不等式への招待 第７章
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>>948
1 - x^n < 1/(1+x^n) < 1 (0<x<1)
0 < 1/(1+x^n) < 1/x^n (1<x)
より、
1 - 1/(n+1) < ∫[0,1] 1/(1+x^n) dx < 1,
0 < ∫[1,∞) 1/(1+x^n) dx < 1/(n-1), >>948 (続き)
辺々たすと
n/(n+1) < ∫[0,∞) 1/(1+x^n) dx < n/(n-1),
一方、 >>937 より
1 < R_n < 1/{cos(π/n)}^(1/3), Prove that the inequality
1/√(2x) + 1/√(2y) + 2/√(x+y) + 2 ≧ 4/√(x+2) + 4/√(y+2)
holds for all pairs (x,y) of positive real numbers. >>954
f(x,y) = 1/√(2x) + 1/√(2y) + 2/√(x+y) +2 -4/√(x+2) -4/√(y+2) とおく。
x=y のときは凸性から、
f((x+y)/2, (x+y)/2) = 4/√(2x) + 4/√(2+2) - 8/√(x+2) ≧0,
となる。
f(x､y) - f((x+y)/2, (x+y)/2) ≧ 0 を示さねば... (1)
Let a, b anc c be the lengths of the sides of a triangle with inradius r.
Prove a^6 + b^6 + c^6 ≧ 5184*r^6.
(2)
Suppose that f : [0,1] → R is a differentiable function with continuous derivative and with
∫[0,1] f(x)dx = ∫[0,1] xf(x)dx = 1.
Prove that
∫[0,1] |f'(x)|^3 dx ≧ {128/(3π)}^2.
(3)
Calclate lim[x→∞] (Σ[n=1 to ∞] (x/n)^n )^(1/x).
(4)
Evaluate ∫[0, π/2] (sin x)/(1 + sqrt{sin 2x}) dx.
(5)
Calclate ∫[0,∞]∫[0,∞] (sin x * sin y * sin(x+y))/{xy(x+y)} dx dy.
(6)
Calclate Σ[n=1 to ∞] {2^(2n-1)/(2n+1)}*{(n-1)!/(2n-1)!!}^2 = π-2.
( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！ (7)
Find the greatest real number M such that the inequality
a^2 + b^2 + c^2 + 3abc ≧ M(ab + bc + ca)
holds for all nonnegative real numbers a, b, c satisfying a + b + c = 4.
(8)
Find the greatest real number M such that
(x＾2 + y^2)^3 ≧ M(x^3 + y^3)(xy - x - y)
for all real numbers x, y satisfying x + y ≧ 0.
(9)
Let a, b, c be nonnegative real numbers satisfying a^2 + b^2 + c^2 = 1. Prove that
sqrt(a + b) + sqrt(b + c) + sqrt(c + a) ≧ sqrt{ 7(a + b + c) - 3}
(10)
Prove that for all positive real numbers a, b, c satisfying a^2 + b^2 + c^2 + 2abc ≧1,
the following inequality holds:
1/a + 1/b + 1/c ≧ a/b + b/c + c/a + 2(a + b + c).
(11)
Find the greatest real number T satisfying
(x^2 + y)(x + y^2)/(x+y-1)^2 + (y^2 + z)(y + z^2)/(y+z-1)^2 + (z^2 + x)(z + x^2)/(z+x-1)^2 -2(x+y+z) ≧ T
for all real numbers x, y and z such that x+y≠1, y+z≠1, z+x≠1.
