不等式への招待 第9章 [無断転載禁止]©2ch.net

1不等式ヲタ ( ゚∀゚)2017/09/13(水) 11:20:03.95ID:i1anpb+k
ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
          ___          ----- 参考文献〔3〕 P.65 -----
    |┃三 ./  ≧ \   
    |┃   |::::  \ ./ | 
    |┃ ≡|::::: (● (● |  不等式と聞ゐちゃぁ
____.|ミ\_ヽ::::... .ワ......ノ     黙っちゃゐられねゑ…
    |┃=__    \           ハァハァ
    |┃ ≡ )  人 \ ガラッ

【まとめWiki】 http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

【過去スレ】
・不等式スレッド (第1章) http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第2章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第3章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第4章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第5章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第6章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待 第7章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待 第8章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・過去スレのミラー置き場 http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

【姉妹サイト】
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ  http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ2 http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/

【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html

831132人目の素数さん2018/10/23(火) 15:23:49.80ID:QCR0wRAh
z∈C が |z + 1/2| < 1/2 をみたすとき、
任意の n∈N に対して |1 + z + z^2 + … + z^n|^2 < 1.

832132人目の素数さん2018/10/23(火) 16:45:18.22ID:foOj88Cn
>>831

題意より、
|z| ≦ |z+1/2| + (1/2) < 1,
∴ |1-z|^2 = (1-z)(1-z~)
 = (3/2) - 2|z+1/2|^2 + 3|z|^2
 > 1 + 3|zz|
 > 1 + 2|zz| + |zz|^2
 = (1+|zz|)^2,
∴ |1-z| > 1 + |zz| > 1 + |z|^(n+1) ≧ |1 - z^(n+1)|.

東工大-2000 前期 Q.2
[第7章.114,116,160]
Inequalitybot [183]

833132人目の素数さん2018/10/23(火) 18:52:36.49ID:QCR0wRAh
>>825-826
botの106に似てない?

834132人目の素数さん2018/10/24(水) 04:35:15.90ID:RiX0WTIF
>>831
この問題の結論の不等式って、|1 + z + z^2 + … + z^n| < 1 と書かずに、
あえて2乗にしているのは、何か意味があるのかな?

835132人目の素数さん2018/10/24(水) 22:16:00.49ID:LB37fX3V
>>627 (Nesbitt-Igarashi)

(略証)
各辺に ab+bc+ca を掛けると コーシー型になる:

{a(bb+bc+cc) + b(cc+ca+aa) + c(aa+ab+bb)} {a/(bb+bc+cc) + b/(cc+ca+aa) + c/(aa+ab+bb)}
 ≧ {a(b+c) + b(c+a) + c(a+b)} {a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)}
 ≧ (a+b+c)^2,

そこで ラグランジュの恒等式
 (ax + by + cz)(a/x + b/y + c/z) - (a+b+c)^2 = (ab/xy)(x-y)^2 + (bc/yz)(y-z)^2 + (ca/zx)(z-x)^2,
を使う。

・左辺は
 x = bb + bc + cc,
 y = cc + ca + aa,
 z = aa + ab + bb,
 ax + by + cz = (a+b+c)(ab+bc+ca),     >>621
 (左辺) - (a+b+c)^2 = {a(a+b+c)/(bb+bc+cc)}{b(a+b+c)/(cc+ca+aa)}(a-b)^2 + …

・中辺は
 x = b + c,
 y = c + a,
 z = a + b,
 ax + by + cz = 2(ab+bc+ca),
 (中辺) - (a+b+c)^2 = {a/(b+c)}{b/(c+a)}(a-b)^2 +{b/(c+a)}{c/(a+b)}(b-c)^2 + {c/(a+b)}{a/(b+c)}(c-a)^2,

ここで、
 (a+b+c)/(bb+bc+cc) > (b+c)/(bb+bc+cc) > 1/(b+c),
 (a+b+c)/(cc+ca+aa) > (c+a)/(cc+ca+aa) > 1/(c+a),
 (a+b+c)/(aa+ab+bb) > (a+b)/(aa+ab+bb) > 1/(a+b),
だから
 (左辺) ≧ (中辺).

