不等式への招待 第9章 [無断転載禁止]©2ch.net

1不等式ヲタ ( ゚∀゚)2017/09/13(水) 11:20:03.95ID:i1anpb+k
ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
          ___          ----- 参考文献〔3〕 P.65 -----
    |┃三 ./  ≧ \   
    |┃   |::::  \ ./ | 
    |┃ ≡|::::: (● (● |  不等式と聞ゐちゃぁ
____.|ミ\_ヽ::::... .ワ......ノ     黙っちゃゐられねゑ…
    |┃=__    \           ハァハァ
    |┃ ≡ )  人 \ ガラッ

【まとめWiki】 http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

【過去スレ】
・不等式スレッド (第1章) http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第2章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第3章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第4章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第5章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第6章 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待 第7章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待 第8章 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
・過去スレのミラー置き場 http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

【姉妹サイト】
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ  http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ2 http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/

【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html

538132人目の素数さん2018/04/27(金) 02:42:51.45ID:MuDbcQQ+
>>537 [6]

A = √b+√c-√a > 0,
B = √c+√a-√b > 0,
C = √a+√b-√c > 0,
とおく。
b+c-a = AA - (A-B)(A-C)/2,
√(b+c-a) ≦ A - (A-B)(A-C)/4A,
(左辺) = √(b+c-a) /A + √(c+a-b) /B + √(a+b-c) /C
 ≦ 3 - (A-B)(A-C)/(4AA) - (B-C)(B-A)/(4BB) - (C-A)(C-B)/(4CC)
 = 3 - (1/4) F_{-2}(A,B,C)
 = 3 - (ABC/4) F_1(1/A,1/B,1/C)
 ≦ 3.

 IMOSL-2006 予選 A.6、JMO春合宿
 文献[8] 安藤 (2012),p.147 例題3.2.3(9),
 http://www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式1-307、434、437

539132人目の素数さん2018/04/27(金) 02:55:00.93ID:WAhBLXIV
( ゚∀゚) いつも素晴らしいデスネ。GWに精読させていただきます。

540132人目の素数さん2018/04/27(金) 03:03:26.10ID:WAhBLXIV
実数 a_k、b_k (1≦k≦n)) に対して、
1 + Σ[k=1 to n] (a_k + b_k)^2 ≦ (4/3)*{1 + Σ[k=1 to n] (a_k)^2}*{1 + Σ[k=1 to n] (b_k)^2}

541132人目の素数さん2018/04/27(金) 07:15:04.11ID:WAhBLXIV
任意の m、n∈N (m > n) に対して、
lcm(m, n) + lcm(m+1, n+1) > 2mn/{√(m-n)}

542132人目の素数さん2018/04/27(金) 11:37:15.92ID:MuDbcQQ+
>>540

A = Σ[k=1,n] (a_k)^2,
B = Σ[k=1,n] (b_k)^2,
C = Σ[k=1,n] a_k b_k,
とおく。
A+B-2C = Σ[k=1,n] (a_k - b_k)^2 ≧ 0,
AB-CC = Σ[1≦j<k≦n] (a_j b_k - a_k b_j)^2 ≧ 0  (←コーシー)

(右辺) - (左辺) = (4/3)(1+A)(1+B) - (1+A+B+2C)
= (1/3) (1+A+B+4AB-6C)
= (1/3) {(A+B-2C) + 4(AB-CC) + (1-2C)^2}
≧ 0,

等号成立は a_k = b_k,A = B = C = 1/2.

543132人目の素数さん2018/04/28(土) 00:44:27.52ID:9CKS2DSq
>>541

gcd(m,n) | (m-n)
gcd(m+1,n+1) | (m-n)
左辺は互いに素ゆえ、 (←背理法で)
gcd(m,n)gcd(m+1,n+1) | (m-n)

lcm(m,n) + lcm(m+1,n+1)
= mn/gcd(m,n) + (m+1)(n+1)/gcd(m+1,n+1)
> mn{1/gcd(m,n) + 1/gcd(m+1,n+1)}
> 2mn/√{gcd(m,n)gcd(m+1,n+1)}    (←AM-GM)
≧ 2mn/√(m-n),

544132人目の素数さん2018/04/29(日) 13:40:34.24ID:LZWvDOTX
>>374 >>398 >>399 >>416 >>417

 nΣ[k=1,n] s_k (a_k)^2 ≧ M_n (s_n)^3,
とおく。

M_2 = 0.7377393811182 = 2(47-14√7)/27
   (a,b) =(√7 -1,4-√7)(3+√7,2+√7)

M_3 = 0.6481616033162
   (a,b,c) = (1.38436,1.13916,1)

M_4 = 0.60233351875
   (a,b,c,d) = (1.52472,1.25465,1.10139,1)

M_5 = 0.574255

M_6 = 0.5551782

M = 0.444444 = 4/9   (n→∞),

545132人目の素数さん2018/04/29(日) 22:17:02.33ID:LZWvDOTX
>>544
 Memo.

