不等式への招待 第9章 [無断転載禁止]©2ch.net

1不等式ヲタ ( ゚∀゚)2017/09/13(水) 11:20:03.95ID:i1anpb+k
ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
          ___          ----- 参考文献〔3〕 P.65 -----
    |┃三 ./  ≧ \   
    |┃   |::::  \ ./ | 
    |┃ ≡|::::: (● (● |  不等式と聞ゐちゃぁ
____.|ミ\_ヽ::::... .ワ......ノ     黙っちゃゐられねゑ…
    |┃=__    \           ハァハァ
    |┃ ≡ )  人 \ ガラッ

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【過去スレ】
・不等式スレッド (第1章) http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第2章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第3章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第4章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第5章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第6章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待 第7章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待 第8章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・過去スレのミラー置き場 http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

【姉妹サイト】
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ  http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
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【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html

672132人目の素数さん2018/07/24(火) 07:44:00.98ID:bmjGlIcJ
凸とは限らない3角形または4角形または5角形または……
であって辺の長さはすべて1であるもの
ですね。凸とは限ってないので内角が180°も桶なので>>697でもいいけど “凸とは限らない” がある方が良かったかも。

673132人目の素数さん2018/07/25(水) 00:53:28.01ID:9UVBQKrl
>>671

> 偶数角形でもいい

辺長1の正N角形の、連続する2m個の頂点を結んでできる凸2m角形を考える。(N ≫ m^3)

外接円の半径は R = 1/{2sin(π/N)},

S < (弓形の面積)
 = (扇形の面積) - (三角形の面積)
 = (1/2)RR{(4mπ/N) - sin(4mπ/N)}
 < (1/12)RR(4mπ/N)^3    (*)
 = 1/{48sin(π/N)^2}(4mπ/N)^3
 〜 (4/3) m^3 (π/N)
 → 0  (N→∞)

*) x>0 のとき x - (1/6)x^3 < sin(x) < x,

674132人目の素数さん2018/07/25(水) 01:35:01.94ID:9UVBQKrl
>>673

訂正スマソ
 (4mπ/N) → (2(2m-1)π/N)

或いは
(弦の長さ) < (2m-1)
(幅) = R {1-cos((2m-1)π/N)}
 < R (1/2) {(2m-1)π/N}^2   (**)
 = 1/{4sin(π/N)} {(2m-1)π/N}^2
 〜 (1/4)(2m-1)^2 (π/N)
 → 0   (N→∞)

**) 1 - (1/2)xx < cos(x) ≦ 1

675132人目の素数さん2018/07/25(水) 12:53:08.48ID:aSG76bcm
問題の見栄え良くするために、問題文はしょりすぎなんだよ。
偶数角形でもいいといってるのは例えば四角形ABCDで
AB=BC=CD=1、DA=2でもいいって意味だろ?
あくまで辺の長さの和は奇数。
この場合は五角形ABCDEでAE=DE=1、角Eは180°とみなして
1辺の長さ1の5角形とみなす。
そういう場合、面積は√3/4より大きくなる。

偶数角形で辺の長さ1で反例出したいなら平たいひし形で終わり。

676132人目の素数さん2018/07/25(水) 13:10:46.86ID:ia9tQLFJ
で結局問題は>>667でいいの?
真偽は別としてこれだけで問題の条件は十分伝わるよね
勝手に凸がどうたらって条件を加えてる>>672は別の問題ってことでいいの?

677132人目の素数さん2018/07/25(水) 14:13:22.87ID:h4vuL6tT
>>675 辺の長さの和が奇数とは書いてない。そもそも辺の長さは整数とは限らないし

[667(元問題)] 多角形Pは次の条件を満たすとき S >= sqrt(3) / 4
【条件】Pの辺のうち長さが1であるものは奇数個
[672] すべての辺が1である多角形Pの面積は S >= sqrt(3)/4
(凸の条件が何を言ってるのかよくわからない)
[673-4] 「辺が1の正多角形Pの面積は S >= sqrt(3)/4」を否定する証明(たぶん)

なんかごちゃごちゃしたけど問題は667でいいんだよね

678132人目の素数さん2018/07/25(水) 15:17:43.00ID:9UVBQKrl
>>675 >>677
 すべての辺の長さを自然数に限定?
 >>673 >>674 の例で、辺長1を固定しつつ端の2点を持って引っぱると、
 自然数にならぬか…

