>9 (2)の条件に奇数が抜けていたので修正します。 内容が被ってしまうので、問題自体を書き直します。スマソ。 -------------------------------------------------- 【問題:カーマイケル数】 gcd(a,n)=1 をみたす任意のa∈Zに対して、a^(n-1)≡1 (mod n) をみたす n∈N をカーマイケル数という。 以下を証明せよ。 合成数 n∈N に対して、nがカーマイケル数であるための必要十分条件は、(i)かつ(ii)かつ(iii)である。 (i) nは奇数である。 (ii) nは平方因子をもたない。 (iii) nの任意の素因数pに対して、n-1はp-1で割り切れる。 (1) 合成数 n∈N がカーマイケル数ならば、(i)を示せ。 (2) 合成数 n∈N がカーマイケル数ならば、(ii)を示せ。 (3) 合成数 n∈N がカーマイケル数ならば、(iii)を示せ。 (4) 合成数 n∈N が(i),(ii),(iii)をみたすならば、n はカーマイケル数である。 (5) カーマイケル数は、3個以上の異なる素数の積である。 (6) 6k+1、12k+1、18k+1がすべて素数ならば、n = (6k+1)(12k+1)(18k+1) はカーマイケル数である。 -------------------------------------------------- (1)(4)(5)(6)は、易。 (2)は、私の用意した解答は間違っていますた。(フェルマーの小定理を誤用) (3)は、(1)(2)と原始根と中国剰余定理を使って証明した。 >>11 を少し変えてみる。 素数p、整数a, bに対して、a^p≡b^p (mod p) ならば、a^p≡b^p (mod p^2) であることを示せ。 >>17 pは素数だから、フェルマーの小定理( >>18 )により a^p ≡ a (mod p) b^p ≡ b (mod p) ∴ a ≡ b (mod p) p≧2 だから、>>12 >>14 により、 a^p ≡ b^p (mod pp) 一辺が整数の正方形で、3頂点からの距離が整数になる点を内部(周含まず)に持つものを挙げよ。 なお、4頂点すべてからの距離が整数になる場合は未解決である。 >>20 一辺52の正方形の内部、各辺からの距離7,24,45,28の点 >>21 ○ A(0,0),B(52,0),C,D,P(24,45) これが最小の正方形? 条件を満たす正方形ABCDと内部の点Pの例は無限にある A(0,0),B(700,0),C,D,P(396,297) A(0,0),B(3364,0),C,D,P(945,900) A(0,0),B(10952,0),C,D,P(1155,396) A(0,0),B(12675,0),C,D,P(8288,4884) … もちろんPとy=x,y=-x+1について対称な点も条件を満たす(各正方形に計4つ)。 解説や類例(英語) http://mathworld.wolfram.com/RationalDistanceProblem.html >>22 一辺52は最小 一辺1000未満の解も他にいくつか A(0,0),B(195,0),C,D,P(48,140) A(0,0),B(740,0),C,D,P(168,315) A(0,0),B(867,0),C,D,P(416,780) A(0,0),B(996,0),C,D,P(520,765) 4頂点すべてからの距離が整数になる場合があるとしたら、一辺は12の倍数になるはず n,k,iを自然数とし、自然数b1,...,bnがあり、b1+b2+...+bn =k とする。 この時、次の条件を満たす自然数の数列a1,...anが存在することを示せ。 ・ai>ai+1 ・ai≧bi ・a1+...+an=k^2 >>22 一辺が 12675 のとき、互いに対称でない解が複数ある A(0,0),B(12675,0),C,D,P(8288,4884) A(0,0),B(12675,0),C,D,P(9100,3120) A(0,0),B(12675,0),C,D,P(9588,784) 2番目は既約でなく一辺が 195 の解と本質的に同じ 3番目は既約 k+k^2-kn+n(n-1)/2. k-1. k-2. ... k-n+1. 〔掛谷の定理〕 正係数のn次多項式を F(x)= a_0・x^n + a_1・x^{n-1} + …… + a_{n-1}・x + a_n, とし、 F(x)= 0 の解をαとする。 