ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ7

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/12(日) 23:49:41.59

このスレは、ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレです
関連は、だいたい何でもありです（現代ガロア理論＆乗数イデアル関連他文学論・囲碁将棋まであります）

前スレ
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1704672583/

資料としては、まずはこれ
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/
ガロアの第一論文を読む
渡部一己著（2018.1.28）
PDF
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/galois-1.pdf?attredirects=0

＜乗数イデアル関連＞
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/785 以降ご参照
https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplier_ideal Multiplier ideal
https://mathoverflow.net/questions/142937/motivation-for-multiplier-ideal-sheaves motivation for multiplier ideal sheaves asked Sep 23, 2013 Koushik

＜層について＞
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
層 (数学)
https://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_(mathematics)
Sheaf (mathematics)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Faisceau_(math%C3%A9matiques)
Faisceau (mathématiques)

あと、テンプレ順次

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 13:07:49.13

次スレのタイトルはぜひこれでお願いします

「n×n 行列環から零因子を除けば非可換体が構成できる」

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 13:10:34.51

「n×n 行列環から零因子を除けば非可換体が構成できる」

こんな発言が便所の落書きでないと擁護する
元大学教授様がいるって本当ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 13:49:56.63

>>711-712
>フロベニウスの定理 (代数学)
>D が実数体 R 上の有限次元多元体であれば、以下の何れかが成り立つ。
>D = R
>D = C（複素数体）
>D = H（四元数体）

勝手に滑るおサルさんｗ
・下記で”結合的多元体は零因子を持たない。逆に（任意の体上の）有限次元の単位的結合多元環が多元環となる必要十分条件は、それが零因子を持たないことである。”
　とあるよｗ
・結合律を外せば？
　”さらに後に示された事実として、任意の有限次元実多元体の次元は 1, 2, 4, 8 のいずれかでなければならないことが分かっている。この事実は、ミシェル・ケルヴェアとジョン・ミルナーによってそれぞれ独立に1958年に証明された。”
　だな
・さらに、”有限次元”を外せば？
　それについては、情報は見つからなかったｗ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E5%85%83%E4%BD%93
多元体
体上の斜体、多元体または可除多元環

結合的多元体
最もよく知られる結合的な多元体の例は有限次元実多元体（つまり、実数体 R 上の多元環で、R 上のベクトル空間として次元が有限なもの）である。フロベニウスの定理によれば、そのような多元体は同型の違いを除いて三種類、実数体（一次元）・複素数体（二次元）、四元数体（四次元）しかない。

ウェダーバーンの小定理によれば D が位数有限なる多元体ならば、D は実は有限体である。
（例えば複素数体 C のような）代数閉体 K 上には、K それ自身を除けば有限次元の結合多元体は存在しない。

結合的多元体は零因子を持たない。逆に（任意の体上の）有限次元の単位的結合多元環が多元環となる必要十分条件は、それが零因子を持たないことである。

非結合的多元体
多元体において結合律の成立を課さずに、普通はより弱い結合性の条件（交代律や冪結合律など）を課したものを考えることもある。体上の多元環も参照。

実は、任意の有限次元可換実多元体の次元は 1 か 2 のいずれかであることが1940年に証明されており、ハインツ・ホップに因んでホップの定理と呼ばれる。

さらに後に示された事実として、任意の有限次元実多元体の次元は 1, 2, 4, 8 のいずれかでなければならないことが分かっている。

次元が 2, 4, 8 であるような実多元体で互いに同型でないようなものは無数に存在するが、以下のようにいうことができる。実数体上有限次元の多元体は
・それが「単位的かつ可換」（もしくは「結合的かつ可換」）ならば実数体 R または複素数体 C に同型、
・それが「非可換かつ結合的」ならば四元数体 H に同型、
・それが「非結合的だが交代的」ならば八元数体 O に同型
のいずれかでなければならない。

https://en.wikipedia.org/wiki/Division_algebra
Division algebra

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 14:05:51.57

>>711-712
おサルさん>>9
君の書いていることは、しょせん便所の落書きだわさｗｗｗ；ｐ）

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 14:27:19.31

>>722
>結合的多元体は零因子を持たない。
然り
>逆に（任意の体上の）有限次元の単位的結合多元環が多元環となる必要十分条件は、それが零因子を持たないことである。
然り

だから？行列環の乗法で存在する零因子を除きさえすればそれだけで多元体になると？

残念だが、ならねぇわ

行列Ａ、Ｂが乗法における零因子でないとして、その和Ａ＋Ｂが常に零因子でないといえる？

絶対、いえねぇわ

勝手に自爆しつづける１

元大学教授さん　あんたが必死で庇ってる碁友はこんな奴だよ

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 14:31:16.47

>>723
悪いがここを便所だと思って落書きを書き続けてる反社会人の荒らしは１、君だけ

「行列環から零因子を除けば非可換体が構成できる」
どうしても次スレを立てたいなら次のタイトルはこれでよろしく

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 14:41:00.40

>>717
>んなこたぁない
だったら
飽き飽きするほどで
何の新鮮味もないのでは？
そういうのを「陳腐な」という

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 15:14:46.23

>>726
大学1年生に教える線形代数の内容は毎度同じで
教えるほうは飽き飽きして何の新鮮味もないだろうが
それをもって教えるほうが「陳腐」といえば
学生は一気にやる気を失って
１みたいなペラッペラに軽薄な人物を生む

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 15:16:28.88

少なくとも
「行列環から零因子を除けば非可換体が構成できる」
なんてことを平気でのたまう卒業生を生む
大学の数学教育は完全に失敗といわざるを得ない

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 15:57:15.97

>>727
相手に必要な知識を与える目的でする質問と
相手の知識が不完全であることを納得させるために
する質問の区別がつかない人間を相手に
どんな質問をすればよいだろうか。

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 16:11:50.87

>>729
両者は排反ではない
例「行列Ａ、Ｂが乗法における零因子でないとして、その和Ａ＋Ｂが常に零因子でないといえる？」

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 16:14:24.23

元大学教授には１が素直に向学心あふれる人に見えるらしいが
他の多くの人は１がただネットで得た知識を振り回して
他人に対してマウントをとりたいだけの変質者だと思っている

１の云ってることに誤りがあると指摘した後の１のふるまいがそれを証明している

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 16:17:08.11

１が自分も理解できない知識を振り回すのをやめて
逆に理解できないことを質問すればいいのに
なぜそうしないのだろうと思っている

そしてみなうすうす気づいているだろうが
１が質問を全く発しない理由は
１はそもそも数学に全く興味ないから

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 16:18:50.91

元大学教授が１をひたすら擁護するのは碁友だから
要するに人を見る目がないのだろう
他人の媚び諂いを真にうけるあわれな御仁かと

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 16:56:32.02

「碁友」という言い方はあまり聞かない。
「碁敵」はよく聞くが。
もしかして最近の造語？
「碁盤斬り」はまだ見ていないが。

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 17:02:58.62

囲碁の演技指導をした奥田あやが
youtubeで
90歳の祖母も楽しめた映画だと言っていた。

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 17:03:49.27

>>734
個人的造語　囲碁は全く興味ない
そもそも勝ち負けを競うのは野蛮人のすること

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 17:07:58.22

>>733
>他人の媚び諂いを真にうけるあわれな御仁かと
あなたにとって
その言葉を本当に投げつけたい相手は
京都の北白川あたりにいるのでは？

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 17:54:33.02

>>736
>勝ち負けを競うのは野蛮人のすること
野蛮人の幸福感を忘れた文明人は不幸

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 17:58:35.75

>>688
それは20年くらい前のこと？

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 18:01:53.07

セタはいつになったら自分がバカであることに気づくの？

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 18:11:39.85

>>740
人のことがなぜそれほどまでに気になる？
それとも自演？

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 18:38:01.90

>>741
>人のことがなぜそれほどまでに気になる？

そのなぞときは
１）彼>>9が、不遇な数学科出資者で
　もっと言えば、数学科のオチコボレの最底辺の人間でｗ
　自分より下を探そうとして、突っかかるのです
２）しかし、残念ながら
　彼の能力では、私にマウントできないのです
　彼には悔しいだろうが、それが現実なのですｗ

オチコボレの分際で
人にマウトは、無理ｗ

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 18:39:33.23

>>742 誤変換訂正

１）彼>>9が、不遇な数学科出資者で
　　↓
１）彼>>9が、不遇な数学科出身者で

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 18:40:29.22

>>742 誤変換訂正追加

人にマウトは、無理ｗ
　　↓
人にマウントは、無理ｗ

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 18:49:16.69

>>685
>林海峰さん、1952年10歳の時に、台湾を訪れていた呉清源に六子で指導碁を打ってもらう機会に恵まれ、呉に才能を認められ来日した

人の養成で、出会いは大切な要素でしょうね。数学でも
モンゴメリーとフリーマン・ダイソンとの出会いから、ヒルベルト・ポリア予想になった

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%82%B4%E3%83%A1%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%AA%E3%83%89%E3%83%AA%E3%82%BA%E3%82%B3%E4%BA%88%E6%83%B3
モンゴメリー・オドリズコ予想とは、リーマンゼータ関数の自明でない零点の間隔の分布は、ガウス型ユニタリ・アンサンブル（GUE）にしたがうランダム行列の固有値の間隔の分布と統計的に同一であるとする予想
歴史
1971年、アメリカのプリンストン高等研究所のティールームで、著名な整数論研究者であったチョウラが、整数論の若手ヒュー・モンゴメリーを物理学者のフリーマン・ダイソンに紹介した。この日ここで交わされた雑談が、後に整数論の大きな流れを作る発見へとつながる。ダイソンは、当時ランダム行列GUEモデル(ガウス型ユニタリアンサンブル)の固有値対の相関関係を研究しており、その密度分布の数式をモンゴメリーに示した。モンゴメリーはリーマン・ゼータ関数の零点対の間隔分布やその一般化である相関関係を研究していたが、自分が得ていた密度関数が、ダイソンの示したGUE固有値分布の関数とそっくりであることに気づいた。これが、その後の整数論と量子力学をつなぐ端緒となった出会い、そして発見の瞬間であった。
その後1973年、モンゴメリーは翌年この発見を論文にまとめ、予想を公表した[5] を発表した。
この予想を機にゼータ関数とランダム行列の理論との関連が指摘され始め、1998年にはリーマンゼータ関数に対する平均リンデレーフ予想に関してランダム行列の理論を用いて大きな進展をもたらすなどした
https://en.wikipedia.org/wiki/Montgomery%27s_pair_correlation_conjecture

