不等式への招待 第9章 [無断転載禁止]©2ch.net

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1不等式ヲタ ( ゚∀゚)2017/09/13(水) 11:20:03.95ID:i1anpb+k
ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
          ___          ----- 参考文献〔3〕 P.65 -----
    |┃三 ./  ≧ \   
    |┃   |::::  \ ./ | 
    |┃ ≡|::::: (● (● |  不等式と聞ゐちゃぁ
____.|ミ\_ヽ::::... .ワ......ノ     黙っちゃゐられねゑ…
    |┃=__    \           ハァハァ
    |┃ ≡ )  人 \ ガラッ

【まとめWiki】 http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

【過去スレ】
・不等式スレッド (第1章) http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第2章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第3章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第4章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第5章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第6章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待 第7章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待 第8章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・過去スレのミラー置き場 http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

【姉妹サイト】
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ  http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ2 http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/

【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html

952132人目の素数さん2018/12/04(火) 03:55:41.62ID:MMKOwiX9
>>951
京都市左京区一乗寺 「つけ麺 惠那く」
http://kyotopi.jp/articles/7dhfJ

大盛り450gです。(プラス100円)
多麺体だ〜

953132人目の素数さん2018/12/04(火) 04:30:49.15ID:MMKOwiX9
>>950

s = a+b+c,u = abc とおく。

(左辺) - (右辺)
= {c(a-b)^2 + a(b-c)^2 + b(c-a)^2}/u - (8/ss){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}
= (c/u -8/ss)(a-b)^2 + (a/u -8/ss)(b-c)^2 + (b/u -8/ss)(c-a)^2
= p(a-b)(a-c) + q(b-c)(b-a) + r(c-a)(c-b),

(b+c)ss ≧ 4a(b+c)^2 ≧ 4a(4bc) = 16u より p = (b+c)/u -16/ss ≧ 0,
同様にして
 q = (c+a)/u - 16/ss ≧ 0,
 r = (a+b)/u - 16/ss ≧ 0,
また、(a,b,c) と (p,q,r) は逆順序だから、Schur の拡張により
 p(a-b)(a-c) + q(b-c)(b-a) + r(c-a)(c-b) ≧ 0,

954132人目の素数さん2018/12/04(火) 04:47:43.20ID:OyfgKqsW
>>953
瞬殺ですな、乙でござる。

さて、>>950を書き込む際に出典を探したが見つけらず。
おそらく Vasile Cirtoaje だろうが、検索したが閲覧できず。
2年前には未完成のpdfが閲覧できたが、2018.07以降の書籍化が原因だろう。

7.Cirtoaje V. - Mathematical Inequalities, Volumes 1-5 (p. 344, 400, 486, 522, 544), Lambert Academic Publishing, 2018.
http://ac.upg-ploiesti.ro/vcirtoaje/vcirtoaje.php

955132人目の素数さん2018/12/04(火) 05:04:22.35ID:OyfgKqsW
>>950 >>953
Cauchyより強ければよかったのに。

956132人目の素数さん2018/12/04(火) 15:04:24.55ID:MMKOwiX9
>>950
4点で等号が成立
(a,b,c) = (1,1,1) (2,1,1) (1,2,1) (1,1,2)
          p=0  q=0  r=0
 
…てことは、これで最良でござる。  >>955

957132人目の素数さん2018/12/04(火) 23:43:56.06ID:OyfgKqsW
>>956
ほんとだ、不等号の向きを勘違いしていた。つまりこういうことですな。

a,b,c>0 に対して、
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 1 + 24(aa+bb+cc)/{(a+b+c)^2}.≧9.

958132人目の素数さん2018/12/05(水) 00:21:40.27ID:FGF1AG7S
(1) a,b,c∈R に対して、(aa+bb+cc)^2 ≧ 3(a^3b+b^3c+c^3a).

(2) a,b,c,d>0, abcd=1 に対して、a^4b+b^4c+c^4d+d^4a ≧ a+b+c+d.

(3) a,b,c>0 に対して、3/4 ≦ Σ[cyc] ab/{(b+c)(c+a)} < 1.