a_0 > a_1 > a_2 > …… > a_{n-1}> a_n > 0 ならば |α|< 1. 0 < a_0 < a_1 < a_2 < …… < a_{n-1}< a_n ならば |α|> 1. では、相異なる3つの 「5以上の素数」 の平方和は、素数にならないことを示せ。 >>34 5以上の素数は、その平方がいずれも3を法として1と合同であり、3つの和が常に3の倍数となるから 「相異なる」の条件は付けなくても問題は成立する こう書けばよかったんですね、さんくす。 「3と異なる3つの素数の平方和は、素数でない」 x^5 +2x^2 + 3x + 4 ≡ 0 (mod 5) の解は、x=0,1,2,3,4を代入して x≡1,2 (mod 5) を分かるけど、 これを無理やり因数分解できないものか? x^5 +2x^2 + 3x + 4 ≡x^5 +2x^2 - 2x - 1 =(x^5-1) + 2x(x-1) ≡(x-1)(x^4 +x^3 +x^2 + 3x + 1) (mod 5) ここまでいったが、x^4 +x^3 +x^2 + 3x + 1 が x≡2 (mod 5) だけを解にもつから (x-2)をくくりだしたいんだけど。 整数係数で割り算して、そのあと商(と余り)を mod 5 すればいい >>6 の正解 θ=2π/nとする。 (2) 単位円に内接する正n角形の面積は(n/2)sinθ、半周長は(n/2)(√(2-2cosθ)) (1)より (n/2)sinθ<(n/2)(√(2-2cosθ)) よって、πを下から抑えるときは周長を用いた方がよい。 ちなみに (n/2)(√(2-2cosθ))=((2n)/2)sin(2π/(2n)) より (単位円に内接する正2n角形の面積)=(単位円に内接する正n角形の半周長) である。 面積で抑えようとするのは効率が悪い。 (3) 単位円に外接する正n角形の一辺の長さをaとおけば、面積も半周長もna/2であり等しい。 よって、πを上から抑えるときはどちらを用いても変わりはない。 実際に計算すると na/2=n√((1-cosθ)/(1+cosθ))=n(1-cosθ)/(sinθ)=n(sinθ)/(1+cosθ) 【参考】 単位円について (内接正n角形の面積) < (内接正n角形の半周長) < π < (外接正n角形の面積,半周長) の一覧 n=3 (3/4)√3 < (3/2)√3 < π < 3√3 n=4 2 < 2√2 < π < 4 n=5 (5/8)(√2)√(5+√5) < (5/4)(√2)√(5-√5) < π < 5√(5-2√5) n=6 (3/2)√3 < 3 < π < 2√3 n=8 2√2 < 4√(2-√2) < π < 8(-1+√2) n=10 (5/4)(√2)√(5-√5) < (5/2)(-1+√5) < π < 2(√5)√(5-2√5) n=12 3 < 3(√2)(-1+√3) < π < 12(2-√3) n=16 4√(2-√2) < 8√(2-√(2+√2)) < π < 8(√2)(√(2-√2))(2-√(2-√2)) n=20 (5/2)(-1+√5) < (5/2)(√2)(1+(√5)-(√2)√(5-√5)) < π < 5(1+√5)(4-(√2)√(5+√5)) n=24 3(√2)(-1+√3) < 6(√2)√(4-(√2)-√6) < π < 12(1+√3)(-1-(√3)+2√2) (内接正16角形の半周長)のみ3重根号を用いている。 n=24の不等式を用いてπを評価すると 3.1326… < π < 3.1596… である。 ところで>>41 ,42では (1/2)(単位円に内接する正n角形の周長) < (1/2)(単位円の円周2π) を用いている。 「円に内接する(凸)多角形の周長は円周より小さい」 は、各辺(弦)が弧より短いので自明である。 では 「円に包含される凸多角形の周長は円周より小さい」 更には 「凸多角形Aに包含される凸多角形Bの周長はAの周長より小さい」 は、初等数学(できれば初等幾何)で証明可能か? 凸多角形Bは凸多角形Aに包含される ⇒任意のxy座標系において[B(x,y)のxの変域]⊆[A(x,y)のxの変域]かつ[B(x,y)のyの変域]⊆[A(x,y)のyの変域] 出題! a,bは0<a<bなる実数として 平面図形 {(x,y)∈R^2|a≦x^2+y^2≦b} を考える。 