不等式への招待 第７章
レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
実数 a, b, c が a^2+b^2+c^2=3 をみたすとき，a+b+c-abc の最大値は？ ￥
>前科持ち変質者と絶対出会える掲示板 [無断転載禁止]
>
>1 名前：１３２人目の素数さん 2016/11/16(水) 21:02:24.40 ID:8UX5OsVV
> 変質者前科持ちと気が触れ合える掲示板
>
>11 名前：１３２人目の素数さん ：2016/11/19(土) 08:36:12.59 ID:6KwDBI7h
> 変質者前科持ち＝増田哲也
>
>12 名前：１３２人目の素数さん ：2016/11/19(土) 09:04:39.15 ID:AZB04dZ8
> わざわざ言わんでもええ
>
>13 名前：出会える掲示板 ◆2VB8wsVUoo ：2016/11/19(土) 15:58:01.20 ID:21LrO2+x
> 絶対に…
>
> ケケケ￥
>
>14 名前：１３２人目の素数さん ：2016/11/19(土) 16:31:33.55 ID:6KwDBI7h
> 六十目前で父親逆恨みしたり掲示板逆恨みする根性の腐れっぷりは凄くて困る
> >>861
a = b = √{(5+√13)/6} = 1.197605338
c = -√{(4-√13)/3} = -0.36260572
のとき
a+b+c - abc = 2a +(aa-1)(-c)
= 2a + ((√13 -1)/6)(-c)
= 2.552675308961574826258
かな。 >>861
ついでに…
a=b=c=1 で 2（鞍点？）
a=b=0.4820872, c=1.5922260 で 2.1863542858636（極大)
a=b=0, c=√3 で √3（極小？) xi > 0,
A(n) = (x1+x2+...+xn)/n, 相加平均
G(n) = (x1･x2･...･xn)^(1/n), 相乗平均
H(n) = n/(1/x1+1/x2+...+1/xn), 調和平均
とおく。
[1] 略
[2]
A(2) + m･H(2) ≧ (1+m)G(2), m=1.0
[3]
A(3) + m･H(3) ≧ (1+m)G(3), m=0.90096030150908885
(1,1,x3) x3=0.396257004730747667698678 は 64x^3 +87x^2 -42x -1 =0 の根
[4]
A(4) + m･H(4) ≧ (1+m)G(4), m=0.7761577683742073233
(1,1,1,x4) x4=0.229929540827345357763 は 6561x^5 +18299x^4 +11210x^3 -3210x^2 -91x-1=0 の根
が成り立つか？ >>897
成り立ちます
五変数以上になると厳密な評価は難しそう >>897
(3)
A[3] + m*H[3] ≧ n*G[3]
ここで m=0.90096, n=m+1 が最適な係数
等号成立は (1, 1, 0.39625)
(4)
A[4] + m*H[4] ≧ n*G[4]
ここで m=0.77615, n=m+1 が最適な係数
等号成立は (1, 1, 1, 0.39625) または (1, 1, 4.32911, 4.32911) (4) は 0.39625 じゃなく 0.22992 ね また間違えちゃった (4) は (1, 4.34915, 4.34915, 4.34915) だ >>897
[4]
p=1.444113430416044 は x^5+3*x^4+6*x^3-6*x^2-11*x-9=0 の解
q=0.692466380367298 は 9*x^5+11*x^4+6*x^3-6*x^2-3*x-1=0 の解
等号成立は (p, p, p, 1), (q, 1, 1, 1) のとき
等号を成立させる方程式の係数と符号が反転してて面白いので載せてみた (p^4, p^4, p^4, 1), (q^4, 1, 1, 1) でした >>898-903
thx.