959132人目の素数さん2018/12/05(水) 18:21:09.37ID:fLK6/i8S
>>958
(1)
 A = aa -bb +3bc,
 B = bb -cc +3ca,
 C = cc -aa +3ab,
とおくと
(左辺) - (右辺) = {(A-B)^2 + (B-C)^2 + (C-A)^2}/6 ≧ 0,
 >>244 (1) >>247

(2) AM-GMで
 {23(a^4)b +7(b^4)c +11(c^4)d +10(d^4)a}/51 ≧ a(abcd) = a,
巡回的にたす。

(3)
右)
 (中辺) = 1 - 2abc/{(a+b)(b+c)(c+a)} < 1,
左)
 (中辺) - 3/4 = {(a+b)(b+c)(c+a)-8abc}/(a+b)(b+c)(c+a) ≧ 0, (AM-GM)

960132人目の素数さん2018/12/06(木) 01:12:38.36ID:9xq/7gl/
>>958 (2)
ついでだけど、n文字の場合も AM-GM で
 Σ[j=1,n] k_j (a_j)^n a_{j+1} ≧ a_1(a_1・a_2…a_n) = a_1,
巡回的にたす。
 k_j = 1/(n+1) - (-1)^j・n^{n-j}/[n^n - (-1)^n] > 0,
 a_{n+1} = a_1,

961132人目の素数さん2018/12/09(日) 13:27:41.69ID:GNoL1vgk
アダマールの不等式

962132人目の素数さん2018/12/09(日) 16:29:22.32ID:GNoL1vgk
>>958-959
(1)は Vasc's Inequality というらしい。

Vascって人名かな?
https://i.imgur.com/FSQSdQY.jpg

963132人目の素数さん2018/12/09(日) 16:38:35.94ID:GNoL1vgk
a,b,c>0, aa+bb+cc=3 に対して、
(a^5)/(b^3+c) + (b^5)/(c^3+a) + (c^5)/(a^3+b) ≧ (3/2)*(abc)^2.

バスク大佐の不等式を使って証明できるらしい…

964132人目の素数さん2018/12/10(月) 04:00:08.91ID:IsN+FPDR
>>963
aa+bb+cc = S とおく。
a(b^3 +c) + b(c^3 +a) + c(a^3 +b) = (ab^3 +bc^3 +ca^3) + (ab+bc+ca) ≦ SS/3 + S,  (>>958 (1))

コーシーで
{a(b^3 +c) + b(c^3 +a) + c(a^3 +b)}(左辺) ≧ (a^3 +b^3 +c^3)^2 ≧ (aa+bb+cc)^3 /(1+1+1) = (1/3) S^3,

∴ (左辺) ≧ (S^3)/(SS+3S) = SS/(S+3),

965132人目の素数さん2018/12/10(月) 14:28:08.88ID:IsN+FPDR
>>959 (1)
4点で等号成立。
A=B=C より
(a, b, c) = (1, 1, 1) (1, 1+t, 3+1/t) = (1, 1+t, tt-3t-1)
 t は t^3 -3t^2 -4t -1 = 0 の根
 t = -0.69202147163 -0.3568958679 4.0489173395

966132人目の素数さん2018/12/13(木) 13:13:26.57ID:7ZQJsx3/
n次元ベクトル a_1、…、a_m の相加平均を A = (a_1+…+a_m)/m とおく。
任意のn次元ベクトル x に対して、
Σ[k=1 to m] |a_k - x|^2 = Σ[k=1 to m] |a_k - A|^2 + m*|x - A|^2.