まあ要するにバウムクーヘンを上から見た形ですね。 これを4つの直線で切って、いくつかの部分に分ける。 最大何個に分けられるでしょう? >>20 A(0,0) B(L,0) C(L,L) D(0,L) P(x,y) とおく。 {L-x,y} 組、{L-y,x} 組はピタゴラス数だから h,m,n により L-x-y = ±h{(nn-mm) -2mn}, と書ける。 その因数は、7,17,47,217,257 などで、1の位の数字は7である。(なぜか?) (nn-mm) - 2mn = ±(L-x-y)/h は、下記のように ペル方程式 ff -2gg = ±1 の形になる。 その解は f_k = {(1+√2)^k + (1-√2)^k} /2, g_k = {(1+√2)^k - (1-√2)^k} /(2√2), (+のときはk:偶数とし、−のときはk:奇数とする。) ・(nn-mm) -2mn = 7 のとき (nn-mm) -2mn = (n-m)^2 -2mm = {(5m-3n)^2 -2(4m-n)^2}/7 = {(m-3n)^2 -2(2m+n)^2}/7, ・2mn -(nn-mm) = 7 のとき 2mn -(nn-mm) = (m+n)^2 -2nn = {(5m-n)^2 -2(3m-2n)^2}/7 = {(3m+n)^2 -2(m-2n)^2}/7, ・(nn-mm) -2mn = 17 のとき (nn-mm) -2mn = (n-m)^2 -2mm = {(9m-5n)^2 -2(7m-2n)^2}/17 = {(m-5n)^2 -2(3m+2n)^2}/17, ・2mn -(nn-mm) = 17 のとき 2mn -(nn-mm) = (m+n)^2 -2nn = {(5m+n)^2 -2(2m-3n)^2}/17 = {(7m-n)^2 -2(4m-3n)^2}/17, ・(nn-mm) -2mn = 47 のとき (nn-mm) -2mn = (n-m)^2 -2mm = {(9m-7n)^2 -2(8m-n)^2}/47 = {(5m-7n)^2 -2(6m+n)^2}/47, ・2mn -(nn-mm) = 47 のとき 2mn -(nn-mm) = (m+n)^2 -2nn = {(7m+5n)^2 -2(m-6n)^2}/47 = {(17m-5n)^2 -2(11m-6n)^2}/47, ∴ ff -2gg = ±1 の形になる。 >>44 x = ±d と y = ±d で 「井の字」 但し、d = min{ (1/2)√(a+b),√a } だと 12個か。 もっと多いんだろうな。 新手(荒手とも)の技で導いたので一般的(?)な解放が見たいです(*´ 艸`) マクローリンです ついでにゼータも分解すると(1)の類題だと分かる形になります 因みにRamanijanの発見した恒等式を使用しました https://i.imgur.com/EkGvNIH.jpg https://i.imgur.com/bSvsQUN.jpg >>45 (L,x,y)=(6240,711,3080),(26180,3285,24528)という反例もあるけど、7や17の倍数になる例は確かに多いと思います 何か法則が…? >>45 >f_k = {(1+√2)^k + (1-√2)^k} /2, これは1,3,7,17,41,99,239,577,1393,…となると思うんですが、 その中でも特に7と17だけ際立って多く登場するのはなぜでしょうね? ┏┳┓>>44 >>46  ̄┣━━◎ ̄ ̄ ̄/\ _◎______/\/|  ̄ ∩∩ ̄ ̄ ̄ ̄\/ | ⊂(_-) )`⌒ つ ̄/ |  ̄|、_`υ___/| | ]|‖ ̄ ̄ ̄ ̄‖ | / _|‖ □ □ ‖ |/  ̄`‖____‖/ _  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄おもしろい。CDに細い紐4本、井桁に置いてずらしていくと、ちょうど頂角36°底角72°の二等辺三角形ができるときが星形で、それまでのあいだだろうなって見当はつく。かぞえるとバウムクーヘンの切れ端は13個あるね。 >>47 Σ[n=-∞,∞] e^{-πn^2} = θ_3(0, e^{-π}) = 1.086434811213308 Σ[m=-∞,∞] m^2 e^{-πm^2} = 0.0864557352758541 辺々割って 4π. Σ[n=1,∞] (-π)^n / {n! ζ(2n+1)} = -0.568682 Σ[m=0,∞] (-π)^m / {m! ζ(2m+3)} = -0.0452297 辺々割って 12.5732 >>44 d = √{ab/(a+b)} とおく。0<a<b より √(a/2) < d < min{(1/2)√(a+b),√a}. x = -d, y = 0 (x軸), (-d,d)と(d√2,0) を通る直線, (-d,-d)と(√{(a+b)/2},0)を通る直線 これで13個だ… 平面をn本の直線で分割するとき、最大でa[n]個の領域に分割するとき、 a[n+1] = a[n]+n+1 平面上に円が1つあって、n本の直線で分割するとき、最大でb[n]個の領域に分割するとき、 b[n]は? 平面上に同心円が2つあって、n本の直線で分割するとき、最大でc[n]個の領域に分割するとき、 c[n]は? 平面上に同心円がm個あって、n本の直線で分割するとき、最大でd[n]個の領域に分割するとき、 d[n]は? >>49 7や17をL-x-yの素因数に含む場合は複数解を含むケースが多い L-x-y=833=7・7・17である解3つ (L,x,y)=(11492,7524,3135),(21125,7524,12768),(43700,7524,35343) いずれも L-y=8357 L-x-y=4879=7・17・41である解2つ (L,x,y)=(13156,1440,6837),(14355,1440,8036) いずれも L-y=6319 L-x-y=5593=7・17・47である解3つ (L,x,y)=(9375,7072,7896),(21853,5040,11220),(22472,13260,14805) L-x-y=6713=7・7・137である解2つ (L,x,y)=(20280,4795,8772),(282348,15960,259675) >>4 が未解決ですが、解を知りたいものですね さて、エレ解の募集です (用意した想定解は地道にやっています) xy平面上を点Pが原点(0,0)からスタートして、以下に定められる規則に従って移動する。次の設問に答えよ。 点Pの移動規則: サイコロを振り、1の目が出た場合(2,0)、2の目が出た場合(1,√3)、3の目が出た場合(-1,√3)、4の目が出た場合(-2,0)、5の目が出た場合(-1,-√3)、6の目が出た場合(1,-√3)だけ点Pは移動する。 サイコロを8回振る。 最終的な点Pの位置をP_8とする。 原点と点P_8の長さが整数になる確率を求めよ。 但し原点と点P_8が一致した場合は長さ0とし、整数に含む。 >>56 原点からの距離が14となる場合が18通りあるが、それらの場合における確率がいずれも等しいところが興味深い 自明な結果ではないはず >>44 直線1本 … 2個 直線2本 … 5個 直線3本 … 9個 直線4本 … 13個? 円の大きさは関係ないかな 4本すべての直線が内側の円の内部を通るようにし、かつ、 どの2直線も図形の内側(内側の円の外部かつ外側の円の内部)の、それぞれ異なる点で交わるようにすると14分割になる 【湖畔の街灯】 観測者が、光源から受ける光の明るさ・電荷から受ける静電気力の大きさ・物体から受ける引力の大きさ…は逆二乗則に従う(すなわち距離の二乗に反比例する)。 観測者が距離1の光源から受ける光の明るさを1とする。 次のとき、θ=0にいる観測者が受ける光の明るさはいくらか? (n=0) 直径2/πの円周上のθ=πの位置に光源があるとき (n=1) 直径4/πの円周上のθ=π/2, 3π/2の位置に光源があるとき (n=k) 直径(2/π)*2^kの円周上のθ={aπ/(2^(k-1))}-{π/(2^k)}の位置に光源があるとき(ただしa=1,2,…,2^k) 一周2^(n+1)の円形の湖に、2^n個の街灯が等間隔で並んでいるイメージである。 無限に大きい円を考えると、どのような数論の公式が導けるか? >>53 a[n] = (nn+n+2)/2, >>61 に従って 直線0: y=0 (x軸) 線分(√a,0)〜(√b,0)をn等分する点をP_k (k=1,…,n-1) 線分(√a,δ)〜(√a,0)をn等分する点をQ_k(k=1,…,n-1) 直線k: P_k と Q_k を通る直線 とする。 