漸化式は
 a_{n+1} = (1/2) {√(2x-1) - 1} s_n,
 s_{n+1} = s_n + a_{n+1},
 M_n = (n/3) (x-1),
ここに
 x = (1 + a_n/s_n)^2.

(例)

M_1 = 1
 a_1 = s_1 = 1

M_2 = 2(47-14√7)/27 = 0.7377393811182
 a_2 = (√7 -1)/2 = 0.8228756555323
 s_2 = (√7 +1)/2 = 1.8228756555323

M_3 = 0.64816160331616
 a_3 = 0.72235563718495
 s_3 = 2.54523129271725

M_4 = 0.60233351872589
 a_4 = 0.65585825517001
 s_4 = 3.20108954788726

M_5 = 0.57425545264547
 a_5 = 0.60768519695068
 s_5 = 3.80877474483794

M_6 = 0.55517800140267
 a_6 = 0.57066170678793
 s_6 = 4.37943645162587

本題から逸れてしまった…

546132人目の素数さん2018/04/29(日) 22:33:49.66ID:LZWvDOTX
>>374 (改)

Σ[k=1,n] (s_{k-1} + s_k)/2 ・ (a_k)^2 > (4/9n) (s_n)^3,

便宜上 s_0 = 0 とおいた。

* 中点 (s_{k-1} + s_k)/2 で接線を曳く。

547132人目の素数さん2018/04/30(月) 07:31:33.28ID:iiZ/CJ+E
>>544
>>545 Memo. の続き

M_10 = 0.51565443182467
 a_10 = 0.47804498656917
 s_10 = 6.41086198943751

M_100 = 0.45433807243808
 a_100 = 0.21749813721698
 s_100 = 32.0226683930223

M_1000 = 0.44575956171259
 a_1000 = 0.10051892239154
 s_1000 = 150.383787216053

M_10000 = 0.44460977509949
 a_10000 = 0.04662595061307
 s_10000 = 699.152499550131

548132人目の素数さん2018/05/02(水) 00:00:30.49ID:mJGWQQsb
>>545
Memo.

(略証)
nについての帰納法による。
 a_{n+1} = A と略す。
まず s_n を固定して a_1 〜 a_n を動かしたときの最小値は、
 Σ[k=1,n+1] s_k (a_k)^2 - μ(s_{n+1})^3
 = Σ[k=1,n] s_k (a_k)^2 + (s_n + A)A^2 - μ(s_n + A)^3
 ≧ (M_n /n)(s_n)^3 + (s_n + A)A^2 - μ(s_n + A)^3 = f(A)
つまり a_1 〜 a_n の比はnの場合と同じでよい。

次に f(A) = 0 が重根をもつようにμを決めるのだが、言い換えれば
f(A) = 0 と f '(A) = 0 が共通根をもつことである。

f(A) = (M_n /n)(s_n)^3 + (s_n + A)A^2 - μ(s_n + A)^3 = 0,
f '(A) = 2(s_n)A + 3A^2 - 3μ(s_n + A)^2 = 0,
から A とμを決める。
まずμを消去すれば
 A(s_n + A) - 3M_n /(2n・s_n) = 0,
∴ A = (1/2){√[1 + 6M_n /(n・(s_n)^3)] -1}s_n,
これを使うとμが求まり
 M_{n+1} = (n+1)μ = {(n+1)/3}([1 + A/s_{n+1}]^2 - 1),
 s_{n+1} = s_n + A,
と表わせる。

549132人目の素数さん2018/05/02(水) 03:13:46.81ID:mJGWQQsb
〔問題8〕
閉区間 [0,1] で定義された連続関数f(x)は、次の条件を満たすとする。
ある正の実数Lが存在して、[0,1] 上のすべての実数xにおいて
 0 ≦ f(x) ≦ L∫[0,x] f(t)dt
が成り立つ。
このとき、[0,1] 上のすべての実数xにおいてf(x)=0であることを示せ。
http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai8.php

