不等式への招待 第9章 [無断転載禁止]©2ch.net

1不等式ヲタ ( ゚∀゚)2017/09/13(水) 11:20:03.95ID:i1anpb+k
ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
          ___          ----- 参考文献〔3〕 P.65 -----
    |┃三 ./  ≧ \   
    |┃   |::::  \ ./ | 
    |┃ ≡|::::: (● (● |  不等式と聞ゐちゃぁ
____.|ミ\_ヽ::::... .ワ......ノ     黙っちゃゐられねゑ…
    |┃=__    \           ハァハァ
    |┃ ≡ )  人 \ ガラッ

【まとめWiki】 http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

【過去スレ】
・不等式スレッド (第1章) http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第2章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第3章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第4章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第5章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第6章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待 第7章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待 第8章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・過去スレのミラー置き場 http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

【姉妹サイト】
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ  http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ2 http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/

【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html

397132人目の素数さん2018/01/10(水) 06:16:58.25ID:M8EQn1L+
>>395
それを使うと、示すべき右辺 3(a^4 +b^4 +c^4) にAM-MGを使った形になっちまう…

(a^2018 -a^30 +3)(b^2018 -b^30 +3)(c^2018 -c^30 +3)≧ 9(abc)^(4/3)

398132人目の素数さん2018/01/11(木) 04:40:46.35ID:zTW4b5dN
>>374

・n=2 のとき

a^3 +(a+b)bb -(1/3)(a+b)^3
={(2a^3 - 3aab + b^3) + b^3}/9
≧(b^3)/9
≧ 0,

・n=3 のとき

a^3 +(a+b)bb +(a+b+c)cc -(1/5)(a+b+c)^3
={(7/4)x^3 +(23/8)y^3 + 4z^3 - 6xyz + 2x(3x/4 -y)^2 + 2x(3x/4 -z)^2 + 2y(3y/4 -z)^2}/5
>{(7/4)x^3 +(20/7)y^3 + 4z^3 - 6xyz}/5
≧(3{20^(1/3)}xyz - 6xyz)/5
= 3xyz/7
≧ 0,

399132人目の素数さん2018/01/11(木) 04:50:04.41ID:zTW4b5dN
>>398 の訂正

・n=3 のとき

a^3 +(a+b)bb +(a+b+c)cc -(1/5)(a+b+c)^3
={(7/4)a^3 +(23/8)b^3 + 4c^3 - 6abc + 2a(3a/4 -b)^2 + 2a(3a/4 -c)^2 + 2b(3b/4 -c)^2}/5
>{(7/4)a^3 +(20/7)b^3 + 4c^3 - 6abc}/5   (23/8 > 20/7)
≧3({20^(1/3)}abc - 2abc)/5   (AM-GM)
≧ 3abc/7
≧ 0,

400132人目の素数さん2018/01/12(金) 00:58:22.61ID:Or3GsGEd
三角形の成立条件 a+b>c、b+c>a、c+a>b を当たり前のように使っているけど、
これの証明って、手元にある本には載っていないんだけど、どうやるんだっけ?

401132人目の素数さん2018/01/12(金) 01:05:31.40ID:43CyjHwT
まず長さaの線分を描いてから、半径b、cの円を描いてみれば分かる

402132人目の素数さん2018/01/12(金) 01:19:24.94ID:Or3GsGEd
>>401
なるほど、さんくす。分かりやすい。

403132人目の素数さん2018/01/12(金) 03:39:31.00ID:aNi1PHCw
>>370-371

もう2つ...

・例1 等比数列
 a_k = a_1・r^(k-1),
r = 0.636323 a_1 = √(1-rr)= 0.772413
のとき
 M = 0.393502 < 0.48

・例2
 a_(2k+1)= a_1・r^k,
 a_(2k+2)= a_2・s^k,
 a_1 = 0.7141094  r = 0.359890
 a_2 = 0.6408248  s = 0.0921138
のとき
 M = 0.436598 < 0.48

404132人目の素数さん2018/01/12(金) 17:59:00.61ID:aNi1PHCw
>>370-371

もう1つ...