むむっ、不等式じゃないな…

967132人目の素数さん2018/12/13(木) 17:55:55.30ID:hPiKmmhx
どれも-1以上である実数a,b,c,d,eはa+b+c+d+e=5であるという
このときの(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)の最大値と最小値を求めよ

2019年度中国数学オリンピック第一問

968132人目の素数さん2018/12/14(金) 06:52:26.17ID:DbCBFUHo
>>966

n次元ベクトル y = (y_1, y_2, …, y_n) に対して
|y|^2 = (y_1)^2 + (y_2)^2 + …… + (y_n)^2
∴ n個の成分に分けて考え、和をとればよい。
∴ n=1 (スカラー) の場合に帰着する。

a_k - x = (a_k - A) - (x - A),
(a_k -x)^2 = (a_k - A)^2 - 2(a_k - A)(x - A) + (x - A)^2,
となるが、右辺第2項は 和をとれば
納k=1,m] (a_k - A) = (a_1 + a_2 + … + a_m) - mA = 0,
となって消える。

969132人目の素数さん2018/12/15(土) 02:39:44.86ID:xhjRoR3J
>>967
 最大値 32  a=b=c=d=e=1 のとき。
 最小値 -512 {a,b,c,d,e} = {9,-1,-1,-1,-1} のとき。
かな

970132人目の素数さん2018/12/15(土) 03:42:27.66ID:xhjRoR3J
>>951
大阪の「三豊麺」もある。
http://sanpomen.jp/
 
重量(茹で上がり)
 並盛 1玉  350g
 大盛 1.5玉 550g
 特盛 2玉  750g
 山盛 2.5玉 900g (+100円)

(ミツトヨの秤で量ったんぢゃないけど)

大阪のみなみ周辺では、千日前、体育館前、日本橋に店舗があります。

971132人目の素数さん2018/12/15(土) 10:03:02.54ID:iiLDF3is
>>970
もしかして面白いと思って書いているのだとしたら、反省した方がいいでござるよ。
荒らすのは止めましょう。

972132人目の素数さん2018/12/15(土) 10:08:48.90ID:G/Zv1nOc
>>969
最大値が間違ってるみたいだね

973132人目の素数さん2018/12/15(土) 10:20:56.92ID:iiLDF3is
>>968-969>>972
たとえば、(a,b,c,d,e) = (-1,-1,-1,4,4)のとき、288.

この手の不等式を見たときに、方針がぱっと出てこない悲しさ。

974132人目の素数さん2018/12/15(土) 10:43:58.04ID:iiLDF3is
最大値や最小値をとるときの変数に、限界値の-1が入るのは理由があるのかな?

975132人目の素数さん2018/12/16(日) 13:25:07.42ID:u7Il/9pT
>>967
(1) a,b,c>-1, a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8.
(2) a,b,c,d>-1, a+b+c=4 のとき、-48≦(a+b)(b+c)(c+a)≦144.
(3) a,b,c,d,e>-1, a+b+c+d+e=5 のとき、-512≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288.

976132人目の素数さん2018/12/16(日) 13:54:54.32ID:u7Il/9pT
書き直し
>>967
(1) a,b,c>-1, a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8.
(2) a,b,c,d>-1, a+b+c=4 のとき、-48≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦144.
(3) a,b,c,d,e>-1, a+b+c+d+e=5 のとき、-512≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288.

977132人目の素数さん2018/12/16(日) 14:36:59.67ID:6WIjEwcK
>>976
これは一般化できそう

978132人目の素数さん2018/12/16(日) 15:54:23.07ID:u7Il/9pT
>>976
また書き間違ってるな (2)の条件のところ

979132人目の素数さん2018/12/16(日) 15:54:47.11ID:u7Il/9pT
もう一度書き直し
>>967
(1) a,b,c>-1, a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8.
(2) a,b,c,d>-1, a+b+c+d=4 のとき、-48≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦144.
(3) a,b,c,d,e>-1, a+b+c+d+e=5 のとき、-512≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288.

980132人目の素数さん2018/12/17(月) 06:11:59.37ID:X9YWLOp7
〔予想〕
 a_1, a_2, …, a_n ≧ -1, a_1+a_2+…+a_n = n, のとき

・n:奇数 (n≧5) ならば
 -(2^n)(n-1)^2 ≦ Π(a_j + a_{j+1}) ≦ 2^{n-2} (n-2)^2 (n-1),

・n:偶数 ならば
 -2^{n-2} (n-2)^2 (n-1) ≦ Π(a_j + a_{j+1}) ≦(2^n)(n-1)^2,

「良そう」「止そう」と意見が割れるかも知りませぬが…

(不等式スレも平成のうちに2桁に到達でござる。思えば長い道でござった。)

981132人目の素数さん2018/12/17(月) 15:34:10.00ID:zsFrN7jo
第1章が2003年。
スレ立て放置されていた不等式スレを占拠して15年も経つのか…。

982132人目の素数さん2018/12/17(月) 17:41:33.58ID:X9YWLOp7
[初代スレ.019]
いいよ!

