不等式への招待 第９章 [無断転載禁止]©2ch.net
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>>899
さんくす。
x=a(>0) における log x の接線を考えて、
(x-a)/a + log a ≧ log x.
x=1, a = (N+d)/N を代入すればいいのかな。 >>898
3.
{1/a,1/b,1/c,1/d} について 16A + 9H ≧ 25G,
>>887 と同じですね。 >>877(2)左側
0≦x≦1 において f(x) = x^m (1-x)^n は x = m/(m+n) で最大値をとる.
I(m,n) = ∫[0,1] f(x)dx とおくと, I(m,n) ≦ f(m/(m+n)) より
(m!*n!)/{(m+n+1)!} ≦ {(m^m)(n^n)}/{(m+n)^{m+n}}
[東京医科歯科大学2013数学第3問] >>856-857
大昔のPutnumに、これより弱い不等式があったよね。
>>885
Moreau's inequality が思い浮かぶと同時に、一松先生を思い出す。（謎掛け） 三角形の辺長 a,b,c に対して、
(1) Σ[cyc] aa(b+c-a) ≦3abc.
(2) Σ[cyc] aab(a-b) ≧0.
そもそも(1)は辺長でなくても非負実数で成り立つでおじゃるな。 >>904
(1)
(右辺) - (左辺) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = F1(a,b,c) ≧ 0,
△である必要はない。
(2)
a = y+z、b = z+x、c = x+y とおく。(Ravi変換)
(左辺) = aab(a-b) + bbc(b-c) + cca(c-a)
= 2(xyyy+yzzz+zxxx) - 2xyz(x+y+z)
= (2/7)(2xyyy +yzzz +4zxxx -7xxyz) + cyc.
≧ 0,
IMO-1983, A.6
文献[9] 佐藤(訳) (2013) 問題2.24
Inequalitybot [24] >>856 >>903 >>906
27th Putnum-1966
A2.
A triangle has sides a, b, c. The radius of the inscribed circle is r. Show that
1/(b+c-a)^2 + 1/(c+a-b)^2 + 1/(a+b-c)^2 ≧ 1/(2r)^2, >>855
中国MOの問題が載っているリンクがあれば教えてください。 x, y≧1 に対して、x√(y-1) + y√(x-1) ≦xy. >>910
√(x-1) = X,
√(y-1) = Y,
とおく。
XX-X+1 ≧ X,
YY-Y+1 ≧ Y,
(右辺) - (左辺) = ｘｙ - ｘ√(y-1) - y√(x-1)
= (XX+1)(YY+1) - (XX+1)Y - (YY+1)X
= {(XX+1)-X} {(YY+1)-Y} - XY
≧ XY - XY
= 0,
あるいは
x = (cosh u)^2， y = (cosh v)^2 とおく。 >>910 >>913
x-2X ≧ 0,
y-2Y ≧ 0,
(右辺) - (左辺) = ｘｙ - ｘY - yX
= x(y-2Y)/2 + y(x-2X)/2
≧ 0,
でもいいけど… a, b >0 に対して、aabb(aa+bb-2)≧(ab-1)(a+b).
非同次は苦手でおじゃる。 三角形の辺長a,b,cに対して、a(b+c-a)<2bc. >>916 は「美しい不等式pp.69-70」にあるが、証明が美しくないよな。
普通に差をとったら綺麗にできるのになあ。 >>915
a, b, c >0 に対して、aabb (aa+bb-2cc) ≧ (ab-cc) (a+b) ccc,
これで どうじゃ（同次ゃ） >>915 >>918
(左辺) - (右辺)
≧ (a+b)(ab)^(5/2) - (a+b)(ab)^(3/2)･cc - (ab-cc)(a+b)c^3
= (a+b)(ab - cc) [(ab)^{3/2} - c^3]
≧ 0, >>916 >>917
x = (b+c-a)/2, y = (c+a-b)/2, z = (a+b-c)/2,
とおく。(Ravi変換)
普通に差をとったら出来ますね^^
2bc - a(b+c-a) = 2(x+z)(x+y) - 2x(y+z) = 2xx + 2yz ≧ 0,
文献[9] 佐藤(訳) §2.2 例2.2.1 p.69 (2013) >>917 >>920
なるほど、Ravi変換は無敵でござるな。
この問題を問題集で見て感じたのは、三角形の成立条件を使った例なのに、
三角形の成立条件が一目で分かりにくい小汚い計算をしていた点。
b,cについて対称だから b≧cとする所まではいい。次のようにした方が美しいと思わん？
aが最大または最小のとき、
2bc - a(b+c-a) = bc + (a-b)(a-c) > 0.