* (x,y,z) はもっと改良できるかも…

836132人目の素数さん2018/10/25(木) 12:43:20.62ID:0sa6guuR
>>835 *

 x = (b^n - c^n)/(b-c),
 y = (c^n - a^n)/(c-a),
 z = (a^n - b^n)/(a-b),
とすると
 x-y = -(a-b) D_n /,
 y-z = -(b-c) D_n /,
 z-x = -(c-a) D_n /,
ここに
 D_n = det{ [1,1,1] [a,b,c] [a^n,b^n,c^n] }
  = (a-b)(b-c)(c-a) = D_2,   … Vandermonde の行列式

837132人目の素数さん2018/10/26(金) 11:32:25.02ID:QcEpehDd
>>836

3文字のとき
 D_n = det{ [1,1,1] [a,b,c] [a^n,b^n,c^n] }
   = (c-b)a^n + (a-c)b^n + (b-a)c^n,

特性多項式
 (λ-a)(λ-b)(λ-c) = λ^3 -s・λ^2 + tλ -u,
 ただし s = a+b+c,t = ab+bc+ca,u = abc,

漸化式
 D_n = s・D_{n-1} - t・D_{n-2} + u・D_{n-3},

D_n/ = Σ {すべての(n-2)次積}
  … (n-2)個の重複組み合わせに対応

D_0 / = 0,
D_1 / = 0,
D_2 / = 1,
D_3 / = a+b+c = s,
D_4 / = aa+ab+ac+bb+bc+cc = ss-t,
D_5 / = s^3 -2st +u,
D_6 / = s^4 -3sst +tt +2su,
D_7 / = s^5 -4s^3・t +3stt +3ssu -2tu,

838132人目の素数さん2018/10/26(金) 17:18:14.29ID:QcEpehDd
>>837

まづ
 x_1 = y_1 = z_1 = 1,
 x_2 = b+c,y_2 = c+a,z_2 = a+b,
 x_3 = bb+bc+cc,y_3 = cc+ca+aa,z_3 = aa+ab+bb,
 ……
 x_n = b^(n-1) + b^(n-2)c + …… + c^(n-1),
とおく。

ラグランジュの恒等式から
 (ax+by+cz)(a/x + b/y + c/z) - (a+b+c)^2
 = (a/x)(b/y)(x-y)^2 + (b/y)(c/z)(y-z)^2 + (c/z)(a/x)(z-x)^2
 = (D_n/)^2 {(a/x_n)(b/y_n)(a-b)^2 + (b/y_n)(c/z_n)(b-c)^2 + (c/z_n)(a/x_n)(c-a)^2},  >>835

そこで
 (D_n/)/x_n,(D_n/)/y_n,(D_n/)/z_n
がnについて単調増加であることを示そう。

F_n = x_n (D_{n+1}/) - x_{n+1} (D_n/)
= {(b-a)(ab)^2 + (c-b)(bc)^2 + (a-c)(ca)^2} /
= (D_{-n}/)u^n
= Σ {ab,bc,ca の (n-1)次積}
≧ 0,
∴ nについて単調増加。
 (D_{n+1}/) / x_{n+1} ≧ (D_n/) / x_n ≧ …… ≧ (D_2/) / x_2 = 1/(b+c),

これを Nesbitt-Igarashi 列とか呼ぼう。

 F_0 = 0,
 F_1 = 1,
 F_2 = t,
 F_3 = tt -su,
 F_4 = t^3 -2stu +uu,
漸化式
 F_n = t F_{n-1} - su F_{n-2} + uu F_{n-3},

839132人目の素数さん2018/10/26(金) 19:23:36.31ID:irAy8QvC
>>835-836
やっと>>627の証明が分かった!

840132人目の素数さん2018/10/27(土) 00:14:06.23ID:4A6u4AJ8
Nesbitt ってネビットだよな? まさかネスビットって発音するん?

841132人目の素数さん2018/10/27(土) 01:26:02.22ID:rzBY84ap
国にもよるだろうけど、アメリカ(米語)では [nεzbIt]
http://www.clear-english.com/db/nesbitt.html

842132人目の素数さん2018/10/27(土) 02:35:22.24ID:4A6u4AJ8
>>841
うーむ。
Nesbitt's inequality の英語のwikiを見てきたが、どこの国の人か分からんなあ。

ところで Nesbitt's inequality の一般化について、このスレでやったことあったっけ?