δ>0 がじゅうぶん小さいとき、n本の直線は小円の内部を通る。 c[n+1] = c[n] + n+2, c[n] = n(n+3)/2, >>63 P_n = (√b,0) P_0 = Q_n = (√a,0) とおけばいいか… >>45 >>49 ペル方程式 数セミ増刊「数学・物理 100の方程式」日本評論社(1989)p.16〜17 >>63 (補足) d ' = √b - √a とおく。 線分kは放物線 √{(x-√a)/d '} + √(y/δ) = 1 に接する。その接点は (√a + (P_0 P_k)^2 /d ',(Q_k Q_n)^2 /δ) 次に、 線分 P_0(√a,0)〜 P_n(√a +d ',0)をλ:(1-λ)に内分する点をP 線分 Q_0(√a,δ)〜 Q_n(√a,0)を λ:(1-λ)に内分する点をQ とする。 λ = P_0 P / d ' = Q_0 Q / δ. このとき、線分PQ も上記の放物線に接する。その接点は (√a + λ^2・d ',(1-λ)^2・δ) また、2本の接線の交点は (√a + λ1・λ2・d',(1-λ1)(1-λ2)δ) >>63-66 >>61 に従って 直線n: y=0(x軸) 大円内でx軸と小円に接する下に凸な曲線Cを書き、n-1本の接線を曳く。 曲線Cの例: 円(x - √{b-d 'd '})^2 + (y-d ')^2 = (d ')^2 d ' = √b - √a とおいた。 >>68 ・Cの例 円 (x-√b)^2 + (y-r)^2 = r^2, ここに r = (b-a)/(2√a). いちおう自分が考えたのと同じ 必ず14 が出ました。 読むのでもう少々お待ちを。 >>56 二次元で正六角形を表現するのは面倒だが、三次元内なら簡単に表現できる。サイコロの各出目に対し、 (1,-1,0),(1,0,-1),(0,1,-1),(0,-1,1),(-1,1,0),(-1,0,1) ・・・・(★) を対応させればよい。この方法を用いると、n回のサイ振り後の、動点Pの位置(x,y,z)は、 x+y+z=0,|x|≦n,|y|≦n,|z|≦n、・・・・・・・・・(☆) の整数解と1対1に対応できる (n=1の時、原点もこの方程式の解に含まれるが、動点がここにいることはないのでこれだけは除外する) 問題では一回のサイ振りで2移動するが、この解法では√2の移動に留まる。 従ってこの座標系の距離で√2倍したものが、問題における距離と一致する。 つまり、「動点Pが原点から整数距離にある」⇔「mを整数として、2(x^2+y^2+z^2)=m^2と表せる」 m=2kとおき、整理すると x^2+y^2+xy=k^2 ・・・・・・・・・(☆☆) n=8においてこの解は、{x,y,z}={0,k,-k},{8,-5,-3},{-8,5,3}に限られる。 (★)より、(x/y + x/z + y/z + y/x + z/x + z/y)^8 ・・・・・・(★★) を展開したとき x^a y^b z^c の係数が、動点Pの8回のサイ振り後、(a,b,c)に到達するルート数に一致することが判る。 (☆☆)の解に対応させると、 (x/y),(x/y)^2,...,(x/y)^8 の係数の和の六倍、プラス、x^8/(y^5z^3) の項の係数の十二倍、プラス 定数項 を6^8で割った物が、この問題の答えになる。 飛び道具があれば、(★★) を展開し、各係数を見て、計算すれば、それで終了とできる。 だがそでは「エレガント」とは言えないので、別の方法を示す。 最も、煩雑なのが定数項の計算。飛び道具を使う以外に二通りの方法で確認したので、まずそれを示す。 展開式において、x/yをa回、x/zをb回、...z/yをf回掛け合わされ、「定数になる」等という条件を式にすると、 a+b+c+d+e+f=8、a+b=d+e,c+d=a+f,e+f=b+c → abcdef=004004,013013,021203,022022,...,400400 という21通りの非負整数解を見つけられ、 全ての解において 8!/(a!b!c!d!e!f!) を計算し、和を取れば、54810 を得られる。(これは、プログラムにより確認した) 問題では八回のサイ振りが求められているので、まずその半分四回までのサイ振り後のルートを全て計算する。 