・例3
 a_1 = 0.66763055
 a_2 = 0.66280835
 a_k = a_2・r^(k-2)  (k>2)
 r ={(7+4√3)^(1/3)+(7-4√3)^(1/3)- 1}/4 = 0.455410041101
   (4r^3 +3rr -1 = 0 の実根)
のとき
 M =(2/3)√{(1+r)(1-r^3)/3}= 0.4418722310911 < 0.48

405132人目の素数さん2018/01/13(土) 01:56:27.50ID:vxAtUgvr
>>403

・例1
 a_1 = 0.7714225971
  (a^8 -9a^6 +30a^4 -30a^2 +9 =0 の正根)
 r = 0.63632317
  ((1+r)(1-r^3)-3rr = 0 の実根)
 M = r(1-rr)^(3/2)/(1-r^3)= 0.393502193

>>404

・例3
 r ={(2+√3)^(2/3)+(2-√3)^(2/3)- 1}/4 = 0.45541
  (4r^3 +3rr -1 = 0 の実根)
 M ={(207+48√3)^(1/3)+(207-48√3)^(1/3)- 1}/24
  (M^3 +(1/8)M^2 -(1/6)M -(1/27)= 0 の実根)

406◆2VB8wsVUoo 2018/01/20(土) 07:20:04.89ID:Vdmu6X2x

407◆2VB8wsVUoo 2018/01/20(土) 07:20:27.41ID:Vdmu6X2x

408◆2VB8wsVUoo 2018/01/20(土) 07:20:50.76ID:Vdmu6X2x

409◆2VB8wsVUoo 2018/01/20(土) 07:21:11.16ID:Vdmu6X2x

410◆2VB8wsVUoo 2018/01/20(土) 07:21:33.24ID:Vdmu6X2x

411◆2VB8wsVUoo 2018/01/20(土) 07:21:53.05ID:Vdmu6X2x

412◆2VB8wsVUoo 2018/01/20(土) 07:22:14.30ID:Vdmu6X2x

413◆2VB8wsVUoo 2018/01/20(土) 07:22:34.10ID:Vdmu6X2x

414◆2VB8wsVUoo 2018/01/20(土) 07:22:55.28ID:Vdmu6X2x

415◆2VB8wsVUoo 2018/01/20(土) 07:23:14.32ID:Vdmu6X2x

416132人目の素数さん2018/01/23(火) 23:58:40.42ID:7yFnQM5h

417132人目の素数さん2018/01/24(水) 03:52:39.89ID:9ooAixL8
>>416

コーシーの不等式より
n{Σ[k=1,n]s_k (a_k)^2}≧(Σ[k=1,n]a_k √s_k)^2,

0≦x<y に対して、
(y-x)√y > ∫[x,y]√t dt =(2/3){y^(3/2)- x^(3/2)},
ゆえに、k = 1,2,…,n に対して、
 a_k √s_k >(2/3){(s_k)^(3/2)-(s_{k-1})^(3/2)}
(ただし、s_0 = 0 とする。)
k = 1,2,…,n について足し合わせると、
 Σ[k=1,n]a_k √s_k >(2/3)(s_n)^(3/2),

以上により
n{Σ[k=1,n]s_k(a_k)^2}>(4/9)(s_n)^3,

418132人目の素数さん2018/01/24(水) 15:22:02.70ID:9ooAixL8
>>417

0≦x,y に対して、 AM-GM で

y^(3/2)+ x^(3/2)+ x^(3/2)≧ 3x√y,

∴ (y-x)√y ≧(2/3){y^(3/2)- x^(3/2)},

419132人目の素数さん2018/02/07(水) 05:17:19.34ID:hJs29j8F
[3']
三変数の相加相乗平均の不等式
「a,b,c > 0 に対し、a^3+b^3+c^3 ≧ 3abc」
を証明せよ。
ただし、不等式評価には次の不等式のみを用いること。
「任意の実数 p,q,r,x,y,z に対して (pp+qq+rr)(xx+yy+zz)≧(px+qy+rz)^2」

[4]
xは実数とする。
2+√2 ≦ √{1+sin(x)}+√{1+cos(x)}+√{1-sin(x)}+√{1-cos(x)}≦ √{2(2+√2)}+√{2(2-√2)}
を示せ。
 最小は x=nπ/2,最大は x=nπ/2 + π/4 のとき。

http://twitter.com/perfect08641086/

420132人目の素数さん2018/02/07(水) 20:51:01.52ID:WpqZ2RSO
〔類題〕
 -1≦y≦1 ⇒ √(1+y)+√(1-y)≦2
 等号成立は y=0.