aがbとcの間の数のとき、b≧a≧cだから、
2bc - a(b+c-a) = (a-c)(c+a-b) + c(b+c-a) > 0. >>915 >>918-919
難しすぎる。が、改造してみた。
a, b >0 に対して、ab(aa+bb-2)≧(ab-1)(a+b). >>922
a, b, c, r > 0 に対して (ab)^{r+1/2} (aa+bb-2cc) ≧ (ab-cc) (a+b) (cc)^r,
(略証)
（左辺) - (右辺)
≧ (a+b)(ab)^{r+1} - (a+b)(ab)^r･cc - (ab-cc)(a+b)(cc)^r
= (a+b)(ab-cc) [(ab)^r - (cc)^r]
≧ 0, >>915 + >>922
a, b >0 に対して、aabb(aa+bb-2) ≧ ab(ab-1)(a+b) ≧ (ab-1)(a+b).
つまり改造後の不等式は、より強い式でござる ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
調子に乗って、さらに改造すると、
a, b >0 に対して、{√(ab)}*(aa+bb-2) ≧ (ab-1)(a+b). >>923
（左辺) ≧ (a+b)(ab)^{r+1} - (a+b)(ab)^r･cc
= (a+b)(ab-cc)(ab)^r
≧ (a+b)(ab-cc)(ab)^(r-1) cc
≧ ……
≧ (a+b)(ab-cc)(ab)(cc)^(r-1)
≧ (a+b)(ab-cc)(cc)^r
= (右辺), (1) a,b,c∈Rに対して、
(a^5+b^5+c^5)^2 ≧ 3abc(a^7+b^7+c^7).
(2) x,y,z>0, xyz=1に対して、
(x^10+y^10+z^10)^2 ≧ 3(x^13+y^13+z^13). >>522 (D1)
f '(x) < (3/2)^(1/3) f(x) = 1.14471424 f(x),
60th Putnam (1999/Dec/04) B-4
〔補題〕
lim(x→-∞) F(x) ≧0,
F '(x) > 0 for all x∈R
ならば
F(x) > 0 for all x∈R
(背理法で示せる。)
g(x) = (3/2)f(x)^3 - {f '(x)}^3,
とおくと
g '(x) = 3f '(x) {(3/2)f(x)^2 - f '(x)f "(x)} ≡ 3f '(x) h(x),
h '(x) = 3f(x) f '(x) - f '(x) f '''(x) - {f "(x)}^2
= f '(x) {f(x) - f '''(x)} + {2f(x) f '(x) - [f "(x)]^2}
≡ f '(x) {f(x) - f '''(x)} + L(x),
L '(x) = 2f '(x){f(x) - f '''(x)｝ + {f '(x)}^2 > 0,
補題により
L(x) = 2f(x) f '(x) - [f "(x)]^2 > 0,
h '(x) > 0,
補題により
h(x) = (3/2)f(x)^2 - f '(x)f "(x) > 0,
g '(x) > 0,
補題により
g(x) = (3/2)f(x)^3 - {f '(x)}^3 > 0,
f '(x) < (3/2)^(1/3) f(x), >>522 (D1) >>928 >>929
Inequalitybot [143] >>927 (2)
>>515 を参照ウオ。
〔補題〕 >>533 >>534
(A^3+B^3+C^3)^2 ≧ (AB+BC+CA)(A^4+B^4+C^4), >>929 訂正
L '(x) = 2f "(x) {f(x) - f '''(x)｝ + 2{f '(x)}^2 > 0,
でした、 (1)
a,b,c∈R, r>0 に対して、
a(b+c)^r + a(b+c)^r + a(b+c)^r ≧0.