843132人目の素数さん2018/10/29(月) 23:18:40.58ID:YnG/8gLh
不等式ぢゃないが、次の等式を手計算で証明するのはキツそうでござるかな?

(6a^2 - 4ab + 4b^2)^3 + (3b^2 + 5ab - 5a^2)^3
= (6b^2 - 4ab + 4a^2)^3 + (3a^2 + 5ab - 5b^2)^3

844132人目の素数さん2018/10/30(火) 03:45:36.60ID:bXAGzjkG
>>843
(6aa-4ab+4bb)^3 - (6bb-4ab+4aa)^3 = (3aa+5ab-5bb)^3 - (3bb+5ab-5aa)^3,

(略証)
x^3 - y^3 = (x-y)(xx+xy+yy),
から
(maa-nab+nbb)^3 - (naa-nab+mbb)^3
= (m-n)(a-b)(a^3+b^3) {(mm+mn+nn)(aa+ab+bb) -3(m+n)n・ab}
= (a-b)(a^3+b^3) {(m^3 - n^3)(aa+ab+bb) - 3(m-n)(m+n)n・ab},

(m,n) = (6,4) (3,-5) のときは
 m^3 - n^3 = 152,
 (m-n)(m+n)n = 80,
となり、相等しい。

845132人目の素数さん2018/10/30(火) 04:35:23.11ID:XhFYWByL
>>844
おぉ有難い。上手にやりましたね。
それにしても、この等式を見つけ出したラマヌジャンは変態ジャン。

846132人目の素数さん2018/10/30(火) 06:59:54.63ID:XhFYWByL
>>844
> = (a-b)(a^3+b^3) {(m^3 - n^3)(aa+ab+bb) - 3(m-n)(m+n)n・ab},

ここは
= (a-b)(a^3+b^3) {(m^3 - n^3)(aa+ab+bb)}
じゃないですか?

847132人目の素数さん2018/11/02(金) 01:22:59.67ID:im1SI6w9
>>843

 6^3 + (-4)^3 + (-3)^3 + (-5)^3 = 0,
 4^3 + (-6)^3 + 5^3 + 3^3 = 0,
から推して
 (6aa+pab+4bb)^3 + (-4aa-pab-6bb)^3 + (-3aa+qab+5bb)^3 + (-5aa-qab+3bb)^3 = 0,
と予想する。(p,q は或る定数)
ab=0 のときは明らか。

6ab(aa-bb){2(5p-4q)(aa+bb) + (84+pp-4qq)ab} = 0,

5p -4q = 0, 84 +pp -4qq = 0,

p = ±4, q=±5  (複号同順)

(例)
a = ±1,b = ±2,p=±4,q=±5 (複号同順)のとき
 ±{30,-36,27,-3} = ±3{10,-12,9,-1}

848132人目の素数さん2018/11/02(金) 02:51:41.47ID:im1SI6w9
>>847

12^3 - 10^3 = 9^3 - 1^3 = 8^3 - (-6)^3 = 728,
のような珍例を「ナニワ数」と云う。…っちゅうのは冗談やけどな。

・系列解は他にもある。
 {7aa-16ab-3bb,14aa+4ab+6bb,-14aa+4ab-6bb,-7aa-16ab+3bb} (Dickson)
 (maa-pab-nbb)^3 + (-maa-pab+nbb)^3 = -6pab(maa-nbb)^2 -2ppp(ab)^3
 m → km,n' → -kn,p' → -p/kk とすれば 6pab(maa+nbb)^2 + 2(p/kk)^3 (ab)^3
 辺々たすと 2p{12mn - (1 - 1/k^6)pp}(ab)^3,
 12mn - (1 - 1/k^6)pp = 0 ならば成立。

 {aa-7ab+63bb,8aa-20ab-42bb,6aa+20ab-56bb,-9aa+7ab-7bb}

http://www.maroon.dti.ne.jp/fermat/dioph1.html

・Fermat cubic surface とか云うらしい。
http://www.math.harvard.edu/~elkies/4cubes.html

849132人目の素数さん2018/11/03(土) 05:17:44.99ID:/E6xXixt
m^3 - n^3 = m’^3 - n’^3 のとき、 ラマヌジャン系列

(maa+pab+nbb)^3 - (naa+pab+mbb)^3
= (m-n)(a^2-b^2){(mm+mn+nn)(a^4+aabb+b^4) + 3(m+n)p ab(a^2+b^2) + 3(pp+mn) aabb}
= (m^3 - n^3) (a^6 - b^6) + 3(m^2-n^2)p ab(a^4 - b^4) + 3(m-n)(pp+mn) aabb(a^2-b^2),

→ m^3 - n^3,(m^2-n^2)p,(m-n)(pp+mn) が等しいとき、相等しい。

(maa+qab-nbb)^3 - (naa+qab-mbb)^3
= (m-n) (a^2+b^2){(mm+mn+nn)(a^4-aabb+b^4) + 3(m+n)q b(a^2-b^2) + 3(qq-mn) aabb}
= (m^3 - n^3) (a^6 + b^6) + 3(m^2-n^2)q ab(a^4 - b^4) + 3(m-n)(qq-mn) aabb(a^2 + b^2),

→ m^3 - n^3,(m^2-n^2)q,(m-n)(qq-mn) が等しいとき、相等しい。

850132人目の素数さん2018/11/04(日) 04:17:06.32ID:b4HN2Vl2
>>848
むむむ、難しいな…

851132人目の素数さん2018/11/05(月) 04:13:53.63ID:B1F8UTQM
〔問題2943〕
a,b,c,d,e は正の実数とする。次を示せ。
 (aa+bb+cc+dd+ee)^5 ≧ 3 abcde (a+b+c+d)(b+c+d+e)(c+d+e+a)(d+e+a+b)(e+a+b+c),

http://suseum.jp/gq/question/2943 (K.Chikaya)

852132人目の素数さん2018/11/05(月) 04:57:42.95ID:mrtyuQkn
>>851
この出題者が出していた大量の不等式の問題は、もう削除されて見れないんだよな。
実に惜しいことをした。

853132人目の素数さん2018/11/08(木) 02:11:08.99ID:PxlSRNgU
bot.62
x,y,z∈[0,1] のとき、sqrt|x-y| + sqrt|y-z| + sqrt|z-x| の最大値

どぉやるんでせうか?

854132人目の素数さん2018/11/09(金) 03:38:15.13ID:UXVKU4RE
(3/4)*(1 + A/H)^2 ≧ (A/G)^3 + (G/H)^3

この手の不等式が胸やけ起こしそうなくらい沢山載ってる本ないかな?

855132人目の素数さん2018/11/09(金) 06:52:20.28ID:pvdoV3Z4
>>853 [62]

yはxとzの中間にあるとする。コーシーで
 (√|x-y| + √|y-z|)^2 ≦ (1+1) (|x-y|+|y-z|) = 2|x-z|,
(左辺) ≦ (1+√2)|z-x| ≦ 1+√2,
等号は(0,1/2,1) etc.

中国MO-2012 Round2-A.3

856132人目の素数さん2018/11/11(日) 22:10:14.90ID:+dEG2DHU
三角形の辺長 a,b,c に対して、
Σ[cyc] (a+b-c)(b+c-a)/(c+a-b) ≧ 3(aa+bb+cc)/(a+b+c).

857132人目の素数さん2018/11/12(月) 08:15:22.35ID:TKDy5P8X
>>856

b+c-a = x, c+a-b = y, a+b-c = z,
とおく。(Ravi変換)
2a = y+z, 2b = z+x, 2c = x+y, a+b+c = x+y+z,

(左辺) = xy/z + yz/x + zx/y = (xxyy+yyzz+zzxx)/xyz,

(右辺) = 3(aa+bb+cc)/(a+b+c)^2 = 6(xx+yy+zz+xy+yz+zx)/{4(x+y+z)},

4(x+y+z)(xxyy+yyzz+zzxx) - 6xyz(xx+yy+zz+xy+yz+zx)
= (3x+y+z)[x(y-z)]^2 + (x+3y+z)[y(z-x)]^2 + (x+y+3z)[z(x-y)]^2 ≧ 0,
かな。

858132人目の素数さん2018/11/12(月) 09:10:27.03ID:pzDvdx7K
Heronを使ったら、問題文はもっと見やすくなりましたな

859132人目の素数さん2018/11/12(月) 19:53:45.29ID:TKDy5P8X
>>854

(3/4)(1 + A/H)^2 - (A/G)^3 - (G/H)^3 -1 = (1/108){(a-b)(b-c)(c-a)/abc}^2 ≧ 0,

(略証)
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc,  = (a-b)(b-c)(c-a),
とおくと
A = s/3, G = u^(1/3), H = 3u/t,
A/H = st/9u, A/G = s/{3u^(1/3)}, G/H = t/{3u^(2/3)},
ゆえ
(左辺) = (3/4)(1+st/9u)^2 - s^3/27u - t^3/27uu -1
 = (1/108uu){(st+9u)^2 -4s^3u -4t^3 -108uu}
 = (1/108uu)竸2,

860132人目の素数さん2018/11/13(火) 09:14:18.15ID:btM1CEFR
>>859
(3/4)*(1 + A/H)^2 ≧ (A/G)^3 + (G/H)^3 + 1

3変数の場合に上式を証明しているけど、これは一般の場合にも成り立つのかな?
>>854では、右辺に +1がないのには意味があるのかな?

861132人目の素数さん2018/11/13(火) 11:28:53.25ID:UigxEbMv
>>860
n≧4 では不成立かも。
(1,1,1,10^4) とか (1,1,1,10^(-4)) とか…

862132人目の素数さん2018/11/13(火) 12:55:32.39ID:btM1CEFR
>>854
> (3/4)*(1 + A/H)^2 ≧ (A/G)^3 + (G/H)^3

これじゃの
Crux Mathematicorum, P.74, 1834.
http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf

863132人目の素数さん2018/11/13(火) 22:03:59.25ID:btM1CEFR
[2] かんどころ P.121定理6.7 は、証明ついてないようだけど、どうやればいいか分かりますか?

864132人目の素数さん2018/11/14(水) 00:54:00.60ID:uakH23jG
>>860
右辺に +1 が無いと緩くなります。

2変数の場合は
 (3/4)(1 + A/H)^2 - (A/G)^2 - (G/H)^2 -1 = (3a+b)(a+3b){(a-b)/8ab}^2 ≧ 0,

∵ (A/G)^2 = (G/H)^2 = A/H = (a+b)^2 /4ab,

865132人目の素数さん2018/11/14(水) 03:43:20.66ID:uakH23jG
余談ですが、n変数の (A-G)/(G-H) の下限は
 n=2  1.0
 n=3  0.90096030150908885
 n=4  0.7761577683742073233
 n=5  0.67617485
 n=6  0.59845640
 n=7  0.53716474
 n=8  0.48781223
 n=9  0.44727765
 n=10  0.41339822
ぐらいかな。

http://suseum.jp/gq/question/2646, 2948

866132人目の素数さん2018/11/14(水) 04:26:30.36ID:fnsD9k3Y
>>863, >>865
A-Gと言えば、Jacobsthalくらいしか思いつかないなあ

867132人目の素数さん2018/11/14(水) 14:30:21.97ID:fnsD9k3Y
a≧b≧0, x≧y≧0 に対して、
(ax+y+c)(x+by+c)≧{(a+1)x+c}{(b+1)y+c}.

868132人目の素数さん2018/11/14(水) 14:58:31.03ID:fnsD9k3Y
>>867
あまりにもショボすぎるので、改造してみた。

a,b,c,d,x,y,z∈R, a≧d≧0, b≧c≧0, x≧y≧0 に対して、
(ax+cy+z)(bx+dy+z)≧{(a+b)x+z}{(c+d)y+z}.