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%9D%E3%83%AA%E3%82%A2%E4%BA%88%E6%83%B3
ヒルベルト・ポリア予想
1970年代とランダム行列
ヒュー・モンゴメリーはクリティカルライン上の零点の統計的分布を研究し、ある性質を持つことを予想した。
彼は1972年にプリンストン高等研究所を訪れたとき、この結果をフリーマン・ダイソンに示した
ダイソンはランダム行列理論の基礎を築いた一人である
ダイソンは、モンゴメリーが発見した統計分布がランダムエルミート行列の固有値のペア相関分布と同一に見えることを知った。これらの分布は物理学で重要であり、例えば、原子核のエネルギー準位のように、ハミルトニアンの固有状態はある統計を満たす。引き出された結果は、リーマンゼータ函数の零点の分布とガウス型ユニタリアンサンブルから来るランダムエルミート行列の固有値との間の関係を強く裏付けていて、両方とも同じ統計に従うと現在は信じられている。このようにヒルベルト・ポリアの予想は、リーマン予想の証明には未だ至っていないが、より強固な基礎付を持っている
https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%E2%80%93P%C3%B3lya_conjecture

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 18:56:20.60

>>742
>残念ながら…私にマウントできない

「行列環から零因子を除けば非可換体が構成できる」
とか自爆してる時点で数学科の全学生が君の上にマウントしちゃってる
君、潰れてペシャンコだ

悔しいだろうが、それが現実

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 19:07:44.99

(1　 1)
(0　-1)
は零因子でない
(-1　1)
(0　 1)
も零因子でない
両者を足すと？
(0　2)
(0　0)
零因子！
これが行列環から除かれるなら加法は閉じない！　つまり群じゃな～い
したがって体どころか環ですらな～い

１　2024/5/29●去　享年●●歳

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 19:09:55.87

1を悼む
www.youtube.com/watch?v=kYCOA7ZpNfY

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 19:28:25.11

伊能忠敬の師匠の高橋至時の後輩にあたる
足立左内とロシアのエリート士官である
V.M.ヴォローニンの出会いも面白い。

ある時, 足立は「オランダ語では新暦(グレゴリオ暦)を使っているが,ロシアではどんな暦法を使っていますか」と私にたずねた。「ロシアではまだ旧暦(ユリウス暦)を使っています」と私が答えると, 彼は新暦と旧暦にはどんな相違があるか, どうしてその相違ができたか教えてくれと言った。私の説明が終わると, 彼は「その暦法(グレゴリオ暦)もまだ完全ではありません。なぜかというと, 一定の世紀ごとに再び24時間の差ができるからです」といったので, 私は彼自身がよく承知した事柄について, 私がどれくらいの理解を持っているかを試すために,こんな質問をしたのだと悟った。

日本では幾何学上の真理をどんなふうに証明するか知りたかったので, われわれは足立にこうたずねた。「日本人もわれわれと同様に,直角三角形の--と私はそれを図示した--両辺の平方の和は斜辺の平方に等しいと思っていますか」

「むろん, その通りです」と彼は答えた。「なぜです」とわれわれがたずねると, 彼は最も争いがたい方法でそれを証明した。というのはコンパスで紙上に図形を描き, 三つの正方形を切りぬき, そのうち両辺の長さから取った二つの正方形を折ったり切ったりし, それを斜辺から作った正方形の上にのせて, ぴったりとその全面積を蔽ってしまったのである。

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 20:31:37.32

訂正
ヴォロ―ニン　ーー＞ゴロヴニン

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 20:44:09.71

>>749
>「むろん, その通りです」と彼は答えた。「なぜです」とわれわれがたずねると, 彼は最も争いがたい方法でそれを証明した。というのはコンパスで紙上に図形を描き, 三つの正方形を切りぬき, そのうち両辺の長さから取った二つの正方形を折ったり切ったりし, それを斜辺から作った正方形の上にのせて, ぴったりとその全面積を蔽ってしまったのである。

なるほど、それは面白い
１）江戸末期の日本の数学レベルの高さを示すものですね
　和算系か。寺子屋で教えていたのかも
　伊能忠敬の師匠の後輩だと、三角関数（三角比？）も使いこなしていたかな
２）千葉県の佐原に、伊能忠敬の旧家が残っています
　それを本で読んで、佐原まで見に行きました
　また、56歳から一念発起で日本地図作成をはじめたことを知り、びっくりしました

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BC%8A%E8%83%BD%E5%BF%A0%E6%95%AC
伊能忠敬（いのうただたか[注釈 1]、延享2年1月11日〈1745年2月11日〉- 文化15年4月13日〈1818年5月17日〉）は、江戸時代の商人・天文学者・地理学者・測量家。通称は三郎右衛門（さぶろえもん）、勘解由（かげゆ）。字は子斉、号は東河。
寛政12年（1800年）、56歳から、文化13年（1816年）まで、17年をかけて日本全国を測量、73歳で死去[2][3]。その後は弟子たちが遺志を受け継いで『大日本沿海輿地全図』を完成させ、国土の正確な姿を明らかにした。
1883年（明治16年）、贈正四位。

伊能家に婿入り
三治郎が生まれる前の寛保2年（1742年）、下総国香取郡佐原村（現・香取市佐原）にある酒造家の伊能三郎右衛門家（以下、伊能家と）では、当主の長由（ながよし）が、妻・タミと1歳の娘・ミチを残して亡くなった。長由の死後、伊能家は長由の兄が面倒を見ていたが、その兄も翌年亡くなった。そのため伊能家は親戚の手で家業を営むことになった。

ミチが14歳になったとき、伊能家の跡取りとなるような婿をもらったが、その婿も数年後に亡くなった。そのためミチは、再び跡取りを見つけなければならなくなった[7]。

伊能家・神保家の両方の親戚である平山藤右衛門（タミの兄）は、土地改良工事の現場監督として三治郎を使ったところ、三治郎は若輩ながらも有能ぶりを発揮した。そこで三治郎を伊能家の跡取りにと薦め、親族もこれを了解した[19]。三治郎は形式的にいったん平山家の養子になり、平山家から伊能家へ婿入りさせる形でミチと結婚することになった。その際、大学頭の林鳳谷から、忠敬という名をもらった。

宝暦12年（1762年）12月8日に忠敬とミチは婚礼を行い、忠敬は正式に伊能家を継いだ。このとき忠敬は満17歳、ミチは21歳で、前の夫との間に残した3歳の男子が1人いた[20]。忠敬ははじめ通称を源六と名乗ったが、のちに三郎右衛門と改め、伊能三郎右衛門忠敬とした[20]。

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 21:07:38.27

>>718 追記
>>代数学改訂新編第2巻単行本内田老鶴圃藤原松三郎
>円分体については、上記藤原松三郎代数学第2巻のガロア理論の中にあったね

補足しておく

第十一章ガロアの方程式論
第五節圓周等分方程式
§11.26 圓周等分方程式の解法
素数pの圓周等分方程式で
P156
”ガロア群Gはp-1次の環状群*である”（ *)いまの巡回群）
とした後に
”従て之を解くには、既に§11.21で示した通り、直接にラグランジュの分解式
（ε,ω）＝ω+ε・ω^g＋ε^2 ・ω^g^2＋ε^2 ・ω^g^2＋・・・＋ε^p-2 ・ω^g^p-2
　但しεは1のp-1乗根 cos(2π/p-1)+isin(2π/p-1)
を導入すれば宜しい”と記す

gについては、すぐ上に ”pを法とした時のpの単純根(§2.31)を gとすれば・・”
との説明がある。単純根は、いまの原始根

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 21:17:44.05

>>722
補足しておく
下記のように、多元数(超複素数)が、19世紀の後半から20世紀前半に盛んに研究された
それに使われたのが行列論で、下記のように多元数が行列で表現された。ケーリー＝ディクソン構成は、有名です
詳しくは下記をば；ｐ）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E5%85%83%E6%95%B0
多元数（英: hypercomplex number; 超複素数）は、実数体上の単位的多元環の元を表す歴史的な用語である。多元数の研究は19世紀後半に現代的な群の表現論の基盤となった
歴史
19世紀には、数学の文献において四元数 (quaternion), 双複素数 (tessarine), 余四元数（英語版） (coquaternion), 双四元数（英語版） (biquaternion) および八元数 (octonion) と呼ばれる数体系が実数や複素数に加えて確立された概念となっていた。多元数 (hypercomplex number) の概念はこれらすべてを包含するものであり、またこれらを説明し分類するための指針を示唆する呼称である。

カタログ化の試みは1872年にベンジャミン・パースが著書 Linear Associative Algebra（『結合線型環』）を初版した時に始まり、それは息子のチャールズ・サンダース・パースに引き継がれた[1]。最も著しい点は、かれらが分類に有効な多元数として冪零元および冪等元を同定したことである。ケーリー＝ディクソン構成では、対合を用いて実数の体系から複素数、四元数、八元数が作り出される。フルヴィッツとフロベニウスはこのような超複素数性に限界があることを述べる定理を証明している（フルヴィッツの定理 (合成代数)（英語版）およびフロベニウスの定理 (代数学)の項を参照）。最終的に、1958年にＪ・フランク・アダムズが位相的な方法を用いて有限次元実多元体が四種類（実数体 R, 複素数体 C, 四元数体 H, 八元数体 O）に限り存在することを証明した[2]。

多元数の体系（超複素数系）の手綱をとったのは行列論であった。まず行列を用いて、実二次正方行列のような新たな多元数が供給される。すぐに、行列のパラダイムは、行列とその演算を用いて表現することでほかの多元数を説明するようになる。1907年にジョセフ・ウェダーバーン（英語版）は結合的な超複素数系は必ず行列環か行列環の直和として表現されなければならないことを示した（アルティン・ウェダーバーンの定理）。これ以降、ウェダーバーンのエディンバラ大学での修士論文タイトルにも見られるように、このような超複素数系を言い表す用語として結合多元環 (associative algebra) が用いられるようになっていった[3]。それでもなお、八元数や双曲四元数（英語版）のような非結合的な体系の表す別種の超複素数系があることに注意すべきである。