421132人目の素数さん2018/02/10(土) 03:52:34.10ID:JLwIa9Z8
〔問題〕
a,b,c >0 のとき、
(1) a/(b+c)+ b/(c+a)+ c/(a+b)≧ 3/2,  (Nesbitt,Shapiro-3)
(2) a/(a+b)+ b/(b+c)+ c/(c+a)≦{(a+b+c)^2 + 3(ab+bc+ca)}/{4(ab+bc+ca)},
(3) a/(a+b)+ b/(b+c)+ c/(c+a)≦(ab+bc+ca)^2/{2abc(a+b+c)},

422132人目の素数さん2018/02/10(土) 04:46:19.92ID:p8fUG64o
よい不等式デスネ! 実に勤勉デス!

423132人目の素数さん2018/02/10(土) 05:28:06.69ID:p8fUG64o
【オイラーのφ関数】
(1) 奇素数 p、自然数 n に対して、φ(p^n) > √(p^n) を示せ。
(2) 自然数 n (≠2、6) に対して、φ(n) > √(n) を示せ。

あぁぁ、脳が…震え…

424132人目の素数さん2018/02/10(土) 15:05:18.55ID:JLwIa9Z8
>>421

(4) a/(a+b)+ b/(b+c)+ c/(c+a)≦ 3{(a+b+c)^2 + (ab+bc+ca)}/{8(ab+bc+ca)} ≦ (a+b+c)^2 / {2(ab+bc+ca)},

(略証)
s = a+b+c,
t = ab+bc+ca,
u = abc,
とおくと
(a+b)(b+c)(c+a) = st-u ≧ 8st/9,
3(st+aab+bbc+cca) = s(ss+t) -a(a-b)^2 -b(b-c)^2 -c(c-a)^2 ≦ s(ss+t),
したがって
(左辺) = (st+aab+bbc+cca)/(st-u)
≦ (1/3)s(ss+t)/(8st/9)
= 3(ss+t)/(8t).

425132人目の素数さん2018/02/10(土) 15:19:43.46ID:JLwIa9Z8
>>423
(1)
・n=1 のとき
 p≧3 ゆえ、(p-1)^2 - (p+1) = p(p-3) ≧ 0,
φ(p) = p-1 ≧ √(p+1) > √p
・n≧2 のとき
 n-1 ≧ n/2,
 φ(p^n) = (p-1)・p^(n-1) ≧ (p-1)・p^(n/2)

426132人目の素数さん2018/02/11(日) 04:50:21.13ID:oyQM1khy
>>419
[3']
 (aa+bb+cc)^2 =(bb+cc+aa)(cc+aa+bb)≧(bc+ca+ab)^2,
 aa+bb+cc -ab -bc -ca ≧ 0,
よって
 a^3 + b^3 + c^3 - 3abc =(a+b+c)(aa+bb+cc-ab-bc-ca)≧ 0,

427132人目の素数さん2018/02/11(日) 06:27:54.17ID:oyQM1khy
>>423
(1)
 p≧3 のとき、(p-1)^2 -(p+1)= p(p-3)≧ 0,
 p-1 ≧ √(p+1)> √p,
 φ(p^e)=(p-1)p^(e-1)> p^(e-1/2)≧ √(p^e)   (e≧1)

(2)
・nが奇数のとき
 nの素因数は奇素数のみ。
 ∴nの素因数pごとに分ければ成立。

・nが4の倍数のとき
 e≧2 に対して
 φ(2^e)= 2^(e-1)≧ 2^(e/2), …成立。(e=2 のときは等号)
 ∴nの素因数pごとに分ければ成立。

・n=2・(奇数),n>6 のとき
  nは 4より大きい素因数(p>4)または平方因子(e≧2)をもつ。
  p>4 ならば(p-1)^2 -(2p+1)= p(p-4)> 0,
   p-1 > √(2p+1)> √(2p)
   φ(2・p^e)=φ(p^e)=(p-1)p^(e-1)>(√2)p^(e-1/2)≧ √(2・p^e),
  e≧2 ならば
   φ(2・p^e)=φ(p^e)=(p-1)p^(e-1)≧ 2p^(e-1)> √(2・p^e)

