ルベーグ積分や測度論のスレ その2

1132人目の素数さん2017/10/18(水) 07:14:43.78ID:yB8nL1O6
ルベーグ積分や測度論について語りましょう

前スレ
ルベーグ積分や測度論のスレ
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1317556554/

51132人目の素数さん2018/10/28(日) 16:53:46.69ID:fKSu+yds
おーい、釣れるか?

52学術2018/10/28(日) 18:31:57.67ID:wp+hJex4
スカスカは無数を表すのだろうね。有数といえば分子とか。

53132人目の素数さん2018/10/28(日) 19:46:33.34ID:0Tu6us6V
このスレに大類昌俊が書き込みしてそう

54132人目の素数さん2018/10/28(日) 23:44:24.50ID:w8/fydrh
>>53
はいアウト
ついに一線を越えたな
おまえ以外誰も興味を持ってない障害者スレから二度と出てくんな

55132人目の素数さん2018/10/29(月) 04:40:25.94ID:Cx8rTCyv
>>47
大学1年レベルの解析
集合位相論

56132人目の素数さん2018/10/29(月) 07:46:13.33ID:EgxsGIhj

57132人目の素数さん2018/10/29(月) 22:10:55.73ID:jaoN+B4j
普通に数学をする上では, 整数全体の集合Zからの有
理数全体の集合Qの構成およびQの完備化による実数
全体の集合Rの構成さえ理解できていれば困らないで
あろう(これは多くの本に書かれてあるので機会と時
間があるときに解説したい). しかし根本にある自然数
をどう定義するか, これは必ずしも広く正確に知られ
たことではない. またRの定義には公理的な方法もあ
り, そこから逆に自然数を定義することもある.自然数
の定義と聞いて多くの人が思い浮かべるのはペアノの
公理系によるものであろう. しかしこれを正確に把握
するためにはZFまで見直さなければならない. またR
の定義にはQの切断による構成もある(デデキント切
断を公理として認めて公理的に定義するのとはまた別
の話である). Qの切断による構成もZFC公理系を基に
して定義される順序数の概念まで考察しなければ真に
理解することはできない.

58132人目の素数さん2018/10/29(月) 22:11:30.97ID:jaoN+B4j
Qの完備化としてRを定義するのとRを公理的に定義
するのは, このブログの執筆段階から妥当ではないと
考えられるため, また数とは何かという問いに答える
ため, ここでは順序数の概念に基づいた考察をするこ
とにする.

59132人目の素数さん2018/10/29(月) 22:12:23.85ID:jaoN+B4j
数とは何か定義するのは, 現代数学的に言うと, その数
全体の集合をどう定義するか, どう構成するかという
ことである. 自然数は典型的な順序数の例であり, 順序
数の概念は自然数の拡張である. Zは通常の大小関係
では整列集合にならないが整列可能定理により整列集
合とすることができ, やはり整数は順序数の特別な場
合と考えることができる. QにもRにも整列可能定理
により整列順序を入れることができ, 有理数も実数も
順序数とみなせる. 特にQの切断によるRの構成は順
序数の基本的な性質に並行している. つまり数とは現
代数学的には順序数なのである.

60132人目の素数さん2018/10/29(月) 22:13:18.24ID:jaoN+B4j
Rをさらに拡大したものには複素数全体の集合Cと超
実数全体の集合*Rがある. これらの元が数であるかど
うかは微妙なところなのでこれもまた別の機会に書こ
うと思う. だが少なくともZFC公理系のもとでは「数
を実数の意味でとらえるとき, 数とは順序数のことで
ある」と言えるであろう. 数自身もまた或る種の集合として定義されているのである. これが現代数学による答えであろう.

61132人目の素数さん2018/10/29(月) 22:14:05.67ID:jaoN+B4j
なお非数学的なことを言えば, 数とは量や個数あるい
は回数など数字を用いて表される概念を抽象化したも
のである, ということになるだろう. 例えば1個のみか
んと1個のりんごが目の前にあるとき合わせて果物は
何個かという問いには誰もが2個と答えるだろう. こ
れは演算を果物の個数全体の集合すなわちNで行って
いることに他ならないが, 上述の説明と「1+1=2」の
間には明らかな抽象度の飛躍がある.