>>675
 菱形だと長さ1の辺が4つになる。 3辺長を1に固定して1点をずらす。

679132人目の素数さん2018/07/25(水) 17:44:43.59ID:LF80ki5t
点列P0.‥Pnは以下を満たす。
・nは奇数、P0=Pn
・隣接2点間の距離は1
・点列を順に結んで得られる曲線は単純閉曲線C
この時、Cで囲まれる領域の面積は√3/4以上であることを示せ。
ですな

680132人目の素数さん2018/07/25(水) 18:45:08.16ID:ia9tQLFJ
>>679
それは667と別問題だよね
それも成り立つの?

681132人目の素数さん2018/07/25(水) 19:07:44.57ID:LF80ki5t
>>667
これは成り立つ。
私は>>667もこの意味だと思う。
長さ1の辺が奇数個でそうでない辺がいくらあっても桶
みたいな設定で何かいえると思えない。

682132人目の素数さん2018/07/25(水) 20:08:15.16ID:ia9tQLFJ
>>681
問題が間違えてるってことね
679っぽい状況は数オリ辞典かなんかで見た記憶あるけど思い出せない

683132人目の素数さん2018/07/25(水) 21:16:48.71ID:bivqXzWq
続けたまえ

684132人目の素数さん2018/07/26(木) 00:22:16.92ID:ZQZlAKvh
>>679

すべての辺の長さが1である、奇数角形  >>668
ですね。

685132人目の素数さん2018/08/03(金) 04:53:25.06ID:tRRMlHHD
>>520 (B3) [100]
 49th IMO spain 2008, SL-A7

s = a+b+c+d,
p = s+a+c,
q = s+b+d,
M = (s-d)(s-b) = (s+a+c)s + bd,
N = (s-a)(s-c) = (s+b+d)s + ac,
W = (b+d)M-(a+c)N = bd(b+d) - ac(a+c),   …(3)
とおく。
2(左辺) = p(a-c)^2 /M + 3(a-c)(b-d)W/MN + q(b-d)^2 /N,
これは a-c,b-d の斉2次式なので、判別式(Hessian)を調べる。
pq = 2ss + (a+c)(b+d) > 2ss,
MN = {(s+a+c)s+bd} {(s+b+d)s+ac}
 = (s+a+c)(s+b+d)ss + ac(s+a+c)s + bd(s+b+d)s + abcd
 > 2s^4 + 2ac(a+c)s + 2bd(b+d)s,  (← s>a+c,s>b+d)
辺々掛けて
4pqMN > 8ssMN
 > 16(s^3){s^3 + ac(a+c)+bd(b+d)}
 > 192{ac(a+c)+bd(b+d)}^2   {← s^3 > 3ac(a+c)+3bd(b+d)}
 > 192{bd(b+d)-ac(a+c)}^2
 = 192WW
 ≧ 9WW.
∴ 判別式(Hessian) < 0
∴ 正定値。

http://www.imo-official.org/problems/IMO2008SL.pdf
 IMO-2008, SL-A7, Solution-2

686132人目の素数さん2018/08/03(金) 05:18:52.07ID:tRRMlHHD
>>685 訂正

M = (s-d)(s-b) = (a+c)s + bd,
N = (s-a)(s-c) = (b+d)s + ac,

MN = {(a+c)s+bd} {(b+d)s+ac}
 > {ac(a+c) + bd(b+d)}s,

4pqMN > 8ssMN
 > 8(s^3){ac(a+c) + bd(b+d)}
 > 8ac(a+c)^4 + 8bd(b+d)^4
 ≧ 32{ac(a+c)}^2 + 32{bd(b+d)}^2
 > 32{bd(b+d) - ac(a+c)}^2
 = 32WW
 ≧ 9WW,

687132人目の素数さん2018/08/12(日) 09:29:55.12ID:QnRFj99l
〔問題670〕
nを自然数、xを実数とするとき
 [nx] ≧ Σ(k=1,n) [kx]/k
を示せ。ただし [x] はガウス記号である。

[面白スレ26-670,同27-144]

688132人目の素数さん2018/08/19(日) 09:59:40.08ID:nbZP1PKM
すうじあむの解答見てきたけど、h(t)の最大値を求めるところまでは分かった。
で、h(t)の最大値がf(x,y)の最大値になるのは明らかなん?
バラバラに動く変数を1変数に置き換えたものを調べて間違いないん?