後ろのzも pz+qw, rz+sw にできぬか?

                l三`ー 、_;:;:;:;:;:;:j;:;:;:;:;:;:_;:;:;_;:-三三三三三l
               l三  r=ミ''‐--‐';二,_ ̄    ,三三三彡彡l_   この感じ・・・・
              lミ′   ̄    ー-'"    '=ミニ彡彡/‐、ヽ
                  l;l  ,_-‐ 、    __,,.. - 、       彡彡彳、.//  
_______∧,、_‖ `之ヽ、, i l´ _,ィ辷ァ-、、   彡彡'r ノ/_ ______
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄'`'` ̄ 1     ̄フ/l l::. ヽこ~ ̄     彡彳~´/  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
                 ヽ   ´ :l .l:::.         彡ィ-‐'′
                ゝ、  / :.  :r-、        彡′
              / ィ:ヘ  `ヽ:__,ィ='´        彡;ヽ、
          _,,..-‐'7 /:::::::ヽ   _: :_    ヽ      ィ´.}::ヽ ヽ、
      _,-‐'´    {  ヽ:::::::::ヘ `'ー===ー-- '   /ノ /::::::ヘ, ヽー、

869132人目の素数さん2018/11/14(水) 16:19:40.82ID:fnsD9k3Y
できた ( ゚∀゚) ウヒョッ

a,b,c,d,p,q,r,s,x,y,z.w∈R,
a≧d≧0, b≧c≧0, p≧s≧0, q≧r≧0, x≧y≧0, z≧w≧0 に対して、
(ax+cy+pz+rw)(bx+dy+qz+sw)≧{(a+b)x+(p+q)z}{(c+d)y+(r+s)w}.

870132人目の素数さん2018/11/14(水) 16:53:56.03ID:fnsD9k3Y
話を元に戻すと、>>867 を使ったAM-GMの証明 ([2] かんどころP.118)で、
1回目に>>867を使うところは分かる。

(a_1 + a_2 + (a_3+…+a_n))(a_1 + a_2 + (a_3+…+a_n))
≧(2a_1 + (a_3+…+a_n))(2a_2 + (a_3+…+a_n))

2回目に>>867を使うところ、どこが対応しているのか分からんのですが、どうなってるのですか?

(2a_1 + (a_3+…+a_n))(a_1 + a_2 + (a_3+…+a_n))
≧(3a_1 + (a_4+…+a_n))(2a_3 + (a_2+a_4+…+a_n))

以下続けて (k*a_1+ a_{k+1}+…+a_n) と (a_1 + a_2 + (a_3+…+a_n)) に>>867を使って
最終的に n*a_1 と S-a_1+a_k (k=2.3.…,n) になるまで続けるんだけど、そこが分かりませぬ。

871132人目の素数さん2018/11/15(木) 01:35:19.26ID:BIkI04V5
>>870

>>867 を使わなくても出せるでござる。
A-S≧0,d≧0 のとき
 (A-d)S - A(S-d) = d(A-S) ≧ 0,

ここで
 S = a_1 + a_2 + … + a_n,
 A = k・a_1 + a_{k+1} + … + a_n, (k=n のとき A=n・a_1)
 d = a_1 - a_k ≧ 0,
とおいて
{(k-1)a_1 +(a_k + … +a_n)}S - (k・a_1 +a_{k+1} + … +a_n)(S -a_1 +a_k) = (a_1 -a_k)(k・a_1 -S) ≧ 0,    (k=2,3,…,n)

872132人目の素数さん2018/11/15(木) 01:39:19.56ID:BIkI04V5
>>866
〔Jacobsthalの不等式〕
(n-1)個の正の実数 x_1, x_2, …, x_(n-1) の相加平均をA '、相乗平均をG ' とする。
それに x_n (>0) を追加した n個組の相加平均をA_n、相乗平均をG_n とする。このとき
 n(A_n - G_n) ≧ (n-1)(A '-G '),  …[1]
 (A_n/G_n)^n ≧ (A '/G ')^(n-1),  …[2]

(略証)
A_n, G_n, x_n を A, G, x と略記する。
[1]
 n A - (n-1)A '= x,
 n G - (n-1)G '= G '{n(G/G ') - (n-1)} ≦ G '(G/G ')^n = x, (← Bernoulli)
辺々引く。
[2]
 A '(A/A ')^n ≧ A '{n(A/A ') - (n-1)} = n - (n-1)A '= x, (← Bernoulli)
 G '(G/G ')^n = x,
辺々割る。

[1] または [2] を n=1 まで繰り返すと A ≧ G が出る。

ニコニコ大百科
http://dic.nicovideo.jp/a/jacobsthalの不等式

873132人目の素数さん2018/11/15(木) 05:32:47.02ID:Kjq0ut8v
>>871
ありがとうございます。
なるほど、>>867を使わずにできますね。
>>871の不等式を使って、残りも同様にしていけばいいんですね。
つまり prime132氏が新証明(?)をしたわけですな。

Guha が1967年に>>867を繰り返し使ってAM-GMを証明した方法も知りたい。
「Guha 1967 AM-GM」をgoogleで検索して一番上に出る
When Less is More: Visualizing Basic Inequalities
のPP.31-32に n=4のときに、Guha's inequality を繰り返し使った例があり、
それを見ても、2回目以降にどう使っているのか分かりません。

Guha's inequality
a≧0, p≧q≧0, x≧y≧0, then
(px+y+a)(x+qy+a)≧((p+1)x+a)((q+1)y+a).

(4A_4)^4
= (a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d)
≧ (2a+c+d)(2b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d) …(1)
≧ (3a+d)(2b+c+d)(b+2c+d)(a+b+c+d)   …(2)
≧ 4a(2b+c+d)(b+2c+d)(b+c+2d)      …(3)
≧ 4a(3b+d)(3c+d)(b+c+2d)         …(4)
≧ 4a(4b)(3c+d)(c+3d)            …(5)
≧ 4a(4b)(4c)(4d)               …(6)
= (4G_4)^4

と書かれているんですが、(1)は(p,q,x,y,a) = (1,1,a,b,c+d)で理解できる。
(2)〜(6)はどう適用したのか謎。
たとえば(2)で (2a+c+d)(a+b+c+d)≧(3a+d)(b+2c+d) となるには
(p,q,x,y,a)に何を対応させているのか?x=a, y=c 以外が謎。
左辺第1因子の形からp=2,q=1でないといけないけど、第2因子に2がない。

874132人目の素数さん2018/11/15(木) 06:40:30.77ID:Kjq0ut8v
(3)→(4)は (p,q,x,y,a) = (2,2,b,c,d)で
(5)→(6)は (p,q,x,y,a) = (3,3,c,d,0)か。

じゃあ、残り3ヵ所は、どう適用したんだろう?
(1)→(2) (2a+c+d)(a+b+c+d)≧(3a+d)(b+2c+d)
(2)→(3) (3a+d)(a+b+c+d)≧(4a)(b+c+2d)
(4)→(5) (3b+d)(b+c+2d)≧(4b)(c+3d)

実は使ってないってオチなのか?

875132人目の素数さん2018/11/15(木) 08:38:51.30ID:Kjq0ut8v
本人の論文を探すしかないな。
U.C.Guha, arithmetric mean-geometric mean inequality, Mathematical Gazette, 51(1967),pp.14-146

というのは分かったけど、ネットに転がってないかな

876132人目の素数さん2018/11/15(木) 09:20:07.76ID:Kjq0ut8v
Handbook of Means and Their Inequalities, pp.101-102 を見たら、
Guhaの不等式を使った証明の数式部分が、省略している部分も含めて
[2] かんどころ P.118と全く同じだった。

877132人目の素数さん2018/11/17(土) 07:54:31.62ID:js5kwOKA
(1)
|x|≦1, |y|≦1 (x,y∈R) に対して、
0≦ xx + yy - 2xxyy + 2xy*√{(1-xx)(1-yy)} ≦1.

(2)
m>n>1 (m,n∈Z) に対して、
(m+n+1)!/(m!*n!) > {(m+n)^{m+n}}/{(m^m)(n^n)} > 2^{2n-1}.