428132人目の素数さん2018/02/11(日) 11:12:22.15ID:T9JK+LpN
a、b、c >0 に対して、
9 > (4a+b)/(a+4b) + (4b+c)/(b+4c) + (4c+a)/(c+4a) > 3/2

これが中学生向けの問題だと! あぁぁ、脳が…震え…

429132人目の素数さん2018/02/11(日) 18:02:59.31ID:oyQM1khy
>>428
 p≧q ⇒ 4 >(4p+q)/(p+4q)≧1,
 p≦q ⇒ 1 ≧(4p+q)/(p+4q)> 1/4,
だから
 a≧b≧c ⇒ 4 + 4 + 1 >(中辺)> 1 + 1 + 1/4,
 a≦b≦c ⇒ 4 + 1 + 1 >(中辺)> 1 + 1/4 + 1/4,

実際には 8.25 > (中辺)≧ 3.0 らしい…

430132人目の素数さん2018/02/12(月) 01:28:54.22ID:MYy378Zb
>>429

k≧2,
p = aab+bbc+cca -3abc ≧ 0,
q = abb+bcc+caa -3abc ≧ 0,
とおくと、
(a+kb)(b+kc)(c+ka)= kp + kkq +(1+k)^3・abc,

(ka+b)/(a+kb)+(kb+c)/(b+kc)+(kc+a)/(c+ka)
= 3 +(k-1){(2k-1)p+k(k-2)q}/{kp+kkq+(1+k)^3・abc}
≧ 3,

上限は 2k + 1/k,

431132人目の素数さん2018/02/13(火) 16:55:38.41ID:L2ZMaNlF
>>428-430
JJMO(2008)でござった。

>>430
上限は 2k + 1/k。 これをどうやって示すのか分かりませぬ…。

432132人目の素数さん2018/02/13(火) 19:30:46.26ID:ZOqrSE8B
〔大関の不等式〕
 単調減少な正数列 x_1 > x_2 > …> x_j > … > x_n > 0 について
 Π[j=1,n](x_j)^x_{j-1}> Π[j=1,n](x_j)^x_{j+1},
 Σ[j=1,n] x_{j-1}log(x_j)> Σ[j=1,n] x_{j+1}log(x_j),
 ただし、x_{n+1}= x_1,x_0 = x_n とする。

数セミ、2018年3月 NOTE

433132人目の素数さん2018/02/13(火) 19:49:22.56ID:ZOqrSE8B
>>431

(ka+b)/(a+kb)+(kb+c)/(b+kc)+(kc+a)/(c+ka)
= 2k + 1/k -{[2(k-1)^2 +1]kq + (1/k)(2k-1)(k-1)(k+1)^3・abc}/{kp+kkq+(1+k)^3・abc}
≦ 2k + 1/k,

434132人目の素数さん2018/02/13(火) 23:57:57.21ID:L2ZMaNlF
>>433
ありがたや〜

>>432
『大関の不等式』の大関って、不等式の本書いてる大関親子のどっちか? それともNOTEに投稿した読者の名前かな?
地方では、雑誌の発売日は翌日以降になるから、まだ読めていないのでござる。

435132人目の素数さん2018/02/14(水) 00:53:43.35ID:ZgrnGGF4
>>433
> (ka+b)/(a+kb)+(kb+c)/(b+kc)+(kc+a)/(c+ka)
> = 2k + 1/k -{[2(k-1)^2 +1]kq + (1/k)(2k-1)(k-1)(k+1)^3・abc}/{kp+kkq+(1+k)^3・abc}

qの係数は、2(k-1)^2 +1]kq ぢゃなくて、k(k^2-1)q ではござらぬか?

436132人目の素数さん2018/02/14(水) 05:49:33.31ID:ZgrnGGF4
n^5 = 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 をみたす自然数 n を求めるときに、大雑把に n のとりうる値の範囲を絞りたい。

n^5 ≡ 24 (mod 30) から、n = 24+30k で、答えは144なんだが、nの範囲を上手に知りたいのでござる。

下限は、n^5 = 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 > 135^n だから、n>135
上限が 174 より小さいってのを一発でエレガントに出すような不等式ってないでござる蟹?

