大学学部レベル質問スレ 26単位目
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x∈∂A ⇔ ∀U:open∋x (U∩A≠φ)∧(U∩(X\A)≠φ) 確認だが、M^f=cl(M)＼op(M)か？
cl;閉包作用素、op;開核作用素 >>423 反例: 自然位相を与えた数直線 R の部分集合
M = {x ∈ R | 0 < |x| < 1} >>421
お前は質問者ではないのにどういうつもりだ？ >>423 ごめん、間違えた。>>423 が正しい。 >>410
>(M^f)^fが内点を持たないこと
intM,extM:open
X-intM-extM=∂M:closed
∂∂M⊂(∂∂M)∪(∂M)=cl(∂M)=∂M
int∂∂M⊂int∂M
int∂∂M=(∂∂M)∩(int∂∂M)⊂(∂∂M)∩(int∂M)=(∂∂M)∩(∂M-∂∂M)=φ >>410
>((M^f)^f)^f=(M^f)^f
∂∂M:closed
∂∂∂M=cl∂∂M-int∂∂M=∂∂M-φ=∂∂M >>429
>(∂∂M)∩(int∂M)=(∂∂M)∩(∂M-∂∂M)
∂M:closed
int∂M=cl∂M-∂∂M=∂M-∂∂M >>429
>(∂∂M)∩(int∂M)=(∂∂M)∩(∂M-∂∂M)=φ
(∂∂M)∩(int∂M)=(∂∂M)∩(cl∂M-∂∂M)=φ >>387
考えてみたんですけど
補有限位相は和に関して連続にならないような…?
>>398
標数0であればQ線形空間と見れて、あとは選択公理(基底の存在)と濃度から言える、であってますか？ >>388
これは上手く理解できました
一般に群Gと位相群Hと群準同型f:G→Hがあれば
Gは誘導位相で位相群になる、というのが証明できました(あってるでしょうか…) >>433
ごめんZだからそうだわ
Nでやってた
Q+に入れて
colim(1+:Q+→Q+)=Q
で それもダメか
これ半群の射にならないな
すまんね撤回します Q+で事足りる場合はこういう例もあるってことですまんかったす >>434
誘導位相というからには、f には 1-1 という条件があるのでは？ Qの非自明な位相なら可法付値 v 持ってきて
d(x,y) = exp( -v(x-y) )
でいいやん スミルノフ著『高等数学教程』
記号のセンスが最悪です。
最近、物理の本での数学的な説明に慣れてきたので、スミルノフの本も読めるようになりました。
偏微分方程式とか全く知らない分野を勉強するにはいいですかね？ 翻訳した人たちを見ると、有名な人も多いです。
そんな人たちも使ってまで、なぜスミルノフの本を翻訳しようとしたのでしょうか？
そこまでの本だとはとても思えませんし、そもそも数学者が好みそうな本でもないと思います。 今、篠本滋、坂口英継著『力学』の単振動のところを見ています。
普通は2階の微分方程式を解いて、運動を求めますが、この本では、エネルギーの保存則の式を v = dx/dt について解いた1階の微分方程式を解いています。
具体的に書くと以下の微分方程式です。
dx(t)/dt = ±ω * √(a^2 - x(t)^2)
a を正だと仮定しておきます。
プラスの符号で表される微分方程式は、質点が -a から +a に向かう途中の運動を表しています。
マイナスの符号で表される微分方程式は、質点が +a から -a に向かう途中の運動を表しています。
著者らは、
x(t) = a * cos(θ(t)) と変数変換をしています。
「
x(0) = a であることから θ(0) = 0 であり、 θ(t) > 0, (t > 0) とすると
-∫_{θ(0)}^{θ(t)} sin(θ)/|sin(θ)| dθ = -[θ(t) - θ(0)] = -θ(t).