62132人目の素数さん2018/10/29(月) 23:09:06.90ID:02ED9R1j
ナニコノケータイ小説

63132人目の素数さん2018/10/30(火) 13:07:18.37ID:t5mlYc9c
そう言う気分に浸りたいんだろ

64132人目の素数さん2018/10/30(火) 17:46:09.79ID:iB44h34+
暇つぶし代わりにどうぞ

1. ユークリッド空間の可算集合はルベーグ測度について零集合であることを示せ. (ヒント:特定の被覆について外測度が出れば外測度の値の一意性からその値は任意の被覆に対する値でもある)

2. 可算集合を基に定義される測度空間で空でない集合の測度がゼロでないものを構成せよ. (ヒント:群の位数)

3. 任意の集合Xとその冪集合P(X)について m({})=0, m(A)=∞({}≠A∈P(X)) とすると(X, P(X), m)は測度空間であることを示せ. ({}は空集合. この問題のみ測度空間の定義にσ-有限性は仮定しない)

4. ユークリッド空間の空でない開集合のルベーグ測度は正であることを示せ.

5. ユークリッド空間のルベーグ可測集合Eに対してEのベクトルvだけの平行移動E+v=v+E={x|x=y+v, y∈E}とする. このときm(E+v)=m(v+E)=m(E)を示せ. (ヒント:ルベーグ測度の定義)

6. ルベーグ測度mとルベーグ可積分関数fに対して
∫f(x+v)m(dx)
=∫f(v+x)m(dx)
=∫f(x)m(dx)
を示せ(積分範囲はユークリッド空間全域).

7. ルベーグ積分∫_Rχ_Q(x)m(dx)を求めよ.

8. 問題2で構成された測度空間において可測関数はR∪{±∞}への写像としての数列であり可積分関数の積分は絶対収束する無限級数であることを示せ.

9. ルベーグ可測集合Eに対して
m(E)=inf{m(O)|開集合O⊇E}
を証明せよ. (ヒント:(外)測度の単調性より
m(E)≦右辺)

10. ノルム空間Vにおいて三角不等式
| ||x||−||y|| |≦||x−y|| ( ∀x, y∈V )
を示せ.

11. ヒルベルト空間において内積は連続であることを示せ.

65132人目の素数さん2018/10/30(火) 19:42:14.45ID:CesWoYe7
答え
64 名前:あぼ〜ん[NGID:iB44h34+] 投稿日:あぼ〜ん

66132人目の素数さん2018/10/30(火) 21:41:34.52ID:iB44h34+
>>65
不正解、残念!!

67132人目の素数さん2018/10/30(火) 22:00:56.62ID:NyRr0Mdf
いい質問ですねぇ

68132人目の素数さん2018/10/31(水) 13:19:09.36ID:urQc9jb2
大体は見ただけで解けるからなー

69132人目の素数さん2018/11/10(土) 16:17:59.24ID:yz14pnCB
ルベーグ積分が正の部分と負の部分に分けて定義されるのってどうにかならんのか?
リーマン積分みたいに一気にやれよ

70132人目の素数さん2018/11/11(日) 13:14:23.11ID:gf+0u+wG
測度だからしょうがない

71132人目の素数さん2018/11/11(日) 17:11:25.80ID:Lx1A/P6d
<わからない9大理由>
1.読まない …参考書などを読まない。読む気などさらさらない。
2.調べない …過去スレ、ググるなど最低限の内容も自分で調べようとしない。
3.試さない …めんどくさいなどの理由で実行しない。する気もない。
4.覚えない …人から聞いて、楽して得た答えは身に付かないから、すぐに忘れる。
5.説明できない …何に困っているのか、第三者に正確に伝わる文章が書けない。
6.理解力が足りない …理解力以前の問題で理解しようとしない。
7.人を利用することしか頭にない …甘え根性でその場を乗り切ろうとする。
8.感謝しない …教えてもらって当たり前。事がすんだらさようなら。
9.逆切れする …自分の思うようにならないと逆切れする。

72132人目の素数さん2018/11/11(日) 18:30:43.75ID:ygoqKLq6
まるで大類昌俊

73132人目の素数さん2018/11/11(日) 21:22:59.86ID:4DvLC3dq
>>71
ググるだけとかコピペだけってのはレベルが1上がってるのか・・・

74132人目の素数さん2018/11/12(月) 11:22:19.00ID:FYU7hwZx
わからないと同じやねーの?

75132人目の素数さん2018/11/12(月) 21:15:14.01ID:karrrsww
ルベーグ積分が何の役に立つのかリストにしてくれませんか?それを見て勉強するかどうか決めます。

76132人目の素数さん2018/11/12(月) 21:16:41.59ID:NapsQ4WF
関数解析
量子力学

77132人目の素数さん2018/11/12(月) 21:46:58.61ID:sYl1o0en
一様収束に拘わらずに積分と極限操作の順序を入れ替える根拠にできる。

78132人目の素数さん2018/11/12(月) 21:59:08.14ID:teOXOGb0
画処理でルベーグ積分は使えないの?