437132人目の素数さん2018/02/14(水) 06:19:10.42ID:ZgrnGGF4
4^(1/5) = 1.319…

n^5 = 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 < 4*133^5 < (7/5)^5*133^5 = 186.2^5
n^5 = 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 < 4*133^5 < (33/25)^5*133^5 = 177.56^5

この方法はイマイチですな。

438132人目の素数さん2018/02/14(水) 06:57:21.49ID:+eR545sM
金利の計算等でよく知られている72の法則から
2^(1/5)≒1.144≒8/7

27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 < 111^5 + 110^5 + 133^5
≒(111*8/7)^5+133^5≒127^5+133^5 <2*133^5≒(133*8/7)^5=152^5 とか

439132人目の素数さん2018/02/14(水) 15:42:22.47ID:/bHsoXtp
>>434
 子の清太氏でござる。(今や宇都宮大学も退官されて古希でござるな)

〔補題〕
0 < y < x_1 で F(y)= log(y/x_1)/(x_1 - y)は単調増加
 F '(y)={x_1/y -1 -log(x_1/y)}/(x_1 - y)^2 > 0 から出る。

(左辺)−(右辺)= Σ[j=1,n]{x_j・log(x_{j+1})- x_{j+1}・log(x_j)}
= Σ[j=1,n]{(x_j-x_1)・log(x_{j+1}/x_1)-(x_{j+1}-x_1)・log(x_j/x_1)}
= Σ[j=2,n-1]{(x_j-x_1)・log(x_{j+1}/x_1)-(x_{j+1}-x_1)・log(x_j/x_1)}
= Σ[j=2,n-1](x_1-x_j)(x_1-x_{j+1}){F(x_j)-F(x_{j+1})}
> 0    (← x_1 > x_j > x_{j+1})

>>435
 仰るとおり。死んでお詫びを…(AA略

440132人目の素数さん2018/02/14(水) 16:20:35.13ID:/bHsoXtp
>>436

等比級数と比較する(ダランベールの判定法?)
r = 110/133 とおく。r < 5/6
110 = 133 r,
84 < 90.9774 = 133 r^2,
27 < 75.2445 = 133 r^3,

n^5 < 133^5 (1 + r^5 + r^10 + r^15)
< 133^5/(1-r^5)
= 133^5 /{1-(5/6)^5}
= 133^5 /0.59812
= (133 * 1.10826)^5,

n < 133 * 1.10826 < 147.4

n = 144 に近い(?)

441132人目の素数さん2018/02/14(水) 22:52:06.37ID:/bHsoXtp
>>436
r = 110/133 とおく。

r^5 < 2/5,
1/(1-r^5)< 5/3,
n < 133・(5/3)^(1/5)= 133・1.10757 = 147.306

r^5 < 12/31,
1/(1-r^5)< 31/19,
n < 133・(31/19)^(1/5)= 133・1.10286 = 146.68

n=144 に近いかも(?)

442132人目の素数さん2018/02/14(水) 23:03:45.21ID:ZgrnGGF4
>>438-441
ありがとうございます。いろいろありますね。

> 金利の計算等でよく知られている72の法則から

全く知らなかったでござる。

443132人目の素数さん2018/02/15(木) 19:36:01.68ID:BNcyv0HF
>>439
清太氏に不等式の本を書いてもらいたい。
まだ書いていないこと沢山あるだろう…。

444132人目の素数さん2018/02/16(金) 02:03:16.59ID:A0Z5LkE8
>>430
p, q を使うという発想が凄いな。鬼がかっている…

445132人目の素数さん2018/02/16(金) 02:15:48.88ID:LmIoBxc5
>>443

もし出たら、餃子を食いながら解こうかな("^ω^)・・・ (宇都宮)

446132人目の素数さん2018/02/16(金) 02:37:16.13ID:A0Z5LkE8
清太氏の最新刊は、数学のかんどころシリーズの不等式だったけど、あのシリーズは、
『OnePoint双書の精神を継承し、ページを押さえ、テーマを絞り、手軽に読めるように』なので、あんまり載ってないんよな。

やはりここは、大関(親)の絶版書の内容も含む3つの著書を含めて、
まだ書いてないこともたくさん入れて、ページ数制限なしで分厚いのを出してほしい。

喩えるなら、「素数全(朝倉書店、2010)」とか「数学の女王(共立出版、2013)」みたいな感じで。

447132人目の素数さん2018/02/16(金) 10:22:33.88ID:zQDvOiPX
ここって案外人いるのね

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