[初代スレ.034]
正の数 a,b,x,y,X,Y に対して
 (axX+byY)^3 ≦ (a^3+b^3)(x^3+y^3)(X^3+Y^3),

(右辺) - (左辺)
= (axY)^3 + (ayX)^3 + (bxX)^3 -3(byY)(axX)^2
 + (bxY)^3 + (byX)^3 + (ayY)^3 -3(axX)(byY)^2
= (axY)^3 + (ayX)^3 + (bxX)^3 -3(axY)(ayX)(bxX)
 + (bxY)^3 + (byX)^3 + (ayY)^3 -3(bxY)(byX)(ayY)
≧ 0,   (AM-GM)
スッキリ。

[初代スレ.039]
(参考書)
秋山 仁 + ピーター・フランクル「[完全攻略] 数学オリンピック」日本評論社 (1991/Nov)
p.24-25 [例4-3]

983132人目の素数さん2018/12/17(月) 20:12:55.21ID:zsFrN7jo
懐かしい。当時は tanスレや nCrスレや、おいらには解けないスレとかあったよなぁ…。
パソコンを何度も買い替えて、今となっては過去ログが見れないが。

984132人目の素数さん2018/12/18(火) 03:40:20.65ID:e1oKVpnI
>>979
(1) a+b, b+c, c+a のうち負は高々1個。

a+b, b+c, c+a ≧0のとき、AM-GMより、
0 ≦ (a+b)(b+c)(c+a) ≦ [ {(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3]^3 = 8.

1つだけ負のとき、対称性から a+b < 0 ≦ b+c, c+a としてよい。
このとき、条件より 3<c≦5 で、AM-GMより、
0 ≦ -2(a+b)(b+c)(c+a) ≦ [ {-2(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3]^3 = (c-1)^3 ≦ 64.
(証明終)

985132人目の素数さん2018/12/18(火) 07:27:44.02ID:TqVGX/9j
〔補題〕
正の実数a,b,cに対して
[1] (b/a) + (c/b) + (a/c) - {a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ (ab+bc+ca)^2 /{2(a+b+c)abc} ≧ 3/2,
[2] a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ (a+b+c)^2 /2(ab+bc+ca) ≧ 3/2,

(略証)
[1]
(左辺) - (右辺)
 = ab/(c(b+c)) + bc/(a(c+a)) + ca/(b(a+b))
 = (ab+bc+ca)^2 /{abc[(b+c) + (c+a) + (a+b)]}
 ≧ (ab+bc+ca)^2 /{2(a+b+c)abc},   (←コーシー)
 JMO-2004、[初代スレ.058]

[2] もコーシーで出る。

なお、1/a = A, 1/b = B, 1/c = C とおくと
 (ab+bc+ca)^2 /{(a+b+c)abc} = (A+B+C)^2 /(AB+BC+CA),
 (a+b+c)^2 /(ab+bc+ca) = (AB+BC+CA)^2 /{(A+B+C)ABC},

(類) Nesbitt-Igarashi  >>627 >>835

986132人目の素数さん2018/12/18(火) 18:31:13.09ID:e1oKVpnI
>>980
偶奇で異なることを見抜いたのは、何かコツがあるの?