79132人目の素数さん2018/11/13(火) 04:45:10.94ID:wC4ySois
お前には無用

80132人目の素数さん2018/11/13(火) 13:46:16.92ID:PKdFww7C
役立つリストとか言ってる時点で手遅れ

81132人目の素数さん2018/11/13(火) 15:52:46.09ID:bkM3+WR/
うーん
あんまり重要じゃなさそうですね
まあ人間が実世界でする求積にはリーマン積分で十分ですもんね

82132人目の素数さん2018/11/13(火) 21:33:14.51ID:X2oAJ/Dq
その通りです
リーマン積分で満足しているなら,ルベーグ積分なんて無駄なんだから時間の無駄に決まってます

83132人目の素数さん2018/11/13(火) 22:25:06.02ID:lQBjdQ/O
勉強しなくてもいい理由が欲しいんだろうな
したくなければしなくていいのが勉強

84132人目の素数さん2018/11/14(水) 00:34:46.49ID:JJ1GnX7n
お勉強してる自分に酔ってるような輩もだいぶイヤだけどな

85132人目の素数さん2018/11/14(水) 08:09:22.97ID:tvbrA8b0
かまってちゃんだろ

86132人目の素数さん2018/11/14(水) 14:49:19.12ID:LzA25cvk
実用時にリーマン積分で計算する奴はいない

87132人目の素数さん2018/11/15(木) 18:39:39.88ID:Mu7q//06
 ┌─────────┐
 │               .|
 │  キチガイ警報!  │
 │               .|
 └―――──――――┘
      ヽ(´ー`)ノ
         (  へ)
          く

88132人目の素数さん2018/11/16(金) 07:22:03.44ID:zYM8bjwi
定理の証明には、ルベーグ積分が有利。諸定理の使える条件がゆるい。
面積の値が欲しいだけなら、リーマン積分で十分。
コンピュータを使った数値計算でルベーグ積分することはない。
というより、コンピュータの数値計算で完全加法性なんて扱えない。

89132人目の素数さん2018/11/16(金) 13:35:26.79ID:O0EEVdUr
普通は台形積分だろ
リーマン積分みたいな短冊を使う奴なんているんか

90132人目の素数さん2018/11/17(土) 00:16:14.83ID:QLXqSuI2
あのさぁ、極限とる前の横軸の分割が、区間による有限個の分割なら、
区間上の形は、短冊でも台形でもシンプソンでもガウス積分でも、
リーマン積分と考えて何の問題もないよ。

91132人目の素数さん2018/11/17(土) 13:18:29.08ID:P1IuP98F
数値計算で極限とるかよ

92132人目の素数さん2018/11/17(土) 16:35:26.65ID:QLXqSuI2
やれやれ、ルベーグ積分がわからないのはいいとしても、
リーマン積分を知らんとは。
そらぁ無理だは、ルベーグ積分わかるのは。

93132人目の素数さん2018/11/17(土) 18:31:47.78ID:/jtIsCMh
だ「は」?

94132人目の素数さん2018/11/17(土) 20:54:41.28ID:Ny+8/ILL
アホにアホが突っ込む

95132人目の素数さん2018/11/17(土) 23:09:20.22ID:QLXqSuI2
昔は数学板にルベーグ積分知らないのがいることが驚愕だった。
しかし、今やリーマン積分知らないのがいる。まさに衝撃の事実。
しかもそれをボーッと見て感想を書いている。もはや言葉がない。
ただ恐怖と戦慄があるだけだ。時代は変わった。
上には上のアホがいる。いや、下には下か。

96132人目の素数さん2018/11/18(日) 01:18:35.94ID:uEtlHBs8
リーマン測度

97132人目の素数さん2018/11/18(日) 02:16:27.27ID:Tu83m2CF
ダニエル

98132人目の素数さん2018/11/18(日) 02:22:46.86ID:Eh49lOQG
>>95
最近の学生は一様連続がわからんから

99132人目の素数さん2018/11/18(日) 12:57:24.17ID:yFcTtAlF
>>96
んなもんあるんか?

100132人目の素数さん2018/11/18(日) 15:33:08.82ID:Eh49lOQG
>>99
ネタにマジレスすると

リーマン測度(Riemannian measure):
計量の入った多様体 (M, g) の体積要素のこと vol_M などと表す

リーマン積分の測度論的構成
ジョルダン測度を使ってルベーグ積分のような構成をすることはできるが
煩雑なだけで積分できる範囲も広がらないので手間のかかる演習問題だな

101132人目の素数さん2018/11/19(月) 01:17:35.68ID:guFDMZ6h
ルベーグ積分なんて使わないやつは知らなくていいよ
教養でもなんでもない

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