ホーキンスの説明によれば、超複素数系はリー群およびその表現論を学ぶための布石である[4]。例えば、1929年にエミー・ネーターは „Hyperkomplexe Größen und Darstellungstheorie“（『超複素数量および表現論』）を書き下ろした[5]

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/29(水) 21:30:14.54

補足：足立と高橋は麻田剛立門下

麻田剛立（あさだごうりゅう）とは、江戸時代の中期に活躍した日本の天文学者である。

幼少の頃から天体に興味を持ち、独学で天文学と医学を学び「ケプラーの第3法則」を独自に発見した。
剛立はケプラーの法則を用いて、1年近く前に「日食」の日時を予言し的中させるという偉業を成し遂げ、更に日本で最初の月面観測図を記したことで名声を高めた。

その功績から後世、月面の数あるクレーターの中に日本人名「Asada（アサダ）」と名付けられたクレーターが存在している。

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 03:38:36.32

>>752
やっと、問題に正面から向き合ったね

>素数pの圓周等分方程式で
>”ガロア群Gはp-1次の環状群*である”
>（ *)いまの巡回群）

Q.素数pの圓周等分方程式のp-1個の解がガロア群でどう巡回する？

>”従て之を解くには、直接にラグランジュの分解式
>（ε,ω）＝ω+ε・ω^g＋ε^2 ・ω^g^2＋ε^2 ・ω^g^2＋・・・＋ε^p-2 ・ω^g^p-2
>　但しεは1のp-1乗根 cos(2π/p-1)+isin(2π/p-1)
>を導入すれば宜しい”

上記の式、誤りがあるね　気づいた？

誤　（ε,ω）＝ω+ε・ω^g＋ε^2 ・ω^g^2＋ε^2 ・ω^g^2＋・・・＋ε^p-2 ・ω^g^p-2
正　（ε,ω）＝ω+ε・ω^g＋ε^2 ・ω^g^2＋ε^3 ・ω^g^3＋・・・＋ε^p-2 ・ω^g^p-2

で、Qの答え、書いてあるね

A.　ω→ω^g→ω^g^2→ω^g^3→…→ω^g^p-2→ω^g^p-1=ω

つまり、ガロア群の要素gは、解ωをω^gに置換する
言っとくけど、例えば(ω^g)^g=ω^(g*g)=ω^(g^2)　だからね
(上記のω^g^2は(ω^g)^2ではなく、ω^(g^2))

ω^(g^(p-1))=ω　は　フェルマーの小定理　g^(p-1)=1　から導ける

フェルマーの小定理
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%B0%8F%E5%AE%9A%E7%90%86

>gについては、すぐ上に
> ”pを法とした時のpの単純根を gとすれば・・”
>との説明がある。単純根は、いまの原始根

「n を法とする原始根とは、
　n を法とする既約剰余類全体が乗法に関して成す群 (Z / n Z)× が
　巡回群であるときの、その生成元のことである。」

したがって
ω,ω^g,ω^(g^2),ω^(g^3),…,ω^(g^(p-2))
は、全部異なる

指数 (初等整数論)
ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0_(%E5%88%9D%E7%AD%89%E6%95%B4%E6%95%B0%E8%AB%96)

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 03:47:03.96

さて、>>755　を踏まえた上で質問

（ε,ω）^(p-1)=（ε,ω^g）^(p-1)＝（ε,ω^(g^2)）^(p-1)＝…＝（ε,ω^(g^(p－2)）^(p-1)

を示せ

これが「方程式のガロア群が巡回群のとき、方程式の根が根号で表せる」というからくりの核心

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 04:05:22.57

>>756
（ε,ω）^(p-1)=（ε,ω^g）^(p-1)＝（ε,ω^(g^2)）^(p-1)＝…＝（ε,ω^(g^(p－2)）^(p-1)
が言えるということは
（ε,ω）^(p-1)がωに依存しない、つまり、ωは表に現れない、ということ
したがってεだけが現れる式だけで書き表せる

（ε,ω）が、εを使って表せるある数のp-1乗根として書けるならば
（ε^2,ω）,…,（ε^(p-2),ω）もみな、それぞれεを使って表せるある数のp-1乗根として書ける
（のみならず、実はそれらはみな（ε,ω）を用いて書き表せる）

（1,ω）,（ε,ω）,（ε^2,ω）,…,（ε^(p-2),ω）が求まるならば
それらから、逆線形変換（逆ヴァンデルモンド行列）によって、解
ω,ω^g,ω^(g^2),ω^(g^3),…,ω^(g^(p-2))
が全部求まる！

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 05:24:28.93

解説が以前に比べて丁寧で熱がこもっていることは評価したい

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 05:51:56.41

>>758
やる気を出して来たらそれに応えてあげるのは人として当然のことよ

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 06:49:22.12

今日はAIの話

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 07:12:29.10

>>755-759
ご苦労さまです

>誤　（ε,ω）＝ω+ε・ω^g＋ε^2 ・ω^g^2＋ε^2 ・ω^g^2＋・・・＋ε^p-2 ・ω^g^p-2
>正　（ε,ω）＝ω+ε・ω^g＋ε^2 ・ω^g^2＋ε^3 ・ω^g^3＋・・・＋ε^p-2 ・ω^g^p-2

訂正ありがとうね
”＋ε^2 ・ω^g^2”をコピーして、”＋ε^3 ・ω^g^3”を作るつもりだったのですｗ

誤　解説が以前に比べて丁寧で熱がこもっていることは評価したい
正　解説が以前に比べて丁寧で熱がこもっていること"だけ"は評価したい

(解説)
おサルさんの解説はご苦労さまだが、ハナタカしたいだけでしょw ；ｐ）
どっか種本があって、そこから転写しているだけのことだろう
それは悪いことではない。ただ、あたかも自分で考えた如く見せるのが、あさはかですね（底が見えている）

当たり前のことだが、藤原松三郎代数学第2巻の第五節圓周等分方程式は、初見ではない
いまどきの本やPDFは、探せばそれなりのものは見つかる
ただ、これは分厚本でして、記述が丁寧だ。そこが良いと思ったので、紹介した

なお、上記は便所のらくがきです
例えば
（ε,ω）＝ω+ε・ω^g＋ε^2 ・ω^g^2＋ε^3 ・ω^g^3＋・・・＋ε^p-2 ・ω^g^p-2(便所のらくがき)
　　↓
（ε,ω）＝ω+εωg＋ε2ωg2＋ε3ωg3＋・・・＋εp-2ωgp-2 (藤原松三郎)

分るかな？
（ε,ω）＝ω+ε・ω^g＋ε^2 ・ω^g^2＋ε^3 ・ω^g^3＋・・・＋ε^p-2 ・ω^g^p-2(手抜き)
　　↓
（ε,ω）＝ω+ε・ω^g＋ε^2 ・ω^(g^2)＋ε^3 ・ω^(g^3)＋・・・＋ε^(p-2) ・ω^(g^(p-2))(手抜きなし)

元のω+εωg＋ε2ωg2＋ε3ωg3＋・・・＋εp-2ωgp-2では、本当は ωgp-2 などは右肩に小さく２重の指数で表されているのです
しょせん、便所板では正規の数学記法は使えない
そこを手抜き無しで書けばかえって見にくい
便所板で、きばって数学ゴッコやることもない
気楽に書けば良いというのが、私の主義だよ
（ついでに、藤原松三郎圓周等分方程式論は150ページくらい進んだところだ。その一部をつまみ食いしているってことも忘れないようにね。細かい話を言い出せば、150ページ必要ってこと。150ページ書けば、数十スレは必要だろう）

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 07:24:08.12

>>760
>今日はAIの話

なるほど
下記ですね
AIが数学でも使われるようになるのは、時間の問題かも

https://www.nikkei.com/article/DGXZQOUD308270Q4A430C2000000/
趙治勲　私の履歴書（29）AIに抵抗感
囲碁棋士・名誉名人
2024年5月30日 2:00 [会員限定記事]日経

近年の囲碁界の最大の話題は囲碁AI（人工知能）の登場だろう。2016年3月、「アルファ碁」が韓国のトップ棋士、李世●（石の下に乙、イセドル）に4勝1敗で勝ったというニュースは囲碁界に大きな衝撃を与えた。

ボク自身は、この時の李世●（石の下に乙）の敗北は本人の油断だと思っている。半年前のバージョンを見て「これなら勝てる」と侮ってしまった。最新バージョンを研究していたらまだ負けなかったはずだ。

実際...

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%8E%E4%B8%96%E3%83%89%E3%83%AB
李世ドル
李世乭[注釈 1]（イ・セドル、1983年3月2日 - ）は韓国の元囲碁棋士。李昌鎬に次ぐ国際棋戦の優勝数回を誇り、2000年代半ばから2010年代前半における世界最強の棋士と目されている。兄は棋士・李相勲。

経歴
全羅南道新安郡の飛禽島（朝鮮語版）生まれ[1]。父に碁を教わり6歳頃から棋譜並べをしていた。1995年入段。入段後すぐに頭角を現し「不敗少年」と呼ばれた。1996年には第1回LG杯世界棋王戦の前夜祭で、曺薫鉉と公開対局し先番ジゴ。2000年、17歳の時にバッカス杯天元戦に優勝して初タイトル。

2016年、コンピュータ囲碁プログラムであるAlphaGoと対局し1勝4敗と敗れ、コンピュータ囲碁の実力が世界トップクラスの棋士に追いついたことを示した。詳細はAlphaGo対李世ドルを参照。

https://ja.wikipedia.org/wiki/AlphaGo%E5%AF%BE%E6%9D%8E%E4%B8%96%E3%83%89%E3%83%AB
AlphaGo対李世ドル

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 07:43:52.19

>>761
>訂正ありがとうね
>”＋ε^2 ・ω^g^2”をコピーして、
>”＋ε^3 ・ω^g^3”を作るつもりだったのです

単に誤りを指摘しただけで
理由は尋ねられてないんじゃね？

>解説はご苦労さまだが、ハナタカしたいだけでしょ

自分がそうだからって、みんながそうだと思ったらダメだよ

>どっか種本があって、そこから転写しているだけのことだろう

自分がそうだからって、みんながそうだと思ったらダメだよ

>それは悪いことではない。
>ただ、あたかも自分で考えた如く見せるのが、あさはかですね（底が見えている）

本を丸写ししてハナタカしてるのを見て
みんな「あさはかだなあ」と思うって
自分の身になってやっと気づいた？

それはいいことだよ

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 07:52:49.73

>>761
>当たり前のことだが、
>藤原松三郎代数学第2巻の第五節圓周等分方程式
>は、初見ではない（中略）
>ただ、これは分厚本でして、記述が丁寧だ。
>そこが良いと思ったので、紹介した