987132人目の素数さん2018/12/18(火) 19:23:44.68ID:TqVGX/9j
>>985
 辺々たして…

[3] (b/a) + (c/b) + (a/c) ≧ tt/2su + ss/2t ≧ √(st/u) ≧ 3,
 ここに s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc.

 st-9u = a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 ≧ 0,

988132人目の素数さん2018/12/18(火) 19:41:13.00ID:TqVGX/9j
>>986

{-1,……,-1,2n-1} のとき (-1)^n・(2^n)(n-1)^2
{-1,…,-1,n-1,n-1} のとき - (-1)^n・2^{n-2} (n-2)^2 (n-1)
かとオモタ。

989132人目の素数さん2018/12/18(火) 21:15:32.22ID:e1oKVpnI
>>979
よく見たら、条件式のa,b,c>-1のところが、書き間違ってるな。
正しくは a,b,c≧-1など。

990132人目の素数さん2018/12/18(火) 21:42:52.76ID:e1oKVpnI
>>979
(1)
a+1=A, b+1=B, c+1=C とおくと、問題は
『A,B,C≧0, A+B+C=6 のとき、32≧(A-4)(B-4)(C-4)≧-8』.

A+B+C=s(=6), AB+BC+CA=t, ABC=u とおくと、不等式は 0≦4t-u≦40.

う〜む、非同次は難しい。
s=6だから、無理やり同時にすると、0≦2st-3u≦120.
これではダメか…。

991132人目の素数さん2018/12/18(火) 23:13:50.02ID:TqVGX/9j
>>990 (1)
s, t, u で表わせば
(与式) = (a+b)(b+c)(c+a)
 = (A+B - s/3)(B+C - s/3)(C+A - s/3)
 = (2s/3 - C)(2s/3 - A)(2s/3 - B)
 = -4(s/3)^3 + (2/3)st -u,

(与式) = - 4(s/3)^3 + (1/9){5st+(st-9u)} ≧ -4(s/3)^3,
(与式) = (s/3)^3 - (2/27)s(ss-3t) - (1/9)(s^3 -4st+9u) ≦ (s/3)^3,

992132人目の素数さん2018/12/19(水) 04:07:16.90ID:K5b8go44
>>990の続きだけど、これで合ってるかな?

> (1) a,b,c>-1, a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8.
>
> a+1=A, b+1=B, c+1=C とおくと、問題は
> 『A,B,C≧0, A+B+C=6 のとき、32≧(A-4)(B-4)(C-4)≧-8』.
>
> A+B+C=s(=6), AB+BC+CA=t, ABC=u とおくと、不等式は 0≦4t-u≦40.


s=6を使って、同次化して、0 ≦ 9(2st-3u) ≦ 5s^3.
これを証明する。

右側 : 5s^3 - 9(2st-3u) = 5(s^3-4st+9u) + 2(st-9u) ≧0.
左側 : 9(2st-3u) = 15st + 3(st-9u) ≧0.

993132人目の素数さん2018/12/19(水) 06:03:45.97ID:5zoTD2o3
>>992
 正解です!

なお、
st - 9u = a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 ≧ 0,

s^3 - 4st + 9u = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b)
= {ab(aa-bb)^2 + bc(bb-cc)^2 + ca(cc-aa)^2}/{(a+b)(b+c)(c+a)}
≧ 0,

http://dic.nicovideo.jp/a/シューアの不等式

994132人目の素数さん2018/12/19(水) 06:36:06.17ID:K5b8go44
>>979
(2)を>>984のように場合分けして解こうとしているんだけど、うまくいかん。

995132人目の素数さん2018/12/19(水) 06:44:01.18ID:5zoTD2o3
>>984 >>986 >>989 >>990 >>992 >>994
 続きは次スレで…

   ___
 ./  ≧ \
 |::::  \ ./ |
 |::::: (● (● | グッジョブ!
 ヽ::::... .ワ....ノ    n  
 ̄ ̄   \    ( E)
フ     /ヽ ヽ_//

[初代スレ.998]

996132人目の素数さん2018/12/19(水) 06:44:55.05ID:5zoTD2o3
        ハァハァ   ∩
               ( ⌒)_   ∩_ _ グッジョブ!!
グッジョブ!! .___  //,. ノ≧ \ .i .,,E)__
     / nCr  \| / /\ ./ |/ / cos \
  _n  .|::::\ ./  |/ /(● (● | ノ\ ./ |
 ( l  |::●) ●) .| /:::... .ワ ....ノ/(● (● |   グッジョブ!!
  \ \ヽ:::::.∀   .ノ      /ヽ:::::... .▽....ノ  n
   ヽ__ ̄   ノ ヽ      |  ̄     \    ( E)
     /    /    \    ヽ フ    / ヽ ヽ_//