>>897
x_3 = t^3 とおくと、
4t^3 + 3t^2 - 3t - 1 = 0,
t = {2(√5)cosθ -1}/4 = 0.734500874964259
ただし θ = (1/3)arccos[1/(5√5)] = 0.49374463978515 >>898
n-5 は
[5]
A(5) + m･H(5) ≧ (1+m)G(5), m=0.676175
（1,1,1,1,r^5) r = 0.6897105532534071796 は 16r^7 + 23r^6 +21r^5 +10r^4 -10r^3 -6r^2 -3r -1 =0 の正根。
と予想するが... >>905
成り立つよ
一般に，等号成立はn-1 個の変数が等しいとき 最近の不等式の証明技法をまとめようかなと思ってるけど面倒でやる気が起きない >>906 のとき
ｘ = {1,1,････,t^n}
A(n) = [t^n + (n-1)] / n,
G(n) = t,
H(n) = n･t^n / [(n-1)t^n + 1]
A-G = (t-1)^2 (1/n) f(t),
G-H = (t-1)^2 {t/[(n-1)t^n + 1]} g(t),
(A-G)/(G-H) = [(n-1)t^n +1]f(t) / {nt･g(t)} ≧ m,
ここで
f(t) = [t^n -nt +(n-1)] / (t-1)^2 = t^(n-2) + 2t^(n-3) + ････ + (n-2)t + (n-1),
g(t) = [(n-1)t^n -nt^(n-1) +1] / (t-1)^2 = (n-1)t^(n-2) + (n-2)t^(n-3) + ････ +2t +1,
(A-G)/(G-H) が極小のとき、
[(n-1)^2･t^n -1]{f(t)/g(t)} + [(n-1)t^n +1]t{f(t)/g(t)} ' = 0,
[(n-1)^2･t^n -1]f(t)g(t) - [(n-1)t^n +1]t{f(t)g '(t) - f'(t)g(t)} = 0,
ここで
f(t)g(t) = Σ[k=0〜n-3] ((k+1)(k+2)(3n-3-k)/6){t^k + t^(2n-4-k)} + ((n-1)n(2n-1)/6)t^(n-2),
f(t)g '(t) - f '(t)g(t) = n･Σ[k=0〜n-4] ((k+1)(k+2)(k+3)/6){t^k + t^(2n-6-k)} + n((n-2)(n-1)n/6)t^(n-3), >>897 >>905
Sierpinskiの不等式
A(n)^(n-1)･H(n)≧G(n)^n
を使えば
A(n) + (1/(n-1))H(n) ≧ (n/(n-1)){A(n)^(n-1)･H(n)}^(1/n) ≧ (n/(n-1))G(n),
m ≧ 1/(n-1),
は簡単に出ます。
しかし掛け算すると、ｘ→（1,1,････,1,0）のとき下限値1/(n-1)に近づくので、これ以上改良できそうにない…
というワケで加減で比べてみました。 >>909
〔Sierpinskiの不等式〕
A(n+1)^n･H(n+1)/G(n+1)^(n+1) ≧ A(n)^(n-1)･H(n)/G(n)^n ≧ ･･･ ≧ A(2)H(2)/G(2)^2 = 1,
(略証)
nについての帰納法で。
n=2のとき、等号成立。
x_{n+1} = x,
A(n)=Ao, G(n)=Go, H(n)=Ho,
A(n+1)=A, G(n+1)=G, H(n+1)=H,
と略記する。
A = (n･Ao + x)/(n+1)
G^(n+1) = x･Go^n,
1/H = (n/Ho + 1/x)/(n+1),
(A^n･H)/G^(n+1) ÷ {Ao^(n-1)･Ho}/Go^n
= {A^n/Ao^(n-1)} H/(Ho･x)
≧{n･A -(n-1)Ao} H/(Ho･x)
= (Ao + nx)/(Ho + nx)
≧ 1, (← Ao≧Ho) 〔問題〕
A, B が実対称行列のとき、次を示せ。
tr｛exp(A+B)｝≦ tr｛exp(A)exp(B)},
等号成立は AB=BA のとき。
（京大RIMS元所長）荒木教授ご提出らしい。
数セミ増刊「数学の問題」第２集、日本評論社（1978) No.96 >>897 >>905 >>909
n >>1 のとき、
m 〜 {1.157*log(n) + 1.111}/(n-1),
A(n) 〜 (n-1)/n,
G(n) 〜 1/(1+m),
らしい。 >>909