(2)
a,b,c>0 に対して
√(aa+ab+bb) + √(bb+bc+cc)√(cc+ca+aa) ≧ 3√(ab+bc+ca).
(3)
a,b,c∈R に対して、次式をみたすkの最大値を求めよ.
abc(a+b+c)^2 ≧ k(ab+bc+ca)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).
------------------------------------------
http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf
1831, 1394, 1120 >>931
>>533 >>534 より
(A^3 + B^3 + C^3)^2 - (AB+BC+CA)(A^4 + B^4 + C^4) = F_0(A, B, C) F_0(AA, BB, CC) + F_1(BC, CA, AB) ≧ 0,
F_n(x,y,z) = (x^n)(x-y)(x-z) + (y^n)(y-z)(y-x) + (z^n)(z-x)(z-y) ≧ 0, >>933
1831. (p.74)
a,b,c ∈ R, r>0 は奇数 のとき
a(a+b)^r + b(b+c)^r + c(c+a)^r ≧ 0,
1394. (p.51)
(略解)
AM-GM で
(左辺) ≧ 3{(ab+bb+aa)(bb+bc+cc)(aa+cc+ca)}^(1/6)
≧ 3√(ab+bc+ca), (←コーシー)
1120. (p.34)
(略解)
a,b,c ≧ 0 とする。
{b+c-a, c+a-b, a+b-c} の中の2つの和は非負だから、負であるものは高々1つ。
いずれかが負の場合は、任意のk>0 について
(左辺) ≧ 0 ≧ (右辺).
以下では b+c-a≧0, c+a-b≧0, a+b-c≧0, k=3 とする。
(左辺) - (右辺) = abc(a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ca)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
= c(a+b-c)(3a+3b-c)(a-b)^2 + a(b+c-a)(3b+3c-a)(b-c)^2 + b(c+a-b)(3c+3a-b)(c-a)^2 ≧ 0,
等号成立は a=b=c のとき。 >>933
1126. (p.34)
0 < x ≦ 1 に対して次を示せ。
x < sinh(x) < 3x/{1+1+√(1-xx)} < tan(x),
1270. (p.44)
x>0 に対して次を示せ。
x/√(1+xx) < tanh(x) < √{1-exp(-xx)} < x, >>933 >>935
> (2)
> a,b,c>0 に対して
> √(aa+ab+bb) + √(bb+bc+cc)√(cc+ca+aa) ≧ 3√(ab+bc+ca).
my collection に次式を発見、しかし詳細不明。
a,b,c∈R に対して、
√(aa+ab+bb) + √(bb+bc+cc)√(cc+ca+aa) ≧ (3/2)*(a+b+c). >>859-861
n≧4では、逆向きが成り立つという仮説を立ててみた。
n=2,3のとき、 (3/4)*(1 + A/H)^2 ≧ (A/G)^n + (G/H)^n + 1
n≧4のとき、 (3/4)*(1 + A/H)^2 ≦ (A/G)^n + (G/H)^n + 1 >>887
4文字だと証明が大変そうだけど、いい方法あるんですか？ a,b,c,d>0 に対して、
9*(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 1/d^2) + 48/(aa+bb+cc+dd)
≧ 8{1/(ab) + 1/(ac) + 1/(ad) + 1/(bc) + 1/(bd) + 1/(cd)}.
等号は a = 3b = 3c = 3d.
検索中に見つけた。ちゃんと成り立つのかな？
http://www.mathoe.com/dispbbs.asp?boardID=107&;ID=44556 >>938
n≧4 のとき
(右辺) = (A/G)^n + (G/H)^n + 1^n
≧ 2(A/H)^(n/2) + 1 (AM-GM)
≧ (3/4){1 + (A/H)^(n/4)}^2,
2xx +1 - (3/4)(x+1)^2 = (x-1)(5x-1)/4 ≧ 0, (x≧1)
>>939
That's what I wanna know. (それは こっちが訊きたい...)