正三角形方眼紙を用いればパパパッとできる。4回後の各地点へ到達するルート数は、原点90、サイズ1の正六角形の頂点60、 サイズ2の正六角形の頂点34、辺の中点48、その外は頂点から順に12,16,16、その外側は頂点から順に1、4、6、4 このようになる。こうして得られた61カ所に数字の二乗和を取ると、90^2+6*(60^2+48^2+34^2+2*16^2+12^2+6^2+2*4^2+1^2)=54810が得られる。 ところで、(★★)を展開したときの定数項は原点のルート数=(54810)に当たるが、この式において、 x=yと置き換えた時の定数項は、正六角形の原点を通る対角線上の17個の数字の和に当たることが判る。 これは、(パスカルの三角形みたいなものを書けば)手でも十分計算可能で、2^8*1107という値を得る。 これの三倍で、原点を通る三本の対角線をカバーできるが、原点が3重に数えられているので、その超過分を減じ、 x^8/(y^5*z^3)の項の分8!/(5!3!)=56の12倍を加え、確率に直すと、 (1/6^8)(3*2^8*1107-2*54810+12*56)=741228/6^8=0.441308013... が得られ、これが>>67 で示した結果。 訂正 >>71 誤:n=8においてこの解は、{x,y,z}={0,k,-k},{8,-5,-3},{-8,5,3}に限られる。 正:n=8においてこの解は、{x,y,z}={0,k,-k},{8,-5,-3},{-8,5,3}、及び原点に限られる。 ~人人~ 前>>50 (_)_) 二重の円を (_(_)゙適当な大きさに (-_-)) 描き、 ○(`')゙バウムクーヘン ○⌒_ノ 上で交差する (_人_)゙ように5本の線 _υ_υ_ で分割し、内側の円を掠めるようにうまく配置して一本の線をとると、外側の円を含むバウムクーヘンは8つできる。 内側の円を含むバウムクーヘンは二種類あって一つの鋭角を持つ切れ端3つと、一つの鈍角をもつごく小さな切れ端3つが確認できる。 ∴8+3+3=14 訂正。前>>74 やっぱり二つの円の中心がズレてました。一つの交点が外側の円を出ます。 8+3+2=13 が最大かと。 >>75 星形にこだわるとうまい解はでないかもしれないです 例えばこういう線を考えてみてはどうでしょうかね ・バウムクーヘン>>44 のもの。原点を中心に持つ半径aとbの円に挟まれた図形 ・1本目の線を、切片(a+b)/2で正の傾きをもち、内側の円を通る(原点からの距離がa未満)線とする ・2本目の線を、切片(a+b)/2で負の傾きをもち、内側の円を通る(原点からの距離がa未満)線とする ・3本目の線を、切片-(a+b)/2で正の傾きをもち、1番目と2番目の線と第1象限にある図形内の点でそれぞれ交わるようにする ・4本目の線を、切片-(a+b)/2で負の傾きをもち、1番目と2番目の線と第2象限にある図形内の点でそれぞれ交わるようにする このようにすると、>>61 に書かれているように、4本の線は互いに図形内の異なる点で交わり、かつ内側の円の内部を通るようにできます 分割数は14になります >>76 図を書いて確認しました。たしかに14個に分割できますね。前>>75 ‖∩∩]‖ ((-_-) ‖ (っφ)゚‖ 「 ̄ ̄ ̄ ̄] ■/_UU\■_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_ >>45 >その因数は、7,17,47,217,257 などで、1の位の数字は7である。(なぜか?) 理由は不明ですが、既約解において、L-x-yの素因数は、その平方が48を法として1に合同なものに限られるらしい (その場合、当然L-x-yの平方も48を法として1に合同) 何かそうでなければならない理由があるのでしょうか 奇素数 p、自然数 r、gcd(a、p)=1 をみたす整数 a に対して、 x^2≡a (mod p^r) をみたす整数 x が存在するならば、 y^2≡a (mod p^{r+1}) をみたす整数 y が存在することを示せ。 >>79 gcd(2a,p) = gcd(2,p) gcd(a,p) = 1, ∴ 1-2az ≡0 (mod p) を満たす z が存在する。 xx = a + b・p^r に対して y = x (1 - z b・p^r) とおく。 