ま、言い訳はそのくらいで結構なんで
（そもそも誰も言い訳を求めてないから気にしなくていいよ）
>>756の質問
（ε,ω）^(p-1)=（ε,ω^g）^(p-1)＝（ε,ω^(g^2)）^(p-1)＝…＝（ε,ω^(g^(p－2)）^(p-1)
について、上記の本でどこに書かれてるか見つけたらここに書いてみて
国会図書館のデジタルコレクションでも見られるけど
せっかくだから、君の手で画竜点睛したほうがいいでしょ

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 07:55:06.18

>>762
李世乭の出身地の全羅南道は
百済があったところで
前方後円墳が多いことで有名

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 07:59:08.03

>>764
>君の手で画竜点睛したほうがいいでしょ
「画竜点睛」は通常「画竜点睛を欠く」という慣用句でのみ
使われる。

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 08:03:04.20

>>761
>なお、上記は便所のらくがきです
>例えば(中略)分るかな？(中略)
>元の式では、本当は右肩に小さく２重の指数で表されているのです
>しょせん、便所板では正規の数学記法は使えない
>そこを手抜き無しで書けばかえって見にくい
>便所板で、きばって数学ゴッコやることもない
>気楽に書けば良いというのが、私の主義だよ

君のコピペって「数学ゴッコ」だと思ってたけど違うの？

それから正規の数学記法にこだわるなんてDonald Knuthみたいなこといわなくていいよ
あいまいさなく他人にわからせるように書けないならどこでも書く意味ないからさ

気楽にネットライフをエンジョイしたいんなら
元教授のお爺ちゃんと囲碁板で囲碁話でもしてりゃいいんじゃないかな
それならだれも何にもいわないからさ

閑話休題

つまみぐいで結構なんで
>>756の質問
（ε,ω）^(p-1)=（ε,ω^g）^(p-1)＝（ε,ω^(g^2)）^(p-1)＝…＝（ε,ω^(g^(p－2)）^(p-1)
について、上記の本でどこに書かれてるか見つけたらここに書いてみて
いかに的確につまみぐいできるかここでは試されてるよ

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 08:05:01.71

>>766
そういうと思ったけど、ここでは彼に対する親切心で
あえて慣用句でない言い方をさせていただいた
気に障ったのなら申し訳ないが
いい加減悟らないと極楽浄土にいけないよ

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 09:01:19.14

言葉の乱れが退廃につながることを悟るべきであろう

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 09:44:33.15

>>769
言葉は常に変化するものですよ
それからつまらない言い返しはなさらなくて結構ですよ

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 10:02:42.10

>>763
>>”＋ε^2 ・ω^g^2”をコピーして、
>>”＋ε^3 ・ω^g^3”を作るつもりだったのです
>単に誤りを指摘しただけで
>理由は尋ねられてないんじゃね？

・藤原松三郎代数学第2巻のご紹介をしただけで
　この便所落書きで完結するつもりはない
　単純な転記ミスであることは自明（君もそう思ったんだろ？；ｐ）

>>解説はご苦労さまだが、ハナタカしたいだけでしょ
>自分がそうだからって、みんながそうだと思ったらダメだよ

・ふふふ「ガウスのように始めよ」by ヴェイユ（下記）
　”まもなく君たちは自分がガウスではないことを発見するだろうが、それでもよい。とにかくガウスのようにやれ”
　確かに、君はガウスではない！明らかにねｗｗｗ
・もし君が、オリジナルなことをここに書いたら、ヴェイユも喜ぶかもねｗ
　しかし、君がここに書いていることは、所詮数学者がどこかに書いてあることだ！
・もし、自分がオリジナルだと思っても、自分が学んだことを忘れているだけだよ
　悔しかったら、あんたのオリジナル論文を出してみなよ。ないでしょ！？ｗｗｗ

(参考)
http://reuler.blog108.fc2.com/blog-entry-2477.html
日々のつれづれ Author:オイラー研究所の所長(高瀬さん)
新数学人集団(SSS)の時代　ノート31　ガウスのように 2017-01-28
『月報』第3巻、第3号の記事「A.Weilに接して」にはSSSとヴェイユとの交流の模様が詳しく再現されていますので、一読してみたいと思います。
ヴェイユ
日本で本当に独創的な研究を始める人は少なかった。岩澤（健吉）はその少ないひとりだが、一方小平（邦彦）は非常によくできるにもかかわらず、私やレフシェッツ、ホッジなどの仕事を完成するようなことしか手を出さなかった。ごく最近、やっと彼自身の考えに基づく研究が出始めた。もっともっこれは岩澤が小平よりすぐれた数学者だという意味ではない。私の言いたいのは、小平のようにすばらしい数学者が、自分のアイデアを見出だすのにこんなにも遅れたことで、これはまさに驚くべきことだ。
　しかし、戦後、日本の若い人の間に、自分のアイデアを持って始めようとする者が増えてきた。特に君たちはみな高みをねらっているが、日本でこのような傾向ができたのはごく最近のことで、非常によいことだ。
　とにかくも自分のアイデアを持って始めるように。ガウスはそうだった。君たちもガウスのように始めろ。そうすればまもなく君たちは自分がガウスではないことを発見するだろうが、それでもよい。とにかくガウスのようにやれ。
　モラルを変えるのはたいへんだが、数学のやり方を変えるだけならそれほどむずかしくはないだろう。
　「ガウスのように始めよ」と、おそるべき言葉をヴェイユは3人のSSSに語り掛けました。「ガウスのように」とはどのようなことなのか、具体的なことはまだわかりません。

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 10:15:59.74

>>763
>>それは悪いことではない。
>>ただ、あたかも自分で考えた如く見せるのが、あさはかですね（底が見えている）
>本を丸写ししてハナタカしてるのを見て
>みんな「あさはかだなあ」と思うって
>自分の身になってやっと気づいた？

・何を言っているのか？
　いま、A君とB君と二人居たとする
・A君は、ある本のここに、こんなことが書いてある
　と紹介を書いた
・B君は、ある本を読んで、こんなことが書いてある
　とあたかも自分自身で考えたように紹介を書いた
・あきらかに、B君が浅はかなハナタカでしょ？
　バレないと思っているの？
　誰が見ても、B君が自分だけで考えた話でないことは見え見えで（百歩ゆずって学んだことを忘れているのかもね）
　しかも、その内容たるやちょっと調べればどこにでもある話

キツネさん、しっぽ出てますよｗｗｗ

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 10:25:46.47

>>771
>「ガウスのように始めよ」by ヴェイユ
>”まもなく君たちは自分がガウスではないことを発見するだろうが、
>それでもよい。とにかくガウスのようにやれ”

ヴェイユの発言はいろいろいわれてるけど
例えば共鳴箱云々も別に誰が一流か二流かなんていってないし
共鳴しないよりするほうがいいので、
そこは好意的に考えたほうがいいよ

「ガウスのように」というのは
「心の赴くままに」と解釈している
そして「自分がガウスではない」云々は
「心の赴くままにやったところが、
　ガウスほどいいセンスでなかった」
という意味かもしれんけどそれはそれで仕方ない

>もし君が、オリジナルなことをここに書いたら、

ラグランジュ分解式の話で別にオリジナリティは求められてないよ
ガウスがみつけたことを理解してますか？ってだけですから
理解してなかったら理解すればいいだけですけどね
アイデンティティクライシスとかいう話ではない

>君がここに書いていることは、
>所詮数学者がどこかに書いてあることだ！

どこかに書いてあることでも
理解できないよりできたほうが嬉しいじゃないですか

>もし、自分がオリジナルだと思っても、
>自分が学んだことを忘れているだけだよ

誰もそんなこといってないと思うんですが
なんでそういう風に聞こえちゃうんですかね？

>あんたのオリジナル論文を出してみなよ。ないでしょ！？

何ムキになってんの？
もしかして>>756の質問の答えが書かれてる箇所が見つからないの？
それならヒントを教えてあげるけど
第五節圓周等分方程式　§11.26 圓周等分方程式の解法
もしくはその後、ではなくて、その前だよ
第十一章ガロアの方程式論　の中だけどね

じゃ、がんばって見つけて書き写してね

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 10:40:24.74

>>772
>いま、A君とB君と二人居たとする
Aが君で、Bが僕かい？

>A君は、ある本のここに、こんなことが書いてある　と紹介を書いた
でも全然理解できてない、と

君の悪いところは引用だけしかしない点
まあ理解してないから説明できないんだろうけど
それなら引用もしないほうがいいね、ってこと

>B君は、ある本を読んで、こんなことが書いてあるとあたかも自分自身で考えたように紹介を書いた
「自分自身で考えたように」という言葉の意味が
「自分自身がはじめて思いついたように」ということなら
それは君が勝手にそうひねくれてとっただけかと思いますね

もちろん、読んで考えて理解したことを書くのだから
自分の考え（別に新しいことがあるかどうかは抜きにして）は
あるでしょうし、それが別に「オレ、すげぇんだぜ」というつもりではなく
「え？こんなことだったの？早くいってよ！」みたいなつもりかもしれんでしょ

>あきらかに、B君が浅はかなハナタカでしょ？
そうとはいえませんね
で、もし君が僕の書き込みをハナタカととるのなら、それは多分理解できてないからですよ
理解してたらそんなイラつくようなことではない筈　藤原松三郎の代数学にも書いてあるから

ところで何かについて書くときに一番ダメなのは
どこの本のどこの箇所に書いてある、とだけいうこと
書きたいなら、中身について、なにがしかの説明は必要

理解できてないからといって、文章を丸コピペするのは二番目にダメなやり方
だいたい、ピント外れの箇所をコピペしてるから
>>752はかなりいい線いってたけど　ジャストミートはしてない

はっきりいうけど、>>756－757のあたりのことも、藤原松三郎の代数学第二巻にバッチリ書いてあるよ
もし、君が理解できているのなら、ズバリその箇所を引用すればそれで万事解決