689132人目の素数さん2018/08/19(日) 10:10:32.25ID:FG4Iu3mB
何の問題

690132人目の素数さん2018/08/19(日) 17:14:39.44ID:oIedIwUK
>>688
f(x,y) の最大値 ≦ h(t) の最大値 = e^{-2} で
f(1,1) = e^{-2}.
からそう結論しました。
もしも反例が見つかったら晒してください。遠慮はいりません。

>>689
たぶんこれ。
Find the maximum value of the following function for all positive real numbers x,y.
f(x,y) = e^(-x-y) {ln(x)+ln(y)+1}.

http://suseum.jp/gq/question/2901

691132人目の素数さん2018/08/29(水) 09:51:11.01ID:4VhTCH8s
これ誰か教えて
http://suseum.jp/gq/question/2876

692132人目の素数さん2018/08/29(水) 17:19:12.01ID:7MjvDqGy
>>691
そのサイトFlashがないと読めないみたい。
もうこのご時世Flashないと読めないサイトわざわざ見る気になれん。

693132人目の素数さん2018/08/29(水) 20:45:48.67ID:2P4d/CfT
>>692
つ Chrome

694132人目の素数さん2018/08/29(水) 23:01:07.06ID:gzTBhfMR
>>692

「三次方程式の解の素朴な性質」 Q.2876
a, b, c を任意の複素数とする。 3次方程式 z^3 + az^2 + bz + c = 0 の解αで
 | 2bα + 3c | ≦ | 3α^3 |
をみたすものが存在することを示してください。
 (2018/04/01 アンドロメダ)

695132人目の素数さん2018/09/07(金) 00:33:08.04ID:KiGUc8ne
>>520 (B3)
>>524

まづ 左辺を a-c, b-d の斉2次式で表わす。
 2 (左辺) = F (a-c)^2 + H (a-c)(b-d) + G (b-d)^2,
ここに
 F = 1/(c+d+a) + 1/(a+b+c),
 G = 1/(b+c+d) + 1/(d+a+b),
 H = 3{ -(a+c)/(c+d+a)(a+b+c) + (b+d)/(d+a+b)(b+c+d)},
とおいた。この斉2次式が正定値となる条件は,
 (判別式) = HH - 4FG < 0,
そこで F, G, H を評価する。
AM-HM より
 F = 1/(c+d+a) + 1/(a+b+c) ≧ 4/{2(a+c)+(b+d)},
 G = 1/(b+c+d) + 1/(d+a+b) ≧ 4/{(a+c)+2(b+d)},
∴ FG ≧ 16/{2(a+c)^2+5(a+c)(b+d)+2(b+d)^2} ≧ 16/{(9/4)(a+b+c+d)^2} > 7/(a+b+c+d)^2,

0 < (a+c)/(c+d+a)(a+b+c) = (a+c)/{(a+c)(a+b+c+d)+bd} < 1/(a+b+c+d),
0 < (b+d)/(b+c+d)(c+d+a) = (b+d)/{(b+d)(a+b+c+d)+ac} < 1/(a+b+c+d),
∴|H| < 3/(a+b+c+d)、

以上により (判別式) = HH - 4FG < 0 したがって左辺は正定値。

 IMO-2008 Short list A.7
 不等式bot(@inequalitybot) [100]  ☆12
 面白スレ26-535,961  面白スレ27-354,356
//www.casphy.com/bbs/highmath/472060/126 (7), 311

696132人目の素数さん2018/09/10(月) 16:31:37.54ID:EoRvG7WQ
正の数 a, b が a+b=1をみたすとき、任意の正の数 x, y に対して ax+by ≧ x^a y^b.

これはAM-GMの一般化でござるかな?

697132人目の素数さん2018/09/10(月) 23:33:36.12ID:3cPf5e0b
>>696

a,bが有理数のときは AM-GM そのものでござるな。

698132人目の素数さん2018/09/11(火) 02:13:16.34ID:J1j+ih4S
重みつきAM-GM の限定版でござるかな?

699132人目の素数さん2018/09/11(火) 02:13:37.80ID:J1j+ih4S
正の数 a, b, x, y が ax+by = x+y をみたすとき、a^(ax) * b^(by) ≧ 1.