〔Jacobsthalの不等式〕
(n+1)(A-G) ≧ n(Ao - Go),
(略証)
（左辺）= (n･Ao +x） -(n+1)(Go^n･x)^{1/(n+1)}
≧(n･Ao +x) - (n･Go +x)
= n(Ao - Go)
=（右辺）, >>913
(n+1)A - nAo = x = G^(n+1)/Go^n ≧ (n+1)G - nGo,
∴ (n+1)(A-G) ≧ n(Ao-Go),
同様にして
A^(n+1)/Ao^n ≧ (n+1)A - nAo = x = G^(n+1)/Go^n,
∴ (A/G)^(n+1) ≧ (Ao/Go)^n, >>912
nが10〜1000 の辺りでは
m 〜 {1.1287*log(n) + 1.2272}/(n-1),
1/H 〜 1.153*log(n),
1/x 〜 1.153n*log(n) - (n-1),
A(n) = (n-1+x)/n,
らしい。 〔問題567〕
a,b,cを和が３となる正の実数とする。このとき次を示せ。
√{b/(aa+3)} + √{c/(bb+3)} + √{a/(cc+3)} ≦ 3/2,
高校数学の質問スレPart397(c)
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1456656899/567 >>916 (注意)
1/(aa+3) + 1/(bb+3) + 1/(cc+3) ≦ 3/4,
は成り立ちません。
a = b = 0.29712745268 (*)
c = 2.40574509464
のとき、
0.761405273304
(*) 2a^3 -7a^2 +12a -3 = 0 の根
(1/6){7 + (36√58 -251)^(1/3) - (36√58 +251)^(1/3)}, >>916 (注意)
(2√b)/(a+3) + (2√c)/(b+3) + (2√a)/(c+3) ≦ 3/2,
も成り立ちません。
a = 0.818145
b = 0.823310
c = 1.358545
のとき
1.500059562452 〔問題〕
a,b,cを正の実数とするとき、次を示せ。
[2] a + √(ab) ≦ ｛(1+√2)/2}(a+b),
[3] a + √(ab) + (abc)^(1/3) ≦ (4/3)(a+b+c), a,b,c,dを正の実数とするとき、
[4] a + √(ab) + (abc)^(1/3) + (abcd)^(1/4) ≦ K(4)(a+b+c+d),
K(4) = 1.4208443854096138127 >>919-920
〔Carlemanの不等式〕（有限版）
相加-相乗平均をたした形であるが、そのままでは係数が合わない。
そこで正の係数 c_1〜c_n を掛けて
K(n)･(a1+a2+････+an) − {a1 + √(a1･a2) + ･････ + (a1･a2････an)^(1/n)}
= Σ[L=2〜n] {(c1･a1+c2･a2+･････+cL･aL)/(L･d_L) - (a1･a2･･･aL)^(1/L)},
とおく。ここに、d_L = (c1･c2･････cL)^(1/L),
a_L の係数を比べて
1/(L･dL) + 1/((L+1)d_(L+1)) + ････ + 1/(n･dn) = K/c_L,
1/((L+1)d_(L+1)) + ････ + 1/(n･dn) = K/c_(L+1),
辺々引いて
1/(L･dL) = K/c_L − K/c_(L+1),
∴ 1/c_(L+1) = 1/c_L − 1/(K･L･d_L),
により c_Lが定まる。
c_1 = 2 とおくと、
c_2 = 2K/(K-1),
c_3 = 2K/{K -1 -√((K-1)/4K)},
････
また、K(n) は 1/c_(n+1)=0 から定まる。 カレーパンマンの不等式キタ━━━┌(_Д_┌ )┐━━━！！ 〔Stirlingの公式〕
正の整数ｎについて
log(n!) ＞ (n+1/2)log(n)−ｎ＋0.8918
を示せ。 1/2 ≦x≦1、0<a≦y≦2a のとき、x/y + y/x -xy のとりうる値の範囲を求めよ。 >>924
・0＜a≦1/(2√5）のとき［3a＋1/(4a)，1/a］
最小：(x，y)＝(1/2，2a)
最大：(x，y)＝(1，a)
・1/(2√5)≦a≦1/(2√2）のとき［2√{1-(2a)^2}，1/a］
最小：(x，y)＝(2a/√{1-(2a)^2}，2a)
最大：(x，y)＝(1，a)