ということで、僕は君はそこを書いてくれることを待ってるんですよ
勝ちたいんでしょ？勝ってくださいよ

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 10:56:26.33

>>765
>李世乭の出身地の全羅南道は
>百済があったところで
>前方後円墳が多いことで有名

・なるほど。前方後円墳は、韓国由来かも
・ところで、李世乭さん下記韓国 ko.wikipediaによれば、13歳の時ストレスで病気になったのですね
　en.wikipedia によれば、２年くらいほとんど対局できなかったみたいです
　また en.wikipediaのLee's Broken Ladder Game（シチョウ崩れ）
　の棋譜がありますが、面白いですね
　こんなことを考えて打っているのですね；ｐ）

(参考)
https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9D%B4%EC%84%B8%EB%8F%8C
イセドル
人生
イ・セドルはチョ・フンヒョン、イ・チャンホ、チョ・ヘヨン、チェ・チョルハンに続き歴代最年少5位（12歳4ヶ月）に入団し、
その後2段になるのに3年かかった。
1999年に3段になった後に大きく活躍し始め、2000年には32連勝を収め、最優秀記事賞を受賞した。特に2002年に3段として第15回富士通船世界囲碁選手権大会で優勝し、1992年イ・チャンホが東洋証券杯優勝当時建てた最低段(5段)世界大会制覇記録を更新した。
エピソード
イセドルの声
イ・セドルは13歳の時、兄と一緒にソウルに上がって起源に入ってプロにデビューすることになったが、
その時囲碁によるストレスとタージ生活によるストレスが重なってストレス性気管支炎による失語症が来た。
イ・セドルは神経が麻痺したのだが、幼い年齢にその事実を知らなかった。
両親は新案におられ、保護者として一緒に来た兄は時々入隊して治療も受けられなかった。
それでその時、今の声に変わるようになったのだ。

https://en.wikipedia.org/wiki/Lee_Sedol
Lee Sedol
Career record
As of 2 May 2019[28][29]
Year　Won　Lost　Win %
1997　0　1　0.0%
1998　0　1　0.0%
1999　0　0　
2000　30　12　71.4%
2001　31　17　64.6%

Lee's Broken Ladder Game
This game was played between Lee Sedol and Hong Chang-sik during the 2003 KAT cup, on 23 April 2003. The game is notable for Lee's use of a broken ladder formation.

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 11:57:28.56

藤原松三郎　代数学　改訂新版　604ページある第1巻、720ページある第2巻
のような第1巻と第2巻を合わせた総ページ数が1300ページ近くある分厚い本が読めるなら、
藤原松三郎　微分積分学　改訂新版　660ページある第1巻、640ページある第2巻
の第1巻と第2巻を合わせた総ページ数が約1300ページの本の大部分を占める
実数論や微分積分の箇所は少なくとも読めるかまたは理解している筈

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 12:08:38.98

>>770
その言い返しのどこが面白いのですか？

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 12:23:39.53

>>776
今議論してることに関して言うと
第２巻の第１１章　ガロアの方程式論だけ読めばいい
これで100ページほどに縮まったｗ
さらにいうと実は全部の節を読む必要はなくて
第四節　代数的に解かれる方程式
だけ読めばいい　もうこれだけでたかだか１３ページｗ
円周等分方程式は環状方程式の一例だから
ただし実際はガウスが円周等分方程式を解く方法として
見つけたものを環状方程式に一般化したと思われる

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 12:30:40.71

>>778
端的にいえば　§11.21　環状方程式を読めばいい

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 12:36:53.92

>>770
言葉が変化するのは
誤用の積み重ねのみによるのではない

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 12:55:19.99

端的にいうと、
べき根で解ける方程式を解くのにガロア理論も群論も要らない
べき根で解けない方程式を解けないと示すのにガロア理論や群論が要る

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 13:47:45.95

>>722

>その内容たるやちょっと調べればどこにでもある話

このスレを立てた>1は「正方行列の逆行列」（数年前）と認識していた！
これは義務教育の中学数学で連立1次方程式の解を場合わけによる解法や
1次関数を理解できなかったな。
以後>1は　2-5chでディベートとヨイショしかできないからなんでもありの
コピペ専へ走ったと思われる。
また中学数学教科書の執筆には数学を深く理解した大学教授も参加していると
思うが、最近の高校数学教科書では非標準的数学を唱えディベート好きな元大学教授が執筆している場合があるから注意が必要だろう

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 14:18:54.68

「正方行列の逆行列」から「n×n 行列環から零因子を除けば、非可換体が構成できる」は振れ幅大きすぎ

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 16:43:15.46

群論は非標準的ではない

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 17:30:00.80

>>753 つづき

前振りで、資料を貼りますね（＾＾

//ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%AD%E3%83%99%E3%83%8B%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86_(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
フロベニウスの定理とは、実数体上の有限次元の結合的多元体を特徴付ける定理であって、ドイツの数学者フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスによって1877年に証明された。この定理は、可換でない実数上の結合的多元体は四元数体しかないことを証明している
//en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_theorem_(real_division_algebras)

pop-learn.amebaownd.コム/posts/2248935/
ポップラーン 2017.04.11
多元数について８枚のスライドでまとめてみた
２乗してー１になる数を虚数単位と言いますが、虚数単位を何個か用意すると、色々と面白い数を作ることができます。今回は、多元数について話したいと思います

//ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%83%BC%EF%BC%9D%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%AF%E3%82%BD%E3%83%B3%E3%81%AE%E6%A7%8B%E6%88%90%E6%B3%95
ケーリー＝ディクソンの構成法
実数全体の成す体上の多元環の系列を与える方法で、各段階の多元環は直前のものの二倍の次元を持つ。この方法で与えられる各段階の多元環はケーリー＝ディクソン代数として知られる。これらは複素数を拡張するから、超複素数系となっている
これらの代数はすべて対合（または共役[1]）を持ち、ある元とその共役元との積（場合によってはその平方根）はノルムと呼ばれる
最初の数段階では、次の代数へ進むごとに、特徴的な代数的性質を一つ一つ失っていく
より一般的には、ケーリー＝ディクソンの構成法とは、任意の対合つき代数系をとって倍の次元の対合つき代数系にすることである
四元数
八元数
以降の代数系について
八元数の直後の代数は十六元数と呼ばれる。これは冪結合性と呼ばれる代数的性質は残している（すなわち s が十六元数ならば sn sm = sn+m が成り立つ）が、交代代数であるための性質を満たさない、それゆえ合成代数となることはできない。
ケーリー＝ディクソンの構成法は限りなく実行でき、各段階では直前の段階の代数の倍の次元を持つ冪結合代数を与える

//www.official.kotaroy.com/class/2008/teaching/
数学科指導法II 九大山田光太郎
//www.official.kotaroy.com/class/2008/teaching/20081021.pdf
2008年10月21日講義資料2
前回の講義の要約
■複素数高等学校では「i^2=－1となる数iを考えx+iy（x,y は実数）の形の数を複素数という，と習う
これは次のようにして数学的に正当化できる：
• R^2に(x,y)(X,Y) = (xX－yY,xY+yX) で積を定義すると，この積とベクトルの和によってR^2 は体になる
これを複素数体といいC と書く
特に(x,y)をx+iy と書けばこれを複素数とみなせる
• 行列
E=
（1 0）
（0 1）
J=
（0 -1）
（1 0）を考え
xE+yJ（x,y ∈R）と複素数 x+iyを対応させると行列の和・積と複素数の和・積が対応するから，このような行列全体の集合はC と同一視できる
複素数全体の集合C では加減乗除の演算が行えるが，体の演算に適合した大小関係は定義できない

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 17:30:24.27

つづき

http://www.official.kotaroy.com/class/2008/teaching/20081028.pdf
2008 年 10 月28日(2008 年11月4日訂正)山田光太郎
数学科指導法II 講義資料 3
質問：四元数は可換という性質を犠牲にして数を拡張していますが，聞いた話によると，八元数や十六元数と呼ばれるものも存在するようです．このようにある性質を犠牲にしてまで数を拡張することにはどのようなメリットがあるのですか？また三十二元数のようなものも存在したりするのですか？
お答え：メリットといっても，おもしろいでしょ．とはいえ，初等幾何，群論，理論物理などさまざまな応用があるようです．三十二元数ってのは聞いたことがないですねぇ．だれかが考えているかもしれませんが．

http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~twatanabe/kougi.html
講義ノート (Lecture Notes) 渡部隆夫阪大
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~twatanabe/quaternion.pdf
有理数体上の四元数環2019 年度
代数学5・整数論概論II
講義ノート渡部隆夫
内容有理数体上の四元数環の分類を行う
目次
1 体の対合
2 四元数環3 多元環
4 四元数環のノルムとトレース
5 回転群とハミルトン四元数体
6 単純環の構造定理
7 中心的単純多元環
8 中心的単純多元環の自己同型群
9 2次形式
10 Wittの定理
11 低次元2次空間と四元数環
12 p進体の2次拡大
13 Minkowski-Hasse不変量
14 p進体上の2次形式
15 有理数体上の四元数環

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%80%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%B0%8F%E5%AE%9A%E7%90%86
ウェダーバーンの小定理 (英: Wedderburn's little theorem) はすべての有限域が体[1]であることを述べるものである。言い換えると、有限環（英語版）において、域、斜体、体の違いはない。
アルティン・ツォルンの定理（英語版）はこの定理を交代環へと一般化する：すべての有限単純交代環は体である[2]。
歴史
最初の証明は Joseph Wedderburn（英語版）によって1905年に与えられ[3]、彼はその後2つの別証を与えた。別の証明は Leonard Eugene Dickson によって Wedderburn の最初の証明のすぐ後に与えられ、Dickson は Wedderburn が先であることを認めていた。しかしながら、(Parshall 1983) に述べられているように、Wedderburn の最初の証明は正しくなく――飛躍があり――彼の次の証明は Dickson の正しい証明を読んだ後に現れたのだった。そのため、Parshall は最初の正しい証明は Dickson に帰するべきだと主張している。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 17:30:52.31

