【実験】★★誤差について語ろう★★【測定】

1チルンハウス2019/11/24(日) 23:35:02.64ID:???
大学初年度で実験が始まると、偏微分や統計学や、何やらよく分からないままに、誤差について計算することになります。
意外と、物理学科の学生でも大学初年度の実験時に誤差伝搬について、しっかり理解している人は少ないのではないでしょうか?

データ解析や測定についての本は数冊ありますが、数も少ないように思います。

皆さんのつまづきや、イメージなど、色々話し合えると良いなと思います。
私自身、感覚がつかめなくて戸惑っています。

2チルンハウス2019/11/24(日) 23:40:43.26ID:???
ではさっそく、私から話題を投入します。

最初に、(a±b)±(c±d)  b=Δa、d=Δc を考えたいと思います。

誤差伝搬の式からルートが出てくるのは知識として知っているのですが、
感覚として、どうしてもシックリきません。

(a±b)±(c±d)を考えることとは、
感覚的には、a±bの範囲に真値があるものと、c±dの範囲に真値があるものを
足すということですよね。(ここまでで間違っていたらどうしようもないですが)

それで、Xの範囲がa±bなら、Xは、a-bとa+bの間のどこかに値があります。
一番小さな値でもa-b、一番大きな値でもa+bということですよね。

このような、範囲のあるモノ同士の数値の足し算は、
一番小さな値から一番大きな値の引き算と、一番大きな値同士の足し算の
範囲に収まる・・・と思います。(ここまでの私の感覚は違っているのでしょうか?)。

この考えで行くと、a±bでの一番小さな値であるa-bと、
c±dでの一番大きな値であるc+d、を引いた値である、
a-b-c-dが最も小さく、a+b+c+dが最も大きな値であり、
この間に真値があると考えられるように思います。
(ここまでで、私の感覚は違っていますでしょうか?)

今、これをα±βの形で表示したいのですから、α−β=a-b-c-d、
α+β=a+b+c+dを解けば、α=a、β=b+c+dと書けます。

どこにも√は入ってきません。

さて、この考え方はどこら辺がまずいのでしょうか?

3チルンハウス2019/11/24(日) 23:49:00.84ID:???
次は、X±ΔX と、Y±ΔY の 積 を考えます。

積を 面積として考えると、

面積の最小値は、一番小さな数同士の積だから、(X-ΔX)(Y-ΔY)
面積の最大値は、一番大きな数同士の積だから、(X+ΔX)(Y+ΔY)である。

つまり、面積Sの取りうる範囲は、(X-ΔX)(Y-ΔY)≦S≦(X+ΔX)(Y+ΔY)となり

これをα±βの形にしたいので、α−β=小さい方、α+β=大きい方、だから
α=((X-ΔX)(Y-ΔY)+(X+ΔX)(Y+ΔY) )/2
β=((X+ΔX)(Y+ΔY)−(X-ΔX)(Y-ΔY) )/2 となる。

整理すると

(X+ΔX)(Y+ΔY) =XY+XΔY+YΔX+ΔXΔY
(X-ΔX)(Y-ΔY)=XY-XΔY-YΔX+ΔXΔY    より

α=XY+ΔXΔY
β=XΔY+YΔX  となる。

4ご冗談でしょう?名無しさん2019/11/24(日) 23:52:24.67ID:???
>>2
最大と最小の差が誤差だなんて考えはまず捨てろ
実験する上で「誤差」の範囲外のデータもとれる

542019/11/24(日) 23:54:18.64ID:???
誤差は2乗の期待値引く期待値の2乗をルートとったものだ

642019/11/24(日) 23:56:31.51ID:???
厳密には平均(期待値)との差の二乗の平均のルートやな

7チルンハウス2019/11/25(月) 00:20:06.22ID:???
>>4>>5>>6
コメントありがとうございます。

ノギスなどで測定して、a±bが得られたとして、
感覚的には、a±bの範囲に真値があるものと思っているのですが
よく考えると、本当にその範囲に真の値があるかどうかは分からなくて、
あくまでも確率の話だから難しくなるんでしょうか?

例えば高校で、2次不等式を解く時に、1<x<4 または 0<x<3 ならば
0<x<4 ってなりましたよね。

このイメージが抜けなくて。

8チルンハウス2019/11/25(月) 00:27:56.65ID:???
つまり、訂正すると
(a±b)±(c±d)を考えることとは、

a±bの範囲に真値がありそうだと確率的にいえる値と、
c±dの範囲に真値がありそうだと確率的にいえる値を 足すこと。

となりますでしょうか。

9ご冗談でしょう?名無しさん2019/11/25(月) 00:31:49.43ID:???
>>7
まぁ誤差にも種類がある
そういうノギスとかの限界的誤差はあるけど
物理的には有効数字で切るような処理でおわる(普通は)

誤差の伝播は
測定する上で起こる誤差とか

10ご冗談でしょう?名無しさん2019/11/25(月) 00:50:16.16ID:???
>>8
そうやな
その上でかんがえると
足したときの誤差は
最大が最大と最大の和
最小が最小と最小の和と
したいのはわかるがそういう値をとるのはまれで
一方が最大の誤差でももう一方が最大となるのは確率的にすごく低い
そうかんがえると単なる和や差でかけないと思われるよね

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