700132人目の素数さん2018/09/11(火) 07:28:10.88ID:cF4T1n2w
>>699

(a-1)x + (b-1)y +(c-1)z = 0 をみたすとき

a log(a) = -a log(1/a) ≧ -a(1/a -1) = a-1,
b log(b) ≧ b-1,
c log(c) ≧ c-1,
ax log(a) + by log(b) + cz log(c) ≧ (a-1)x + (b-1)y + (c-1)z = 0,

701132人目の素数さん2018/09/11(火) 11:30:17.92ID:J1j+ih4S
>>700
むむむ…、さすがでござるな。

>>696
正の数 a, b が a+b=1をみたすとき、任意の実数 x, y に対して (ax+by)(ay+bx) ≧ xy.

702132人目の素数さん2018/09/11(火) 12:34:01.15ID:cF4T1n2w
>>701

(ax+by)(ay+bx) = (a+b)^2・xy + 2ab(x-y)^2 ≧ (a+b)^2・xy,

またはコーシーで
(ax+by)(ay+bx) ≧ (a√xy + b√xy)^2 = (a+b)^2・xy,

703132人目の素数さん2018/09/11(火) 13:50:37.80ID:J1j+ih4S
>>702
むむむ…、さすがでござるな。
一つ目の解法の式変形は思いつかぬ…。
ただ、係数の2は不要ですな。

704132人目の素数さん2018/09/11(火) 18:22:10.58ID:J1j+ih4S
非負実数 a,b,c に対して、
(a-b)(a-c)a^4 + (b-c)(b-a)b^4 + (c-a)(c-b)c^4 ≧ 5{(a-b)(b-c)(c-a)}^2.

不等式の秋でござるな。(AA略)

705132人目の素数さん2018/09/13(木) 00:43:44.97ID:RZVt7y9v
>>704
Schurより強い不等式ってことになるのかな?

706132人目の素数さん2018/09/13(木) 12:38:23.72ID:FJXqJvMw
>>705
 非負実数に限れば。

 偶数次の Schur はすべての実数で成立つが、>>704 は (a, b, c) = (a, 0, -a) で不成立。

707132人目の素数さん2018/09/13(木) 13:32:48.84ID:RZVt7y9v
なるほど。 s,t,uで置き換えて証明できるのかな?

708132人目の素数さん2018/09/14(金) 01:54:32.08ID:E4BddXGB
>>704
(左辺)-(右辺)
= F_4 - 5Δ^2
= s^6 - 7s^4t + 28s^3u + 8s^2t^2 - 112stu + 16t^3 + 63u^2

苦しいでござる。
別の方法を考えた方がいいか…。

709132人目の素数さん2018/09/14(金) 04:17:45.76ID:E4BddXGB
去年の秋にやっていたΔがらみの不等式が、このスレを (c-a) で検索するとたくさん出てくる。
それらの中にない(と思う)ものを見つけたのでメモ。

a, b, c > 0に対して、
(a^2 + 3b^2)(b^2 + 3c^2)(c^2 + 3a^2) ≧ {(a-b)(b-c)(c-a)}^2.

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1595851p9908733

リンク先の模範解答を見る限りでは、任意の実数で成り立っているんじゃないの?

710132人目の素数さん2018/09/14(金) 05:11:17.74ID:0c+5G0AL
>>704

bはaとcの中間にあるとする。
(左辺) = (a^n)(a-b)^2 + (a^n-b^n+c^n)(a-b)(b-c) + (b^n)(b-c)^2,

(a,b,c) を(間隔を変えず一斉に)d減らしたとき、a^n, c^n は減少する。(0<d≦a,b,c)
では a^n -b^n +c^n はどうか?