>>940
5点で等号成立ですね…
(a,b,c,d) = (1,1,1,1) (3,1,1,1) (1,3,1,1) (1,1,3,1) (1,1,1,3) >>937
xx+xy+yy = (3/4)(x+y)^2 + (1/4)(x-y)^2 ≧ (3/4)|x+y|^2,
より
(左辺) ≧ (√3)/2･(|a+b|+|b+c|+|c+a|)
≧ (√3)/2･|2a+2b+2c|
= (√3)|a+b+c|,
ab+bc+ca ≧ 0 ならば 1394. が成立。 >>933 (2) >>937
a,b,c∈R に対して、
√(aa+ab+bb) + √(bb+bc+cc) + √(cc+ca+aa) ≧ (3/2)*|a+b+c|.
[証]
xx+xy+yy - (x+ y/2)^2 = (3/4)*y^2 ≧0
∴ √(xx+xy+yy) ≧ |x+ y/2|
√(aa+ab+bb) + √(bb+bc+cc) + √(cc+ca+aa)
≧ |a+ b/2| + |b+ c/2| + |c+ a/2|
≧ |(a+ b/2) + (b+ c/2) + (c+ a/2)|
＝ (3/2)*|a+b+c|.
等号成立条件は a=b=c=0.
---------------------
>>942の等号成立条件は a=b=c だから、上式は緩くて次式が良いってことですかね？
√(aa+ab+bb) + √(bb+bc+cc) + √(cc+ca+aa) ≧ (√3)|a+b+c|. >>938
n≧4 のとき
(A/G)^n + (G/H)^n + 1 ≧ 3([(A/G)^2 + (G/H)^2 + 1]/3)^{n/2} ≧ 3([(A/H) + (A/H) + 1]/3)^{n/2},
(A/G)^n + (G/H)^n + 1 ≧ (A/H)^{n/2} + (A/H)^{n/2} + 1≧ 3([(A/H) + (A/H) + 1]/3)^{n/2},
もある… >>865
n=3 は 16x^3 +63x^2 -42x -25 = 0 の根
n=4 は 729x^5 +3923x^4 +9002x^3 -42x^2 -5107x -1849 = 0 の根。
min{(A-G)/(G-H)} ≧ 4(n-1)/nn, …… Sqing の評価 (2018/June/03)
http://artofproblemsolving.com/community/c6h422665p2389389 〔問題2969〕
aa+bb+cc = 2 のとき
{3 - (ab+bc+ca)}^3 /{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}^2 ≧ 27/8,
(by K. Chikaya)
http://suseum.jp/gq/question/2969
http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/ (不等式２-324) a,b,c>0 に対して、
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 1 + 24(aa+bb+cc)/{(a+b+c)^2}. 最近の不等式botの、食べ物の写真のノイズが邪魔過ぎる。 >>951
京都市左京区一乗寺 「つけ麺 惠那く」
http://kyotopi.jp/articles/7dhfJ
大盛り450gです。(プラス100円）
多麺体だ〜 >>950
s = a+b+c，u = abc とおく。
(左辺) - (右辺)
= {c(a-b)^2 + a(b-c)^2 + b(c-a)^2}/u - (8/ss){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}
= (c/u -8/ss)(a-b)^2 + (a/u -8/ss)(b-c)^2 + (b/u -8/ss)(c-a)^2
= p(a-b)(a-c) + q(b-c)(b-a) + r(c-a)(c-b),
(b+c)ss ≧ 4a(b+c)^2 ≧ 4a(4bc) = 16u より p = (b+c)/u -16/ss ≧ 0,
同様にして
q = (c+a)/u - 16/ss ≧ 0,
r = (a+b)/u - 16/ss ≧ 0,
また、(a,b,c) と (p,q,r) は逆順序だから、Schur の拡張により
p(a-b)(a-c) + q(b-c)(b-a) + r(c-a)(c-b) ≧ 0, >>953
瞬殺ですな、乙でござる。
さて、>>950を書き込む際に出典を探したが見つけらず。
おそらく Vasile Cirtoaje だろうが、検索したが閲覧できず。
2年前には未完成のpdfが閲覧できたが、2018.07以降の書籍化が原因だろう。
7.Cirtoaje V. - Mathematical Inequalities, Volumes 1-5 (p. 344, 400, 486, 522, 544), Lambert Academic Publishing, 2018.