・1/(2√2)≦a≦1/2 のとき［1/(2a)，1/a］
最小：(x，y)＝(1，2a)
最大：(x，y)＝(1，a)
・1/2≦a のとき［1/(2a)，3a＋1/(4a)］
最小：(x，y)＝(1，2a)
最大：(x，y)＝(1/2，2a) 単位円（原点Oを中心とする半径1の円）の周上に2点 A,B がある。
∠AOB = ω の二等分線を OM とすると
∠AOM = ∠MOB = ω/2,
また、OMと反対の方向に点Cをとる。
∠OCA = θ，OC=k とおくと、
tanθ = sin(ω/2)／{k＋cos(ω/2)},
とくに k=2 のとき
tanθ = sin(ω/2)／{2＋cos(ω/2)｝< ω/6，（仁平氏による）
数セミ '17年3月号 p.44 NOTE >>928
〔補題〕
0<t<π のとき
sin(t) < 3sin(t)/{2+cos(t)} < t,
｛sin(t)，sin(t)，tan(t)｝の調和平均はｔより小さい。（B.C.Carlson)
(略証)
左側は明らか。
右側はｔで微分して
3cos(t)/{2+cos(t)}＋3{sin(t)}^2/{2+cos(t)}^2
=１−3{[1-cos(t)]/[2+cos(t)]}^2
< 1,
不等式の和書[3] p.45 の式でｘをcos(2t)とおく。
なお、相加平均はｔより大きい。（Snellius-Huygens) a,b,c≧0の時
a(a-b)(a-2b)+b(b-c)(b-2c)+c(c-a)(c-2a)≧0
を示せ >>930
a,b≧c≧0 としてもよい。
(左辺) = (a-c)(a-2b+c)^2 + b(a-b)^2 + c(b-c)^2 + c(c-a)^2 ≧ 0,
対称式ぢゃないからﾁｮﾄ面倒... a、b、c ∈[0,1] のとき、{ab(1-c)}^(1/p) + {bc(1-a)}^(1/p) + {ca(1-b)}^(1/p) ≦ 1 >>929 〔応用問題〕
１周の長さが 2π である正n角形において、外接円の半径をR、内接円の半径をrとするとき、
(1） r < 1 < R,
(2） 3／(2/R + 1/r) < (RRr)^(1/3) < 1 < (2R+r)/3,
を示せ。 >>932
p≦3/2 のとき
{ab(1-c)}^(1/p）≦｛ab(1-c)}^(2/3)
≦｛ab+b(1-c)+(1-c)a}/3 （←相乗･相加平均）
=｛1-(1-a)(1-b)+(2ab-bc-ca)}/3
≦｛1 + (2ab-bc-ca)}/3,
巡回的にたす。
p＞3 - log(4)/log(3）= 1.7381405 のとき不成立
反例 (a,b,c）=（2/3,2/3,2/3） △ABCについて次を示せ。
(tan(A/2)+tan(B/2))^(-1/2)
+(tan(B/2)+tan(C/2))^(-1/2)
+(tan(C/2)+tan(A/2))^(-1/2)
≧2+2^(-1/2) >>933
(1)
辺の長さ 2π/n,
r = π/{n･tan(π/n)} < 1,
R = π/{n･sin(π/n)} > 1, 〔問題2714〕
a,b,c,p,q,r は正の実数で、abc=1, p≧2, q≧2, r≧2 をみたすとする。
(a^p +p)(b^q +q)(c^r +r)
≧ (2+aa)(2+bb)(2+cc)
≧ (2+1/a)(2+1/b)(2+1/c)
≧ (2+√a)(2+√b)(2+√c)
≧ {2 + 1/a^(1/4)}{2 + 1/b^(1/4)}{2 + 1/c^(1/4)}
≧ {2 + a^(1/8)}{2 + b^(1/8)}{2 + c^(1/8)}
≧ ･････
≧ 27,
を示せ。（「すうじあむ」の問題を元に改作）
http://suseum.jp/gq/question/2714 正の数nと、正の実数a_1、…a_nに対し、次式をみたす実数Mの最大値を求めよ。
n・Σ[1≦k≦n] (a_1 + … + a_k)・(a_k)^2 ≧ M・(a_1 + … + a_n)^3 The positive numbers x, y satisfy the equation x^3 + y^3 = x?y. Prove that x^2 + y^2 < 1.
The positive numbers a_1,…,a_n satisfy √a_1 + … + √a_n = 1. Show that (a_1)^(a_1)・…・(a_n)^(a_n) ≧ (a_1 + … + a_n)^2.