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%80%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
アルティン・ウェダーバーンの定理 (英: Artin–Wedderburn theorem) は半単純環や半単純代数の分類定理である。
定理の主張
定理は、（アルティン）[注釈 1]半単純環 R はある有限個の ni 次行列環 Mni(Di) の直積に同型であると述べている[1]。ここで ni は正の整数、 Di は可除環であり、両者とも添字 i の置換を除いて一意的に決定される。とくに、任意の単純左または右アルティン環は可除環 D 上の n 次行列環に同型で、n と D は両方とも一意的に決まる[2]。
直接の系として、アルティン・ウェダーバーンの定理は可除環上有限次元であるすべての単純環（単純代数）は行列環と同型であることを意味する。これはもともと J. H. M. Wedderburn (1908) の結果である。E. Artin (1927) は後にそれをアルティン環のケースに一般化した[注釈 2]。
R が可除環 E 上の有限次元単純代数であれば、D は E に含まれる必要はないことに注意せよ。例えば、複素数体上の行列環は実数体上の有限次元単純代数である。
アルティン・ウェダーバーンの定理は可除環上の単純環の分類を与えられた可除環を含む可除環の分類に帰着する。これをさらに単純化できる。D の中心は体 K でなければならない。したがって R は K-代数であり、それ自身は K を中心としてもつ。有限次元単純代数 R はしたがって K 上の中心的単純代数である。それゆえアルティン・ウェダーバーンの定理は有限次元中心的単純代数の分類の問題を与えられた中心をもつ可除環の分類の問題に帰着する。
例
R を実数体とし、C を複素数体とし、H を四元数体とする。
R 上のすべての有限次元単純代数は R, C, あるいは H 上の行列環でなければならない。R 上のすべての中心的単純代数は R あるいは H 上の行列環でなければならない。これらの結果はフロベニウスの定理から従う。
C 上のすべての有限次元単純代数は C 上の行列環でなければならない。したがって C 上のすべての中心的単純代数は C 上の行列環でなければならない。
有限体上のすべての有限次元中心的単純代数はその体上の行列環でなければならない。
すべての可換半単純環は体の有限個の直積でなければならない[注釈 3]。
アルティン・ウェダーバーンの定理によると体
k 上の半単純代数は有限積
Π Mni(Di} に同型である、ただし niは自然数で
Di は k 上の有限次元可除代数で、Mni(Di} は Di 上の ni X ni 行列の代数である。再び、この積は因子の置換を除いて一意的である
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 17:45:41.16

1君は、そもそも行列環から零因子を取り除いたら
そもそも加法について群でなくなるので環でもなくなる
という簡単なことにまだ気付かないらしい

これじゃ線形代数が分からんわけだ

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 17:53:47.17

>>788
本当にそうだったとしたら
そんなのを相手にしていることが
寂しくないか

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 18:01:01.08

>>711
>　あのね、零因子を除いても非可換体は構成できません
>　今度は加法で閉じなくなるので、加法群になりません

さて、布石は打った(>>795-797)
上記のおサルさん>>9の論法は、間違っているね！ｗ

・実数を成分とするとして、行列環からスタートすると、零因子を除いても、加法で閉じなくなることはない（当然加法で閉じているｗ）
・問題は、単純に零因子を除いても、加法で新たに零因子行列が出来てしまうってことだ！
　例えば、簡単に２ｘ２行列で考えよう。正則行列Ｘで
Ｘ＝
（x11,x12）
（x21,x22）
として、さらに正則行列Ｙでy11≠x11,y12≠x12として
Ｙ＝
（y11,y12）
（x21,x22）
さらにＺ＝Ｘ-Ｙを作ると
Ｚ＝
（z11,z12）
（z21,z22）
ここに、z21=0,z22=0 となって、明らかにZは非正則で、z11≠0,z12≠0,だから零行列でない。よって、零因子行列となる

・すなわち、このように”加法で新たに零因子行列が出来てしまう”こと防ぐ必要がある（可除環にするために）
　その要請から、上記>>758 山田光太郎氏の資料のように、２ｘ２行列では可除環は複素数体Ｃと同一視できる集合に限られるってことだな
・それを、証明として書けば？うん、en.wikipediaの Frobenius theorem (real division algebras)に証明が落ちているねｗ
　おサルさん、読んでみたら？；ｐ）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_theorem_(real_division_algebras)
Frobenius theorem (real division algebras)
In mathematics, more specifically in abstract algebra, the Frobenius theorem, proved by Ferdinand Georg Frobenius in 1877, characterizes the finite-dimensional associative division algebras over the real numbers. According to the theorem, every such algebra is isomorphic to one of the following:
R (the real numbers)
C (the complex numbers)
H (the quaternions).
These algebras have real dimension 1, 2, and 4, respectively. Of these three algebras, R and C are commutative, but H is not.
Proof
The main ingredients for the following proof are the Cayley–Hamilton theorem and the fundamental theorem of algebra.
Introducing some notation
略す
The claim
略す
Proof of Claim:
略す

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 18:07:33.22

>1は
2-5chでディベートとヨイショしかできないからなんでもありのコピペ専へ走ったと思われる。
まあお化け屋敷

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 18:08:43.37

>>789
>本当にそうだったとしたら
即座にわかることかと
>そんなのを相手にしていることが寂しくないか
どんな間違いも気づいてないなら教えてあげないとね

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 18:15:51.88

>>790
>さて、布石は打った
囲碁したいなら囲碁板で友達さがしなよ

>・実数を成分とするとして、行列環からスタートすると、
>零因子を除いても、加法で閉じなくなることはない（当然加法で閉じている）
いや、明らかに閉じませんけど

>問題は、単純に零因子を除いても、加法で新たに零因子行列が出来てしまうってことだ！
だからそれが「零因子を除いたら、加法で閉じなくなる」ってことですが

日本語分かる？

>例えば、簡単に２ｘ２行列で考えよう。（以下略）
だから一般のｎ✕ｎ行列でただ零因子除いたら体にならんでしょ

自分の間違い認めなよ　線形代数で落ちこぼれてお情けで工学部卒業した１君

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 18:20:27.14

>>790
>”加法で新たに零因子行列が出来てしまう”こと防ぐ必要がある（可除環にするために）
>その要請から、２ｘ２行列では可除環は複素数体Ｃと同一視できる集合に限られる
>ってことだな

なんか無理やり自爆発言を誤魔化そうとしてるね　1君

もうそっちで君が勝つのは絶対無理だから諦めな

>>756の答えを藤原松三郎の「代数学」から探して丸写ししなよ
答えがあることは確認したから大丈夫だよ　
分量は大体1ページだから一回のコメントで書けるよ

じゃ、頑張って

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 19:24:45.01

>>790
>実数を成分とするとして、行列環からスタートすると、零因子を除いても、加法で閉じなくな>ることはない（当然加法で閉じているｗ）

これは誤りだと思うが
そもそもここの議論の目的は何？

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 20:47:19.79

>>795
>そもそもここの議論の目的は何？
1が自分の軽率な発言を正当化すること

真実よりも自分が大事な男　ここに眠る

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 21:02:39.81

>>794-795
>>実数を成分とするとして、行列環からスタートすると、零因子を除いても、加法で閉じなくな>ることはない（当然加法で閉じているｗ）
>これは誤りだと思うが
>そもそもここの議論の目的は何？

なるほど、赤ペンが入りましたか・・
目的は、>>790への繋ぎだったのだが・・

ここの議論の目的は、零因子の重要性です
2x2行列の可除環が、複素数体Ｃと同一視できる集合に限られることの
分かり易い理由付けです
　要するに
Ｘ＝
（x11,x12）
（x21,x22）
のように、x11,x12,x21,x22 ∈R(実数）を自由に取るとまずい
山田光太郎 >>783 のように
Ｘ＝
（x11, x12）
（-x12,x11）に限らないといけない
その理由は、零因子を生成しないためだと

>>>756の答えを藤原松三郎の「代数学」から探して丸写ししなよ
>答えがあることは確認したから大丈夫だよ　

なるほど
君も賢くなったね
こっちと同じレベルに手の内を整備しておかないと、ダメだってことを学んだのか
藤原松三郎の「代数学第二巻」第十節多元複素数にあるね
§12.43 フロベニウスの定理：
『多元複素数系の内で、零因子が存在しないものは、実数系、普通の複素数系、及びハミルトンの四元数系の三つに限られる。
　もし更に乗法の交換法則を許せば、実数系、普通の複素数系以外にない』だね
（「零因子が存在しないものは」とあることに、ご注目）

行列との関係は、”§12.44 多元複素数系の方列（行列）との関係”のセクションで論じられていますね

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 21:09:20.65

>>797
>こっちと同じレベルに手の内を整備しておかないと、ダメだってことを学んだのか
君が、ちゃんと答えが書いてある本から答えを探せないってことを学んだ

>>756の答えの箇所が理解できなくて引用できないんだね

君、自分が理解できてないと自覚したんだ　偉いよ　大進歩だ

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 21:19:46.26

第四節　代数的に解かれる方程式
§11.21　環状方程式

既約方程式f(x)=0の根が
α,α[1]₌θ(α),α[2]₌θ^2(α),…,α[n-1]₌θ^(n-1)(α),(θ^n(α)₌α)　
(※θ(α)はαの有理関数　実は整関数とすることができる)
によって表される場合、此様な方程式を環状方程式と名づける

n次の環状方程式f(x)=0(nは素数でなくても宜しい)を解くには
ε=cos(2π/n)+i*sin(2π/n)
とし、所謂ラグランジュの分解式(*)
(ε,α)=α+ε*α[1]+ε^2α[2]+…+ε^(n-1)α[n-1]
を導き入れる

之に置換
s=(α α[1] α[2] … α[n-1])
を施せば
(ε,α)|s＝ε^(-1)(ε,α)
(ε,α)|s^k＝ε^(-k)(ε,α)
(ε^h,α)|s＝ε^(-h)(ε^h,α)
(ε^h,α)|s^k＝ε^(-hk)(ε^h,α)
となるから
(ε^h,α)^n　(h＝1,2,…,n-1)　及び　(1,α)
はsの作る環状群
C:　1,s,s^2,...,s^(n-1)
に対して不変である　従って何れもK(ε)に含まれる

之をそれぞれ
(1,α)=a,(ε^h,α)^n₌b[h]　(h＝1,2,…,n-1)
とおけば
(ε^h,α)=(n)√(b[h])　(1,α)₌a
からただちに
nα₌Σ[h](ε^h,α)=a+(n)√b[1]+(n)√b[2]+…+(n)√b[n-1]
nα[k]₌Σ[h]ε^(‐hk)(ε^h,α)=a+ε^(-k)*(n)√b[1]+ε^(-2k)*(n)√b[2]+…+ε^(-(n-1)k)*(n)√b[n-1]

よって次の定理が得られる

【定理】
環状方程式は1のn乗根εとK(ε)に属する数のn乗根を求めれば解かれる
すなわち代数的に解かれる方程式である

但し(n)√b[h]を定めるに、ｎ個の値の何れをとるべきかという問題が残る。
之を定めるに、（ε^h,α）（ε,α）^（n-h）もCによって変わらないから
之は又K(ε)の数である。之をc[h]とすれば
（ε^h,α）=(n)√b[h]=c[h]/((n)√b[1])^(n-h)=c[h]((n)√b[1])^h/b[1]
故に(n)√b[1]を定めれば(n)√b[1]は一通りに定まる(b[1]が0でない場合)

b[1]=0の場合には(εh,α)≠0となる様なhがあるから、b[1]の代わりにb[h]をとれば宜しい
(Σ[h](ε^h,α)(ε^(-kh)-1)=n(α[k]-α)であるから、もし(ε,α),…,(ε^(n-1),α)が悉く0となれば
左辺は0となる。故にα[k]=αとなる。これは仮定に反する)

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 21:20:37.16

>>797 補足
　>>790 で、自分でＺ＝Ｘ-Ｙを作ってたのに、うっかりしていたよ
　ぼけてるね。「零因子を除いたら、加法で閉じなくなる」ってことですね；ｐ）
　ダメ詰まりの手を打ってしまった・・ orz

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 21:24:40.87

1ははじめから終わっている

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 21:26:19.33

終戦の詔書(玉音放送)
www.youtube.com/watch?v=bFx8fQNRjC0

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 21:33:12.91

>>800
>うっかりしていたよ
そもそも思慮がないことを「うっかり」とはいわない
>ぼけてるね
そもそも無理解を自覚してないことを「ぼけてる」とはいわない

>orz
落ち込んでるところ恐縮だが、線形代数を学ぶのに
藤原松三郎の代数学は適当でない気がする
例えば行列の基本変形操作について書かれてないようだ

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 22:19:09.39

今、国会図書館デジタルコレクションでブルバキ　数学原論　の代数　４の
歴史覚書を読んでるが　実は円分方程式に関してはヴァンデルモンドが
結構なところまで研究していて、ガウスはDAでは引用してないものの
実際はヴァンデルモンドの論文を読んでいたに違いないとまで書かれている
まあ、実際に解いてみせたのはガウスなのだから、別に何の問題もないが

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 22:42:08.34

>>782
訂正。　>>722→>>772

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/31(金) 05:58:24.18

今日は最終回
直腸がんと原発性の食道がんだが
引退はしないようだ

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/31(金) 07:43:49.76

>>786-787
ウェダーバーンの小定理
アルティン・ウェダーバーンの定理
二つあるらしい；ｐ）

小定理では
”最初の証明は Joseph Wedderburn（英語版）によって1905年に与えられ[3]、彼はその後2つの別証を与えた。別の証明は Leonard Eugene Dickson によって Wedderburn の最初の証明のすぐ後に与えられ、Dickson は Wedderburn が先であることを認めていた。しかしながら、(Parshall 1983) に述べられているように、Wedderburn の最初の証明は正しくなく――飛躍があり――彼の次の証明は Dickson の正しい証明を読んだ後に現れたのだった。そのため、Parshall は最初の正しい証明は Dickson に帰するべきだと主張している。”
との記述あり

う～ん、面白いね
昔のことだから、情報の確認が簡単ではなかったのだろう
すぐに論文にアクセスできないとか、連絡は基本紙のお手紙だとか
いまなら、SNSで「それ Dicksonの定理でしょ」って騒ぎになったかも；ｐ）

手元にある雪江代数学3 P350 定理7.8.15 ヴェーダーバーンの定理は
上記のアルティン・ウェダーバーンの定理についての記述か
下記は、en.wikipediaだが、証明も載っているね
こちらの記述の方が分かり易いかもね

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Wedderburn%E2%80%93Artin_theorem
Wedderburn–Artin theorem
Wedderburn–Artin theorem is a classification theorem for semisimple rings and semisimple algebras. The theorem states that an (Artinian)[a] semisimple ring R is isomorphic to a product of finitely many ni-by-ni matrix rings over division rings Di, for some integers ni, both of which are uniquely determined up to permutation of the index i. In particular, any simple left or right Artinian ring is isomorphic to an n-by-n matrix ring over a division ring D, where both n and D are uniquely determined.[1]
Theorem
略す
Proof
略す
Consequences
略す

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/31(金) 07:54:55.05

>>806
>今日は最終回
>直腸がんと原発性の食道がんだが
>引退はしないようだ

ありがとうございます
なるほど
下記ですね
休みに１週間分まとめ読みします；ｐ）

https://www.nikkei.com/article/DGXZQOUD3087W0Q4A430C2000000/
趙治勲　私の履歴書（30）がん発見
囲碁棋士・名誉名人

2024年5月31日 2:00 [会員限定記事]日経
さて最終回。最近はドライバーが振れなくなり、近所の短いゴルフコースを散歩代わりに回っている話とか、石田芳夫さん（二十四世本因坊）に「絶対に人前で歌うな」と言われているカラオケにのめり込んでいる話とかで能天気に終わろうと思っていたら、想定外の事態が起きてしまった。がんが見つかったのだ。

疑う症状はあった。でもボクは根っからの病院嫌い。交通事故による骨折以外で病院のお世話になったことは、ほとんどなか...

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/31(金) 08:13:15.38

0087 １３２人目の素数さん 2024/04/21(日) 23:21:29.99
5ｃｈなんて　元々数学理論の体をなさない数学もどきの板ですがなｗ
スレが盛り上がる時はなんでもありですぜ！　だんな　；ｐ）

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/31(金) 09:16:09.22

>>807
>Theorem
>略す
>Proof
>略す
>Consequences
>略す
笑い
略す

こっち見たほうがいいのでは？

【引用】
一般線型群
ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4

数学において、一般線型群（いっぱんせんけいぐん、英: general linear group）とは
線型空間上の自己同型写像のなす群のこと。
あるいは基底を固定することで、正則行列のなす群のことを指すこともある。

定義
F を体とする。
F 線型空間 V 上の一般線型群とは V 上の線型写像全体 End(V)のうち
全単射な写像全体が写像の合成に関してなす群のことをいい、
GL(V) または Aut(V)と表す。

あるいは n 次元 F 線型空間 V の基底 B = (v1, …, vn) をひとつ選び固定して、
数ベクトル空間 Fn の元 (a1, …, an) と線型空間 V の元 a1v1 + … + anvn とを同一視することによって、
n 次正方行列全体 Mn(F) のうち正則な行列全体が行列の積に関してなす群のことを
一般線型群ということも多い。
この場合には GLn(F) または GL(n, F) と表す。
行列式がゼロでない行列全体と言い換えてもよい。

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/31(金) 09:22:31.03

つまり、線型空間Vがｎ次元の場合

V 上の線型写像全体 End(V)　＝　n 次正方行列全体 Mn(F)
V 上の全単射な線型写像　＝　正則な行列 GLn(F)
写像の合成　＝　行列の積

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/31(金) 09:29:46.21

>>810
【引用】
Bruhat分解
一般線型群はBruhat分解される。
つまり
B をBorel部分群（上あるいは下三角行列からなる部分群）、
W をWeyl群（置換行列からなる部分群）
としたとき　一般線型群 G = GLn(F) は両側剰余類として
𝐺=𝐵𝑊𝐵=∐(𝑤∈𝑊) 𝐵𝑤𝐵
と分解される。

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/31(金) 09:32:46.78

>>812
【引用】
BNペア
一般線型群はBNペアを持つ。
G の対角行列からなる部分群 T の G における正規化群を N = NG(T) とおけば、
N は単項行列からなる部分群で
(B, N) はBNペアをなす。

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/31(金) 09:40:59.33

>>813
【引用】
ティッツ系
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%83%E3%83%84%E7%B3%BB

数学におけるティッツ系（てぃっつけい、Tits system）あるいは (B, N)-対は、
ある種の群に対してそれまで個別に与えられていた多くの証明を統一的に取り扱うために
ジャック・ティッツによって導入された、リー型の群上のある種の構造である。
ティッツ系を備えた群は、体上の一般線型群と「だいたい」同じようなものと見なせる。

定義
以下の公理を満たす4つ組 (G, B, N, S) をティッツ系という。
ただし G は群、B と N はその部分群であり、S は N/(B ∩ N) の部分集合である。

１．集合 B ∪ N は G を生成し、T = B ∩ N は N の正規部分群である。
２．集合 S は群 W = N/T を生成し、S の元の位数は 2 である。
３．s ∈ S, w ∈ W ならば sBw ⊂ BwB ∪ BswB が成り立つ。
４．s ∈ S ならば 𝑠𝐵𝑠 ⊄ 𝐵 が成り立つ。

B を G の（狭義の）ボレル部分群、
T を G のカルタン部分群、
W を G のワイル群と呼び、
W の生成系 S は W の優生成系あるいはルート系と呼ばれる。
また、S の元はルートあるいは鏡映という。
(W, S) はコクセター系を成し、特に生成系 S の位数をティッツ系の階数と呼ぶ。

(G, B, N, S) がティッツ系ならば、
W のルート系 S は (G, B, N)によって一意に決定される。
そのため群 G はBN対あるいは (B, N)-対を持つともいう。

定義における B は一般線型群 GLn(K) の上半三角行列全体の成す群の類似であり、
同じく T は正則対角行列の、N は T の正規化群のそれぞれ類似対応物である。

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/31(金) 09:51:49.28

>>812　>>814
【引用】
ブリュア分解
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%AA%E3%83%A5%E3%82%A2%E5%88%86%E8%A7%A3

数学におけるブリュア分解（ぶりゅあぶんかい、英: Bruhat decomposition）G = BWB は、
（行列を上半および下半三角行列の積として表す方法としての）
ガウス＝ジョルダン消去法の一般化とみることのできる、群 G の胞体分割である。