http://ac.upg-ploiesti.ro/vcirtoaje/vcirtoaje.php >>950 >>953
Cauchyより強ければよかったのに。 >>950
4点で等号が成立
(a,b,c) = (1,1,1) (2,1,1) (1,2,1) (1,1,2)
p=0 q=0 r=0
…てことは、これで最良でござる。 >>955 >>956
ほんとだ、不等号の向きを勘違いしていた。つまりこういうことですな。
a,b,c>0 に対して、
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 1 + 24(aa+bb+cc)/{(a+b+c)^2}.≧9. (1) a,b,c∈R に対して、(aa+bb+cc)^2 ≧ 3(a^3b+b^3c+c^3a).
(2) a,b,c,d>0, abcd=1 に対して、a^4b+b^4c+c^4d+d^4a ≧ a+b+c+d.
(3) a,b,c>0 に対して、3/4 ≦ Σ[cyc] ab/{(b+c)(c+a)} < 1. >>958
(1)
A = aa -bb +3bc,
B = bb -cc +3ca,
C = cc -aa +3ab,
とおくと
(左辺) - (右辺) = {(A-B)^2 + (B-C)^2 + (C-A)^2}/6 ≧ 0,
>>244 (1) >>247
(2) AM-GMで
{23(a^4)b +7(b^4)c +11(c^4)d +10(d^4)a}/51 ≧ a(abcd) = a,
巡回的にたす。
(3)
右)
(中辺) = 1 - 2abc/{(a+b)(b+c)(c+a)} < 1,
左)
(中辺) - 3/4 = {(a+b)(b+c)(c+a)-8abc}/(a+b)(b+c)(c+a) ≧ 0, (AM-GM) >>958 (2)
ついでだけど、n文字の場合も AM-GM で
Σ[j=1,n] ｋ_j (a_j)^n a_{j+1} ≧ a_1（a_1･a_2…a_n) = a_1,
巡回的にたす。
ｋ_j = 1/(n+1) - (-1)^j･n^{n-j}/[n^n - (-1)^n] > 0,
a_{n+1} = a_1, >>958-959
(1)は Vasc's Inequality というらしい。
Vascって人名かな？
https://i.imgur.com/FSQSdQY.jpg a,b,c>0, aa+bb+cc=3 に対して、
(a^5)/(b^3+c) + (b^5)/(c^3+a) + (c^5)/(a^3+b) ≧ (3/2)*(abc)^2.
バスク大佐の不等式を使って証明できるらしい… >>963
aa+bb+cc = S とおく。
a(b^3 +c) + b(c^3 +a) + c(a^3 +b) = (ab^3 +bc^3 +ca^3) + (ab+bc+ca) ≦ SS/3 + S, (>>958 (1))
コーシーで
{a(b^3 +c) + b(c^3 +a) + c(a^3 +b)}(左辺) ≧ (a^3 +b^3 +c^3)^2 ≧ (aa+bb+cc)^3 /(1+1+1) = (1/3) S^3,
∴ (左辺) ≧ (S^3)/(SS+3S) = SS/(S+3), >>959 (1)
4点で等号成立。
A=B=C より
(a, b, c) = (1, 1, 1) (1, 1+t, 3+1/t) = (1, 1+t, tt-3t-1)
t は t^3 -3t^2 -4t -1 = 0 の根
t = -0.69202147163 -0.3568958679 4.0489173395 n次元ベクトル a_1、…、a_m の相加平均を A = (a_1+…+a_m)/m とおく。
任意のn次元ベクトル x に対して、
Σ[k=1 to m] |a_k - x|^2 = Σ[k=1 to m] |a_k - A|^2 + m*|x - A|^2.
むむっ、不等式じゃないな… どれも-1以上である実数a,b,c,d,eはa+b+c+d+e=5であるという
このときの(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)の最大値と最小値を求めよ
2019年度中国数学オリンピック第一問 >>966
n次元ベクトル ｙ = (y_1, y_2, …, y_n) に対して
|ｙ|^2 = (y_1)^2 + (y_2)^2 + …… + (y_n)^2
∴ n個の成分に分けて考え、和をとればよい。
∴ n=1 (スカラー） の場合に帰着する。
a_k - x = (a_k - A) - (x - A),
(a_k -x)^2 = (a_k - A)^2 - 2(a_k - A)(x - A) + (x - A)^2,
となるが、右辺第2項は 和をとれば
納k=1,m] (a_k - A) = (a_1 + a_2 + … + a_m) - mA = 0,
となって消える。 >>967
最大値 32 a=b=c=d=e=1 のとき。
最小値 -512 {a,b,c,d,e} = {9,-1,-1,-1,-1} のとき。
かな >>951
大阪の「三豊麺」もある。
http://sanpomen.jp/
重量（茹で上がり)
並盛 １玉 350g
大盛 1.5玉 550g
特盛 ２玉 750g
山盛 2.5玉 900g (+100円)
(ミツトヨの秤で量ったんぢゃないけど)
大阪のみなみ周辺では、千日前、体育館前、日本橋に店舗があります。 >>970
もしかして面白いと思って書いているのだとしたら、反省した方がいいでござるよ。
荒らすのは止めましょう。 >>968-969、>>972
たとえば、(a,b,c,d,e) = (-1,-1,-1,4,4)のとき、288.
この手の不等式を見たときに、方針がぱっと出てこない悲しさ。 最大値や最小値をとるときの変数に、限界値の-1が入るのは理由があるのかな？ >>967
(1) a,b,c>-1, a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8.
(2) a,b,c,d>-1, a+b+c=4 のとき、-48≦(a+b)(b+c)(c+a)≦144.
(3) a,b,c,d,e>-1, a+b+c+d+e=5 のとき、-512≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288. 書き直し
>>967
(1) a,b,c>-1, a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8.
(2) a,b,c,d>-1, a+b+c=4 のとき、-48≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦144.
(3) a,b,c,d,e>-1, a+b+c+d+e=5 のとき、-512≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288. >>976
また書き間違ってるな (2)の条件のところ もう一度書き直し
>>967
(1) a,b,c>-1, a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8.
(2) a,b,c,d>-1, a+b+c+d=4 のとき、-48≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦144.
(3) a,b,c,d,e>-1, a+b+c+d+e=5 のとき、-512≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288. 〔予想〕
a_1, a_2, …, a_n ≧ -1, a_1+a_2+…+a_n = n, のとき
・n：奇数 (n≧5) ならば
-(2^n)(n-1)^2 ≦ Π(a_j + a_{j+1}) ≦ 2^{n-2} (n-2)^2 (n-1),
・n:偶数 ならば
-2^{n-2} (n-2)^2 (n-1) ≦ Π(a_j + a_{j+1}) ≦（2^n)(n-1)^2,
「良そう」「止そう」と意見が割れるかも知りませぬが…
（不等式スレも平成のうちに2桁に到達でござる。思えば長い道でござった。) 第1章が2003年。
スレ立て放置されていた不等式スレを占拠して15年も経つのか…。 [初代スレ.019]
いいよ！
[初代スレ.034]
正の数 a,b,x,y,X,Y に対して
(axX+byY)^3 ≦ (a^3+b^3)(x^3+y^3)(X^3+Y^3),
(右辺) - (左辺)
= (axY)^3 + (ayX)^3 + (bxX)^3 -3(byY)(axX)^2
+ (bxY)^3 + (byX)^3 + (ayY)^3 -3(axX)(byY)^2
= (axY)^3 + (ayX)^3 + (bxX)^3 -3(axY)(ayX)(bxX)
+ (bxY)^3 + (byX)^3 + (ayY)^3 -3(bxY)(byX)(ayY)
≧ 0, (AM-GM)
スッキリ。
[初代スレ.039]
(参考書)
秋山 仁 + ピーター･フランクル「[完全攻略] 数学オリンピック」日本評論社 (1991/Nov)
p.24-25 [例4-3] 懐かしい。当時は tanスレや nCrスレや、おいらには解けないスレとかあったよなぁ…。
パソコンを何度も買い替えて、今となっては過去ログが見れないが。 >>979
(1) a+b, b+c, c+a のうち負は高々１個。
a+b, b+c, c+a ≧0のとき、AM-GMより、
0 ≦ (a+b)(b+c)(c+a) ≦ [ {(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3]^3 = 8.