これを式(3.26)に代入すると
θ(t) = マイナスプラスω * t
となり、
」
などとおかしなことを書いています。
x(0) = a > 0 なわけですから、
dx(t)/dt = -ω * √(a^2 - x(t)^2)
という方程式を解くことになり、 θ(t) = ω * t です。
x(0) = a, v(0) = 0 という初期条件で、
dx(t)/dt = ω * √(a^2 - x(t)^2)
を解くと、 x(t) = a となるはずです。
プラスマイナス両方の微分方程式を一気に扱おうとして意味不明なことをやっています。
試験でこんな解答を書いたら0点でしょうね。 篠本滋、坂口英継著『力学』
R^3 の部分集合から R への写像のことを一価関数などと書いているのですが、こんな用語存在するんですか？
複素関数論で多価関数という用語があり、通常の関数を一価関数と言ったりするようですが。 ベクトル値関数ではなくスカラー値関数であるから一価関数と言っているとは思うのですが、あやしすぎます。 篠本滋、坂口英継著『力学』
致命的な誤りを発見したかもしれません。
ちょっと他の信頼できる本（戸田盛和）を参照してから書き込みをします。 >>445
シュヴァルツの解析学を読んで感想書いてみな >>444
ランダウ 理論物理学教程 読んでから出直してこい ベクトル値関数ではなくスカラー値関数であるから一価関数と言っているとは思うのですが、
まだこのレベル 昨日、境界の質問をしたものです。
遅くなりましたが、回答していただきありがとうございました。 >>438
誘導位相は普通の写像でも定義されるので全単射じゃなくても大丈夫だと思います
>>439
特にp進付値だとQpになるという感じでしょうか？ >>456
あ、Qの位相だから
加法群としての同型R→Q_pからRに誘導した位相における部分空間Q⊂Rとしての位相ですかね… >>444
機械的に解くなら
調和振動子の微分方程式（4.53）を解けだけ
オイラー・ラグランジ方程式からも導ける（解析力学 一章(1.28)式） >>457
どんな加法付値 v に対しても v から作った位相において 0 は Z の中で孤立点ではない
コレは通常位数では起こらない >>454
時間的に変動するスカラー場ではないということを言いたい可能性がありますね。
ですが、時間的に変動するスカラー場は4変数の関数であり、時間的に変動しないスカラー場は3変数の関数関数ですよね。
時間的に変動するスカラー場を多価関数というのはおかしいですよね。 訂正します：
>>454
時間的に変動するスカラー場ではないということを言いたい可能性がありますね。
ですが、時間的に変動するスカラー場は4変数の関数であり、時間的に変動しないスカラー場は3変数の関数ですよね。
時間的に変動するスカラー場を多価関数というのはおかしいですよね。 >>463
>時間的に変動するスカラー場を多価関数というのは
そんなこと言ってないのでは？ あれだけ多様体論の本読んで未だにスカラーとベクトルの意味すらできてないのは救いようがない >>445
「力が保存力の条件を満たしていれば、力は位置の一価関数の偏導関数として与えることができることを以下に示す。」
が原文です。 藤岡敦著『手を動かしてまなぶ曲線と曲面』
ある区間で定義された任意の関数はある平面曲線の曲率になることを丁寧に証明しています。
平面曲線の曲率が回転と平行移動によって変わらないことを丁寧に証明しています。
ですが、単純な式変形をするだけなのに、無意味に何ステップもかけていたりします。
別にそうしても分かりやすくなるどころか分かりにくくなるにもかかわらずです。
どうも何を丁寧にすれば分かりやすくなるかということが分かっていないようです。 何もかもすべて丁寧にすれば、分かりやすくなるだろうという単純な考えのようです。 曲率は任意と書きましたが、もちろん条件はあります。 >>467
その通りじゃないの？
保存力じゃなければスカラーポテンシャル持たないし >>474
なぜ、わざわざ「一価関数」などと書いたのでしょうか？
その意図が分かりません。
ただ「関数」と書けば済む話です。
わざわざ「一価」と書いたからには何か意図があるはずです。 ポテンシャルの中には多価関数になるものもあるから、