878132人目の素数さん2018/11/17(土) 11:12:15.05ID:js5kwOKA
(3)
a,b∈C に対して、
|a+b|/(1+|a+b|) < (|a|+|b|)/(1+|a|+|b|) < |a|/(1+|a|) + |b|/(1+|b|)

879132人目の素数さん2018/11/18(日) 02:10:29.27ID:ENzLbcND
>>877
(1)
 x = sinθ, y = sinφ (-π/2≦θ,φ≦π/2) とおく。
 √(1-xx) = cosθ, √(1-yy) = cosφ,
 x√(1-yy) + y√(1-xx) = sinθcosφ + sinφcosθ = sin(θ+φ),
両辺を2乗する。

(2)(左)
 log{(m+n+1)!} -(m+n)log(m+n) > (3/2)log(m+n) -(m+n) +0.8918
 log(m!) - m・log(m) < (1/2)log(m) -m +1,
 log(n!) - n・log(n) < (1/2)log(n) -n +1,
辺々引くと
 log{(m+n+1)!} -log(m!) -log(n!) -(m+n)log(m+n) +m・log(m) +n・log(n)
 > (3/2)log(m+n) - (1/2)log(mn) - 1.1082
 > (1/2)log(m+n) + (1/2)log{(m+n)^2 /4mn} + log(2) - 1.1082
 ≧ (1/2)log(m+n) - 0.41505
 ≧ (1/2)log(3) - 0.41505 (m+n≧3)
 = 0.549306

(2)(右)
 (m+n)^{m+n} = (m+n)^{m-n} (m+n)^{2n}
 ≧ m^{m-n} (4mn)^n
 = m^m (4n)^n,

∴ (m+n)^(m+n)/(m^m・n^n) ≧ 4^n,

>>878
(3)
 x/(1+x) は x≧0 で単調増加 (x∈R)
 |a+b| ≦ |a| + |b|
∴ φ(|a+b|) ≦ φ(|a|+|b|)
 = |a|/(1+|a|+|b|) + |b|/(1+|a|+|b|)
 ≦ φ(|a|) + φ(|b|),

880132人目の素数さん2018/11/18(日) 02:17:09.96ID:ENzLbcND
>>879 (2) (左)

〔補題〕
log(m!) < (m+1/2) log(m) -m+1,
(略証)
{log(k-1) + log(k)}/2 < ∫[k-1,k] log(x)dx より
log(m!) = Σ[k=2,m] log(k)
< ∫[1,m] log(x)dx + (1/2)log(m)
= [ x・log(x) -x ](x=1,m) + (1/2)log(m)
= (m+1/2)log(m) -m +1,

log(n!) < (n +1/2) log(n) -n+1,
(略証)
{log(k-1) + log(k)}/2 < ∫[k-1,k] log(x)dx より
log(n!) = Σ[k=2,n] log(k)
< ∫[1,n] log(x)dx + (1/2)log(n)
= [ x・log(x) -x ](x=1,n) + (1/2)log(n)
= (n+1/2)log(n) -n +1,

log{(m+n+1)!} > (m+n+3/2) log{(m+n+1)!}
= Σ[k=2,m+n+1] log(k)
> ∫[3/2,m+n+3/2] log(x)dx
= [ x・log(x) -x ](x=3/2,m+n+3/2)
= (m+n+3/2) log(m+n+3/2) -(m+n) -(3/2)log(3/2)
> (m+n+3/2) log(m+n) +(3/2) - (m+n) - (3/2)log(3/2)
= (m+n+3/2) log(m+n) - (m+n) + 0.8918023378

881132人目の素数さん2018/11/18(日) 02:23:36.94ID:ENzLbcND
>>879 (2)(左)

log {(m+n+1)!} > (m+n+3/2) log(m+n) - (m+n) + 0.8918
(略証)
log(k) > ∫[k-1/2,k+1/2] log(x)dx より
log{(m+n+1)!} = Σ[k=2,m+n+1] log(k)
> ∫[3/2,m+n+3/2] log(x)dx
= [ x・log(x) -x ](x=3/2,m+n+3/2)
= (m+n+3/2) log(m+n+3/2) -(m+n) -(3/2)log(3/2)
> (m+n+3/2) log(m+n) +(3/2) - (m+n) - (3/2)log(3/2)
= (m+n+3/2) log(m+n) - (m+n) + 0.8918023378

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