〔問題12〕
p_1,p_2,…,p_k を m 以下のすべての素数とする。
この時、以下の不等式が成り立つことを示せ。
 log(m) - 1 ≦ (1/m)log(m!) < Σ[i=1,k] log(p_i)/(p_i - 1)
http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai12.php

〔問題18〕
正の実数 a,b,c が ab+bc+ca=1 を満たすとき
 (b+c) {√(aa+1) +a} ≧ 2,
 (c+a) {√(bb+1) +b} ≧ 2,
 (a+b) {√(cc+1) +c} ≧ 2,
が成り立つことを示せ。
http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai18.php

〔問題32〕
nを2以上の整数とする。正の実数 a_1,a_2,…,a_n に対して不等式
 Σ[k=1,n] (kk-2k+2)a_k + Σ[k=1,n-1] (1/a_k)(a_{k+1})^2 ≧ (n^2)a_n
が成り立つことを示せ。また、等号が成立する条件を求めよ。
http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai32.php

550132人目の素数さん2018/05/02(水) 06:04:11.72ID:G30sYyfK
( ゚∀゚) ウヒョッ! スバラスィ!

551132人目の素数さん2018/05/02(水) 14:19:59.58ID:mJGWQQsb
>>548
 訂正スマソ

 A (s_n + A) - (3M_n /2n) (s_n)^2 = 0,
∴ A = (1/2) {√(1 + 6M_n /n) - 1} s_n,

552132人目の素数さん2018/05/02(水) 22:45:46.08ID:G30sYyfK
[bot 5]
a, b, c≧0 のとき、a(a-b)(a-2b) + b(b-c)(b-2c) + c(c-a)(c-2a) ≧0

(1) この証明は?
(2) a(a-mb)(a-nb) + … とイパーン化できるでござるか?

553132人目の素数さん2018/05/03(木) 00:16:14.95ID:CZ0Fa01r
>>552 [111]

(1)
min{a, b, c} = M, {a, b, c} = {M, M+x, M+y} とすると、
(左辺) = 2M(xx-xy+yy) + x(x-2y)^2 + (x-y)^2・y ≧0.

USA.ELMO-2009 day1-Q.3

554132人目の素数さん2018/05/05(土) 12:58:01.27ID:cos8i+vX
>>552 [111]

(2)
m(m+1) ≦ 3 + 4√2 のとき
 a(a-b)(a-mb) + b(b-c)(b-mc) + c(c-a)(c-ma) ≧ 0

m(m+1) = 3 + 4√2 の根は
 m_1 = -{√(13+16√2) +1}/2 = -3.4844353317658568752
 m_2 = {√(13+16√2) -1}/2 = 2.4844353317658568752

等号成立条件
・m_1 < m < m_2 のとき (a,b,c) = (1,1,1)
・m = m_1,m_2 のとき
 (a,b,c) = (1,1,1)、(0,t1,1)、(0,1,t2) とそのrotation
 t_1,t_2 は tt - (1+√2)t + 1 = 0 の根
 t_1 = {1+√2 -√(2√2-1)}/2 = 0.531010056459569184633
 t_2 = {1+√2 +√(2√2-1)}/2 = 1.883203505913525864169

555132人目の素数さん2018/05/06(日) 01:42:47.04ID:KhrVKVJy
>>549 
〔問題18〕
 (a+b)√{(c+b)(c+a)} ≧ (a+b)(c+√ab) ≧ (a+b)c + 2ab,

>>521 >>525  (C3) [16] と同じ。

556132人目の素数さん2018/05/07(月) 23:55:33.94ID:LPTyY7qu
〔問題〕
自然数nに対して

(1) C[2n,n] = (2n)! / (n!)^2 ≧ 4^n / (2√n),

(2) C[3n,n] = (3n)! / {n!・(2n)!} ≧ (27/4)^n ・4/(9√n),

等号成立は n=1

>>512 >>513
Janos Suranyi の不等式と云うらしい…

557132人目の素数さん2018/05/08(火) 00:30:20.27ID:rSTdfkqz
>>556

(1) は >>474 >>476 >>495 と同様

(2) もnについての帰納法で

C[3n+3,n+1] / C[3n,n] = {(3n+1)(3n+2)(3n+3)}/{(2n+1)(2n+2)(n+1)}
= (27/4) {(n+1/3)(n+2/3)} / {(n+1/2)(n+1)}
= (27/4) (N + 2/9) / {(n+1/2)(n+1)}    ← N=n(n+1) とおいた。
> (27/4) (N + 1/8) / {(n+1/2)(n+1)}
≧ (27/4) √{N(N+1/4)} / {(n+1/2)(n+1)}
= (27/4) (n+1/2)√{n(n+1)} / {(n+1/2)(n+1)}
= (27/4) √{n/(n+1)},
により成立

558◆2VB8wsVUoo 2018/05/08(火) 12:23:26.09ID:FpEjvdxJ

559◆2VB8wsVUoo 2018/05/08(火) 12:23:45.98ID:FpEjvdxJ

560◆2VB8wsVUoo 2018/05/08(火) 12:24:05.04ID:FpEjvdxJ

561◆2VB8wsVUoo 2018/05/08(火) 12:24:26.08ID:FpEjvdxJ

562◆2VB8wsVUoo 2018/05/08(火) 12:24:45.97ID:FpEjvdxJ

563◆2VB8wsVUoo 2018/05/08(火) 12:25:05.95ID:FpEjvdxJ

564◆2VB8wsVUoo 2018/05/08(火) 12:25:25.76ID:FpEjvdxJ

565◆2VB8wsVUoo 2018/05/08(火) 12:25:45.88ID:FpEjvdxJ

566◆2VB8wsVUoo 2018/05/08(火) 12:26:08.46ID:FpEjvdxJ

567◆2VB8wsVUoo 2018/05/08(火) 12:26:32.09ID:FpEjvdxJ

568132人目の素数さん2018/05/08(火) 18:14:59.57ID:rSTdfkqz
>>556 の系

C[3n,2n] ≧ 4/(9√n)・(27/4)^n,

C[3n-1,2n-1] = (2/3)C[3n,2n] ≧ (2/√n)・(27/4)^(n-1),

569132人目の素数さん2018/05/12(土) 19:38:44.22ID:a2jXMLKH
x^2 + y^2 + z^2 ≧ xy + yz + zx + (3/4)*(x-y)^2

これって既出だっけ?

570132人目の素数さん2018/05/12(土) 22:48:16.65ID:ERQyPxVg
>>569 [42]

(xx+yy+zz) - (xy+yz+zx) = (3/4)(x-y)^2+(1/4)(x+y-2z)^2,

でござる。

571132人目の素数さん2018/05/19(土) 05:31:14.93ID:xhdfIuy0
>>549

〔問題8〕の解答

h(x) = e^(-Lx) ∫[0,x] f(t)dt とおくと題意により
 h(x) ≧ 0 = h(0)   …… (1)
また h(x) は(0,1) 上で微分可能で
 h '(x) ≦ 0,
∴ h(x) = h(0) + ∫[0,x] h '(t)dt ≦ h(0)  …… (2)
(1) (2) により [0,1] 上で h(x) = h(0) = 0 が成り立つ。
したがって、[0,1] 上のすべての実数xにおいて
 0 ≦ f(x) ≦ L ∫[0,x] f(t)dt = 0,
より、f(x) = 0 である。   ■

http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai8.php

572132人目の素数さん2018/05/19(土) 07:16:34.16ID:xhdfIuy0
>>549

〔問題12〕の解答

(左側)
 任意の正の整数mに対し、
 log(m!) = Σ[L=1,m-1] log(L+1) ≧ Σ[L=1,m-1] ∫[L,L+1] log(t)dt = ∫[1,m] log(t)dt = m{log(m) -1} +1,
∴ log(m) - 1 ≦ (1/m)log(m!)

(右側)
実数xに対し、x以下の最大の整数を [x] で表わす。
また、0でない整数nと素数pに対し、v_p(n) で、nの素因数分解に現れるpの回数を表わすものとする。
ここで、m! はm以下の素数しか素因数に持たないので、
 log(m!) = Σ[i=1,k] v_pi(m!) log(p_i)
と表わされる。ここで、
 v_p(m!) < m/(p-1)
が分かるのでこれを上の式と組み合わせて
 (1/m)log(m!) < Σ[i=1,k] log(p_i)/(p_i -1)
が示された。(終)

http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai12.php

573132人目の素数さん2018/05/19(土) 07:59:43.93ID:xhdfIuy0
>>549

〔問題32〕の解答

(a_{k+1})^2 / a_k ≧ 2k・a_{k+1} - kk・a_k,
辺々たして
Σ[k=1,n-1] (a_{k+1})^2 / a_k ≧ Σ[k=2,n] 2(k-1) a_k - Σ[k=1,n-1] kk・a_k
 = nn・a_n - Σ[k=1,n] a_k - Σ[k=1,n] (k-1)^2・a_k
 = nn・a_n - 1 - Σ[k=1,n] (k-1)^2・a_k
を導く。等号成立条件は、各 k=1,2,…,n-1 で a_{k+1} = k・a_k である場合だから、すべての i=1,2,…,n に対し
 a_i = (i-1)! /{Σ[k=1,n] (k-1)!}
が成立することである。

http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai32.php

574132人目の素数さん2018/05/20(日) 11:07:45.50ID:TfngVWLR
(a^2 + b^2 + c^2)^2 - (ab+bc+ca)^2 ≧ (√6)(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)

575132人目の素数さん2018/05/20(日) 11:34:45.57ID:TfngVWLR
botの192って画像がないな

576132人目の素数さん2018/05/20(日) 18:26:26.97ID:1IiDnvUy
>>575 [192]

任意の実数a,b,cに対し、
(a-b)(a-c)(aa-bc)^2 + (b-c)(b-a)(bb-ca)^2 + (c-a)(c-b)(cc-ab)^2 ≧ 0,
を示せ。

 //www.casphy.com/bbs/highmath/不等式2-188 (じゅー)

577132人目の素数さん2018/05/20(日) 18:37:09.27ID:1IiDnvUy
>>574 [104]

s = a+b+c,t = ab+bc+ca,u = abc, = (a-b)(b-c)(c-a) とおく。
ss-3t≧0,
(左辺) = (ss-2t)^2 -tt
 = (ss-t)(ss-3t)
 = (1/3){2ss + (ss-3t)}(ss-3t)
 ≧ {(2√2)/3}|s|(ss-3t)^(3/2),
 ≧ (√6)|s處,
∵ 4(ss-3t)^3 = 27刧 + {(a+b-2c)(b+c-2a)(c+a-2b)}^2 ≧ 27刧,
等号成立は等間隔かつ ss+3t = 0 より{1-√6,1,1+√6}

http://www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式2-197

578132人目の素数さん2018/05/20(日) 19:27:29.09ID:1IiDnvUy
>>572 (右側) 補足

自然数nと素数pに対し、v_p(n) で、nの素因数分解に現れるpの回数を表わすものとする。
 v_pi(m!) = [ m/p ]+ [ m/p^2 ] + [ m/p^3 ] + … + [ m/p^d ]
ここに、d = [ log(n)/log(p) ].

これもルジャンドルの定理と云うらしい。
http://mathtrain.jp/legendretheorem

〔補題12〕
 v_p(m!) < m/(p-1)

(略証)
d = [ log(n)/log(p) ] とおくと
 v_pi(m!) ≦ m/p + m/p^2 + m/p^3 + … + m/p^d < m/(p-1),

579132人目の素数さん2018/05/20(日) 20:56:05.37ID:TfngVWLR
a, b, c > 0 に対して、a/(b+c) + 20b/(c+a) + 17c/(a+b) > 8

best possible かどうか分からん

580132人目の素数さん2018/05/20(日) 20:57:26.68ID:TfngVWLR

581132人目の素数さん2018/05/21(月) 00:35:23.92ID:2xKr+/2q
B. 4931.
Prove that if a, b, c are the sides of a triangle then
{a^2(b+c) + b^2(a+c)} /(abc) > 3.
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&h=201802&t=mat&l=en

B. 4925.
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&h=201801&t=mat&l=en

B. 4953.
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&h=201804&t=mat&l=en

P.1, Problem 1.
https://archives.ust.hk/dspace/bitstream/9999/46212/1/math-02a-a109.pdf