それとは違うことを言うために一価関数と書いたのでは >>475
仕事Wは移動経路に依存するが、それが経路に依存しない力の場を保存力Fというと書いてあるだろう、馬鹿アスペ 関数解析でベクトル空間の部分集合が無限和を込めて空間を張るときに「完全」と呼びますが
これを「完備」と呼ぶ事もあるんでしょうか？
「リー群と表現論」の本でそのような意味で使っているっぽいのを見て気になりました
あとwikipediaのヒルベルト空間のページでもそれっぽい記述がありました 普通完備は線型位相空間の任意のコーシー有向族が収束するときいう。バナッハ空間、ヒルベルト空間でも使う。
完全はヒルベルト空間に対してだけ使う。正規直交系が完全であるとか。
違う概念。 >>481
通常は完備性と言ったらその意味で、両者が別物である事は知っていますが
完全性の事を完備と呼ぶ事も一般的にはないという事で良いのでしょうか
完全性を完備性という言葉で言い換えるというような事も出来ないですよね
wikipediaで見たというのは例えば「リース＝フィッシャーの定理」の記事の「例」の項目での
＞正規直交集合が完備
という記述などでです >>482
「リー群と表現論」の該当部分をそのまま書くかアップしろよ >>483
そうですね
質問の意味がうまく通じていないかもしれません
この記述で「完備」と書いてあるのは「完全」の間違いなのか
それとも通常の意味でのコーシー列が収束する意味での完備性という言葉で
ヒルベルト空間の部分集合での完全性という概念が言い換えできて
この記述は正しい言葉づかいなのか
という点が気になっています
「リー群と表現論」でも同様で例えばp.130で
L^2(G)の類関数のなすヒルベルト空間の中の既約表現の指標全体は完全正規直交系である
という主張の証明の中で「完全性」を示す際に「完備性」を示せばよい
などと書かれています >>485
位相群の話は一様空間、ハール測度の知識が必要、これらは関数解析ではやらない >>485
あなたの責任
>質問の意味がうまく通じていないかもしれません >>479
>>487
ある基準点からある点へ1kgの質点を移動させるとき必要な仕事に -1 を掛けた数は一般には経路に依存するけれど、保存場ではそうではない。
それゆえ、位置 P に、1kgの質点を基準点から P へ移動させるときに必要な仕事に -1 を掛けた数を対応させる関数が定まる。
ということが言いたかったわけですね。
「力が保存力の条件を満たしていれば、力は位置の一価関数の偏導関数として与えることができることを以下に示す。」
などと書かずに、
「力が保存力の条件を満たしていれば、力は位置 P に1kgの質点を基準点から P へ移動させるときに必要な仕事に -1 を掛けた数を対応させる関数の勾配になることを以下に示す。」
と素直に書けば良かったわけですね。
ある「位置の一価関数の偏導関数」などと謎めいた言い方などする必要は全くないわけです。 >>447
あ、これは勘違いでした。
篠本滋、坂口英継著『力学』
力が保存力であるためには、 D2 F1 = D1 F2 が成り立つことが必要十分条件であることを示しています。
その論法ですが、ちょっと乱暴すぎます。
平面上の任意の場所に描かれた非常に小さい正方形を考えます。
対角線で結ばれた正方形の2つの頂点の一方から他方へ正方形の辺を通って行くには2つの道があります。
それぞれの道を1kgの質点を移動させたときに必要な仕事が等しいならば、平面上のある点からある点へ1kgの質点を移動させるときに必要な仕事は移動させる道には依存せず一定であることが結論できると書いています。
ですが、示したことは単に、平面上のある点からある点へ1kgの質点を非常に小さな正方形の辺のみを通って移動させるときに必要な仕事はそのジグザグの道をどのように選んでも一定であるということだけです。
滑らかな曲線上を移動させたときにどうなるかは全く分からないはずです。
確かに、正方形を非常に小さくすれば、滑らかな曲線とジグザグの道の違いを判別できなくすることは可能だとは思いますが、それとは別の話だと思います。 非常に小さな長方形の対角線で結ばれた2つの頂点の一方から他方へ長方形の辺を通っていくには2つの道があります。
この2つの道と対角線を進む道のどれを選んでも移動するのに必要な仕事が等しいことを示せば問題なかったと思います。 あ、篠本滋、坂口英継著『力学』では、正方形ではなく縦が Δy、 横が Δx の小長方形で考えていました。
ですが、対角線は考えていません。 >>494
保存力が存在する条件は(3.72)式にあるようにrotF=0 >>498
証明はこれ読め
微分積分学としてのベクトル解析 宮島 >>486
やっぱり日本語では完全だけど英語だと同じなので
訳語に慣れてないと完備と言ったりする事もあるだけって感じですか 級数展開可能であることを示すのに(級数の部分和がコーシー列なことは比較的簡単にわかるとして)完備性を示せばいい、とかいう話ではない？ 調べてもわからなかったので質問させてください。（既出ならすみません。）
Aを整域、KをAの商体、LをKの有限次拡大体、BをAのLにおける整閉包とする。
このときBはA上有限生成な環でしょうか？ >>501
そのように解釈できないかは考えてみましたが、例えば
コンパクト位相群Gの既約ユニタリ表現の指標の空間{χ_π:π∈G^}は
類関数全体からなるL^2(G)の部分空間L^2(G)^adの完全正規直交系
という主張の証明で
{χ_π}がL^2(G)の正規直交系である事は指標の直交関係性より言えるので，これがL^2(G)の中で完備である事を言えばよい
などと書いてあるのは無理そうですよね？
ピーター-ワイルの定理の証明の文脈で
コンパクト群Gの有限次元既約表現の行列成分で貼られる空間R(G)がL^2(G)の中で稠密
である事を示す節のタイトルが「L^2完備性」になっていたりします
L^2空間自体の完備性はそれよりはるか前に言っているのでこれも完全性の意味で使っているかと思います >>500
completeのリンク先がcomplete orthonormal systemでなくcomplete metric spaceになっている。俺はコレはリンクミスで、日本語も翻訳ミスじゃ無いかと思うよ。元はcompleteで同じだからね。 >>502
yes
永田雅宜、可換体論に載ってる
L=K(α)、αがK上整、d=discriminant of αとするとき
dB⊂A(α)が示せる >>492
>謎めいた言い方
謎と思ってるのは理解が足りてないからでは >>500
こんな書かれてるよ
＞数学における完備性（かんびせい、英: completeness）は、様々な場面においてそれぞれの対象に関して特定の意味を以って考えられ、またそれぞれの意味において完備（かんび、英: complete）でない対象に対する完備化 (completion) と呼ばれる操作を考えることができる。complete は「完全」と訳されることもある。 日本語では完全であるのは
totalness
completeness
exactness
perfectness
fullness
なんだってさ >>499
パラパラと見てみましたが、その本にはラプラス方程式についても書いてあるんですね。
電磁気の本に出てきて気になっていたので読んでみようと思います。
ありがとうございました。 ただ、宮島さんの微分積分の本は好きではないので、少し心配です。 宮島さんの微分積分の本はどうでもいいところの説明は非常に丁寧なくせに、ここは丁寧に説明してほしいというところは演習問題にしたり、証明を省略したりしていて嫌いです。
これならば、そういうことのなく、扱っている内容もずっと豊富な杉浦光夫さんの本でいいということになります。 杉浦光夫さんはベクトル解析を3次元に限定して書いていますし、微分形式についても説明していなかったと思いますが、なぜなんですかね？ >>508
しばらくツッコミが無ければ修正しておこうかな 質問者の言う通り定義を追っかけても埒が開かない。
トップダウンで考えるとあら不思議。 岩波の基礎数学はシリーズ内で閉じているが、専門的な本は著者の研究成果なのでギャップがあるのかもしれない。 ピーターワイルの定理の証明で淡中-辰馬の双対定理、ハール測度の予備知識がいる ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