Let 0 < x_1 < x_2 <…< x_n < 2π. Show that 納i,j=1;i≠j to n] 1/|xi?xj| + 1/{2π?|xi?xj|} ≧ (n^2/π)納k=1 to n?1] 1/k. -が?に文字化けしているな
Let 0 < x_1 < x_2 <…< x_n < 2π. Show that 納i,j=1;i≠j to n] (1/|x_i-x_j| + 1/{2π-|x_i-x_j|} ) ≧ (n^2/π)納k=1 to n-1] 1/k. >>939
n=1 のとき M_1 = 1,
n=2 のとき M_2 = 2(47-14√7)/27 = 0.73773938
2{a^3 + (a+b)bb} - M_2･(a+b)^3 = (2-M_2)･(a-tb)^2･(a+b/tt) ≧0,
t = (1+√7)/3 = 1.215250437
>>940 上
題意より xy ≧ 0,
(x-y)y ≧ 0,
xx+xy+yy = (x^3-y^3)/(x-y) = 1 - 2(y^3)/(x-y) ≦ 1, >>939
M_n は既知とし、
a_{n+1} = x,
a_1 + a_2 + ････+ a_n + x = S,
とおく。
a_1 + a_2 + ････+ a_n = S-x,
(左辺) = {M(n)/n}(S-x)^3 + Sxx = f(x),
f '(x) = -3{(M_n)/n}(S-x)^2 + 2Sx
= -3{(M_n)/n}{xx - 2(coshθ)Sx + SS} {coshθ=1+n/(3M_n) とおいた}
= -3{(M_n)/n}{x - S･e^(-θ)}(x - S･e^θ),
左辺は x = S･e^(-θ）で最小となる。このとき
S - x = S{1 - e^(-θ)},
f(S･e^(-θ)) / S^3 = {(M_n)/n}{1 - e^(-θ)}^3 + e^(-2θ)
= M_(n+1)/(n+1),
ここに、coshθ = 1 + n/(3M_n),
これにより M_{n+1} が定まる。
M = lim[n→∞] M_n = 4/9. >>939（補足）
e^(-θ) ≒ 1/(2coshθ) = 1/{2(n/3M_n + 1) = (3/2)M_n/(n+3M_n) を使って
f(S･e^(-θ)) / S^3 = (1/3)e^(-θ){2+e^(-θ)} ≒ M_n{n+(15/4)M_n}/(n+3M_n)^2
∴ M_{n+1} - M_n = M_n*(n+1){n+(15/4)M_n}/(n+3M_n)^2 - M_n = M_n*{1-(9/4)M_n}/n + O(1/nn),
1/n の係数が0に収束しないと M_n が発散してしまうから、
M = lim[n→∞] M_n = 4/9, >>940 下
k=1,2,…,n-1 とする。
Σ[i-j=k] 1/(x_i - x_j) および Σ[i-j=n-k] 1/{2π - (x_i-x_j)}
のn項について、相加-調和平均（コーシー）すると、
Σ[i-j=k] 1/(x_i - x_j) + Σ[i-j=n-k] 1/{2π - (x_i-x_j)}
≧ nn／{Σ[i-j=k] (x_i - x_j) + Σ[i-j=n-k] {2π - (x_i-x_j)}}
=（nn/2π)(1/k),
k=1,2,…,n-1 でたす。
等号成立は x_i - x_j = (2π/n)(i-j）のとき。 >>940 下（続き）
･･･ さらに、0<x<2π で f(x)が下に凸のとき
Σ[1≦j<i≦n] {f(x_i-x_j) + f(2π-x_i+x_j)} ≧ n Σ[k=1,n-1] f(2kπ/n),
f(x)が上に凸のときは、不等号が逆向き。 >>940 中
0 < a_k < 1 より
(左辺) > a_1 + a_2 + … + a_n,
1 = √a_1 + √a_2 + … + √a_n > a_1 + a_2 + … + a_n,
辺々掛ける。 >>937
R_n = ∫[0,∞) 1/(1+x^n) dx → 1 （n→∞)
(R_n)^2 - (r_n)^2 = (π/n)^2 → 0 （n→∞） For n≧2, let a_1, …, a_n be posithive real numbers. Prove
{ Π[i=1 to n] (1+a_i) }^{n-1} ≧ { Π[1≦i<j≦n] [1 + (a_i・a_j)/(a_i + a_j)] }^2 >>949
a,b>0のとき, a>ab/(a+b)だから
(1+a)(1+b)>(1+ab/(a+b))^2
これを使って終わり.
>>936も等号が成立しない気がする. >>949
a,b>0のとき、√ab ≧ ２ab/(a+b) だから
(1+a)(1+b) ≧ (1+√ab)^2≧ {1+２ab/(a+b)}^2
これを使って終わり.
等号成立は a_i = 一定 のとき。 レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