名称はフランソワ・ブリュアに因む。

より一般に、BN対を持つ任意の群がブリュア分解を持つ。

例
群 G を代数閉体に成分を持つ n-次正則行列全体の成す一般線型群 GLn とすると、
ワイル群 W は（置換行列を代表元として）n 文字の対称群 Sn に同型である。
この場合、ボレル部分群 B として正則上半三角行列全体のなす群をとることができて、
ブリュア分解は任意の正則行列 A が
U1PU2　 (U1, U2 ∈ B（上半三角）かつ P は置換行列)
という積の形に分解されるという意味になる。
これを逆に
P = U1^(－1)AU2^(－1)
の形に書けば、これは任意の正則行列が行または列の基本変形(*)によって置換行列に移るという意味になる。

（* ただし、
◆　i > j のとき i-番目の行を別の j-番目の行に加える、
◆　i < j のとき i 番目の列を j-番目の列に加える
という操作のみ）

行基本変形の繰り返しが U1^(－1) に対応し、
列基本変形の繰り返しが U2^(－1) に対応する。

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/31(金) 10:34:24.04

>>804
>今、国会図書館デジタルコレクションでブルバキ　数学原論　の代数　４の
>歴史覚書を読んでるが　実は円分方程式に関してはヴァンデルモンドが
>結構なところまで研究していて、ガウスはDAでは引用してないものの
>実際はヴァンデルモンドの論文を読んでいたに違いないとまで書かれている
>まあ、実際に解いてみせたのはガウスなのだから、別に何の問題もないが

・そこね、ヴァンデルモンドは、フランス人でブルバキもフランス人の集団で
　ヴァンデルモンドを顕彰しようという意図ですね
　彼は本職は、 violinist？
・”ヴァンデルモンドの論文を読んでいたに違いない”は、どうか？
　間接的に、ヴァンデルモンドの影響を受けた論文は読んだかもです

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Alexandre-Th%C3%A9ophile_Vandermonde
Alexandre-Théophile Vandermonde (28 February 1735 – 1 January 1796) was a French mathematician, musician, and chemist who worked with Bézout and Lavoisier; his name is now principally associated with determinant theory in mathematics. He was born in Paris, and died there.
Biography
Vandermonde was a violinist, and became engaged with mathematics only around 1770. In Mémoire sur la résolution des équations (1771) he reported on symmetric functions and solution of cyclotomic polynomials; this paper anticipated later Galois theory (see also abstract algebra for the role of Vandermonde in the genesis of group theory). In Remarques sur des problèmes de situation (1771) he studied knight's tours, and presaged the development of knot theory by explicitly noting the importance of topological features when discussing the properties of knots:
The same year he was elected to the French Academy of Sciences. Mémoire sur des irrationnelles de différents ordres avec une application au cercle (1772) was on combinatorics, and Mémoire sur l'élimination (1772) on the foundations of determinant theory. These papers were presented to the Académie des Sciences, and constitute all his published mathematical work. The Vandermonde determinant does not make an explicit appearance.

（仏語版）
https://fr.wikipedia.org/wiki/Alexandre-Th%C3%A9ophile_Vandermonde
Alexandre-Théophile Vandermonde
google訳
略歴
彼は1770 年に数学を勉強し始めました。方程式の解決に関する彼の回想録(1771 年) は、ガロア理論の先駆者であり、対称関数と円分多項式の解法に焦点を当てています。『状況の問題に関する注釈』 (1771 年)の中で、彼はライダー問題を研究しました。彼の回想録「円への応用による異なる次数の無理数」 (1772 年) は組み合わせ論に焦点を当てており、「消去法に関する回想録」 (1772 年) は行列式理論の基礎に焦点を当てています。科学アカデミーに提出されたこれらの通信は、彼の数学的研究全体を構成します。ヴァンデルモンド行列式は明示的には現れません1、2。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/31(金) 10:36:12.77

つづき

（独語版方程式論が詳しい(日本語訳にしたが誤訳多発。英訳を選択した方がよかった；ｐ））
//de.wikipedia.org/wiki/Alexandre-Th%C3%A9ophile_Vandermonde
Alexandre-Théophile Vandermonde
google訳
ヴァンデルモンドの情熱はヴァイオリンを演奏することでした。彼が数学の問題に興味を持ち始めたのは、35 歳くらいのときでした。ヴァンデルモンドは 5 次方程式の可解性に関心を持っていました。さらに、チェスのナイト問題についても考察しました。 1771 年に彼は科学アカデミーに入学しました。
行列の特殊な形式であるヴァンデルモンド行列は、彼の名にちなんで名付けられました。

方程式の解に関するヴァンデルモンドの研究
ヴァンデルモンドは対称関数を研究し、この方法で 4 次までの方程式の解の公式系を認識しました。ヴァンデルモンドは、一般的に機能する 5 次方程式への変換の試みは失敗しましたが、彼のアプローチにより、少なくとも特殊な 5 次方程式の解決が可能であることを示すことができました。具体的には、彼は11 次の除算方程式を初めて解いた人でした。
y^11-1=0手段を解消することで
x=-(y+y^-1)対応する 5 次方程式[1]
x^5-x^4-4x^3+3x^2+3x+1=0、
彼らの 5 つの実際のソリューション
x_j=-2cos(2jπ/11)のために j=1,・・ ,5 は。
ヴァンデルモンドのアイデアは、異なる解の間でどのような問題が生じるかを検討したため、ガロア理論の先駆けと見なすことができます。
x1,・・ ,xn方程式には、[2]のような多項式関係が含まれています。
xj^2=-x_j+1+2のために j=1,・・ ,5}
ヴァンデルモンドによって解かれた 5 次方程式の場合。
このような多項式関係は、ガロア理論では還元されたガロア群によって定性的に特徴付けられます。
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/31(金) 11:10:39.87

>>816
>そこね、
>ヴァンデルモンドは、フランス人で
名前はオランダ語由来
van der monde

>ブルバキもフランス人の集団で
これももともとはギリシャ人の姓Bourbachis
むかしそういう人がいた

>ヴァンデルモンドを顕彰しようという意図ですね
僻み入ってる？
ヴァンデルモンド行列知ってたら
あのｘに１の冪根入れれば
ああなるほどと思う

>”ヴァンデルモンドの論文を読んでいたに違いない”は、どうか？
>間接的に、ヴァンデルモンドの影響を受けた論文は読んだかもです
当人の論文読むでしょ
ガウスは語学も堪能だから
フランス語読むくらいわけはない

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/31(金) 11:49:39.24

>>797 補足
(引用開始)
目的は、>>790への繋ぎだったのだが・・
ここの議論の目的は、零因子の重要性です
2x2行列の可除環が、複素数体Ｃと同一視できる集合に限られることの
分かり易い理由付けです
　要するに
Ｘ＝
（x11,x12）
（x21,x22）
のように、x11,x12,x21,x22 ∈R(実数）を自由に取るとまずい
山田光太郎 >>783 のように
Ｘ＝
（x11, x12）
（-x12,x11）に限らないといけない
その理由は、零因子を生成しないためだと
(引用終り)

１）ここを、もう少し掘り下げてみよう (以下では、従来通り実数を成分とする行列を考える)
Ｘ＝
（a, b）
（-b,a）
　と分かりやすく書き直してみよう
　そうすると、行列式|Ｘ|=a^2+b^2 となることは、すぐ分かる（クラメールの式）
　a,bは実数だから a^2+b^2≧0 であり、等号成立はa=0,b=0 のときのみ
２）「正則行列とは、行列式|Ｘ|≠0」の知識は既知とする
Ｘ＝
（a, b）
（-b,a）
　の形の行列Ｘは、行列式|Ｘ|＝0のときには自明な場合つまり零行列a=0,b=0 のときのみで
　従って、（非自明な）零因子を持たないことが分かる
３）まとめると、nxn 行列の成す行列環において
　a)nxnの成分を自由にとると、（非自明な）零因子を生じる
　b)これを防ぐためには、2x2の場合をモデルに行列式|Ｘ|＝a1^2+a2^2+・・+an^2 になるように制限する必要がある
　c)これを実行すると、下記の多元数（ケーリー＝ディクソンの構成法等）になる
　（一般に、藤原松三郎先生の本にあるように(>>797)、先に多元数で考えてその後 nxn行列表現を考えるコースが多いです）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E5%85%83%E6%95%B0
多元数（たげんすう、英: hypercomplex number; 超複素数）は、実数体上の単位的多元環の元を表す歴史的な用語である。多元数の研究は19世紀後半に現代的な群の表現論の基盤となった。
19世紀には、数学の文献において四元数 (quaternion), 双複素数 (tessarine), 余四元数（英語版） (coquaternion), 双四元数（英語版） (biquaternion) および八元数 (octonion) と呼ばれる数体系が実数や複素数に加えて確立された概念となっていた。多元数 (hypercomplex number) の概念はこれらすべてを包含するものであり、またこれらを説明し分類するための指針を示唆する呼称である。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%83%BC%EF%BC%9D%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%AF%E3%82%BD%E3%83%B3%E3%81%AE%E6%A7%8B%E6%88%90%E6%B3%95
ケーリー＝ディクソンの構成法
以降の代数系について
八元数の直後の代数は十六元数と呼ばれる。これは冪結合性と呼ばれる代数的性質は残している（すなわち s が十六元数ならば sn sm = sn+m が成り立つ）が、交代代数であるための性質を満たさない、それゆえ合成代数となることはできない。
ケーリー＝ディクソンの構成法は限りなく実行でき、各段階では直前の段階の代数の倍の次元を持つ冪結合代数を与える。
(注：四元数では交換法則不成立(非可換)、八元数ではさらに結合法則不成立、十六元数ではさらに非自明な零因子を排除できず可除環にならない)

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/31(金) 11:57:31.72

>>818
>>”ヴァンデルモンドの論文を読んでいたに違いない”は、どうか？
>>間接的に、ヴァンデルモンドの影響を受けた論文は読んだかもです
>当人の論文読むでしょ
>ガウスは語学も堪能だから
>フランス語読むくらいわけはない

・ガウスの時代は、コピー機ないよ；ｐ）
・「おーい、ガウスさんよ、シャメで論文の画像送るぜ～」もないｗ
　簡単に論文を取り寄せられたかどうか？
・噂話で、「ガウスさん、ヴァンデルモンドの論文にかくかくしかじか、こんなことが・・」
　それを聞いた天才ガウスは、一を聞いて十を知る！
　それはあったかも