Max{a,c} = M, min{a,c} = m とおくと
M^n - b^n = (M-d)^n - (b-d)^b + ∫[0,d] n{(M-d+t)^(n-1) - (b-d+t)^(n-1)} dt
   ≧ (M-d)^n - (b-d)^b,
m^n ≧ (m-d)^n,       (0<d≦m)
辺々たして
 M^n -b^n +m^n ≧ (M-d)^n -(b-d)^n +(m-d)^n,
 a^b -b^n +c^n ≧ (a-d)^n -(b-d)^n +(c-d)^n,
すなわち a^n -b^n +c^n も減少する。
よって(左辺)は減少するから、c=0 の場合に成立てば十分である。

(左辺) ≧ (a-b)a^(n+1) - (a-b)b^(n+1)
   = (a-b)^2・{a^n+a^(n-1)・b+……+a・b^(n-1)+b^n}
   ≧ (n+1)(a-b)^2・(ab)^(n/2)       (AM-GM)
   = (右辺),

711132人目の素数さん2018/09/14(金) 06:40:30.61ID:E4BddXGB
おお! なるほど! かたじけない!

       |
   \  __  /
   _ (m) _ピコーン
      |ミ|
    /  `´  \
     (゚∀゚ )
     ノヽノヽ
       くく

712132人目の素数さん2018/09/14(金) 13:35:31.86ID:0c+5G0AL
>>709

 (aa+3bb)(bb+3cc)(cc+3aa) ≧ {(a+b)(b+c)(c+a)}^2,

左辺は a,b,c の符号によらない。
a,b,c の符号だけを変えたとき、右辺が最も大きいのは a,b,c が同符号のもの。
∴ a,b,c >0 に対して成立てば十分。

(左辺)/(右辺) = (aa+3bb)/(a+b)^2・(bb+3cc)/(b+c)^2・(cc+3aa)/(c+a)^2 = f(a/b) f(b/c) f(c/a),
ここに f(x) = (xx+3)/(x+1)^2,

a,b,c >0 ⇒ f(a/b) f(b/c) f(c/a) ≧ 1 を示す。

(1) a/b, b/c, c/a の1つが 0 < x ≦ (-16+√333)/7 = 0.321184 にあるとき。

 [4f(x)-3](x+1)^2 = 4(xx+3) -3(x+1)^2 = (x-3)^2 ≧ 0,
∴ f(x) の最小値は f(3) = 3/4
 f(x) ≧ (4/3)^2 となるものが1つでもあれば 成立する。
 その条件は [16f(x)-9](x+1)^2 = 16(x+1)^2 -9(xx+3) = 7xx +32x -11 ≦ 0,
 -4.8926125 = (-16-√333)/7 ≦ x ≦ (-16+√333)/7 = 0.321184

(2) a/b, b/c, c/a ≧ (-16+√333)/7 = 0.321184 のとき。
 x ≧ (-16+√333)/7 = 0.321184 のとき
 x(x+1)^4 - (xx+3)^2 = (x^3 +x^2 +3x-1)(x-1)^2 ≧ 0,
∴ f(x) ≧ 1/√x,
∴ f(a/b) f(b/c) f(c/a) ≧ √(b/a) √(c/b) √(a/c) = 1,

以上により成立つ。

>>710 訂正
(左辺) = (a^n)(a-b)^2 + (a^n-b^n+c^n)(a-b)(b-c) + (c^n)(b-c)^2,

713132人目の素数さん2018/09/14(金) 13:51:02.18ID:0c+5G0AL
>>712 訂正スマソ

その条件は [16-9f(x)](x+1)^2 = …

x(xx+3)^2 - (x+1)^4 = (x^3 +x^2 +3x-1)(x-1)^2 ≧ 0,

714132人目の素数さん2018/09/15(土) 17:18:49.08ID:PF1WMC9C
[出典]
>>704 https://artofproblemsolving.com/community/c6t148441f6h1111827_schur_degree_6
>>709 https://artofproblemsolving.com/community/c6h1595851p9908733

704の出典の2つ目のレスに 「It's obvious by EMV」 とあるけど、EMVってなんじゃらほい?

>>712
すごいな。
仮に同じ解法で解ける問題が出てきても、自分では気づきそうにないなあ。

715132人目の素数さん2018/09/16(日) 05:37:44.55ID:dbi3zUMB
>>714
「EMV inequality」でググると、一番上に
A large sieve inequality of Elliott-Montgomery-Vaughan type for automorphic forms and two applications
というのがヒットするんだけど、さっぱり分からん…。

716132人目の素数さん2018/09/16(日) 06:51:57.72ID:liVS5BiP
>>714

http://artofproblemsolving.com/community/c6h205183p1130901
の Theorem 1 でござるな。n=3 のときは

〔EMV定理〕
f(x, y, z): R^3 → R は連続で C^1 級函数とする。次の2つの条件
 (i) xyz = 0 ⇒ f(x, y, z) ≧ 0,
 (ii) x, y, z ≧ 0 ⇒ ∂f/∂x + ∂f/∂y + ∂f/∂z ≧ 0,
を同時に満たすならば
 x, y, z ≧0 ⇒ f(x, y, z) ≧ 0.