yy = xx (1 - z b・p^r)^2 = (a + b・p^r) {1 -2z b・p^r + zz bb・p^(2r)} ≡ a + (1 -2az)b・p^r (mod p^(2r)) ≡ a (mod p^(r+1)) 半径1の円の周および内部に、 (A) どのようにm個の点を配置しても、ある2点間の距離が1以下になる。最小のmを求めよ。全ての2点間の距離が1より大きくなるm-1個の点の配置を示せ。 (B) どのようにn個の点を配置しても、ある2点間の距離が1未満になる。最小のnを求めよ。全ての2点間の距離が1以上になるn-1個の点の配置を示せ。 論点 (A) 5点の配置は余裕、またmが高々7なのは容易に示せるが、m=6,7のどちらだろうか? (B) 7点の配置はギリギリ可能だが、n=8なのだろうか? >>56 おそらく 原点は2-2-2-2型と3-3-2型(3は135ダブりか246ダブりのみ)からの計算 軸は、 23○ 56□ 14△ として ○がk個、□がk個、△が(8-2k)個を並べてから各○□△埋める 2^k×2^k×2^(8-2k)×8!/((8-2k)!k!k!) が最も近道だと思う >>82 (B)n=8が答え。 8点の中に円の中心が含まれていたら、残りの7点は円周上に無ければならないが、そのような配置は必ずある2点間の距離を1未満にする。 したがって8点とも円の中心と異なる場合のみ考えれば良いが、 ピザを切るように円を7等分すれば、鳩ノ巣原理より同一のピースに含まれるような2点が存在。 2点とも円の中心とは異なるため、必ず距離は1未満になる。 >>83 >>原点は2-2-2-2型と3-3-2型(3は135ダブりか246ダブりのみ)からの計算 aaaa(aaaa)~型: 3通り * 8!/(4!4!) aaab(aaab)~型: 6通り * 8!/(3!3!) aabb(aabb)~型: 3通り * 8!/(2!2!2!2!) aabc(aabc)~型: 3通り * 8!/(2!2!) (ABC)^2*AA~型: 6通り * 8!/(3!2!2!) の21通り合計、54810ですね。 (※aに対し、「a~」で、aと反対の方法を、A,B,Cは、お互い120度をなす方向を表し、ABCで元の位置に戻ります。) (※二つの数字は、方向パターンと並べ替えパターン) この方法は、「型の列挙」に漏れや重複がないか核心で、別の独立な方法で確認できたなら、自信が持てますよね。 軸の方の Σ[k=0,4]2^k×2^k×2^(8-2k)×8!/((8-2k)!k!k!) =283392=1107*2^8 はシンプルですね。 >>82 (A) m=6 ・6点のどれかが円の中心ならば、他の点までの距離は1以下。 ・6点とも円の中心でない場合、 6つの中心角の合計が360゚ だから、最小のものは60゚ 以下となり、60゚ の扇形に含まれる。 ∴ 距離は1以下。 円周上の正5角形 有名問題かもしれないけど 「全ての自然数は、3の階乗の足し引きで表されることを示せ。」 例えば4=3+1 11=9+3-1 とかな 高校数学解法辞典? っていうのに載ってて、難易度が難だった 難レベルは同書に数問しか入ってなかった やや難の問題の方が難しく感じたけどなw 足すか、引くか、足しも引きもしない、の3通りが選べる。 これが全ての数について言えるから >>88 だけど、問題の定義が曖昧すぎたので原文まんま上げます 考えてた人はごめんなさい http://imgur.com/FJFbctS.jpg >>96 もう日曜だが… 博多どんたく の語源はオランダ語の zondag.(日曜日)らしい >>88 で、肝心の問題だが… 平衡3進法 とか云うらしい... http://www5e.biglobe.ne.jp/ ~emm386/2015/numeration/nb01.html 平衡3進法、 天秤と重さ3^kの分銅がk=0,1,2,...について1個ずつあれば、正の整数の重さは全部表せるってやつだね (天秤進法→)天進法の名前で商標登録してるやつがいるけどどうなの ↑その人、コラッツ予想を証明してしまっているようだなあ。 数学というより、精神医学の話題なんじゃないの? ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
read.cgi ver 07.5.0 2024/04/24 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる