不等式への招待 第9章 [無断転載禁止]©2ch.net
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>>794-798 非常に詳しくありがとうございます。一つ一つ確認しているところです。 >>741 > |s| (ss-3t) ≦ (ss-2t)^(3/2) (← GM-AM) どのように相加相乗を使っているのですか? 742-743を見て、探してみたが、意外と少なかった… ('A`)ヴォエァ! ------------------------------------------ 不等式スレ内を検索して a^3+b^3+c^3-3abc : >>29 、>>738 、>>742-743 a^3+b^3+c^3+3abc : 第5章>>269 、第2章>>372 ------------------------------------------ My Collections から (出典不明) (1) a,b,c∈Rに対して、(a^2+b^2+c^2)^3 ≧ (a^3+b^3+c^3-3abc)^2 + (ab+bc+ca)^3 (2) a,b,c≧に対して、a^3+b^3+c^3-3abc ≧ (1/4)*(a+b-2c)^3 >>28 (2), >>29 (1), [前スレ.262], [初代スレ.836-869] 「楠瀬の不等式」 出典: 数学セミナー、出題:1992年4月、解説:1992年7月 a,b,c ∈ R に対して aa+bb+cc ≧ |ab| + |bc| + |ca| ≧ |ab+bc+ca|, >>742 >>743 から | a^3+b^3+c^3 - 3abc |^2 ≦ (aa+bb+cc)^3 - |ab+bc+ca|^3. >>800 {ss, ss-3t, ss-3t} はいずれも非負。 AM = ss-2t, GM = {s(ss-3t)}^(2/3). (x_1+…+x_n)/n=xとするとき、 (Σ(x_k-x)^3)^2 と (Σ(x_k-x)^2)^3 の大小について何か言えますか? Σはk=1からnまでの和です。 >>803 (x_1 + x_2 + … + x_n) /n = A とおくとき、 ( Σ[j=1,n] (x_j - A)^3 )^2 / ( Σ[k=1,n] (x_k - A)^2 )^3 ≦ (n-2)^2 /n(n-1) < 1, 等号成立は {a,…,a, b} など。 >>801 (1) は >>609 (2), >>742 と同じでつね。 >>802 (中) の方がチョト強い。 >>803 n=3 のとき {(x-A)^2 + (y-A)^2 + (z-A)^2}^3 - 6{(x-A)^3 + (y-A)^3 + (z-A)^3} = 2{(x-y)(y-z)(z-x)}^2 + (x+y+z-3A){……} (略証) (x-A)^3 + (y-A)^3 + (z-A)^3 = 3(x-A)(y-A)(z-A) + (x+y+z-3A){……} = 3(x-A)(y-A)(z-A), より {(x-A)^2 + (y-A)^2 + (z-A)^2}^3 - 6{(x-A)^3 + (y-A)^3 + (z-A)^3} = 2{(x-y)(y-z)(z-x)}^2 + (x+y+z-3A){ …… } ≧ 0, >>805 むむむ… ところで、ちょっと作ったんだけど、係数はこれが最善かな? a,b,c∈R に対して、(a^2+b^2+c^2)^3 ≧ (27/16)*{(a-b)(b-c)(c-a)}^2. >>806 … 2 ぢゃね? >>791 (疑問4・下) >>609 (3) >>802 〔楠瀬の不等式〕 x,y,z ≧ 0 のとき x^3 + y^3 + z^3 -3xyz = (x+y+z)(xx+yy+zz-xy-yz-zx) ≧ A|(x-y)(y-z)(z-x)|, ここに A = √(9+6√3) = √{(3/2)√3}(1+√3) = 4.403669475 (略証) (左辺) - (右辺) = (x^3 +y^3 +z^3 -3xyz) - A|(x-y)(y-z)(z-x)| = (1/2)(x+y+z){(x-y)^2 +(y-z)^2 +(z-x)^2} - A|(x-y)(y-z)(z-x)|, x,y,z の間隔を固定して一斉に動かしても、{ … } 内と右辺は変わらない。 最小元が 0 のときに成り立てばよい。 以下 z=0 とする。 (左辺) - (右辺) = x^3 -A xy|x-y| +y^3, ・0≦x≦y のとき x^3 + A xy(x-y) + y^3 = (x + y/αα)(x-αy)^2, α = {(1+√3) - √(2√3)}/2 = 0.43542054468234 1/αα = (1+√3) + A/√3 = 5.27451056440629 ・0≦y≦x のとき x^3 - Axy(x-y) + y^3 = (x + y/ββ)(x-βy)^2 β = {(1+√3) + √(2√3)}/2 = 2.29663026289 1/ββ = (1+√3) - A/√3 = 0.18959105073 αβ = 1, a,b,c∈R に対して、(a^2+b^2+c^2)^3 ≧ k(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) k = 27/8 が限界かと思うけど、2になりますかね? >>806 >>807 (略証) bはaとcの中間にあるとしてよい。 0 ≦ (a-b)(b-c) ≦ (1/4)(a-c)^2, ∴ aa+cc = (1/2)(a+c)^2 + (1/2)(a-c)^2 ≧ (1/2)(a-c)^2, ∴ (aa+cc)^3 ≧ (1/8)(a-c)^6 ≧ 2(a-c)^2 {(a-b)(b-c)}^2 = 2刧, >>609 (3), >>612 より再録 >>805 (x-A) + (y-A) + (z-A) = 0, x-A と y-A が同符号のとき (z-A)^2 = {(x-A) + (y-A)}^2 ≧ 4|(x-A)(y-A)|, より (x-A)^2 + (y-A)^2 + (z-A)^2 = (1/2)(x+y-2A)^2 + (1/2)(x-y)^2 + (z-A)^2 = (3/2)(z-A)^2 + (1/2)(x-y)^2 ≧ (3/2)(z-A)^2, {(x-A)^2 + (y-A)^2 + (z-A)^2}^3 ≧ (27/8)(z-A)^6 ≧ 6{3(x-A)(y-A)(z-A)}^2 >>809 k = 27/8 ですね。 A,B,C≧0 より (左辺) - (右辺) = (A+B+C)^3 -(27/8)(A+B)(B+C)(C+A) = S^3 - (27/8)(ST-U) = (S^3 -4ST +9U) + (5/8)(ST-9U) ≧ 0, >>802 > a,b,c ∈ R に対して > aa+bb+cc ≧ |ab| + |bc| + |ca| ≧ |ab+bc+ca|, > >>742 >>743 から > | a^3+b^3+c^3 - 3abc |^2 ≦ (aa+bb+cc)^3 - |ab+bc+ca|^3. 下の2行が分かりませぬ…。 >>>812 ab+bc+ca ≧ 0 のときは >>742 から明らか。 ab+bc+ca ≦ 0 のときは (7/9) >>742 + (2/9) >>743 より (a^3+b^3+c^3 -3abc)^2 ≦ (aa+bb+cc)^3 + (ab+bc+ca)^3. >>815 SP.172 Prove that for any real numbers x,y,z: (x+y+z)(y+z-x)(z+x-y)(x+y-z) ≦ (2yz)^2. SP.173 Prove that for any positive real numbers x,y,z: {xx√(yy+zz) + yy√(zz+xx) + zz√(xx+yy)} / (x^3+y^3+z^3) ≦ √2. SP.174 Prove that for any positive real numbers a,b,c,x,y,z: (a^3+x^3+x^3+x^3)(y^3+b^3+y^3+y^3)(z^3+z^3+c^3+z^3) ≧ (ayz+bzx+cxy+xyz)^3. SP.179 (改) If x ∈ [0,1) then: 1/2 < cos(x) ≦ 1 ≦ arcsin(x) + e^(-x). UP.177 If x,y,z,t >1 then: {log(x)/log(ztx)} {log(y)/log(txy)} {log(z)/log(xyz)} {log(t)/log(yzt)} < 1/16. >>815 解答作りますた。 SP.172 (x+y+z)(y+z-x) = (y+z)^2 -xx = 2yz - (xx-yy-zz), (z+x-y)(x+y-z) = xx - (y-z)^2 = 2yz + (xx-yy-zz), 辺々掛ける。 (左辺) = (2yz)^2 - (xx-yy-zz)^2 ≦ (2yz)^2, (*) x,y,z がΔの3辺の場合は、Δの面積が2辺の積の半分以下であることを表わす。 SP.173 (左辺)^2 ≦ 3x^4・(yy+zz) + 3y^4・(zz+xx) + 3z^4・(xx+yy) = x^3・{3(xyy + xzz)} + y^3・{3(yzz + yxx)} + z^3・{3(zxx + zyy)} ≦ x^3・{(x^3+y^3+y^3) + (x^3+z^3+z^3)} + y^3・{(y^3+z^3+z^3) + (y^3+x^3+x^3)} + z^3・{(z^3+x^3+x^3) + (z^3+y^3+y^3)} = 2(x^3+y^3+z^3)^2, SP.174 コーシーそのもの。 SP.179 arcsin(x) ≧ x, (0≦x<1) e^(-x) ≧ 1 - x, 辺々たす。 UP.177 X=log(x), Y=log(y), Z=log(z), T=log(t) はすべて正だから AM-GM で Z+T+X ≧ 3(ZTX)^(1/3), T+X+Y ≧ 3(TXY)^(1/3), X+Y+Z ≧ 3(XYZ)^(1/3), Y+Z+T ≧ 3(YZT)^(1/3), 辺々掛けて (Z+T+X)(T+X+Y)(X+Y+Z)(Y+Z+T) ≧ 81 XYZT, (左辺) = X/(Z+T+X)・Y/(T+X+Y)・Z/(X+Y+Z)・T/(Y+Z+T) ≦ 1/81, >>816-817 おおおーありがとうございます。蒐集が捗る! ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE (RMM 11)、解答なし http://www.ssmrmh.ro/wp-content/uploads/2018/09/11-RMM-WINTER-EDITION-2018-1.pdf JP158、JP165、SP164、SP165など、いかがでござるか? JP165の右辺を見て、毒電波を受信した。 a,b,c∈R に対して、 √{6(a^2+b^2+c^2)} ≧ √(a^2+b^2) + √(b^2+c^2) + √(c^2+a^2) ≧ 2√(a^2+b^2+c^2) --------------------------------------------- ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE って、不等式専門雑誌なん? 最新2回分には解答が公開されないっぽい。 http://www.ssmrmh.ro/category/current-issue/ --------------------------------------------- 解答のない号で、三角形がらみ(a,b,c,R,r,S,A,B,Cのみ)、シンプル、既出でないものを抽出。 ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE (RMM 12) http://www.ssmrmh.ro/wp-content/uploads/2018/09/12-RMM-SPRING-EDITION-2019-2.pdf JP173、JP179、UP171、UP175 ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE (RMM 11) http://www.ssmrmh.ro/wp-content/uploads/2018/09/11-RMM-WINTER-EDITION-2018-1.pdf JP157、UP155 ところで、JP171、JP174、JP153 などで説明なしに使われている h_a、m_a、l_a などは何を意味するのだろう? 垂線、中線、二等分線かな? 定義が分からないので、見た目がシンプルでも上のリストから外してしまったが… >>815-817 SP.173の分母を払った式 (√2)(x^3+y^3+z^3) ≧ x^2√(y^2+z^2) + y^2√(z^2+x^2) +z^2√(x^2+y^2) を見て、右辺にCSを使えば片付きそうな気がしたが、大きくなり過ぎた。 √{2(x^4+y^4+z^4)(x^2+y^2+z^2)} ≧ (√2)(x^3+y^3+z^3) ≧ x^2√(y^2+z^2) + y^2√(z^2+x^2) +z^2√(x^2+y^2) >>819 JP.158 Let a,b,c>0. Prove that: (1/a + 1/b + 1/c) + a/(bb+cc) + b/(cc+aa) + c/(aa+bb) ≧ 1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a), JP.165 (改) If a,b,c≧0 then: 4(a+b+c) ≦ (2√2){√(aa+bb) + √(bb+cc) + √(cc+aa)}, SP.164 (改) If a,b,c > 0 then: (a+b)√(aa-ab+bb) + (b+c)√(bb-bc+cc) + (c+a)√(cc-ca+aa) ≧ 2(aa+bb+cc), SP.165 (改) If a,b,c ≧0 then: (a+b)√(aa+bb) + (b+c)√(bb+cc) + (c+a)√(cc+aa) ≧ (1/√2){(aa+bb+cc) + (a+b+c)^2}, >>819 >>823 JP.165 (改) x+y ≦ √{2(xx+yy)} より 4(a+b+c) ≦ (2√2){√(aa+bb) + √(bb+cc) + √(cc+aa)}, SP.164 (改) コーシーより (x+y)√(xx-xy+yy) = √{(x+y)(x^3+y^3)} ≧ xx + yy, (略証) (x+y)^2・(xx-xy+yy) - (xx+yy)^2 = (x+y)(x^3+y^3) - (xx+yy)^2 = xy(x-y)^2 ≧0, SP.165 (改) √(xx+yy) ≧ (x+y)/√2, etc. (左辺) ≧ {(a+b)^2 + (b+c)^2 + (c+a)^2}/(√2) ≧ (√2)(aa+bb+cc+t), t = ab+bc+ca, >>819 a,b,c∈R に対して、 √{6(aa+bb+cc)} ≧ √(aa+bb) + √(bb+cc) + √(cc+aa) ≧ √{4(aa+bb+cc) + 2t} ≧ (√2)s, s = a+b+c, t = ab+bc+ca, (略証) 左側はコーシー 中は √(xx+yy)√(xx+zz) ≧ xx+xy, etc. ∵ (xx+yy)(xx+zz) - (xx+yz)^2 = {x(y-z)}^2 ≧ 0, (コーシー) 右側は aa+bb+cc ≧ t. >>820 SP.140 Let a,b,c be positive real numbers. Prove that: (b+c)/a + (c+a)/b + (a+b)/c ≧ 4(aa+bb+cc)/(ab+bc+ca) + 2(ab+bc+ca)/(aa+bb+cc) ≧ 6, >>820 >>825 SP.140 (改) (b+c)/a + (c+a)/b + (a+b)/c ≧ 4(aa+bb+cc)/(ab+bc+ca) + 2 ≧ 3(aa+bb+cc)/(ab+bc+ca) + 3(ab+bc+ca)/(aa+bb+cc) ≧ 6, (略証) s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc とおく。 (左辺) - 4(ss-2t)/t - 2 = (st-3u)/u - 4(ss-2t)/t - 2 = st/u - 4ss/t + 3 = (s/ttu)(t^3 -4stu +9uu) + (3/tt)(tt-3su) ≧ 0, >>819 >>823 >>824 SP.164 (改) より √(xx-xy+yy) > {(xx+yy)/(x+y), M_4} > M_3 > √{(xx+yy)/2} > (x+y)/2 > √(xy) > 2xy/(x+y), ここに M_r = {(x^r+y^r)/2}^(1/r) はr乗平均, M_1 = (x+y)/2, M_2 = √{(xx+yy)/2}, >>821 RMM 12 (Spring2019) JP.173 Prove that in any triangle ABC, 1/a + 1/b + 1/c ≧ √{3/(2Rr)} ≧ (√3)/R. JP.179 In acute triangle ABC the following relationship hplds: 3 ≦ sin(2A)/sin(2B) + sin(2B)/sin(2C) + sin(2C)/sin(2A) ≦ 3/{8cos(A)cos(B)cos(C)}, UP.171 Find that in any acute-angled triangle ABC the following inequality holds: min{a/(b+c), b/(c+a), c/(a+b)} ≦ {cos(A) + cos(B) + cos(C)}/3 ≦ Max{a/(b+c), b/(c+a), c/(a+b)}, UP.175 (改) In acute triangle ABC the following relationship holds: (b+c)^2/(bb+cc-aa) + (c+a)^2/(cc+aa-bb) + (a+b)^2/(aa+bb-cc) ≧ 12, 等号成立は正△のとき、だろうな… >>819 >>823 RMM 11 (Winter2018) JP.158 (訂正) Let a,b,c>0. Prove that: (1/a + 1/b + 1/c) + a/(bb+cc) + b/(cc+aa) + c/(aa+bb) ≧ 3/(a+b) + 3/(b+c) + 3/(c+a), (略証) チェビシェフしたあと、 (1/x + 1/y)/2 + (x+y)/{2(xx+yy)} - 3/(x+y) = (x+y)/(2xy) + (x+y)/{2(xx+yy)} - 3/(x+y) = (x+y)(xx+xy+yy)/{2xy(xx+yy)} - 3/(x+y) = (x-y)^2 (xx-xy+yy)/{2xy(xx+yy)(x+y)} ≧ 0, >>822 √{2(x^4+y^4+z^4)(x^2+y^2+z^2)} にCSを使うと、使い方次第で ≧ (√2)(x^3+y^3+z^3) にも ≧ x^2√(y^2+z^2) + y^2√(z^2+x^2) +z^2√(x^2+y^2) にもなるんだな。 >>822 >>829 コーシーとチェビシェフの合わせ技(?) 〔補題〕 (a,b,c) と (p,q,r) が同順序のとき √(aa+bb+cc) √(pp+qq+rr) ≧ (ap+bq+cr) ≧ (a+b+c)(p+q+r)/3 ≧ (aq+ar+bp+bq+cp+cq)/2, (a,b,c) と (p,q,r) が逆順序のとき √(aa+bb+cc) √(pp+qq+rr) ≧ (aq+qr+bp+br+cp+cq)/2 ≧ (a+b+c)(p+q+r)/3 ≧ (ap+bq+cr), z∈C が |z + 1/2| < 1/2 をみたすとき、 任意の n∈N に対して |1 + z + z^2 + … + z^n|^2 < 1. >>831 題意より、 |z| ≦ |z+1/2| + (1/2) < 1, ∴ |1-z|^2 = (1-z)(1-z~) = (3/2) - 2|z+1/2|^2 + 3|z|^2 > 1 + 3|zz| > 1 + 2|zz| + |zz|^2 = (1+|zz|)^2, ∴ |1-z| > 1 + |zz| > 1 + |z|^(n+1) ≧ |1 - z^(n+1)|. 東工大-2000 前期 Q.2 [第7章.114,116,160] Inequalitybot [183] >>831 この問題の結論の不等式って、|1 + z + z^2 + … + z^n| < 1 と書かずに、 あえて2乗にしているのは、何か意味があるのかな? >>627 (Nesbitt-Igarashi) (略証) 各辺に ab+bc+ca を掛けると コーシー型になる: {a(bb+bc+cc) + b(cc+ca+aa) + c(aa+ab+bb)} {a/(bb+bc+cc) + b/(cc+ca+aa) + c/(aa+ab+bb)} ≧ {a(b+c) + b(c+a) + c(a+b)} {a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ (a+b+c)^2, そこで ラグランジュの恒等式 (ax + by + cz)(a/x + b/y + c/z) - (a+b+c)^2 = (ab/xy)(x-y)^2 + (bc/yz)(y-z)^2 + (ca/zx)(z-x)^2, を使う。 ・左辺は x = bb + bc + cc, y = cc + ca + aa, z = aa + ab + bb, ax + by + cz = (a+b+c)(ab+bc+ca), >>621 (左辺) - (a+b+c)^2 = {a(a+b+c)/(bb+bc+cc)}{b(a+b+c)/(cc+ca+aa)}(a-b)^2 + … ・中辺は x = b + c, y = c + a, z = a + b, ax + by + cz = 2(ab+bc+ca), (中辺) - (a+b+c)^2 = {a/(b+c)}{b/(c+a)}(a-b)^2 +{b/(c+a)}{c/(a+b)}(b-c)^2 + {c/(a+b)}{a/(b+c)}(c-a)^2, ここで、 (a+b+c)/(bb+bc+cc) > (b+c)/(bb+bc+cc) > 1/(b+c), (a+b+c)/(cc+ca+aa) > (c+a)/(cc+ca+aa) > 1/(c+a), (a+b+c)/(aa+ab+bb) > (a+b)/(aa+ab+bb) > 1/(a+b), だから (左辺) ≧ (中辺). * (x,y,z) はもっと改良できるかも… >>835 * x = (b^n - c^n)/(b-c), y = (c^n - a^n)/(c-a), z = (a^n - b^n)/(a-b), とすると x-y = -(a-b) D_n /, y-z = -(b-c) D_n /, z-x = -(c-a) D_n /, ここに D_n = det{ [1,1,1] [a,b,c] [a^n,b^n,c^n] } = (a-b)(b-c)(c-a) = D_2, … Vandermonde の行列式 >>836 3文字のとき D_n = det{ [1,1,1] [a,b,c] [a^n,b^n,c^n] } = (c-b)a^n + (a-c)b^n + (b-a)c^n, 特性多項式 (λ-a)(λ-b)(λ-c) = λ^3 -s・λ^2 + tλ -u, ただし s = a+b+c,t = ab+bc+ca,u = abc, 漸化式 D_n = s・D_{n-1} - t・D_{n-2} + u・D_{n-3}, D_n/ = Σ {すべての(n-2)次積} … (n-2)個の重複組み合わせに対応 D_0 / = 0, D_1 / = 0, D_2 / = 1, D_3 / = a+b+c = s, D_4 / = aa+ab+ac+bb+bc+cc = ss-t, D_5 / = s^3 -2st +u, D_6 / = s^4 -3sst +tt +2su, D_7 / = s^5 -4s^3・t +3stt +3ssu -2tu, >>837 まづ x_1 = y_1 = z_1 = 1, x_2 = b+c,y_2 = c+a,z_2 = a+b, x_3 = bb+bc+cc,y_3 = cc+ca+aa,z_3 = aa+ab+bb, …… x_n = b^(n-1) + b^(n-2)c + …… + c^(n-1), とおく。 ラグランジュの恒等式から (ax+by+cz)(a/x + b/y + c/z) - (a+b+c)^2 = (a/x)(b/y)(x-y)^2 + (b/y)(c/z)(y-z)^2 + (c/z)(a/x)(z-x)^2 = (D_n/)^2 {(a/x_n)(b/y_n)(a-b)^2 + (b/y_n)(c/z_n)(b-c)^2 + (c/z_n)(a/x_n)(c-a)^2}, >>835 そこで (D_n/)/x_n,(D_n/)/y_n,(D_n/)/z_n がnについて単調増加であることを示そう。 F_n = x_n (D_{n+1}/) - x_{n+1} (D_n/) = {(b-a)(ab)^2 + (c-b)(bc)^2 + (a-c)(ca)^2} / = (D_{-n}/)u^n = Σ {ab,bc,ca の (n-1)次積} ≧ 0, ∴ nについて単調増加。 (D_{n+1}/) / x_{n+1} ≧ (D_n/) / x_n ≧ …… ≧ (D_2/) / x_2 = 1/(b+c), これを Nesbitt-Igarashi 列とか呼ぼう。 F_0 = 0, F_1 = 1, F_2 = t, F_3 = tt -su, F_4 = t^3 -2stu +uu, 漸化式 F_n = t F_{n-1} - su F_{n-2} + uu F_{n-3}, Nesbitt ってネビットだよな? まさかネスビットって発音するん? >>841 うーむ。 Nesbitt's inequality の英語のwikiを見てきたが、どこの国の人か分からんなあ。 ところで Nesbitt's inequality の一般化について、このスレでやったことあったっけ? 不等式ぢゃないが、次の等式を手計算で証明するのはキツそうでござるかな? (6a^2 - 4ab + 4b^2)^3 + (3b^2 + 5ab - 5a^2)^3 = (6b^2 - 4ab + 4a^2)^3 + (3a^2 + 5ab - 5b^2)^3 >>843 (6aa-4ab+4bb)^3 - (6bb-4ab+4aa)^3 = (3aa+5ab-5bb)^3 - (3bb+5ab-5aa)^3, (略証) x^3 - y^3 = (x-y)(xx+xy+yy), から (maa-nab+nbb)^3 - (naa-nab+mbb)^3 = (m-n)(a-b)(a^3+b^3) {(mm+mn+nn)(aa+ab+bb) -3(m+n)n・ab} = (a-b)(a^3+b^3) {(m^3 - n^3)(aa+ab+bb) - 3(m-n)(m+n)n・ab}, (m,n) = (6,4) (3,-5) のときは m^3 - n^3 = 152, (m-n)(m+n)n = 80, となり、相等しい。 >>844 おぉ有難い。上手にやりましたね。 それにしても、この等式を見つけ出したラマヌジャンは変態ジャン。 >>844 > = (a-b)(a^3+b^3) {(m^3 - n^3)(aa+ab+bb) - 3(m-n)(m+n)n・ab}, ここは = (a-b)(a^3+b^3) {(m^3 - n^3)(aa+ab+bb)} じゃないですか? >>843 6^3 + (-4)^3 + (-3)^3 + (-5)^3 = 0, 4^3 + (-6)^3 + 5^3 + 3^3 = 0, から推して (6aa+pab+4bb)^3 + (-4aa-pab-6bb)^3 + (-3aa+qab+5bb)^3 + (-5aa-qab+3bb)^3 = 0, と予想する。(p,q は或る定数) ab=0 のときは明らか。 6ab(aa-bb){2(5p-4q)(aa+bb) + (84+pp-4qq)ab} = 0, 5p -4q = 0, 84 +pp -4qq = 0, p = ±4, q=±5 (複号同順) (例) a = ±1,b = ±2,p=±4,q=±5 (複号同順)のとき ±{30,-36,27,-3} = ±3{10,-12,9,-1} >>847 12^3 - 10^3 = 9^3 - 1^3 = 8^3 - (-6)^3 = 728, のような珍例を「ナニワ数」と云う。…っちゅうのは冗談やけどな。 ・系列解は他にもある。 {7aa-16ab-3bb,14aa+4ab+6bb,-14aa+4ab-6bb,-7aa-16ab+3bb} (Dickson) (maa-pab-nbb)^3 + (-maa-pab+nbb)^3 = -6pab(maa-nbb)^2 -2ppp(ab)^3 m → km,n' → -kn,p' → -p/kk とすれば 6pab(maa+nbb)^2 + 2(p/kk)^3 (ab)^3 辺々たすと 2p{12mn - (1 - 1/k^6)pp}(ab)^3, 12mn - (1 - 1/k^6)pp = 0 ならば成立。 {aa-7ab+63bb,8aa-20ab-42bb,6aa+20ab-56bb,-9aa+7ab-7bb} http://www.maroon.dti.ne.jp/fermat/dioph1.html ・Fermat cubic surface とか云うらしい。 http://www.math.harvard.edu/ ~elkies/4cubes.html m^3 - n^3 = m’^3 - n’^3 のとき、 ラマヌジャン系列 (maa+pab+nbb)^3 - (naa+pab+mbb)^3 = (m-n)(a^2-b^2){(mm+mn+nn)(a^4+aabb+b^4) + 3(m+n)p ab(a^2+b^2) + 3(pp+mn) aabb} = (m^3 - n^3) (a^6 - b^6) + 3(m^2-n^2)p ab(a^4 - b^4) + 3(m-n)(pp+mn) aabb(a^2-b^2), → m^3 - n^3,(m^2-n^2)p,(m-n)(pp+mn) が等しいとき、相等しい。 (maa+qab-nbb)^3 - (naa+qab-mbb)^3 = (m-n) (a^2+b^2){(mm+mn+nn)(a^4-aabb+b^4) + 3(m+n)q b(a^2-b^2) + 3(qq-mn) aabb} = (m^3 - n^3) (a^6 + b^6) + 3(m^2-n^2)q ab(a^4 - b^4) + 3(m-n)(qq-mn) aabb(a^2 + b^2), → m^3 - n^3,(m^2-n^2)q,(m-n)(qq-mn) が等しいとき、相等しい。 〔問題2943〕 a,b,c,d,e は正の実数とする。次を示せ。 (aa+bb+cc+dd+ee)^5 ≧ 3 abcde (a+b+c+d)(b+c+d+e)(c+d+e+a)(d+e+a+b)(e+a+b+c), http://suseum.jp/gq/question/2943 (K.Chikaya) >>851 この出題者が出していた大量の不等式の問題は、もう削除されて見れないんだよな。 実に惜しいことをした。 bot.62 x,y,z∈[0,1] のとき、sqrt|x-y| + sqrt|y-z| + sqrt|z-x| の最大値 どぉやるんでせうか? (3/4)*(1 + A/H)^2 ≧ (A/G)^3 + (G/H)^3 この手の不等式が胸やけ起こしそうなくらい沢山載ってる本ないかな? >>853 [62] yはxとzの中間にあるとする。コーシーで (√|x-y| + √|y-z|)^2 ≦ (1+1) (|x-y|+|y-z|) = 2|x-z|, (左辺) ≦ (1+√2)|z-x| ≦ 1+√2, 等号は(0,1/2,1) etc. 中国MO-2012 Round2-A.3 三角形の辺長 a,b,c に対して、 Σ[cyc] (a+b-c)(b+c-a)/(c+a-b) ≧ 3(aa+bb+cc)/(a+b+c). >>856 b+c-a = x, c+a-b = y, a+b-c = z, とおく。(Ravi変換) 2a = y+z, 2b = z+x, 2c = x+y, a+b+c = x+y+z, (左辺) = xy/z + yz/x + zx/y = (xxyy+yyzz+zzxx)/xyz, (右辺) = 3(aa+bb+cc)/(a+b+c)^2 = 6(xx+yy+zz+xy+yz+zx)/{4(x+y+z)}, 4(x+y+z)(xxyy+yyzz+zzxx) - 6xyz(xx+yy+zz+xy+yz+zx) = (3x+y+z)[x(y-z)]^2 + (x+3y+z)[y(z-x)]^2 + (x+y+3z)[z(x-y)]^2 ≧ 0, かな。 Heronを使ったら、問題文はもっと見やすくなりましたな >>854 (3/4)(1 + A/H)^2 - (A/G)^3 - (G/H)^3 -1 = (1/108){(a-b)(b-c)(c-a)/abc}^2 ≧ 0, (略証) s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc, = (a-b)(b-c)(c-a), とおくと A = s/3, G = u^(1/3), H = 3u/t, A/H = st/9u, A/G = s/{3u^(1/3)}, G/H = t/{3u^(2/3)}, ゆえ (左辺) = (3/4)(1+st/9u)^2 - s^3/27u - t^3/27uu -1 = (1/108uu){(st+9u)^2 -4s^3u -4t^3 -108uu} = (1/108uu)竸2, >>859 (3/4)*(1 + A/H)^2 ≧ (A/G)^3 + (G/H)^3 + 1 3変数の場合に上式を証明しているけど、これは一般の場合にも成り立つのかな? >>854 では、右辺に +1がないのには意味があるのかな? >>860 n≧4 では不成立かも。 (1,1,1,10^4) とか (1,1,1,10^(-4)) とか… >>854 > (3/4)*(1 + A/H)^2 ≧ (A/G)^3 + (G/H)^3 これじゃの Crux Mathematicorum, P.74, 1834. http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf [2] かんどころ P.121定理6.7 は、証明ついてないようだけど、どうやればいいか分かりますか? >>860 右辺に +1 が無いと緩くなります。 2変数の場合は (3/4)(1 + A/H)^2 - (A/G)^2 - (G/H)^2 -1 = (3a+b)(a+3b){(a-b)/8ab}^2 ≧ 0, ∵ (A/G)^2 = (G/H)^2 = A/H = (a+b)^2 /4ab, 余談ですが、n変数の (A-G)/(G-H) の下限は n=2 1.0 n=3 0.90096030150908885 n=4 0.7761577683742073233 n=5 0.67617485 n=6 0.59845640 n=7 0.53716474 n=8 0.48781223 n=9 0.44727765 n=10 0.41339822 ぐらいかな。 http://suseum.jp/gq/question/2646, 2948 >>863 , >>865 A-Gと言えば、Jacobsthalくらいしか思いつかないなあ a≧b≧0, x≧y≧0 に対して、 (ax+y+c)(x+by+c)≧{(a+1)x+c}{(b+1)y+c}. >>867 あまりにもショボすぎるので、改造してみた。 a,b,c,d,x,y,z∈R, a≧d≧0, b≧c≧0, x≧y≧0 に対して、 (ax+cy+z)(bx+dy+z)≧{(a+b)x+z}{(c+d)y+z}. 後ろのzも pz+qw, rz+sw にできぬか? l三`ー 、_;:;:;:;:;:;:j;:;:;:;:;:;:_;:;:;_;:-三三三三三l l三 r=ミ''‐--‐';二,_ ̄ ,三三三彡彡l_ この感じ・・・・ lミ′  ̄ ー-'" '=ミニ彡彡/‐、ヽ l;l ,_-‐ 、 __,,.. - 、 彡彡彳、.// _______∧,、_‖ `之ヽ、, i l´ _,ィ辷ァ-、、 彡彡'r ノ/_ ______  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄'`'` ̄ 1  ̄フ/l l::. ヽこ~ ̄ 彡彳~´/  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ヽ ´ :l .l:::. 彡ィ-‐'′ ゝ、 / :. :r-、 彡′ / ィ:ヘ `ヽ:__,ィ='´ 彡;ヽ、 _,,..-‐'7 /:::::::ヽ _: :_ ヽ ィ´.}::ヽ ヽ、 _,-‐'´ { ヽ:::::::::ヘ `'ー===ー-- ' /ノ /::::::ヘ, ヽー、 できた ( ゚∀゚) ウヒョッ a,b,c,d,p,q,r,s,x,y,z.w∈R, a≧d≧0, b≧c≧0, p≧s≧0, q≧r≧0, x≧y≧0, z≧w≧0 に対して、 (ax+cy+pz+rw)(bx+dy+qz+sw)≧{(a+b)x+(p+q)z}{(c+d)y+(r+s)w}. 話を元に戻すと、>>867 を使ったAM-GMの証明 ([2] かんどころP.118)で、 1回目に>>867 を使うところは分かる。 (a_1 + a_2 + (a_3+…+a_n))(a_1 + a_2 + (a_3+…+a_n)) ≧(2a_1 + (a_3+…+a_n))(2a_2 + (a_3+…+a_n)) 2回目に>>867 を使うところ、どこが対応しているのか分からんのですが、どうなってるのですか? (2a_1 + (a_3+…+a_n))(a_1 + a_2 + (a_3+…+a_n)) ≧(3a_1 + (a_4+…+a_n))(2a_3 + (a_2+a_4+…+a_n)) 以下続けて (k*a_1+ a_{k+1}+…+a_n) と (a_1 + a_2 + (a_3+…+a_n)) に>>867 を使って 最終的に n*a_1 と S-a_1+a_k (k=2.3.…,n) になるまで続けるんだけど、そこが分かりませぬ。 >>870 >>867 を使わなくても出せるでござる。 A-S≧0,d≧0 のとき (A-d)S - A(S-d) = d(A-S) ≧ 0, ここで S = a_1 + a_2 + … + a_n, A = k・a_1 + a_{k+1} + … + a_n, (k=n のとき A=n・a_1) d = a_1 - a_k ≧ 0, とおいて {(k-1)a_1 +(a_k + … +a_n)}S - (k・a_1 +a_{k+1} + … +a_n)(S -a_1 +a_k) = (a_1 -a_k)(k・a_1 -S) ≧ 0, (k=2,3,…,n) >>866 〔Jacobsthalの不等式〕 (n-1)個の正の実数 x_1, x_2, …, x_(n-1) の相加平均をA '、相乗平均をG ' とする。 それに x_n (>0) を追加した n個組の相加平均をA_n、相乗平均をG_n とする。このとき n(A_n - G_n) ≧ (n-1)(A '-G '), …[1] (A_n/G_n)^n ≧ (A '/G ')^(n-1), …[2] (略証) A_n, G_n, x_n を A, G, x と略記する。 [1] n A - (n-1)A '= x, n G - (n-1)G '= G '{n(G/G ') - (n-1)} ≦ G '(G/G ')^n = x, (← Bernoulli) 辺々引く。 [2] A '(A/A ')^n ≧ A '{n(A/A ') - (n-1)} = n - (n-1)A '= x, (← Bernoulli) G '(G/G ')^n = x, 辺々割る。 [1] または [2] を n=1 まで繰り返すと A ≧ G が出る。 ニコニコ大百科 http://dic.nicovideo.jp/a/jacobsthal の不等式 >>871 ありがとうございます。 なるほど、>>867 を使わずにできますね。 >>871 の不等式を使って、残りも同様にしていけばいいんですね。 つまり prime132氏が新証明(?)をしたわけですな。 Guha が1967年に>>867 を繰り返し使ってAM-GMを証明した方法も知りたい。 「Guha 1967 AM-GM」をgoogleで検索して一番上に出る When Less is More: Visualizing Basic Inequalities のPP.31-32に n=4のときに、Guha's inequality を繰り返し使った例があり、 それを見ても、2回目以降にどう使っているのか分かりません。 Guha's inequality a≧0, p≧q≧0, x≧y≧0, then (px+y+a)(x+qy+a)≧((p+1)x+a)((q+1)y+a). (4A_4)^4 = (a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d) ≧ (2a+c+d)(2b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d) …(1) ≧ (3a+d)(2b+c+d)(b+2c+d)(a+b+c+d) …(2) ≧ 4a(2b+c+d)(b+2c+d)(b+c+2d) …(3) ≧ 4a(3b+d)(3c+d)(b+c+2d) …(4) ≧ 4a(4b)(3c+d)(c+3d) …(5) ≧ 4a(4b)(4c)(4d) …(6) = (4G_4)^4 と書かれているんですが、(1)は(p,q,x,y,a) = (1,1,a,b,c+d)で理解できる。 (2)〜(6)はどう適用したのか謎。 たとえば(2)で (2a+c+d)(a+b+c+d)≧(3a+d)(b+2c+d) となるには (p,q,x,y,a)に何を対応させているのか?x=a, y=c 以外が謎。 左辺第1因子の形からp=2,q=1でないといけないけど、第2因子に2がない。 (3)→(4)は (p,q,x,y,a) = (2,2,b,c,d)で (5)→(6)は (p,q,x,y,a) = (3,3,c,d,0)か。 じゃあ、残り3ヵ所は、どう適用したんだろう? (1)→(2) (2a+c+d)(a+b+c+d)≧(3a+d)(b+2c+d) (2)→(3) (3a+d)(a+b+c+d)≧(4a)(b+c+2d) (4)→(5) (3b+d)(b+c+2d)≧(4b)(c+3d) 実は使ってないってオチなのか? 本人の論文を探すしかないな。 U.C.Guha, arithmetric mean-geometric mean inequality, Mathematical Gazette, 51(1967),pp.14-146 というのは分かったけど、ネットに転がってないかな Handbook of Means and Their Inequalities, pp.101-102 を見たら、 Guhaの不等式を使った証明の数式部分が、省略している部分も含めて [2] かんどころ P.118と全く同じだった。 (1) |x|≦1, |y|≦1 (x,y∈R) に対して、 0≦ xx + yy - 2xxyy + 2xy*√{(1-xx)(1-yy)} ≦1. (2) m>n>1 (m,n∈Z) に対して、 (m+n+1)!/(m!*n!) > {(m+n)^{m+n}}/{(m^m)(n^n)} > 2^{2n-1}. (3) a,b∈C に対して、 |a+b|/(1+|a+b|) < (|a|+|b|)/(1+|a|+|b|) < |a|/(1+|a|) + |b|/(1+|b|) >>877 (1) x = sinθ, y = sinφ (-π/2≦θ,φ≦π/2) とおく。 √(1-xx) = cosθ, √(1-yy) = cosφ, x√(1-yy) + y√(1-xx) = sinθcosφ + sinφcosθ = sin(θ+φ), 両辺を2乗する。 (2)(左) log{(m+n+1)!} -(m+n)log(m+n) > (3/2)log(m+n) -(m+n) +0.8918 log(m!) - m・log(m) < (1/2)log(m) -m +1, log(n!) - n・log(n) < (1/2)log(n) -n +1, 辺々引くと log{(m+n+1)!} -log(m!) -log(n!) -(m+n)log(m+n) +m・log(m) +n・log(n) > (3/2)log(m+n) - (1/2)log(mn) - 1.1082 > (1/2)log(m+n) + (1/2)log{(m+n)^2 /4mn} + log(2) - 1.1082 ≧ (1/2)log(m+n) - 0.41505 ≧ (1/2)log(3) - 0.41505 (m+n≧3) = 0.549306 (2)(右) (m+n)^{m+n} = (m+n)^{m-n} (m+n)^{2n} ≧ m^{m-n} (4mn)^n = m^m (4n)^n, ∴ (m+n)^(m+n)/(m^m・n^n) ≧ 4^n, >>878 (3) x/(1+x) は x≧0 で単調増加 (x∈R) |a+b| ≦ |a| + |b| ∴ φ(|a+b|) ≦ φ(|a|+|b|) = |a|/(1+|a|+|b|) + |b|/(1+|a|+|b|) ≦ φ(|a|) + φ(|b|), >>879 (2) (左) 〔補題〕 log(m!) < (m+1/2) log(m) -m+1, (略証) {log(k-1) + log(k)}/2 < ∫[k-1,k] log(x)dx より log(m!) = Σ[k=2,m] log(k) < ∫[1,m] log(x)dx + (1/2)log(m) = [ x・log(x) -x ](x=1,m) + (1/2)log(m) = (m+1/2)log(m) -m +1, log(n!) < (n +1/2) log(n) -n+1, (略証) {log(k-1) + log(k)}/2 < ∫[k-1,k] log(x)dx より log(n!) = Σ[k=2,n] log(k) < ∫[1,n] log(x)dx + (1/2)log(n) = [ x・log(x) -x ](x=1,n) + (1/2)log(n) = (n+1/2)log(n) -n +1, log{(m+n+1)!} > (m+n+3/2) log{(m+n+1)!} = Σ[k=2,m+n+1] log(k) > ∫[3/2,m+n+3/2] log(x)dx = [ x・log(x) -x ](x=3/2,m+n+3/2) = (m+n+3/2) log(m+n+3/2) -(m+n) -(3/2)log(3/2) > (m+n+3/2) log(m+n) +(3/2) - (m+n) - (3/2)log(3/2) = (m+n+3/2) log(m+n) - (m+n) + 0.8918023378 >>879 (2)(左) log {(m+n+1)!} > (m+n+3/2) log(m+n) - (m+n) + 0.8918 (略証) log(k) > ∫[k-1/2,k+1/2] log(x)dx より log{(m+n+1)!} = Σ[k=2,m+n+1] log(k) > ∫[3/2,m+n+3/2] log(x)dx = [ x・log(x) -x ](x=3/2,m+n+3/2) = (m+n+3/2) log(m+n+3/2) -(m+n) -(3/2)log(3/2) > (m+n+3/2) log(m+n) +(3/2) - (m+n) - (3/2)log(3/2) = (m+n+3/2) log(m+n) - (m+n) + 0.8918023378 >>877 (1) 右辺-中辺 = [xy - √{(1-xx)(1-yy)}]^2 ≧0, 中辺-左辺 = {x√(1-yy) + y√(1-xx)}^2 ≧0. (゚∀゚ ) ノヽノ) =3 プゥ くく >>882 |x|≦1, |y|≦1の条件なんて要らなかったのでは? [2016東大] 正の実数 x に対して (1 + 1/x)^x < e < (1 + 1/x)^{x + 1/2}. a,b,c>0, a+b+c=1に対して、(1+ 1/a)(1+ 1/b)(1- 1/c) の取りうる値の範囲を求めよ。 >>865 n=4 のとき、(A-G)/(G-H) ≧ 9/16 CGMO-2011 A.4 inequalitybot [35] 〔問題168〕 a,b,c>0 のとき (aa-bc)(b+c)^r + (bb-ca)(c+a)^r + (cc-ab)(a+b)^r ≧ 0, (0<r<1) ≦ 0, (r>1, r<0) V.Cirtoaje:"Algeblaic inequalities"、1-1-7 inequalitybot [168] >>888 x = (b+c)^r, y = (c+a)^r, z = (a+b)^r, とおくと a = (y^{1/r} + z^{1/r} - x^{1/r})/2, b = (z^{1/r} + x^{1/r} - y^{1/r})/2, c = (x^{1/r} + y^{1/r} - z^{1/r})/2, aa-bc = {y^(2/r) +z^(2/r) -x^(1/r)[y^(1/r) + z^(1/r)]}/2, bb-ca = {z^(2/r) +x^(2/r) -y^(1/r)[z^(1/r) + x^(1/r)]}/2, cc-ab = {x^(2/r) +y^(2/r) -z^(1/r)[x^(1/r) + y^(1/r)]}/2, (左辺) = (aa-bc)x + (bb-ca)y + (cc-ab)z = {x^(2/r)y +xy^(2/r) -(x+y)(xy)^(1/r)}/2 + …… = (x^{1/r} - y^{1/r})(x^{1/r -1} - y^{1/r -1})xy + …… >888 訂正 〔問題168〕 a,b,c>0 のとき (aa-bc)(b+c)^r + (bb-ca)(c+a)^r + (cc-ab)(a+b)^r > 0, (r<1) < 0, (r>1) = 0, (r=1) >>885 y>0 とする。 (1 + y/2)^2 > 1+y > 1, ∴ 1/(1+y/2)^2 < 1/(1+y) < 1, 0〜y で積分すると y/(1+y/2) < log(1+y) < y, ∴ (1+y)^(1/y) < e < (1+y)^(1/y + 1/2), y=1/x とおく。 >>879 右辺は甘かったか…。 >>881 > log(k) > ∫[k-1/2,k+1/2] log(x)dx これは明らかなんですか? >>877 (1) >>882 (x+iz)(y+iw) = (xy-zw) + i(xw+yz), (xx+zz)(yy+ww) = (xy-zw)^2 + (xw+yz)^2, z=√(1-xx),w=√(1-yy) とおく。 >>892 log(k) > (1/2)log(kk-dd) = {log(k+d) + log(k-d)}/2, y=log(x) は上に凸だから、x=kでの接線より下側にある。 k-d<x<k+d かつ接線より下の台形の面積は(接線の傾きによらず)2d log(k) ∴ 2d log(k) > ∫[k-d,k+d] log(x)dx >>894 なるほど、ありがとうございます。 >>893 そんなカラクリがあったとは…。 >>880-881 log{(m+n+1)!} の評価は、log k > ∫[k-1,k] log(x)dx でもいけそうな排気ガス… >>896 無理だった。 >>881 > = (m+n+3/2) log(m+n+3/2) -(m+n) -(3/2)log(3/2) > > (m+n+3/2) log(m+n) +(3/2) - (m+n) - (3/2)log(3/2) の部分で、以下はどうやって分かるのですか? (m+n+3/2) log(m+n+3/2) > (m+n+3/2) log(m+n) + (3/2) >>897 (N+d) log(N+d) - (N+d) log(N) = -(N+d)log{N/(N+d)} = -(N+d) log{1 - d/(N+d)} ≧ -(N+d) {-d/(N+d)} = d, ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
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