(12)
Show that for all nonnegative real numbers a, b, c satisfying a^2 +b^2 +c^2 ≦ 3 the following inequality holds:
(a + b + c)(a + b + c - abc) ≧ 2(a^2・b + b^2・c + c^2・a)
（*ﾟ∀ﾟ）=3ﾊｧﾊｧ (e^(1/π) + e^e)/2 ≧ e^(1/3)
（*ﾟ∀ﾟ）=3ﾊｧﾊｧ >>959
(左辺)>e^e/2>(e+1)/2>e^(1/2)>(右辺) Bihari?LaSalle inequality >>956 (1) コーシーで
(1+1+1)(1+1+1)(a^6 + b^6 + c^6) ≧ (aa+bb+cc)^3,
aa+bb+cc ≧ 36rr を示す。
>>956 (4) (π-2)/2,
>>959
1/π + 1/π + 1/e ≧ 1,
相加-相乗 または 凸性から
e^(1/π) + e^(1/π) + e^(1/e) ≧ 3e^(1/3), ついでに
π + π + e ＞ 9,
(π +e+e) π ＜ 27,
ππe ＜ 27, >>956 (1) コーシーで
(1+1+1)^5 (a^6 + b^6 + c^6) ≧ (a+b+c)^6,
一方、
a = r {cot(B/2) + cot(C/2)},
b = r {cot(C/2) + cot(A/2)},
c = r {cot(A/2) + cot(B/2)},
∴ a+b+c = 2r {cot(A/2) + cot(B/2) + cot(C/2)} ≧ 6r cot((A+B+C)/6) = 6r cot(π/6) =（6√3）r >>958 (7)
(a+b+c) {aa+bb+cc - M(ab+bc+ca)} + 12abc
= s(ss-2t) - Mst + 12u
= F_1(a,b,c) + (2-M)st + 3u (← Schur)
≧0,
∴ M=2 >>956 (1) >>977
(a+b+c)/2 = s とおく。
相乗-相加平均で
(s-a)(s-b)(s-c) ≦ (s/3)^3,
r = ⊿/s
= √{(s-a)(s-b)(s-c)/s} (Heron)
≦ s/(3√3)
= (a+b+c)/(6√3), >>981
【Flanders' inequality】A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、
0 < sin(A)sin(B)sin(C) ≦ {(3√3)/2π}^3 ABC ≦ (3√3)/8,
(初代スレ.668)
g(x) = log{sin(x)/x},
g '(x) = cot(x) - 1/x,
g "(x) = 1/x^2 - 1/sin(x)^2 < 0,
ゆえ、g(x) は上に凸。
【類題】A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、
-1 < cos(A)cos(B)cos(C) ≦ [1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)] ≦ 1/8,
(初代スレを参照、右：557-558,566、中：580-587) 実数 a,b,c,d が a+b+c+d=0, a^2+b^2+c^2+d^2=100 をみたすとき、a^3+b^3+c^3+d^3 のとりうる値の範囲を求めよ。 >>984
大学への数学7月号の表紙の裏の代ゼミの広告の問題（原題は最小値を求めよ） >>984
ちなみに出典は、「平成24年 第1回 東大入試プレ(文科)」らしい。 ノート整理中に見つけたが出典不明。正の数a,b,cに対して (a^b)(b^c)(c^a)≦(a^a)(b^b)(c^c) を示せ。
改造しようと思ったが、すぐには思いつかんかった。 >>988
(a^b)(b^c)(c^a) と (abc)^{(a+b+c)/3} との大小は定まるかな？ >>988
対数とってチェビシェフ
>>989
さだまさし
(a, b, c) = (1/8, 8, 64) のとき
b log(a) + c log(b) + ａ log(c) > 100 > (a+b+c)/3 log(abc), （不等式への招待 第５章 698、708より）
> a,b,c>0→a^{b+c}+b^{c+a}+c^{a+b}≧1
>
> (1) a,b,c の中に１以上のものがあるときは明らか。
>
> 次に M = Max{b+c,c+a,a+b} とおく。
>
> (2) a,b,c ≦ 1 かつ M ≦ 1 のとき
> b+c≦1, …, …
> y=x^(b+c) は xについて上に凸だから（x=1での）接線の下側にある。
> x^(b+c) ≦ 1 +(b+c)(x-1) ≦ 1 + (b+c)x,
> (1/x)^(b+c) ≧ 1/{1 + (b+c)x}, (ベルヌーイの式)
> x=1/a とおいて
> a^(b+c) ≧ a/(a+b+c),
> 循環的にたす。
>
> (3) a,b,c ≦ 1 かつ M ≧ 1 のとき
> 0 < a ≦ b,c ≦ 1 としても一般性を失わない。
> a+b, a+c ≦ b+c = M,
> (与式) ≧ b^(c+a) + c^(a+b)
> ≧ b^M + c^M
> ≧ 2･(M/2)^M (← 下に凸)
> ≧ 2(1/2) (← *)
> = 1,
>
> *) {M･log(M/2)} ' = 1 + log(M/2),
> ∴ (M/2)^M は M>2/e で単調増加。
> ∴ (M/2)^M ≧ 1/2, (M≧1)
>
> casphy - 高校数学 - 不等式 - 710～713
等号成立条件が分かりませんぬ。 そろそろ次スレ建てようと思うが、数学板はスレ落ち対策（スレが立ってすぐの時期に、一定時間書き込みが無かったら落ちる）しなくて大丈夫だっけ？ 去年たった２レスしかないスレがまだ残っているのを見ればわかるだろう >>995
さんくす。専ブラ使っていて、不等式スレ、面白スレ以外はあぼーんしているので分からなかったぜ。 a,b,c を正の定数、
x,y,z は ax+by+cz=1 をみたす実数、
min{ x/a, y/b, z/c } の最大値を求めよ。
（出典不明） >>997
x/a=X, y/b=Y, z/c=Z とおく。
X,Y,Z は aaX + bbY + ccZ = 1 をみたす実数。
(aa+bb+cc)*min{X,Y,Z} ≦ aaX + bbY + ccZ = 1,
∴ min{X,Y,Z} ≦ 1/(aa+bb+cc), >>984-987
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