[第5章.991]

997132人目の素数さん2018/12/19(水) 06:45:32.33ID:5zoTD2o3
    ___
  ./  ≧ \   神降臨キタ━(゚∀゚)━!!!
  |::::  \ ./ | ハァハァ
  |::::: (● (● |
  ヽ::::... .∀....ノ /  チン ☆
 _(  ⊃  ⊃  チン ☆
 |\ ̄ ̄ ̄ ̄旦 ̄\
 | | ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄|
 \|  愛媛みかん |
    ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
[第5章.996]

998132人目の素数さん2018/12/19(水) 06:46:20.72ID:5zoTD2o3
 "; ;ヾ; ;ヾ; ;メヾ "ゞ ;ヾ ;ゞ ;" "ゞ ; ; ; ゞ ;" "ゞ";ヾ ; ヾ ;ゞ; ;ゞ ;ゞ ;" "ゞ        /.             ヽ
 ;" "ゞ ; ; ; ゞ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ ;ヾ; ヾ ; ヾ ;ゞ; ;ゞ ;" ";ゞ ; ;ヾ      l             l
 " ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ ;ヾ;ヾ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ  " ;ヾ ; ;";ヾゝゝ" ;ヾゞ           ヽ            /
,." ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ ;ヾ;ヾ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ  " ;ヾ ; ;";ヾゝゝ" ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ;        \        /
 ゞヾ ; ;" ; ; ;; ;"iiiiii;;;;;::::: :)_/ヽ,.ゞ:,,ヾゞヾゞ__;::/        `      `        `   ー ─ ' `
   ゞヾゞ;\\iiiiii;;;;::::: :|;:/ヾ; ;ゞ "ゝゞ ; ;`
 " ;゛ ; ;" ; ;ゞ "|iiiiii;;;;::: : |:/ ヾゞ        `         `      ` `
  `      ,|i;iiiiiii;;;;;;::: :| `    `         `     `      ` `   `
        ,|iiii;iiii;;;;:;_ _: :| ___  秋の夜長に不等式    `        `        `,
   `    |iiiiiii;;;;;;((,,,):::|/  ≧ \                    ヾ从//"
    `   |iiiiiiii;;;;ii;;;;;;;;::|::::: (● (● |           `  ゙  `    ヾ'./"
         |iiiiii;iii;;;;i;;:: ::::|ヽ::::......ワ...ノ                 ○     .||.       ,
    `   |iii;;iiiii;::;:;;;;::::::| ( つ且 ~      `              ○○   | |
  , , .,.. ,..M|M|iMii;;ii:i;;i:i;:; ゝ つつ.,.. ,...... ,.... ,,,.,.. ,.... ,,,.,.. ,..,,,,.,...,..,.,| ̄ ̄|,.,..(  ).. ,,,..,,.. ,.... ,,,.,...,.. .. ,.... ,,,.,.. ,.... ,,,

[前スレ.998]

999132人目の素数さん2018/12/19(水) 06:47:12.97ID:5zoTD2o3
_| ::|_
 ̄| ::|/|           ┌──┐
  | ::|  |     .┌──┐| ∧_∧  いいな、俺たちの誰かが殉職したら・・
/|_|  |┌──┐| ∧_∧|(・ω・` )
  |文|  | | ∧_∧(    )⊂   )
  | ̄|  | | (    )⊂   ) (_Ο Ο :::
  | ::|  | | ⊂   ) (_Ο Ο わかってる、生き延びた奴が
  | ::|/ .|_ (_Ο Ο ::::::::: :::::: 不等式を収集し、証明する !
  | ::| :::::::::::::::::::::::::::::::: 俺たちゃ死んでも仲間だぜ !!

[前スレ.999]

1000132人目の素数さん2018/12/19(水) 06:48:05.42ID:5zoTD2o3
  ┏━━━┓
  ┃ Q.E.D. ┃
  ┗━┳━┛
( ゚∀゚) ノ

[前スレ.1000]

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