１つだけ負のとき、対称性から a+b < 0 ≦ b+c, c+a としてよい。
このとき、条件より 3<c≦5 で、AM-GMより、
0 ≦ -2(a+b)(b+c)(c+a) ≦ [ {-2(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3]^3 = (c-1)^3 ≦ 64.
(証明終) 〔補題〕
正の実数a,b,cに対して
[1] (b/a) + (c/b) + (a/c) - {a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ (ab+bc+ca)^2 /{2(a+b+c)abc} ≧ 3/2,
[2] a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ (a+b+c)^2 /2(ab+bc+ca) ≧ 3/2,
(略証)
[1]
(左辺) - (右辺)
= ab/(c(b+c)) + bc/(a(c+a)) + ca/(b(a+b))
= (ab+bc+ca)^2 /{abc[(b+c) + (c+a) + (a+b)]}
≧ (ab+bc+ca)^2 /{2(a+b+c)abc}, (←コーシー)
JMO-2004、[初代スレ.058]
[2] もコーシーで出る。
なお、1/a = A, 1/b = B, 1/c = C とおくと
(ab+bc+ca)^2 /{(a+b+c)abc} = (A+B+C)^2 /(AB+BC+CA),
(a+b+c)^2 /(ab+bc+ca) = (AB+BC+CA)^2 /{(A+B+C)ABC},
(類) Nesbitt-Igarashi >>627 >>835 >>980
偶奇で異なることを見抜いたのは、何かコツがあるの？ >>985
辺々たして…
[3] (b/a) + (c/b) + (a/c) ≧ tt/2su + ss/2t ≧ √(st/u) ≧ 3,
ここに s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc.
st-9u = a(b-c)^2 + b(c-a)^2 ＋ c(a-b)^2 ≧ 0, >>986
{-1,……,-1,2n-1} のとき (-1)^n･(2^n)(n-1)^2
{-1,…,-1,n-1,n-1} のとき - (-1)^n･2^{n-2} (n-2)^2 (n-1)
かとオモタ。 >>979
よく見たら、条件式のa,b,c>-1のところが、書き間違ってるな。
正しくは a,b,c≧-1など。 >>979
(1)
a+1=A, b+1=B, c+1=C とおくと、問題は
『A,B,C≧0, A+B+C=6 のとき、32≧(A-4)(B-4)(C-4)≧-8』.
A+B+C=s(=6), AB+BC+CA=t, ABC=u とおくと、不等式は 0≦4t-u≦40.
う〜む、非同次は難しい。
s=6だから、無理やり同時にすると、0≦2st-3u≦120.
これではダメか…。 >>990 (1)
s, t, u で表わせば
(与式) = (a+b)(b+c)(c+a)
= (A+B - s/3)(B+C - s/3)(C+A - s/3)
= (2s/3 - C)(2s/3 - A)(2s/3 - B)
= -4(s/3)^3 + (2/3)st -u,
(与式) = - 4(s/3)^3 + (1/9){5st+(st-9u)} ≧ -4(s/3)^3,
(与式) = (s/3)^3 - (2/27)s(ss-3t) - (1/9)(s^3 -4st+9u) ≦ (s/3)^3, >>990の続きだけど、これで合ってるかな？
> (1) a,b,c>-1, a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8.