582132人目の素数さん2018/05/21(月) 04:03:40.39ID:9YF4F+CN
>>581

B.4925 (改) (KoMaL,h=201801)
 0<a<n のとき
 a/{a^(n+1) + (n-a)} ≦ 1/n

(略解)
 a^(n+1) -(n+1)a + n
 = (a-1){a^n + a^(n-1) + … + a -n}
 = Σ[k=1,n] (a-1)(a^k -1)
 ≧ 0,


B.4931 (KoMaL,h=201802)
 {aa(b+c) + bb(a+c)}/abc > 3,

(略解)
 aa(b+c) + bb(a+c) = ab(a+b-c) + (a-b)^2・c + 3abc ≧ 3abc,


B.4953 (KoMaL,h=201804)
 log(n) + Σ[k=2,n] √{(k-1)/k} < Σ[k=2,n] √{k/(k-1)},

(略解)
 x>0 ⇒ x < sinh(x),
 a>1 ⇒ 2log(a) < a - 1/a,
 a = √{k/(k-1)} とおく。
 log(k) - log(k-1) < √{k/(k-1)} - √{(k-1)/k},
k=2 から k=n までたす。


Math. Excalibur,Vol.21,No.4,p.1 (2018)
Problem 1.
 a,b,c >0,a+b+c=1 のとき
 a√(2b-1) + b√(2c+1) + c√(2a+1) ≦ √{2-(aa+bb+cc)},

(略解)
関数f(x) = √x は上に凸ゆえ、Jensenで
(左辺) ≦ √{a(2b+1) + b(2c+1) + c(2a+1)}
 = √{(a+b+c) + 2(ab+bc+ca)} / (a+b+c)
 = √{1 +2(ab+bc+ca)}
 = (右辺)
等号成立は (a,b,c) = (1/3,1/3,1/3) および (1,0,0) など。

583132人目の素数さん2018/05/21(月) 15:35:20.78ID:9YF4F+CN
>>579

左辺が最小になる点では
(b+c)^2 : (c+a)^2 : (a+b)^2 = 1 : 20 : 17,
(b+c) : (c+a) : (a+b) = √1 : √20 : √17,
b+c = √1,
c+a = √20,
a+b = √17,
a = (-√1 +√20 +√17)/2,
b = (+√1 -√20 +√17)/2,
c = (+√1 +√20 -√17)/2,

(左辺) ≧ a√1 + b√20 + c√17
 = √(1・20) +√(20・17) +√(17・1) -19
 = 8.0343304952

584132人目の素数さん2018/05/21(月) 18:58:12.63ID:9YF4F+CN
>>579 >>583

b+c = A,c+a = B,a+b = C とおくと

(左辺) = 1・(B+C-A)/(2A) + 20(C+A-B)/(2B) + 17(A+B-C)/(2C)
 = (1/2)(1・B/A + 20A/B) + (1/2)(20C/B + 17B/C) +(1/2)(1・C/A + 17A/C) - (1+20+17)/2
 ≧ √(1・20) + √(20・17) + √(17・1) - 19  (← AM-GM)
等号成立は A:B:C = √1:√20:√17

585132人目の素数さん2018/05/22(火) 01:36:29.77ID:+yEhb6+c
>>583-584
す、すげぇ…

586132人目の素数さん2018/05/22(火) 05:22:53.47ID:RuE2vaj6
>>486 >>487 (3)

 文献[9] 佐藤(訳) (2013) p.48 演習問題 1.101

・p=1,q=2 の例
 文献[9] 佐藤(訳) (2013) p.48 例 1.6.7 及び p.131 問題 3.30
 チェコ-スロバキアMO-1999

587132人目の素数さん2018/05/22(火) 05:40:43.12ID:RuE2vaj6
>>575 >>576 [192]

一次式:φ(x) = (a+b+c)x−(ab+bc+ca)により、
A = φ(a) = aa-bc,
B = φ(b) = bb-ca,
C = φ(c) = cc-ab.
A - B = (a+b+c)(a-b)、etc.
i)a+b+c≠0 のとき、
 (左辺) = {AA(A-B)(A-C) + BB(B-C)(B-A) + CC(C-A)(C-B)}/(a+b+c)^2 = F_2(A、B、C)/(a+b+c)^2 ≧0、
ii)a+b+c=0 のとき、A=B=C.

 http://www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式2-188

588132人目の素数さん2018/05/22(火) 21:32:13.53ID:+yEhb6+c
一松のじっちゃんが「大学への数学2018年6月号」に不等式の記事を書いておられる。
エルデシュの不等式とか

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