Example 3. (Suranyi) >>512-513
Problem 1. (Schur, n=1) >>514
Problem 2. (Turkevici) >>163-164, 185, 530-531 (一般化 >>189)
Problem 6. >>486-487, 492

717132人目の素数さん2018/09/16(日) 09:55:39.99ID:liVS5BiP
>>709 >>712

{a+b√(-3)}{b+c√(-3)}{c+a√(-3)} = -(3q +8abc) + p√(-3),

ここに p = aab+bbc+cca -3abc,q = abb+bcc+caa -3abc,

(左辺) - (右辺) = (aa+3bb)(bb+3cc)(cc+3aa) - {(a+b)(b+c)(c+a)}^2

 = (3q+8abc)^2 + 3pp - (p+q+8abc)^2

 = 2pp -2pq +8qq +16abc(2q-p)

 = 2pp -2pq +(8/3)qq + (16/3) {(q+3abc)^2 -3abc(p+3abc)}

 = 2pp -2pq +(8/3)qq + (16/3) {(abb+bcc+caa)^2 -3caa・abb -3abb・bcc -3bcc・caa}

 = 2pp -2pq +(8/3)qq + (8/3) {[a(ca-bb)]^2 + [b(ab-cc)]^2 + [c(bc-aa)]^2}

 ≧ 0,

∵ (x+y+z)^2 - 3(xy+yz+zx) = (xx+yy+zz) - (xy+yz+zx) = {(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}/2,

718132人目の素数さん2018/09/16(日) 10:50:45.59ID:dbi3zUMB
むむむ…。

719132人目の素数さん2018/09/16(日) 11:16:21.07ID:dbi3zUMB
[三角形の辺長 a,b,c に関するアレ]

(1) abc ≧ (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).
(2) (a^a)(b^b)(c^c) ≧ (a+b-c)^a (b+c-a)^b (c+a-b)^c.
(3) (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) + (a+b)(b+c)(c+a) ≧ 9abc.

(1)は、不等式好きなら誰でも知っているレムスの不等式。
(2)は、上の上の不等式ヲタなら やはり常識である不等式。
(3)が、今回ご紹介する商品。

この他に a+b-c、b+c-a、c+a-b がらみの不等式があれば紹介してクリリン。

720132人目の素数さん2018/09/16(日) 18:53:35.06ID:HwxbsDio
三角形は多いのに四角形の辺に関する不等式なかなか見かけない

721132人目の素数さん2018/09/17(月) 01:23:24.03ID:iDwWzM3i
>>719
△なのでRavi変換する。
 x = b+c-a,
 y = c+a-b,
 z = a+b-c,
とおくと
 x+y+z = a+b+c,

(1)
AM-GM で
 a = (y+z)/2 ≧ √(yz),
 b = (z+x)/2 ≧ √(zx),
 c = (x+y)/2 ≧ √(xy),
より
 abc = (y+z)(z+x)(x+y)/8 ≧ xyz,

a,b,c ≧ 0 のとき
 abc - (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) = F_1(a,b,c) ≧ 0,

(2)
 log(左辺) = a log(a) + b log(b) + c log(c)
  ≧ y log(a) + z log(b) + x log(c)   (←チェビシェフ)
  ≧ (y/2)log(yz) + (z/2)log(zx) + (x/2)log(xy)
  = (y+z)/2 log(z) + (z+x)/2 log(x) + (x+y)/2 log(y)
  = a log(z) + b log(x) + c log(y)
  = log(右辺),

(3)
 (左辺) = (2x)(2y)(2z) + (2x+y+z)(x+2y+z)(x+y+2z) = F1(x,y,z) ≧ 0,

722132人目の素数さん2018/09/17(月) 20:35:16.00ID:iDwWzM3i
>>721 (2)
 チェビシェフは不成立でした。スマソ

 log(a+b-c) = log(a) + log{1 +(b-c)/a} ≦ log(a) + (b-c)/a,
 a log(a+b-c) ≦ a log(a) +b -c,
巡回的にたす。

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