>
> a+1=A, b+1=B, c+1=C とおくと、問題は
> 『A,B,C≧0, A+B+C=6 のとき、32≧(A-4)(B-4)(C-4)≧-8』.
>
> A+B+C=s(=6), AB+BC+CA=t, ABC=u とおくと、不等式は 0≦4t-u≦40.
s=6を使って、同次化して、0 ≦ 9(2st-3u) ≦ 5s^3.
これを証明する。
右側 ： 5s^3 - 9(2st-3u) = 5(s^3-4st+9u) + 2(st-9u) ≧0.
左側 ： 9(2st-3u) = 15st + 3(st-9u) ≧0. >>992
正解です！
なお、
st - 9u = a(b-c)^2 + b(c-a)^2 ＋ c(a-b)^2 ≧ 0,
s^3 - 4st + 9u = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b)
= {ab(aa-bb)^2 + bc(bb-cc)^2 + ca(cc-aa)^2}/{(a+b)(b+c)(c+a)}
≧ 0,
http://dic.nicovideo.jp/a/シューアの不等式 >>979
(2)を>>984のように場合分けして解こうとしているんだけど、うまくいかん。 >>984 >>986 >>989 >>990 >>992 >>994
続きは次スレで…
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|::::: (● (● | ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
ヽ::::... .ワ....ノ n
￣￣ ＼ （ E）
フ /ヽ ヽ_／／
[初代スレ.998] ﾊｧﾊｧ ∩
( ⌒)＿ ∩_ _ ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!!
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!! .＿＿＿ ／/,. ノ≧ ＼ .i .,,E）__
／ nCr ＼| / /＼ .／ |/ / cos ＼
_n .|::::＼ .／ |/ /(● (● | ノ＼ .／ |
（ l |::●) ●) .| /:::... .ワ ....ノ／(● (● | ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!!
＼ ＼ヽ:::::.∀ .ノ ／ヽ:::::... .▽....ノ n
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/ / ＼ ヽ ﾌ / ヽ ヽ_／／
[第5章.991] ＿＿＿
.／ ≧ ＼ 神降臨キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！
|:::: ＼ .／ | ﾊｧﾊｧ
|::::: (● (● |
ヽ::::... .∀....ノ ／ ﾁﾝ ☆
＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆
|＼￣￣￣￣旦￣＼
| |￣￣￣￣￣￣￣|
＼| 愛媛みかん |
￣￣￣￣￣￣￣
[第5章.996] "; ;ヾ; ;ヾ; ;ﾒヾ "ゞ ;ヾ ;ゞ ;" "ゞ ; ; ; ゞ ;" "ゞ";ヾ ; ヾ ;ゞ; ;ゞ ;ゞ ;" "ゞ /. ヽ
;" "ゞ ; ; ; ゞ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ ;ヾ; ヾ ; ヾ ;ゞ; ;ゞ ;" ";ゞ ; ;ヾ l l
" ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ ;ヾ;ヾ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ " ;ヾ ; ;";ヾゝゝ" ;ヾゞ ヽ /
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ゞヾ ; ;" ; ; ;; ;"iiiiii;;;;;::::: :)_/ヽ,.ゞ:,,ヾゞヾゞ__;::/ ` ` ` ー ─ ' `
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[前スレ.998] ＿| ::|＿
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| ::| | .┌──┐| ∧＿∧ いいな、俺たちの誰かが殉職したら･･
／|＿| |┌──┐| ∧＿∧|(・ω・｀ )
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|￣| | | （ ）⊂ ） （＿Ο Ο :::
| ::| | | ⊂ ） （＿Ο Ο わかってる、生き延びた奴が
| ::|／ .|_ （＿Ο Ο ::::::::: :::::: 不等式を収集し、証明する !
| ::| :::::::::::::::::::::::::::::::: 俺たちゃ死んでも仲間だぜ !!
[前スレ.999] ┏━━━┓
┃ Q.E.D. ┃
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( ﾟ∀ﾟ) ノ
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